GeotecnicaFascicolo 7/1 Compressione sferica 1 = 2 = 3 (compressibilità) Compressione edometrica 2...
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Geotecnica Fascicolo 7/1
Compressione sferica
’1 = ’2= ’3
(compressibilità)
Compressione
edometrica
’2= ’3≠ 0 ; ε2 = ε3 = 0
(compressibilità)
Compressione triassiale
drenata
’2= ’3 = cost.
(deformabilità e
resistenza)
’1
’3
’1
’1
’3
Geotecnica Fascicolo 7/2
ε1
’1
E’
Eed
3K’
compressione triassiale
compressione sferica
compressione edometrica
Mezzo elastico lineare
Comportamento rilevato sperimentalmente
compressione triassiale
’1
compressione sferica
compressione edometrica
ε1
rottura
Il comportamento di un terreno non è lineare, inoltre dipende fortemente dal tipo di sollecitazione:- K’ e Eed aumentano al crescere di ε1
- E’ diminuisce al crescere di ε1
Geotecnica Fascicolo 7/3
Compressione edometrica
t
-H
a = N/A εa = δ/H0
r = 0
N
effetto del generico passo di carico
c
cv
H0
'
'
-H
log t
Geotecnica Fascicolo 7/4
H0Hs
H
0
20
40
60
0 2000 4000 6000 8000
εa (%)
’a (kPa)
s 0 sv v
s s s s
H H H HV He
V H H H
0
0.4
0.8
1.2
1.6
10 100 1000 10000
Cc
Cs
e
log ’a (kPa)
Geotecnica Fascicolo 7/5
s sv v v
a0 0 0 s 0 s v,0 s 0
V VV V VV e
H V V V V V V V 1 e
Le deformazioni assiali sono funzione univoca delle variazioni di indice dei vuoti:
Il modulo edometrico si definisce come modulo tangente:
aed
a
'E
εa (%)
’a (kPa)
0 20 40 60
020
0040
0060
0080
00
Eed
Eed
Geotecnica Fascicolo 7/6
Ad esempio, lungo la retta vergine:
e
log ’a (kPa)
Cc
a0 c
0
a aed 0
a
c aa
aed 0
c
'e e C log
'
d ' d 'E (1 e )
d de
1 1Dlogx de C d '
x ln10 ' 2.302
'E 2.302 (1 e )
C
Nel caso di terreni molto deformabili si è soliti calcolare il modulo edometrico rapportando le variazioni di altezza del provino alla sua altezza corrente
a
ed0
'E
H/H
aed
'E
H/H
Se si utilizza questa espressione, lungo la retta vergine si ha:
a aed
a
a 0 aed a
c c 0
d ' d 'E (1 e)
d de
' 1 e 'E 2.302 (1 e) 2.302 ' log
C C '
Geotecnica Fascicolo 7/7
Terreno Eed (kg/cm2)
Torba 1 - 20
Argilla 5 – 200
Limo 30 – 300
Sabbia 100 – 800
Ghiaia 300 - 2000
Roccia Eed (kg/cm2)
Tufo piroclastico 10’000 -30’000
Arenaria 200’000 – 300’000
Basalto 400’000 – 500’000
Granito 500’000 – 800’000
Conglomerato cementizio: E = 200’000 kg/cm2
Acciaio: E = 2’000’000 kg/cm2
aumenta con la consistenza
aumenta con la densità relativa
Geotecnica Fascicolo 7/8
Minerali argillosi Cc
Montmorillonite 1.6 – 2.6
Illite 0.5 – 1.1
Caolinite 0.19 – 0.28
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4 5 void ratio at liquid limit e L
Cc*
Ponza bentonite
Bisaccia clay
Marino clay
kaolin
data reported by Burland, 1990
Bisaccia - distilled water
C c* = 0.256e L - 0.04
Bisaccia - cyclohexane
Bisaccia - ethanol
Per materiali ricostituiti esiste una forte correlazione tra Cc e l’indice dei vuoti al limite liquido
Nel caso delle prove sui materiali naturali, è altamente probabile che i primi valori delle tensioni verticali applicate durante le prove edometriche (qualche frazione di kg/cm2) siano minori della tensione litostatica alla profondità di prelievo del campione.Pertanto, qualsiasi terreno, sia esso in sito normal-consolidato o sovraconsolidato, ripercorrerà un ramo di ricarico del legame tensione-deformazione.
RICORDANDO CHE LUNGO TALI RAMI LA vc CORRISPONDE AL “GINOCCHIO” DELLA CURVA
e:v, SI PUÒ QUINDI AFFERMARE CHE ESSA È
RAPPRESENTATA DALLL’ASCISSA DI UN PUNTO NELLA ZONA EVIDENZIATA IN FIGURA.
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
0.1 1 10 100Tensione verticale, 'v (kg/ cm2)
Indic
e d
i poro
sità
, e
2
Geotecnica Fascicolo 7/9
SI DEFINISCE UN INTERVALLO DI POSSIBILI VALORI, MEDIANTE LA COSTRUZIONE INDICATA IN
FIGURA
• SE LA TENSIONE LITOSTATICA ALLA PROFONDITÀ DI PRELIEVO DEL CAMPIONE (v) RICADE NELL’INTER-VALLO TROVATO (OCR=1) IL TERRENO IN SITO È NORMALMENTE CONSOLIDATO (la minor compressibilità mostrata nel ramo AB è quindi dovuta ai ridotti valori di carico inizialmente imposti nella prova);
• SE LA v RICADE A SINISTRA DELL’INTERVALLO (OCR>1) , IL MATERIALE È SOVRACONSOLIDATO (la minor compressibilità nel ramo AB è dovuta sia ai ridotti valori di carico inizialmente imposti nella prova, sia allo stato di sovraconsolidazione in sito).
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
0.1 1 10 100Tensione verticale, 'v (kg/ cm2)
Indic
e d
i poro
sità
, e
indic
e d
i poro
sità
iniz
iale
vc,min vc,max
tangente alla curva nel punto C (di max curvatura)
orizzontale per C
bisettrice delloangolo in C
C
2
A
B
Geotecnica Fascicolo 7/10
Geotecnica Fascicolo 7/11
Compressione isotropa di una sabbia con due diversi valori di densità
relativa iniziale
Per una sabbia, nel campo di tensioni che interessa l’ingegneria geotecnica :
• la compressibilità è di norma molto bassa;• il punto che nel piano (p', e) rappresenta lo stato corrente giace su un tratto di curva che, per un’argilla, corrisponderebbe a condizioni di sovraconsolidazione.
Dal punto di vista qualitativo, comunque, il comportamento osservato non differisce da quello di un’argilla.
1 +
e
sabbia(inizialmente) sciolta
sabbia densa
p' (kPa)
Geotecnica Fascicolo 7/12
Ipotesi:- Terreno saturo- Particelle solide e acqua incompressibili;- Regime di piccole deformazioni;- Validità della legge di Darcy;- Modulo edometrico e permeabilità costanti;- Assenza di deformazioni viscose.
H
satH
wH’H
v, ’v
z
q
dz
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
v v sat
v v v
' u z q
' 'u u0 [1]
t t t t t
NB: La [1] vale anche per gli incrementi di stato tensionale ’
e u indotti dal carico applicato. Per semplicità, da qui in poi si
indicano con , ’ ed u gli incrementi di stato tensionale.
Geotecnica Fascicolo 7/13
Variazione di volume dell’elemento di terreno nell’intervallo di tempo dt:
z
q
dz
Variazione del volume dell’acqua di porosità dell’elemento di terreno nell’intervallo di tempo dt:
z
q
dz
u/w u + ’v = v
u ’v u0 = v
t = 0 t > 0
v
ed ed
'1 1 udt dz dt dz
E t E t
div q dz dt
Geotecnica Fascicolo 7/14
/
yx z
zw
qq qdiv q
x y z
h k uq k
z z
/
2
2ed w
1 u k udt dz dz dt
E t z
Quindi si ottiene [ΔV = ΔVw]:
da cui, ponendo cv=kEed/w:
2
v 2
u uc
t z
(equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi)
Geotecnica Fascicolo 7/15
z
q
dz
u0/w
u + ’v = v
u ’v
u0 = v
t = 0
t > 0
v
z
q
dz
u/w
’v
t = ∞
z
q
dz
’v = v
u = 0
v
Geotecnica Fascicolo 7/16
strato impermeabile
strato drenante
Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in sommità, esiste una soluzione analitica (che si estende banalmente al caso di drenaggio solo in sommità).
Ponendo Z = z/H e T = cvt/H2, ossia adimensionalizzando le variabili spaziale e temporale, l’equazione della consolidazione diviene :
con soluzione:
2
2
u u
T Z
H
2H
2M T0
m 0
2uu(Z,T) sen(M Z) e
M
M (2m 1)2
Geotecnica Fascicolo 7/17
Si definisce grado di consolidazione medio U il rapporto tra l’area delle tensioni efficaci ’ e l’area delle tensioni totali .
Il grado di consolidazione medio è quindi pari al rapporto tra l’area tratteggiata del diagramma e l’area totale.
2H 2H
0 0
( u)dz udz
U 1 f(T)2 H 2 H
Sostituendo u con la soluzione indicata si ha:
2 2
2 2n 0
8 (2n 1)U 1 exp T
(2n 1) 4
È risolto anche il problema dell’andamento dei cedimenti nel tempo:
2H 2H
t= ted ed ed0 0
1 1 2 Hw = ' dz dz
E E E
2H 2H
ed ed0 0
1 1w(t) 'dz ( u)dz
E E
t
w(t)U(t)
w
Geotecnica Fascicolo 7/18
Soluzione per isocrona iniziale rettangolare e contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base : ad ogni istante T è associata una isocrona.
Soluzioni per contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base: sono risolti anche i casi di isocrona iniziale triangolare.
Geotecnica Fascicolo 7/19
Contorno drenante in sommità ed alla base: si può dimostrare che in termini di U(T) la soluzione di questi tre casi è identica.
2H
2H
2H
2
2
1
1
q
q
w
w
Geotecnica Fascicolo 7/20
Limite liquido (%)
Ricompressione
Compressione vergine (indisturbat
o)
Compressione vergine
(rimaneggiato)
30 3.510-2 5.010-3 1.210-3
60 3.510-3 1.010-3 3.010-4
100 4.010-4 2.010-4 1.010-4
Valori tipici del coefficiente di consolidazione cv (cm2/s)
Esempio
Valutare i tempi di consolidazione di un limo argilloso (cv=110-3 cm2/s)
H (m) Tempo (giorni)
1 115 4 mesi
2 463 15 mesi
3 1035 3 anni
4 1840 5 anni
T 1 U 93%
H
q
Nonostante le condizioni di flusso e deformazione monodimen-sionali imposte, per la presenza di deformazioni a tensioni efficaci costanti i terreni hanno comportamento più articolato rispetto a ciò che prevede la teoria della consolidazione.
Geotecnica Fascicolo 7/21
Si considerino nuovamente, alla luce della teoria della consolidazione, i risultati di una prova edometrica.
[qui, si sta indicando con H la variazione di altezza del provino in valore assoluto]
deformazioni viscose dei
complessi di adsorbimento
CONSOLIDAZIONE
CEDIMENTO SECONDARIO (CREEP)
H (
mm
)
Determinazione di cv
dai risultati di una prova edometrica
Per determinare cv si sfrutta la relazione teorica tra il fattore
di tempo T ed il tempo fisico t, ossia: T=cvt/H2
Ricordando che U=H(t)/Hc, si “sovrappone” la curva
sperimentale H:t con quella teorica U:T, dopo avere corretto la prima per:• eliminare gli errori sub-sperimentali che portano ad
avere un H (t=0)>0 nella prova (p.e., contatto scabro tra provino e piastra porosa, deformazioni delle parti meccaniche, ...);
• eliminare il cedimento secondario.Per U60% la curva (a) di Terzaghi è ben interpolata dalla relazione U = (4T/): se t quadruplica H raddoppia
*
*
H=0
H=100%
U=
0
10
0%
tangente nel punto di flesso
pro
lungam
ento
del tr
att
o d
idefo
rmazi
one s
eco
ndari
a
Costruzione di Casagrande
t*4t*
Geotecnica Fascicolo 7/22
H (
mm
)
Depurata la curva sperimentale :t dagli errori sub-sperimentali e dal cedimento secondario, è possibile individuare il tempo t50, in corrispondenza del quale è stato
raggiunto il 50% di consolidazione nel passo della prova edometrica preso in considerazione:
È quindi possibile imporre la condizione:
* 2v 50 50
50 v* 250
c t T (H )T c
t(H )
dove T50 (=0.197) è il valore teorico corrispondente ad
U=50% sulla curva (a) ed H* è il percorso di drenaggio nella prova sperimentale (in un edometro doppiamente drenato pari a metà spessore del provino).
Geotecnica Fascicolo 7/23
H=0
H=100%
H=50%
t=t50
H (
mm
)
T50=0.197
(a)
U=50%