Gia sư Thành Được Gia sư Thành Được 4 từng bước) ta được số cách thực...

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn

1

TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH

1. Phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c = 0

với x1, x2 là nghiệm thì

ax2+ bx + c = a(x-x1)(x-x2);

với =b2- 4ac (’=b’

2-ac với b’=b/2)

a

bx

a

bx

2

''

22,12,1

Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= c/a;

Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – c/a;

Định lý vi-et:

S= x1+ x2 = – b/a; P = x1.x2= c/a

2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c

<0 thì f(x) cùng dấu a

0

00)(

axf

0

00)(

axf

1 2

1 2

1 2

0 . 0

0

0 0

0

0

0 0

0

x x a c

x x S

P

x x S

P

3. Phƣơng trình bậc ba: ax3+bx

2+cx+d = 0

Nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;

dùng Hoocner ta có:

ax3+ bx

2+ cx+ d = (x-1)(ax

2 + x + ) = 0

với = a+b; = +c

Nếu a- b+ c- d=0 thì x1= -1

BẤT ĐẲNG THỨC

1. Tính chất của bất đẳng thức:

a. A > B và B > C A > C

b. A > B A + C > B + C

c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC

d. Nếu C < 0 thì A > B AC < BC

2. Các hệ quả:

a. A B

A C B DC D

Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức

cùng chiều

b. A B 0

A.C B.DC D 0

c. Với 1 1

A.B 0 ta có A>BA B

d. Với A, B ≥ 0, 2n 2nn N : A B A B

e. Với A, B và 2n 1 2n 1n N : A B A B

f. A > B ≥ 0 A B

g. A > B 3 3A B

3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số

không âm:

Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: a b

ab2

.

Dấu “=” xảy ra a = b.

4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm:

Cho ba số a 0 , b 0 , c 0 ta

có : 3a b cabc

3

.

Dấu “=” xảy ra a = b = c.

* Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si :

1 1(1) (a b) 4 , a, b 0

a b

1 1 4 1 1 1 1hay hay

a b a b a b 4 a b

Dấu “=” xảy ra a = b

1 1 1(2) (a b c) 9 , a,b,c 0

a b c

1 1 1 9 1 1 1 1 1hay hay

a b c a b c a b c 9 a b c

Dấu “=” xảy ra a = b = c

5. Bất đẳng thức Bunhiacopski:

a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số:

Với 4 số thực bất kỳ a b

c d

ta có:

2 2 2 2 2(a b )(c d ) (ac bd) .

Dấu “=” xảy ra a b

c d

b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số:


2

Với 6 số thực bất kỳ a b c

x y z

ta có:

2 2 2 2 2 2 2(a b c )(x y z ) (ax by cz) D

ấu “=” xảy ra a b c

x y z

c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức

Bunhiacopski

(1)

22 2 a ba b, a,b R và x, y 0

x y x y

(2)

22 2 2 a b ca b c

,x y z x y z

( a,b,c R và x, y,z 0)

7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Với hai số A, B tùy ý, ta có:

a. A B A B .

b. A B A B .

Dấu “=” xảy ra A.B ≥ 0.

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản :

2 2

2

2

2

2

sin a cos a 1 tan a.cot a 1

sin a 1tan a 1 tan a

cos a cos a

cos a 1cot a 1 cot a

sin a sin a

b. Công thức cộng:

cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b

cos(a-b)=cos a.cos b+sin a.sin b

sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b

sin(a-b)=sin a.cos b - cos a.sin b

tan(a+b) =tan tan

1 tan . tan

a b

a b

tan (a - b )= tan tan

1 tan . tan

a b

a b

cot ( a + b) =cot .cot 1

cot cot

a b

b a

cot ( a – b )=cot .cot 1

cot cot

a b

b b

c. Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2 sin a.cos a

cos 2a = cos2a - sin

2a

= 2 cos2a-1 = 1-2sin

2a

tan 2a = 2

2 tan

1 tan

a

a

cot 2a = 2cot 1

2cot

a

a

d. Công thức hạ bậc:

cos2a =

1 cos 2

2

a

sin2a =

1 cos 2

2

a

tan2a =

1 cos 2

1 cos 2

a

a

e. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos a + cos b = 2 cos2

a b.cos

2

a b

cos a–cos b = 2sin2

a b. sin

2

a b

sin a + sin b=2 sin 2

a b.cos

2

a b

sin a – sin b = 2 cos2

a b.sin

2

a b

sin

tan tancos .cos

a ba b

a b

sin

cot cotsin .sin

b aa b

a b

sinx+cosx= 2 sin4

x

= 2 cos(x-4

)

sinx–cosx= 2 sin(x–4

)= – 2 cos

4x

f. Công thức biến đổi tích thành tổng

1

cos .cos cos cos2

a b a b a b

1

sin .sin cos cos2

a b a b a b

1

cos .sin sin sin2

a b a b a b

1

sin .cos sin sin2

a b a b a b

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 1. Phƣơng trình LG cơ bản:


3

* sin x sin

x k2

x k2

* sin x m ( m 1)

x arcsin m k2

x arcsin m k2

* sin u(x) sin v(x)

u(x) v(x) k2

u(x) v(x) k2

* sin x 0 x k

* sin x 1 x k22

* sin x 1 x k22

* cos x cos

x k2

x k2

* cos x m ( m 1)

x arccos m k2

x arccos m k2

* cos u(x) cos v(x)

u(x) v(x) k2

u(x) v(x) k2

* cos x 0 x k2

* cos x 1 x k2

* cos x 1 x k2

* tan x tan

x k

* tan x m

x arctan m k

* tan u(x) tan v(x) (1)

ÐK : cos u(x) 0

(1) u(x) v(x) k

* cot x cot

x k

* cot x m

x arccot m k

* cot u(x) cot v(x) (1)

ÐK : sin u(x) 0

(1) u(x) v(x) k

trong đó k Z

2. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số

lƣợng giác.

asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1)

acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1)

atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx)

acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx)

3. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và

cosx: asinx + bcosx = c (1) với 2 2a b 0

* Chia hai vế pt(1) cho 2 2a b ta được:

2 2 2 2 2 2

a b csin x cos x

a b a b a b

(2)

* Ta xác định [0;2 ) sao cho:

2 2 2 2

a bsin , cos

a b a b

Khi đó ta được phương trình:

2 2

2 2

csin sin x cos cos x

a b

ccos(x ) (3)

a b

Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 2 2 2a b c

4. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với

sinx và cosx: 2 2asin x bcos x c.sin x.cos x d 0 (1)

* Với cosx = 0: ta kiểm tra x k , k Z2

có phải là nghiệm của pt (1) không.

* Với cosx 0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta

được pt: 2 2a tan x b c tan x d(1 tan x) 0

Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì 2sin x =1

5. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và

cosx:

a. Dạng của phương trình đối xứng:

a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1)

b. Dạng tương tự:

a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2)

PP:

Giải (1): Đặt t sin x cos x 2 sin(x )4

22 t 2 và t 1 2sin x.cos x

Giải (2): Đặt t = sin x cos x 2 sin(x )4

22 t 2 và t 1 2sin x.cos x

QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH

HỢP - TỔ HỢP

1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể

được thực hiện theo một trong k phương án

A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2,

…, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc

A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk

cách.

2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A

bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi

công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách

thực hiện. Khi đó công việc A có thể được

thực hiện bởi n1. n2 … nk cách.

Lưu ý:

* Khi thực hiện một công việc, có nhiều

phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện

được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc

cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng

phương án) ta được số cách thực hiện công

việc.

* Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua

nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy

tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho


4

từng bước) ta được số cách thực hiện công

việc.

3. Hoán vị.

a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi

sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta

được một hoán vị các phần tử của tập A.

(Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán

vị của n phần tử)

b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

nP n! n(n 1)(n 2)...2.1

4. Chỉnh hợp.

a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số

nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử

của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta

được một chỉnh hợp chập k của n phần tử

của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của

n).

b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

k

n

n!A n(n 1)(n 2)...(n k 1)

(n k)!

5. Tổ hợp.

a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số

nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con

của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là

tổ hợp chập k của A)

b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử

là: k

k nn

A n!C

k! k!(n k)!

Chú ý: n

n nA P

Quy ước: 0

n0! 1 ; A 1

0

n; C 1

Với quy ước này ta có:

k

n

n!A

(n k)!

;

k

n

n!C

(n k)!k!

đúng với 0 k n

Tính chất 1. k n k

n nC C (0 k n)

Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): k k k 1

n 1 n nC C C (1 k n)

NHỊ THỨC NEWTON

1) Công thức nhị thức Newton: n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k

n n n n

n 1 n 1 n n

n n

(a b) C a C a b C a b ... C a b

... C ab C b (1)

n

n k n k k

n

k 0

(a b) C a b

Nhận xét:

- Trong công thức (1) có n + 1 số hạng.

- Số hạng thứ k + 1 là k n k k

nC a b

- Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng

theo tính chất k n k

n nC C

- Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b

luôn bằng n.

2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: n 0 1 2 2 n n

n n n n

n 0 1 2 2 n n n

n n n n

n 0 n 1 n 1 2 n 2 n

n n n n

n n 0 1 2 n

n n n n

n 0 1 2 n n

n n n n

(1 x) C C x C x ... C x

(1 x) C C x C x ... ( 1) C x

(x 1) C x C x C x ... C

2 (1 1) C C C ... C

0 (1 1) C C C ... ( 1) C

XÁC SUẤT

Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A)

hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A

* Nếu A B = thì n(AB) = n(A) + n(B)

* Nếu A B ≠ thì:

n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

1. Phép thử và không gian mẫu.

* Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành

động mà:

- Kết quả của nó không thể dự đoán trước

được.

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết

quả có thể xảy ra của hành động đó.

* Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của

một phép thử T được gọi là KGM của T và kí

hiệu là .

2. Biến cố.

- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến

cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy

thuộc vào kết quả của T.

- Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra

được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.

* Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra

khi thực hiện phép thử T, được mô tả bởi

tập .

* Biến cố không thể là biến cố không bao

giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T, được

mô tả bởi tập

3. Xác suất.

* Xác suất của biến cố A là: n( A )

P( A )n( )

* Chú ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P() = 1, P() = 0


5

a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến

cố: “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu AB được gọi

là hợp của hai biến cố A và B.

Ta có: A B

b. Biến cố xung khắc.

- Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B

này được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy

ra thì biến cố kia không xảy ra. Vậy: AB =

c. Biến cố đối.

- Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “không

A”, kí hiệu là A , được gọi là biến cố đối của

biến cố A. Ta nói A và A là hai biến cố đối

nhau.

- Ta có: 1AA\ P( A) P( A)

Lưu ý: Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc.

d. Biến cố giao.

- Cho hai biến cố A và B. Biến cố: “A và B

cùng xảy ra” , kí hiệu AB (hay AB) được gọi

là giao của hai biến cố A và B.

e. Hai biến cố độc lập.

* Hai biến cố được gọi là ĐỘC LẬP với nhau

nếu việc xay ra hay không xảy ra của biến cố

này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của

biến cố kia.

* Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau

thì: A và B ; B và A ; A và B cũng là hai

biến cố độc lập.

f. Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc.

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì :

P(AB) = P(A) + P(B).

g. Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập :

Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau

thì : P(A.B) = P(A).P(B)

ĐẠO HÀM :

1. Qui Tắc:

1. (u v)’ = u’ v’

2. (u.v)’ = u’v + v’u

3. 2

'

v

u'vv'u

v

u

4. (ku)’ = ku’ (k:const)

2. Công thức:

(xn)’ = nx

n-1 (u

n)’ = nu

n-1u’

'

2

1 1

x x

' '

2

1 u

u u

' 1( x )

2 x

'' u

( u )2 u

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu

(tanx)’ = xcos

12

(tanu)’ = ucos

'u2

(cotx)’ = xsin

12

(cotu)’ = usin

'u2

(ex)’ = e

x (e

u)’ = u’e

u

(ax)’ = a

x.lna (a

u)’ = u’a

u.lna

(lnx)’ = x

1 (lnu)’ =

u

'u

(logax)’ = alnx

1 (logau)’ =

alnu

'u

II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM và BÀI

TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT

HÀM SỐ :

1. Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt)

@ Loại 1: Pttt tại M(x0,y0) (C) : y = f(x)

Tính : y’=

y’(x0)=

pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0

@ Loại 2: Pttt có hệ số góc k cho trước.

Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm.

Tính f’(x)

Giải phương trình f’(xo) = k => xo, yo.

Viết pttt: y = k(x-x0) + y0

Chú ý :

pttt // y = ax+ b có hệ số góc k = a

pttt y = ax+ b có hệ số góc k = -1/a.

@ Loại 3: Pttt của đồ thị hàm số (C): y= f(x)

biết tt qua M(x0,y0)

Ptđt d qua M có hệ số góc k là:

y = k(x-x0)+ y0

Điều kiện tiếp xúc :

Hệ pt

(2)

(1)

kxf

yxxkxf

)('

)()( 00có nghiệm

Giải hệ: thay (2) vào (1) Giải pt này tìm

được x. Thay vào (2) ta được k thế vào pttt

d ở trên.

2. Giao điểm của 2 đƣờng:

Cho y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2)

+ Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm

của (C1) và (C2)

+ Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm

f(x,m)=0 dựa vào đồ thị:

Biến đổi về dạng f(x)=g(m)

Đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m)

là đt //Ox.


6

Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa

vào đồ thị.(chú ý đến giá trị CT và

CĐ)

+ Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:

(x) ')('

)()(

gxf

xgxf

có nghiệm. Giải hệ, tìm hoành độ tiếp điểm xo

3. Đơn điệu:

Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến

(tính đơn điệu hay sự biến thiên) của hàm số

PP : Cho hàm số y = f(x)

+ Tìm TXĐ của hàm số

+ Tính y’ ( hay f’(x) ) và giải pt: y’ = 0

+ Lập BBT

+ Kết luận

Đặc biệt: f(x) = ax2 + bx + c. Ta có

+

0

00)(

aRxxf

+

0

00)(

aRxxf

Dạng 2: Tìm điều kiện của m để hàm số đơn

điệu trên khoảng cho trƣớc

PP :

+ f(x) đồng biến trên D f ’(x) ≥ 0 , x D

+ f(x) nghịch biến trên D f ’(x) ≤ 0 ,x

D

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại 1 số hữu hạn

điểm trên miền D)

Lƣu ý:

*** Hàm số y = ax3+bx

2+cx+d

- Để hs tăng trên R

' 0,y x R '

0

0y

a

- Để hs giảm trên R

' 0,y x R '

0

0y

a

***Hàm số ax b

ycx d

, D = R\{

d

c }

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xđ

' 0,y x D ad – cb >0

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xđ

' 0,y x D ad – cb <0

4. Cực trị:

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số:

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm CT :

1/ Quy tắc 1:

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)

B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều

kiện: xi D và là nghiệm của y' hoặc

làm cho y' không xác định.

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số

trên D và kết luận.

2/ Quy tắc 2:

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f ‘(x)

B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các

nghiệm xi

B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f ’’(x) ;

tính f''(xi) và nhận xét dấu :

+ Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt

cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0)

+ Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực

đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)

Dạng 2: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo

Tìm y’ ycbt → y’(xo) = 0( 1) giải (1) = > tìm m = mo Thöû laïi:

Cách 1: (Sử dụng BBT) Với m = mo, ta lập

BBT, nhận xét cực trị từ đó kết luận

Cách 2: (Sử dụng y”).Tìm y”, với m = mo,

ta tính y’’(xo). Nếu y’’(xo) > 0 thì hs ñaït cöïc tieåu Nếu y’’(xo) < 0 thì hs ñaït CÑ

Từ đó kết luận

(Chú ý: nếu y’’(xo) = 0 thì thử lại bằng cách lập

BBT)

Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực trị

Một số hàm đặc biệt:

Loại 1: hàm bậc 3 có 2 cực trị

+ Tìm D vaø y’ + ycbt y’= 0 coù 2 nghieäm vaø y’

ñoåi daáu khi qua nghieäm

0cbxax 2 có 2 nghiệm pb

0a

0 → giaûi, tìm m

(Chú ý: nếu ycbt là tìm m để hàm số có cực trị

thì xét thêm trường hợp a = 0)

Loại 2: hàm bậc 4 có 3 cực trị

+ Tìm D vaø y’

+ y’= 0 0))(( 2

0 cbxaxxx


7

02

0

cbxax

xx

+ ycbt y’= 0 coù 3 nghieäm vaø y’

ñoåi daáu khi qua nghieäm

02 cbxax coù 2 no pb khác xo

0)x(g

0a

0

0

→ giaûi, tìm m

Loại 3: Hàm

số2

ax bx cy x

dx e dx e

có 2 cực trị

+ Tập xác định D=R\ de

+ Tính

y’= 2

2

2

.

edx

pnxmx

edx

d

+ Để hàm số có cực đại và cực tiểu

y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D

phương trình g(x)= mx2 + nx + p = 0 có hai

nghiệm phân biệt khác e

d

' 0

( ) 0

y

eg

d

5. GTLN, GTNN:

a. Trên (a,b)

Tính y’

Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

KL: ;max CD

a by y ,

;min CT

a by y

b. Trên [a;b]

Tính y’

Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm 0 ;x a b

Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)

Chọn số lớn nhất M ,KL: ;

maxa b

y M

Chọn số nhỏ nhất m , KL: ;min

a by m

III. KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1. Hàm bậc ba y = ax3+bx

2+cx+d

và Hàm trùng phƣơng y = ax4+bx

2+c:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm : y’= . . . . . y’= 0 x = ?

lim ?x

y

lim ?x

y

Bảng biến thiên:

Caùc khảng ñoàng bieán , nghòch

bieán , ñieåm cöïc ñaïi , ñieåm cöïc tieåu .

y’’ = . . . . . y’’= 0 x = ?

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:

'. ( )y y p x Ax B .

- Đường thẳng y = Ax + B là đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị.

- Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá

trị cực trị trái dấu.

- Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm pb cách đều nhau

ax3+bx

2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc

y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn I thuộc Ox.

* Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng

phƣơng:

- Đt nhận Oy làm trục đối xứng.

- Hàm số có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0

có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)

- Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb

>0; P>0; S>0.

- Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb lập thành csc

>0; P>0; S>0; t2 = 9t1 ( t = x2 ) sử dụng đlý

Vi-et.

2 . Hàm nhất biến ax b

ycx d

Tập xác định D=R\ cd

Tính 2

'dcx

bcady

TCĐ c

dx

( lim ( )c

xd

y

lim ( )c

xd

y

)

TCN c

ay ( limx

ay

c )

Bảng biến thiên

Điểm đặc biệt (4điểm)- Tìm giao điểm với

trục Ox, Oy

Đồ thị (nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm

đối xứng)

3. Hàm hữu tỷ ( nâng cao ): 2

ax bx cy x

dx e dx e

Tập xác định D = R\ de

Tính y’= 2

2

2

.

edx

pnxmx

edx

d


8

y' = 0 tìm 2 cực trị (hoặc không có.)

TCĐ d

ex ( lim ( )

ex

d

y

,

lim ( )e

xd

y

)

TCX xy

Bảng biến thiên

Điểm đặc biệt (4 điểm)

Đồ thị

* Một số kết quả quan trọng:

- Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối

xứng

- Nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là

d

baxy i

i

2 . Suy ra phương trình đường

thẳng qua 2 điểm cực trị.

- Đthị cắt Ox tại 2 điểm pb ax2+bx+c=0 có

2 nghiệm pb e

d

IV. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT:

1. Công thức lũy thừa:

Với a>0, b>0; m, n R ta có:

ana

m =a

n+m ; mn

m

n

aa

a ;

(1na

=an

; a0=1; a

1=

a

1);

(an)m

=anm

; (ab)n=a

nb

n ;

n n

n

a a

b b

;

n mn

m

aa .

2. Công thức logarit:

logab = c ac = b (0< a1; b>0)

Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R:

loga(x1x2) = logax1+logax2 ;

loga

2

1

x

x= logax1logax2;

xaxa

log ; logax= logax;

xx aalog

1log

; (logaa

x=x);

logax=a

x

b

b

log

log; (logab=

ablog

1)

logba.logax=logbx; alog

bx=x

logb

a.

3. Hàm số mũ và hàm số logarit Hàm số mũ: y = a

x

1/ Tập xác định: D = R

2/ Đạo hàm: ( ) ' ln .x xa a a , và xx ee )'( ,

Hàm hợp: uu aaua .ln'.)'( uu eue '.)'(

3/ Tính chất: a > 1: hsố tăng

0 < a < 1: hsố giảm

Hàm số lôgarit: y = loga x

1/ Tập xác định:D = (0; + ∞)

2/ Đạo hàm: ax

xaln.

1)'(log và

xx

1)'(ln

Hàm hợp: au

uua

ln.

')'(log

u

uu

')'(ln

3/ Các tính chất: a > 1: hsố tăng

0 < a < 1: hsố giảm

4. Phƣơng trình mũ – logarit:

Dạng cơ bản: ax= b ( a> 0 , 1a )

b0 : pt vô nghiệm

b>0 : logx

aa b x b

Một số phƣơng pháp giải:

1, Đưa về cùng cơ số:

af(x)

= ag(x)

f(x) = g(x) ( a>0, 1a )

2, Đặt ẩn phụ:

2. . 0x xAa B a C

Đặt t = ax, đk t>0

2 2. .( ) . 0x x xA a B ab C b .

Đặt t x

a

b

, đk t>0

. . 0 [( ) 1]x x xA a B b C ab

Đặt t = ax, đk t>0,

1xbt

3. Phương pháp logarit hóa.

4, Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm

số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến,

nghịch biến và đồ thị của hàm số.

Dạng cơ bản: loga x b (a> 0 , 1a )

Điều kiện : x > 0

log b

a x b x a

Một số phƣơng pháp giải:

Đưa về cùng cơ số:

loga f(x) = loga g(x) f(x) = g(x)

( điều kiện f(x) > 0 hay g(x) > 0)


9

Các phương pháp còn lại như ptrình mũ

5. Bất PT mũ – logarit:

Dạng ax > b ( a> 0 , 1a )

b0 : Bpt có tập nghiệm R

b>0 :

logx

aa b x b , khi a>1

logx

aa b x b , khi 0 < a < 1

Dạng logax > b ( a> 0 , 1a , x>0 )

log b

a x b x a , khi a >1

log b

a x b x a , khi 0 < a < 1

Lƣu ý:

▪ Nếu a > 1 thì:

( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x

( ) ( )

log ( ) log ( )( ) 0

a a

f x g xf x g x

g x

ì >ïï> Û íï >ïî

▪ Nếu 0 < a < 1 thì:

af(x)

> ag(x) f(x)<g(x).

( ) ( )

log ( ) log ( )( ) 0

f x g xf x g xa a

f x

<> Û

>

ìïïíïïî

V. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

1.Định nghĩa: F(x) được gọi là nguyên hàm

của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

F xfx / , bax ;

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp:

Cedxe/4

Cxlndxx

1/3

Cx1

1dxx/2

Cxdx/1

xx

1

Cxxdx

Cxxdx

Ca

adxa

xx

cossin/7

sincos/6

ln/5

2

2

2

2

18 / (1 tan ) tan

cos

19 / (1 cot ) cot

sin

dx x dx x Cx

dx x dx x Cx

10/2 2

1ln , 0

2

dx x aC a

x a a x a

11/ tan ln cosxdx x C

12/ cot ln sinxdx x C

Nguyên hàm các hàm số thƣờng gặp: 11 ( )

1/ ( ) .( 1)

ax bax b dx C

a

12 / ln

dxax b C

ax b a

13 / ax b ax be dx e C

a

14 / cos( ) sin( )ax b dx ax b C

a

15 / sin( ) cos( )ax b dx ax b C

a

2

16 /

( ) .( )

dxC

ax b a ax b

2

2

17 / (1 tan ( ))

cos ( )

1tan( )

dx ax b dxax b

ax b Ca

2

2

18 / (1 cot ( ))

sin ( )

1cot( )

dx ax b dxax b

ax b Ca

2. Các phƣơng pháp tính tích phân:

Tích phân của tích, thương phải đưa về tích

phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân

phân phối hoặc chia đa thức.

*******Phƣơng pháp đổi biến số :

b

a

xdxxfA .. /

Đặt : t = x xdxdt ./

Đổi cận:

atax

btbx


10

Do đó:

b

a

b

atFdttfA .

Các dạng đặc biệt cơ bản:

1.

a

xa

dxI

0

22

Đặt: x= a.tant

22t

2

2. .(1 tan ).

cos

adx dt a t dt

t

Đổi cận

2. dxxaJa

.0

22

Đặt sin2 2

x a t t

dx = a.cost dt

Đổi cận

MỘT SỐ DẠNG ĐỔI BIẾN THƯỜNG GẶP:

Dạng nguyên hàm

cần tìm

Cách đặt biến số

sin cosf x xdx sin sint x t m x n

cos sinf x xdx cos cost x t m x n

1

lnf x dxx

ln lnt x t m x n

2

1tan

cosf x dx

x tan tant x t m x n

2

1cot

sinf x dx

x cot cott x t m x n

1k kf x x dx

k kt x t mx m

x xf e e dx x xt e t me n

Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có

chứa dấu căn n thì thường ta đặt : nt

****Phƣơng pháp tính tích phân từng phần

Loại 1:

A= dx

Cosx

Sinx

e

xP

b

a

x

.).(

( Trong đó P(x) là hàm đa thức )

PP :

Đặt u = P(x) du = P’(x).dx

dv =

Cosx

Sinx

e x

.dx v = ...

Áp dụng công thức tích phân từng phần

A = b

a

b

a duvvu ..

Loại 2: B = b

a

dxbaxLnxP ).().(

PP:

Đặt u = Ln(ax+b) dxbax

adu .

dv = P(x).dx v = ...

Áp dụng công thức tích phân từng phần :

B = b

a

b

a duvvu ..

3. Diện tích hình phẳng: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) :

y = f(x), trục Ox và hai đường x= a; x= b

PP:

DTHP cần tìm là:

dxxfSb

a

.)( (a < b)

Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là

nghiệm của phương trình: f(x) = 0

Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có

nghiệm không thuộc đoạn ba; thì:

b

a

dxxfS ).(

Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc

đoạn ba; . Giả sử x = , x = thì

dxxfdxxfdxxfSb

a

.)(.)(.)(

a

dxxfS ).( +

dxxf ).( +

b

dxxf ).(


11

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):

y =f(x) và trục hoành:

PP :

HĐGĐ của (C) và trục hoành là nghiệm

của phương trình: f(x) = 0

bx

ax

b

a

b

a

dxxfdxxfS ).(.)(

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường

(C1): y = f(x) và (C2

): y = g(x) và hai đường x

= a; x = b:

PP:

DTHP cần tìm là:

dxxgxfSb

a

.)()(

HĐGĐ của hai đường (C1) và (C2)

là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0

Lưu ý:

+ Dạng 2 và dạng 3 lập luận giống

dạng 1.

+ Có thể dùng phương pháp đồ thị để

tính diện tích hình phẳng

4. Thể tích vật thể:

a) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b;

trục Ox và y = f(x) liên tục trên đoạn ba; .

Khi (H) quay quanh trục Ox tạo ra vật thể

có thể tích:

dxxfVb

a

.)(.

2

b) Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b;

trục Oy và x = g(x) liên tục trên đoạn

ba; . Khi (H) quay quanh trục Oy tạo ra

vật thể có thể tích:

dyygVb

a

.)(.

2

.

VI. SỐ PHỨC:

1. Các khái niệm :

Số i : i2 = -1

Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR

( a : phần thực, b : phần ảo )

Modun của số phức : 2 2z a b

Số phức liên hợp của z = a + bi là

z a bi

'.'.;''; zzzzzzzzzz ;

z z

z z

0z với mọi z , 0 0z z .

z z ; zz z z ; zz

z z

;

z z z z

z là số thực zz ; z là số ảo zz

2. Các phép toán :

a+ bi = c + di a c

b d

(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

(a + bi)(c + di)

2 2

a bi c dia bi

c di c d

1 2 3 4, 1, , 1i i i i i i .

4 4 1 4 2 4 31, , 1,n n n ni i i i i i .

2

1 2i i ; 2

1 2i i .

3. Căn bậc hai của số phức: z = a + bi

(a,bR) ( nâng cao)

+ Đặt w = x + y i.

Vì w2 = z nên

bxy

ayx

2

22

+ Giải hệ, tìm x và y

Lƣu ý :

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a

4. Giải phƣơng trình bậc hai :

a) ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ; , ,a b c R )

Đặt 2 4b ac

Nếu = 0 thì phương trình có một

nghiệm kép (thực) : x = 2

b

a


12

Nếu > 0 thì phương trình có hai

nghiệm thực : 1,2

2

bx

a

Nếu < 0 thì phương trình có hai

nghiệm phức : 1,2

2

b ix

a

Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c

( , , , 0a b c a ) có hai nghiệm 1 2,z z thì :

1 2

bz z

a và 1 2

cz z

a .

Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số 1 2,z z có tổng 1 2z z S và

1 2z z P thì 1 2,z z là nghiệm của phương trình

: 2 0z Sz P .

b) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ; , ,a b c )

( nâng cao)

Tính ∆

Tìm căn bậc hai của ∆

a

bz

22,1

(với là một căn

bậc hai của ∆)

5. Dạng lƣợng giác của số phức (nâng cao)

a/ Argumen: là góc sao cho:

r

b

r

a

sin

cos

với 22 bar

b/ Dạng lượng giác: )sin.(cos irz

c/ Nhân, chia dưới dạng lượng giác:

)]sin(.)[cos(.. 21212121 irrzz

)]sin(.)[cos( 2121

2

1

2

1 ir

r

z

z

d/ Công thức Moivre:

)sin(cos)]sin(cos[ ninrir nn e/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

2sin

2cos

ir


Lý thuyết Hình Học 12 13

TÓM TẮT GIÁO KHOA HÌNH HỌC

I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. sin = AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos =

AC

BC (KỀ chia HUYỀN)

3. tan = AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4. cot =

AC

AB (KỀ chia ĐỐI)

II. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. BC2 = AB

2 + AC

2 (Định lí Pitago) => AB

2 = BC

2 - AC

2

2. AB2 = BH.BC 3. AC

2 = CH.BC

4. AH2 = BH.CH 5. AB.AC = BC.AH 6.

2 2 2

1 1 1

AH AB AC

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN

1. a2 = b

2 + c

2 – 2bccosA 2. b

2 = a

2 + c

2 – 2accosB 3. c

2 = a

2 + b

2 – 2abcosC

IV. ĐỊNH LÍ SIN a b c

2Rsin A sin B sin C

V. ĐỊNH LÍ TALET MN // BC

a) AM AN MN

AB AC BC ; b)

AM AN

MB NC

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1. Tam giác thường:

a) S = 1

ah2

b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2. Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2; b) S =

2a 3

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3. Tam giác vuông:

a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60

o

HCB

A

NM

CB

A

60o 30o

CB

A



b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2a 3

8

6. Tam giác cân:

a) S = 1

ah2

(h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8. Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9. Hình vuông:

a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11. Đường tròn:

a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII. CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC

1. Đường trung tuyến:

G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) BG = 2

3BN; BG = 2GN; GN =

1

3BN

2. Đường cao: Giao điểm của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4. Đường phân giác:

Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.

Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2. Hình chóp đều:

Có đáy là đa giác đều .

Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.

Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3. Đường thẳng d vuông góc với mp ( ):

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp ( )

Tức là:

d a; d b

a b

a,b

d ( )

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

a d ( )

d ( )

G

P

NM

CB

A



c) Đt d vuông góc với mp ( ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp ( )

4. Góc giữa đt d và mp ( ):

d cắt ( ) tại O và Ad

Nếu AH ( )

H ( )

thì góc giữa d và ( ) là hay ˆAOH =

5. Góc giữa 2 mp ( ) và mp ( ):

Nếu

( ) ( ) AB

FM AB;EM AB

EM ( ), FM ( )

thì góc giữa ( ) và ( ) là hay ˆEMF =

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( ):

Nếu AH ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( ))

IX. KHỐI ĐA DIỆN:

1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2. Thể tích khối chóp: V = 1

Bh3

(diện tích đáy là đa giác)

3. Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

S.ABC

V SA SB SC. .

V SA SB SC

4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

5. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1

Bh3

(diện tích đáy là đường tròn)

6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2 Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7. Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = 2R h ( h: chiều cao khối trụ)

8. Diện tích của mặt cầu: S = 42R (R: bk mặt cầu )

9. Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 34

R3 (R: bán kính mặt cầu)

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

F

E

M

B

A

O

H

A

d'

d



PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy

I. Vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng:

1. VTCP: Vectơ u 0 được gọi là VTCP của đường thẳng (d) nếu và giá của u // hoặc trùng (d).

NX: - Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì k u (k≠0) cũng là một VTCP của (d)

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm của đ.thẳng và một VTCP của nó.

2. VTPT: Ta gọi vectơ n là VTPT của đường thẳng (d) nếu n 0 và nó có giá vuông góc với (d).

NX: - Nếu vectơ n là 1 VTPT của đường thẳng (d) thì k n (k≠0) cũng là 1 VTPT của (d).

- Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm của đường thẳng và một VTPT của nó.

- Nếu (d) có VTPT n a b( ; ) thì (d) có VTCP u b a hay u b a ( ; ) ( ; )

II. Phƣơng trình đƣờng thẳng:

1. Phương trình tham số: Trong mpOxy, đường thẳng (d) đi qua điểm o o

M x y( ; ) và có VTCP

u a b ( ; ) . Phương trình tham số của d: o

o

x x att R

y y bt

( )

2. Phương trình chính tắc: Cho đường thẳng (d) có ptts o

o

x x att R

y y bt

( )

Nếu a.b 0 thì d có phương trình chính tắc: 0 0x x y y

a b

(2)

3. Phương trình tổng quát: Trong mpOxy, đường thẳng (d) đi qua điểm o o

M x y( ; ) và có VTPT

n A B ( ; ) , (d) có phương trình tổng quát là: o oA x x B y y 0 Ax By C 0 ( ) ( )

4. Các trường hợp riêng: Cho đường thẳng (d): ax + by + c = 0 (1)

- Nếu a = 0 thì (1) by +c = 0 y = -c/b (khi đó (d) vuông góc với Oy tại điểm A(0; -c/b)

- Nếu b = 0 thì (1) ax +c = 0 x = -c/a (khi đó (d) vuông góc với Oy tại điểm B(-c/a;0)

- Nếu c = 0 thì (1) ax + by = 0 (khi đó (d) đi qua gốc tọa độ)

III. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng:

Cho hai đường thẳng (d) : Ax By C 0 và (d ') : A'x B'y C' 0

Nếu a’, b’, c’ ≠ 0 thì ta có: a) (d) cắt (d’) a b

a b' '

b) (d) // (d’) a b c

a b c' ' '

c) (d) trùng (d’) a b c

a b c' ' '

IV. Góc và khoảng cách:

1. Góc: Cho hai đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0 tạo với nhau góc .

Ta có: 2 2 2 2

n n aa bb

n n a b a b

. ' ' 'cos

' . ' '

2. Khoảng cách: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm o o o

M x y( ; ) .

Ta có: o o

o2 2

ax by cd M d

a b[ ,( )]

3. Dấu của biểu thức: Ax + By + C

Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm M M N NM x y N x y( ; ) , ( ; ) . Khi đó:

* Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với (d) M M N NAx By C Ax By C 0 ( ).( )



* Hai điểm M, N nằm khác phía đối với (d) M M N N

Ax By C Ax By C 0 ( ).( )

4. Điều kiện đường thẳng tiếp xúc đường tròn:

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R.

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) là d I d R[ ,( )]

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÕN.

1. Phƣơng trình đƣờng tròn:

a) Phương trình chính tắc: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính

R. Khi đó (C) có phương trình: 2 2 2(x a) (y b) R (1). PT(1) gọi là PTCT của (C).

b) Phương trình tổng quát: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0 (ðk : a b c 0) (2). PT(2) là PTTQ

của đường tròn tâm I(a;b) và bán kính 2 2R a b c

2. Vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và đƣờng tròn:

Cho đường tròn (C) tâm I , bán kính R và đường thẳng d.

a) d[I,d] R d tiếp xúc (C)

b) d[I,d] R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

c) d[I,d] R d và (C) không có điểm chung.

3. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn:

Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R

a) Tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến IM

b) Điều kiện để một đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) là: d[I,d] R

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ELIP

1. Định nghĩa:

Cho F1 , F2 cố định với F1F2 = 2c (c >0)

M (E) MF1 + MF2 = 2a

F1 , F2 : các tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự

2. Phƣơng trình chính tắc của elip: 2 2

2 2 2

2 2

x y1 (a b 0, b a c )

a b

Tọa độ các tiêu điểm : F1 (–c ; 0) , F2 (c ; 0)

Với M (x; y) (E) thì MF1 , MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M và

1 2

c cMF a , MF a x

a a

3. Hình dạng của elip:

(E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Tọa độ các đỉnh : A1 (–a ; 0) , A2 (a ; 0), B1 (0; –b) , B2 (0; b)

Độ dài các trục : trục lớn A1A2 = 2a , trục nhỏ B1B2 = 2b

Tâm sai của (E) : c

ea

(0 < e <1)

Hình chữ nhật cơ sở : tạo bởi các đường thẳng x = a , y = b (ngoại tiếp elip).

4. Đƣờng chuẩn của elip :

Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là : a

x 0e

y

x

b

-b

a -a

O



Với M (E) ta có : 1 2

1 2

MF MFe (e 1)

d(M, ) d(M, )

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. CÔNG THỨC VECTƠ:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho

321 ;; aaaa

321 ;; bbbb

và Rk

Ta có:

1) 332211 ;; babababa

2) 321 ;; kakakaak

3) 332211. babababa

4) 2

3

2

2

2

1 aaaa

5) Tích có hướng của hai vectơ a

và b

là

21

21

13

13

32

32;;,

bb

aa

bb

aa

bb

aaba

6) baSinbaba

,..,

7)

33

22

11

ba

ba

ba

ba

8) a

cùng phương b

0,

ba

9) baa

, hay bab

,

10) a

, b

, c

đồng phẳng 0., cba

11) 0332211 babababa

Ứng dụng của vectơ:

ACABS ABC ,.2

1

/

..,//// AAADABV

DCBAHoäpABCD

ADACABV CDTöùdieänAB .,.6

1

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

Trog không gian Oxyz cho AAA zyxA ;;

BBB zyxB ;;

1) ABABAB zzyyxxAB ;;

2) 222

ABABAB zzyyxxAB

3) G là trọng tâm ABC , ta có:

3

3

3

CBA

G

CBA

G

CBA

G

zzzz

yyyy

xxxx

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD

0

GDGCGBGA

4

4

4

DCBA

G

DCBA

G

DCBA

G

zzzzz

yyyyy

Xxxxx

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:

k

kzzz

k

kyyy

k

kxxx

BA

M

BA

M

BA

M

1

1

1 , 1k

6) I là trung điểm của đoạn AB thì:

2

2

2

2zzz

yyy

xxx

A

I

BA

I

BA

I

III. MẶT PHẲNG:

1) Giả sử mp có cặp VTCP là :

321 ;; aaaa

321 ;; bbbb



Khi đó (α) có VTPT là:

n

21

21

13

13

32

32;;,

bb

aa

bb

aa

bb

aaba

2) Phương trình tổng quát của mp :

Ax + By + Cz + D = 0

(với 0222 CBA )

trong đó CBAn ;;

là VTPT của 3) Phƣơng trình các mặt phẳng toạ độ:

(Oxy) : z = 0

(Oyz) : x = 0

(Oxz) : y = 0

4) Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt

nhau: 0: 11111 DzCyBxA

0: 22222 DzCyBxA

P.t của chùm mp xác định bởi 1 và 2 là:

022221111 DzCyBxADzCyBxA

với 022

5) CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng

P.Pháp:

Tìm VTPT CBAn ;;

và điểm đi

qua 0000 ;; zyxM

dạng:

0000 zzCyyBxxA

Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua

ba điểm A, B, C

P.Pháp:

Tính ACAB,

Mp (ABC) có VTPT là

ACABn ,

và qua A

Kết luận.

Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mp đi qua

điểm A và vuông góc BC

P.Pháp:

Mp BC nên có VTPT là BC và qua A

Chú ý:

Trục Ox chứa 0;0;1i

Trục Oy chứa 0;1;0j

Trục Oz chứa 1;0;0k

Vấn Đề 4: Viết phƣơng tình mp là mặt

phẳng trung trực của AB.

P.Pháp:

Mp AB nên có VTPT là AB , và

đi qua I là trung điểm của AB

Kết luận.

Vấn Đề 5: Viết phƣơng tình mp đi qua

điểm 0000 ;; zyxM và song song với mặt

phẳng 0: DCzByAx

P.pháp:

// nên phương trình có

dạng: Ax + By + Cz + D/= 0

/

0 DM

Kết luận

Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua

hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)

P.Pháp:

Mp (Q) có VTPT là Qn

Mp (P) có VTPT là Q[AB,n ] và qua A

Kết luận

Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình mp () đi qua

các điểm là hình chiếu của điểm M(x0 ;y0 ; z0)

trên các trục tọa độ

P.Pháp:

Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu

của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì

M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;z0)

Phương trình mp là:

0 0 0

1x y z

x y z

Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình mp đi qua

điểm M0 và vuông góc với 2 mp (P) và (Q):

P.Pháp:

(P) và (Q) lần lượt có VTPT là P Qn , n

Mp () có VTPT là P Q[n ,n ] và qua M0

Kết luận.

Vấn đề 9 : Viết phƣơng trình mp () là tiếp

diện của mặt cầu (S) tại điểm A.

P.Pháp :

Xác định tâm I của mặt cầu (S)

Mp () có VTPT là IA và đi qua A

Kết luận

IV. ĐƢỜNG THẲNG:

A) Phƣơng trình đƣờng thẳng:



1) Phƣơng trình tham số của đường thẳng đi

qua điểm 0000 ;; zyxM

và có VTCP 321 ;; aaaa

là:

tazz

tayy

taxx

30

20

10

Rt

2) Phƣơng trình chính tắc của đường thẳng

đi qua điểm M0 có VTCP: 321 ;; aaaa

là

3

0

2

0

1

0

a

zz

a

yy

a

xx

với 02

3

2

2

2

1 aaa

Qui ƣớc: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0

B) CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đƣờng thẳng :

là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

:

)(0

)(0

2222

1111

QDzCyBxA

PDzCyBxA

P.Pháp:

có VTCP là :

21

11

22

11

22

11;;

BA

BA

AC

AC

CB

CBa

Vấn Đề 2: Viết ptrình đƣờng thẳng :

P.Pháp:

Cần biết VTCP 321 ;; aaaa

và điểm

0000 ;; zyxM

Viết ptrình tham số theo công thức (2)

Viết ptrình chính tắc theo công thức (3)

Chú ý:

Viết phương trình tham số hoặc chính tắc là

giao tuyến của 2 mặt phẳng . Ta tìm:

- VTCP 321 ;; aaau

bằng vấn đề 1

- Cho một ẩn bằng 0 hoặc bằng một giá trị

nào đó. Giải hệ tìm x, y => z

- Có điểm thuộc đường thẳng

- Kết luận.

Vấn Đề 3: Viết ptrình đƣờng thẳng đi

qua điểm 0000 ;; zyxM và vuông góc với

mặt phẳng 0: DCzByAx

P.Pháp:

Mp có VTPT là CBAn ;;

Đường thẳng đi qua điểm M0 và có

VTCP là n

Viết p.trình chính tắc => Ptrình tổng quát

Vấn Đề 4: Tọa độ điểm H là hình chiếu của

M lên mặt phẳng P.Pháp:

Gọi d là đường thẳng đi qua M và

d . Nên d có VTCP là VTPT n

của

Viết phương trình tham số của d

dH

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

phương trình

:

:d => Tọa độ điểm H

Vấn Đề 5: Tọa độ điểm M/ đối xứng của M

qua mặt phẳng

P.Pháp:

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên

mặt phẳng ( vấn đề 4 )

Vì H là trung điểm của MM/ => tọa độ

điểm M/

Vấn Đề 6: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng của

M0 qua đƣờng thẳng (d)

P.Pháp:

Gọi M/ (x

/ ; y

/ ; z

/ )

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và

dP . Nên (P) nhận VTCP của d làm

VTPT

Gọi PdH

M/ là điểm đối xứng của M0 qua đường

thẳng (d). Nên H là trung điểm của đoạn

M0M/

Ta có:

2

2

2

/

0

/

0

/

0

zzz

yyy

xxx

H

H

H

=> M/

Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình hình chiếu của

d trên mp

P.Pháp:

Gọi d/ là hình chiếu của d trên mp

Gọi là mp chứa d và

Nên có cặp VTCP là : VTCP du

của d và VTPT

n

của mp

Mp có VTPT

nun d

,



Mp đi qua điểm M0 d

Viết phương trình tổng quát của Mp

Phương trình đường thẳng d/:

:

:

Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d

qua điểm 0000 ;; zyxM và vuông góc với

hai đƣờng 1 và

2

P.Pháp:

1 có VTCP

1u

2 có VTCP

2u

d vuông góc với 1 và 2 . Nên d có

VTCP là 21,uuud

Vấn Đề 9: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d

đi qua điểm A và cắt cả hai đƣờng 1 và 2

P.Pháp:

Thay toạ độ A vào phương trình 1 và 2

21, AA

Gọi (P) là mp đi qua điểm A và chứa 1

Gọi (Q) là mp đi qua điểm A và chứa 2

P.tr đường thẳng d:

:

:

Q

P

Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

d P cắt cả hai đƣờng 1 và 2 .

P.Pháp:

Gọi PA 1

Gọi PB 2

Đường thẳng chính là đường thẳng AB


d // d1 và cắt cả hai đƣờng 1 và 2 .

P.Pháp

Gọi (P) là mp chứa 1 và (P) // d1

Gọi (Q) là mp chứa 2 và (Q) // d1

QPd

Phương trình đường thẳng d

:

:

Q

P

Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng vuông

góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau

(d1) và (d2)

P.Pháp:

d1 coù vtcp a , d2 coù vtcp b

Laáy điểm A d1 toïa ñoä ñieåm A theo t1

Laáy điểm B d2 toïa ñoä ñieåm B theo t2

AB laø ñöôøng vuoâng goùc chung

. 0

. 0

AB a AB a

AB b AB b

Giaûi heä treân ta tìm ñöôïc t1 vaø t2 toïa ñoä A vaø B

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB.


(d) vuông góc (P) và cắt hai đƣờng thẳng 1

và 2

P.Pháp:

Gọi là mp chứa 1 và có một VTCP là

Pn ( VTPT của mp (P) )

Gọi là mp chứa 2 và có một VTCP là

Pn ( VTPT của mp (P) )

Đường thẳng d


d đi qua điểm M0 vuông góc với đƣờng

thẳng 1 và cắt đƣờng thẳng 2

P.Pháp:

Gọi là mp đi qua M0 và vuông góc 1

Gọi là mp đi qua điểm M0 và chứa 2

Đường thẳng d


d đi qua giao điểm của đƣờng thẳng và

mặt phẳng và dd ,

P.Pháp:

Gọi A

Gọi là mp đi qua A và vuông góc với

. Nên có VTPT là VTCP của

Đường thẳng d

V. MẶT CẦU:

1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và

bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)

2 + (z – c)

2 = R

2

2. Mặt cầu (S) có phương trình :

x2 + y

2 + z

2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(với điều kiện a2 +b

2 +c

2 – d > 0)

thì (S) có tâm I( a; b; c)

và bán kính dcbaR 222



CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt cầu

P.Pháp:

Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu

Bán kính R

Viết phương trình mặt cầu

(x-a)2 + (y-b)

2 + (z-c)

2 = R

2

Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng

kính AB

P.Pháp:

Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ độ

I => I là tâm mặt cầu

Bán kính ABR2

1


Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có

tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By

+ Cz + D = 0

P.Pháp:

Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với .

nên có bán kính

,IdR 222 CBA

DCzByAx III


Vấn Đề 4: Viết phƣơng trình mặt cầu (S)

ngoại tiếp tứ diện ABCD

P.Pháp:

Phương trình mặt cầu (S) có dạng

x2 + y

2 + z

2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

A, B, C, D thuộc (S).Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d

Kết luận

Vấn Đề 5: Lập phƣơng trình mặt cầu đi qua

ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng

Oxy

P.Pháp:

Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt

cầu, OxyI

Ta có AI2 = BI

2 = CI

2

Ta có Hpt

22

22

CIAI

BIAI

Giải Hpt I IA = R

Kết luận.

VI. KHOẢNG CÁCH:

1. Khoảng cách giữa hai điểm AB

222

ABABAB zzyyxxAB

2. Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến

mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0

222

000

0 ,CBA

DCzByAxMd

3. Khoảng cách từ điểm M1 đến đƣờng

thẳng d

Lấy M0 d

Tìm VTCP của đường thẳng d là u

u

uMMdMd

,

,10

1

4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo

nhau và /

Gọi u

và /u lần lượt là VTCP của và

/

đi qua điểm M0 , //

0 M

/

/

00

/

/

,

.,

,

uu

MMuu

d

VII. GÓC:

1. Góc giữa hai vectơ a

và b

Gọi là góc giữa hai vectơ a

và b

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

..

.

bbbaaa

bababa

ba

baCos

2. Góc giữa hai đƣờng thẳng (a) và (b)

Gọi là góc giữa hai đường thẳng (a) và (b)

0900

Đường thẳng (a) và (b) có VTCP lần lượt là :

321 ,, aaaa

, 321 ,, bbbb

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

..

.

bbbaaa

bababa

ba

baCos

Đặc biệt: 0. baba

3. Góc giữa hai mp và /

: Ax + By + Cz + D = 0



/ : A/x + B

/y + C

/z + D

/ = 0

Gọi là góc giữa hai mp và /

2/2/2/222

///

. CBACBA

CCBBAACos

Đặc biệt: '( ) ( ') . 0n n

4. Góc giữa đƣờng thẳng (d) và mp

(d): có VTCP là u

= (a, b, c)

: Ax + By + Cz + D = 0

Gọi là góc nhọn giữa (d) và

222222 . cbaCBA

CcBbAaSin

VIII. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI

1. Vị trí tƣơng đối giữa 2mp

Cho 2 mp : 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0

: 0

A x B y C z D

A x B y C z D

1 caét 2 A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 :

C2

1 1 1 11 2

2 2 2 2

//A B C D

A B C D

1 1 1 11 2

2 2 2 2

A B C D

A B C D

2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (d) và

mp

Caùch 1: d coù vtcp a , coù vtpt n

a/. Neáu a . n 0 d caét

b/. Neáu a . n =0 d// hay d

Tìm Md: ( ) / /( )

( ) ( )

M d

M d

Caùch 2: Giaûi heä pt cuûa d vaø

Heä coù 1 nghieäm d caét

Heä voâ nghieäm d //

Heä voâ soá nghieäm d

3. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng (d) và

đƣờng thẳng (d’)

P.Pháp:

+ d coù vtcp u vaø ñi qua ñieåm M

+ d/ coù vtcp /u vaø ñi qua ñieåm M/

+ Tính /MM

a/. d vaø d/ truøng nhau u , /u vaø /MM

cùng phương.

b/. d // d/

/

/

u vaø u cuøng phöông

u vaø MM khoâng cuøng phöông

c/. d caét d/

/

/ /

u vaø u khoâng cuøng phöông

u,u . MM 0

d/. d vaø d/ cheùo nhau

/ /u,u . MM 0

* Chuù yù : / /d d u u

5. Vị trí tƣơng đối giữa mp và mặt cầu

(S) có tâm I, bán kính R

P.Pháp:

Tính d(I, )

Nếu d(I, ) > R => không cắt (S)

Nếu d(I, ) = R => tiếp xúc (S)

Nếu d(I, ) < R => cắt (S) theo một

đường tròn giao tuyến có bán kính

22 , IdRr

Gọi d/ là đường thẳng đi qua tâm I và /d

Gọi HdH / là tâm đường tròn

giao tuyến

6. Tọa độ giao điểm của đƣờng thẳng và

mặt cầu (S)

P.Pháp:

* Viết phương trình đường về dạng phương

trình tham số

* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được

phương trình () theo t

Nếu ptr () vô nghiệm => không

cắt mặt cầu (S)

Nếu ptr () có nghiệm kép => cắt

(S) tại một điểm

Nếu ptr () có hai nghiệm => cắt

(S) tại hai điểm. Thế t = ... vào p.tr

tham số của => Tọa độ giao điểm


Đề Ôn Tập Tốt Nghiệp Lớp 12 24

Gia sư Thành Được Gia sư Thành Được 4 từng bước) ta được số cách thực...

Documents

Transcript of Gia sư Thành Được Gia sư Thành Được 4 từng bước) ta được số cách thực...