GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 -...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á

ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1

LƯU HÀNH NỘI BỘ

Đà Nẵng, 2013

Môn: Giải Tích 1

1

CHƯƠNG.1. HÀM SỐ

1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

1.1.1. Định nghĩa

Cho hai tập khác rỗng X, Y ⊂ R, ánh xạ f : X → Y

x ֏ y = f(x)

được gọi là hàm số (một biến số) xác định trên X.

X: Mi ền xác định của hàm số

f(X) : Miền giá trị của hàm số

x: biến độc lập (đối số)

y = f(x) : hàm của biến độc lập.

Tập hợp Gf = {(x,y) ∈ R2| x ∈ X, y = f(x)} được gọi là đồ thị của hàm f.

1.1.2. Hàm số hợp

Cho X ⊂ R, Y ⊂ R, Z ⊂ R. Cho hàm số f : X→Y và g : Y→ Z. Ánh xạ hợp của f và g là h = gof cũng là một hàm số và gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. h : X → Z

x ֏ h(x) = g[f(x)]

Ví dụ 1.1:

X = Y = Z = R

Cho hai hàm số f(x) = x2 + 2 , g(x) = 3x + 1.

f[g(x)] = f(3x + 1) = (3x + 1)2 + 2

g[f(x)] = 3(x2 + 2) + 1

1.1.3. Hàm số ngược

Cho song ánh f : X → Y (X, Y⊂ R). Khi đó ánh xạ ngược f-1 : Y → X được gọi là hàm ngược của hàm f.

x = f-1(y) ⇔ y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y.

Người ta thường viết lại hàm ngựơc của hàm y = f(x) là y = f-1(x).

Đồ thị của hai hàm số ngược đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Ví dụ 1.2:

Hàm y = 2x + 1 có hàm số ngược x = f-1(y) = 1

2

y− hay y =

1

2

x−.


2

Ví dụ 1.3:

Xét ánh xạ f: R→ R

x ֏ x2

* y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y vô nghiệm

⇒ f không là toàn ánh.

* y ∈ R, y < 0: Phương trình x2 = y có hai nghiệm x = ± y

⇒ f không đơn ánh.

Vậy f không có hàm ngược.

1.2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

1.2.1. Hàm số lũy thừa y = xαααα (αααα∈∈∈∈ R*)

Miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộcα

* Với α ∈ N : Miền xác định R.

* Với α ∈ Z- : Miền xác định R\{0}.

* Với α là số hữu tỉ không nguyên hoặc là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét α= xy tại mọi x > 0, tức miền xác định của hàm luỹ thừa này là R*

+.

Chú ý: y = 3

1

x là hàm luỹ thừa với tập xác định R*+, không được lẫn lộn nó với

hàm y = 3 x có tập xác định R.

Đồ thị luôn đi qua điểm A(1, 1).

Nếu α > 0 thì đồ thị đi qua O(0, 0)

Nếu α < 0 thì đồ thị không đi qua O.

Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xαααα (αααα∈∈∈∈ R*)

1.2.2. Hàm số mũ y = ax (a > 0 , a ≠≠≠≠ 1)

Số a gọi là cơ số của hàm số mũ.

• y = ax tăng khi a > 1 (đồng biến).


3

• y = ax giảm khi 0 < a < 1 (nghịch biến).

Đồ thị luôn đi qua điểm (0, 1).

Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax

1.2.3. Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠≠≠≠ 1)

Hàm y = logax là hàm ngược của hàm y = ax, nghĩa là y = logax ⇔ x = ay.

Miền xác định D = R*+.

• a > 1 hàm đồng biến.

Khi đó: Với 1x0 ≤< thì loga x ≤ 0.

Với x ≥ 1 thì loga x ≥ 0.

• 0 < a <1 hàm nghịch biến

Khi đó: Với 0 < x ≤ 1 thì logax ≥ 0

Với x ≥ 1 thì loga x ≤ 0

Đồ thị luôn đi qua điểm (1,0)

Đặc biệt logaa = 1

Nếu a = 10, ta viết log10x = lgx và gọi là logarit thập phân.

Hai đồ thị y = ax và y = logax đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.

Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax


4

1.2.4. Các hàm số lượng giác

x ֏ sinx

x ֏ cosx

x ֏ tgx

x ֏ cotgx

Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác

• Các hàm y = sinx, y = cosx có miền xác định là R, miền giá trị là [-1,1] tuần hoàn chu kỳ .2π (Hình 1.4)

• Hàm số y = tgx xác định tại mọi x ≠ (2k + 1)2

π, k ∈ Z

Có miền xác định là R, tuần hoàn chu kỳ .π (Hình 1.5)

• Hàm số y = cotgx xác định tại mọi x ≠ k ,π k ∈ Z.

Có miền xác định R, tuần hoàn chu kỳ .π (Hình 1.6)

Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx

Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx


5

1.2.5. Các hàm số lượng giác ngược

• Hàm số y = arcsinx:

+ Miền xác định: 1x1 ≤≤−

+ Miền giá trị: 2

y2

π≤≤π (hình 1.7)

Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcsinx

• Hàm số y = arccosx:

+ Miền xác định: 1x1 ≤≤−

+ Miền giá trị: π≤≤ y0 (hình 1.8)

Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcosx

• Hàm số y = arctgx:

+ Miền xác định: R

+ Miền giá trị: -2

y2

π<<π (hình 1.9)

Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arctgx

• Hàm số y = arccotgx:

+ Miền xác định: R

+ Miền giá trị: π<< y0 (hình 1.10)

Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcotgx


6

1.2.6. Các hàm số sơ cấp

Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hàm hằng.

Ví dụ 1.4:

3)4

x2cos(x8siny +π++=

Người ta đặc biệt chú ý đến hai loại hàm số:

• Đa thức bậc n, n∈ N

Pn(x)= ao + a1x + ...+ anxn, ai ∈R , an ≠ 0.

• Phân thức hữu tỷ

mm10

nn10

m

n

xb...xbb

xa...xaa

)x(Q

)x(P

++++++= với m, n ∈ N

1.2.7. Hệ tọa độ cực

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một véc tơ đơn vị

OP , tia mang vectơ OP gọi là trục cực; hệ tọa độ xác định bởi cực và trục cực gọi là hệ tọa độ cực.

Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định bởi vectơ OM , nghĩa là

xác định bởi góc, ),( OMOP=ϕ và r = OM , ),( OMOP=ϕ gọi là góc cực, r gọi là bán

kính cực. Nếu πϕ 20 <≤ và r 0≥ , cặp số có thứ tự ),( ϕr các tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng.

1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ


Lân cận

Cho xo ∈ R và δ > 0. Khi đó ta nói:

+ Khoảng (xo - δ, xo + δ) là δ-lân cận của điểm xo.


7

+ Khoảng (xo - δ, xo) là δ-lân cận trái của điểm xo.

+ Khoảng (xo, xo + δ) là δ-lân cận phải của điểm xo.

+ Tập hợp U chứa một δ-lân cận của điểm xo được gọi là một lân cận của điểm xo, kí hiệu: U(xo).

Định nghĩa 1

Cho hàm f xác định trên một lân cận U(xo) (có thể trừ xo). Số L được gọi là giới hạn của hàm f khi x dần tới xo nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0, sao cho khi x ∈ U(xo), 0 < |x - xo| < δ thì |f(x) - L| < ε.

Kí hiệu: )(lim xfoxx→

= L.

Ví dụ 1.5:

Cho f(x) = C, C là hằng số.

Ta chứng minh: 0xx

lim→

f(x) = C.

Cho trước ε > 0, vì f(x) = C, ∀x nên với bất kỳδ > 0, |x - xo| < δ luôn có:

|f(x) - C| = |C - C| = 0 < .ε

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 2 (Giới hạn một phía)

+ Số L được gọi là giới hạn bên trái nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho:

εδ <−⇒<<− Lxfxxx oo )(

Kí hiệu: L)x(flim0xx

=−→

.

+ Số L được gọi là giới hạn bên phải nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃δ > 0 sao cho:

ε<−⇒δ+<< L)x(fxxx oo

Kí hiệu là: .L)x(flim0xx

=+→

Định lý: Điều kiện cần và đủ để )(lim xfoxx→

= L là )x(flim0xx −→

= )(lim0

xfxx +→

= L.

1.3.2. Các phép toán về giới hạn

Khi nói đến giới hạn của một hàm số, ta phải xét giới hạn đó khi x → xo hay

x → ∞, mà ta thường gọi tắt là “trong một quá trình nào đó”.

Định lí 1: Cho 11 )(lim Lxfax

=→

; 22ax

L)x(flim =→

a) ax

lim→

Cf1(x) = CL1 với C là hằng số.

b) ax

lim→

(f1(x) + f2(x))= L1 + L2


8

c) ax

lim→

f1(x)f2(x) = L1L2.

d) 2

1

2

1

ax L

L

)x(f

)x(flim =

→ với 0L 2 ≠ .

Nhận xét: Khi L1 = +∞ ; L2 = -∞ . Về mặt hình thức ta có dạng ∞ -∞ đó là một dạng vô định, trong trường hợp đó

axlim

→(f1(x) + f2(x)) chưa khẳng định là có giới

hạn hay không.

Trường hợp (c): Khi L1= 0 (L1=∞ ), L2 = ∞ (L2= 0) thì về mặt hình thức có dạng 0.∞ là một dạng vô định.

Trường hợp (d): Khi L1=0 (L1=∞ ), L2 = 0 (L2 =∞ ) là dạng vô định 0

0 hoặc

∞∞

.

Khi gặp các dạng vô định tuỳ từng trường hợp để tìm cách khử dạng vô định.

Ví dụ 1.6:

Xét 0x

lim→ x

1x1 −+

Có dạng ,0

0 nhân liên hiệp cả tử và mẫu với 1x1 ++

0xlim

→ x

x 11 −+ =

0xlim

→ )11( ++ xx

x =

2

1

Định lí 2: Xét hàm hợp fou : x ֏ f[u(x)]. Nếu:

Trong quá trình nào đó u(x) → uo

f(u) xác định tại uo và lân cận của uo và )()(lim0

ouuufuf =

→thì trong quá trình ấy

ta có lim f[u(x)] = f(uo) = f[lim u(x)].

Ví dụ 1.7:

Xét 202

2x)1x2x3(lim +−

→

Đặt u(x) = 3x2 – 2x +1

Ta có: )2(u)x(ulim2x

=→

= 9

Suy ra 202

2)123(lim +−

→xx

x= [ ]20

2x)x(ulim

→= [ ]20

2)(lim xu

x→= 920

1.3.3. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

Tiêu chuẩn 1: Giả sử ba hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn bất đẳng thức


9

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , ∀ x ∈ (a, b). Khi đó, nếu )(lim xfoxx→

= )(lim xhoxx→

= L thì

)(lim xgoxx→

= L.

Ví dụ 1.8:

Chứng minh: 0

lim→x x

xsin = 1

Xét đường tròn đơn vị x > 0. Ta có:

S∆ OAB < Squạt OAB < S∆ OAM

⇔ 2

.

2

.

2

sin.. 2 AMOAxOAxOBOA <<

⇔ OA

AM.OA.OAx.OAxsinOA 22 <<

⇔ tgxOAxOAxOA 222 .sin <<

sinx < x < tgx. Chia cho sinx

1x

xsinxcos

xcosx

xsin1

xcos

1

xsin

x1

<<⇔

>>⇔

<<⇔

Ta có: 0x

lim→

cosx = 1; 0x

lim→

1 = 1

⇒ ⇒=→

1x

xsinlim

0xđpcm

Ví dụ 1.9:

2

11.

2

1

2

x2

xsin

lim.2

1

x

xcos1lim

2

0x20x==

=−→→

Tiêu chuẩn 2: Xét hàm f xác định tại mọi x dương khá lớn trở đi. Giả sử:

f(x) không giảm (không tăng)

f(x) bị chặn trên (bị chặn dưới).

Khi đó tồn tại giới hạn của f(x) khi x → +∞ (x → -∞).

Ví dụ 1.10:


10

Áp dụng tiêu chuẩn 2, ta chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1

1x

x

+ khi

x → ∞+ . Người ta đặt 1

lim 1x

xe

x→+∞

+ = .

Tổng quát ta có: 1 1

lim 1 lim 1x x

x xe

x x→+∞ →−∞

+ = + =

1

lim 1n

ne

n→∞

+ =

1

0lim(1 ) eα

α

α

→+ =

( )

( )lim 1

( )

u x

u x

a

u x→∞

+

= ea (a ≠ 0)

[ ] )(

1

)(1lim0)(

xv

xavxv

+→

= ea (a ≠ 0)

1.3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn

Vô cùng bé

Định nghĩa

Hàm f(x) được gọi là một VCB khi x → xo nếu )(lim xfoxx→

=0.

Ví dụ 1.11:

Khi x → 0 thì sinx là VCB; x là VCB.

So sánh các VCB

Cho f1(x), f2(x) là các VCB khi x →xo. Khi đó:

• Nếu )(

)(lim

2

1

xf

xf

oxx→ = 0 thì ta nói VCB f1(x) có bậc cao hơn VCB f2(x), kí hiệu:

f1(x) = O(f2(x)).

• Nếu )(

)(lim

2

1

xf

xf

oxx→ = c ≠ 0 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) ngang cấp, kí hiệu:

f1(x) = O(f2(x)).

Nếu c = 1 thì ta nói hai VCB f1(x) và f2(x) là hai VCB tương đương khi x → xo, kí hiệu: f1(x) ~ f2(x)

Ví dụ 1.12:


11

Khi x→ 0 thì 1 - cosx là VCB cấp cao hơn VCB x.

Khi x → 0 thì 1 – cosx và x2 là hai VCB ngang cấp.

Khi x → 0 thì sinx ~ x.

Ta có các VCB tương đương sau:

Khi x → 0: sinax ~ ax ; tgax ~ ax ; 1 - cosx ~ 2

2x ; ex - 1 ~ x ; ln(1 + x) ~ x.

Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 0

0

• Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) khi x → xo thì )(

)(lim

xg

xfoxx→

= )(

)(lim

2

1

xg

xf

oxx→ .

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao : giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi x → xo và

f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB. Khi đó giới hạn của tỉ số f(x)g(x) bằng giới

hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử và ở mẫu số.

Ví dụ 1.13:

)21ln(

3sinlim

0 x

xx +→

= x

xx 2

3lim

0→ = 3/2

Ví dụ 1.14:

62

53

0 93

sinlim

xxx

xtgxxx ++

++→

= x

xx 3lim

0→ = 1/3.

Vô cùng lớn

Định nghĩa:

Hàm f(x) được gọi là một VCL khi x → xo nếu )(lim xfoxx→

= ±∞.

Ví dụ 1.15:

Khi x → 0 thì 1x là VCL.

So sánh các VCL:

Cho f1(x), f2(x) là các VCL khi x →xo. Khi đó:

• Nếu )(

)(lim

2

1

xf

xf

oxx→ = ∞ thì ta nói VCL f1(x) có bậc cao hơn VCL f2(x) (f1(x) tiến tới

∞ nhanh hơn f2(x)).

• Nếu )(

)(lim

2

1

xf

xf

oxx→ = c ≠ 0 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) ngang cấp.

Nếu c = 1 thì ta nói hai VCL f1(x) và f2(x) là hai VCL tương đương khi x → xo, kí hiệu f1(x) ~ f2(x).


12

Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định ∞∞

:

• Nếu f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) thì )(

)(lim

xg

xfoxx→

=)(

)(lim

1

1

xg

xf

oxx→ .

• Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp: Nếu f(x), g(x) là hai VCL trong cùng một quá

trình, f(x) và g(x) đều là tổng của nhiều CVL thì giới hạn của tỉ số f(x)g(x) là giới

hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất ở tử và mẫu số

Ví dụ 1.16:

62

235lim

34

24

−+−+

∞→ xx

xxxx

= 4

4

2

5lim

x

xx ∞→

= 52 .

1.3.5. Các dạng vô định và cách khử

* Dạng 0

0

Cách 1:

• B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay x → ∞.

• B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn.

Ví dụ 1.17:

43

132lim

2

2

1 −++−

→ xx

xxx

= 4x

1x2lim

)4x)(1x(

)1x2)(1x(lim

1x1x +−=

+−−−

→→= 1/5.

Cách 2: Dùng VCB tương đương.

Ví dụ 1.18:

4

5

)2x)(2x(

)2x(5lim

4x

)2x(5tglim

2x22x=

+−−=

−−

→→

Cách 3: Đặt ẩn phụ.

Ví dụ 1.19:

x

x

x −

−

→ ππ2

sin1lim

Đặt t = π - x thì x = π -t ; x → π thì t → 0. Khi đó:

x

x

x −

−

→ ππ2

sin1lim = 0

t8

t

lim)t(

2

tcos1

lim

2

0t0t=−=

−

−

→→.


13

* Dạng ∞∞

Cách 1:

• B1: Làm xuất hiện thừa số đồng dạng "x - a" khi x → a, hoặc "x" khi x → 0 hay x → ∞.

• B2: Giản ước các thừa số đồng dạng đó và tiếp tục tìm giới hạn.

Ví dụ 1.20: 512

)23()32(lim

3

2

+−+

∞→ x

xxx = 1

)x

512(x

)x

3

x

2812(x

lim

33

23

x=

+

++

∞→

Cách 2: Dùng VCL tương đương.

Ví dụ 1.21:

1

1lim

2

++

−∞→ x

xx

Khi x → -∞ thì 1x2 + ~(-x) ; x + 1 ~ x. Do vậy:

1

1lim

2

++

−∞→ x

xx

= 1x

)x(lim

x−=−

−∞→.

* Dạng ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞, 0.∞∞∞∞

Đưa về dạng vô định cơ bản 0

0,

∞∞

.

Ví dụ 1.22:

Tìm )

xtg

1

xsin

1(lim

0x−

→

Ta có: xsin

xcos1

xtg

1

xsin

1 −=−

0x

x2

1

limtgx

1

xsin

1lim

2

0x0x===

−⇒

→→

Vì khi x 0→ thì 1 - cos x ~ ,x2

1 2 sinx ~ x.

* Dạng ∞1

Ví dụ 1.23:

Tính x

xx 2sin

1

0)31(lim +

→


14

xsin

x3

x3

1

x2sin

1

0x)x31(lim)x31(lim

+=+

→

Ta có 3xsin

x3limvàe)x31(lim

0x

x3

1

0x==+

→→

Vậy x

xx 2sin

1

0)31(lim +

→ = e3/2

1.4. HÀM LIÊN T ỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN T ỤC


Định nghĩa 1

Cho f xác định trên (a, b) và xo ∈ (a, b). Nếu )(lim xfoxx→

= f(xo) thì ta nói hàm f

liên tục tại điểm xo.

xo : điểm liên tục của hàm f.

Những điểm mà tại đó hàm f không liên tục thì được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f.

Định nghĩa 2

Cho hàm f xác định trong một lân cận trái (xo- δ, xo) của điểm xo. Khi đó nếu )(lim xf

oxx −→ = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục trái tại xo.

Định nghĩa 3

Cho hàm f xác định trong một lân cận phải (xo, xo + δ) của điểm xo. Khi đó nếu )(lim xf

oxx +→ = f(xo) thì ta nói hàm f liên tục phải tại xo.

Định nghĩa 4

• Hàm f liên tục trên (a, b) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc (a, b). • Hàm f liên tục trên [a, b] nếu f liên tục trên (a, b) và liên tục phải tại a, liên tục

trái tại b.

Nhận xét: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó.

Ví dụ 1.24:

Xét tính liên tục của hàm số sau:

sin0

( )

0

xx

xf x

a x

≠= =

tại x = 0.

Ta có: 1)x(flim0x

=→

và f(0) = a

+ Nếu a ≠ 1 thì f(x) không liên tục tại x = 0.


15

+ Nếu a = 1 thì f(x) liên tục tại x = 0.

Ví dụ 1.25:

Xét tính liên tục của hàm

=

≠=0x0

0xx

1cosx)x(f

� Với x ≠ 0 thì f(x) = xcos1x luôn xác định nên nó liên tục tại mọi điểm x ≠ 0.

� Với x = 0: Ta có: f(0) = 0

0x

1cosxlim)x(flim

0x0x==

→→. Vậy )0(f)x(flim

0x=

→, tức là hàm f liên tục tại x = 0.

Vậy hàm f đã cho liên tục trên R.

* Một số giới hạn:

+ Với m > 0: 0x

1lim,xlim

mx

m

x=+∞=

+∞→+∞→

+ Với a > 1: 0alim,alim x

x

x

x=+∞=

∞−→+∞→

+ Với 0 < a <1: +∞==−∞→−∞→

x

x

x

xalim,0alim

+ Hàm số logax có giới hạn vô hạn khi x → +0 và khi x ∞+→

+

>∞

=

<

=++++++

±∞→

mnkhi

,mnkhib

a

,mnkhi0

xb...xbb

xa...xaalim

n

nm

m10

nn10

x

+ elog)1(log

lim aa

0=

αα+

→α

+ 1)1ln(

lim0

=α

α+→α

+ aln1a

lim0

=α−α

→α

1.4.2. Các tính chất của hàm liên tục

Định lí 1 (Định lí Wierstrass)

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên trên đoạn đó, nghĩa là tồn tại x1, x2 ∈ [a, b] sao cho:

m = f(x1) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]

M = f(x2) ≥ f(x), ∀x ∈ [a, b]


16

Định lí 2

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và µ là một giá tri trung gian giữa m và M thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho f(c) = µ.

Định lí 3

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0.

BÀI TẬP

1/ Tìm các giới hạn

a) 1x

1xlim

m

n

1x −−

→ b)

x

x1x1lim

53

0x

+−+→

c) 1x

xxlimx +

++∞→

d) )xxx(limx

−++∞→

e) )x1

2

x1

3(lim

31x −−

−→ f)

xxx

x1xlim

4 3

2

x −+++

+∞→

2/ Tìm các giới hạn:

a) 2

tgxlim

0x→ b)

nxsin

mxsinlim

0x→ (m, n∈ Z+)

c) 20x x

x3cosxcoslim

−→

d) xcos1

x2cosxcos1lim

0x −−

→

e) x

arctgxlim

0x→ f)

x2sin

x6tglim

0x→

g))3x(6sin

x9lim

2

3x −−

→ h)

x8tg

)x41ln(lim

0x

−→

3/ Tìm các giới hạn

a) x1

x1

0x x2

x1lim

+−

→

++

b) x1

x1

x x2

x1lim

−−

+∞→

++

c) x1

x1

x 1x2

1xlim

−−

+∞→

++

d)

2x

2

2

x 1x

1xlim

+−

+∞→

e) x

1

0x)xsin1(lim +

→ f)

2x

1

0x x2cos

xcoslim

→

4/ Xét sự liên tục của các hàm số

a) f(x) =

=

≠−−

2xkhi4

2xkhi2x

4x 2

b) f(x) =

=

≠

0xkhi0

0xkhix

1sinx


17

c) f(x) =

>−

≤

1xkhix2

1xkhix2

2

d) f(x) =

>−

≤π

1xkhi1x

1xkhi2

xcos

e) f(x) =

≤<−≤≤

2x1khix2

1x0khix2

5/ Tìm k để hàm số f(x) liên tục trên R

a) f(x) =

=

≠

0xkhik

0xkhix

x3sin b) f(x) =

≥+<

0xkhikx

0xkhiex


18

CHƯƠNG.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH C ỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO HÀM CẤP CAO

2.1.1. Định nghĩa đạo hàm

Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng (a,b), xo ∈(a,b). Nếu tồn tại:

∈−−

→ 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

R

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, và được kí hiệu là f ’(xo).

Hàm số f có đạo hàm tại điểm xo được gọi là khả vi tại điểm xo.

Cách tính đạo hàm theo định nghĩa:

− Cho đối số một số gia x∆ , tính số gia y∆ của hàm số:

x∆ = x - xo

x∆ = f(x + x∆ ) - f(x)

− Tính tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số x

y

∆∆

− Tìm giới hạn của tỉ số nói trên khi số gia của đối số dần tới 0:x

ylim

0x ∆∆

→∆

Ví dụ 2.1:

Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2

y∆ = f(x + x∆ ) - f(x) = (x + x∆ )2 - x2 = 2x x∆ + ( x∆ )2

xx2x

)x(xx2

x

y 2

∆+=∆

∆+∆=∆∆

x2)xx2(limx

ylim

0x0x=∆+=

∆∆

→∆→∆

Ta có thể viết (x2)' = 2x

Đạo hàm một phía

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0,b]. Nếu tồn tại

∈−−

+→ 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

R

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 được kí hiệu là

).0x('fhay)x(f 00' ++


19

Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự. Đạo hàm trái

của f tại điểm x0 được kí hiệu là ).0x('fhay)x(f 00' −− Hiển nhiên hàm số f: (a,b) →

R có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) khi và chỉ khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại

điểm x0 và =+ )x(f 0' ).x(f 0

'−

Ý nghĩa hình học

Giả sử Mo(x0,f(x0)) và M(x,f(x)) là hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số f. Nếu

x ≠ xo thì tỉ số 0

0

xx

)x(f)x(f

−−

là hệ số góc của đường thẳng MoM. Hàm số f có đạo

hàm f’(xo) tại điểm xo khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm Mo với hệ số góc f’(xo). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm Mo là: y – y0 = f’(x0)(x – x0).

Biểu thức định nghĩa có thể viết dưới dạng: )x('fx

)x(f)xx(flim 0

00

0x=

∆−∆+

→∆

Dùng liên hệ giữa giới hạn và vô cùng bé có thể biểu diễn hệ thức định nghĩa khả vi dưới dạng: )x(ox)x('f)x(f)xx(f 000 ∆+∆=−∆+

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Từ định nghĩa đạo hàm có thể nói hàm f(x) khả vi tại xo khi và chỉ khi ở lân cận của x0 hàm f(x) có thể thay bằng hàm bậc nhất:

)()()()()( 000 xxAxfxAxfxxfxf o −+=∆+≈∆+=

Nếu ta coi y = f(x) là phương trình chuyển động thẳng theo thời gian x, thì y∆ là đoạn đường đi được trong khoảng thời gian x∆ từ thời điểm x0 đến thời điểm xx ∆+0

và tỉ số x

y

∆∆

chính là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian đó.

Gọi x

ylim

0x ∆∆

→∆ là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm a (nếu giới hạn tồn tại

hữu hạn).


20

Đạo của chuyển độngtheo thời gian tại một thời điểm là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm đó.

Đạo hàm trên một khoảng

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng f có đạo hàm trên (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a,b). Khi đó hàm số: f ’: (a,b) → R

x ֏ f ’(x)

Gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a,b).

Nếu f ’ liên tục trên (a,b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a,b).

Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại xo.

Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0

nhưng không có đạo hàm tại điểm này.

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm

Định lí

Giả sử các hàm số u và v có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm xo. Khi đó các hàm số: u + v, uv, cu (c ∈ R là một hằng số) có đạo hàm tại điểm xo và

� (u + v)'(x o) = u'(xo) + v'(xo) � (uv)'(xo) = u'(xo) v(xo) + u(xo) v'(xo) � (cu)' (xo) = cu'(xo)

� Ngoài ra, nếu v(xo) ≠ 0 thì hàm số v

u có đạo hàm tại điểm xo và

[ ]20

0,

00,

00

,

)x(v

)x(v)x(u)x(u)x(v)x(

v

u −=

Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí: Nếu hàm số f : (a,b) → (c,d) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a,b) và hàm số g : (c,d) → R có đạo hàm tại điểm uo = f(x0) thì hàm số hợp h = gof : (a,b) → R có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = g’(u0)f’(x 0) = g’[f(x)]f’(x 0)

Ví dụ 2.2:

f(x) = ax

ax = exlna = eu ⇒ u = x lna

(ax)'=( eu)'u.u'x = eulna = ex lna.lna = axlna.

Đạo hàm của hàm số ngược

Giả sử f(x) khả vi tại x0 ∈ (a,b) và f '(x0) ≠ 0. Giả sử f(x) có hàm số ngược x =

g(y). Khi đó g(y) cũng khả vi tại y0 và g'(y0) =)x(f

1

0, .

Ví dụ 2.3:


21

y = arcsinx ⇒ x = siny; x∈(-1,1) và y∈(-π /2,π /2)

x'y = cosy = ± y2sin1− , cosy > 0

⇒cosy = y2sin1− = 21 x−

x'y = 21 x−

y'x = 21

1

x−

� Bảng đạo hàm một số hàm sơ cấp cơ bản y = c y' = 0

y = xµ ( µ ∈R) y' = µ x µ -1

y = sinx y' = cosx

y = cosx y' = -sinx

y = tgx y' = xcos

12

y = cotgx y' = -xsin

12

y = ax y' = axlna

y = ex y' = ex

y = logax y' = alnx

1

y = lnx y' = x

1

y = arcsinx y' = 2x1

1

−

y = arcosx y' = -2x1

1

−

y = arctgx y' = 2x1

1

+

y = arccotgx y' = -2x1

1

+

2.1.3. Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số f(x) xác định liên tục trong khoảng (a,b). Giả sử f(x) khả vi tại mọi điểm x∈(a,b), khi đó hàm đạo hàm f ’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của f ’(x) được


22

gọi là đạo hàm cấp hai của f(x). Kí hiệu: f "(x) hoặc 2

2

dx

fd. Cứ tiếp tục suy diễn như thế

ta có đạo hàm cấp n.

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), f(x) được gọi là khả vi n lần trong (a,b) nếu f là khả vi (n-1) lần trong (a,b) và đạo hàm cấp (n-1) của f cũng khả vi. Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức: f(n)(x) = [ f(n-1)(x)]'

Ví dụ 2.4:

a) f(x) = cosx thì: f(2k)(x) = (-1)k cos x

f (2k+1)(x) = (-1)k+1sin x

b) f(x) = sinx thì: f(2k)(x) = (-1)k sinx

f (2k +1)(x) = (-1)kcosx

• Các quy tắc tính đạo hàm cấp cao:

( ) )n()n()n( gfgf µ±λ=µ±λ

• Quy tắc Leibnitz: Hàm số f, g khả vi n lần:

...gf2

)1n(ng'nf gf (fg) '')2n(1)-(n(n)(n) +−++= −

++−−−

+ − k)kn( gf!k

)1kn)...(2n)(1n(n

… + nf ’gn-1 + fgn-1 = ∑=

−n

0k

k)kn(kn gfC

Chú ý: f (o)(x) = f(x).

Ví dụ 2.5:

Cho f(x) = ex; g(x) = ex.

(fg)' = (e2x)' = 2 e2x = (1+1) e2x

(fg)"= (2e2x)' = 2.2.e2x= 22 e2x =(1+1)2e2x

(fg)''' = (4.e2x)' =2.4 e2x= 23 e2x =(1+1)3e2x

(fg)(n)= (1+1)ne2x = xxn

0k

kn eeC∑

=


23

2.2. VI PHÂN – VI PHÂN C ẤP CAO

2.2.1. Vi phân hàm một biến

Định nghĩa: Hàm số f(x) khả vi tại x và xox(x)f' = f(x) - )x +f(x ∆+∆∆ ; o( x∆ ) là vô cùng bé bậc cao hơn x∆ khi x∆ → 0 được gọi là vi phân của f(x), lấy tại điểm x và kí hiệu là df, nói khác đi:

df = f ’(x) x∆

Vi phân của hàm số f(df) bằng tích số của đạo hàm (f’(x)) nhân với số gia của đối số )x(∆ . Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx = .x∆ Do vậy công thức trên có dạng

df = f ’(x)dx

Nghĩa là đạo hàm của hàm số bằng thương số giữa vi phân của hàm số đối với đối số và vi phân của đối số .

Hàm số hợp f(u) khả vi đối với u và u = g(x) là một hàm số khả vi đối với x, khi đó f(g(x)) cũng khả vi đối với x. Ta cũng có:

df = f ’(x)dx

⇒ Vi phân có tính bất biến.

2.2.2. Vi phân cấp cao

Cho hàm số f (hay y = f(x)) khả vi trên (a, b). Khi đó vi phân của nó là df = f’(x)dx hay dy = f’(x)dx.

Định nghĩa:

Vi phân của df tại x∈(a, b) được gọi là vi phân cấp 2 của f tại x (tương ứng với dx) và được kí hiệu là d2f(x) (hay d2y). Vậy:

d2f(x) = d(df)(x) = (df)’(x)dx = f’’(x)dxdx = f’’(x)( dx)2 = f’’(x)dx 2.

Một cách tổng quát, ta định nghĩa vi phân cấp n (n∈N) của f tại x, kí hiệu là dnf(x) hay dny, là vi phân của vi phân cấp (n – 1) của f tại x.

dnf(x) = d(d(n-1)f)(x).

Do đó, đạo hàm cấp n của f tại x có thể biểu diễn qua vi phân cấp n của nó:

fn(x) = ( )n

n

d f x

dx hay fn(x) =

n

n

d y

dx.

2.2.3. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng

Áp dụng công thức: x)(xf' )f(x )x + f(x 000 ∆+≈∆

Muốn áp dụng được công thức này ta phải chọn được hàm số f(x), chọn xo, chọn x∆


24

Ví dụ 2.6:

Tính gần đúng sin29o.

Chọn f(x) = sinx; xo = 30o; o1x −=∆ =180

1416,3− ;

)(30cos(30sin29sin 000 +≈180

1416,3− ) = )2

3(

2

1 + 4849,0180

1416,3 =−

Vậy ≈029sin 4849,0

2.3. CÁC ĐỊNH LÝ V Ề HÀM KH Ả VI

2.3.1. Định lý Fermat:

Nếu f(x) đạt cực trị tại x0 mà tồn tại f’(x0) thì f’(x0) = 0.

2.3.2. Định lý Rolle:

Nếu f(x) liên tục ở [a, b] có đạo hàm f’(x) trên (a, b) mà f(a) = f(b) thì tồn tại ξ ϵ (a, b) để f(ξ) = 0.

2.3.3. Định lý Cauchy:

Nếu f(x) và g(x) đều liên tục trên [a, b] có các đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại c ϵ (a, b) để [f(b) – f(a)]g’(c) = [g(b) – g(a)]f’(c).

2.3.4. Định lý Lagrange:

Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và tồn tại f’(x) có đạo hàm với x ϵ (a, b) thì tồn tại ξ ϵ (a, b) để: f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a).

2.3.5. Định lý (về tính đơn điệu):

Nếu f(x) có f’(x) > 0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b). Ngược lại, f’(x) < 0 với mọi x ϵ (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b).

2.3.6. Định lý (cần và đủ để là hàm hằng):

Nếu f(x) = c với mọi x ϵ (a, b) thì f’(x) = 0 với mọi x ϵ (a, b).

2.3.7. Định lý (cực trị):

Cho hàm f(x) xác định ở lân cận nào đó ở điểm x0 . Vδ(x0) liên tục tại x0 có đạo hàm f’(x0) với mọi x ϵ Vδ(x0) mà f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 được gọi là điểm cực trị. Cụ thể:

+/ f’(x) đi từ (-) sang (+): x0 là điểm cực tiểu.

+/ f’(x) đi từ (+) sang (-): x0 là điểm cực đại.

2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Quy tắc Lôpitan (De L’Hospital).


25

Quy tắc Lôpitan cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử các dạng vô định khi tính giới hạn của hàm số.

Nếu:

a) Giới hạn )()(

limxv

xuax→

có dạng 0

0và∞∞

b) Tồn tại giới hạn )(

)(lim

'

'

xv

xuax→

thì

)()(

limxv

xuax→

= )x(v

)x(ulim

'

'

ax→

Ví dụ 2.7:

Tính giới hạn L = x

x

x 3sin

12lim

0

−→

Giới hạn này có dạng 0

0 . Sử dụng quy tắc Lôpitan

( )( )

'

'0 0

2 1 2 ln 2 ln 2lim lim

3cos3 3sin3

x x

x xL

xx→ →

−= = =

Ví dụ 2.8:

Tính giới hạn x

xlnlimK

x +∞→=

Giới hạn này có dạng .∞∞

Sử dụng quy tắc Lôpitan ta có

0x

1lim

)x(

)x(lnlimK

x'

'

x===

+∞→+∞→

Chú ý: Từ L)x(g

)x(flim

0xx=

→ không thể suy ra L

)x('g

)x('flim

0xx=

→

BÀI TẬP

1. Cho f(x) = (x-1)(x-2)2(x-3)3; Tính f ’(1), f ’(2), f ’(3).

2. Tính đạo hàm của các hàm số:

1) y = x + 3 xx + 2) y = 3 x

1

x

1

x

1 ++

3) y = x

2x3 2 − 4) y = 3 3

3

x1

x1

−+

5) y = 2

2

xsin

xsin 6) y =

xcos

1n


26

7) y = tg2

x - cotg

2

x 8) exlnsinx

9) y = log3(x2 - sinx) 10) x

1

xy =

11) )x1xln(y 2++= 12) arctgxey =

3. Tìm đạo hàm các hàm số sau:

+∞<<−−≤≤−−

<<∞−−=

x2khi)x2(

2x1khi)x2)(x1(

1xkhix1

y

4. Cho f(x) = x(x-1)(x-2) … (x - 100), tính f ’(0).

5. Dùng công thức số gia của hàm số khả vi, tìm giá trị xấp xỉ của biểu thức:

a) 3 02,1 b) sin290 c) lg11 d) arctg 1,05

6. Tìm y'' cho mỗi trường hợp sau:

a) y = x 21 x+ b) y = 2xx

x

−

c) y = 2xe− d) y = lnf(x)

7. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số

a) y = )x1(x

1

− tính y(8) b) y =

x1

x1

−+

tính y(100)

c) y = x2e2x tính y(20) d) y = x2sin2x, tính y(50)

8. Tìm y(n) nếu

a) )1(

2

xx

xy

−= b)

23

12 +−

=xx

y

9. Sử dụng quy tắc Lôpitan tính các giới hạn sau:

a) )x1ln(

eelim

axax

0x +− −

→ (a ≠ 0) b)

xsinx

axcos1lim

0x

−→

c) )

x

11ln(

arctgx2limx

+

−π+∞→

d)

−−

→ 1x

1

xln

1lim

1x

e)

π−π→ xcos2

xtgxlim2x

f) 2

xtg)x1(lim

1x

π−→


27

CHƯƠNG.3. TÍCH PHÂN

3.1. TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊNH

3.1.1. Tích phân bất định

Nếu hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a,b) thì có đạo hàm trong (a,b) và nếu cho một hàm số f(x) thì ta tính được đạo hàm f'(x) của nó. Vậy nếu cho trước một hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) có tồn tại một hàm số F(x) khả vi trong (a,b) mà F'(x) = f(x) không?

•••• Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng mở (a,b), nói rằng hàm số F(x) xác định trong (a,b) là một nguyên hàm của f(x) nếu F(x) khả vi trong (a,b) và F'(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx ∀x ∈ (a,b).

Ví dụ 3.1:

2

x 2

là nguyên hàm của x

5

1sin5x là nguyên hàm của cos5x

Tính chất 1: Giả sử F(x) khả vi trong (a,b) và F(x) là nguyên hàm của f(x) ∀x∈(a,b). Khi đó:

∀C là hằng số F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) ∀x∈(a,b).

Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) ∀x∈ (a,b) đều có dạng F(x) + C.

Họ vô số các nguyên hàm của f(x) với x∈ (a,b) được gọi là tích phân bất định của f(x), x∈ (a,b) và kí hiệu là:∫ += C)x(Fdx)x(f

x : Gọi là biến lấy tích phân.

f(x)dx : Biểu thức dưới dấu tích phân.

f(x) : Hàm số dưới dấu tích phân.

Tính chất 2:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), x ∈ (a,b) thì:

∫ dx)x(kf = k∫ dx)x(f với k là hằng số

Nếu F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x), g(x), x∈ (a,b) thì:

∫ )x(Af( + Bg(x))dx = A∫ dx)x(f + B ∫ dx)x(g = AF(x) +BG(x) + C.

Bảng tích phân một số hàm thông dụng:

∫ dx0 = C


28

∫ dx1 = ∫dx = x + C

∫ ++α

=+α

α C1

xdxx

1

, 1−≠α

∫ += Cxlndxx

1

2 2

arctan1arccot1 1

x Cdxdx

x Cx x

+= = − ++ +

∫ ∫

+−+

=−

=−∫ ∫ Cxarccos

Cxarcsin

x1

dxdx

x1

122

Caln

adxa

xx +=∫

∫ +−= Cxcosxdxsin

∫ += Cxsinxdxcos

2

1cot

sindx x C

x=− +∫

2

1tan

cosdx x C

x= +∫

sin

tan ln coscos

xxdx dx x C

x= =− +∫ ∫

cos

cot ln sinsin

xxdx dx x C

x= = +∫ ∫

1 1 cos

ln tan lnsin 2 sin

x xdx C C

x x

−= + = +∫

Cedxe xx +=∫

1 1 sin

ln tan lncos 2 4 cos

x xdx C C

x x

π += + + = + ∫

2 2

1 1arctan

xdx C

a ax a= +

+∫

∫ +=−

Ca

xarcsindx

ax

122

Cxa

xaln

a2

1dx

xa

122

+−+=

−∫


29

Caxxlndxax

1 2

2+++=

+∫

Ca

xarcsina

2

1xax

2

1dxxa 22222 ++−=−∫

Định lí: Mọi hàm số f(x) xác định liên tục trong khoảng (a,b) thì có nguyên hàm trong khoảng đó.

3.1.2. Các phương pháp tính tích phân

* Phương pháp khai triển

Muốn tính tích phân bất định của hàm số f(x) ta đưa tích phân cần tính về tích phân cơ bản rồi áp dụng công thức.

Ví dụ 3.2:

a) Tính: I =∫ 3( -x2) 3dx = ∫ 9( - 27x2 +9x4 - x6)dx

I = ∫ dx9 - ∫ dxx27 2 + dxx9 4∫ - dxx 6

∫

I = 9x - x9x9x5

9x

7

1x

7

1x

5

9x

3

27 357753 +−+−=−+ + C

b) Tính: dxx

∫ + cos1

1

Ta có: 1 + cosx = 2 cos22

x

⇒ I = 2

22 tan

22cos2

xd x

Cx= +∫

* Phương pháp đổi biến số

a) Dạng đặt x = ϕϕϕϕ(t)

Xét tích phân I = ∫ dxxf )(

Trong đó f(x) là một hàm số liên tục. Để tính tích phân này ta có thể chuyển sang một dạng tích phân khác bằng cách thay x = ϕ(t). Với giả thiết hàm số x = ϕ(t) đơn điệu có đạo hàm liên tục, ta có:

dx = ϕ'(t)dt và I = ∫ dxxf )( = [ ] dt)t(')t(f ϕϕ∫ = ∫ dttg )(

Nếu phép đổi biến được lựa chọn phù hợp thì tích phân theo biến số t sẽ đơn giản hơn.

Nếu tính được: ∫ dttg )( = G(t) + C

thì I = ∫ dxxf )( = [ ] C)x(hG +∫


30

Trong đó t = h(x) là hàm ngược của hàm số x = ϕ(t)

Ví dụ 3.3:

xdx1 2∫ −

Điều kiện 1x1 ≤≤−

Đặt x = sint; t ∈ [-2

,2

ππ] ⇒ dx = costdt

∫∫∫+==− dt

2

t2cos1dttcosdttcostsin1 22

Cx1x2

1xarcsin

2

1Ctcostsin

2

1t

2

1 2 +−+=++=

b) Dạng đặt t = w(x): ∫ ∫= dx)x('w))x(w(fdx)x(f

Ví dụ 3.4:

Tính I =∫ xdxcosxsin3

Do d(sinx) = cosxdx, nên ta đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx

I = C4

xsinIC

4

tdtt

443 +=⇒+=∫

* Phương pháp tích phân từng phần

Với u = f(x), v = g(x) là hai hàm số khả vi và có đạo hàm liên tục:

∫udv = uv - ∫ vdu

Ví dụ 3.5:

Tính tích phân: I = ∫ xdxln

Để ý: d(lnx) = dxx

1

Đặt u = lnx ⇒ du = dxx

1

dv = dx ⇒ v = x

I = ∫ xdxln = xlnx - ∫ dxx

1.x x.

C)1x(lnxCxxlnxdxxlnx +−=+−=−= ∫

* Tích phân các phân thức hữu tỉ


31

Xét phân thức hữu tỉ R(x) có dạng: nn10

mm10

xa...xaa

xb...xbb

)x(Q

)x(P)x(R

++++++

==

Với ai, bi ∈ R và an, bm ≠ 0.

Nếu m < n thì R(x) gọi là phân thức thực sự

Nếu m > n thì R(x) gọi là phân thức không thực sự. Để đưa phân thức không thực sự về dạng tổng một đa thức và phân thức thực sự ta chia tử số cho mẫu số.

Do đó ta chỉ tìm cách tính tích phân các phân thức thực sự:

(I) ∫ −dx

ax

A (II) dx

)ax(

Ak∫ −

(III) ∫ +++

dxqpxx

NMx2 (IV) ∫ ++

+dx

)qpxx(

NMxm2

Trong đó: A, M, N, a, p, q ∈ R.

k, m ∈ Z+; ta giả thiết 04

pq

2

>−

(I) ∫ −dx

ax

A = ∫ −

dxax

1A = A ln | x-a | +C

(II) dx)ax(

Ak∫ −

= C)ax(k1

1Adx

)ax(

1A k1

k+−

−=

−−

∫

= C)ax(

1

1k

AC)ax(

1k

A1k

k1 +−−

−=+−−

−−

−

(III) ∫ +++

dxqpxx

NMx2 = C

pq4

px2arctg

pq4

MpN2)qpxxln(

2

M22

2 +−

+

−

−+++

(IV) ∫ +++

dx)qpxx(

NMxm2 = m1m22

I)2

MpN(

)at(

1.

)1m(2

M −++−

− −

* Tích phân các biểu thức lượng giác

a) ∫= dx)xcos,x(sinRI

Trong đó R(sinx,cosx) là một biểu thức hữu tỉ.

Đổi biến:

Đặt π<<π−= x,2

xtgt

sin x = 2t1

t2

+; 2

2

t1

t1xcos

+−= ; dx =

2t1

dt2

+


32

Đưa tích phân về dạng: 22

2

2 t1

dt2)

t1

t1,

t1

t2(RI

++−

+= ∫

Ví dụ 3.6:

Tính: I = dxaxcosa21

a1

2

12

2

∫ +−−

( 0 < a < 1; π<<π− x )

Thực hiện phép đổi biến: t = tg2

x

Ta có: I = )

at1

t1a21

1(

t1

dt2)a1(

2

1

22

222∫

++−−+

−

∫ ++−−=

2222

)a1(t)a1(

dt)a1(I

2

2

2

a1

)a1(t1()a1(

)a1

)a1(t(d

a1

a1

)a1(

−++−

−+

+−

−=

I = arctg Cta1

a1 +

−+ ; I = arctg C

2

xtg

a1

a1 +

−+

Đặc biệt:

• Nếu R(sinx,cosx) = R(-sinx,-cosx) thì đặt t = tgx

• Nếu R(sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt:

t = sinx ⇒ dx = 2t1

dt

−

• Nếu R(- sinx , cosx) = - R(sinx,cosx ) thì đặt:

cosx = t ⇒ dx = 2t1

dt

−−

b) ∫= x(cosI n .sinmx)dx

+ Nếu m lẻ thì đặt: cosx = t; sinxdx = - d(cosx);

⇒ I = ∫−

− dt)t1(t 2

1m2n

+ Nếu n lẻ thì đặt: sinx=t

Ví dụ 3.7:

Tính I = ∫ xcos5 sin2x dx

Đặt sinx = t ⇒ dt = cosxdx.


33

I = ∫ xcos4 sin2xcosxdx = ∫ xcos4 sin2xd(sinx)

= 22)t1(∫ − .t2dt = ∫6t( - 2t4 + t2)dt =

3

tt

5

2

7

t 35

7

+−

+ Nếu m, n đều chẵn (m, n > 0) thì ta dùng các công thức hạ bậc.

+ Nếu m, n chẵn (m < 0 hay n < 0) thì đặt t = tgx.

c) ∫ βα= xdxcos.xsinI

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, tùy từng bài toán cụ thể để tính tích phân.

* Tích phân các hàm vô tỉ

a) dx)x,...,x,x,x(RI s

r

a

p

n

m

∫=

Đặt t = k

1

x trong đó k = [m, q,...,s] (Bội số chung nhỏ nhất)

x = dtktdxt 1kk −=⇒

b) ( ) ( ) ( ) dxbax,...,bax,baxRI s

r

n

m

q

p

∫

+++= ; k = [ q, n, ..., s]

Đặt: ( ) dta

t.kdxtbaxtbax

1kk

k

1 −

==+⇒=+

c) I = dx)cbxax,x(R 2 ++

Cách1: Đặt: u = x + dxdua2

b =⇒ .

Trường hợp: .duu22

∫ −α Đặt u = α sint

.duu22

∫ +α Đặt u = α tgt, t ∈ (2

,2

ππ− )

.duu 22

∫ α− Đặt u = tcos

α

Ví dụ 3.8:

Tính du1udx1)1x(dx2x2xI 222

∫∫∫ +=++=++=

Giải: Đặt u = tg x ⇒ du =

ππ−∈2

,2

t,dttcos

1

I = dttcos

1ttg1

22

∫ + = ∫∫ =tcos

tdtcosdt

tcos

143


34

= ( )

( )∫ −.

tsin1

tsind22

Đặt sint = y

⇒ I = ( )∫ −22y1

dy =

( )( )[ ]∫ +− 2y1y1

dy

Ta có:

( )( ) 2

1

1 1y y − + =

y1

D

y1

C

)y1(

B

)y1(

A22 +

+−

++

+−

nên suy ra: A(1+y)2 + B(1-y)2 + C(1-y)(1+y)2 + D(1+y)(1-y)2 = 1

Cho: y = -1 ⇒ B = 4

1

y = 1 ⇒ A = 1

4

y = 0 ⇒ A + B + C + D =1

y = 2 ⇒ 9A + B - 9C + 3D = 1

9 1D3C94

1

4

1 =+−+

3D - 9C = 1 - 2

5

3D - 9C = -2

3;

Do D = C ⇒ D = C =4

1

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫

++

−+

++

−=

−dy

y1

1dy

y1

1dy

y1

1

4

1dy

y1

1

4

1

)y1(

dy2222

= Cy1lny1lny1

1

y1

1 +−−++−

++

−

Cách 2: Dùng phép thế Ơle

Khi c > 0 đặt xtccbxax2 +=++

Khi a > 0 đặt taxcbxax2 +=++

Khi A là một nghiệm của tam thức ax2 + bx + c = 0, đặt

)Ax(tcbxax2 −=++


35

3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a,b]. Chia [a,b] thành những khoảng nhỏ.

a ≡ xo < x1< x2< ...< xi-1< xi < xi+1<...< xn ≡ b.

Trong mỗi khoảng nhỏ [xi-1,xi] lấy một điểm ξ tuỳ ý:

ii1i xx ≤ξ≤− (i = 1, 2,...,n)

Và lập tổng: i

n

ii xf ∆∑=

=)(

1ξσ

Với )n,1i(xxx 1iii =−=∆ −

Tổng σ định nghĩa như trên là một số xác định, số đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc ξi, chọn tuỳ ý trong [ xi-1, xi] và cách chia khoảng.

Nếu khi n → ∞ sao cho: ),1(;0,max1

nixvôùi iiini

=∆=→=≤≤

λλλλ với

)n,1i(x ii =∆=λ

σ có giới hạn hữu hạn I, và giới hạn I này không phụ thuộc vào cách chọn điểm ξi cũng không phụ thuộc cách chia khoảng: =σ

∞→→λ

)n(0

lim I

I gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) lấy trên khoảng đóng [a,b] và kí hiệu là:

I = dxxfb

a∫ )(

Ta nói rằng hàm số f(x) khả tích trên [ a,b].

+) [a,b] là khoảng lấy tích phân

+) x là biến số lấy tích phân

+) f(x) là hàm số lấy tích phân

+) f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân

Diện tích S của hình thang cong AB ba là:

S = dx)x(fb

a∫

* Nếu b < a: dxxfb

a∫ )( = - dx)x(f

a

b∫

* Nếu a = b: dxxfb

a∫ )( = dxxf

a

a∫ )( = 0

y

B

A


36

dxxfb

a∫ )( = dttf

b

a∫ )(

* Điều kiện khả tích

Định lí 1: Nếu f(x) liên tục trong [a,b ] thì f(x) khả tích trên [a,b].

Định lí 2: Nếu f(x) bị chặn trong [a,b] và có một số hữu hạn. điểm gián đoạn trong [a,b] thì f(x) khả tích trên [a,b].

Định lí 3: Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a,b] thì khả tích trong [a,b].

3.2.2. Các tính chất của tích phân xác định

Tính chất 1:

i) dx)x(Cfb

a∫ = C dx)x(f

b

a∫

dxCb

a∫ = C dx1

b

a∫ = C (b-a)

ii) [ ]dx)x(g)x(fb

a∫ ± = dx)x(f

b

a∫ ± dx)x(g

b

a∫

Tính chất 2: Giả sử c ∈ [a,b]

dx)x(fb

a∫ = dx)x(f

c

a∫ + dxxf

b

c∫ )(

Tính chất 3: a < b

Nếu f(x) > 0; x ∈ [ a,b] ⇒ 0dx)x(fb

a

≥∫

Nếu f(x) ≤ g(x); x ∈ [a,b] ⇒ dx)x(fb

a∫ ≤ dx)x(g

b

a∫

Nếu f(x) khả tích trên [a,b] ⇒ | f(x) | khả tích trên [a,b] và

dxxfdxxfb

a

b

a∫≤∫ )()(

Nếu m M)x(f ≤≤ ; x ∈ [ a,b ]

m( b - a ) dx)x(fb

a∫≤ ≤ M (b-a).

Tính chất 4:

Định lí trung bình thứ nhất:


37

Giả sử f(x) khả tích trên [ a,b ]; ( a < b ) và m M)x(f ≤≤ với x ∈ [a,b] khi đó tồn tại µ sao cho:

;)()( abdxxfb

a

−=∫ µ Mm ≤µ≤ .

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a,b]; ∃ c ∈ [ a, b ] thì:

)ab)(c(fdx)x(fb

a

−=∫

Định lí trung bình thứ hai:

Giả sử f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a,b];

M)x(fm ≤≤ ,g(x) không đổi dấu trong [a,b]; g(x) 0≥ (g(x) 0≤ ).

Khi đó:

)Mm(;dx)x(gdx)x(g).x(fb

a

b

a

≤µ≤µ= ∫∫

Đặc biệt nếu f(x) liên tục trong [a,b] ta có:

)(;)()()(.)( bcadxxgcfdxxgxfb

a

b

a

≤≤∫=∫ dx)x(gb

a∫

* Công thức Newton- Leibnitz:

Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng [a,b] và nếu F(x) là một nguyên hàm của

f(x) thì: )a(F)b(Fdx)x(fb

a

−=∫

Công thức này được viết dưới dạng:b

a

b

a

)x(Fdx)x(f =∫

Ví dụ 3.9:

Tính I ;dxxx)(1

0∫ α−=α α là tham số

Do đó I( )α phụ thuộc vào 0<α hoặc 10 ≤α≤ hoặc 1>α

+ Với α><α x;0 : 23

1dx)x(x)(I

1

0

α−=α−=α ∫

+ Với 10 ≤α≤ : ∫ ∫α

α

α−+α−=α0

1

dxxxdxxx)(I

I33

1dx)x(xdx)x(x)(

3

0

1 α+α−=α−+−α=α ∫ ∫α

α


38

+ Với α<>α x,1 :

3

1

2dx)x(xdxxx)(I

1

0

1

0

−α=α+−=α−=α ∫∫

3.2.3. Các phép tính tích phân xác định

* Đổi biến x = ϕϕϕϕ (t)

Xét tích phân ,)( dxxfb

a∫ với f liên tục trong [a,b]. Giả sử thực hiện phép đổi biến

x = ϕ (t):

ϕ (t) có đạo hàm liên tục trong [ ].,βα

( ) ;aϕ α = ( ) .bϕ β =

Khi t biến thiên trong [ ]βα, thì x biến thiên trong [A , B] ⊃ [a,b] và f(x) liên tục trên [A, B].

Khi đó:

[ ] dt)t(')t(dx)x(fb

a

ϕϕ= ∫∫β

α

Ví dụ 3.10:

Tính: I = ∫ −2

0

2dxx4

Đặt x = 2sint ⇒ tcos2x4 2 =− 2

t2

(π≤≤π− )

2sint = 0 ⇒ t = 0

2sint = 2 ⇒ t = 2π

dx = 2costdt

⇒ I = ∫

π2

0

tdtcos2.tcos2 = dt2

t2cos14tdtcos4

2

0

2

0

2∫∫

ππ

+=

( ) π=+=+=ππ

∫2

0

2

0

)2

t2sint(2dtt2cos12I

* Đổi biến t = ϕϕϕϕ (x)

Xét tích phân dx)x(fb

a∫ với f(x) liên tục trong [a,b].

Nếu phép đổi biến t = ϕ(x) thỏa:

ϕ(x) biến thiên đơn điệu trên [a,b] và có đạo hàm liên tục.


39

f(x) dx trở thành g(t)dt trong đó g(t) là một hàm số liên tục trong khoảng đóng [ϕ(a),ϕ(b)] thì:

dx)x(f

b

a∫ = dx)t(g

)b(

)a(∫

ϕ

ϕ

Ví dụ 3.11:

Tính: dxxsin1

xcosI

2

02∫

π

+=

Đổi biến sin x = t; dt = cosxdx ⇒ dx = xcos

dt

Khi x = 0 ⇒ t = 0; x = 2

π ⇒ t = 1

Nên: dtt1

1I

1

02∫ +

= = 1

0arctgt =

4

π

* Phép tích phân từng phần

Giả sử u(x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trong [a,b] khi đó:

d(uv) = vdu + udv

Lấy tích phân đẳng thức này trên [a,b]

∫ ∫ ∫+=b

a

b

a

b

a

udvvdu)v,u(d

Do: ∫ =b

a

b

auv)uv(d ⇒ ∫

b

a

udv = ∫−b

a

b

avduuv

Công thức: ∫b

a

udv = ∫−b

a

b

avduuv

là công thức tính tích phân từng phần.

Ví dụ 3.12:

Tính ∫

π

π

=3

4

2 xsin

xdxI

Đặt u = x ⇒ du = dx

dv = dxxsin

12

⇒ v = -cotgx


40

Vậy: I = 3

4

gxcotxπ

π− + dxgxcot3

4

∫

π

π

I = 3

4

gxcotxπ

π− + 3

4

)xln(sinπ

π

I = ( )2

3ln

9

3

42

2ln

2

3ln

43

3

1+π−π=−+π+π−

−

3.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

3.3.1. Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn (Tích phân suy rộng loại I)

Giả sử hàm số f(x) xác định ∀ x ≥ a và khả tích trong bất kì khoảng hữu hạn [a,b]

khi đó nếu:

Idx)x(flimb

ab

=∫+∞→(hữu hạn)

Thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trong khoảng [ ]+∞,a và kí hiệu là:

I = ∫+∞

a

dx)x(f .

I = ∫+∞→

b

ab

dx)x(flim = ∫+∞

a

dx)x(f

I tồn tại hữu hạn ta nói tích phân ∫+∞

a

dx)x(f hội tụ không tồn tại giới hạn hữu hạn

ta nói ∫+∞

a

dx)x(f phân kỳ.

Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trong khoảng [ ]a,∞− :

I = ∫∞−

a

dx)x(f = ∫−∞→

a

bbdxxf )(lim .

Tích phân của hàm số f(x) từ -∞ đến +∞:

I = ∫+∞

∞−

dx)x(f = ∫+∞→−∞→

b

aba

dx)x(flim = ∫−∞→

0x

aa

dx)x(flim + ∫+∞→

b

xb

0

dx)x(flim

Muốn tính tích phân suy rộng người ta dùng công thức Newton - Leibnitz sau đó cho cận tích phân dần tới vô cùng.


41

∫∫ +∞→

+∞

=b

ab

a

dx)x(flimdx)x(f

Mà: ∫b

a

dx)x(f = F (b) - F(a)

Nếu tích phân∫+∞

a

dx)x(f hội tụ ta có )b(Flimb +∞→

là hữu hạn và ta viết

)(F:)b(Flimb

+∞=+∞→

∫

+∞

a

dxxf )( = +∞→b

lim F(b) - F(a) = F (+∞ ) - F (a) = +∞

a)x(F

Ví dụ 3.13:

Tính: I = ∫ +

+∞

021 x

dx⇒ I = arctg(+∞ ) - arctg (0) =

2

π

Ví dụ 3.14:

Tính: I = ∫+∞

αa x

dx (a > 0 )

+ Với 1≠α ta có:

+ Với α = 1 ta có: ∞== ∞++∞

∫ xlnx

dxa

a

.

Vậy I hội tụ khi α >1 và I phân kì khi .1≤α

Lưu ý: ∫+∞

a

xdxsin và ∫+∞

a

xdxcos không hội tụ vì sinx và cosx không xác định khi

x→ + .∞

3.3.2. Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II)

Giả sử hàm số f(x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng bất kì [a, b -ε ] với 0 <ε < b - a nhưng không khả tích trong bất kì khoảng đóng dạng [b - ε , b] và f(b) không bị chặn dưới, b được gọi là một điểm bất thường của hàm số f(x).

Khi đó nếu: Idx)x(flimb

a0

=∫ε−

→ε

1 1

11

1 11

aa

dxx a

xα α

α

α

α αα

+∞ +∞− −

+∞ <= = − > −

∫


42

và viết: =∫b

a

dx)x(f .dx)x(flimb

a0 ∫

ε−

→ε

Nếu tồn tại giới hạn I thì nói tích phân suy rộng ∫b

a

dx)x(f hội tụ nếu ngược lại

thì phân kì.

3.3.3. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của tích phân:

Định lí: Cho f, g là hai hàm số khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] (a )b≤ và 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x a≥

Khi đó:

i) Nếu ∫+∞

a

dx)x(g hội tụ thì ∫+∞

a

dx)x(f hội tụ.

ii) Nếu ∫+∞

a

dx)x(f phân kì thì ∫+∞

a

dxxg )( phân kì.

iii) Nếu ;)(

)(lim k

xg

xfx

=+∞→

0 < k < +∞ thì các tích phân suy rộng ∫+∞

a

dx)x(f

và ∫+∞

a

dxxg )( cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì.

Hệ quả:

+ Nếu 0)(

)(lim =

+∞→ xg

xfx

và ∫+∞

a

dx)x(g hội tụ thì ∫+∞

a

dx)x(f hội tụ.

+ Nếu +∞=∞→ )(

)(lim

xg

xfx

và ∫+∞

a

dx)x(g phân kì thì ∫+∞

a

dx)x(f phân kì.

BÀI TẬP

1. Tính các tích phân

1/ dx)x5(x 42 −∫ 2/ ∫

++ dx

x

y

x

y

x

y3

3

2

2

3/ ∫+

dxx

1x

4/ ∫

− dxxxx

11

2 5/ ∫

−+ −dx

10

52x

1x1x

6/ ∫ ++

dxe

ex

x

1

13

7/ ∫− 2

5)2x5(

dx 8/ ∫ − 2x32

dx 9/ ∫

− 23 2x

dx

2. Tính các tích phân


43

1/∫arctgxdx 2/∫ −+

dx1xsin

xcos1 3/ ∫

xtg

dx3

4/ dx1ex − 5/ ∫ xdxcosxsin 46 6/∫ +−+

dx6x5x

2x2

7/ ∫ ++ 2xx

xdx2

8/ ∫ −+− dx2x3xx 2

9/ ∫ xdxcosxsin 32 10/ ∫ ++ 22 )5x2x(

dx

3. Tính các tích phân:

1/ ∫e

e1

dxxln 2/ ∫ −1

0

249 dxx

3/ dxe)5x2x(1

0

2x2

∫−+− 4/ ∫

− ++

21

21

2 5x4x4

dx

5/ ∫ +

1

032)x1(

dx 6/ ∫

π4

0

4xdxtg 7/ ∫2

0

coscos

π

nxdxxn

8/ ∫2

0

)( dxxf nếu

≤≤−≤≤

=212

10)(

2

xkhix

xkhixxf

4. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi

1. Đường cong y = x2 và đường thẳng x = 0 và y = 4

2. Đường parabol y = x2+ 4 và đường thẳng x - y + 4 = 0

5. Tìm thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1. y2+ x - 4 = 0 khi quay quanh trục Oy.

2. xy = 4 , y = 0, x = 1 và x = 4 khi quay quanh Ox.

3. y = x2, y = 4 khi quay quanh đường thẳng x = -2.

6. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau:

1/ ∫∞−

0xdxxe 2/ ∫

+∞

0

xdxcos 3/ ∫+∞

∞− + 22 )1x(

dx

4/ ∫ −

2

02)1x(

dx

5/ ∫ −

1

0 )x1(x

dx 6/ ∫

1

0

2 xlnx


44

CHƯƠNG.4. LÝ THUY ẾT CHUỖI

4.1. CHUỖI SỐ

4.1.1. Các khái niệm cơ bản

* Định nghĩa:

Giả sử (xn)n là một dãy số. Ta lập một dãy mới, kí hiệu (sn)n được xác đinh bởi:

s1 = x1 s2 = x1 + x2 … … …

sn = x1 + x2 + … + xn = 1

n

ii

x=∑

Khi ấy, dãy số (sn)n được gọi là một chuỗi số và cũng được kí hiệu là 1

ii

x∞

=∑ hay

x1 + x2 + … + xn + … Ta gọi sn là tổng riêng thứ n của chuỗi, xn là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi.

Chuỗi số 1

ii

x∞

=∑ được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng (sn)n hội tụ. Lúc ấy đặt s =

lim nns

→∞ và gọi s là tổng của chuỗi. Ta viết: s =

1i

i

x∞

=∑ .

Như vậy, với cùng một kí hiệu 1

ii

x∞

=∑ , ta vừa dùng để chỉ một chuỗi, vừa chỉ tổng

của nó nếu chuỗi này hội tụ. Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kì.

Trong trường hợp chuỗi hội tụ, ta có phần dư thứ n. Kí hiệu: rn = xn+1 + xn+2 + …

Theo định nghĩa ta có lim nnr

→∞ = 0.

* Điều kiện cần để chuỗi hội tụ:

Định lý: Nếu 1

nn

x∞

=∑ hội tụ thì lim nn

x→∞

= 0.

Chú ý: Định lý trên chỉ là điều kiện cần, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ 4.1:

Cho chuỗi số 1

1

( 1)n n n

∞

= +∑ .

Ta có: 1 1 1

( 1) 1n n n n= −

+ +, n N∈ . Do đó,


45

1 1 1...

1.2 2.3 ( 1)

1 1 1 1 1 1 = 1 ... 1

2 2 3 1 1

nsn n

n n n

= + + ++

− + − + + − = − + +

Vậy 1

lim lim 1 11nn n

sn→∞ →∞

= − = + nên chuỗi đã cho là hội tụ và tổng

1

11

( 1)n n n

∞

==

+∑ .

Lưu ý: 1

1

n n

∞

=∑ là chuỗi điều hòa phân kì.

Hệ quả: Nếu lim 0nnx

→∞≠ thì

1n

n

x∞

=∑ phân kì.

* Tính chất:

Tính chất 1: Nếu chuỗi 1

nn

x∞

=∑ hội tụ về s thì

1

. nn

c x∞

=∑ sẽ hội tụ về c.s (với c là

hằng số).

Tính chất 2: Nếu chuỗi 1

nn

x∞

=∑ hội tụ về s và chuỗi

1n

n

y∞

=∑ hội tụ về v thì

( )1

n nn

x y∞

=±∑ hội tụ về ( )s v± .

Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của một chuỗi không thay đổi nếu ta thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của nó.

4.1.2. Chuỗi số dương

* Định nghĩa:

Chuỗi số dương là chuỗi số mà tất cả các số hạng của nó đều dương.

Nếu xn ≤ 0 với mọi n∈N thì bằng cách nhân với (-1) ta đưa được về theo chuỗi số dương tương ứng.

Tổng riêng: sn = x1 + x2 + … + xn có dãy tổng riêng {sn} đơn điệu tăng.

Định lý: Nếu {sn} bị chặn trên thì chuỗi 1

nn

x∞

=∑ hội tụ.

Ví dụ 4.2: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2

1

1

n n

∞

=∑ .

Ta có, với mọi n∈N


46

2 2 2

1 1 11 ...

2 31 1 1

1 ...1.2 2.3 ( 1)

1 1 1 1 1 1 1 ...

2 2 3 11

2 2

nsn

n n

n n

n

= + + + +

≤ + + + +−

≤ + − + − + + −−

≤ − ≤

Vậy chuỗi số đã cho bị chặn trên bởi 2 nên hội tụ.

* Các tiêu chuẩn hội tụ

Tiêu chuẩn so sánh 1

Định lý: Cho 2 chuỗi số dương và . Giả sử

Nếu hội tụ thì hội tụ.

Nếu phân kì thì phân kì.

Ví dụ 4.3:

Xét sự hội tụ của chuỗi số dương 2

31 1

1n

n n

nx

n

∞ ∞

= =

+=∑ ∑ .

Ta có ( )2 2

3 3

1 11n n

n nx y n

nn n

+= > = = ∀ ≥

Mà 1

nn

y∞

=∑ phân kì nên

1n

n

x∞

=∑ phân kì.

Tiêu chuẩn so sánh 2

Định lý: Cho 2 chuỗi số dương 1

nn

x∞

=∑ và

1n

n

y∞

=∑ .

Giả sử ( )lim 0n

n n

xk k

y→∞= < <+∞ .

Khi đó, cả 2 chuỗi 1

nn

x∞

=∑ và

1n

n

y∞

=∑ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Lưu ý: 1

1

n nα

∞

=∑ là chuỗi hội tụ nếu α > 1, phân kì nếu 0 < α ≤ 1.

1n

n

x∞

=∑

1n

n

y∞

=∑ ( )0n nx y n n≤ ∀ ≥

1n

n

y∞

=∑

1n

n

x∞

=∑

1n

n

x∞

=∑

1n

n

y∞

=∑


47

Ví dụ 4.4:

Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương sau

( ) ( )2 2

1 1

1

2 1 2 1n

n n

xn n

∞ ∞

= ==

− +∑ ∑

Ta chọn 4

1 1

1n

n n

yn

∞ ∞

= ==∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

2 2 4

2 2

4

1

2 1 2 1 1lim lim lim

1 162 1 2 1n

n n nn

n nx n

y n nn

→∞ →∞ →∞

− += = =

− +

Vì 4

1

1

n n

∞

=∑ hội tụ nên

( ) ( )2 21

1

2 1 2 1n n n

∞

= − +∑ hội tụ.

Tiêu chuẩn Dalembert

Định lý: Cho chuỗi số dương 1

nn

x∞

=∑ . Đặt 1lim n

n n

xD

x+

→∞= .

* Nếu 0 1D≤ < thì chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ hội tụ.

* Nếu D > 1 thì chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ phân kì.

* Nếu D = 1 thì không kết luận hội tụ, phân kì của chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ .

Ví dụ 4.5:

Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương sau 1

2

!

n

n n

∞

=∑ .

Đặt ( )

( )

1

12

1 ! 2 . ! 2lim lim lim 0 1

12 2 . 1 !!

n

n

n nn n n

n nD

nn

n

+

+

→∞ →∞ →∞

+= = = = <

++

Vậy 1

2

!

n

n n

∞

=∑ hội tụ.


48

Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý: Cho chuỗi số dương 1

nn

x∞

=∑ . Giả sử lim n

nn

C x→∞

= .

* Nếu 0 1C≤ < thì chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ hội tụ.

* Nếu C > 1 thì chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ phân kì.

* Nếu C = 1 thì không kết luận hội tụ, phân kì của chuỗi số 1

nn

x∞

=∑ .

Ví dụ 4.6:

Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương 1

2 1

3 2

n

n

n

n

∞

=

+ +∑ .

Ta có 2 1 2 1 2

lim lim lim 13 2 3 2 3

nn n

nn n n

n nC x

n n→∞ →∞ →∞

+ += = = = < + +.

Vậy chuỗi số 1

2 1

3 2

n

n

n

n

∞

=

+ +∑ hội tụ.

Tiêu chuẩn tích phân

Định lý: Giả sử hàm f(x) liên tục, đơn điệu giảm, dương với mọi x [ )1;∈ +∞ .

Chuỗi 1

nn

x∞

=∑ có xn = f(n) với mọi n = 1, 2, … Khi đó,

1n

n

x∞

=∑ và tích phân suy rộng

1

( )f x dx+∞

∫ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.

Ví dụ 4.7:

Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi 1

1

n n

∞

=∑ .

Cho hàm [ )1( ) 1;f x x

x= ∀ ∈ +∞ .

f(x) liên tục, đơn điệu giảm, dương [ )1;x∀ ∈ +∞ .

11 1

1 1lim lim (ln x) lim (ln ln1)

bb

b b bdx dx b

x x

+∞

→+∞ →+∞ →+∞= = = − = +∞∫ ∫


49

Do đó, chuỗi 1

1

n n

∞

=∑ phân kì.

4.1.3. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì

* Chuỗi đan dấu

Định nghĩa: Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng:

x1 – x2 + x3 - … + (- 1)n+1xn + … = 1

1

( 1)n nn

x∞

+

=−∑

hoặc - x1 + x2 - x3 + … + (- 1)nxn + … = 1

( 1)n nn

x∞

=−∑

Trong đó x1, x2 … > 0.

Tiêu chuẩn Leibniz:

Cho chuỗi đan dấu 1

( 1)n nn

x∞

=−∑ . Giả sử (xn)n là một dãy giảm và lim 0n

nx

→∞= .

Khi ấy chuỗi 1

( 1)n nn

x∞

=−∑ hội tụ và có tổng không vượt quá số hạng đầu x1.

Ví dụ 4.8:

Xét chuỗi 1

1

1 1 1( 1) 1 ...

2 3n

n n

∞−

=− = − + −∑

Có x1 = 1 > x2 = 1

2 > … > xn =

1

n > …

1lim lim 0nn n

xn→∞ →∞

= = nên chuỗi đã cho hội tụ.

* Chuỗi bất kì:

Định nghĩa: là chuỗi mà các số hạng của nó có dấu tùy ý.

Định lý: Nếu chuỗi 1

nn

x∞

=∑ hội tụ thì

1n

n

x∞

=∑ cũng hội tụ và được gọi là hội tụ

tuyệt đối.

Chú ý: Điều ngược lại của định lý trên không đúng. Nghĩa là có những chuỗi

mà 1

nn

x∞

=∑ phân kì, còn

1n

n

x∞

=∑ hội tụ. Và khi đó gọi là chuỗi bán hội tụ.

Ví dụ 4.9:


50

Chuỗi 1

1

1( 1)n

n n

∞+

=−∑ hội tụ, chuỗi 1

1 1

1 1( 1)n

n nn n

∞ ∞+

= =− =∑ ∑ phân kì nên chuỗi

1

1

n n

∞

=∑

bán hội tụ.

4.2. DÃY HÀM VÀ CHU ỖI HÀM

4.2.1. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa dãy hàm:

Giả sử X R⊂ . Kí hiệu ( )Xℑ là tập hợp tất cả các hàm số thực xác định trên X. Ánh xạ:

: ( )

( ) ( )n

x N X

n x n x X

→ ℑ= ∈ ℑ֏

được gọi là một dãy hàm xác định trên X.

Định nghĩa chuỗi hàm:

Giả sử (φn(t))n là một dãy hàm xác định trên X⊂ R. Lập dãy hàm mới kí hiệu (sn(t))n xác định bởi:

s1(t) = x1(t)

s2(t) = x1(t) + x2(t)

… … …

sn(t) = x1(t) + x2(t) + … + xn(t) = ( )1

n

ii

x t=∑

Khi ấy, dãy hàm (sn(t))n được gọi là chuỗi hàm, hạng tử tổng quát là xn(t) và

tổng riêng thứ n là sn(t). Ta cũng kí hiệu chuỗi hàm là ( )1

nn

x t∞

=∑ .

Hàm (fn(x))n hội tụ đều về hàm f(x) trên X0 được kí hiệu: 4.2.2. Hội tụ đều

Định nghĩa: Cho dãy hàm (fn(x))n xác định trên X⊂ R.

(fn(x))n hội tụ về f(x) trên X0⊂ X nếu: 0 : lim ( ) ( )nn

x X f x f x→∞

∀ ∈ = .

Dãy hàm (fn(x))n được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên X0⊂ X nếu:

0 0 00, , , : ( ) ( )nn n n x X f x f xε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ − < .

Điều kiện hội tụ đều:

Định lý (tiêu chuẩn Cauchy):


51

Cho (fn(x))n là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện cần và đủ để

0

( ) ( )

nf x f x

x

→�� là:

0 0 00, , , , : ( ) ( )n mn n m n x X f x f xε ε∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ∈ − <

Đối với chuỗi hàm, tiêu chuẩn Cauchy được phát biểu như sau:

Điều kiện cần và đủ để chuỗi hàm 1

( )nn

x t∞

=∑ hội tụ đều trên X0 là: Với mọi ϵ > 0,

tồn tại 0n N∈ sao cho 0 01

, , : ( )n p

mm n

n n p N x X x t ε+

= +∀ ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ <∑

Định lý (Dấu hiệu Weierstrass)

Cho chuỗi hàm 1

( )nn

x t∞

=∑ xác định trên X R⊂ . Giả sử tồn tại một dãy số

dương (an)n sao cho 0, ( ) , 1,2,...n nx X x t a n∀ ∈ ≤ = và 1

nn

a∞

=∑ hội tụ. Khi đó chuỗi hàm

1

( )nn

x t∞

=∑ hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên tập 0X X⊂ .

Ví dụ 4.10:

Xét sự hội tụ đều của dãy hàm sau sin

( ) ,nx

f x x Rn

= ∈

Ta có sin

, lim ( ) lim 0nn n

xx R f x

n→∞ →∞∀ ∈ = = .

Vậy ( ) 0n Rf x → .

Tiếp theo, với ϵ > 0 tùy ý ta chọn 01

1nε = +

, khi đó 0,n n x R∀ ≥ ∀ ∈

ta có 0

sin 1 10

x

n n nε− ≤ ≤ < .

Vậy sin

0R

x

n→ .

Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng


52

a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + … + an(x – x0)

n + … = ( )00

nn

n

a x x∞

=−∑

Nếu đặt X = (x – x0) thì chuỗi lũy thừa trở thành 0

nn

n

a X∞

=∑ .

Do vậy, ta chỉ xét chuỗi lũy thừa ở dạng 0

nn

n

a x∞

=∑ .

Định lý Abel:

Xét chuỗi lũy thừa 0

nn

n

a x∞

=∑ . Nếu nó hội tụ tại x = x0 ≠ 0 thì sẽ hội tụ tuyệt đối

tại mọi x thỏa mãn 0x x< .

Chú ý: Nếu x0 = 0: chuỗi hội tụ về 0.

Hệ quả: Nếu chuỗi lũy thừa 0

nn

n

a x∞

=∑ phân kì tại điểm x = x1 thì nó cũng phân

kì tại mọi x thỏa mãn 1x x> .

Miền hội tụ - bán kính hội tụ:

Từ định lý Abel và hệ quả của nó, ta thấy tồn tại số thực r > 0 để chuỗi lũy thừa hội tụ thì - r < x < r với mọi x, phân kì thì x r r x−∞ < < − ∨ < < +∞ với mọi x.

- Tại x r= ± chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kì.

- r được gọi là bán kính hội tụ.

- Khoảng - r < x < r gọi là miền hội tụ.

Quy tắc tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ.

Xét chuỗi lũy thừa 0 0

nn n

n n

a x u∞ ∞

= ==∑ ∑ .

Định lý: Giả sử 1lim n

n n

a

aδ +

→∞= hoặc lim n

nn

uδ→∞

= . Khi đó, bán kính hội tụ

được xét :

1 0

0

0

khi

r khi

khi

δδ

δδ

< < +∞

= = +∞∞ =


53

Tại x = ± r thì chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kì, khi đó ta xét trực tiếp.

Ví dụ 4.11:

Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của 1

1 n

n

xn

∞

=∑ .

Giả sử 1

11lim lim lim 1

1 1n

n n nn

a nna n

n

δ +→∞ →∞ →∞

+= = = =+

.

r = 1

δ = 1 nên 0 δ< < +∞

Do đó r = 1 là bán kính hội tụ.

* Khi x = -1: ( ) ( ) 1

1 0

1 11 1n n

n nn n

∞ ∞+

= =− = −∑ ∑ : là chuỗi đan dấu hội tụ.

* Khi x = 1: 0

1

n n

∞

=∑ : chuỗi phân kì.

Do đó, miền hội tụ của chuỗi trên là 1 1x− ≤ < .

Ví dụ 4.12:

Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của ( ) ( )1

1

51

.3

nn

nn

x

n

∞−

=

−−∑ .

Giả sử

( )( )

( ) ( )1

11

1

1 .3 1lim lim lim

3 1 31

.3

n

nn

nn n nn

n

na n

a n

n

δ+

+−→∞ →∞ →∞

−+ −= = = =

+−.

r = 1

δ = 3 nên 0 δ< < +∞

Do đó r = 3 là bán kính hội tụ.

* Khi x = -3: ( ) ( ) ( )1 2 1

1 1 1

1 1 13

.3

n nn

nn n nn nn

− −∞ ∞ ∞

= = =

− − −− = =∑ ∑ ∑ : chuỗi phân kì.

* Khi x = 3: ( ) ( ) ( )1 1

1 1

1 13

.3

n nn

nn n nn

− −∞ ∞

= =

− −=∑ ∑ : chuỗi đan dấu hội tụ.


54

Do đó, miền hội tụ của chuỗi trên là 3 3 3 5 3 2 8X x x− < ≤ ⇔ − < − ≤ ⇔ < ≤ .

BÀI TẬP

1. Khảo sát sự hội của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau:

22

n n2

2 n

n n2 n 3

n n2 2

n n2

n n2

2n 1a. u b. u n n n

n n 1n 1 2 n

c. u d. un 1 3 n 3

(n 1)(n 2)e. u f . u 1 c

n (n 3)

1 1g. u ln 1 tg h. u sin

n n 2n

n(n 2) 2 ci. u j. u ( 0)

n 3ln n

arctg

1os

n

osn

nα

+= = + −+ +

− += =+ + +

+ += = −+

π = + =

+ += = α >+

2. Tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau đây

2n 1 n 1

2 2 4 2n 1 n 1

2n 1 n 1

1 1a. b.

(2n 1)(2n 1) n n

2n 1 nc. d.

n (n 1) n n 1

1e. f . ln 1

n 1 n2

1acrtg

n

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

− + +++ + +

− + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau: 2

2n 1n 1 n 1

1 na. b.

(2n 1).2 n!

∞ ∞

−= =−∑ ∑

2n

2

n nn 1 n 1

11

n nc. d.

2 n 2

∞ ∞

= =

+

+∑ ∑

n n ln n2

2n 1 n 1

2n 1 n 1e. f .

3n 2 2n 1

∞ ∞

= =

− − + −

∑ ∑

n

2n 1n 1 n 1

1g. h.

(2n 1).2

∞ ∞

−= =

−

∑ ∑1

arctgn

n 2 n 1

1 1i. k.

n ln n n ln(n 1)

∞ ∞

= = +∑ ∑


55

4. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các chuỗi:

1

. 4

n

nn

xa

n

∞

=∑

1

!.

n

nn

n xb

n

∞

=∑

1

. n

nn

xc

n

∞

=∑

1

. 1 2

n

n

n xd

n

∞

=

+

∑

( )1

2.

n

n

xe

n n

∞

=

+∑ ( )

2

1

1. 1 1

nn

n

f xn

∞

=

+ −

∑


56

CHƯƠNG.5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

5.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP 1

5.1.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp 1 – Nghiệm của phương trình vi phân

* Định nghĩa

Một phương trình chứa hàm số phải tìm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân các cấp gọi là phương trình vi phân.

Phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số một biến số.

Ví dụ 5.1:

y' = y2 + x2 (1)

xdy - y2dx = 0 (2)

2

2

dx

yd = - a2y (3)

Là các phương trình vi phân thường.

Ví dụ 5.2:

y

uy

x

ux

∂∂+

∂∂

= u (4)

2

2

2

2

y

u

x

u

∂∂+

∂∂

= 0 (5)

Là các phương trình đạo hàm riêng.

* Cấp của phương trình vi phân

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân có mặt trong phương trình đó.

+ Phương trình (1) và (2) là phương trình vi phân cấp 1.

+ Phương trình (3) là phương trình vi phân cấp 2.

+ Phương trình (4) là phương trình đạo hàm riêng cấp 1.

+ Phương trình (5) là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.

* Phương trình vi phân cấp 1

Phương trình thường được cho dưới dạng:

+ Dạng tổng quát: F(x,y,y') = 0 (6)

+ Dạng đã giải theo đạo hàm: y ' = f(x,y) (7)

+ Dạng đối xứng: M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 (8)


57

* Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm của một phương trình vi phân là một hàm số khi thay hàm số đó cùng với đạo hàm hoặc vi phân của nó vào phương trình ta được một đồng nhất thức.

Chẳng hạn y = ϕ (x) là nghệm của phương trình (7) ⇔ ϕ'(x) = f(x,ϕ(x)).

Nhiều khi nghiệm của phương trình vi phân được viết dưới dạng ẩn:

Φ(x,y) = 0 (9)

Trong trường hợp này phương trình hữu hạn (9) được gọi là tích phân của phương trình vi phân.

Ví dụ 5.3:

y' = f(x) có nghiệm là y =∫ dx)x(f

Ví dụ 5.4:

y = Cex với C là hằng số bất kì, là nghiệm của phương trình y'= y do (Cex)' = Cex

* Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

Họ hàm số y = ϕ (x, C) mà khi gán cho hằng số C các giá trị bằng số khác nhau ta nhận được tất cả các nghiệm thông thường của một phương trình vi phân cấp một, được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình đó. Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho hằng số C một giá trị nhất định gọi là một nghiệm riêng của phương trình.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân viết dưới dạng ẩn:

Φ(x,y,C) = 0.

Gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó. Mỗi tích phân ứng với một giá trị xác định của C được gọi là tích phân riêng của phương trình.

Ví dụ 5.5:

y' = x2 có nghiệm tổng quát là: y = 3

1x3 + C;

Nghiệm y = 3

1x3 (C= 0) là một nghiệm riêng.

* Bài toán Cauchy

Xét phương trình vi phân cấp một dưới dạng:

y' = f(x,y) (10)

Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (10) thỏa mãn điều kiện

y = yo khi x = xo (11)


58

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (11) gọi là điều kiện ban đầu.

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm số f(x,y) xác định và liên tục trên miền:

D = {(x,y): xo -a ≤≤ x xo + a; yo - b ≤≤ y yo + b }

thì tồn tại ít nhất một nghiệm của phương trình (10) thỏa mãn điều kiện (11).

5.1.2. Phương trình vi phân dạng tách biến

Đó là phương trình có dạng:

f(x) dx = g(y)dy.

Lấy tích phân hai vế ta được:

∫ dx)x(f = ∫ dy)y(g hay F (x) = G (y) + C

Trong đó: F(x) là một nguyên hàm của f(x).

G(y) là một nguyên hàm của g(y).

Ví dụ 5.6:

Giải phương trình:

x 0dyx1ydxy1 22 =−+− Với x ≠ 1± ; y ≠ .1±

Chia hai vế cho 22 x1.y1 −− ta được:

0dyy1

ydx

x1

x22

=−

+−

Lấy tích phân hai vế:

Cdy

y1

ydx

x1

x22

=−

+− ∫∫

⇔ 22 y1x1 −+− = C là nghiệm tổng quát của phương trình.

Các nghiệm x = 1± , y = 1± cũng là nghiệm của phương trình.

5.1.3. Phương trình vi phân dạng đẳng cấp.

* Các phương trình đưa được về dạng phân li biến số

Phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân )y,x(fdx

dy = được gọi là phương trình thuần nhất nếu

f(x,y) = φy

x

Đặt z = x

y lấy t = ;

x

1 f(x,y) = f(tx,ty) = f(1,

x

y) = ϕ (

x

y).


59

⇒ Phương trình vi phân thuần nhất có dạng: y'= ϕ (x

y).

* Cách giải: Đổi biến y = xz

Xét phương trình: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, là phương trình thuần nhất nếu M(x,y) và N(x,y) là các hàm số thuần nhất cùng bậc. Viết lại phương trình dưới dạng.

=

dx

dy -

)y,x(N

)y,x(M

f(tx,ty) = - )y,x(f)y,x(N

)y,x(M

)y,x(Nt

)y,x(Mt

)ty,tx(N

)ty,tx(Mm

m

=−=−=

Ví dụ 5.7:


x

ytg

x

y

dx

dy +=

Đặt y = zx: dx

dzxz

dx

dy += thay vào ta có:

z + x tgzzdx

dz +=

⇔ x tgzdx

dz =

⇔ xdz = tgzdx.

Chia hai vế cho xtgz:

⇔ cotgzdz = x

1dx

⇔ ∫ gzdzcot = ∫ x

1dx

⇔ ln(sinz) = lnx +lnC

sinz = Cx

Vậy sinx

y = Cx. Với C là hằng số bất kỳ.

Phương trình dạng: =dx

dy f(ax+by) (a)

Đặt z = ax + by:

(a) ⇔ dx

dyba

dx

dz += .

Trong đó:


60

)z(f)byax(fdx

dy =+=

Ta được:

)z(bfadx

dz +=

Ví dụ 5.8:

Giải phương trình: .yx2dx

dy +=

Đặt z = 2x + y:

.dx

dy2

dx

dz +=

Trong đó zyx2dx

dy =+=

Suy ra z2dx

dz +=

dz = 2dx+ z dx.

Chia cả hai vế cho (2 + z):

∫ ∫=+

dxz2

dz ⇔ -lnC + ln(z+2) = x

lnC

2z+ = x

C ex = z

z = Cex - 2.

Thay z = 2x + y ta có nghiệm tổng quát: y = Cex - 2(x+1).

5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Có dạng: y' + p(x)y = q(x) (a)

Với p(x) ,q(x) là các hàm số cho trước.

Xét phương trình: y' + p(x)y = 0 (b)

Phương trình (b) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với phương trình (a).

Nghiệm của phương trình (b) là phương trình phân ly biến số.

∫ ∫−=⇒−=

=+

dx)x(py

dydx)x(p

y

dy

0dx)x(py

dy


61

ln|y| = -∫ dx)x(p + lnC

ln ∫ −= dx)x(pc

y

y = C ( )p x dx

e−∫ = ϕ (x,C). C là hằng số. (c)

* Phương trình (a) giải bằng phương pháp biến thiên hằng số:

Bước 1: Giải phương trình tuyến tính liên kết (b). Nghiệm TQ có dạng (c).

Bước 2: Tìm nghiệm của (a) dưới dạng (c) nhưng C không là hằng số.

Thay y = ϕ [x,C(x)] và y' = ϕ'x + ϕ'cdx

)x(dC vào phương trình (a) cho phép tìm

C(x) để y = ϕ [x,C(x)] là một nghiệm của (a).

Ví dụ 5.9:

Giải phương trình: 2xx

y

dx

dy =−

Giải: Ta có 0x

y

dx

dy =−

⇔ x dy -ydx = 0

x

dx

y

dy = ⇔ ln y = lnx + ln C

y = Cx

Xem C = C(x).x

y' = C(x) + x dx

))x(C(d

Thay vào phương trình ban đầu:

C(x) + x 2xx

x).x(C

dx

))x(C(d =− ⇒ xdx

)x(dC =

C(x) =∫ xdx = 2

2

x + C1.

Vậy nghiệm tổng quát là: y = (2

x 2

+ C1) x

5.1.5. Phương trình Becnuli

Phương trình Becnuli là phương trình dạng:

y' + p(x)y = ynq(x) (*)

Trong đó: n hằng số, n ∈ R, n ≠ 0, n ≠ 1.


62

Phương trình Becnuli (*) có thể đưa về dạng phương trình tuyến tính. Chia hai vế cho yn ta được:

y-ny' + p(x) y1-n = q(x) (**)

Đặt z = y1-n.

(**) ⇔ .dx

dyy)n1(

dx

dz n−−=

Thay vào phương trình (**):

dx

dzy

n1

1y nn

−− + p(x)z = q(x)

dx

dz

n−⇔

1

1 + p(x)z = q(x)

zxpndx

dz)()1( −+⇔ = q(x)

dx

dz⇔ + (1-n)p(x) z = (1-n) q(x).

Đây là phương trình tuyến tính với hàm số phải tìm là z.

Ví dụ 5.10:


2322 yxxydx

dy =− (5.1)

Chia hai vế cho y2 (y ≠ 0):

312 x2xy2dx

dyy =− −− (5.2)

Đặt z = y-1: dx

dyy

dx

dz 2−−= thay vào (5.2) ta có:

y-2(-y2)dx

dz - 2xz = 2x3

dx

dz + 2xz = - 2x3 (5.3)

Ta giải: dx

dz + 2xzdx = 0

⇔ z

dz +2xdx = 0

⇔ lnz - lnC = -2 2

x 2

⇔ lnz - lnC = - x2


63

z = 2xCe−

Nghiệm của phương trình (5.3) có dạng:

z= C(x)2xe−

dx

)x(dCee)x(xC2

dx

dz 22 xx −− +−=

Thế vào phương trình (5.3):

3xxx x2e)x(xC2dx

)x(dCee)x(xC2

222

−=++− −−−

2x3 e.x2

dx

)x(dC −=

C = -∫ dxex22x3 = - 1

2x2x C)x1(e)1x)(e(22

+−=−

Nghiệm tổng quát của phương trình (5.1) là:

y = 2x

1 x1eC

12

−+−

Với y = 0 cũng là nghiệm của phương trình (5.1)

5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP HAI

5.2.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp hai – Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai

Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng

F(x,y,y',y") = 0 (1)

Định lí về sự tồn tại nghiệm

Cho phương trình:

y" = f(x,y,y') (2)

Nếu f(x,y,y'), )'y.y,x(y

f

∂∂

và )'y,y,x('y

f

∂∂

liên tục trong một miền D nào đó trong

R3 và nếu (xo, yo, yo') là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = xo, tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (2) thỏa mãn các điều kiện:

0xxyy

0=

=

0xx'y'y

0=

=

Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai


64

Người ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình (2) là hàm số y = ϕ (x,C1,C2) trong đó C1, C2 là những hằng số tuỳ ý thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Nó thỏa mãn phương trình (2) ∀ C1, C2.

ii) ∀(xo , yo , yo') ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1=

022

01 CC,C = sao cho

hàm số y = ϕ (x, 02

01 C,C ) thỏa mãn:

0xxyy

0=

=; 0xx

'y'y0

==

Φ (x,y, C1,C2 ) gọi là tích phân tổng quát của (2)

ϕ (x , 02

01 C,C ) là một nghiệm riêng của phương trình (2)

Φ (x ,y, 02

01 C,C ) = 0 là tích phân riêng.

* Phương trình khuyết

Phương trình khuyết y, y':

* Dạng: F(x,y") = 0

* Cách giải:

+ Đặt y' = p; y" = p'

+ Ta được F(x,p') = 0. Nếu có nghiệm là: p = f(x,C1 ) thì

y = g(x,C1 )+ C2; g(x,C1) là một nguyên hàm của f(x,C1).

Ví dụ 5.11:

Giải phương trình: y" = cosxsinx - ex

Đặt y' = p ⇒ y" = p'

p' = cosx sinx - ex

dp

dx= cosx sinx - ex

p = (cosx sinx - ex )dx∫

= 1xx Ce)x2(cos

4

1dx)ex2sin

2

1( +−−=−∫

= 1x Cex2cos

4

1 +−−

y = ∫ +−− 1x Cex2cos

4

1( )dx

⇒ y = +−− xex2sin8

1C1x +C2

Phương trình khuyết y:


65

* Dạng: F(x,y',y") = 0

* Cách giải:

Đặt p = y'; p' = y" ⇒ Phương trình trở thành F(x,p,p') = 0.

Ví dụ 5.12:

Giải phương trình vi phân: y" = y' + x.

Đặt p = y' ⇒ y" = p'

Phương trình đã cho trở thành:

p' = p + x

⇔ p' - p = x

p = C1dx

e− −∫

+ dxe

− −∫ .dx

xe dx−∫∫

p = C1 .x x xe e xe dx−+ ∫

= C1 ( )x x x xe e xe e dx− −+ − + ∫

p = C1ex + ex (-xe-x - e-x ) = C1e

x – x – 1

y' = C1ex - x - 1

y = 1( 1)xC e x dx− −∫ = C1ex -

2

2

x - x + C2 là nghiệm của phương trình.

Phương trình khuyết x

* Dạng: F (y,y',y") = 0

Đặt y' = p; y" = p'.

Mà y''= .dy

dp.pp.

dy

dp

dx

dy.

dy

dp

dx

dp ===

⇒ Phương trình trở thành: F(y, p, pdy

dp) = 0

Ví dụ 5.13:

Giải phương trình: 2yy'' = y'2 + 1

Đặt y' = p ⇒ y'' = pdy

dp ta được: 2yp

dy

dp = p2+ 1

⇔ 2yp dp = (p2 + 1)dy.

Chia hai vế cho y(p2 + 1):

⇔ 1p

pdp22 +

= y

dy .

Tích phân hai vế:


66

⇔ ln|y| = ln(1+ p2) + ln|C1|

⇔ y = C1(1+ p2 ); p = dx

dy

⇒ dx = p

dy = dpC2

p

pdpC21

1 =

⇒ dp = dxC2

1

1

; p = 1C2

x + C2

Nghiệm tổng quát là:

y = C1[1 + 21

CC2

x( + )2 ] = C1+

1

221

C4

)CC2x( +

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến cấp hai có dạng:

y'' + a1(x) y' + a2(x) y = f(x) (3)

Trong đó a1(x), a2(x), f(x) là những hàm số liên tục.

+ Nếu f(x) = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.

+ Nếu f(x) ≠ 0 là phương trình tuyến tính không thuần nhất

* Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

y'' + a1(x).y' + a2(x).y = 0 (4)

Định lý 1: Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình (4) thì C1y1(x) + C2y2(x) trong đó C1, C2 là hai hằng số cũng là nghiệm của phương trình đó.

Định nghĩa 1: Hai hàm số y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên đoạn

[a,b] nếu tỉ số )x(y

)x(y

1

2 ≠ k (k hằng số ) trên đoạn đó.

Nếu k)x(y

)x(y

1

2 = thì hai hàm số đó gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa 2: Cho hai hàm số y1(x), y2(x).

Định thức '2

'1

21

yy

yy = y1y'2 - y2y'1 được gọi là định thức Wronsky của y1.y2 kí

hiệu là W(y1.y2).

Định lý 2: Nếu hai hàm số y1(x) và y2(x) phụ thuộc tuyến tính trên [a,b] thì W(y1.y2) = 0 trên đoạn đó.

Định lý 3: Nếu định thức W(y1,y2) của hai nghiệm y1, y2 của phương trình tuyến tính thuần nhất (4) khác 0 tại một giá trị

x = xo nào đó của đoạn [a,b] trên đó các hệ số a1(x), a2(x) liên tục thì nó khác 0 với mọi x trên đoạn đó.


67

Định lý 4: Nếu các nghiệm y1, y2 của phương trình (4) là độc lập tuyến tính trên đoạn [a,b] thì định thức Wronsky W(y1,y2) khác 0 tại mọi điểm của đoạn ấy.

Định lý 5: Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (4) thì nghiệm tổng quát của (4) là:

y = C1y1(x) + C2y2(x)

Trong đó C1 , C2 là những hằng số tuỳ ý.

Định lý 6: Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) ≠ 0 của phương trình tuyến tính thuần nhất (4), ta có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó độc lập tuyến tính với y1(x) có dạng:

y2(x) = y1(x).u(x).

Ví dụ 5.14:

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

(1 - x2 )y" +2xy' -2y = 0.

* Đoán nghiệm:

Ta thấy y1 = x là một nghiệm của phương trình. Nghiệm y2 có dạng x.u(x). Thế vào phương trình đã cho ta được:

y2' = u(x) + x u'(x)

y2" = u'(x) +u'(x) +xu"(x)

(1-x2) (u'(x) + u'(x) + xu"(x)) + 2x(u(x) + xu'(x))-2xu(x) = 0

(1-x2)(2u'(x) +xu"(x)) +2xu(x) +2x2u'(x) -2xu(x) = 0

(1-x2)xu"(x) + 2u'(x) = 0.

Đặt u'(x) = v; u"(x) = v'

⇒ (1-x2)xv' + 2v = 0.

⇔ (1-x2 )x dx

dv + 2v = 0

⇔ (1-x2) xdv = -2vdx

)x1(x

dx2

v

dv2−

−=

∫ ∫ −−=

)x1(x

dx2

v

dv2

lnv = ln 2

2

x

x1−+ lnK1

v = K1 .x

x12

2−


68

Chọn K1 = -1 ⇒ v = 1-2x

1.

Do đó: u = x + x

1 + K2.

Chọn K2 = 0 ⇒ u = x + x

1

⇒ y2 = xu(x) = x2 + 1.

Ta có x và x2 + 1 là độc lập tuyến tính. Vậy y = C1x + C2(x2+1) là nghiệm tổng

quát của phương trình (C1,C2 là những hằng số tuỳ ý).

* Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

* Dạng: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f(x) (3)

Định lý 1: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (4) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).

Định lý 2: Nguyên lí chồng chất nghiệm

Cho phương trình: y" + a1(x) y' + a2(x) y = f1(x) + f2(x).

Nếu y1(x) là một nghiệm riêng của phương trình:

y" + a1(x) y' + a2(x) y = f1(x)

y2(x) là một nghiệm riêng của phương trình:

y" + a1(x) y' + a2(x) y = f2(x)

Thì y1(x) + y2(x) là một nghiệm riêng của phương trình đã cho.

* Phương pháp biến thiên hằng số:

Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (4) là:

y = C1y1 + C2y2 (5)

Trong đó C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý. Xem C1, C2 là hai hàm số ta tìm C1(x), C2(x) để cho (5) là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (3).

C1(x) ,C2(x) thỏa mãn:

=+

=+

)x(f)x(y).x(C)x(y).x(C

0)x(y)x(C)x(y)x(C'2

'2

'1

'1

2'21

'1

Giải hệ trên ta được:

ϕ=

ϕ=

)x()x(C

)x()x(C

2'2

1'1

⇒ C1(x) = ∫ϕ dx)x(1 = Φ1(x) + K1;

C2(x) = ∫ϕ dx)x(2 = Φ2(x) + K2

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (3) là:


69

y = K1y1 + K2y2 + Φ1(x) y1 + Φ2(x) y2.

Ví dụ 5.15:

Giải phương trình: (1-x2 ) y" + 2xy' -2y = 1-x2.

Nếu x ≠ ±1 phương trình tương đương với:

y" + 1yx1

2'y

x1

x222

=−

−−

.

Từ ví dụ 5.9 nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:

y = C1x + C2 (x2 + 1 ).

Coi C1 = C1(x); C2 = C2(x) ⇒ y = C1(x).x + C2(x) (x2+1).

Ta có C1(x), C2(x) thỏa mãn hệ:

=+

=++

1x2).x(C)x(C

0)1x)(x(Cx).x(C'2

'1

2'2

'1

Giải hệ ta có:

1x

x)x(C

x)x21x)(x(C

2'2

22'2

−=

−=−+

1x

x21x

1x

x.x21)x(C

2

22

2'1 −

−−=−

−=

)1x

21(

1x

1x)x(C

22

2'1 −

+−=−+−=

C1(x) = 12K)

1x

1xlnx(dx)

1x

21( +

+−+−=

−+−∫

C2(x) = 22

2K1xln

2

1dx

1x

x +−=−∫

Nghiệm tổng quát phải tìm là:

y = -x(x + ln 1K1x

1x ++− ) + )1x(

2

1 2 + (ln| x2 - 1| +K2).

5.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng

* Phương trình thuần nhất:

* Dạng: y" + a1y' +a2 y = 0 (6)

a1, a2 là hằng số.

Ta sẽ tìm nghiệm của (6) dưới dạng:

y = ekx (7)

trong đó k là một hằng số nào đó.


70

Ta có: y' = kekx

y" = k2 ekx.

Thế vào (6) ta được: ekx (k2 +a1k + a2 ) = 0.

Vì ekx ≠ 0 ⇒ k2 +a1k + a2 = 0 (8)

Nếu k thỏa mãn (8) thì y = ekx là một nghiệm của (6). Phương trình (8) gọi là phương trình đặc trưng, nó có 2 nghiệm k1, k2 thực hoặc phức:

• Hai số k1, k2∈ R, k1 ≠ k2 phương trình (6) có hai nghiệm:

y1 = xk1e ; y2 = xk 2e

⇒ Nghiệm tổng quát là: y = C1 xk1e + C2 ;e xk2 C1, C2 là hằng số tùy ý.

Ví dụ 5.16:

Giải phương trình y" + y' -2y = 0

thỏa mãn điều kiện ;0y0x

== 1'y

0x=

=

Phương trình đặc trưng: k2 + k -2 = 0, phương trình này có hai nghiệm:

−==

2k

1k

2

1

Vậy nghiệm tổng quát là: y = C1 ex + C2e

-2x

y' = C1 ex -2 C2e

-2x

0x

y= = 0 ⇔ C1 + C2 = 0

0x

'y= = 1 ⇔ y' = C1 -2C2 = 1

⇒ C1 = 3

1; C2 = -

3

1.

Vậy nghiệm riêng tổng quát phải tìm là: y = 1

3ex -

1

3e-2x

• k1, k2 ∈ R: k1 = k2

Ta có một nghiệm riêng y1(x) = .e xk1 Vậy ta phải tìm một nghiệm y2(x) độc lập tuyến tính với y1(x).

y2(x) = y1(x) u(x) = u(x) xk1e

xk'2

1e'uy = + k1u ;e xk1

''2y = u'' xk1e + k1u' xk1e + k1u' xk1e + 2

1k u .e xk1

''2y = u'' xk1e +2k1u' xk1e + 2

1k u xk1e .

Thế vào phương trình (6) ta được:

xk1e [u'' + (2k1 + a1)u' + ( 21k +a1k1+a2 ) u ] = 0.


71

Do: 21k + a1k1+a2 = 0; k1 = -

2

a1 ⇒ xk1e u'' = 0.

Do đó: u = Ax + B.

Chọn: A = 1; B = 0

⇒ y2(x) = x .e xk1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (6) là:

y = xk1e (C1 + C2x).

Ví dụ 5.17:

Giải phương trình: y" + 6y' + 9y = 0

Phương trình đặc trưng là: k2 + 6k + 9 = 0 có nghiệm k1 = k2 = 3.

Nghiệm tổng quát là: y = x3e (C1x + C2).

• k1, k2 là hai số phức liên hợp:

k1 = α + iβ

k2 = α - iβ

Có nghiệm tổng quát là: y = xeα (C1cosβ x + C2sin βx ).

Ví dụ 5.18:

Giải phương trình: y" - 2y' + 5y = 0

Phương trình đặc trưng: k2 - 2k + 5 = 0

Giải phương trình đặc trưng ta được nghiệm là:

k1 = 1 + 2i

k2 = 1 - 2i

Nghiệm tổng quát là: y = ex ( C1cos2x + C2sin2x)

* Phương trình không thuần nhất:

* Dạng: y" + a1y' + a2y = f(x) (9)

trong đó a1, a2 là những hằng số.

Ta đã tìm được nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, ta chỉ việc áp dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm của phương trình (9).

• Trường hợp 1: f(x) = xeα .Pn(x).

Trong đó Pn(x) là một đa thức bậc n, từ phương trình đặc trưng (8) ta tìm nghiệm riêng của (9) có dạng:

Y = xeα Qn(x).

Ta có: Y' = α Qn(x) xeα + xeα Q'n(x)

Y" = α2 Qn(x) xeα + 2α Q'n(x) xeα + Q"n(x) xeα


72

Thế vào (9)

α2 Qn(x) xeα + 2αQ'n(x) xeα + Q"n(x) xeα + a1[αQn(x) xeα

+ xeα Q'n(x)] + a2 xeα Qn(x) = xeα .Pn(x).

⇔ xeα [Q"n(x) + (2α + a1 ) Q'n(x) + (α2 + a1α + a2 ) Qn(x)] = xeα .Pn(x).

Vậy Q"n(x) +(2α + a1 ) Q'n(x) + (α2 + a1α + a2 ) Qn(x) = Pn(x).

Vì α không là nghiệm của α2 + a1α + a2 = 0. Do đó bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta tìm được các hệ số của đa thức Qn(x).

+ Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm một nghiệm riêng của (9) dưới dạng: Y = x xeα Qn(x)

+ Nếu α là nghiệm kép của phương trình α2 + a1α + a2 = 0 thì 2α + a1 = 0. Ta phải tìm một nghiệm riêng của (9) dưới dạng: Y = x2 xeα Qn(x)

Ví dụ 5.19:

Giải phương trình: y" + 3y' - 4y = x

Phương trình đặc trưng: k2 + 3k - 4 = 0

Có nghiệm: k1 = 1; k2 = -4

Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là:

y = C1ex + C2e

-4x.

f(x) = x = xeα P1(x).

Do đó α = 0; P1(x) = x.

α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng ta tìm nghiệm có dạng:

Y = ax + b

Y'= a

Y"= 0

Thế vào phương trình ban đầu: 3a - 4(ax+ b ) = x

⇔ -4ax +3a - 4b = x

Đồng nhất hệ số:

=−=−

0b4a3

1a4 ⇔

−=

−=

16

3b

4

1a

⇒ Y= 16

3x

4

1 −−

Nghiệm tổng quát là: y = C1ex + C2e

-4x

16

3x

4

1 −−

Ví dụ 5.20:


73

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y" - y' = ex(x+1)

Phương trình đặc trưng: k2 - k = 0

k(k-1) = 0

⇔

==

1k

0k

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là:

y = C1e0x + C2e

x = C1 + C2ex

Vế phải của phương trình đã cho có dạng:

f(x) = ex (x + 1) = xeα P1(x)

Với α = 1 ; P1(x) = x + 1

Ta có α = 1 là một nghiệm của phương trình đặc trưng ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng:

Y = x.ex (ax + b )

Y = ex (ax2 + bx)

Y' = ex (ax2+ bx ) + ex (2ax + b )

Y" = ex (ax2 + bx ) + 2ex (2ax + b) + ex .2a


ex (ax2 + bx ) + 2ex (2ax + b) + ex .2a - ex (ax2+ bx ) - ex (2ax + b ) = ex (x + 1)

⇔ ex (2ax + b + 2a ) = ex (x + 1 ).


=+=

1ba2

1a2 ⇔

=

=

0b2

1a

Vậy Y = x. ex x2

1 = .ex

2

1 x2

Nghiệm tổng quát là: y = C1 + C2 ex + x2ex

2

1

Ví dụ 5.21:

Giải phương trình: y'' - 6y' + 9y = xe3x

Phương trình đặc trưng là: k2 -6k + 9 = 0 (*)

Có nghiệm k = 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:

y = (C1 + C2x) e3x

f(x) = xe3x = xeα (P1(x)).


74

α = 3 là nghiệm kép của (*). Ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng:

Y = x2e3x (ax + b )= e3x (ax3 + bx2 )

Y' = 3e3x (ax3 + bx2 + e3x (3ax2+ 2bx)

Y" = 9 e3x (ax3 + bx2 ) + 6 e3x ( 3ax2 + 2bx ) + e3x (6ax + 2b )


e3x[ (6a - 10b) x + 2b ] = x e3x.


==−

0b2

1b10a6 ⇔

=

=

0b61

a

Y = x2e3x (6

1)x

6

1 = x3e3x.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = (C1+ C2x ) e3x + 6

1 x3e3x

• Trường hợp 2: f(x) = Pm(x)cos βx + Pn(x) sin β x, trong đó Pm(x), Pn(x) là những đa thức bậc m, n, β là hằng số.

+ Nếu ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (9) dưới dạng:

Y = QL(x) cosβ x + RL(x)sin βx

Trong đó QL(x), RL(x) là những đa thức bậc L; L = max (m, n)

+ Nếu ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (9) dưới dạng:

Y = x[QL(x)cosβx + RL(x)sinβx]

Ví dụ 5.22:

Giải phương trình: y" + y = x sinx

Phương trình đặc trưng: k2 +1 = 0 có nghiệm ± i.

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là:

Y = C1cosx + C2sinx

x.sinx = Q1(x) cosβ x + R1(x)sin βx

⇒ R1(x) = x; β = 1; ± iβ = ± i là một nghiệm của phương trình đặc trưng.

Vậy một nghiệm riêng có dạng:

Y = x[ (ax + b )cosx + (a1x + b1)sinx]


75

Y' = [(ax + b )cosx + (a1x + b1)sinx] + x[acosx- (ax + b)sinx

+ a1sinx + (a1x + b1)cosx]

Y' = cosx(2ax + b + a1x2 + b1x] + sinx(2a1x + b1-ax2-bx).

Tính Y" thay vào ta có:

[4a1x + 2(a+b1)]cosx + [-4ax + 2(a1- b)]sinx = xsinx

=−=−=+

=

1a4

0ba

0ba

0a4

1

1

1

⇔ a = -4

1; b1 =

41

; a1 = 0; b = 0

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = C1cosx + C2sinx +4x

(sinx - xcosx ).

BÀI TẬP

1. Chứng minh hàm số y = x12

1+ C1x

5+ C2x là nghiệm của phương trình:

x2y" - 5xy' + 5y = x

1

2. Giải các phương trình vi phân có biến số phân li sau:

a) xydx + (x + 1)dy = 0 b) 4 xydydx1y2 =+

c) (x2- 1)y' + 2xy2 = 0 với y(0) = 1 d) 2x2yy' + y2 = 2

e) y'cotgx + y = 2 với y(0) = -1 f) y' - xy' = 2xy

3. Giải các phương trình vi phân đưa được về dạng phân li biến số sau:

a) y' = cos(y - x) b) y' - y = 2x - 3

c) (x +2y)dx -xdy = 0 d) (x - y)dx + (x + y)dy = 0

e) (y2 - 2xy)dx + x2dy = 0 f) 3x3y' = y(2x2 - y2)

g) y2 + x2y' = xyy' h) (x2 + y2)y' = 2xy

k) xy' - y = xtg(x

y)

4. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:

a) x dxy1 2+ + y dyx1 2+ = 0,0x

y= = 1

b) (1 + e2x)y2dy = exdx, 0x

y= = 0

c) sinx dy - ylnydx = 0, 0x

y= = 1


76

d) (x2+ 1) y' = y2+ 4, 0x

y= = 2

5. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp một:

a) 2x(x-1)y' + (2x - 1)y + 1 = 0

b) x(1+x2)y' - (x2-1)y + 2x = 0

c) y' + 2xy = x2xe−

d) (1 + x2)y' -2xy = (1+x2)2

e) y'- )1x(

y2

+ = (x + 1)3,

0xy

= = 1/2

f) (1 + x2)y' + xy = 1, 0x

y= = 0

6. Giải các phương trình cấp hai khuyết:

a) xy" - y' = x2ex

b) y" - 0)1x(x1x

'y =−−−

, 2x

y= = 1,

2x'y

= = -1

c) y" + 2y' (1 - 2y) = 0 , 0x

y= = 0,

0x'y

= = 2

1

7. Giải các phương trình vi phân sau:

a) x2(lnx - 1)y" - xy' + y = 0

Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng y1(x) = xα, α ∈ R.

b) (2x + 1)y" + (4x - 2)y' - 8y = 0

Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng y1(x) = eα x, α ∈ R.

c) (x2- 1 )y" - 6y = 0

Biết rằng nó có một nghiệm riêng y1(x) dạng đa thức.

8. Giải phương trình (2x - x2) y" + 2(x - 1)y' - 2y = -2

Biết rằng nó có hai nghiệm riêng y1(x) = 1, y2(x) = x.

9. Giải phương trình x(x+1)y" + (x + 2)y' - y = x + x

1

Biết rằng phương trình thuần nhất tương ứng của nó có một nghiệm riêng dạng đa thức.

10. Giải các phương trình

a) y" - y = 1e

ex

x

+ b) y" + 2y' + y = 3 1xe x +−

c) y" + y = tgx d) y" + 5y' + 6y = -x2e1

1

+


77

11. Giải các phương trình sau:

a) y" - 7y' + 6y = sinx b) y" + 9y = 6e3x

c) y" - 3y' = 2 - 6x d) y" -2y' + 3y = e-xcosx

e) y" + 4y = 2sin2x f) y" + 2y' + y = 4e-x

g) y" - 9y' +20y = x2e4x h) y" + 4y' - 5y = 2ex

i) y" + 2y' + 5y = 2xe-xcos2x k) y" + y = x2cos2x

l) y" - 3y' = e3x - 18x m) y" + y = cos3x

n) y" - 4y' + 4y = e2xcos2x o) y" + 6y' + 9y = xeαx


78

MỤC LỤC Trang

CHƯƠNG.1. HÀM SỐ ............................................................................................ 1

1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ........................................................................ 1 1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 1

1.1.2. Hàm số hợp .................................................................................. 1

1.1.3. Hàm số ngược .............................................................................. 1

1.2. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN .......................................................... 2

1.2.1. Hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) ............................................ 2

1.2.2. Hàm số mũ y = ax (a > 0 , a ≠ 1) ................................................. 2

1.2.3. Hàm số logarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) ..................................... 3

1.2.4. Các hàm số lượng giác ................................................................ 4

1.2.5. Các hàm số lượng giác ngược ..................................................... 5

1.2.6. Các hàm số sơ cấp ....................................................................... 6

1.2.7. Hệ tọa độ cực ............................................................................... 6

1.3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ..................................................................... 6 1.3.1. Định nghĩa ................................................................................... 6

1.3.2. Các phép toán về giới hạn ........................................................... 7

1.3.3. Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn .................................................... 8

1.3.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn......................................................... 10

1.3.5. Các dạng vô định và cách khử .................................................. 12

1.4. HÀM LIÊN T ỤC – TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN T ỤC ................ 14 1.4.1. Định nghĩa ................................................................................. 14

1.4.2. Các tính chất của hàm liên tục .................................................. 15

CHƯƠNG.2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN .............................................................. 18

2.1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM – CÁC PHÉP TÍNH C ỦA ĐẠO HÀM – ĐẠO HÀM CẤP CAO .................................................................................. 18

2.1.1. Định nghĩa đạo hàm .................................................................. 18

2.1.2. Các quy tắc tính đạo hàm .......................................................... 20

2.1.3. Đạo hàm cấp cao ....................................................................... 21

2.2. VI PHÂN – VI PHÂN CẤP CAO ......................................................... 23 2.2.1. Vi phân hàm một biến ................................................................ 23


79

2.2.2. Vi phân cấp cao ......................................................................... 23

2.2.3. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng .......................................... 23

2.3. CÁC ĐỊNH LÝ V Ề HÀM KH Ả VI ...................................................... 24 2.3.1. Định lý Fermat: ......................................................................... 24

2.3.2. Định lý Rolle: ............................................................................ 24

2.3.3. Định lý Cauchy: ......................................................................... 24

2.3.4. Định lý Lagrange: ..................................................................... 24

2.3.5. Định lý (về tính đơn điệu): ........................................................ 24

2.3.6. Định lý (cần và đủ để là hàm hằng): ......................................... 24

2.3.7. Định lý (cực trị): ........................................................................ 24

2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ............................................................. 24

CHƯƠNG.3. TÍCH PHÂN ................................................................................... 27

3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ...................................................................... 27 3.1.1. Tích phân bất định ..................................................................... 27

3.1.2. Các phương pháp tính tích phân ............................................... 29

3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ...................................................................... 35 3.2.1. Định nghĩa tích phân xác định .................................................. 35

3.2.2. Các tính chất của tích phân xác định ........................................ 36

3.2.3. Các phép tính tích phân xác định .............................................. 38

3.3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG ..................................................................... 40 3.3.1. Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn (Tích phân suy rộng loại I)

........................................................................................................................ 40

3.3.2. Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn (Tích phân suy rộng loại II) ............................................................................................................. 41

3.3.3. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của tích phân: .............................. 42

CHƯƠNG.4. LÝ THUYẾT CHUỖI .................................................................... 44

4.1. CHUỖI SỐ .............................................................................................. 44

4.1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................ 44

4.1.2. Chuỗi số dương ......................................................................... 45

4.1.3. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ................................................ 49

4.2. DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM .............................................................. 50 4.2.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................ 50

4.2.2. Hội tụ đều .................................................................................. 50


80

CHƯƠNG.5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................ 56

5.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP 1 .................................................... 56 5.1.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp 1 – Nghiệm của phương

trình vi phân .................................................................................................... 56

5.1.2. Phương trình vi phân dạng tách biến ........................................ 58

5.1.3. Phương trình vi phân dạng đẳng cấp. ....................................... 58

5.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ...................................... 60

5.1.5. Phương trình Becnuli ................................................................ 61

5.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C ẤP HAI .............................................. 63 5.2.1. Định nghĩa về phương trình vi phân cấp hai – Nghiệm của phương

trình vi phân cấp hai ....................................................................................... 63

5.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng ................. 69


81

DANH MỤC CÁC HÌNH V Ẽ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1: Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα (α∈ R*) ......................................................... 2

Hình 1.2: Đồ thị hàm số y = ax....................................................................................... 3

Hình 1.3: Đồ thị hàm số logarit y = logax ....................................................................... 3

Hình 1.4: Đồ thị hàm số lượng giác ................................................................................ 4

Hình 1.5: Đồ thị hàm số lượng giác tgx .......................................................................... 4

Hình 1.6: Đồ thị hàm số lượng giác cotgx ...................................................................... 4

Hình 1.7: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcsinx ................................................... 5

Hình 1.8: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcosx .................................................... 5

Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arctgx .................................................... 5

Hình 1.10: Đồ thị hàm số lượng giác ngược y= arcotgx ................................................ 5

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 -...

Documents

Transcript of GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 1 -...