[Giao Trinh] Tin Hieu Va He Thong Tuyen Tinh

Chương I

- 1 -

Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Nội dung chính chương này trình bày về:

- Các định nghĩa tín hiệu và hệ thống

- Mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống

- Phân loại tín hiệu

- Các phép toán cơ bản trên tín hiệu

- Các đặc điểm của tín hiệu

- Các phương pháp biểu diễn hệ thống

- Các đặc điểm của hệ thống

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN “That’s one small step for man- one giant leap for mankind”. Với câu nói nổi tiếng này, Commander Neil Amstrong đã bước ra khỏi phi thuyền, đặt chân lên bề mặt mặt trăng và trở thành người đầu tiên trên mặt trăng. Tiếng nói, hình ảnh bước đi của Commander Amstrong đã được truyền qua một đường truyền từ phi thuyền qua vệ tinh xuống trạm mặt đất, phân phát qua mạng truyền hình đến các máy thu hình tại gia đình. Chúng ta gọi đường truyền đó là hệ thống thông tin (communication system). Chức năng của hệ thống này là gởi tín hiệu tiếng nói và video từ phi thuyền trên mặt trăng xuống máy thu hình gia đình. Các thành phần của hệ thống gồm các thiết bị phục vụ cho việc phát, xử lý và thu nhận tín hiệu. Hệ thống thông tin ở đây là một phần của một hệ thống khác lớn hơn- hệ thống thám hiểm mặt trăng.

Chúng ta vừa nhắc đến hai thuật ngữ- “tín hiệu” (signal) và “hệ thống” (system) trong ví dụ trên. Hai từ này được sử dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kỹ thuật, khoa học, kinh tế, chăm sóc sức khỏe, chính trị… Trong môn học này, ta tập trung xét hệ thống là một phần hoặc ghép nối một số phần của thiết bị và phân tích ảnh hưởng của nó lên các tín hiệu đi qua nó. Công cụ sử dụng để phân tích tín hiệu và hệ thống là một số công cụ toán học hiệu quả và thông dụng.

Chúng ta sẽ bắt đầu với việc định nghĩa hai thuật ngữ “tín hiệu” và “hệ thống”. Đồng thời cũng xem xét mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống.

1.1.1 Định nghĩa tín hiệu và hệ thống Trước hết ta xét một ví dụ minh họa, từ đây ta đưa ra định nghĩa tín hiệu và hệ thống.

Ta xét mạch điện sau:

Chương I

- 2 -

Mạch điện trên được gọi là hệ thống (system). Các điện trở, tụ điện, cuộn dây tạo nên hệ thống được gọi là thành phần của hệ thống (system component). Điện áp và dòng điện biến thiên theo thời gian trong mạch gọi là tín hiệu (signal).

Như vậy, ta có các định nghĩa sau:

1. Hệ thống là tập hợp các đối tượng vật lý có quan hệ nào đó với nhau

2. Các đối tượng vật lý đó được gọi là các thành phần của hệ thống.

3. Tín hiệu là các đại lượng vật lý biến thiên có trong hệ thống.

Căn cứ vào vị trí của tín hiệu trong hệ thống, ta phân tín hiệu ra thành tín hiệu vào, tín hiệu trung gian hay tín hiệu nội bộ và tín hiệu ra.

Tín hiệu vào (input signal) là tín hiệu đưa vào hệ thống từ một nguồn nào đó. Tín hiệu ra (output signal) là tín hiệu tạo ra bởi hệ thống đáp ứng với tín hiệu vào. Tín hiệu có ở bên trong hệ thống, không phải tín hiệu vào, cũng không phải tín hiệu ra là tín hiệu nội bộ (internat signal) .

1.1.2 Mô hình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống Việc phân tích tín hiệu và hệ thống cho phép ta xác định được các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống cũng như cách thực hiện hệ thống. Một ví dụ về đặc điểm của tín hiệu là dạng sóng tín hiệu. Một ví dụ về đặc điểm của hệ thống là độ lợi hệ thống. Xác định được các đặc điểm này sẽ giúp ta biết được hệ thống có đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật đề ra hay không.

Việc phân tích tín hiệu và hệ thống yêu cầu phải có một mô hình toán học (mathematical model) biểu diễn tín hiệu và hệ thống. Mô hình đó là các phương trình toán học biểu diễn tín hiệu và hệ thống.

1. Ví dụ về mô hình toán:

Xét hệ thống chiếu sáng hành lang toà nhà:

Mô hình của tín hiệu vào- ở đây là tín hiệu điện áp, như sau:

∞<<∞−π= t]V[)t60.2cos(2120)t(v

Mô hình của một thành phần của hệ thống- ở đây là một bóng đèn, như sau:

R)t(v)t(i =

Chương I

- 3 -

với v(t) là điện áp đặt trên hai đầu điện trở, i(t) là dòng chạy qua điện trở và R là điện trở của dây tóc bóng đèn.

Mô hình toán của tín hiệu ra- ở đây là dòng yêu cầu bởi hệ thống, như sau:

]A[)t(vR1

R1

R1

R)t(v

R)t(v

R)t(v)t(i

321321a ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++=

Đây cũng là mô hình toán của hệ thống, vì nó biểu diễn cho quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra và các thành phần của hệ thống.

Giả sử các điện trở là: Ω=+= 100RRR 321 thì:

∞<<∞−π= t]A[)t60.2cos(091.5)t(ia

Mô hình này chỉ ra dạng sóng của dòng yêu cầu bởi hệ thống là dạng sin với biên độ là 5.091A.

2. Ý nghĩa của mô hình toán:

Mô hình toán cho phép ta phân tích tín hiệu và hệ thống một cách định lượng, để từ đó có thể so sánh, đánh giá hệ thống.

Mô hình toán cho phép ta thiết kế tín hiệu và hệ thống để đạt được các yêu cầu đề ra. Ta thiết kế tín hiệu và hệ thống bằng cách:

(a) Thay đổi các giá trị của các thông số của tín hiệu và hệ thống.

(b) Phân tích định lượng ảnh hưởng của sự thay đổi này đến các đặc trưng của tín hiệu và hệ thống.

(c) Sử dụng các ảnh hưởng này để chọn giá trị tốt nhất của thông số.

Thường thì bài toán thiết kế đã cho sẵn tín hiệu vào và việc phân tích hay thiết kế là thực hiện trên tín hiệu đó. Ví dụ như thiết kế bộ lọc các nhiễu không mong muốn như là nhiễu khí quyển trong máy thu radio. Nhưng cũng có trường hợp ta cần phải thay đổi tín hiệu vào cho đến khi có tín hiệu tối ưu. Ví dụ như trong hệ thống vô tuyến, ta cần thay đổi tín hiệu vào bằng cách điều chế để có thể phát xạ tín hiệu đó bằng anten. Bài toán thiết kế trong trường hợp này là thiết kế tín hiệu.

Thực tế ta không thể tìm được một mô hình toán học chính xác cho tín hiệu và hệ thống vật lý bởi vì có quá nhiều thông số liên quan. Ví dụ như mô hình biểu diễn tín hiệu điện áp trong ví dụ trên không phải là một mô hình chính xác. Lý do là tín hiệu điện áp thực tế không hoàn toàn là tín hiệu sin do trường điện từ ở bộ phát không hoàn toàn đồng nhất. Ngoài ra, các kết nối và cách điện không hoàn hảo cũng tạo ra nhiễu làm thay đổi tín hiệu đôi chút. Hơn nữa điện áp cũng không tồn tại khi −∞=t hay +∞=t . Mô hình toán của điện trở cũng không hoàn toàn chính xác vì giá trị điện trở không hoàn toàn là hằng số mà thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt độ lại phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường, dòng chạy qua điện trở… Điện trở cũng có thay đổi chậm theo thời gian và chuyển động ngẫu nhiên của các electron trong điện trở tạo ra nhiễu điện áp đặt trên hai đầu của nó.

Điều ta muốn là đơn giản hóa mô hình toán học chính xác càng nhiều càng tốt để giảm bớt độ phức tạp trong phân tích. Khi đơn giản hóa, ta bỏ qua các thông số ít ảnh hưởng lên các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống.

Cần lưu ý rằng các phương trình sử dụng để biểu diễn các tín hiệu và hệ thống ở đây chỉ là mô hình chứ không phải là tín hiệu thực sự hay hệ thống thực sự.

Chương I

- 4 -

1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU Tín hiệu(signal) dùng để chỉ một đại lượng vật lý biến thiên mang tin tức. Về mặt toán học, ta có thể mô tả tín hiệu như là một hàm theo biến thời gian, không gian hay các biến độc lập khác. Chẳng hạn như, hàm: 2( ) 20x t t= mô tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t. Hay một ví dụ khác, hàm: 2( , ) 3 5s x y x xy y= + + mô tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x và y, trong đó x và y biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng.

Hai tín hiệu trong ví dụ trên thuộc về lớp tín hiệu có thể được biểu diễn chính xác bằng hàm theo biến độc lập. Tuy nhiên, trong thực tế, các mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý và các biến độc lập thường rất phức tạp nên không thể biểu diễn tín hiệu như trong hai ví dụ vừa nêu trên.

Lấy ví dụ tín hiệu tiếng nói- đó là sự biến thiên của áp suất không khí theo thời gian. Chẳng hạn khi ta phát âm từ “away”, dạng sóng của từ đó được biểu diễn trên hình sau:

Ví dụ tín hiệu tiếng nói

Một ví dụ khác là tín hiệu điện tâm đồ (ECG)- cung cấp cho bác sĩ những tin tức về tình trạng tim của bệnh nhân, hay là tín hiệu điện não đồ (EEG) cung cấp tin tức về hoạt động của não.

Các tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG là các ví dụ về tín hiệu mang tin có thể biểu diễn là hàm theo biến thời gian. Thực tế có những tín hiệu là hàm theo nhiều biến độc lập. Ví dụ như tín hiệu ảnh (image)- là sự thay đổi của cường độ ánh sáng theo không gian, có thể xem là hàm độ sáng theo hai biến không gian.

Tất cả các tín hiệu đều do một nguồn nào đó tạo ra, theo một cách thức nào đó. Ví dụ tín hiệu tiếng nói được tạo ra bằng cách ép không khí đi qua dây thanh âm. Một bức ảnh có được bằng cách phơi sáng một tấm phim chụp một cảnh/ đối tượng nào đó. Quá trình tạo ra tín hiệu như vậy thường liên quan đến một hệ thống, hệ thống này đáp ứng lại một kích thích nào đó. Trong tín hiệu tiếng nói, hệ thống là hệ thống phát âm, gồm môi, răng, lưỡi, dây thanh... Kích thích liên quan đến hệ thống được gọi là nguồn tín hiệu (signal source). Như vậy ta có nguồn tiếng nói, nguồn ảnh và các nguồn tín hiệu khác.

Để tìm hiểu về tín hiệu, trước tiên ta cần xem qua cách phân loại tín hiệu. Có nhiều cách phân loại tín hiệu khác nhau tuỳ vào từng ứng dụng cụ thể.

1.2.1 Tín hiệu nhiều hướng và tín hiệu nhiều kênh Như đã nói trên, tín hiệu có thể được mô tả là hàm theo một hoặc nhiều biến độc lập. Nếu tín hiệu là hàm theo một biến, ta gọi đó là các tín hiệu một hướng (one-dimention signal), như tín hiệu điện áp, tiếng nói, ECG, EEG. Ngược lại ta gọi là tín hiệu nhiều hướng (multi-dimention signal), ví dụ như tín hiệu ảnh trắng đen, mỗi điểm ảnh là hàm theo 2 biến độc lập.

Chương I

- 5 -

Trong một số ứng dụng, tín hiệu được tạo ra không phải từ một mà là nhiều nguồn hay nhiều bộ cảm biến. Các tín hiệu như vậy được gọi là tín hiệu đa kênh (multi-channel signal). Bức ảnh màu sau là một ví dụ về tín hiệu 2 hướng, 3 kênh.

Ví dụ tín hiệu ảnh màu (2 hướng- 3 kênh)

Ta thấy độ sáng I(x,y) ở mỗi một điểm là hàm theo 2 biến không gian độc lập, độ sáng này lại phụ thuộc vào độ sáng của 3 màu cơ bản red, green và blue.

Một ví dụ khác, tín hiệu ảnh TV màu là tín hiệu 3 hướng- 3 kênh, có thể biểu diễn bởi vector sau :

r

g

b

I (x, y, t)I(x, y, t) I (x, y, t)

I (x, y, t)

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Trong giáo trình này, ta tập trung xét tín hiệu một hướng- một kênh, biến là biến thời gian (mặc dù thực tế không phải lúc nào biến cũng là biến thời gian)

1.2.2 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục (continuous-time signal) hay còn gọi là tín hiệu tương tự là tín hiệu được xác định tại tất cả các thời điểm. Về mặt toán học, có thể mô tả tín hiệu này là hàm của một biến liên tục, ví dụ tín hiệu tiếng nói.

Tín hiệu rời rạc (discrete-time signal) chỉ được xác định tại một số thời điểm rời rạc nào đó. Khoảng cách giữa các thời điểm này không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng trong thực tế thường là lấy bằng nhau để dễ tính toán. Có thể tạo ra tín hiệu rời rạc từ tín hiệu liên tục bằng 2 cách. Một là lấy mẫu tín hiệu liên tục, hai là đo hay đếm một đại lượng vật lý nào đó theo một chu kỳ nhất định, ví dụ cân em bé hàng tháng, đo áp suất không khí theo giờ...

Tín hiệu ntnx(t ) e , n 0, 1, 2, 3,...−= = ± ± ± là một ví dụ về tín hiệu rời rạc. Ta có thể dùng

biến nguyên n thay cho biến thời gian rời rạc tn. Lúc này, tín hiệu trở thành một hàm theo biến nguyên, về mặt toán ta có thể biểu diễn tín hiệu rời rạc là một dãy số (thực hoặc phức). Ta sử dụng ký hiệu x(n) thay cho x(tn), nghĩa là tn = nT với T là hằng số- khoảng cách giữa hai thời điểm rời rạc cạnh nhau. Hình sau là một ví dụ về tín hiệu tiếng nói rời rạc.

I(x1,y)

x1

y1

y

x

Chương I

- 6 -

Hình 1.3 Ví dụ tín hiệu rời rạc

Trong môn học này, ta tập trung xét tín hiệu liên tục và hệ thống hoạt động với tín hiệu liên tục ở đầu vào, tạo ra tín hiệu liên tục ở đầu ra. Hệ thống đó gọi là hệ thống liên tục (continuous-time system).

1.2.3 Tín hiệu biên độ liên tục và biên độ rời rạc

Biên độ của cả tín hiệu liên tục và rời rạc đều có thể liên tục hay rời rạc.

Nếu tín hiệu có tất cả các giá trị trong một dải biên độ nào đó thì ta gọi đó là tín hiệu biên độ liên tục (continuous-valued signal). Ngược lại, nếu tín hiệu chỉ lấy một số giá trị nào đó (còn gọi là mức) trong một dải biên độ thì đó là tín hiệu biên độ rời rạc (discrete-valued signal). Khoảng cách giữa các mức biên độ này có thể bằng nhau hay không bằng nhau. Thường thì ta biểu diễn các mức biên độ này bằng một số nguyên, đó là bội số của khoảng cách giữa hai mức biên độ cạnh nhau. Tín hiệu rời rạc theo cả thời gian và biên độ được gọi là tín hiệu số (digital signal). Hình sau là một ví dụ về tín hiệu số.

Ví dụ tín hiệu số với 6 mức biên độ khác nhau

1.2.4 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên Dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu, ta có một cách phân loại tín hiệu khác.

Các tín hiệu có thể được mô tả duy nhất bằng một biểu diễn toán học rõ ràng như là phương trình, đồ thị, bảng dữ liệu... được gọi là tín hiệu xác định (deterministic signal). Từ “xác định” ý muốn nhấn mạnh là ta biết rõ và chắc chắn các giá trị của tín hiệu trong quá khứ, hiện tại và tương lai.

Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng thực tế, có những tín hiệu không thể biểu diễn chính xác bằng các công thức toán học hay những mô tả toán như vậy là quá phức tạp. Ta không thể đoán trước sự biến thiên của các giá trị của loại tín hiệu này. Ta gọi đây là tín hiệu ngẫu nhiên (random signal). Ví dụ tín hiệu nhiễu là tín hiệu ngẫu nhiên.

Ta cần lưu ý rằng việc phân loại tín hiệu thực thành xác định hay ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng rõ ràng. Đôi khi, xem tín hiệu là xác định hay ngẫu nhiên đều dẫn đến những kết

Chương I

- 7 -

quả có ý nghĩa. Nhưng đôi khi, việc phân loại sai sẽ dẫn đến kết quả bị lỗi, bởi vì có những công cụ toán chỉ có thể áp dụng cho tín hiệu xác định, trong khi các công cụ khác lại chỉ áp dụng cho tín hiệu ngẫu nhiên. Điều này sẽ trở nên rõ ràng hơn khi ta kiểm tra các công cụ toán cụ thể.

Trong môn học này, ta tập trung xét tín hiệu xác định.

1.3 CÁC PHÉP TOÁN CƠ SỞ TRÊN TÍN HIỆU

Có ba phép toán cơ bản trên tín hiệu thường xuất hiện trong hệ thống và trong phân tích hệ thống. Đó là phép thay đổi thang thời gian, đảo thời gian và dịch thời gian. Mỗi phép toán này tạo ra một sự biến đổi khác nhau đối với biến thời gian trong mô hình toán học của tín hiệu.

1.3.1 Phép thay đổi thang thời gian Phép thay đổi thang thời gian là nén hoặc giãn tín hiệu theo trục thời gian.

Ví dụ khi truyền dữ liệu từ vệ tinh xuống trạm mặt đất, ta rời rạc hóa tín hiệu thành các mẫu rời rạc, lưu các mẫu lại rồi nén tín hiệu bằng cách thu hẹp khoảng cách giữa hai mẫu cạnh nhau để giảm thời gian truyền tín hiệu. Xuống đến trạm mặt đất, tín hiệu rời rạc bị nén sẽ được giãn ra như lúc đầu, sau đó được khôi phục lại thành tín hiệu liên tục.

Đối với tín hiệu liên tục, để thay đổi thang thời gian với hệ số là b > 0, ta thay t bằng bt trong mô hình tín hiệu. Nói chung, tín hiệu x(bt) là một phiên bản nén thời gian của x(t) nếu b > 1 và là phiên bản giãn thời gian của x(t) nếu b < 1.

Ví dụ: b = 0.5 và b = 2

Chương I

- 8 -

1.3.2 Phép đảo thời gian Phép toán này phản xạ tín hiệu qua một trục đi ngang gốc thời gian t = 0, nghĩa là nó đảo ngược tín hiệu trên trục thời gian.

Ví dụ tín hiệu ảnh chuyển động có được khi ta quay ngược cuốn film.

Đối với tín hiệu liên tục, ta đảo thời gian bằng cách thay t bằng -t trong mô hình tín hiệu.

Ví dụ:

1.3.3 Phép dịch thời gian

Phép dịch thời gian là phép dịch tín hiệu sang phải hoặc trái một khoảng thời gian nào đó.

Đối với tín hiệu liên tục, phép dịch thời gian sang phải t1 giây là phép thay t bằng t – t1 (t1>0) trong mô hình tín hiệu, phép dịch thời gian sang trái là phép thay t bằng t + t1 (t1>0) trong mô hình tín hiệu. Nói cách khác, x(t - t1) là phiên bản dịch phải hay trễ của x(t) và x(t + t1) là phiên bản dịch trái hay sớm của x(t).

Ví dụ tiếng sấm ta nghe được bị trễ đi so với khi thấy ánh chớp của sét trên bầu trời. Trong ví dụ này, ta có: 0v/rt s1 >= với r là khoảng cách từ chỗ ta đứng đến chỗ phát ra tia chớp và vs là vận tốc của âm thanh trong không khí.

Ví dụ:

Chương I

- 9 -

1.3.4 Kết hợp các phép toán Ta có thể kết hợp nhiều phép toán với nhau trên cùng một tín hiệu. Trong trường hợp này, tín hiệu kết quả sẽ không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện các phép toán.

1. Kết hợp phép thay đổi thang thời gian với phép đảo thời gian

Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần thay đổi thang thời gian với b = 2 và nén, ta có thể thực hiện hai cách như sau:

- nén x(t) đi 2 lần ta được x(2t), sau đó đảo thời gian x(2t) ta được x(-2t).

- đảo thời gian trước ta được x(-t), sau đó nén x(-t) ta được x(-2t) trùng với kết quả trên.

2. Kết hợp phép thay đổi thang thời gian với phép dịch thời gian

Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần thay đổi thang thời gian với b = 0.5 và dịch phải với t1 = 1, ta thực hiện hai cách như sau:

- giãn x(t) ta được x(0.5t), sau đó dịch sang phải ta được x(0.5(t-1)) = x(0.5t – 0.5)

- dịch x(t) sang phải ta được x(t – 1), sau đó giãn ta được x(0.5(t-1)) = x(0.5t – 0.5) trùng với kết quả trên.

3. Kết hợp phép dịch thời gian với phép đảo thời gian

Ta có tín hiệu x(t), giả sử ta cần dịch thời gian với t1 = 1 và đảo, ta có thể thực hiện hai cách như sau:

- đảo x(t) ta được x(-t), sau đó dịch phải ta được: x(-(t-1)) = x(-t+1)

- dịch phải trước ta được x(t – 1), sau đó đảo thời gian ta được x(-(t-1)) = x(-t+1) trùng với kết quả trên.

Ví dụ:

(a) t2)t(x −=

(b) ⎩⎨⎧

≤≤−<≤−

=2t0,t2

0t3,2)t(y

Chương I

- 10 -

Chương I

- 11 -

1.4 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA TÍN HIỆU Tín hiệu có thể được mô tả bằng nhiều đặc điểm khác nhau của nó. Sau đây ta xét một số đặc điểm quan trọng của tín hiệu.

1.4.1 Tín hiệu đơn hàm và đa hàm Tín hiệu đơn hàm (simply-defined signal) là tín hiệu có mô hình toán học là một phương trình duy nhất trên toàn trục thời gian

Ngược lại, tín hiệu đa hàm (piecewise-defined signal) là tín hiệu có mô hình toán là một tập hợp các phương trình và mỗi phương trình như vậy chỉ có giá trị trong một đoạn thời gian nào đó.

Ví dụ:

Tín hiệu 1t)t(x 2 −= là tín hiệu đơn hàm.

Tín hiệu ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥==

−−

0t,e0t,e

e)t(xt

t|t| là tín hiệu đa hàm.

1.4.2 Tín hiệu chẵn và lẻ Chẵn (even) và lẻ (odd) là hai đặc điểm của tín hiệu dùng để mô tả mối quan hệ giữa các giá trị của tín hiệu trong miền thời gian dương với các giá trị của tín hiệu trong miền thời gian âm.

Tín hiệu chẵn có cùng giá trị tại t = t1 và t = -t1 với t1 bất kỳ, nghĩa là x(t1) = x(-t1)

Ngược lại, tín hiệu lẻ có giá trị tại t = t1 ngược dấu với giá trị của tín hiệu tại t = -t1 với t1 bất kỳ, nghĩa là x(t1) = -x(-t1).

Trên đồ thị, tín hiệu chẵn đối xứng qua trục tung và tín hiệu lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

Hầu hết tín hiệu không chẵn cũng không lẻ. Tuy nhiên, ta có thể phân tích tín hiệu đó ra thành tổng của hai tín hiệu- tín hiệu chẵn xe(t) và tín hiệu lẻ xo(t) như sau:

)t(x)t(x)t(x oe +=

với

)t(x))t(x)t(x(21)t(x ee −=−+=

và

)t(x))t(x)t(x(21)t(x 00 −=−−=

Chương I

- 12 -

1.4.3 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn (periodic signal) là tín hiệu được lặp lại liên tục sau một khoảng thời gian nào đó. Khoảng thời gian đó được gọi là chu kỳ (periodic). Như vậy, tín hiệu tuần hoàn có giá trị như nhau tại những thời điểm cách nhau một chu kỳ.

Về mặt toán học, tín hiệu x(t) là tuần hoàn khi và chỉ khi tồn tại một giá trị T0 > 0 sao cho:

t)t(x)Tt(x 0 ∀=+

Những tín hiệu không thoả điều kiện trên là không tuần hoàn (aperiodic signal)

Giá trị T0 nhỏ nhất trong các giá trị của T0 gọi là chu kỳ cơ bản (fundamental period). Định nghĩa này đúng ngoại trừ trường hợp tín hiệu là hằng số. Lúc này T0 có thể lấy giá trị bất kỳ nên không có giá trị T0 nhỏ nhất.

Ta có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dưới dạng tổng của vô số tín hiệu, mỗi tín hiệu là một chu kỳ:

∑∞

−∞=

−=i

0p )iTt(x)t(x

với

⎩⎨⎧

≠+≤≤

=t0

Tttt)t(x)t(x 011

p

Lưu ý: 1. Tổng của M tín hiệu tuần hoàn chưa chắc là tín hiệu tuần hoàn.

2. Không có tín hiệu vật lý nào là hoàn toàn tuần hoàn vì tín hiệu vật lý không bắt đầu và kết thúc ở vô cùng. Tuy nhiên, nếu nó lặp lại có chu kỳ trong một khoảng thời gian đủ dài thì ta có thể xem nó là tuần hoàn.

Ví dụ một cái quạt điện, sau khi bật được vài giây, nó sẽ đạt được một tốc độ ổn định không phụ thuộc vào thời điểm nó được bật/tắt, do đó khi cần tính dòng hay là công suất chẳng hạn, ta coi như là cái quạt đó đã được bật lên vào lúc −∞=t và sẽ được tắt đi vào lúc ∞=t và tín hiệu điện áp nguồn cung cấp cho quạt là dạng sin.

Chương I

- 13 -

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN HỆ THỐNG Cùng với mô hình toán học là phương trình hệ thống thì việc biển diễn hệ thống bằng các công cụ khác giúp ta thực hiện bài toán phân tích hệ thống. Mô hình toán giúp ta tính toán, phân tích định lượng các thông số trong hệ thống. Các phương pháp biểu diễn khác giúp ta nhìn thấy rõ sự kết nối giữa các thành phần hoặc là các phép toán trong hệ thống.

1.5.1 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối

Đối với nhiều hệ thống thì việc biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ khối (block diagram) rất thuận tiện cho việc phân tích.

Trong sơ đồ khối, các phép toán trên tín hiệu được biểu diễn bằng các khối- là các hộp/vòng tròn có ghi ký hiệu bên trong. Đường đi của tín hiệu được biểu diễn bằng các đoạn thẳng kết nối các hộp/vòng tròn đó. Cuối các đoạn thẳng có mũi tên chỉ chiều đi của tín hiệu. Tín hiệu đi trên mỗi đường được ghi bên trong đoạn thẳng nối hay cuối đoạn thẳng.

Các phép toán cơ sở trong hệ thống gồm: nhân với hằng số, đạo hàm, tích phân, cộng hai tín hiệu. Ký hiệu các khối này như hình sau:

Dựa vào sơ đồ khối ta phân hệ thống ra thành hai loại: hệ có một đầu vào-một đầu ra (single-input, single-output system) và hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra (multi-input, multi output system).

Ví dụ: Hệ có một đầu vào-một đầu ra Hệ có nhiều đầu vào-nhiều đầu ra

Khối nhân

x1(t)+x2(t)

x2(t)

dt)t(dx

ττ∫∞−

d)(xt

Kx(t)

x1(t)

x(t)

x(t)

K

∫∞−

t

dtd

x(t)

Khối tích phân

Khối đạo hàm

Khối cộng

y(t) x1(t)

x2(t)

x(t) ∫∞−

t

K

Chương I

- 14 -

Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có một đầu vào-một đầu ra. Công cụ sử dụng để phân tích hệ một đầu vào-một đầu ra cũng hữu hiệu đối với phân tích hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra vì ta có thể xem hệ nhiều đầu vào-nhiều đầu ra là ghép nối của các hệ con một đầu vào-một đầu ra.

Từ sơ đồ khối, ta có thể tìm được phương trình biểu diễn hệ thống.

Ví dụ:

Ta xét ví dụ hệ một đầu vào-một đầu ra trên đây.

Ta viết 3 phương trình cho 3 thành phần của hệ thống là khâu cộng, tích phân và nhân như sau:

Kết hợp 3 phương trình trên, ta được phương trình hệ thống như sau:

)t(x)t(Kydt

)t(dy=+

1.5.2 Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ thành phần hệ thống Ta có thể mô tả hệ thống một cách rõ ràng và chi tiết hơn bằng sơ đồ thành phần hệ thống (system-component diagram). Sơ đồ này gồm các ký hiệu và các đoạn thẳng biểu diễn cho các thành phần của hệ thống và kết nối các thành phần đó.

Ví dụ hệ thống là một mạch điện thì các thành phần của hệ thống gồm các linh kiện như điện trở, cuộn dây, tụ điện, các nguồn điện như nguồn dòng, nguồn áp, các tín hiệu như dòng, áp…

Từ sơ đồ thành phần hệ thống, ta cũng có thể tìm được phương trình biểu diễn hệ thống.

Ví dụ: Tìm phương trình của hệ thống là mạch điện sau. Cho biết tín hiệu vào là v1(t) và tín hiệu ra là v2(t).

Phương trình hệ thống: dt

)t(dv)t(vCR

dt)t(dv 1

22 =+

∫∞−

ττ=

=−=

t

1

2

21

d)(x)t(y

)t(Ky)t(x)t(x)t(x)t(x

Chương I

- 15 -

1.6 CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA HỆ THỐNG Trên đây ta đã xét các sơ đồ dùng để biểu diễn hệ thống bên cạnh mô hình toán học. Trong phần này ta sẽ xét các đặc điểm của hệ thống và mối liên quan giữa mô hình toán học với các đặc điểm của một hệ vật lý.

1.6.1 Hệ có thông số tập trung và thông số phân tán Tín hiệu không truyền tức thời qua các thành phần của hệ thống. Ví dụ tín hiệu điện là tín hiệu điện từ truyền với tốc độ bằng tốc độ ánh sáng. Như vậy, các giá trị của tín hiệu là hàm theo cả không gian và thời gian.

Tuy nhiên, nếu tín hiệu biến đổi chậm trong thời gian truyền qua một khoảng cách nào đó thì tín hiệu gần như là hằng số trong khoảng cách đó. Nếu khoảng cách đó lớn hơn khoảng cách giữa hai thành phần hệ thống thì tín hiệu truyền giữa hai thành phần đó chỉ là hàm theo thời gian. Ta chỉ cần dùng phương trình hệ thống thông thường phụ thuộc biến thời gian là đủ để biểu diễn hệ thống. Ta gọi hệ như vậy là hệ có thông số tập trung (lumped-parameter system).

Thực tế có những hệ thống có khoảng cách giữa hai thành phần hệ thống quá nhỏ so với khoảng cách mà tín hiệu là hằng số trong khoảng đó. Ta gọi những hệ như vậy là hệ có thông số phân tán (distribited-parameter system). Ví dụ như, hệ thống là đường truyền tải điện Bắc-Nam dài cả ngàn cây số, ta không thể xem tín hiệu là hằng số khi truyền qua một khoảng cách xa như vậy, ngay cả khi tín hiệu thay đổi rất ít. Một ví dụ khác là bộ khuếch đại vi ba, tín hiệu thay đổi quá nhanh nên không thể xem là hằng số được mặc dù khoảng cách giữa hai thành phần hệ thống rất nhỏ. Đối với hệ có thông số phân tán, ta phải dùng phương trình phụ thuộc vào cả biến không gian và thời gian mới đủ để biểu diễn hệ thống.

Trong môn học này, ta chỉ xét hệ có thông số tập trung.

1.6.2 Hệ có nhớ và không nhớ

Hệ thống có thể có nhớ hay không có nhớ. Hệ có nhớ có khả năng lưu giữ các thông tin trong quá khứ. Ta có các định nghĩa sau đây:

Hệ không nhớ (memoryless system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín hiệu vào tại cùng thời điểm. Hệ không nhớ không chứa các phần tử lưu trữ năng lượng như tụ điện, cuộn dây… Phương trình hệ không nhớ không có phép đạo hàm, tích phân mà chỉ đơn giản là phương tình đại số.

Hệ có nhớ (memory system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín hiệu vào tại cùng thời điểm và tại các thời điểm khác. Hệ có nhớ có chứa các phần tử lưu trữ năng lượng như tụ điện, cuộn dây… Phương trình hệ có nhớ có phép đạo hàm, tích phân và đó là phương trình vi phân.

Ví dụ: Các hệ sau đây là có nhớ hay không có nhớ?

Chương I

- 16 -

1.6.3 Hệ nhân quả Hệ nhân quả (causal system) là hệ có tín hiệu ra ở thời điểm t = t1 phụ thuộc vào tín hiệu vào ở các thời điểm 1tt ≤ .

Theo định nghĩa này ta thấy hệ không nhớ là hệ nhân quả. Các hệ vật lý là hệ nhân quả, vì các giá trị của tín hiệu vào trong tương lai là chưa có nên không thể ảnh hưởng đến tín hiệu ra được.

Ví dụ: Hệ 65)t(x

121)t(y −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= là hệ nhân quả.

1.6.4 Bậc của hệ thống Bậc của hệ thống (system order) được định nghĩa là bậc của phương trình vi phân biểu diễn hệ thống.

Như vậy bậc của hệ thống chính là bậc của đạo hàm cao nhất của tín hiệu ra trong phương trình vi phân mô tả hệ thống.

Ví dụ: Bậc của hệ )t(xdt

)t(dx)t(y2dt

)t(dy3dt

)t(yd3

3

+=++ là: 3.

1.6.5 Hệ tuyến tính

Hệ tuyến tính (linear system) là hệ thỏa điều kiện sau:

)t(yB)t(yA)t(y)t(xB)t(A x)t(x

21

21

+=+=

ở đây yi(t) là tín hiệu ra khi tín hiệu vào là xi(t), A và B là hằng số.

Các hệ thống tuyến tính có thể được mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính. Ta có thể giải các phương trình vi phân tuyến tính bằng các phương pháp kinh điển. Ngược lại, phương trình mô tả hệ phi tuyến là phương trình vi phân phi tuyến và giải các phương trình phi tuyến này rất khó hay đôi khi không giải được.

Trong môn học này, ta chỉ xét hệ tuyến tính.

Chương I

- 17 -

Ví dụ: Xét tính tuyến tính của các hệ sau đây:

(a) 65)t(x

121)t(y −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

(b) )t(xdt

)t(dx)t(y2dt

)t(dy3dt

)t(yd3

3

+=++

Chương I

- 18 -

1.6.6 Hệ bất biến Hệ bất biến (time-invariant system) là hệ không thay đổi theo thời gian.

Về mặt toán học, hệ bất biến là hệ thỏa điều kiện sau:

)t(y)t(y)t(x)t(x

1

1

τ−=τ−=

Phương trình mô tả hệ bất biến là phương trình vi phân hệ số hằng, tức là các thành phần của hệ thống là hằng số. Thực tế thì các thành phần của hệ vật lý có thay đổi theo thời gian nhưng sự thay đổi đó rất nhỏ nên ta bỏ qua và xem hệ vật lý là hệ bất biến.

Ví dụ: xét tính bất biến của các hệ sau đây:

(a) y(t) = t.x(t) - 4

(b) )t(xdt

)t(dx)t(y2dt

)t(dy3dt

)t(yd3

3

+=++

1.6.7 Hệ ổn định Trước khi định nghĩa hệ ổn định, ta định nghĩa tín hiệu hữu hạn (bounded signal)- đó là tín hiệu có biên độ hữu hạn. Khi thiết kế hệ thống, ta luôn mong muốn hệ được ổn định theo nghĩa là tín hiệu ra hữu hạn khi tín hiệu vào hữu hạn, để cho tín hiệu ra không tăng lên mà không kiểm soát được. Hệ như vậy được gọi là hệ ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output).

Ta sẽ xét kỹ hơn về hệ ổn định trong các chương tiếp theo sau.

Chương II

- 19 -

Chương 2 PHÂN TÍCH THỜI GIAN CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Như đã nói trong chương trước, từ đây trở đi, khi ta nói đến tín hiệu là nói đến tín hiệu liên tục, xác định, đơn hàm; nói đến hệ thống là nói đến hệ liên tục, có thông số tập trung, tuyến tính và bất biến.

Nội dung chính chương này gồm hai phần:

1. Biểu diễn tín hiệu trong miền thời gian, gồm:

- Định nghĩa và đặc điểm của một số tín hiệu cơ bản.

- Các đại lượng đặc trưng của tín hiệu như năng lượng và công suất.

- Phương pháp biểu diễn tín hiệu trong một khoảng thời gian cho trước- cách biểu diễn ở đây là dùng chuỗi Fourier tổng quát

2. Phân tích thời gian cho hệ thống, gồm:

- Mô hình toán học biểu diễn quan hệ vào-ra của hệ thống- đó chính là phương trình vi phân hay đại số tùy theo hệ có nhớ hay không nhớ.

- Xem xét một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là tích phân xếp chồng. Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung. Khi hệ tuyến tính, bất biến và không lưu giữ năng lượng ban đầu thì tích phân xếp chồng có dạng của tích phân chập. Do vậy, ta sẽ xét các tính chất của tích phân chập và cách tính tích phân chập.

2.1 CÁC TÍN HIỆU CƠ BẢN Các tín hiệu giới thiệu ở đây sẽ rất hiệu quả cho việc mô hình hóa tín hiệu liên tục. Đó là các tín hiệu sin, hàm mũ phức, hàm mũ thực, xung đơn vị, bước nhảy đơn vị, chữ nhật và dốc đơn vị.

2.1.1 Tín hiệu sin và tín hiệu hàm mũ phức

Mô hình tín hiệu đầu tiên ta xét là tín hiệu sin (sinusoidal signal):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ+

π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ+

π= s

00 Tt2sinA

Tt2cosA)t(x

với:

2sπ

+θ=θ và T0 là chu kỳ của tín hiệu sin.

Tín hiệu sin rất hiệu quả trong việc phân tích tín hiệu và hệ thống. Ví dụ như, dạng sóng của tín hiệu nguồn cấp cho hệ thống là dạng sin. Tín hiệu sin cũng rất hiệu quả trong việc tìm hiểu khái niệm tần số tín hiệu, đáp ứng tần số của hệ thống, băng thông của tín hiệu và hệ thống. Ta sẽ xét các khái niệm này sau.

1. Các thông số của tín hiệu sin

Tín hiệu sin có 3 thông số. Thứ nhất là biên độ tín hiệu A- đơn vị tuỳ theo loại tín hiệu (ví dụ đơn vị là volt nếu tín hiệu là điện áp), thứ hai là tần số tín hiệu f0 = 1/T0, đơn vị là Hertz

Chương II

- 20 -

(Hz)- đó là số chu kỳ tín hiệu trong một giây, cuối cùng là góc pha θ có biên độ là radian (rad). Góc pha là sai khác về pha của một tín hiệu cos bất kỳ so với pha của tín hiệu cos tham

chiếu: )tf2cos(AT

t2cosA)t(x 00

r π=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π= .

Độ dịch thời của x(t) so với tín hiệu tham chiếu tỷ lệ với góc pha của x(t). Ta có thể thấy rõ điều này:

[ ])tt(f2cosAf2

tf2cosA)t(x d00

0 −π=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πθ

−−π=

Vậy x(t) bị trễ đi so với tín hiệu tham chiếu một khoảng thời gian là:

0d f2

tπθ

−=

Qua đây ta thấy nếu góc pha âm thì tín hiệu x(t) bị trễ đi và nếu góc pha dương thì tín hiệu x(t) bị sớm hơn so với tín hiệu tham chiếu.

2. Biểu diễn phasor cho tín hiệu sin

Ta thấy tập các tín hiệu sin có cùng tần số thì được đặc trưng bởi tần số đó cùng với biên độ và pha của mỗi tín hiệu. Biên độ và pha được đặc trưng bởi một đại lượng phức gọi là phasor.

Đặt: tf2jtf2jjp

00 Xee)Ae()t(x ππθ ≡= .

xp(t) là một tín hiệu hàm mũ phức (complex-exponential signal), X là một số phức.

Ta có thể biểu diễn xp(t) bằng một vector có biên độ là A, pha là θ , quay với vận tốc góc là 00 f2π=ω (rad/s). Ta gọi vector này là phasor quay xp(t). Như vậy để xp(t) quay hết một vòng phải mất 00 T/2 =ωπ (s), nghĩa là nó tuần hoàn với chu kỳ T0.

Ta gọi số phức X là phasor của tín hiệu x(t). Cách biểu diễn x(t) bằng X gọi là biểu diễn phasor của tín

Im

θ+π tf2 0

xp(t)

x(t)

A

Re

Chương II

- 21 -

hiệu (phasor representation).

Các phasor quay biểu diễn cho các tín hiệu sin có cùng tần số đều quay với cùng vận tốc góc. Do đó, ta có thể thực hiện các phép toán cộng/trừ đối với các tín hiệu sin cùng tần số dựa vào cách biểu diễn phasor.

Ví dụ: Một nguồn điện cung cấp cho quạt và đèn mắc song song.

Dòng qua quạt là:

)6/t60.2cos(5.6)t(im π−π=

Dòng qua đèn là:

)40/t60.2cos(2)t(i l π+π=

Tìm dòng tổng cấp cho mạch trên.

2.1.2 Tín hiệu hàm mũ phức

Việc truyền tín hiệu từ các thành phần tích trữ năng lượng đến các thành phần sử dụng năng lượng thường tạo ra tín hiệu có dạng giảm theo thời gian theo quy luật hàm mũ. Ví dụ quá trình xả của tụ qua một điện trở sẽ tạo ra một dòng xả giảm theo hàm mũ.

Như vậy, tín hiệu hàm mũ là một mô hình hiệu quả đối với tín hiệu liên tục.

Chương II

- 22 -

Tín hiệu hàm mũ được mô tả bởi:

⎩⎨⎧

<≥

=α−

1

1t

tt,0tt,Ae

)t(x với 0>α

Trường hợp hệ thống có nhiều thành phần tích trữ năng lượng thì một số năng lượng có thể dao động giữa các thành phần này trong khi năng lượng được truyền đến thành phần tiêu hao năng lượng. Ví dụ quá tình xả của tụ qua mạch nối tiếp RL với R nhỏ. Lúc này tín hiệu là tín hiệu sin có đường bao là hàm mũ giảm:

⎩⎨⎧

<≥θ+π

=α−

1

10t

tt,0tt),tf2cos(Ae

)t(x với 0>α

Nếu 0<α thì hàm mũ và hàm sin sẽ tăng dần lên theo thời gian. Loại tín hiệu này xuất hiện trong những hệ thống không ổn định.

2.1.3 Tín hiệu xung đơn vị

1. Khái niệm hàm xung

Ta sử dụng ký hiệu )t(Aδ để biểu thị cho một xung có trọng số là A. Trọng số của xung ý muốn nói đến diện tích vùng dưới của xung- tức là vùng tạo bởi xung và trục hoành. Tín hiệu

)t(δ là xung có trọng số là 1 và được gọi là xung đơn vị (unit impulse).

Ta tạo ra tín hiệu xung trọng số là A bằng cách xét xung chữ nhật đối xứng qua gốc, có độ rộng là τ , chiều cao là τ/A để đảm bảo diện tích vùng dưới xung là A. Khi cho τ tiến đến 0 thì chiều cao của xung tiến đến vô cùng nhưng vẫn đảm bảo diện tích vùng dưới xung là 1. Ta thấy tín hiệu chữ nhật này chính là tín hiệu xung có trọng số là A, tức chính là )t(Aδ .

Như vậy, có thể định nghĩa tín hiệu xung có trọng số là A như sau:

Adt)t(A&0t,00t,

)t(A =δ⎩⎨⎧

≠=∞

=δ ∫∞

∞−

Thực tế thì dạng xung không nhất thiết phải là chữ nhật mà có thể là dạng khác như dạng tam giác, dạng sinx/x…

t

5.0=τ 2A

2=τ A/2

1=τ A

Chương II

- 23 -

Ta có thể dùng tín hiệu xung này để làm mô hình mô tả một tín hiệu rất hẹp với dạng bất kỳ và đủ mạnh để có diện tích vùng dưới xung bằng với trọng số. Một ví dụ về loại tín hiệu kiểu như vậy là dòng chạy qua tụ khi nó vừa được kết nối với pin nếu điện trở của pin và dây nối cực nhỏ. Một ví dụ khác, có một tín hiệu có thể được mô hình hóa dùng dạng xung là xung dữ liệu trong đường truyền dữ liệu tốc độ cao.

Nói một cách chính xác thì tín hiệu xung này không phải là tín hiệu vật lý nên nó thường được dùng theo nghĩa trừu tượng. Nghĩa trừu tượng ở đây là đáp ứng của hệ thống đối với một xung đơn vị sẽ cung cấp các thông tin chủ yếu về các đặc tính của hệ thống. Ta sẽ xét vấn đề này ở mục 6.4.

2. Mô hình toán học của xung đơn vị

Hàm xung đơn vị )t(δ không phải là một hàm toán học theo nghĩa thông thường. Hàm này thường được định nghĩa bằng một tích phân:

∫∞

∞−

=δ+ )t(xdt)t()tt(x 00

với t0 là một thời điểm nào đó và x(t + t0) là hàm liên tục tại t = 0. Sự liên tục này để đảm bảo x(t0) tồn tại.

Ta có thể đổi biến:

0tt −τ=

để biểu diễn tích phân trên dưới dạng khác:

∫∞

∞−

=τ−τδτ )t(xd)t()(x 00

3. Các tính chất của xung đơn vị

Tính chất 1: )t(A)t(A δ=−δ

Tính chất 2:

∫∞

∞−

=δ Adt)t(A

Tính chất 3:

0t,0)t(A ≠=δ

Tính chất 4:

)tt()BA()tt(B)tt(A 000 −δ+=−δ+−δ

Tính chất 5:

[ ] )tt()t(Ay)tt(A)t(y 000 −δ=−δ

Ví dụ: Cho các tín hiệu sau:

)5.1t(5.1)t(x),1t(4)t(x),2t(5.0)t(x),5.0t(3)t(x 4321 −δ−=+δ=−δ−=−δ=

Chương II

- 24 -

Và ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠<≤+−<≤

=t,0

4t2,12t32t0,t3

)t(z

Tìm và vẽ các tín hiệu sau:

)t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y),t(z).t(x)t(y),t(z)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y),t(x)t(x)t(y

362514

13412311

===+=+=+=

Chương II

- 25 -

2.1.4 Tín hiệu bước nhảy đơn vị Tích phân của tín hiệu xung là:

⎩⎨⎧

<>

=ττδ∫∞− 0t0

0tAd)(A

t

Giá trị của tích phân tại t = 0 không xác định. Ta có thể chọn đó là một giá trị hữu hạn nào đó hoặc là để cho nó không xác định.

Hàm trên đây được gọi là hàm bước nhảy và được ký hiệu là Au(t). Hàm bước nhảy đơn vị (unit step) được định nghĩa như sau:

⎩⎨⎧

<>

=0t00t1

)t(u

Hàm bước nhảy đơn vị chính là hàm bước nhảy khi A = 1 và đây chính là tích phân của hàm xung đơn vị. Do vậy, ta có thể lấy đạo hàm của hàm bước nhảy đơn vị để được hàm xung đơn vị.

Tín hiệu bước nhảy có thể dùng làm mô hình cho một số tín hiệu. Ta xem ví dụ sau: vào thời điểm t = t0, ta đóng nguồn cho một mạch điện với điện áp nguồn cung cấp là A = const, điện áp cấp cho mạch không nhảy lên bằng A ngay lập tức mà mất một khoảng thời gian chuyển tiếp để nhảy từ 0 lên A. Tuy nhiên khoảng thời gian đó rất nhỏ nên ta có thể mô hình hóa tín hiệu điện áp cấp cho mạch là: A.u(t-t0).

Tuy nhiên, khi ta cần xem xét chi tiết hơn sự biến đổi của tín hiệu điện áp trong khoảng thời gian điện áp chuyển từ 0 lên A thì không được dùng mô hình này.

2.1.5 Tín hiệu chữ nhật

Tín hiệu chữ nhật (rectangular) có dạng xung chữ nhật, chiều rộng là τ , ký hiệu là ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τ

∏t và

được định nghĩa như sau:

⎩⎨⎧

τ>τ<

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛τ

∏2/|t|,02/|t|,1t

Tín hiệu này rất thông dụng vì nó xấp xỉ dạng của tín hiệu xung trong các hệ thống số như máy tính, radar… Tín hiệu chữ nhật có thể dịch chuyển theo thời gian và nhân với một tín hiệu khác để giữ lại khoảng thời gian từ khi bắt đầu đến khi kết thúc của tín hiệu đó.

Chương II

- 26 -

Giữa tín hiêu chữ nhật và tín hiệu bước nhảy có quan hệ với nhau:

2/t(u)2/t(utτ−−τ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛τ

∏

2.1.6 Tín hiệu dốc đơn vị Như ta đã biết, tích phân của tín hiệu xung sẽ tạo ra tín hiệu bước nhảy. Khi lấy tích phân của tín hiệu xung hai lần, kết quả là:

)t(Ar)t(Atu0t00tAt

d)(uAdd)(Attt

≡=⎩⎨⎧

<>

=αα=αττδ ∫∫∫∞−∞−∞−

Ta gọi r(t) là tín hiệu dốc đơn vị (unit ramp), vì nó có dạng một cái dốc với hệ số góc là 1. Lưu ý r(t) là tích phân của tín hiệu bước nhảy đơn vị và Ar(t) là hàm dốc với hệ số góc là A.

Nói chung, ta có thể viết:

0a&0bat00bat)bat(A

)bat(u)bat(A)bat(Ar ≠⎩⎨⎧

<−>−−

=−−=−

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm dốc sau:

)5t3(r)t(z),2t(r)t(y),1t(r3)t(x −=+−=+=

Chương II

- 27 -

Ta có thể cộng các hàm dốc và bước nhảy với nhau để tạo ra những hàm phức tạp biểu diễn một tín hiệu đơn hàm bất kỳ được xấp xỉ hóa bằng một đường gấp khúc.

Ví dụ:

Vẽ đồ thị hai tín hiệu sau đây:

)4t(u2)3t(r)2t(u2)t(r2)2t(r)3t(u3)t(y)1t(r)1t(r)2t(u)t(x

−−−−−−++−+=−−+++−=

Ví dụ: Vẽ đồ thị tín hiệu sau và biểu diễn dưới dạng tổng các hàm bước nhảy và hàm dốc:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<<<−<<

<<−−<−

=

t303t2t32t11

1t222tt5.0

)t(x

)3t(r)2t(r)1t(u)2t(r5.0)2t(ut5.0)t(x −+−−−−++++−=

Chương II

- 28 -

Ta cũng có thể biểu diễn tín hiệu bằng cách kết hợp hàm bước nhảy, dốc và chữ nhật nếu ta dùng phép nhân và cộng.

Ví dụ:

Biểu diễn tín hiệu trên theo cách khác.

2.2 NĂNG LƯỢNG & CÔNG SUẤT CỦA TÍN HIỆU Năng lượng tín hiệu (signal energy) và công suất tín hiệu (signal power) là hai đại lượng có thể tính được nhằm chỉ ra các đặc điểm của tín hiệu. Đó không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu, nhưng nó rất hiệu quả trong việc đánh giá, so sánh các tín hiệu. Ví dụ, năng lượng tín hiệu và công suất tín hiệu của các thành phần khác nhau trong một tín hiệu chỉ ra ý nghĩa liên quan của các thành phần đó.

Ta xét năng lượng tiêu tán trong một điện trở:

∫∫−

∞→−

∞→==

T

T

2

T

T

T

2

TR dtR

)t(vlimRdt)t(ilimE

Đơn vị của năng lượng là Joule (J) khi đơn vị của điện trở là ohm )(Ω , của dòng điện là ampere (A) và của điện áp là volt (V). Năng lượng tiêu tán phụ thuộc vào cả tín hiệu và điện trở.

Ta định nghĩa năng lượng tín hiệu liên quan đến i(t) và v(t) là:

∫

∫

−∞→

−∞→

=

=

T

T

2

Tv

T

T

2

Ti

dt)t(vlimE

dt)t(ilimE

Đây không phải là năng lượng và công suất thực sự của tín hiệu vì chúng chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà không phụ thuộc vào điện trở.

Ta sẽ thấy rõ điều này hơn qua ví dụ sau: Một xung điện 12(V), rộng 4(s), tâm ở t = 5s được đặt vào hai đầu của còi báo động đeo dây an toàn. Ta mô hình hóa chiếc còi đó là một điện trở 20 )(Ω .

Mô hình của tín hiệu điện áp đặt lên hai đầu còi là:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∏=4

5t12)t(v

Mô hình tín hiệu dòng qua còi là:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∏==4

5t6.0R

)t(v)t(i

Chương II

- 29 -

Ta tính được năng lượng tiêu tán trên còi là:

ER = 28.8 (J)

Năng lượng tín hiệu cho điện áp v(t) là:

Ev = 576

Năng lượng tín hiệu cho dòng điện i(t) là:

Ei = 1.44

Ta thấy các năng lượng này không bằng nhau.

Bây giờ ta mở rộng định nghĩa năng lượng và công suất cho tín hiệu bất kỳ, gồm cả tín hiệu phức.

1. Năng lượng tín hiệu

Định nghĩa năng lượng tín hiệu x(t) là:

∫−

∞→=

T

T

2

Tx dt|)t(x|limE

Một lần nữa nhấn mạnh rằng đây không phải là năng lượng thực sự của tín hiệu vì nó không phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan.

Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn ∞<< xE0 thì nó được gọi là tín hiệu năng lượng (energy signal).

Nếu tín hiệu tuần hoàn thì năng lượng trong một chu kỳ là hữu hạn, nhưng vì nó có vô số chu kỳ ( n chu kỳ với )n ∞= nên năng lượng tín hiệu tuần hoàn là vô hạn:

∫+

∞==01

1

Tt

t

2x dt|)t(x|nE

2. Công suất tín hiệu

Tỷ số của năng lượng tín hiệu trong một khoảng thời gian và chiều dài của khoảng thời gian đó là công suất trung bình trong khoảng đó. Do đó, ta có định nghĩa công suất tín hiệu x(t) như sau:

∫−

∞→=

T

T

2

Tx dt|)t(x|T21limP

Cũng như năng lượng, đây không phải là công suất thực sự của tín hiệu vì nó không phụ thuộc vào các thành phần của hệ thống liên quan. Nó là công suất trung bình trên toàn trục thời gian.

Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn ∞<< xP0 thì nó được gọi là tín hiệu công suất (power signal).

Nếu tín hiệu có năng lượng hữu hạn thì công suất sẽ là 0 vì năng lượng hữu hạn chia cho khoảng thời gian vô hạn. Nếu tín hiệu có công suất hữu hạn thì năng lượng vô hạn vì công suất hữu hạn nhân với thời gian vô hạn.

Một số tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng cũng không phải là tín hiệu công suất, ví dụ như năng lượng vô hạn và công suất là 0 hay năng lượng vô hạn và công suất vô hạn.

Chương II

- 30 -

Nếu tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T0, công suất trung bình là:

dt|)t(x|T1dt|)t(x|

T1lim

nTE

limP01

1

01

1

Tt

t

2

0

Tt

t

2

0n

0

x

nx ∫∫++

∞→∞→===

Ví dụ: Tính năng lượng và công suất của tín hiệu điện áp trên hai đầu một điện trở, điện áp này do một tụ xả qua điện trở đó:

v(t) = e-3tu(t)

Ví dụ: Tính năng lượng và công suất của tín hiệu phức sau:

t2jAe)t(y πα=

2.3 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DƯỚI DẠNG CHUỖI FOURIER TỔNG QUÁT

2.3.1 Phân tích tín hiệu ra các thành phần

Ta biết rằng đáp ứng của hệ tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng. Điều này cho phép ta tìm đáp ứng của hệ đối với một tín hiệu vào bằng cách phân tích tín hiệu vào thành tổng của các thành phần, tìm đáp ứng của hệ đối với mỗi thành phần đó rồi cộng các đáp ứng này lại với nhau.

Việc phân tích tín hiệu thành tổng các thành phần còn chỉ ra được các đặc điểm quan trọng và đặc biệt của tín hiệu.

Nhìn chung thì ta không thể biết được cách làm thế nào để phân tích một tín hiệu phức tạp thành tổng các thành phần mà các thành phần này mang một đặc điểm đơn giản và xác định nào đó. Tuy nhiên, ta có thể xấp xỉ tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2 bằng một tổng tuyến tính như sau:

Chương II

- 31 -

∑=

∧

φ=N

1nnn )t(A)t(x

Tín hiệu )t(nφ gọi là tín hiệu cơ sở (basic signal). Ta chọn )t(nφ tùy ý sao cho có thể làm nổi bật các đặc điểm đặc trưng của tín hiệu hoặc là có thể cung cấp các thành phần đơn giản giúp cho việc phân tích hệ thống được dễ dàng. Trong một số trường hợp, nên cho n chạy từ: -N đến N hay đặt N là vô cùng.

Sau khi chọn tín hiệu cơ sở, ta chọn hệ số An sao cho )t(x∧

gần với x(t) nhất trong khoảng khai triển của x(t).

Để đánh giá sự xấp xỉ tốt hay không, ta dựa vào các tiêu chuẩn xấp xỉ, tính từ sai số xấp xỉ. Sau đây là 3 tiêu chuẩn hay dùng:

Tiêu chuẩn 1:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

∧

|)t(x)t(x|maxmin

Tiêu chuẩn 2:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−∫∧

dt|)t(x)t(x|min2

1

t

t

Tiêu chuẩn 3:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∫∧

dt)t(x)t(xmin2

1

t

t

2

Tiêu chuẩn 1 dựa trên cơ sở sai số tối đa xuất hiện tại từng thời điểm, tiêu chuẩn 2 và 3 bao gồm sai số tại tất cả các thời điểm trong khoảng tồn tại của tín hiệu nên nó chứa nhiều dữ liệu về sai số hơn so với tiêu chuẩn 1. Tiêu chuẩn 3 là năng lượng trong tín hiệu sai số và hay được dùng hơn. Tiêu chuẩn 3 có nghĩa là: cho trước các tín hiệu cơ sở, ta tính chọn hệ số An sao cho tích phân sai số bình phương là nhỏ nhất:

∫ ∑∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−φ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=ε

=

∧ 2

1

2

1

t

t

2N

1nnn

t

t

2

N dt)t(x)t(Adt)t(x)t(x

Lưu ý là sự xấp xỉ hóa chỉ xét trong khoảng t1 < t < t2, không quan tâm đến t ngoài khoảng đó.

2.3.2 Chuỗi Fourier tổng quát Việc chọn tín hiệu cơ sở ảnh hưởng đến hệ số An. Có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào công thức xấp xỉ thì phải tính lại An, nhưng có những tín hiệu cơ sở mà khi thêm số hạng vào thì hệ số An vẫn không thay đổi. Ta luôn mong chọn được tín hiệu cơ sở ở loại thứ hai.

Tín hiệu cơ sở thuận tiện nhất để tính An là tín hiệu trực giao. Các tín hiệu thực )t(iφ là trực giao nhau trong khoảng t1 < t < t2 nếu và chỉ nếu:

∫⎩⎨⎧

≠=λ

=φφ2

1

t

t

nmn mn0

mndt)t()t(

Chương II

- 32 -

Chọn tín hiệu cơ sở là tín hiệu trực giao sao cho tiêu chuẩn xấp xỉ thứ 3 thỏa mãn, ta có công thức xấp xỉ có dạng chuỗi và chuỗi đó được gọi là chuỗi Fourier tổng quát (generalized Fourier serie). Vậy ta có định nghĩa sau:

Chuỗi Fourier tổng quát là một tổng có trọng số của các tín hiệu cơ sở trực giao, tổng này xấp xỉ hóa một tín hiệu trong khoảng t1 < t < t2 bằng cách tối thiểu hóa sai số Nε .

Các hệ số An tính được như sau:

∫ φλ

=2

1

t

tn

nn dt)t()t(x1A

Có thể mở rộng chuỗi Fourier cho tín hiệu cơ sở là tín hiệu phức và số số hạng trong chuỗi Fourier là vô cùng.

Chương II

- 33 -

2.4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG Trong phần này, ta sẽ xem xét một phương pháp trực tiếp để phân tích hệ thống trong miền thời gian. Trong cách phân tích này, ta xác định đáp ứng của hệ thống đối với một tín hiệu vào cụ thể với 0tt ≥ và các điều kiện đầu xác định tại t = t0.

Đối với hệ tuyến tính, đáp ứng là tổng của đáp ứng đối với điều kiện đầu và đáp ứng đối với tín hiệu vào. Đáp ứng đối với điều kiện đầu được gọi là đáp ứng đầu vào 0 (zero-input response). Đáp ứng đối với tín hiệu vào được gọi là đáp ứng trạng thái 0 (zero-state response), ở đây trạng thái của hệ thống là tập hợp các giá trị của tín hiệu xác định bởi năng lượng lưu trong hệ thống.

Để phân tích hệ thống trong miền thời gian, trước hết ta tìm phương trình hệ thống từ sơ đồ khối hoặc sơ đồ thành phần hệ thống. Sau đó giải phương trình để tìm tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào và các điều kiện đầu cụ thể.

Sau đây ta xét một ví dụ phân tích hệ thống trong miền thời gian.

Ví dụ:

Cho bộ lọc thông thấp gồm R và C mắc nối tiếp. Tìm tín hiệu ra y(t) với 0tt ≥ theo tín hiệu vào x(t), cho biết năng lượng lưu trong tụ điện tại thời điểm t = t0 là y(t0) = Y0.

Trước tiên ta tìm phương trình hệ thống:

Sau đó ta giải phương trình:

Chương II

- 34 -

Tín hiệu ra là:

0RC/)tt(

0

t

t

RC/)t( tteYdteRC1)(x)t(y 0

0

≥+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡τ= −−τ−−∫

Số hạng thứ nhất là đáp ứng trạng thái 0 và số hạng thứ hai là đáp ứng đầu vào 0.

Chương II

- 35 -

2.5 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DỰA VÀO ĐÁP ỨNG CỦA HỆ THỐNG

2.5.1 Đáp ứng xung Trong phần này ta xét tích phân xếp chồng như là một mô hình toán học khác của hệ tuyến tính bất biến với điều kiện đầu là 0. Trong mô hình này, hệ thống được đặc trưng bằng đáp ứng xung (impulse response).

Ta định nghĩa đáp ứng xung như sau:

Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến, ký hiệu h(t), là đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống đối với tín hiệu vào là xung đơn vị đưa vào hệ thống tại thời điểm t = 0.

Vậy,

)t(h)t(y)t()t(x =⇒δ=

Muốn xác định đáp ứng xung, ta giải phương trình hệ thống với tín hiệu vào là xung đơn vị và điều kiện đầu bằng 0.

Ví dụ:

Tìm đáp ứng xung của mạch lọc RC trên:

0RC/)tt(

0

t

t

RC/)t( tteYdteRC1)(x)t(y 0

0

≥+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡τ= −−τ−−∫

Để tìm đáp ứng xung, cho )t()t(x,t,0Y 00 δ=−∞== :

)t(ueRC1

0t0

0teRC1

deRC1)()t(h RC/t

RC/ttRC/)t( −

−

∞−

τ−− =⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>=τ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡τδ= ∫

2.5.2 Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến Ta có thể sử dụng tín hiệu vào x(t), đáp ứng xung h(t) và mô hình tích phân xếp chồng để tìm đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến.

1. Tích phân xếp chồng/ chập liên tục

Xét tín hiệu vào có dạng xung chữ nhật:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

τ∆∏

τ∆==

t1)t(x)t(x r

Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu này là:

)t(h)t(ylim)t(y)t(y

r0

r

==

→τ∆

Ta xấp xỉ hóa tín hiệu vào x(t) với một tín hiệu bậc thang ),t(x τ∆∧

như hình vẽ:

),t(xlim)t(x τ∆=∧

∞→τ∆

Chương II

- 36 -

Ta tìm đáp ứng của hệ đối với tín hiệu ),t(x τ∆∧

, gọi đó là ),t(y τ∆∧

. Sau đó suy ra đáp ứng của

hệ thống, là: ),t(ylim)t(y τ∆=∧

∞→τ∆

∫∞

∞−

ττ−τ= d)t(h)(x)t(y

Ta gọi tích phân này là tích phân xếp chồng (superposition integral). Vì nó cộng tất cả các đầu ra )t(h)(x τ−τ từ tất cả các giá trị của tín hiệu vào ∞≤τ≤∞−τ),(x để tạo thành tín hiệu ra ở thời điểm t.

Tích phân xếp chồng của hệ liên tục tuyến tính bất biến có dạng của phép chập nên ta còn gọi đây là phép chập liên tục (continious convolution). Ta có thể đổi biến 1t τ−=τ để được một dạng khác của phép chập liên tục:

∫∞

∞−

ττ−τ= 111 d)t(x)(h)t(y

τ∆3

),t(x τ∆∧

x(t)

0

Chương II

- 37 -

Khi dùng mô hình toán học biểu diễn hệ thống là đáp ứng xung, ta sử dụng sơ đồ khối sau:

Lưu ý: quan hệ y(t) = x(t).h(t) là hoàn toàn không đúng.

2. Hệ nhân quả

Từ biểu thức phép chập liên tục, ta tính được tín hiệu ra tại thời điểm t = t1 như sau:

∫∞

∞−

ττ−τ= d)t(h)(x)t(y 11

Nếu hệ nhân quả thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, suy ra:

11 t0)t(h >τ=τ− Ngược lại, nếu

11 t0)t(h >τ=τ− thì y(t1) không phụ thuộc vào x(t) với t > t1, tức là hệ nhân quả.

Hay nói cách khác, h(t) = 0 với mọi t < 0.

Vậy ta có thể phát biểu:

Hệ tuyến tính bất biến là nhân quả khi và khỉ khi h(t) = 0 với mọi t < 0.

Lúc đó phép chập liên tục được viết lại là:

∫∞−

ττ−τ=t

d)t(h)(x)t(y

2.5.3 Cách tính phép chập liên tục Phép chập liên tục giữa hai tín hiệu f1(t) và f2(t) là:

ở đây t là biến độc lập và τ là biến giả dùng trong tích phân.

Việc tính chập hai tín hiệu f1(t) và f2(t) có thể được thực hiện bằng phương pháp giải tích hay đồ thị.

Nếu tính bằng phương pháp giải tích, ta theo các bước sau:

- Thay biến t bằng τ , ta được f1( τ ) và f2( τ )

- Viết phương trình của f2(t- τ )

- Tính tích phân của tích f1( τ ) f2(t- τ ) để tìm f3(t) với mọi t.

Nếu tính bằng đồ thị, ta theo các bước sau:

y(t) x(t) h(t)

∫∞

∞−

∗≡ττ−τ= )t(f)t(fd)t(f)(f)t(f 21213

Chương II

- 38 -

- Thay biến t bằng τ , ta được f1( τ ) và f2( τ ). Vẽ đồ thị của f1( τ ) và f2( τ ).

- Đảo thời gian f2( τ ), ta được f2(- τ )

- Dịch chuyển f2(- τ ) đi một đoạn là |t|, dịch sang phải nếu t > 0 và sang trái nếu t < 0, ta được f2(t- τ )

- Lấy tích phân của tích f1( τ ).f2(t- τ ) trên toàn trục thời gian, ta được f3(t).

Ví dụ:

Tính chập hai tín hiệu sau: 2te)t(f −= và 2t3)t(g = với mọi t.

Ví dụ:

Cho tín hiệu x(t) = 3cos(2t) đi vào hệ tuyến tính bất biến có đáp ứng xung là: |t|e)t(h −=

Tìm tín hiệu ra khi các điều kiện đầu bằng 0.

Chương II

- 39 -

Ví dụ: Tính chập hai tín hiệu sau:

6

-2

2

-1-1 1 2 21

Chương II

- 40 -

Chương II

- 41 -

2.5.4 Tính chất của phép chập liên tục Tính chất giao hoán:

)t(f)t(g)t(g)t(f ∗=∗

Tính chất kết hợp:

[ ] [ ] )t(h)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f ∗∗=∗∗

Tính chất phân phối:

[ ] )t(h)t(f)t(g)t(f)t(h)t(g)t(f ∗+∗=+∗

Tính chất độ dài:

Nếu tín hiệu f1(t) dài L1 và tín hiệu f2(t) dài L2 thì chập của f1(t) và f2(t) có chiều dài là:

L3 = L1 + L2

Rìa bên trái của f3(t) là rìa bên trái của f1(t) cộng với rìa bên trái của f2(t)

Rìa bên phải của f3(t) là rìa bên phải của f1(t) cộng với rìa bên phải của f2(t)

Chương II

- 42 -

Tính chất chập với hàm xung:

)tt(x)tt()t(x)t(x)t()t(x

11 −=−δ∗=δ∗

Ví dụ:

Cho các tín hiệu: )1t(4)5.0t(2)t(y),5.1t(5.1)5.1t(5.1)t(x −δ+−δ=−δ++δ=

Và: ⎩⎨⎧

≠<≤

=t0

2t0t)t(z

Tìm và vẽ các tín hiệu: x(t), y(t), z(t), )t(y)t(x ∗ và x(t)*z(t).

Chương III

- 43 -

Chương 3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG Trong chương trước, ta đã dùng hàm theo biến thời gian để làm mô hình toán học mô tả tín hiệu. Mô hình này cho biết các đặc điểm của tín hiệu bằng cách chỉ ra sự thay đổi của tín hiệu theo thời gian. Mô hình này được gọi là biểu diễn thời gian của tín hiệu. Biểu diễn thời gian của các tín hiệu vào-ra và bên trong một hệ thống cũng chỉ ra các đặc điểm của hệ thống đó.

Tuy nhiên, các đặc điểm của tín hiệu và hệ thống không chỉ thay đổi theo thời gian mà còn thay đổi theo cả tần số, nói cách khác các đặc điểm này cũng là hàm theo tần số. Ta gọi các hàm theo tần số này là biểu diễn tần số (frequency-domain representation). Cả biểu diễn thời gian và biểu diễn tần số đều cần thiết cho bài toán phân tích tín hiệu và hệ thống. Có những trường hợp, biểu diễn thời gian không chỉ ra được các thông tin cần thiết, nhưng cũng có lúc, có những thông tin cần thiết không thể rút ra được từ biểu diễn tần số.

Chương này trình bày về biểu diễn tần số của tín hiệu và hệ thống. Từ biểu diễn tần số này, ta có thể phân tích tần số cho tín hiệu và hệ thống. Nội dung chính gồm ba phần:

1. Lý thuyết chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier. Đây là cơ sở lý thuyết của việc biểu diễn tần số cho tín hiệu và hệ thống.

2. Phân tích tần số cho tín hiệu. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số. Phần này gồm:

- Định nghĩa phổ tín hiệu.

- Các đặc điểm của phổ

- Các đặc trưng của tín hiệu trong miền tần số.

3. Phân tích tần số cho hệ thống. Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn hệ thống trong miền tần số- đó là đáp ứng tần số. Phần này gồm:

- Định nghĩa đáp ứng tần số.

- Các đặc trưng của hệ thống trong miền tần số.

- Cách xác định đáp ứng tần số.

3.1 BIỂU DIỄN CHUỖI FOURIER CỦA TÍN HIỆU

Trong mục 2.3.2, ta đã xét cách biểu diễn tín hiệu x(t) trong một khoảng thời gian t1 < t < t2 dưới dạng chuỗi Fourier tổng quát. Ta thấy, việc biểu diễn này yêu cầu ta trước hết phải chọn các tín hiệu cơ sở là các hàm trực giao (thực hoặc phức), sau đó tính hệ số An sao cho tích phân bình phương sai số xấp xỉ là nhỏ nhất.

3.1.1 Chọn tín hiệu cơ sở Ta xét tập tín hiệu sau:

K,2,1,0n,e)t( t)nf(2jn

1 ±±==φ π với f1 = 1/T1.

Các tín hiệu này là tín hiệu phức và trực giao nhau trong khoảng thời gian T1.

Chứng minh:

Chương III

- 44 -

∫+

⎩⎨⎧

≠=λ

=φφ11

1

Tt

t

n*mn mn0

mndt)t()t(

1

Tt

t

tnf2jTt

t

tnf2jn Tdtdtee

11

1

1

11

1

1 ===λ ∫∫+

π−+

π

Như vậy, tập tín hiệu )t(nφ vừa xét trên đủ điều kiện để làm tín hiệu cơ sở để khai triển Fourier cho tín hiệu x(t) trong khoảng thời gian T1:

t1 < t < t1 + T1 (gọi là khoảng khai triển)

3.1.2 Khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu trong khoảng thời gian T1

Theo mục 2.3.2, ta có tín hiệu xấp xỉ của tín hiệu x(t) trong khoảng t1 < t < t1 + T1 là:

∑∞

−∞=

π∧

=n

tnf2jn

1eA)t(x

Hệ số An là:

∫∫+

π−=φλ

=11

1

1

2

1

Tt

t

tnf2j

1

t

t

*n

nn dte)t(x

T1dt)t()t(x1A

Theo Fourier, nếu tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn trong khoảng t1 < t < t1 + T1 thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) trong khoảng đó tồn tại.

Cũng theo Fourier, nếu x(t) thỏa điều kiện Dirichlet thì )t(x∧

sẽ tiến gần đến x(t) trong khoảng t1 < t < t1 + T1 :

111n

tnf2jn TttteA)t(x)t(x 1 +<<== ∑

∞

−∞=

π∧

Điều kiện Dirichlet (do P. L. Dirichlet đề xuất):

1. ∫+

∞<11

1

Tt

t

dt|)t(x|

2. Tín hiệu x(t) có số điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng khai triển là hữu hạn.

3. Tín hiệu x(t) có số điểm gián đoạn trong khoảng khai triển là hữu hạn.

Chương III

- 45 -

3.1.3 Các đặc điểm của chuỗi Fourier hàm mũ phức

1. Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier

Trong chuỗi Fourier hàm mũ phức, ta thấy:

- Tín hiệu cơ sở )t(nφ tuần hoàn với chu kỳ là 1/|n|f1 = T1/|n|, tần số là |n|f1 và tạo ra 1/|n| chu kỳ trong khoảng khai triển. Khi |n| = 1 thì tần số là f1 và chỉ có 1 chu kỳ

trong khoảng khai triển. Ta gọi f1 là tần số cơ bản (fundamental frequency) của )t(x∧

.

Tần số |n|f1 được gọi là tần số hài của )t(x∧

.

- Vì trong khoảng khai triển có )t(0φ = 1 là hằng số và ta có số chu kỳ của )t(nφ là số nguyên với mọi |n| > 0 nên tất cả các )t(nφ lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển.

Vậy, )t(x∧

được lặp lại ở bên ngoài khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T1.

Tóm lại, )t(x∧

= x(t) ở trong khoảng khai triển và tuần hoàn với chu kỳ T1 ở bên ngoài khoảng khai triển. Như vậy chuỗi Fourier hội tụ về một tín hiệu tuần hoàn là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển. Hình vẽ sau minh họa cho điều này:

Vậy, nếu ta có tín hiệu x(t) tuần hoàn và thỏa điều kiện Dirichlet thì khai triển chuỗi Fourier của x(t) là:

dte)t(xT1A

teA)t(x

01

1

0

0

Tt

t

tnf2j

0n

n

tnf2jn

∫

∑+

π−

∞

−∞=

π

=

∀=

ở đây T0 = 1/f0 là chu kỳ của tín hiệu.

Ví dụ:

Một bộ tạo tín hiệu trong phòng thí nghiệm tạo ra xung vuông như hình vẽ. Tìm chuỗi Fourier hàm mũ phức hội tụ về x(t) với mọi t.

Tín hiệu

Chuỗi Fourier

Khoảng khai triển

Chương III

- 46 -

2 τ τ

-A

2A

Chương III

- 47 -

2. Tính chất của hệ số Fourier Xn

- Khi n = 0, hệ số Fourier là:

Đây chính là giá trị trung bình của x(t) trong khoảng khai triển

- Nếu tín hiệu x(t) là tín hiệu thực thì biên độ của các hệ số Fourier là hàm chẵn theo n và pha là hàm lẻ theo n:

nn

nn

AAAA−∠=∠

=

−

−

∫+

=11

1

Tt

t10 dt)t(x

T1A

Chương III

- 48 -

3.1.4 Chuỗi Fourier dạng cosin Trường hợp tín hiệu khai triển là tín hiệu thực, ta có thể chuyển chuỗi Fourier hàm mũ phức về chuỗi Fourier dạng cosin:

)Atnf2(osc|A|2A)t(x n11n

n0 ∠+π+= ∑∞

=

∧

Tín hiệu tuần hoàn có thể xem là tổng của vô số hàm cosin, biên độ là 2|An|, pha là nA∠ , tần số là hài của tần số cơ bản nf1. Ngoài cách biểu diễn tín hiệu tuần hoàn là hàm theo thời gian, ta còn có thể biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thông qua cặp thông số |An| và nA∠ . Ta gọi cách biểu diễn này là biểu diễn tần số hay là biểu diễn theo phương pháp phổ (spectrum).

3.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Như trên ta thấy chuỗi Fourier là mở rộng tuần hoàn của một đoạn tín hiệu trong khoảng khai triển và không giống tín hiệu không tuần hoàn. Như vậy, ta chỉ có thể dùng chuỗi Fourier để biểu diễn tần số cho tín hiệu tuần hoàn chứ không dùng được cho tín hiệu không tuần hoàn. Với tín hiệu không tuần hoàn, ta dùng một phương pháp khác- đó là chuỗi Fourier.

3.2.1 Xây dựng công thức tính biến đổi Fourier của tín hiệu năng lượng không tuần hoàn

Ta xét tín hiệu không tuần hoàn x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Như vậy, có thể khai triển Fourier cho x(t) trong một khoảng –T/2 < t < T/2 bất kỳ, nghĩa là:

dte)t(xT1A

2/Tt2/T),t(xeA)t(x

tnf2j2/T

2/Tn

n

tnf2jn

0

0

π−

−

∞

−∞=

π∧

∫

∑

=

<<−==

ở đây f0 = 1/T.

Bên ngoài khoảng –T/2 < t < T/2, )t(x∧

lặp lại tuần hoàn với chu kỳ T. Như vậy, ta có thể suy ra biểu diễn tần số của tín hiệu không tuần hoàn từ biểu diễn tần số của tín hiệu tuần hoàn bằng cách cho ∞→T .

Khi ∞→T , các vạch phổ sẽ tiến đến rất gần nhau, khoảng cách giữa hai vạch phổ sẽ vô cùng bé, phổ rời rạc trở thành phổ liên tục. Lúc đó ta có các giới hạn sau:

Chương III

- 49 -

dfT1f0 →= , fnf0 → , )f(AA n →

Áp dụng các giới hạn này vào công thức khai triển Fourier của tín hiệu tuần hoàn, ta được:

dfdte)t(xdte)t(xT1limAlim)f(A ft2jtnf2j

2/T

2/TTnT

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== ∫∫

∞

∞−

π−π−

−∞→∞→

Tích phân trong ngoặc vuông tồn tại do x(t) thỏa điều kiện Dirichlet. Tích phân này là một hàm phụ thuộc vào biến tần số f. Ta đặt:

∫∞

∞−

π−= dte)t(x)f(X ft2j

Hàm X(f) này chính là biểu diễn tần số của x(t) hay là phổ của x(t). X(f) còn được gọi là phép biến đổi Fourier (Fourier transform) của x(t).

Phổ X(f) hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu x(t) nên ta có thể tìm được x(t) từ X(f) qua một phép biến đổi gọi là biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform)

Để tìm biểu thức tính biến đổi Fourier ngược, ta cũng thực hiện tương tự như tìm biểu thức tính biến đổi Fourier. Ta tìm biến đổi Fourier ngược của X(f) từ biểu thức khai triển chuỗi

Fourier cho tín hiệu tuần hoàn )t(x∧

với giới hạn ∞→T như sau:

∫∑∞

∞−

π∞

−∞=

π

∞→

∧

∞→=== dfe)f(XeAlim)t(xlim)t(x ft2j

n

tnf2jnTT

0

Tóm lại, cặp công thức tính biến đổi Fourier và Fourier ngược là:

)f(XFTdfe)f(X)t(x

)t(xFTdte)t(x)f(X

1ft2j

ft2j

−∞

∞−

π

∞

∞−

π−

≡=

≡=

∫

∫

Cặp công thức này giúp chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian và miền tần số, ta ký hiệu ngắn gọn như sau:

)f(X)t(x F⎯→←

Ta cũng có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier là hàm theo f2π=ω .

3.2.2 Tính chất của biến đổi Fourier Các tính chất của biến đổi Fourier rất hiệu quả trong việc tính biến đổi Fourier của các tín hiệu phức tạp. Sau đây ta xét một số tính chất thông dụng.

1. Tính tuyến tính

Nếu

)f(X)t(x F⎯→← và )f(Y)t(y F⎯→←

Thì

)f(bY)f(aX)t(by)t(ax F +⎯→←+

Chương III

- 50 -

Ta hay dùng tính chất này để tính biến đổi Fourier của các tín hiệu mà có thể phân tích được thành tổng của các tín hiệu đơn giản.

2. Thay đổi thang thời gian

Nếu

)f(X)t(x F⎯→←

Thì

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎯→←

a1X

|a|1)at(x F

Chương III

- 51 -

3. Đảo thời gian

Nếu

)f(X)t(x F⎯→←

Thì

)f(X)t(x F −⎯→←−

4. Dịch thời gian

Nếu

)f(X)t(x F⎯→←

Thì 0ft2jF

0 e)f(X)tt(x π−⎯→←−

5. Tính tương hỗ

Nếu

)f(X)t(x F⎯→←

Thì

)f(x)t(X F −⎯→←

Chương III

- 52 -

5. Điều chế

Nếu

)f(X)t(x F⎯→←

Thì

)ff(X21)ff(X

21)tf2cos()t(x 00

F0 ++−⎯→←π

6. Chập

Nếu

)f(X)t(x F⎯→← và )f(Y)t(y F⎯→←

Thì

)f(Y).f(X)t(y)t(x F⎯→←∗

Chương III

- 53 -

3.2.3 Biến đổi Fourier của tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng Ta đã xét biến đổi Fourier đối với các tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu không phải là tín hiệu năng lượng, ta có thể sử dụng biến đổi Fourier trong một giới hạn nào đó.

1. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu xung delta

fA)t(A F ∀⎯→←δ

Do tính tương hỗ giữa miền thời gian và tần số nên ta có thể suy ra:

)f(At A F δ⎯→←∀

2. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị

Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu bước nhảy đơn vị từ biến đổi Fourier của hàm dấu. Ta định nghĩa hàm dấu như sau:

⎩⎨⎧

<−>

=0t10t1

)tsgn(

Biến đổi Fourier của hàm dấu là:

fj/1)tsgn( F π⎯→←

Quan hệ giữa hàm dấu và bước nhảy đơn vị là:

2)tsgn(

21)t(u +=

Do đó:

f2j1)f(

21)t(u F

π+δ⎯→←

4. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu cos

)ff(21)ff(

21)tf2cos( aa

Fa +δ+−δ⎯→←π

Chương III

- 54 -

5. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn

Ta đã biết rằng ta có thể biểu diễn tín hiệu thực tuần hoàn dưới dạng chuỗi Fourier.

Ta xét tín hiệu )t(x∧

thỏa điều kiện Dirichlet và tuần hoàn với chu kỳ T0. Khai triển Fourier

cho tín hiệu )t(x∧

:

∑∞

−∞=

π∧

=n

tnf2jn

0eA)t(x

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

π∧∧

−δ==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

n0n

n

tnf2jn )nff(AeAFT)t(xFT)f(X 0

ở đây An được tính theo công thức tính hệ số Fourier dã xét.

Ngoài ra, ta còn cách khác để tính An như sau:

)nf(XT1A 0

0n =

Ví dụ:

Tìm phổ của tín hiệu đồng hồ máy tính )t(x∧

sau đây:

4 V

-0.04 0 0.04 0.08 )s(t µ

Chương III

- 55 -

Chương III

- 56 -

3.3 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO TÍN HIỆU LIÊN TỤC Việc phân tích ở đây dựa vào mô hình toán học biểu diễn tín hiệu trong miền tần số- đó là phổ tần số.

3.3.1 Giới thiệu về phổ tần số Như đã trình bày ở phần trên, phổ tần số (hay nói ngắn gọn là phổ) chính là một hàm biểu diễn các đặc trưng của tín hiệu theo biến tần số. Ta tìm phổ của tín hiệu bằng cách tính biến đổi Fourier của tín hiệu đó:

dte)t(x)t(xFT)f(X ft2j π−∞

∞−∫==

Nói chung, hàm X(f) là hàm phức theo biến tần số thực. Do hàm phổ là hàm phức nên phổ gồm phổ biên độ (amplitude spectrum)- là biên độ của X(f) và phổ pha (phase spectrum)- là pha của X(f).

Để hiểu hơn về phổ tín hiệu, ta xét ví dụ đơn giản về phổ của tín hiệu cosine sau:

)tf2cos(A)t(x xxx θ+π=

Tín hiệu x(t) là tín hiệu tuần hoàn nên phổ có dạng phổ vạch, ở đây phổ biên độ có duy nhất một vạch giá trị là Ax và phổ pha cũng có duy nhất một vạch giá trị là xθ . Cả phổ biên độ và phổ pha đều nằm ở vị trí fx trên trục tần số. Phổ trong trường hợp này được gọi là phổ một phía (single-sided spectrum) vì chúng chỉ có giá trị tại các tần số dương.

Dùng công thức Euler, có thể viết tín hiệu cosine trên ở dạng tổng của hai phasor ở hai tần số đối xứng fx và –fx sau:

t)f(2jjxtf2jjx xxxx ee2

Aee2

A)t(x −πθ−πθ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

Phần trong dấu ngoặc vuông trên là phasor. Ta thấy có thể xác định tín hiệu x(t) dựa vào biên độ và pha của hai phasor trên tại hai tần số fx và –fx . Ta cũng gọi biên độ và pha của các phasor là phổ biên độ và phổ pha. Do chúng có mặt ở cả hai phía tần số dương và âm nên được gọi là phổ hai phía (double-sided spectrum).

Ta minh họa phổ biên độ và phổ pha một phía và hai phía qua hình vẽ sau:

Chương III

- 57 -

Ta thấy phổ biên độ hai phía là hàm chẵn và phổ pha hai phía là hàm lẻ theo tần số. Phổ hai phía thuận tiện và dễ dàng hơn cho tính toán nên phần nhiều ta sẽ dùng phổ hai phía.

Biên độ của tín hiệu cosine gấp đôi giá trị của phổ biên độ hai phía bên phía tần số dương. Pha của tín hiệu cosine bằng giá trị của phổ pha hai phía bên phía tần số dương. Vậy có thể dễ dàng xác định được biên độ và pha của tín hiệu cosine từ phổ hai phía.

Cần lưu ý là phổ hai phía không có nghĩa là trong thực tế có tồn tại tần số âm. Tần số âm xuất hiện ở đây chỉ là do cách kết quả toán học từ việc biểu diễn tín hiệu cosine dưới dạng phasor mà thôi.

3.3.2 Các đặc điểm của phổ tần số

1. Đặc điểm 1

Tín hiệu càng hẹp trong miền thời gian thì phổ càng giãn rộng trong miền tần số và ngược lại

2. Đặc điểm 2

Tín hiệu thực và chẵn có phổ thực và chẵn

3. Đặc điểm 3

Tín hiệu thực và lẻ có phổ ảo và lẻ

4. Đặc điểm 4

Phổ biên độ của tín hiệu thực là hàm chẵn và phổ pha của tín hiệu thực là hàm lẻ

Chương III

- 58 -

5. Đặc điểm 5

Việc dịch chuyển tín hiệu theo thời gian không làm ảnh hưởng đến phổ biên độ mà chỉ ảnh hưởng đến phổ pha.

6. Đặc điểm 6

Việc cắt gọt phổ tín hiệu sẽ gây ra hiện tượng Gibbs (gợn sóng)

Chương III

- 59 -

3.3.3 Các đặc trưng của tín hiệu theo tần số Phổ là hàm biểu diễn tín hiệu theo tần số, do đó phổ hoàn toàn đặc trưng cho tín hiệu trong miền tần số. Từ phổ tín hiệu, ta có thể xác định được các đặc trưng cho tín hiệu như băng thông, năng lượng và công suất của tín hiệu.

1. Băng thông của tín hiệu

Băng thông của tín hiệu (signal bandwidth) là bề rộng của dải tần số mà phổ chiếm trên trục tần số. Ta có thể xác định băng thông tín hiệu dựa vào phổ biên độ. Ví dụ phổ biên độ của một tín hiệu nằm trong dải tần số từ 10 Hz đến 20 Hz, ta nói băng thông của tín hiệu đó là:

B = 20 – 10 = 10 (Hz)

Khi thiết kế hệ thống ta phải quan tâm đến băng thông của các tín hiệu truyền qua hệ thống hay là có mặt trong hệ thống để đảm bảo không có thông tin nào trong tín hiệu bị mất mát. Về lý thuyết, băng thông của tín hiệu rất lớn, có thể lớn đến vô cùng. Tuy nhiên, trong thực tế, ta thấy hầu hết năng lượng tín hiệu đều tập trung trong một dải tần nào đó gọi là băng thông có nghĩa (significant-signal bandwidth), ký hiệu là B và được xác định như sau:

Băng thông B của tín hiệu liên tục là sai khác giữa hai tần số dương sao cho trong khoảng đó phổ biên độ lớn hơn hay bằng α lần phổ biên độ cực đại. Hệ số α được chọn tùy ý dựa vào

ứng dụng. Thường chọn 707.02

1≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB

2. Mật độ phổ năng lượng của tín hiệu

Mật độ phổ năng lượng ESD (Energy Spectral Density) của tín hiệu là năng lượng của tín hiệu trong một đơn vị tần số. Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ năng lượng trên suốt trục tần số, ta sẽ nhận được năng lượng tín hiệu.

Ta xét hàm: 2)f(X)f(G =

Ta thấy:

Chương III

- 60 -

x22 Edt)t(xdf)f(Xdf)f(G === ∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

Vậy G(f) chính là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu.

Từ G(f) ta có thể xác định được năng lượng của tín hiệu trong một dải tần số từ f1 đến f2 nào đó:

df)f(Gdf)f(GE2

1

1

2

f

f

f

f12 ∫∫ +=

−

−

3. Mật độ phổ công suất của tín hiệu

Mật độ phổ năng lượng là chỉ dành cho tín hiệu năng lượng. Đối với tín hiệu công suất, ta dùng mật độ phổ công suất PSD (Power Spectral Density). Đó là hàm công suất của tín hiệu trong một đơn vị tần số. Khi ta lấy tích phân của mật độ phổ công suất trên suốt trục tần số, ta sẽ nhận được công suất tín hiệu.

Ta xét hàm:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

τ+=τ= ∫−

∗

∞→

T

TT

dt)t(x)t(xT21limFT)(RFT)f(S

Ta có:

xPdf)f(S =∫∞

∞−

Vậy hàm S(f) là mật độ phổ công suất của tín hiệu.

Từ S(f) ta có thể xác định được công suất của tín hiệu trong một dải tần số từ f1 đến f2 nào đó:

df)f(Sdf)f(SP2

1

1

2

f

f

f

f12 ∫∫ +=

−

−

Chương III

- 61 -

3.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG LIÊN TỤC Trong phần này, ta chỉ xét hệ tuyến tính bất biến có các điều kiện đầu bằng 0. Việc phân tích hệ thống sẽ cho phép ta xác định được phổ của đáp ứng trạng thái 0 của hệ thống từ các đặc điểm của hệ thống và phổ của tín hiệu vào. Nó giúp cho ta quan sát được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu thông qua xem xét các đặc trưng của hệ thống là hàm theo tần số.

3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số Đáp ứng tần số (frequency response) là khái niệm cơ bản trong phân tích tần số cho hệ thống, vì nó xác định các đặc điểm của hệ thống là hàm theo tần số. Ta ký hiệu đáp ứng tần số là H(f) và định nghĩa như sau:

Đáp ứng tần số của hệ thống tuyến tính bất biến là hàm theo tần số. Nó tạo ra phổ của đáp ứng trạng thái 0 khi được nhân với phổ của tín hiệu vào.

Theo định nghĩa ta có:

Y(f) = X(f).H(f)

Đáp ứng tần số tồn tại khi điều kiện sau thỏa mãn:

Phổ Y(f) tồn tại khi phổ X(f) tồn tại. Điều này chỉ xảy ra khi hệ ổn định BIBO. Như vậy, đáp ứng tần số của hệ ổn định BIBO là luôn luôn tồn tại.

Ta có thể viết lại quan hệ trên như sau:

H(f) = Y(f)/X(f)

Vậy, đáp ứng tần số chính là tỷ số của phổ tín hiệu ra và phổ tín hiệu vào.

Chuyển sang miền thời gian, dùng tính chất chập ta được:

y(t) = x(t)*h(t)

Vậy,

H(f) = FT h(t)

Đáp ứng tần số chính là biến đổi Fourier của đáp ứng xung.

3.4.2 Các đặc trưng của hệ thống theo tần số

Nếu ta biết đáp ứng tần số của hệ thống, ta hoàn toàn có thể xác định được ảnh hưởng của hệ thống lên tín hiệu khi tín hiệu truyền qua hệ thống. Việc xét ảnh hưởng này được thực hiện dựa vào các đặc trưng của hệ thống theo tần số, như là đáp ứng biên độ, đáp ứng pha, băng thông của hệ thống, trễ pha, trễ nhóm.

1. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha

Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier của đáp ứng xung, do đó đáp ứng tần số là một hàm phức theo tần số và có thể biểu diễn dưới dạng biên độ và pha như sau:

)f(Hjft2j e|)f(H|dte)t(h)t(hFT)f(H ∠∞

∞−

π− === ∫

Từ định nghĩa đáp ứng tần số Y(f) = X(f).H(f), viết lại theo biên độ và pha, ta có: )f(Hj)f(Xj)f(Yj e|)f(H|e|)f(X|e|)f(Y| ∠∠∠ =

Từ đây ta suy ra:

Chương III

- 62 -

)f(H)f(X)f(Y|)f(H|.|)f(X||)f(Y|

∠+∠=∠=

Do |H(f)| chỉ ra liên quan giữa phổ biên độ tín hiệu ra với phổ biên độ tín hiệu vào nên ta gọi |H(f)| là đáp ứng biên độ của hệ thống (system amplitude response). Cũng như vậy,

)f(H∠ được gọi là đáp ứng pha của hệ thống (system phase response) vì nó chỉ ra liên quan giữa phổ pha của tín hiệu ra với phổ pha của tín hiệu vào.

Để xác định phổ của tín hiệu ra, ta có thể chập tín hiệu vào với đáp ứng xung, sau đó tính biến đổi Fourier của tín hiệu ra. Công việc trên sẽ đơn giản hơn nhiều nếu được thực hiện trong miền tần số, vì chỉ cần làm phép nhân phổ tín hiệu vào với đáp ứng tần số.

Ví dụ: Cho hệ thống có đáp ứng tần số là:

⎩⎨⎧

≠<−

=f0

5|f|5/|f|1)f(H

Tìm phổ Y(f) của tín hiệu ra và tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là:

)t6cos(4)t4cos(3)t(x π+π=

Chương III

- 63 -

Trường hợp tín hiệu vào là tín hiệu sin, tín hiệu ra sẽ có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ có biên độ và pha là khác đi. Sự khác đi về biên độ và pha đó có thể xác định trực tiếp từ đáp ứng biên độ và đáp ứng pha. Cụ thể là:

[ ])f(Htf2cos|)f(H|.|X|)t(y)tf2cos(|X|)t(x

111

1

∠+θ+π=θ+π=

Chương III

- 64 -

Ta thường gọi đáp ứng biên độ và đáp ứng pha tại một tần số nào đó là độ lợi (gain) và độ dịch pha (phase shift) của hệ thống tại tần số đó.

Từ đây ta có thể mở rộng ra cho trường hợp tín hiệu vào có dạng tổng của các tín hiệu sin. Trong trường hợp này, ta tìm tín hiệu ra đơn giản bằng cách tìm tín hiệu ra ứng với từng tín hiệu sin thành phần, sau đó cộng các tín hiệu ra thành phần lại với nhau. Tín hiệu ra thành phần được tính rất đơn giản dựa vào độ lợi và dịch pha của hệ thống.

Hầu hết hệ thống đều có đáp ứng xung là hàm thực. Do đó đáp ứng biên độ là hàm chẵn và đáp ứng pha là hàm lẻ:

)f(H)f(H|)f(H||)f(H|

−∠=−∠=−

Nếu hệ thống nhân quả thì h(t) = 0 khi t < 0. Do đó h(t) không chẵn và cũng không lẻ, H(f) có cả phần thực và phần ảo khác 0. Do đó, dịch pha của hệ thống không thể bằng 0 trên toàn trục tần số, ngoại trừ trường hợp giá trị đầu ra là G lần giá trị đầu vào với G là hằng số. Trong trường hợp này,

)t(.G)t(h δ=

Hệ thống như thế này không thể thực hiện được về mặt vật lý.

2. Băng thông của hệ thống

Ta định nghĩa băng thông của hệ thống giống như định nghĩa băng thông của tín hiệu:

Băng thông của hệ thống liên tục (system bandwidth) là sai khác giữa hai tần số dương sao cho trong khoảng đó đáp ứng biên độ lớn hơn hay bằng α lần đáp ứng biên độ cực đại. Hệ số α được chọn tùy ý dựa vào ứng dụng. Tần số fc mà tại đó maxc |)f(H||)f(H| α= được gọi là tần số cắt (cutoff frequency).

Thường chọn 707.02

1≈=α băng thông tương ứng được gọi là băng thông -3dB và tần số

cắt tương ứng được gọi là tần số cắt -3dB.

Tùy theo băng thông của hệ thống mà ta gọi hệ thống là thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải. Hệ được gọi là thông thấp (lowpass system) nếu băng thông chứa các tần số thấp hơn tần số cắt, được gọi là thông cao (highpass system) nếu băng thông chứa các tần số cao hơn tần số cắt, được gọi là thông dải (bandpass system) nếu băng thông chứa các tần số nằm trong một dải tần từ f1 đến f2, được gọi là chắn dải (stopband system) nếu băng thông loại trừ đi một dải tần từ f1 đến f2.

Ví dụ:

Cho mạch lọc RC sau:

Chương III

- 65 -

(a) Tìm tín hiệu ra nếu tín hiệu vào là:

)t12cos(4)t4cos(4)t(x π+π=

Số hạng đầu là tín hiệu đơn tần chứa thông tin, số hạng sau là tín hiệu giao thoa thêm vào.

(b) Xác định băng thông -3dB. Đây là mạch lọc loại gì?

Chương III

- 66 -

3. Trễ pha của hệ thống

Đáp ứng tần số cung cấp cho ta thông tin rất hữu ích cho việc xác định thời gian trễ của tín hiệu truyền qua hệ thống. Lý do là vì thời gian trễ của một tín hiệu sin phụ thuộc vào độ dịch pha của hệ thống như vừa xét trên.

Trễ pha của hệ thống được định nghĩa như sau:

Trễ pha của hệ thống (system phase delay) là thời gian một tín hiệu đơn tần phải trải qua khi nó đi qua hệ thống.

Để tìm trễ pha, ta xét tín hiệu vào là tín hiệu sin:

)tf2cos(A)t(x θ+π=

Trễ pha tìm được là:

f2)f(H)f(t p π

∠−=

Nếu đáp ứng pha có giá trị âm tại các tần số dương thì tín hiệu bị trễ đi khi truyền qua hệ thống, ngược lại nếu đáp ứng pha có giá trị dương tại các tần số dương thì tín hiệu được làm sớm khi truyền qua hệ thống.

Nếu đáp ứng pha là một đường thẳng đi qua gốc trong một khoảng tần số nào đó thì tất cả các thành phần của tín hiệu trong khoảng tần số đó đều đi qua hệ thống với cùng thời gian trễ.

Chương III

- 67 -

Ví dụ: Xét mạch lọc RC ở trên. Dịch pha đối với tín hiệu mang tin là:

)rad(25.0)2(H π−=∠

Trễ pha đối với tín hiệu mang tin là:

)s(16/1)2(2/)25.0()2(t p =ππ−−=

Vậy tín hiệu mang tin tần số 2 Hz đi qua mạch lọc trên sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian là 1/16 (s).

4. Trễ nhóm của hệ thống

Để định nghĩa trễ nhóm, ta xét tín hiệu:

)tf2cos()t(m)t(x cm π=

ở đây m(t) là tín hiệu thông dải, tần số thấp, nằm trong khoảng c1 fff0 <≤≤ . Ta gọi tín hiệu xm(t) là tín hiệu điều biên, m(t) là tín hiệu mang tin và )tf2cos( cπ là sóng mang. Tần số của sóng mang là fc. Khi truyền tín hiệu điều biên qua hệ thống, thì tín hiệu này sẽ bị trễ đi một khoảng thời gian nào đó. Do tín hiệu điều biên có chứa một nhóm tần số bao quanh tần số sóng mang nên thời gian trễ này được gọi là trễ nhóm. Vậy ta có định nghĩa trễ nhóm như sau:

Trễ nhóm của hệ thống (system group delay) là khoảng thời gian trễ của một tín hiệu điều biên sóng mang cosine khi nó đi qua hệ thống.

Chương III

- 68 -

3.4.3 Xác định đáp ứng tần số Ta đã thấy đáp ứng tần số rất hiệu quả trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống và tính phổ của tín hiệu ra, do đó, ta cần tính được đáp ứng tần số.

Một trong các cách tính đáp ứng tần số là giải phương trình vi phân của hệ thống với điều kiện đầu bằng 0 và đầu vào là tín hiệu xung để tìm đáp ứng xung. Sau đó ta tính biến đổi Fourier của đáp ứng xung. Tuy nhiên, cách này phức tạp do phải giải phương trình vi phân. Sau đây ta sẽ xét hai cách khác không cần đến giải phương trình vi phân.

1. Xác định đáp ứng tần số từ phương trình vi phân

Ta có phương trình vi phân biểu diễn hệ tuyến tính bất biến có dạng tổng quát là:

∑∑==

=M

1rr

r

r

N

1kk

k

k dt)t(xdb

dt)t(yda

Tính biến đổi Fourier hai vế, áp dụng tính chất tuyến tính và đạo hàm, ta được:

∑

∑

∑∑

=

=

==

π

π==⇒

π=π

N

1k

kk

M

1r

rr

M

1r

rr

N

1k

kk

)f2j(a

)f2j(b

)f(X)f(Y)f(H

)f(X)f2j(b)f(Y)f2j(a

Ví dụ: Tìm đáp ứng tần số của mạch lọc RC

Chương III

- 69 -

2. Xác định đáp ứng tần số từ phasor của tín hiệu vào và ra Ta biết đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến đối với một tín hiệu vào dạng sin sẽ là một tín hiệu có cùng dạng sin với cùng tần số, chỉ khác về biên độ và pha. Điều này gợi ý cho ta một cách tính đáp ứng tần số của hệ thống dựa vào đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào dạng sin có tần số f nào đó. Bài toán liên quan đến hệ tuyến tính và tín hiệu vào dạng sin có thể giải quyết dễ dàng nếu dùng cách biểu diễn phasor.

Giả sử tín hiệu vào là:

)Xtf2cos(|X|)t(x 1 ∠+π=

Tín hiệu ra tương ứng là:

)Ytf2cos(|Y|)t(y 1 ∠+π=

Biểu diễn phasor hai tín hiệu trên là:

Yjf

Xjf

e|Y|Y

e|X|X

1

1

∠

∠

=

=

Chương III

- 70 -

Đáp ứng tần số là:

f

f

XY)f(H =

với Yf và Xf là phasor của tín hiệu ra và vào.

Vậy ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ thống bằng cách tính tỷ số của phasor của tín hiệu sin ra trên phasor của tín hiệu sin vào ở tất cả các tần số.

Để tìm tỷ số này, ta phải biểu diễn tín hiệu sin và các phép toán trong hệ thống dưới dạng phasor. Các phép toán trong hệ thống gồm có cộng, nhân với hằng số, đạo hàm và tích phân. Phasor tương ứng với các phép toán này được trình bày trong bảng sau:

Phép toán Miền thời gian Phasor Cộng w(t) + z(t) Wf + Zf Nhân với hằng số bw(t) bWf

Đạo hàm dt

)t(dw fWf2j π

Tích phân ∫ dt)t(w f2j

Wf

π

Trường hợp hệ thống được biểu diễn bằng sơ đồ khối, trước hết ta phải thay đổi tất cả tín hiệu và các phép toán trong hệ thống bằng biểu diễn dạng phasor, sau đó tính đáp ứng tần số như trên.

Ví dụ:

Tìm đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển nhiệt độ có hồi tiếp sau:

Chương III

- 71 -

Chương III

- 72 -

Ta tính được trễ nhóm là:

df)f(Hd

21)f(t g

∠π

−=

Như vậy, trễ nhóm tỷ lệ với âm của độ dốc của đáp ứng pha tại tần số sóng mang.

Trong hầu hết các trường hợp thì đáp ứng pha là một đường cong. Điều này nghĩa là độ dốc của đáp ứng pha không phải là một hằng số trong khoảng tần số của tín hiệu điều chế. Do đó, tín hiệu điều chế sẽ bị méo cũng như bị trễ thời gian. Độ méo sẽ nhỏ nếu f∆ đủ nhỏ để cho độ dốc của đáp ứng pha gần bằng hằng số trong khoảng f- f∆ đến f+ f∆ .

Ví dụ: Tìm trễ nhóm của mạch lọc thông thấp RC đối với tần số:

(a) RC2/1f π=

(b) RC/1f π=

Chương IV

- 74 -

Chương 4 PHÂN TÍCH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong chương này, ta sẽ xét đáp ứng của hệ thống nhân quả tuyến tính bất biến khi tín hiệu tác động vào hệ thống ở thời điểm t = 0, các điều kiện đầu có thể bằng 0 hay khác 0. Công cụ dùng để xác định đáp ứng tần số của hệ thống là phép biến đổi Laplace.

Phép biến đổi Laplace là một công cụ rất tuyệt vời trong việc phân tích hệ thống liên tục vì những lý do sau đây:

- Nó thay thế phương trình vi phân bằng phương trình đại số, giúp cho việc giải phương trình vi phân được đơn giản đi nhiều.

- Nó giúp tìm nghiệm tổng quát một cách trực tiếp, nghĩa là tìm được đáp ứng tổng quát chứa cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0.

- Có thể dùng phép biến đổi Laplace cho các tín hiệu không có phổ (tức là các tín hiệu không có biến đổi Fourier)

- Biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến nhân quả là hàm truyền đạt của hệ. Hàm này rất hữu ích trong việc xác định các đặc điểm của hệ thống.

Chương này gồm hai nội dung chính:

- Lý thuyết phép biến đổi Laplace, gồm các công thức tính biến đổi Laplace thuận và ngược, các tính chất, cách tính.

- Ưng dụng phép biến đổi Laplace vào bài toán phân tích hệ thống. Bài toán phân tích hệ thống ở đây là bài toán tìm tín hiệu ra hệ thống theo một tín hiệu vào cụ thể. Bài toán có thể thực hiện dựa vào giải phương trình vi phân hoặc là dựa vào một mô hình toán học khác của hệ thống- đó là hàm truyền đạt.

4.1 GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Phần này sẽ trình bày về phép biến đổi Laplace tổng quát - đó là phép biến đổi Laplace hai phía và biến đổi Laplace ngược tương ứng. Sau đó ta sẽ xem xét phép biến đổi Laplace một phía- đó là một trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Laplace hai phía. Phần này cũng sẽ bàn về điều kiện tồn tại và các tính chất của phép biến đổi Laplace một phía.

4.1.1 Phép biến đổi Laplace hai phía

1. Định nghĩa biến đổi Laplace hai phía

Ta tìm biến đổi Fourier của tín hiệu )t(xe tσ− (trong đó σ là một hằng số thực):

dte)t(xdte)t(xe)t(xeFT t)j(tjtt ∫∫∞

∞−

ω+σ−∞

∞−

ω−σ−σ− ==

Ta có thể chọn hằng số σ sao cho )t(xe tσ− thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối:

∞<∫∞

∞−

σ− dt)t(xe t

Chương IV

- 75 -

Ta thấy rằng có thể có các tín hiệu x(t) không thỏa điều kiện khả tích tuyệt đối nhưng nhờ nhân với te σ− mà trở thành )t(xe tσ− khả tích tuyệt đối. Như vậy, biến đổi Fourier của

)t(xe tσ− luôn tồn tại nếu ta chọn σ thích hợp.

Ta đặt:

ω+σ≡ js

Biến s là một biến phức.

Ta có thể vẽ các giá trị của biến phức s trong một mặt phẳng gọi là mặt phẳng s (s-plane).

Mặt phẳng s có trục hoành là Re[s] và trục tung là Im[s].

Ta định nghĩa phép biến đổi Laplace bằng cách dùng biến phức s.

Biến đổi Laplace hai phía (double-sided Laplace Transform) của tín hiệu x(t) là:

)s(Xdte)t(x)t(xeFT)t(xLT st

sj

t ≡== ∫∞

∞−

−

=ω+σ

σ−

Như vậy biến đổi Laplace hai phía của tín hiệu x(t) chính là biến đổi Fourier của tín hiệu )t(xe tσ− được viết dưới dạng một hàm theo biến phức ω+σ≡ js .

Như nói trên, ta có thể chọn σ sao cho biến đổi Laplace của x(t) tồn tại. Ưng với một giá trị của σ , ta xác định được một đường thẳng song song với trục tung trong mặt phẳng s. Tập các đường thẳng này tạo thành một phần mặt phẳng và được gọi là miền hội tụ (region of convergence) của phép biến đổi Laplace hai phía của x(t).

2. Biểu thức tính biến đổi Laplace hai phía ngược

Ta có thể khôi phục tín hiệu x(t) từ biến đổi Laplace hai phía của nó bằng cách dùng biến đổi Laplace ngược.

1σ

Im(s)

s = 4+j2

Đường tích phân cho LT -1

2

4 Re(s)

Mặt phẳng s

Chương IV

- 76 -

∫∞+σ

∞−σ

−≡π

=j

j

1st1

1

)s(XLTdse)s(Xj2

1)t(x

Để tính biến đổi Laplace ngược, ta phải lấy tích phân của hàm biến phức X(s)est dọc theo đường thẳng ω+σ≡ js 1 trong mặt phẳng s. Ta phải chọn 1σ sao cho đường thẳng

ω+σ≡ js 1 nằm trong miền hội tụ của X(s).

Có nhiều trường hợp các tín hiệu khác nhau có cùng hàm biến đổi Laplace hai phía, chỉ khác nhau ở miền hội tụ. Vậy biến đổi Laplace hai phía phụ thuộc vào hàm biến đổi X(s) và miền hội tụ.

4.1.2 Phép biến đổi Laplace một phía

1. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía

Phép biến đổi Laplace hiệu quả nhất trong việc tính đáp ứng của hệ nhân quả đối với tín hiệu vào bắt đầu ở thời điểm 0t ≥ . Trong trường hợp này, cả tín hiệu và đáp ứng xung đều bằng 0 với t < 0 và biến đổi Laplace hai phía trở thành biến đổi Laplace một phía (single-sided Laplace transform):

∫∞

−

−

=0

stdte)t(x)s(X

Cận dưới của tích phân trên là 0- ý là bao hàm cả gốc thời gian trong tích phân, ở đây là bao gồm cả các điểm gián đoạn và xung tại gốc thời gian. Sau đây, ta viết cận dưới là 0 thay cho 0- cho đơn giản.

Biến đổi Laplace của tín hiệu x(t) cũng chính là biến đổi Laplace một phía của tín hiệu x(t)u(t).

2. Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía

Nếu x(t) khả tích tuyệt đối trong khoảng Tt0 <≤− với T > 0 bất kỳ và nếu có thể chọn các số thực c và K sao cho K)t(xe ct ≤− với Tt ≥ thì tích phân biến đổi Laplace một phía hội tụ tuyệt đối và duy nhất với mọi s thỏa Re(s) > c.

Giá trị c nhỏ nhất gọi là hoành độ của hội tụ tuyệt đối (abscissa of absolute convergence).

Từ định lý này ta thấy: nếu biến đổi Laplace một phía tồn tại thì miền hội tụ là miền bên phải của đường thẳng ω+= jcs . Miền hội tụ được biểu diễn minh họa bằng vùng có gạch chéo trên hình vẽ sau:

-2

c = 2

4

Chương IV

- 77 -

3. Biểu thức tính biến đổi Laplace một phía ngược

Biến đổi Laplace một phía ngược được tính tương tự như Laplace hai phía ngược, nhưng kết quả chỉ có nghĩa với 0t ≥ .

Định lý về sự tồn tại của biến đổi Laplace một phía cho thấy chỉ có một miền hội tụ duy nhất đối với một tín hiệu. Tín hiệu đó bằng 0 khi t < 0. Do đó, kết quả tính biến đổi Laplace một phía ngược chỉ có duy nhất một tín hiệu. Tính duy nhất này làm cho phép biến đổi Laplace một phía trở thành một công cụ rất hiệu quả trong phân tích hệ thống.

Từ đây trở đi, ta tập trung xét phép biến đổi Laplace một phía.

Tóm lại, sự chuyển đổi tín hiệu giữa miền thời gian t và miền biến phức s được thực hiện nhờ cặp biến đổi Laplace thuận và ngược và được ký hiệu ngắn gọn như sau:

)s(X)t(x L⎯→←

4.1.3 Tính phép biến đổi Laplace

1. Ví dụ 1

Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ue)t(x tα−= và miền hội tụ

2. Ví dụ 2

Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t()t(x δ= và miền hội tụ

3. Ví dụ 3

Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu )t(tu)t(x = và miền hội tụ

Chương IV

- 78 -

4.2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Các tính chất của phép biến đổi Laplace giúp cho việc tính biến đổi Laplace thuận và ngược trở nên dễ dàng hơn. Sau đây nêu một vài tính chất thông dụng.

4.2.1 Tính tuyến tính Nếu

)s(X)t(x L⎯→← và )s(Y)t(y L⎯→←

Thì

)s(bY)s(aX)t(by)t(ax L +⎯→←+

Ví dụ:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(u)tsin()t(x 0ω=

4.2.2 Thay đổi thang thời gian

Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

0mmsX

m1)mt(x L >⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎯→←

Ví dụ:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t3(r)t(x =

4.2.3 Trễ thời gian Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

0te)s(X)tt(x 0stL

00 >⎯→←− −

Chương IV

- 79 -

Ví dụ: Tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung của hệ giữ mẫu bậc 0 (ZOH), biết thời gian giữ mẫu là T.

4.2.4 Dịch s Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

)as(X)t(xe Lat +⎯→←−

Ví dụ:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu sin suy giảm )t(u)tsin(e)t(x 0at ω= −

4.2.5 Nhân với t

Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

n

nnLn

L

ds)s(Xd)1()t(xt

ds)s(dX)t(tx

−⎯→←

−⎯→←

Ví dụ:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu )t(ute)t(x at−=

Chương IV

- 80 -

4.2.6 Đạo hàm x(t)

Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

−=

−

=

−−∑−⎯→←0t

1n

0ii

ii1nnL

n

n

dt)t(xds)s(Xs

dt)t(xd

4.2.7 Tích phân x(t)

Nếu

)s(X)t(x L⎯→←

Thì

s)0(y

s)s(X)0(yd)(x)t(y L

t

0

−− +⎯→←+λλ= ∫

−

Chương IV

- 81 -

4.2.8 Tính chất chập Nếu

)s(X)t(x L⎯→← và )s(Y)t(y L⎯→←

Thì

)s(Y).s(X)t(y)t(x L⎯→←∗

4.3 TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Ta có thể tính x(t) từ biến đổi Laplace một phía X(s) bằng cách tính tích phân:

∫∞+σ

∞−σ

−≡π

=j

j

1st1

1

)s(XLTdse)s(Xj2

1)t(x với 0t ≥

dọc theo đường thẳng ω+σ= js 1 trong mặt phẳng s. Việc tính tích phân này liên quan đến lý thuyết về biến phức và khá phức tạp.

Trong phần này, ta sẽ tính biến đổi Laplace ngược không bằng cách tính tích phân trên. Các tính toán ở đây dựa vào các cặp biến đổi Laplace đã biết và các tính chất của phép biến đổi Laplace đã xét trên.

Trước khi đi vào tính biến đổi Laplace ngược, ta xét qua khái niệm về điểm cực và điểm không.

4.3.1 Điểm cực và điểm không Thực tế có nhiều tín hiệu và đáp ứng xung của hệ tuyến tính bất biến có biến đổi Laplace dạng hữu tỷ:

)s(Q)s(P

qsqsqsqpspspsp)s(X01

1n1n

nn

011m

1mm

m ≡++++++++

= −−

−−

L

L

Vì các tín hiệu và đáp ứng xung ta xét là thực nên các hệ số trong phân thức trên là thực.

Ta có thể phân tích đa thức tử số và mẫu số trên thành tích các thừa số, tử số thành tích m thừa số và mẫu số thành tích n thừa số:

Chương IV

- 82 -

)s)...(s)(s(q)s)...(s)(s(p)s(X

n21n

m21m

α−α−α−β−β−β−

=

Tử số của X(s) bằng 0 khi:

is β= với m,1i =

Ta gọi các s này là điểm không (zero) của X(s).

Mẫu số của X(s) bằng 0 khi:

is α= với n,1i =

Các giá trị s này làm cho ∞=)s(X và ta gọi đó là điểm cực (pole) của X(s).

Số lượng điểm cực trùng nhau được gọi là bậc (order) của điểm cực, tương tự, số lượng điểm không trùng nhau được gọi là bậc của điểm không.

Các điểm cực và điểm không có thể thực hoặc phức. Khi chúng là số phức, chúng phải xuất hiện thành cặp liên hợp phức. Cụ thể là:

Nếu có một điểm không là jbak +=α thì sẽ có một điểm không nữa là jba*kl −=α=α để

đảm bảo tích của hai thừa số:

)ba(as2s)jbas)(jbas()s)(s( 222lk ++−=+−−−=α−α−

có các hệ số thực.

Ta thường biểu diễn các điểm cực và không trong mặt phẳng s (ký hiệu điểm không là O, ký hiệu điểm cực là X) và gọi là giản đồ điểm cực-không (pole-zero diagram).

Ví dụ: Tìm điểm cực-không và biểu diễn trong mặt phẳng s:

(a) 5s2s

12s3)s(X 2 +++

=

(b) 18s42s31s8s

20s4s)s(Y 234

2

+++++−

=

Chương IV

- 83 -

4.3.2 Tính biến đổi Laplace ngược Về nguyên tắc, ta có thể tính biến đổi Laplace ngược không theo con đường tính tích phân Laplace ngược bằng cách:

Ta phân tích hàm hữu tỷ X(s) thành tổng của các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn mà ta đã biết biến đổi Laplace ngược. Theo tính chất tuyến tính, biến đổi Laplace ngược của hàm X(s) chính là tổng của các biến đổi Laplace ngược của các hàm có bậc thấp hơn này.

Để phân tích hàm hữu tỷ X(s), trước hết ta xem nó có phải là phân thức thật sự (proper) chưa. Phân thức thật sự là phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu. Nếu X(s) chưa phải là phân thức thật sự, tức là bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu, ta chia tử cho mẫu để được một tổng gồm hai số hạng. Số hạng thứ nhất là một đa thức theo s và số hạng thứ hai là phần dư của phép chia- đó là một phân thức thật sự.

Ta khai triển phân thức thật sự (hàm X(s) hay phần dư) thành tổng các hàm hữu tỷ có bậc thấp hơn bằng phương pháp khai triển riêng phần (partial-fraction expansion)

Giả sử X(s) là một phân thức thật sự có dạng:

2n2

1n1 )s()s(

)s(P)s(Xα−α−

=

Bậc của mẫu là n1+n2 = n. X(s) có hai điểm cực là 1α bậc n1 và 2α bậc n2. Khai triển riêng phần của X(s) là:

∑∑== α−

+α−

≡α−α−

2n

1ii

2

i21n

1ii

1

i12n

21n

1 )s(A

)s(A

)s()s()s(P

Ta có thể tìm n1 hệ số Ai1 và n2 hệ số A2i (n1+n2 = n) theo cách sau:

Quy đồng mẫu số vế phải, sau đó đồng nhất tử số bên vế phải với tử số bên vế trái, ta được hệ n phương trình. Giải hệ n phương trình đó, ta tìm được n nghiệm- đó chính là n hệ số Ai1 và A2i.

4.3.3 Các ví dụ tính biến đổi Laplace ngược

1. Ví dụ 1

Tính biến đổi Laplace ngược của:

3

23

)1s)(2s(3s11s8s2)s(X

+++++

=

Chương IV

- 84 -

Chương IV

- 85 -

2. Ví dụ 2


10s19s13s5s27s22s3)s(Y 234

2

++++++

=

Chương IV

- 86 -

3. Ví dụ 3


)5s2s)(1s)(2s(27s22s3)s(X 2

2

++++++

=

Chương IV

- 87 -

4. Ví dụ 4


)2s3s(sees)s(W 2

s3s22

+++

=−−

Chương IV

- 88 -

4.3.4 Vị trí điểm cực và dạng tín hiệu Như trên ta biết, có thể biểu diễn X(s) dưới dạng hữu tỷ:

)s)...(s)(s(q)s)...(s)(s(p)s(X

n21n

m21m

α−α−α−β−β−β−

=

ở đây iβ là điểm không, iα là điểm cực và pm/qn là một hằng số.

1. Nếu X(s) chỉ có các điểm cực đơn

Khai triển riêng phần của X(s) là một trong các dạng sau:

γ+=

sA)s(X1

hoặc

222 )s(B

)js)(js(B)s(X

ω+γ+ω

=ω−γ+ω+γ+

ω=

hoặc

223 )s()s(C

)js)(js()s(C)s(X

ω+γ+γ+

=ω−γ+ω+γ+

γ+=

Các hệ số A, B, C phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s).

Các tín hiệu tương ứng với các hàm Xi(s) trên lần lượt là:

)t(uAe)t(x t1

γ−=

)t(u)tsin(Be)t(x t2 ω= γ−

)t(u)tcos(Ce)t(x t3 ω= γ−

2. Nếu X(s) có các điểm cực trùng nhau (cực bội) Các tín hiệu sẽ là các dạng sau:

)t(ue)t(f)t(x t11

γ−=

)t(u)tsin(e)t(f)t(x t22 ω= γ−

)t(u)tcos(e)t(f)t(x t33 ω= γ−

ở đây fi(t) là các đa thức theo t, bậc của đa thức nhỏ hơn 1 so với bậc của điểm cực tương ứng. Các hệ số của đa thức phụ thuộc vào các hệ số của hàm X(s).

Phần thực của các điểm cực (là γ− ) quyết định tín hiệu tăng hay giảm nhanh chậm như thế nào theo thời gian. Các điểm cực càng gần trục ảo thì tín hiệu tăng/giảm càng chậm. Phần ảo của các cặp điểm cực phức liên hợp xác định tần số dao động của thành phần dao động (sin/cos) trong tín hiệu.

Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm cực đơn sẽ bị chặn nếu 0≥γ , tức là các điểm cực nằm trên trục ảo hay bên trái mặt phẳng s. Các tín hiệu ứng với biến đổi Laplace có điểm cực bội sẽ bị chặn nếu 0>γ , tức là các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng s.

Chương IV

- 89 -

4.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ THỐNG DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Một ứng dụng quan trọng của phép biến đổi Laplace là giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với 0t ≥ . Phương trình này đặc trưng cho hệ thống tuyến tính bất biến.

4.4.1 Các bước giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace 1. Tính biến đổi Laplace cho hai vế của phương trình, sử dụng các tính chất tuyến tính và đạo hàm, ta được một phương trình đại số có nghiệm là Y(s)

2. Giải phương trình đại số để tìm nghiệm Y(s)

3. Tính biến đổi Laplace ngược của Y(s) để tìm ra y(t) với 0t ≥ .

Khi tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình, các điều kiện ban đầu sẽ tự động có mặt. Do đó, kết quả ta sẽ có được đáp ứng của hệ thống gồm cả đáp ứng trạng thái 0 và đáp ứng đầu vào 0 với 0t ≥ .

4.4.2 Ví dụ giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng dùng phép biến đổi Laplace

1. Ví dụ 1

Hệ thống định vị bậc 2 của một thiết bị cơ khí được đặc trưng bởi phương trình vi phân:

)t(x)t(y6dt

)t(dy5dt

)t(yd2

2

=++

ở đây x(t) là vị trí yêu cầu và y(t) là vị trí đáp ứng.

Giải tìm y(t) với 0t ≥ khi x(t) = u(t) và các điều kiện đầu là: 12dt

)t(dy,2)0(y0t

−==−=

− .

Chương IV

- 90 -

2. Ví dụ 2

Cho mạch điện sau:

Tìm điện áp trên cuộn dây v0(t) với 0t ≥

Chương IV

- 91 -

Chương IV

- 92 -

4.5 GIẢI MẠCH ĐIỆN DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Trong ví dụ 2 ở mục 4.4.2, ta giải tìm tín hiệu ra của mạch điện bằng cách viết phương trình vi tích phân biểu diễn vào-ra, rồi áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình đó.

Ngoài cách trên, ta có thể tìm tín hiệu trong mạch điện mà không cần viết phương trình vi tích phân nếu ta biểu diễn tín hiệu và các thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace (Laplace transform equivalent). Tương đương Laplace của một tín hiệu chính là biến đổi Laplace của tín hiệu đó. Tương đương Laplace của một thành phần trong mạch điện là biến đổi Laplace của mô hình toán học của nó, nói cách khác là ta thay biểu diễn trong miền thời gian t thành biểu diễn trong miền biến s. . Ta gọi sơ đồ mạch tạo ra từ các tương đương Laplace là sơ đồ mạch biến đổi (transformed circuit diagram). Ta sử dụng sơ đồ mạch biến đổi, biến đổi Laplace của tín hiệu vào, các điều kiện đầu và kỹ thuật phân tích mạch để có được biến đổi Laplace của tín hiệu ra, rồi tính biến đổi Laplace ngược, ta sẽ có được tín hiệu ra.

4.5.1 Sơ đồ mạch biến đổi Để tạo ra sơ đồ mạch biến đổi, ta thay từng thành phần trong mạch bằng tương đương Laplace của nó.

Trong phần này ta xét các thành phần mạch là nguồn áp, nguồn dòng, điện trở, cuộn dây, tụ điện.

Chương IV

- 93 -

Chương IV

- 94 -

4.5.2 Ví dụ Làm lại ví dụ 2 ở mục 4.4.2

Chương IV

- 95 -

4.6 HÀM TRUYỀN ĐẠT

4.6.1 Định nghĩa hàm truyền đạt Đáp ứng trạng thái 0 của hệ tuyến tính bất biến là

Y(t) = x(t) * h(t)

ở đây x(t) là tín hiệu vào và h(t) là đáp ứng xung. Nếu hệ nhân quả và tín hiệu x(t) đưa vào hệ thống ở thời điểm 0t ≥ thì ta có thể áp dụng tính chất chập của phép biến đổi Laplace để có:

Y(s) = X(s).H(s)

Vậy, biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là tích của biến đổi Laplace của tín hiệu vào và đáp ứng xung. Từ đây ta có định nghĩa:

Hàm truyền đạt của hệ thống (system transfer function) là hàm theo biến s. Khi được nhân với biến đổi Laplace của tín hiệu vào, hàm này sẽ tạo ra biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0.

Trong một hệ thống, ứng với mỗi X(s) chỉ có duy nhất một Y(s) tương ứng. Do đó, hàm truyền đạt H(s) là duy nhất và là biến đổi Laplace của đáp ứng xung. Vì đáp ứng xung đặc trưng cho hệ trong miền thời gian nên hàm truyền đạt đặc trưng cho hệ trong miền s.

Ta có thể viết:

H(s) = Y(s)/X(s)

Vậy, hàm truyền đạt cũng là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào.

Từ hàm truyền đạt, ta có thể tính được đáp ứng trạng thái 0 rất đơn giản bằng cách:

Tính biến đổi Laplace của tín hiệu vào, nhân với hàm truyền đạt rồi tính biến đổi Laplace ngược.

4.6.2 Tính hàm truyền đạt Ta có thể tính hàm truyền đạt bằng cách tính biến đổi Laplace của đáp ứng xung, nhưng muốn có đáp ứng xung ta phải giải phương trình vi phân khá phức tạp. Thực ra thì ta có thể tính được hàm truyền đạt mà không cần phải giải phương trình vi phân.

1. Tính hàm truyền đạt từ phương trình hệ thống

Phương trình vi phân của hệ tuyến tính bất biến bậc n có dạng chuẩn sau:

∑∑==

=+m

0rr

r

r

n

1kk

k

k dt)t(xdb

dt)t(yda)t(y

Các hệ số ak và br là các hằng số thực.

Giả sử các điều kiện đầu bằng 0, tính biến đổi Laplace cho cả hai vế, ta được:

Giải ra H(s) dạng chuẩn như sau:

Chương IV

- 96 -

Ví dụ: Trong hệ thống điều khiển quỹ đạo tàu vũ trụ, đáp ứng y(t) của động cơ đẩy phản lực đối với tín hiệu kích hoạt x(t) được thể hiện trong phương trình sau:

)t(x9dt

)t(dx3dt

)t(dy5.1dt

)t(yd5.0)t(y 2

2

++−−=

(a) Tìm hàm truyền đạt

(b) Tìm đáp ứng xung

2. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ mạch điện

Ta chuyển sơ đồ mạch thành sơ đồ biến đổi như trình bày trong mục 4.5.1, dùng các kỹ thuật phân tích mạch để viết các phương trình chỉ ra các mối quan hệ, từ đó rút ra hàm truyền đạt.

Ví dụ: Tìm hàm truyền của mạch lọc cầu T cung cấp cho tải là điện trở Ω2

Chương IV

- 97 -

3. Tính hàm truyền đạt từ sơ đồ khối

Chương IV

- 98 -

4.6.3 Quan hệ giữa các đặc điểm của hàm truyền đạt và đáp ứng của hệ thống Hàm truyền đạt của một hệ tuyến tính bất biến bậc n là:

)s(D)s(N

sa...sa1sb...sbb)s(H n

n1

mm10 =

++++++

=

Phân tích tử số và mẫu số ra tích các thừa số, ta được:

)s(D)s(N

)ps)...(ps)(ps()zs)...(zs)(zs(

ab)s(H

n21

m21

n

m =−−−−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ở đây zi là điểm không, pi là điểm cực và bm/an là độ lợi (gain). Qua đây ta thấy hàm hệ thống được đặc trưng bởi các cực, không và độ lợi. Như vậy, một hệ thống sẽ được đặc trưng bởi vị trí của các cực và không của hàm truyền đạt (ngoại trừ điều kiện đầu và độ lợi).

Ta sẽ phân tích kỹ hơn về điều này.

Biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0 là:

)s)...(s()s)...(s(

)ps)...(ps()zs)...(zs(G)s(X

)s(D)s(N)s(X).s(H)s(Y

r1

k1

n1

m1

α−α−β−β−

⋅−−−−

===

ở đây zi là điểm không của hàm truyền đạt, pi là điểm cực của hàm truyền đạt, iβ là điểm không của tín hiệu vào, iα là điểm cực của tín hiệu vào, G là một hằng số thực.

Ta đã biết dạng của tín hiệu phụ thuộc vào các điểm cực. Do đó, trong đáp ứng trạng thái 0, sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu vào và sẽ có những thành phần có dạng phụ thuộc vào các điểm cực của hàm truyền đạt.

Ta tính biến đổi Laplace hai vế của phương trình hệ thống sau:

∑∑==

=+m

0rr

r

r

n

1kk

k

k dt)t(xdb

dt)t(yda)t(y

với điều kiện đầu khác 0. Kết quả là:

∑∑==

=++m

0r

rr

n

1k

kk )s(Xsb)s(I)s(Ysa)s(Y

ở đây I(s) là một đa thức theo s có các hệ số là hằng số, được tạo ra do biến đổi Laplace của đạo hàm của y(t) với điều kiện đầu khác 0.

Ta có thể viết lại Y(s) dưới dạng:

)s(D)s(I)s(X

)s(D)s(N)s(Y +=

Y(s) chính là biến đổi Laplace của tín hiệu ra. Ta thấy Y(s) là tổng của hai số hạng:

- Số hạng thứ nhất là biến đổi Laplace của đáp ứng trạng thái 0.

- Số hạng thứ hai là biến đổi Laplace của đầu ra khi điều kiện đầu khác 0 và tín hiệu vào bằng 0, tức đây chính là đáp ứng đầu vào 0. Dạng của các thành phần của đáp ứng đầu vào 0 phụ thuộc vào điểm cực của hàm truyền đạt. Tử số của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng gì đến đáp ứng đầu vào không, do đó điểm không của hàm truyền đạt không có ảnh hưởng gì đến đáp ứng đầu vào 0.

Chương IV

- 99 -

4.6.4 Sử dụng hàm truyền đạt xác định tính ổn định và đáp ứng tần số của hệ thống Đôi khi ta có thể phân tích và thiết kế hệ thống trực tiếp từ hàm truyền đạt mà không cần phải đưa một tín hiệu cụ thể vào hệ thống. Ví dụ như, việc hiệu chỉnh hệ thống điều khiển thường được thực hiện bằng cách đưa thêm các thành phần vào trong hệ thống để làm thay đổi vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm truyền đạt. Do đó ta tạo ra được sự thay đổi mong muốn trong các đặc điểm về sự dao động và suy giảm của hệ thống. Một ví dụ khác, ta có thể đánh giá sự ổn định của hệ thống dựa vào hàm truyền đạt mà không cần tìm tín hiệu ra. Hay như một ví dụ khác nữa, ta có thể xác định đáp ứng tần số của hệ thống từ hàm truyền đạt mà không cần thực hiện phân tích riêng trong miền tần số.

1. Tính ổn định của hệ thống

Trong hầu hết các trường hợp, ta đều cần một hệ thống tạo ra tín hiệu ra bị chặn với tín hiệu vào bị chặn. Nghĩa là, hệ phải có tính chất ổn định BIBO.

Ta có thể xác định được hệ thống có ổn định BIBO hay không dựa vào hàm truyền đạt qua hai điều kiện.

Điều kiện 1:

Bậc của tử số của hàm truyền đạt không được lớn hơn bậc của mẫu số của hàm truyền đạt.

Ta xét hàm truyền đạt có bậc của tử lớn hơn k so với bậc của mẫu. Chia tử cho mẫu ta được:

)s(D)s(NCsC...sC

)s(D)s(N)s(H 1

01k

k ++++==

ở đây bậc của N1(s) nhỏ hơn bậc của D(s). Nếu cho tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị (tín hiệu bị chặn) thì biến đổi Laplace của tín hiệu ra là:

)s(sD)s(N

sCC...sC)s(H

s1)s(Y 10

11k

k ++++== −

Giả sử N1(s)/sD(s) tương ứng với một tín hiệu bị chặn y1(t) nào đó, thì

Trong y(t), thành phần trong dấu ngoặc vuông sau bị chặn nhưng thành phần trong dấu ngoặc vuông trước là không bị chặn.

Vì ta tìm được một tín hiệu ra không bị chặn khi tín hiệu vào bị chặn với k > 0 nên hệ không ổn định BIBO với k > 0.

Như vậy, bậc của tử không lớn hơn bậc của mẫu là một điều kiện cho hệ ổn định.

Điều kiện 2:

Các điểm cực của hàm truyền đạt phải nằm bên trái trong mặt phẳng s, tức điểm cực là ω±γ−= jp với 0>γ .

Như đã trình bày trong mục 4.3.4 về sự liên quan giữa điểm cực và dạng tín hiệu, nếu hàm truyền đạt H(s) chỉ có các điểm cực đơn thì đáp ứng xung h(t) có dạng:

)t(uAe)t(h t1

γ−=

hoặc )t(u)tsin(Be)t(h t2 ω= γ−

[ ])t(y)t(uC)t(C...dt

)t(dC)t(y 1011k

1k

k ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δ++

δ= −

−

Chương IV

- 100 -

hoặc )t(u)tcos(Ce)t(h t3 ω= γ−

Ta thấy các đáp ứng này bị chặn nếu 0≥γ .

Nếu H(s) có các điểm cực bội thì:

)t(ue)t(f)t(h t11

γ−=

hoặc )t(u)tsin(e)t(f)t(h t22 ω= γ−

hoặc )t(u)tcos(e)t(f)t(h t33 ω= γ−

Ta thấy các đáp ứng này bị chặn nếu 0>γ .

Bây giờ ta xét tín hiệu vào bị chặn và không có điểm cực nào trùng với điểm cực của hàm truyền đạt. Kết quả là các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực của tín hiệu vào sẽ có cùng dạng với các thành phần của tín hiệu vào. Các thành phần này bị chặn do tín hiệu vào bị chặn. Còn các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực của hàm truyền đạt thì bị chặn nếu 0≥γ cho trường hợp điểm cực đơn và nếu 0>γ cho trường hợp điểm cực bội.

Tiếp đến ta xét tín hiệu vào bị chặn và có một điểm cực trùng với một điểm cực của hàm truyền đạt. Tín hiệu ra lúc này sẽ có một điểm cực bội tại vị trí của điểm cực chung. Do đó tín hiệu ra chỉ bị chặn nếu điểm cực của hàm truyền đạt có 0>γ .

Với hai tín hiệu đã trình bày trên, ta thấy hệ thống sẽ tạo ra tín hiệu ra bị chặn với mọi tín hiệu vào bị chặn nếu 0>γ . Điều này có nghĩa là các cực của hàm truyền đạt nằm bên trái của mặt phẳng s là điều kiện cho hệ ổn định BIBO.

Nếu hệ thống có hàm truyền đạt có các cực nằm bên trái mặt phẳng s và các cực đơn nằm trên trục ảo, ta nói hệ ở ranh giới ổn định. Hệ này sẽ tạo ra tín hiệu ra bị chặn với tất cả tín hiệu vào bị chặn ngoại trừ tín hiệu vào có điểm cực cũng nằm trên trục ảo ở cùng vị trí với một điểm cực của hàm truyền đạt.

Cuối cùng, hệ thống có điểm cực nằm bên phải mặt phẳng s hay các cực bội nằm trên trục ảo thì sẽ không ổn định. Vì các thành phần của tín hiệu ra phụ thuộc vào các điểm cực này luôn luôn không bị chặn.

Điều kiện tương đương:

Điều kiện tương đương với điều kiện thứ 2 là hệ sẽ ổn định BIBO nếu đáp ứng xung của hệ khả tích tuyệt đối.

2. Đáp ứng tần số của hệ thống

Ta có thể tìm được đáp ứng tần số của hệ tuyến tính bất biến nhân quả từ hàm truyền đạt, nếu đáp ứng tần số tồn tại.

Để làm được điều này, ta thay s bằng f2j π trong hàm truyền đạt:

dte)t(hdte)t(h)t(hLT)f(H ft2j

0

ft2j

f2js∫∫∞

∞−

π−∞

π−

π====

−

Vì h(t) = 0 với t < 0.

Đáp ứng tần số tồn tại nếu tích phân trên hội tụ, nghĩa là nếu miền hội tụ của hàm truyền đạt có chứa giá trị f2js π= với mọi f. Nói cách khác, đáp ứng tần số tồn tại nếu miền hội tụ có

Chương IV

- 101 -

chứa trục ảo: ω+=π+= j0f2j0s . Miền hội tụ có chứa trục ảo nếu không có điểm cực nào của H(s) nằm bên phải mặt phẳng s. Do đó, đáp ứng tần số tồn tại nếu hệ ổn định BIBO.

Đáp ứng tần số là hàm truyền đạt tính trên trục ảo trong mặt phẳng s.

Chương V

- 102 -

Chương 5 THIẾT KẾ BỘ LỌC TƯƠNG TỰ Các kỹ thuật phân tích hệ thống đã trình bày trong các chương trước có thể áp dụng cho rất nhiều hệ thống, chẳng hạn như hệ thống điều khiển, hệ thống thông tin,... Một hệ thống tương tự rất quan trọng và thông dụng là bộ lọc (filter).

Nói chung, bộ lọc cho một số thành phần tần số trong tín hiệu vào đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số khác đi qua. Ta sẽ sử dụng các công cụ phân tích đã học trong các chương trước để phân tích và thiết kế bộ lọc.

Trong chương này, ta sẽ trình bày sơ lược các khái niệm liên quan đến bộ lọc, phân tích bộ lọc trong miền thời gian, tần số và dùng phép biến đổi Laplace.

Nội dung chính chương này gồm:

- Bộ lọc lý tưởng

- Xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng kiểu Butterworth

- Thiết kế bộ lọc Butterworth

5.1 BỘ LỌC LÝ TƯỞNG

5.1.1 Truyền dẫn lý tưởng Trước khi đi thảo luận về bộ lọc, ta xét một hệ thống thực hiện truyền dẫn tín hiệu mà không làm thay đổi dạng của tín hiệu. Hệ thống như vậy được gọi là hệ thống truyền dẫn lý tưởng hay là truyền dẫn không méo (distortionless transmission).

Ta định nghĩa hệ thống truyền dẫn không méo là hệ thống cho tín hiệu đi qua mà không làm thay đổi tín hiệu, ngoại trừ khuếch đại biên độ và trễ thời gian.

Hệ số khuếch đại (hay độ lợi) có thể nhỏ hơn một. Trong trường hợp này, ta nói hệ thống làm suy giảm tín hiệu (signal attenuation). Một hệ thống truyền dẫn không méo sẽ giữ lại tất cả thông tin trong tín hiệu, ngoại trừ biên độ và vị trí tín hiệu trên trục thời gian. Trong nhiều trường hợp, biên độ và vị trí thời gian không quan trọng đối với nội dung thông tin trong tín hiệu.

Tín hiệu ra của một hệ thống truyền dẫn không méo có độ lợi K và độ trễ thời gian τ là:

)t(Kx)t(y τ−=

Tính biến đổi Fourier ta có: τπ−= f2je)f(KX)f(Y

Đáp ứng tần số của hệ thống truyền dẫn không méo là:

τπ−== f2jKe)f(X)f(Y)f(H

Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ là:

|H(f)| = K và τπ−=∠ f2)f(H

Hình sau minh họa đáp ứng biên độ và đáp ứng pha:

Chương V

- 103 -

Hệ thống truyền dẫn không méo có đáp ứng biên độ là hằng số với mọi tần số và đáp ứng pha là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Độ dốc của đáp ứng pha là τπ− 2 , tỷ lệ với thời gian trễ của một tín hiệu khi đi qua hệ thống. Hệ thống truyền dẫn không méo có trễ pha và trễ nhóm là một hằng số.

Hệ thống truyền dẫn vật lý có đáp ứng biên độ và đáp ứng pha như hình vẽ sau:

Trong hình vẽ này, ta thấy sự truyền dẫn không méo chỉ xuất hiện nếu tín hiệu vào có tần số thấp hơn f1 (Hz). Trong dải tần này, đáp ứng biên độ xấp xỉ là hằng số và đáp ứng pha xấp xỉ là đường thẳng đi qua gốc. Tín hiệu có tần số lớn hơn dải tần này sẽ bị méo biên độ và méo pha.

5.1.2 Bộ lọc lý tưởng

Ta xét một tín hiệu thu có chứa một bản tin và nhiễu cộng. Để giảm nhiễu cộng, ta phải cho tín hiệu thu đi qua một bộ lọc. Bộ lọc này phải được thiết kế sao cho chỉ cho phép các thành phần tần số trong dải phổ của bản tin đi qua và ngăn không cho các thành phần tần số nằm ngoài dải tần của bản tin đi qua mà không gây méo tín hiệu. Bộ lọc như vậy được gọi là bộ lọc lý tưởng (ideal filter)

Dải tần số của tín hiệu mà bộ lọc cho đi qua gọi là dải thông (passband) và dải tần số mà bộ lọc không cho đi qua gọi là dải chắn (stopband). Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chắn gọi là tần số cắt (cutoff frequency). Tùy vào bản chất của bộ lọc mà ta phân bộ lọc ra làm bốn loại chính. Đó là lọc thông thấp (lowpass filter), lọc thông cao (highpass filter), lọc thông dải (bandpass filter) và lọc chắn dải (bandstop filter).

1. Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số nhỏ hơn B (Hz) đi qua không méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số lớn hơn B (Hz).

-f1 f1 f1 -f1

Chương V

- 104 -

Từ định nghĩa bộ lọc thông thấp lý tưởng và truyền dẫn không méo, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng là:

τπ−∏ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= f2j

L eB2fK)f(H

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng:

[ ])t(B2csinBK2)f(HFT)t(h 1L τ−== −

Bộ lọc thông thấp lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả vì hL(t) khác 0 khi t < 0. Điều này ngụ ý rằng ta phải biết tín hiệu ra ở tất cả các thời điểm tương lai để tạo ra tín hiệu ra của bộ lọc ở một thời điểm nào đó bất kỳ. Do đó, ta không thể thực hiện được bộ lọc thông thấp lý tưởng trong thực tế.

Chương V

- 105 -

2. Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số bên trong dải B (Hz) đi qua không méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm ngoài dải B (Hz).

Gọi tần số trung tâm của dải B là f0. Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2.

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải lý tưởng là:

τπ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ∏∏ f2j00B e

Bff

Bff

K)f(H

Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải lý tưởng:

[ ] [ ])t(f2cos)t(BcsinBK2)f(HFT)t(h 0B1

B τ−πτ−== −

Bộ lọc thông dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả.

Chương V

- 106 -

3. Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tất cả các thành phần tần số lớn hơn B (Hz) đi qua không méo và ngăn hoàn toàn các thành phần tần số thấp hơn B (Hz).

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng là:

Đáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng:

Bộ lọc thông cao lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả.

Chương V

- 107 -

4. Bộ lọc chắn dải lý tưởng

Bộ lọc chắn dải lý tưởng ngăn hoàn toàn các thành phần tần số nằm trong dải B (Hz) và cho các thành phần tần số bên ngoài dải B (Hz) đi qua không méo.

Gọi tần số trung tâm của dải B là f0. Các tần số cắt là f0 – B/2 và f0 + B/2.

Lập luận tương tự như trên, ta thấy đáp ứng tần số của bộ lọc chắn dải lý tưởng là:

Đáp ứng xung của bộ lọc chắn dải lý tưởng:

Bộ lọc chắn dải lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả.

Chương V

- 108 -

5.2 XẤP XỈ HÓA BỘ LỌC LÝ TƯỞNG Như trên ta thấy, các bộ lọc lý tưởng không phải là hệ thống nhân quả, do đó ta không thể thực hiện được các bộ lọc lý tưởng trong thực tế. Trong phần này, ta sẽ xem xét cách xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng để có thể thực hiện được trong thực tế.

Có nhiều phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng. Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp ứng biên độ càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng pha, như là xấp xỉ Butterworth, xấp xỉ Chebyshev và xấp xỉ elliptic. Một số phương pháp thực hiện xấp xỉ đáp ứng pha càng gần lý tưởng càng tốt mà không quan tâm đến đáp ứng biên độ, ví dụ như xấp xỉ Bessel. Ta không thể vừa xấp xỉ đáp ứng biên độ vừa xấp xỉ đáp ứng pha được, vì đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của bộ lọc nhân quả ổn định có quan hệ chặt chẽ với nhau. Ta không thể chọn đáp ứng pha độc lập với đáp ứng biên độ được và ngược lại.

Trong phần này, ta chỉ xét phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ.

Trước tiên, ta đi tìm hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ đã cho.

Tiếp theo, ta xét một phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ với một bộ lọc thông thấp lý tưởng. Phương pháp xấp xỉ ta chọn xét ở đây là xấp xỉ lọc thông thấp Butterworth.

Cuối cùng, ta sẽ xét các phép biến đổi tần số để tạo ra bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải từ bộ lọc thông thấp. Các phép biến đổi tần số này cho phép ta chuyển đổi từ thiết kế bộ lọc thông thấp thành thiết kế bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải.

5.2.1 Hàm truyền đạt tương ứng với một đáp ứng biên độ

Tương ứng với một đáp ứng biên độ có thể có nhiều hàm truyền đạt. Tuy nhiên, mỗi hàm truyền đạt khác nhau sẽ tạo ra một đáp ứng pha khác nhau.

Để tìm hàm truyền đạt từ một đáp ứng biên độ cho trước, trước tiên ta bình phương đáp ứng biên độ:

)j(H)j(H)j(H)j(H|)j(H| *2 ω−ω=ωω=ω

Ta có thể viết lại:

ω=−=ω

js

2 )s(H)s(H|)j(H|

với H(s) là hàm truyền đạt của bộ lọc. Các điểm cực và không của H(-s) là đảo dấu của các điểm cực và không của H(s). Do đó, các điểm cực và không của tích H(s).H(-s) xuất hiện thành từng cặp đối xứng qua gốc.

Vì tính đối xứng của các điểm cực và không nên:

[ ]

[ ] )sp(s)p(

)sz(s)z(C)s(H).s(H

k

n

1kk

i

m

1ii

−−−

−−−=−

∏

∏

=

=

ở đây zi và pk được chọn để cho 0)Re(zi ≥ và 0)Re(pk ≥ .

Nhân các thừa số trên lại với nhau, ta được:

Chương V

- 109 -

∏

∏

=

=

−

−=− n

1k

22k

m

1i

22i

)sp(

)sz(C)s(H).s(H

Như vậy, s chỉ xuất hiện với số mũ chẵn trong tích H(s).H(-s). Do đó ta có thể viết lại:

22s

2|)j(H|)s(H)s(Hω−=

ω=−

Bây giờ ta phân chia tích H(s).H(-s) ra để xác định H(s). Có nhiều cách phân chia. Ta có thể chia cho H(s) giữ hằng số C và một nửa số điểm cực và không, và H(-s) giữ hằng số

C và một nửa số điểm cực và không đối xứng.

Đáp ứng tần số chỉ tồn tại đối với hệ ổn định, do đó H(s).H(-s) không chứa các điểm cực nằm trên trục ảo và phải chọn các cực của H(s) nằm bên trái mặt phẳng s. Các điểm cực còn lại là đảo dấu của các điểm cực đã chọn thì phân cho H(-s).

Về các điểm không thì không có một ràng buộc nào để lựa chọn. Tuy nhiên, ta thường chọn các điểm không của H(s) không nằm bên phải mặt phẳng s. Sự lựa chọn này tạo ra một hệ thống có trễ pha nhỏ nhất.

Tóm lại, ta nên phân chia tích H(s).H(-s) ra như sau:

[ ]

[ ] ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=−

∏

∏

∏

∏

=

=

=

=n

1kk

m

1ii

n

1kk

m

1ii

)sp(

)sz(C

s)p(

s)z(C)s(H).s(H

Như vậy, hàm truyền đạt của hệ thống ổn định có trễ pha nhỏ nhất là:

[ ]

[ ] ∏

∏

∏

∏

=

=

=

=

+

+=

−−

−−= n

1kk

m

1ii

n

1kk

m

1ii

)sp(

)sz(C

s)p(

s)z(C)s(H

Ví dụ: Cho một bộ lọc có đáp ứng biên độ:

42

2

25.025.7255.75.7|)j(H|

ω+ω+ω+

=ω

Tìm hàm truyền đạt của bộ lọc ổn định pha tối thiểu tương ứng với đáp ứng biên độ trên.

Chương V

- 110 -

5.2.2 Xấp xỉ Butterworth thông thấp

Đây là phương pháp xấp xỉ đáp ứng biên độ của một bộ lọc thông thấp lý tưởng. Bộ lọc kết quả được gọi là bộ lọc thông thấp Butterworth.

1. Định nghĩa bộ lọc thông thấp Butterworth

Bộ lọc thông thấp Butterworth là bộ lọc có đáp ứng biên độ là

( ) n2c

MB

/1

G|)j(H|

ωω+=ω

ở đây 1n ≥ là bậc của bộ lọc, cω là tần số cắt của bộ lọc.

Có hai tiêu chuẩn được dùng trong xấp xỉ Butterworth. Tiêu chuẩn thứ nhất là độ lợi của bộ lọc ở tần số cắt là 2/G M với GM là độ lợi tối đa của bộ lọc. Tiêu chuẩn thứ hai là đáp ứng biên độ có độ bằng phẳng cực đại ở 0=ω . Nghĩa là đáp ứng biên độ có càng nhiều đạo hàm bằng 0 tại 0=ω càng tốt. Đáp ứng biên độ có 2n – 1 đạo hàm bằng 0 tại 0=ω và vì vậy, nó trở nên bằng phẳng hơn khi bậc tăng lên.

Chương V

- 111 -

2. Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp Butterworth

Chương V

- 112 -

5.2.3 Xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải Việc xấp xỉ hóa bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải đạt được từ lọc thông thấp bằng các phép biến đổi tần số phi tuyến. Ta thực hiện thay thế biến tần số Lω trong đáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp )j(H LL ω . Ta dùng biến Lω thay cho ω là để tránh nhầm lẫn khi thay biến tần số.

Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông cao là:

ωωω=ωω=ω

/LLH

chcL

)j(H)j(H

ở đây cω là tần số cắt của bộ lọc thông thấp, chω là tần số cắt của bộ lọc thông cao.

Phương trình thay đổi biến đối với lọc thông dải là:

)(/)(LLB

lulu2

cL

)j(H)j(Hω−ωωωω−ωω=ω

ω=ω

Phương trình thay đổi biến đối với lọc chắn dải là:

)/()(LLS

lu2

lucL

)j(H)j(Hωω−ωω−ωωω=ω

ω=ω

ở đây uω là tần số cắt trên và lω là tần số cắt dưới của bộ lọc thông dải và chắn dải.

Chương V

- 113 -

Chương V

- 114 -

5.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG THẤP BUTTERWORTH Trong nhiều ứng dụng, ta cần một bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải hay chắn dải thỏa các yêu cầu về dải thông, dải chắn cụ thể. Như đã nói trên, ta có thể thiết kế bộ lọc dựa vào một phương pháp xấp xỉ hóa bộ lọc lý tưởng nào đó. Trong phần này, ta xét phương pháp xấp xỉ Butterworth và việc thiết kế bộ lọc ở đây bắt đầu từ thiết kế bộ lọc thông thấp Butterworth, sau đó bằng các phép biến đổi tần số ta có thể chuyển đổi thành thiết kế bộ lọc thông cao, thông dải và chắn dải.

Ta sẽ xét các bước thiết kế đối với bộ lọc thông thấp Butterworth chuẩn hóa, tức là bộ lọc có tần số cắt là s/rad1c =ω . Việc thiết kế các bộ lọc có tần số cắt khác s/rad1c =ω sẽ được thực hiện bằng cách co giãn tần số.

Bước đầu tiên trong thiết kế là lựa chọn tần số cắt cω . Tần số này được xác định bởi băng thông yêu cầu.

Bước thứ hai là lựa chọn bậc của bộ lọc. Ta thường chọn bậc của bộ lọc từ độ lợi tại một tần số cụ thể 1ω nào đó trong dải chắn. Các đường cong biểu diễn độ lợi thay đổi theo tần số với các bậc bộ lọc khác nhau thường được dùng để xác định bậc của bộ lọc.

Bước thứ ba là tính chọn các hệ số của mẫu số của hàm truyền đạt:

nN

1nN1nN10

0NN ssb...sbb

a)s(H

++++= −

−

ở đây ta dùng chữ N là để ký hiệu cho bộ lọc chuẩn hóa.

Bước thứ tư là chọn hệ số a0, chọn sao cho bộ lọc có độ lợi lớn nhất.

Bước cuối cùng, ta thay đổi thang tần số để có được bộ lọc có tần số cắt thỏa yêu cầu:

nc

1nc1nc10

0L )/s()/s(b...)/s(bb

a)s(H

ω+ω++ω+= −

−

Ví dụ:

Thiết kế một bộ lọc thông thấp thỏa các yêu cầu sau:

- Độ lợi tối đa là 2

- Thay đổi độ lợi nhỏ hơn hay bằng 3 dB trong khoảng từ 0 đến 50 Hz

- Độ lợi nhỏ hay bằng -50 dB so với độ lợi tối đa với Hz250f ≥

Chương V

- 115 -

Chương V

- 116 -

[Giao Trinh] Tin Hieu Va He Thong Tuyen Tinh

Documents

Transcript of [Giao Trinh] Tin Hieu Va He Thong Tuyen Tinh