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01. Há diversos meios de se medir a intensidade de um campo magnético. Usando-se uma balança de dois braços, com pratos P1 e P2, é possível fazes essa medição. A figura mostra um retângulo JKLM suspenso por um dos pratos de uma balança, o qual é constituído de um número n de espiras superpostas. Cada uma das espiras é percorrida por uma corrente i, cujo sentido inicial é mostrado na figura. A parte inferior das espiras está inserida numa região de
campo magnético B . Se o sentido da corrente for invertido, verifica-se a necessidade de colocar uma carga extra, de massa m, no prato da balança em que as espiras estão suspensas, para restaurar o equilíbrio do sistema.
Considerando g a aceleração da gravidade local, determine a intensidade de B
Dados:
• g = 9,8 m/s2;
• n = 100 espiras;
• i = 0,01 A;
• a = 5,00 cm; e
• m = 10,0g. Resolução: Analisemos os dois casos mencionados: 1º caso: Corrente desde o ponto L até o ponto M.
X X X X X X X X X X X X X
BF
M L
X X X X X X X X X X X X
Admitindo as massas m1 e m2, nos pratos P1 e P2 da balança respectivamente:
1 2m g m g n i a B= +
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2º caso: Corrente desde o ponto M até o ponto L.
X X X X X X X X X X X X
BF
M L
X X X X X X X X X X X X
Nesse caso, temos:
1 2( )m g m m g n i a B= + −
Subtraindo as duas equações, vem:
2 n i a B mg =
:
2 100
Então
0,01 25 10− 10B = 310− 9,8
0,98B Tesla
=
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02.
Um circuito é composto por uma fonte de tensão constante que alimenta resistores por intermédio de seis
chaves. As chaves estão inicialmente abertas e mudam de estado sequencialmente nas faixas de tempo da
tabela até concluir um ciclo completo:
Sequência de mudança de estados das chaves para um ciclo
faixa de tempo mudança
01 Ch 01 fecha
02 Ch 01 abre - Ch 02 fecha
03 Ch 01 fecha
04 Ch 01 e Ch 02 abrem - Ch 03 fecha
05 Ch 03 abre e Ch 04 fecha
06 Ch 03 fecha
07 Ch 03 e Ch 04 abrem - Ch 05 fecha
08 Ch 05 abre e Ch 06 fecha;
09 Ch 05 fecha
10 Ch 01, Ch 02, Ch 03, Ch 04 fecham
Observações:
• as chaves são ideais;
• todas as faixas possuem a mesma duração;
• o ciclo se repete 1O vezes por minuto;
• a mudança de estado das chaves acontece sempre, instantaneamente, no início de cada faixa de
tempo; e
• todas as chaves são abertas instantaneamente no final da faixa de tempo 1O.
Diante do exposto, pede-se:
a) a energia fornecida pela fonte, em joules, em 1O minutos;
b) a curva de potência (Watt) em função do tempo (segundo), fornecida pela fonte durante um ciclo
completo; e
c) uma alternativa de configuração do circuito que, com chaves permanentemente fechadas, implica em um consumo de energia desde t = O até t = 1O min igual ao consumo obtido no item a).
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Resolução: De acordo com o texto do problema temos um ciclo de 10 etapas que se repete 10 vezes por minuto. Isso significa que cada etapa tem 0,01min, ou seja: 0,6s de duração. Vamos agora a descrição de cada etapa. 1ª faixa de tempo: chave 1 fecha.
0 t 0,6s
Temos o circuito a seguir:
40Ω
Temos
eq 1
1
1
300 4
A
U R
( )0 0
5
2
=
= +
=
i
i
i
20Ω
1
300V
Então
1Pot( ) U 1500.3001 5= = =i
1 .3Δ 01 0 ,E( ) U Δt 9005 0 6= = =i
Pot( ) 1500W
ΔE( ) 900J
1
1
=
=
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2ª faixa de tempo: chave 1 abre e chave 1 fecha.
0,6s t 1,2s
Temos o circuito a seguir:
40Ω
Temos
eq 2
2
2
300 4
A
U R
( )0 0
5
2
=
= +
=
i
i
i
20Ω
2
300V
Então
2Pot( ) U 1500.3002 5= = =i
2 .3Δ 02 0 ,E( ) U Δt 9005 0 6= = =i
Pot( ) 1500W
ΔE( ) 900J
2
2
=
=
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3ª faixa de tempo: chave 1 fecha.
1,2s t 1,8s
Temos o circuito a seguir:
40Ω
Temos
40Ω
eq 3
3
3
300 20
A
R
2
U
0( )
7,5
=
= +
=
i
i
i
20Ω
3
300V
Então
3 .3P 00ot( ) U 2253 07,5= = =i
3 .30ΔE( ) 30 7,U Δ 6t 053 1, 50= = =i
Pot( ) 2250W
ΔE( ) 1350J
3
3
=
=
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4ª faixa de tempo: chave 1 e 2 abrem e chave 3 fecha.
1,8s t 2,4s
Temos o circuito a seguir:
20Ω
Temos
eq 4
4
4
300 2
A
U R
( )
1
0
0
10
=
= +
=
i
i
i
10Ω
4
300V
Então
4 .3P 0( 0ot ) U 014 3 000= = =i
4 .30ΔE( ) 80 10 0,6U Δ 04 t 1 0= = =i
Pot( ) 3000W
ΔE( ) 1800J
4
4
=
=
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5ª faixa de tempo: chave 3 abre e chave 4 fecha.
2,4s t 3,0s
Temos o circuito a seguir:
20Ω
Temos
eq 5
5
5
300 2
A
U R
( )
1
0
0
10
=
= +
=
i
i
i
10Ω
5
300V
Então
5 .3P 0( 0ot ) U 015 3 000= = =i
5 .30ΔE( ) 80 10 0,6U Δ 05 t 1 0= = =i
Pot( ) 3000W
ΔE( ) 1800J
5
5
=
=
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6ª faixa de tempo: chave 3 fecha
3,0s t 3,6s
Temos o circuito a seguir:
20Ω
Temos
20Ω
eq 6
6
6
300 1
A
U R
( )
1
0
5
10
=
= +
=
i
i
i
10Ω
6
300V
Então
6 .3P 0( 0ot ) U 516 4 005= = =i
6 .30ΔE( ) 70 15 0,6U Δ 06 t 2 0= = =i
Pot( ) 4500W
ΔE( ) 2700J
6
6
=
=
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7ª faixa de tempo: chave 3 abre e 4 abrem e chave 5 fecha.
3,6s t 4,2s
Temos o circuito a seguir:
10Ω
Temos
eq 7
7
7
300 1
A
R
0
U
( )
20
5
=
= +
=
i
i
i
5Ω
7
300V
Então
7 .3P 0( 0ot ) U 027 6 000= = =i
7 .30ΔE( ) 60 20 0,6U Δ 07 t 3 0= = =i
Pot( ) 6000W
ΔE( ) 3600J
7
7
=
=
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8ª faixa de tempo: chave 5 abre e e chave 6 fecha.
4,2s t 4,8s
Temos o circuito a seguir:
10Ω
Temos
eq 8
8
8
300 1
A
R
0
U
( )
20
5
=
= +
=
i
i
i
5Ω
8
300V
Então
8 .3P 0( 0ot ) U 028 6 000= = =i
8 .30ΔE( ) 60 20 0,6U Δ 08 t 3 0= = =i
Pot( ) 6000W
ΔE( ) 3600J
8
8
=
=
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9ª faixa de tempo: chave 5 fecha.
4,8s t 5,4s
Temos o circuito a seguir:
10Ω
Temos
10Ω
eq 9
9
U R
(
A
300 5 5)
30
=
= +
=
i
i
i
5Ω
9
300V
Então
9 .3P 0( 0ot ) U 039 9 000= = =i
9 .30ΔE( ) 40 30 0,6U Δ 09 t 5 0= = =i
Pot( ) 9000W
ΔE( ) 5400J
9
9
=
=
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10ª faixa de tempo: chave 5 fecha.
4,8s t 5,4s
Temos o circuito a seguir:
40Ω
Temos
10Ω
eq 10
10
10
U R
52,5A
40300
7
=
=
=
i
i
i
10
300V
Então
10 .3P 001 5 10 2ot( ) U 575,5 0= = =i
10 .30ΔE( ) 40 5 510 2, 95U Δt 00,6= = =i
Pot( ) 15750W
J
10
10ΔE( ) 9450
=
=
20Ω
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Finalmente: Letra a) A energia total fornecida pela fonte em apenas 1 ciclo, de duração 6,0s, será dada por:
cicloE 900 1350 1800 2700 3600 5400 94502 2 2= + + + + + +
cicloE 31500J=
Como em 10min=600s ocorrem 100 ciclos, temos:
totalE 3150000J=
Letra b)
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Letra b) Para que o arranjo de resistores apresente o consumo do item a com uma resistência equivalente fixa essa resistência deverá ser dada por:
total
EQ
2UE Pot Δt Δt
R= =
2
EQ
3003150000 10 60
R=
EQ
120R Ω
7=
Um arranjo possível seria: Chaves 1, 2 e 3 fechadas. Chaves 4, 5 e 6 abertas. Nesse caso teríamos a seguinte configuração de resistores ativos:
40Ω
E vemos que a resistência equivalente será: ,
30Ω
EQ
030 40
3R
0 40
120= =
+ 70
EQ
120R Ω
7=
300V
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03.
Um tubo com seção reta interna quadrada de lado b contém dois fluidos incompressíveis em equilíbrio, separados por um êmbolo, conforme a situação ilustrada na figura. A cavidade em que o êmbolo se desloca, sem atrito, apresenta seção reta interna quadrada de lado a. O êmbolo é formado por um material indeformável, com massa, espessura e volume desprezíveis, e encontra-se, inicialmente, na posição superior dentro da cavidade. Em certo instante, a segunda extremidade do tubo é perfeitamente vedada com uma tampa, mantendo o ar confinado com a mesma pressão atmosférica externa. Dados: • massa específica do fluído 1 : 1000 kg/m3; • massa específica do fluído 2: 2000 kg/m3; • pressão atmosférica: Patm = 105 N/m2; • aceleração da gravidade: g = 1 O m/s2• • a= 0,2 m; e • b = 0,1 m. Considerando que não ocorrerão mudanças de temperatura nos fluidos e no ar confinado, para que êmbolo entre em equilíbrio 5,00 cm abaixo da posição inicial, quantos litros do fluido 1 deverão ser inseridos na extremidade aberta do tubo? Resolução:
Redução do volume de ar: 2 2 3a 0,05 ΔV 0,2 10 m− = =
Compressão isotérmica: 2 2 3 2 2
atm
5
P b 1,0 p (b 1,0 ΔV) 10 p (10 0,2 10 )
p 1,25 10 Pa
− − − − = −
=
Novo equilíbrio: atm 1 2 2
ΔVP p g(h 0,55) p p g(1,05 )
b
h 4,45m
+ + = + +
=
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Volume inserido:
2 2 2
2 3
Vol ΔV b h 0,2 10 4,45 10
Vol 4,65 10 m
Vol 46,5 litros
− −
−
= + = +
=
=
04.
Certa máquina térmica, operando em ciclo termodinâmico entre dois reservatórios térmicos com temperaturas de 600 K e 300 K, fornece a potência necessária para o acionamento de motores em uma fábrica, conforme apresentado na figura 1. Devido a aspectos ambientais, ela deverá ser retirada de atividade, mas o corpo técnico realizou um estudo inicial e concluiu que ela poderia ser reaproveitada com a introdução de um reservatório térmico intermediário de 400 K, conforme a figura 2. Dentro dessa proposição, o grupo propõe que se trabalhe com dois ciclos termodinâmicos em série, sendo que o ciclo superior deverá produzir uma potência de 40 HP, enquanto que o ciclo inferior disponibilizará uma potência menor não especificada. O setor financeiro argumentou que a conversão proposta só seria economicamente viável se a potência associada ao ciclo inferior for no mínimo 10% do ciclo original e se o consumo diário do novo combustível, que alimentará o motor térmico do ciclo superior, estiver limitado a 500 litros. Dados: • rendimento da máquina térmica no esquema original: 90% do máximo teoricamente admissível; • taxa de transferência de calor do reservatório térmico para a máquina térmica no esquema original: 540 MJ/h; • rendimentos das máquinas térmicas superior e inferior para a modificação proposta: 90% e 80% do máximo
teoricamente admissível, respectivamente; • tempo de operação diário das máquinas com a modificação proposta: 8 horas; • massa específica e poder calorífico do novo combustível: O, 12 kg/L e 50 MJ/kg; • taxa de energia empregada para o acionamento da máquina térmica inferior: 60% da taxa rejeitada pela máquina
térmica superior; e • Considere 1 HP = 3/4 kW. Observação: • a taxa de calor recebida pela máquina térmica superior é proveniente da queima do novo combustível a ser
empregado e o poder calorífico é definido como a quantidade de energia liberada no processo de combustão por unidade de massa.
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Baseado em uma análise termodinâmica do problema e nos dados acima, verifique se as condições do setor financeiro são atendidas. Em sua análise, expresse todas as potências em HP. Resolução: Máquina Térmica 1(Original)
ideal real ideal
rejeitada
real
rejeitada
rejeitada
300η 1 0,5. MAS η 0,9 η 0,45
600
PPq 540MJ / h 150kW η 1
Pq
P0,45 1 P 82,5kW ou 110HP
150
= − = = =
= → → = −
= − =
Modificação proposta Máquina Térmica (ciclo superior)
ideal real ideal
útilreal Q
Q
F
400 1η 1 . MAS η 0,9 η 0,3.
600 3
P 40 400η 0,3 P HP(*)
P 3 3
400 280Logo P 40 HP
3 3
= − = = =
= = =
= − =
60% de PF vai para máquina do ciclo inferior:
2800,6 x 56HP
3=
Ciclo inferior:
ideal real
300η 1 0,25 MAS η 0,8 0,25 0,2
400= − = = =
Assim,
(2) útil útilreal útil
entrada
P Pη 0,2 P 11,2HP
P 56= = =
A potência útil do ciclo inferior é maior do que 10 % da potência útil do ciclo original: 110 0,1 =11 HP.
De volta ao ciclo superior, Q
400P HP(*)
3=
Mas Q
31HP kW P 100kW
4→ =
Volume máximo que pode ser gasto: 500 l.
gastom 500 0,12 60kg.= =
Energia gasta (máximo) : 60 50 = 3000 MJ
Para 3 3Δt 8h ou 28.000s,a energia necessária aoprojetovale : 100 10 x 28,8 10 28800MJ= =
Logo, o projeto atende o sistema financeiro.
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05. Um fio de comprimento 1L e densidade linear 1 está ligado a outro fio com comprimento 2 114L L= , e densidade
2 1 / 64 = . O conjunto está preso pelas suas extremidades a duas paredes fixas e submetido a uma tensão T. uma
onda estacionária se forma no conjunto com a menor frequência possível, com um, nó na junção dos dois fios. Incluindo os nós das extremidades, determine o número de nós que serão observados ao longo do conjunto.
Resolução: Para o nó intermediário, há duas ondas estacionárias de mesma frequência em cada corda.
1 1 2 1
2 2 1 22
f n L vn vf
L f n L v
= =
Por Taylor, vem que:
1 2 1
2 1 2
1 1
64 8
v v
v v
= = =
1 1 2 1
2 2
14, 1
8 7 4
f n n nLogo
f n= = =
Para menor frequência, temos menor n. Logo, 2 17 4n e n= =
Portanto o número de nós será: 7 + 4 – 1 = 10
06. Para determinar a temperatura de um gás ideal, este foi inserido num tubo de comprimento L com uma extremidade aberta e a outra fechada. Na extremidade fechada, foi colocado um pequeno alto-falante, que emite uma frequência
of no estado fundamental.
Dados:
• massa molar do gás: M ; • coeficiente de Poisson: ;
• número pertencente ao conjunto dos números naturais: n ; e
• constante universal dos gases perfeitos: R . Diante do exposto, determine: a) a temperatura absoluta do gás; e
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b) a razão entre a temperatura do gás original e de um novo gás, cuja massa molar M é maior que a massa molar
M do gás original, mantendo a mesma razão entre a pressão e a massa específica do gás anterior (considere que
todo o gás do item a) foi retirado). Resolução: a) ALTO-FALANTE Da condição de ressonância, segue que:
(2 1).
4
n Vsomf
L
+=
Mas . .RT
VsomMM
=
Logo, 0 on f f= = e 1
4o
RTf
L M
=
2 216 .
.oMT L fR
=
b) Da densidade do gás .P MM
dRT
= , vem que
MM
T= CONSTANTE.
Logo, `T T
M M=
2 2` 16 .o
MT L f
R=
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07.
O sistema óptico mostrado na figura é constituído por duas lentes convergentes, A e B, com distâncias focais,
respectivamente, f e 2f. A lente A é mantida fixa na posição 0x . A lente B está ligada rigidamente a um bloco que
inicialmente se move da direita para a esquerda, em velocidade constante 0v sobre um piso liso. Quando o bloco
atinge a posição 1x , o piso se torna rugoso. Sabe-se que a aceleração da gravidade no local é g e que o coeficiente
de atrito cinético entre o bloco e o piso rugoso é μ . Determine o valor de 0v para qual o bloco entra em repouso sem
que o sistema produza uma imagem virtual de um objeto muito distante situado à esquerda da lente A. Observação: Desconsidere as dimensões do bloco. Resolução:
Condição limite!
f
2f
1x0x
v 0=
A B
RUGOSO
mind 3f=
0v
O deslocamento da lente B é de: 1 0x x 3f .− −
Aplicando-se o Teorema da Energia Cinética ao bloco:
N
mg
fat μN=
μm 1 0
mg x (x 3f) − + =
20 MAX
0 1 0
vv 2μg x (x 3f)
2
= − +
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08. Uma estrutura rígida (treliça), formada por barras de aço, encontra-se suspensa pelos pinos A e B, conforme mostrado na figura. Sabe-se que o pino A impede os movimentos vertical e horizontal e que o pino B impede o movimento horizontal. No ponto E é aplicada uma força T na direção vertical e no ponto C é aplicada uma força T2 na direção horizontal. Desprezando o peso próprio da estrutura, calcule, em função de T as:
a) Reações nos apoios A e B; e b) Forças que agem nas três barras que partem do ponto D. Resolução:
y
NA
NB
x
FA
Equilíbrio de rotação em torno de A:
2 4 2
3
B
B
L T L T L N
N T
+ =
=
Equilíbrio de translação:
2A A B
A
F T e N N T
N T
= + =
= −
)
: ( , )Re
: (3 , 0)
A
B
a
em A R T Tação
em B R T
= − =
b) Convenção: tração é positiva e compressão é negativa.
:
: (*)
: 0
BD DE
CD
Nó D
x T T
y T
=
=
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:
2: 0
25
(*)
2 2:5
DE CEDE
BDCE
Nó E
Lx T T
T TL
L T Ty T TL
+ = = −
= − =
Barra CD com tensão nula; BD e DE comprimidas com 2T. 09.
"Espaço: a fronteira final." Certa vez, esta conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo pequena, em altas velocidades, poderia destruir a nave.
Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir, absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamente inelásticos. O excesso de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer carga elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos danos, só foi possível gerar uma
velocidade inicial v0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento de entrar em órbita.
Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilíneo de comprimento L.
Em média, uma partícula por quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza -se em uma região distante de qualquer influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma orbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S).
Dados:
• nave: massa inicial m 0 = 300 toneladas e carga inicial q0 nula;
• partículas: massa média m = 100 mg e carga elétrica média q = 715 µC;
• planeta: massa M = 6,3 x 1024 kg, raio R = 7.000 km e intensidade do campo magnético
B = 5 x 10 -5 T;
• constante de gravitação universal: G = 6,67 x 10 -11 N.m2/kg2 ;
• velocidade da luz: c = 3 x 108 m/s; e
• comprimento da nuvem: L = 7,5 x 108 km.
Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal.
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Diante do exposto, pede-se a:
a) velocidade final da nave logo após o último choque;
b) energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e
c) velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura H = 35 x 103 km acima da superfície do planeta. Resolução:
Nota: 0 8%c=υ , ou seja, 0 cυ , então se utilizará Mecânica Newtônica.
a) Número de partículas encontradas: 8
pN 7,5 10=
Massa delas: 8 6 4
p pM N m 7,5 10 100 10 7,5 10 kg−= = =
Colisões inelásticas sucessivas:
0 p 0 0(m M ) m+ =υ υ
71,92 10 m/ s= υ
b) Energia cinética dissipada na colisão:
2
aprox2μ
ΔK (1 )2
V= − − ; μ : massa reduzida
Colisão inelástica ( 0)= e sejam M’ a massa absorvida até aquela colisão específica e 'υ a velocidade da
nave pré-colisão:
22 22 30
0 00 0 00 2 3
0 0 0
0 0 0
m M' 'ΔK M'm M'
m M' 2 ΔKm M' 2(m M') 2(m M')
m (m M') '
m m
= − + = − = −
+ + += +
υ
υ υ
υ υ
Para encontrar a máxima dissipação de energia:
0
3 3 4
0 0 0
md M' 1 3M'0 M'
dM' (m M') (m M') (m M') 2
= = =
+ + +
Voltando...
23 0 20 0 0 190
máx 3
0
m2m2| ΔK | 1,28 10 J
27m2 3
2
m
= = =
υ υ
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c) Seja pQ N q=
2
0 p(m M )vF P
R H
++ =
+
2
0 p 0 p
2
GM(m M ) (m M )vQvB v 5000m / s
(R H) R H
+ ++ =
+ +
ou
v 2000m/ s −
Ou seja, v mínimo tem módulo 2000m/s e a órbita se dará conforme figura abaixo:
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10.
Um recipiente de formato cúbico de aresta a armazena 100 L de água. Um objeto cúbico de aresta b é colocado no
interior desse recipiente e fica com 75% de seu volume submerso, conforme mostrado na figura. No instante 0t = ,
aplica-se na direção vertical uma força F , no centro da face superior do cubo, fazendo com que o objeto seja deslocado para cima. Dados: massa específica da água: 1000 kg/m³;
aceleração da gravidade: g = 10 m/s²
0,5a m= ; e
0,2b m=
Desconsiderando o atrito entre o recipiente e a água e sabendo que a intensidade da força F varia de forma que a altura da água no recipiente caia a uma taxa constante de 4mm/s, determine: a) a massa específica do objeto, em kg/m³;
b) o volume do objeto cúbico submerso, em t = 5 s; e
c) o módulo da força F no mesmo instante de tempo do item b). Resolução: a) Equilíbrio inicial:
33.4
mg g b=
33750 /
4
dd kg m
= =
v
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b) 2 2
2 2 2
. 4h V b x b mmv st a t a t a= = = =
25 0,25mm dmv s s= =
3 2 3 2 33 3.2 2 .0,25.5 1
4 4Vol b b vt Vol dm= − = − = = 1 litro
c) 3 23
4F g b b vt mg
+ − =
2F gb vt=
50F N=