DISPENSE DI GEOSTATISTICA APPLICATA G. Raspa Capitolo 3 Geostatistica di base1 1 Il presente capitolo costituisce le dispense del modulo di Geostatisticadel corso integrato Calcolo delle Probabilit e Geostatistica impartito nel corso di laurea in Ingegneria per lAmbiente e il Territorio (Laurea di 1 livello) della Facolt di Ingegneria dellUniversit di Roma La Sapienza. 2 3.GEOSTATISTICA DI BASE .................................................................................3 3.1Introduzione alla Geostatistica ............................................................................3 3.2Lapproccio probabilistico ..................................................................................9 3.3Modelli di Base.................................................................................................11 3.3.1Modelli Stazionari......................................................................................12 3.3.2Modelli non Stazionari ...............................................................................16 3.3.3Considerazioni sulla Scelta dei Modelli......................................................24 3.4 Analisi ed interpretazione dei variogrammi sperimentali ..................................25 3.4.1 Calcolo dei variogrammi sperimentali .........................................................25 3.4.2Identificazione del modello di FA..............................................................28 3.4.3Comportamento nellorigine del variogramma ...........................................37 3.4.4Andamento e modelli del variogramma elementare ....................................41 3.4.5Variogrammi a strutture annidate ...............................................................49 3.4.6Anisotropie nei variogrammi......................................................................54 3.5Aggiustamento di un variogramma modello......................................................57 3.6Regolarizzazione di una FA..............................................................................61 3.6.1Calcolo delle funzioni............................................................................66 3.6.2Regolarizzazione di un effetto pepita..........................................................67 3.7Varianza di dispersione.....................................................................................69 3.8Il kriging ordinario............................................................................................75 3.8.1 Gli stimatori lineari .....................................................................................76 3.8.2 Correttezza della stima................................................................................79 3.8.3 Precisione della stima..................................................................................79 3.8.4 Stimatori tradizionali...................................................................................80 3.8.5 Il Kriging Ordinario ....................................................................................82 3.9Il kriging semplice ............................................................................................94 3 3.GEOSTATISTICA DI BASE 3.1Introduzione alla Geostatistica LaGeostatisticastudiai fenomeninaturalichesi sviluppanosubasespaziale apartire dalle informazioni derivanti da un loro campionamento. Inparticolarestudialavariabilitspazialedeiparametrichedescrivonoisuddetti fenomeni estraendone le regole in un quadro modellistico di riferimento e usandole per effettuare le operazioni volte a dare soluzione a specifiche problematiche riguardanti la caratterizzazione e la stima dei fenomeni stessi. ImetodidellaGeostatisticasonoapplicabiliintuttiqueisettoridellescienzeapplicate incuiifenomenidistudiohannocaratterespaziale.Inrelazionealleapplicazioni registratenegliultimitredecenni,traisettoriapplicativisipossonocitare:lescienze geologiche eminerarie, lidrologia, lidrogeologia, la scienza dei suoli, lagronomia, la geotecnica,lageofisica,iltelerilevamento,laclimatologia,lameteorologia, l'oceanografia, le scienze forestali, la zoologia, lepidemiologia, ligiene ambientale. Si consideri un fenomeno spaziale, per es. linquinamento di un sito da metalli pesanti. Indicando conzla concentrazione di uno di essi e con x il generico punto di coordinate (xu,xv)1 delcampodiindagine,z(x)unafunzionenumericacherappresentala concentrazionedell'inquinanteneipuntidelsito.Inquestoquadrosipossonodarele seguenti definizioni: Variabile regionalizzata (VR) Siintendelafunzionematematicaz(x)sopraintrodotta.Iltermineregionalizzata specificachesitrattadiunafunzionenumericailcuivaloredipendedalla localizzazione,espressanormalmentedallecoordinatespaziali,echesipresenta strutturata spazialmente. Campo: E'ildominionelqualelavariabilezsuscettibilediassumeredeterminativalorie, all'internodelquale,se nestudialavariabilit. Coincide conlospaziodiosservazione (o di indagine) del fenomeno in esame. Supporto: E'l'entitgeometricasullaqualelavariabilezdefinitaodanchemisurata;essa caratterizzata dalle sue dimensioni e dalla sua forma. Quando le dimensioni sono molto piccole (rispetto alla scala dellavoro) il supporto pu considerarsi puntuale (per es. un 1Nel seguitodel testolaposizione di unpuntonellospaziodi lavorosar sinteticamenteindicata con x, sottointendendochesitrattadiunpuntodicoordinatexu, xv, essendouevidueassicoordinatidel riferimento. 4campionearealedisuolodiqualchedecinadidm2puessereconsideratopuntualerispettoadunadistanzatracampionisuccessividialcunedecinedim).Noncos invece per un pixel di una scena Landsat TM, che ha dimensioni 30 x 30 m, in unarea di indagine di alcuni Km2.Il concetto di supporto e le sue implicazioni giuocano un ruolo importante nella teoria e nelleapplicazionigeostatistiche.Dataunavariabileregionalizzatariferitaadun determinato supporto, si ha che, cambiando la forma e le dimensioni di esso, si ottiene una variabile regionalizzata diversa dalla prima, ma non senza analogia con essa. Siosservi,atitolodiesempio,lafigura3.1.Inessariportatolandamentodella conducibilit idraulica misurata su campioni successivi di terreno di dimensioni 10 cm; intrattopigrossoriportatolandamentodeivalorimediatisuunmetro(su10 campioni). Nel primo caso la VR ha un supporto 10 cm e nel secondo ha come supporto 1m. Si tratta di due variabili che presentano un andamento molto diverso tra di loro. Fig. 3.1 - Andamento della conducibilit idraulica riferita a due diversi supporti (da Stochastic models of fluid flow in heterogeneous media di Leslie Smith,Proceedings of the workshop on soil spatial variability of the ISSS and the SSSA, Las Vegas, 1984). Inbasealladefinizionedata,unaVRunavariabilepuramentedeterministica;daun punto di vista matematico unafunzione z(x) che assume in ogni punto dello spazio un determinatovalorenumerico.Siosserviperes.lafigura3.2cherappresenta landamento,lungounadeterminatadirezione,dellatensioneacqua-suolo(tas)diun terrenoadungiornodallirrigazione.Sipuosservare,daunaparte,unandamento irregolareallapiccolascalachenonincoraggiaunostudiomatematicodiretto,e dallaltra,unavariabilitstrutturata,ciounavariabilitchesembraubbidireadelle regole.Visinotanoinfattitratticonelevativaloridellatasetratticonmediebassi valori.Pertanto,campioniprelevatiinvicinanzadeitrattiadaltovaloreavrannouna elevataprobabilitdiavereuntaselevata,mentreviavrannounamediaebassa probabilit i campioni prelevati negli altri tratti. 5 Fig. 3.2 - Andamento di una variabile spaziale rappresentante la tensione acqua-suolo, lungo una direzione, di un terreno ad un giorno dallirrigazione (da Spatial variability of soil-water properties in irrigated soils, di P.J.Wierenga, Proceedings of the workshop on soil spatial variability of the ISSS and the SSSA - Las Vegas, USA 1984) . Unapprocciocorrettoallostudiodeifenomenispazialideveconsiderareentrambigli aspetti della variabilite fornire degli strumenti operativi alla risoluzione dei problemi. Un tale approccio quello probabilistico, cio basato sulle Funzioni Aleatorie. Primadipassareadillustrarelapproccioprobabilisticovediamocomepossibile, facendo uso dei concetti di varianza, covarianza e coefficiente di correlazione empirici, caratterizzare intuitivamente la variabilit spaziale di una VR. Siaz(x)unaVR,disupportopuntuale,definitainunareaSaventeunestensionedi alcune centinaia di metri (fig. 3.3) e nota in tutti i punti. Si consideri una coppia di punti distanti h(vettore) di posizione x e x+ h, con|h| = h1 piccolo rispetto alle dimensioni di S, per es. un metro (fig. 3.3 A1). In corrispondenza dei due punti la VR assume i valoriz(x) ez(x+h).

Se, in maniera analoga, si fanno assumere al primo punto della coppia n posizionixi ( i =1,n)allinternodiSinmanieracheancheilsecondopuntostiaallinternodel campo,siottengonoaltrettantecoppiedivalori:z(xi),z(xi+h)chegraficamente possonoessererappresentatidaunanuvoladicorrelazioneincuigliassiesprimonoi valori del primo e del secondo punto (fig. 3.3 A2). 6 Fig. 3.3 -Descrizione empirica della variabilit spaziale: covarianza delle coppie Essendo |h|piccolosaranno verosimilmente anche piccole le differenze tra le coppie di valori, per cui la nuvola sar poco dispersa attorno alla retta a 45, tanto pi o tanto meno asecondadelladifferenzatra ivaloridi ciascuna coppia.Perunadistanzatrale coppiepariazero,ledifferenzesonotuttenulleedipuntidellanuvolasicollocano esattamentesullarettaa45.Quantitativamentelentitdellegametralecoppiedi valori z(xi) ez(xi+h) misurata dalla covarianza empirica: S Z x Z x n Z x Z x n n x x h iini h i i hinin, ( ) ( ) / ( ) ( ) / / + ==+ += = 11 1 7od, ancora meglio, dal coefficiente di correlazione empirico: x x hx x hx x hSS S,,++ += dove Sx e Sx+h sono le deviazioni standard empiriche dei valori rispettivamente del primo e del secondo punto: S Z x n Z x Z x n n x i i iininin2 21 1 1= = = = ( ) / ( ) ( ) / / e S Z x n Z x Z x n n x h i h i h i hininin2 21 1 1+ + + += = == ( ) / ( ) ( ) / / Se ora si considera un valore di |h| = h2 pi grande di un metro, per es. 5 m (fig. 3.3 B1) verosimilepensarediottenereunanuvoladipunti(fig.3.3B2)pidispersadi quellaottenutaperladistanzadi1m.Lacovarianzaedilcoefficientedicorrelazione saranno pi piccoli dei corrispondenti valori . Seoraconsideriamovaloridi|h|semprecrescentisihachelacovarianzaedil coefficientedicorrelazionedecresceranno,potendosiancheannullareselecoppiedi valoririsultanoindipendenti.Intalcasolanuvoladicorrelazionehaunadispersione uniforme nel piano z(xi) e z(xi+h) (fig. 3.3 C2). Appare pertanto immediato graficare il coefficiente di correlazione (o la covarianza)in funzione della distanza |h| e considerare questacurvacomeunaformaquantitativacheesprime,limitatamentealladirezionein esame, la variabilit spaziale di z(x) (fig. 3.4). Per |h| = 0 le due variabili z(xi) ez(xi+h)coincidono e di conseguenza il coefficiente di correlazione uguale a uno. Esaminiamoancoraunaltraformaintuitivadicaratterizzarelavariabilitspaziale. Sempreconriferimentoallesituazionidescrittenellafig.3.3,consideriamoperogni coppia di puntixi e xi+h

le differenze: ( ) ( ) ( ) , x x Z x Z x i i i i + + = h h ( i = 1, n ) 8 Fig.3.4-Correlazionedellacoppia in funzione della distanza. Queste,perognisituazione,presentanoistogrammicaratterizzatidadispersioniche aumentanoallaumentaredi|h|.Lafig.3.5mostrainterminidivarianzadegli incrementi ci che nelle fig. 3.4 era mostrato in termini di coefficiente di correlazione.

Fig. 3.5 - Descrizione empirica della variabilit spaziale: dispersione degli incrementi. hr (h)h1h2h30.510 9Comenoto,ladispersionedeivaloriattornoallamediamisuratadallavarianza. Pertantolacurvacheesprimelavarianzadegliincrementiin funzionedelladistanza unaltraformapercaratterizzarelavariabilitspazialediunparametroregionalizzato. Quando|h|=0lavarianzazeroegeneralmenteaumentaallaumentaredi|h|(fig. 3.6). Fig.3.6-Dispersionedegli incrementiinfunzionedella distanza. Iltrasferimentodiquesticoncettidicarattereempiriconelquadrodiunformalismo teorico esigente costituisce lapproccio probabilistico della Geostatisticaallo studio dei fenomeni naturali a carattere spaziale. 3.2Lapproccio probabilistico Prendiamoinesameunfenomenospaziale,peres.landamentoaduncertoistanteed allinternodiunareaS,dellatavoladacquadiunacquiferosedimentarioed indichiamoconzlasuaprofondit(rispettoalpianodicampagna).Lafunzione matematica,cheesprimelandamentodizinfunzionedellaposizionegeograficax (caratterizzata dalle coordinatexu e xv) allinterno dellarea S,, secondo la definizione data in precedenza, la Variabile Regionalizzata (VR) che descrive il fenomeno in esame. Essa chiaramente una funzione deterministica. Consideriamo ora un particolare punto di Sdi posizionex0. In esso si pu definire una variabilealeatoria(VA)continuaZ(x0),ciounavariabilecheassumedeivalorinumerici appartenenti ad un certo intervallo secondo una legge di densit di probabilitf0 (Z) (vedi fig. 3.7). hg (h)S21S22S23h1h2 h3 10 Fig.3.7-Descrizionediuna FunzioneAleatorianel dominio S. Inqueste condizioniilvalorez(x0)dellaprofonditdellafaldanelpunto x0pu essere considerato come una realizzazione della VA Z(x0).Coscomeinx0,inognialtropuntoxdiSpuesseredefinitaunaVAZ(x).Allora linsieme di tutte le VA definite in S costituisce una Funzione Aleatoria (FA). LaFAZ(x)sarcaratterizzatadallinsiemedituttelefunzionididistribuzione multivariabili: chesipossonodefinireinSperqualsiasiinterok eperqualsiasi configurazionedei k punti: x1 , x2, ... xk,. Questoinsiemedifunzioni,datalanaturaspazialedelfenomenochesivuole modellizzare, costituisce la legge spaziale della FA Z(x). Nelcasodiindipendenza,adueadue,dellevariabiliZ(x1),Z(x2),,Z(xk),lalegge spazialediZ(x)costituitadallinsiemedituttelefunzionididistribuzione monovariabili: Conriferimentoallesempiodellafalda,considerandoivaloridelleprofonditz(x) comeparticolarirealizzazionidelleVAdefiniteintuttiipuntixdiS,possiamo affermare che linterpretazione probabilistica del fenomeno di studio (e cio lapproccio probabilistico)consistenelconsiderarelaVRz(x)comeunaparticolarerealizzazione della FA Z(x). Linterpretazione probabilistica dei fenomeni spaziali, od il ricorso, come si usa dire, ad unmodellotopo-probabilista,noncorrispondeadunaparticolareconcezionedella realt:questomodellononlimmaginedinessunarealt fisica,unintermediariodi calcolo,unaformadicollocarsiallinternodiunquadroimperativo,incuipossibile usareglistrumentidelcalcolodelleprobabilit,senzaiquali,dotatisemplicementedi modelli empiriciodeterministici,sarebbedifficilefaremoltastradaversolasoluzione dei problemi. { } , ) ( ,..., ) ( , ) ( ) ( 2 2 1 1 ,..., 2 , 1,..., 2 , 1k k kZk Z Zz x Z z x Z z x Z prob z z z F < < < ={ } S x z x Z prob z Fx Z < = ) ( ) () (11 Einnegabilequindiilvantaggiodellapproccioprobabilistico,malecondizionisono che necessario disporre di modelli. Si pone subito quindi un problema metodologico: ilproblemadellinferenzastatistica,ciodellastimadeiparametridelmodello mediante i dati di una campionatura del fenomeno. Ilmodellopicompletosarebbecostituitodallaleggespazialesopradefinita.Matale legge impossibile da stimare a partire da una realizzazione unica, per di pi conosciuta soloinunlimitatonumerodipunti:sarebbecomepretenderedistimareconunsolo risultato la legge di probabilit associataal lancio di un dado, e quindi capire, per es., se un dado truccato o no. E necessario quindi fare delle ipotesi per rendere pi semplice ilmodello.Maevidentechelaformulazionedelleipotesideveesseretalecheil modello risultante abbia dei requisiti minimali, quali per esempio: ilmodellodevepoteresserestimabileneisuoiparametri,considerandoiltipoela quantit di informazioni generalmente disponibili per tale operazione; ilmodellodeve,comestrumento,esseresufficientepereffettuareleoperazionipi frequentementerichiestenellostudiodeifenomenidiinteresse(stimedivariabili, stime di probabilit, simulazioni); aprescinderedalleoperazionichedevonoessereeffettuate,ilmodellodevepoter esprimere, in forma qualitativa e quantitativa, la variabilit spaziale del fenomeno di studio, ai fini della sua comprensione. Inrelazionealtipodioperazioni,traquellesopraricordate,checonlausiliodel modellodevonoesserecondotte,accenniamofindaoraairequisiticheessodeve possedere.Perciche concernelestime(predizioniinterminidistatisticaclassica)le pi diffuse sono quelle lineari. Per la loro implementazione, sar mostrato, sufficiente, dellinteraleggespaziale,laconoscenzadeiprimiduemomentidellaFA;adessi quindi che le propriet del modello saranno riferite. Per ci che riguarda le simulazioni e le stime non lineari, questultime comprendenti le stimediprobabilit,leproprietdelmodelloriguarderannononsoloiprimidue momentimaanchelaleggebivariabiledellecoppie,ciolaleggespazialeappena introdotta limitata a k = 2. 3.3Modelli di Base Comestatoaccennatonelparagrafoprecedenteilricorsoadunmodelloprobabilistico sollevaunproblemametodologico:lasceltadelmodelloelastimadeisuoiparametri.Il problema tuttaltro che banale, considerando che, da un lato,si di fronte ad una vastit di modelli di Funzioni Aleatorie e, dallaltro, si dispone solo di una realizzazione unica, per di pi nota solo in pochi punti del campo. Persuperareledifficoltpostedaquestoproblemasembraopportunoporredeivincoliai modelli,sdaridurrela famigliadiquellipraticamenteutilizzabili..Aquestopuntoutile fare laconsiderazione seguente: 12 la maggior parte dei problemi con cui normalmente si ha a che fare, e che sono quelli a cui sifariferimentoinquestedispense,sonoproblemilocali,cioproblemi,generalmentedi stima,cheinteressanounapiccolaporzionedelcampochecomprendeilsupportodella stima,ciolentitgeometricadastimare,elinsiemedeidaticoncuieffettuarelastima stessa.Questaporzionedicampo,cosconfigurata,lachiameremodorainpoi,conuna parolapresaaprestitodalfrancese,vicinaggio.Lanozionedivicinaggiogiuocaunruolo metodologicomolto importante nella Geostatistica. Poich in generale non ci si limita ad un soloproblemalocale,masitendeafaredellestimesututtoilcampo,questovicinaggio, quasiidenticoperdimensionieconfigurazione,destinatoapercorreretuttoilcampo: diventa un vicinaggio mobile. Laconsiderazioneprecedentefasorgereunaesigenzalegittima:lavorandoinvicinaggio mobile si vorrebbe vedere nella ripetizione spaziale legata alla traslazione del vicinaggio, un sostitutodiunamolteplicitdirealizzazionidellaFA.Eci tantopileggittimoquanto pi lecito pensare ad un modello che non coinvolga tutto il campo, ma che sia definito al livellodivicinaggio.EccoconfigurarsilanecessitdisollecitareperlaFAcondizionidi stazionariet.Unaulteriorespintaaquestotipodisollecitazionevienedalfattochesi dispone di una realizzazione unica del modello. 3.3.1Modelli Stazionari

Stazionariet Strictu Sensu LastazionarietstrictusensudiunaFAunaproprietchesidefiniscemolto chiaramente: linvarianza per traslazione della legge spaziale del processo aleatorio. Pi esplicitamente: comunque siano fissati un numero interok > 0ed un insieme di kpuntiinSaventiposizione:{ } k x x x ,..., , 2 1 ,iduevettorialeatori: { } ) ( ),..., ( ), ( 2 1 k x Z x Z x Z e{ } ) ( ),..., ( ), ( 2 1 h h h + + + k x Z x Z x Z conhvettorequalsiasi , hanno la stessa legge o, pi specificamente, hanno la stessa funzione di distribuzione k-variabile. La legge spaziale, anche nel quadro di unipotesi molto forte come la stazionariet, continua arimanere,perglistessimotivispecificatinelparagrafopredente,unriferimentoteorico con scarso o nullo significatopratico (se non nel caso di multigaussianit). Poich, come statodettonelparagrafoprecedente,lamaggiorpartedelleoperazionigeostatistiche richiedonosololaconoscenzadeiprimiduemomentidellaFA,aquestiultimichela proprietdellastazionarietdeveessereriferita.Primadiesaminarequestaquestione introduciamo i momenti del primo e del secondo ordine di una FA. Momento Primo SiaSilcampodiindagine.Inaccordoconlinterpretazioneprobabilisticainognipuntox S definita una VA Z(x). Il suo momento primo: E Z x ( )=m ( x ) 13 se esiste generalmente funzione di x. Momento secondo Si considerino due puntix1ex2 entrambi appartenenti adS , rispettivamente di coordinatex1u, x1vex2u, x2v. La covarianza trale variabili aleatorieZ(x1)eZ(x2): [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 2 1 2 1 x m x Z x m x Z E x x C x x Cov = = = [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 x m x m x Z x Z E generalmente funzione delle posizionix1 ex2. Variogramma ElafunzionepicomunedellaGeostatistica,usatanelleapplicazioniprincipalmenteper caratterizzarelavariabilitspazialediunfenomenoregionalizzato.Introdotto empiricamente nel paragrafo 3.2 sar ora presentato nel quadro probabilistico. SiaSildominioincuidefinitalaFAZ(x)esianox0 ex0+hunacoppiadipunti appartenenti adSe distantih1 (fig.3.4) La differenza traZ(x0 )eZ(x0+h) definisce una nuova VA dettaaccrescimento oincremento: [Z(x0+h) - Z(x0)]. La sua semi-varianza, per definizione il variogramma: ) , ( 0 h x =[ ] { } ) ( ) (210 0 x Z x Z Var + h . Esso in generale funzione di h e del punto di appoggio x0 . Modelli Stazionari di Ordine 2 Un modello di FA si dice essere stazionario di ordine 22 quando sono verificate le due seguenti condizioni: il momento primo esiste ed invariante rispetto alla posizione x: 1 Il simbolo di vettore indica che la distanza considerata tenendo conto anche della direzione individuata dalla coppia di punti. 2Nellaletteraturageostatisticafrequentelusodelterminestazionariosenzalulteriorespecificazione diordine 2 o strictu sensu. In questi casi la stazionariet, o eventualmente la non stazionariet, sono generalmentedaintendendersidiordine2,rimanendocomunqueintesocheilcorrettosignificatolosi deduce sempre dal contesto. 14 E Z x ( )=m; (3.0) lacovarianzaC x x ( , ) 1 2 esisteenondipendedallaparticolareposizionedi x1 ex2 ma dipende solo dalla loro distanzah:

C x x C x x C ( , ) ( , ) ( ) 1 2 1 1 = + = h h .(3.1) Lesistenzadellafunzionecovarianzaimplicacheper1 2 x x ,cioperh0il valore della covarianzaC(0)esiste ed ha valore finito. Esso corrisponde alla varianza diZ(x),dettaanchevarianzaapriori,chequindianchessainvarianteper traslazione: C x x Var x C ( , ) ( ) ( ) 1 1 1 0 = = . QuandosonoverificateleduecondizioniprecedentilafunzioneC(h)chiamata funzionecovarianza.EssaesprimelacorrelazionetralevariabiliZ(x)eZ(x+h)in funzione della distanza h dei loro punti di appoggio: C E Z x Z x m ( ) ( ). ( ) h h = + 2 Propriet della covarianza: una funzione pari: C C ( ) ( ) h h = ; la covarianza nel puntoh= 0 assume sempre valori positivi: C Z x ( ) var ( ) 0 0 = ;

vale la disuguaglianza di Schwartz: C C ( ) ( ) h 0( 3.2 ) Poich,comeragionevolepensare,lacorrelazionetralevariabiliZ(x)eZ(x+h)tende ad indebolirsi con laumento della distanza tra i due punti di appoggio, si ha che la funzioneC(h)tende a decrescere con|h| = h, fino anche a potersi annullare se le due variabili diventano indipendenti. 15

Fig. 3.8. Andamento generale della funzione covarianza. Se ci ha luogo la distanza alla quale le due variabili diventano indipendenti si chiama portata (range nella terminologia inglese e porte in quella francese) (fig.3.8) Esaminiamoorailcomportamentodellafunzionevariogrammanelquadrodiun modello stazionario di ordine 2. Partiamo dalla definizione: ( , ) ( ) ( ) x Var Z x Z x h h = + 12 ( 3.3) [ ] { } [ ] { }2 2) ( ) ( ) ( ) (21x Z x Z E x Z x Z E + + = h h Poich, per ipotesi, il momento primo dellaFAZ(x) invariante per traslazione, si ha che: E Z x Z x ( ) ( ) + = h 0. Quindi la( 3.3 )diventa: [ ] { } ( , ) ( ) ( ) x E Z x Z x h h = + 122.(3.4) Ilvariogrammaalladistanzahcoincide,amenodelfattoreconlamediadegli accrescimenti quadrati diZ(x)di entit h. Ancora la( 3.4 ) sviluppata secondo la relazione( 1.20)diventa: [ ] [ ] [ ] { } ) ( ), ( 2 ) ( ) (21) , ( x Z x Z Cov x Z Var x Z Var x h h h + + + = (3.5) Ora, sempre in virt delle ipotesi di stazionariet di ordine 2, la varianza e la funzione covarianza sono invarianti per traslazione e quindi la ( 3.5 )diventa: hC(h)C(0)aa: range 16 { } ( ) [ ( )] ( ) h h = 122 2 Var Z x C , da cui, riscrivendo pi chiaramente, si ottiene limportante relazione: ( ) ( ) ( ) h C C h = 0 ( 3.6 ) Questarelazionemostrachelafunzionevariogrammastrettamentelegataalla funzione covarianza e pertanto si pu affermare che: anche (h) invariante per traslazione; indifferente utilizzare, come strumento di lavoro, la covarianza o il variogramma. Fig. 3.9- Funzione covarianza e funzione variogramma. Dalla(3.6),tenendocontodellarelazionediSchwartz(3.2),sideducechela funzione(h)necessariamentelimitata;illimitesuperiorerappresentatodalla varianza a priori (fig. 3.9). 3.3.2Modelli non Stazionari LeFAnonstazionariesonoquellechenonrispettanolecondizioni(3.0)e(3.1).Pi esplicitamente sono quelle che soddisfanoanche ad una delle due condizioni: la media E Z x m x ( ) ( ) =non costante nel campo; la funzione covarianza o non esiste (perch non esiste la varianza) o non invariante per traslazione. PrimadiesaminareleformeconcuileFAnonstazionarievengonoaffrontatee caratterizzateal fine di rendere possibile la loro manipolazione, ci soffermiamo su duetipi h C( 0)g ( h)C( h)Ra nge 17 dimodelli,nonstazionarisecondoladefinizionedata,cheinmanieramoltoimmediatasi riconducono allo stesso formalismo delleFAstazionarie. Modelli quasi Stazionari UnaFA detta essere quasi-stazionaria quando la suamediaE[Z(x)]=m(x), purnonessendocostantesututtoilcampo,vivariamoltodebolmente,sdapoter essere considerata costante allinterno di domini didimensioninon inferiori aquelle del vicinaggio di lavoro. Vediamo come si esprime un modello quasi-stazionario. Consideriamo,persvincolarcidallanotazionevettoriale,dioperaresuunospazioa unadimensione,osuunallineamento(unoqualsiasi)diuncampobidimensionale.Siano x0e x0 +hdue punti sullallineamento. Il variogramma di Z(x) per la coppiaZ(x0)eZ(x0+h), in base alla ( 3.3) dato da: [ ]{ }[ ] 2 0 0 020 02 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) x h E Z x h Z x m x h m x = + + E facile verificare che il variogramma sopra definito anche il variogramma di: Y(x) = Z(x) - m(x), che una variabile, detta residuo, di media nulla. Supponiamo che tale residuosiastazionariodiordine2,ilcheequivaleasupporre,essendoilresiduodi mediacostante,che ( , ) x h 0 dipendasolodahesialimitatosuperiormente. Supponiamo ancorachem(x)sia una funzione, per semplicit, di tipo lineare:

m x a a x ( ) = + 0 1. lespressione : [ ] { }20 0 ) ( ) (21x Z h x Z E + , checoinciderebbeconilvariogrammadiZ(x)seE Z x ( ) fossecostante,risulta essere: [ ] { }120 0212 2E Z x h Z x h a h ( ) ( ) ( ) + = + ( 3.7 ) Ora,seilcoefficientea1 moltopiccolo,iterminididestradellaespressione precedente,doveilprimorappresentaunvariogrammalimitato(fig.3.10a),il secondo una funzione parabolica (fig. 3.10 b), sommati danno luogo allandamento di fig.3.10c,chepuessereconsideratocomelandamentodiunvariogrammadiunaFAZ(x)stazionaria entro i limiti fissati dalla distanza b alla quale la curva comincia adimpennarsi.TaledistanzadefinisceildominiodistazionarietdellaFAZ(x).In altriterminiZ(x)puessereconsideratastazionariadiordine2pervicinaggidi dimensionib ed il suo variogramma espresso da: [ ] { }20 0 ) ( ) (21) ( x Z h x Z E h + 18 In pratica si considerato, sempre perh b,a h 12 20 . Eimportantenotarechelaillustrazionedelconcettodiquasi-stazionarietstata effettuata servendosi della funzione variogramma; non sarebbe stato possibile usando lacovarianza. E questa una delle ragioni per cui nella geostatistica applicata si opera in principio con la funzione variogramma. Fig. 3.10 - Andamento del variogramma sperimentale per modelli quasi-stazionari. Modelli intrinseci hm2(h)hg*(h)g(h)h a) b) c) 19 Pu succedere che unaFA Z(x) non stazionaria sia tale che i suoi incrementi lo siano. Unasituazionedelgenereclassicaecorrispondealmotobrowniano,valeadireal moto disordinato di una particella provocato dagli urti con una grande quantit di altre particelle in movimento costituenti un liquido. Il risultato di una simulazione del moto brownianoaunadimensione,su6000unittemporali,riportatainfigura3.11e consistenellandamento,infunzionedeltempo,dellaprogressivacheidentificala posizione della particella. Fig.3.11Andamentodelleprogressive(simulate)relativealmoto(brownianomonodimensionale) casuale di una particella a seguito degli innumerevoli urti subiti ad opera di altre particelle. Comesievincedalgraficolavariabilepresentaunandamentosenzaregolechenon consentedifarealcunaconsiderazionesumediaevarianza.Gliincrementiinvece sonostazionari,nelsensocheessifluttuanoattornounvalorecostante(zeroin particolare) e con fluttuazioni di ampiezza paragonabile.Nellafigura3.12siriportalandamentodi500incrementiapassotemporale3e6 calcolatinellaparteiniziale,nellapartedimezzoenellapartefinaledella simulazione. Landamento di fig. 3.11 modellizzabile con una FA intrinseca. -80-60-40-200204060800 1000 2000 3000 4000 5000 6000TempoProgressiva20 Fig.3.12Andamentodelleprogressive(simulate)apassotemporale3(partesinistra)e6(parte destra) calcolati rispettivamente sui valori 1-500 (1), 2500-3000 (2) e 5500-6000 (3) della simulazione. UnaFAsi dice intrinseca in S (e si indica FAI) se per ognivettore h i corrispondentiaccrescimenti sono stazionari di ordine 2, vale a dire: dati due punti di posizionex0 e x0 +hlaccrescimento:Z(x0)-Z(x0 +h)ammettemomentiordineunoeduedi valore finito ed invarianti per traslazione, cio non dipendenti dal punto di appoggio x0 ma solo dalla posizione h. Le due condizioni si esprimono come segue: segue: = m(h) =m(h)( 3.8 ) D Z x Z x20 0 2 ( ) ( ) ( ) + = h h ( 3.9 ) m(h) rappresenta la deriva di Z(x) che necessariamente lineare. Infatti la (3.8) si pu anche scrivere: = m( h + h) (3.10) e anche -4-3-2-1012340 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=3)-4-3-2-1012340 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=3)-4-3-2-1012340 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=3)-8-6-4-2024680 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=6)-8-6-4-2024680 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=6)-8-6-4-2024680 100 200 300 400 500TempoIncrementi di progressiva (Dt=6)(1) (2) (3) [ ] ) ( ) ( 0 0 x Z x Z E + h[ ] ) ( ) ( 0'0 x Z x Z E + + h h21 = m(h)(3.11) Sottraendola(3.8)dalla(3.10)etenendocontodella(3.11)sideducelalinearitdi m(h): m(h+h) - m(h) = m(h). Le FAI cui si far riferimento nel seguito saranno quelle senza deriva e cio con m(h) =0.Questarestrizione,chenellambitodellaGeostatisticadibaseutileperla esemplificazionedelleprocedure,deveessereverificata.Inunambitopigenerale, quello in cui si studiano i fenomeni non stazionari,tale restrizione invece fondata. Siprecisa cheunaFAIsenzaderivanonsignificaunaFAdimediacostante,perch, perdefinizione,unaFAInonfanessunriferimentoalleVAZ(x)masoloagli incrementi.Landamentodifig.3.11nonevidenziaunafluttazioneattornoadun valore costante, eppure gli incrementi sono di media nulla. Nella(3.9)(h)rappresentalafunzionevariogrammagiintrodottaalliniziodel paragrafo. Il variogramma, appunto perch espressione di unaFAintrinseca, anche chiamata nella terminologia geostatistica funzione intrinseca. Unmodellointrinsecochiaramentemenoesigentediunmodellostazionario:le condizionichelodefinisconosonomenorestrittive.Siosservacheunmodello stazionario necessariamente intrinseco: infatti nel paragrafo3.3.1 stato dimostrato che se un modello stazionario esso ammette variogramma, che risulta esserelegato alla funzione covarianza dalla relazione(3.6). Si ribadisce che un modello intrinseco nonammetteobbligatoriamentefunzionecovarianza:siricordaanzicheilmodello intrinseco stato proprio introdotto per trattareFAprive di covarianza. Un modello (o una FA) intrinseco ma non stazionario chiamato strettamente intrinseco. Senzaentrare nel merito di cose che saranno esaminate pi avanti, importante tener presenteinquestafasechenellastimalineareilformalismodicalcoloperleFA intrinsecheidenticoaquellodelleFAstazionarie,apattodisostituirelafunzione covarianza con la funzione variogramma cambiata di segno. Iduemodellisoprapresentati,moltoricorrentinellapraticageostatistica,soprattuttoil primo,sonomodellinonstazionarimoltoparticolari,che,comesivisto,sonostati facilmentericondottiasituazionidistazionariet:ilprimorestringendolastazionarietsu areeristrette,ilsecondocercandolastazionarietdellincremento.Ancheperlealtre situazionidinonstazionariet,quellepiproprie,maanchessemoltofrequentemente ricorrentinellamodellizzazionegeostatistica,siseguiruncamminoanalogo:attraversoil ricorso a particolari forme ci si ricondurr sempre a unqualcosa di stazionario.Due sono i tipidimodellipropostinellageostatisticanonstazionaria:modelloconderivaemodello intrinsecodiordinek:sonoduefaccedellastessamedaglia(nonstazionaria);entrambi filtranodaltrattamentoprobabilisticotuttocichenoncaratteristicaintrinsecadel fenomeno; il secondo modello una generalizzazione del modello intrinseco.[ ] ) ( ) ( 0'0 h h h + + + x Z x Z E22 Senzaentrareneiparticolari,diamoquidiseguitounbrevecennosugliapprocciper completare il quadro sui modelli delle Funzioni Aleatorie. Modello con Deriva Questotipodimodellotraespuntodallosservazionedialcunifenomeninaturali: quelliche mostranounacomponentedivariabilit ascalaregionaleounavariabilit che ingloba un trend, vale a dire una variazione sistematica della variabile pi o meno accentuata,inunsensoonellaltro.Empiricamentequestatendenzapotrebbeessere descritta dallandamento della media (della variabile di interesse) su vicinaggi mobili allinterno dellarea di indagine. Il punto di vista del vicinaggio determina la scala alla qualebisognaosservareilfenomenoaifinidellostudiogeostatistico,perch, evidente,certefrequenzeappaionoononappaionoasecondadellascaladi osservazione. Se un fenomeno quindi manifesta con evidenza, alla corretta scala di osservazione, un progressivo aumento o diminuzione, vuol dire che bisogna scegliere una FA modello conmediavariabile:E Z x m x ( ) ( ) = ;questultimanellinguaggiogeostatistico chiamataderiva (drive nella terminologia francese e trend in quella inglese), termine gi introdotto per caratterizzare una FAI. Pertanto nel modello con deriva supposto che laFAoggetto di studioZ(x)possa essere considerata, in ogni punto x,come la sovrapposizione di due componenti: la derivam(x), che costituisce la componente deterministica; il residuo Y x Z x m x ( ) ( ) ( ) = , che costituisce la parte aleatoria. Si ha ovviamente che: Z x Y x m x ( ) ( ) ( ) = + . Questadicotomia,decomponendolavariabilittotaleinduecomponenti,una deterministicaelaltrastocastica,conuncriterioche,comestatodettosopra, influenzatodallascaladiosservazionedelfenomeno,sembraintrodurreunforte elemento di soggettivit. Inverit, spesso questa dicotomia risponde ad unaesigenza naturale,eciaccadequandoladerivaespressionediunacomponenteregionale, regolare, di una tendenza che ha un significato fisico rispetto al fenomeno studiato. Generalmente la deriva viene modellizzata con una funzione polinomiale: m x a f xlll( ) ( ) = , dove al sono i coefficienti del polinomioefl(x) monomi di grado l. Il residuo Y(x), essendo esso a media costante (perch nulla), viene modellizzatocon unaFAostazionariaointrinsecaasecondacheammettacovarianzaosolo variogramma.Inuncasoavremounmodelloconderivaeresiduostazionario, nellaltrounmodelloconderivaeresiduointrinseco.Alvariogrammaela covarianza del residuo, espressi nella forma consueta: 23 C h E Y x Y x ( ) ( ) ( ) = + h;[ ] { }22 ( ) ( ) ( ) h E Y x Y x = + h attribuito lappellativo disottogiacenti, perch la loro inferenza, quando possibile, non diretta. Modello Intrinseco di ordine k La definizione di questo modello il risultato della generalizzazione del procedimento seguitoperladefinizionedelmodellostrettamenteintrinseco:allorasioperato considerandoinognipuntoxinvecedellavariabiledirettaZ(x)laccrescimentoinx relativoadunadistanza orientatah:Z(x+h)-Z(x).Inquestomodellolanozionedi accrescimentogeneralizzataadunacombinazionelinearediordinek,cioaduna combinazione lineare: Z x Z x k i iin ( ) ( ) ==1(3.12) che, affinch possa essere stazionaria, deve filtrare dei polinomi di grado k, cio deve soddisfare alle seguenti condizioni: iliinf x ( )==10(l = 0, 1,...,k)(3.13) Nella(3.12){ } n x x x ,..., , 2 1 sonoleposizionidinpuntiS;{ } ) ( ),..., ( ), ( 2 1 n x Z x Z x ZsonoleVAadessiassociate;kuninsiemedinumerireali{ } n ,..., , 2 1 ,che costituiscono i coefficienti della combinazione lineare. Nella (3.13)f xli ( )sono i monomi di grado l delle coordinate degli n punti. Nel caso cheilcampoSsiabidimensionale,indicandocon{ } un u u x x x ,..., , 2 1 e{ } vn v v x x x ,..., , 2 1 le coordinate degli n punti, per un ordine per es uguale a 2, la (3.13) equivale ai seguenti tre gruppi di condizioni: I gruppo: {=ii 0 IIgruppo:==ivi iiui ixx00 IIIgruppo: ===ivi ui iivi iiui ix xxx00022 24 Per un ordine k = 1 le condizioni sono quelle del primo e del secondo gruppo, mentre per un ordine k = 0 le condizioni sono solo quelle del primo gruppo. Possiamooraenunciareleproprietdelmodello.UnaFAZ(x)sidiceessere intrinsecadiordinekselaFA:Z x Z x k i iin ( ) ( ) ==1stazionariadiordine2.Intal caso la combinazioneZ x k ( ) detta combinazione lineare autorizzata di ordine k. AquestopuntonondifficilericonoscerenellaccrescimentostazionarioZ(x+h)- Z(x)unacombinazionelineareautorizzatadiordine0.Infattiinquestocasoi coefficientideiterminidellacombinazionelinearesono1.e-1.erispettanola condizione del primo gruppo. 3.3.3Considerazioni sulla Scelta dei Modelli Dopo questa disamina sui modelli di FA che ricorrono nelle applicazioni dellaGeostatisticainevitabilmente si pone il problema della scelta del modello coninterrogativi del tipo: con qualecriterio,conqualidati,conqualitecniche,concheconseguenze.Atuttequeste domandeverrrispostospecificamentenelsuccessivoparagrafo3.4percicheconcerne unapartedeimodelli,enelCap.4perlarestanteparte,attesochetuttolosviluppodi questedispensecontribuisceinmanierageneraleachiarirequestoproblema.Inquesto punto ci limitiamo a qualche considerazione di principio.Innanzituttovachiaritoilrapportofenomeno/modello.Leproprietchedefinisconoun modello sono delle propriet matematiche e sono da attribuire unicamente allaFA. Non si possonoattribuiredelleproprietmatematicheaifenomeni.Conriferimentoaunadelle sceltepiricorrentinellapraticageostatistica,seadottareunmodellostazionariooun modellononstazionarioperlostudiodiunfenomeno,possiamoefficacementecitareP. Chauvet(AidemmoiredeGostatistiquelinaire,pag.89)...unavariabile regionalizzata(quindiunfenomeno)non,ins,nstazionaria,nnonstazionaria.Per essereprecisibisognerebbediretalevariabileregionalizzata,perundominiodatoeper unadatascaladilavoro,puragionevolmenteessere(ononessere)modellizzatadauna FunzioneAleatoriastazionaria.Esisottolineaancoraunavoltachelavverbio ragionevolmente,chepuscandalizzareglistatistici,potrebbeesserepresacomelapietra angolare delprocedimento del geostatistico. Cos nel caso preciso che ciinteressa, non c verarispostaallaquestionestazionarioononstazionario,mapiuttostounaassunzionedi responsabilit da parte del geostatistico, fatta con cognizione di causa, nel migliore accordo possibilecoidati,seguendosempreilprincipiodelleconomia,ecoscientechecomunque allafine ci sar sempre un rischio. Bisognaprecisarecheingeostatisticanonsihaalcunaavversionepregiudizialeperitest, masidevetenerpresentechequestitestnecessitanodidisporregidiunmodello interamente specificato. Anzi, proporre dei test di stazionariet esigerebbe, a livello teorico, una specificazione del modello probabilista moltopi completa di quanto non siarichiesto ulteriormentedallaGeostatisticaLineareediquantorealisticamentesipossasperaredi raggiungere. 25 Dal punto di vista pratico la scelta del modellononpresenta poi particolaridifficolt se si ha un pizzico di esperienza e si dispone di software geostatistici adeguati. Il pi delle volte il modello da adottare viene suggerito in maniera inequivocabiledalcomportamento dei dati rispetto a certe operazioni. E ci non casuale dato che i modelli proposti traggono spunto dalla realt. Quandopoisorgonodelledifficoltricordiamocheesistesempreuncriterioempiricoche aiutaafarescelteefficaci:quellodiscegliereilmodellosullabasedeirisultatidiuna validazione incrociata. 3.4 Analisi ed interpretazione dei variogrammi sperimentali ConriferimentoaimodellidiFAesaminatinelparagrafoprecedente,sihacheil modellostazionario,ilmodelloquasi-stazionarioedilmodellointrinsecopossono essere tutti e tre descritti nella stessa forma: tramite la funzione variogramma. In tutti e treicasiinfatti,perleproprietdelmodello,lafunzionevariogrammaesisteed invariante per traslazione, con una restrizione per il modello quasi-stazionario che limita questeproprietaldominiodistazionariet.Perquestimodellisiricordacheil variogramma ha la seguente forma: [ ] { }2) ( ) (21) ( x Z x Z E + = h h (3. 14)

Questa espressione si presta ad una stima diretta a partire dai valori misurati e ci rende piuttosto semplice l inferenza della funzione variogramma. Questoparagrafosardedicatoallastimadelvariogrammaedellasuainterpretazione nellambitodeimodellicitati.Perglialtrimodelli,chesonoquellitipicamentenon stazionari, la definizione ed il riconoscimento del modello richiedono procedure diverse che saranno descritte nel cap. 4, dedicato totalmente ai fenomeni non stazionari. Quandosiaffrontaunostudiogeostatistico,laprima fasedi esso,dopounanecessaria analisipreliminareconsistentenellaelaborazionedellestatisticheelementarie finalizzata aprendere conoscenza dei dati ed alla loro verifica, dedicata al calcolo ed alla interpretazione deivariogrammi sperimentali. Uno dei risultati dellinterpretazionelaidentificazionedelmodellodiFA:sestazionario,quasi-stazionario,intrinseco,o qualcosaaltrodinonstazionario.Spessolidentificazionedelmodello,comesar mostrato pi avanti, avviene in maniera molto chiara e inequivocabile. Con riferimento ai modelli di FA introdotti ed ai metodi che saranno descritti in queste dispensesiricordache,adeccezionedelcap.6dedicatoaltrattamentodeifenomeni nonstazionari,ilrestodeicapitolitratterlemetodologiepermodellistazionarie quasi-stazionari.Tuttoquantosvoltonellattualecap.3valeancheperimodelli intrinseci.

3.4.1 Calcolo dei variogrammi sperimentali 26 La stima della funzione variogramma viene effettuata sulla base dei dati provenienti dal campionamento del fenomeno oggetto di studio. Si consideri per esempio lafig. 3.13 in cuischematizzatouncampodilavoroedipuntidiprelievo,dispostiamaglia regolare, di campioni di suolo su cui stato misurato il contenuto in metalli pesanti, tra essi il Cadmio (Cd). Si vuole effettuare il calcolo del variogramma sperimentale.Sitrattadistimarelespressione(3.14),cheperFAstazionarie,quasi-stazionariee intrinseche,rappresentaappuntoilvariogramma.Ilsuostimatore,comeognialtro stimatoreconsideratoinquestedispense,vieneconvenzionalmentenotato contrassegnando con un asterisco lentit da stimare: [ ] { }2) ( ) (21) ( x Z h x Z E Stima h + = .(3. 15) Fig. 3.13 - Disposizione di un piano di campionatura a maglia regolare. Perle FA sopra menzionate, data la stazionariet dell incremento Z x h Z x ( ) ( ) + , in assenza di deriva( ) h dato dalla media aritmetica degli incrementi quadrati misurati a distanza h. Siano infatti r il lato della maglia ex xi i r,+ la posizione di due punti distanti re allineati secondo la direzione X, il variogramma sperimentale alla distanza r nella direzione X dato da: +== ( ) ( ) ( ) r z x z xi r iiNr21

doveNr il numero di coppie di punti aventi tra di loro distanza r e allineati secondo la direzioneX.Allastessamanierasipucalcolare,secondolastessadirezioneXil variogrammasperimentaleperh=2r,3r;analogamenteiltuttoripetibileperla direzioneY.Perladirezionea45possibilecalcolare( ) h perivaloridih: . 2 3 , 2 2 , 2 r r r . Noncosimmediatoilcalcolodeivariogrammisperimentaliquandolamaglia irregolare,comeperesempioloschemadicampionatureriportatoinfig.3.14a. Supponiamodivolercalcolareilvaloredelvariogrammaadunadistanzarlungola direzione(fig.3.14b).Ilcontributoalcalcolodelvariogrammasuddettoderivadatuttelecoppiedicampionichesipossonoindividuaredistantireallineatesecondola 27 direzione.Puaccaderechenonvisiaalcunacoppiacosdisposta.Eallora necessariointrodurreunatolleranzaangolaresulladirezioneedunatolleranzarsulla distanza; cos facendotutte le coppie di campioniaventi distanza compresa trar-r e r+re allineate secondo una direzioneconpresa tra - e+contribuiscono al calcolo del variogrammar ,. Dalpuntodivistaoperativoimmediatoverificare,consempliciconsiderazioni geometriche,selacoppiadicampioniindividuatadaipuntip1 ep2 dicoordinate rispettivamente(u1 ,v1 )e(u2 ,v2 )contribuiscealcalcolodelvariogrammaperla direzione e la distanzar r. Fig. 3.14 - Disposizione di un piano di campionatura a maglia irregolare. Infatti , indicando con dla distanza tra i due punti: d = sqrt ((u2 -u1)2+(v2 -v1)2 ),concon C1 = d / (u2 -u1) e C2 = d/(v2 -v1) i coseni direttori della direzione p1 - p2 e con D1 = cos() e D2 = sin() i coseni direttori della direzione,il coseno dellangolo , formato dalla congiungente i punti p1 , p2 e dalla direzione , dato da: cos( ) = C1D1 + C2D2 . Quindila coppia contribuir al calcolo del variogramma se: cos( ) cos( ) e r-r dr+r. Ivaloridelletolleranze erdaadottaredipendonoovviamentedallaquantitdi campioni di cui si dispone: pi essi sono di numero elevato e pi piccole possono essere le tolleranze, consentendo con ci maggiore precisione nel calcolo dei variogrammi. E comunquediusoabbastanzafrequentecalcolareivariogrammisperimentaliper distanzemultiplediunadistanzadibase,chiamatapasso,conunvaloredirpari proprio a metdel passo e secondo quattro direzioni,a novanta gradi tra di loro, con unvaloredidi22.50.Questoconsentediutilizzaretuttelecoppieindividuate dallinsieme dei campioni disponibili. Inconclusione,siapartendodaunamagliaregolarechedaunamaglianonregolare, utilizzandoletecnichedicalcolosopraillustrate,possibilestimareperdiverse distanze h il variogramma sperimentale(h), i cui valori possono essere graficati come infig.3.15.Landamentodi(h)infunzionedihesprimequasisempresituazioni facilmentericonoscibili,cheriguardanosiailmodellodiFAsialostiledella variabilitspazialedelfenomenoconsiderato.Esamineremodiseguitoquestiaspetti 28 facendoriferimentoacasidistudioefornendodivoltainvoltaipresuppostiteorici dellinterpretazione. Fig. 3.15 - Rappresentazione di un variogramma sperimentale. 3.4.2Identificazione del modello di FA Quandoilvariogrammasperimentale,siapurcondellefluttuazioni,siattestasudiun valore che poi rimane costante, e tale valore pressappoco coincidente con la varianzaempirica, allora questo un segno che il fenomeno in esame pu essere descritto da un modello stazionario (di ordine 2). Si ricorda che per tale modello il momento primo ed ilmomentosecondosonoinvariantipertraslazioneechelafunzionevariogramma legata alla funzione covarianza dalla relazione seguente: ( ) ( ) ( ) h C C h = 0 C(0) il valore di soglia che corrisponde alla varianza della FAZ(x). Nelletrefigureseguentiriportiamoaltrettantivariogrammisperimentali,presidalla letteratura, in cui appare molto evidente lesistenza di un valore di soglia che rimane poi costante. In ogni figura accanto al variogramma sperimentale tracciato il variogramma modello,ciolafunzioneanaliticaaggiustatasuipuntisperimentali;laggiustamento del variogramma sar trattato nel paragrafo 3.5. Lafig.3.16mostrailvariogrammasecondo ladirezioneverticale, costruitosuidatidi 40 perforazioni, della variabile saturazione in oliodella formazione sabbiosa canadese Athabasca.Ilvariogrammapresentadelleoscillazioniattornoadunvalorestimato essereattornoa19,raggiuntoadunadistanzadi36m.Nellafiguraperalcunipunti sperimentali indicato il numero di coppie con cui il variogramma stato calcolato. 29

Fig.3.16-Variogrammasperimentaledellasaturazioneinoliodiungiacimento petrolifero. (figura tratta da Mining Geostatistics di Journel & Huijsbregts, pag 237). Lafig.3.17siriferiscealvariogrammasperimentaledelcontenutoinCudel giacimento cileno di Los Bronces costruito sulla base di circa 4000 campioni. Il valore disogliadi0.73statoconsideratoessereraggiuntoasintoticamente;standoalla definizione, si direbbe che il variogramma ha un range infinito. La fig. 3.18 rappresenta il variogramma della variabile conducibilit elettrica, costruito suidatitrasformati(trasformazionegaussiana),misurataperilcontrollodellasalinit su Fig. 3.17 - Variogramma sperimentale Fig. 3.18 - Variogramma della conducibilit elettricadella variabile Cu in un giacimento delca in un suolo della valle del Giordano in Israele. Cile (da Mining Geostatistics di Jour-(da Disjunctive Kriging in Agriculture, di R. Web- nel& Huijsbregts, pag.240) ster and Oliver, M.Armstrong(ed.), Geostatistics, vol. I) campioni di suolo della regione di Bet Shean nella valle del Giordano in Israele. Come nel caso precedente il valore di soglia 1 raggiunto asintoticamente. 30 Lesituazionisoprariportatesonoinequivocabili,essericorronoabbastanza frequentementeneltrattamentodeidatispaziali:ladozionediunmodellostazionario appare quanto mai appropriata. Unaltra situazione, anch essafrequente nella pratica delle applicazioni, quella in cui il variogramma sperimentale raggiunge un valore di soglia che si mantiene costante per un breve tratto e poisi impenna crescendo indefinitamente. Questo comportamento lo sipuosservarenellafig.3.19,cherappresentailvariogrammaverticalediuna mineralizzazionediCu,incuiilcontenutodiCudiminuiscedebolmentee sistematicamenteconlaprofondit.Landamentodiunsiffattovariogramma sperimentaleindica inequivocabilmente, sulla base di quanto detto nel punto 3.3.2, un comportamento della VR modellizzabile con una FA quasi-stazionaria. Il valore di h al qualeilvariogrammasperimentalecominciaadimpennarsidi100ft,ecorrisponde alladistanzaaldisottodellaqualeiltrenddivariazionedelcontenutoinCu trascurabile. Operando al di sotto dei 100 ft si ha il diritto di modellizzare la variabile di studio con una FA stazionaria, il cui variogramma rappresentato appunto daltratto di curva al di sotto dei 100 ft. E importante notare che in questi casi il valore di soglia del variogrammanoncorrisponde,alcontrariodiquantoaccadenelcasostazionario,alla varianza empirica dei campioni, in quanto questa, essendo calcolata su tutti i campioni,ingloba anche la variabilitdovuta alla variazione sistematica. Fig. 3.19 - Variogramma sperimentale indicante una situazione di quasi- stazionariet(fig.trattadatrattadaMiningGeostatisticsdiJournel&Huijsbregts, pag 44). Facendoancorariferimentoalleconsiderazionisullaquasi-stazionarietdelgicitato paragrafo 3.3.2, si ha che, se la variazione sistematica della media non pi debole ma accentuata, la somma delle due componenti, il variogramma e la parabola, produce una curvachesiimpennarapidamentenonevidenziandoalcundominiodistazionariet, come risulta dalla fig. 3.20: ci si trova di fronte ad una situazione non stazionaria. 31 Essendoifenomeninaturalistrutturatiespessoregolatidafattoricheagisconosu direzioni preferenziali, pu accadere che un fenomeno sia stazionario in una direzione e non stazionario in unaltra direzione. Si osservi, ad esempio, la fig. 3.21. In essa sono Fig. 3.20 - andamento del variogramma sperimentale in presenza di un trend accentuato riportatiivariogrammisperimentalidelgeopotenziale1a500mbar,unoindirezione EW(longitudine),laltroindirezioneNS(latitudine).IlvariogrammaEWpresentaun valoredisogliaraggiuntoadunadistanzadicirca3000Km,denunciandouna situazionedistazionarietomegliodiquasi-stazionariet.IlvariogrammaNSmostra invece un marcato andamento parabolico, che, per quanto detto sopra, il segnale della presenza di una deriva, cio di una sensibile variazione sistematica del geopotenziale. Fig.3.21-variogrammidelgeopotenziale(daMiningGeostatisticsdiJournel&Huijsbregts, pag. 242). 1Il geopotenziale una grandezza usata in meteorologia e corrisponde allaltezza H(x) in un punto xdi una determinata isobara superficiale. h hg*(h)m2(h)g(h)32 Aconfermadiquestainterpretazionesiosservinonellafiguraseguentegliandamenti misurati del geopotenziale lungo le due direzioni precedenti. Mentre landamento nella direzione EW (fig. 3.22b) mostra delle fluttuazioni attorno ad una Fig. 3.22 - Andamento del geopotenziale nelle direzioni N-S,E-W (da Mining Geostatistics di pag. 242- 243). mediapressocchcostante,landamentonelladirezioneNS(fig.3.21a)mostraun progressivo aumento del geopotenziale dal polo allequatore. Diamo ancora un altro esempio di come passando da una direzione allaltra si passa da una situazione stazionaria ad una non stazionaria. Nella fig.3.23 raffigurata unarea di100milaettarilungoilfiumeBatanghary(ovestdiSumatra).Lareastata campionatamedianteilprelievodicirca150campioni,sucuisonostatemisuratele caratteristiche del suolo, tra cui la tessitura, che, in termine di scienza dei suoli, consiste nellepercentualidisabbia,limo,argilla.Latessituracomenotolegataalla morfologia dellarea. Sui dati di campionatura stato condotto uno studio geostatistico finalizzato allo studio dellavariabilitdelsuolo.Nellafig.3.24siriportanoivariogrammidelcontenutoin sabbiacalcolatisuquattrodirezioni.Comesipuosservareilvariogrammalungola direzione SE-NW (che pressappoco corrisponde a quella dellasse del fiume) raggiunge un valore di soglia di circa 150 ad una distanza di 15-20 Km. Nella direzione ortogonale allaprecedenteNE-SWilvariogrammamostrainveceuncomportamentoparabolico, cheilsegnodellapresenzadiuntrendnellavariabile.Nelledirezioniintermediei variogrammihannouncomportamentointermedio,anchesenonsimmetrico.In particolaresinotacheladirezioneE-Wpresentaunasituazionediquasi-stazionariet condominiodistazionarietdicirca5Km,somigliandounpo'alladirzioneSE-NW, mentreilvariogrammanelladirezioneN-SsomigliapiaquellodelladirezioneNE-SW. Ci si spiega molto semplicemente: lasse del fiume non coincide esattamente con ladirezioneNW-SEequindiledirezioniN-S,E-Wnonsonosimmetricherispetto allasse del fiume. Accade che lasse del fiume forma con ladirezione E-W un angolo minore di quello formato con la direzione N-S. 33

Fig. 3.23 - Area di Sitiung (Est Sumatra). Principali unit geomorfiche e localizzazione dei campioni (da soilvariabilityofsoilproperties,diG.Ueharaetal.,Proceedingsoftheworkshoponsoilspatial variability of the ISSS and the SSSA, Las Vegas 1984). Idueesempiprecedentinonsonodeicasiisolati;sonomoltofrequentiifenomeniin cuiunavariabiledistudiomanifestaunatendenzasistematicaadaumentareoa diminuire, e ci quasi sempre avviene secondo una determinata direzione. Il modello di FAdaadottareovviamenteunmodellocomplessivononstazionario;comeecon quale approccio sar illustrato nel par. 4. Fig. 3.24 - Variogrammidella percentuale disabbia calcolati su quattro direzionidel piano (elaborati da soilvariabilityofsoilproperties,diG.Ueharaetal.,Proceedingsoftheworkshoponsoilspatial variability of the ISSS and the SSSA, Las Vegas 1984). 34 Nonnecessariamentequandoilvariogrammasperimentalenonraggiungeunvaloredi soglia,essodeveavereuncomportamentoparabolico.Efrequenteilcasoincui landamento lineare, come il variogramma mostrato nella fig. 3.25b.Esso si riferisce al variogramma dei mm dacqua misurati dopo un evento nel bacino di Kadjemeur nel Tchad(AfricaCentrale).Lasottostantefigura3.25amostralalocalizzazionedei pluviometri.Unvariogrammacomequellodifigura,nonavendounlimitesuperiore, indicachiaramentelanonesistenzadellafunzionecovarianza,ma,mancando landamentoparabolico,indicaanchechelamediadellavariabilenonhauntrend, senzaperesserenecessariamentecostantenelcampo.Ilmodellocheinmaniera specifica interpreta questa situazione quello strettamente intrinseco, che, si ricorda, un modello di FA in cui gli incrementi a distanza h sono stazionari. Fig. 3.25- Bacinodi Kadjemeur:localizzazionedeipluviomatri evariogrammasperimentaledeimmdi pioggia dopo un evento (da Mining Geostatistics di Journel & Huijsbregts, pag. 19). Per rendersi conto di ci riprendiamo landamento della FAI mostrata nella figura 3.11. Ilsuovariogramma(fig3.26),calcolatoper50passisuiseimiladati,lineareenon raggiunge un valore di soglia, neanche se calcolato per 5000 passi. In questa situazione, come ricordato sopra,non esiste la funzione covarianza in quanto questa, per una FAI strettamenteintrinseca,noninvariantepertraslazionemadipendedallaposizione rispetto al campo.Nella figura 3.27 riportata la covarianza (centrata) sperimentale calcolata per 50 passi sullineraarea.Maselastessafunzionevienecalcolatainzonediversesiottengono risultati diversi, come mostra la fig 3.28 dove sono riportate le covarianze sperimentali calcolate,per50passi,suiprimi2000valoridelcampo,suivalorida2001a4000e sugliultimi2000valori.Lecovarianzesonotutteetrediversetradiloroedaquella calcolatasututtoilcampo,riportataanchenellostessografico.Noncosperi variogrammisperimentaliche,calcolatisuglistessitratti,hannoandamentomolto simile tra loroe rispetto al variogramma globale (fig3.29).

35 Fig. 3.26 - Variogramma sperimentale delle progressive calcolato su tutti i valori della simulazione Fig. 3.27 - Covarianza sperimentale delle progressive calcolata su tutti i valori della simulazione. 010203040500 10 20 30 40 50TempoVariogramma6606656706756806856900 10 20 30 40 50TempoCovarianza 36 Fig. 3.28 - Covarianze sperimentali calcolate su tutto il campo e sui tratti 1-2000, 2001-4000 e 4001-6000 della simulazione Fig. 3.29 - Variogrammi sperimentali calcolati su tutto il campo e sui tratti 1-2000, 2001-4000 e 4001-6000 della simulazione 1503505507500 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50TempoCovarianzaZona 1-2000Zona 2001-4000Zona 4001-6000Totale010203040500 10 20 30 40 50TempoVariogrammaZona 1-2000Zona 2001-4000Zona 4001-6000Totale 37 Un altro tipo di variogramma espressione dello stesso modello il variogramma adandamento logaritmico; anchesso non limitato superiormente ed lontano da un andamento parabolico. 3.4.3Comportamento nellorigine del variogramma La continuit e la regolarit spaziale della VR sono responsabili del comportamento del variogrammanellorigine(cioquandoh 0).Nellesaminarequestapropriet facciamo riferimento a variogrammi sperimentaliriconducibili a FA stazionarie, quasi- stazionarieestrettamenteintrinseche.Sipossonoindividuaretreformedi comportamento:parabolico1,lineare,discontinuo.Nellafig.3.30sonoriportatitre coppie di grafici: a, b, c; ogni coppia rappresenta nel grafico di sinistra landamento di unavariabilev(x)lungounaprogressivaxenelgraficodidestrailrelativo variogramma. Fig.3.30-Comportamentodelvariogrammanellorigine:discontinuo(a);lineare(b);parabolico(c)(da An introduction to Applied Geostatistics di E.H. Isaaks & R.M.Srivasatava). 1Danonconfondereilcomportamentoparabolico(olineare)nelloriginedelvariogrammaconil comportamento parabolico (o lineare) del variogramma nel suo complesso. Un variogramma pu avere un comportamento lineare o paraboliconellorigine e nello stesso tempo ammettere un valore di soglia finito . 38 Tutti e tre i variogrammi raggiungono un valore di soglia che si mantiene poi costante, ma il comportamento allorigine diverso. In particolare esaminando i grafici dal basso verso lalto: ilvariogramma(c)hauncomportamentoparaboliconelloriginecheinterpreta lelevataregolaritecontinuitspazialedellavariabilevdisinistra.Lafunzione variogramma due volte derivabile nellorigine ed anche v(x) derivabile; ilvariogramma(b)hanellorigineuncomportamentolineare,manonpi derivabile. La variabile v(x) continua, ma anchessa non derivabile; ilvariogramma(a)presentaunadiscontinuitnellorigine: ( ) h nontendeazero quandohtendeazero,purdovendosempreessereperdefinizione ( ) 0 0 = .Anche landamento di v(x) non continuo, come mostra il corrispondente grafico di sinistra: lavariabilittraduevaloriv(x)ev(x+h)presiinduepuntimoltovicinipuessere piuttostoelevata e questo tanto pi quanto pi elevata la discontinuit nellorigine. Questa variabilit locale pu essere paragonata al concetto fisico di rumore di fondo. Man mano che la distanza h aumenta, la variabilit spesso diventa pi continua e ci siriflettenellacontinuitdi ( ) h perhmaggioredizero.Questadiscontinuitdel variogrammanelloriginevienechiamataeffettopepita(nuggeteffectnella terminologiaingleseeeffetdeppitenellaterminologiafrancese).Nelpunto successivo verr data una spiegazione a questo comportamento. Sempreconriferimentoallafig.3.30siosservicheitregraficiv(x),campionatiin maniera regolare ad un certo intervallo (sette punti campionati lungo il tratto dellasse x mostrato), danno luogo a valori uguali (punti pimarcati del grafico), pur mostrandoi treandamentiunavariabilitsostanzialmentediversa.Questofattometteinluceun fatto molto importante:per evidenziare il comportamento allorigine del variogramma necessariocampionareilfenomenoapiccolascala.Cinellapraticasirealizza intensificando localmente la campionatura in alcune zone, per es. secondo lo schema di fig. 3.31, dove su una campionatura a maglia regolare quadrata sono inpostate due croci dicampionatura pi fitta. Fig. 3.31 - Schema di una campionatura per il riconoscimento della piccola scala. 39 Lavariabilitesaminataneigraficidellafig.3.30siriferisceadunaricostruzione numerica (simulazione) realizzata per una rappresentazione didattica del comportamento allorigine del variogramma. Esaminiamo ora lo stesso problema su variabili realmente misurate:sitrattadiunostudiorealizzatodaJ.P.Delhomme(1976)sudati piezometrici della zona di Korhogo (Costa dAvorio) riportato su Mining Geostatics di A.JornaileCh.Huijbegts.Idatisiriferisconoallaprofonditdellafaldamisurata giornalmente su un certo numero di piezometri distanti tra di loro circa 500 m (vedi fig. 3.32). Per ogni piezometro era disponibile il profilo delle altezze piezometriche giornaliere per la durata della stagione delle piogge (da Agosto a Novembre). Fig.3.32-SchemadellindaginesullepiezometricheaKorhogo(daMiningGeostaticsdiA.Journele Ch. Huijbegts). Lafig.3.33mostraquattrodiquestiprofilirelativiaipiezometriN3,4,33,18, localizzati a profondit crescente della falda. La stessa figura nella parte bassa mostra i quattrovariogrammicorrispondenti.Premessochelaquantitdacquatrattenutadal sottosuolo proporzionale allo spessore di terreno attraverso cui lacqua filtra prima di raggiungere la falda, sui profili si possono fare le seguenti osservazioni. Piezometro N 3: la falda molto prossima alla superficie ed il livello reagisce ad ogni precipitazione.Ilprofilomoltoerraticoeddirettamentelegatoallaprecipitazione giornaliera. Il variogramma lineare con la presenza di un effetto pepita. PiezometroN4:Lafaldaunpopiprofondaeleffettodellassorbimentodel sottosuolo comincia a farsi sentire. Il variogramma mostra un effetto pepita pi piccolo e si intravede un valore di soglia. PiezometroN33:Lafaldaancorapiprofondaeleffettodiregionalizzazionedel terrenototale.Rimangonoancoraalcunediscontinuitdelprofilodovuteabruschi riempimentidellafalda.Ilvariogrammapresentaancoraunpiccoloeffettopepita,che 40 rappresentairiempimentidiscontinuieseguitaconunandamentoparabolico caratteristico di unelevata continuit della variabile. PiezometroN.18:Lafaldaancorapiprofondaeglieffettideiriempimenti discontinuisonoscomparsi.Equindiscomparsoleffettopepitaedilvariogramma presenta un comportamento parabolico perfetto. Sifanotarechenellafig.3.33mostratosoloilcomportamentoalloriginedel variogramma e non il suo andamento globale. Ci si deduce dal fatto che i variogrammi sono tracciati per distanze fino a 15 giorni, quando il profilo si sviluppa per 180 giorni. Fig.3.33-Profilidellaltezzapiezometricaevariogrammicorrispondenti(daMiningGeostaticsdiA. Journel e Ch. Huijbegts). 41 Unaltroesempiodicorrispondenzatraandamentodelprofiloecomportamentodel variogramma mostrato nella fig. 3.34. Essa si riferisce a due profili di tensione acqua-suolo misurati uno ad una profondit di 30 cm e due giorni dellevento irriguo, laltro a profondit di 120 cm e dopo 14 giorni dellevento irriguo. I due profili differiscono per la presenza in quello (B) di alcune marcate discontinuit, che sono responsabili del forte effettopepitachecomparenelvariogramma(B).Ilrestodelvariogrammahaun andamento analogo, come analoghi sono i profili,non considerando le discontinuit. Fig.3.34- Profilidi tensioneacqua-suolo evariogrammi corrispondenti(daspatiallvariability ofsoil-waterpropertiesinirrigatedsoils,diG.Ueharaetal.,Proceedingsoftheworkshoponsoilspatial variability of the ISSS and the SSSA, Las Vegas 1984). 3.4.4Andamento e modelli del variogramma elementare Il comportamento nellorigine di un variogramma, cos come stato descritto nel punto precedente,puessere:parabolico,lineare,discontinuoeconlaumentaredihil variogramma aumenta di valore ed evolve sostanzialmente secondo due forme: raggiunge un valore di soglia; aumenta indefinitamente.Nel primo caso la FA rappresentata dal variogramma stazionaria, o quasi- stazionaria, mentre nel secondo caso la FA intrinseca. Ilvaloredisogliaeladistanzaallaqualeessoraggiuntovengonochiamatinella letteraturageostatisticarispettivamente:palireportesecondolaterminologia 42 franceseesillerangesecondolaterminologiainglese(v.fig.3.35);ilrelativo variogramma perci detto con palir o con sill. Senza palir o senza sill detto invece ilvariogrammadiunaFAintrinseca.Nelseguitodiquestedispensenoifaremo riferimento alla terminologia inglese. Fig. 3.35 - Variogramma con valore di soglia esignificatodeiparametrisill/palire range/porte. Sia che si tratti di un variogramma con sill che senza sill il suo andamento in funzione della distanza pu seguire diversi stili in dipendenza deltipo di variabilit spaziale del fenomenodistudio.Piuttostochedescriveredirettamenteilcomportamentodei variogrammisperimentali,cosachesarebbeoltrechedifficilepocopraticabile,lo faremo attraverso lesame delle funzioni analitiche , che, comunemente vengono assunte perdescrivereilcomportamentodeivariogrammisperimentali.Eperprima necessariorichiamareedintegrareleproprietmatematichedellafunzione variogramma: una funzione che assume sempre valori positivi:

( ) h 0 per h=0 si ha sempre: ( ) 0 0 = il variogramma una funzione pari: ( ) ( ) h h = quando la FA stazionaria e quindi esiste la funzione di covarianza C(h): ( ) ( ) ( ) h C C h = 0 (3.16) dimostrato che il variogramma cresce allinfinito meno rapidamente cheh2, cio: lim( ) hh20 = perh 0

h g (h) Range

Sill

43 lafunzionevariogrammadeveesseretaledadarluogoacombinazionilineari autorizzate. Rendiamo esplicita questa condizione: LecombinazionilinearigiocanounruolomoltoimportanteinGeostatistica:essepossono rappresentareunostimatore,unavarianzaoaltreentit,epertantonecessariocheessesiano autorizzate,cioammettanounavarianzafinita.SiaZ(x)unaFAstazionaria,dimediam, covarianza C(h) e variogramma ( ) he sia Yuna combinazione lineare finitadel tipo: Y iZ xiin== ( )1 (3.17) con ireali qualsiasi. La varianza di Ynon pu essere negativa: Var Y ( ) 0. Esplicitamente essa data da: { } =i jxj xi jC i Y Var 0 ) ( . (3.18) Infatti, essendo: { } { } { } = = =i ii m Zi iEiiZi E Y E ; { } { } =i jxj Z xi Z jE i Y E ) ( ) (2 ; { } { } { } { } Y E Y E Y E Y Var =2, e tenendo conto di: { }2) ( ) ( ) ( m xj Z xi Z E xj xi C = , siottienela(3.18).LafunzioneC(h)deveesseretaledaassicurarechelespressione(3.18)sia nonnegativa.Quindi,perdefinizioneC(h),deveesseresemi-definitapositiva.Tenendoconto della relazione (3.16) che lega covarianza e variogramma,la precedente pu scriversi in funzione del variogramma: { } =ji jxj xi j i jii C Y Var ) ( ) 0 ( (3.19) Se Z(x) non ammette covarianza masolo variogramma, cio nel caso che la FA sia intrinseca, la varianza di Y, in base allaespressione precedenteesiste solo se ii= 0 (3.20) ed data da: { } =i jY Var j i j i x x ) ( 44 Essaassumevaloripositivionullisoloselafunzione- ( ) h semidefinitapositivaconla condizione(3.20).Conriferimentoaquestultimasidiceancheche- ( ) h deveessereuna funzione semidefinita positivacondizionale. Tralefunzionimatematichechehannoleproprietsopraenunciatelaletteratura geostatisticaneproponealcunechesinquisisonorivelateadatteadescrivere landamentodeivariogrammisperimentali.Diamodiseguitoleloroespressioni analitiche,classificandolitraquelleconsillequellesenzasill.Questefunzionidi variogramma sono anche chiamate modelli di variogramma o schemi di variogramma. 3.4.4.1 Variogrammicon sill 1. Modello pepitico ( ) ( ) h c r r h = = 1 0 (r)unafunzionechevale1.quandor=0e0.perognialtrovaloredir.Il parametro c il sill del variogramma, che caratterizzato dallavere un range nullo. Questo modello esprime una discontinuit nellorigine. 2. Modello sferico [ ] = = =a h r ca h r a r a r ch3 35 . 0 5 . 1) ( a e c sono i parametri del modello e rappresentano rispettivamente il range ed il sill. Il comportamento nellorigine lineare con una pendenza pari a1.5 c/a. 3. Modello esponenziale ( ) . exp( ) h c r a r h = = 1 0 Ilparametrocrappresentailsill,cheperquestomodelloraggiuntoasintoticamente.Ilmodellopertantoarangeinfinito.Comunque,peravereuna misuradelladistanzaentrocuisimanifestalacorrelazioneedancheperconfronto con altri modelli stato introdotto un range pratico a, definito come la distanza alla qualevieneraggiuntoil95%delsill.Essorisultaessere:a=3a.Ilcomportamento nellorigine lineare con una pendenza pari a c/a. 45 4. Modello gaussiano ( ) . exp( ) h c r a r h = = 1 02 2 Ilparametrocrappresentailsill,cheancheperquestomodelloraggiuntoasintoticamente conrange infinito. Anche per il modello gaussiano stato introdotto unrangepraticoaaventelostessosignificatodiquelloesponenziale,ciola distanzaallaqualevieneraggiuntoil95%delsill.Essorisultaessere:a a ' = 3.Il comportamento nellorigine parabolico, quindi con tangente orizzontale. 5. Modello a effetto buco [ ] 0 ) 2 cos( ) exp( 1 ) ( = = h r fr a r c h Questo modello ha landamento di un esponenziale, ma con una forma oscillatoria di periodo1/f.Iparametriaechannolostessosignificatodelmodelloesponenziale. Affinchquestafunzioneabbialecaratteristichematematichesopraenunciate necessariocheinR2feasoddisfinoilseguentevincolo:1 2 f a .Questa restrizione non richiesta in R1. 3.4.4.2 Variogrammisenzasill Questimodelli,siricorda,corrispondonoaFAchehannounaillimitatacapacitdi dispersione e quindi non ammettono funzione covarianza. I modelli pi noti sono quelli appartenenti alla classe seguente: 1. Modelli potenza ( ) ; h r r h e = = > < < 0 0 2 Quello pi correntemente usato nella pratica il modello lineare: ( ) h r r h = = > 0, dove la pendenza nellorigine. Man mano che nel modello potenzaaumenta da 1 a 2,il comportamento di ( ) hdiventasemprepiregolarenellorigine,rappresentandounaFAsemprepi regolare.Inquestasituazioneperspessononsiriesceadistingueresesitrattadi unaFAstazionariacheammetteunvariogrammapotenzaconvalorediprossimo a 2, o se si tratta di una FA con deriva. La scelta lasciata alla sensibilit dellutente. 46 3.4.4.3Altri tipidivariogramma Viunmodellodivariogrammachegiocaunimportanteruolonellostudio geostatistico dei fenomeni periodici. Questo modello si chiama appunto periodico, non rientra nelle due categorie precedenti e viene presentato a parte. 1. Modello Periodico ( ) cos( ) ; ; ; h T r r h = = 1 2 0 0 Eunvariogrammachenonsistabilizzasuunvaloredisoglia,nemmeno allinfinito,quindinonammettesillelacorrelazionespazialenonsiestinguemai. Nellostessotempononcresceindefinitamente,malimitatoedillimitesuperiore vale.Tuttaviapossibileassociarealvariogrammaunavarianzaparia.Il parametro T il periodo del variogramma. Perognunodeimodellidivariogrammapresentati,neigraficiseguentivienemostrato landamentodellafunzioneanaliticaelandamentodiunavariabilespazialechepu esseredescrittadaunaFAaventecomefunzionestrutturalequelvariogramma.Nelle figure, le funzionivariogramma sono riportate a destra e le variabili spaziali a sinistra. 47 Fig. 3.36 Variogrammi modello 48 Fig. 3.37 Variogrammi modello 49 3.4.5Variogrammi a strutture annidate Efrequentenellapraticadelleapplicazioniriscontrarenellandamentodiun variogrammasperimentalevariazionidipendenza.Perrendersicontosipossono osservareivariogrammidifig.3.38.Essirappresentano,dallaltoversoilbasso,i variogrammi del contenuto in Ca, Cl e NO3 disciolti in acqua misurati in 68 sorgenti del bacinodiDyle(Belgio),intreannidiversi:1975,1981,1983.Senzaoraentrarenel meritodellinterpretazione(lofaremounpopiavanti)ci limitiamoad osservareche tuttiivariogrammipresentanouncambiamentodipendenza,per alcunipiaccentuato peraltrimeno,chesiverificasistematicamenteattornoalchilometro.Unaltro cambiamento dipendenza ha luogo, per alcuni variogrammi pi visibile per altri meno visibile, attorno agliottochilometri,quandovieneraggiuntoilvaloredisoglia.Inoltre alcuni dei variogrammi mostrano un debolissimo effetto pepita. Questo comportamento, che riconducibile alla particolare fenomenologia, ha una spiegazione molto semplice. Fig.3.38-VariogrammisperimentalideicontenutiinCa,CleNO3misuratiintrediversiperiodi(da study of spatial and temporal variations of hydrogeochemical variables using factorial kriging analysis diP. Goovaerts & Ph. Sonnet, Proc. 4th Int. Geostat. Congress, Troia, 1992). 50 Ilcambiamentodipendenzaunsegnocheilvariogrammasperimentalecostituito dallasovrapposizionedi pivariogrammielementari, aventidiversivaloridirange.In particolareicambiamentidipendenzasiverificanoincorrispondenzadeirangesdei variogrammielementari.Ciappareevidenteosservandoglischemidifig.3.39.L dove i variogrammi di fig. 3.38 non presentano effetto pepita essi possono quindi essere considerati come la somma di due variogrammi, uno con range 1 Km e laltro con range 8Km.Perivariogrammichepresentanoeffettopepitaaiduevariogrammielementari precedentibisognaaggiungereunaltrovariogrammaelementare:uneffettodipepita puro. Eevidentecheivariogrammielementariperchpossanoesserericonosciutidai cambiamentidipendenzadevonoesseredeivariogrammicheammettonosill,perch solo essi ammettono range. I variogrammi elementari che compongono variogrammi di questo tipovengono anche chiamatistrutture spaziali, ognuna rappresentante di una scala spaziale paragonabile alproprio range. Poich le scale spaziali sono progressive, queste strutture sono chiamate annidate(nestednellaterminologiaingleseegigognesinquellafrancese)adindicare che esse sono inscatolate luna dentro laltra. Anche i variogrammi risultanti da strutture annidate vengono chiamati annidati. E chiaro che nel corso di una indagine le strutture che possono essere evidenziate sono quelle che si esprimono allescale del lavoro, che vannodadistanzepariallatodellamagliadicampionaturaadistanzeparialle dimensionieforseanchepideldominiodilavoro:lestruttureadistanzepielevate non si colgono, mentre le strutture a distanze pi piccole si confondono. Fig. 3.39- Sovrapposizione di variogrammi elementari. Ora,poichunvariogrammaelementarelespressionediunfenomenoparticolarea cuidaattribuirsilesistenzaelastrutturazionespazialediunavariabile,un variogrammaannidatopuessereconsideratocomelespressionedipifenomeni hhh hg1(h)g2(h)g1(h)+g2(h)g1(h)+g2(h)+g3(h)g1(h)g2(h)g3(h) 51 sovrapposti,anzi,dimostreremoqudiseguito,cheunavariabilechepresentaun variogrammaannidatopuessereconsideratacomelasommadipivariabili indipendenti. Sia Z(x) unaFA stazionariache ammette variogramma ( ) h . Supponiamo che essa siacompostadallasommadiSvariabiliindipendenti,ognunaZ x u( ) stazionariadi variogrammau h ( ) .Si ha: Z x Z x uuS( ) ( ) ==01(3.21) eanche: Z x h Z x h uuS( ) ( ) + = +=01. Il variogramma di Z(x) data pertanto dalla seguente espressione: [ ] { } ( ) [ ] [ ] { } === + + =)`((

+ = + =1010 '' '2102) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (SuSuu u u uSuu u x Z h x Z x Z h x Z E x Z h x Z E x Z h x Z E h Separando nella precedente i termini rettangolari si ha che: [ ] { } [ ] [ ] { } + + + + =u uu u u u u u x Z h x Z x Z h x Z E x Z h x Z E h'' '2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Oraessendo le variabili Zu(x) spazialmente indipendenti i termini rettangoli sono nulli e quindi si ottiene: [ ] { } === + =10102) ( ) ( ) ( ) (SuuSuu u h x Z h x Z E h , cioilvariogrammadiZ(x)costituitodallasommadeivariogrammidellevariabili Zu(x).QuesteultimevariabilivengonoanchechiamatecomponentispazialidiZ(x), perch ognuna si esprime aduna determinata scala spaziale. Il sill di ogni componente spazialerappresentalaquotapartedelladispersionedellavariabilechecompetea quella scala. Allalucediquestofattopossiamodareuninterpretazionedicichestatochiamato effettopepita.Supponiamocheunavariabile,ilcuivariogrammamostrauneffetto pepita, abbia un certo numero di strutturespaziali a scale inferiori del lato della maglia, oinferioriallapipiccoladistanzatraicampioni,echeognunadiquestestrutture spazialisiarappresentatadaunvariogrammaconsill.Sommandotuttiquesti variogrammi e rappresentando la somma alla scala dei variogrammi sperimentali, si ha che essa visibile come una discontinuit nellorigine di entit pari alla somma dei sills. Quindiquandosiriscontrainunvariogrammasperimentaleconunadiscontinuit nellorigine, questa pu essere dovuta alla variabilit espressa da un numero imprecisato 52 di strutture spaziali presenti a scale pi piccoli di quelle di lavoro. Queste strutture sonoconfuse in un unico rumore di fondo. Unaltracausacheconcorreallaformazionediuneffettopepitasonoglierroridi misura.Lerroredimisurapuinfatti,anchesenonhacaratterespaziale,essere considerato come una componente della variabile bruta: una delle componenti Z x u' ( )diZ(x) secondo lespressione (3.21). Poich Z x u' ( ) indipendente da ogni altra variabile, il variogramma di Z(x)comprende il variogramma degli errori di misura, che, essendo indipendentispazialmente,presentanocomevariogrammauneffettodipepitapuroa tutte le scale. Siamo ora in grado di dare una interpretazione fenomenologica alla variabilit espressa daivariogrammisperimentalidifig.3.38.Taleinterpretazionequellacontenutanel lavorocitato.Lastrutturaapiccolascalapuesseredovutaallapresenzadisorgenti localidiinquinamentocomeaziendeagricole,discarichedirifiutisolidioaree urbanizzate,mentrelastrutturaagrandescalaprincipalmentedaattribuirsialla variabilitdellecaratteristichegeologichedellacquiferochehaluogosuvastaarea.I contributidelleduestruttureaivariogrammiriflettonoilruologiocatodaifattori geologicieantropicinelcomportamentospazialediogniione.Infattimentrela provenienza di NO3e Cl pu essere attribuita ad attivit umane, il contenuto di Ca nelle sorgenti dacqua controllato su vasta scala dalla presenza nellacquifero di carbonati.Il comportamento dei variogrammi mostra inoltre che la componente a grande scala del Casimantieneinalterataneltempo,mentrequellaapiccolascalasiindebolisce. QuantoalCleNO3ilcontributodellagrandascalavariasensibilmenteconglianni, mentre quello a piccola scala si mantiene sostanzialmente invariato. Diamoancoraaltriesempidivariogrammiannidati:quellodifig.3.40siriferisceal variogrammadelCo,costruitosuidatitrasformati(trasformazionegaussiana) provenientidaunacampionaturadeisuolidelsud-estdellaScozia.Lacampionatura, chehainteressatoancheilCu,statacondottaperlostudiodelladeficienzadeidue metalli della regione scozzese. Come si pu osservare il variogramma presenta un forte effettopepita,unastrutturalocalea3kmemezzoedunaltraa16km.Della dispersione totale il 60% si consuma a piccola scala, un altro 25% alla scala dei 3 km e mezzo ed il resto alla scala dei 16 km. 53 Fig. 3.40 - Variogramma del Co nei suoli del sud-est della Scozia (da Disjunctive kriging in agricolture di R. Webster and M.A. Oliver in M. Armstrong (ed), Geostatistisc, vol.I, pag.427). Ivariogrammidifig.3.41siriferisconoaicontenutiinCu,PbeZndicampionidi suolo provenienti da una campagna di prospezione geochimica nella regione di Munster (Francia).Ivariogrammimostranolapresenzaditrestrutturespazialipertutteetre le variabili. Per il Pb: una pepitica, una a 1.5 km e laltra a 10km. Per lo Zn: una pepitica, una a 2.0 km e laltra a 7.5 km. Per il Cu: una pepitica, una a 2.0 km e laltra a 9.0. 54 Fig. 3.41 - Variogrammi di Cu, Pb e Zn di una campagna geochimica nella regione di Munster (Francia) (da Analyse krigeante de donnes geoquimiques di L. Sandjivy in Sciences de la Terre, n.24). 3.4.6Anisotropie nei variogrammi Le VRsono quasi sempre riferibili a fenomeni naturali od a fenomeni in cui presente unacomponentenaturale.Talifenomenispessosisviluppanoinmanieradifferentein funzione della direzione: un fenomeno quasi sempre presenta delle direzioni principali. Losigivistonelparagr.3.4.2doveinalcuniesempimostratiilfenomenosi presentava non stazionario in una direzione estazionario in quella ortogonale. Si tratta di una anisotropia che riguarda la presenza di deriva, che quasi sempre per sua natura si svolge secondo una determinata direzione. Leanisotropieperdicuicioccupiamoinquestoparagraforiguardanoil comportamento del variogramma in situazioni di stazionariet. Esso infatti pu avere lo stesso andamento in tutte le direzioni, ed allora la funzionevariogramma isotropa. Si osserviperesempiolafig.3.42incuisonomostratiivariogrammisperimentalidellariflettanzadiunascenaLandsatTM7(Path182,row066del14.06.2000).Ivariogrammisi riferisconoallequattrodirezionigeograficheprincipali.Inquestocasoilvariogramma medio,valeadirequellocalcolatolungouna(qualsiasi)direzioneconunatolleranza angolare di 90, rappresenta la funzione variogramma in tutto il piano. Fig. 3.42 Variogrammi secondo le quattro direzioni principali (N-S, NE-SW, NE-SW) della riflettanza di una porzione di scena Landsat TM7 (Path 182,row 066 del 14.06.2000). Siosserviinvecelafig.3.43.Essamostraivariogrammisperimentalirelativialle variabili Cr, Cu e Ni misurate su campioni di sedimenti di lago dellarea di Schefferville 55 (QuebecNord).Comesipunotareilsillugualea3.2perentrambeledirezioni, mentre il range 7 km per la direzione N58E(B) e 13 km per la direzione N32W (A). Questadifferenzadicomportamentocheriguardailrangelasciandoilsillinvariato noto in geostatistica come anisotropia geometrica. Fig. 3.43 - Anisotropia geometrica del variogramma multivariabile calcolato sui dati di Schefferville (fig. trattadaSpatialfilteringunderthelinearcoregionalizationmodeldiG.BourgaulteD.Marcotte, Troia 92). Un altroesempio di anisotropia geometrica si pu osservare nella fig. 3.44, che riporta i variogrammiorizzontaleeverticaledellaconducibilitidraulicaderivatidallanalisi granulometrica di campioni raccolti in un sito della Germania del Nord ad unadistanza orizzontale di2.5 m e verticale di 0.5 m. I valori dei ranges che si osservano sono 1.5 e 14 m. Siosservioralafig.3.45.Essasiriferisceaivariogrammirelativialcontenutoin metallo Pb+Zn di una miniera italiana nelle Alpi Orientali. Lo schema di sinistra riporta ledirezioniindagate.Ledirezioni3e4avendodatodeivariogrammiconandamento similesonostatimediateedilvariogrammamedioottenutoassiemeaquellodella direzione1sonomostratinellafigura.Visinotaunamarcatadifferenzadi comportamento tra i due variogrammi mostrati. Quello relativo alla direzione 1 presenta un sill molto pi elevato

Fig.3.44-Variogrammiorizzontalee verticaledellaconducibilitidraulica manifestantiunaanisotropiageometrica (daSpatialstructureofhidraulic conductivityinvariousporousmedia-problemsandexperien-cesdiM.Th. Schafmeister & A. Pekdeger,Troia, 92) 56 dellaltrovariogramma,checorrispondeadunadirezionesuborizzontale.Unatale differenza nei variogrammi, che riguarda il grado di variabilit con la direzione, prende ingeostatisticailnomedianisotropiazonale.Essacaratterizzatadallavereuna direzione in cui la variabilit massima e tale direzione chiamata appunto direzione di zonalit. Nel caso di figura la direzione di zonalit la direzione 1, che corrisponde alla direzioneortogonaleallagiacituradistratificazionedeicalcariincuila mineralizzazione insediata. Fig.3.45-EsempiodianisotropiazonaleinunaminieradiPbeZndelleAlpiOrientali(fig.trattada evaluationandoptimizationofametalminediM.GuarascioeG.Raspa,ProceedingsApcom74, Denver). Unaltroesempiodianisotropiazonaleriportatonellafig.3.46.Essosiriferiscead unostudiodeisuoliinunbacinodellaCostadAvorio.Lavariabilestudiata limpoverimento di sostanze umiche nel terreno, misurata dal rapporto tra la quantit di argille e limi presenti negli orizzonti daccumulazione e quella presente negli orizzonti umici.Lapartesuperioredellafiguramostraloschemadicampionatura;esso costituitodaunaseriediallineamentisubparalleliortogonaliallassedel bacino, che orientatoNE-SW.IgraficiBeCsottostantisiriferisconoaivariogrammilungola direzione NE-SW e lungo la direzione ortogonale.IlvariogrammaNE-SWmostraunastrutturaelementarecaratterizzatadaunrangedi 300-400medunsilldi0.5,mentreIlvariogrammadelladirezioneNW-SEmostra chiaramente la sovrapposizione di due strutture una di range attorno ai 300 e sill 0.5 (la stessa che compare nel variogramma precedente), laltra di range 1240 e sill 0.35.Si pu pertanto affermare che il fenomeno presenta due strutture spaziali: una isotropa di range 300melaltraanisotropazonaledirange1240medirezionedizonalitNW-SE. 57 Questultimadirezione,essendoortogonaleallassedelbacino,siconfermaessere appunto quella di maggiore variabilit. Nelparagrafo3.4.6sarmostratocomeprocedereallamodellizzaredelleanisotropie della funzione variogramma. Fig.3.46-Schemadicampionaturaevariogrammidellacarenzainsostanzeumicheinunbacinodella Costa dAvorio (da Analyse de la variabilit dun parametre pedologique di J.M.Iris, in Sciences de la Terre, Vol 24, 1984). 3.5Aggiustamento di un variogramma modello Affinchquantoespressodaivariogrammisperimentalipossaessereusato,quale modellodivariabilitspaziale,persvolgereleoperazionigeostatistichechesono richiestenellambitodiunprogetto,necessariochesiatrasformatoinunafunzione analitica ( ) hcapace di fornire un valore del variogramma in funzione della distanza e dellorientazione di una qualsiasi coppia di punti dello spazio. In pratica se x1ex2sono leposizionididuepuntiinR2 (definitedallecoordinatex1u,x1v;x2u,x2v),lafunzione variogrammadevepotersiesprimerecomefunzionedellecomponenti:hu=x2u-x1ue hv =x2v-x1v. Inoltre la funzione - ( ) hdeve essere semidefinita positiva, cio tale che, per qualunque n finito e maggiore di zero e per qualunque set di numeri reali{ } i i n ( , ) = 1 associati ad altrettanti punti dello spazio { } xi , comunque posizionati, si abbia: 58 - i j i jj ix x ( ) 0, con la condizione ii=0se il modello solo intrinseco. Sulla base di quanto stato detto nel paragrafo 3.4.5 a proposito delle strutture annidate, lafunzione ( ) h ingeneralepuconsiderarsicomecostituitadallasommadis variogrammi elementari, ognuno espresso da una delle funzioni presentate nel paragrafo 3.4.4. Utilizzeremo dora in poi la notazione seguente: ( ) h=uus( ) h=01 dove u lindice della struttura elementare eu il suo variogramma. Nella precedente si inteso indicare con lindice 0 la struttura pepitica, quasi sempre presente. Se non vi effetto pepita la struttura pu essere formalmente mantenuta attribuendo ad essa un sill nullo. In queste condizioni aggiustare un modello vuol dire: definireil numero s di strutture; per ogni struttura specificare: ^se essa isotropa o anisotropa ^se anisotropa quale il tipo di anisotropia (geometrica, zonale) ^i parametri dellanisotropia ^ il tipo di funzione modello (sferica, exp, gauss, etc) ^i valori dei parametri della funzione (sill, range) Laggiustamento viene effettuato operando un fitting tra la funzione analitica ( ) hcos composta ed il variogramma sperimentale. Lefunzionivariogrammaelementareedilsignificatodeiloroparametrisonostatigidescrittinelparagrafo3.4.4.Introduciamooraiparametrichecaratterizzanole anisotropie ediamo lalgoritmo peril calcolo di ( ) hin funzione di detti parametri. Anisotropia geometrica Questo tipo di anisotropia ricorre per di pi nei fenomeni bidimensionali. In esso il rangedelvariogrammavariaconladirezione,presentandoneunadoveilrange massimoelaltra,perpendicolareallaprima,doveilrangeminimo.Infunzione della direzione il range varia come il raggio vettore di una ellisse, i cui assi maggiore eminore,sonoappuntoirangesmassimoeminimo.Iparametridellanisotropia, sono facilmente identificabili: angolo g che la direzione di massimo rangeforma con lasse u del riferimento di lavoro; rapporto tra range maggiore e range minore; Dato un vettore h, di componenti hu e hv, la maniera pi usuale di calcolare il valore di (h) in funzione dei parametri precedenti di operare come segue: 59 a)effettuare una rotazione di ampiezza g degli assi coordinati fino a far coincidere lasse u con lasse maggiore dellellisse. La matrice di trasformazione in questo caso: (((

=) cos( ) sin() sin( ) cos(g gg gg R Pertanto: [ ]hhRhhuvuvg'''''';

(( =

(( b) trasformarelellisseinuncerchioaventeraggiougualeallassemaggiore dellellisse.Cisiottienemoltiplicandoh'''perilrapportodianisotropia.La matrice di trasformazione corrispondente sar: [ ] =

((1 00. Pertanto: [ ]hhhhuvuv'''''''''';

(( =

(( c)riportare gli assi coordinati nella posizione originaria effettuando una rotazione di ampiezza -g , opposta alla precedente. La matrice di trasformazione sar: R gg gg gsinsin =

((( cos( ) ( )( ) cos( ) e pertanto: [ ]hhRhhuvuvg''''''.

(( =

(( La trasformazione complessiva sar: [ ] [ ] [ ] [ ]hhR RhhAh