Giáo trình VẬT LÝ 1 -...

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

------- -------

ThS. Trương Thành

Giáo trình VẬT LÝ 1

(Dùng cho sinh viên Cao đẳng kỹ thuật)

Giáo trình Vật lý 1 ThS. Trương Thành

2

Mở đầu Việc đào tạo đại học, cao đẳng theo chế độ Tín chỉ nhằm kích thích tính

độc lập, sáng tạo và tự học của sinh viên, nâng cao trình độ của người học trong thời kỳ hội nhập. Tuy nhiên để thực hiện được mục đích trên người dạy và người học phải có đủ các trang bị cần thiết mà trước hết là giáo trình, tài liệu tham khảo. Để góp thêm một giáo trình sát với chương trình của trường Cao đẳng Công nghệ, Đại Học Đà Nẵng chúng tôi quyết định viết giáo trình này.

Giáo trình "Vật Lý 1" dùng cho các lớp cao đẳng kỹ thuật và cao đẳng công nghệ thông tin gồm các kiến thức cơ bản về Vật Lý đại cương nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cần thiết có liên quan đến ngành học của mình. Nội dung gồm có 9 chương được phân bố đều từ Cơ học đến vật dẫn. Giáo trình được viết trên cơ sở chương trình "Vật Lý 1” của trường Cao Đẳng Công nghệ, Đại Học Đà Nẵng.

Trong quá trình viết giáo trình này chúng tôi được Đại học Đà Nẵng, trường Đại học Sư phạm tạo điều kiện thuận lợi, trường Cao đẳng Công nghệ khuyến khích, sự góp ý bổ ích của các cán bộ giảng dạy trong khoa Vật Lý. Xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đó.

Tuy đã có cố gắng và đã có nhiều chỉnh lý bổ sung nhưng vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự góp ý phê bình của bạn đọc.

Tác giả


3

Chương I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 1.1. ĐỘNG HỌC VÀ CÁC ĐẠI

LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG HỌC 1.1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1.1.1. Cơ học

Cơ học là một phần của Vật Lý học nghiên cứu trạng thái của vật thể (chuyển động, đứng yên, biến dạng ...) 1.1.1.2. Chuyển động

Chuyển động là sự thay đổi vị trí trong không gian theo thời gian của vật thể này so với vật thể khác.

Khi chúng ta nói một chiếc máy bay đang bay trên bầu trời thì có nghĩa là chúng ta đã tạm quy ước bầu trời đứng yên và chiếc máy bay đang chuyển động đối với bầu trời. Như vậy khái niệm chuyển động là một khái niệm có tính tương đối, thể hiện ở chổ:

- Một vật chuyển động là phải chuyển động so với vật nào, chứ không có khái niệm chuyển động chung chung.

- Vật này được quy ước là đứng yên thì vật kia chuyển động và ngược lại.

1.1.1.3. Động học Động học là phần cơ học nghiên cứu chuyển động mà chưa xét đến

nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó. Các đại lượng đặc trưng cho động học là:

- Quảng đường (s). - Vận tốc ( vr ). - Gia tốc ( ar ). - Thời gian (t). Động học chất điểm là phần động học nghiên cứu chất điểm.

1.1.1.4. Chất điểm Đối với những vật mà quảng đường mà nó chuyển động lớn hơn rất nhiều

so với kích thước của nó thì có thể bỏ qua kích thước của nó trong quá trình nghiên cứu, hay nói là xem nó như là một chất điểm. Như vậy khái niệm chất điểm là một khái niệm có tính tương đối. Trong trường hợp này thì vật là chất điểm, nhưng trường hợp khác thì không, và thậm chí có thể là rất lớn. Có thể lấy ví dụ: đối với mỗi chúng ta thì Trái Đất vô cùng lớn, nhưng đối với Mặt Trời hay Vũ trụ thì Trái Đất lại vô cùng nhỏ bé (Mặt Trời lớn hơn Trái Đất hơn một triệu lần).

Trong thực tế ta không thể ngay lập tức từ đầu nghiên cứu một vật có kích thước nhất định mà phải nghiên cứu một chất điểm đơn lẻ và tìm ra một hệ


4

thống lý thuyết hoàn chỉnh cho nó. Và như vậy một vật thể chính là một tập hợp điểm nào đó (chẳng hạn như vật rắn). Cũng như trước khi nghiên cứu dao động tắt dần ta phải xét dao động điều hoà; trước khi nghiên cứu chất lỏng thực ta phải xét chất lỏng lý tưởng trước...v.v... 1.1.1.5. Hệ quy chiếu

Khi chúng ta nói: một chiếc xe đang chuyển động trên đường thì thực tế chúng ta đã ngầm quy ước với nhau rằng chiếc xe đó chuyển động so với đường hay cây cối, nhà cửa ở bên đường. Nên nói đầy đủ hơn phải là: chiếc xe đang chuyển động so với con đường.

Như vậy không thể nói một chuyển động mà không chỉ ra được một vật mà đối với nó thì vật này chuyển động.

Vật được coi là đứng yên để xét chuyển động của vật khác được gọi là vật làm “mốc” hay “hệ quy chiếu”.

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu chuyển động người ta gắn vào hệ quy chiếu một hệ toạ độ, chẳng hạn hệ toạ độ Descartes O,x,y,z (Renè Descartes 1596 - 1650 người Pháp) . 1.1.2. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

Xét một chất điểm chuyển động theo đường cong bất kỳ AB trong hệ quy chiếu O,x,y,z (Hình I-1).

Giả sử rằng tại thời điểm t vị trí của chất điểm là M trên đường cong AB, M là một điểm nên hoàn toàn được xác định bởi ba toạ độ x, y và z (ta hay nói là ba toạ độ của điểm M). Nhưng vì chất điểm chuyển động nên x,y,z thay đổi theo thời gian. Nghĩa là ba toạ độ là hàm của thời gian:

x = x(t) y = y(t) (I-1). z = z(t)

(Trong trường hợp chuyển động thẳng nếu ta chọn hệ tọa độ sao cho chuyển động dọc theo trục Ox thì: x = x(t); y = 0; z = 0). Việc xác định chuyển động của chất điểm bằng hệ phương trình (I-1) gọi là phương pháp tọa độ và phương trình đó gọi là phương trình chuyển động dạng tọa độ Descartes. Điểm M cũng hoàn toàn được xác định nếu biết vector r và các cosin chỉ phương của nó, vì r = x i + y j + z k . Nhưng do M chuyển động nên r thay đổi cả phương, chiều và độ lớn theo thời gian: r = r (t) (I-2).

z z

M

y

x

x

y ki

jA

B k

Hình I-1


5

Đây là phương trình chuyển động dạng vector trong đó r được gọi là bán kính vector hay vector định vị. Chúng ta cũng không quên rằng để xác định vector này còn cần ba cosin chỉ phương nữa.

Ta cũng có thể biểu diễn chuyển động bằng một cách khác là: chọn trên quỹ đạo một gốc tọa đô, chẳng hạn A và như vậy đoạn đường mà chất điểm đi được, được xác định so với A bằng cung s, và cũng như trên s là một hàm của thời gian: s = s(t). (I-3). Phương trình này là phương trình chuyển động dạng quỹ đạo. Phương pháp này gặp khó khăn ở chỗ là phải biết trước dạng quỹ đạo của chuyển động. s được gọi là hoành độ cong. 1.1.3. QUỸ ĐẠO VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUỸ ĐẠO

Quỹ đạo của một chất điểm là quỹ tích của tất cả những điểm trong không gian mà chất điểm đã đi qua trong suốt quá trình chuyển độngcủa nó.

Như vậy quỹ đạo của một chất điểm thực tế chính là đường đi của nó trong không gian.

Phương trình quỹ đạo của một chất là phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa các toạ độ chuyển động của chất điểm trong không gian. Nghĩa là phương trình quỹ đạo có dạng:

0),,( =zyxf . Và nếu biết phương trình quỹ đạo thì biết được dạng quỹ đạo của chất điểm đó. Ví dụ

Một chuyển động có phương trình:

⎩⎨⎧

+=+=

)cos()sin(

ϕωϕω

tBytAx

Hãy tìm phương trình quỹ đạo và từ đó suy ra dạng quỹ đạo của chuyển động trên.

Để tìm phương trình quỹ đạo ta khử t trong hai phương trình trên bằng

cách sau:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

)(cos)(

)(sin)(

22

22

ϕω

ϕω

tBy

tAx

Cộng từng vế hai phương trình ta có:

12

2

2 =+By

A

2x ,

chuyển động này có quỹ đạo dạng ellipse một bán trục A và một bán trục B.


6

1.2. VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA CHUYỂN ĐỘNG

1.2.1. VẬN TỐC 1.2.1.1. Khái niệm và định nghĩa Để chứng tỏ sự cần thiết của việc đưa ra khái niệm vận tốc ta lấy ví dụ sau đây: hai xe cùng xuất phát từ một nơi, cùng một lúc và cùng đến đích vào một thời điểm. Nhưng chúng ta không thể nói được xe nào đã chuyển động nhanh hay chậm hơn xe nào nếu không biết được xe nào đã tiêu tốn ít hay nhiều thời gian hơn cho chuyển động. Như vậy để so sánh các chuyển động với nhau thì phải so sánh quãng đường mà chúng đi được trong cùng một thời gian, hay tốt nhất là cùng một đơn vị thời gian, qũang đường đó gọi là vận tốc. Như vậy có thể định nghĩa vận tốc như sau: Vận tốc của một chuyển động là đại lượng đặc trưng cho sự nhanh hay chậm của một chuyển động, có trị số bằng quảng đường mà chất điểm đi được trong một đơn vị thời gian.

Để đặc trưng cho cả phương, chiều của chuyển động, điểm đặt của vận tốc, thì vận tốc là một đại lượng vector.

Vận tốc trung bình của một chuyển động trên một đoạn đường nào đó nói chung khác với vận tốc tại một thời điểm bất kỳ trên quỹ đạo. Bởi vậy ta thường gặp hai loại vận tốc. 1.2.1.2. Vận tốc trung bình

Vận tốc trung bình của một chuyển động là quảng đường trung bình mà chuyển động đi được trong một đơn vị thời gian.

Trong hệ đơn vị SI đơn vị thời gian là một giây ngoài ra nếu không sử dụng hệ đơn vị SI thì ta có thể lấy các đơn vị khác như: giờ, phút, ngày, tuần .v..v..

- Giả sử tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M1 được xác định bởi bán kính vector 1rr r

= . - Đến thời điểm t + t∆ vị trí của động điểm là M2: rrr rrr

∆+=2 . Như vậy trong thời gian t∆ chất điểm đi được một đoạn đường s∆ , nên theo định nghĩa của chúng ta thì vận tốc trung bình chính là

tsvtb ∆

∆= (I-4a).

z M1

y

x

0

k

r∆

1r

M2

2r

Hình I-2


7

Nói chung quãng đường và thời gian chất điểm đi được thường là một tổng nên:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∆=∆

∆=∆

∑

∑

=

=

n

kk

n

kk

tt

sr

1

1 và do đó ∑

∑

=

=

∆

∆= n

kk

kk

tb

t

sv

1

1 (I-4b).

1.2.1.3. Vận tốc tức thời

Vận tốc tức thời của của một chuyển động là vận tốc của nó tại một thời điểm nào đó trên quỹ đạo của chuyển động của nó. Việc xác định vận tốc của chất điểm tại một thời điểm bất kỳ trên quỹ đạo lại có ý nghĩa hơn vận tốc trung bình, vì đó mới là vận tốc thực của chuyển động.

Để có biểu thức tính vận tốc tức thời ta có nhận xét như sau: nếu ∆t → 0 thì M2 → M1 và do đó ttb vv → . Nghĩa là vận tốc trung bình trên đoạn đường ngắn M1M2 được xem là vận tốc tại điểm M1 hay vt . Nói như vậy có nghĩa là:

vt= dt

rdvdtdr

tsv tttbt

=→≈∆∆

=→∆→∆ 00

limlim . (1-5).

Vận tốc tức thời của một chất điểm tại một thời điểm nào đó trên quỹ đạo bằng đạo hàm bậc nhất của bán kính vector tại điểm đó. Vector vận tốc có độ lớn bằng độ lớn của vận tốc, có phương là phương của tiếp tuyến tại điểm đang xét, có chiều là chiều của chuyển động. Ngoài ra do: r = x i + y j + z k

Nên tvkdtdzj

dtdyi

dtdxv =++= .

Hay: tv = vx i + vy j + vz k

222zyx vvvv ++=⇒ . Với:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

dtdzv

dtdyv

dtdxv

x

x

x

1.2.2. GIA TỐC 1.2.2.1. Khái niệm và định nghĩa Đối với những chuyển động không đều thì vận tốc liên tục thay đổi, để đặc trưng cho sự thay đổi nhanh hay chậm của vận tốc người ta đưa ra khái niệm gia tốc với ý nghĩa tương tự như vận tốc.

vv rr∆+

Hình I-3

vr


8

Gia tốc của một chuyển động là đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi nhanh hay chậm của vận tốc, có trị số bằng lượng vận tốc thay đổi trong một đơn vị thời gian. 1.2.1.2. Gia tốc trung bình Tương tự như vận tốc ta cũng xét hai thời điểm điểm trên quỹ đạo: - Tại thời điểm t (M1) vị trí và vận tốc của chất điểm được xác định bằng r và v . - Đến thời điểm t + ∆t (M2) vị trí và vận tốc của chất điểm được xác định bằng: r + r∆ và v + v∆ .

Vậy độ tăng trung bình của vận tốc trong một đơn vị thời gian là: =tba

tv

∆∆ (1-6a).

( tba là gia tốc trung bình của chuyển động của chất điểm đang xét ở trên đoạn đường M1M2) 1.2.1.3. Gia tốc tức thời Hoàn toàn lập luận tương tự như đối với vận tốc, gia tốc tức thời của một chất điểm tại một thời điểm nào đó chính là kết quả của giới hạn sau đây:

=a dtvd

tv

t=

∆∆

→∆ 0lim

Tóm lại: 2

2

dtrd

dtvda == (1-6b).

Dạng thành phần của a là:

=ar ax i + ay j + az k . Trong đó:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

dtdv

dtzda

dtdv

dtyda

dtdv

dtxda

zx

yx

xx

2

2

2

2

2

2

Và do đó: a = 222zyx aaa ++

1.2.3. GIA TỐC TIẾP TUYẾN VÀ GIA TỐC PHÁP TUYẾN 1.2.3.1. Khái niệm

Nguyên nhân của chuyển động cong về một phía nào đó của chất điểm là do trên đoạn đường đó vector gia tốc lệch về phía đó của quỹ đạo.

Vector gia tốc cũng như mọi vector khác đều có thể phân tích trên hai hay ba phương bất kỳ tuy nhiên để thuận lợi cho việc tính toán người ta phân tích nó lên hai phương đặc biệt là pháp tuyến và tiếp tuyến với quỹ đạo

v

Hình 1-4

v∆vv ∆+


9

a = a n + a τ (1-7). Dạng vector của gia tốc pháp tuyến:

2

nRv

dtvda n

n ==r

( nr là vector đơn vị có phương pháp tuyến với quỹ đạo, có chiều ngược với vector bán kính tại đó). Dạng vector của gia tốc tiếp tuyến:

ta = dtvd t τβ rR=

có phương, chiều là phương và chiều của vector đơn vị τr . τr là vector đơn vị trên phương tiếp tuyến có phương tiếp tuyến với quỹ đạo, có chiều theo chiều chuyển động của điểm. Tóm lại:

τβ rRnRva +=

2

(Trong đó R là bán kính chính khúc của đường tròn mật tiếp tại điểm đang xét (đã được minh hoạ trên hình)) 1.2.3.2. Nhận xét

- Nếu chuyển động thẳng thì: R = ∞ →

R1 = 0,

dẫn đến: τaaan == ,0 - Nếu chuyển động tròn đều:

vτ = const, dẫn đến: naaa == ,0τ

ar ar

Hình 1-5


10

1.3. MỘT SỐ DẠNG CHUYỂN ĐỘNG ĐƠN GIẢN

1.3.1. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU 1.3.1.1. Định nghĩa

Chuyển động thẳng đều là chuyển động thẳng có vận tốc không đổi theo thời gian 1.3.1.2. Phương trình

Trong trường hợp này để đơn giản ta cho trục ox hướng theo phương chuyển động của chất điểm. Khi đó phương trình đường đi chỉ còn là biến x. Theo định nghĩa thì: v = const

nên: a = dtvd = 0

Mặt khác từ vdt

rd= , dẫn đến v

dtdx

=

0,0

000

==

+=→= ∫∫zy

vtxxvdtdxtx

x

Tóm lại ta có hệ của chuyển động thẳng đều: v = const

a = dtvd = 0

0,0

0

==+=

zyvtxx

1.3.2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG BIẾN ĐỔI ĐỀU 1.3.2.1. Định nghĩa

Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc không đổi theo thời gian

1.3.2.2. Phương trình Trong trường hợp này để đơn giản ta cũng cho trục ox hướng theo phương chuyển động của chất điểm. Khi đó phương trình đường đi chỉ còn là biến x.

Theo định nghĩa thì: a = const

vr y

x

z

x

Hình I-6a

vr y

x

z

x

Hình I-6b


11

Nên từ →=→= adtdvadtvd

atvvadtdvtv

v

+=→= ∫∫ 000

.

Nhưng →+== adtvvdtdx

0

0,0

2)(

2

000

0

0

==

++=→+= ∫∫zy

attvxxdtatvdxtx

x

Tóm lại ta có hệ phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều: a = const

atvv += 0

0,02

2

00

==

++=

zy

attvxx

(Nếu a > 0 thì chuyển động nhanh dần đều còn a < 0 thì chuyển động chậm dần đều) 1.3.3. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU 1.3.3.1. Định nghĩa

Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn mà độ lớn của vận tốc không thay đổi theo thời gian. 1.3.3.2. Phương trình chuyển động Các phương trình góc và cung quay được tính tương tự như chuyển động thẳng đều và dẫn đến kết quả:

0=β , 0=ta , Rvan

2

=

const=ωv , constv =

tωϕϕ += 0 , tvss += 0 ,

1.3.4. CHUYỂN ĐỘNG TRÒN BIẾN ĐỔI ĐỀU 1.3.4.1. Định nghĩa

Chuyển động tròn biến đổi đều là chuyển động tròn mà độ lớn của gia tốc tiếp tuyến (hay gia tốc góc) không thay đổi theo thời gian. 1.3.4.2. Phương trình chuyển động

ωr

vr R

Hình I-6c

βωrr,

ar vr R

Hình I-6d


12

Các phương trình cung quay được tính tương tự như chuyển động thẳng đều biến đổi đều và dẫn đến kết quả:

const=βr

constRa == βτ , constan ≠ tβωωrrr

+= 0 atvv += 0 2/2

00 tt βωϕϕ ++= 2/200 attvss ++=

1.3.5. CHUYỂN ĐỘNG CỦA VIÊN ĐẠN NÉM XIÊN MỘT GÓC SO VỚI PHƯƠNG NẰM NGANG 1.3.5.1. Bài toán

Một viên đạn được bắn ra từ một khẩu pháo với vận tốc ban đầu là v0 , hướng lên trên, nòng súng hợp với phương ngang một góc α . Viên đạn được bắn từ độ cao h so với mặt đất. Hãy tìm: a). Phương trình chuyển động của viên đạn. b). Phương trình quỹ đạo của viên đạn. c). Thời gian từ lúc bắn đến lúc viên đạn chạm đất c). Độ cao cực đại mà viên đạn lên tới. 1.3.5.2. Bài giải

Theo phương ngang không có gia tốc, viên đạn chuyển động đều. Theo phương thẳng đứng có gia tốc g hướng xuống, viên đạn chuyển động biến đổi đều.

a). Phương trình chuyển động viết trên hai trục toạ độ:

⎩⎨⎧

−=

=

)2(2/)sin(

)1()cos(2

0

0

gttvy

tvx

α

α

b). Phương trình quỹ đạo có được khi khử t ở hai phương trình trên:

)3(

cos2

)cos

(2cos

)sin(

220

2

2

000

αα

ααα

vgxxtgy

vxg

vxvy

−=

−=

Đây là một parabolic trong đó x lấy giá trị dương. c). Khi chạm đất y = -h nên để tìm t ta giải phương trình:

)4(2/)sin( 20 hgttvy −=−= α .

xv0r

yv0r

Hình I-6e -h

H

y

0vr

0


13

d). Độ cao cực đại: g

vhH

2sin 22

0 α+=


14

1.4. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 1.4.1. VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 1.4.1.1. Định nghĩa

Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không thay đổi trong quá trình chuyển động. Hay nói một cách khác vật rắn là vật có hình dạng, kích thước không thay đổi theo thời gian. Giả sử hình ellipse trong hình đưới đây là một vật rắn thì với hai điểm bất kỳ của nó thì: AB = const Chuyển động tịnh tiến của vật một vật rắn là chuyển động mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với phương ban đầu trong suốt quá trình chuyển động. Theo định nghĩa thì đoạn thẳng AB của ellipse ở các vị trí trên hình vẽ Hình I-7 đều song song với nhau nên ellipse chuyển động tịnh tiến. 1.4.1.2. Phương trình chuyển động

Xét hai điểm A và B trên vật rắn, theo hình vẽ thì ta có: r 2 = r 1 + AB

Đạo hàm hai vế phương trình này theo thời gian

ta có: dtABd

dtrd

dtrd

+= 12

vì AB không thay đổi cả phương chiều lẫn độ lớn nên:

dtABd = 0,

dẩn đến: dtrd

dtrd 21 = ,

hay v 1 = v 2. Nếu xét hết mọi điểm của vật rắn ta cũng sẽ có:

v 1 = v 2 = v 3 = ... = v n= v (I-8a). và dễ dàng suy ra: a 1 = a 2 = a 3 = ... a n = a (I-8b). Kết luận: Trong chuyển động tịnh tiến mọi điểm của vật rắn đều chuyển động với cùng một vận tốc và gia tốc. 1.4.2. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1.4.2.1. Định nghĩa

A

B Hình I-7

y

x

A

2r

Hình 1-8

B

0

1r


15

Chuyển động quay của một vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà mọi điểm của vật rắn (trừ những điểm nằm trên trục quay) đều có quỹ đạo tròn vuông góc với trục quay và có tâm nằm trên trục quay. 1.4.2.2. Phương trình chuyển động Xét một điểm M của vật rắn có quỹ đạo tròn bán kính R (Hình I-9). Cung ds mà M quay được sau thời gian dt chính là đường đi của M. Ta có vận tốc của điểm M là:

dtsd

dtRdv

rrr

== ,

hay dt

Rdvrr

r Λ=

ϕ

( vr là vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo, vector ϕrd có độ lớn bằng

ϕd , phương của trục quay, chiều là chiều dương của trục). Vì

dtdϕr

= ωr là góc quay được trong một đơn vị thời gian nên nó là

vận tốc góc. Thành thử: v = ω Λ R (I-9).

(Ta cũng dễ nhận thấy rằng ϕrd > 0 thì ω

r > 0 cùng chiều dương của trục quay, ϕr

d < 0 thì ωr < 0 ngược chiều dương của trục quay). Bởi vậy gia tốc của điểm M của vật rắn là:

a = dtRdR

dtd

dtvd

Λ+Λ= ωω .

Trong đó dtdω = β là gia tốc góc;

dtRd = v ,

nên: a = Rr

Λβ + ω Λ v nt aa rr

+=a Vector Rat

rrrΛ= β có phương tiếp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc tiếp

tuyến. Vector van

rrrΛ= ω có phương pháp tuyến với quỹ đạo nên gọi là gia tốc pháp

tuyến.

vr

HìnhI-9

ϕ

M

O


16

Bài tập chương I. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

Bài tập mẫu 1: Một chiếc xe chuyển động trên một quỹ đạo tròn, bán kính bằng 50m. Quãng đường được đi trên quỹ đạo được xác định bởi công thức: s = - 0,5t2 + 10t + 10 Tìm vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần của ôtô lúc t = 5 giây.

R = 50m v = ? t = 5s at = ? s = - 0,5t2 + 10t + 10 an = ? Cho:

Tìm:

a = ? Giải: Dùng hệ SI 1) Vận tốc của ôtô ở thời điểm t:

v = dtds = -t + 10

Lúc t = 5s thì v = - 5 + 10 = 5m/s. v = 5m/s 2) Gia tốc tiếp tuyến ở thời điểm t:

at = dtdv = -1

at là hằng số, vậy lúc t = 5s : at = - 1m/s2 < 0. Trên quĩ đạo ôtô chạy chậm dần.

3) Gia tốc pháp tuyến ở thời điểm t:

an = R

tRv 22 )10( +−

=

Lúc t = 5s: an = 5052

= 0,5m/s2

4) Gia tốc toàn phần: a = 22

nt aa + = 25,01+ = 1,12m/s2 a = 1,12m/s2

phương của a được xác định bởi các góc α :

cosα = a

an = 12,15,0 = 0,446. α = 63030’

Bài tập mẫu 2: Một viên đạn được bắn lên với vận tốc 800m/s làm với phương ngang một góc 300. 1. Viết phương trình chuyển động của viên đạn 2. Cho biết dạng quĩ đạo của viên đạn

ta

a

α na

H.I-10


17

3. Tính thơì gian mà viên đạn bay từ thời điểm ban đầu cho tới thời điểm chạm đất. 4. Xác định tầm xa của viên đạn 5. Tính độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được. 6. Xác định bán kính cong của quĩ đạo ở thời điểm cao nhất: Coi sức cản của không khí là không đáng kể. Coi gia tốc trọng lượng g = 9,81m/s2

v0 = 800m/s2 - Phương trình chuyển động α = 300 - Dạng quĩ đạo g = 9,81m/s2 - t = ? Cho

Sức cản không đáng kể

Tìm:

- xmax = ? ymax = ? R = ? Giải: Dùng hệ SI Phân tích hiện tượng: khi viên đạn đã bay khỏi nòng súng, một mặt nó tiếp tục chuyển động theo quán tính, mặt khác nó chuyển động dưới sức hút của quả đất với gia tốc a = g (gia tốc rơi tự do) hướng thẳng đứng từ trên xuống. Do đó, chuyển động của viên đạn sẽ là chuyển động cong. Để khảo sát chuyển động của viên đạn, ta chọn hệ toạ độ vuông góc Oxy. Gốc 0 là điểm mà viên đạn bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng.

1. Viết phương trình chuyển động.

Chuyển động của viên đạn có thể coi là tổng hợp hai chuyển động chiếu của viên đạn trên các trục Ox và Oy.

- Chuyển động chiếu trên trục Ox là chuyển động không có gia tốc (nghĩa là chuyển động đều vì ax = g = 0).

Vận tốc ban đầu chiếu trên trục Ox là: v0 cosα . Vậy phương trình chuyển động chiếu trên trục Ox là:

x = (v0 cosα ) t. - Chuyển động chiếu trên trục Oy là chuyển động có gia tốc:

ay = - g = const (nghĩa là chuyển động thay đổi đều). Vận tốc ban đầu chiếu trên trục Oy là v0sinα . Vậy phương trình chuyển động chiếu trên trục Oy sẽ là:

y = (v0 sinα ) t - 21 gt2

Do đó phương trình chuyển động của viên đạn là:

y

��x

v

O H I-11


18

x = (v0 cos α )t y = (v0 sin α )t -

21 gt2

2. Dạng quĩ đạo: Khử t ở hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình quĩ đạo. y = xtgx

vg ).(

cos22

220

αα

+ , quỹ đạo parabolic.

3. Khi viên đạn đạt đến điểm cao nhất thì vy = 0 nghĩa là: vy =

dtdy = v0sinα - gt = v

Từ đó ta suy ra thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao nhất:

t = g

v αsin0 = 2

0

/81,930sin./800

smsm = 40,7s

Từ điểm cao nhất tới khi chạm đất, viên đạn phải bay một thời gian bằng thế nữa, do đó thời gian mà viên đạn bay từ lúc đầu tới lúc chạm đất sẽ là: t’ = 2t = 2 x 40,7s = 81,4s

t’ = 81,4s

4. Gọi tầm bay xa của viên đạn là Sx. Theo phương ngang viên đạn bay với vận tốc không đổi:

vx = v0cosα = 800.cos300 = 694m/s

Vậy tầm bay xa (tức quãng đường mà viên đạn bay theo phương ngang) sẽ là: Sx = vxt, = 694.81,4s = 5,65.104m

Sx = 56,5 km

5. Biết thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao nhất là t = 40,7s, nên độ cao lớn nhất mà viên đạn đạt được sẽ bằng:

ymax = (v0 sinα ) t -21 gt2

= (800.0,5). 40,7 - 21 9,81(40,7)2 = 8.100 m

ymax = 8,1km


19

6. Ở điểm cao nhất gia tốc toàn phần ar trùng với gia tốc pháp tuyến do đó:

an = g = Rvx (vì ở điểm này vy = 0, v = vx).

Suy ra bán kính cong:

R = gvx

2

= 81,9

)694( 2

= 4,91.104m

R = 49,1km.

Bài tập mẫu 3:

Một bánh đà đang quay với vận tốc 300 vòng/phút(v/p), thì bị hãm lại. sau 1 phút tốc độ còn lại là: 180v/p.

1. Tính gia tốc góc bánh đà khi bị hãm.

2. Tính số vòng bánh đà quay được trong thời gian hãm.

Giải: Dùng hệ SI.

N1 = 300v/p

N2 = 180 v/p β = ? Cho:

T = 1 phút

Tìm:

n = ?

1. Giả sử khi hãm bánh đà quay chậm dần đều. Gọi 1ω và 2ω là tốc độ góc của bánh đà trước và sau khi hãm t∆ = 1phút. Theo định nghĩa gia tốc góc

của vô làng bằng: t∆

−= 12 ωω

β .

1ω = 2 1nπ với n1 = 300(v/p) = 5(v/s)

2ω = 2 2nπ với n2 = 180(v/p) = 3(v/s),

t∆ = 1 phút = 60s.

Vậy t

nn

∆

−=

)(2 12π

β = 60

)53(2 −π = - 0,21 2srad


20

β < 0 vì bánh đà quay chậm dần. β = - 0,21 2srad

2. Góc quay trong chuyển động chậm dần đều được tính theo công thức: 2

1 21. tt βωθ −=

Góc quay được sau t∆ = 60s: 21 )(

21 tt ∆−∆= βωθ

Vậy số vòng quay được sau t∆ bằng:

N =π

βπ

π

βω

πθ

2

)(21)(2

2

)(21

2

221

21 ttntt ∆−∆

=∆−∆

=

240= vòng N = 240 vòng

Bài tập tự giải:

1. Một chất điểm chuyển động theo phương trình:

x = 2 cos tω

y = 4 sin tω . Tìm dạng quĩ đạo của chất điểm. Đáp số: 1164

22

=+yx

2. Một xe chạy theo đường thẳng từ A đến B với vận tốc v1 = 40 km/h, rồi lại chạy từ B trở về A với vận tốc v2 = 30 km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên quãng đường khứ hồi.

Hướng dẫn: Dùng định nghĩa: tSvtb ∆

∆= Đáp số : v =

21

21 .2vvvv

+

3. Một vật rơi tự do từ độ cao h = 19,6 m

a) Tính thời gian để vật rơi hết độ cao đó.

b) Tìm những quãng đường mà vật đi được trong 0,1 giây đầu và trong 0,1 giây cuối cùng của vật rơi.


21

c) Tính thời gian để vật rơi được 1m đầu tiên và 1m cuối cùng của độ cao. Không kể ma sát của không khí. Cho g = 9,8m/s2.

Đáp số: a) t = 2s

b) h1 = 4,9cm,

(Hướng dẫn: tìm quãng đường đi được trong 1,9 giây đầu, từ đó suy ra quãng đường đi được trong 0,1 giây cuối).

Đáp số: h2 = 191cm.

c) t1 = 0,45s

d) t2 = 0,05 s

4. Một động tử chuyển động với gia tốc không thay đổi và đi được quãng đường giữa A và B trong 6 giây. Vận tốc khi đi qua A là 5m/s, khi đi qua B là 15m/s. Tính chiều dài quãng đường AB.

Đáp số: AB = 60m.

5. Một chuyển động thẳng lần lượt qua 2 quãng đường bằng nhau, mỗi quãng dài s = 10m, với gia tốc không đổi a. Động tử chạy quãng đường thứ nhất mất t1= 1,06 giây và quãng đường thứ 2 mất t2 = 2,2 giây.

Tính gia tốc a và vận tốc v0 của động tử ở đầu quãng đừơng thứ nhất. Từ đó suy ra đặc điểm chuyển động của động tử.

Hướng dẫn và Đáp số: Viết phương trình chuyển động thẳng thay đổi đều (có gia tốc vận tốc ban đầu) cho hai quãng đường, được hai phương trình hai ẩn.

a = )()(2

2121

12

tttttts

+− = - 3,1m/s2

v0 = 11,1m/s

(Chuyển động chậm dần đều)

6. Từ đỉnh một tháp cao h = 25m ta ném một hòn đá theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu v0 = 15m/s

a) Thiết lập phương trình chuyển động của hòn đá


22

b) Suy ra dạng quĩ đạo của hòn đá.

c) Tính thời gian hòn đá rơi xuống đến đất.

d) Tầm xa (theo phương ngang) của nó.

e) Tính vận tốc và gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến của nó lúc chạm đất

Coi ma sát của không khí là không đáng kể; g = 9,8m/s2

Hướng dẫn và Đáp số :

Chọn hệ toạ độ là gốc của đỉnh tháp, trục tung là đường thẳng đứng đi xuống, trục hoành nằm ngang:

a) x = v0 t, y = 21 gt2

b) y = 202v

g . x2, parabolic.

c) Cho y = h, suy ra sT 26,2=

d) 33,9m

e) v = 26,7m/s, at = dtdv = 8,1m/s2, an = 5,6m/s2

7. Từ một độ cao h = 2,1m, ta ném một hòn đá lên cao với vận tốc ban đầu v0, nghiêng một góc α = 450 với đường nằm ngang. Hòn đá đạt được tầm xa l = 42m. Tính: a) Vận tốc ban đầu của hòn đá.

b) Thời gian hòn đá chuyển động

c) Độ cao lớn nhất mà hòn đá đạt được.

Đáp số: a) 19,8m/s, b) 3s, c) ymax = 12m.

8. Trong nguyên tử hydrogen, ta có thể coi điện tử chuyển động tròn đều xung quanh hạt nhân. Biết rằng bán kính quỹ đạo điện tử là R = 0,5.10- 8cm và vận tốc của điện tử trên quỹ đạo là v = 2,2.108cm/s. Tìm:

a) Vận tốc góc của điện tử .


23

b) Thời gian điện tử quay được một vòng quanh hạt nhân.

c) Gia tốc pháp tuyến của điện tử.

Đáp số: a) 4,4.1016 rad/s, b) 1,4.10-16 s, c) 9,7.1032 m/s2

9. Một bánh xe bán kính 10 cm quay vòng tròn với gia tốc 3,14 2srad . Sau giây đầu

tiên: a) Vận tốc góc của bánh xe là bao nhiêu?

b) Vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến pháp tuyến và toàn phần của một điểm trên vành bánh xe là bao nhiêu?

Đáp số: a) α = β .t = 3,14rad/s, b) v = 0,314 m/s, at = 0,314m/s2,an = 0,986m/s2

10. Hai vật được ném cùng một lúc dưới những góc khác nhau đối với phương nằm ngang và với những vận tốc ban đầu khác nhau. Hãy chứng minh rằng trong những lúc chuyển động thì vận tốc tương đối của chúng là không đổi về độ lớn và cả về phương.

Hướng dẫn và Đáp số: Tìm các thành phần của các vector vận tốc trên hai trục toạ độ vuông góc rồi tính các thành phần của vận tốc tương đối giữa chúng trên hai trục ấy.

11. Một vật nặng được treo vào một quả khí cầu đang lên cao với vận tốc không đổi nào đó. Đột nhiên ta cắt đứt dây treo. Xét xem vật nặng sẽ chuyển động như thế nào? Bỏ qua sức cản không khí (xem quả khí cầu bay thẳng đứng).

Hướng dẫn và đáp số: Vật nặng sẽ chuyển động như khi ta ném nó ở độ cao của khí cầu có vận tốc của khí cầu và theo phương của khí cầu.


24

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998. 2. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2,

NXBĐH và THCN năm 1998. 3. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996. 4. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG.

NXBGD năm 1977. 5. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ.

NXBGD năm 1996. 6. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ.

NXBGD năm 1996.


25

Chương II. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

2.1. NHỮNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG LỰC HỌC, BA ĐỊNH LUẬT CỦA NEWTON

2.1.1. NHỮNG ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỘNG LỰC Khác với động học, động lực học nghiên cứu chuyển động có xét đến

nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó (lực). Ngoài ra động lực học còn thiết lập các mối liên hệ giữa các đặc trưng động học và động lực học, tạo nên một sự hoàn chỉnh về nghiên cứu chuyển động nói chung. 2.1.1.1. Lực Để mang một vật từ vị trí này sang vị trí khác ta cần phải đặt vào nó lực và chính lực này đã làm thay đổi trạng thái của vật (nó thu được một gia tốc). Tuy nhiên cũng có khi tương tác của hai vật không gây ra chuyển động mà chỉ tạo ra sự thay đổi hình dạng chẳng hạn khi ta nén một lò xo, hay một miếng cao su, một cục đất sét, v.v...

Độ dài (có đơn vị đo bằng mét) đặc trưng cho kích thước của vật theo một phương nào đó; một vật cán nặng hay nhẹ ta dùng khái niệm khối lượng để đặc trưng và có đơn vị là kg.v.v. Hoàn toàn tương tự như vậy để đặc trưng cho sự tương tác và để đo tương tác người ta dùng khái niệm lực và có đơn vị đo là N (Newton)

“Lực là đại lượng đặc trưng cho sự tương tác giữa các vật mà kết quả truyền cho chúng một gia tốc hay làm cho chúng biến dạng”.

Để xác định một lực thì cần biết lực đó tác dụng theo phương chiều nào và có độ lớn bằng bao nhiêu, điểm đặt của nó ở đâu. Do vậy lực là một đại lượng vector, thường ký hiệu bằng chữ F . Người ta lấy đơn vị lực là Newton (N) để kỷ niệm nhà bác học Newton đã có công lớn trong việc xây dựng khái niệm lực và tìm ra các định luật động lực học tổng quát nhất. 2.1.1.2. Khối lượng Khối lượng của một vật (hay một hệ vật) là đại lượng đặc trưng cho lượng vật chất chứa trong vật (hay một hệ vật). Khối lượng thường được ký hiệu bằng chữ m và đơn vị trong hệ SI là kg. 2.1.1.3. Động lực học

Động lực học là một phần của cơ học nghiên cứu chuyển động có xét đến nguyên nhân đã gây ra chuyển động đó.

Động lực học chất điểm là phần động lực nghiên cứu chất điểm. Nguyên nhân của chuyển động như ta đã nói ở trên là do lực tác dụng 2.1.2. BA ĐỊNH LUẬT CỦA NEWTON (Isaac Newton 1642 - 1727 người Anh) 2.1.2.1. Định luật I


26

Một vật nằm yên trên bàn là do sự cán bằng của hai lực tác dụng lên vật đó là trọng lượng của vật và phản lực của mặt bàn. Tưởng tượng có một mặt bàn nằm ngang dài vô hạn, một viên bi làn trên mặt bàn nhờ ta cho nó một vận tốc ban đầu. Nếu bằng cách nào đó mà ma sát giữa viên bi và mặt bàn nhỏ không đáng kể thì viên bi sẽ chuyển động thẳng đều mãi mãi. Trong trường hợp này phản lực của bàn vẫn cán bằng với trọng lượng của viên bi trong quá trình chuyển động. Qua đó ta thấy rằng giữa trạng thái đứng yên và chuyển động thẳng đều có một điểm chung là tổng hợp lực tác dụng lên vật bằng không. Nhiều thí nghiệm cơ học đã chứng tỏ rằng hai trạng thái này hoàn toàn tương đương nhau. Newton đã tổng kết thành định luật:

Nếu tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không thì chất điểm giữ nguyên trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều

001

=⇒=∑=

aFn

kk

r

Định luật I Newton nói lên một tính vốn có của vật chất là nếu không có lực tác dụng thì vật đứng yên thì đứng yên mãi mãi, vật chuyển động thẳng đều thì chuyển động thẳng đều mãi mãi, tính đó goị là tính quán tính. Do tính quán tính mà muốn thay đổi một trạng thái thì phải có lực tác dụng vì vật chất luôn luôn có xu hướng bảo toàn trạng thái đang có của nó. Do vậy ta có nhận xét như sau về vật chất:

- Vật chất có tính quán tính. - Khối lượng càng lớn thì quán tính càng lớn. - Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều về mặt lực là

tương đương nhau và đều có tính tương đối. 2.1.2.2. Định luật II Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng cùng một vật khối lượng m:

- Nếu lực tác dụng 1fr

thì vật thu được gia tốc 1ar - Nếu lực tác dụng 2f

r thì vật thu được gia tốc 2ar

- - Nếu lực tác dụng nf

r thì vật thu được gia tốc nar

nhưng ta luôn luôn có: maf

vvvaf

af

n

n ==== r

r

r

r

r

r

.....2

2

1

1 .

Hay ta tổng quát lên: maf

=r

r

.

Các thí nghiệm và tính toán chứng tỏ rằng m chính là khối lượng của vật, là đại lượng mà ta đã nói ở trên. Như Vậy:


27

a = mfr

hay amf rr= (II-1).

Gia tốc mà vật thu được tỷ lệ thuận với lực tác dụng và tỷ lệ nghịch với khối lượng của vật.

Điều cần lưu ý ở đây là trên thực tế một vật thường có nhiều lực tác dụng lên nên f

r phải hiểu là hợp lực. Bởi vậy (II-1) có thể viết tổng quát hơn là:

amFfn

kk == ∑

=1

r (II-2).

Dễ dàng thấy rằng nếu 001

=⇒=∑=

aFn

kk

r có nghĩa là v = stcon hay 0=v

vật đứng yên hay chuyển động thẳng đầu, điều này hoàn toàn phù hợp với nội dung của định luật I Newton. 2.1.2.3. Định luật III Định luật

Khi chất điểm m1 tác dụng lên chất điểm m2 một lực 12F

r thì chất điểm m2 cũng tác

dụng lên chất điểm m1 một lực 21Fr

: hai lực này tồn tại đồng thời, cùng phương, ngươc chiều và cùng cường độ. Nghĩa là ta đã ký hiệu:

12Fr

là lực m1 tác dụng lên m2 21Fr

là lực m2 tác dụng lên m1 thì theo địnhluật III: 2112 FF = , 12F

r 21F

r.

Theo toán học 2112 FF −= hay 2112 FF + = 0 (II-3). Nhận xét

- Lực và phản lực là hai lực tác dụng đồng thời. - Lực và phản lực là một cặp lực trực đối. - Lực và phản lực đặt vào hai vật nên không cán bằng.

2.1.3. LỰC TÁC DỤNG LÊN CHẤT ĐIỂM CHUYỂN ĐỘNG TRÒN Trong chương trình vật lý lớp 10 ta biết rằng một vật có khối lượng m chuyển động tròn đều thì có gia tốc hướng tâm là:

an = Rv 2

(II-4).

(R : bán kính đường tròn, na hướng theo bán kính vào tâm). Nên theo định luật II Newton thì lực hướng tâm tác dụng lên vật làm cho nó chuyển động tròn là:

Fn = R

mv2

12Fr

21Fr

m1 m2

Hình II-1

HìnhII-2

R

∆

na0 v

ω


28

( Fn hướng theo bán kính vào tâm) Trong trường hợp vật chuyển động tròn không đều thì gia tốc a gồm hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với quỹ đạo nên lực tác dụng cũng gồm hai phần tương ứng. a = an + at

F = m a = m an + m at (II-5). hay F = Fn + Ft

2.2. BA ĐỊNH LUẬT KEPLER, ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN VŨ TRỤ

2.2.1. CÁC ĐỊNH LUẬT KEPLER (người Aó) Tycho De Brahe và Kepler đã quan sát bầu trời và ghi chép lại rất tỷ mỷ.

Chẳng hạn để xác định quỹ đạo của Hoả Tinh, Kepler đã làm bảy mươi phép tính trên hai ngàn trang giấy lớn còn Tycho De Brahe đã quan trắc trong 20 năm. Kiên trì quan điểm của Copernicus, dựa vào các tính toán, quan trắc của Tycho De Brahe, Kepler đã tìm ra ba định luật: 2.2.1.1. Định luật I (1609)

Các Hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo những quỹ đạo ellipse mà Mặt Trời ở một trong hai tiêu điểm của ellipse đó.

Biểu thức toán học của định luật I:

ϕcos1 epr

+= (II-6).

Với: p = F1P là thông số của ellipse ϕ góc tính đến cận điểm (C)

aba

OCFOe

221 −

== là tâm sai.

(trong đó: a và b bán trục lớn và bán trục bé của ellipse). Ngoài ra: cận điểm rc = a.(1 - e),

viễn điểm rv = a (1 + e). 2.2.1.2. Định luật II (1609)

Bán kính vector từ Mặt trời tới mỗi hành tinh quét được những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.

P H

V F2

F1

C �

r

Hình II-3


29

Biểu thức toán học của định luật này

là: dtdr 2 ϕ = C = hằng số (II-7).

Vậy nên: dt2

dr 2 ϕ = σ=dtdS = hằng số

(σ gọi là vector vận tốc diện tích). 2.2.1.3. Định luật III (1619)

Bình phương chu kỳ chuyển động của Hành tinh quanh Mặt trời tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo ellipse. Nghĩa là: T2 = ha3 (h là hệ số tỷ lệ). Từ đó ta có hệ quả cho 2 Hành tinh:

haT

aT

haThaT

===>⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=32

22

31

21

32

22

31

21

(hằng số) (II-8).

trong đó: )(

4 2

mMGh

+=

π

2.2.2. ĐỊNH LUẬT HẤP DẪN VŨ TRỤ (Newton) 2.2.2.1. Định luật

Hai phần tử vật chất bất kì hút nhau một lực tỷ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. 2.2.2.2. Biểu thức

221

2112 rmmFFF ≈==

Như vậy đưa vào hệ số tỷ lệ G ta viết được biểu thức định luật như sau:

221

2112 rmmGFFF === (II-9).

(Trong đó người ta xác định được hệ số tỷ lệ G bằng 6,67.10-11Nm2/kg2). Dạng vector của định luật này:

12

122

12

2112 r

rr

mmGFrr

= ,

21

212

21

2121 r

rr

mmGF

rr=

Với ký hiệu như trên hình II-6 ta viết gọn dạng vector của định luật như sau:

321

221

rrmm

Grr

rmm

GFrrr

−=−= . (II-10).

2.2.2.2. Chú ý

Hình II-4

H2

H H3

H4

F1 F2 O

∆t

∆t

rF rr,

Hình II-6

Hình II-5

F12 F21 r


30

- Lực hấp dẫn là lực hút nên âm. - Hai lực đặt vào hai vật xuất hiên đồng thời. - Chúng là một cặp vector trực đối

2.2.3. CÁC VÍ Dụ 2.2.3.1. Ví du 1

Hai người nặng 50kg và 60kg ngồi cách nhau 1m. Hãy tìm lực hút giữa họ. Lực hút giưã hai người này là:

NF 72

11 10.21

60.50.10.67,6 −− ≈= .

2.2.3.2. Ví dụ 2 Tìm lực hút giữa Trái đất lên một người nặng 50kg biết khối lượng Trái

đất là 6.1024kg, khoảng cách từ Trái đất đến người đó đúng bằng bán kính Trái đất: Người này chịu một lực hút của Trái đất là:

NF 500)10.637(

50.10.6.10.67,6 24

2411 ≈= −

2.2.3.3. Ví dụ 3 Tìm lực hút giữa Mặt trời và Trái đất biết khối lượng Mặt trời lớn hơn

khối lượng Trái đất là 330000lần. Khối lượng Trái đất là 6.1024kg, khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời 15.107km.

Lực hút giữa hai vật này là:

NF 21210

2442411 10.35

)10.15(10.6.10.33.10.6.10.67,6 ≈= −


31

2.3. ĐỘNG LỰƠNG VÀ XUNG LƯỢNG CỦA MỘT CHẤT ĐIỂM

2.3.1. ĐỘNG LƯỢNG 2.3.1.1. Động lượng

Dễ dàng thấy rằng để đặc trương cho sự truyền chuyển động (truyền lực) từ vật này sang vật khác, thì phải dùng cả hai đại lượng là vận tốc và khối lượng. Vì thiếu một trong hai đại lượng này thì hoặc là không hoặc sự truyền tương tác rất yếu. Đương nhiên khối lượng càng lớn và vận tốc càng lớn thì sự truyền tương tác càng mạnh (một thí dụ rất dễ thấy là đoàn tàu lửa có khả năng truyền tương tác rất lớn vì khối lượng và vận tốc của nó đều lớn, một cục bông có khả năng truyền chuyển động yếu vì khối lượng của nó rất bé nhưng chiếc tàu lửa đứng yên lại không có khả năng truyền chuyển động cho vật nào cả). Từ lập luận trên ta có thể tìm biểu thức động lượng từ định luật 2 Newton:

dtvmd

dtvdmamF )( rr

rr=== (a).

Ta đặt pvm rr= (b) thì pr là động lượng của chất điểm theo logic mà ta đã

nói ở trên, ngoài ra vmr càng lớn thì Fr

cũng càng lớn, sự truyền chuyển động càng lớn và như vậy động lượng có đơn vị là kgm/s2.

Tóm lại động lương: vmp rr= (II-11a).

Động lượng là đại lượng đặc trưng cho sự truyền chuyển động từ vật này lên vật khác, có trị số bằng tích số giữa khối lượng của chất điểm và vận tốc của nó. 2.3.1.2. Các định lí về động lượng

Thay (b) vào (a) ta có: dtpdFrr

= (II-11b).

Độ biến thiên của động lượng của chất điểm trong một đơn vị thời gian bằng tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm.

Mặt khác nếu tổng hợp lực bằng không thì: 0=dtpdr ,

dẫn đến: constp =r .

Hay: ....321 === ppp rrr

Nếu tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không thì động lượng của điểm là một đại lượng bảo toàn. 2.3.2. XUNG LƯỢNG


32

Từ biểu thức dtpdFrr

= , ta suy ra: ∫ ∫=⇒=2

1

2

1

P

P

t

t

dtFpddtFpd

r

r

rrrr .

Hay ∫∫ =∆⇒=−2

1

2

1

12

t

t

t

t

dtFpdtFpprrrrr (II-12).

Trong đó ∫2

1

t

t

dtFr

được gọi là xung lượng của lực Fr

tác dụng lên chất điểm,

nó chính là độ biến thiên động lượng 2.3.3. NHẬN XÉT

- Động lượng hay xung lượng đều có chung một ý nghĩa là: chúng đều là những đại lượng đặc trưng cho sự truyền chuyển động (hay truyền tương tác) từ vật này lên vật khác.

- Xung lượng chính là độ biến thiên động lượng nên chúng có cùng đơn vị.

- Điều khác nhau chủ yếu giữa động lượng và xung lượng là ở chổ: nói đến xung lượng là phải nói đến lực và thời gian tác dụng của lực.

- Một vật chuyển động đều thì có động lượng mà không có xung lượng và đây là điều thể hiện sự khác nhau cơ bản giữa chúng

- Nếu lực tác dụng không đổi thì:

tFdtFpt

t

∆==∆ ∫rrr 2

1

tFp ∆=∆⇒rr (II-13).

2.3.4. BÀI TOÁN SÚNG GIẬT LÙI

Tìm vận tốc dật lùi của súng, nếu súng có khối lượng là M (kể cả khối lượng của xe), đạn có khối lượng là m, viên đạn bay ra khỏi nòng súng với vận tốc là vr . Để giải bài toán này ta chọn chiều dương là chiều bay của viên đạn chẳng hạn, vận tốc giật lùi của viên đạn

là Vr

. Do thời gian nổ bé nên có thể xem 0≈dt , dẫn đến 02

1

12 ≈=− ∫t

t

dtFpprrr

động lượng bảo toàn: str pp rr=

với str pp rr , là động lượng ngay trước và sau khi bắn.

Hay: vmVMmM rrr+=+ 0)( .

Chuyển sang biểu thức độ lớn:

Hình II-7

Vr

vr M m

x


33

mvMV +−=0 . Tóm lại vận tốc dật lùi của súng:

MmvV −= .

Chẳng hạn M = 400kg, v = 400m/s, m = 1kg thì vận tốc giật lùi ngay sau khi bắn của súng là: V = -1.400/400 = -1m/s 2.3.5. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG CỦA CHẤT ĐIỂM

Để đặc trưng cho khả năng bảo toàn chuyển động quay quanh một điểm (hay một trục) nào đó của chất điểm người ta đưa ra khái niệm moment động lượng với định nghĩa như sau: vmrL rrr

Λ= . Như vậy:

- Phương của Lr

vuông góc với mặt phẳng chứa rr và vmr .

- Chiều của Lr

hợp với rr và vmr thành một tam diện thuận.

- Độ lớn của Lr

bằng mvdrmvL == αsin (với dr =αsin )

Hình II-8

H

rr

Lr

α

d

vmr


34

2.4. TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA CHUYỂN ĐỘNG, NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEO

2.4.1. ĐỊNH LÝ CỘNG VẬN TỐC VÀ CỘNG GIA TỐC 2.4.1.1. Định lí cộng vận tốc Ta hãy xét chất điểm M chuyển động bất kỳ trong hai hệ qui chiếu (O) và (O’), với các kí hiệu như sau: r là vector định vị của chất điểm trong hệ (O) r' là vector định vị của chất điểm trong hệ (O’) R là vector định vị của hệ (O’) so với hệ (O) Hệ (O) đứng yên, hệ (O’) chuyển động bấ kỳ. Hình vẽ cho ta thấy: r = r ’ + R Đạo hàm hai vế theo thời gian ta có

dtRd

dt'rd

dtrd

+= hay Vvv += ' (II-14).

Trong đó:

v = dtrd là vận tốc của chất điểm trong hệ

(O) gọi là vận tốc tuyệt đối,

v ’ = dt

'rd là vận tốc của chất điểm trong

hệ (O’) gọi là vận tốc tương đối,

Còn V = dtRd là vận tốc của hệ (O’) đối với hệ (O) gọi là vận tốc kéo theo.

Vận tốc của chất điểm trong chuyển động tuyệt đối bằng vận tốc trong chuyển động tương đối cộng với vận tốc kéo theo. 2.4.1.2. Định lí cộng gia tốc Mặt khác tiếp tục đạo hàm hai vế của (II-14) một lần nữa theo thời gian ta

có: dtVd

dt'vd

dtvd

+= .

Hay: a = a ’ + A (II-15). Một cách tương tự ta có a là gia tốc tuyệt đối; a ’ là gia tốc tương đối và A là gia tốc kéo theo.

Gia tốc trong chuyển động tuyệt đối bằng tốc gia tốc trong chuyển động tương đối cộng với vận tốc gia tốc kéo theo. 2.4.2. NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEO, CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO (Galileo Galilei 1564 - 1642 người Ý) 2.4.2.1. Hệ quy chiếu quán tính

z z’

(O)

y

x’

x

0’ rR

Hình II-9

(O’)

0

y’

'r M


35

Hệ quy chiếu gắn với vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều là hệ quy chiếu quán tính

Định nghĩa trên cho ta hệ quả là: mọi hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính đều là hệ quy chiếu quán tính

Hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc là hệ quy chiếu không quán tính 2.4.2.2. Nguyên lý tương đối

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các hiện tượng cơ học xảy ra trong các hệ quy chiếu quán tính đều giống nhau. Thử tưởng tượng vào một ngày lặng gió (mặt nước không có sóng), một tàu thủy chạy thẳng đều (một đoạn ngắn để có thể xem là chuyển động thẳng) thì mọi hiện tượng xảy ra ở trên đó giống như trên mặt đất đứng yên. Một vật rơi thẳng đứng, một vật nằm yên ở trên bàn vẫn giữ nguyên trạng thái giống như khi con tàu đứng yên. Từ những thực nghiệm đó Galileo đã tổng quát thành nguyên lý về tính tương đương của các hệ quy chiếu quán tính:

Mọi hệ qui chiếu quán tính đều tương đương nhau. 2.4.2.3. Các phép biến đổi Galileo Bây giờ ta quay lại với phương trình:

dtrd =

dt'rd + V ,

hay d r = d r ’ + V dt, thực hiện tích phân hai vế theo thời gian ta có:

∫∫∫ ⇒+=rtr

rddtVrd000

' r = r ’ + V t Nếu giả thiết hệ (O’) chuyển động dọc theo trục ox của hệ (O) với vận tốc không đổi V thì dạng thành phần của phương trình trên là (V=Vx, Vy = 0,Vz = 0):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

===+=

' t t'z; z' '

y y' va 'Vt - x x' '

ttzzyy

Vtxx

(II-16).

Các công thức (II-16) gọi là các phép biến đổi Galileo, cho phép ta chuyển các độ tọa độ từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác và ngược lại. Như vậy trong cơ học cổ điển thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.


36

Bài tập chương II.

ĐỘNG LỰC HỌC

CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM

Bài tập mẫu 1:

Một bản gỗ A được đặt trên một mặt bàn nằm ngang. Ta dùng một sợt dây, một đầu buộc vào A cho vòng qua một ròng rọc và đầu kia của sợi dây buộc vào một bản gỗ B khác (Hình II-10).

1. Xác định gia tốc của hệ. Biết khối lượng của A và B lần lượt là m1 = 200 gam và m2 = 300 gam. Hệ số ma sát giữa bản A và mặt bàn nằm ngang là k = 0,25.

2. Tính lực căng của dây.

Giải: Dùng hệ SI.

m1 = 200g = 0,2kg

m2 = 300g = 0,3kg a = ? Cho:

k = 0,25

Tìm:

T = ?

1) Dưới tác dụng của trọng lực 2P hệ hai vật A, B sẽ chuyển động theo các phương trình: amTPNFMS

rrrrr11 =+++

amTP rrr22 )( =−+

Chiếu các phương trình này lên các phương: chuyển động và phương vuông góc với chuyển động ta được

amFT MS 1=−

0011 ==− mgmN

amTgm 22 =−

kNFMS = (đã có từ lớp 10 THPT).

msF

N -T

T

B

2P

1P

H.II-10


37

Giải hệ 4 phương trình trên ta được:

gmmkmm

a )(21

12

+−

=

thay số: 29,48,9.3,02,0

)2,025,03,0(sma =

+×−

=

1. Ta hãy tính lực căng T của dây nhờ vào các phương trình trên, chẳng hạn phương trình :

T - Fms = m1a

Suy ra: T = m1a + Fms

Thay a và Fms bằng giá trị của nó ta có:

T = 21

21 )1(mm

gkmm+

+

Thay số: T = N47,13,02,0

8,9.)25,01(3,0.2,0=

++ , T = 1,47N

Bài tập mẫu 2: Một vật có khối lượng m, được đặt

trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang một góc 40. Hỏi: 1) Giới hạn của hệ số ma sát là bao nhiêu để vật có thể trượt trên mặt phẳng nghiêng. 2) Nếu hệ số ma sát là 0,03 thì gia tốc của vật là bao nhiêu? 3) Trong điều kiện đó vật trượt trên mặt phẳng nghiêng 100m phải mất thời gian bao lâu? 4) Vận tốc của cuối quãng đường 100 m đó? Giải: Dùng hệ SI.

α = 40 k0 =?

Cho: k = 0,03 Tìm: a = ?

'N

P N

Fms

α

H.II-11


38

s = 100m t = ?, v = ?

1) Muốn vật trượt được trên mặt phẳng nghiêng, ta phải có điều kiện: Pt ≥ fms .Trong đó Pt = Psinα là thành phần chiếu của trọng lượng P trên phương chuyển động fms = kN = kPcosα là lực ma sát.Thay vào (1) ta có:

Psinα ≥ kPcosα

Hay: k ≤ tgα

Vậy: k0 = tgα = tg40 = 0,07

2) Nếu k = 0,03, tính a.

Vì k < k0 nên vật trượt xuống phía dưới theo phương dốc. Ngoại lực tác dụng lên vật bằng:

F = P + ,N + ,msf

,N là phản lực pháp tuyến, chiếu đẳng thức trên phương dốc, ta được lực gây ra gia tốc của vật bằng: Psinα = fms

Áp dụng định luật II Newton:

gkmkmgmg

mfPa ms )cos(sincossinsin ααααα

−=−

=−

=

Thay số vào:

a = (sin40 - 0,03 cos40). 9,81 2sm = 0,39 2s

m a = 0,39 2sm

3) Vật chuyển động nhanh dần đều không có vận tốc ban đầu.

Phương trình chuyển động là: s = 2

21 at

Suy ra: t = ,2as với s = 100m

thì: t = 39,0100.2 = 22,7s t = 22,7s


39

4) Vận tốc cuối đoạn đường:

v = at = 0,39 2sm x 22,7s = 8,85

sm v = 8,85

sm

Bài tập mẫu 3:

Một xe có khối lượng 15 tấn chuyển động chậm dần với gia tốc bằng - 0,49 2s

m và với vận tốc ban đầu v0 = 27h

km . Hỏi:

1) Lực hãm chuyển động?

2) Sau bao lâu xe dừng lại?

Giải: Dùng hệ SI

M = 15 tấn = 15.000kg

Cho: a = 0,49m/s2 F = ?

v0 = 27 km/h = 7,5m/s Tìm:

t∆ = ?

1) Theo định luật Newton 2, lực gây ra gia tốc a (lực hãm) bằng:

F = ma = 15.000 kg (-0,49)m/s2 = - 7.350N

2) Giả sử sau thời gian t∆ lực hãm làm cho xe dừng lại (v = 0) thì theo định lý “Xung lượng bằng biến thiên động lượng”

F t∆ = mv - mv0 = - mv0

Vậy: t∆ 350.7

5,7000.150

−×−

==F

mv t∆ =13,3s

Bài tập mẫu 4:

Trên đường ray có một xe khối lượng 10 tấn. Trên xe có một khẩu pháo khối lượng 0,5 tấn (không kể đạn). Mỗi viên đạn có khối lượng 1kg. Khi bắn có vận tốc ban đầu (so với đất) bằng 500m/s. Coi noöng pháo nằm ngang và chĩa dọc theo đường ray. Tính tốc độ của xe sau khi bắn trong hai trường hợp:


40

1) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn theo chiều xe chạy.

2) Ban đầu xe chuyển động với vận tốc 18km/h và đạn bắn ngược chiều xe chạy. Coi ma sát không đáng kể.

Giải: Dùng hệ SI

M (xe) = 10 tấn = 10.000kg

M’ (súng) = 0,5 tấn = 500kg

M (đạn) = 1kg

v (đạn) = 500m/s Tìm: v2 = ?

Cho:

V1 (xe) = 18km/h = 5m/s

Lực tác dụng lên hệ (xe, sung, đạn ) triệt tiêu, vậy hệ tuân theo định luật bảo toàn động lượng.

Động lượng của hệ trước khi bắn

1P = (M + M’+ m) 1V

Động lượng của hệ sau khi bắn

2OP = (M + M’) 2V + mv

Ta có: 1P = 2P

(M + M’+ m) 1V = (M + M’) 2V + mv

2V = '

)'( 1

MMvmVmMM

+−++

1) Nếu đạn bắn theo chiều xe chạy thì:

'

)'( 12 Mm

mvVmMMV

+

−++=


41

= =+

×−++500000.10

50015)1500000.10( 4,95 m/s V2 = 4,95 m/s

2) Nếu đạn bắn ngược chiều xe chạy. ( 1V và v ngược chiều) thì:

'

)()'( 12 Mm

mvVmMMv

+

−−++=

= =+

+++500000.10

50015)1500000.10 5,05 m/s V2 = 5,05 m/s

Bài tập tự giải:

1. Một thanh gỗ bị kẹp giữa hai mặt phẳng đứng, thanh gỗ có khối lượng 5kg, lực nén thẳng góc lên mỗi mặt của thanh gỗ bằng 150N. Hỏi muốn nâng hay hạ thanh gỗ theo phương thẳng đứng thì cần phải tác dụng lên thanh gỗ những lực bằng bao nhiêu? Biết hệ số ma sát giữa các mặt tiếp xúc là 0,2.

Hướng dẫn và Đáp số: Dùng khái niệm lực ma sát khô. Cần chú ý đến chiều lực ma sát. Ta có: Fnâng = 109N; Fhạ = 10,95N.

2. Một xe có khối lượng 20 tấn chuyển động chậm dần dưới tác dụng của một lực hãm có giá trị bằng 6.120N. Vận tốc ban đầu của xe bằng: 54km/h. Tính:

a) Gia tốc của xe.

b) Sau bao lâu xe dừng lại.

c) Từ lúc bắt đầu chuyển động chậm dần tới lúc dừng hẳn, xe đã chạy được quãng đường bao nhiêu?

Đáp số: a) a = - 0,3m/s2, b) t = 50s, c) s = 375m

3. Một vật có khối lượng 5kg. Được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang một góc 300. Hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng nằm nghiêng bằng 0,2. Tính gia tốc của vật? Đáp số: a = 3,24m/s

4. Một sợi dây được vắt qua một ròng rọc hai đầu buộc hai quả nặng có khối lượng lần lượt bằng m1 = 3kg, m2 = 2kg. Tính gia tốc của hệ và lực căng của dây? Giả sử ma sát không đáng kể, dây không giãn và không bỏ qua khối lượng.


42

Đáp số: a = 21

21

mmmm

+− g = 1,96m/s2

T = gmmmm

2

212+

= 23,5N

5. Một bản gỗ A được đặt trên một mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang với một góc α = 300. Dùng một sợi dây, một đầu buộc vào A, vòng qua một ròng rọc, đầu kia treo trên một bản gỗ B khác. Cho khối lượng của A bằng m1 = 1kg, của B bằng m2 = 1,5kg. Hệ số ma sát giữa A và mặt phẳng nghiêng là 0,2. ma sát ở chỗ ròng rọc không đáng kể.

Tính gia tốc của hệ AB và lực căng của dây.

Đáp số: a = 2

21

112 /24,3)cossin( smmm

gkmmm=

+−− αα

T = m2(g - a) = 9,94 N

6. Một người di chuyển một chiếc xe với vận tốc không thay đổi. Lần đầu người ấy kéo xe về phía trước, lần sau người ấy đẩy xe về phía sau. Trong cả hai trường hợp càng xe hợp với phương nằm ngang một gócα . Hỏi trong trường hợp nào người tốn lực hơn? Biết rằng trọng lượng của xe là P, hệ số ma sát của bánh xe với mặt đất là k.

Hướng dẫn và Đáp số:

- Trường hợp kéo xe về phía trước, muốn xe chuyển động ít nhất phải: F1 = fms

hay Fcosα = k(P - Fsinα ),

suy ra: F = αα sincos k

kP+

A

B

H.II-13

m1

m2

H.II-12

PmsF

2F F

1F

α

H.II-14


43

- Trường hợp đẩy xe về phía sau: F = αα sincos k

kP−

Vậy “đẩy xe về phía sau tốn lực hơn kéo xe về phía trước”.

7. Một toa xe có khối lượng 20 tấn chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 54km/h. Xác định lực trung bình tác dụng lên xe nếu toa xe dừng lại sau thời gian:

a) 1 phút 40 giây

b) 10 giây Đáp số: a) 3.000N, b) 30.000N

8. Một phân tử có khối lượng m = 4,65. 10-23gam, chuyển động với vận tốc 60m/s va chạm đàn hồi với thành bình dưới góc nghiêng α = 600. Tính xung lượng của lực tác dụng lên thành bình trong sự va chạm đó?

Đáp số: 2,8.10-24N.s

9. Một viên đạn có khối lượng 10 gam chuyển động với vận tốc v = 200m/s xuyên thẳng vào một tấm gỗ và chui sâu vào trong tấm gỗ một đoạn l = 4cm. Hãy xác định lực cản trung bình của gỗ và thời gian viên đạn chuyển động trong tấm gỗ.

Hướng dẫn: Dùng phương trình chuyển động chậm dần đều và định luật 2 Niutơn. Đáp số: F= 5.000N; t∆ = 4.10-4s.

10. Một vật có khối lượng 1kg chuyển động ngang với vận tốc 1m/s va chạm không đàn hồi vào vật thứ 2 khối lượng 0,5kg. Tính vận tốc của mỗi vật sau va chạm nếu: a) Vật thứ hai ban đầu đứng yên.

b) Vật thứ hai ban đầu chuyển động cùng chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s.

c) Vật thứ hai ban đầu chuyển động ngược chiều với vật thứ nhất với vận tốc 0,5m/s.

Đáp số: a) 0,67m/s

b) 0,83m/s

c) 0,50m/s


44

11. Một ôtô trọng lượng P = 16.000N chạy trên một chiếc cầu cong lên phía trên với vận tốc không đổi v = 36km/h. Bán kính cong của cầu R = 83m. Tính lực mà ôtô tác dụng lên cầu khi nó ở vị trí cao nhất.

Đáp số: F = 14.035N

12. Một chiếc thang máy treo ở đầu phía dây cáp. Khi lên thoạt tiên dây cáp chuyển động có gia tốc, sau đó chuyển động đều và trước khi dừng lại thì chuyển động chậm dần đều. Lực căng của dây thay đổi thế nào?

Hướng dẫn và Đáp số: Khi chuyển động nhanh dần đều T > P khi chuyển động đều P = T khi chuyển động chậm đều T < P.

13. Trong ống lõm hai đầu bịt kín chứa một ít nước, một quả cầu nhôm, một quả cầu gỗ. Nếu làm ống quay quanh trục thẳng đứng thì xảy ra hiện tượng gì?

Đáp số: - Bi gỗ đi xa trục

- Bi nhôm gần trục

14. Một chiếc xe có khối lượng 20kg, có thể chuyển động không ma sát trên một con đường nằm ngang. Trên xe đặt một hòn đá khối lượng 4 kg . Hệ số ma sát giữa hòn đá và xe là k = 0,2. Lần đầu người ta đặt lên hòn đá một lực là 6N. Lần thứ hai đặt F2 = 20N. Hãy xác định lực ma sát giữa hòn đá và xe, gia tốc của hòn đá và xe trong cả hai trường hợp.

Đáp số: Trường hợp đầu: fms = 5N.

axe = ađá = 0,25m/s2

Trường hợp sau: fms = 3,92N

ađá = 3,03m/s2

axe = 0,39m/s2

nhäm

gä

H.II-15


45






NXBGD năm 1996.


44

Chương III.

ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM, ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

3.1. SƠ LƯỢC VỀ ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 3.1.1. HỆ CHẤT ĐIỂM, NỘI LỰC, NGOẠI LỰC, PHƯƠNG TRÌNH 3.1.1.1. Các định nghĩa

Hệ chất điểm là một hệ gồm hai chất điểm trở lên. Những lực tác dụng qua lại giữa các chất điểm trong hệ gọi là nội lực. Những lực từ bên ngoài tác dụng vào hệ gọi là ngoại lực. Hệ chỉ có nội lực tác dụng gọi là hệ kín (hay hệ cô lập). Hệ có tác dụng của ngoại lực gọi là hệ không kín (hay hệ hở)

3.1.1.2. Phương trình chuyển động của hệ Giả sử ta có hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ...,mn. Tác dụng lên chất điểm mk nào đó gồm hai lực là f k nội lực và Fk ngoại lực. Hệ gồm n chất điểm nên phương trình chuyển động là:

11 am = f 1 + F1

am2 2 = f 2 + F2 (III-1). amn n = f n + Fn .

(Ta có tất cả là n phương trình). Cộng từng vế các phương trình này ta được phương trình chuyển động của hệ (phương trình động lực học):

∑ ∑∑∑= =≠∀=

+=n

1k

n

1kk

k1k

n

1kkk Ffam (III-2).

(Tác dụng lên mk gồm tất cả những chất điểm khác mk (nghĩa là gồm n-1 chất điểm) nên: f k = ∑

≠∀ klf lk. Ngoài ra hệ gồm n chất điểm nên số hạng thứ nhất bên

phải có hai dấu∑ )

3.1.2. ĐỘNG LƯỢNG, XUNG LƯỢNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM Ta xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ... mn thì phương trình chuyển động của mk như đã biết là:

amk k = dtpd

Ff klk

kllk

r

=+∑≠∀

.

Xét cả hệ ta có: ∑ ∑ ∑∑∑= ≠∀ ===

=+=n

k kl

n

k

kn

kklk

n

k

k

dtpd

Ffdtpd

1 111

rrr

.

Trong đó: ∑ ∑ ∑= ≠∀ =

==n

k kl

n

k

klk p

dtd

dtpd

f1 1

;0 rr

với ∑=

=n

kkpp

1

rr là động lượng tổng cộng của cả hệ. Ngoài ra ∑=

n

kkF

1

= F là tổng

ngoại lực tác dụng lên hệ, vậy ta có:


45

=dtpdr F (III-3).

Độ biến thiên động lượng của hệ trong một đơn vị thời gian thì bằng tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Mặt khác từ (III-3) ta lại có: dtFpdtFpd ∫∫∫ =∆=

rr hay (III-4).

Trong đó dtF∫ gọi là xung lượng của hệ (nó bằng độ biến thiên động lượng)

Hơn nữa nếu tổng hợp lực bằng không thì: 0=dtpdr , dẫn đến:

constp =r .

Hay: ....321 === ppp rrr

Nếu tổng hợp lực tác dụng lên hệ chất điểm bằng không thì động lượng của hệ chất điểm là một đại lượng bảo toàn. 3.1.3. KHỐI TÂM 3.1.3.1. Khái niệm và định nghĩa Để đi đến khái niệm khối tâm trước hết ta xét một hệ gồm 2 chất điểm m1, m2, lần lượt đặt tại 2 điểm M1, M2, trong trọng trường. Trọng lượng của chúng lần lượt là gmpgmp rrrr

2211 , == . Tổng hợp lực của chúng có điểm đặt tại điểm G nằm trên trên đoạn M1M2 đồng thời thoả mãn:

1

2

1

2

2

1

mm

gmgm

GMGM

== ,

hay GMmGMm 2211 = . 02211 =− GMmGMm 02211 =+ GMmGMm

Ta có thể biểu diễn dạng vector như sau: 02211 =+ GMmGMm

Tổng quát cho hệ n chất điểm: 0......2211 =+++ nn GMmGMmGMm ,

hay viết gọn hơn ∑=

=n

kkk GMm

1

0 .

G thoả mãn điều kiện trên là khối tâm của hệ, theo đó ta có định nghĩa khối tâm như sau: khối tâm là điểm đặc trưng cho hệ mà chuyển động của nó đặc trưng cho chuyển động của cả hệ. Trong trường hợp gốc tọa độ ta đặt tại một điểm O nào đó thì G được xác định so với O như sau:


46

GMOMOG kk += .

Dẫn đến: ∑∑ ∑ ∑== = =

=+=n

kkk

n

k

n

k

n

kkkkkk OMmGMmOMmOGm

11 1 1

(vì số hạng thứ hai bằng không theo chứng minh trên). Suy ra:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= == n

kk

n

kkk

n

kk

n

kkk

m

rm

m

OMmOG

1

1

1

1

r

.

Nếu ta đặt kZjYiXRGOrrrrr

++== thì các tọa độ của khối tâm có công thức tính như sau:

∑

∑

=

== n

kk

n

kkk

m

xmX

1

1 , ∑

∑

=

== n

kk

n

kkk

m

ymY

1

1 , ∑

∑

=

== n

kk

n

kkk

m

zmZ

1

1 . (III-5).

(Trong đó kzjyixr kkkk

rrrr++= là vector định vị vẽ từ gốc O xác định vị trí

của km ) 3.1.3.2. Vận tốc của khối tâm

∑∑

∑

∑

∑

∑

∑

==

=

=

=

=

= ===== n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kkk

m

p

m

p

m

vm

m

rm

dtdR

dtdV

11

1

1

1

1

1 )()(r

rrrrr

(III-6).

( ∑=

=n

kkpP

1

rr là động lượng tổng cộng của cả hệ).

3.1.3.3. Phương trình chuyển động của khối tâm Từ phương trình (III-6) ta có phương trình chuyển động của khối tâm:

∑ ∑∑= ==

===n

k

n

kk

kk

n

kk F

dtvd

mdtVdmF

1 11

rrrr

(III-7).

Kết quả này chứng tỏ việc xét chuyển động của một hệ chất điểm đưa về việc xét chuyển động của khối tâm.


47

3.2. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

3.2.1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN 3.2.1.1. Các định nghĩa Vật rắn tuyệt đối là vật rắn mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó luôn luôn không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động . Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của vật rắn luôn luôn song song với phương ban đầu trong suốt quá trình chuyển động. (các định nghĩa này đã có trong phần động học). Chuyển động của một xe trên một đường thẳng, tàu hỏa trên đoạn đường ray thẳng .v.v. là chuyển động tịnh tiến điển hình. 3.2.1.2. Phương trình động lực học Giả sử có một vật rắn khối lượng m đang chuyển động tịnh tiến dưới tác dụng của một lực F nào đó. Ta tưởng tượng chia vật rắn này thành những phần nhỏ (đủ để xem chúng như là những chất điểm): ∆ m1, ∆ m2,..., ∆ mn. Tổng nội lực f k và tổng ngoại lực Fk tác dụng lên mk nên phương trình động lực học của chúng là:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=∆

+=∆

+=∆

nnnn Ffam

Ffam

Ffam

.......................2222

1111

Cộng từng vế các phương trình này ta có:

∑ ∑ ∑= = =

+=∆n

k

n

k

n

kkkkk Ffam

1 1 1

.

Mà vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi điểm đều có cùng một gia tốc a: n21 a...aa == .

Nên: ∑ ∑= =

=∆=∆n

k

n

kkkk amamam

1 1

)(

Người ta chứng minh được tổng nội lực tác dụng lên hệ bằng không:

01

=∑=

n

kkf .

Còn FFn

kk =∑

=1

là tổng của các ngoại lực tác dụng lên hệ.

Tóm lại ta có: Fam = (III-8). Kết luận

Farr,

Hình III-1

V

∆mk


48

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn được xem như chuyển động của một

chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả vật rắn đặt tại khối tâm của nó. 3.2.2. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 3.2.2.1. Định nghĩa Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là chuyển động mà mọi điểm của vật rắn (trừ các điểm trên trục quay) đều có quỹ đạo tròn có trục là trục quay. Ta có nhận xét là: vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định thì cả vật rắn có cùng vận tốc góc còn các điểm càng xa trục quay thì vận tốc dài càng lớn. 3.2.2.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay quanh một trục cố định, thành phần của lực gây ra chuyển động quay Ta xét một vật rắn bất kỳ, khối lượng m quay quanh trục ∆ với vận tốc góc ω

r và gia tốc góc β

r.

Một chất điểm ∆ mk của vật rắn chịu tác dụng của một ngoại lực Fk nên quay quanh trục ∆ . Phân tích Fk thành hai thành phần 1F song song với trục quay và F2 vuông góc với trục quay: Fk = F1+ F2. Dễ dàng thấy rằng chỉ có F2 mới gây quay (còn F1 chỉ có tác dụng làm vật trượt theo trục quay là chuyển động tịnh tiến mà ta đã xét) Lại phân tích F2 thành hai thành phần:

Ftk tiếp tuyến với quỹ đạo Fnk pháp tuyến với quỹ đạo: Ta có: F2 = F tk + Fnk . Ta cũng nhận thấy rằng lực gây ra chuyển động quay là Ftk. Ftk càng lớn và kr càng lớn thì khả năng quay càng mạnh. Tích rkFtk đặc trưng cho chuyển động quay của ∆ mk và gọi là moment quay của lực và ký hiệu là Mk. Vậy: Mk = rk.Ftk = ∆ mk .atk.rk (với atk = rk.β ).

Xét cho toàn bộ vật rắn (gồm n chất điểm ) ta có:

β.2

111k

n

kk

n

kktk

n

kk rmMFr ∑∑∑

===

∆== ,

hay viếït gọn lại là: Mrm k

n

kk =∆∑

=

β.2

1

.

1F

Hình III-2

∆

kr0

nF2F

kF

tF


49

Đặt: Irm k

n

kk =∆∑

=

2

1

(moment quán tính đối với trục ∆ ) (III-9).

Dạng vector của moment lực: β= IM (III-10). (III-10) là phương trình cơ bản của vật rắn quay quanh một trục cố định.


50

3.3. MOMENT QUÁN TÍNH, MOMENT

ĐỘNG LƯỢNG, NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 3.3.1. MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN Công thức: Irm 2

k

n

1kk =∑

=

chỉ dùng trong

trường hợp vật rắn có khối lượng phân bố gián đoạn như trên hình III-3 (bỏ qua các khối lượng của các thanh).

Hầu hết vật rắn có khối lượng phân bố liên tục như trên hình III-4 nên moment quán tính phải tính theo biểu thức: I( = ∫∫∫

V

2dmr (III-11).

Mỗi vật rắn có moment quán tính đối với một trục quay nhất định là một giá trị xác định (đơn vị của I là kgm2). Ví dụ 1 Tìm moment quán tính của một thanh đồng chất dài l khối lượng m đối với trục quay là trung trực của thanh, khối lượng phân bố đều trên thanh (Hình III-5) Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽ tại tọa độ x lấy một đoạn dx thì khối lượng của dx là: dx

lmdm = .

Moment quán tính của dm đối với trục quay là: dx

lmxdmxdI 22

0 == .

Moment quán tính của cả thanh:

∫−

==2

2

22

0 12

l

l

mldxxlmI

(chỉ số 0 ký hiệu moment quán tính đối với trục đi qua khối tâm và vuông góc với thanh). Ví dụ 2

Tìm moment quán tính của một vòng dây đồng chất nặng m bán kính R đối với trục của nó.

Hình III-5

∆

20

2ldxxl

−

∆

Hình III-3

∆m1

r 1

r n ∆mn

∆m1

r

Hình III-4

V

dm

∆

dlHình III-6

R O


51

Với cách đặt hệ tọa độ như hình vẽî ta lấy một đoạn dl khối lượng dm, dễ dàng tính được dm : .

2.

2ϕ

ππRd

Rmdl

Rmdm ==

Moment quán tính của dm đối với trục quay là: ϕ

πd

RmRdmRdI

232

0 == .

Moment quán tính của cả đĩa:

∫ ==π

ϕπ

2

0

22

0 2mRdmRI

3.3.2. MỘT SỐ BIỂU THỨC TÍNH MOMENT QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN ĐỐI VỚI TRỤC QUAY ĐI QUA KHỐI TÂM

Sau đây là một số giá trị moment quán tính thường gặp mà trục quay đi qua khối tâm của vật:

- Một thanh đồng chất có mật độ đều, dài l, khối lượng m đối với trục

quay là đường trung trực của thanh: 12

2

0mlI =

- Một hình trụ đặc, một đĩa đặc khối lượng m, bán kính R đối với trục

của nó là: 2

2

0mRI =

- Một vòng dây, một hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R đối với trục của nó: I0 = mR2

- Một hình cầu đặc đồng chất bán kính R, khối lượng m, trục bất kỳ đi

quay đi qua tâm: 5

2 2

0mRI =

3.3.3. ĐỊNH LÝ HUYGENS - STENER Các giá trị moment quán tính nói trên như đã nói đếu có trục quay đi qua khối tâm của vật. Để tính moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ ta dùng định lý Huygens-Stener. Ở đây chỉ nêu định lý và công thức mà sẽ không chứng minh. Trong đó ta ký hiệu: m là khối lượng của vật; 0∆ và ∆ là hai trục quay song song đi qua khối tâm và đi qua một vị trí bất kỳ, hai trục quay cách nhau một đoạn b và song song với nhau; moment quán tính tương ứng đối với hai trục này là I0 và I. Công thức định lý Huygens-Stener như sau:

20 mdII += (III-12).

Moment quán tính đối với một trục quay bất kỳ song song với trục quay đi qua khối tâm của vật rắn bằng moment quán tính đối với trục quay đi qua khối tâm cộng với tích số giữa khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục quay.

3.3.4. MOMENT ĐỘNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN

d

Hình III-7

�(0


52

3.3.4.1. Khái niệm Để đặc trưng cho khả năng bảo toàn trạng thái quay của các vật người ta cũng đưa ra khái niệm moment động lượng của vật rắn đối với một trục hay một điểm và cũng có ký hiệu là vector L

r như moment động lượng của chất

điểm. Từ công thức trên β= IM ta có thể khai triển

dtId

dtdIM )( ωω

rr

== (III-13).

(vì đối với một vật rắn nhất định và một trục quay nhất định thì I là một hằng số). Dễ dàng thấy rằng ω

rI biến thiên càng lớn thì M càng lớn, ωrI đặc trưng

cho sự bảo toàn quay và được gọi là moment động lượng của vật rắn quay quanh một trục.

ωrr

mL = (III-14). 3.3.4.2. Các định lý Thay (III-13) vào (III-14) ta có:

dtLdMr

= (III-15).

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian của moment động lượng của vật rắn đối với một trục bằng tổng các moment lực tác dụng lên vật đối với trục đó.

Mặt khác nếu: M = 0 thì dtLdr

= 0,

đẫn đến constL =r

. Hay: ....321 === LLL

rrr

hoặc .....332211 === ωωωrrr III (III-16).

Nếu tổng các moment lực tác dụng lên vật rắn đối với một trục bằng không thì moment động lượng đối với một trục đó được bảo toàn. 3.3.5. ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY Bất kỳ một sự chuyển vị trí nào của vật rắn từ nơi này sang nơi khác cũng phân tích được thành hai chuyển động: một chuyển động tịnh tiến của khối tâm và các phép quay quanh khối tâm. Một vật chuyển động bất kỳ ngoài động năng của chuyển động tịnh tiến của khối tâm còn có động năng quay của nó quanh khối tâm:

2

2ωIWdq = (III-17).

Do vậy cơ năng toàn phần của vật rắn là : W = Wt +Wđtt+Wđq

Trong đó: Wt =mgh là thế năng Wđtt =mv2/2 là động năng tịnh tiến của khối tâm Wđq =Iω 2/2 là động năng quay quanh tâm


53

Bài tập chương III.

ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Bài tập mẫu 1: Tác dụng vào một bánh xe (coi như hình trụ rỗng) bán kính r = 0,5m, khối lượng m =50kg một lực tiếp tuyến Ft =100N. Hãy tìm: a) Gia tốc của bánh xe. b) Sau một thời gian bao lâu (kể từ lúc có lực tác dụng) bánh xe có tần số n = 100 vòng/phút. Giả thiết lúc đầu xe đứng yên. Giải:

r = 0,5m M = 50kg β = ? Ft = 100N (t = ? Cho:

ω = 2 π n/60 = 3

10π rad/s

Tìm:

a) Tìm β

Dùng phương trình cơ bản: Ι

Μ=β

Với M = rFt = 0,5.100 = 50Nm I = mr2 = 50.(0,5)2 = 12,5kgm2

Thay vào (1) có:

5,1250

==I

Mβ = 4 rad/ s2 β = 4 rad/ s2

b) Tìm (t : Bánh xe quay nhanh dần đều (vì M = const). Do đó sự liên hệ giữa vận tốc góc và thời gian được biểu diễn theo công thức: ω = β t (Vì lúc đầu bánh xe đứng yên ω 0 = 0)

t = 43

10xπ

βω

= = 2,61s t = 2,61s


54

Bài tập mẫu 2: Một bánh đà hình đĩa hình tròn có khối lượng 500 kg, bán kính 20cm đang quay với tần số n = 480 vòng/ phút. Dưới tác dụng của lực ma sát bánh đà dừng lại Hãy tính moment của lực ma sát trong hai trường hợp: a) Bánh đà dừng lại sau thời gian 50s. b) Bánh đà dừng lại sau khi đã quay thêm được 200 vòng. Giải:

m = 500kg r = 20cm = 0,2m ω = 2π n/60 = 50,2 rad/s M1 = ?

Cho:

∆ t = 50s, N = 200 vòng Tìm:

M2 =? 1) Áp dụng định lý Moment động: M. t∆ = I.ω 2 - Iω 1 ω 2 = 0 (dừng lại), nên:

M = - t

I∆

1.ω

Bánh đà là đĩa tròn nên:

I = 21 mr2 do đó : M = -

tmr

∆2

2

.ω 1

M = - 502

20500 2

x),( . 50,2 = -10Nm. M = -10Nm.

Dấu trừ có nghĩa là moment hãm. 2) Nếu bánh đà còn tiếp tục quay thêm N = 200 vòng. Áp dụng định lý

động năng quay: A = 2.

2. 2

122 ωω II

−

Khi dừng lại thì: ω 2 = 0, nên:

A = - 2

21ω.I = -

2

2ω.I

Mặt khác A = Mθ

Nên Mθ = - 2. 2ωI mà I =

21 mr2

Mθ = - 4

2mr 2ω


55

M =

θ4

2mr 2ω

M = - 20024

25020500 22

..),(.),(.

π

M = -8038, ≈ - 1Nm

M = -1Nm Dấu (-) có nghĩa là moment hãm.

Bài tập mẫu 3: Một ròng rọc bán kính r = 50 cm được gắn vào một bánh đà có cùng trục quay. Moment quán tính của cả hệ I = 10- 2 kgm2. Trên ròng rọc có quấn một sợi dây một đầu treo một quả cân có khối lượng m = 0,5kg. Hãy tính: a) Gia tốc rơi tự do của quả cân. b) Sức căng T của dây. c) Vận tốc của quả cân khi nó rơi được 0,5m. Giải:

r = 5cm = 0,05m I = 10- 2 kgm2 A = ? m = 0,5kg T= ?

Cho:

s = 0,05m Tìm:

V = ? a) Tính a: Trong trường hợp này hệ chuyển động gồm có 2 phần: Một phần quay và một phần chuyển động định tiến. Để áp dụng phương trình cơ bản ta tưởng tượng tách hệ ra làm 2 phần:

- Một phần là vật chỉ tham gia chuyển động định tiến. - Một phần bánh đà chỉ tham gia chuyển động quay. Giả sử cắt dây ở một điểm A, muốn hệ giữ nguyên trạng thái động lực

như cũ phải tác dụng vào các đoạn dây ở A những lực căng T. Ròng rọc và bánh đà dưới tác dụng của lực căng T của sợi dây sẽ

chuyển động quay. Theo phương trình cơ bản của chuyển động quay ta có: Tr = I β (1)

- Quả cân chuyển động định tiến dưới tác dụng của trọng lực P và lực căng T’. Theo định luật II Newton ta có:

T’ A

T +

Hình III-8


56

P - T’ = ma (2)

Trong đó T’ = T a = β r P = mg

Từ (1) và (2) ta suy ra được:

mg - 2rIa = m

a = 2rIm

mg

+ =

4

2

10.25105,0

8,9.5,0

−

−

+ = 1,08m/s2

a = 1,08m/s2 b) Tính sức căng T: Từ (1) ta suy ra:

T = 4

2

2 102508110−

−

==β

.,.

rIa

rI = 4,32 N

T = 4,32 N c) Tính vận tốc: Khi quả cân rơi được một đoạn s thì vận tốc được tính theo công thức: s =

21 at2 (3)

v = at (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: v = as2 v = 500812 ,.,. = 1,03m/s v = 1,03m/s

Bài tập tự giải: 1. Một trục quay hình trụ đặc khối lượng Mt = 10kg có thể quay xung quanh một trục nằm ngang. Trên trục có cuốn một sợi dây. Một đầu tự do của dây có treo một quả nặng có khối lượng m = 2kg. Hãy:

a). Tìm gia tốc chuyển động của quả nặng nếu để nó tự chuyển động. Bỏ qua sức cản của không khí. b. Tính lực căng của dây.


57

Hướng dẫn: Tưởng tượng phân tích chuyển động cuả hệ 2 phần: phần chuyển động quay và phần chuyển động tịnh tiến rồi áp dụng công thức cơ bản:

Đáp số: a) a = 2,8m/s2 b) T = 14N

2. Đặt bánh xe có bán kính r = 0,5 m và có moment quán tính I = 20kgm2, một moment lực không đổi M = 50Nm. Hãy: a. Tìm gia tốc góc của bánh xe. b. Vận tốc của một điểm trên vành bánh xe lúc t = 10giây (cho biết lúc đầu bánh xe đứng yên)

Đáp số: a) β = 2,5 rad/ s2 b) v = 12,5 m/s

3. Một đĩa đặc đồng chất nặng 20N lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang với vận tốc v = 4m/s. Tính động năng của đĩa Hướng dẫn: Động năng của hệ bằng động năng động năng chuyển động tịnh tiến cộng với Động năng chuyển động quay

Đáp số: Wđ = 24,5 J 4. Trên một hình trụ rỗng người ta quấn một sợi dây, đầu dây tự do gắn trên trần nhà. Trụ chuyển động xuống dưới, dưới tác dụng của trọng lực. Hãy: a) Tính gia tốc rơi của trụ b) Tính lực căng của sợi dây Cho biết khối lượng của trụ m = 1kg. Bỏ qua khối lượng và bề dày của sợi dây.

Đáp số: a = g/2 = 4,9 m/s2,

T = 2P = 4,9 N

5. Hãy xác định động năng toàn phần khi lăn không trượt với vận tốc v trên mặt phẳng của những vật sau: a) Một hình trụ đặc khối lượng m b) Một quả cầu khối lượng m c) Một xe khối lượng m1 (không kể bánh). Có 4 bánh xe dưới dạng những đĩa đặc khối lượng mỗi bánh xe là m2.

Đáp số: a) Wđ= 43 mv2


58

b) Wđ = 107 mv2

c) Wđ = (m1 + 6m2) 2

2v

6. Hai vật khối lượng m1 và m2 (m1> m2) nối với nhau bằng một sợi dây luồn qua một ròng rọc. Ròng rọc có moment quán tính I và bán kính r. Khi m1,, m2 chuyển động thì ròng rọc quay quanh trục của nó. Hãy: a) Xác định gia tốc góc của ròng rọc. b) Tìm sức căng T ở các chỗ nối m1, m2 Hướng dẫn: Tách hệ thành từng phần chỉ tham gia chuyển động tịnh tiến và chỉ tham gia chuyển động quay. Rồi áp dụng các phương trình cơ bản tìm được β , T1, T2

Đáp số: β = I

r)TT( 21 −

T1 = m1g ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+

221

222

rImm

rIm

T2 = m2g ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+

221

222

rImm

rIm

7. Một người đứng ở giữa ghế Giucovski cầm trong tay hai quả tạ mỗi quả khối lượng m = 10kg. Khoảng cách từ quả tạ đến trục quay là 0,75m. ghế quay với vận tốc 1ω = 1 vòng/s. Hỏi: công của người đã sinh ra và vận tốc góc của ghế thay đổi thế nào nếu người đó co tay lại để khoảng cách từ mỗi quả tạ đến trục chỉ còn 0,2m. Cho moment quán tính của người và ghế đối với trục quay là I0 = 2,5Kg.m2.

Đáp số: 2ω = 4.1 vòng/s A = 920J


59






NXBGD năm 1996.


60

Chương IV.

CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 4.1. CÔNG, CÔNG SUẤT

4.1.1. CÔNG 4.1.1.1. Định nghĩa

Một vật có năng lượng thì có khả năng sinh công, và vật sinh công càng nhiều thì chứng tỏ nó có năng lượng càng lớn, công cơ học giống với công trong đời sống ở chỗ là muốn thực hiện công thì phải tiêu tốn một năng lượng. Tuy nhiên về cơ bản thì chúng khác nhau. Cụ thể là trong cơ học công được định nghĩa như sau: Công cơ học nguyên tố dA của lực F làm dịch chuyển một chất điểm được một đoạn d rr là: dA = rdF rr

= F.drcosα (IV-1). (α là góc hợp bởi giữa F

r và rdr )

(Hay dA = Fxdx + Fydy + Fzdz Trong đó Fx, Fy, Fz là thành phần của lực F trên các trục tọa độ làm dịch chuyển những đoạn tương ứng là dx, dy, dz, công của lực bằng tổng công của các lực thành phần trên các trục toạ độ.

Công toàn phần trên một đoạn đường AB nào đó:

A = rdFB

A

r∫ (IV-2).

( hay A= dzFdyFdxF z

B

Ayx ++∫ )

4.1.1.2. Nhận xét - Nói đến công cơ học là phải có dịch chuyển - và đây cũng là điểm

khác của nó với công trong đời sống - Nếu α = 0 thì dA có giá trị lớn nhất (dA = dAmax). Công của lực có

giá trị lớn nhất khi lực tác dụng cùng phương chiều với phương dich chuyển.

- Nếu α = 2π -> dA = 0 nghĩa là những lực tác dụng vuông góc với

phương chuyển dời thì không sinh công. - Nếu α = π thì dA < 0. Nghĩa là công của lực cản thì âm. - Nếu lực tác dụng không đổi

sFsdFAB

A

rr.== ∫ (IV-3).

Công thức này chúng ta cũng đã quen thuộc trong chương trình phổ thông trung học. 4.1.2. CÔNG SUẤT

α B

A F

rdr

Hình IV-1


61

Như trên ta đã biết tất cả các lực đều có khả năng sinh công, các lực khác nhau thì nói chung khả năng sinh công cũng khác nhau. Để đặc trưng cho khả năng sinh công của lực này nhiều hay ít hơn lực kia người ta đưa ra khái niệm công suất với định nghĩa:

Công suất là công của lực thực hiện được trong một đơn vị thời gian.

dtdAP = ,

Trong đó dA là công của lực thực hiện được trong thời gian dt.

mà sdFdA rr= . Nên: vF

dtsdFP ==

Tóm lại αcos. FvvFP == (IV-4). α là góc giữa lực và vận tốc Hay: P = Fxdx + Fydy + Fzdz (công suất của lực bằng tổng công suất của các lực thành phần trên các trục toạ độ)


62

4.2. ĐỘNG NĂNG,

ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.1. ĐỘNG NĂNG 4.2.1.1. Định nghĩa Mọi vật chuyển động thì có khả năng sinh công, chứng tỏ nó có năng lượng. Năng lượng mà vật có ở dạng chuyển động như vậy gọi là động năng. Động năng là năng lượng chuyển động của vật, nó là đại lượng đặc trưng cho khả năng sinh công khi vật chuyển động.

Ta có nhận xét rằng vận tốc và khối lượng của vật càng lớn thì động năng cũng càng lớn. Điều này có thể kiểm nghiệm qua chuyển động của các vật thường gặp như xe cộ, tàu thuyền .v.v..Như vậy thì động năng phải được tính qua khối lượng và vận tốc. Ngoài ra vì công là một dạng của năng lượng nên có thể tìm động năng bằng cách xuất phát từ biểu thức tính công:

sddtvdmrdFdA rr

r== .

mà vdt

sd= nên ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

2

2mvdvdvmdA (*).

Dễ dàng chứng minh được 22 vv =r .

Đại lượng 2

2mvWd = có thứ nguyên năng lượng và theo logic lập

luận của chúng ta thì nó chính làì động năng của chất điểm, ngoài ra 2

mv2

càng lớn thì A cũng càng lớn, chúng có cùng đơn vị là đơn vị của năng lượng 1kgm2/s2 = 1J.

Thay Wđ vào (*) dẫn đến: dA = dWđ

Tích phân hai vế ∫∫ =2

10

d

d

W

Wd

A

dWdA

Ta được: 22

21

22 mvmv

WA d ==∆= (IV-5).

4.2.1.2. Định lý Độ biến thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại

lực tác dụng (Định lý này chỉ đúng khi thế năng không đổi hoặc bằng 0). 4.2.2. ĐỘNG NĂNG CỦA HỆ, ĐỊNH LÝ ĐỘNG NĂNG 4.2.2.1. Động năng của hệ chất điểm

Ta cũng xét một hệ gồm n chất điểm: m1, m2, ...,mn tác dụng lên mk của hệ gồm nội lực f k và ngoại lực Fk vậy công nguyên tố của lực thực hiện trên mk là: dAk = ( ) kkkkkkk rdFrdfrdFf +=+


63

hay dAk = dA nk +dA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2kkng

kvm

d

(Trong đó dA nk là công của nội lực kf còn dA ng

k là công của ngoại lực Fk,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2kk vm là động năng của km

4.2.2.2. Định lý động năng của hệ chất điểm Xét cho toàn hệ ta có:

∑ ∑ ∑∑∑= = ===

+===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

1k

n

1k

n

1k

ngk

nkk

n

1k

2kk

n

1k

2kk dAdAdA

2vmd

2vmd

Tóm lại ta có: dA = dAn + dAng = dWđ (An, Ang, Wd tương ứng là công nội lực, công của ngoại lực, động năng của hệ) Dẫn đến: dA = dWđ

hay 22

21

22

0

2

1

mvmvdWdAd

d

W

Wd

A

−== ∫∫ .

Hay ta viết gọn: A = ∆ Wđ (IV-6). Độ biến thiên động năng của hệ bằng tổng công của các nội lực và các ngoại lực tác dụng lên hệ. 4.2.2.3. Hệ quả

- Đối với vật rắn lý tưởng thì do các chất điểm không dịch chuyển tương đối với nhau nên công của nội lực bằng không. Vậy dA = dAng = dWd hay Ang = ∆ Wd tức là độ biến thiên động năng của vật rắn thì bằng công của ngoại lực tác dụng.

- Nếu vật rắn tự do (không có ngoại lực tác dụng) thì F = 0 dẫn đến dA = 0 = dWd ⇒ Wd = const động năng là một đại lượng bảo toàn.


64

4.3. THẾ NĂNG, ĐỊNH

LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.1. KHÁI NIỆM THẾ NĂNG Một chiếc quạt treo trên trần, một thác nước, v.v... đều có một năng lượng ngay cả khi chúng không chuyển động, và dĩ nhiên là không phải động năng. Điều mà ta có nhận xét ở đây là tất cả chúng đều cách Trái đất một khoảng cách nào đó. Năng lượng như vậy gọi là thế năng, do vị trí tương đối giữa các vật hay nói là do lực hấp dẩn. Nói chung thì công của lực phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển nhưng công của trường lực hấp dẩn thì chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và vị trí cuối của đoạn đường đó. Những lực như vậy gọi là lực thế và trường lực gọi là trường thế. Tóm tại: - Thế năng là năng lượng của trường thế

- Trường thế là trường của các lực xuyên tâm

- Trường các lực xuyên tâm là trường của các lực có đường tác dụng (hay vector trường) luôn luôn đi qua một điểm cho trước

Trường xuyên tâm mà ta bắt gặp nhiều nhất là trường lực hấp dẫn, điện trường của điện tích điểm. 4.3.2. CÔNG CỦA TRƯỜNG THẾ, BIỂU THỨC THẾ NĂNG 4.3.2.1. Công của trường hấp dẫn, biểu thức thế năng

Công của lực hấp dẫn của chất điểm M tác dụng lên m đặt cách M một đoạn r làm cho m dịch chuyển một đoạn dr là:

3rrdrMmGrdFdArr

rr−== .

Nên công của lực dịch chuyển m từ vị trí 1 sang vị trí 2 là:

∫=2

1

3

r

r rrdrGMmArr

Ta chứng minh được rdrrdr =

rr thực vậy:

rdrrdrrdrdr

zyxdzdzydyxdxrdr

kdzjdyidxkzjyixrdr

===

++=++=

++++=

22

2

2)(

))((

2

222

rr

rr

rrrrrrrr

)

x y

z

1rr

2rr

M

Hình IV-2

m

O

Fr

rdr

rr 2

1


65

Do đó: ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

2

1 123

11r

r rrGMm

rrdrGMmArr

(IV-7).

Rõ ràng là công không phụ thuộc vào dạng đường đi. Người ta đặt

11 r

GMmW −= thế năng ở vị trí 1

2

2 rGMmW −= thế năng ở vị trí 2.

Do đó WWWWWA ∆−=−−=−= )( 1221 Ta có định lý thế năng:

Công của lực của trường thế thế thì bằng độ giảm thế năng. Tóm lại thế năng của m trong trường hấp dẫn của M, đặt cách M một đoạn r là:

rGMmW −= (IV-8).

4.3.2.2. Thế năng của một vật ở độ cao h so với mặt đất Xét một vật có khối lượng m được đặt cách mặt đất một đoạn h (tại vị trí A), tâm Trái đất là O, B ở trên mặt đất và trên đoạn thẳng OA. Vì thế năng có tính cộng được nên: BOAOABBOABAO WWWWWW −=→+=

hhRR

GMmR

GMmhR

GMmWAB )()(

+=−−

+−=

(Trong đó R là bán kính Trái đất, h là độ cao của vật so với mặt đất, M là khối lượng Trái đất, m là khối lượng của một vật nào đó ta cần tính thế năng ). Nói chung hR >> nên 2)( RhRR ≈+ , dẫn

đến: hR

GMmWW hAB 2)( == ,

đặt gsmR

GM=≈ 2/8,9 ,

do đó: mghW h =)( (IV-9). 4.3.2.3. Các vận tốc vũ trụ Ta sử dụng lại hình vẽ IV-3 ở trên với gốc toạ độ đặt tại mặt đất, gọi vận tốc tại mặt đất của tên lửa là v0 ở trên quỹ đạo là v. Nếu bỏ qua tất cả các lực cản thì cơ năng của tên lửa bảo toàn:

WW =0

Hay: )(2

)(2

220

hRGmMmv

RGmMmv

+−+=−+

Trong đó m là khối lượng của tên lửa, M và R là khối lượng và bán kính của Trái đất.

R

Hình IV-3

h B

A

o O


66

Mặt khác lực hấp dẫn gây ra chuyển động của tên lửa nên lực hấp dẫn là lực hướng tâm:

22

22

2

mvr

GmMr

mvr

GmM=⇒=

Dẫn đến: )(2

)(2

20

rGmM

rGmM

RGmMmv

−+=−+ .

Hay: )22

20

rGmM

RGmMmv

−=

Rr

RrGMv −=

20

Với các hành tinh bay gần Trái Đất thì quỹ đạo gần như một đường tròn. Nên ta có thể lấy gần đúng: RhRr ≈+=

nên:

skm

sm

RGM

RGMv

9,77900

10.637110.6.10.67,6

11

42411

01

=≈

==

−

01v gọi là vận tốc vũ trụ cấp một. Với vận tốc vũ trụ cấp hai 02v là vận tốc mà vệ tinh ở rất xa Trái đất,

khi đó: ∞≈Rh :

skmv

RGM

rRrrRrrGMv

2,119,7.2.2

02/

//2

0

02

≈==

+=

−=

s

kmv 2,1102 ≈

4.3.3. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG 4.3.3.1. Định luật bảo toàn cơ năng Khi nghiên cứu động năng của một chuyển động ta có định lý động năng trong trường hợp thế năng không thay đổi là:

dA = dWd. Khi nghiên cứu thế năng của một chất điểm trong trường thế (trường lực bảo toàn) ta có định lý thế năng:

dA = - dWt. Trừì từng vế cho nhau hai phương trình ta được:

d(Wd + Wt) = 0.


67

Do đó: Wd + Wt = Const (IV-10). Định luật 1: Cơ năng của chất điểm trong trường thế trong trường hợp không có tác dụng của ngoại lực là một đại lượng bảo toàn . 4.3.3.2. Định luật biến đổi cơ năng Trong trường lực bất kỳ hay trong trường hợp vật chịu tác dụng của ngoại lực thì cơ năng của chất điểm nói chung hay các vật thể nói riêng là không bảo toàn. Thực vậy từ công thức tính cơ năng: W = Wt + Wd , Ta suy ra: dW = dWt + dWd = dA ∫ ∫=

A W

WdWdA

0

2

1

WWWA ∆=−=⇒ 12 (IV-11). Định luật 2: Độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng.


68

4.4. VA CHẠM

4.4.1. KHÁI NIỆM Trong Vật Lý, va chạm chỉ quá trình tương tác giữa các vật, với ý nghĩa là một sự tương tác có tiếp xúc, sự đụng độ giữa các vật. Chẳng hạn, khi hai vật ở cách nhau một khoảng lớn, tương tác giữa chúng không đáng kể, khi đi lại gần nhau tương tác rất mạnh. Trong một thời gian ngắn có khi chỉ một phần nghìn giây hay ít hơn. Kết quả tương tác có thể là những hiện tượng rất khác nhau: hai vật tương tác có thể dính lại làm một, có thể những hạt mới xuất hiện, có thể xẩy ra va chạm đàn hồi..v.v.. Chúng ta sẽ xét hai loại va chạm phổ biến thường gặp là va chạm đàn hồi và không đàn hồi và dùng các định luật bảo toàn động lượng và năng lượng để nghiên cứu. 4.4.2. VA CHẠM ĐÀN HỒI 4.4.2.1. Định nghĩa, va chạm đàn hồi xuyên tâm

Va chạm đàn hồi là va chạm mà sau va chạm các vật không bị biến dạng và chuyển động độc lập đối với nhau.

Có thể lấy ví dụ va chạm đàn hồi là: sự va chạm của các quả bida. Ta hãy xét va chạm đàn hồi của hai chất điểm có khối lượng m1 m2 . Gọi vận tốc trước và sau va chạm của hai vật lần lượt là

',',, 2121 vvvv rrrr . Bởi nội năng của hai chất điểm trong quá trình va chạm không thay đổi nên ta không cần quan tâm tới nó. Vì trước và sau va chạm các vật không còn tương tác, ngoài ra xét hai vật va chạm trên mặt phẳng nằm ngang nên định luật bảo toàn năng lượng chỉ cần viết đối với động năng:

222

211

222

211 '

21'

21

21

21 vmvmvmvm +=+ . (a)

Định luật bảo toàn động lượng: 21112211 '' vmvmvmvm rrrr

+=+ . (b). Giải hệ phương trình (a) và (b) ta được vận tốc của hai vật sau va chạm:

21

221211

2)('mm

vmvmmv+

+−=

rrr

21

112122

2)('

mmvmvmm

v+

+−=

rrr (IV-12).

4.4.2.2. Nhận xet: - Trường hợp m2 >> m1, 02 =vr

21

1211

)('mm

vmmv+

−=

rr

1vr 2vrm2 m1

H.V. 3a


69

21

112

2'mm

vmv+

=r

r (IV-13).

Trước hết từ hai phương trình trên thay 02 =vr ta được: Xét trường hợp m2 >> m1 nên:

0'2 ≈vr do đó 21

21' vv ≈ , 11' vv rr

−≈ Như vậy khi một chất điểm nhẹû đến va chạm với một chất điểm nặng

đứng yên thì nó chỉ thay đổi phương của vận tốc của nó còn độü lớn vận tốc của nó vẫn giữ nguyên.

- Trường hợp m2 = m1. Trường hợp này các định luật bảo toàn có dạng đơn giản hơn:

22

21

21 '' vvv += . (c)

211 '' vvv rrr+= . (d).

Biểu thức (d) cho thấy ba vector vận tốc lập thành một tam giác, trong khi đó biểu thức (c) cho thấy sau va chạm vận tốc của hai vật vuông góc với nhau (chất điểm m1 phản xạ ngược trở lại)

- Sau va chạm chất điểm m1 chuyển động không đổi hướng nếu m1 > m2 và ngược lại nếu m1 < m2 . Chất điểm m2 cũng chuyển động cùng chiều với m1. 4.4.3. VA CHẠM KHÔNG ĐÀN HỒI Va chạm không đàn hồi là va chạm mà sau va chạm hai vật dính lại với nhau thành một vật.

Ta cũng giả thiết hai chất điểm có khối lượng m1 m2 . Gọi vận tốc trước và sau va chạm của hai vật và của hệ hai vật dính với nhau lần lượt là ',, 21 vvv rrr . Các định luật bảo toàn động lượng và biến thiên động năng (do các vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang) là:

')( 112211 vmmvmvm rrr+=+ (c)

211

221 2

1')(21' vmvmmWWW ddd −+=−=∆

(d)

trong đó dd WW ', là động năng trước và sau va chạm, dW∆ là độ biến thiên

động năng: 211

21

21

21

21

)(21 vmv

mmm

Wd −+

=∆

dd Wmm

mvmm

mmW21

221

21

21

)(2 +−=

+−=∆

(IV-14).

Độ biến thiên động năng này chính là phần năng lượng làm cho vật biến dạng và nóng lên. Nghĩa là nội năng của vật tăng một lượng:

dd Wmm

mWU21

2

+=∆−=∆ (IV-15).


70

Phần động năng còn lại để cho vật tiếp tục chuyển động với vận tốc 'vr

theo biểu thức (d): 11

2211'mm

vmvmv++

=rr

r (IV-16).


71

Bài tập chương IV.

CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG

Bài tập mẫu 1:

Một chiếc xe có khối lượng m = 20.000 kg chuyển động chậm dần dưới tác dụng của lực ma sát có giá trị bằng 6.000N. sau một thời gian thì dừng lại. vận tốc ban đầu của xe là 54 km/h.

Tính: a) Công của lực ma sát.

b) Quãng đường mà xe đi được từ lúc có lực hãm đến lúc xe dừng lại.

Giải:

m = 20.000kg = 2.104kg

v1 = 54km/h = 15m/s A =? Cho:

F = 6.000 N = 6.103N Tìm:

s =?

1) Áp dụng định lý về động năng: 22

21

22 mvmvA −=

Dưới tác dụng của lực ma sát vận tốc của xe giảm dần từ v1 = 15 m/s tới v2 = 0 (dừng lại). Do đó ta có:

2421 15.10.2

21

2×−=−=

mvA A = -2,25. 106 J

Vậy: A < 0 Chứng tỏ công này là công cản .

2. Tính quãng đường s ta áp dụng biểu thức tính công.

A = Fs nên s = FA

s = m37510.6

10.25,23

6

=

s = 375m Bài tập mẫu 2: Một vật rơi từ độ cao h = 240m xuống đất với vận tốc ban đầu v1 = 14 m/s. Vật đi sâu vào đất một đoạn s =

h

s

m

gmP =

H. IV-5


72

0,2 m. Tính lực cản trung bình của đất lên vật. Cho khối lượng của vật m = 1kg. Coi ma sát của không khí là không đáng kể. Giải: Cho: h = 240m S = 0,2 m v1 = 14m/s m = 1kg Tìm: F = ? Nếu gọi vận tốc của vật khi vừa tới đất là v2. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có cơ năng ở độ cao h bằng cơ năng trên mặt đất (động năng cộng thế

năng) bằng động năng mặt đất 2

21Vm + mgh =

2

22mV + 0

Cơ năng này biến thành công để vật đi xuống đất sâu đoạn là s. Áp dụng định lý động năng ta có:

A =2

23mV -

2

22mV

Với V3 là vận tốc sau cùng của vật. Rõ ràng V3 = 0

Nên: A = - 2

22mV = - (

21 m 2

1V + mgh)

A = - m (21 m 2

1V + gh)

Mặt khác: A = Fs

Nên F = sA =

20

2408914211 2

,

)x,x( +−

= - 12740N vậy F < 0 (Vì lực cản) Bài tập mẫu 3: Tính công suất của một động cơ xe khối lượng 1.000 kg nếu xe chạy với tốc độ không đổi 36km/h. Trong 3 trường hợp: a. Xe chạy trên một đường nằm ngang. b. Xe chạy lên dốc với góc nghiêng α sao cho sinα = 0,05. c. Xe chạy xuống dốc với góc nghiêng α sao cho sinα = 0,05. Hệ số ma sát trong cả 3 trường hợp k = 0,07. Giải:

m = 1.000kg = 103kg Cho: v = 36km/h = 10m/s = const sin α = 0,05 Tìm: N = ?

k = 0,07 a) Trường hợp xe chạy trên đường ngang:

Các lực tác dụng lên xe là: - Trọng lực P = mg - Phản lực R của mặt đường

kFmsf

N

H. IV-6


73

- Lực kéo kF . Phản lực R của mặt đường phân tích thành 2 thành phần:

- Phản lực pháp tuyến N cân bằng với trọng lực P của xe. - Lực ma sát msf Theo đầu bài xe chuyển động thẳng đều v = const nên tổng ngoại lực tác

dụng lên xe phải triệt tiêu, nên ta có:

kF + msf = 0 Hay Fk = fms = kmg Vậy công suất N của xe theo định nghĩa là: N = Fkv = kmgv N = 0,07.103.9,8.10 = 6860W b) Trường hợp xe chạy lên dốc: các ngoại lực tác dụng lên xe vẫn là:

Trọng lực P, phản lực R của mặt đường và lực kéo kF . Trong trường hợp này trọng lực P được phân tích thành 2 thành phần: nP và

tP . Trong đó thành phần nP được cân bằng bởi N . Vậy coi như xe chỉ chịu

tác dụng của ba lực: kF ; msf ; tP . Vì theo đầu bài xe chuyển động thẳng đều với v = const nên:

kFNrr

+ + msf + P = 0 Hay Fk = fms + Pt Với Fms = kPn = kmgcosα = kmg (vì α nhỏ nên coi cos α = 1). Vậy: Fk = kmg + mgsin α = mg (k + sin α ). Công suất N của xe theo định nghĩa là:

N = Fkv = mgv (k + sinα ) N =103.10.9,8 (0,07 + 0,05)

N = 11760W. c) Trường hợp xe xuống dốc: các

ngoại lực tác dụng lên xe cũng vẫn là: Trọng lực P, phản lực R của mặt đường và lực kéo kF .Trong trường hợp này trọng lục P cũng phân tích thành 2 thành phần: nP và tP . Trong đó thành

phần nP được cân bằng bởi N . Như vậy xe coi như chịu tác dụng của 3

lực kF ; msf ; tP .Vì xe chuyển động với vận tốc không đổi v = const, nên: kF + msf + tP = 0

R

N

msf

kF

tP

nP

Hình IV-7

R

msf

N

tP

kP nP

Hình IV-8


74

hay Fk + Pt = fms

Fk = fms- Pt = kmgcos α - Pt (vì α nhỏ nên coi cos α ( 1)

Fk = (k - sin α )mg N = Fkv = (k - sin α ) mgv N = (0,07 - 0,05).103.9,8.10 N = 1960W

Bài tập tự giải: 1. Tính công để nâng một vật lên cao theo mặt phẳng nằm nghiêng trong các điều kiện sau: - Vật có khối lượng m = 100kg, chiều dài của mặt phẳng nghiêng s = 2m. Mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một gócα = 300. hệ số ma sát k = 0,1. Gia tốc của vật trên mặt phẳng nghiêng a = 1m/s2. Biết rằng ở chân mặt phẳng nghiêng vật đang nằm yên. Hướng dẫn và Đáp số: Phân tích lực và tìm các lực tác dụng lên hệ. Áp dụng định luật II Newton và áp dụng công thức tính A = F.S.

Đáp số: A = 1349,4 J 2. Hỏi động cơ máy bay phải có công suất trung bình là bao nhiêu. Biết rằng máy bay có khối lượng m = 3.000kg lên cao 1 km mất 1 phút. Bỏ qua sức cản của không khí

Đáp số: N = 4,9:105W 3. Một đoàn tàu có khối lượng 5.105kg chuyển động trên một con đường nằm ngang với vận tốc không đổi bằng 36km/h. Công suất của đầu máy là 220500W. Tính hệ số ma sát k.

Đáp số: k = 0,0045 4. Tính công cần thiết để làm cho đoàn tàu khối lượng m = 800 tấn:

a) Tăng tốc từ 36km/h đến 54km/h. b) Dừng lại nếu vận tốc ban đầu bằng 72km/h. Hướng dẫn: Dùng định lý động năng.

Đáp số: a) A = 5.107J b) A = 16.107J ( công cản)

5. Một vật có khối lượng m = 3kg chuyển động với vận tốc v = 4m/s va chạm vào một vật cùng khối lượng đứng yên. Biết rằng va chạm là không đàn hồi. Hãy tính nhiệt lượng toả ra khi va chạm. Hướng dẫn: - Dùng định luật bảo toàn động lượng để tính vận tốc của hệ sau khi va chạm. - Tính biến thiên động năng của hệ.

Đáp số: Q = 2,88 calo.


75

6. Một khẩu pháo có khối lượng m = 450 kg bắn theo phương nằm ngang. Viên đạn có khối lượng 5kg. Tốc độ ban đầu v = 450m/s. Khi pháo bắn dật lùi 45 cm. Hãy tính lực hãm trung bình tác dụng lên pháo. Hướng dẫn: - Dùng định luật bảo toàn động lượng tính vận tốc lùi của pháo. - Dùng định lý động năng và biểu thức tính công: A = Fs F = - 125.102N (lực cản) 7. Một chiếc xe chuyển động trên một mặt phẳng nghiêng DC từ độ cao h và dừng lại sau khi đã đi được một đoạn đường CB. Biết AB = s, AC = l. Hãy:

- Xác định hệ số ma sát k. - Gia tốc của xe trên đoạn DC và CB.

Xem hệ số ma sát k trong đoạn DC và CB là giống nhau. Hướng dẫn:

- Xác định hệ số ma sát k: Dùng biểu thức tính công A = Fs và định lý động năng.

- Xác định gia tốc: dùng biểu thức của định luật II Newton: a = mF

a) k = sh

Đáp số: b)aCD = )s

(hgh 11

122−

+

aCB = gsh

8. Một viên đạn có khối lượng m = 10g đang bay với vận tốc v = 100m/s thì gặp một bảng gỗ và cắm sâu vào trong bảng gỗ một đoạn là s= 4cm. Hãy: a) Tính lực cản trung bình của bảng gỗ và thời gian chuyển động trong bảng gỗ nếu coi đó là chuyển động chậm dần đều.

b) Nếu bảng gỗ chỉ dày có s’ = 2cm thì hiện tượng xảy ra thế nào? Tính vận tốc của viên đạn sau khi ra khỏi bảng F = - 1,25.103N

Đáp số: t = 8.10-4s v2 = 102 50, m/s

A C s

B

h

Hình IV-9


76






NXBGD năm 1996.


77

Chương V.

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP 5.1. PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO

VÀ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN. 5.1.1. PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO Xét một chất điểm chuyển động trong hai hệ quy chiếu O,x,y,z (k) đứng yên và O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động; nếu hệ O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động dọc theo trục Ox của hệ O,x,y,z (k) với vận tốc không đổi V (V = Vx, Vy = 0, Vz = 0) theo thuyết tương đối Galileo dạng thành phần của phương trình chuyển động trong hai hệ quy chiếu là:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=======+=

t t' ' z; z' '

y y' va 'Vt - x x' '

ttzzyy

Vtxx

Định lý cộng vận tốc:

Vvv += ' , Aaa += ' . Như vậy: 1212 ''' tttttt −=∆=−=∆

constxxxxxx =−=∆=−=∆ 1212 ''' . Nghĩa là thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính; kích thước của một vật là một bất biến trong các hệ quy chiếu (thực ra các vấn đề này ta đã biết từ chương I). Cuối thế kỷ thứ XVIII các thí nghiệm đã cho thấy các kết luận trên không còn đúng nữa. Và sau đây là mô phỏng đơn giản thí nghiệm của Michelson - Morlay. 5.1.2. THÍ NGHIỆM MICHELSON - MORLAY

Năm 1887 Michelson và Morlay tiến hành thí nghiệm đo vận tốc ánh sáng mà trên hình dưới đây là mô phỏng đơn giản kết quả của thí nghiệm đó. Trên xe đặt tại điểm giữa của đoạn AB có gắn một tín hiệu sáng. Khi bắt đầu cho xe chuyển động từ O theo phương OB với vận tốc v thì cũng đồng thời phát tín hiệu sáng. Theo phép biến đổi Galileo thì ánh sáng sẽ đến B trước khi đến A, vì vận tốc ánh sáng đến B là c + v trong khi đó vận tốc tới A là c - v. Nhưng thực tế thí nghiệm này lại cho thấy ánh sáng đến A và B cùng một lúc. Điều này Vật Lý học Cổ điển không giải thích được và lâm vào một hoàn

c c v

O B A

Hình V-2

z z’

(k)

y

x’

x

0’ rR

Hình V-1

(k’)

0

y’

'r M


78

cảnh bế tắc. Để giải quyết vấn đề này đã có một ngành Cơ học mới ra đời đó là ‘’Cơ học Tương đối tính’’ mà cơ sở của nó là hai tiên đề của Einstein. Sau đây ta xét một cách sơ lược và cơ bản một số nội dung chính của thuyết tương đối hẹp.


79

5.2. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ.

5.2.1. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA EINSTEIN - Vận tốc ánh sáng trong chân không là một bất biến đối với mọi hệ quy

chiếu quán tính. - Mọi định luật Vật Lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.

Hai tiên đề của Einstein đã mở ra một thời đại mới cho Vật Lý học đó là sự ra đời của Vật Lý học hiện đại, chấm dứt một thời kỳ khủng hoảng của Vật Lý học cổ điển. 5.2.2. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ Trên cơ sở các tiên đề của Einstein chúng ta sẽ đi đến một phép biến đổi mới đó là các phép biến đổi Lorentz. Ở đây ta cũng xét chuyển động trong hai hệ quy chiếu đã nói ở trên, nhưng theo Cơ học Tương đối thì phép biến đổi tương đối khác với phép biến đổi cổ điển một hằng số nhân. x’ = α (x - vt) x = β (x’ + vt’). Theo tiên đề hai thì các định luật Vật Lý như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính nên α = β . Hơn nữa theo tiên đề một thì vận tốc ánh sáng là như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính nên ánh sáng đến A và B cùng một lúc. Ta có: x = ct, x’ = ct’, Nên tích: x.x’ = c2tt’ = α 2(x - vt)(x’ + vt’) = α 2 (ct - vt)(ct’ + vt’) Dẫn đến: c2tt’ = α 2 (c2tt’ + cvtt’ - cvtt’ - v2tt’),

hay: c2 = α 2 (c2 - v2), suy ra vc

c−

= 2

22α ,

hoặc 2

22

2

2

2,

11

1

1cv

cv

=−

±=

−

±= ββ

α .

Thay vào các biểu thức của x và x’ và lưu ý rằng hệ O’,x’,y’z’ (k’)

chuyển động dọc theo trục Ox của hệ O,x,y,z (k) nên y = y’, z = z’. Cuối cùng ta có các phép biến đổi Lorentz:

2

2

2

2

22

1

''

1'

''''1

'

1'

ββ

ββ

−

+=

−

−=

====

−

+=

−

−=

xcvt

tx

cvt

t

zzzzyyyy

vtxxvtxx

(V-1).

5.2.3. Ý NGHĨA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ


80

- Theo các phép biến đổi Lorentz thì thời gian của cùng một biến cố trôi

đi trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau ( 'tt ≠ ). - Các công thức Lorentz chỉ có ý nghĩa khi v < c điều đó chứng tỏ vận

tốc ánh sáng là vận tốc lớn nhất của vật chất. - Cũng theo các phép biến đổi này thì không gian và thời gian gắn liền

chặt chẽ với nhau trong sự chuyển động của vật chất (không tách rời nhau).

- Trong trường hợp v << c thì 0=β các phép biến đổi Lorentz trở về các phép biến đổi Galileo. Điều đó chứng tỏ các phép biến đổi Lorentz là tổng quát nhất, hay nói các phép biến đổi Galileo là trường hợp giới hạn của các phép biến đổi Lorentz.


81

5.3. SỰ CO NGẮN CỦA CHIỀU DÀI,

SỰ CHẬM LẠI CỦA THỜI GIAN TRONG HỆ QUY CHIẾU VẬT CHUYỂN ĐỘNG

5.3.1. SỰ CO NGẮN CỦA CHIỀU DÀI Ta xét thanh AB đặt dọc theo trục Ox của hai hệ quy chiếu có các trục tương ứng trùng nhau như hình vẽ (trong đó hệ (k’) chuyển động đều dọc theo trục Ox của hệ (k) với vận tốc không đổi V. Vì thanh AB nằm yên trong hệ (k’) nên chiều dài của nó (chiều dài riêng):

''0 AB xxl −=

(a). Còn chiều dài của nó trong hệ (k) - hệ mà nó chuyển động là:

AB xxl −= (b). Mặt khác:

2

'

2

'

1,

1 ββ −

−=

−

−=

vtxx

vtxx B

BA

A

Nên: 222

''0

111 βββ −=

−

−−

−

−=−=

lvtxvtxxxl

AB

AB

.

Tóm lại20

1 β−=

ll (V-2).

Kết luận: Trong hệ quy chiếu mà vật chuyển động kích thước của vật bị co ngắn lại theo phương mà nó chuyển động. Hình vẽ bên cạnh minh họa các hình tròn trở thành elip, các hình vuông trở thành hình chữ nhật trong hệ quy chiếu mà nó chuyển động. 5.3.2. SỰ CHẬM LẠI CỦA THỜI GIAN Sau đây ta xét một biến cố xẩy ra trong hai hệ quy chiếu: hệ đứng yên (k) và hệ chuyển động (k’). Khoảng thời gian tương ứng trong hai hệ quy chiếu là:

- Trong hệ (k’): '1

'20 ttt −=∆ (a).

- Trong hệ (k): 12 ttt −=∆ (b).

x, x’

Y’

O’

B A

y

O

z z z Z

Hình V-3

v = 0 v > 0 Hình V-4


82

2

2'1

2

2'2

121

'

1

'

ββ −

+−

−

+=−=∆

xcvtx

cvt

ttt .

Do đó: 2

0

1 β−

∆=∆

tt .

Hay: 20 1 β−∆=∆ tt (V-3).

( 0tt ∆>∆ ) Kết luận: Khoảng thời gian của một biến cố trong hệ quy chiếu mà vật chuyển động dài hơn trong trong hệ quy chiếu mà vật đứng yên. Chú ý: Một số đại lượng tương đối tính khác:

- Khối lượng tương đối tính 2

0

1 β−=

mm (V-4).

- Mật độ điện tích khối 2

0

1 β

ρρ

−= (V-5).

- Năng lượng tương đối tính 2

202

1 β−==

cmmcE (V-6).

- Thể tích tương đối tính 20

1 β−=

VV (V-7).

5.3.3. VÍ DỤ Hạt pimezon sinh ra trên tầng bình lưu cách mặt đất 45km với vận tốc 0,999c với thời gian sống là 2,2.10-8s, nhưng lại tìm thấy ngay trên mặt đất mặc dầu với thời gian và vận tốc đó theo Cơ học cổ điển nó chỉ đi được 7m. Bài giải:

Theo bài ra thì: v = 0,99c, τ = 2,2.10-8s, ∆ l = S0 = 7m.

Trên quan điểm tương đối tính thời gian sống của nó trong hệ quy chiếu gắn với trái đất là:

s5

2

8

2

0 10.4,15)999,0(1

10.2,21

−−

=−

=−

=β

ττ .

Nên thực tế quảng đường mà nó đi được: kmvSl 4510.3.999,0.10.4,15 88 ====∆ −τ

đủ để tìm thấy nó ở mặt đất.


83

Bài tập chương V.

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI EINSTEIN,

Bài tập mẫu 1: Một hình tam giác cân đứng yên đối với hệ quy chiếu (k’) có cạnh đây

nằm trên trục x’có diện tích S. Hệ (k’) chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính (k) dọc theo trục x với vận tốc cv

54

= . Tìm diện tích của hệ

quy chiếu trên và các góc của nó trong hệ quy chiếu quán tính (k). Giải:

- Trong hệ quy chiếu (k) diện tích:

2

2

0 1,21

cvllhlS −== .

'.531

'54

2

2

0

SScv

ll

SS

cv

=⇒−==⇒=

- Các góc:

2

,)

2(

0lhh

l

tg ==α 0

0

31

6,053

=⇒

===⇒

α

αlltg

.

0000 593190,622 =−==== CBA)))

α .

Bài tập mẫu 2: Một ngôi sao chuyển động xa Trái đất với vận tốc c310.5 − . Tìm độ dịch

chuyển bước sóng gây bởi hiệu ứng Doppler đối với vạch D2 của Na ( 05890A ). Giải: Theo phương trình Doppler:

);(,0

00 λ

γλ

γγγ

λλcc

cccc

==+−

= .

)(59201

10

0 A

c

c =⇒−

+= λ

γ

γ

λλ .

Vậy độ dịch chuyển bước sóng ).(3058905920 0

0 A=−=−=∆ λλλ Bài tập tự giải: 1. Các toạ độ của một chớp sáng do một quan sát viên trong hệ (k) đo được là x = 100km, y = 10km, z = 1km, ở thời điểm t = 5.10-4 s. Hãy tính các toạ độ không gian và thời gian của các biến cố đó đối với một quan sát viên trong hệ (k’) chuyển động so với hệ (k) với vận tốc v = 0,8c dọc theo trục chung xx ,' .


84

Đáp số:

;)(10.8,12')(1'

)(100';)(367'

4 stkmzz

kmyykmx

−=

====

=

2. Một thanh chuyển động theo chiều dọc với vận tốc v không đổi đối với hệ quy chiếu quán tính (k). Cho biết độ dài của thanh trong hệ quy chiếu (k) sẽ ngắn hơn chiều dài riêng của nó ( đo trong hệ quy chiếu quán tính (k’)gắn liền với thanh ) là k = 2%. Tìm gía trị của v.

Đáp số: cv 5,0= 3. Tìm độ dài riêng của thanh, nếu trong hệ quy chiếu quán tính (k) (hệ quy chiếu phòng thí nghiệm) vận tốc của nó bằng v = 0,5c, độ dài l = 1,00m và góc hợp với phương chuyển động là θ = 450.

Đáp số: )(08,10 ml = 4. Chu kỳ bán rã của các pion là 1,8.10-8s . Một chùm piôn phát ra từ một máy gia tốc với vận tốc 0,8c. Tìm quãng đường theo quan điểm tương đối tính để trên quãng đường đó một nữa số hạt piôn bị phân rã.

Đáp số: ( )mdd l 2,7== 5. Một thước mét chuyển động với vận tốc 0,6c trước một quan sát viên theo hướng song song với độ dài của thước. Hỏi cần bao nhiêu thời gian để thước đi ngang qua người quan sát viên đứng yên trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm.

Đáp số: )(10.44,4 9 st −=∆ 6. Một quan sát viên o’chuyển động với vận tốc 0,8c đối với một trạm vũ trụ và hướng về phía ngôi sao α của chòm Nhân Mã ở cách nó 4 năm ánh sáng (nas). Khi đến nơi k’quay xung quanh sao α và trở về ngay trạm vũ trụ để gặp lại người anh sinh đôi của mình vẫn thường xuyên ở trên trạm vũ trụ. Hãy so sánh tuổi của hai anh em khi họ gặp nhau.

Đáp số: Hơn kém nhau 4 tuổi 7. Chứng tỏ rằng giữa năng lượng E và động lượng pr , vận tốc vr của hạt trong thuyết tương đối liên hệ với nhau qua các biểu thức :

a). vcEp rs2

=

b). E = c 22 mcp + Hướng dẫn:

a). ,1 2

2

0

cv

vmP

−

=rr

vcEP

cv

cmE rr

2

2

2

20

1=⇒

−

=

b).


85

2

2

4202

2

2

2

22

4

22

1,.

cv

cmE

cv

cEv

cEP

−=== ⇒ 2

2

2

2

2

PEc

cv

=

Mặt khâc ta có 22

2

22

420

2

420

2

2

11 PEc

cv

Ecm

Ecm

cv

==−⇒=−

220

222420

2 cmPcEPccmE +=⇒=−

8. Một vật đứng yên tan vở thành hai mảnh, chuyển động theo hai hướng ngược nhau. Khối lượng nghỉ của hai mảnh là 3kg và 5,33kg, với vận tốc lần lượt là 0,8c và 0,6c. Tìm khối lượng ban đầu của vật.

Đáp số: M0 =11,66 kg 9. Một tam giác vuông cân đứng yên đối với hệ quy chiếu quán tính K’ có cạnh đáy nằm trên trục x’, có diện tích S’ Hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính K theo trục x với vận tốc 0,8c. Tìm diện tích của tam giác trên và các góc của nó trong hệ quy chiếu K. Đáp số: S = 3S’/5,

A = 2α = 620, B = C =590

10. Chứng tỏ rằng giữa năng lượng E, xung lượng P, vận tốc v của hạt trong thuyết tương đối thoả mãn: a). v

cEP rr

2= . b). 220

2 cmPcE += .


86






NXBGD năm 1996.

Giáo trình Vật Lý 1 ThS. Trương Thành

82

Chương VI. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC 6.1. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ

6.1.1. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ Ở phổ thông chúng ta đã biết rằng các phân tử chất khí có một số lượng rất

lớn và không ngừng chuyển động hỗn loạn, chuyển động này gọi là chuyển động Brown. Để giải thích cấu tạo của vật chất, thuyết động học phân tử nghiên cứu một lượng rất lớn các phân tử và bao gồm các giả thiết có nôi dung cơ bản sau đây:

- Các chất được cấu tạo gián đoạn và gồm một số rất lớn các phân tử có kích thước nhỏ cở 10-7 cm.

- Các phân tử vật chất không ngừng chuyển động hỗn loạn. - Bỏ qua tương tác không tiếp xúc của các phân tử, va chạm giữa chúng

với thành bình được xem là đàn hồi. 6.1.2. CÁC THÔNG SỐ TRẠNG THÁI 6.1.2.1. Khái niệm nhiệt độ, các thang đo nhiệt độ Nhiệt độ của hệ là đại lượng đặc trưng cho mức độ chuyển động nhiệt của một hệ. Và như vậy động năng của một hệ nhiệt còn gọi là động năng của chuyển động nhiệt. Chúng ta cần phân biệt nhiệt độ với nhiệt lượng và năng lượng:

- Nhiệt lượng của hệ là phần động năng của chuyển động nhiệt đem ra trao đổi.

- Năng lượng của chuyển động nhiệt của hệ là tổng động năng của tất cả các phân tử cấu thành hệ.

Hiện nay có 2 thang đo nhiệt độ thông dụng nhất là thang đo Celsius và thang đo Kelvin (Lord Kelvin (1824 - 1907) người Anh). Thang đo Celsius lấy nhiệt độ của nước đá nguyên chất đang tan làm độ 00 và nhiệt độ của nước nguyên chất đang sôi là 1000; đơn vị là 0C để kỷ niệm nhà bác học Celsius đã xây dựng nên thang đo này. Còn nhiệt độ Kelvin (K) do Kelvin thiết lập có mối liên hệ với độ C là T = t0C + 273 (K). Như vậy 00C ứng với 273K của nhiệt độ tuyệt đối Kelvin. 6.1.2.2.Áp suất Áp suất là độ lớn của lực tác dụng vuông góc lên một đơn vị diện tích. Áp suất thường kí hiệu bằng chữ P trong hệ đơn vị SI nó có đơn vị đo là N/m2 . Ngoài ra người ta còn dùng các đơn vị khác như: at hay mmHg. Trong đó : 1at = 760mmHg , 1at = 9,81.104 N/m2

1mmHg = 1tor, 1N/m2 = 1Pa 6.12.3.Thể tích


83

Thể tích ký hiệu là V đơn vị là m3 trong hệ đơn vị SI. Ngoài người ta còn dùng các đơn vị khác của thể tích như cm3, dm3, mm3..vv..

6.1.2.4. Một số thông số khác - Khối lượng của một phân tử khí m (đơn vị trong hệ: SI là kg/phân tử). - Khối lượng riêng của khối khí ρ (đơn vị trong hệ: SI là kg/m3). - Khối lượng của một kmol khí µ (đơn vị trong hệ: SI là kg/kmol). - Khối lượng của khối khí M (đơn vị trong hệ: SI là kg). - Số phân tử có trong một kmol khí NA = 6,023.1026 ( phân tử/kmol). - Số phân tử có trong khối khí N (phân tử). - Số phân tử có trong một đơn vị thể tích khí n (đơn vị trong hệ SI là:

ptử/m3). 6.1.3. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI KHÍ LÝ TƯỞNG Để xác định trạng thái của một chất khí cần ba đại lượng: áp suất P; nhiệt độ T và thể tích V gọi là các thông số của trạng thái.

Phương trình biểu diễn mối liên hệ giữa các thông số của trạng thái gọi là phương trình trạng thái. Chẳng hạn p = f(V, T) hay V = f(P,T) và T = f(P,V)

Để đi đến phương trình trạng thái ta xét thí nghiệm trên hình vẽ bên cạnh. Trên đó ta xét thể tích V∆ trong không gian V có dạng hình trụ với diện tích đáy S∆ đường sinh tvl ∆=∆ . Số phân tử (n đến va chạm với S∆ trong thời gian t∆ gây ra một áp suất:

SFP

∆= (a).

Với: 66

1 tSvnVnn ∆∆=∆=∆ . (b),

Có 1/6 là vì các phân tử chuyển động hỗn loạn mà 6 hướng của ba trục toạ độ thì tương đương nhau. Trong đó F là tổng hớp lực tác dụng của (n phân tử lên

S∆ trong thời gian t∆ . Mặt khác theo thuyết động học phân tử thì va chạm giữa phân tử với thành bình là va chạm đàn hồi nên biến thiên động lượng: mvtfvmvmtf 2)( =∆⇒−−=∆

rrr

f là lực mà một phân tử tác dụng lên thành bình:

tmvf∆

=2 .

Vậy lực mà n∆ phân tử tác dụng lên thành bình là:

Hình VI-1

y

O x

z

tvl ∆=∆

S∆

Hình VI-2

vr−

r


84

6

26

.2.2 SnmvStnv

tmvfnF ∆

=∆∆

∆=∆= .

Do đó ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

∆=

232

3

22 mvnnmvS

FP .

Vì các phân tử có vận tốc khác nhau nên ta phải thay động năng của một phân tử bằng động năng trung bình của các phân tử. Nghĩa là:

nvvv

v n22

2212 ....+++

=

_2

32)

2(

32 WnvmnP == . (VI-1).

Phương trình (VI-1) mà ta đã nói đến ở trên là phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử. 6.1.4. HỆ QUẢ

- Dạng khác của phương trình cơ bản:

Từ phương trình cơ bản: _

32 WnP = .

Từ phương trình Claferon - Mendêlêev: PV = RTMµ

ta có: V

MRTWnµ

=−

32 . Do đó:

VnMRTW

µ23

=−

.

Ta dễ dàng chứng minh được: ANnV

M 1=

µ .

Trong đó K là hằng số Boltzmann, K = 1,38.10-23J/độ. R là hằng số khí lý tưởng: R = NA.K = 8,3.103

Kmolâäüec10.31,8

âäüKmolJ 10= .

Do đó: 2

3KTW =−

(VI-2).

- Công thức tính áp suất: Nếu thay (VI-2) vào (VI-1) ta có kết quả thú vị:

nKTP = (VI-3).


85

6.2. NỘI NĂNG KHÍ LÝ TƯỞNG 6.2.1. NỘI NĂNG 6.2.1.1. Khái niệm nội năng Nội năng của hệ là năng lượng bên trong của một hệ nhiệt bao gồm động năng chuyển động nhiệt của các phân tử và thế năng tương tác giữa chúng. Nhưng vì thuyết động học phân tử bỏ qua các tương tác không tiếp xúc nên nội năng chính là tổng động năng của các phân tử. Nghĩa là nếu ta gọi nội năng là U và N là số phân tử của hệ thì:

_.WNU = .

_

W là động năng trung bình chuyển động nhiệt của mỗi phân tử. 6.2.1.2. Sự phân bố đều động năng theo bậc tự do Khái niệm bậc tự do Số bậc tự do của một phân tử là số tọa độ độc lập xác định vị trí của phân tử đó Với định nghĩa như vậy thì đơn nguyên tử (ví dụ các nguyên tử: H, O, N, ...) là một điểm (A) nên số bậc tự do là 3 (chẳng hạn x, y, z) (hình VI-3). Vì để xác định nó chỉ cần ba tọa độ x, y, z. Phân tử lưỡng nguyên tử có thể xem là một một đoạn thẳng (như OA trên hình vẽ) nên số bậc tự do là 5 (chẳng hạn x, y, z, θϕ, , hình VI-3). Vì để xác định nó cần năm tọa độ x, y, z, θϕ, , ví dụ các phân tử H2, O2, N2, ... Người ta chứng minh được Phân tử đa nguyên tử (có từ ba nguyên tử trở lên) có số bậc tự do là 6, vì để xác định nó cần sáu tọa độ. Ví dụ các phân tử CO2, NH3, , HNO3, ... Nếu kí hiệu số bậc tự do của phân tử là i thì phương trình cơ bản của ‘Thuyết động học phân tử” phải được viết tổng quát hơn là:

_2 Wni

P = .

Định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do của Maxwell: Động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các phân tử phân bố đều theo bậc tự do, động năng mỗi bậc tự do là KT/2 6.2.1.3. Biểu thức nội năng Theo định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do của Maxwell nếu phân tử có số bậc tự do là i thì động năng trung bình của nó là:

(

( y

A

O

z

x H. VI-3


86

2

_ iKTW = .

Nếu khối khí đang xét có khối lượng M, khối lượng kmol là µ , chứa N phân

tử thì nội năng của nó: _

.WNU = .

Trong khi đó thì: ANMNµ

=

(Trong đó NA là số Avogadro). Dẫn đến: Đơn nguyên tử i = 3

iRTMTiKNMU A µµ 22== Lưỡng nguyên tử i = 5

Đa nguyên tử i = 6.

Tóm lại: iRTMUµ2

= (VI-4).

Nhận xét: - Nội năng của một khối khí phụ thuộc vào nhiệt độ - Nhiệt độ càng cao thì nội năng của khối khí càng lớn. - Đối với một kmol khí thì: µ=M

Nên: 21

iRTU =

6.2.2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÂN BỐ PHÂN TỬ KHÍ TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC 6.2.2.1. Vận tốc trung bình và vận tốc ứng với cực đại của hàm phân bố xác suất theo vận tốc Trong phạm vi chương trình này chúng tôi không đưa ra hàm phân bố phân tử và hàm phân bố xác suất theo vận tốc của Maxwell mà chỉ xét hệ quả quan trọng của nó là tìm vận tốc trung bình của phân tử và vận tốc ứng với cực đại của hàm phân bố xác suất:

- Vận tốc trung bình của phân tử:

πµπRT

mKT

nvvv

v n 88....21 ==+++

= (VI-5a).

- Vận tốc ứng với cực đại của hàm phân bố:

µRT

mKTv xs

22== (VI-5b).

6.2.2.2. Sự phân bố áp suất và mật độ phân tử khí quyển theo độ cao


87

Ta hãy xét sự phân bố áp suất theo độ cao trong trường trọng lực. Xét một thể tích dV tại độ cao h có đáy S và chiều cao dh. Áp suất ở mặt đất là P0; ở độ cao h là P ở độ cao h + dh là P + dP.Ta có: dP =

Sdp

SdF

=

(với dp là trọng lượng của dV). Nhưng: dp = dm.g = m.n.dvg = m.ngSdh (với m là khối lượng của một phần tử khí; n là mât độ phân tử khối tại độ cao h). Tóm lại ta có: dP = - mngdh. Nhưng thuyết động học phân tử cho

n = KTP , nên:

dP =- ∫∫−

=→−=→h

0

KTmgh

0

p

P

ePPdhKTmg

PdP

KTmgPdh

0

Ta thấy áp suất khí quyển giảm theo độ cao trong trường trọng lực. Từ công thức áp suất ta suy ra công thức phân bố mật độ phân tử theo độ cao là:

n = n0 KTmgh

e−

(VI-5c). (với n0 là mật độ phân tử ở mặt đất, n là mật độ phân tử ở cao độ h, g là gia tốc trọng trường tại điểm đang xét còn m là khối lượng của một phân tử khí). 6.2.2.3. Ví dụ

Tính mật độ phân tử khí tại mặt đất ở điều điện tiêu chuẩn P0 =1,013.105N/m2 và nhiệt độ 273K.

325_ /10.687,2

222

mKTP

KTiiP

W

iPn ==== (Số Loschmidt)

Hình VI-4

P+dP

dh

h P

h

O


88

6.3. NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC 6.3.1. NĂNG LƯỢNG, CÔNG, NHIỆT Vật chất vận động rất đa dạng nên năng lượng cũng có rất nhiều dạng khác nhau như: điện năng, nhiệt năng, hoá năng, quang năng, năng lượng nguyên tử .v.v...Ở đây ta chỉ xét năng lượng của chuyển động nhiệt (hay nhiệt năng). Với khối khí cô lập thì năng lượng của khối khí chính là nội năng của nó: W = U Hình bên vẽ một xilider (xylanh) chứa khí có piston để có thể nén hay giản khối khí. Khi nén một khối khí trong xilider (xilanh) ta thấy khối khí nóng lên chứng tỏ công đã chuyển hoá thành nhiệt. Ngược lại đốt nóng khối khí trong xilider (xilanh) ta thấy piston chuyển động, như vậy nhiệt đã chuyển hoá thành công (hình VI-5) Vậy công và nhiệt có thể chuyển hoá qua lại lẫn nhau và là một dạng của chuyển hoá năng lượng (hay phần năng lượng đã trao đổi). Các tính toán đã chứng tỏ rằng một công là một J nếu chuyển hoá hết thành nhiệt là 0,24cal; ngược lại nếu một nhiệt lượng là một cal nếu chuyển hoá hết thành nhiệt sẽ là 4,18J. 6.3.2. NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC 6.3.2.1. Nguyên lý I Độ biến thiên nội năng của một hệ trong một quá trình biến đổi nào đó bằng tổng công và nhiệt mà hệ nhận được trong quá trình biến đổi đó. Nghĩa là QAU +=∆ (VI-6). (A là công ,Q là nhiệt mà hệ nhận ) Dạng vi phân: dQdAdU += 6.3.2.2. Nhận xét nguyên lý I

- Nếu A = 0, Q = 0 thì 0=∆U . Nghĩa là hệ không nhận công và nhiệt (hệ cô lập) thì nội năng bảo toàn.

- Nếu A > 0, Q > 0 thì 0>∆U dẫn đến U2 > U1. Nghĩa là hệ nhận công và nhận nhiệt thì nội năng của hệ tăng lên.

- Nếu A < 0, Q < 0 thì 0<∆U dẫn đến U2 < U1. Nghĩa là hệ thực hiện công và tỏa nhiệt thì nội năng của hệ giảm xuống.

- Nếu 0=∆U mà A ≠ 0, Q ≠ 0 thì: * A > 0 thì Q < 0. Để nội năng không đổi thì hệ nhận công phải tỏa nhiệt

Hình VI-5 0

x

Fr


89

* A < 0 thì Q > 0. Để nội năng không đổi thì hệ nhận nhiệt phải thực hiện công.


90

6.4. TRẠNG THÁI CÂN BẰNG, CÔNG VÀ NHIỆT

6.4.1. Định nghĩa Trạng thái cân bằng của một hệ là trạng thái trong đó các thông số

trạng thái (P, V, T) không thay đổi theo thời gian và nếu không có tác dụng từ bên ngoài thì trạng thái đó tồn tại vĩnh viễn. Trên thực tế mọi quá trình biến đổi là để đạt đến trạng thái cân bằng, quá trình đó phải mất một thời gian nhất định và khi trạng thái cân bằng được xác lập thì quá trình biến đổi kết thúc. 6.4.2. Công trong quá trình cân bằng Hình bên vẽ một xilider (xylanh) chứa khí có piston để có thể nén hay giản khối khí. Khi nén khối khí trong xilanh bằng một lực F làm piston dịch chuyển một đoạn dx thì cần một công cơ học có độ lớn là:

dAc = xdF rr = Fdx

Do đó công mà khối khí nhận được: dA = -dAc = -Fdx Nhưng: F = PS nên:

dA =-PSdx = -PdV. Trong đó P là áp suất trên piston còn S là diện tích của piston.

Suy ra công mà khối khí nhận được trong một quá trình biến đổi nào đó là:

∫−=2

1

V

V

PdVA (VI-7).

Hệ quả: Công của một quá trình kín có độ lớn bằng diện tích giới hạn bởi đường cong kín của đồ thị về sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích. 6.4.3. Nhiệt trong quá trình cân bằng Trong chương trình phổ thông ta biết rằng khi một khối khí tăng hay giảm nhiệt độ từ T1 lên T2 thì nó đã nhận hay tỏa một nhiệt lượng:

dQ = cmdT (c là nhiệt dung riêng (đơn vị trong hệ SI là J/kgK)). Trong nhiệt học người ta còn đưa ra khái niệm nhiệt dung phân tử C có định nghĩa: cC µ=

nên: CdTmdQµ

= (VI-8).

dx

Hình VI-6

0 x

Fr

Hình VI-7 O V

P


91

(dT dương hệ nhận nhiệt, dT âm hệ tỏa nhiệt).


92

6.5. ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ I 6.5.1. QUÁ TRÌNH ĐẲNG TÍCH (Định luật Charles) Định nghĩa

Quá trình đẳng tích là quá trình biến đổi của hệ mà thể tích được giữ không thay đổi. Phương trình: V = const hay P/T = const

hoặc ...3

3

2

2

1

1 ===TP

TP

TP

Công mà hệ nhận

)( 21

2

1

2

1

VVPdVPPdVAV

V

V

V

−=−=−= ∫∫

0=A Biến thiên nội năng

neniRTmUµ2

= TiRmU ∆=∆µ2

(Trong đó 2iRCV = gọi là nhiêt dung phân tử đẳng tích)

Nhiêt mà hệ nhận Theo nguyên lý I: QAU +=∆

UAUQ ∆=−∆=⇒

TiRmQ ∆=µ2

6.5.2. QUÁ TRÌNH ĐẲNG ÁP (Định luật Gay - Lussac) Định nghĩa

Quá trình đẳng áp là quá trình biến đổi của hệ mà áp suất luôn luôn được giữ không đổi. Phương trình: P = const hay V/T = const,

hoặc ...3

3

2

2

1

1 ===TV

TV

TV

Công mà hệ nhận ∫∫ −=−=2

1

2

1

V

V

V

V

dVPPdVA )( 21 VVP −= .

Biến thiên nội năng TiRmU ∆=∆µ2

Nhiêt mà hệ nhận, theo nguyên lý I: QAU +=∆

AUQ −∆=⇒


93

Q TRiRm∆+= )

2(

µ

TCmQ P∆=⇒µ

(Trong đó RiRCP +=2

gọi là nhiêt dung phân tử đẳng áp).

6.5.3. QUÁ TRÌNH ĐẲNG NHIỆT(Định luật Boyle - Mariotte) Định nghĩa

Quá trình đẳng nhiệt là quá trình biến đổi của hệ mà nhiệt độ luôn luôn được giữ không đổi Phương trình: T = const hay PV = const, hoặc .....332211 === VPVPVP


1

2

1

V

V

V

V

dVPPdVA .

Mà VVP

PVPVP 1111 =⇒= .

Suy ra: 2

111

2

11111 lnln

2

1VV

VPAVV

VPVdVVPA

V

V

=⇒=−= ∫

Biến thiên nội năng 002

=∆⇒=∆=∆ UTiRmUµ

Nhiêt mà hệ nhận, theo nguyên lý I: QAU +=∆

2

111 ln

VVVPAAUQ −=−=−∆=⇒

6.5.4. QUÁ TRÌNH ĐOẠN NHIỆT Định nghĩa

Quá trình đoạn nhiệt là quá trình hệ không trao đổi nhiệt: 00 == dQhayQ ,

Phương trình:

constTP

constTVconstPV

=

=

=

−

−

γγ

γ

γ

1

1 ,,


1

2

1

V

V

V

V

dVPPdVA ,

Và: 1

1122

−−

=γ

VPVPA , (Trong đó

ii

CC

V

P 2+==γ ).


94

Nhiêt mà hệ nhận 0=Q Biến thiên nội năng

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−

==∆−γ

γµγ

1

1

211122 1)1(1 V

VMRTVPVPAU


95

Bài tập chương VI. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ,

NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC Trong chương này có các bài toán và các định luật phân bố phân tử giúp cho sinh viên:

- Nắm được ý nghĩa của các loại vận tốc của chuyển động phân tử. - Tính công, nhiệt mà hệ trao đổi với bên ngoài - Tính độ biến thiên nội năng của hệ trong các quá trình biến đổi. Để giải bài toán loại này ta cần vận dụng: - Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học - Các biểu thức tính công và nhiệt hệ nhận trong các quá trình cân bằng: - Trường hợp chung: A = ∫ −2

1

V

VpdV

- Quá trình đẳng áp: Q = µm . Cp. ∆ T

- Quá trình đẳng tích: Q = µm . Cv. ∆ T

- Quá trình đẳng nhiệt: Q = - A = µm . RTIn

1VV2

(ở đây T2 = T1 = T)

- Quá trình đoạn nhiệt: A = 1

1122

−γ− VpVp

Độ biến thiên nội năng ∆ U của hệ trong các quá trình: ∆ U = .m

µ 2Ri . ∆ T

(Vì U là một hàm trạng thái nên ∆ U không phụ thuộc vào quá trình diễn biến của hệ ). Bài tập mẫu 1: Một khối khí có số bậc tự do i = 5 chứa trong một bình có thể tích 10 lít. Áp suất của khí bình là 10- 11 mmHg. Nhiệt độ là 100 C. 1. Tính động năng tịnh tiến trung bình và mật độ của các phân tử khí trong bình ? 2. Nếu mật độ phân tử của khí trong bình tăng gấp đôi nhưng áp suất vẫn giữ như cũ thì nhiệt độ của khí trong bình bằng bao nhiêu ? Thể tích khối khí lúc đó sẽ bằng bao nhiêu ? 3. Tính nội năng của lượng khí trong bình trong 2 trường hợp trên? Giải: Dùng Hệ đơn vị SI

W = ? i = 5 n = ?

Cho:

V = 10 lít = 10.10- 3 m3 = 0,01m3

Tìm:

T’ = ?


96

t = 100C, T = 283K v’ = ? U = ? U’ = ?

Động năng tịnh tiến trung bình của mỗi phân tử khí trong bình tính bằng công thức: W =

2i KT

Ta đã có: K = 1,38.10- 23J/K, T = 2830K Vậy: W =

25 x 1,38 x 10- 23 x 283 = 9,77.10- 21J

W = 9,77.10- 21J Từ hai công thức P =

i2 n W và W =

2i KT, ta suy ra:

n = KTp

n = 283.10.38,1

1081,9760

1110

23

4

−

− xx= 3,41. 1011

3mtæphán

n = 3,41. 1011 3mtæphán

n’ = 2 n T’ = ? Cho: P’ = P V’ = ?

Từ 2 công thức n = KT

'P và n’ = 'KT

'P

Ta suy ra: 'n

n =

T'T =

21

và : T’ = 2T =

22830

= 141,5K

hay t’ = T’ - 273K = - 131,5C. t’ = - 131,50C. Vì quá trình là đẳng áp nên ta có:

21''

==TT

VV , nên 'V =

2010,0

2=

v = 0,005 m3

V’ = 0,005 m3

3) Tính nội năng của khí trong bình trong hai trường hợp trên: - Trong trường hợp thứ nhất: nội năng của khí trong bình bằng:

U = N.2

iKT

Với N = nV (V là thể tích của bình chứa) N = 3,14. 1011

3mtæphán x 0,010 m3 = 3,14. 109 phân tử


97

U = 2

28310.38,151014,3 239 xxxx −

= 33,4 x 10- 12 J

- Trong trường hợp thứ hai: Nội năng của khí trong bình bằng: U’ = N’ .

2'iKT

Với: N’ = n’ . V’ = 2n2V = n.V = N

Mặt khác ta lại có: T’ = 2T vậy

U’ = NNiK

21

221

=2

iKT

U’ = 2U =

210433 12 J., −

= 16,7 x 10- 12 J

U = 33,4. 10- 12 J Vậy U’ = 16,7. 10- 12J Bài tập mẫu 2: Tính số phân tử hidrogen trong 1m3 nếu áp suất của nó bằng 200tor và vận tốc toàn phương trung bình của nó là 2.400 m/s. Giải: Dùng hệ SI Cho: P = 200tor = .m/N.,x 2410819

760200 Tìm : n = 3m

tæphánSäú

2v = 2.400 m/s. Từ một hệ quả của phương trình cơ bản của thuyết động học phân tử khí ta có: P = nKT hay: n =

KTp

Trong đó: p = 760200 x 9,81 . 104 N/m2

K = 1,38 x 10- 23 J /K

Ta có biểu thức: 2v = µRT3 nên T =

Rv

3

2µ

Thay biểu thức của T tính theo 2v vào biểu thức của n0 ta có: n =

KTp =

2

3vk

Rpµ

Thay: 2610.023,6== ANKR phân tử/ kmol, µ = 2

Ta có: n = 760.)2400(.2

10.81,920010.023,6.32

426 xx = 4,13.1024

3mtæphán


98

n = 4,13. 1024 3mtæphán

Bài tập mẫu 3: Một bình kín chứa 14 gam khí nitrogen ở áp suất 1 at và nhiệt độ 270C. Sau khi hơ nóng áp suất khí trong bình lên tới 5at. Hỏi: 1) Nhiệt độ của khí trong bình lên tới bao nhiêu? 2) Thể tích của bình? 3) Độ tăng nội năng của khí trong bình? (tính ra calo) Giải:

V = const M = 14g = 14 .10 - 3 kg T2 = ? t1 = 270C, T1 = 270 + 273 = 300K V = ? P1 = 1 at = 9,81 .104 N/m2 U∆ = ?

Cho:

P2 = 5 at = 5.9,81.104 N/m2

Tìm:

1) Khí đựng trong bình kín nên quá trình xảy ra ở đây là quá trình đẳng tích:

Ta có: 2

1

2

1

TT

pp

=

T2 = T1.1

2

pp = 300 x

15 = 1.5000 K

T2 = 1.500 K 2) Ta có: P1V1 =

µM RT1

V = V1 = 1

1

pMRT

µ

Trong đó: R = 8,31.103 J/ kmol độ µ = 28kg/ kmol Thay vào:

V = 4

32

1081928300103181014

x,xx.,x. −

= 12,72.10- 3 m3

Hay: V = 12,72 lít 3) Độ tăng nội năng của khí trong bình: U∆ =

µM . CV . ∆ T =

µM . CV . (T2 - T1)

U∆ = µM .

2i R . (T2 - T1)

với: i = 5 (Khi N2 phân tử lưỡng nguyên tử) R = 2.103 calo/kmol.K

U∆ = ..281014 3−

25 . 2.103 (1500 - 300)

U∆ = 3.000 calo


99

Bài tập mẫu 4: Có 10g oxygen ở áp suất 3 at và nhiệt độ 100C. Người ta đốt nóng đẳng áp và cho giãn nở đến thể tích 10 lít. Hỏi: 1. Nhiệt lượng cung cho khí 2. Độ biến thiên nội năng của khí (ra calo và J) 3. Công khí sinh ra khi giãn nở (ra J) Giải:

M = 10g = 10-2 kg P = 3 at = 3 x 9,81 .104 N/m2 = const Q = ? t1 = 100C, T1 = 283 K ∆ U = ? V2 = 10 lít = 10-2 m3 A = ?

Cho:

µ = 32 kg/kmol

Tìm:

1) Áp dụng công thức:

PV2 = µM .RT2

Ta có: T2 = MR

VP µ..2

T2 = 32

24

10318103210108193

x,xxx.,x

−

−

T2 = 1.13 K Nhiệt lượng cung cho khí: Q =

µM .(

22+i ) R (T2 - T1)

Trong đó: R = 2.103 cal/kmol.K

Q = 32

10 2−

. 27 . 2 . 103 (1.130 - 283)

Q = 1.860 calo 2) Biến thiên nội năng:

∆ U = µM .

2i R . ∆ T = .

3210 2−

25 . 2.103(1.130 - 283)

∆ U = 1.330 calo ∆ U = 5.560J 3) Theo nguyên lý 1 ta có: ∆ U= A + Q A = ∆ U - Q A là công mà khối khí nhận được Công khối khí sinh ra bằng: A = ∆ U - Q = 1330 - 1.860 = -530 calo hay: A = -530 x 4,18 = -2.215 J


100

Bài tập mẫu 5: Người ta giãn đoạn nhiệt không khí sao cho thể tích khối khí tăng gấp đôi. Tính nhiệt độ cuối của quá trình giãn. Biết rằng nhiệt độ ban đầu bằng 100C. Giải:

Quá trình đoạn nhiệt V2 = 2V1 Tìm: T2 = ? Cho: T1 = 283K

Theo phương trình trong quá trình đoạn nhiệt thì: TV 1−γ = Const Hay: T1V1

1−γ = T2V21−γ

Do đó: T2 = T1 ( 2

1

VV ) 1−γ

Vì: V2 = 2V1

γ = V

P

CC =

ii 2+ =

225+ = 1,4

Thay ( và V2 vào trên ta có: T2 = 283 (

21 ) 0,4

= 32,1

283 = 214K

t2 = - 570 C. Bài tập tự giải: 1. Tìm mật độ phân tử trong một bình chứa khí ở 270C ở áp suất p = 8,28.10- 3

N/m2. Đáp số: n = 2.1018 phân tử / m3

2. Có một bình thể tích 10lít. Bình đó chứa khí oxygen ở áp suất 10at và ở nhiệt độ 70C. Hãy tính độ tăng nội năng của khối khí oxygen này khi nhiệt độ của nó tăng lên đến 700C. Số bậc tự do của oxygen là i = 5. Hướng dẫn: Trước hết phải tính mật độ phân tử khí oxygen trong bình. Từ đấy ta tính được tổng số phân tử có trong bình. Áp dụng biểu thức của nội năng ta tính được nội năng của khối khí Oxygen ở nhiệt độ 70C rồi ở nhiệt độ 700C. Hiệu số của hai nội năng này chính là độ tăng của nội năng mà ta muốn tính.

Đáp số: ∆ U = 5518J 3 Chứng minh rằng trong một khối khí, tích số PV bằng: a)

32 nội năng của khối khí nếu khối khí có số bậc tự do i = 3


101

b) 52 nội năng của khối khí, khối khí có i = 5

Hướng dẫn: Dùng phương trình trạng thái của khí lý tưởng PV = µM RT và

biểu thức nội năng ứng với m kg khí lý tưởng U = 2

iRTMµ

ta sẽ giải quyết

được vấn đề. 4. Có một khối khí chứa trong bình, áp suất là 10- 6 mmHg. Mật độ phân tử của khối khí đó là 31.1015phân tử/m3. Hãy xác định nhiệt độ của khối khí đó?

Đáp số: t = 280C 5. Tìm vận tốc trung bình, vận tốc toàn phương trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất của các phân tử khi oxygen ở 1320C.

Đáp số: v = 518m/s 2v = 557m/s vxs = 459m/s

6. Tìm vận tốc trung bình và vận tốc toàn phương trung bình của các phân tử trong một bình khí, biết rằng trong bình có: n1 = 1.000 Phân tử có vận tốc v1 = 100m/s n2 = 5.000 Phân tử có vận tốc v2 = 200m/s n3 = 20.000 Phân tử có vận tốc v3 = 300m/s n4 = 4.000 Phân tử có vận tốc v4 = 400m/s n5 = 1.000 Phân tử có vận tốc v5 = 500m/s n6 = 500 Phân tử có vận tốc v6 = 600m/s Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa của vận tốc trung bình và vận tốc toàn phương trung bình sẽ tính được các vận tốc đó.

Đáp số: v = 302m/s 2v = 323m/s

7. Hãy tính xem mật độ phân tử không khí ở độ cao h = 1.000m giảm đi bao nhiêu lần so với mật độ phân tử không khí trên mặt đất. Giả sử rằng từ mặt đất lên độ cao h, nhiệt độ không khí không đổi và bằng 270C. Cho g = 10m/s2, không khí có µ = 29 kg/kmol

Đáp số: h

d

nn = 1,12

8. Có 2m3 khí giãn nở đẳng nhiệt từ áp suất 5at tới áp suất 4at. Tính công sinh ra? (ra J)

Đáp số: A = -2,2.105J 9. Hỏi nhiệt lượng tỏa ra khi nén đẳng nhiệt 3 lít không khí ở áp suất 1at đến thể tích 0,3 lít.

Đáp số: 676J hay: 160calo


102

10. Một thuỷ lôi chuyển động trong nước nhờ không khí nén trong một bình chứa của thuỷ lôi phụt ra đằng sau. Hỏi công nén sinh ra? Biết rằng dung tích của bình chứa là 5 lít, áp suất của không khí nén từ P1 = 100at giảm xuống P2 = 1at. Hướng dẫn: Thuỷ lôi chuyển động tiếp xúc với nước là môi trường lớn có nhiệt độ không đổi. Xem quá trình dãn nở là đẳng nhiệt

Đáp sô: A = 2,26.105J 11. Cho 7,5 lít oxygen nén đoạn nhiệt tới thể tích 1 lít. Lúc đó áp suất của khí nén là 10at. Hỏi áp suất ban đầu?

Đáp số: P1 = 58423N/m2 12. Không khí trong xi lanh của một động cơ đốt trong được nén đoạn nhiệt từ áp suất 1at đến áp suất 35at. Nhiệt độ ban đầu của không khí là 400C. tính nhiệt độ của khối khí vào cuối lúc nén?

Đáp số: T2 = 865K 13. Một kmol nitrogen ở điều kiện thường giãn đoạn nhiệt từ thể tích V1 tới V2 = 5V1 tính : 1) Tính công sinh ra khi khí dãn nở 2) Biến thiên nội năng của khối khí? Đáp số: A = 2.690kJ

∆ U = A = 2.690kJ 14. Nén 10g oxygen từ điều kiện thường đến thể tích 1,4 lít. Hỏi: Áp suất và nhiệt độ của khối khí sau mỗi quá trình nén: đẳng nhiệt, đoạn nhiệt.

Đáp số: Đẳng nhiệt T = T1 = T2 = 273 K P2 = 5.105 N/m2 Đoạn nhiệt T2 = 520K P2 = 9,5.105 N/m3 15. Cũng vẫn bài số 7 hãy tính công nén trong mỗi trường hợp? Từ đó suy ra nên nén cách nào lợi hơn?

Đáp số : Quá trình đẳng nhiệt: A = 1.115 J Quá trình đoạn nhiệt: A = 1.500 J

Vậy nén đẳng nhiệt tốn ít công hơn. 16. Một khối khí có thể tích 20lít ở áp suất 10at được nung nóng đẳng áp từ 500C đến 2000C. Tính công giãn khí ra J

Đáp số: 9.114 J


103

17. Một khối khí hydrogen có thể tích 5 lít ở áp suất p = 1at được nén đoạn nhiệt đến thể tích 1lít. Tính công nén khí?

Đáp số: A = 1.146,6 J 18. Tính nhiệt lượng của một chất khí sinh ra khi giãn nở, công và độ biến thiên nội năng của khối khí (hình vẽ VI-8). Giải bài toán trong trường hợp biến đổi chất khí từ trạng thái thứ nhất sang trạng thái thứ hai theo hai con đường: a). Đường ACB b). Đường ADB.

Cho: V1 = 3l, P1 = 8,2.105N/m2, t1 = 270C, V2 = 4,5l, P2 = 6.105 N/m2.

Đáp số: a). Q = 1,55kJ, A = 0,29kJ, ∆ U = 0,63kJ b). Q = 1,88kJ, A = 1,25kJ, ∆ U = 0,63kJ

O

Hình VI-8

V

P

B

D

C

A

V2 V1

P2

P1


104






NXBGD năm 1996.


105

Chương VII. NGUYÊN LÝ II NHIỆT ĐỘNG HỌC

7.1. NHỮNG HẠN CHẾ CỦA NGUYÊN LÝ I, QUÁ TRÌNH THUẬN NGHỊCH VÀ BẤT THUẬN NGHỊCH

7.1.1. NHỮNG HẠN CHẾ CỦA NGUYÊN LÝ I Thực chất của nguyên lý I là định luật bảo toàn năng lượng, tuy nhiên nguyên lý I chưa giải quyết được một số vấn đề như sau: a). Nguyên lý I nói lên được sự biến đổi của một hệ, nhưng chưa nêu được chiều biến thiên của hệ là theo chiều nào mà trong thực tế thì nhiệt chỉ tự động truyền từ nguồn nóng sang nguồn lạnh mà không tự động truyền ngược lại. b). Nguyên lý I nói lên được sự tương đương và sự chuyển hoá qua lại giữa công và nhiệt nhưng chưa nêu lên được sự khác nhau cơ bản giữa chúng đó là: công có thể chuyển hoá hoàn toàn thành nhiệt, nhưng nhiệt không thể chuyển hoá hoàn toàn thành công. Chẳng hạn một hòn đá rơi từ một độ cao nào đó lúc chạm đất thì động năng và thế năng bằng không đối với mặt đất năng lượng này đã chuyển thành nhiệt và năng lượng biến dạng của đất. Nhưng ngược lại nếu ta cấp nhiệt cho nó ở mặt đất thì nó không thể bay trở lại vị trí ban đầu. c). Nguyên lý I chưa nói lên được sự khác nhau về chất lượng nhiệt của các nguồn nhiệt mà trên thực tế thì nhiệt lấy từ một nguồn có nhiệt độ cao hơn bao giờ cũng lớn hơn lấy từ nguồn có nhiệt độ thấp hơn. Những hạn chế trên đây của nguyên lý I sẽ được nguyên lí II giải quyết triệt để. 7.1.2. QÚA TRÌNH THUẬN NGHỊCH VÀ BẤT THUẬN NGHỊCH Định nghĩa 1

Một quá trình biến đổi của một hệ từ trạng thái A sang trạng thái B được gọi là một quá trình thuận nghịch nếu hệ có thể tự thực hiện theo chiều ngược lại; và trong quá trình ngược lại đó hệ qua các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã qua. Có thể lấy ví dụ về quá trình thuận nghịch như các con lắc dao động điều hoà, chuyển động của piston trong xilider (xilanh).v.v... Định nghĩa 2

Một quá trình biến đổi của một hệ từ trạng thái A sang trạng thái B được gọi là một quá trình bất thuận nghịch nếu hệ không thể thực hiện được theo chiều ngược lại; hoặc nếu có thì hệ không qua hoặc không đi hết các trạng thái trung gian mà quá trình thuận đã qua . Quá trình bất thuận nghịch như các con lắc dao động không điều hoà, quá trình hoà mực.v.v...


106

7.2. ENTROPI

7.2.1. KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA ENTROPI. 7.2.1.1 Khái niệm entropi Lý thuyết Thống kê và Nhiệt động lực học đã chứng tỏ rằng khi một hệ thực hiện một quá trình biến đổi thuận nghịch từ trạng thái A sang trạng thái

B thì tích phân ∫B

A TQδ không phụ thuộc vào dạng đường cong biến đổi mà chỉ

phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối (giống như công của trường

thế). Nghĩa là tích phân ∫B

A TQδ không phải là một hàm của quá trình. Trong Vật

lý học các đại lượng là hàm của trạng thái luôn luôn là một vấn đề quan trọng, cho phép ta nghiên cứu quá trình biến đổi của hệ mà chỉ quan tâm đến trạng thái đầu và trạng thái cuối mà không cần để ý đến đường cong biến đổi. Tỷ số này cho phép ta định nghĩa một đại lượng S được tính qua tích phân.

∫=−=∆B

A TQSSS δ

12 (VII-1).

S được gọi là entropi. Do đó vi phân của entropi trong quá trình thuận nghịch là:

TQdS δ

= .

Tương tự với quá trình bất thuận nghịch ta chứng minh được:

∫>∆B

A TQS δ

Do đó vi phân của entropi trong quá trình bất thuận nghịch là:

TQdS δ

> .

Ta viết gộp hai quá trình trên như sau:

TQdS δ

≥ (VII-2a).

Dấu bằng đối với quá trình thuận nghịch, dấu lớn hơn với quá trình bất thuận nghịch. 7.2.1.2. Tính chất của entropi, entropi của hệ cô lập

- Như đã nói ngay từ đầu entropi là một hàm của trạng thái. - Entropi có tính cộng được, nghĩa là entropi của một hệ gồm n phần thì

bằng tổng entropi của các phần đó ∑=

nkSS

- Entropi trong một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn. Thực vậy do hệ cô lập không trao đổi nhiệt nên 0=dQ dẫn đến:


107

02

1

==∆ ∫S

S TQS δ

Hay: S = const (VII-2b). - Entropi của quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch. Thực nghiệm

của nhiệt động lực học và Vật lý Thống kê đã chứng tỏ rằng đối với một quá trình thuận nghịch độ biến thiên entropi là:

TQS ∆

=∆ ,

với quá trình bất thuận nghịch: TQS ∆

>∆ .

Ta viết gọn: TQS ∆

≥∆ (VII-2c).

Nếu hệ thực hiện một biến thiên nhỏ: TQdS δ

≥ .

Bất đẳng thức (VII-2c) trên gọi là bất đẳng thức Clausius. Dấu bằng đối với quá trình thuận nghịch, dấu lớn hơn với quá trình bất thuận nghịch. 7.2.2. BIỂU THỨC BIẾN THIÊN ENTROPI CỦA MỘT SỐ QUÁ TRÌNH 7.2.2.1. Khí lý tưởng với quá trình thuận nghịch

Giả sử trong quá trình thuận nghịch, hệ chuyển từ trạng thái 111 ,, TVP sang trạng thái 22 ,2, TVP . Ta hãy tính biến thiên entropi S∆ của hệ. Từ:

∫ ∫==∆1

1

2

1

S

S

S

S TQdSS δ ,

mà: PdVUAUQ +=−= δδδδ ,

trong đó: V

,µµ

δ MRTPdTCMU V == .

Vậy: ∫∫ +=∆2

1

2

1

V

V

T

TV V

dVMRTdTCMS

µµ

1

2

1

2 lnlnVVMR

TTCMS V µµ

+=∆⇒ .

7.2.2.2. Một số trường hợp riêng - Quá trình đẳng nhiệt (T = const):

1

2lnVVMRS

µ=∆ .

- Quá trình đẳng tích (V = const):

1

2lnTTCMS Vµ

=∆ .

- Quá trình đẳng áp (P = const): Từ phương trình


108

∫ ∫+=∆2

1

2

1

T

T

V

VV dVP

TdTCMS

µ,

suy ra: )(ln 121

2 VVPTTMC

S V −+=∆µ

.

1

2lnVVMCS P

µ=∆

- Quá trình đoạn nhiệt: 0=∆Q 210 SSS =⇒=∆⇒ . Entropi của quá

trình đoạn nhiệt là một đại lượng không đổi.


109

7.3. NGUYÊN LÍ II 7.3.1. NGUYÊN LÍ II VÀ NHẬN XÉT 7.3.1.1. Nguyên lí II

Trong phần trên ta biết bất đẳng thức Clausius:

TQdS δ

≥ ,

dấu bằng đối với quá trình thuận nghịch, dấu lớn hơn với quá trình bất thuận nghịch. Trong trường hợp hệ cô lập (không trao đổi nhiệt với bên ngoài) thì

0=Qδ nên: 0≥dS (VII-3). Như vậy ta có nguyên lý II như sau: Trong một hệ cô lập mọi quá trình biến đổi sao cho entropi của hệ luôn luôn tăng cho đến lúc đạt giá trị cực đại. 7.3.1.2. Nhận xét nguyên lí II

- Theo nguyên lý II thì cuối quá trình biến đổi (hay nói khi có sự cân bằng) thì entropi sẽ có giá trị cực đại

- Cũng theo nguyên lý II thì không có quá trình 0<dS , chứng tỏ nhiệt không tự động truyền từ nguồn lạnh sang nguồn nóng.

- Theo nguyên lý II: T1 > T2 nên Q1 > Q2 nghĩa là nguồn nhiệt có nhiệt độ càng cao thì nhiệt lượng càng lớn

- Chúng ta cũng có thể phát biểu nguyên lý II các cách khác như sau: * Nhiệt không tự động truyền từ nguồn lạnh sang nguồn nóng. * Không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại hai là loại động cơ

chỉ làm việc với một nguồn nhiệt. Vậy nguyên lý II đã giải quyết được những hạn chế của nguyên lý I.

7.3.2. ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ II 7.3.2.1 Chế tạo máy nhiệt. Máy nhiệt

Là loại máy biến nhiệt thành công (như động cơ xăng, diezen.v.v...) hoặc biến công thành nhiệt (như máy làm lạnh, máy đá lạnh, tủ lạnh.v.v...).

Máy nhiệt có hai loại là động cơ nhiệt và máy làm lạnh. Động cơ nhiệt

Động cơ nhiệt hoạt động theo chiều thuận: biến nhiệt thành công. Máy tiêu thụ một công Q1 của nguồn nóng T1 để sinh một công A và nhả cho nguồn lạnh T2 một nhiệt lượng Q2. Hiệu suất của động cơ nhiệt là:

Hình VII-1

Q2

Q1

T2

A

v

P

maïy

Laûnh

Noïng T T


110

1Q

AH = ,

nhưng theo định luật bảo toàn năng lượng AQQ += 21 .

Nên: 1

2

1

21

1

1QQ

QQQ

QAH −=

−==

1

21QQH −=

(VII-4)

Máy làm lạnh Hoạt động máy làm lạnh theo nguyên tắc ngược lại: biến công thành nhiệt. Máy tiêu thụ một công A để lấy một nhiệt lượng Q2 của nguồn lạnh T2 nhả cho nguồn nóng T1 một nhiệt lượng Q1. Hệ số làm của máy làm lạnh là:

AQ2=ε (VII-5).

7.3.2.2. Chu trình Carnot Định nghĩa

Chu trình Carnot là một chu trình kín gồm có bốn quá trình thuận nghịch hoặc bất thuận nghịch:

- Giãn đẵng nhiệt từ 111 ,, TVP đến 122 ,, TVP - Giãn đoạn nhiệt từ 122 ,, TVP đến 233 ,, TVP - Nén đẵng nhiệt từ 233 ,, TVP đến 244 ,, TVP - Nén đoạn nhiệt từ 244 ,, TVP đến 1121 ,, TVP .

Hiệu suất của chu trình Carnot Trước hết ta tìm hiệu suất của chu trình Carnot thuận nghịch. Vì chu trình Carnot là chu trình của động cơ nhiệt nên biểu thức hiệu suất của nó cũng có dạng như động cơ nhiệt:

HìnhVII-2

Q2

Q1

T2

A

v

P

maïy

Noïng T T

Laûnh

Hình VII-3

4

3

2

1


111

1

2

1

1QQ

QAH −== .

Ngoài ra do entropi của hệ có tính cộng được nên biến thiên entropi cũng có tính cộng được. Chia hệ thành ba phần: nguồn nóng, nguồn lạnh và máy thì ta có: maynglngnghe SSSS ∆+∆+∆=∆ .

Trong đó: 1

1

TQ

Sngng =∆ , 2

2

TQ

Sngl −=∆

0=∆ heS 0=∆ mayS (do hệ và máy đều thực hiện các chu trình kín), nên:

00)(2

2

1

1 =+−+=∆TQ

TQ

S .

Hay: 1

21TTH −=

(đối với chu trình thuận nghịch). Còn chu trình bất thuận nghịch thì người ta chứng minh được:

1

21TTH −< .

Tóm lại: 1

21TTH −≤ . (VII-6).

(Dấu bằng đối với quá trình thuận nghịch và dấu nhỏ hơn đối với quá trình bất thuận nghịch). 7.3.2.3. Định lý Carnot Định lý.

Hiệu suất của tất cả các động cơ chạy theo chu trình Carnot chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ nguồn nóng và nguồn lạnh mà không phụ thuộc vào tác nhân và cách chế tạo máy. Hiệu suất của động cơ chạy theo chu trình Carnot thuận nghịch lớn hơn hiệu suất của các động cơ chạy theo chu trình Carnot bất thuận nghịch cùng làm việc với hai nguồn nhiệt trên. Hệ quả

- Hiệu suất lớn nhất của chu trình Carnot chính là chu trình Carnot thuận

nghịch: 1

21TTH −=

- Hiệu suất của chu trình Carnot cũng như mọi chu trình khác luôn luôn bé hơn 1: 1<H (vì 1T không thể bằng vô cùng và 2T không thể bằng không).

- Để tăng hiệu suất của chu trình Carnot thì tăng 1T , giảm 2T . - 2121 QQTT >⇒> nghĩa là nhiệt độ càng cao thì nhiệt lượng càng

lớn.


112

Bài tập chương VII. NGUYÊN LÝ II NHIỆT ĐỘNG HỌC

Bài tập mẫu: Một động cơ nhiệt làm việc theo Carnot, có công suất 73600W. Nhiệt độ nguồn nóng là 1000C và nguồn lạnh là 00C. Tính :

a). Hiệu suất của động cơ b). Nhiệt mà tác nhân thu được của nguồn nóng trong một phút. c). Nhiệt mà tác nhân nhả cho nguồn lạnh trong một phút. Giải: a). Hiệu suất của động cơ:

%27373

273373

1

11 =−

=−

=T

TTH

b). Trong một giây động cơ sinh công 73600J và nó nhận ở nguồn nóng một nhiệt lượng:

HAQ =1 .

Nên trong một phút động cơ nhận nhiệt lượng:

kcalkJHAQQ p 395016470

27,073600606060 11 =====

c). Trong một giây động cơ nhả cho nguồn lạnh một nhiệt lượng: AQQ −= 11 .

Nên trong một phút động cơ nhả nhiệt lượng: kcalkJAQAQQ P 28901205460)(60 112 ==−=−=

Bài tập tự giải: 1. Một động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot nhả cho nguồn lạnh 80% nhiệt lượng mà nó thu được của nguồn nóng. Nhiệt lượng mà nó thu được trong một chu trình là 1,5kcal. Tìm:

a). Hiệu suất của chu trình Carnot nói trên b). Công mà động cơ sinh ra trong một chu trình.

Đáp số: a). H = 20%, b). A = 12,54kJ = 0,3kcal 2. Một máy hơi nước có công suất 14,7kW, tiêu thụ 8,1kg than trong một giờ. Năng suất tỏa nhiệt của than là 7800kcal/kg. Nhiệt độ nguồn nóng là 2000C, nhiệt độ nguồn lạnh là 580C.

a).Tìm hiệu suất thực tế của máy. b). So sánh hiệu suất đó với hiệu suất lý tưởng của máy nhiệt làm việc

theo chu trình Carnot với những nguồn nhiệt kể trên. Đáp số: H1 = 20%, H2 = 30%.

3. Một kmol khí lý tưởng thực hiện một chu trình gồm hai quá trình đẳng tích và hai quá trình đẳng áp. Khi đó thể tích của khí thay đổi từ V1 = 25m2 đến V2


113

= 50m2 và áp suất từ P1 = 1at đến P2 = 2at. Hỏi công thực hiện bởi chu trình này nhỏ hơn bao nhiêu lần so với chu trình Carnot có các đường đẳng nhiệt ứng với nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của chu trình trên nếu khí giãn đẳng nhiệt thể tích tăng gấp hai lần.

Đáp số: AC/A = 2,1 4. a). Tính hiệu suất của một động cơ chạy theo một chu trình kín gồm bốn quá trình sau đây:

- Hai quá trình đẳng nhiệt - Hai quá trình đoạn nhiệt

b). So sánh với hiệu suất của chu trình Carnot cùng làm việc với hai nguồn nhiệt trên.

Đáp số: a).1

21TTH −=

b). Bằng nhau 5. Tính độ biến thiên entropi khi giãn đẳng nhiệt của 10,5g khí nitrogen từ thể tích 2lít đến 5 lít.

Đáp số: a). ∆ S = 17,3J/K 6. Tính độ biến thiên entropi của một chất khí lý tưởng khi trạng thái của nó thay đổi từ A đến B (hình vẽ VII-5) theo: a). Đường ACB b). Đường ADB.

Cho: V1 = 3l, P1 = 8,3l.105N/m2, t1 = 270C, V2 = 4,5l, P2 = 6.105 N/m2.

Đáp số: a). ∆ S = 5,5J/K 7. Cho 6g khí hydrogen biến thiên thể tích 20lít, áp suất 1,5at đến thể tích 60 lít, áp suất 1at. Tính độ biến thiên entropi.

Đáp số: a). ∆ S = 7,1J/K

P2

V O

Hình VII-4

P

B

D

C

A

V2 V1

P1

O V

P

B

D

C

A

V2 V1

P2

P1

H. VII-5


114






NXBGD năm 1996.


115

Chương VIII. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

8.1. THUYẾT ĐIỆN TỬ, ĐỊNH LUẬT COULOMB 8.1.1. THUYẾT ĐIỆN TỬ 8.1.1.1. Thuyết điện tử Việc nghiên cứu điện trường dựa trên cơ sở thuyết điện tử gồm các nội dung chính sau đây: a). Điện tích là một thuộc tính của vật chất. Điện tích trên một vật bất kỳ có cấu tạo gián đoạn, độ lớn của nó luôn luôn bằng một số nguyên lần điện tích nguyên tố. Điện tích nguyên tố là điện tích nhỏ nhất trong tự nhiên. Điện tích nguyên tố âm là điện tử; mỗi điện tử có điện tích e = -1,6.10-19C, khối lượng m = 9,1.10-31kg. b). Nguyên tử được cấu tạo gồm hạt nhân mang điện tích dương ở giữa có độ lớn z e , xung quanh là các điện tử chuyển động. Bình thường nguyên tử trung hoà về điện. c). Khi nguyên tử trung hoà bị mất điện tử thì thừa điện tích dương nên trở thành ion dương , khi nguyên tử nhận thêm điện tử thì trở thành ion âm. d). Hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, hai điện tích khác dấu thì hút nhau. 8.1.1.1. Định luật bảo toàn điện tích: Điện tích trong không gian là một lượng cố định. Điện tích không tự nhiên sinh ra mà cũng không tự nhiên mất đi mà nó chỉ truyền từ vật này sang vật khác hoặc di chuyển từ đầu này sang đầu khác trong một vật. 8.1.2. ĐỊNH LUẬT COULOMB Hai điện tích điểm bất kỳ tương tác với nhau những lực có độ lớn tỷ lệ với tích các điện tích và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng, có phương nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều tuỳ thuộc vào dấu các điện tích (lực hút nếu chúng ngược dấu và lực đẩy nếu chúng cùng dấu). Nếu gọi 12F là lực mà điện tích q1 tác dụng lên điện tích q2 và 21F là lực mà điện tích q2 tác dụng lên điện tích q1. Theo định luật này độ lớn của hai điện tích bằng nhau:

F = F12 = F21 = 221

rqkq

ε.

Dạng vector của định luật:

12

122

12

2112 r

rr

qkqF

rr

ε=

21

212

21

2121 r

rr

qkqF

rr

ε= (VIII-1a).

21F q1 q2

q1 q2

r

r 21F

12F

12F

Hình VIII-1

⊕


116

Viết gọn: rr

rqkqF

rr2

21

ε= r

rqkqF rr3

21

ε= (VIII-1b).

(Trong đó k = 04

1πε

= 9.1092

2

CNm ; σ = 8,86.10-12 2

2

NmC ; ( là hằng số điện môi;

chân không và không khí ε = 1; dầu ε = 2,.v.v..) 8.1.3. NGUYÊN LÍ CHỒNG CHẤT LỰC ĐIỆN TRƯỜNG Nếu một điện tich q chịu tác dụng của nhiều điện tich (nghĩa là một hệ điện tích): q1, q2, q3... qn. tác dụng lên điện tích q những lực tương ứng nFFFF

rrrr....,,, 321 thì

lực điện trường tác dụng lên q là:

∑∑==

==

++++=n

k k

kkn

kk

n

rqrq

F

FFFFF

13

01

321

41

....rr

rrrrr

πεε (VIII-1a).

Trong trường hợp vật dẫn mang điện tích Q tác dụng lên q: ∫=

)(3

041

V rrqdQFrr

πεε (VIII-1c).

M

qn

q1

rn

r1

Hình VIII-2


117

8.2. ĐIỆN TRƯỜNG 8.2.1. ĐIỆN TRƯỜNG 8.2.1.1. Khái niệm điện trường Theo quan điểm của “Thuyết Tương Tác Gần” (mà cho đến nay vẫn được xem là đúng đắn) thì:

- Điện trường là môi vật chất đặc biệt tồn tại xung quanh các điện tích mà thông qua đó lực điện trường được thực hiện.

- Tương tác được truyền đi với vận tốc hữu hạn c (vận tốc ánh sáng trong chân không).

- Khi có một điện tích q nào đó thì môi trường xung quanh điện tích đã có sự thay đổi đó là môi trường có điện trường.

Như vậy có thể định nghĩa điện trường như sau: Điện trường là môi trường vật chất đặc biệt, tồn tại xung quanh các điện tích và thấm sâu vào mọi vật mà thông qua đó lực điện trường được thực hiện. 8.2.1.2. Vector cường độ điện trường

Từ định luật Coulomb F = 321

rrqkq

ε nếu ta chia hai vế của F cho q2 thì

31

2 rrkq

qF

ε= không phụ thuộc gì vào q2 mà chỉ phụ thuộc vào q1 và khoảng cách

tới q1. Vậy đại lượng 12

EqF

= có thể đặc trưng cho trường của q1 gây ra tại

điểm cách nó r và gọi là cường độ điện trường của điện tích q1 và

30

13

11 4 r

rkqr

rkqEπεεε

r

== (VIII-2a).

Dẫn đến: 12 EqFrr

= (VIII-2b).

Độ lớn của điện trường này là E1 = 21

rkqε

.

Tóm lại là cường độ điện trường của một điện tích q bất kỳ gây ra tại điểm

cách nó r là: 3rrkqE

ε= độ lớn 2r

kqEε

= (V/m)

(vector E hướng ra xa điện tích nếu q > 0 và hướng vào điện tích nếu q < 0). 8.2.2. NGUYÊN LÍ CHỒNG CHẤT ĐIỆN TRƯỜNG Nếu tại một điểm M có điện trường của nhiều điện tích gây ra (nghĩa là một hệ điện tích): q1, q2, q3.v.v...là 1E

r, 2Er

, 3Er

thì điện trường tại M là E

r.

M

qn

q1

rn

r1

Hình VIII-3


118

Trước hết nếu đặt một điện tích q tại M thì lực mà các điện tích tác dụng lên q là:

∑∑==

==

++++=n

k k

kkn

kk

n

rqrq

F

FFFFF

13

01

321

41

....rr

rrrrr

πεε VIII-3).

Vậy nên: ∑∑

==

==

+++==

n

k k

kkn

kk r

rqE

vvEEEqFE

13

01

321

41

....

rr

rrrr

r

πεε

(VIII-4).

Trong trường hợp điện tích phân bố liên tục thì điện trường của cả vật dẫn gây ra tại một điểm nào đó: ∫=

)(3

041

V rrdqErr

πεε (VIII-5).

Chú ý: - Nếu điện tích phân bố khối với mật độ ρ thì dVdq ρ= - Nếu điện tích phân bố mặt với mật độ σ thì dSdq σ= - Nếu điện tích phân bố dài với mật

độ λ thì dldq λ= 8.2.3. LƯỠNG CỰC ĐIỆN Lưỡng cực điện là một hệ gồm hai điện tích bằng nhau về độ lớn nhưng trái dấu (q, -q) và đặt các nhau một đoạn l trong môi trường. Vấn đề đặt ra ở đây là tìm điện trường tại một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn l. Ta dễ dàng thấy: 21 EEE

rrr+= .

Về độ lớn: 310

21 82cos2cos2

rqlEEE

πεεαα === .

Do rrrlr ≈≈⇒>> 21 304 r

qlEπεε

=⇒ .

Trên hình vẽ ta thấy Er

và lr luôn luôn cùng phương chiều nên nếu đặt lqp

rr=

và gọi là moment lưỡng cực điện thì: 3

04 rpE

πεε

rr=⇒ (VIII-6).

-q α

Er

1

Er

2

-q q

l

Er

r2

r1

Hình VIII-4


119

8.3. ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ O-G (Oxtrograxki - Gauss)

8.3.1. ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG, VECTOR ĐIỆN CẢM 8.3.1.1. Định nghĩa Để đặc trưng cho điện trường về phương diện mô tả người ta dùng khái niệm đường sức.

Đường sức là những đường mà tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với vector cường độ điện trường tại điểm đó.

Đường sức điện trường là những đường có hướng đi ra từ điện tích dương và đi vào điện tích âm. 8.3.1.2. Tính chất của đường sức điện trường

- Đường sức điện trường càng dày thì điện trường càng mạnh, đường sức càng thưa thì điện trường càng yếu.

- Các đường sức điện trường là những đường hở xuất phát ở điện tích dương và kết thúc ở điện tích âm.

- Các đường sức không bao giờ cắt nhau. - Đường sức điện trường của điện tích điểm

đặt cô lập là đường thẳng. - Nói chung đường sức điện trường là đường

cong. Trong biểu thức của E có chứa ε vì vậy khi mô tả điện trường trong trường hợp môi trường có nhiều chất khác nhau thì rất phức tạp. Để đơn giản và thuận tiện người ta đưa ra một vector không phụ thuộcε gọi là vector điện cảm D

r được định nghĩa như sau:

EDrr

0εε= (VIII-7). 8.3.2. ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ O-G VỀ ĐIỆN TRƯỜNG 8.3.2.1. Đinh nghĩa

Điện thông của vector điện cảm Dr

gửi qua một diện tích dS được định nghĩa như sau:

αcosDdSSdDdN ==rr

. (VIII-8). Trong đó Sd

rlà vector diện tích, có độ lớn bằng

diện tích dS , có phương và chiều là phương và chiều của vector pháp nr tại diện tích dS ( dS đủ

Er

Er

Er

Hình VIII-4a

H.VIII-4b

H. VIII-4c

α

nr

Hình VIII-5

S

Br

Sdr


120

nhỏ sao cho điện trường xuyên qua dS được coi là đều) 8.3.2.2. Nhận xét

- Nếu 0=α thì DdSdN = điện thông có giá trị lớn nhất.

- Nếu 2πα = thì 0=dN điện thông

bằng 0. - Nếu πα = thì 0<dN điện thông

âm. - Điện thông toàn phần gửi qua một

diện tích S nào đó là: ∫=

)(S

SdDNrr

Đặc biệt nếu tconsDrr

= Thì SDN

rr=

8.3.2.3. Định lý O-G Thông lượng điện cảm gửi qua một mặt kín S bất kỳ thì bằng tổng các

điện tích chứa trong mặt kín S đó: ∑∫ == kqSdDN

rr (VIII-9).

8.3.2.4. Ví dụ Ví dụ1

Ứng dụng của định lý O-G tìm điện trường ngoài một điện tích điểm q (cách q một đoạn r).

Để dùng định lý O-G ta lấy mặt kín tích phân là mặt cầu bán kính r tâm q, mặt cầu chứa điểm M. Đồng thời lấy diện tích vô cùng nhỏ dS trên mặt cầu chứa điểm M. Các vector diện tích, điện cảm, pháp tuyến (như hình vẽ VIII-7).Dùng định lý O-G:

∫=)(S

SdDNrr

Ở đây: 0=α , constD = nên: ∫ ∫ ===

)( )(S S

DSdSDDdSN

qrDDSN === 24. π

20

2 44 rqE

rqD

εεπ=⇒=⇒

(công thức này cũng đã quen thuộc trong chương trình điện phổ thông) Ví dụ 2

S

H. VIII-6

q2

q1

qn

r

Hình VIII-7

q

Sdr

Dr

r


121

Tính cường độ điện trường ngoài một mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ σ .

Để dùng định lý O-G ta lấy mặt kín tích phân là mặt trụ đáy song song với mặt phẳng mang điện, diện tích là Sđ. Mặt phẳng mang điện cắt hình trụ và đi qua giữa hình trụ. Đồng thời lấy diện tích vô cùng nhỏ dSđ trên mặt đáy và dSxq trên mặt xung quanh. Các vector diện tích, điện cảm, pháp tuyến (như hình vẽ VIII-8). Dùng định lý O-G: ∑∫ == kqSdDN

rr.

dd

S S

SS S

SSD

SdDqSdD

SdDSdDqSdD

D

XQD

σ==

==

+==

∫ ∫

∫∫ ∫

.2

2

2

rrrr

rrrrrr

Hay: 02

2/εεσσ =⇒= ED

Hệ quả Ta dễ dàng suy ra điện trường giữa hai bản tụ điện phẳng nếu xem các

bản tụ rộng vô hạn: 21 EEErrr

+=

000 22 εεσ

εεσ

εεσ

=−

+=E .

Sxq

nr

Dr

Sdr

σ

nr

Sd

Er

Hình VIII-8

Sdr


122

8.4. CÔNG CỦA LỰC TĨNH ĐIỆN, ĐIỆN THÊ, HIỆU ĐIỆN THẾ

8.4.1. CÔNG CỦA LỰC ĐIỆN TRƯỜNG, KHÁI NIỆM ĐIỆN THẾ VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ 8.4.1.1. Công của lực điện trường

Ta hãy tính công của lực điện trường của q1 tác dụng lên điện tích q2 làm cho q2 dịch chuyển theo đường cong từ 1 đến 2. Công của dịch chuyển nhỏ dr tại một vị trí nào đó trên quỹ đạo: rdFdA rr

= Thay F từ định luật Coulomb:

30

21

4 rrdrqq

dAπεε

rr

= .

Trong đó ta có thể chứng minh được: rdrrdr =

rr . Thực vậy:

rdrrdrrdrdr

zyxdzdzydyxdxrdr

kdzjdyidxkzjyixrdr

===

++=++=

++++=

22

2

2)(

))((

2

222

rr

rr

rrrrrrrr

Dẫn đến: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫

210

212

0

21 1144

2

1rr

qqrdrqqA

r

r πεεπεε.

Người ta đặt:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

20

212

10

211

4

4

rqqW

rqq

W

πεε

πεε

WWWWWA ∆−=−=−=⇒ )( 1221 (VIII-10). 8.4.1.2. Định lý thế năng

Công của lực tĩnh điện dịch chuyển một điện tích bằng độ giảm thế năng. Tóm lại thế năng của một điện tích điểm q nào đó cách một điện tích Q (hoặc ngược lại) một đoạn r là :

rqQW

04πεε=

Ta dễ dàng thấy rằng thế năng tại một điểm trong trường được xác định hơn kém nhau một hằng số. Thực vậy vì C

rqQW +=

04πεε cũng biểu diễn thế năng của điểm M, để đảm

q

Hình VIII-9

rdr rr

Fr

2

1

q M

Q

H. VIII-10a


123

bảo tính đơn trị của bài toán vật lý người ta quy uớc thế năng ở vô cùng bằng không nên C = 0 ta có:

rqQW

04πεε= (VIII-11).

8.4.1.3. Điện thế, hiệu điện thế Nếu ta chia W cho q thì ta được một đại lượng

rqQ

04πεεkhông phụ thuộc gì vào q mà chỉ

phụ thuộc và Q và khoảng cách từ Q đến điểm M (nơi đặt điện tích q). Đại lượng

rqQ

04πεεrõ ràng

cũng đặc trưng cho trường của Q gây ra tại điểm M và gọi là điện thế, ký hiệu bằng chữ V. Tóm lại điện thế của điện tích điểm Q gây ra tại điểm cách nó r là:

rQV

04πεε= (VIII-12).

Ngoài ra để cho phù hợp với điều kiện Vật lý và điều kiện thực tế thì điện thế ở vô cùng phải bằng không 0)( =∞V

Hiệu điện thế giữa hai điểm là hiệu số điện thế giữa hai điểm đó: Chẳng hạn trên hình vẽ (VIII-10b) hiệu điện thế giữa hai điểm 1 và 2

là:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

2102112

114 rr

QVVUπεε

(VIII-13).

Từ đó suy ra: 0V 1111 −=∞−== ∞ VVUV Điện thế tại một điểm nào đó bằng hiệu điện thế của điểm đó với vô cực. 8.4.2. NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT ĐIỆN THẾ. Nếu tại một điểm có điện thế của nhiều điện tích điểm gây ra thì điện thế tại đó là tổng điện thế của các điện tích trên gây ra tại đó:

∑∑

==

==

+++=n

k k

kn

kk r

qV

vvVVVV

101

321

41

....

πεε (VIII-14).

Trong trường hợp vật gây ra điện thế là một vật dẫn thì cũng lập luận tương tự như điện trường ta có điện thế do cả vật dẫn sinh ra là: ∫=

)(041

V rdqV

πεε (VIII-15).

Chú ý: - Nếu điện tích phân bố khối với mật độ ρ thì dVdq ρ= - Nếu điện tích phân bố mặt với mật độ σ thì dSdq σ= - Nếu điện tích phân bố dài với mật độ λ thì dldq λ=

H. VIII-10b

Q

2

1

2rr

1rr


124

(lưu ý rằng V là một đại lượng vô hướng). 8.4.3. ĐIỆN THẾ VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ CỦA ĐIỆN TRƯỜNG BẤT KÌ Xét hai điểm bất kì trong điện trường là M và N thì công của lực điện trường làm dịch chuyển một điện tích q từ điểm này đến điểm kia:

∫∫ ==N

M

N

MMN ldEqldFA

rrrr (VIII-16).

Công của lực dịch chuyển điện tích q từ M đến vô cực bằng

∫∫∞∞

∞ ==MM

M ldEqldFArrrr

Điện thế tại M ∫∫∞∞

∞ ===MM

MM ldEldFq

VVrrrr1 (VIII-17).

Và do đó hiệu điện thế giữa hai điểm M và N bất kì

∫∫ ==N

M

N

MMN ldEldEV

rrrr (VIII-18).


125

8.5. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ

8.5.1. MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ 8.5.1.1. Mặt đẳng thế Trước hết ta có định nghĩa mặt đẳng thế như sau: Quỹ tích của tất cả những điểm có cùng điện thế tạo thành một mặt gọi là mặt đẳng thế. Như vậy mặt đẳng thế có thể có các hình dạng bất kỳ (Hình VIII-11) vẽ các mặt đẳng thế của điện tích điểm và của mặt phẳng rộng vô hạn tích điện) nhưng phương trình của mặt đẳng thế dĩ nhiên có dạng:

V(x, y, z) = C = const. 8.5.1.2. Tính chất của mặt đẳng thế

- Công của lực dịch chuyển một điện tính trên một mặt đẳng thế thì bằng không. Thực vậy: A = q(V1 - V2) mà V1 = V2 do đó A = 0.

- Vector cường độ điện trường E luôn vuông góc với mặt đẳng thế.

- Mặt đẳng thế của điện tích điểm là những đường tròn.

- Mặt đẳng thế của mặt phẳng vô hạn tích điện là các mặt phẳng. 8.5.1.3. Mối liên hệ giữa điện trường và điện thế Công của lực điện trường dịch chuyển một điện tích q từ điểm M (có điện thế V1 = V) đến điểm N có điện thế (V2 = V + dV) trong một điện trường bất kì (hình vẽ VIII-11b) là: rdEqdA rr

= ( NMrdrr

= ) (a). Mặt khác:

qdVdVVVqVVqdA

=−−=−=

)()( 21 (b).

Từ (a) và (b) ta suy ra:

gradVrd

dVE

qdVrdEq

−=−=⇒

−=

rr

rr

(VIII-19).

(trong đó kzVj

yVi

xVgradV

rrr

∂∂

∂∂

+∂∂

= ).

8.5.2. ỨNG DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ Ta xét một ứng dụng của biểu thức này đó là tính hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện phẳng khi biết điện trường (hoặc ngược lại).

H. VIII-11

Er

Er

V1=V

H.VIII-12a

q M

Fr

N

Er

V2=V+dV


126

Từ công thức gradVrd

dVE −=−= rr

, ta suy ra:

dxdVkji

xVgradVE −=++

∂∂

−=−= )00(rrrr

EdxxE

dxEdVUx

x

V

V

−=−−

=−== ∫∫)( 12

2

1

2

1

EdUEdU =⇒−=− (d là khoảng cách giữa hai bản tụ).

Tóm lại: 0εε

σdUhayEdU ==

(trong đó ta đã xem hai bản tụ rộng vô hạn và do đó còn có thể tính điện trường qua biểu thức

0εεσ

=E ).

d

Er

o

x2

x1

H. VIII-12b


127

Bài tập chương VIII. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

A. LỰC ĐIỆN TRƯỜNG Bài tập mẫu: Trên các đỉnh ABC của một tam giác người ta lần lượt đặt các diện tích điểm q1 = 3.10-8C, q2 = 5.10-8C, q3= -10.10-8C. Xác định lực tác dụng tổng hợp lên điện tích đặt tại A. Cho biết AC = 3cm, AB = 4cm, BC = 5cm. Các diện tích đều được đặt trong không khí. Giải:

q1 = 3.10-8C q2 = -10.10-8C q3 = 5.10-8C, AC = r2 = 3cm

Cho:

AB = r1 = 4cm, BC = r3 = 5cm Hỏi: Lực tác dụng lên q1

Điện tích dương đặt tại A chịu tác dụng của hai lực: - Lực tác dụng 1F của q2 lên q1.

- Lực tác dụng 2F của q3 lên q1

Giá trị của lực đó bằng:

F1 = N

rqq

4

42

88

21

21

0

10.43,8

10.16.10.86,8.14,3.410.5.10.3.

41

−

−−

−−

=

=πε

F2 = N

rqq

3

412

88

22

31

0

10.3

10.9.10.86,8.14,3.4)10.10(10.3.

41

−

−−

−−

−=

−=

πε

Phương của lực 1F là phương của cạnh BA, chiều của nó hướng từ A đi lên (lựcđẩy). Phương của lực 2F là phương của cạnh AC, chiều của nó hướng từ A xuống C (lực hút).

Tổng hợp lực tác dụng lên q1 bằng: F = 1F + 2F Từ số liệu của đầu bài, ta nhận thấy: 2BC = 2AB + 2AC Vậy tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Phương của lực F lập với cạnh AC

một gócα xác định bởi:

281,010.3

10.43,83

4

2

1 === −

−

FF

tgα , α = 15042’ và

A

C B

F1

F2

F

H.VIII-13


128

F = 22

21 FF + = 3,11.10-3N.

Bài tập tự giải: 1. Tính lực tương tác giữa hai điện tích điểm có điện tích bằng nhau: q = 10-6C đặt cách nhau một đoạn d = 1cm ở trong dầu ε = 2 và trong mica ε = 6.

Đáp số: F1 = 45N , F2 = 15N 2.Tính lực hút giữa hạt nhân của nguyên tử hydrogen và điện tử. Bán kính của nguyên tử hyđrogen bằng r = 0,5.10-8cm, điện tích của hạt nhân bằng điện tích của điện tử về trị số nhưng ngược dấu. Cho biết diện tích của e = -1,6.10-19C

Đáp số: F = 9,22.10-5 N 3. Hai điện tích điểm đặt cách nhau một khoảng cách d = 20cm ở trong không khí. Hỏi phải đặt hai điện tích đó cách nhau bao nhiêu ở trong một chất dầu để lực tương tác giữa chúng cũng có giá trị như trường hợp trên. Cho biếtε của dầu đó bằng 5.

Đáp số: r = 8,94.10-2m 4.Tính lực đẩy tĩnh điện giữa hạt nhân của nguyên tử Na và hạt proton bắn vào nó, biết rằng hạt proton tiến cách hạt nhân Na một khoảng bằng 6.10-12cm và điện tích của nhân Na lớn hơn điện tích của proton 11 lần. Bỏ qua ảnh hưởng của lớp vỏ điện tử của nguyên tử Na.

Đáp số: F = 0,7N Hướng dẫn: Điện tích của hạt proton bằng điện tích của hạt điện tử về trị số nhưng trái dấu. 5. Tại các đỉnh A và B của một tam giác đều ABC có đặt các điện tích q = 3.10-

8C. Cạnh của tam giác đó bằng 5cm. Tìm lực tác dụng của các điện tích lên điện tích đặt tại đỉnh A. Cho biết điện tích q’ đặt tại điểm C có giá trị bằng: q’ = -3.10-

8C. Đáp số: F = 3,24.10-3N

Lực F song song với cạnh đáy BC, chiều hướng từ B đến C. 6. Hai quả cầu giống nhau được treo ở đầu hai sợi dây có độ dài 1 = 10cm đặt trong trọng trường. Hai sợi dây này cùng buộc vào một điểm ở đầu trên. Mỗi quả cầu mang một điện tích q bằng nhau và có khối lượng m = 0,1g. Do có lực đẩy giữa hai quả cầu nên sợi dây treo tạo với nhau một góc 100 14’. Hãy tính giá trị của điện tích q. Cho biết gia tốc của trọng trường g = 10m/s2.

Đáp số: q = ± 1,8.10- 9C 7. Hai quả cầu nhỏ được treo ở đầu hai sợi dây có độ dài l = 25cm đặt trong trọng trường. Hai sợi dây này cùng buộc vào một điểm ở đầu trên. Sau khi người ta truyền cho hai quả cầu những điện tích bằng q = 5.2.10-9C, chúng tách ra xa nhau một khoảng cách r = 5cm. Hãy xác định khối lượng của chúng.Cho biết gia tốc trọng trường bằng g = 10m/s2


129

Đáp số: m = 10-3kg

B. ĐIỆN TRƯỜNG Bài tập mẫu 1:

Có hai điện tích điểm q1= 8.10-8C và q2 = -3.10-8C đặt trong không khí tại hai điểm M và N cách nhau một khoảng d = 10-1m. Tính cường độ điện trường tại các điểm A, B, C. Cho biết MA = 4.10-2m NA = 6.10-2m MB = 5.10-2m NC = 7.10-2m MC = 9.10-2m Vị trí các điểm và sự phân bố điện tích được trình bày như hình vẽ Giải:

Cho:

q1 = 8.10-8C q2 = -3.10-8C MN = 10-1m MA = 4.10-2m MB = 5.10-2m MC = 9.10-2m NA = 6.10-2m NC = 7.10-2m

Vẽ hình 18 tra Hỏi: CBA EEE ,,

a) Xác định AΕ : Theo nguyên lý chồng chất điện trường ta có:

AΕ = 1AΕ + 2AΕ (1) trong đó 1AΕ và 2AΕ lần lượt là các cường độ điện đường gây bởi các điện tích q1 và q2 tại điểm A. Vì q1> 0, q2< 0 nên vector cường độ điện trường AΕ có chiều hướng từ M sang N. Giá trị của 1AΕ :

1AE = 20

1

4 ΜΑπεq = 412

8

10.16.10.86,8.410.8

−−

−

π= 45.104 V/m

Giá trị của 2AΕ :

1BE B

2BE

Mq1

A 1AE

2AE q2

EC

0CE

C

N

H.VIII-14


130

2E = [ ]2

0

2

4q

ΝΑπε= 412

8

10.36.10.86,8.410.3

−−

−

π= 7,5.104 V/m

Chiếu cả hai vế của phương trình (1) lên phương MN ta được ( vì 1AΕ và 2AΕ có cùng phương chiều) EA = EA1 + EA2

Thay EA1 và EA2 bằng những trị số mới tìm được ta có: EA = 52,5.104 V/m b) Xác định BE :

Ta có: BE = 1BE + 2BE (2)

Trong đó 1BE và 2BE lần lượt là các điện trường gây bởi các điện tích q1 và q2 tại điểm B. Vì q1 > 0, q2 < 0 nên từ hình vẽ ta nhận thấy chiều của 1BE hướng ra xa điện tích q1 về phía trái, chiều của 2BE hướng về phía q2 . Cả hai vector 1BE và 2BE đều có phương trùng với phương MN.

Giá trị của 1BE :

EB1= 20

1

4 MBq

πε= 412

8

10.25.10.86,8.410.8

−−

−

π= 28,8.104 V/m

Giá trị của 2BE :

EB2 = 20

2

.4 NB

q

πε= 412

8

10.225.10.86,8.410.3

−−

−

π= 1,2.104V/m

Điện trường tổng hợp BE có giá trị bằng: EB = EB1 - EB2

= ( 28,8 - 1,2) 104 = 27,6.104V/m chiều của vector BE hướng ra xa q1 về phía trái. Phương của nó trùng với phương MN. c) Xác định CE : Ta có: CE = 21 CC EE +

Trong đó 1CE và 2CE lần lượt là các cường độ điện trường gây bởi các điện tích q1 và q2 tại điểm C. Vì q1 > 0 và q2 < 0 nên từ hình vẽ ta nhận thấy : EC = αcos2 21

22

21 CCCC EEEE −+ (3)

Trong đó α là góc giữa 1CE và 2CE đồng thời cũng là góc ở đỉnh C của tam giác MCN. Theo hệ thức lượng trong tam giác thường ta có:


131

Cosα = CNMC

MNCNMC.2

222 −+

Thay MC, CN, MN bằng giá trị cho ở đầu bài ta có: cos 23,0=α , từ đó suy ra ,4276o=α giá trị của EC1 bằng:

mVMC

qEC /10.91,8

10.81.10.86,8.410.8

.44

412

8

20

11 === −−

−

ππε

Giá trị của EC2 bằng:

=== −−

−

412

8

20

22 10.49.10.86,8.4

10.3.4 ππε NC

qEC 5,5.104V/m

Thay 1CE và 2CE , cosα bằng giá trị của chúng vào phương trình (3) ta được: EC = 9,34.104 V/m

Gọi θ là góc của CE lập với CN. Theo hệ thức lượng trong tam giác

thường ta có: αθ sinsin11 CC EE

=

Suy ra: 34,991,8sin.

sin 1 ==C

C

EE α

θ .0,97 = 0,9215

Từ đó suy ra: ,0967 o=θ

Vậy vector CE có phương lập với CN một góc ,0967 o=θ có chiều như hình vẽ và có giá trị 9,34.104 V/m. Bài tập mẫu 2:

Một vòng dây dẫn điện bán kính R = 10cm được tích điện đều, mang điện tích q = 5.10 C9− .

Xác định: 1.Cường độ điện trường tại tâm O của vòng dây. 2. Cường độ điện trường tại một điểm nằm trên trục của vòng dây và cách

tâm O vòng dây một đoạn h. Áp dụng bằng số khi h = 10cm. Cho ε = 1. 3. Tìm vị trí trên trục của vòng, tại đó điện trường có giá trị cực đại.

Giải: R =10cm = 10-1m EO = ?

Cho: Q = 5.10- 9C H = 10cm = 10-1m

Hỏi: Eh = ? khi Eh có giá trị

cực đại


132

1, 2). Trên vòng dây, ta xét một cung vô cùng nhỏ dl. Gọi điện tích của cung đó bằng dq. Cường độ điện trường gây bởi điện tích dq đó tại điểm A nằm trên trục bằng. dE = .

4 2rdq

επε o

Trong đó r là khoảng cách từ cung dl đến điểm A. Vì lý do đối xứng, điện trường tổng hợp gây bởi cả vòng dây sẽ có phương nằm trên trục OA. Hình chiếu dEn của dE trên trục OA bằng:

dEn = dE.cosα = 24 rdq

επε o

. cosα ,

trong đó α là góc giữa dE và trục OA (Hình VIII-15)

Ta có: Cosα = rh

Do đó: dEn = π4.hdq

Cường độ điện trường gây bởi cả vòng dây tại điểm A bằng:

EA = ∫ ndE = ∫ dqr

h34 επε o

EA = 34 rhq

επε o

Trong đó q là điện tích của cả vòng dây. Còn r = 22 hR +

Ta có: EA = 2/322 )(4 hRhq

+επε o

Tại tâm O của vòng dây h = 0, do E0 = 0. Kết quả này có thể đoán nhận được trực tiếp bằng cách suy luận như sau: Vì lý do đối xứng, từng cặp vi phân dl xuyên tâm đối của vòng dây mạng điện sẽ gây ra tại tâm O những vector cường độ điện trường trực đối với nhau. Do đó điện trường gây bởi cả vòng dây tại tâm O bằng không. Cường độ điện trường tại một điểm nằm trên trục của vòng dây và cách tâm O một đoạn h = 10cm có giá trị bằng.

EA = 2/32212

91

)1010(10.86,8.14,3.410.5.10

−−−

−−

+ = 1600V/m

3. Muốn tìm vị trí trên trục của vòng dây tại đó cường độ điện trường có giá trị cực đại, ta tính đạo hàm bậc 1 của EA theo độ cao h rồi cho đạo hàm đó triệt tiêu. Ta có:

nEd Ed

A

r n �

R O

H. VIII-15

dl


133

322

2/1222/322

)(

2.).(23.)(

hR

hhRhhRq

dhdEA

+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+

=

Điều kiện dh

dEA = 0 cho ta h = 2

R

Nếu lấy đạo hàm bậc 2 của EA theo độ cao h ta sẽ nhận thấy tại độ cao

h = 2

R thì 2

2

dhEd A < 0.

Vậy tại độ cao h = 2

R cường độ điện trường EA có giá trị cực đại.

Thay R = 10-1m ta được: H = 7,1.10-2m Bài tập tự giải: 1. Xác định cường độ điện trường tại tâm của một lục giác đều biết rằng tại 6 đỉnh của nó có đặt: a) 6 điện tích bằng nhau và cùng dấu. b) 3 điện tích âm và 3 điện tích dương về trị số bằng nhau nhưng đặt xen kẽ.

Hướng dẫn: vận dụng nguyên lý chồng chất điện trường. Đáp số: Cả hai trường hợp E = 0

2. Cho hai điện tích q và 2q đặt cách nhau 10cm. Hỏi ở điểm nào trên đường thẳng nối hai điện tích đó, cường độ điện trường tổng hợp bằng 0.

Đáp số: Tại điểm cách nhau 2q một đoạn x = 5,9cm và cách q một đoạn 4,1cm.

3. Có hai điện tích điểm q1 = 5.10-8C, q2 = -7.10-8C đặt cách nhau 5cm. Xác định vector cường độ điện trường tại điểm cách điện tích dương 3cm và cách điện tích âm 4cm.

Đáp số: E = 6,73.105 V/m Phương và chiều của E , sinh viên tự xác định. 4. Hai điện tích điểm q1= 32.10-8C và q2 = -3.10-8C được đặt trong chân không cách nhau 12cm. Xác định vector cường độ điện trường tại điểm cách đều hai điện tích trên 12cm.

Đáp số: Vector cường độ điện trường có giá trị bằng 24.105V/m có phương không song song với phương nối hai điện tích có chiều hướng từ điện tích dương sang điện tích âm. 5. Một mặt phẳng vô hạn mang điện đều, mật độ điện mặt 910.4 −=σ C/cm2. Gần mặt có treo một quả cầu nhỏ, khối lượng m = 1g mang điện tích q = 10- 9C.


134

Hỏi sợi dây đó lệch đi một góc ( bằng bao nhiêu so với phương thẳng đứng? (H.VIII-16). Đáp số: 130 6. Có một mặt phẳng vô hạn mang điện đều. Gần mặt đó người ta treo một quả cầu khối lượng m = 2g mang một điện tích q = 5.10-7C cùng dấu với điện tích trên mặt phẳng vô hạn. Dây treo quả cầu bị lệch đi so với phương thẳng đứng một góc 450. Hãy xác định cường độ điện trường gây bởi mặt phẳng vô hạn mang điện đều trên.

Đáp số: E = 4.103V/m 7. Một đĩa tròn bán kính R tích điện đều có mật độ điện mặt σ .

a) Xác định cường độ điện trường tại một điểm nằm trên trục của đĩa và cách tâm của đĩa một đoạn h.

b) Chứng minh rằng nếu h → 0 (hay h << R) thì công thức thu được có thể coi như công thức tính điện trường gây bởi một mặt phẳng vô hạn mang điện đều.

c) Chứng minh rằng nếu h >> R thì công thức thu được có thể coi như công thức tính cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm.

Đáp số: a) E = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

221

2 hRh

εεσ

o

8. Tính cường độ điện trường gây bởi một sợi dây vô hạn mang điện đều có mật độ điện dài λ(điện tích có trên một đơn vị dài) tại một điểm cách dây một khoảng a.

Đáp số: E = aεπε

λ

o2

α

H. VIII-16


135

C. ĐIỆN THẾ, HIỆU ĐIỆN THẾ Bài tập mẫu

Cũng đầu bài như trong bài tập mẫu của điện trường nhưng ở đây ta tính: a) Điện thế gây bởi các điện tích q1 và q2 tại các điểm A, B, C. b) Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển một điện tích q = 5.10-10C từ điểm A đến điểm C. Giải:

Cho:

q1 = 8.10-8C q2 =-3.10-8 C q = 5.10-10C MN = 0,1m MA = 4.10-2m MB = 5.10-2m MC = 9.10-2m NA = 6.10-2m NC = 7.10-2m

Hỏi:

a) VA, VB, VC

b) AAC

a) Điện thế tại A, B, C đều do các điện tích q1 và q2 gây ra, ta có:

VA = NA

qMA

q

0

2

0

1

44 πεπε+

= 212

8

212

8

10.6.10.86,8.410.3

10.4.10.86,8.410.8

−−

−

−−

−

−ππ

VA = 13,5.103V Điện thế tại B bằng:

VB = NB

qMB

q

0

2

0

1

44 πεπε+

= 212

8

212

8

10.15.10.86,8.410.3

10.2510.86,8.410.8

−−

−

−−

−

−ππ

VB = 12,5.103V Điện thế tại điểm C bằng:

VC = NC

qMC

q

0

2

0

1

44 πεπε+

= 212

8

212

8

10.7.10.86,8.410.3

10.910.86,8.410.8

−−

−

−−

−

−ππ

VC = 4,14.103V b) Công của lực tĩnh điện trong quá trình dịch chuyển điện tích q = 5.10-

10C từ điểm A đến điểm C


136

AAC = q(VA - VC) = 5.10-10(13,5 - 4,14).103 AAC = 46,810-7 J

Bài tập tự giải: 1. Có một hệ điện tích điểm q1 = 12.10-9C, q2 = -6.10-9C và q3 = 5.10-9C đặt tại ba đỉnh của một tam giác đều, mỗi cạnh là 20cm. Xác định điện thế do hệ điện tích điểm trên gây ra tại tâm của tam giác trên.

Đáp số: V = 858,5V 2. Có một hệ điện tích điểm q1 = 15.10-9C, q2 = -8.10-9C đặt tại hai điểm A và B cách nhau 30 cm ở trong dầu hoả. Tính hiệu điện thế gây bởi hệ điện tích đó giữa hai điểm M và N. Cho biết điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn AB và cách trung điểm O của AB 20cm; điểm N nằm trên đường kéo dài của AB và cách điểm B 10cm (ε của dầu hoả bằng 2)

Đáp số : VM - VN = 317,2V 3. Tính công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q = 2.10-10C

a) Từ điểm A đến điểm B b) Từ điểm C đến điểm D (các trung điểm của

đoạn nối q1 q2 và AB Hình VIII-17). Cho biết: r =6 cm a = 8 cm q1=10.10-8C q2= -10.10-8C Đáp số: 1) A = 24.10-7J 2) A = 0 4. Có một điện tích q đặt tại tâm O của hai vòng tròn đồng tâm bán kính r và R. Qua tâm O ta vẽ một đường thẳng cắt hai vòng tròn tại các điểm ABCD. a) Tính công khi dịch chuyển một điện tích nhỏ q0 từ B đến C, từ A đến D. b) So sánh công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q0 trên từ C đến A và từ C đến D. Cũng câu hỏi trên khi ta dịch chuyển q0 từ B đến A và từ B đến D

c) Các kết quả trên có thay đổi gì không khi ta dịch chuyển qo đến các điểm nói trên theo chu vi của đường tròn. Phân tích tại sao?

a) A = 0 Đáp số : b) Các công đều bằng nhau

A BD

q1

q2a= 8cm

HVIII-17

C r =6cm


137

c) Các kết quả không thay đổi vì công của lực tĩnh điện không phụ thuộc dạng đường đi

Chú ý: Yêu cầu giải bài toán trên bằng phương pháp suy luận định tính, chứ không bằng tính toán. 5. Có hai mặt phẳng song song vô hạn mang điện đều trái dấu. Biết rằng dọc theo đường sức cứ 5cm điện thế lại giảm đi 5V . Giữa hai mặt là không khí. a) Tính cường độ điện trường giữa hai mặt đó. b) Tính mật độ điện mặt σ của hai mặt phẳng đó.

Đáp số: E = 100V/m; σ = 8,86.10-10C/m2

6. Cho hai mặt phẳng vô hạn song song mang điện đều bằng nhau nhưng trái dấu; cách nhau 5mm. Mật độ điện mặt σ = 910-8C/m2. Tính:

a) Cường độ điện trường giữa hai mặt phẳng đó. b) Hiệu điện thế giữa hai mặt phẳng đó. c) Xét trường hợp khi giữa hai mặt phẳng đó có chứa đầy dầu (ε của dầu bằng 5)

Đáp số: a) E = 104V/m; b) ∆ V = 50V c) E = 2.102V/m; ∆ V = 10V 7. Cho hai mặt phẳng vô hạn song song mang điện đều, bằng nhau nhưng trái dấu đặt cách nhau 5cm. Cường độ điện trường giữa chúng là 600V/m. Tính công của lực tĩnh điện khi có một điện tử chuyển động từ mặt phẳng mang điện tích âm đến mặt phẳng mang điện tích dương.

Đáp số: A = 48.10-19J 8. Một hạt điện tử chuyển động trong một điện trường đều có gia tốc 1012m/s2. Tính: a) Cường độ điện trường

b) Vận tốc của điện tử sau 10-6s chuyển động (vận tốc ban đầu bằng 0) c) Công của lực điện trong thời gian đó d) Hiệu điện thế mà điện tử đã vược qua trong thời gian đó.

Đáp số: a) 5,7 V/m; b) 106 m/s; c) 4,56.10-19J; d) 2,85 V

9. Một hạt điện tích q = C91032 −⋅ chuyển động trong một điện trường và thu

được một động năng bằng 107eV. Tìm hiệu điện thế giữa điểm đầu và điểm cuối của đoạn đường chuyển động ở trong trường nếu vận tốc ban đầu của hạt bằng không.

Đáp số: 2,4.10-3V 10. Có một vòng dây dẫn điện bán kính R được tích điện đều, điện tích của dây bằng q.


138

a) Xác định điện thế tại điểm A nằm trên trục vòng và cách tâm O của vòng một đoạn h. b) Tính điện trường tại điểm A bằng cách dựa vào biểu thức liên hệ giữa điện trường và điện thế. So sánh kết quả tính được với kết quả tính trực tiếp điện trường trong bài tập mẫu 2 của phần điện trường.

Đáp số: a) V = )(4 22

0 hR

q

+επε

b) E = 2/3220 )(4 hR

qhdhdV

+⋅=

−επε

Hướng dẫn: dựa vào hình vẽ VIII-15 tìm điện thế dV gây bởi điện tích dq của vi phân cung dl tại điểm A. Sau đó tính điện thế V gây bởi cả vòng dây. 11. Có một đĩa đặc mang điện đều mật độ điện mặt là σ , bán kính R. a) Xác định điện thế tại điểm A nằm trên trục của đĩa và cách tâm O một độ cao h. Suy ra giá trị điện thế tại tâm của đĩa. b) Tìm lại giá trị của điện trường gây bởi một đĩa mang điện đều bằng cách dựa vào biểu thức liên hệ giữa điện trường và điện thế. So sánh kết quả thu được với kết quả tính trực tiếp điện trường trong bài toán này ở phần điện trường.

Đáp số: Vh = [ ]hhR −+ 22

02 εεσ

V0 = εε

σ

02R

Eh = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

220

12 hR

hεε

σ


139






NXBGD năm 1996.


140

Chương IX. VẬT DẪN, ĐIỆN MÔI

9.1. VẬT DẪN, ĐIỆN DUNG 9.1.1 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦAVẬT DẪN 9.1.1.1. Định nghĩa Một vật dẫn tích điện mà các hạt mang điện của nó ở trạng thái đứng yên được gọi là vật dẫn cân bằng tĩnh điện 9.1.1.2. Tính chất của vật dẩn cân bằng Vì theo định nghĩa điện trường trong lòng vật dẫn bằng không nên bên trong vật dẫn điện thế không đổi hay nói vật dẫn là một mặt đẵng thế. Trên thực tế mặc dù vật dẫn tích điện khối nhưng khi có một điện trường thì lập tức điện tích tản ra bề mặt và chỉ sau 10-9 giây thì trong lòng vật dẫn không còn điện tích. Điều đó đã được Điện Động Lực học chứng minh. Tóm lại ta có các nhận xét sau:

- Vector cường độ điện trường tại mọi điểm bên trong vật dẫn cân bằng điện bằng không. Thực vậy, điện tích nằm yên nên

00 =⇒== EEqFrrr

- Với vật dẫn cân bằng thì điện tích tập trung ở mặt ngoài vì theo định lý

O-G: ∫∫ ====SS

SdEqSdDN 00

rrrrεε .

Suy ra: 0=q , nghĩa là điện tích không phân bố khối. - Điện trường tại mọi điểm trên bề mặt vật dẫn vuông góc với bề mặt vật

dẫn. - Vật dẫn cân bằng tỉnh là một vật đẳng thế. Điều đó dễ dàng thấy qua

công thức mối liên hệ giữa điện trường và điện thế: constVgradV

SddVE =⇒=−=−= 0r

r.

- Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn phụ thuộc vào hình dạng vật dẫn cụ thể là điện tích tập trung nhiều ở các mủi nhọn của vật.

Tóm lại bên trong vật dẫn cân bằng: q =0, E = 0, constV = 9.1.2. HIỆN TƯỢNG ĐIỆN HƯỞNG (Độc giả tự đọc sách) 9.1.3. ĐIỆN DUNG 9.1.3.1. Điện dung của vật dẫn cô lập Một vật dẫn được gọi là cô lập về điện (hay vật dẫn cô lập) nếu gần đó không có một vật nào khác có thể gây ảnh hưởng đến sự phân bố điện tích trên vật đang xét. Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng đối với một vật dẫn nhất định thì tỷ số giữa điện tích của vật và điện thế của nó là một đại lượng không đổi (nghĩa là nếu ta thay đổi q thì V cũng thay đổi sao tỷ số đó là một hằng số), đặc trưng

Hình IX-1

V, S

q=0 E=0 V=hs


141

cho khả năng tích điện của vật và gọi là điện dung của vật đó. Người ta ký hiệu điện dung vật dẫn là C, như vậy biểu thức điện dung :

VqC = (IX-1).

(Đơn vị của điện dung trong hệ đơn vị SI là Faraday (1F = 1C/V). Chẳng hạn một quả cầu bán kính R tích điện với điện tích Q được phân

bố đều trên bề mặt ở trạng thái cân bằng điện thì điện thế trên bề mặt được xác định bằng công thức:

RQkV

0εε= .

Suy ra điện dung của quả cầu: RVQC 04πεε==

Điện dung của tụ điện phẳng:

dS

dSQ

Q

d

QEdQ

UQC 0

0

0

εεεε

εεσ

=====

9.1.3.2. Cách ghép tụ điện Có hai cách ghép tụ điện đã được trình bày kỹ trong chương trình vật lý phổ thông, ở đây người viết chỉ có ý nhắc lại biểu thức tính điện dung của bộ tụ điện ghép đó mà thôi.

- Đối với cách ghép song song các tụ điện với nhau thì:

UCUCUC

CUQQQQ

n

n

+++==+++=

.....

....

21

21

do đó: ∑=

=+++=n

iin CCCCC

121 ..... (IX-1a).

- Đói với cách ghép nối tiếp các tụ điện với nhau thì:

CQ

CQ

CQ

CQUUUU

QQQQ

nn

n

=+++=+++=

====

.........

....

2111

21

do đó: ∑=

=+++=n

iin CCCCC

121 /1/1...../1/1/1 (IX-1b).

9.1.4. NĂNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 9.1.4.1. Năng lượng của điện trường đều

Có thể xem điện trường của tụ điện phẳng là điện trường đều, năng lượng của nó như ta đã biết:

EDVdEd

SCUW

21.

21

21 2202 ===

εε .

Suy ra mật độ năng lượng điện trường DErr

21

=ω . (IX-2),


142

và năng lượng điện trường trong thể tích V nào đó: VDEW

rr

21

=

9.1.4.2. Năng lượng của điện trường bất kì Đối với điện trường bất kì, năng lượng chứa trong thể tích dV là: dVDEdVdW

rr

21

== ω

(dV đủ nhỏ để có thể xem điện trường trong đó đều). Năng lượng chứa trong toàn không gian V:

∫ ∫==V V

dVEDdVWrr

21ω (IX-3).

Hình IX-2 dV

V

Er


143

9.2. ĐIỆN MÔI 9.2.1. KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA Ở trên chúng ta đã nói nhiều về chất dẫn điện mà điển hình là kim loại, trong thực tế có những chất mà ở điều kiện thường không dẩn điện chẳng hạn như ebonite, sứ, thuỷ tinh, gõ,..v..v. Sở dĩ như vậy là vì trong các chất này không có điện tử tự do. Tuy nhiên nếu ta đặt chúng vào một điện trường đủ mạnh thì chúng có khả năng dẫn điện. Những chất như vậy gọi là điện môi. Có thể nói:

Điện môi là những chất ở điều kiện bình thường không dẫn điện. 9.2.2. SỰ PHÂN CỰC CỦA CHẤT ĐIỆN MÔI Việc giải thích sự dẫn điện của chất điện môi liên quan đến sự phân cực của chất điện môi.

Mỗi phân tử chất điện môi đều có tổng điện tích điện tử bằng điện tích hạt nhân về độ lớn. Ở trạng thái bình thường các phân tử, nguyên tử sắp xếp hỗn loạn, trọng tâm của điện tích âm và điện tích dương trùng nhau nên điện tích trung hoà, điện trường của chất điện môi bằng không.

Khi có một điện trường, dưới tác dụng của lực điện trường các điện tích âm di chuyển về một phía, các điện tích dương di chuyển về một phía tạo nên các lưỡng cực điện. Điện trường của các lưỡng cực điện hay nói điện trường phân tử có hướng và do đó chất điện môi có điện trường cộng thêm vào điện trường ngoài. Hiện tượng đó gọi là sự phân cực của chất điện môi (xem hình vẽ). Trong thực tế có những chất rất khó phân cực, lại có những chất tự nó (ngay cả khi chưa có điện trường) đã có sự phân cực - chất này gọi là chất tự phân cực. Ï9.2.3. VECTOR PHÂN CỰC CỦA CHẤT ĐIỆN MÔI Ï 9.2.3.1. Định nghĩa Để đặc trưng cho sự phân cực của chất điện môi người ta đưa ra khái niệm vector phân cực tính bằng số moment lưỡng cực điện có trong một đơn vị thể tích.

Vector phân cực của chất điện môi là tổng các moment lưỡng cực điện có trong một đơn vị thể tích:

Hình IX-3

E0 = 0 E0 ≠ 0 E0 âuí låïn

Hình IX-4

Er

nr


144

V

pP

n

kk

∆=

∑=1

rr

(IX-4).

( V∆ là thể tích mà trong đó chứa n moment lưỡng cực điện) 9.2.3.2. Vector phân cực của chất điện môi Ta hãy tìm vector phân cực và ý nghĩa quan trọng của nó bằng cách xét một yếu tố thể tích hình trụ xiên diện tích đáy S và dài l (như hình vẽ IX-4 ). Điện tích tổng cộng xuất hiện trên hai đáy của chất điện môi (điện tích trong khối bằng không) là:

SvaS '' σσ −+ , ( ',' σσ − là điện tích liên kết mặt). Moment lưỡng cực trên mặt đáy:

lSqSlq

NlqNlqpn

ik

rr

rrr

''.

..1

σσ==

==∑=

∑=

=n

ik lSp

1'rr σ

(N là số điện tích có trên một mặt đáy của hình trụ xiên đang xét ). Độ lớn của vector phân cực:

n

n

ik

PPSl

SLV

pP

==⇒

==∆

=∑

=

'coscos

'cos'1

σαα

σα

σr

r

Nhận xét: Thành phần pháp tuyến của vector phân cực trên mặt cắt bằng mật độ điện tích liên kết mặt trên mặt đó. 9.2.4. ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI Ta xét khối điện môi dày d đặt trong điện trường E0, mật độ điện tích liên kết là '' σσ −+ va . Điện trường tổng hợp trong điện môi là: 0' EEE

rrr+= .

Hình cho thấy: '0 EEE −= . Nhưng như ta đã biết:

00

''εε

σ nPE == .

Dẩn đến: 0

00

0'

εεσ nP

EEE −=−= .

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng vector phân cực tỷ lệ với điện trường trong điện môi:

nn EPEP 00 χεχε =⇒=rr

.

Hình IX-5


145

Suy ra: EEE

EE n χε

χε−=−= 0

0

00

(trong trường hợp này EEn = ).

Nên: εχ

00

1E

EE

E =⇒+

= .

(Trong đó ta đã đặt χε += 1 ).

Tóm lại: ε

0EE = (IX-5).

Ngoài ra do vector điện cảm được định nghĩa EDrr

0εε= , nên: PEEEDrrrrr

+=+== 000 )1( εχεεε . PEDrrr

+= 0ε . (IX-6).


146

Bài tập chương IX. VẬT DẪN

Bài tập mẫu Một quả cầu kim loại có bán kính 50cm mang một điện tích q bằng 5.10-

5C. Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm: a) Nằm cách mặt quả cầu 100cm . b) Nằm sát mặt quả cầu. c) Ở tâm quả cầu. Giải:

q= 5.10-5C E = ? Cho:

R = 50 cm Hỏi:

V =? a) Cường độ điện trường và điện thế do một quả cầu kim loại mang điện

gây ra tại một điểm nằm ngoài quả cầu bằng cường độ điện trường và điện thế gây bởi một điện tích điểm mang điện tích của quả cầu đặt tại tâm của nó. Gọi r là khoảng cách từ tâm quả cầu đến điểm ta xét:

E = 542

5

1220

10.210.)10050(

10.5.10.86,8.4

14

1=

+=⋅ −

−

−ππε rq V/m

V = =+

= −

−

− 2

5

120 10).10050(

10.5.10.86,8.4

1.4

1ππε r

q 3.105V

b) Cường độ điện trường ngay trên mặt quả cầu thì không xác định được nhưng tại một điểm nằm sát mặt quả cầu vẫn được tính gần đúng theo công thức

trên. Ta có: E = 42

5

0 10.)50(10.5.

41

−

−

πε = 1,8.106V/m

V = 2

5

0 10.5010.5

41

−

−

⋅πε

= 9.105V

c) Điện trường tại tâm quả cầu bằng không vì quả cầu kim loại cân bằng điện. Điện thế tại tâm quả cầu bằng điện thế tại một điểm trên mặt quả cầu vì quả cầu kim loại là một vật đẳng thể. Do đó Vtâm = 9.105V. Bài tập tự giải 1. Hai quả cầu rỗng kim loại đồng tâm O có bán kính lần lượt bằng r = 2cm và R = 4cm. Điện tích của quả cầu trong là q1= 9.10-9C và của quả cầu ngoài là q2 = -

⋅32 10-9C.

a) Xác định cường độ điện trường giữa các điểm M1, M3, M5. b) Xác định điện thế tại các điểm M1, M2, M3 ,M4, M5. Cho biết OM1 = 1cm, OM2 = 2cm, OM3 = 3cm, OM4 = 4cm, OM5 = 5cm.


147

Đáp số : a) E1= 0, E3 = 9.104V/m, E5 = 3.104V/m E2 và E4 không xác định được

b) V1 = V2 = 3,9.103V V3 = 2550V, V4 = 1875V, V5 = 1500V 2. Hai quả cầu kim loại bán kính r = 2,5cm đặt cách nhau một đoạn a = 1m. Điện thế các quả cầu lần lượt bằng V1 = 1200V, V2 = -1200V. Tính điện tích q1 và q2 của mỗi quả cầu. Hướng dẫn: Điện thế mỗi quả cầu bằng tổng điện thế do bản thân điện tích trên nó gây ra và điện thế do điện tích của quả cầu kia gây ra. Chú ý: r < a

Đáp số: q1 = -q2 = 3,4.10-9C 3. Hai quả cầu rỗng kim loại đồng tâm bán kính lần lượt bằng 5cm và 10cm cùng có mật độ điện mặt. Hỏi điện tích tổng cộng q phân bố trên hai mặt đó bằng bao nhiêu, biết rằng khi muốn dịch chuyển một điện tích một Coulomb từ vô cực tới tâm O của hai quả cầu đó ta phải tốn một công bằng 102J.

Đáp số: q = 9,2.10-10C 4. Một quả cầu kim loại bán kính 10cm, điện thế 300V. Tính mật độ điện mặt của quả cầu.

Đáp số: σ = 26,55.10-9C/m2 5. Xác định điện thế tại một điểm nằm cách tâm của quả cầu kim loại mang điện một khoảng d = 10cm. Bán kính của quả cầu bằng r = 1cm. Giải bài toán trong hai trường hợp: a) Mật độ điện mặt của quả cầu σ = 10-11C/cm2

b) Điện thế của quả cầu V = 300V. Đáp số: a) 11,3V, b) 30V


148






NXBGD năm 1996.


149

MỤC LỤC CHƯƠNG 1: ĐỘNG HỌC ........................................................................... 3 1.1. Động học và các đại lượng đặc trưng .................................................... 3 1.2. Vận tốc và gia tốc chuyển động ............................................................. 6 1.3. Một số dạng chuyển động đơn giản ...................................................... 10 1.4. Động học vật rắn .................................................................................. 13 Bài tập chương 1 .................................................................................. 15 CHƯƠNG 2: ĐỘNG LỰC HỌC ................................................................ 23

2.1. Những đặc trưng của động lực học ..................................................... 23 2.2. Ba định luật Kepler, định luật hấp dẫn vũ trụ ..................................... 26 2.3. Động lượng, xung lượng ...................................................................... 29

2.4. Tính tương đối của chuyển động.......................................................... 31 Bài tập chương 2 .................................................................................. 34 CHƯƠNG 3: ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN,... ......................................... 44

3.1. Sơ lược về động lực học hệ ................................................................. 44 3.2. Động lực học vật rắn ............................................................................ 47 3.3.Moment quán tính, động lượng, năng lượng .. 49

Bài tập chương 3 .................................................................................. 52 CHƯƠNG 4: CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG 59

4.1. Công, Công suất ................................................................................. 59 4.2. Động năng, định lý động năng .......................................................... 60 4.3. Thế năng, định luật bảo toàn cơ năng ............................................... 62 4.4. Va chạm............................................................................................... 65

Bài tập chương 4 .................................................................................. 68 CHƯƠNG 5: THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP .............................................. 74 5.1 Phép biến đổi Galilei và bế tắc của Vật lý cổ điển ............................. 74

5.2. Các phép biến đổi Lorentz ................................................................. 75 5.3, Tính tương đối của không gian và thời gian ...................................... 76 Bài tập chương 5 .................................................................................. 79 CHƯƠNG 6: THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ...................................... 82 6.1 Thuyết động học phân tử khí lý tưởng ................................................ 82

6.2. Nội năng khí lý tưởng ......................................................................... 85 6.3. Nguyên lý I ....................................................................................... 87 6.4. Trạng thái cân bằng... ......................................................................... 89 6.3. Ứng dụng của nguyên lý I ................................................................ 93

Bài tập chương 6 ................................................................................ 103 CHƯƠNG 7: NGUYÊN LÝ II NHIỆT ĐỘNG HỌC.............................. 102

7.1. Những hạn chế của nguyên lý I nhiệt động học ................................ 102


150

7.2. Entropi ............................................................................................... 103 7.3. Nguyên lý II nhiệt động học và ứng dụng.......................................... 105

Bài tập chương 7 ................................................................................ 109 CHƯƠNG 8: ĐIỆN TRƯỜNG .................................................................. 112 8.1 Thuyết điện tử, định luật Coulomb .................................................... 112

8.2 Điện trường ........................................................................................ 113 8.3 Điện thông, định lý O-G .................................................................... 115 8.4 Công của lực tĩnh điện, điện thế, hiệu điện thế .................................. 118 8.5 Mối liên hệ giữa điện trường và điện thếú ......................................... 121

Bài tập chương 8 ................................................................................ 123 CHƯƠNG 9: VẬT DẪN VÀ ĐIỆN MÔI.................................................. 135 10.1 Vật dẫn, điện dung ........................................................................... 135

10.2. Điện môi ........................................................................................ 137 Bài tập chương 9 ................................................................................ 140 Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 142

Giáo trình VẬT LÝ 1 -...

Documents

Transcript of Giáo trình VẬT LÝ 1 -...