GiaoTrinhCTRR_C13_CacPPChungMinh

7/23/2019 GiaoTrinhCTRR_C13_CacPPChungMinh

1/12

CHNG 13:

SUY LUN TON HC &

CC PHNG PHP CHNG MINH

1. Suy lun ton hc

1.1. Khi nim

Suy lun c xem l mt trong nhng nn tng xy dng nn cc ngnh khoa

hc tnhin. Txa n nay, nhsuy lun m ngi ta c thnhn thc c ci

cha bit tnhng ci bit. Suy lun cn l csca ssng to. Tcc phn

on, a n cc chng minh chp nhn hay bc bmt vn no .

Suy lun ton hc da trn nn tng ca cc php ton mnh , ch yu l

php ko theo. chng minh mt vn no , thng thng ngi ta phi xcnh im ban u (c thgi l githit) v im kt thc (gi l kt lun). Qu

trnh i tgithit n kt lun gi l qu trnh chng minh v qu trnh ny c

thc thi bng cch no th gi l phng php chng minh.

Cc phng php chng minh l rt quan trng v khng nhng chng thng

c sdng trong ton hc m cn c p dng nhiu trong tin hc. V d, s

kim tra tnh ng n ca mt chng trnh, ca mt hiu hnh, xy dng cc

lut suy din trong lnh vc tr tunhn to... Do , chng ta cn phi nm vng

cc phng php chng minh.

Tuy nhn, c nhng phng php chng minh ng v n c da trn cs

ca mt mnh ng (hng ng) v c nhng phng php chng minh sai.

Cc phng php chng minh sai ny l c ho!c v . Khi phng php chng

minh da trn mt hng sai th s"mang li kt qusai nhng ngi ta v#n cho l

ng th c gi l c. i khi c nhng phng php chng minh da trn

mt tip lin (c khi mnh l ng nhng c$ng c lc sai) m ngi ta tng

lm l hng ng nn cho l kt qubao gic$ng ng th trng hp ny gi l

v (hay ngnhn). Sau y, chng ta s"i tm hiu cc qui tc suy lun.

1.2. Cc qui tc suy lun

Nh gi%i thiu trn, nhng suy lun c dng cc qui tc suy din gi l

suy lun c cs. Khi tt ccc suy lun c csl ng th s"d#n n mt kt

lun ng. Mt suy lun c csc thd#n n mt kt lun sai nu mt trong


2/12

cc mnh dng trong suy din l sai. Sau y l bng cc qui tc suy lun

ng.

Trong cc phn s ca qui tc th cc githit c vit trn t s, kt lun

c vit d%i m#u s. K hiuc ngha l "vy th", "do ",...

V d: Qui tc suy lun no l csca suy din sau :

" Nu hm nay tri ma th c ta khng n, Nu c ta khng n th ngy

mai c ta n, Vy th, nu hm nay tri ma th ngy mai c ta n."

y l suy din da trn qui tc tam on lun ginh.

"Nu hm nay tuyt ri th trng i hc ng ca. Hm nay trng i

hc khng ng ca. Do , hm nay khng c tuyt ri "

y l suy din da trn qui tc Modus Tollens

" Alice gii ton. Do , Alice gii ton ho!c tin" y l suy din da trn

qui tc cng.

TT Quy Tc Hngng Lut

1

A B

A

(A B)&A Simplification(Simp)

(Rt gn)

2

A , B

A B(A B) &(A B) Conjunction (Conj)

(Ni)

3

A

A BA&(A B) Addition (Add)

(Cng)

4

A &B, A B

(A (A&B))&B Modus Ponens (MP)

5

A &B, B A

(B (A&B)) &A

Modus Tollens (MT)

6

A B, B

A((A B) B) &A Disjunctive Syllogism

(DS)

7

A &B, B &C A &C

((A&B)) (B&C))&(A&C)

Hypothetical Syllogism

(HS)


3/12

Cc phng php chng minh sai cn c gi l ngy bin. Ngy bin ging

nhqui tc suy lun nhng khng da trn mt hng ng m ch'l mt tip lin.

y chnh l skhc nhau cbn gia suy lun ng v suy lun sai. Loi suy

lun sai ny c gi lngnhn kt lun.

V d: Xt xem suy din sau l c csng khng ?

" Nu bn gii ht bi tp trong sch ton ri rc 2 ny th bn nm vng

logic. Bn nm vng logic vy th bn gii ht bi tp trong sch ton ri rc 2

ny".

Nhn thy suy din ny l da trn mnh sau :

((P&Q)

Q)&P

Trong :

P = "Bn gii ht bi tp trong sch ton ri rc 2"

Q = "Bn nm vng logic"

Mnh ((P&Q)

Q)&P khng phi l hng ng v n s"sai khi P l F

v Q l T. Do , suy din ny khng hon ton c csng. Bi v, khi Q l T

ngha l bn nm vng logic nhng khng chc l bn gii ht bi tp trong

sch ton ri rc 2 ny m c thgii sch khc (P l F).

2. Cc phng php chng minh

Nh gi%i thiu trong phn trn, m(i bi ton cn chng minh thng thngu c hai phn chnh l githit v kt lun. Vic ch'ra c ci no l githit,

ci no l kt lun s"gip cho vic chng minh ddng hn thng qua vic s

dng phng php chng minh thch hp. Do , cc phng php chng minh

trong dng bi ton ny l c lin quan n mnh ko theo.

Vy, tr%c khi tm hiu cc phng php chng minh, chng ta hy xem li

bng chn tr ca mnh P ko theo Q ( v%i P l githit v Q l kt lun). Cc

trng hp cho mnh P ko theo Q l ng c$ng chnh l cc phng php

chng minh bi ton ng.

P Q P Q

S S


4/12

S

S S

Nhn thy rng, P&Q l ng c 3 trng hp. Cc trng hp ny chnh l

cc phng php chng minh s"c trnh by d%i y.

Tr%c khi i vo cc phng php chng minh, c mt khi nim m chng ta

cn tm hiu, l khi nim v"hm mnh".

Hm mnh:

Cho A l mt tp hp khng r(ng sao cho ng v%i m(i xA ta c mt mnh

, k hiu l P(x). By gita ni P (hay P(x)) l mt hm mnh theo bin

xA.

Nhvy, khi ni ng v%i m(i xA, ta c mt mnh P(x), ngha l khi

tnh ng sai ca P(x) c hon ton xc nh phthuc vo tng gi trca

xA.

V d: Cho hm mnh

P(x) = { x l sl)} ; xN

Ta c : P(1) l mnh ng

P(2) l mnh sai.

T*ng qut, v%i cc tp hp khng r(ng A1, A2, ..., An, sao cho ng v%i m(i

x1 A1, x2 A2, ..., xn An, ta c mt mnh , k hiu P(x1, x2, ...,xn). Ta ni P(x1,

x2, ...,xn) l mt hm mnh theo n bin x.

V d: Cho hm mnh

P(x,y,z) = { 2x + y - z = 0 } x,y,zZ

Ta c : P(x,y,z) l mnh ng khi x = 1, y = -1, z = 1.

P(x,y,z) l mnh sai khi x = 1, y = 1, z = 1.

2.1. Chng minh rng ( P l sai)

Da vo 2 dng cui ca bng chn tr, nhn thy rng khi P sai, bt chp kt

lun Q thno th mnh P&Q l lun ng. Vy, chng minh mnh

P&Q l ng, ngi ta ch'cn chng minh rng P l sai. Phng php chng

minh ny c gi l chng minh r(ng.

Phng php chng minh r(ng thng c s dng chng minh cc


5/12

trng hp !c bit ca nh l. Trng hp t*ng qut th nh l ny lun ng

v%i mi sn nguyn dng.

V d: Cho hm mnh P(n) = " Nu n>1 th n2>n "

Chng minh rng P(1) l ng.

Gii : Ta c P(1) = { Nu 1 >1 th 12>1 }

Nhn thy rng githit 1>1 l sai, bt chp kt lun 12

>1 l ng hay sai thP(1) l ng.

2.2. Chng minh tm thng (Q lng)

Da vo dng 1 v dng 3 ca bng chn tr, nhn thy rng khi Q ng, bt

chp gi thit P l ng hay sai th mnh P&Q l lun ng. Vy, chng

minh mnh P&Q l ng, ngi ta ch' cn chng minh rng Q l ng.

Phng php chng minh ny c gi l chng minh tm thng.

Phng php chng minh tm thng c$ng c sdng chng minh cc

trng hp !c bit ca nh l. Trng hp t*ng qut th nh l ny lun ng

v%i mi sn nguyn dng.

V d: Cho hm mnh

P(n) = { Nu a v b l 2 snguyn dng v a + b th an+b

n }

Chng minh rng P(0) l ng.

Gii : Ta c a0= b

0=1. Do a

0+b

0 l ng.

Vy P(0) l ng bt chp githit a+b l ng hay sai.

2.3. Chng minh trc tip

Trong dng 1 ca bng chn tr, mnh P ko theo Q c thc chng

minh bng cch ch'ra rng nu P ng th Q c$ng phi ng. Ngha l t*hp P

ng Q sai khng bao gixy ra. Phng php ny c gi l chng minh trc

tip.

Vy thc hin phng php chng minh trc tip, ngi ta gisrng P lng, sau sdng cc qui tc suy lun hay cc nh l ch'ra rng Q l ng

v kt lun P&Q l ng.

V d1: Chng minh rng { Nu n l sl)th n2l sl)}

Gii : Gisrng githit ca nh l ny l ng, tc l n l sl). Ta c

n = 2k + 1 ( k=0,1,2,...)


6/12

n2

= (2k + 1)2

= 4k2

+ 4k + 1

= 2(2k + 2k) + 1 l l).

Vy nu n l sl)th n2l sl).

V d2: Cho hm mnh P(n) = " Nu n>1 th n2>n "

Chng minh rng P(n) l ng v%i n l snguyn dng.

Gii : Gisn > 1 l ng, ta c :n = 1 + k ( k +1)

n2

= ( 1 + k )2

= 1 + 2k + k2

= (1 + k) + k + k2

> n

Vy Nu n>1 th n2>n .

2.4. Chng minh gin tip

V mnh P&Q Q &P. Do , chng minh mnh P&Q l

ng, ngi ta c thch'ra rng mnh Q &P l ng.

V d: Chng minh nh l { Nu 3n + 2 l sl)th n l sl)}

Gii : Gisngc li kt lun ca php ko theo l sai, tc n l ch,n.

Ta c n = 2k ( kN )

3n + 2 = 3.2k + 2 = 2( 3k + 1 ) l sch,n

Vy Nu 3n + 2 l sl)th n l sl)

Nhn xt

C nhng bi ton c th s dng phng php chng minh trc tip hay

gin tip u c c. Tuy nhin, c nhng bi ton khng thsdng phng

php chng minh trc tip c ho!c s dng trc tip th bi gii s"di dng

phc tp hn l s dng chng minh gin tip ( ho!c ngc li). y chnh l s

khc bit ca chng minh trc tip v chng minh gin tip.

V d1:

Sdng chng minh gin tip chng minh rng " Nu n>1 th n2>n "

Gii : Gisngc li kt lun ca php ko theo l sai, tc l n2< n. V n l

nguyn dng nn ta c thchia 2 vcho n m bt ,ng thc khng *i chiu. Ta

c : n < 1.

Vy tQ d#n n P. Do , Nu n>1 th n2>n.

V d2: Sdng chng minh trc tip chng minh rng " Nu 3n + 2 l s

l)th n l sl)".


7/12

Gii : Gis3n + 2 l sl)l ng. Nhn thy rng v 2 l sch,n nn suy ra

c 3n l sl). V 3 l sl)do n l sl).

Vy Nu 3n + 2 l sl)th n l sl).

-y chng ta phi chng minh thm nh l l tch ca 2 sl)l mt sl)th

bi gii ch!t ch"hn. Do , trong bi ton ny vic sdng chng minh gin tip

l hay hn dng trc tip.

chng minh mnh c dng :

(P1 P2 ... Pn) &Q

Chng ta c thsdng hng ng sau :

((P1 P2 ... Pn) &Q) .((P1&Q)

(P2&Q)

....

(Pn&Q))

Cch chng minh ny gi l chng minh tng trng hp.

V d3: Chng minh rng:

" Nu n khng chia ht cho 3 th n2khng chia ht cho 3".

Gii : Gi P l mnh "n khng chia ht cho 3" v Q l mnh "n2

khng

chia ht cho 3". Khi , P tng ng v%i P1P2. Trong :

P1= " n mod 3 =1"

P2= " n mod 3 =2"

Vy, chng minh P &Q l ng, c thchng minh rng:

(P1P2) &Q hay l (P1&Q )( P2&Q)

Gis P1l ng. Ta c, n mod 3 = 1. !t n = 3k + 1 ( k l snguyn no

). Suy ra

n2= ( 3k+1)

2= 9k

2+ 6k + 1 = 3(3k

2+ 2k) + 1 khng chia ch,n cho 3.

Do , P1&Q l ng.

Tng t, gis P2 l ng. Ta c, n mod 3 = 2. !t n = 3k + 2 ( k l s

nguyn no ).

Suy ra n2= ( 3k+2)

2= 9k

2+ 12k + 4 = 3(3k

2+ 4k + 1) + 1 khng chia ch,n

cho 3. Do , P2&Q l ng.

Do P1&Q l ng v P2&Q l ng, hay l (P1&Q )

( P2&Q). Vy

(P1P2) &Q.

2.5. Chng minh phn chng

Chng minh phn chng thng c s dng chng minh mnh P l


8/12

ng. Tr%c ht, ngi ta gisngc li rng P l sai hay P l ng. Tmnh

P l ng d#n n kt lun Q sao cho P&Q phi ng. Khi , ngi ta ch'

ra rng Q l mt mu thu/n, ngha l :

Q = R

R. (Sdc mu thu/n ny l do ta gisP l sai)

V Q phi ng v Q l F, suy ra rng P = F P = T.

Phng php chng minh phn chng thng c s dng chng minhnhng vn cbn v iu quan trng trong k0 thut ny l tm ra c mu

thu/n RR.

V d1: Chng minh rng " 2 l sv t'".

Gii : Gi P l mnh " 2 l sv t'". Gisngc li P l ng. Vy,

2 l shu t'( v tp sthc g1m 2 tp con l tp sv t'v tp shu t'. Hai

tp con ny khng c giao nhau). Khi a,b (a,bN) sao cho:

b

a=2 ( v%i a, b khng c %c chung hay phn sny l ti gin (mnh )).

Bnh phng hai v: 2 =2

2

b

a2b

2 = a

2a

2l sch,n a l sch,n.

!t a = 2c, cN.b

Ta c2 = 4c

2 b

2 = 2c

2 b

2l sch,n b l sch,n. Vy a, b u c

%c chung l 2 (mnh R). iu ny mu thu/n v a/b l ti gin. TP&R

R.

Sdc mu thu/n ny l do ta gis 2 l shu t'. Vy 2 phi l sv t'.

V d 2 :Mt trong nhng cch gii bi ton t1n ti l dng lp lun phn

chng. Cho 7 on th,ng c di l%n hn 10 v nhhn 100. Chng minh rng

lun tm c 3 on c thghp thnh mt tam gic.

Gii : Tr%c ht sp xp cc on cho theo thtt2ng dn ca di a1, a2,

..., a7, v chng minh rng trong dy xp lun tm c 3 on lin tip sao cho

t*ng ca 2 on u l%n hn on cui (v iu kin 3 on c thghp thnh

mt tam gic l t*ng ca 2 on nhhn on thba).

Gisiu cn chng minh l khng xy ra, ngha l 1ng thi xy ra cc bt

,ng thc sau:

a1+ a23 a3

a2+ a33 a4

a3+ a43 a5


9/12

a4+ a53 a6

a5+ a63 a7

Tgi thit a1, a2 c gi trl%n hn 10, ta nhn c a3> 20 . Ta2>10 v

a3> 20 ta nhn c a4> 30, a5> 50, a6> 80 v a7> 130. iu a7> 130 l

mu thu/n v%i githit cc di nhhn 100. C mu thu/n ny l do gis

iu cn chng minh khng xy ra.

Vy, lun t1n ti 3 on lin tip sao cho t*ng ca 2 on u l%n hn on

cui. Hay ni cch khc l 3 on ny c thghp thnh mt tam gic.

2. 6.Chng minh qui np

Giscn tnh t*ng n snguyn l)u tin. V%i n = 1,2,3,4,5 ta c :

n = 1: 1 = 1 = 12

n = 2: 1 + 3 = 4 = 2

2

n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 3

2

n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

n = 5: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

Tcc kt quny ta don t*ng n snguyn l)u tin l n2. Tuy nhin,

chng ta cn c phng php chng minh don trn l ng.

Qui np ton hc l mt k0thut chng minh rt quan trng. Ngi ta dng n

chng minh nhng kt qu c da trn ssuy lun no nhv d trn.

Tuy nhin, qui np ton hc ch'dng chng minh cc kt qunhn c bng

mt cch no chkhng l cng cpht hin ra cng thc.

Nguyn l chng minh qui np yu

Nhiu nh l pht biu rng P(n) l ngn nguyn dng, trong P(n) l

hm mnh , k hiu nP(n). Qui np ton hc l mt k0thut chng minh cc

nh l thuc dng trn. Ni cch khc qui np ton hc thng sdng chng

minh cc mnh dngnP(n).

Nguyn l chng minh qui np yu bao g1m 2 b%c :

- Kim tra P(x0) l ng v%i x0l gi tru tin ca dy sn

- Gisrng P(k) l ng khi n=k. T suy ra rng P(k+1) l ng.

Ta c cch vit ca suy lun trn nhsau:

[P(x0)

(P(k)&P(k+1))] &nP(n)


10/12

Nguyn l chng minh qui np mnh

Cho P(n) l mt ,ng thc c cha bin n, nu P(0) l ng v nu (P(0)

P(1)

P(2)

P(3)

...P(k)) &P(k+1) l ng th P(n) l mnh ng n (v%i 0 l

phn tu tin).

Ch rng,to ra githit qui np vi nguyn tc qui np yu, ngi ta

chgithit rng P(k) lng ti n=k. Vi nguyn tc qui np mnh, ngi ta

chra rng githitng cho tt c cc mnh P(0)

P(1)

P(2

P(3 )

...P(k).y chnh l skhc bit cbn ca 2 nguyn tc qui np vi githit

yu v githit mnh.

V d1: Chng minh rng tch ca 3 slin tip lun chia ht cho 6.Gii : !t P(n) = {n.(n+1).(n+2) chia ht cho 6} (n nguyn dng)

Ta c : P(1) = 1.2.3 chia ht cho 6. Mnh ng.

P(2) = 2.3.4 chia ht cho 6. Mnh ng.

P(3) = 3.4.5 chia ht cho 6. Mnh ng.

................................

Gis n3k ta c P(k) l ng. Ngha l : k.(k+1).(k+2) chia ht cho 6.

Cn chng minh rng P(k+1) l ng.

Nhn thy: (k+1)(k+2)(k+3) = k.(k+1).(k+2) + 3.(k+1).(k+2)

Trong : k.(k+1).(k+2) chia ht cho 6. 2 stV 3.(k+1).(k+2) chia ht

cho 6 = 2.3 (v (k+1).(k+2) l tch ca hai stnhin lin tip nn chia ch,n

cho 2).

V t*ng ca 2 schia ht cho 6 s"chia ht cho 6 (sinh vin tchng minh), do

(k+1).(k+2)(k+3) chia ht cho 6. P(n) ng v%i mi n nguyn dng.

V d2: Chng minh rng nu n l mt snguyn l%n hn 1, khi n c thc vit d%i dng tch ca cc snguyn t.

Gii : !t P(n) = { n = a.b...c } (a, b,..,c l cc snguyn t)

Ta c P(2) = { 2= 2.1}

P(3) = { 3= 3.1}

P(4) = { 4= 2.4}

......................


11/12

P(18) = { 6.3= 3.2.3}

..........................l cc mnh ng.

GisP(n) ng n+2 ta c P(k) l ng.

Cn chng minh rng P(k+1) l ng.

V%i n = k+1 ta c 2 trng hp xy ra nhsau:

- k+1 l snguyn t : k+1 = (k+1).1 P(k+1) ng- k+1 khng l snguyn t(hp s): k+1 = a.b ( a,b,[2,k] )

Theo githit qui np mnh, a, b c thl snguyn tho!c l tch ca cc s

nguyn t. Vy nu k+1 l hp sth n c$ng s"c vit d%i dng tch ca cc s

nguyn t. P(n) ng vi mi n +2.

V d3: Chng minh rng mi bu ph bng hay l%n hn 12 xu u c thto

ra bng cc con tem 4 xu hay 5 xu.

Gii : !t P(n) = { n = 4 + ...+ 5+....}

Ta c : P(12) = { 12 = 4 + 4 + 4}

P(13) = { 13 = 4 + 4 + 5}

P(14) = { 14 = 4 + 5 + 5}

P(15) = { 15 = 5+ 5 + 5}

P(16) = { 16 = 4 + 4 + 4 + 4 }

P(17) = { 17 = 4 + 4 + 4 + 5 }

Gis n > 15 v P(n) l ng. Nht thy rng to ra bu ph (n+1) xu ta ch'cn dng con tem n-3 xu v cng thm mt tem 4 xu.


12/12

BI TP CHNG 13:

1. Cho 2 vtP(x) xc nh nhsau:

P(x) = {x 33}

Q(X) = {x+ 1 l sl)}

GiaoTrinhCTRR_C13_CacPPChungMinh

Documents

Transcript of GiaoTrinhCTRR_C13_CacPPChungMinh