GEOMETRIECLASA a VI-a

Capitole:1. Figuri si corpuri geometrice2. Dreapta 3. Unghiuri

4. Congruenta triunghiurilor

.

5. Perpendicularitate 6. Paralelism 7. Proprietati ale triunghiurilor

8. Patrulatere

FIGURI SI CORPURI

GEOMETRICE.

INSTRUMENTE GEOMETRICE1. Rigla gradata = se utilizeaza pentru constructia de drepte si segmente de dreapta de lungimi date si pentru masurarea lungimilor segmentelor de dreapta.

2. Compas = se utilizeaza pentru constructia de cercuri si de arcuri de cerc; de asemenea este folosit la constructia triunghiurilor si a unor linii importante in triunghi.

3. Echerul = este folosit pentru verificarea masurilor unor unghiuri date dar si pentru constructia unghiurilor de 30, 45, 60, 90 de grade.

4. Raportorul = este folosit pentru constructia si verificarea masurii unui unghi dat.

.

FIGURI GEOMETRICEPrezentare prin descriere si desen

Linia franta = este formata din reuniunea a mai multor segmente de dreapta.Linia curba = este formata din reuniunea de arce de cerc si de segmente de dreapta.

Triunghiul = este figura geometrica formata din trei laturi.

Patrulaterul = este figura geometrica formata din patru laturi.

Cercul

.

Unghiul

CORPURI GEOMETRICECUBUL

PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC

CILINDRUL

CONUL

PIRAMIDA

SFERA

Varf

Varf Varf

Muchie

Muchie

Faţă

Faţă

Suprafaţa cilindrică

Suprafaţa conică

.

DESFĂŞURAREA PARALELIPIPEDULUI DREPTUNGHIC

IDENTIFICAREA UNOR FIGURI GEOMETRICE PLANE PE FEŢELE CORPURILOR GEOMETRICE

Patrat

Dreptunghi

Triunghi

Cerc

.

DREAPTA

.

PUNCT, DREAPTĂ, PLAN1. Punctul este figura geometrică ce se aseamănă cu o urmă lăsată de varful unui creion. Punctul nu are dimensiune.2. Dreapta este figura geometrică ce se aseamănă cu un fir perfect intins si fără margini. Dreapta are o singură dimensiune: lungimea.

3. Planul este figura geometrică ce se aseamănă cu o panză perfect intinsă si fără margini. Planul are două dimensiuni: lungimea si lăţimea.

Se reprezintă in desen astfel:

Se reprezintă in desen astfel:

Se reprezintă in desen astfel:

Se notează cu litere mari de tipar:A

Se notează cu litere mici de mană

d

sau dacă există pe dreaptă două puncte, de ex. AB:

A B

Se notează cu litere mici de mană, greceşti:

Sau daca există trei puncte in plan, de ex. (ABC):

A C

B

.

SEMIDREAPTĂ, SEGMENT, SEMIPLANO A

Semidreapta este dreapta mărginită la un capăt.O = originea semidreptei.

Semidreapta se notează: [OA dacă punctul O aparţine semidreptei sau (OA dacă punctul O nu aparţine semidreptei.

A B

Segmentul de dreaptă este dreapta mărginită la ambele capete.

Segmentul de dreaptă se notează cu [AB] dacă punctele A si B aparţin segmentului sau (AB) dacă punctele A şi B nu aparţin segmentului.

O dreaptă imparte un plan in două semiplane:

Un punct nu poate fi decat intr-un singur semiplan.

Se poate nota astfel: [dA sau (dA.

A

d

.Semiplan

POZIŢIILE RELATIVE ALE UNUI PUNCT FAŢĂ DE O DREAPTĂ

A

B

d

In figura de mai sus, punctul A se află pe dreapta d;

Scriem Ad si citim: punctul A apartine dreptei d.In figura de mai sus, punctul B nu se află pe dreapta d; Scriem Bd si citim: punctul B nu apartine dreptei d.Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una.

A B

Mai multe puncte ce se afla pe o dreapta se numesc puncte coliniare.

.

POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE1. Drepte concurente.

2. Drepte identice.

3. Drepte paralele.

Doua drepte sunt concurente daca au un punct comun.

Doua drepte sunt identice daca au doua puncte distincte comune.

Doua drepte se numesc paralele daca nu au nici un punct comun.

d1d2 = {A}

d1d2 =

d1d2 = {A,B}, A B.

d1

d1

d1

d2

d2

d2

A

A B

.

LUNGIMEA UNUI SEGMENT. SEGMENTE CONGRUENTE. MIJLOCUL UNUI SEGMENT

A B

Distanta de la punctul A la punctul B este lungimea segmentului [AB].Lungimea segmentului [AB] se noteaza cu AB.Tot cu AB se noteaza si lungimea segmentului (AB).

Doua segmente de lungimi egale se numesc segmente congruente.

D

C

B

A

1,5 cm

1,5 cm Daca AB = CD = 1,5 cm

Atunci segmentele AB si CD sunt congruente.

[AB] [CD]

Mijlocul unui segment este punctul ce imparte segmentul dat in doua segmente congruente.

A BM

Daca AM = MB, atunci:

M este mijlocul lui [AB]..

UNGHIURI

.

D e f i n i t i e . Figura geometrica formata din doua semidrepte care au aceeasi origine se numeste u n g h i .

O

A

B

Varful unghiului

Laturile unghiului

Interiorul unghiului

Exteriorul unghiului

Unghiurile se noteaza:

AOB sau

AOB

.

MĂSURAREA UNGHIURILORSi unghiurile se masoara! Ceea ce se masoara este ,,deschiderea” dintre laturile unghiului. (in nici un caz lungimile laturilor).Unitatea de masura a unghiului este gradul sexagesimal.Instrumentul de masura se numeste raportorul.Submultiplii gradului sunt: 10 = 60` (60 de minute).

1` = 60`` (60 de secunde).Definitie. Doua unghiuri cu masurile egale se numesc unghiuri congruente.

O

B

A O`

A`B`

400400

Daca m(<AOB) = m(<A`O`B`) atunci unghiurile sunt congruente:

AOB A`O`B`

.

CLASIFICAREA UNGHIURILOR1. Unghi nul 2. Unghi ascutit

3. Unghi drept

4. Unghi obtuz

5. Unghi plin (sau cu laturile in prelungire)

O

A

B

m(<AOB) = 900

O A Bm(<AOB) = 00 00 < m(<AOB) < 900

m(<AOB) = 1800

900 < m(<AOB) < 1800

O A

B

O A

B

AOB .

UNGHIURI ADIACENTE. BISECTOAREA

O

A

B

C

Doua unghiuri se numesc adiacente daca au varful comun, o latura comuna iar celelalte doua laturi sunt respectiv de o parte si de cealalta a laturii comune.

Definitie. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul unghiului si formeaza cu laturile unghiului doua unghiuri congruente.

O

A

B

M

AOM MOBOM = bisectoarea unghiului AOB .

UNGHIURI COMPLEMENTARE SI SUPLEMENTARE

O

C

B

AUnghiurile AOB si BOC sunt complementare daca suma masurilor lor este egala cu 900.

OA

B

C

Unghiurile AOB si BOC sunt suplementare daca suma masurilor lor este egala cu 1800.

.

UNGHIURI OPUSE LA VARF

O

A

BC

D

Definitie. Doua unghiuri cu acelasi varf se numesc opuse la varf daca laturile unuia sunt in prelungirea laturilor celuilalt.

Unghiurile AOC si BOD sunt opuse la varf si sunt congruente.

Unghiul BOC este suplementul unghiului AOC sau a unghiului BOD.

Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct este de 3600.

.

CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI

62045`51``+ 43039`48``

ADUNAREA

105084`99``=106025`39``

SCADEREA

70012`20``– 34035`40``69071`80``– 34035`40``35036`40``

INMULTIREA

12015`35``

8960120`280``=9804`40``

Pentru ca:280``=4`40``; 120`=20.

IMPARTIREA 61012`5``:5 = 610:5=120 si rest 10=60`

120

(12`+60`):5=72`:5=14` si rest 2`=120``

14`

(5``+120``):5=125``:5=25``

25``

.

CONGRUENŢA TRIUNGHIURILOR

.

TRIUNGHI. DEFINIŢIE. ELEMENTE

A B

C Varf

Latura

Interior

Unghi

Definitie. Se numeste triunghi o figura geometrica ce rezulta dintr-o reuniune ca [AB][BC][CA], unde A, B, C sunt puncte necolineare.

Triunghiul se noteaza astfel: ABC.

Triunghiul are: 3 varfuri; 3 laturi; 3 unghiuri. .

CLASIFICAREA TRIUNGHIURILORTriunghi scalen Triunghi echilateralTriunghi isoscel

Are laturile de lungimi diferite.

Are doua laturi de lungimi egale.

Are toate cele trei laturi egale.

Triunghi ascutitunghic Triunghi dreptunghic Triunghi obtuzunghic

Are toate unghiurile ascutite.

Are un unghi drept. Are un unghi obtuz..

PERIMETRUL TRIUNGHIULUIDefinitie. Suma lungimilor laturilor unui triunghi se numeste perimetrul triunghiului.

A

BCa

b c

Conditia de existenta a unui triunghi:

a+b>c; a+c>b; b+c>a

Perimetrul triunghiului ABC:

PABC = a + b + cSemiperimetrul triunghiului:

2cbap

.

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI

A

BC D

Unghi exterior

Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura):

Atunci avem relatiile:

= 1800 – = +

+ + = 1800.

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILORC a z u l L.U.L.

Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.Construiti un triunghi cu doua laturi de 5 si respectiv 4 cm si masura unghiului cuprins intre ele de 700.Etapele de lucru:

1. Construiti cu rigla un segment de 5cm.

5 cm.

2. Construiti un unghi de 700, una din laturi fiind de 5 cm.

3. Luati pe cea de-a doua latura un segment de 4cm.

4. Uniti extremitatile celor doua laturi construite.

700

4 cm

.

.

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILORC a z u l U.L.U.

Avem nevoie de o rigla gradata si un raportor.Construiti un triunghi cu o latura de 5cm si doua unghiuri alaturate laturii cunoscute, de 600 si respectiv 750.

Etapele de lucru:

1. Construiti cu rigla un segment de 5 cm.2. Construiti un unghi de 600 alaturate laturii de 5cm.3. Construiti la cealalta extrema a laturii date, un unghi de 750.

4. Identificati punctul de intersectie a dreptelor construite.5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm.

5 cm.

600 750

.

CONSTRUCŢIA TRIUNGHIURILORC a z u l L.L.L.

Avem nevoie de o rigla gradata si un compas.Construiti un triunghi cu lungimile laturilor de 5, 6 si 7 cm.Etapele de lucru:

1. Construiti cu ajutorul riglei o latura, spre exemplu, de 5 cm.2. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 6 cm, si cu varful in A trasati un arc de cerc.

3. Deschideti compasul pe rigla gradata, cu deschizatura de 7 cm, si cu varful in B trasati un arc de cerc.4. Identificati punctul de intersectie al arcelor de cerc. 5. Uniti punctul de intersectie cu extremitatile laturii de 5cm.

5 cm.A B

6 cm

.

7 cm.

.

CAZURILE DE CONGRUENŢĂ

CAZUL L.U.L. CAZUL U.L.U. CAZUL L.L.L.

Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate doua laturi si unghiul determinat de ele, respectiv congruente

Doua triunghiuri sunt congruente daca au cate o latura si unghiurile alaturate ei, respectiv congruente

Doua triunghiuri sunt congruente daca au toate laturile, respectiv congruente

.

ELEMENTE DE RAŢIONAMENT GEOMETRIC

demonstraţie = vine din limba latina: demonstratio = dovedire.

axiomă = vine din limba greaca: axioma = opinie, teza admisa.

teoremă = vine din limba greaca: theorema = examinare, cercetare. ipoteză = este compus din doua cuvinte provenite din limba greaca:

hypo = sub si thesis = punere. premisă – vine din limba latina: praemissus = pus inainte, anterior.

concluzie = vine din limba latina: conclusio = incheiere.

O problema de geometrie este compusa din trei parti: ipoteza (datele problemei), concluzia (cerinta problemei) si demonstratia (rezolvarea problemei).

.

PERPENDICULARITATE

.

DREPTE PERPENDICULAREDefinitie. Doua drepte se numesc perpendiculare (ortogonale) daca la intersectia lor formeaza un unghi drept (de 900).

Doua drepte perpendiculare se pot construi cu ajutorul unui echer; urmariti figura din stanga.

Cum se arata pe figura ca dreptele sunt perpendiculare:

d1

d2

Cum se scrie:

d1 d2.

DISTANŢA DE LA UN PUNCT LA O DREAPTĂ

A

d

O

Distanta de la un punct la o dreapta data este lungimea segmentului de dreapta perpendicular dus din punctul dat pe dreapta data.

Urmariti cu atentie cum se construieste ,,distanta” de la un punct la o dreapta cu ajutorul echerului.

Oblica fata de dreapta d este dreapta ce trece prin punctul A si un punct de pe dreapta d diferit de cel O.

oblica

.

MEDIATOAREA UNUI SEGMENTC O N S T R U C T I A M E D I A T O A R E I

Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a echerului

Constructia mediatoarei cu ajutorul riglei si a compasului

Faza 1. Se masoara lungimea segmentului si se afla mijlocul acestuia;Faza 2. cu ajutorul echerului se construieste perpendiculara pe mijlocul segmentului;

Faza 3. Prin punctele de intersectie al arcelor de cerc se construieste o dreapta ce va fi mediatoarea segmentului dat.

Faza 2. Cu ajutorul compasului, cu varful din A si din B, de o parte si de alta a segmentului se traseaza arce de cerc, fara a modifica raza compasului;

Faza 1. Se construieste segmentul AB;

BA MA B

.

PROPRIETATEA MEDIATOAREITeorema. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de extremitatile segmentului dat.

A BM

P DEMONSTRATIE:

cedreptunghisuntlecomunalatPMMBAM

PBMPAM .][][

[PA][PB]

.

MEDIATOAREA INTR-UN TRIUNGHIA

B C

OR

Punctul de intersectie al celor trei mediatoare se numeste centrul cercului circumscris triunghiului.

Daca OB = R (raza cercului circumscris), atunci avem:

AabcR4

Unde: a, b, c sunt lungimile celor trei laturi iar A este aria triunghiului.

.

BISECTOAREA UNUI UNGHIConstructia bisectoarei cu ajutorul raportorului

1. Se construieste unghiul dat.2.Cu ajutorul raportorului se masoara unghiul, masura se imparte la doi si se pune semnul in dreptul masurii injumatatite.3. Cu ajutorul riglei se construieste semidreapta din varful unghiului ce va trece prin semnul masurii injumatatite.

.

bisectoarea

O

A

B

M

Constructia bisectoarei cu ajutorul compasului1. Se construieste unghiul dat.2. Cu varful compasului in O se construieste un arc de cerc ce taie laturile unghiului in A si B.3. Cu varful compasului in A si respectiv in B se construiesc doua arce de cerc, de raze egale, ce se vor intersecta in punctul M.4. Cu rigla se construieste semidreapta ce pleaca din O si trece prim punctul M.

O

A

B

M

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea in varful unghiului, se afla in interiorul acestuia si il imparte in doua unghiuri adiacente congruente.

<AOM <BOM

Bisectoarea este locul geometric al tuturor punctelor egal departate de laturile unghiului.

Daca: MA OA

MB OB atunci:[MA] [MB] .

PROPRIETATEA BISECTOAREITeorema. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal departat de laturile unghiului dat.

BISECTOAREA INTR-UN TRIUNGHIA

B CA`

B`C`

O

Cele trei bisectoare intr-un triunghi se intersecteaza intr-un singur punct, O, numit centru cercului inscris in triunghi.

Daca AA` si BB` sunt bisectoare si se intersecteaza in punctul O, atunci si CO este bisectoarea unghiului BCA.

Daca r este raza cercului inscris in triunghiul ABC, atunci avem:

r pAr

Unde A este aria triunghiului iar p este semiperimetrul triunghiului

.

UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PERPENDICULARE

Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt congruente.

Unghiurile cu laturile respectiv perpendiculare, sunt suplementare.

.

PARALELISM

DREPTE PARALELEDefinitie. Doua drepte diferite continute in acelasi plan, care nu au nici un punct

comun se numesc drepte paralele.

a

b

Scriem aceasta astfel: ab.

Si intelegem ca ab=

a c bDaca ac si bc, atunci:

ab

.

Axioma paralelelor. Printr-un punct dat, exterior unei drepte date, exista o singura paralela la dreapta data.

CRITERII DE PARALELISMa

b

c

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiuri alterne interne congruente. Urmariti figura.

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza doua perechi de unghiuri alterne externe congruente. Urmariti figura.

Doua drepte paralele taiate de o secanta formeaza patru perechi de unghiuri corespondente congruente. Urmariti figura(animatie morisca).

.

UNGHIURILE CU LATURILE RESPECTIV PARALELE

Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt congruente.

Unghiurile cu laturile respectiv paralele, sunt suplementare.

.

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIURILOR

.

SUMA MĂSURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI

TEOREMA. Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800.

Demonstratie:

A

B C

d

•Dreapta d este paralela cu dreapta BC;

•Se formeaza unghiuri alterne interne congruente.

1

m(<B) = m(<A1)

2

m(<C) = m(<A2)

m(<A)+m(<B)+m(<C)= =m(<A)+m(<A1)+m(<A2)= =1800.

.

UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI

A

BC D

Unghi exterior

Daca vom nota masurile unghiurilor de pe figura cu (urmariti figura):

Atunci avem relatiile:

= 1800 – = +

+ + = 1800.

INĂLŢIMEA INTR-UN TRIUNGHIA

B CA`

B`

C` H

Inaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa din varful triunghiului pe latura opusa.

Punctul de intersectie al inaltimilor se numeste ortocentrul triunghiului.

Intr-un triunghi dreptunghic, ortocentrul se afla in varful unghiului drept.

H

Daca se cunoaste lungimea unei laturi, a, si inaltimea corespunzatoare acestei laturi, ha, atunci:

2ahaA

.

INĂLŢIMEA IN DIFERITE TRIUNGHIURI

.

ARIA UNUI TRIUNGHI

BC

A

D

ha

a

1. Daca se cunoaste lungimea unei laturi (baza) si inaltimea , h, corespunzatoare lui b, atunci: 2

hbA

c

b

.

hb

hc

2. Daca intr-un triunghi ha, hb, hc sunt cele trei inaltimi corespunzatoare laturilor de lungimi a, b si c, atunci avem:

aha = bhb = chc

Perimetrul: P = a + b + c

MEDIANA INTR-UN TRIUNGHIA

CB

A`

B`C` G

Segmentul de dreapta care uneste varful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse se numeste mediana.

Intr-un triunghi, mediana il imparte in doua triunghiuri echivalente (de arii egale).

Punctul de intersectie al medianelor se numeste centrul de greutate al triunghiului.

Intr-un triunghi, medianele se intersecteaza intr-un punct ce se afla pe mediana la o treime fata de latura sau la doua treimi fata de varf, din lungimea medianei.

Exemplu: Daca AA` = 12cm, atunci AG = 2/3 din 12 = 8cm.

.

SIMETRIA FAŢĂ DE O DREAPTĂDaca avem un punct O si un punct A, atunci simetricul lui A fata de O este punctul A`, astfel incat punctele A, O, A` sa fie colineare si AO = OA`

O

A

A`

Daca avem un punct A si dreapta d, atunci simetricul lui A fata de dreapta d este punctul A`, astfel incat AA`d, AA`d = {O}, AO = OA`.

d

A

A`

O

.

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ISOSCEL

A

B C

•Bisectoarea unghiului de la varf este si mediana, si inaltime si mediatoare.

•Are doua laturi congruente: [AB]=[AC].

•Unghiurile de la baza sunt congruente: <B<C

•Bisectoarele unghiurilor de la baza, medianele si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente, sunt respectiv congruente.

•De exemplu, inaltimile BB` si CC` sunt congruente.

B`C`

•Unghiurile de la baza sunt intotdeauna ascutite!

.

Are o singura axa de

simetrie

PROPRIETĂŢILE TRIUNGHIULUI ECHILATERAL

A

B C

•Are toate laturile congruente.

•Are toate unghiurile congruente si egale cu 600.

600

600

600

•Toate cele trei bisectoare (sau mediane, inaltimi) sunt congruente. Orice bisectoare este si mediana, si mediatoare, si inaltime.

•Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie: cele trei bisectoare.

TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC PROPRIETATI

B C

A

300

M

In orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din lungimea acesteia.

Intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este jumatate din lungimea ipotenuzei.

2BCAM

2BCAB

.

LINIA MIJLOCIE IN TRIUNGHIA

B C

M N

Segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi se numeste linia mijlocie.

TEOREMA: Linia mijlocie intr-un triunghi este paralela cu cea de-a treia latura si jumatate din lungimea acesteia.

MN BC

2BCMN

PDaca M, N, P sunt mijloacele celor trei laturi ale ABC, atunci:

Perimetrul MNP este jumatate din perimetrul ABC

PATRULATERE

.

PATRULATER CONVEXUn patrulater se numeste convex daca, oricare ar fi o latura a sa, cele doua varfuri, nesituate pe latura considerata, se afla de aceeasi parte a dreptei in care este inclusa latura respectiva.

C

B

D

A

Definitia unui elev: Patrulaterul convex este acel patrulater in care diagonalele (ca segmente) nu se intersecteaza.

diagonala

Exemplu de patrulater concav:

diagonalele

.

PARALELOGRAMULDefinitie. Se numeste paralelogram patrulaterul convex care are laturile opuse paralele, doua cate doua.

A B

CDLaturile opuse

Unghiurile opuse

Unghiurile alaturate

Diagonalele

.

SUMA MASURILOR UNGHIURILOR UNUI PATRULATER CONVEX ESTE DE 3600.

Teorema. Intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.

PARALELOGRAMUL - PROPRIETATI

A B

CD

Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua.

Teorema. Intr-un paralelogram unghiurile alaturate sunt suplementare doua cate doua.Teorema. Intr-un paralelogram diagonalele se intersecteaza injumatatindu-se.

O

AO = OC si BO = OD

.

Orice paralelogram are un centru de simetrie: punctul de intersectie al diagonalelor – vezi animatia.

DREPTUNGHIULDreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept (de fapt toate unghiurile sunt de 900).

A B

CD

PROPRIETATILE PARTICULARE DREPTUNGHIULUI:

1. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si deci toate sunt de 900.2. Dreptunghiul are diagonalele congruente.

O

3. Dreptunghiul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

.

ROMBULRombul este paralelogramul cu toate laturile congruente.

A

B

C

D

In afara de proprietatile generale ale unui paralelogram, rombul mai are in plus, urmatoarele proprietati:

Teorema. Toate laturile rombului sunt congruente.

Teorema. Intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare intre ele si sunt bisectoarele unghiurilor lui.

O

Rombul are doua axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

.

PĂTRATULPatratul este dreptunghiul cu laturile consecutive congruente.

A B

CD

•Intr-un patrat toate laturile sunt congruente.•Intr-un patrat toate unghiurile sunt congruente (de 900).

•Intr-un patrat diagonalele au acelasi mijloc.

O

•Intr-un patrat diagonalele sunt congruente.•Intr-un patrat diagonalele sunt perpendiculare untre ele.•Intr-un patrat diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor lui.

Rombul are patru axe de simetrie (vezi pe figura animaţia).

.

TRAPEZUL

A B

CD Trapezul este patrulaterul convex care are numai doua laturi (opuse) paralele.

Baza mica.

Baza mare.

Unghiurile alaturate laturii neparalele sunt suplementare (suma lor este egala cu 1800).

Diagonalele trapezului.

.

Sfarsit