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Gerechtigkeit am Fließband
Sequenzierung von Bitvektoren unter Nebenbedingungen
Robert Nickel, Winfried Hochstättler
Lehrstuhl für Mathematische Grundlagen der Informatik
Brandenburgische Technische Universität Cottbus
Folie 2 von 15
Eine Anwendung aus der Automobilherstellung
Pressen, Montieren und Verschweißen der Karosserie
„Body Shop“ „Paint Shop“ „Assembly Line“
Grundieren und Lackieren der Karosserie
Einbau aller Komponenten
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Arbeit auf dem Fließband
Einbau aller Features erfolgt auf der Assembly Line durch separate TeamsEs gibt etwa 150 Features und mehrere hundert Zusammenstellungen pro TagesproduktionEine Tagesproduktion besteht aus etwa 2000 Modellen
Standardsitze
Sportsitze
Ledersitze
Auspuffanlage
KAT in verschiedenen Typen
Alufelgen
Stahlfelgen
Breitreifen
Motor (in verschiedenen Ausführungen)
Bremsanlage
Sonnendach
Scheiben(getönt?)
Beleuchtungs-Anlage
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Modellbildung
Es gibt eine feste Menge einbaubarer Features und jedes Modell beinhaltet ein Teilmenge davon Jedes Modell kann als 0-1-Vektor aufgefasst werden
Modelle mit gleicher Menge an Features werden als ein Modelltyp bezeichnet Die Tagesproduktion ist eine Multimenge von Bitvektoren
Die Autos werden in regelmäßigen Abständen aufs Fließband gelegt Wir betrachten vereinfacht eine Sequenz von Bitvektoren
1 1 2 2F b , , b ,b , , b , , b , , b
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Modellbildung II
Der Einbau eines Features benötigt eine bestimmte ZeitKein Team sollte zu lange nichts zu tun haben
Mindestabstände
Maximalabstände
1ib
2ib
3ib
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Distance Constrained Bitvector Scheduling (DCBS)
Gegeben: Eine Multimenge F von -dimensionalen Bitvektoren
Sowie Zahlen und mit
Gesucht:Finde eine Sequenzierung der Vektoren von F, so dass zwischen zwei Einsen in der Komponente immer mindestens und maximal Nullen stehen!
1 1 2 2F b , , b , b , , b , , b , , b
jm jm j jm m j 1..
jm jmj
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Komplexitätsanalyse
Allgemeiner Fall: Pseudo-polynomielle Reduktion vom Three-Partition-Problem
Fixierte Schranken: Reduktion vom Hamiltonian-Path-Problem
Fixierte Schranken, beschränkte Anzahl Features: Reduktion auf Shortest-Path
Allgemeine Schranken, beschränkte Anzahl Features: Reduktion auf Shortest-Path
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Der allgemeine Fall - Beweisskizze
1A1 2 3j j ja ,a ,a
mA3m 2 3m 1 3mj j ja ,a ,a
(3P)
1ja
1ja
2ja
2ja
3ja
3ja
1j
2j
3j
(DCBS)
2b 5
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5
14
2
Ein einfacher Spezialfall
Zwei Einsen dürfen durch maximal eine Null getrennt seinReduktion vom Hamiltonian-Path-Problem
35
14
2GG35
14
2
1
2
3 4
5
3
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Polynomielle Fälle
Wir betrachten wieder den einfachen FallReduktion auf die Suche eines Weges in einer Arboreszenz von der Wurzel zu einem BlattBeschränkt man die Anzahl der vorkommenden Varianten durch eine Konstante und bezeichnet man mit das Vorkommen von Variante in für so ist
eine Menge mit in polynomieller GrößeFüge einen Bogen genau dann ein, wenn eine der ersten Komponenten um eins reduziert wird und die korrespondierenden Vektoren aufeinander folgen dürfen
m 0,m 1
iN
i F i 1..
11,...,N ... 1,...,N 1,...,
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Polynomielle Fälle II
N1
N2
N
0
N1-1
N2
N
1
0
0
0
i1
N1
N2
N-1
0
0
0
ix
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Ein Vergleich
T O 3 5 7 3 5 7
10 0.03 0.06 0.10 0.03 0.03 0.03
15 0.19 0.27 0.62 0.08 0.18 0.18
20 0.88 1.11 2.36 0.31 0.53 1.05
30 9.31 22.17 24.14 2.41 5.97 9.28
40 119.78 124.15 256.86 19.56 28.45 39.19
50 1073.94 2447.47 415.50 355.15 161.90 147.25
T O 3 5 7 3 5 7
10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 0.010
20 0.000 0.010 0.010 0.000 0.070 0.080
30 0.000 X 46.827 2.183 X X
40 2.123 X X X X X
Column Generation + CPLEX : (vergl. Drexl, Kimms: Sequencing JIT Mixed Model Assembly Lines 03/2001)
Dynamische Programmierung:
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Eine parametrisierte Heuristik
Anforderungen an eine Sequenz:Möglichst wenige RegelverstößeGleichmäßiger Feature-Fluss
Goal Chasing (Y. Monden: Toyota Production System)
Strategie:Baue die Sequenz von links nach rechts aufWähle in jedem Iterationsschritt aus der Menge der Vektoren mit den geringsten Regelverstößen denjenigen aus, der am besten die momentanen Anforderungen an den Feature-Fluss erfülltBenutze diese Startsequenz für eine lokale Verbesserung
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Beispiel
6x 3x 2x 2x Anzahl MinDist MaxDist654
112
223
1.21.6
2.25
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Parametrisierung und Erweiterung
Benutze eine gewichtete euklidische Norm beim Goal ChasingFühre unterschiedliche Strafen für Regelverletzungen ein
Ersetze die Abstandsrestriktionen durchRestriktionen der Form
Dadurch können weitere Restriktionen sowohl im linearen Programm als auch in der Heuristik verwendet werden
j j,k j,k Lj 1
W X X M k L 1..n
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Ausblick
Paralleles Zonensystem mit ungleicher Verteilung auf parallele Zonen (Regeln werden hier für jede einzelne Zone aufgestellt)
Erweitertes RegelwerkBANNING : Verbieten von Sequenzpositionen und Zonen für einzelne FeaturesCLUSTERING : Die Sequenz wird in y gleiche Teile geteilt und ein Feature darf nur in x davon vorkommenGROUPING : Ein Feature soll nur in Gruppen (mit Mindest- und Maximalgröße) auftauchen und zwischen den Gruppen gilt ein MindestabstandDELAY : Ein Feature verspätet sich auf einer Zone erwartungsgemäß(trotzdem müssen auf nachfolgenden Zonen die Regeln gelten)