Giansalvo EXIN Cirrincione unité #2 Compléments délectrostatique charges au repos Les seuls...
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Giansalvo EXIN Cirrincione
unité #2
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
charges au reposcharges au repos Les seuls changements de repère qui puissent Les seuls changements de repère qui puissent intervenir correspondent à un changement intervenir correspondent à un changement d’orientation des axes de coordonnées.d’orientation des axes de coordonnées.
Les seuls changements de repère qui puissent Les seuls changements de repère qui puissent intervenir correspondent à un changement intervenir correspondent à un changement d’orientation des axes de coordonnées.d’orientation des axes de coordonnées.
charge électriquecharge électrique Indépendante de la vitesse de la particule Indépendante de la vitesse de la particule et, par conséquent, du référentiel (et, par conséquent, du référentiel (principe principe d’invariance de la charged’invariance de la charge). ).
Indépendante de la vitesse de la particule Indépendante de la vitesse de la particule et, par conséquent, du référentiel (et, par conséquent, du référentiel (principe principe d’invariance de la charged’invariance de la charge). ).
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Loi de Coulomb
permittivité du vide (SI)permittivité du vide (SI)
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Champ électrique
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Champ électrique Superposition des champsSuperposition des champs
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Champ électrique
L’action, sur une charge L’action, sur une charge QQ au repos, d’un ensemble de au repos, d’un ensemble de charges, dont une partie est en mouvement, est décrite charges, dont une partie est en mouvement, est décrite par un champ électrique par un champ électrique EE, la force, qu’elle subit, étant, la force, qu’elle subit, étant
EF Q
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Potentiel électrique
uPMr
uuE rr
rf and where uPMr
uuE rr
rf and whereChamp central
Circulation de E, de A à B, le long d’une courbe
B
A
B
A
rf dMudME B
A
B
A
rf dMudME
drdrr
drr
uuduudMu
ududMdPM
drdrr
drr
uuduudMu
ududMdPM
A
B
A
B rgrgdrrf A
B
A
B rgrgdrrf dMdME gdg grad dMdME gdg grad
MgMV MgMV
MgM MgradE MgM MgradE
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Potentiel électrique
PM
qMV
1
4 0
PM
qMV
1
4 0
i i
i
MP
qMV
1
4 0
i i
i
MP
qMV
1
4 0
PM
dPMV P
04
1 PM
dPMV P
04
1
Champ coulombien annulation à l’infini
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Théorème de Gauss
MVSdM
0
1dSE
forme intégrale
0
div
E
forme locale
0
divq
E
singularité à l’origine
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Équation de Poisson
0
V
Conditions aux limites
0rV
Équation linéaire Principe de superposition
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Équation de Laplace
0V
Conditions aux limites
0rV
Équation linéaire
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatiqueÉnergie électrostatique
Énergie potentielle d’une charge ponctuelle soumise au champ d’autres charges
qq11
qq33qq55
qq22
qq44
M
q amenée en M depuis l’infini très lentement
q q subit une force subit une force F F = q = q E E en chaque point de sa trajectoire et, pour que son déplacement soit effectivement en chaque point de sa trajectoire et, pour que son déplacement soit effectivement très lent, il est nécessaire qu’une force extérieure très lent, il est nécessaire qu’une force extérieure FFextext non électrique s’oppose à l’action de non électrique s’oppose à l’action de FF..
VMVqEqWMMM
ext dMdMFdMF
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatiqueÉnergie électrostatique
Énergie potentielle d’une charge ponctuelle soumise au champ d’autres charges
Ce travail fourni au système ( les charges Ce travail fourni au système ( les charges qqii et la charge et la charge qq ) par ) par
l’extérieur, emmagasiné par le système, et que l’extérieur pourrait l’extérieur, emmagasiné par le système, et que l’extérieur pourrait récupérer si l’on procédait à la transformation inverse, constitue par récupérer si l’on procédait à la transformation inverse, constitue par définition définition l’énergie potentiellel’énergie potentielle de la charge soumise au champ de la charge soumise au champ d’autres charges. d’autres charges.
q q subit une force subit une force F F = q = q E E en chaque point de sa trajectoire et, pour que son déplacement soit effectivement en chaque point de sa trajectoire et, pour que son déplacement soit effectivement très lent, il est nécessaire qu’une force extérieure très lent, il est nécessaire qu’une force extérieure FFext ext non électrique s’oppose à l’action de non électrique s’oppose à l’action de FF..
VMVqEqWMMM
ext dMdMFdMF
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
qVEp créé par toutes les autres charges
Énergie électrostatique
Énergie potentielle d’une charge ponctuelle soumise au champ d’autres charges
Soit Soit nn charges charges qq11, …,, …, q qnn en des points en des points MM11, …,, …, M Mnn . Il est naturel . Il est naturel
de définir l’énergie potentielle électrostatique de l’ensemble de de définir l’énergie potentielle électrostatique de l’ensemble de cette distribution comme le travail qu’a dcette distribution comme le travail qu’a dû fournir l’extérieur, û fournir l’extérieur, contre les forces électrostatiques qu’elles échangent, quand on a contre les forces électrostatiques qu’elles échangent, quand on a amené l’ensemble de ces charges, initialement à l’infini et amené l’ensemble de ces charges, initialement à l’infini et infiniment distantes les unes des autres, jusqu’à leurs positions infiniment distantes les unes des autres, jusqu’à leurs positions finales finales MMii..
Énergie potentielle d’un ensemble de charges ponctuelles
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatiqueÉnergie électrostatique
Énergie potentielle d’un ensemble de charges ponctuelles
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatiqueÉnergie électrostatique
MM11
MM33
MM22
qq33
qq11
qq22
0111 VqW 120
12222
1
4 r
qqVqW
230
2
130
13333
1
4
1
4 r
q
r
qqVqW
204
1
iji ij
ji
iip r
qqWE
204
1
iji ij
ji
iip r
qqWE
i
iiji ij
jip MVq
r
qqE
2
1
4
1
2
1
0 i
iiji ij
jip MVq
r
qqE
2
1
4
1
2
1
0
ji i
iiij
jip MVq
r
qqE
2
1
42
1
0n n charges charges qqii en des points en des points MMii MMi i MMjj
Énergie potentielle d’un ensemble de charges ponctuelles
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatiqueÉnergie électrostatique
dMVMEp 2
1
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Énergie électrostatique
Extension à une distribution continue de charge
Densité d’énergie électrostatique
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Énergie électrostatique
dMVMEp 2
1
0
div
E
dVEp E div
20
VVV graddivdiv EEE
d
EdVEp
2
div2
200 E
dVR
Edivlim
sphère sphère de rayon de rayon RR
SE dVR
lim 1R
d
EE
espp 2
20
2
20E
d
dEp
L’essentiel est la présence d’un champ électrique
Densité d’énergie électrostatique
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
Énergie électrostatique
d
EE
espp 2
20
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
dipdipôle électriqueôle électrique
A B
M
r1
r r2
- q + qd
120
11
4 rr
qMV
120
11
4 rr
qMV
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
4cos1
4cos1
r
d
r
drr
r
d
r
drr
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
4cos1
4cos1
r
d
r
drr
r
d
r
drr
cos2
111
cos2
111
2
1
r
d
rr
r
d
rr
cos2
111
cos2
111
2
1
r
d
rr
r
d
rr
r » d
2
04
cos
r
qdMV
2
04
cos
r
qdMV
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
dipdipôle électriqueôle électrique
A B
M
r1
r r2
- q + qd
EE((MM) est dans le plan méridien ) est dans le plan méridien MABMAB
30
30
4
sin1
2
cos
r
qdV
rE
r
qd
r
VEr
30
30
4
sin1
2
cos
r
qdV
rE
r
qd
r
VEr
u
2
04
cos
r
qdMV
2
04
cos
r
qdMV
PP = q = q ABAB ((vrai vecteurvrai vecteur))
Vecteur moment Vecteur moment dipolaire électriquedipolaire électrique
30
30
4
sin
2
cos
r
PE
r
PEr
30
30
4
sin
2
cos
r
PE
r
PEr
2
04 rMV
uP
2
04 rMV
uP
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
dipdipôle électriqueôle électrique
A B
M
r1
r r2
- q + qd
u5
22
0
50
50
3
4
3
4
3
4
r
rzPE
r
yzPE
r
xzPE
z
y
x
5
22
0
50
50
3
4
3
4
3
4
r
rzPE
r
yzPE
r
xzPE
z
y
x
Compléments d’électrostatiqueCompléments d’électrostatique
jj = = vv = = n q n q vv
Compléments d’électrocinétiqueCompléments d’électrocinétique
Densité de courant
Charges mobiles
flux de particules chargées identiques
dN = n ddN = n d n = n n = n ((x, y, z, tx, y, z, t))densité volumique de charge (mobile)
jj = = vv = = n q n q vv
Compléments d’électrocinétiqueCompléments d’électrocinétique
Densité de courant
Charges mobiles
Charge d2Q qui traverse dS dans ( t , t + dt )
dtnqdtnqNdqQd dSvvdS 22
dtQd dSj2
S
dtdQ dSj
Sdt
dQI dSj
Compléments d’électrocinétiqueCompléments d’électrocinétique
principe de conservation de la charge électrique
Charges mobiles
V PdtPtQ ,
V PddttPdttQ ,
V PddttP
tdQ
,
V
dtdt
dQ
V Sd
tdSj
Il ne peut y avoir ni apparition ni disparition Il ne peut y avoir ni apparition ni disparition spontanée de charge électrique dans un système isoléspontanée de charge électrique dans un système isolé
Compléments d’électrocinétiqueCompléments d’électrocinétique
principe de conservation de la charge électrique
Charges mobiles
V Sd
tdSj
0div
t
j 0div j
équation de continuité régime stationnaire
Compléments d’électrocinétiqueCompléments d’électrocinétique
Loi de Ohm j j = = E Ej j = = E E
conductivitéconductivité