Géométrie Imaginaire 2 Tannery

Source gallica.bnf.fr / Bibliothèque nationale de France

Revue philosophique de laFrance et de l'étranger

http://www.bnf.fr

http://gallica.bnf.fr

Revue philosophique de la France et de l'étranger. 1877/01-1877/06.

1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupartdes reproductions numériques d'oeuvres tombées dans ledomaine public provenant des collections de la BnF. Leurréutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet1978 : - La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre etgratuite dans le respect de la législation en vigueur et notammentdu maintien de la mention de source. - La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et faitl'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale larevente de contenus sous forme de produits élaborés ou defourniture de service.

CLIQUER ICI POUR ACCÉDER AUX TARIFS ET À LA LICENCE

2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens del'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnespubliques.

3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisationparticulier. Il s'agit :

- des reproductions de documents protégés par un droit d'auteurappartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés,sauf dans le cadre de la copie privée, sans l'autorisation préalabledu titulaire des droits. - des reproductions de documents conservés dans lesbibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sontsignalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèquemunicipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité às'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions deréutilisation.

4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est leproducteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants ducode de la propriété intellectuelle.

5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallicasont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dansun autre pays, il appartient à chaque utilisateur de vérifier laconformité de son projet avec le droit de ce pays.

6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditionsd'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment enmatière de propriété intellectuelle. En cas de non respect de cesdispositions, il est notamment passible d'une amende prévue parla loi du 17 juillet 1978.

7/ Pour obtenir un document de Gallica en haute définition,[email protected].

http://www.bnf.fr

http://gallica.bnf.fr

http://www.bnf.fr/fr/collections_et_services/reproductions_document/a.repro_reutilisation_documents.html

mailto:[email protected]

~~RJ~~LA GEOMETRIE IMAGINAIREET LA NOTION D'ESPACE

('~ARTICLE)

IV

Au début de cet essai nous avons distingué soigneusement troisthéories mathématiquesdont chacune présente un caractèrespécial

10 La géométrie à n dimensions; elle n'est, à vrai dire, qu'unealgèbre où l'on emploie dans un sens tout métaphorique des termesempruntés à la géométrie usuelle

2° La géométrie imaginaire; c'est-à-dire celle où, pour arriverfinalement à des démonstrations portant sur des figures réelles, onconsidère des relations analytiques compliquées d'expressions de laforme a? + y –~t, relations que l'on désigne symboliquementavec les mots de points, lignes, figures imaginaires;

3° Enfin la géométrie non-euclidienne, où tout en suivant rio-ou-reusement les procédés de la méthode du Maître élémentaire 2, onadopte une hypothèse contraire à son axiome sur les parallèles.

Jusqu'ici nous avons parlé séparément de chacune de ces troisthéories; nous allons maintenant examiner les conséquences prin-cipales qui résultent de leurs rapprochements réciproques.

On conçoit d'ailleurs facilement quelle peut être la nature de cesrapprochements; car la terminologiedes imaginairespeut être adop-tée dans la géométrie à n dimensions ou dans la géométrie non-euclidienne aussi bien que dans la géométrie ordinaire; d'autre part.les hypothèses fondamentalesde la géométrie à H dimensions, hypo-thèses qui sont en réalité arbitraires, comme nous le verrons, peu-vent être combinées de façon à conduire nécessairement par iaréduction à trois du nombre des dimensions, soit aux hypothèses

'1. Voir la Revue philosophiquede novembre 1876, page 433, tom. II.2. Euclide (TTOt):e<MTY];.

554 REVUE PHILOSOPHIQUE

1%Paul TANNERY. LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 555

Paul TANNERY. LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 557

v

Ce n'est nullement une digression que nous venons de faire nousavons développé le premier terme d'une comparaison- nécessairepour bien comprendre les résultats du travail de Beltrami.

Ainsi, sous certaines conditions que nous avons définies, un êtresuperficiel vivant sur une surface développable constituerait unegéométrieplane qui serait identique à la nôtre, avec le postulatumd'Euclide que par un point on peut mener à une ligne géodésiquetune parallèle et une seule.

I[ existe des surfaces de révolution dont la courbure est positiveet constante ces surfaces sont engendrées par la révolution decourbes de la forme ABA'B' autour d'un axe situé vers le haut de lafigure.

Sous les mêmes conditions que précédemment et notamment souscelle de ne pouvoir se déplacer que dans une portion limitée de sonespace, un être superficiel, vivant sur de telles surfaces, constitue-rait une géométrie qui serait identique à la nôtre pour les figuressphériques. Le postulatum correspondant à celui d'Euclide pour leplan, serait que par un point on ne peut mener aucune parallèle àune ligne géodésique, deux lignes géodésiques se rencontrant tou-jours nécessairement, si on les prolongp suffisamment.

Il existe de même des surfaces de révolutiondont la courbure estnégative et constante elles sont de deux sortes, suivant qu'ellessont engendrées par des courbes de la forme ABA/B' (ûg. d) ou de laforme USV (fig. 2) tournant autour de l'axe XY 2.

1. Ligne minima entre deux quelconquesde ses points sur la surface.2. Les branches illimitées de la courbe USV se rapprochent indéfiniment del'axe XY sans jamais l'atteindre si l'on mène une tangente à cette courbe laportion interceptée entre le point de contactet l'axe a une longueurconstante.

Sous les mêmes conditions que précédemment, toujours pour desêtres superficiels ne pouvant faire le tour suivant un parallèle et nepouvant arriver aux arêtes de rebroussement, une ligne géodésiqueparaîtrait toujours unique entre deux points donnés quelconques

le postulatum admis reviendrait à celui de Lobatchefski pour leplan, que par un point donné on peut toujours mener deux paral-lèles à une ligne géodésique donnée; et la géométrie de la surfaceserait identique à la planimétrie non euclidienne, si elle était dé-nommée plan et les lignes géodésiquesdroites.

Beltrami appelle pseudo-sphériquesles surfaces à courbure néga-tive constante; mais il faut bien faire attention qu'elles sont lesanaloguesnon pas de la sphère, mais des surfaces à courbure posi-tive constante autres que la sphère. Il est clair en effet, d'après ceque nous avons dit, que l'égalité de courbure dans toutes les direc-tions et à tous les points ne peut exister pour les surfaces à courburenégative puisque le maximum et le minimum des courbures dessections normales sont de signe contraire. Cette égalité ne peutexister que pour le plan, où toutes ces courbures sont nulles, etpour la sphère, lorsque le maximum et le minimum de même signeétant égaux entre eux, il en résulte l'identité de toutes les courburesintermédiaires. Il n'y a donc pas d'analogie géométrique possible il.ne peut y en avoir qu'analytiquement en supposant imaginaire le

rayon de la sphère; l'expression de la courbure -r~ devient alors né-

gative, mais la surface est elle-même imaginaire, et ne peut pournous représenter rien de réel en dehors de la relation analytiqueelle-même.

Beltrami a également démontré que si on pouvait donner, sous les

t. U est clair qu'au contraire en réalité, sur toute surface de révolution il

y a deux lignes géodésiques minima entre deux points situés sur deux méri-diennes opposées; or dans le cas du cylindre, par exemple, on peut supposerque la surface soit indétiniment développée sur un plan, et la difficulté dispa-raît mais pour les surfaces à courbure négative constante, si l'on peut sup-poser idéalement un développement analogue, il n'y a pas de surface réellesur laquelle il puisse être conçu comme complétementopéré.

Paul TANNERY. LA GÉOMÉTRIE IMAGr~AIRE 563

_1_ n_ .J' -L~

tage des droites; la définition qu'il a admise pour la droite ne repré-sente donc pas exactement les données de l'intuition. Euclide atourné la difficulté par son postulatum; mais il ne faut pas croirequ'il ne s'agirait que de trouver une meilleure définition. Telle queles géomètresont le droit de l'exiger, c'est-à-dire en s'abstenant detoute notion concrète, cette définition est en effet impossible. Lacomparaisonde la géométrie euclidienne avec la géométrie pseudo-sphérique montre qu'elle ne pourrait être obtenue qu'en énonçantavec une première propriété commune aux deux géométries, uneseconde propriété n'ayant lieu que dans la première; resterait doncà démontrer dès lors que ces deux propriétés appartiennent bien àla même ligne, ce qui ne peut se faire à priori; car les géomètres,au point de vue subjectif, pourront toujours regarder comme vraiel'hypothèse contraire. En résumé, la notion concrète de la lignedroite est, comme celle de notre espace à laquelle, elle est intime-ment liée, un complexe de notions logiques distinctes dont l'origineou tout au moins l'associationsont foncièrementempiriques,

VI

Les travaux des novateurs depuis Beltrami appartiennent surtoutà la géométrie imaginaire proprement dite. Notre tâche devient iciplus difficile et nous devons réclamer toute l'indulgence du lecteur.

Les métaphores de la géométrie à n dimensionspeuvent être sai-sies par tout esprit habitué à reconnaître les analogies mais lesmétonymiesde la géométrie imaginaireexigeraient pour toutprofaneun commentaire hors de proportion avec l'intérêt que la questionpeut présenter sur lui. Je ne prétendrai donc pas les expliquer; jevoudrais seulement essayer de donner un aperçu, si vague qu'il soit,sur la tendance des travaux dont il s'agit, et, ne fut-ce qu'à titre decuriosité, un spécimen du langage qu'on y parle.

On trouve dans Beltrami, comme nous l'avons déjà indiqué, aumoins pour les géométriesà deux dimensions, un essai de représen-tation sur le plan.

Considérons une sphère et le plan tangent en un point que nousappellerons pôle. Supposons que l'on projette sur ce plan tous lespoints de l'hémisphère auquel appartient ce pôle par des droitesissues du centre de la sphère. A chaque point du plan correspondraun point de l'hémisphère et un seul; à chaque ligne tracée sur l'unedes deux surfaces une ligne tracée sur l'autre; et même à chaque

Paul TANNERY. – LA GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 565

avec les conséquences qui en résumeraient. Mais je n'ai pas, pourcela, le droit de conclure à la possibilité d'une hypothèse toute gra-tuite je puis simplementaffirmer en revanche que son impossibilitén'est pas démontrée. Il y a loin d'une des deux thèses à l'autre.

Il ne faut pas à ce sujet que l'exemple que nous avons donné del'être superficiel puisse entraîner à quelque, illusion, qu'on viennedire qu'il est de même possible que nous vivions dans un espace àtrois dimensions qui serait comme une surface pour un espace àquatre dimensions dans lequel existeraient nécessairement dès lors,comme les surfaces géométriquesdans le nôtre, d'autres espaces àtrois dimensions, plans ou courbes, de toutes les manières pos-sibles.

Cet exemplede l'être superficieln'est qu'une fiction ingénieuse oùnous avons accumulé les impossibilités elle ne tire nullement à con-séquence, car comparaison n'est pas raison. D'ailleurs, dans cettefiction, nous avons admis la notion concrète de la ligne droite, et ilfaudrait d'abord prouver, ce qui n'est pas fait, qu'elle peut se conci-lier avec la notion logique d'un espace à quatre dimensions.

VII

Si nous venons d'insister, autant qu'il nous était possible, sur lepoint de vue objectif, c'est que nous allons être obligés de l'aban-donner entièrement pour l'examen du travail dont il nous resteencore à parler. Il s'agit du mémoireposthume de Riemann « Sur leshypothèses qui servent de fondement à la ~eomët~e, mémoire oùl'illustre analyste allemand a indiqué aux novateurs la route qu'ilsdevaient suivre.

Rappelons tout d'abord que le point de départ, pour les travauxde Gauss, de Lobatchefski, de Bolyai, était en fait absolument étran-ger à la philosophie; avec Riemann, la scène change, la mathémati-que envahit nettement un terrain que jusqu'alors la métaphysiquene s'était guère vu disputer. Il s'agit de constituer une définition del'espace. Cette définition sera d'ailleurs purement logique; l'espacey apparaîtra comme une espèce très particulière de genres de plusen plus étendus, dont chacun doit être l'objet d'une théorie plus oumoins complète, et dont les autres espèces peuvent être égalementétudiées, sans s'inquiéter si elles répondent ou non à quelque réalitéobjective. L'expérience peut seule résoudre cette dernière questionet déterminer parmi toutes ces espèces qui auraient subjectivementla même importance, laquelle est en fait notre espace.

à une dimensionhomogène aux précédentes. On aura ainsi constituéla notion de la distance de l'origine à un point quelconque de lavariété à n dimensions, notion d'où découlera celle de la distanceentre deux points quelconques de cette variété.

La distance de l'origine à un point quelconque est une grandeurdéterminée lorsqu'on connaît les coordonnéesœ :r., de ce point,ou, en d'autres termes, c'est une fonction de ces coordonnées. Maiscette fonction est arbitraire; elle n'est soumise qu'à une condition,de devenir égale en valeur absolue (car elle est toujours supposéepositive) à une quelconque de ces coordonnées quand toutes lesautres s'annulent.

Dans notre espace par exemple, le carré de cette distance est, avecun choix convenabled'axes coordonnés 1, la somme des carrés descoordonnées. Mais on pourrait avoir la quatrième puissance de ladistance égale à la somme des quatrièmes puissances des coor-données, et une infinité d'autres fonctions pourraient de même satis-faire à l'unique condition exprimée. On comprend donc comment legenre défini en dernier lieu, les grandeurs continues à dimen-sions mesurables avec une même unité euective, se divise en uneinfinité d'espèces, dont chacune est caractérisée par la fonction quilie aux coordonnéesd'un point, la distance de ce point à l'origine.

Pour que la classification dans cet ordre d'idées soit plus natu-relle, il convient d'ailleurs, comme le fait Riemann, de classer cesfonctions d'après la forme de leurs différentielles, c'est-à-dire, de larelation analytique qui lie l'élément infiniment petit de la distanceaux coordonnées et à leurs éléments infiniment petits.

Prenant l'espèce où le carré de cet élément infiniment petit, lors-qu'il commence à l'origine, est égal à la somme des carrés des élé-ments infiniment petits des coordonnées, ou par un choix convena-ble des coordonnéespeut être ramené à cette expression,

d s* =: dx" (2)

Riemann énonce que lorsque l'élément infiniment petit commenceen un point quelconque pour lequel la somme des carrés des coor-données est E x2, on a la relation

ds =~Tdx?'l+~a est un coëfficient constant pour une même variété et qui la carac-térise Riemann l'appelle courbure de la variété.

1. C'est-à-dire, lorsqu'ils sont rectangulaires.2. ds désignant l'élément inaniment petit ou la différentielle de la distance,

dx celle d'une coordonnée.

Géométrie Imaginaire 2 Tannery

Documents

Transcript of Géométrie Imaginaire 2 Tannery