GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN...

8/20/2019 GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN TUẤN ANH (TRÍCH ĐO…

1/131

TRẦN TUẤN ANH

a ầ l WHflMHBầl TOM"%

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/131





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/131

TRẦN TUẤN ANH

Giải nhanh bài toán

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUÓC GIA THÀNH PHỐ HÒ CHÍ MINH





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/131

GIẢI NHANH BÀI TOÁN

N G U Y Ê N H À M V À T Í C H P H Â N

Nhà xuất bản ĐHQG-HCM và tác giả/đối tác liên kết giữ bản quyền® Copyright © by YNƯ-HCM Publishing House and author/co-partnership

All rights reserved

Xuất bản năm 2013





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


5/131

Lời nói đầu

Việc giải một bài toán nói chung là một quá trình tư duy cao độ, dựa ừêi

hiểu biết cùa người giải toán. Việc tính một bài toán nguyên hàm hay một bí

toán tích phân cũng vậy. Có người thậm chí không giải được, có người giẻ

được nhưng cầií quá trình mày mò rất ỉâu, thử hết cách này đến cách khác mc

giải xong, trong khi có người lại tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là 1:

quyết để giải nhanh được một bài toán nguyên hàm, một bài toán tích phân n


6/131





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/131

GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÃN TRONG

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013

Cách giải thông thường

2 X2 —\ 2 V “ 1^Cách h Ị = J— — .ln xdx = jin xdx .+ j| - J Ịlnxứỉx;. Ta xé t:

I x ì \ \ x )

2

+ /| = J*ln xdx .1

Đặt u = lnx^> du = —dx; dv = dx=> v = x.X

2 2 2/j = Ịìnxđx = xìnx - ị —dx = 21n 2 - l .

i 1 1 x

**-)(?)1nxdx

Đặt u = \nx=$du ~ —đx\ d v À ~ \ d x V= ~ .

= —Inx X

2 ỉ-I---1 X

2 1 1= —ln2 - —.

ỉ 2 2

Vậy / = / ,+ / j = 2 i n 2 - l + ỉ l n 2 - ì = i . (5 1 n 2 - 3 ) .

/ = ị ^ ^ . \ n x d x = ị \ - \ ĩ x 1V X „

Đặt / = lnx=>j: = e/ và d x = .

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tĩch phân s 5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


8/131

Đổi cận: X= 1=> r = 0; X= 2 => r = ln2 .

^ìf 1 ) ln2 In2

/ = / r ^ r r ' * = í ( e' - e" ỳa = Ị td ị e '+ e ' )0 ' ■J 0 0

= t (e /+ e~tỆ 2 - ] ( e' + e ~1dt

= t (e { +e -‘) ]n2- ( e ‘ - e~!) ^ = h 2 . ( e ia2

= ln2 . 2 + - V 2,

l ì 12 - 1 = f ( 5 1 n 2 -3 ) .

Vậy / = —(5 1n 2-3 ).

Cách giả i nhanh

Cách 3: các bạn để ỷ quan hệ giữa — vờ —T- ỉà : -^-dx = d\ —\; quan hệ

giữa X và ỉ là : 1dx = dx .

( Jí Do đó, ta cỏ :

X —1dx~ [ l — ~ j dx = d + — . Vậy ta có thể giải nhanh bài toán trên như sau :

M1 „ 2

-In xdx= 1 — — 2rf 1 ^ 2 ( l'111 — — ln;ttừ = Ílnxí/ X+ — 1V x / 1 V 'x .

= ìnx.

= lnx.

í ó ' 2 ¥ 0* + — , - * + -V x ) 1 Ị \ X;

—áx X

x + — X )

1- 11 1+-— [


9/131

Câu 2: Tính tích phân / = J W 2 - x 2dx (ĐH khối B -2013

Cách giải thông thường

Cách l i Do đấu hiệu “V2- X 2 ” nên ta chọn ẩn phụ x = yỈ2sìni.

Đặt x ^ y ị ĩ s m t => dx = ' j2cữStdt , / e [ - — .L 2 2_

Đổi cân : x = 0=> / = 0; jc = 1=>í = —.4

£ £

Ta có: / = JV2 sin t \ Ỉ 2 - 2 sin2 ĩ.yỈ2 COStdt = 2V2 ịsirư.cosí.-s/ỉ —sin2 tdt

£ £4 4= 2V2 Jsứư.cosí.jcosfỊrf/ = 2V2 Jsin/cos2 td t .

Xét tích phân y = 2V2 jsin/ COS2 rá/.

Đặt u = COS du = - sin td t .

1Ĩ V2Đôi cận: t = 0=> u = ỉ;t = — =>« = — 4 2

Ể l 2 l 3

Ta có : J = - 2V2 J u2du = 2V2 J = 2V2 .—

1 Ũ. ^

2-72-1

Vậy / =2 V2 - I

Cách 2: Theo kinh nghiệm thi thấy căn thức ta đặt căn ữiức là ẩn phụ!

Đặt t = y ị2 -x 2 =>í2 = 2 ~ x 1 tdt = -xdx .

Đổi cận: X - 0 = 4 Ĩ\X - 1=> í = 1.

Giãi nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân ©





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


10/131

I J -ã . ' - .3

Ta có: 7 = - J t2dt == JV2


11/131

J 2

Xét tích phân J = J- ệ — d x .QX 4-1

Đăt X = tan/ => íử = —~ - d t = ( l + tan2 /W /, t €COS / v '

Đổi cân : X - Q =̂>t = 0; X= 1 t - —,4

X £

Ta được ỉ = (l + tan2 í )íừ = 2 f"Sĩĩl--áft' tan / + 1 v f ị cost

r -K 7TN~ ĩ ; 2

4 Ị

= “ 2 J— —d(cost ) - - 21n|cosíỊQCOSt

7t 1

Vây / = l - 21n - 7= = l+ ln 2 .

Cách giải nhanhCách 3: Các bạn để ỷ quan hệ-giữa X và X2 ỉà: 2xdx = d ị x 2} = d { x 1+ \ s Ị.

Nên việc ta chọn ẩn phụ t = X2 +1 (ở cách ỉ ) là hoàn toàn tự nhiên Ị Chúng

tá có thể giải nhanh như sau :thê giải nhanh như sau :

í = ệ ^ Xỉ -d x= \ x- + 2x— dx = )dx+ \ - Ạ - d x i x2+l J x2 + l ị Ị x +1

= X ̂ + f-^— d ( x 2+ l) = x 1 1 , 11 , .+ ỉn \x +1 = l + ln20 Jx2 +1 v ) 0 1 1 0

Lời giải thật nhanh gọn /

Đê có cách nhìn “tường minh” về cách giải nhanh Nguyên hàm vả Tích

phân, mời bạn đọc tìm hiểu những kiến giải trong cuốn sách này !

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 0 9





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/131

Chương 1. NGUYÊN HÀM

Bài 1. NGUYÊN HÀM1. Định nghĩa

Cho hàm sổ f(x) xác định ưên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng

của K ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) ừên K nếu F(x) = f(x) với mọi X thuộc K.

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Sau này, yêu cầu tìm nguyên hàm cùa một hàm số đirợc hiểu là tìm nguyên

hàm trên từng khoảng xác định của nó.

F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x) + c (C là hằng số) là họ

nguyên hàm của hàm f(x) hay tích phỗn bất địĩửi của hàm f(x).

J/(x)dr = F(x) + CKí hiệ u:

Vỉ dụ 1

a) Ị2 xdx = x2 vì (x2 = 2x .

b) Jcos;ttừ = sinx + C vì (sinx + C)’ = co&x.

* Lưu ỷ: để hiểu nhanh những nội dung kiến thức trong cuốn sách này, bạn

đọc nên rèn luyện thành thạo việc tinh đạo hàm Ị

2. Tính chất thứ nhất

Ị f ' (x )dx=f (x)+C

Tính chất thứ nhất được suy trực tiếp từ định nghĩa nguyện hàm. Trọng thực

hành, tính chất này giúp ta tìm ra nguyên hàm của một hàm sổ đom giản, cũng

như việc xác định lại nguyên hàm tìm rá có đủng không theo cách nghĩ: “muốn

tìm nguyên hàm của hàm sổ f(x), chúng ta tìm hàm số mà đạo hàm bậc nhất

của nỏ phải chính ỉàf(xỴ\ Với cách hiểu đó5 chúng ta có thể thành lập Bảng

công thức nguyên hàm cơ bản như sau :

(1) Công thức 1 : Jbíừ =? Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nhất

bằng 0? Hiển nhiên đó là hằng số ! Vậy ta có công'thức thứ nhất: Qdx - C

10 E9 Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/131

(2) Công thức 2 : ịdx =? Ta suy nghĩ: hàm số nào có đạo hàm bậc nh

bàng 1? pễ đáng nhận thấy đó là X vì x ’ - 1. Vậy ta có công thức thứ hz

dx = x

(3) Công thức 3 : ịx adx =? Ta suy nghĩ: hàm số nào có đạo hàm bậc nh

bằng x"? Chúng ta liên tưởng ngay tới công thức đạo hàm (xny = nxn~x hí (xa+1)'

= xn \ Ta ứiay n ~ ĩ - a hay n = a + ỉ , ứiu được công thức ---- — = yn

( ra+l >hay

A

Ka + l j

a + 1

công thức thư ba .

, xa+l ,• , ..■■■■ ■= xa . Vây là hàm s o ------ có đao hàm bâc nhât băng X . Suy

a + l

( a ^ - Ì ) . • ịxađ x = ^ ~ - i a + X

fl « .. .(4) Công thửc 4 : — dx =? Ta suy nghĩ : hàm sô nào có đạo hảm bậc rih-

J X

bằng — Ta liên tưởng tới công thức (lnx) —— thì thu được công til’X 9 ■ - . : - - • X . -

J— đx =ln | x| + c . Chung ta lấy đấu giá tri tuyệt đối vĩ điều kiện của hám Lôgari

(5) Công thửc 5 : ịa xdx =? Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nỉ

bằng ơ x7 Từ công thức tính - .đạo hàm quen thuộc- (ax) =ơxỉna h

V1n a ,

ữx = a \ tức là hàm số — - có đạo hàm bậc nhất bằng ax. Vậy ta dễ đà

Ina

thu được công thức \axdx = — + c J \ na

(6) Công thức 6 : ịe xdx- 7 Ta suy nghĩ : hàm số nào có đạo hàm bậc nl

bằng ex ? Dễ dàng ta nhận thấy đó là hàm ex vì (V) =ex \ suy ra công th

. Công thức thứ sáu là trường hợp riêng của côthứ sáu : exdx = ex +

thức thứ năm khi thay “a” bằng “e” !

Giãi nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân ss





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


14/131

(7) Công thức 7 : Jcosx


15/131

- A — = .̂•-s*a -— C2.sx-Ĵ \ rõ ràng nếu chọn A = cosx thi 'inff— CQjz.AsinajJ sin2z sin2 X

_ - sm X cos_ X _ —1 Yậy hàm số có đạo hàm bậc nhất bằng —ỉ— là sin2 X ■sin2 X sin2 X

hàm số ~ C2 SX. hay (- cotx). Suy ra công thức thứ m ườ i: sin X

f — -— dx — —cot X + .J sin X __ _____________

Vậy ta có Bảng nguyên hàm cơ bản sạu :

J' Odx = c [ a xdx = ——'.+ C( a > 0;a ^ 1)

J ln a

J dx = X -ị-c J cos xdx = sin 2 + c

[ xadx — — ------ h C(ot ^ — 1)J a + 1

J' s in xdx = —cos X + c

f ỉ dx = In ị X ị + c J X

f ^— dx = ta n X + c J COS X

j e xdx = ez + c [ —^— dx = —cot x + c J sin X

Hiểu và thuộc bảng nguyên hàm cơ bản là điều kiện thiết yếu để chúng ta

tính được nguyên hàm cũng như tích phân sau này. Chính vì vậy, chúng ta càn

sử dụng thành thạo các công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản.

3. Tỉnh chất thứ hai

J kf{x)dx = k J f{x)dx

Trong công thức này, điều mà chứng ta cần chú ý là hệ số “k” (hệ số k có

thể “ra”, “vào” qua dấu nguyên hàm!), tất nhiên k phải ỉà hằng số, còn biến số

không đưa ra ngoài dấu nguyên hàm được.

Ví đụ 2. Áp đụng tính chất thứ hai và Bảng nguýêri hàm cơ bản, ta có :

Giải nhanh bài toán Nguyền hàm và Tích phân © 13





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


16/131

a) J Qxdx = 6 J xdx (áp dụng tính chất thứ hai)

X 2= 6 - - -Ị- (áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản)

= 3 x2 + c .

, x r COS X - 1 c » 1 • /"'íb) Ị —-— ax I cos xdx = —s inx + C- 3 3 J 3

c) J ex+ydx — e.é*dx —e e * đ £ —e-e* + ơ .

2 r ' ” 5đ) ịiolíxrdx = 1 0 J x 3íử = 1 0 . -^— ■ + £’ - 6x3+c.

3 +1

Nói chung, khi tính nguyên hàm cũng như tích phân sau này, chúng ta cố

gắng biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm hay dưới dấu tích phân xuất hiện những hàm số có trong bàng nguyên hàm cơ bản. Do vậy, việc nắm được Bảng

nguyên hàm cơ bản là điều kiện rất quan trong để chúng ta tính được nguyên

hàm, tích phân.

4. Tính chất thứ ba

J (f(x) ± g(x))dx = J f(x)dx ± J g{x)dx

Chúng ta có thể hiểu một cách đơn giản công thức trên như sau: nguyên

hàm của tổng (hiệu) của hai hàm số, bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm của hai hàm số đó.

Công thức có thể mở rộng như sau :

/ C íM ±f2 (x )± . . .± fn(x))dx =J £(%)


17/131

X2= 4. — 4- 3 sin X 4- c (áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản)

2

= 2x2 + 3 ;SỈĐZ 4- c . - . . ■

b) / = [ (5ez ----- ~ - ) d x ~ [ òexd x - f ■- - đx (áp đụng tính chất J COS X J J cos X

thứ ba)

— 5 f exdx — 7 f — - — dx (áp dụng Mnh chất thứ hai) ■ J J COS2 X ,

, r ^ g_v v3 93* Ị= 9f3"íử+ ix>dx = — + ± l + c = — +3xJ +C .

j j Ỉn3 I ln 3

3

dH = /3íí 2 —2x -H4

dx - ĩ

3x '2x 4

X X X dx

—J Zxầx - J 2đx-ị- J — dx

— 3 f x ầ x —2 f d z + 4 f — dx — —2x + 41x12 + c . J J J x 2

Trong thực hành, ta trình bày nhanh như sau :

a) ỉ x —J 1(4x + 3 COS x)dx =2x2 + 3 sin X + C .

b ) / , = / ( - ' 75e3

c) /s = (í 3” 2 + 1

)dx =5e* — 7 tan X + c .COS £

/ '2 Ađx= ị 32.3X+ * 3

9 3* -dx ~ —-r + 3x* + c .

ln'3

3z —2:r -í- 4

X dỊc

3x 2 —2íP + 4 In a?+ c -

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích .phân 53 1





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


18/131

Tùy theo khả năng củạ người làm toán mà ta có thể ỉược bỏ đì những bước

giải[khôngcan-.thiết. ___ ____ —. .... ------ ------ - -------

Ví dụ 4. Tỉnh :

f (Vã-+ 1)2\ r - r (v z -+ 1)2 , - > _• r x + x2 ■- e V - ••a ) 7 , = j v- -J b ) /2 = J ------í - y -------: # .

^ X J X

c) / , = f r . Z ’dx: d) / 4 = j 4 & .

" ....... 42


19/131

Tập xác định của F(x) và f(x)- là R . Hàm số F(x) là một nguyên hàm

của / (x) thì F \x) ~ f (x) với Vx e M.

Ta có : F'(x) = aex+ (ax + b)ex =(ax + a + b)ex nên F' (x )~ f (x ) với

VxeR. ửd (ax + a + b)ex = xe* với VjceR o ax + a + b = X, \ fx e R

_ f a - 1 = 0 ị a - l (a -l )x + a + b = 0, \fx eR ,


20/131

3. Tính:

a) 7, = /e21'+ 3

eIdx‘ ,

c) I t = f 3 V đ z ;

4. Tính:

b) = / | e" 2 +

«0 w X —xe

dx

đx

a) / = [ (yfx + 4 t fx +5yfx*)dx; b) / 2 = f ( - ^ + - ịL + —ỉ =V £ V X V X2

)cfa;

5. Cho hàm số / (x) - (xx + x)ex và F(x) = (ax2 + ốx 4- c)e*. Với giá trị nào của

a, b và c thì F(x) là một nguyên hàm của / (x) ?

Bài 2. BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG Sau đây chúng ta sẽ mở rộng các công thức nguyên hàm cơ bàn để được

Bảng nguyên hàm mở rộng. Bảng nguyên hàm mở rộng là công cụ giúp chúng

ta tinh nhanh nguyên hàm và tích phân. Trước tiên ta xét định lí sau :

1. Định lí

Nếu f (u)du =F(u) + và u —u(x) là hàm số cỏ đạo hàm ỉỉên tục thì:

j* f (u(x)) .u ' (x )dx =F(u(x )) 4-

2. Công thirc nguyên hàm mở rộng

Áp dụng định lí trên trong trường hợp u = ax+ b (a * 0), ta có :

ị f { ax + b) dx= ị f { a x + b).(ax + bỴ'—dx

= - f / ( ^ + £ ) . ( a x + ố ) ' í & = - F ( a x + ố) + Ca J a

Tóm lại, ta có công thức để mờ rộng bảng nguyên hàm cơ bản:

f / (ax + b)đx = + b) + J a

Công thức nguyên hàm cơ bản và công thức ngụyên hàm mở rộng được cho

tương ứng dưới bảng sau :

18 S3 Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


21/131

Cộng thức nguyên hàm Cơ bản Công thức nguyên hàm mở rộng

J 0 dx = c

J dx = X -Ì-C

f xadx = + C ( a * 1) J a + 1

ĩ{ a x + b Ỵ d x = k {a C+ ì> rl+ O a * 1) J a a + 1

f — dx = ln ị X 1+ c J X - ■■ ■

f — -— dx = —. In 1ax + b 1-K7 J . ax -T b a

J e ’ dx = e * + C f e " +*cfe = - e “ +i +c J a

f oĩdx = a ' + C ( a > ữ ta * 1) J lna

f oT»dx = 1 .a 0; a ^ 1) J a lna

J cosxđx = s inx 4 - c [ cos (ax + b)dx = — sìĩi(ax + b) + c J a

J sin xdx = — COS X ~hc ' J sin(ax 4- b)dx = ——cos(ax + ò) + c

f dx = t a nx +


22/131

ĩ = J (2x + l )4d x = ~ f (2x + l) {2x + l fãx , ■

—J (2x + l)(8x3 + I 2 z 2 + 6 x + í)dx

= J (16a:4'-f 24x3 4- I2x2 + 2x + Sxz + 12x2 + 6x 4-1 )dx

—J (16£4 + 32x3 + 24z2+ 8 x + ì)dx

16x5 32x4 24x3 8x2 _ -H— _— I— -— 1- X-ị- c

5 4 3 2

= 1 Ẽ£_ _ị_ gx 4 -I- ga;3 ị x2 _|_ ái 4- (7.5

Bây giờ chúng ta áp dụng công thức nguyên hẳm mờ rộng (công

hức f (ax + bỴd x = —. ̂ + ^ — + ơ ( a ^ - 1 ) ) để tính l ta có : J a a + 1 :

/ = f ( 2 x + l)4dx = ~. í 2x — 1)4+1 + ơ = + c .J 2 4 + 1 10

tó ý rarcg, các/ỉ này và cách trên đều cho kết quả đúng, nc(Chú ý rằng, cách này và cách trên đêu cho kêt quả đúng, nỏ chỉ sai khá

ĩhau một hằng số xác địnhỉ)

Nếu bài toán ừên ta thay số mũ 4 bằng số mũ 2013 chẳng hạn thì lời giả

ahư cách đầu tiên sẽ phức tạp như thế nào? Còn nếu chúng ta ầp dụng cônthức nguyên hàm mở rộng ta có ngay lời giải ngắn gọn cho bài toán đó l

ỉ = J (2x + 1 f ° n d r — ^ X — —— - + ơ . Kể cảchúng ta dùng phương phá

đổi biến số (sẽ học ờ bài sau) thì cũng có lời giải không gọn bàng cách này

R.Õràng công thức nguyên hàm mở rộng tỏ ra ưu điểm hom công thức nguyê

hàm cơ bản ! Các công thức nguyên hàm mở rộng, nếu chúng ta cho hệ số a =

1; 6 = 0 thì ta thu đựợc công thức nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ 1. Tính : .

a ) . Iỵ= J ( 2 s + 3 j dx ; b ) I2=j*( — 2x) d

c) Í3= 7 7 7 ^ đ) h =( 3 z - l ) ệĩx-2)

20 0 Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/131

Giải

Áp dụng các công thức trong Bảng nguỳên hàm mở rộng ta có :

ọ ị \12 1 (2^ + 3 ) (2^ + 3 )a) I — ị { 2 x + z \ dx = - > ----- — ' - +


24/131

f ----- ------ dx = --------- — -------(ax + b f a (n - i ) ( ax + b)

+ (n ^ 1;a 0 ) sẽ cho

ta lời giải nhanh hơn nữa (vì giảm được một bước biến đỗi) ỉ

- 1 c) / = f ----- ------ dx =

( 3 i - l ) 1 8 ( 3 i - l )

d) I, = f dx= + c .‘ ỉ ị Ọ x - l ỹ ị l Ọ x - l ý

- Nếu không áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, chúng ta giải b

toán bằng phương pháp đổi biến sổ mà chúng ta sẽ xét trong bài học sau, Ở

đây chúng ta đơn cử câu a) được giải bằng phưomg phập đỏi biến sổ để so

sánh hai cách gi ải :

ỉ x = J (2x + 3) dx

Đặt u ~ 2 x + 3 = >d u — 2dx =>• dx = —du2

' T ' T r J w~Ta cỏ :/ = ị u - d u = - — h c = —— Ị- c1 J 2 2 13 26

Thay u = 2x + 3 , ta đươc: L = ^ — Ị - C.1 26

Rõ ràng cách này tỏ ra khá phức tạp so với một bài toán đơn giản như vậy ỉ Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng ta cỏ ỉời giải gọn và nhanh hơn:

r I \12 _ ĩ l = f ( 2 x + 3) dx - ■ + c

Do vậy, việc nhớ và vận dụng tot công thức nguyên hàm mở rộng là cần

thiết để chủng ta tỉnh nhanh được nguyên hàm và tích phân sau này.

Ví dụ 2. Tính:

a) / = [ — l —-> J 2 —hx

1r — c) /3 = ịe 3 d x :

b) / 2 = J 31+51 dx

d ) ỉ 4 = f e~xdx-

22 © Trần Tuân Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/131

Giải

Áp dụng các công thức trong Bảng nguyên hàm mở rộng ta có :

a) / , = f — dx = — lnỈ2 - 5 ĩ | + c lnÍ2 - 5x1+ C.> J 2 —5x - 5 1 1 5 1 1

b ) / = f = 3 [ă^dx = 3 . í . ^ — + c = - . Ị ^ - + ơ -2 J J 5 ln3 5 ln3

_i 'c ) h= Ịe 3 dx = — T-e 3 + c = “ 3 e 3 + c .

- - _ . .... . .

d ) / 4 = j ' e - x


26/131

°) / , = f — ị- — dx = f — ----- dx — — t a n 3 X + C-3 •> COS


27/131

3. Tinh:

á) I = f (sin(3 — —) + cosbx)dx '■> "b) Ị = f —— — -— đx J 2 J COS (4 — z )

c) I =

rí — ỉ—— f s in — cb ; d) J = f co s(3 - — )d x *

3 sin 3z 2 ] 4 J 4

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SÔ

Bài này chúng ta sẽ xét hai trường họp khi tính nguyên hàm J/ (x)dx bàng

phương pháp đổi biến số :

— Trường hợp ỉ : Đặt u là một hàm số của X

— Trường hợp 2 : Đặt X là một hàm sổ của u.

A. Phép đặt u là một hàm số của X : u —u(x)

Già sử cần tính ỉ = ị f (x)dx, ta thực hiện như sau :

Bước ỉ : Chọn ẩn phụ thick hợp u = u{x).

Bước 2 : Xác định vi phân du = du(x) hoặc du2 - du2{x ) ...

Bước 3 : Biểu thị f{x)dx theo u và du, Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du.

Bước 4 : Tính I = ịg{u)du. Sau đỏ thay u —u(x) để được kết quả cần tìm.Chú V: chọn ẩn phụ u - u{x) sao cho việc tính ỉ = ịg(u)du phải dễ horn ià

tính Ị = ị f (x)dx !

Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng

phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số )5bạn đọc thường có câu

hỏi : tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy? Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp?...

Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn định hướng được phép đặt ẩn phụ

cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích phân của các bạn.

Trước tiên các bạn cần lưu ý hai kết quả mà chúng ta thường dùng sau đây :

(1) df{x) = f\ x) d x .

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân Ĩ3 25





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


28/131

(2 ) Nếu J f(u)du =F(u) + c và u —u(x) là hàm sỗ có đạo hàm ỉiên tục

thì: J f(u(x) ).u' (x)du ~ j* f(u(x))du(x) =F(u(x )) + c

Ví dụ

a) j ' cos(2z2 + 3z + l)d(2x 24- 3x + 1) = sin(2a:2 + 3z +■1) + c

(ta hiếu trong suy nghĩ - " 2x + 3 x + ” ỉ à u )

b) f —1 — - d ự + 1 ) = l n | i + l | + c = l n ( ^ + l ) • c v ỉ / + > (taJ (z2+l ) 1 1

hiểu trong suy nghĩ “ X2 + 1 ” ỉà u )

Sau đây chúng ta tìm hiểu các mối quan hệ quan trọng giúp chúng ta tìm

nhanh phép đặt ẩn phụ và định hướng nhanh cách giải cho bài toán nguyên

hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

1. Quan hệ giữa xn và xn+' ( n * - 1)

Ta có : dxn+i ~{n + 1 )xndx xttdx — —-— dxn+ì - — —— d(axn+l + b) j ừongn + 1 a(« + l)

đó a * 0 còn b tùy ý trên R . Vậy ta có quan hệ giữa xn và x”*1( n & “ 1) như

như sau : đưa xn vào trong vi phân thì thành {axnrì +ò), với ữ 0 và b tùy

ỷ trên R,) ■ -

Ví dụ 1. Tính :

a) Phân tích bài toán: Theo ỉổì giải thông thường, các bạn sẽ khạị triển

biểu thức (2x3 + ỉ f , sau đó nhân với X 2 để đưa về nguyên hàm dễ tỉnh hơn.

Thế nhưng việc khai triển biểu thức (2x3 + Ị ỷ là không đơn giản? Do vậy,

cách này đã tò ra không hiệu quả ! Nếu giải bài toán này bằng phương pháp

ãổi biến sổ, ta chọn ẩn phụ ỉà u —2x3 + 1. Tại sao lại chọn được ẩn phụ như

vậy? Báy giờ các bọn để ý quan hệ giữa X 2 vồ xĩ như sau :

sau : xndx = — - — d(axn^ +ồ) (ta hiểu công íhức trên môt cách đơn giản a(n + 1)

Giải

26 S3 Trần Tuãn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/131

x2d x - —d(2xl + 1 ) nên ta có X2 (2a:3 4-1)9ác = — (2z3 + 1)9d(2xz -f-6 6

Do đó, việc chứng ta chọn ẩn phụ là u = 2x3 +1 /à hoàn toàn tự nhiên, khô

mang tỉnh áp đặt.

Lời giãi, cửa bài toán

I: = f x 2(2x3 -r l)9dx = f - ( '2 x 3 + l)9d(2x3 + 1 ) • •

Đặt u = 2x 3 +1 => đu = d (2 x3 +1).1 1 10 '

Ta có: I = ± f u’đ u = i . — + c = — + C-1 6 J 6 10 60 . . .

Thay u - 2x3 +1 ta đươc: / = fàx ' 1 60

b) Phân tích bài toán: Các bạn để ỷ quan hệ giữa X và X2:

xdx = ~d { x2+1) nên ta có w X2+ lđ&r = — yjx2+1 d(x2+ 1). Do vạy, ta có ì2 2

chọn ẩn phụ là u - X 2 ■+1 hoặc u = yjx2 + 1. Trong trương hợp này tà nên ch

u = -\lx2 + l đế biểu thức dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức.

Lời giải của bài toán

ỉ2 ~ J xVx2 + ldx = J —sIx2 + 1 d(x2 + 1)-

Đặt u = Vx2 + 1=> U2 = X24-1 => du2 = d(x2 +1).

Ta có: I = í —II du2 = 2udu = f u2du —— + C- J 2 J 2 J 3

(\Ịx2 + 1 )s r - -Thay u = Vx +1 ta được: I = ___________ f c • ■

3Cách khác :

r\x* ___

2 . 1 J / ..2 . 1\Đặt u = X2 +1 => du = d(x2 +1).3

Tacó:l = \—yỊŨẩu=—\u2du= —̂ — + C ~ ^ —+ C • 2 2 1 2 3 3

. 2

Giải nhanh bài toần-Nguyên hàm và Tích phân ©





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


30/131

.. . , v'x2 + 1 ) 3 'Thay u = X -rl ta được: J= --------------------------------------- ------- ---------. . . 3

* Nhận xét : Neu đã thành thạo trongyiệc sử dụng phương pháp.này,

bạn cỏ thể trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau :

a) ^ = J x 2( 2 x 3 + l)9d x = / - ( 2 x 3 + l ) 9d(2 x 3 + 1)

= t ì l _ : Q. (tahiềutrong suy nghĩ“ x + ” l à “u”)60

b) I2 = jW ? T ~\dx = j —4x2 +l d(x2 + 1) - ỉ Ị(x2 + ì)2 d(x 2 + 1)

_ ( x +_! ) + trong suỹ nghĩ “ X + ” là “u”) .

2. Quan hệ giữa —T- và — X X ... ... _ ; ’

Ta có I—I = “ nển quan hệ cần xét giữa — và — ■là:\ x ) X X X .

1 1 (a )-í-dx = - - d - + & X a X

(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đua — vào trong v

vhân thì thành — Ị-b, với d V* 0 và b tủy ỷ trên IR ) X .

Ví dụ 2. Tính :

1+ -

r e X p 1 1 1

a ) I j = f — — dx; . _ b) / = / —r-sin — cos — rác. X J X X X

Giải

a) Phẫn tích bài toán : Nếu chưa được biết đến quan hệ giữa “ và — th X X

'hột không dễ để chúng ta tìm ra ngay phép đặt ẩn phụ!. Các bạn để ý quan hệ

Ỉ8 S3 Trần Tuẩn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/131

1 * 1 1 , - 1 , giữa và -t-dx = —- d X- X X2 3

1 + 1 X

nên ta có —- du = d(l + —■).

X X

Ta cóố: T = — f eudu = —~ e u + C- 1 3 J 3

„ 3 -1 1+Thay U-.1+— tađươc: I] = ~—e x + c .

X 3

. 1 ^ 1b) Phân tích bài toán : Các bạn đê ỷ quan hệ giữa —T và —;

X X

1

dx = —d - , ' 1 1 J _ . 1 1 -

nen ta có — sin — COS — ax = —sin — COS—tí X 2 X X X X . Do đó,

ta có thể chọn ẩn phụ ỉà u = —. X

Lời giải của bài toán/ >1 1 r • ,Í1Ì — 1 sin —d — X 2 J X X \ /

Đặt u = — =>du = d f —

1 * 1 1 1 Ta có : = --------------------------------------------------- J ' sin(2u) du = — (-cos2 u) +

Thay u = — ta đươc: I = — COSX 2 Ả

/ \ 2

2 2

+ c-






B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


32/131

* Nhận x é t : Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các

bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

3

-1 I+=—e 3

hì 7 _ f J L ; i 1 . f l ì ___1 r ; 2 J i )°) 1 — \ — sin —cos —ax —— Ị sin —COS —a — = — Ị sin —a — J X X X J X X X 2 J X X \ / V /

_ ỉ C0SỊij+c-

3. Quan hệ giữa — và lnxr

Ta có (ln x) = — nên quan hệ cẩn xét giữa — và In X là : X X

1 1 —dx = —d{a\ ĩix + 6) X a

(ta hiểu công ĩhức trên một cách đơn giản như sau : đưa — vào trong vi X

phân thì thành (a In X -Ị- ò), với a ĩ* 0 và b tùy ỷ trên M)

Ví dụ 3. Tính:

2 In3X + 51112 Xr (21nx + 3Ìa ) I - / V-------- ì d x ; J Ỷ b)i xlnx d x .

Giải:

a) Phân tích bài toán: Các bạn để ỷ quan hệ giữa — và In X :

-


33/131

Ta có:1 1 10 10, T 1 f 9 , 1 u . ~ _ u , ^I = — I u du ——. — + c — ---hc ’

1 >■' 2 10 20

Thav u = 21n x+ 3 ta đươc: / i - -I íX 1 ty -ị-C-1 on20

1 1b) Phân tích bài toán: Các bạn để ý quan hệ giữa — và . In X : -- dx = ổ(ln x)

X X , 21n3 x + 51n2 X , 2 In3 JC+ 5 In2 X V \ - * r - -7

nên ta có — ----- — -----a x - . a[ ỉnx) . Do vậy, ta chọn ân phụxlnx

à u = lnx.

ln r

Lòi giải của bài toán

w2 ìn3 X+ 5ln2 X

dxxin X

Đặt u = lnx => du = đ(lnx).

2 In3 X + 5 In. X

ln xd(lnx) ■

Ta có : I — f ĩ £ + Ễ ^ d u = rị 2H!+ 5 f | d u = f h u2 + 5u)duJ u XX u J ' 1V / -

2u 5u :+ — + C-

3 2

Thay u = lnx ta được : I — -1 + ỄÍlĩ:x)- 4 - C-2 3 ............2 .

* Nhận xét : Neu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các

ọn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

r> lĩl X -J- s i 1 /a) I: = J - ----------- — dx= J —̂ 21nx + 3jd(2ỉnx + 3)

_ (2 InX -f 3)1

b ) i , = /

+ C' 20

2 lu3 X é- 5 IiL2 Xd x = f

2 J X In X J In X

= J[2(lnx)2+5lnjc]j(liix) = 2(ln x)3 + 5(In x)2 + Q .

. Quan hệ giữa ex và aex + b

Ta có ịaex + = àéx nên quan hệ cần xét giữa e* và aex + b là:

d(lnx)

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tĩch phân S3 31





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/131

e*dx = ~-d(aex -r b) a

■Ca-*o y

(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đưa. cx vào trong

phân thì thành ịae* + b), vài a ^ 0 và b tùy ỷ trên M)

Ví dụ 4. Tính :

3ea

2é* + 1b) L = [ — 1 _ dx.

• J l + e~x •

Giải

aỳphẫn tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ gi ữae* vềl 2qx + 1;

exdx = —d(2ez + 1) nên ỉacó - .

3e* , 3 • ' 3 ’1 ,— — - - - - dx — — — — :e dx — - — - — V — d(2e + i ) . . . . . . . . . .2e* + 1 2e* + 1 2e* + i 23 1 '

——. d(2ex + IV Do ~vộy, ĩa chọn ân phụ là u = 2e* + 1.2 .2ex -hì .. . ■' : ‘

■ Lời giải củạ bàỉ toán

J = C—ỉ ĩ — dx = [ — - — .exdx = [ — -— .- d ( 2ex-pl)1 J 2ex + 1 J 2ex + 1 J 2ex + 1 2 . -■

= f — d(2ex + 1) = - f — - — d(2ex + 1). J 2 2ex + 1 2 J 2ex 4-1

Đặt u = 2ex +1 => du = d(2ex +1). "

Tacó : I = - [ i -du = - l n ì u Ị+C- 2 u 2

3Thay u = 2ex + 1 ta được : I — —ln(2ex + 1) 4 - C- (te không lây dâu giá tr

2

luyệt đổi vì 2ex +1 > 0 )

b) Phân tích bài toán : Ta biến đổi

h ~ - tfo = [•— ~ ~ d x - Ị—̂ ~ — du.■l + e“x J1+_L }xx + l

e*

12 63Tran Tuãn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/131

Các bạn để ỷ quan hệ giữa e T và ex -f 1 exdx —d(ex + 1) nên ta cỏ:

dx =1 1

■dự + ! ) •

exdx

ex + 1 e* + 1 e1 + 1

Do đó, ta chọn ẩn phụ ỉà u = ex + 1.

Lờỉ gỉải của bài toán

I - f - đx - f —■ỉ— £& =j — — dx = \—-— .h + e ~ x V — V +1 v + l

J ex +1

Đặt u —e* +1 =>:du - d(ex +1).

Tacó : l2 = J' —du = In Iu Ị+C-

Thay u =■ex +1 ta được: ĩ 2 = ln (ex -Ị- 1) + C-

* Nhận x é t : Neu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các

bạn có thể trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau:

a) T = f --3e* dx = f — - — . —d(2ex + 1) = - ln ( 2ex + 1} + C.1 J 2e* + 1 J 2ex + 1 2 '2

b )Ỉ = í — -— dx - í — ——dx = f — — dx } \ + e~x J1+ j _ v + l

1d(ex + 1) = ln(ex -f 1) 4 - c

ex + 15. Quan hệ giữa sinx và cosx

Ta có (sinx) =cosx và (cosx) = -sinx nên quan hệ cần xét giữa sina:

và cos a; là:

COS xdx = — d(a s i n x + b )1

si ĩixdx — ——ãị ac os x + b)a a

(Ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa COS X vào trong

vi phân thành (a s inx+b ): đưa sinx vào trong vi phân thành -(acosx + b), với

a * 0 và b tùy ỷ trên R)






B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


36/131

Ví dụ 5.-Tính:

a) Ị = J c o s 3 X s in 2 x d x ; b) / 2 — J c o s x e ~ Zsmx+2d x -

Giải

dì) Phân tích bài toán ĩ Ta biến đ ổi:

cos3 X sin2X—cos X COS2 X sin2x = COS a:(l —sin2 x) sin2X.

Các bạn để ỷ quan hệ giữạ sìnx và cosx: cosxdx = d(sỉnx) nên ta có

cosx(ỉ - sin2x)sin2xdx - (ỉ - sin2x)sìn2xd(sinx). Do vậy, ta chọn ẩn phụ ĩàu = sim.


I x = J cos X sin xd x = J COS X COS X sin xd x

= J COS x ( l - sin2 x) sin 2 xdx= J (1 - sin2x) sin2 xd(sin x ) .

Đặt u = sinx => du - d(sinx).

Tacó: I — f (1 —u2)u2du = f ( u 2 - u 4)du = - -----— 4 -C- J J 3 5

. . * T (s in x )3 ( s inx )5 _ ■■Thay u = sin* ta được: I = 1 -------- v —-L 4-C •

1 3 5 -

b) Phân tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ giữa sinx và cosx:

COS xdx — - Ạ d (—3 sin X + 2) nên ta cỏ

3

c o s x e ^ ^ d x = — e“3si"*+2d (- 3s inx + 2).3

Do vậy, ta chọn ẩn phụ là u = -3 sinx + 2.


/ 2 = J c o s x e ~ 3siax+2dx = J — e -3sini+2d(-3s inz-Ị -2 )

Đặt u = -3 sin X + 2 :r> du = đ(-3 sin X+ 2).

Ta có: I = — f eMu = — e” + c .2 3 J 3 •

Thay u = -3 sin X + 2 ta được: I = —1 e - 3siax+2 Q2 3 '

34 £3 Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/131

* Nhận x é t : Nếu đõ thành thạo trong-việc sử dụng phương pháp này, các

bạn có thể trình bày ỉờỉ giải nhanh hơn như sau :

a ) l í = J cos3 X sin2 xdx= J cosx (l —sin2 x) sin2 xdx

'= j* (1 —sin2 x) sin2 xd (sin x) = J 1(sin2 X —sin4 x)d(sĩn x)

sin3 X sin5 X

■+ c.

b ) / , = / COS xe3sinx+2dx

= Ĩ T3sinjr+2d (- 3 si n aT-f'2)

= _ l e-3Sinx+2+ C _

6. Quan hệ giữa sin2x, cos2x vầ sin2x

Ta có (sin2 x) = 2 sin;ccos;c = sm2 ;c và (cos2 x) ='-2 cos;csinjc = -s in 2x

nên quan hệ cần xét giữa sin2x, cos2x và sin2x lả :

sin 2 x d x = — d ( a s i n 2 X + b) a

sin 2 x d x — — — d ( a COS2 X + b) a

(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa sin2x vào trong vi

phân thành (a s in 2 X -f b) hoặc —(a COS2 X -j- b), với a 7*0 và b tùy ỷ trên R)

Ví dụ 6 . Tính :

siĩi2rr

í dụ 6 . Tính :

a) = J ' (3sin 2x-fl)sin2xcfo:; b) / = J V2sin2 X + 3 cọs2 X

dx

Giải

a) Phân tích bài toán : Các bạn để ý quan hệ giữa sỉn2x và sin2x:

sinxdx = —á(3sin x+ 1) nên ta có (3sin2Íx+ l) si n xíừ

= “ (3 sin2 x+ 1) á(3 sin2 x-Ị-1). Do vậy, ta chọn ẩn phụ làu = 3sịn2x.+ 1.o

Lời giải cửa bài to án:

Ij — (3 sin 2 x + 1) sin2xdx = —(3 sin2 X +1) d(3 sin2 x-b 1) ■

Đặt u = 3 sin 2 x+1 => du = d(3sin 2 X+I).

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 35





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/131

Ta có :I =1 f uđu = ỉ —+c= —+€■1 Ỉ J 3 2 6 i

Thay u = 3sin2 x+l tađuơc: X _ (3sm x+1)'

b) Phân tích bài toán : Ta biến đổi:sin2r _ sm2x - J . sin2:r

>/2 sin2X + 3cos2X ..... ^J2{ỹ^x~+^õỉ~x) + ~cõ^~x V2 + COS2X

Các bạn để ý quan hệ giữa cos2x và sin2x; sin2xcỉx = —d {2 + COS2 x) n

ta có = m x̂ —dx = —= = L = d ( 2 + COS2 x) Do ãó, ỉa cố thể chọn V 2 + cos2 X V2 -h cos2 X

phụ ỉà u - 2 + cos X hoặc w= V + COS X. Trong trường hợp này ta nên ch

u = v2 + cos X để biểu thức dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức.

Lời giải của bài toán ĩ

h = f ^ = f - 1 d{2 + W s ) .V2 sin2: -Ị- 3 COS2 £ . V2 + COS2 X

Đặt u = V2 + c o s 2 x => u2 = 2 + cos2 X => du2 = d(2 + COS2 x ) .

Tacó: I2 = J '—- du2 ~ —J ' — du. = —.2y du = —2u + c ■

Thay u = yh + COS X ta được : I = -2 V 2 + COS X 4- c

* Cách khác :

/ 2 = [ ■ sm da: — r I — ■ ■ d(2 + COS2 x) •V 2 s in 2 ; + 3 c o s2 X . V 2 + c o s 2 rr

Đ ặ t u = 2 + c o s 2 X => du = d ( 2 + c o s 2 x ) .

Ta có : I2 = [ —À du = - 2Vũ + C (chú ý công thức đạo hà■ J vu

( < £ ) • - - L ạ2Vx

T h ay u = 2 + c o s ^ ta đ ượ c: I = - V + COS2 X + c *

36 Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/131

* Nhận xé t :

- Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn cỏ thể

trình bày ỉời giải nhanh hơn như sau :

a) Jj = J (3sin2x+l)sin2xcfec = J —(3sin2x+ l)d(3s in2x+1)

(3 sin2 x +1 )2 J£

6

b ) / 3 = f ... sin2x ....- d x = [ ~L -4(2 + COS2 x)V2sin2x +■3 cos2 X v2 + COS2 X

z !

= - | ( 2 + cos2x) 2 d {2 + COS2*) - -2a/(2+ cos2x) + c

- jVew chúng ta để ỷ đến quan hệ giữa sin X và COS X thì chúng ta có thêm cách giải theo hướng khác như sau :

a ) /1 = / ( 3 sin2 x-Hl)sin2xcí:r = J 2 sin a: COS x(3 sin2 x4-l)


40/131

7. Quan hệ giữ a---- — và tanx, ----X— và cotx&—— ------ . ----------COS X s i n X

Ta có (tanx) = — và (cotx) = \ - nên quan hệ cần xét giữa —-— cos X sin X cos2x

và ta n # ,

sin X

và c o t x l à :

dx = — d(a tan x+b )

acos2x ^ dx — —— d(a co t x+ b)

sin X

(tơ hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau : đưa — K ị — vào trong

COS2Jt

vi phân thành (úrtaruc + b), đưa

. với a ^ O v à b tùy ỷ trên R)Ví dụ 7. Tính :

3 tan X 4- 4

sin2 X vão trong vi phân thành -(acotx + b),

a) /.+ c os2 a;

d x ; b) / ,=

Giải

a) Phần tích bài toán ĩ Ta biến đổi

3 tan X + 4 _ 3 tan X + 4 _ (3 tan X + 4) 11 4- COS 2x 2 cos X 2 cos2#

Các bạn đê ý quan hệ giữa —-— và tan x —-— dx = —4(3 tan £ + 4)

c o s 2£ cos2a:

nên ta có m ^ .x + i ) _ _ L _ dx = 4) - đ(3 tan X - f 4 ) • .Đo vậy,2 cos X 2 3

ta chọn ẩn phụ ỉà u - 3 tan X + 4.

ỈM giãi của bài toàn

[. =/ t3 tan X + 4

+ COS 2x


41/131

Đặt u = 3 tan X + 4 => du = d(3 tan X + 4).

Ta có: X = í f udu = ! — + c = — + C-1 6 J 6 2 12

Thay u = 3 tan X + 4 ta được : I = (3 *aĩl x + 4)—|_(-J _ 1 12

b) Phân tích bài toán ĩ

Ta biển đỏi c o t x

sinx — cot — —cot2 X _ — __ bạn đ i ỷ quan hệ

s i n 2 x s it t 2 *

giữa - và cotx: —\ - đ x ~ -d(cotx) sin X sin X

nên ta cố cot2 X, _ J _ dx = - cot2 xd {cot x) • Do vw ta có thể chọn ẩn phụ là• sin2 X

u = cot X .

=/coix

sinxdx

Lời giải của bài toảrt

sin2 X

= —J' cot2 xd(cot x ) .

Đặt u = cot X => du = d(cọt x ) .

r u3Ta có: T = - u2đu = - — -+c .

2 J 3

Thay u = cotx ta đươc: I = _ _Ị_ c .3

* Nhận x é t : Nểu đã thành thạo trong việc sử dụrig phượng pháp này, cái

bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sa u :

a) I. _ r 3 j t a n x _ + _ 4 ^ _ r 3 t a n x + 4 ^

J l * + c o s 2 x ^ 2 c o s 2 X

= r ( 3t o nx + 4 ) I d anx ( 3 t a n x + i £

. J 2 3 12

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân © 3!





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


42/131

Vậy là, chúng ta đã nghiên cứu xong 7 mối quan hệ cơ bản giúp chúng tađịnh hướng nhanh cách giải cho một bài toán nguyên hàm, cũng như tích phân

sau này. Trong trường hợp bài toán không có xuất hiện một trong 7 mối quan

hệ trên, chúng ta làm theo hướng giải khác, có tính chất tổng quát hơn như sau:

đặt ẩn phụ u —u(x) để từ nguyên hàm theo biến X chúng ta biểu diễn đượcnguyên hàm đó theo biến ú ỉ (tức là ta cần biểu diễn biển “x ” theo biến u

“dx” theo u và du)

Mời các bạn theo dõi một sổ ví dụ minh họa.

Ví dụ 8 . Tính :

a) Ij = x(x + 12)“Kd x ; .... b) Ị , = J x í(s I l)'"dx•

Giải

a) Phăn tích bài toán: Nếu khai triển (x + 12)2012 rồi nhân X vào để tính th

không khả thi rồi ỉ Ở đây chủng ta củng không nhìn thay sự xuất hiện cùa mộ

trong 7 moi quan hệ để định hưởng ph ép đặt ẩn phụ, nhưng theo hướng giả

tổng quái, chủng ỉa chọn ẩn phụ ỉà u = X + 12 thì từ nguyên hàm theo biến X?húng ta biếu diễn được nguyên hàm đỏ theo biến u rồi ỉ Vì từ u — X + 12 ta

:ó X = u —12 và dx = 'đ(u — 12) = du (tức ỉà X được biểu diễn theo u và

dx được biểu diễn theo du) .


Đặt u = X + 1 2 =» du — dx và X = u —12.'

Ta được:

■ - ■■■■■-.■ . • ■ ■ , ■ . 2014 -1í) 2013 = r (u — )u du — f (u — u )du = -^ —— + c1 J K ' J v ; 2014 2013

nru _ , , T _ ( x + 12)2014 12(x + 12)2013 ^lhay u —X 4-12 ta CO: I = v ! i ^ —- 4 - c •1 2014 2013

b) Phân tích bà i toán : Đối với nguyên hàm này, việc sử. dụng mối quan hệ

iữa X và X2 không đem ỉại ỉờì giải thỏa đảng! Nhưng nếu chộn ẩn ph ụ l à u = X





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


43/131

+ 1 thì từ nguyên hàm theo biến X chúng ia biểu diễn được nguyên hàm đó theo

biến u rỗi! Vì từ u = X + 1 ta cỏ X = u - 1 vàdx = d(u - ỉ ) = dư (tức ỉà X được

biểu diễn theo u và dx được biểu diễn theo du ).

Đặt u = X + 1 => du = dx và X = u - 1.Ta được :

I2 = (— l)2u7du = (u2 — 2 u + l)u7du — J ( u9 — 2u8 + u7)du

Thay u = X + 1 ta có :

a) Phân tích bài toán : Trong bầì này cũng vậy, sử dụng mối quan hệ giữa X và X2 không đém lại lởi giải thỏa đángỉ Neu chọn ẩn phụ ỉà u = X - 2 thì từ

nguyên hàm theo biến X chúng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến uỉ Vì từ u = X - 2 ta cỏ X = u + 2 và dx = d(u + 2) = du (tức ỉà X được biểu diễn

theo uv à d x được biểu diễn theo du).


Ị _ (x + l -)10 2 (x + l )9 (x + 1)8 ■c

2 10 9 8Ví dụ 9. Tính:

Giải


Đặt u = x - 2=>đ u = dx và x = u + 2.Xct •

C/ -10 ^ -11 c- - 12\ 1 u 9 . 4u 10 5u 11 ~= Ị (u + 4u + 5u )du — -----4------------ 1----------- h c

J J - 9 - 1 0 - 11

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Ĩĩch phân S3 41





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


44/131

* Chủ y ĩ Neu áp dụng công thức

có cách giải gọn hơnỉ

r ~ ỉ- d x = — ----- - J x a (n —l)x

n—1 + C

_ P (u + 2)2 + 1 , p u2 + 4u +• 5 r f 1 4 5 ■V,r ~du=/ -> -du=J&+Ặ +̂ )du= ^ I + - z í _ + -^ 5 _ + c .

9u9 10u10 l l u 11Thay u = X - 2 ta có :

- 1 - 4 —5 c

1 ~ 9(x - 2)9 + 10(x - 2)10 ll ( x - 2)115 3

£^rẩ& bỵphân tích bài toán : Ta có biến đ ổ i ------------ ---------- —-.X2 nên chủng ( 2 + x 3)2 ( 2 + Xs)2fete'- • v ' v

ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa X2 và X3 để định hướng phép đặt ẩn phụ:

x2dx = —d(2 + X3).

Ta có — — -----dx —-— TT.x2dx —Ậ. x — d(2 + X3) ,'vgy ta(2 + x*)2 " (2 + X 3)

chọn ẩn phụ ỉà U- 2 + X .


3 (2 4- X3)2

= I ĩ ĩ Ỉ J ĩ dx = f .x’dx = f — x~ - ịd(2 + X3)

(2 + Xs)2 ■ (2 + X3)2 " ‘ J (2 + Xs)2 3

Đặt u = 2 + X3 => du = d(2 + X3) và X3 = u - 2.

Ta được:

*•= ỉ / ^ du- ị S ặ - ỉ ? * 4 / (Uo ^ u o ^ u u . o ^ u u= | ( ln |u | + -) + C-= -(ln |u| + -J + (J- ■

Thay u - 2 + X3 ta có : I2 = - ( ln ^ + x2 +2 + x

r) + c-

42 OD Trần Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


45/131

Ví dụ 10. Tính :

a) I = f —-— COS“ -— -d x ;b) I = f s in3 x s lc o s x d x . J (sin X + cos x) J

Giải

a) Phân tích bài to ản: Ta biến đổi

cosx _ COS X _ 1 1(sin X + cos a;)3 / sin X + COS _ (tan X 4* l)3 COS2 X

I ) cos 3/cosx

Tới đây chủng ta cỏ thê sử dụng quan hệ giữa ———- và tanx đê chọn ânCOS2 X

phụ thích hợp ỉàu = tanx + L


Ta có :

T = r , - _ c° s * 4 S = r -------- cosx . ax ■'J ( s in x + co sx) . J /SÌnx-Ị - c o s x n3

' ( ----------- :----------- ) COS Xcosx

— í — \ —dx = í —•— ——~-d(tanx + 1) J (tan X 4-1) COS X J (tan X + ĩ ) .

Đặt u = ta n x 4-1 => du = d(ta nx + 1 ).

Ta được : I =: f - \ d u = f u~3d u = — + C = — ị + c*J u - 2 2u

Thay u = tan X + 1 ta có: I = -------n i -------- ị-C-1 2(tan X 4 -1)2

* Nhận x é t:

- Trong bài toán này, phải thông qua một sổ phép biến đổi, chúng ta mới áp

dụng được quan hệ g iữ a __ \ __ và tanx để định hưởng phép đặt ẩn phụ cũng

COS2 X như cách giải ỉ

- Các bạn .có thể trình bày ỉờỉ-giảĩ- gọn hơn, với chú ý công thức

f - ị d x = - — , + c ■J x“ (n —l)xa~ , • ... .






B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


46/131

r cosx , r cosx ,[ = / — :— — -------ỎX = / --------------- — —- dx

J (sxnx + cos'x) J ,s in x + cosXv3 v (--------- ----------) cos X

. ... ......- . . c o s x ; . . ...

= f ------ 1 ------- — iL— d x = r -------------------------------------- ị ----- —

J ( t a n x + 1) c os X J ( t a n x + Ĩ)

- 1+ c*

. 2 ( t a n x + l ) 2

b) Phân tích bài toán : Ta để ý quan hệ giữa s inx và cos x để địn

neớng phép đặt an ph ụ : sin xdx = —d(cos x ) . Tã có

sin 3 x-v/cos xdx — sin X sin 2 xV cos xdx

= sinx(l —cos2x)Vcosxdx

= (1 —cos2 x) V :os xd(—COS x)

vậy ta chọn ẩn phụ là u - cosx hoặe u = 4cosx - Trong trường hợp nà

húng t a n ê n c h ọ n u = VCO SX đ ể b i ể u t h ứ c d ư ớ i d ấ u n gu yê n , h à m k h ô n g c ò

hứa căn thức.

Lời giải cửa bài toán

l2 = J s i l l 3 w c o s x d x = J* sin X s in 2 W c o s x d x

= Jsin x (i“ cos2 x)\lco$xdx ~ J(1 - COS2 x) yjcosxd(- cos x)

Đặt u = V co sx => u2 — cos x và d(—cosx ) = d(—u2) . r

Ta đượ c: 12 = J (1 - u 4) u d ( - i i2) = J (1 - u 4) u ( - 2 u ) d u

= f (—2u2 + 2 ư s)dư = ~ 2y c J 3 7

Thay u = COS X ta CỎ • I — ~2(S/cosx) ^ 2(-v/cosx) Y Q

Cách k hác : Nếu đặt M= COS X ta có cách giải khác như sau :

I2 — J s in 3 x V c o s x d x = J s ỉn X sin2 xV cos x d x

— J s in x ( l — cos2 x )V co sxd x = J ( l — COS2 x ) \ /COSx d (—COSx )

4 3 Tran Tuấn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


47/131

Đặt u = cos X =r> du = d(cosx) . I ,

T a đ ư ợc : / 2 = J ( l - w 2) V w c / ( - « ) = J ( 1- w 2) k V ( - w ) = ^ jc I ,- 2+-w2 - « 2 í/w

=1

7 3

— i-̂ 2h 2 _

«2-«5 L&= — +c.r 73 •Thay u = COS* ta có :

_ 2 ( c o s x ) 2 ( c o s x ) _ 2 ( V c o s * ỷ 2 ( V c o s x )+c.

Các ốạn ?ĩÂạn í/ỉớy, ốằKg các/ỉ ữặí w= -VCOS X chủng ta cỏ ỉời giải gọn hơn

và không phức tạp như cách đặt tí - COS JC.

Ví dụ 11. Tính: .

« )I , = /v r r ;

chò b) ĩ2— J* xVl + xđx.

G iả i

a) Phân tích bài toán : Bài toán này sử dụng 7 /zể để định hưởng phép

đặt ẩn phụ ỉà không khả thi. Nếu chọn ẩn phụ ỉà u = Vl — X //ỉ/' íír nguyên

hãm theo biến X chúng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến u vì từ

u = V T - X t a s u y r a X = 1 — u 2 v à d x = d ( l — u 2 ) = —2 u d u ( tứ c l à X

được biểu diên theo U; dx được biểu diễn theo u và du ).

Lời giải của bà i toán

Đ ặt u = 4 1 — X =*> u 2 = 1 — X h ay X = 1 — u 2 =*►d x — d ( l - u 2)

Ta được : ^ = - J -— — 2udu = 2 J (u2 - l)du = 2

= -2udu-

~ u

Thay u = Vl - X ta có: 1 - 2 — —— - V l-X + c •1 3

b) Tương tự câu a), ta chọn ản phụ là u = -v/l + x . Lời giải của bài toán ỉà

Đặt u — v ĩ + X =>• u2 = 1 ■+- X hay X = u2 - 1 dx = đ(u2 - 1 )

- 2udu

Giải nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân G3 45





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


48/131

Ta'được +■xdx — f (u2—l)u.2udu

= 2J ( u 4 - u2)du = 2(Ệ - Ệ) + c

ó _ 2( J ĩ + ĩ ) s 2 ( J Ĩ Ĩ Z f

2 5 3Thay u = V1 + X ta có + c.


a) I, - r S ; ■ J e « 4 ] b)I’ = f ĩ è ■dx.

Giổ/

a) Phân tích bài toán : Nêu chọn ẩn phụ là u — ex - h l thì từ nguyên hàm

theo biến X chủng ta biểu diễn được nguyên hàm đó theo biến u Vỉ'

đu = d(ex + 1 ) = exdx mà ex = u — 1.


Đặt u = e x -Ị-1 ex = u —1 du = d(e x 1) = e xdx

du du=> dx = ——=

Ta được: I I' o ;

ex + 1

b) Phân tích bài toán : Chú ỷ rằng e2x = (ex)2, tức ỉà e2x biểu diễn được

CỈG*qua ex. Lại để ỷ de x = exd x hay —— = dx nên ta chọn ẩn phụ ỉà u = e*.

ex

46 S3 Trần Tuãn Anh





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


49/131


Đặt u = ex =£• du = đex .

Ta được: L = r ' - i - ' M = f ^ — dn = du J u —u u y u (u —1) J u (u —1)

J u íu - 1 ) u (u - In J u —1 uu2( u - l ) u 2( u - l )

du = ln ịu —1| —ln |u| + — + cI I í I u _ 1 ____

u —I u . u2

= lnu —1

11+ - + C

u

Thay u = e x ta có : I = lnex - 1

+ — + C-ex

v 1 _ i f xĩ ---------- = ----------- :---- = — ----vàe2x - ex e2z(l —e~x) l - ẻ-*

* Cách khác: Các bạn để ý rằng

J/ — x\d(e~x) — —e~xdx h a y ---- —— = ảx thì ta chọn được ầnphụ ĩà u — e~x.

e~x

Ta cỏ ỉời giải cho bài toán:

I 2 = [ — 1 .—dx =• f 1 dx — [ (e~X̂ -d x ■ 2 J e —e* ^ ẽ (1 —e ) J l - e " x

duĐặt ú = e x du = de x = —e Xdx hay — = d x .

Ta được: I = - f - d u = f — -d u 2 J 1 -u .u J u —1

_ r { u -1 ) -

J U‘ —1Thay u = e~x ta có :

- ư —1

e”x + In e~x - 1 c = In ex. —1ex-

du —u + ln Ịu—lỊ + c .

H—-—-f- c •ex

Giài nhanh bài toán Nguyên hàm và Tích phân 0P 47-





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


50/131

Sau đây, chủng ta tiếp tục xét một vài nguyên hàm giải được bằng phươ

pháp đổi biến sổ nhưng Với cách đặt ẩn phụ đặc biệt Ị


; . b ) i 2 = r J Vx2 + 2013

X - 1

X 4 + 1

dx

Giải

a) Phân tích bài toán : Đặt U — \/x 2 —2013 u2 = X2 -Ị- 2013

rõ ràng phép dặt này có thể đổi biếnuduudu = xdx => dx — _________ Vu2-2013

biến “x ” qua biến “u” được. Nhưng nguyên hàm theo biến “ỵ ” ỉạỉ khá ph

ĩạpỉ Không thỏa mãn điểu ỉdện: chọn ẩn phụ u -u (x ) sao ■cho việc tí

ỉ = ịg{u)du phải dễ hơn là tỉnh ỉ = ịf(x)dx. .Tương tự trong ữường hợp đ

u = X2 + 2 0 1 3 cũng vậy. Bây giờ ta xét cách đặt giải được bài toán.

Lời giãi của bài toán

Đặt u + X = \Ịx2 + 2013 =£ u2 + 2ux + X2 = X2 -j~2013

2013- u 2 2013 U

2=>• X =

2u 2ư

■- 2013 , uu + X = + —

2u 2

-2013 ,và d x f —— d u .

2u 2

'T / T _ r 1 í - 2 0 1 3 f 2 uTa cỏ : lí = ----- — - ị — “ \du = 1- —— -2013,, “ l 2u 2) 2013 + «

... 2u .. 2

GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN...

Documents

Transcript of GIẢI NHANH BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 11-12 - TRẦN...