Univerzitet u Beogradu Smederevo, 19.03.1999.Matematički fakultet

Seminarski rad

Geometrija u običajima i verovanjima

profesor: Zoran Lučić student: Zoran Damnjanović br. indeksa: 201/91

“ Malo naučnog rada udaljava nas od Boga,a mnogo nas Njemu približava “

Louis Pasteur

2

Uvod

Postoji teorija po kojoj je ono što čoveka odvaja od drugih živih bića njegova vera i, pre svega, strah od nadprirodnih sila. Po toj istoj teoriji najadekvatniji naziv za čoveka bi bio Homo religiosus.

Ono što je Pierre de Laplace nazvao nepotrebnom, pokazalo se da je, ako ne potrebna, onda, u svakom slučaju, prisutna hipoteza. Mnogi veliki umovi su bili veliki vernici, iako je to ponekad bilo u sukobu sa njihovim radom. Albert Einstein, na primer, je sebe smatrao duboko religioznim čovekom koji je svojom delatnošću “zavirio Bogu u karte”. Slične primere možemo naći i dan danas. Naime, prema rezultatima istraživanja koje je 1997. godine objavio univerzitet Georgia, četrdeset procenata ispitanih biologa, fizičara i matematičara izjavilo je da veruje u Boga. Sve u svemu, moramo priznati da je učinak koji je Bog postigao neizmerljiv, čak i ako se pokaže da On nikad nije ni postojao.

Čovek je, tokom vekova, pronašao mnogo načina na koje može da pojača ili ublaži dejstvo viših sila. Velikom broju predmeta, figura, likova pridavan je izuzetno značajan simbolički karakter. Naravno, i geometrijski likovi i figure nisu bili pošteđeni.

Geometrijski likovi ispunjeni su značenjima u svim kulturama i religijama. To je posebno vidljivo u onim religijama koje nisu ikoničke, to jest u onima koje zaziru od prikazivanja živih bića, kakve su judaizam i islam. Geometrijski likovi imaju mnogobrojna značenja i u drugim kulturama, religijama i filozofijama. U daljem izlaganju iznećemo neka od najznačajnih značenja koje poseduju neki od geometrijskih likova.

3

Trougao

Tri je, u uglavnom svim religijama, temeljni broj. On je izraz intelektualnog i duhovnog reda, božanskog, i u kosmosu i u čoveku. Najčešće je tri broj neba, za razliku od broja dva koji je simbol zemlje.

Simbolizam trougla poklapa se sa simbolizmom broja tri. Kako se svaki lik, ako se povuku linije od njegovog središta do uglova, može podeliti na nekoliko trouglova, to je trougao u osnovi svega.

Jednakostranični trougao simbolizuje božansko, sklad, razmeru. Čovek odgovara jednakostraničnom trouglu podeljenom na dva dela, to jest pravouglom trouglu. Taj trougao, po Platonovom mišljenju u Timaju, predstavlja i zemlju.

Svakako su vredne pomena i Pitagorine trojke. Trojke (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37) su korišćene u Indiji u ritualne svrhe. Zanimljivo je da su tri od ovih trojki: (3,4,5), (5,12,13) i (12,35,37) takođe korišćene i u Engleskoj i Škotskoj u ritualne svrhe (na primer pri izgradnji građevina za religiozna sastajanja). Pretpostavlja se da su u neolitskom dobu postojala učenja o primeni pitagotinih trojki u religiozne svrhe.

Trougao je kod starih Maya simbol plodnosti.Trougao se vrlo često upotrebljava u ornamentima u Indiji, Grčkoj,

Rimu… Izgleda da je njegovo značenje bilo uvek isto. Trougao vrhom okrenut prema gore simbolizuje vatru i muški pol ; vrhom okrenut prema dole vodu i ženski pol.

Jednakostranični trougao u judaizmu simbolizuje Boga čije je ime zabranjeno izgovoriti.

Solomonov pečat je zapravo šestokraka zvezda, sačinjena od dva jednakostranična međusobno ukrštena trougla.

4

Taj lik u sebi sadrži četiri osnovna elementa:1. Trougao sa vrhom prema gore predstavlja vatru2. Trougao sa vrhom prema dole predstavlja vodu3. Trougao vatre okrnjen osnovicom vode označava vazduh4. Trougao vode okrnjen osnovicom vatre označava zemlju

Uzmu li se četiri tačke zvezde, izuzimajući gornju i donju, na kojima su zgodno smeštena četiri temeljna svojstva materije, otkrivaju se odnosi između četiri elemenata i svojstava suprotstavljenih dva po dva.

Solomonov pečat obuhvata i sedam osnovnih metala, kao i sedam planeta u kojima je sažeta sveukupnost neba. U središtu su zlato i Sunce ; na gornjem vrhu srebro i Mesec ; na donjem olovo i Saturn ; na gornjem desnom vrhu bakar i Venera ; na donjem živa i Merkur ; na gornjem levom gvožđe i Mars , a na donjem kalaj i Jupiter.

5

Celokupna misao i trud alhemije sastoji se u tome da se postigne prevođenje nesavršenog, koje je na obodu, u jedinstveno savršenstvo, koje je u središtu, a koje simbolizuju zlato i Sunce. Svođenje mnogostrukog na jedno, nesavršenog na savršeno, san svih naučnika i filozofa, izraženo je u Solomonovom pečatu.

U Indiji surećemo šestokraku zvezdu pod imenom Yantra, a nalazimo je i kod nekih srednjeameričkih civilizacija.

Trougao je u alhemijskom pogledu simbol vatre, a isto tako i simbol srca. U vezi sa tim valja imati na umu odnos između trougla sa vrhom nagore i obrnutog trougla koji je odraz prvog: to je simbol božanske prirode Hrista i njegove ljudske prirode.

Broj 36 je broj neba, 72 broj zemlje, a 108 broj čoveka. Zbog toga su i jednakokraki trouglovi sa uglovima od 36, 72, 72 i 108, 36, 36 vrlo često primenjivani kao simboli, naročito kod nekih tajnih udruženja.

Trougao sa uglovima na osnovici od 72 se naziva Uzvišeni trougao.Trougao sa uglovima na osnovici od 36 se naziva Svetleća

delta.Ovaj trougao je najvažniji simbol slobodnog zidarstva. Osnovica ovog trougla označava trajnost, a strane koje se sastaju u vrhu tamu i svetlost, što predstavlja kosmičko trojstvo.

Uzvišeni trougao Svetleća delta

Na kraju, vredi spomenuti i trapez, koji se smatra i krnjim trouglom. Kao takav, on označava nedovršenost, nepravilnost i promašenost.

6

Četvorougao

Kvadrat je među simbolima, uz krug, jedan od najčešćih geometrijskih oblika. Na jednom nivou on je simbol zemlje u odnosu na krug koji je simbol neba, a na drugom on je simbol stvornog univerzuma, zemlje i neba, naspram nestvorenog i stvoritelja.

Mnogi sakralni prostori imaju četvorougaoni oblik: žrtvenici, hramovi i gradovi. Često se kvadrat upisuje u krug, tako što se na vrhu okruglih brežuljaka grade logori i hramovi kvadratnog oblika, ili na prostoru u obliku kruga koga zatvaraju brežuljci grade gradovi (na primer Rim).

Po Plutarhu, pitagorejci su tvrdili da kvadrat spaja moć Reje, majke bogova, Afrodite, koja simbolizuje vodu, Hestije, simbola vatre, Here, simbola vazduha i Demetre, simbola zemlje.

U hrišćanstvu kvadrat, zbog jednakih strana, simbolizuje svemir, dok njegova četiri ugla označavaju četiri elementa. Kvadrat je simbol postojanosti, pa su mnogi trgovi (na primer atinski javni trg) i gradovi građeni u kvadratnom obliku. I osnove mnogih crkava u Engleskoj, Nemačkoj i Francuskoj su kvadratnog oblika.

Postoji i veoma bogata tradicija čarobnih kvadrata, jer kvadrat evocira smisao tajne i smisao okultne moći. Magičnim kvadratom može se zarobiti i pokrenuti neka moć.

4 9 23 5 78 1 6

7

Čarobni kvadrat, Wafk, u svom najjednostavnijem obliku ima devet odeljaka, zbir svake stranice je 15, a u njemu je upisano svih devet prvih brojeva.

Značajni su i magični kvadrati sa 77, 44 i 55 odeljaka. U islamskom svetu se u XII veku, a na zapadu XVI veku, pojavljuju kvadrati povezani sa planetama i metalima. Zanimljivi su, svakako, i kvadrati u koje se upisuju slova tako da se mogu čitati sleva na desno, sdesna na levo, odozgo na dole i odozdo na gore, a da se redosled, priroda reči i njihov smisao ne promene.

I u astrologiji kvadrat označava zemlju,materiju, a krug nebo i beskraj. Interesantno je da je do XIX veka grafički prikaz horoskopa bio četvrtast, najverovatnije zbog toga što je kod srednjevekovnih i renesansnih astrologa u kvadraturi kruga bio sadržan problem uvođenja materijalnog u duhovno. Okrugao oblik horoskopa, koji su izumeli engleski astrolozi u XVIII veku, znatno je prikladniji za rad, racionalniji i naučniji, ali je izgubio nekadašnji simbolički kontekst.

Pravugaonik ima važnu ulogu u masonskoj simbolici. Možemo ga naći u masonskim hramovima, a može imati trojake razmere (34, 12, 11.618). Poslednjoj razmeri, koja je razmera zlatnog preseka (ili zlatnog broja), pripisuju se mnoga značenja. Takvi pravougaonici se nazivaju i kvadratom-sunce. Oni simbolizuju savršenstvo odnosa između zemlje i neba i zelju članova udruženja da budu deo tog savršenstva.

Romb je u mnogim kulturama, naročito kod nekih američkih Indijanaca i u Srednjoj Americi ženski simbol. Čest je slučaj (na primer u Gvatemali i Meksiku) da žene ističu svoju funkciju simbola ženskosti, prikazujući ga na odeći.

U Kini je romb jedan od osam glavnih amblema i simbola pobede.U veoma izduženom obliku, poput dva jednakokraka trougla spojena

svojim osnovicama, romb znači dodire i razmene između neba i zemlje, između gornjeg i donjeg sveta.

Za kraj, jedna zanimljivost: u talogu kafe romb je znak sreće u ljubavi.

8

Petougao (pentagram)

Pentagram je jedan od najzanimljivijih i često primenjivanih simbola. Njegova simbolika se uglavnom vezuje za simboliku zlatnog preseka, koji je u njemu sadržan.

Zlatni presek, ili zlatni broj, mnogi smatraju ključem geometrije. Nazivaju ga još i proprtio divina, ili božanska proporcija. Smatralo se da je zlatni presek božanski dar i da građevine koje imaju te osobine imaju poseban uticaj na ljude u njima. O zlatnom preseku se naročito vodilo računa pri građenju hramova (na primer Partenon).

Partenon

Pentagram se javlja u dva oblika: kao petougao i kao zvezda (deset uglova). Simbolika pentagrama se temelji i na broju pet, koji izražava jedinstvo nejednakih delova, to jest zbir brojeva 3, koji označava muški, i broja 2, koji označava ženski princip.

Prema Paracelzusu1 pentagram je jedan od najmoćnijih znakova. Smatralo se da je pentagram jedan od ključeva koji otvaraju put do tajne. Pentagram znači i brak,sreću,ispunjenje. Nekada se smatrao simbolom savršene ideje.

1 P.A.Paracelsus, 1493-1541, švajcarski alhemičar i lekar

9

Ako pentragram nije petougao, već petokraka zvezda, kod masona se on naziva i Plamenom zvezdom. Za masone ona je amblem duha koji dušu uzdiže do velikih stvari.

Pentagram služi i kao znak raspoznavanja članovima istog društva: u antici, na primer, pitagorejcima. Pitagorejci bi ucrtavali taj simbol na svoja pisma poput pozdrava.

Pentagram se u Grčkoj nazivao i ugeia, po Higieji, boginji zdravlja. Svako od slova koja sačinjavaju tu reč postavljalo se na jedan vrh pentagrama.

Pitagorejski pentagram se javlja i kao sredstvo vračanja i sticanja moći. Likove pentagrama ubotrebljavali su čarobnjaci: bilo je pentagrama ljubavi, uroka itd...

Osmougao

Krstionice često imaju osmougaoni oblik. Osmougaoni oblik simbolizuje uskrsnuće, dok je šestougao simbol smrti, prema hrišćanskoj simbolici svetog Ambrozija, koja je nasleđena iz antičke simbolike. Šestougaoni oblik, koji se ponekad primenjuje, ističe drugi aspekt krštenja, potapanje grešnog bića u njegov grob, predigru njegovog ponovnog rođenja u biće milosti.

10

Broj osam u Japanu je simbol mnoštva stvari. Tako su stanovnici Japana, u pradavna vremena, nazivali svoju zemlju Veliko-Osam-Ostrvlje, što zanači da se Japan sastoji od nebrojeno mnogo ostrva. Osam je za Japance sveti broj.

U Yokohami je 1932. godine podignut nacionalni centar za duhovno vaspitanje. Oblik mu je osmougaoni, a u njemu se nalaze kipovi osmorice mudraca sveta (Cakyamuni, Konfucie, Sokrat, Isus, princ Shotoku, Kobo Daishi, sveštenici Shinran i Nichiren). Osmougaoni oblik nije odabran zato što na svetu ima osam mudraca (broj mudraca uopšte nije ograničen na osam). Oblik hrama i broj mudraca simbolizuju beskrajnu mudrost sa bezbroj oblika u svakom duhovnom naporu, svakom obrazovanju i svakom istraživanju.

Krug

Krug je, sigurno, najznačajniji i najčešće primenjivani simbol.Za krug se često vezuje pojam tačke. Krug se naime, posmatra kao

proširena tačka. Tačka i krug su srodni po savršenstvu i imaju zajednička simbolička svojstva: savršenstvo, homogenost, odsutnost razlikovanja ili podele... Krug tako, simbolizuje i savršenstvo praiskonske tačke i stvorene posledice. Koncentrični krugovi predstavljaju stepene bivstva.

11

Dionizije Areopagit2 opisao je, kao filozof i mistik, veze stvorenog bića sa njegovim uzrokom, služeći se simbolizmom središta i koncetričnih krugova: udaljavanjem od središnjeg jedinstva sve se deli i umnožava. U zen budizmu često se susreću crteži koncetričnih krugova, koji simbolizuju postignuti sklad duha.

Krug simbolizuje nebo, kružnog i nepromenljivog oblika. Preme filozofskim i teološkim tekstovima krug može simbolizovati božanstvo koje nije sagledano samo u njegovoj nepromenljivosti, nego i u rasprostranjenoj dobroti. Uopšteno, krug je simbol onoga što je nebesko: neba, Boga i duše. Već kod Vavilonaca postoji spoj nebo-zemlja koji se iskazuje krugom i kvadratom. Shema kvadrata iznad koga je luk i struktura kocka-kupola, koje su česte u muslimanskoj i romanskoj umetnosti, materijalizuju tu dijalektiku zemaljskog i nebeskog, nesavršenog i savršenog. Takav oblik dovodi do raskida ritma i poziva na potrebu za kretanjem i novom ravnotežom: on simbolizuje težnju za višim svetom.

U islamskom svetu kružni se oblik smatra najsavršenijim od svih. Pesnici kažu da je krug koji prave usta najlepši od oblika, jer je savršeno okrugao. U islamskoj arhitekturi postavio se problem prelaza sa kvadrata na krug, budući da je mesto okupljanja vernika četvorougaona dvorana, ali je samo kupola dostojna da predstavi božansku neizmerljivu veličinu. U Meki crna kocka Kabe stoji u belom kružnom prostoru, pa povorka hodočasnika ispisuje oko crne kocke krug neprekidnih molitvi.

Povezanost krug-kvadrat susrećemo i kod Hindusa, budista i tantrista, na mandalama, slikama koje se koriste pri obredima i meditaciji. I u tibetanskoj tradiciji mandala je vodič meditacije. Različitim kombinacijama krugova i kvadrata ona izražava duhovni i materijalni svet i dinamiku veza koja ih ujedinjuje.

Mandala

Kružno je kretanje savršeno, nepromenjivo, bez početka, bez kraja i bez odstupanja: stoga simbolizuje vreme. Od najdavnijeg doba krugom se iskazivala celovitost, savršenstvo, njime se vreme obuhvatalo da bi se bolje merilo. Vavilonci su se služili krugom za merenje vremena. Iz njega su izveli pojam beskonačnog, cikličnog, sveopšteg vremena; nasledila ga je antika, na primer grčka epoha, u liku zmije koja se grize za rep. U hrišćaskoj

2 Dionizije Areopagit, prvi atinski episkop, učenik apostola Pavla

12

ikonografiji motiv kruga simbolizuje večnost, a tri spojena kruga simbolizuju trojstvo Oca, Sina i Duha svetoga.

Kod Kelta krug ima magijsku funkciju i vrednost. Krug, naime, simbolizuje čarobnu granicu nepremostivog. Vercingetoriks3 je, u trenutku predaje, jašući na konju opisao veliki krug oko Cezara. Krug nalazimo i u religiji: veliki idol Irske, Falski kamen, okružen je sa dvanaest nešto nižih kamenova, razvrstanih u krug.

Kod Hrišćana i Jevreja krug izražava dah božanstva, bez početka i bez kraja. Taj se dah nastavlja bez prestanka i u svim pravcima. Sunce i njegova slika, zlato, takođe se označavaju krugom.

Krug je i simbol zaštite. Otuda u magiji upotreba kruga kao odbrambenog pojasa oko grada, oko grobova, oko hramova, koji će sprečiti neprijatelja, lutajuće duše i demone da prodru. Borci bi, pre nego što započnu borbu, nacrtali krug oko svojih tela. Zaštitni krug često poprima oblik prstena, narukvice, ogrlice, pojasa ili krune. Prsten-talisman, čarobni krug oko prsta, upotrebljava se od najdavnijih vremena i kod svih naroda. To se dovodi u vezu sa zaštitom najosetljivijih tačaka, prstiju na rukama, koji su kao instrument odašiljanja i primanja magičnog fluida, vrlo ranjivi.

Narukvica-keltska kultura

Takav simbolizam objašnjava zašto su antički ratnici nosili toliki broj narukvica. Verovatno su ih dobijali od svih osoba koje su ih nakon povratka želele videti u dobrom stanju, duše čvrsto vezane uz telo.

Tu je i objašnjenje običaja da se prsteni ili narukvice skinu ili zabranjuju onima čija se duša mora vinuti, kao kod mrtvih.

3 Vercingetorix, knez i vođa ustanka Gala protiv Rimljana u I veku p.n.e.

13

Pravilni poliedri

Sasvim je izvesno da su pravlini poliedri ljudima bili poznati i u praistorijsko doba. Materijalni dokazi poznavanja nekih od ovih tela dolaze iz drevnog Egipta. Kao pojam, pravilan poliedar ustanovljen je u klasičnoj Grčkoj. Njegovo uvođenje imalo je, pored Grcima veoma bliske kosmološle, i estetsku motivaciju.

Imajući u vidu izvanrednu pravilnost Platonovih tela Grci, skloni metafizici, doveli su ih u vezu sa četiri elemenata i univerzumom. U svome Timaju Platon kaže:

Treba sada da kažemo koja su ta četiri najlepša tela, međusobno nejednaka, pa ipak sposobna da se uzajamnim razlaganjem rađaju jedna iz drugih. Jer ako pronađemo odgovor na ovo, imaćemo pred sobom istinu o postanku zemlje i vatre kao i onih tela koja se usrazmerena nalaze između njih. Jer, nikome nećemo dati saglasnost da su vidljiva tela lepša nego ova od kojih je svako pojedinačno jedinstven rod.

Postoji još jedan, peti sastav; Bog ga je upotrebio za svemir, oslikavajući na njemu likove (zodijaka).Johan Kepler4 u svome delu Harmonices Mundi je razvio i dopunio

ovu ideju. Po Kepleru, kocka oslonjena na svoju osnovu simbolizuje stabilnost pa je u vezi sa Zemljom. Oktaedar koji slobodno rotira ako se pridržavaju njegova naspramna temena simbolizuje pokretljivost vazduha. Među pravilnim poliedrima tetraedar ima najmanji, a ikosaedar najveći broj pljosni pa zato tetraedar označava suvoću vatre, a ikosaedar vlažnost vode. Na kraju, dodekaedar je nebeski simbol jer ima dvanaest pljosni koliko je i znakova zodijaka, pa je pridrižen Univerzumu.

Kocka

Kocka, kao kvadrat kvadrata, ima među geometrijskim telima isto ono značenje koje ima kvadrat među površima. Simbolizuje materijalni svet i skup četiri elemenata. Zbog čvrste osnovice postala je simbolom

4 J. Kepler, 1571-1630, nemački astronom i filozof

14

postojanosti, pa je često podnožje prestola. U mističnom se smislu smatralo da je kocka simbol mudrosti,istine i moralnog savršenstva.

Kocka je više nego kvadrat simbol postojanosti i zaustavljanja cikličkog razvoja, jer određuje i fiksira prostor u njegove tri dimenzije. Kockasti kamen masonskog simbolizma obuhvata pojam dovršenosti i savršenstva. Pojam osnova, temelja i postojanosti nalazimo i u simbolizmu Ka be u Meki, takođe kockastog kamena. Arapske kuće su kockastog oblika, a i mauzoleji sa kupolom na grobovima svetih muslimana. Kocka mauzoleja predstavlja zemlju ili telo sa njegova četiri elementa, a kupola nebo ili duh.

Ka ba

Kocka uz loptu simbolizuje celokupnost zemaljsku i nebesku, stvorenu i nestvorenu, ovu ovde i onu gore.

Dodekaedar

U nizu od pet pravilnih poliedara dodekaedar izražava najsavršeniju sintezu. Prema geometrijskoj simbolici dodekaedar izražava čitav univerzum. Stoga su u pitagorejskoj tradiciji pripisana najneobičnija svojstva matematičkog, fizičkog i mističnog reda. Dodekaedar nije samo slika kosmosa, on je njegov broj, formula težinu možemo reći da je on sam kosmos.5

Pronađeni drevni predmeti potvrda su toj simboličkoj vrednosti. Nije

čudno da su ti tajanstveni predmeti služili u magijske svrhe. Drevna i duboka vrednost simbola, preobratila se u želju za vlašću. Nije isključeno taj je taj simbol kosmosa upotrebljavan u kultne svrhe i da je postao idolom.

Budući da je određeni broj dodekaedara pronađen u Galiji, neki su ih tumači povezivali sa zmijskim jajima, po kojima Plinije Stariji kaže da su u Galiji uživala veliki ugled. To su jaja od gmizavaca isprepletenih i

5 Leonard Saint-Michel u Lettres dhumanite,Paris

15