GESTION DE PORTEFEUILLE 3Catherine Bruneau

RISQUE &

PROBABILITE

Rappels de calcul de probabilité

• Espace des issues aléatoires €ΩExemple : ce qui fait monter ou descendre

un cours d’action• Évènements : parties de Ω• Cours au-dessus d’un certain seuil• Tribu d’évènements ( axiomes) A• (Ω, A) espace probabilisable• P: mesure de probabilité définie sur A

• P à valeurs dans [0,1]• Axiomes• Exemple: P(hausse)=2/3 et P(baisse)=1/3• P(Ω)=1• Suite dénombrable d’évènements disjoints 2 à 2:

• (Ω, A,P) espace probabilisé• Probabilité conditionnelle

• Indépendance d’événements

1 2 ... ...n

i j

A A A

A A

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

( ) ( )i ii

P A P A

Variable aléatoire X définie sur (Ω, A,P)

• est donc un évènement: • X à valeurs dans :

– un ensemble de valeurs fini ou dénombrable

Alors on dit que X est une VARIABLE DISCRETE

Exemple: X=1 si hausse =-1 si baisse d’un cours boursier

– un ensemble continu de valeurs réelles (dans R)

On dit alors que X est une VARIABLE CONTINUE

Log(cours boursier) suivi au centime près

1( )X B A 1( )X B

1( ) / ( )X B X B

• Distribution des valeurs possibles de X: x=X()/distribution de probabilité (de ces valeurs)

– 1) Variable discrète:sa distribution est caractérisée par les probabilités des différentes valeurs xjqu’elle peut prendre:

– Exemple variable X de loi de Bernouilli B(p):elle peut prendre seulement deux valeurs 1 et 0 avec les probabilités respectives p et 1-p: P(X=1)=p (et P(X=0)=1-p )

– Variable X de loi de Poisson P(): elle peut prendre les valeurs 0,1, 2,.., n,... etc… et Proba(X=n)=exp(- ) n /n! (où n! =nx(n-1)x(n-2)x…x2x1)

– Variable continue• Densité: P(x≤X<x+dx)=f(x)dx• Fonction de répartition P(X<x)=F(x); F’(x)=f(x)

– Exemples loi normale, log-normale, student, etc…

– Loi N(0,1)

– Loi N(m, 2)

– U suit une loi Log normale si et seulement si Log(U) suit une loi normale

( );1jP x j J

))(

2

1exp(

2

1)(

2

2

),( 2

mxxf

mN

)2

1exp(

2

1)( 2

)1,0( xxf N

)1,0(),( 2 NmX

mNX LL

• Moments– Espérance ( moyenne) – Variance: – écart-type ( volatilité)– Skewness– Kurtosis – (effet leptokurtique ( queue de distribution plus

épaisse que celle de la loi normale): risques « extrêmes » plus probables

• Fractiles

VaR =Value at Risk au niveau α

P(Perte>VaR)=α

1

( ) ( )J

j jj

E X P x x

2

1

( ) ( )( ( ))J

j jj

Var X P x x E X

( )X Var X

3( ( ))E X E X4(( ( )) )

( )

E X E Xk

Var X

3k

• Cas de deux variables aléatoires X et Yexemple: valeur d’un taux d’intérêt ( taux de rendement d’une obligation ( du trésor ou autre) et valeur d’un cours boursier

• Loi jointe de X et Y– Densité– La connaissance de la loi jointe ( densité h(X,Y) ) est plus riche que la connaissance des seules lois marginales de X et de Y, de densités

sauf dans le cas d’indépendance des deux variables, car, dans ce cas,

• Covariance et corrélation

, ( , ) ( )X Yh x y dxdy P x X x dxet y Y y dy

( , ) ( ) ( )X Yh x y f x g y

( ) ( )X Yf x et g y

2

X Y

Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))

=E(XY)-E(X)E(Y)

Si X=Y,

cov(X,Y)=E((X-E(X)) )= Var(X)

cov(X,Y)corr(X,Y)=

• Loi conditionnelle de Y sachant X• Cas discret

• Cas continu: densité conditionnelle de Y sachant X

– La loi de probabilité du cours d’un indice, sachant que les taux d’intérêt sont élevés (respectivement bas

– exemple: Y et Y suivent deux lois normales N(0,1) et ont un coefficient de corrélation

– Cas d’indépendance

• Espérance conditionnelle E(Y/X)• Variance conditionnelle

2( / ) (( ( / )) )Var Y X E Y E Y X

( )( / )

( )k j

k jj

P Y y et X xP Y y X x

P X x

, ( , )( / )

( )X Y

X

h x yl y x

f x

)()(),()()(

),()()/( ygxfyxhxf

yg

yxhxfyxl YXX

YX

R XR

dyxf

yxhydyxyylxXYE

)(

),()/()/(

• Cas de plusieurs variables • Matrice de variance du vecteur U=(U1,….,Un)’ de composantes aléatoires

• Matrice de covariance entre deux vecteurs U=(U1,….,Un)’ et V=(V1,….,Vm)’

• On a les propriétés suivantes

où A’ désigne la matrice transposée de A c’est-à-dire la matrice obtenue à partir de A en transformant les lignes en colonnes; par exemple,

1 1

1

( ) . ( , )

( ) . . .

( , ) . ( )

n

n n

Var U Cov U U

Var U

Cov U U Var U

2212

2111

2221

1211 'aa

aaAalors

aa

aaAsi

),cov(....),cov(),cov(

),cov(

),cov(...),cov(),cov(

),(

21

12

12111

mnnn

m

VUVUVU

VU

VUVUVU

VUCov

'),cov(),(

')()(

)()(

BVUABVAUCov

AUAVarAUVar

UAEAUE

Calculs d’espérances

( ( )) ( ) ( )XE h X h x f x dx

1

( ( )) ( ) ( )J

j jj

E h X P x h x

,( ( , )) ( , ) ( , )

( ( , ) ( / ) ) ( )

X Y

X

E g X Y g x y h x y dxdy

g x y l y x dy f x dx

Exemple de calculs dans le cas discret

• X=1 avec la probabilité de 2/3 et =-1 avec la probabilité de 1/3

• skewness (coefficient d’asymétrie)3

3 3

skewness=E[(X-E(X)) ]

E(X)=1/3=1x2/3+(-1)x1/3

skewness

=(1-1/3) x(2/3)+ (-1-1/3) x(1/3)

8 2 64 1= . .

27 3 27 380

81

Remarques: Rendement, taux de rendement et cours d’une action

• Cours d’une action P(t) à la date t• Log cours : LogP(t)• Variation ΔLogP(t)= LogP(t)- LogP(t-1)• ΔLogP(t)=Log[P(t)/P(t-1)]=Log(rendementde l’investissement dans l’action)• ΔLogP(t)=Log{1+[P(t)- P(t-1)]/P(t-1)}• ΔLogP(t)= [P(t)- P(t-1)]/P(t-1)• =taux de rendement de l’investissement=variation de

richesse/richesse initiale investie• si [P(t)- P(t-1)]/P(t-1) est petit devant 1 • P(t)/P(t-1)=rendement=1+taux de rendement• Question: si une grandeur X varie de 10% de combien varie le carré

de cette grandeur?