1

GIẢI TÍCH HỆ THỐNG ĐIỆN GIẢI TÍCH HỆ THỐNG ĐIỆN NÂNG CAONÂNG CAO

Võ Ngọc Điều

Bộ Môn Hệ Thống ĐiệnKhoa Điện – Điện tử

Trường ĐH Bách Khoa

CHƯƠNG 3: PHÂN BỐ CÔNG SUẤT

2

Vấn Đề Phân Bố Công Suất Công cụ quan trong nhất và cũng phổ biến nhất trong phân

tích hê thống điện:- Được biết như là lời giải “phân bố tải” (load flow)- Được sử dụng để quy hoạch và điều khiển hệ thống điện.- Giả sử: điều kiện cân bằng và phân tích đơn pha.

Vấn đề: - Xác định biên độ và góc điện áp ở mỗi nút.- Xác định phân bố công suất thực và kháng trên mỗi đường dây.- Mỗi nút có 4 biến trạng thái:

+ Biên độ điện áp. + Góc điện áp. + Công suất thực bơm vào. + Công suất kháng bơm vào.

3

Vấn Đề Phân Bố Công Suất Mỗi nút có 2 trong số 4 biến trạng thái là xác định được hoặc

đã cho. Các loại nút trong hệ thống:

- Nút tải (nút PQ):Biết: Công suất thực P và công suất kháng Q cấp cho tải.Chưa biết: Biên độ và góc điện áp.

- Nút máy phát (nút PV):Biết: Công suất thực P phát vào hệ thống và biên độ điện áp V.Chưa biết: Công suất kháng và góc điện áp.

- Nút chuẩn (slack bus, swing bus, reference bus)Biết: Biên độ và góc điện áp.Chưa biết: Công suất thực và công suất kháng.* Phải có 1 MF làm nút chuẩn và bù công suất vào hệ thống do bởi tổn thất.

4

Vấn Đề Phân Bố Công Suất Việc phân loại nút được thực hiện như sau:

Chú ý: Nếu một máy phát có đủ nguồn công suất để bảo đảm một mức điện áp nào đó, nó được xử lý như là một nút điều tiết điện áp.

5

Phương Trình Phân Bố Công Suất Định luật Kirchhoff về dòng điện:

Định luật phân bố công suất:

6

Phương Pháp Gauss Seidel Một công cụ giải phương trình đại số phi tuyến

- Đây là phươn pháp thay thê kế thừa.- Các bước lặp:

Chọn một hàm và sắp xếp lại theo dạng x = g(x) (có thể có nhiều cách sắp xếp)

Chọn một điểm đánh giá ban đầu của x: x(0) = giá trị ban đầu. Tìm sự cải tiến giá trị của x thông quan vòng lặp, tức là x(k+1) =

g(x(k)). Lời giải tìm được khi sự khác biệt giữa hai vòng lặp nhỏ hơn một

giá trị cho trước: |x(k+1)-x(k)|<.- Hệ số tăng tốc

Có thể cải thiện tốc độ hội tụ thông qua hệ số tăng tốc: >1 Bước lặp được hiệu chỉnh như sau:

7

Phương Pháp Gauss Seidel Một công cụ giải phương trình đại số phi tuyến

- Đây là phươn pháp thay thê kế thừa.- Các bước lặp:

Chọn một hàm và sắp xếp lại theo dạng x = g(x) (có thể có nhiều cách sắp xếp)

Chọn một điểm đánh giá ban đầu của x: x(0) = giá trị ban đầu. Tìm sự cải tiến giá trị của x thông quan vòng lặp, tức là x(k+1) =

g(x(k)). Lời giải tìm được khi sự khác biệt giữa hai vòng lặp nhỏ hơn một

giá trị cho trước: |x(k+1)-x(k)|<.- Hệ số tăng tốc

Có thể cải thiện tốc độ hội tụ thông qua hệ số tăng tốc: >1 Bước lặp được hiệu chỉnh như sau:

8

Ví Dụ Phương Pháp Gauss Seidel Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình:

- Bước 1: Chuyền phương trình về dạng chuẩn: x = g(x)

9

Ví Dụ Phương Pháp Gauss Seidel- Bước 2: Từ giá trị ban đầu x(0) = 2, các vòng lặp như sau:

10

Ví Dụ Phương Pháp Gauss SeidelKết quả mô phỏng trên matlab

11

Ví Dụ Phương Pháp Gauss Seidel Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình sau với hệ số tăng tốc

là 1.25.

- Cũng bắt đầu với giá trị ban đầu x(0) = 2.

12

Ví Dụ Phương Pháp Gauss Seidel Các vòng lặp tiếp theo:

13

Ví Dụ Phương Pháp Gauss Seidel Kết quả mô phỏng Matlab:

14

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Xem xét hệ n phương trình như sau:

Sắp xếp lại sao cho mỗi phương trình cho một trong các biến:

15

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Các bước:

- Giả sử lời giải xấp xỉ cho các biến độc lập là:

- Tìm các kết quả trong một lời giải xấp xỉ mới:

- Trong phương pháp Gauss Seidel, các giá trị được cập nhật của các biến được tính toán trong các phương trình trước được sử dụng ngay tức thì trong lời giải của các phương trình tiếp theo.

16

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Ví dụ 3: Dùng phương pháp Gauss Seidel giải hẹ phương trình

sau:

Ý tưởng:

Phương trình cập nhật:

17

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Lời giải theo phương pháp Gauss Jacobi:

Nếu X(k) hội tụ thì:

Lời giải tìm nghiệm:

18

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Điểm dự đoán ban đầu:

Vòng lặp 1:

Vòng lặp 2:

Vòng lặp 3:

19

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Lời giải theo phương pháp Gauss Seidel:

Điểm dự đoán ban đầu:

Vòng lặp 1:

Vòng lặp 2:

Vòng lặp 3:

20

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Vòng lặp 3:

Phương pháp Gauss Seidel hội tụ nhanh hơn phương pháp Gauss Jacobi.

Ý tưởng giải hệ phương trình của phương pháp Gauss Seidel:

21

PP Gauss Seidel Cho Hệ PT Các bước lặp trong không gian thực 2 chiều:

22

Phương Trình Phân Bố Công Suất Các phương trình được dẫn ra ra như sau:

Viết phương trình dưới dạng Gauss Seidel

23

Công Suất Bơm Vào Viết lại phương trình công suất để tìm P và Q:

Các công suất thực và kháng cung cấp cho tải được giữ cố định.

Chiều dòng điện và công suất ở các nút được mô tả như sau:- Đối với nguồn phát: công suất là dương.- Đối với tải: công suất là âm.- Công suất điều độ (scheduled) là tổng công suất phát và tải.

24

Lời Giải Gauss Seidel Tập các phương trình trở thành:

trong đó Pi[sch] và Qi

[sch] là các công suất hoạch định đã biết trước ở nút i.

25

Lời Giải Gauss Seidel Viết lại công thức dưới dạng Ybus:

26

Lời Giải Gauss Seidel Các đặc tính của hệ thống:

- Vì cả hai thành phần (V và ) là biết trước ở slack bus (nút chuẩn) vì vậy chỉ có 2(n-1) phương trình phải được giải theo cách lặp.- Đối với mỗi load bus (nút tải), công suất thực và ào đều biết trước (scheduled): + Biên độ và góc điện áp phải được đánh giá (tính toán). + Trong đơn vị tương đối, biên độ điện áp danh định là 1. + Các góc điện áp ở các nút thường gần nhau, vì thế giá trị khởi động ban đầu 0 là thích hợp.

27

Lời Giải Gauss Seidel- Đồi với các nút máy phát, công suất thực và biên độ điện áp là biết được: + Công suất thực đã được hoạch định (scheduled). + Công suất kháng được tính toán dựa trên các giá trị điện áp đã được đánh giá. + Điện áp được tính toán bằng phương pháp Gauss Seidel, chỉ phần ảo được giữa lại. + Điện áp phức được xác định từ biên độ và phần ảo theo vòng lặp

28

Lời Giải Gauss Seidel Hệ số tăng tốc:

Các hệ số và có thể chọn bằng nhau. Theo thực nghiệm, các hệ số tăng tốc và giúp phương

pháp hội tụ nhanh hơn. Giá trị tốt nhất của và tùy thuộc vào hệ thống.

29

Lời Giải Gauss Seidel Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp Gauss Seidel để tính toán phân

bố công suất cho hệ thống sau:

trong đó, nút 1 là slack bus, nút 2 là PQ bus và nút 3 là PV bus.

Bu s 1Bu s 2

Bu s 3

G 1S G 1

V1 = 10

y 1 3 = - j1 5

S D 1 = 2 .0

y 1 2 = - j1 0S D 2 = 2 .5 - j0 .8

y 2 3 = - j1 2

/V 3 / s= 1 .1

G 3

S G 3 = 2 + jQ G 3

30

Lời Giải Gauss Seidel Thành lập Ybus:

Xác định các thông số và biến:

- Nút 1: /V1/=1, 1 = 0 ; PD1= 2, QD1= 0 nhưng PG1 và QG1 chưa biết.

- Nút 2: PD2=2.5, QD2 =-0.8 ; nhưng /V2/ and 2 chưa biết.

- Nút 3: PG3=2, PD3=QD3=0, /V3/=1.1 nhưng QG3 và 3 chưa biết.

31

Lời Giải Gauss Seidel Viết các phương trình phân bố công suất:

Nút 1 là nút chuẩn nên không có tính toán nào trước khi quá trình hội tụ.

Nút 2 ở vòng lặp thứ 1:

I1 = -j25V1+j10V2+j15V3=(PG1-2)-j(QG1-0)/V1*

I2 = j10V1-j22V2+j12V3= (-2.5-j0.8)/V2*

I3 = j15V1+j12V2 -j27V3=(2-jQG3)/V3*

*1

1[ ]

np p

p pq qqpp pq p

P jQV y V

y V

32

Lời Giải Gauss Seidel

1 2 22 21 1 23 3*

22 2

12

12

12

12

1

1 2.5 0.810*1 0 12*1.1 0

22 1 0

12.5 0.8 10 13.2

22

12.5 24

22

1.09 0.11 1.096 5.76

P jQV y V y V

y V

jV j j

j

V j j jj

V jj

V j

33

Lời Giải Gauss Seidel Nút 3 ở vòng lặp thứ nhất:

* * *

1

1

Im[ ] Im[ ( )

Im[( ) ( )( )]

n

p p p p pq qq

n

p p p pq pq q qq

Q E I E y E

Q e jf g jB e jf

1 * * * 1* * *3 3 31 1 32 2 33 3

13

13

13

Im{ ( )}

Im{1.1 0[ 15*1 0 ( 12)(1.09 0.11) ( 27)(1.1 0)]}

Im{1.1[ 15 1.32 13.08 29.7]}

1.62

Q V y E y E y E

Q j j j j

Q j j j

Q

Q1G3= Q1

3+QD3 = 1.62+0 =1.62

34

Lời Giải Gauss Seidel Tìm V3 ở vòng lặp thứ 1:

*1

1[ ]

np p

p pq qqpp pq p

P jQV y V

y V

1 13 33 31 1 32 2*

33 3

13

13

13

13

1

1 2 1.6215*1 0 12*1.09 0.11

27 1.1 0

11.82 1.47 15 1.32 13.08

27

10.5 29.55

27

1.094 0.0185 1.094 0.968

P jQV y V y V

y V

jV j j j

j

V j j jj

V jj

V j

35

Lời Giải Gauss Seidel Ví dụ 2: Cho sơ đồ như hệ thống cấp 132kV, nút 1 và 2 là nút

máy phát và nút 3 là nút máy đồng bộ. Điện áp nút 3 được giữ ở 1pu do may bù đồng bộ và máy phát nút 1 không có khả năng phát công suất kháng (không điều khiển điện áp).

36

Lời Giải Gauss Seidel Thành lập ma trận Ybus

37

Lời Giải Gauss Seidel Xác định các nút:

- Nút 2 là slack bus, vì máy phát 1 không có khả năng phát công suất kháng nên không thể điều tiết điện áp.- Nút 3 là nút PV do có máy bù đồng bộ điều khiển điện áp (công suất thực phát ra là 0)- Nút 1 là nút PQ.

38

Lời Giải Gauss Seidel Khởi động ban đầu

39

Lời Giải Gauss Seidel Vòng lặp thứ 1

40

Lời Giải Gauss Seidel Vòng lặp thứ 1

41

Lời Giải Gauss Seidel Tính phân bố công suất và sai lệch công suất

42

Lời Giải Gauss Seidel Vòng lặp thứ 2

43

Lời Giải Gauss Seidel Vòng lặp thứ 2

44

Lời Giải Gauss Seidel Tính phân bố công suất và sai lệch công suất

45

Lời Giải Gauss Seidel Tính toán có PV bus trong Gauss Seidel

- Để giải Vi ở PV bus trước hết phải đoán giá trị của Qi

- Vì thế

- Trong vòng lặp sử dụng:

46

Lời Giải Gauss Seidel- Giải tìm Vi

(v+1)

- Nhưng vì |Vi| là biết được, thay bằng |Vi|

Bài tập tự làm: Viết chương trình giải bài toán phân bố công suất dùng phương pháp Gauss Seidel.

47

Phương Pháp Newton-Raphson Về mặt toán học phương pháp Newton-Raphson (NR) vượt

trội hơn hẳn phương pháp Gauss Seidel. Phương pháp NR hiệu quả hơn cho những mạng điện lớn: số

vòng lặp tùy thuộc vào kích cỡ mạng. Phương pháp NR được dùng để giải tìm biên độ và góc điện

áp với công suất thực và kháng bơm vào mạng đã biết.

48

Phương Pháp Newton-Raphson NR là phương pháp xấp xỉ liên tục sử dụng khai triển Taylor.

- Xem xét một hàm f(x) = c, trong đó c đã biết và x chưa biết.- Lấy x[0] là điểm đánh giá ban đầu, thì x[0] là độ lệch nhỏ từ lời giải chính xác.

- Khai triển vế trái thành chuỗi Taylor xung quanh điểm x[0]

49

Phương Pháp Newton-Raphson- Giả sử sai số x[0] là nhỏ và bỏ qua các thành phần bậc cao, kết quả:

trong đó:

- Sắp xếp lại các phương trình:

50

Phương Pháp Newton-Raphson Tìm nghiệm của phương trình sau dùng NR với giá trị điểm

ban đầu là x[0] = 6.

- Đạo hàm f(x) theo x

- Vòng lặp 1:

51

Phương Pháp Newton-Raphson Kết quả sau vòng lặp 1:

Các vòng lặp tiếp theo:

52

Phương Pháp Newton-Raphson

Kết quả quá trình lặp

53

Phương Trình Công Suất Định luật Kirchhoff về dòng điện:

Công suất thực và kháng bơm vào

Thay thế Ii vào công thức của công suất

54

Phương Trình Công Suất Phân ra thành công suất thực và ảo:

55

Thành Lập NR Chuyển các công suất thành dạng lặp:

Thành lập hàm ma trận của hệ thống các phương trình:

56

Thành Lập NR Dạng tổng quát của phương trình tìm lời giải:

Phương trình lặp:

Jacobi – đó là đạo hàm bậc 1 của một hệ phương trình (ma trận của tất cả các cặp tổ hợp):

57

Ma Trận Jacobi

58

Các Thành Phần Jacobi Công suất thực theo góc điện áp

Công suất thực theo biên độ điện áp

59

Các Thành Phần Jacobi Công suất kháng theo góc điện áp

Công suất kháng theo biên độ điện áp

60

Quá Trình Lặp Sai lệch công suất (power mismatch) hay công suất dư (power

residuals)- Sai lệch trong hoạch định (schedule) để tính công suất:

Các đánh giá mới về điện áp

61

Kiểu Nút & Thành Lập Jacobi Nút chuẩn

- Một nút máy phát phải được chọn và và định nghĩa như nút chuẩn về biên độ và góc điện. + Biên độ và góc điện áp là biết được. + Góc điện áp được chọn tùy ý, thường là 0. + Nút này không bao hàm trong ma trận Jacobi được thành lập.

Nút máy phát- Biên độ điện áp và công suất bơm vào là biết được.- Góc điện áp và công suất kháng bơm vào sẽ được tính toán.- Nút này được kể đến trong các phần công suất thực của ma trận Jacobi.

62

Kiểu Nút & Thành Lập Jacobi Nút tải

- Công suất thực và kháng tiêu thụ ở nút này là biết được.- Biên độ và góc điện áp sẽ được tính toán.- Nút này hoàn toàn được bao hàm đầy đủ trong ma trận Jacobi.

63

Các Bước Lặp NR1. Đặt flat start (khởi động phẳng)

- Đối với nút tải, đặt điện áp bằng với điện áp nút chuẩn hay 1.00o

- Đối với nút máy phát, góc điện áp được đặt bằng 0.2. Tính toán công suất sai lệch (power mismatch)

- Đối với nút tải, tính toán P, Q bơm vào sử dụng điện áp của hệ thống đã biết và đã đánh giá.- Đối với nút máy phát, tính toán công suất P bơm vào.- Tính toán các sai lệch công suất, P và Q.

3. Thành lặp ma trận Jacobi- Sử dụng các phương trình khác nhau cho các đạo hàm riêng phẩn theo biên độ và góc điện áp.

64

Các Bước Lặp NR4. Tìm lời giải ma trận (chọn a hay b sau đây)

a) Nghịch đảo ma trận Jacobi và nhân với độ lệch công suất.b) Thực hiện khử Gauss trên ma trận Jacobi với vector b bằng với công suất sai lệch.Tính toán và V.

5. Tìm các đánh giá mới cho các biên độ và góc điện áp.6. Lặp lại quá trình cho đến khi sai lệch công suất (thặng dư) nhỏ

hơn một giá trị chính xác đặt trước.

65

Phân Bố CS và Tổn Thất Sau khi giải tìm biên độ và góc điện áp, phân bố công suất và

tổn thất trên các nhánh đường dây sẽ được tính toán:- Các đường dây truyền tải và MBA là các nhánh trong mạng.- Hướng dương của dòng điện được định nghĩa cho các phần tử nhánh trong mạng (xem xét ở đây chủ yếu là đường dây chiều dài trung bình).- Phân bố công suất được định nghĩa cho mỗi đầu cuối các nút. + Ví dụ: Công suất rời nút i và chảy vào nút j

66

Phân Bố CS và Tổn Thất Dòng chảy dòng điện và công suất

Tổn thất công suất

67

Ví DụSD1 =1.0

SD2 = 1.0 - j0.8

SD3 = 1.0 + j0.6

V1 = 1 + j0 slack

|V2| = 1.0

PG2 = 0.8

Yij = -j2.5,

line charge = j0.02

-6 <QGi< 5, i = 1,2

SG1 SG2

V2

SD2

SD3

V3

SD1

V1

PV

68

Ví Dụ

4.98 2.5 2.5

2.5 4.98 2.5

2.5 2.5 4.98bus

j j j

Y j j j

j j j

a) 1

3

2

-j2.5

-j2.5 -j2.5

j0.01

j0.01

j0.01

j0.01

j0.01j0.01

69

Ví Dụ

1 1

1 1

2 2 2

2

1 1

2

2

Bus # 1 (Slack) 1, 0, 1.0, 0 are known

But & are unknown

Bus # 2 ( ) 0.8, 1.0, 1.0, 0.8 are known

But & are unkno

D D

G G

G D D

G

V P Q

P Q

PV P V P Q

Q

3 3 3 3

3 3

wn

Bus # 3 ( ) =0; 1.0, 0.6

But & are unknown

G G D DPQ P Q P Q

V

b)

70

Ví Dụ

1 1

2

1 1 2 3

1

2 1 2 3

2

3 1 2 3

3

Power Balance Equation

( 1) ( ) 4.98 2.5 2.5

(0.8 1) ( 0.8) 2.5 4.98 2.5

1 0.6 2.5 2.5 4.98

G G

G

P j QI j V j V j V

V

j QI j V j V j V

V

jI j V j V j V

V

71

Ví Dụ

c) Bus # 1 is a slack bus, no computation is necessary before the process converges.

Bus # 2

2

( 1) *2 2

2 1 3*

22 2

*

1 3*

2

( ) ( ) *

2 2 1 2 3

12.5 2.5

0.2 ( 0.8)1 2.5 2.5

4.98

Im ( 2.5 4.98 2.5 )

k k

k

G k

k

k k k k

P jQV j V j V

Y V

j Qj V j V

j V

Q V j V j V j V

( 1) ( 1)

3 1 2( )*

3

(0) (0)

2 3

1 1 0.62.5 2.5

4.98

1.0 0

k k

k

jV j V j V

j V

V V j

Bus # 3

72

Ví DụBus # 2

2 2

2

2

2

( 1)

2

0

(1) 0

2,

Im 2.5 4.98 2.5

Im 0.02 0.02

0.02 0.8 0.82

6 5

1 0.2 0.022.5 2.5

4.98 1

1 0.2 4.981.0 0.0401606

4.98 1

1.00000806 2.2998

1.0 2.2998 for t

k

k k

G D

G

k

new

Q j j j

j

Q Q Q

Q

jV j j

j

jj

j

V

he next iteration

73

Ví Dụ

(1) 0

3

1 1 0.62.5 2.5 1.000806 2.2998

4.98 1

1 1 0.6 2.5 2.5 (1.0 0.0401606

4.98

1 1 1.9 2.5 0.1004015

4.98

1 0.1004015 4.4

4.98

0.88353 0.220964

0.91074 1

jV j j

j

j j j jj

j jj

jj

j

04.04

Bus # 3

74

Ví DụSlack Bus # 1

22 2 2 2

2 3 3

33 3 3 3

2 3 3

33 3 3 3

2 3 3

P P P P

V

P P P P

V

VQ Q Q Q

V

PQ

PV

3

2 2 2 2 21

2

2 22 22 2 21 1 2 1 21

2 23 3 2 3 23

cos( )

= cos cos( )

cos( )

j j j jj

P V Y V

V Y V Y V

V Y V

75

Ví Dụ

2

2 21 1 2 1 21 2 23 3 2 3 23

2

2

2 23 3 2 3 23

3

2

2 23 2 3 23

3

3

3 3 3 3 31

2

3 33 33 3 31 1 3 1 31

3 32 2

sin( ) sin( )

sin( )

cos( )

cos( )

cos cos( )

c

j j j jj

PV Y V V Y V

PV Y V

PV Y

V

P V Y V

V Y V Y V

V Y V

3 2 32os( )

76

Ví Dụ3

3 32 2 3 2 32

2

3

3 31 1 3 1 31 3 32 2 3 2 32

3

3

3 33 33 31 1 3 1 31

3

32 2 3 2 32

3

3 3 3 3 31

2

3 33

sin( )

sin( ) sin( )

2 cos cos( )

cos( )

Q sin( )

sin

j j j jj

PV Y V

PV Y V V Y V

PV Y Y V

V

Y V

V Y V

V Y

33 3 31 1 3 1 31

3 32 2 3 2 32

sin( )

sin( )

V Y V

V Y V

77

Ví Dụ

3

3 32 2 3 2 32

2

3

3 31 1 3 1 31 3 32 2 3 2 32

3

3

3 33 33 31 1 3 1 31

3

32 2 3 2 32

*

2 2 1 2 3

cos( )

cos( ) cos( )

2 sin sin( )

sin( )

Q Im ( 2.5 4.98 2.5 )

Initial gue

QV Y V

QV Y V V Y V

QV Y Y V

V

Y V

V j V j V j V

2 2

2 min 2 max

2 3

2

2

ss, 1 0

Q Im 2.5 4.98 2.5

0.02

Q 0.02 0.8 0.82

0.82

G D

G G

V V j

j j j

Q Q

Q Q

4.98 2.5 2.5

2.5 4.98 2.5

2.5 2.5 4.98

j j j

Y j j j

j j j

78

Ví Dụ

79

Ví Dụ3

2

3

3

3

3

1

2 2

3 3

33

2.5 cos( 90 ) 0

0

2 4.98 sin( 90 ) 2.5 sin( 90 ) 2.5 sin( 90 )

2 4.98 2.5 2.5 4.96

5.0 2.5 0

2.5 5.0 0

0 0 4.96

0.2666

Q

Q

Q

V

P

P

QV

2

3

3

7 0.13333 0

0.13333 0.26667 0

0 0 0.201613

P

P

Q

80

Ví Dụ

81

Ví Dụ

82

Fast Decoupled Power Flow

1

4

1

4

For high ,

0

0

(A)

(B)

Xratio P

RQ V

JP

VJQ

PP J

QQ J V V

V

83

Fast Decoupled Power Flow

The matrix equation is separated into two decoupled equations requiring considerably less time to solve. Furthermore, considerable simplification can be made to eliminate the need for re-computing J1, and J4 during each iteration.

)22)(22()1)(1(4)1)(1(3

)1)(1(2)1)(1(1

1

1

][][

][][

]

]

mnmnmnmnnmn

mnnnn

mn

n

JJ

JJ

Q

P

84

Fast Decoupled Power Flow

2

11

2

2

Decoupled PFE developed by Stott and Alsac.

: sin( ) sin( )

sin

susceptance of all elements incident to bus

ni

i j ij i j i j i ii iij

i

i i ii ii

i i ii

PJ V V Y V Y

Q V Y

Q V B

B

2

ij ij

, we neglect and

is quite small, -

(assume 1)

ii i i

i i

i

i ii

i

i j i j

i

i j ij i ij j

j

Q Q

V V

PV B

PV V B V B V

85

Fast Decoupled Power Flow

86

Fast Decoupled Power Flow

87

Fast Decoupled Power Flow

bus and are the imaginary part of Y . Since the elements of this matrix

are constant, they need to be triangularized and invert only once at

the beginning of iteration.

For PV bus, and are i i

B B

V P

1

1

specified, is in the order of ( -1- )

Fast decoupled PFS requires more iterations than N-R, but requires

considerably less time per iteration,

B n m

PB

V

QV B

V

and a PFS is obtained very quickly.

Contingency analysis (numerous outages simulated)

and online PFS control

88

Fast Decoupled Power Flow

120.02 0.04Z j

11.05 0V

13

0.01 0.03

j

Z

2 2

4 2.5D D

P jQ

j

230.0125 0.025j Z

3 32, 1.04

G schP V

3

21Slack

PQ

Ex:

20 50 10 20 10 30

10 20 26 52 16 32

10 30 16 32 26 62bus

j j j

Y j j j

j j j

89

Fast Decoupled Power Flow

90

Fast Decoupled Power Flow

91

Fast Decoupled Power Flow2 2 2 22 2

3

0 0

2 3

(0) (0)

2 2 2

(0) (0)

3 3 3

( ) ( ) 4.0 2.5

2.0

Starting with 1.0 0 and 0.0

4.0 (1.05 ( 10) 26 1.04 ( 16)) 2.86

2 (1.04 1.05 ( 10) 1.04

sch sch

G G D D

sch

sch

sch

P jQ P jQ P jQ j

P

V

P P P

P P P

2

(0) (0)

2 2 2

0

2

0

3

( 16) 1.04 26) 1.4384

2.5 ( 1.05 20 ( 52) 1.04(32)) 0.22

2.86 0.060480.028182 0.014545 1.00.014545 0.023636 1.4384

0.0089091.04

Since B

schQ Q Q

0

2

us 3 is a PV bus, the corresponding row and column B are eliminated,

52

1 220.0042308

52 1.0

B

V

92

Fast Decoupled Power Flow(1) 0 0

2 2 2

(1) 0 0

3 3 3

(1) 0 0

2 2 2

0 ( 0.060483) 0.060483

0 ( 0.008909) 0.0008909

1.0 ( 0.0042308) 0.995769

The voltage phase angles are in radians. The process is

continued until k

V V V

Max P

, kQ