gio trinh hamphuc-sv-dh

5/16/2018 gio trinh hamphuc-sv-dh - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/gio-trinh-hamphuc-sv-dh 1/28

ĐH Công nghip Tp.HCM

dvntailieu.wordpress.com

Saturday, October 23, 2010

Hàm phc & Phép bin đi LaplaceĐi hc 1

HHÀÀM PHM PHCCVVÀÀ

PHPHÉÉP BIP BIN ĐN ĐI LAPLACEI LAPLACEĐĐI HI HCCPHÂN PHPHÂN PHI CHƯƠNG TRÌNHI CHƯƠNG TRÌNH

SS titit: 30t: 30----------

Chươ ng 1. Số phứ cChươ ng 2. Hàm biến phứ cChươ ng 3. Tích phân hàm phứ cChươ ng 4. Chuỗi và Thặng dư Chươ ng 5. Phép biến đổi Laplace

Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Kim Đính – Hàm phứ c và ứ ng d ụ ng (ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 1998)

2. Nguyễn Kim Đính – Phép biế n đổ i Laplace (NXB Khoa học và Kỹ thuật – 1998)

3. Võ Đăng Thảo – Hàm phứ c và Toán tử Laplace (ĐH Kỹ thuật TP.HCM – 2000)

4. Phan Bá Ngọc – Hàm biế n phứ c và phép biế n đổ i Laplace (NXB Giáo dục – 1996)

5. Trươ ng Văn Thươ ng – Hàm số biế n số phứ c (NXB Giáo dục – 2007)

6. Đậu Thế Cấp – Hàm biế n phứ c và phép tínhToán tử (NXB ĐH Quốc gia – 2006)

Download Slide bDownload Slide bàài gii gingng HHààm phm phc vc vààPhPhéép bip bin đn đi Laplace Đi Laplace Đi hi hcc ttii

dvntailieu.wordpress.com dvntailieu.wordpress.com

Biên soBiên son:n: ThS.ThS.ĐoĐo

à à n V ươ

ng Nguyên n V ươ

ng Nguyên

7. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải – Hàm biế n phứ c(NXB Đại học Quốc gia Hà Nội – 2006)

8. Theodore. W. Gamelin – Complex Analysis (Department of Mathematics UCLA)

9. Trươ ng Thuận – Tài liệu Hàm phứ c và phép biế n đổ i Laplace

(ĐH Công nghiệp TP.HCM)

ChươngChương 1. S1. S phphcc

§1. SỐ PHỨ C VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1. Các định ngh ĩ a

• Số phức là số có dạng z x iy = + , trong đó ,x y ∈ ℝ .

Số i thỏa

2

1i = − đượ c gọi là đơ n vị ả o.x đượ c gọi là phầ n thự c của số phức z , ký hiệu Rez .

y đượ c gọi là phầ n ả o của số phức z , ký hiệu Im z .

Đặc biệt0z x i = + là số thực, ( 0)z iy y = ≠ là số thuần ảo.

§1. Số phức và các phép toán.

§2. Dạng lượ ng giác của số phức,

công thức Moivre, công thức Euler.

§3. Đườ ng và miền trong mặt phẳng phức.………………………………………………


• Hai số phức1 1 1

z x iy = + và2 2 2

z x iy = + đượ c gọi là

bằng nhau nếu1 2

x x = và1 2

y y = .

VD 2. 2

2 3 43.

x x i iy

y

= −+ = − − ⇔ = −

• Số phức z x iy = − đượ c gọi là số phứ c liên hợ p của

số phức z x iy = + , ngh ĩ a là x iy x iy + = − .

VD 3. 2 3 2 3i i − − = − + ; 2 2i i = − ; 1 1− = − .

VD 1. Re(2 3 ) 2i − = ; Im(2 3 ) 3i − = − .

3 3 0i − = − + ; 2 0 2i i = + .


• Tập hợ p tất cả các số phức đượ c ký hiệu là ℂ.

{ },z x iy x y = = + ∈ℂ ℝ .

Chú ý

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ .

Im 0z z ∈ ⇔ =ℝ .

Khi x = ∞ hoặc y = ∞ , ta ký hiệu z x iy = + = ∞ .

Tập { }= ∞ℂ ℂ ∪ đượ c gọi là tập số phức mở rộng.

1.2. Các phép toán trên số phứ cCho hai số phức

1 1 1z x iy = + và

2 2 2z x iy = + , ta định

ngh ĩ a các phép toán như sau:








a) Phép cộng và trừ số phứ c

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ).

x iy x iy x x i y y

x iy x iy x x i y y

+ + + = + + +

+ − + = − + −

Chú ý. Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợ p.

VD 4. (2 ) ( 1 ) 1i i + + − − = ; 3 ( 1 5 ) 1 8i i i − − − + = − .

b) Phép nhân số phứ c

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( )( ) ( ) ( ).x iy x iy x x y y i x y x y + + = − + +


VD 5. 22( 1 ) 2 2 2 2i i i i i − − + = − = + ;

2(1 )( 2 3 ) 2 3 2 3 1 5i i i i i i − − + = − + + − = + ;

2(1 2 )(1 2 ) 1 4 5i i i − + = − = .

Chú ý

• Do1 1 2 2

( )( )x iy x iy + + 2

1 2 1 2 2 1 1 2x x ix y ix y i y y = + + +

1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )x x y y i x y x y = − + + ,nên ta nhân như hai đa thức và chú ý

2 1i = − .

• Phép nhân số phức có các tính chất như nhân số thực.


c) Phép chia số phứ cGiả sử

20z ≠ , khi đó ta có:

1 1 2 1 1 2 21 2 2 2

2 2 2 2 2

( )( ): .

z z z x iy x iy z z

z z z x y

+ −= = =

+

VD 6. 1 (1 )(2 ) 1 3 1 3

2 (2 )(2 ) 5 5 5

i i i i i

i i i

− − − −= = = −

+ + −;

3 2 (3 2 )( ) 2 32 3

( ) 1

i i i i i

i i i

+ + − −= = = −

−.


d) Lũy thừ a bậc n của số phứ c

. ... ( ).n z z z z n z = soá

VD 7. 2 1i = − ; 3i i = − ; 4 2 2( ) 1i i = = ;3 2 3(1 ) 1 3 3 2 2i i i i i − = − + − = − − .

e) Căn bậc n của số phứ c

.n n w z z w = ⇔ =

VD 8. Tính 3 4i + .

VD 9. Tính 3 1.

ChươngChương 1. S1. S phphcc1.3. Định lý

Cho z x iy = + , 1 1 1z x iy = + , 2 2 2

z x iy = + , ta có:

1)1 2 1 2 1 2 1 2

; ; . .z z z z z z z z z z = + = + = .

2) 2Re 2 ; 2 Im 2z z z x z z i z iy + = = − = = .

3) 2 2. ( )( ) 0z z x iy x iy x y = + − = + ≥ .

4) 1 12

2 2

( 0)z z

z z z

= ≠ .

VD 10. Cho0 1

( ) ... n

n n P z a a z a z = + + + là đa thức bậc

n theo z vớ i hệ số ( 0, 1,..., )i

a i n ∈ =ℝ .

Giả sử (2 3 ) 1n

P i i + = − , tính (2 3 )n

P i − .


§2. DẠNG LƯỢ NG GIÁC CỦA SỐ PHỨ CCÔNG THỨ C MOIVRE, CÔNG THỨ C EULER

a) Mặt phẳng phứ c• Về mặt hình học, số phức z x iy = + đượ c biểu diễn

bằng điểm ( ; )M x y trong mặt phẳng tọa độ Descartes

vuông góc Oxy .

Khi đó, mặt phẳng Oxy đượ c gọi là mặ t phẳ ng phứ c.

2.1. Dạng lượ ng giác của số phứ c

• Trong mặt phẳng phức, ta có:Im 0z z Ox = ⇔ ∈ ; Re 0z z Oy = ⇔ ∈ .








O x

y

M

z x iy = +•

x

y

Do đó: Trục hoành Ox đượ c gọi là trụ c thự c.

Trục tung Oy đượ c gọi là trụ c ả o.

O x

y

M •

x

y r

b) Modul và argument của số phứ c• Trong mặt phẳng phức,

khoảng cách r từ gốc tọa độ O đến điểm M đượ c gọi làmodul của z , ký hiệu là | |z .Modul của z đượ c xác định bở i:

2 2| | .z r OM x y = = = +


• Góc định hướ ng ( ),Ox OM ϕ =

có tia đầu Ox và tia

cuối OM , đượ c gọi là argument của z .

• Nếu z là số thực dươ ng thì arg 0z = ,z là số thực âm thì arg .z π=

0z = thì argument của z không xác định.

O x

y M •

ϕ

O x

y M

•

ϕ

• Argument ϕ của z thỏa mãnπ ϕ π− < ≤

đượ c gọi là argument chính,ký hiệu là arg z .

• Ký hiệu tập hợ p tất cả argument của z là Argz .Vậy Arg arg 2 , .z z k k π= + ∈ ℤ


Quy ướ c Khi không nói rõ ϕ thuộc khoảng nào thì ta hiểu ϕ làargument chính.

• Cách xác định argument chính của z = x + iy

Bướ c 1. Xác định điểm M biểu diễn z trên mpOxy .

Bướ c 2. arg z ϕ= thỏa mãn cos , sinx y

r r

ϕ ϕ= = ,

π ϕ π− < ≤ và phụ thuộc vào vị trí của M .

VD 1. Xác định modul và argument của các số phức:

a) z i = ; b) 3z i = − − .


VD 2. Viết các số phức sau dướ i dạng lượ ng giác:

a) 4z = − ; b) 1 3z i = − ; c) 2 2z i = − + .

Vậy dạng lượ ng giác của số phức z là:(cos sin ).z r i ϕ ϕ= +

c) Dạng lượ ng giác của số phứ c• Cho số phức z x iy = + có | |z r = và arg z ϕ= .

Ta có: (cos sin )x y

z r i r i r r

ϕ ϕ = + = +

.

Nhậ n xét

Nếu (cos sin )z r i ϕ ϕ= + thì:(cos sin ) [cos( ) sin( )]z r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ= − = − + − .

Nếu z ∈ ℝ , 0z x i = + thì 2 2| | 0 | |z x x = + = .


VD 3. Tính a) 100(1 )i − ; b) 3 8 .

2.2. Công thứ c Moivre• Cho số phức cos sinz i ϕ ϕ= + .

Khi đó: cos sin ( , 1).n z n i n n n ϕ ϕ= + ∈ ≥ℤ

• Tổng quát, cho số phức (cos sin )z r i ϕ ϕ= + .Khi đó:

( )

1) (cos sin ), .

2 22) cos sin

, 2, 0, 1 .

n n

n n

k

z r n i n n

k k z w r i

n n

n n k n

ϕ ϕ

ϕ π ϕ π

= + ∈ + + = = +

∈ ≥ = −

ℤ

ℤ


2.3. Công thứ c Euler

Ta có: 4 4( ) . (0 3)n k r k r r i i i i i r += = = ≤ ≤ . Do đó:

• 1n i = nếu 0r = , ngh ĩ a là 4n ⋮ ;

• n i i = nếu 1r = , ngh ĩ a là : 4n dư 1;

• 1n i = − nếu 2r = , ngh ĩ a là : 4n dư 2;

• n i i = − nếu 3r = , ngh ĩ a là : 4n dư 3.

Khai tri n Maclaurin hàm ( )i e ϕ ϕ ∈ ℝ , ta đượ c:

0

( )

!

n i

n

i e

n

ϕ ϕ∞

=

= ∑2 4 3

1 ... ...2! 4 ! 1! 3!

i ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − + − +

cos sin .i ϕ ϕ= +








VD 4. Viết các số phức sau dướ i dạng mũ:

a) 3z = − ; b) z i = − ; c) 3z i = − + .

Nhậ n xét

1) Nếu i z re ϕ= thì i z re ϕ−= .

Công thứ c Euler

cos sin .i e i ϕ ϕ ϕ= +

• Dựa vào công thức Euler, số phức z có | |z r = và

argz ϕ= có thể đượ c viết dướ i dạng mũ:

.i z re ϕ=

ChươngChương 1. S1. S phphcc2) Vớ i mọi

1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy = + = + , ta gọi

2 2

1 2 1 2 1 2| | ( ) ( )z z x x y y − = − + −

là khoảng cách giữa1

z và2

z .

Khi đó | |z a r − = hay ( [0; 2 ])i z a re ϕ ϕ π= + ∈

là phươ ng trình đườ ng tròn tâm a , bán kính r .

Đặc biệt, | | 1z = hay i z e ϕ= là phươ ng trình của

đườ ng tròn đơ n vị.

• Công thứ c cần nhớ

Vớ i i z re ϕ= , 1

1 1 1 1 1(cos sin )

i z r e r i

ϕϕ ϕ= = + ,

2

2 2 2 2 2(cos sin )

i z r e r i

ϕϕ ϕ= = + , ta có:


…………………………………………………………

1) 1 2( )

1 2 1 2

i z z r r e

ϕ ϕ+=

1 2 1 2 1 2[cos( ) sin( )]r r i ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + .

2) 1 2( )1 1

2 2

i z r e

z r

ϕ ϕ−=

11 2 1 2

2

[cos( ) sin( )]r

i r

ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − .

3) ,n n in z r e n ϕ= ∈ ℤ .

4) ( )2

. 2, 0, 1 .k

i n n n

k z w r e n k n

ϕ π+

= = ≥ = −


3.1.Đườ ng trong mặt phẳng phứ c

a) Phươ ng trình tham số • Giả sử ( ), ( )x t y t là các hàm thực, xác định và liên tục

trên [ ; ]a b của đườ ng thẳng thực. Khi đó phươ ng trình:

( ) ( ) ( ), a bz z t x t iy t t = = + ≤ ≤

biểu diễn tham số một đườ ng cong L trong mp phức.

• Các điểm ( ), ( )z a z b L∈ lần lượ t đượ c gọi là điểm đầuvà điểm cuối của đườ ng cong L.

§3.ĐƯỜ NG VÀ MIỀNTRONG MẶT PHẲNG PHỨ C

ChươngChương 1. S1. S phphccVD 1. a)Đườ ng tròn tâm O bán kính r có phươ ng trình:

(cos sin ) cos . sin , [0; 2 ]z r t i t r t i r t t π= + = + ∈ .

b) Đoạn thẳng nối điểm O và điểm (1 )i + có phươ ngtrình là , [0; 1].z t it t = + ∈

Giải. Từ i

z t t

= + , ta suy ra 0x t = > và1

y t

= .

Khử t , ta đượ c1

( 0)y x x

= > .

VD 2. Xác định đườ ng cong có phươ ng trình:

(0 )i

z t t t

= + < < +∞ .

Vậy đườ ng cong đã cho là nhánh hyperbol1

y x

= nằm

ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng phức.


b) Phân loại đườ ng cong• Đườ ng cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhauđượ c gọi là đườ ng cong đ óng (khép kín).

• Đườ ng cong không có đ iể m tự cắ t đượ c gọi là đườ ngcong Jordan. Đườ ng cong Jordan đóng còn đượ c gọilà chu tuyế n.

• Đườ ng cong L đượ c gọi là trơ n nếu các hàm số ( )x t và( )y t có đạo hàm liên tục và khác 0 trên đoạn [ ; ]a b , có

ngh ĩ a là mọi điểm của L đều có tiếp tuyến.

• Đườ ng cong tạo bở i một số hữu hạn các đườ ng congtrơ n đượ c gọi là đườ ng cong trơ n từ ng khúc.








3.2. Miền trong mặt phẳng phứ c

a) Lân cận và miền

• Lân cận 0ε > của 0( )z ≠ ∞ là hình tròn mở tâm tại 0z :

{ }0 0( ) | |U z z z z

εε= ∈ − <ℂ .

Lân cận ε của điểm z = ∞ là | |z ε> .

• Tập D ⊂ ℂ đượ c gọi là một miền trong mặt phẳngphức nếu thỏa hai điều kiện sau:

1) Vớ i mọi0

z D ∈ , tồn tại lân cận0

( )U z D ε

⊂ .

2) Vớ i mọi ,a b D ∈ , tồn tại đườ ng cong L D ⊂ có

điểm đầu là a , điểm cuối là b .


VD 3. a) Tập { }:| 2 | 1D z z i = ∈ − − <ℂ là 1 miền.

b) Tập

{ } { }:| | 1 : Im( ) 0D z z i z z = ∈ − < ∪ ∈ <ℂ ℂ

không là miền vì vớ i ,a b D ∈ , ta có thể chỉ ra đượ c

đườ ng cong L có điểm đầu là a , điểm cuối là b , nhưngL không nằm trong D .

b) Biên và chiều của biên• Điểm

0z đượ c gọi là điểm biên của miền D nếu trong

lân cận bất kỳ của0

z đều có chứa điểm thuộc D vàđiểm không thuộc D .

• Tập hợ p các điểm biên của miền D đượ c gọi là biêncủa D , ký hiệu là D ∂ .


• Nếu D là một miền thì D D D = ∪ ∂ đượ c gọi là miềnđóng (hay miền kín).

• Quy ướ c chiều dươ ng của biên D ∂ là chiều mà khi tađi dọc theo biên sẽ thấy miền D nằm về phía tay trái.

c) Miền đơ n liên, miền đa liên

• Xét miền D giớ i hạn bở i chutuyến γ . Miền này đượ c gọi là

miền đơ n liên, γ chính là D ∂ .

D

D γ ≡ ∂

• Nếu D đượ c giớ i hạn bở i hai chu tuyến1 2,γ γ không

giao nhau, thì miền D đượ c gọi là miền nhị liên. Khiđó,

1 2D γ γ ∂ = ∪ . Tươ ng tự, ta có thể định ngh ĩ a miền

tam liên, tứ liên,...


D γ

1γ

2γ

D γ

1γ

2γ

Nhậ n xét

• Nếu ta bổ sung vào miềnđa liên các đoạn thẳng

1 2, , ...l l thì miền sẽ thànhmiền đơ n liên. Mỗi đoạnthẳng đượ c tính hai lầntheo chiều ngượ c nhau.

1l

2l

1 2D γ γ γ ∂ = ∪ ∪

………………………………………………………

ChươngChương 2. H2. Hààm bim bin phn phcc

………………………………………………………

§1. HÀM BIẾN PHỨ C(Complex variable function)

1.1. Hàm biến phứ ca)Định ngh ĩ a

• Quy tắc f cho tươ ng ứng mỗi z A∈ ⊂ ℂ vớ i một haynhiều giá trị ( )w f z = ∈ ℂ đượ c gọi là một hàm biếnphức z .

• Tập A đượ c gọi là miền xác định (MXĐ) của f .

Tập { }( ),B w w f z z A= = ∈ tập giá trị của f .

§1. Hàm biến phức.

§2. Hàm giải tích.§3. Quan hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa.

§4. Các hàm số sơ cấp.


• Nếu mỗi z A∈ ứng vớ i một giá trị ( )w f z = ∈ ℂ thì f

đượ c gọi là hàm đơ n trị , nếu mỗi z A∈ ứng vớ i nhiềugiá trị ( )w f z = ∈ ℂ thì f đượ c gọi là hàm đ a trị .

VD 1. 1

( ) f z z

= là hàm đơ n trị có MXĐ \{0}D = ℂ .

VD 2. Cho ( ) 3 Im f z z z = − . Tính:(1), ( 2 ), (1 2 ) f f i f i − − .

VD 3. Cho 2( ) 3 f z z z = + . Tính ( 1 3 ) f i − + .

Trong \{0}D = ℂ , ( )w f z z = = là hàm hai trị.








VD 4. Xác định phần thực và ảo của 2 (1 )w z i z = + − .

VD 5. Xác định phần thực và ảo của1

( ) f z z z

= − .

b) Phần thự c và phần ảo của hàm biến phứ c

• Vớ i mỗi z A∈ , ( )w f z = ∈ ℂ nên ta có thể viết:

( ) ( , ) ( , ).w f z u x y iv x y = = +

Các hàm ( , ) Reu x y w = và ( , ) Imv x y w = lần lượ tđượ c gọi là phần thực và phần ảo của hàm ( ) f z .

ChươngChương 2. H2. Hààm bim bin phn phccc*) Phép bi n hình thự c hiện bở i hàm bi n phứ cĐể biễu diễn hình học một hàm số thực biến số thực, tavẽ đồ thị của hàm số đó. Để biễu diễn hình học mộthàm số phức, ta không thể dùng phươ ng pháp đồ thị đượ c nữa. Ta thực hiện như sau:

• Cho hàm biến phức ( )w f z = , z A∈ . Xét hai mặtphẳng phức Oxy (mpz ) và O uv ′ (mpw ). Ứ ng vớ i mỗiđiểm

0z A∈ , hàm ( )w f z = xác định điểm

0 0( )w f z =

trong mặt phẳng w .Về mặt hình học, ta nói hàm ( )w f z = xác định một

phép biến hình từ mpz vào mpw .Điểm

0w đượ c gọi là ảnh của điểm

0z và điểm

0z đượ c

gọi là nghịch ảnh của điểm0

w .


• Đườ ng cong : ( ) ( ) ( )L z t x t iy t = + có ảnh qua phépbiến hình ( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y = = + là tập hợ p điểmtrong mpw vớ i tọa độ:

( ( ), ( )); ( ( ), ( ))u u x t y t v v x t y t = = .

VD 6. Cho hàm 2( ) f z z = . Tìm ảnh của:1) Điểm

03 2z i = + ; 2) Đườ ng tròn | | 2z = ;

3) Tia arg z ϕ= , 02

πϕ< < ;

4) Miền { }0 Re 1A z z = ∈ < <ℂ .


O x

y

arg z

ϕ2

w z =

O ′ u

v arg w

2ϕ

2w z =

Hình câu 3)

Hình câu 4)

VD 7. Tìm nghịch ảnh của đườ ng tròn:

2 2( 1) ( 1) 2u v − + + = qua phép biến hình1

w z

= .


Từ đây về sau, ta chỉ xét trườ ng hợ p hàm f ( z) đơ n trị.1.2. Tính liên tục của hàm biến phứ ca) Giớ i hạn hàm biến phứ c Định ngh ĩ a

• Cho hàm biến phức ( ) f z xác định trong lân cận của0

z

(có thể trừ điểm0

z ). Số phức a ≠ ∞ đượ c gọi là giớ i

hạn của ( ) f z khi0

z z → , ký hiệu0

lim ( )z z

f z a →

= , nếu:

00, 0 : | | ( )z z f z a ε δ δ ε∀ > ∃ > − < ⇒ − < .

• Hàm phức ( ) f z đượ c gọi là có giớ i hạn ∞ khi0

z z → ,

ký hiệu0

lim ( )z z

f z →

= ∞, nếu:

00, 0 : | | ( )M z z f z M δ δ ∀ > ∃ > − < ⇒ > .


• Các giớ i hạn lim ( )z

f z a →∞

= , lim ( )z

f z →∞

= ∞ đượ c định

ngh ĩ a tươ ng tự.

Định lý Nếu hàm phức ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + ,

0 0 0z x iy = +

và a i α β = + thì:

0 0 0

0 0

lim ( ) lim ( , ) , lim ( , )z z x x x x

y y y y

f z a u x y v x y α β → → →

→ →

= ⇔ = = .

b) Hàm số liên tục

Định ngh ĩ a • Cho hàm ( ) f z xác định trong miền chứa

0z . Hàm ( ) f z

đượ c gọi là liên tục tại điểm0

z nếu0

0lim ( ) ( )z z

f z f z →

= .








• Hàm ( ) f z đượ c gọi là liên tục trong miền B nếu ( ) f z

liên tục tại mọi điểm z B ∈ . Nhậ n xét

• Nếu ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + liên tục tại0 0 0

z x iy = +thì ( , )u x y và ( , )v x y liên tục tại

0 0( , )x y .

• Các tính chất và phép tính giớ i hạn tươ ng tự như hàmthực hai biến.

VD 8. a) 2 2

1lim ( ) (1 ) 3

z i z i i i i

→ ++ = + + = .

b) Hàm phức2 2 2 2

1 1( )

x y f z i

z x iy x y x y

−= = = +

+ + +liên tục trên \{0}ℂ .

………………………………………………………


§2. HÀM GIẢI TÍCH

2.1.Đạo hàm của hàm biến phứ c

a)Định ngh ĩ aCho hàm ( )w f z = xác định trong miền D chứa điểmz x iy = + . Cho z một số gia z x i y ∆ = ∆ + ∆ . Gọi

( ) ( )w f z z f z ∆ = + ∆ − là số gia tươ ng ứng của ( ) f z .

Nếu tỉ số w

z

∆∆

dần tớ i một giớ i hạn xác định khi

0z ∆ → (theo mọi cách) thì giớ i hạn đó đượ c gọi làđạo hàm của ( )w f z = tại điểm z . Ký hiệu ( ) f z ′ .

Ta có:0 0

( ) ( )( ) lim lim

z z

w f z z f z f z

z z ∆ → ∆ →

∆ + ∆ −′ = =∆ ∆

.


VD 1. Xét hàm 2( ) f z z = , ta có:

Chú ý

( ) f z có đạo hàm tại điểm z thì khả vi tại điểm z .

( ) f z có đạo hàm tại điểm z thì liên tục tại điểm z .

Đạo hàm của hàm biến phức có các tính chất và quytắc tính tươ ng tự hàm biến số thực.

2( ) ( ) ( ) 2 . ( ) f z f z z f z z z z ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆

0 0

( )lim lim(2 ) 2 ( ) 2

z z

f z z z z f z z

z ∆ → ∆ →

∆ ′⇒ = + ∆ = ⇒ =∆

.


VD 2. Xét hàm ( ) f z z = , ta có:

( ) ( ) ( ) f z f z z f z z z z ∆ = + ∆ − = + ∆ −

z x i y x i y = ∆ = ∆ + ∆ = ∆ − ∆ .

• Nếu 0z ∆ → theo trục thực thì 0,y z x ∆ = ∆ = ∆

0 0

( )lim lim 1

z z

f z x

z x ∆ → ∆ →

∆ ∆⇒ = =

∆ ∆.

• Nếu 0z ∆ → theo trục ảo thì 0,x z i y ∆ = ∆ = ∆

0 0

( )lim lim 1

z z

f z i y

z i y ∆ → ∆ →

∆ − ∆⇒ = = −

∆ ∆.

Vậy hàm ( ) f z z = không khả vi tại mọi điểm z ∈ ℂ.


b)Điều kiện khả vi Cauchy – Riemann (C – R)Định lý

• Nếu hàm ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + khả vi tại z x iy = +thì các hàm hai biến thực ( , )u x y và ( , )v x y có các đạo

hàm riêng tại ( , )x y và thỏa điều kiện C – R:

.x y y x

u v u v ′ ′ ′ ′= = − vaø

• Ngượ c lại, nếu các hàm hai biến thực ( , )u x y và ( , )v x y

có các đạo hàm riêng liên tục tại ( , )x y và thỏa điềukiện C – R thì hàm ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + khả vi tạiz x iy = + và:

( ) .x x

f z u iv ′ ′ ′= +

ChươngChương 2. H2. Hààm bim bin phn phcc Nhậ n xét

Do ,2 2

z z z z x y

i

+ −= = nên ta có:

1 1. .

2 2z x z y z x y f f x f y f f

i ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = −

1[( ) ( )]

2 x x y y u iv i u iv ′ ′ ′ ′= + + +

1[( ) ( )]

2 x y y x u v i u v ′ ′ ′ ′= − + + .

Vậy điều kiện C – R tươ ng đươ ng vớ i:

0.z

f f

z

∂ ′= =∂








VD 3. Xét hàm 2w z = , ta có: 2 2, 2u x y v xy = − = .

Do2

2

x y

y x

u x v

u y v

′ ′ = =′ ′ = − = −

nên 2w z = khả vi trên ℂ.

VD 4. Xét hàm ( ) .Re f z z z = , ta có:2 2( ) , f z x ixy u x v xy = + ⇒ = = .

Điều kiện C – R:2 0

0 0x y

y x

u v x x x

u v y y

′ ′ = = = ⇔ ⇔ ′ ′ = − = − = .

Vậy ( ) .Re f z z z = khả vi tại 0z = và(0) (0, 0) (0, 0) 0

x x f u iv ′ ′ ′= + = .

VD 5. Xét tính khả vi của hàm 3Rew z z = − .


Định ngh ĩ a

• Hàm ( )w f z = khả vi trong một lân cậ n của z đượ cgọi là giải tích (còn gọi là chỉnh hình) tại z .

c) Hàm giải tích

Điểm z mà tại đó hàm ( )w f z = không giải tích đượ cgọi là đ iể m bấ t thườ ng của ( ) f z .

• Hàm ( )w f z = khả vi tại mọi điểm z thuộc miền D thìđượ c gọi là giải tích trong miền D .

Chú ý

Hàm ( )w f z = giải tích tại điểm0

z thì khả vi tại0

z ,ngượ c lại nói chung là không đúng.


Chẳng hạn, hàm ( ) . f z z z = khả vi tại 0z = nhưngkhông giải tích tại điểm đó.

Hàm ( )w f z = giải tích trên miền mở D khi và chỉ khi ( ) f z khả vi trên D .

VD 6. a) Hàm w z = không giải tích tại z ∀ ∈ ℂ.

b) Hàm n w z = khả vi tại z ∀ ∈ ℂ nên giải tích trong ℂ.

c) Hàm2 1

z w

z =

+giải tích tại \ { }z i ∀ ∈ ±ℂ .

Hai đi m z i = ± là đi m bất thườ ng của hàm w .………………………………………………


§3. QUAN HỆGIỮ A HÀM GIẢI TÍCHVÀ HÀMĐIỀU HÒA

3.1. Hàm đi u hòa

VD 1. a) Hàm 2 2u x y = − là hàm điều hòa vì:

2 2 2 2 0x y

u u ′′ ′′+ = − = .

b) Hàm 2 2ln( )u x y = + là hàm điều hòa trongtoàn mặt phẳng trừ gốc tọa độ.

• Định ngh ĩ aHàm hai biến thực ( , )u x y đượ c gọi là hàm điều hòatrong miền D nếu ( , )u x y thỏa phươ ng trình Laplace:

2 2 0.x y

u u u ′′ ′′∆ ≡ + =

ChươngChương 2. H2. Hààm bim bin phn phcc• Định lý

Nếu hàm ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iy x y = + là hàm giải tích trongmiền D thì ( , )u x y và ( , )y x y là các hàm điều hòa trongmiền D .

VD 2. Hàm (cos sin )x w e y i y = + giải tích trong ℂ.

Ta có: cos , sinx x u e y v e y = =

2 2cos , cosx x

x y u e y u e y ′′ ′′⇒ = = − ;

2 2sin , sinx x

x y v e y v e y ′′ ′′= = −

2 2 2 20; 0x y x y

u u v v ′′ ′′ ′′ ′′⇒ + = + = .

Vậy cos , sinx x u e y v e y = = là các hàm điều hòa.


3.2.Điều kiện để hàm biến phứ c giải tích• Nếu ( , )u x y và ( , )v x y là hai hàm điều hòa liên hợ p

(ngh ĩ a là thỏa điều kiện Cauchy – Riemann) trong D

thì hàm ( ) ( , ) ( , ) f z u x y iv x y = + giải tích trong D .

Nhậ n xét

• Cho trướ c một hàm điều hòa, ta có thể tìm đượ c hàmđiều hòa liên hợ p vớ i nó (sai khác 1 hằng số). Vì vậy,khi cho trướ c phần thực hoặc phần ảo của một hàmgiải tích, ta có thể tìm đượ c hàm giải tích đó (sai khác1 hằng số).

VD 3. Tìm hàm giải tích ( ) f z .

Cho biết phần thực 2 2 2u x y x = − + và (0) 0 f = .








§4. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP

4.1. Hàm hữ u tỉ

10 1

1

0 1

...( ) .

...

n n

n

m m

m

a z a z a f z

b z b z b

−

−

+ + +=+ + +

Các trườ ng hợ p riêng của hàm hữ u tỉ Hàm tuyến tính: ( ) f z az b= + , D = ℂ.

Hàm lũy thừa: ( ) ,n f z z n = ∈ ℤ , D = ℂ.

Hàm đa thức: 1

0 1( ) ...n n

n f z a z a z a −= + + + , D = ℂ.

Hàm phân tuyến tính: ( )az b

f z cz d

+=

+, \

d D

c

= − ℂ .


4.2. Hàm mũ và Logarit

• Tính chất

Nếu z x = thì .z x e e =

| | | | 0,z x e e z = > ∀ ∈ ℂ.

1 2 1 2.z z z z

e e e += .

Hàm z w e = tuần hoàn vớ i chu kỳ 2 i π .

Hàm z w e = khả vi vớ i mọi z ∈ ℂ và ( ) .z z e e ′ =

a) Hàm mũ

(cos sin ).z x iy x

e e e y i y +

= = +


b) Hàm logarit w = Lnz •Định ngh ĩ a

Vớ i (cos sin ) . i z r i r e ϕϕ ϕ= + = , ta có:

ln ( 2 ), (0 2 )lnz r i k ϕ π ϕ π= + + ≤ ≤ .

• Tính chất Hàm Lnz là hàm đơ n trị xác định trên \{0}ℂ .

1 2 1 2

( . )Ln z z Lnz Lnz = + .

Hàm w Lnz = khả vi \ {0}z ∀ ∈ ℂ và1

( )Lnz z

′ = .

Chọn 0k = và ký hiệu Lnz , ta đượ c:ln , (0 2 ).Lnz r i ϕ ϕ π= + ≤ ≤


Hàm cosin:1

cos ( )2

iz iz z e e −= + .

Hàm sin:1

sin ( )2

iz iz z e e i

−= − .

Hàm cosin hyperbolic: cos( )2

z z e e chz iz

−+= = .

Hàm sin hyperbolic: sin( )2

z z

e e shz i iz

−

−= = − .

• Tất cả các tính chất và công thức lượ ng giác đã biếtcũng đúng vớ i các hàm lượ ng giác phức.Các hàm hyperbol xác định và liên tục trên ℂ.

…………………………………………………

4.3. Các hàm lượ ng giác và hyperbol

ChươngChương 3. T3. Tí í ch phân hch phân hààm phm phcc§1. Tích phân đườ ng của hàm phức.

§2. Định lý Cauchy.§3. Tích phân bất định. Công thức Newton – Leibnitz.

§4. Công thức tích phân Cauchy.…………………………………………

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG CỦA HÀM PHỨ C

k ∆

•

•

•

•

O x

y

0z 1k

z −

k z

n z C

1.1. Định ngh ĩ a• Cho đườ ng cong định hướ ng

Jordan C , trơ n từng khúc, cóphươ ng trình:( ) ( ) ( )z t x t iy t = + , :t a b→

và hàm phức ( ) f z xác địnhliên tục trên C . Chia C thànhn điểm chia liên tiếp:

0 1( ) , ,..., ( )

n z a z z z z b= = .

k t

•

ChươngChương 3. T3. Tí í ch phân hch phân hààm phm phcc

Trên mỗi cung 1k k z z − ta chọn tùy ý điểm k t ( 1, )k n =và lập tổng

11

( )( )n

n k k k k

S f t z z −=

= −∑ .

• Nếu khi1

0k k k

z z z −

∆ = − → , tổngn

S dần đến giớ i

hạn là I ∈ ℂ (không phụ thuộc vào cách chia và chọnđiểm

k t ), thì I đượ c gọi là tích phân của ( ) f z dọc theo

C hướ ng từ 0

z đếnn

z . Ký hiệu ( )C

f z dz ∫ .

Vậy ( )( )1

1max 01

( ) limk

k n

n

k k k z

k C

f z dz f t z z ≤ ≤

−∆ → =

= −∑∫ .








• Nếu đườ ng cong có đi m đầu và cuối lần lượ t là A, B

thì ta ký hiệu

( )

AB

f z dz ∫ .

• Nếu đườ ng cong C có điểm đầu và cuối trùng nhau thì

ta ký hiệu ( )C

f z dz ∫ vớ i chiều của C là chiều dươ ng.

1.2. Tính chấtTích phân đườ ng hàm phức dọc theo C có các tính chấtnhư tích phân đườ ng loại 2:

[ ( ) ( )] ( ) ( )C C C

af z bg z dz a f z dz b g z dz + = +∫ ∫ ∫ .


Nếu1 2

C C C = ∪ và1 2

C C ∩ = ∅ thì:

1 2

( ) ( ) ( )C C C

f z dz f z dz f z dz = +

∫ ∫ ∫ .

( ) ( )

AB BA

f z dz f z dz = −∫ ∫ .

Gọi L là độ dài của đườ ng C và max ( )z

M f z ∈

=ℂ

, ta

có công thức ướ c lượ ng tích phân:

( ) ( ) .C C

f z dz f z dz ML≤ ≤∫ ∫

ChươngChương 3. T3. Tí í ch phân hch phân hààm phm phcc1.3. Phươ ng pháp tính

VD 1. Tính tích phân 2( )C

I z dz =

∫ , trong đó

C là đoạn thẳng nối từ gốc tọa độ O đến điểm 1 i + .

a)Đư a về tích phân xác định

Nếu phươ ng trình của : ( ) ( ) ( ), :C z t x t iy t t a b= + →

thì: ( ) ( ( )). ( ) .b

C a

f z dz f z t z t dt ′=∫ ∫

VD 2. Tính tích phân 2( )C

I z dz = ∫ , trong đó C là nửa

dướ i của đườ ng tròn đơ n vị nối từ 1z = − đến 1z = .


b) Biểu diễn tích phân theo phần thự c và ảo của f ( z)

Thay ( ) ( ) ( )k k k

f u iv ξ ξ ξ = + vàk k k

z x i y ∆ = ∆ + ∆ vào

tổngn

S , ta đượ c:

1

( )n

n k k k

S f z ξ =

= ∆∑1

[ ( ) ( )]( )n

k k k k k

u iv x i y ξ ξ =

= + ∆ + ∆∑

1 1

[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ].n n

k k k k k k k k k k

u x v y i v x u y ξ ξ ξ ξ = =

= ∆ − ∆ + ∆ + ∆

∑ ∑Qua giớ i hạn, ta có:

( ) .C C C

f z dz udx vdy i vdx udy = − + +∫ ∫ ∫


VD 3. Tính tích phânC

I z dz = ∫ , trong đó

C là đoạn thẳng nối từ điểm 2z i = + đến điểm 0z = .

VD 4. Tính tích phân (1 2 )C

I i z dz = + −∫ , trong đó

C là cung parapol 2y x = nối 0z = vớ i 1z i = + .

VD 5. Tính tích phânC

dz I

z a =

−∫ , trong đó

C là đườ ng tròn tâm a , bán kính r .


2.1.Định lý Cauchy cho miền đơ n liên

VD 1. Hàm2

( )4

z f z

z =

+giải tích trong : | | 1D z ≤

và liên tục trên biên D ∂ nên2

| | 1

04

z

zdz

z =

=+∫ .

a) Định lýNếu hàm ( ) f z giải tích trên miền đơ n liên D và liên tụ ctrên biên C D ≡ ∂ thì:

( ) 0.C

f z dz =∫

§2.ĐỊNH LÝ CAUCHY








• Nếu hàm ( ) f z giải tích trong miền đơ n liên D , thì tích

phân ( )C

f z dz ∫ vớ i mọi đườ ng cong C nằm trong D

có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau.

VD 2. Tính tích phân 2C


C là cung 3 23y x x = − nối 0z = vớ i 1 2z i = − .

b) Hệ quả • Nếu hàm ( ) f z giải tích trong miền đơ n liên D và C là

đườ ng cong kín nằm trong D thì ( ) 0C f z dz =∫ .

Giải. Đoạn thẳng OA nối 0z = vớ i 1 2z i = − cóphươ ng trình: ( ) 2 , : 0 1z t t it t = − → .


Do ( ) 2 f z z = giải tích trong ℂ nên:1

0

2 2( 2 )(1 2 ) 3 4 .OA

I z dz t it i dt i = = − − = − −

∫ ∫

2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liêna)Định lý 1Cho miền D n − liên ( 1n > ) có biên D ∂ gồm

1 2, , ...,

n C C C , trong đó

1C bao các chu tuyến khác và

các chu tuyến2,...,

n C C nằm ngoài nhau. Nếu ( ) f z giải

tích trong D và liên tục trong D D D = ∂∪ thì:

1 2

( ) ( ) ... ( ) .

n C C C

f z dz f z dz f z dz = + +∫ ∫ ∫


b) Định lý 2Vớ i giả thiết như trong định lý 1, ta có:

( ) 0.D

f z dz

∂

=∫

Hệ quả ( tính bấ t biế n khi biế n d ạ ng chu tuyế n)

Nếu chu tuyến1

C có thể biến dạng liên tục mà không

vượ t qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của ( ) f z để trở thànhchu tuyến

2C thì:

1 2

( ) ( ) .C C

f z dz f z dz =∫ ∫


r

O x

y C

a •

VD 3. Khảo sát tích phân ( )

n n

C

dz I

z a =

−∫ , trong đó

C là đườ ng cong kín không đi qua điểm a và n ∈ ℤ.

• Trườ ng hợ p 2: điểm a nằm trong C .Ta chọn r đủ bé để đườ ng tròn

r C tâm a , bán kính r nằmtrong C .

Giải• Trườ ng hợ p 1: điểm a nằm ngoài C .

Do hàm1

( )( )n

f z z a

=−

giải tích trong miền đóng D

có biên C nên 0n I = (định lý 2).


Phtrình tham số củar

C là: ( [0; 2 ])i z a re ϕ ϕ π= + ∈ .

Áp dụng hệ quả, ta đượ c:2 2

(1 )

1

0 0( ) ( )

r

i i n

n n i n n

C

dz ire d i I e d

z a re r

π πϕϕ

ϕ

ϕϕ−

−= = =

−∫ ∫ ∫ .

Vớ i 1n = thì2

1

0

2I i d i

π

ϕ π= =∫ .

Vớ i 1n ≠ thì

2(1 )

1

0

0(1 )

i n

n n

e I

r n

πϕ−

−= =

−.

Vậy2 , 1

0, .( )n

C

i n a C dz

z a

π == −

∫ vaø naèm trong

caùc tröôøng hôïp coøn laïi


§3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNHCÔNG THỨ C NEWTON – LEIBNITZ

3.1. Tích phân bất định

• Hàm giải tích ( )F z đượ c gọi là nguyên hàm của hàmgiải tích ( ) f z trong miền D nếu ( ) ( )F z f z ′ = .Khi đó, ( )F z C + (vớ i C là hằng số phức) cũng lànguyên hàm của ( ) f z .

• Tập tất cả nguyên hàm của ( ) f z có dạng ( )F z C + vàđượ c gọi là tích phân bấ t đị nh của ( ) f z .

Ký hiệu là ( ) f z dz ∫ .








Chú ý

• Tích phân hàm ( ) f z dọc theo đườ ng cong C chỉ đượ cáp dụng công thức Newton – Leibnitz nếu C nằmtrong miền đơ n liên D và hàm ( ) f z giải tích trong D .

• Các phươ ng pháp tính tích phân đổi biến và từng phầnđã biết vẫn đúng cho tích phân phức.

3.2. Công thứ c Newton – Leibnitz• Nếu hàm ( ) f z giải tích trong miền đơ n liên D và ( )F z

là một nguyên hàm của( )

f z trong D thì:

2

2

1

1

2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), , .

z z

z z

f z dz F z F z F z z z D = = − ∀ ∈∫


VD 1. Tính tích phân 23

C


C là đườ ng cong nối điểm z i = và 2z = .

VD 2. Tính tích phân1

100

1

( 1)i

I z z dz

+

= −∫ .


i

z I ze dz

π

= ∫ .


§4. CÔNG THỨ C TÍCH PHÂN CAUCHY


| | 11

z i

dz I

z − =

=+∫ .

4.1. Định lý ( công thứ c tích phân Cauchy)

Giả sử hàm ( ) f z giải tích trong miền giớ i nội D và liêntục trong miền D D D = ∂∪ . Khi đó, giá trị

0( ) f z tại

điểm bất kỳ 0

z D ∈ đượ c biễu diễn qua giá trị trên biênD ∂ theo công thức tích phân Cauchy:

0

0

1 ( )( ) .2

D

f z f z dz i z z π

∂

=−∫


VD 2. Tính tích phân2 24

iz

C

e dz I

z π=

−∫ , trong đó:

a) : | 1 | 1C z − = ; b) : | | 3C z i − = .

•

• •O x

y C

2

π

2

π−

1C 2C i



| 1| 1

sin

( 1)z

z I dz

z

π

− =

=−∫ .

Giả sử hàm ( ) f z giải tích trong miền giớ i nội D và liêntục trong miền D D D = ∂∪ . Khi đó, hàm ( ) f z có đạohàm mọi cấp tại điểm

0z bất kỳ trong miền D và đượ c

biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy:

( )

1

0

! ( )( ) , 1, 2,...

2 ( )

n

n

D

n f z dz f z n

i z z π +∂

= =−∫

4.2. Hệ quả 1( công thứ c Cauchy cho đạ o hàm củ a hàm giải tích)


VD 5. Chứng minh hàm ( ) sin f z z = không bị chặn.

Giải. Do (0) 0, 12

f f π = =

nên ( ) sin f z z = không là

hàm hằng. Vậy hàm ( ) sin f z z = không bị chặn.……………………………………………………………

VD 4. Tính tích phân

4

3

| | 2( )

z

z I dz z i =

= −∫ .

4.3. Hệ quả 2 ( Đị nh lý Liouville)

Nếu hàm ( ) f z giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳngphức ℂ thì ( ) f z là hàm hằng.







ChươngChương 4. Chu4. Chui vi vàà ThThng dưng dư

§1. Chuỗi hàm phức.§2. Thặng dư.

§3. Ứ ng dụng của thặng dư.………………………………………

§1. CHUỖI HÀM PHỨ C1.1. Khái niệm chung

a) Các định ngh ĩ a• Cho dãy hàm phức

1 2( ), ( ),..., ( ),...n

f z f z f z cùng xác

định trên miền D ⊂ ℂ. Tổng hình thức:

1 21

( ) ( ) ... ( ) ... ( )n n

n

f z f z f z f z ∞

=

+ + + + = ∑ (1)

đượ c gọi là chuỗi hàm phức.


• Nếu tại0z z = , chuỗi số

01

( )n

n

f z ∞

=∑ hội t ụ ( phân k ỳ) thì

0z đượ c gọi là đ iể m hội tụ ( phân k ỳ) của chuỗi (1).

• Tập hợ p các điểm hội tụ 0

z của chuỗi (1) đượ c gọi là miề n hội tụ của chuỗi (1).

• Tổng riêng thứ n của chuỗi (1), ký hiệu ( )n

S z , là:

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )

n n S z f z f z f z = + + + .

• Trong miền hội tụ của chuỗi (1), lim ( ) ( )n

n S z f z

→∞∃ = .


• Chuỗi (1) đượ c gọi là hội tụ đều trong miền D nếu:

0, ( ) : , | ( ) | .n N N n N z D R z ε ε ε∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ⇒ <

• Chuỗi (1) đượ c gọi là hội tụ uyệ t đố i trong miền D

nếu chuỗi1

( )n

n

f z ∞

=∑ hội tụ.

Hàm ( ) f z xác định trong miền hội tụ của chuỗi (1)

đượ c gọi là tổng của chuỗi (1), ta viết1

( ) ( )n

n

f z f z ∞

=

=∑ .

Khi đó, ( ) ( ) ( )n n

R z f z S z = − đượ c gọi là phầ n d ư của

chuỗi (1). Tại mọi z thuộc miền hội tụ thì lim 0n n

R→∞

= .


• Định lý 1 ( tiêu chuẩ n Cauchy)Chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D khi và chỉ khi:

0, ( ) : , ,N N n N z D pε ε∀ > ∃ = ∀ > ∀ ∈ ∀ ∈ ℕ

1 2( ) ( ) ... ( ) .

n n n p f z f z f z ε+ + +⇒ + + + <

b*) Tính chất của chuỗi hội tụ đều

• Định lý 2 ( tiêu chuẩ n Weierstrass)

Nếu ( ) , ,n n n

f z a a z D +≤ ∈ ∀ ∈ℝ và chuỗi số 1

n

n

a ∞

=

∑

hội tụ thì chuỗi (1) hội tụ đều trong miền D .• Định lý 3

Nếu tất cả các số hạng ( )n

f z của chuỗi (1) liên tụctrong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng ( ) f z

cũng là hàm liên tục trong D .


• Định lý 5Nếu tất cả các số hạng ( )

n f z của chuỗi (1) giải tích

trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì tổng ( ) f z giảitích trong D và:

( ) ( ) ( ) ( )

1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ...k k k k

n f z f z f z f z = + + + +

• Định lý 4Nếu tất cả các số hạng ( )

n f z của chuỗi (1) liên tục

trong miền D và chuỗi (1) hội tụ đều thì vớ i mọiđườ ng cong C nằm trong D , ta có:

1( ) ( ) ... ( ) ...

n

C C C

f z dz f z dz f z dz = + + +∫ ∫ ∫


b) Định lý Abel Nếu chuỗi (2) hội tụ tại điểm

0z a ≠ thì chuỗi hội tụ

tuyệt đối tại mọi điểm thỏa0

| | | |z a z a − < − và

hội tụ đều trong | |z a r − ≤ , vớ i0

0 | |r z a < < − .

Nếu chuỗi (2) phân kỳ tại điểm1

z thì chuỗi phân kỳ

mọi điểm thỏa1

| | | |z a z a − > − .

a) Định ngh ĩ aChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm phức có dạng:

0 10

( ) = ( ) ... ( ) +...(2)n n

n n n

c z a c c z a c z a ∞

=

− + − + + −∑

trong đó a vàn

c là các số phức.

1.2. Chuỗi lũy thừ a








c) Bán kính hội tụ • Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (2) luôn là hình tròn

| |z a R− < vớ i 0 R≤ ≤ +∞.

• Số thực R đượ c gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (2).

• Tại điểm z thỏa | |z a R− = , chuỗi (2) có thể hội tụ

hoặc phân kỳ.

Công thứ c tính bán kính hội tụ • Ta sử dụng các tiêu chuẩn d’Alembert hoặc Cauchy để

tìm bán kính hội tụ của chuỗi vớ i 0,n

c n N ≠ ∀ > .

• Trong trườ ng hợ p , 0n

n N c ∃ > = thì ta sử dụng trực

tiếp tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert hoặc Cauchy.


Nhắ c l ại

Tiêu chu n hội tụ đối vớ i chuỗi1

n

n

u ∞

=

∑ (*).

Tiêu chuẩn hội tụ d’Alembert:

Nếu 1lim n

n n

u D

u

+

→∞= thì

1 (*)

1 (*)

D

D

< ⇒ > ⇒

hoäi tuï,

phaân kyø.

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy:

Nếu lim n n n

u C →∞

= thì1 (*)

1 (*)

C

C

< ⇒ > ⇒

hoäi tuï,

phaân kyø.


VD 1. Tìm bán kính hội tụ và hình tròn hội tụ của:

a)1

1( 1)2

n

n n

n z ∞

=

− +∑ ; b)

2

1

11 ( )

n

n

n

z i n

∞

=

+ − ∑ .

Tiêu chuẩn d’Alembert:1

lim .n

n n

c R

c →∞+

=

Tiêu chuẩn Cauchy:1

lim .n

n n

Rc

→∞=

VD 2. Tìm miền hội tụ của:

a)2

1

!( 2 )

3

n

n n

n z i

∞

=

−∑ ; b)2

20

( )

( 1) .4

n

n n

z i

n

∞

=

++

∑ .


• Chuỗi0

( )n

n n

c z a ∞

=

−∑ vớ in

c xác định theo (*) đượ c gọi

là chuỗ i khai triể n Taylor của ( ) f z quanh điểm a .

a)Định lý• Nếu hàm ( ) f z giải tích trong hình tròn | |z a R− < thì

vớ i mọi z trong hình tròn đó, ( ) f z đượ c khai triển thành

chuỗi lũy thừa0

( ) ( )n

n n

f z c z a ∞

=

= −∑ . Trong đó:

( )

1

( ) 1 ( )

, 0 (*).! 2 ( )

n

n n z a r

f a f z dz

c r Rn i z a π +− == = < <−∫

1.3. Chuỗi Taylor


1) 2

0

11 ... ..., | | 1

1n n

n

z z z z z z

∞

=

= = + + + + + <− ∑ .

2)2

0

1 ... ...! 1! 2! !

n n z

n

z z z z e

n n

∞

=

= = + + + + +∑

3)2 1 3 5 7

0

sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7 !

n n

n

z z z z z z

n

+∞

=

= − = − + − ++∑

4)2 2 4 6

0

cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6 !

n n

n

z z z z z

n

∞

=

= − = − + − +∑

Khai triển Taylor của các hàm cơ bản quanh z = 0

ChươngChương 4. Chu4. Chui vi vàà ThThng dưng dưChú ý

• Hàm ( ) f z giải tích tại điểm a nếu ( ) f z có thể khai triển

thành chuỗi lũy thừa0

( )n

n n

c z a ∞

=

−∑ quanh điểm a .

• Hàm ( ) f z xác định trong lân cận vô cùng | |z R>

đượ c gọi là giải tích tại ∞ nếu ( ) f z có thể khai triển

thành chuỗi dạng 1 20 2

0

...n

n n

c c c c

z z z

∞

=

= + + +∑

b) Phươ ng pháp khai triển Taylor Áp dụng công thức (*) để tìm hệ số

n c .

Dựa vào tính chất của ( ) f z để thực hiện các phépbiến đổi đồng nhất và áp dụng các khai triển đã biết.








VD 3. Khai triển Taylor của hàm1

( )2

f z z

=−

quanh:

a) điểm a i = ; b) điểm a = ∞.

Giảia) Đặt t z i = − , ta có:

1 1 1( ) .

2 21

2

f z i t i t

i

= =− − −

−−

0

1

2 2

n

n

t

i i

∞

=

= − − ∑ , vớ i 1

2

t

i <

−.

Vậy1

0

1( ) ( )

(2 )

n

n n

f z z i i

∞

+=

= −−

∑ , vớ i | | 5z i − < .


b) Đặt1

t z

= , ta có:

0

1( ) . (2 )2 1 1 2

n

n

t f z t t t t t

∞

== = − = −

− − ∑ , vớ i | 2 | 1t < .

Vậy1

0

2( )

n

n n

f z z

∞

+=

= −∑ , vớ i | | 2z > .

VD 4. Khai triển Taylor của2 2( ) z z f z e −= quanh 1z = .

Giải. Đặt 1t z = − , ta có:2

2 21

0 0

1 ( ) 1 ( 1)( )

! !

n n t

n n

t z f z e

e n e n

∞ ∞−

= =

−= = =∑ ∑ .


VD 5. Khai triển Taylor2

3( )

3 f z

z z =

−quanh 1z = .

Giải. Ta có:3 1 1

( )(3 ) 3

f z z z z z

= = +− −

.

•0

1 1[ ( 1)]

1 [ ( 1)]n

n

z z z

∞

=

= = − −− − − ∑ , vớ i | 1 | 1z − < .

•0

1 1 1 1 1.3 2 1 2 21

2

n

n

z

z z

∞

=

−= = − − − ∑ , | 1 | 2z − < .

Vậy1

0

1( ) ( 1) ( 1)

2

n n

n n

f z z ∞

+=

= − + −

∑ , | 1 | 1z − < .


VD 6. Khai triển Taylor2

1( )

( 3) f z

z =

−quanh 1z = .

Giải. Ta có:

10

1 1 1 ( 1).

3 2 1 21

2

n

n n

z

z z

∞

+=

−= − = −

− −−

∑ , | 1 | 2z − < .

Đạo hàm từng số hạng của chuỗi, ta đượ c:1

10

1 ( 1)( )

3 2

n

n n

n z f z

z

−∞

+=

′ −= − = − ∑ , | 1 | 2z − < .


1.4. Chuỗi Laurenta)Định lý• Nếu hàm phức ( ) f z giải tích trong hình vành khăn

: 0 | |G r z a R≤ < − < ≤ ∞ thì vớ i mọi z thuộc G ,

ta có khai triển ( ) f z thành chuỗi Laurent:

( ) ( ) .n

n n

f z c z a +∞

=−∞

= −∑

Trong đó:

1

1 ( )( , ).

2 ( )n n

z a q

f z dz c r q R n

i z a π +− =

= < < ∈−∫ ℤ


• Chuỗi Laurent ( )n

n n

c z a

+∞

=−∞ −∑ đượ c chia thành 2 phần:

Phầ n đều:

2

1 0 1 20

( )= ( ) = + ( )+ ( ) +...n

n n

f z c z a c c z a c z a +∞

=

− − −∑

hội tụ trong miền | |z a R− < .

Phầ n chính:

1 22 2

1

( ) ( ) ...( )

n

n n

c c f z c z a

z a z a

−∞− −

=−

= − = + +− −

∑

hội tụ trong miền | |z a r − > .








O x

y

a

G

•

r

R• Khai tri n Laurent của ( ) f z

trong hình vành khăn chotrướ c là duy nhất. Tuy nhiêntrong các hình vành khănkhác nhau thì khai triểnLaurent có thể khác nhau.

Chú ý

• Chuỗi Taylor là trườ ng hợ p

riêng của chuỗi Laurent, trongđó phần chính bị triệt tiêu.


• Cách 2. Đưa về khai triển Taylor để áp dụng các khaitriển của các hàm sơ cấp đã biết.Giả sử hàm ( ) f z giải tích trong | |r z a R< − < và

1 2( ) ( ) ( ) f z f z f z = + hoặc

1 2( ) ( ). ( ) f z f z f z = . Trong đó,

1( ) f z và

2( ) f z lần lượ t giải tích trong | |z a R− < và

| |z a r − > thì ta khai triển:

1( ) f z thành chuỗi lũy thừa của ( )z a − ;

2( ) f z thành chuỗi lũy thừa của

1

z a −.

b) Phươ ng pháp khai triển chuỗi Laurent

• Cách 1. Tìm hệ số n

c từ công thức trong định lý trên.

Tuy nhiên, cách này dẫn đến tính toán phức tạp.


VD 7. Khai triển1

( )( 1)( 2)

f z z z

=− −

trong các miền:

a) | | 1z < ; b) 1 | | 2z < < ; c) | | 2z > .

Giải. Ta có:1 1

( )2 1

f z z z

= −− −

.

a) Trong miền | | 1z < , hàm ( ) f z giải tích.

Do | | 1 12z z < ⇒ < nên ta có khai triển Taylor:

0 0

1 1 1 1( ) .

2 1 2 21

2

n n

n n n

z f z z

z z

∞ ∞

= =

= − + = − +−

−∑ ∑ .


Vậy1

1 10 0

1 2 1( ) 1

2 2

n n n

n n n n

f z z z +∞ ∞

+ += =

−= − = ∑ ∑ , | | 1z < .

b) Hàm1

1( )

2 f z

z =

−giải tích trong | | 2z < nên:

1 10

1 1( ) .

2 21

2

n

n n

z f z

z

+∞

+=

= − = −−

∑ , 12

z < .

Hàm2

1( )

1 f z

z = −

−giải tích trong | | 1z > nên:

20

1 1 1 1( ) .

11

n n

f z z z z

z

+∞

=

= − = −−

∑1

n

n

z −∞

=−

= −∑ ,1

1z

< .


Vậy 11 0

( ) 2

n n

n n n

z

f z z

−∞ +∞

+=− == − −∑ ∑ , 1 | | 2z < < .

c) Trong miền | | 2z > , ta có2

1z

< và1

1z

< nên:

1 10

1 1 1 2( ) .

2 21

n

n n

f z z z z

z

+∞

+=

= = =−

−∑ .

2 10

1 1 1 1( ) .

1 11

n n

f z z z z

z

+∞

+=

= − = − = −−

−∑ .

Vậy1 1

0 1

2 1 1( ) 1

2

n n

n n n n

f z z z

+∞ −∞

+ += =−

− = = − ∑ ∑ , | | 2z > .


VD 8. Khai triển 2

2 1

( ) 2

z

f z z z

−= − − trong các miền:

a) 0 | 2 | 3z < − < ; b) | 2 | 3z − > .

VD 9. Khai triển1

( ) z f z e = trong miền 0 | |z < < +∞.

Nhậ n xét

Từ khai triển trên, ta có: 11

11

1!

c c

z z −

−= ⇒ = .

Mặt khác,1

1

1(0 )

2z

z q

c e dz q i π−

=

= < < +∞∫ .

Vậy1

2z

C

e dz i π=∫ , vớ i mọi C bao quanh gốc O .








§2. THẶNG DƯ

2.1. Đi m bất thườ ng cô lập của hàm giải tích

2.1.1. Định ngh ĩ aĐiểm z a = ≠ ∞ đượ c gọi là đ iể m bấ t thườ ng cô l ậ pcủa hàm ( ) f z nếu tồn tại một lân cận của a trong đó chỉ có z a = là điểm bất thườ ng.

VD 1

• Hàm2

1( ) f z

z = có 0z = là điểm bất thườ ng cô lập.

• Hàm2

1( )

1 f z

z =

+có hai điểm bất thườ ng cô lập là

z i = ± .


2.1.2. Phân loại các điểm bất thườ ng cô lập

Giả sử z a = ≠ ∞ là điểm bất thườ ng cô lập của ( ) f z .

Khi đó, hàm ( ) f z có khai triển Laurent trong hình vànhkhăn 0 | |z a R< − < là ( ) ( )n

n n

f z c z a +∞

=−∞

= −∑ (*).

Nếu trong khai triển (*) không chứa lũy thừa âm nàocủa ( )z a − , ngh ĩ a là:

2

0 1 2( ) ( ) ( ) ... f z c c z a c z a = + − + − +

thì z a = đượ c gọi là đ iể m bấ t thườ ng bỏ đượ c.

Nếu trong khai triển (*) có chứa hữ u hạ n các lũythừa âm của ( )z a − , ngh ĩ a là:


1

0 11( ) + +...+ + ( )+...

( ) ( )

m m

m m

c c f z c c z a

z a z a

− +−−

= −− −

thì z a = đượ c gọi là cự c đ iể m của ( ) f z .Nếu ( ) m z a −− , *m ∈ ℕ , là lũy thừa âm cao nhất của(*) thì z a = đượ c gọi là cự c đ iể m cấ p m của ( ) f z .

Nếu trong khai triển (*) có chứa vô số lũy thừa âmcủa ( )z a − thì z a = đượ c gọi là đ iể m bấ t thườ ng

cố t yế u của ( ) f z .Chú ý

• Điểm bất thườ ng bỏ đượ c còn đượ c gọi là cự c đ iể mcấ p 0 hay không đ iể m.

• Cực đi m cấp 1 ( 1m = ) còn đượ c gọi là cự c đ i

m đơ n.


VD 2. Hàmsin

( )z

f z z

= có khai triển Laurent:

3 5 2 41( ) ... 1 ...

3! 5! 3! 5!

z z z z f z z

z

= − + − = − + −

Vậy 0z = là không điểm của ( ) f z .

VD 3. Hàm 2( )

z e

f z z = có khai triển Laurent:2

2 2

1 1 1 1( ) 1 ... ...

2! 2! 3!

z z f z z

z z z

= + + + = + + + +

Vậy 0z = là cực đi m cấp 2.


VD 4. Hàm

1

( ) z f z e = có khai triển Laurent:

2 30

1 1 1 1 1( ) 1 ...

! 2! 3!

n

n

f z n z z z z

+∞

=

= = + + + + ∑

Vậy 0z = là điểm bất thườ ng cốt yếu.

2.1.3. Cách tìm cự c điểm cấp m Cho z a = ≠ ∞ là điểm bất thườ ng cô lập của ( ) f z .

Nếu lim ( )z a

f z L→

= ≠ ∞ thì z a = là cực điểm cấp 0.

Nếu lim ( )

lim[( ) ( )] \ {0}z a

m

z a

f z

z a f z L→

→

= ∞ − = ∈ℂ

thì z a = là cực điểm cấp m .


Nếu lim ( )z a

f z →

không tồn tại thì z a = là điểm bất

thườ ng cốt yếu.VD 5. Tìm và phân loại điểm bất thườ ng cô lập của:

2

2 3

sin( )

( 1)

z f z

z z =

−.

VD 6. Xác định điểm bất thườ ng cô lập của:1

( ) cos f z z i

=−

.

2.1.4. Điểm bất thườ ng cô lập tại vô cùng

• Giả sử hàm ( ) f z giải tích trong miền | |r z < < +∞

vớ i 0r > và không giải tích tại z = ∞.








• Trong khai triển Laurent của ( )g t , tùy theo 0t = là cựcđiểm bỏ đượ c, cực điểm cấp m hay điểm bất thườ ngcốt yếu ta có z = ∞ là cực điểm tươ ng ứng của ( ) f z .

Đặt1

t z

= thì1

( ) ( ) f z f g t t

= = .

Khi đó ( )g t giải tích trong miền 10 | |z r

< < nên có

khai triển Laurent.

VD 7. Xác định điểm bất thườ ng cô lập z = ∞ của:

a)1

( ) cos f z z

= ; b) ( ) z g z e = ;

c) 1

0 1 0( ) ... , 0m m

m m P z a z a z a a −= + + + ≠ .


2.2. THẶNG DƯ 2.2.1. Định ngh ĩ a

• Hệ số 1c − của 1

z a − trong khai triển Laurent hàm ( ) f z

quanh điểm bất thườ ng cô lập z a = ≠ ∞ đượ c gọi là thặ ng d ư của ( ) f z tại điểm z a = .

Ký hiệu là [ ( ), ]Res f z a .

Vậy ta có:1

[ ( ), ] ( ) .2

C

Res f z a f z dz i π

= ∫

Trong đó, : | |C z a r − = .


• Nếu hàm ( ) f z giải tích trong miền | |z r > và z = ∞

là điểm bất thườ ng cô lập thì thặng dư tại vô cùngđượ c định ngh ĩ a là:

1[ ( ), ] ( ) .

2C

Res f z f z dz i π

∞ = − ∫

Trong đó, C là đườ ng tròn | |z R r = > .

2.2.2. Phươ ng pháp tính thặng dư Cách 1. Dùng định ngh ĩ a, ta có:

1[ ( ), ]Res f z a c −= (hệ số của

1

z a −trong khai triển

( ) f z quanh điểm z a = ).


Cách 2. Dùng cực đi m.

1[ ( ), ]Res f z c

−∞ = − (hệ số của1

z trong khai triển

( ) f z quanh điểm z = ∞).

Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơ n thì:[ ( ), ] lim[( ) ( )].

z a Res f z a z a f z

→= −

Nếu a ≠ ∞ là cực điểm cấp m ( 2)m ≥ thì:

( 1)1[ ( ), ] lim[( ) ( )] .

( 1)!m m

z a Res f z a z a f z

m

−

→= −

−


Chú ý

1) Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơ n và( )

( )( )

h z f z

g z = vớ i

( ) 0g a = , ( ) 0h a ≠ , ( ) 0g a ′ ≠ thì:

( )[ ( ), ] .

( )

h a Res f z a

g a =

′

2) Khi tính giớ i hạn có dạng0

0, ta có thể dùng quy tắc

L’Hospital.

VD 8. Tính [ ( ), 2]Res f z của2 2 3

( )2

z z f z

z

− +=

−.


VD 9. Tính [ ( ), 1]Res f z của 2

1

( ) ( 1) f z z z = − .

VD 10. Tính [ ( ), ]Res f z ∞ của các hàm:

a)2

( ) z f z e = ; b)15

8

3( )

1

z g z

z =

+.

VD 11. Tìm thặng dư của2

( )1

z e f z

z =

+tại các điểm

bất thườ ng cô lập hữu hạn.

VD 12. Tìm thặng dư của4

sin 1( )

z f z

z

+= tại các điểm

bất thườ ng cô lập hữu hạn.








§3.Ứ NG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 3.1. Tính tích phân dọc theo đườ ng cong kín Định lý 1

Nếu hàm ( ) f z giải tích trong miền đóng D giớ i hạn bở iđườ ng cong Jordan kín C trừ một số hữu hạn điểm

1a ,

2a , …,

n a bất thườ ng cô lập nằm trong D thì:

1

( ) 2 . [ ( ), ].n

k k C

f z dz i Res f z a π=

= ∑∫


| | 21

z

z

e I dz

z =

=+∫ .


| 1| 1

2

( 1) ( 1)z

z I dz

z z − =

+=

− +∫ .



| | 21

z

dz I

z =

=+∫ .

Định lý 2Nếu ( ) f z giải tích trong toàn mặt phẳng phức trừ một

số hữu hạn điểm 1 2, , ..., n a a a bất thườ ng cô lập thì:

1

[ ( ), ] [ ( ), ] 0.n

k k

Res f z a Res f z =

+ ∞ =∑


5

| | 12 1

z

z I dz

z =

=−∫ .


3.2. Tính tích phân hàm lượ ng giác

Phươ ng pháp giải

• Đặtit

z e = , ta có:it dz

dz ie dt dt iz = ⇒ = ,2 2( ) 1 1

cos2 22

it it it

it

e e e z t

z e

−+ + += = = ,

2 2( ) 1 1sin

2 22

it it it

it

e e e z t

i iz ie

−− − −= = = .

Dạng tích phân:2

0

(cos , sin ) (cos , sin ) .I R t t dt I R t t dt

π π

π−

= =∫ ∫ hoaëc

Trong đó, (cos , sin )R t t là hàm hữu tỉ theo sin và cosin.


• Khi t biến thiên từ 0 đến 2π (hoặc từ π− đến π) thì z

biến thiên trên đườ ng tròn đơ n vị | | | | 1it z e = = .

Trong đó ( )1,k

a k n = là các điểm bất thườ ng cô lập

nằm trong hình tròn | | 1z < .

Suy ra, các tích phân trên có dạng:

1| | 1

( ) 2 [ ( ), ].n

k k z

I f z dz i Res f z a π==

= = ∑∫


02 sin

dt I

t

π

=+∫ .


3 cos

dt I

t

π

=−∫ .

ChươngChương 4. Chu4. Chui vi vàà ThThng dưng dư3.3. Tính tích phân suy rộng

b) ng dụng

Tính tích phân ( )I f x dx

+∞

−∞

= ∫ vớ i ( ) f z giải tích trong

nửa mặt phẳng trên (trừ một số hữu hạn điểm bấtthườ ng cô lập

1 2

, ,...,n

a a a ) và thỏa bổ đề 1.

3.3.1. Dạng suy rộng ( ) f x dx +∞

−∞∫

a) Bổ đề Jordan 1Giả sử hàm ( ) f z liên tục trong lân cận của điểm ∞ và

thỏa mãn lim ( ) 0z

zf z →∞

= . Khi đó( )

lim ( ) 0R

C R

f z dz →∞

=∫ ,

vớ i ( )C R là nửa trên của đườ ng tròn | |z R= .

ChươngChương 4. Chu4. Chui vi vàà ThThng dưng dư• Ta vẽ nửa trên của đườ ng tròn

( ) : | |C R z R= vớ i R đủ lớ n

sao cho các điểm1 2, ,...,

n a a a

thuộc miền D giớ i hạn bở i( )C R vớ i đoạn [ ; ]R R− .

O RR−

D

y

x 1.a

2.a

.n

a

• Áp dụng thặng dư, ta có:

1( )

( ) ( ) 2 [ ( ), ]R n

k k R C R

f x dx f z dz i Res f z a π=−

+ = ∑∫ ∫ .

Cho R → +∞ và áp dụng bổ đề 1, ta đượ c:

1

( ) 2 [ ( ), ].n

k k

f x dx i Res f z a π

+∞

=−∞

= ∑∫








Nhậ n xét

Nếu( )

( )( )

P x f x

Q x

= , vớ i bậc ( )P x ≤ (bậc ( ) 2Q x + ) thì

tích phân ( ) f x dx

+∞

−∞∫ đượ c tính theo phươ ng pháp trên.


dx I

x

+∞

−∞

=+∫ .

VD 8. Tính tích phân2 2( 1)

dx I

x

+∞

−∞

=+∫ .


a) Bổ đề Jordan 2

Giả sử hàm ( ) f z liên tục trong lân cận của điểm ∞ vàthỏa mãn lim ( ) 0

z f z

→∞= . Khi đó vớ i mọi 0α > , ta có:

( )

lim ( ) 0i z

RC R

f z e dz α

→∞=∫ .

Vớ i ( )C R là nửa trên của đườ ng tròn | |z R= .

3.3.2. Dạng suy rộng:

1 2( )cos , ( )sin .I f x x dx I f x x dx α α

+∞ +∞

−∞ −∞= =∫ ∫


b)Ứ ng dụng

Trong đó,k

a là các điểm bất thườ ng nằm trong nửa mặtphẳng trên.

• Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có 1I và 2I .

• Giả sử 0α > và hàm ( ) f z thỏa bổ đề 2, ta có:

1 21

( ) 2 [ ( ) , ]n

i x i z

k k

I iI f x e dx i Res f z e a α απ

+∞

=−∞

+ = = ∑∫ .

VD 9. Tính các tích phân sau:

1 22 2

cos sin,

2 10 2 10

x x x x I dx I dx

x x x x

+∞ +∞

−∞ −∞

= =− + − +∫ ∫ .

……………………………………………………

ChươngChương 5. Ph5. Phéép bip bin đn đi Laplacei Laplace

§1. Định ngh ĩ a phép biến đổi Laplace.

§2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace.

§3. Phép biến đổi Laplace ngượ c.

§4. Các ứng dụng của phép biến đổi Laplace.………………………………………………

§1.ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾNĐỔI LAPLACE

1.1.Định ngh ĩ a hàm gốc

• Hàm gốc là hàm phức đơ n trị ( ) f t vớ i biến số thực t ,thỏa mãn 3 điều kiện:

1) ( ) f t và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từngkhúc (ngh ĩ a là hàm liên tục trừ một số điểm giánđoạn hữu hạn mà tại đó hàm có giớ i hạn trái và giớ ihạn phải hữu hạn).


2) ( ) 0 f t = khi 0t < .3)

00, 0M α∃ > ∃ ≥ sao cho 0 .0 : | ( )|

t t f t Me

α∀ ≥ ≤ .

Khi đó,0

α đượ c gọi là số mũ tăng của ( ) f t .

• Nhậ n xét

Điều kiện 2) đượ c đặt ra vì trong ứng dụng, biến số t

thườ ng là thờ i gian, hàm ( ) f t biểu diễn một quá trìnhnào đó mà ta chỉ cần khảo sát lúc 0t > .

Hàm gốc ( ) f t khi t → +∞ hoặc là hữu hạn hoặc tăng

ra ∞, nhưng không nhanh hơ n hàm mũ 0.t e

α .

ChươngChương 5. Ph5. Phéép bip bin đn đi Laplacei LaplaceVD 1. Hàm bậc thang đơ n vị (hàm Heaviside) ( )u t là

hàm số đượ c định ngh ĩ a bở i:0, 0

( )1, 0

t u t

t

<= ≥.

Hàm Heaviside ( )u t (còn đượ cgọi là hàm nấ c đơ n vị hay hàm

bướ c nhả y đơ n vị) là hàm gốc.

VD 2. Hàm trễ T đơ n vị thờ i gian:

0,( )

1,

t T u t T

t T

<− = ⋅ ≥

Hàm ( )u t T − là hàm gốc.








VD 3. Hàm lọc đơ n vị là hàm có dạng:

1 2( ) ( ) ( )h t u t t u t t = − − −

1

1 2

2

0,1, .

0,

t t

t t t

t t

<= ≤ < ≥

Hàm lọc đơ n vị là hàm gốc.

VD 4. Hàm xung là hàm gốc có dạng:

1

1 2

2

0,

( ) ( ),

0,

t t

f t t t t t

t t

ϕ

<= ≤ < ≥

.


Trong đó, ( )t ϕ là hàm số sơ cấp. Hàm xung có thể biểudiễn qua hàm lọc đơ n vị:

1 2( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ). f t u t t u t t t h t t ϕ ϕ= − − − = VD 5. Hàm ( ) ( 1,1) ( 3,2)V t u t u t = − − − là mô hìnhtoán học của bài toán khảo sát mạch điện khi đóngmạch tại thờ i điểm 1,1t = giây (s) và ngắt mạch tạithờ i điểm 3,2t s = .

Khi đó mạch điện sẽ cóhiệu điện thế 1 volt trongkhoảng:

3, 2 1,1 2,1s s s − = .


VD 6. Một nguồn điện 12 volt đượ c đóng mạch tại thờ iđiểm 4t s = . Biểu diễn hàm ( )V t theo hàm Heaviside ?

VD 7. Biểu diễn hàm xung sau theo hàm lọc đơ n vị:

0, 0

2, 0 1( )

3, 1 2

0, 2

t

t t f t

t

t

< + ≤ <= ≤ < ≥

.

• Quy ướ c Để đơ n giản, thay vì viết ( ). ( )u t f t , ta viết ( ) f t .

Giớ i hạn phải của ( ) f t khi 0t +→ đượ c viết là (0) f .


1.2.Định ngh ĩ a phép biến đổi Laplace

a) Định ngh ĩ a • Hàm ảnh của hàm gốc ( ) f t là hàm phức ( )F s biến số

phức s i α β = + xác định bở i tích phân Laplace:

0

( ) ( ) .st F s e f t dt

+∞−= ∫

• Phép biến đổi từ hàm gốc ( ) f t sang hàm ảnh ( )F s xácđịnh bở i công thức trên đượ c gọi là phép biến đổiLaplace. Ký hiệu là ( ) { ( )}.F s L f t =


b*)Định lý tồn tại ảnh• Định lý 1

Nếu ( ) f t là hàm gốc vớ i số mũ tăng0

α thì hàm ảnh

( )F s hội tụ trong nửa mặt phẳng0

Re( )s α> và là hàmgiải tích trong miền đó.

• Định lý 2 Nếu hàm ( )F s là hàm ảnh của hàm gốc ( ) f t vớ i số mũ tăng

0α thì

Re( )lim ( ) 0

s F s

→∞= .


1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng

a) Hàm bậc thang đơ n vị u( t)

Ta có:

0 0

( ) ( ) limb

st st

bF s e u t dt e dt

+∞− −

→+∞= =∫ ∫

1 1 1lim sb

be

s s s

−

→+∞

= − = , vớ i Re( ) 0s > .

Vậy:

1{ ( )} (1) , Re( ) 0.L u t L s

s = = >








b) Hàm f ( ) = e at, f ( ) = e – at ( a là hằng số phứ c)

Ta có:( )

0 0( ) lim

b

st at s a t

bF s e e dt e dt

+∞− − −

→+∞= =∫ ∫

1

s a =

−, vớ i Re( ) Re( )s a > .

Vậy:1

( ) , Re( ) Re( ).at L e s a s a

= >−

Thay a bở i a − , ta đượ c:1

( ) , Re( ) Re( ).at L e s a s a

− = > −+


c) Hàm f ( ) = t

Ta có:0 0

( ) limb

st st

b

F s e tdt e tdt

+∞− −

→+∞

= =

∫ ∫

2 2

1lim .

sb sb

b

be e

s s s

− −

→+∞

= − +

Vậy:2

1( ) , Re( ) 0.L t s

s = >

Tổng quát:

1

!( ) , , Re( ) 0.n

n

n L t n s

s

++

= ∈ >ℤ


d) Hàm lượ ng giác f ( t) = cos at, f ( t) = sin at

Ta có:0 0

1( ) cos ( )

2st st iat iat F s e at dt e e e dt

+∞ +∞− − −= = +∫ ∫

1 1 1

2 s ia s ia

= + − + , vớ i Re( ) 0s > .

……………………………………………

Vậy: 2 2(cos ) , Re( ) 0.

s

L at s s a = >+ Tươ ng tự:

2 2(sin ) , Re( ) 0.

a L at s

s a = >

+


§2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾNĐỔI LAPLACE

2.1. Tính chất tuyến tính

VD 1. 4 4(3 2 ) (3 ) ( 2 )L t t L t L t − = + − 43. ( ) 2. ( )L t L t = −

3

5 2 5

4! 2 72 23.

s

s s s

−= − = .

Định lý 1 Nếu { ( )} ( )L f t F s = và { ( )} ( )L g t G s = thì:

{ . ( ) . ( )} ( ) ( ).L a f t b g t aF s bG s + = +

Trong đó, a và b là các hằng số phức.


2.2. Tính chất dờ i (dịch chuyển ảnh)

(biến đổi của hàm ( )at e f t − )

VD 2. Do1

!( ) ( )n

n

n L t F s

s += = nên:

1

!( ) ( )

( )

n at

n

n L t e F s a

s a

−+

= + =+

.

Định lý 2 Nếu { ( )} ( )L f t F s = , vớ i a là hằng số phức, thì:

{ ( )} ( ).at L e f t F s a − = +

VD 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm:

a) 2( ) cos 3t g t e t −= ; b) 3( ) sin2t g t e t = .


2.3. Tính chất trễ (dờ i theo t)(biến đổi của hàm ( ). ( )u t T f t T − − ) Định lý 3

Nếu { ( )} ( )L f t F s = thì vớ i mọi 0T > , ta có:

{ ( ). ( )} ( ).sT L u t T f t T e F s −− − =

Trong đó0,

( )1,

t T u t T

t T

<− = ≥.

Nhậ n xét

1) Nếu hàm gốc ( ) f t có đồ thị là ( )C thì đồ thị của hàm( ). ( )u t T f t T − − là ( )C ′ đượ c suy ra từ ( )C bằng

cách tịnh tiến theo trục hoành sang phải một đoạnbằng T (trễ một khoảng thờ i gian T ).








2) Công thức tịnh tiến gốc thườ ng dùng để tìm ảnh khihàm gốc cho bở i nhiều công thức trên những khoảngkhác nhau. Chú ý

1) { ( )}sT

st

T

e L u t T e dt

s

+∞ −−− = =∫ .

2) Cần tránh nhầm lẫn giữa hàm ( ). ( )u t T f t T − − và( ) f t T − (hàm ( ) f t T − thực chất là ( ). ( )u t f t T − ).



a)

sin( 2), 2

( ) 0, 2

t t

f t t

− ≥= < .

b) 2( ) ( 3). t g t u t e = − .

VD 5. Tìm biến đổi Laplace của hàm:

0, 1

( ) 1, 1 3

0, 3

t

f t t

t

<= ≤ < ≥

.



0, 0

( ) 1, 0 1

3, 1

t

f t t t

t

<= + ≤ < ≥

.


0, 0

, 0 1( )

2 , 1 2

0, 2

t

t t f t

t t

t

< ≤ <= − ≤ < ≥

.


2.4. Tính chất đ ng dạng (đ i thang đo)

VD 8. Cho biết11

{ ( )} ( )s L f t e F s

s

−= = , ta có:

31 1 3

{ (3 )}3 3 3

s s e L f t F

s

− = = .

Vậy

3

11 1{ (3 )}

3 3 1

s t s e

L e f t F s

−+

− + = = +

.

Định lý 4Nếu { ( )} ( )L f t F s = thì:

1{ ( )} . , Re( ) 0.

s L f at F a

a a

= >


2.5. Biến đổi Laplace của đạo hàm f ( n)( t)

Định lý 5Nếu { ( )} ( )L f t F s = và hàm gốc ( ) f t có đạo hàm đếncấp n và các đạo hàm cũng là hàm gốc thì:

( ) 1 2

( 2) ( 1)

{ ( )} ( ) (0) (0)

... (0) (0).

n n n n

n n

L f t s F s s f s f

sf f

− −

− −

′= − −

− − −

Trong đó, ( ) ( )

0(0) lim ( ), 0, 1,..., 1k k

t

f f t k n +→

= = − .

Các trườ ng hợ p riêng:

2

3 2

{ ( )} ( ) (0),

{ ( )} ( ) (0) (0),

{ ( )} ( ) (0) (0) (0).

L f t sF s f

L f t s F s sf f

L f t s F s s f sf f

′ = −′′ ′= − −′′′ ′ ′′= − − −


2.6. Bi n đ i Laplace của hàm t n f ( t)

Định lý 6Nếu { ( )} ( )L f t F s = thì:

( ){ ( )} ( 1) ( ).n n n L t f t F s = −

VD 9. Tìm biến đổi Laplace của hàm:( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 2g t y t y t y t ′′ ′= − + − ,

vớ i điều kiện đầu (0) 1, (0) 2y y ′= − = .








b) Biết1

( )at L e s a

=−

, ta suy ra:

1

1 !( ) ( 1)

( )

n n at n

n n

d n L t e

s a ds s a +

= − = − − .


a) ( ) sin 3g t t t = ; b) 2( ) cos 4g t t t = .

VD 10. a) Biết1

(1)Ls

= , ta suy ra:

( )

11 !( ) ( 1)

n

n n

n n L t

s s + = − = .



a)0

( ) sin2t

g t x x dx = ∫ ; b) 2

0

( ) cos 2t

g t x dx = ∫ .

2.7. Biến đổi Laplace của tích phân0

( )t

f x dx ∫

Định lý 7 Nếu { ( )} ( )L f t F s = thì:

0

( )( ) .

t F s

L f x dx s

= ∫


2.8. Biến đổi Laplace của hàm( ) f t

t

Định lý 8

Nếu { ( )} ( )L f t F s = và0

( )limt

f t

t +→∃ thì:

( )( ) .

s

f t L F u du

t

+∞ = ∫

Hệ quả Cho 0s → , ta đượ c:

0 0

( )( ) .

f t F u du dt

t

+∞ +∞

=∫ ∫


VD 13. Tìm biến đổi Laplace của:

a) hàm gốc2

( )t t e e

g t t

−= .

b) hàm tích phân sin:0

sinSi( )

t x

t dx x

= ∫ .

VD 14. Tính tích phân suy rộng0

sin x I dx

x

+∞

= ∫ .


2.9. Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

VD 15. Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn vớ ichu kỳ 4T = như sau:

2, 0 3( )

0, 3 4

t f t

t

< <= < <.

Định lý 9Nếu ( ) f t là hàm tuần hoàn vớ i chu kỳ 0T > thì:

0

1{ ( )} ( ) .

1

T

st

sT L f t e f t dt

e

−−

=− ∫


VD 17. Tìm biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn chu kỳ 2 0T a = > đượ c mô tả bằng đồ thị sau:

VD 16. Tìm biến đổi Laplace của đườ ng sin chỉnh lưubán sóng chu kỳ 2T π= sau:

sin , 0( )

0, 2

t t f t

t

π

π π

< <= < <.








§3. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢ C

VD 1. Ta có: 3 1 3

4 4

3! 6( )L t L t

s s

− = ⇒ =

.

Chú ý

• Phép biến đổi Laplace ngượ c có các tính chất tươ ng tự phép biến đổi Laplace.

3.1. Định ngh ĩ a

• Phép biến đổi Laplace ngượ c của hàm ( )F s là hàm( ) f t liên tục trên [0; )+∞ và thỏa { ( )} ( )L f t F s = .

Ký hiệu là: 1( ) { ( )}. f t L F s −=


3.2. Các phươ ng pháp tìm biến đổi Laplace ngượ c

3.2.1. Sử dụng các tính chất

VD 2. Cho2

3 6( )

2 9

s F s

s s = −

+ +. Ta có:

1 1 1

2

1{ ( )} 3 6

2 9

s L F s L L

s s

− − − = − + +

.

Vậy 1 2( ) { ( )} 3 6cos 3t f t L F s e t − −= = − .

a) Tính chất tuyến tính1 1 1

1 2 1 2{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}.L aF s bF s aL F s bL F s − − −+ = +


VD 3. Tìm biến đổi 1

4

2

( 1)L

s

− −

.

b) Tính chất dờ i theo s 1 1{ ( )} { ( )}.at L F s a e L F s − − −+ =


2

3 6

4 13

s L

s s

− + + +

.

c) Tính chất dờ i theo t 1{ ( )} ( ). ( ).sT L e F s u t T f t T − − = − −


2 4

s e L

s

π−−

+ .


VD 6. Tìm biến đổi 1 2 1 3

2 1s L e

s s

− − − − +

.


2 2( 4)

s L

s

− + .

VD 8. Tìm biến đổi 1 1ln

1

s L

s

− + −

.

d) Biến đổi Laplace ngượ c của đạo hàm1 ( ) 1

1 ( )1

{ ( )} ( 1) { ( )},

{ ( )}{ ( )} .

( 1)

n n n

n

n n

L F s t L F s

L F s L F s

t

− −

−−

= −

=−



2 2

1

( 2 2)

s L

s s

− + + +

.

3.2.2. Phân tích ảnh thành tổngcác phân thứ c tối giản

Phân thức tối giản loại I có dạng:

1,

( )n s a +vớ i a là số thực.

e) Biến đổi Laplace ngượ c của tích phân

1 1{ ( )} . ( ) .s

L F s t L F x dx

+∞− −

= ∫


Phân thức tối giản loại II có dạng:

2 2[( ) ]n

Ms N

s a k

++ +

vớ i , , ,M N a k là các số thực.


2

2 5

2

s L

s s

− + − −

.


2

2 1

6 13

s L

s s

− − − +

.


2 2

1

( 9)L

s s

− +

.








VD 13*. Tìm biến đổi 1

2

1

( 4)

s L

s s

− − +

.

Giải. Ta có:2 2

1

( 4) 4

s A Bs C

s s s s

− += ++ +

2

2

( ) 4

( 4)

A B s Cs A

s s

+ + +=

+.

Đồng nhất các hệ số, ta đượ c:

01 1

1 , , 14 4

4 1

A B

C A B C

A

+ = − = − ⇔ = = = − =

.


VD 14*. Tìm biến đổi 1

2

1

( 1)L

s s

− −

.

Giải. Ta có:2 2

1

1( 1)

A B C

s s s s s = + +

−−

2 21 1 1 1 2. . .4 4 24 4

s s s s

= − −+ +

.

Vậy 1

2

1 1 1 1cos 2 sin 2

4 4 2( 4)

s L t t

s s

− − = − − +

.

Suy ra:2 2

1 1 1 4.

4 4( 4) 4

s s

s s s s

− += −

+ +


VD 15*. Tìm biến đổi2

1

3

3

7 6

s L

s s

− − − +

.

Đồng nhất các hệ số, ta đượ c:1, 1, 1A B C = − = − = .

Suy ra:2 2

1 1 1 1

1( 1) s s s s s = − − +

−−.

Vậy 12 1 1( 1)

t L t e s s

−

= − − + −

.

2

2

( ) ( )

( 1)

B C s A B s A

s s

+ + − −=

−.


Giải. Ta có:2 2

3

3 3

( 1)( 2)( 3)7 6

s s

s s s s s

− −=

− − +− +

1 2 3

A B C

s s s = + +

− − +.

Quy đồng và đồng nhất các hệ số, ta đượ c:

1 1 3, ,

2 5 10

A B C = = =

2

3

3 1 1 1 1 3 1. . .

2 1 5 2 10 37 6

s

s s s s s

−⇒ = + +

− − +− +.

Vậy2

1 2 3

3

3 1 1 3

2 5 107 6

t t t s L e e e

s s

− − − = + + − +

.


3.2.3. Sử dụng thặng dư


2

1

2

s L

s s

− − +

.


2( 3) ( 5)

s L

s s

− − +

.


3

1

( 2)L

s

− +

.

Cho ( )F s là phân thứ c thự c sự và k s ( 1,2,..., )k n = là

các điểm bất thườ ng cô lập của ( )F s . Khi đó:

1

1

{ ( )} Res[ ( ), ].n

st

k k

L F s e F s s −

=

= ∑


0 0

( )( ) 1t t

t x t x t f g t xe dx e xe dx e t − −∗ = = = − −∫ ∫ .

VD 19. Cho hai hàm gốc ( ) f t t = và ( ) t g t e = . Ta có:

a) Định ngh ĩ a tích chập Tích chập của hai hàm gốc ( ), ( ) f t g t đượ c định ngh ĩ a

và ký hiệu là:

0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .t

f t g t f g t f x g t x dx ∗ = ∗ = −∫

VD 20. Xác định tích chập at t e ∗ ?

3.2.4. Sử dụng tích chập f ( t)∗ g( t)








b) Tính chất của tích chập 1) Tính giao hoán: f g g f ∗ = ∗ .

2) Tính kết hợ p: ( ) ( ) f g h f g h ∗ ∗ = ∗ ∗ .3) Tính phân phối: ( ) f g h f g f h ∗ + = ∗ + ∗ .

c)Ứ ng dụng của tích chập

Định lý Borel Nếu { ( )} ( )L f t F s = và { ( )} ( )L g t G s = thì:

{ ( ) ( )} ( ). ( ).L f t g t F s G s ∗ = Nhậ n xét

1 1 1{ ( ). ( )} { ( )} { ( )}.L F s G s L F s L G s − − −= ∗



2

1

( 1)L

s s

− −

.


2 2

1

( 1)L

s

− +

.


3

1

( 2)L

s s

− +

.



2( 1)( 1)

s L

s s

− + −

.

Công thứ c Duamel

Nếu { ( )} ( )L f t F s = , { ( )} ( )L g t G s = và ( ) f t ′ , ( )g t ′cũng là hàm gốc thì:

1

1

{ ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ),

{ ( ) ( )} ( ) ( ) (0) ( ).

L sF s G s f t g t f g t

L sF s G s g t f t g f t

−

−

′= ∗ +′= ∗ +


3.2.5*. Tìm gốc bằng khai triển chuỗi

Định lýNếu hàm ảnh ( )F s có khai triển thành chuỗi

10

( ) n

n n

c F s

s

∞

+=

= ∑ , vớ i | | 0s R> > thì hàm gốc của

( )F s có dạng0

( )

!

n

n

n

t f t c

n

∞

=

= ∑ và hội tụ vớ i mọi 0t > .

VD 25. Tìm hàm gốc của1

( ) 1s F s e = − .


1

1

1( ) . , 0

! ( 1)!

n

n

t f t t

n n

−∞

=

⇒ = ∀ > −

∑ .

VD 26. Tìm hàm gốc của2

1( )

1F s

s =

+.

Giải. Ta có:1

2

22

1 1 1( ) 1

1F s

s s s

− = = + +

Giải. Ta có:0 1

1 1 1( ) 1! !

n

n n n

F s n s n s

∞ ∞

= =

= − = ∑ ∑


2 11

1 ( 1) (2 1)!! 1.

2 !

n

n n n

n

s n s

∞

+=

− − = +

∑ .

Vậy2

1

( 1) (2 1)!!( ) 1 .

(2 )!2 !

n n

n n

n t f t

n n

∞

=

− − = +

∑

2

2 20

( 1)

2 ( ! )

n n

n n

t

n

∞

=

−= ∑ .

……………………………

3 2 5 3 71 1 1.3 1.3.5 ...2 2 .2! 2 .3!s s s s = − + − +








§4.Ứ NG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE4.1. Giải phươ ng trình vi phân tuy n tính

vớ i hệ số hằng Phươ ng pháp giảiXét phươ ng trình vi phân vớ i nghiệm cần tìm là ( )y t .

• Bướ c 1. Biến đổi Laplace hai vế của phươ ng trình viphân ta thu đượ c một phươ ng trình bậc nhấtvớ i hàm cần tìm là ( ) { ( )}Y s L y t = .

• Bướ c 2. Thay điều kiện đầu (nếu có), tìm ( )Y s theo s .

• Bướ c 3. Nghiệm cần tìm là 1( ) { ( )}y t L Y s −= .Chú ý

Để đơ n giản, ta viết Y thay cho ( )Y s ; y thay cho ( )y t .


VD 1. Giải phươ ng trình vi phân:

2 3 ; (0) 1t y y e y ′ − = = − .

VD 2. Giải phươ ng trình vi phân:33 ; (0) 2t y y e y −′ + = = .

VD 3. Giải phươ ng trình vi phân:; (0) 1, (0) 2y y t y y ′′ ′+ = = = − .

VD 4. Giải phươ ng trình vi phân:23 2 4 ; (0) 3, (0) 5t y y y e y y ′′ ′ ′− + = = − = .

VD 5. Giải phươ ng trình vi phân:1; (0) (0) (0) 0y y y y y ′′′ ′ ′ ′′+ = = = = .


VD 6*. Giải phươ ng trình vi phân:4 2 sin 2 ; (0) 0, (0) 1y y t y y ′′ ′+ = = = − .

Giải. Ta có:

2

2

4. (0) (0) 4

4s Y s y y Y

s ′− − + =

+

2 2 2 2 2 2

4 1 2 2 1

.( 4) 4 4 4 4Y s s s s s ⇒ = − = −+ + + + + .

Vậy 1 1

2 2 2

2 2 1.

4 4 4y L L

s s s

− − = − + + +


4.2. Giải hệ phươ ng trình vi phân tuyến tính

vớ i hệ số hằngVD 7. Giải hệ phươ ng trình vi phân:

3 0; (0) 1, (0) 1

0

x x y x y

y x y

′ + + = = = ′ − + =.

sin2 * sin2 cos2y t t t = −

0

cos2 sin2 sin2( ) cos2t

t x t x dx t = − + − −∫

1 1cos2 sin2 cos2

4 2t t t t = − + − .


Giải. Đặt ( ), ( )X L x Y L y = = .Lấy biến đổi Laplace cả hai phươ ng trình, ta đượ c:

(0) 3 0

(0) 0

sX x X Y

sY y X Y

− + + = − − + =

( 3) 1

( 1) 1

s X Y

X s Y

+ + =⇒ − + + =.

Giải hệ bằng công thức Cramer, ta đượ c:

2 2

2 2

1 2

2( 2) ( 2)4 1 2

2( 2) ( 2)

s X

s s s

s Y

s s s

= = − ++ + + = = + ++ +

.


VD 8. Giải hệ phươ ng trình vi phân:

2 1; (0) 0, (0) 0

2

x y x y

y x t

′ − = = = ′ + =.

…………………………Ht…………………………

Vậy nghiệm của hệ là2 2

2 2

2 ,

2 .

t t

t t

x e te

y e te

− −

− −

= − = +

gio trinh hamphuc-sv-dh

Documents

Transcript of gio trinh hamphuc-sv-dh