Geometrie Descriptiva-Pozitii Relative

download Geometrie Descriptiva-Pozitii Relative

of 22

Transcript of Geometrie Descriptiva-Pozitii Relative

  • POZIII RELATIVE

    53

    5. POZIIILE RELATIVE ALE ELEMENTELOR GEOMETRICE

    5.1 Poziiile relative a dou plane

    Dou plane pot fi paralele sau concurente n spaiu. 5.1.1 Plane paralele

    Pornind de la teorema conform creia dou plane paralele sunt intersectate de un al

    treilea plan dup drepte paralele (al treilea plan fiind unul din planele de proiecie), rezult c dou plane oarecare [P] i [Q] sunt paralele dac au urmele de acelai fel paralele ntre ele (fig. 5.1).

    Reciproca acestei teoreme este valabil, adic dac urmele de acelai fel a dou plane sunt paralele n epur, planele sunt paralele n spaiu.

    Teorema de mai sus poate fi verificat pentru toate planele, referitor la urmele orizontale i vertica-le, excepie fac planele para-lele cu axa Ox, la care trebuie verificate i urmele laterale, avnd n vedere c pentru toate aceste plane urmele orizontale i vertica-le sunt paralele cu axa Ox. n figura 5.2, planele [P] i [Q] nu sunt paralele pentru c urmele lor laterale P i Q se intersecteaz i nu sunt paralele. Cele dou plane se intersecteaz dup fronto-orizontala D(d,d,d)

    Cnd planele nu sunt date prin urme, a verifica dac dou plane sunt sau nu paralele, revine la a verifica dac unul dintre plane are dou drepte paralele cu dou drepte din cellalt plan.

    n figura 5.3 planele [P] i [Q] sunt determinate prin triunghiurile ABC, respectiv EFG, [P] = [ABC], [Q] = [EFG]. Pentru a verifica dac sunt sau nu paralele, se duce cte o orizontal D1 [ABC], D2 [EFG] i cte o frontal D3 [ABC], D4 [EFD] n fiecare plan i

    xO

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O[P]

    P'

    [Q] y1

    Q' P"

    Q"Q

    P

    Px Qx

    PzQz

    QyPy

    P'Q' P"

    Q"

    QP

    Fig.5.1 Reprezentarea planelor paralele:

    a) n spaiu, [P] [Q]; b) n epur, P Q, P Q, P Q

    xO

    [H]

    [V][L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    [P] P'

    [Q]y1

    Q'P"

    Q"Q

    P

    PzQz

    QyPy

    P'

    Q' P"

    Q"

    QP

    D d"

    d'

    d

    d"

    Fig.5.2 Reprezentarea planelor paralele cu axa Ox,

    concurente: a) n spaiu, [P] [Q] = D, D [L] ; b) n epur, P Q,

    P Q, P Q = d

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    54

    dac proieciile orizontale ale orizontalelor i proieciile verticale ale frontalelor sunt paralele d1 d2, d3 d4, atunci planele sunt paralele, [ABC] [EFG].

    Fiind dat un plan prin urme i un punct exterior lui se poate construi planul ce trece prin acel punct i este paralel cu planul dat. Astfel, n figura 5.4, a, se d planul [P] i punctul M(m,m), exterior lui i se cere construirea unui plan [Q] [P]. Pentru rezolvare, se construiete prin punctul M o orizontal D(d,d), cu proiecia orizontal d paralel cu urma orizontal P, d P i se determin urma vertical a ei, v. Prin v se duce urma vertical Q a planului [Q], astfel nct : Q P. Urma Q intersecteaz axa Ox n Qx, prin care se duce urma orizontal Q a planului [Q] : Q P (fig.5.4, c).

    5.1.2 Plane concurente

    Dou plane concu-rente se intersecteaz dup o dreapt. Dac planele sunt date prin urme, dreapta de intersecie trebuie s respecte condiia de apartenen la plan, pentru ambele plane, adic s aib urmele situate pe urmele planelor. Aceste puncte sunt punctele de intersecie ale urmelor de acelai nume.

    n figura 5.5, a planele [Q] i [P] se intersecteaz dup dreapta D(d,d), ale crei urme

    x

    z

    Oe'

    2

    a'

    a

    c'

    b'

    d3'

    b

    c

    d2'd1'

    d3 d2

    d1y

    d4'

    d4

    1'

    1

    2'

    f '4'

    g'

    f

    g

    4e

    3'

    3

    Fig.5.3 Triunghiuri paralele [ABC] [EFG]

    Qx

    a)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    m'

    m

    Pb)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    m'

    m

    P

    d'v'

    v

    c)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    m'

    mQ

    Q'

    P

    d'

    d

    v'

    v

    d

    Fig.5.4 Construirea unui plan [Q] paralel cu un plan [P], printr-un punct M, exterior lui

    x O

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O[P]

    P'Q'

    P"

    P

    Px Qx

    P'Q'

    Q P

    [Q]

    PxQx

    D

    V=v'

    H=hQ

    v h'd'

    d

    v'

    h

    h'v

    d'

    d

    Fig.5.5 Reprezentarea planelor concurente: a) n spaiu, [P] [Q] = D(d,d);

    b) n epur, P Q = h, P Q = v, d = h v, d = h v

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

  • POZIII RELATIVE

    55

    sunt : urma orizontal H(h,h) la intersecia urmelor orizontale P i Q ale planelor, H = h = P Q i urma vertical V(v,v) la intersecia urmelor verticale ale planelor, V = v = P Q. Proieciile dreptei de intersecie se obin unind proieciile urmelor de acelai nume : d = h v, d = h v (fig.5.5, b).

    Dac planele inter-sectate [P] i [Q] au urmele orizontale paralele, urma orizontal a dreptei de intersecie se afl la infinit, adic dreapta va fi o orizontal G(g,g) (fig.5.6). Urma ei vertical se afl la intersecia urmelor verticale ale celor dou plane, v = P Q iar proiecia orizontal g trece prin v i este paralel cu urmele orizontale ale celor dou

    plane, g P Q. n mod analog, dac

    urmele verticale ale planelor concurente [R] i [T] sunt paralele, dreapta de intersecie va fi o frontal, F(f,f), care are urma vertical la infinit (fig.5.7). Urma orizontal a frontalei se gsete la intersecia urmelor orizontale a celor dou plane, h = R T, iar proiecia vertical a fronta-lei f trece prin h i este paralel cu urmele verticale ale planelor, f R T.

    Se pune problema interseciei dintre un plan oarecare i un plan de nivel sau de front.

    Plecnd de la raio-namentul conform cruia dou plane paralele sunt intersectate de un al treilea dup dou drepte paralele, intersecia dintre un plan oarecare [P] i un plan de nivel [N] este o orizontal G(g,g) (fig.5.8). Cele dou plane paralele sunt planul orizontal [H] de proiecie i

    x O

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O[P]

    N'P"

    P

    [N]PxG

    V=v'

    N"v

    g'

    g

    P'

    Pgv

    v'N'=g'P'

    Pxg"

    N"=g"l'

    l

    l"

    P"

    Py

    Pz

    Fig.5.8 Reprezentarea interseciei plan oarecare [P],

    plan de nivel [N] : a) n spaiu ; b) n epur

    x O

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    [P]P'Q' P"

    P

    [Q]

    Px QxGV=v'

    Qv

    g'

    g

    P'

    Pg

    QxQ

    v

    v'

    Q'

    g'

    P'

    Px

    Fig.5.6 Plane concurente [P] [Q] = G(g,g), G [H] : a) n spaiu ; b) n epur

    x O

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    [R]R'T'

    R"R

    [T]RxTx

    F

    H=hT

    h'f'

    f h

    h'

    R'

    R

    RxTx f

    f'T'

    T

    Fig.5.7 Plane concurente [R] [T] = F(f,f), F [V] : a) n spaiu ; b) n epur

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    56

    planul [N], iar planul care le intersecteaz este planul [P]. Rezult dreapta P urma orizontal a planului [P] (orizontal de cot zero) i dreapta de intersecie cutat G(g,g) - orizontal de cot egal cu cota planului de nivel (fig.5.8, a). n epur, proiecia vertical a orizontalei de intersecie g trece prin urma vertical v, v = N P i este suprapus peste urma vertical a planului [N], N g iar proiecia orizontal g trece prin v i este paralel cu urma orizontal a planului [P], g P (fig.5.8, b).

    Similar pentru intersecia dintre un plan oarecare [P] i un plan de front [F] se obine o frontal D(d,d) (fig.5.9). Proiecia orizontal a frontalei d trece prin urma orizontal h, h = P F i este suprapus peste urma orizontal a planului de front, F d, iar proiecia vertical trece prin h i este paralel cu urma vertical a planului [P], d P.

    Intersecia a dou plane paralele cu axa Ox,

    [P] i [Q], este o dreapt D(d,d), care nu are nici urm orizontal, nici urm vertical, avnd n vedere c urmele orizontale i verticale a celor dou plane se intersecteaz la infinit (fig.5.2, a). O astfel de dreapt, este o fronto-orizontal. Pentru trasarea ei n epur

    (fig.5.2, b), trebuie s se gseasc cel puin un punct al dreptei, sau urma lateral care este identic cu proiecia lateral d a fronto-orizontalei i se afl la intersecia urmelor laterale a celor dou plane, d = P Q.

    Pentru determinarea unui punct comun celor dou plane paralele cu axa Ox, cnd nu se poate lucra cu planul lateral, se poate folosi un plan auxiliar plan proiectant sau plan oarecare.

    n figura 5.10 planele [P] i [Q] se intersecteaz cu planul de capt [R], rezultnd ca punct comun al celor trei plane, punctul I(i,i) : [P] [R] = D1(d1,d1), [Q] [R] = D2(d2,d2), d1 d2 = i. Fronto-orizontala de intersecie D(d,d) se traseaz prin punctul I(i,i) : i d, d Ox, i d, d Ox.

    n cazul n care urmele planelor concurente nu se ntlnesc n cadrul epurei, dreapta de intersecie se determin cu ajutorul unor plane auxiliare, de nivel sau de front. Acestea intersecteaz fiecare din planele date dup cte o orizontal sau o frontal, la intersecia crora se afl un punct comun celor trei plane, care determin drepta de intersecie.

    n figura 5.11 sunt reprezentate dou plane, [P] i [Q], ale cror urme orizontale i verticale nu se intersecteaz n cadrul epurei. Cu ajutorul planului auxiliar de nivel [N] s-au determinat orizontalele G1(g1,g1) i G2(g2,g2), dup care planul de nivel intersecteaz fiecare din planele date i punctul lor comun de intersecie I(i,i) : [N] [P] = G1(g1,g1),

    x

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O[P]

    F

    P"

    P

    [F]

    PxD

    H=h

    F"

    h'd'

    P'

    P

    P'

    Px

    d"

    l'

    l

    l"P"

    Py

    Pz

    dO

    F=d

    d'

    F"=d"

    h'

    h

    h"

    Fig.5.9 Reprezentarea interseciei plan oarecare [P], plan de front [F] : a) n spaiu ; b) n epur

    x

    z

    y

    O

    PzQz

    QyPy

    P'

    Q'

    QP

    d'

    di

    i'

    v2 v1

    h1h2

    d1

    d2

    R'=d1'=d2'

    v2'

    v1'

    Rx=h1'=h2'

    R

    Fig.5.10 Intersecia a dou plane paralele cu linia de pmnt

    SergiuHighlight

    SergiuHighlight

  • POZIII RELATIVE

    57

    [N] [Q] = G2(g2,g2), g1 g2 = i. Punctul I(i,i) este un punct al dreptei de intersecie D(d,d) dintre planele [P] i [Q].

    Un alt punct J(j,j) al dreptei de intersecie s-a determinat cu ajutorul planu-lui auxiliar de front [F], care intersecteaz planele dup frontalele D1(d1,d1) i D2(d2,d2) : [F] [P] = D1(d1,d1), [F] [Q] = D2(d2,d2), d1 d2 = j. Punctele I(i,i) i J(j,j) determin dreapta de intersecie D(d,d) : d = i j, d = i j.

    Dac n cadrul epurei se ntlnesc numai urmele orizontale sau verticale ale planelor concurente, se folosete un singur plan auxiliar.

    5.2 Poziiile relative ale unei drepte fa de un plan Dreapta i planul pot avea n spaiu urmtoarele poziii relative : a) - dreapta coninut n plan (caz tratat n paragraful 4.1, figura 4.6) ; b) - dreapta paralel cu planul ; c) - dreapta concurent cu planul. b) Dreapta paralel cu planul O dreapt este

    paralel cu un plan dac este paralel cu o dreapt coninut n acel plan. n figura 5.12 sunt reprezentate, att n spaiu (a) ct i n epur (b), planul [P] i o dreapt D(d,d). n epur, verificarea paralelis-mului dintre cele dou elemente, se face trasnd o dreapt D1, n planul [P] i artnd c aceasta este paralel cu dreapta D(d,d) dat.

    n primul rnd, se traseaz proiecia ei vertical , d1 d (fig.5.12, b). Se determin apoi proieciile verticale ale urmelor h1 Ox i v1 P i corespondentele acestora n planul orizontal, h1 P i v1 Ox. Dac proiecia orizontal a dreptei D1(d1,d1), d1 = h1 v1, este paralel cu proiecia orizontal a dreptei date , d1 d, rezult c cele dou drepte sunt paralele, deci i dreapta dat este paralel cu planul : D [P].

    Dac se pune problema construirii unei drepte D1(d1,d1) paralele cu un plan [P] printr-un punct A(a,a), exterior planului, problema are o infinitate de soluii.

    x

    z

    y

    O

    P'Q'

    QP

    d'

    d

    i

    i'

    v2v1

    h1 h2

    g1

    N'=g1'=g2' v2'v1'

    Px

    j '

    j

    Qxh1' h2'

    g2

    F=d1=d2

    d1'd2'

    Fig.5.11 Intersecia planelor ale cror urme

    nu se ntlnesc n cadrul epurei

    xO

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    [P]

    P'

    P"

    P

    Px

    Pz

    PyPx

    Pz

    Py

    P'

    PH=h

    d

    D

    d

    d'

    v'

    v

    D1

    V=v'

    h'

    h1

    h1'

    d1

    d1'd'

    v1'

    v1

    h

    h' h1'

    h1

    d1

    d1'v1'

    v1

    Fig.5.12 Dreapt paralel cu planul, D(d,d) [P] :

    a) n spaiu ; b) n epur

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    58

    Pentru rezolvare, se traseaz o dreapt D(d,d), cuprins n plan i prin punctul A(a,a) se duce dreapta D1(d1,d1) paralel cu aceasta, astfel: d1 d i d1 d (fig.5.13).

    Dreapta D1(d1,d1) este paralel cu planul [P], deoarece este paralel cu o dreapt cuprins n plan.

    Problema se poate pune i invers, adic s se construiasc un plan [P] printr-un punct dat C(c,c), paralel cu o dreapt D, dat de punctele A(a,a) i B(b,b). n acest caz, planul cutat trebuie s conin o dreapt D(d,d), care trece prin punctul dat i este paralel cu dreapta dat. Planul ale crui urme trec prin urmele dreptei D (adic planul conine dreapta) este planul cerut. Deoarece o dreapt nu determin complet un plan, exist o infinitate de soluii. n epura din figura 5.14 s-au construit dou astfel de plane, [P] i

    [Q], alegnd punctele de intersecie cu axa Ox, Px i Qx, arbitrar i unind aceste puncte cu urmele dreptei D, [P]: P = Px h, P = Px v ; [Q]: Q = Qx h, Q = Qx v.

    O dreapt este paralel cu dou plane dac este paralel cu dreapta lor de intersecie (singura dreapt comun ambelor plane). n figura 5.15 se cere s se traseze o dreapt D1 printr-un punct M(m,m), care s fie paralel cu planele [Q] i [R]. Se determin dreapta de intersecie dintre cele dou plane, D(d,d) = [Q] [R] i prin punctul M se duce dreapta cerut, astfel : prin m, d1 d i prin m, d1 d. Dreapta D1(d1, d1) astfel construit este paralel cu cele dou plane, pentru c este paralel cu dreapta D, care aparine ambelor plane.

    c) Dreapta concurent cu planul Determinarea punctului de intersecie dintre o dreapt i un plan este mult utilizat

    pentru rezolvarea unor probleme de seciuni plane n corpuri geometrice, de intersecii de corpuri geometrice i altele.

    Pentru a determina punctul de intersecie dintre o dreapt oarecare i un plan oarecare (fig.5.16) se utilizeaz un plan auxiliar, de regul un plan proiectant, plan determinat de dreapt. Etapele determinrii punctului de intersecie dintre planul [P] i dreapta D(d,d) sunt prezentate n figura 5.17 :

    1) prin dreapta D(d,d) se duce un plan auxiliar proiectant, [Q], convenabil ales (de capt n acest caz) (fig.5.17, b);

    z

    x

    y

    OPx

    Q'

    Pd

    d'

    v'

    v

    h

    h'

    d1

    d1'

    m

    m'P'

    Q

    Fig.5.15 Dreapt paralel cu dou plane : D1 [Q], D1 [R]

    z

    x

    y

    OPx

    P'

    P

    d

    d'

    v'

    v

    h

    h'

    d1

    d1'

    a

    a'

    z

    x

    y

    OPx

    P'

    Pd

    d'v'

    v

    h

    h'd1

    d1'

    b

    b'

    a'

    a

    c'

    c

    Q'

    QQx

    Fig.5.13 Construirea unei drepte Fig.5.14 Construirea unui plan paralel cu o

    paralel cu un plan : D1 [P] dreapt, [P] D sau [Q] D

  • POZIII RELATIVE

    59

    2) se intersecteaz planul proiectant [Q] cu planul oarecare [P], rezultnd dreapta D1(d1,d1), d1 = h v, d1 = h v (fig.5.17, c);

    3) se determin punctul de intersecie dintre dreapta dat i dreapta gsit anterior, D D1 = I(i,i). Cele dou drepte fiind n planul ajuttor [Q], punctul lor de intersecie se gsete, mai nti, pe planul de proiecie fa de care planul ajuttor nu este proiectant, adic pe planul orizontal : d d1 = i (fig.5.17, d). Deoarece punctul I aparine dreptei D1 i aceasta este coninut n planul [P], rezult c I este punctul de intersecie dintre dreapta D i planul [P].

    Dac dreapta care intersecteaz un plan este oarecare, alegerea planului auxiliar ca plan de capt sau plan vertical este la fel de convenabil. n figura 5.18 este reprezentat, n spaiu i n epur, intersecia de mai sus, rezolvat cu ajutorul unui plan auxiliar vertical. n acest caz planul auxiliar fiind proiectant fa de planul orizontal, punctul de intersecie se determin, mai nti, n proiecia de pe planul vertical de proiecie, d d1 = i.

    Atunci cnd dreapta care intersectea-z un plan este ntr-o

    x [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    OP'

    Pz

    PyPx

    Pz

    Py

    P'

    P

    i'

    v'

    h[P]

    P"O

    P

    Q'

    [Q] QxPx D

    D1V=v'

    Qx=v

    Q=d=d1

    i'Ii

    H=h

    d1'

    Q=d=d1

    i

    h'

    Q'd'

    d1'd'

    Fig.5.18 Reprezentarea interseciei dreapt - plan oarecare (utiliznd plan proiectant vertical) : a) n spaiu ; b) n epur

    a)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    P d

    d'

    hb)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    P d

    Qx

    Q'=d'

    Q

    c)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    Pd

    v'

    v Qx=h'

    Q'=d'=d1'

    d1 Qh

    d)

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    Pd

    i'v'

    v Qx=h'

    Q'=d'=d1'

    d1 Qh

    i

    Fig.5.17 Etapele determinrii punctului de intersecie dintre planul [P] i dreapta D(d,d)

    x [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    P'

    Pz

    PyPx

    Pz

    Py

    P'

    PH=h d

    i'

    v'

    v

    Q'=d'=d1'

    h[P]

    P"O

    PQ

    [Q]QxPx

    D

    D1

    d1

    V=v'

    Qx=h'

    Q'=d'=d1'

    d1i

    i'I

    Q

    d

    Fig.5.16 Reprezentarea interseciei dreapt - plan oarecare

    (utiliznd plan de capt) : a) n spaiu ; b) n epur

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    60

    poziie particular, planul auxiliar poate fi ales i n alt poziie dect de plan proiectant. Astfel, pentru a rezolva intersecia dintre o dreapt vertical D(d,d) i un plan oarecare [P], planul auxiliar ales este un plan de front [F], dus prin dreapt (fig.5.19). Planul [F] intersecteaz planul dat dup o frontal D1(d1,d1), care intersec-teaz verticala dat n punctul I(i,i), intersecie vizibil n proiecia pe planul vertical de proiecie, d1 d = i.

    Intersecia dintre o dreapt i un plan, ambele avnd poziii particulare fa de planele de proiecie, poate fi rezolvat i fr ajutorul planului auxiliar, punctul de intersecie rezultnd direct pe unul din planele de proiecie. Aceasta se poate observa n

    rezolvarea interseciei dintre un plan paralel cu linia de pmnt [P] i o dreapt de profil D(d,d), figura 5.20. Punctul de intersecie I(i,i) se gsete, mai nti, pe planul lateral de proiecie, ca intersecia dintre urma lateral P a planului i proiecia lateral d a dreptei de profil, i = P d.

    Intersecia dintre o dreapt oarecare i o figur geometric

    Determinarea punctului

    de concuren dintre o dreapt i un plan dat prin coordonatele vrfurilor unei figuri geometrice se face ca i n cazul prezentat la planul dat prin urme.

    n figura 5.21, a pentru gsirea punctului n care dreapta D(d,d) intersecteaz placa [ABC], se duce un plan de capt [Q] prin dreapt i se determin dreapta (12,12) dup care acesta intersecteaz placa : bc Q = 1, ac Q = 2.

    xO

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O

    [P]

    P'y1

    Q'

    P"

    F"=d"=d1"

    F=d1 P

    Px

    Pz

    Py

    P"

    d=i

    D[F]D1

    Ii'

    d'

    Py

    Pzd1'

    d'P'

    PF=d1

    F"=d"=d1"

    i' i"

    d=ih

    h'

    Fig.5.19 Reprezentarea interseciei dintre verticala D(d,d) i

    un plan oarecare [P] : a) n spaiu ; b) n epur

    xO

    [H]

    [V][L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    O[P]

    P'

    P"

    PPy

    Pz

    y1

    PzP'

    P"

    P

    i'i"

    d' d"

    I

    i

    D

    dPy

    d"d'

    d

    i'

    i

    i"

    Fig.5.20 Reprezentarea interseciei dintre o dreapt de profil

    i un plan paralel cu linia de pmnt : a) n spaiu; b) n epur

    a

    a'

    x

    y

    O

    b'd'=Q'

    Q

    c'c

    b

    z

    1'=3'

    1

    i'2'

    i 2d3

    4'

    5'

    4=5

    a)

    a

    a'

    x

    y

    O

    b'R'

    R=d

    c'c

    b

    z

    i'

    2'

    i2

    d'

    1=3 4

    5

    4'=5'

    b)

    1'

    3'

    Fig.5.21 Intersecia dintre o dreapt oarecare D(d,d) i o plac plan opac [ABC]

  • POZIII RELATIVE

    61

    Aceast dreapt se intersecteaz cu dreapta dat D(d,d) n punctul I(i,i), punct de intersecie ce se obine, mai nti, n proiecia pe planul orizontal, 12 d = i, pentru ca apoi cu ajutorul unei linii de ordine s se determine i proiecia vertical i.

    Dac placa este opac, este necesar s se stabileasc poriunile vizibile i respectiv invizibile ale dreptei.

    Pentru determinarea vizibilitii dreptei n proiecia vertical se consider punctele 1 3 unde, aparent, proiecia vertical a dreptei d intersecteaz latura bc a plcii i se stabilete care dintre ele are deprtarea mai mare. Din proiecia orizontal rezult c punctul 1 are deprtarea mai mare, deci n proiecia vertical punctul 1 este n faa punctului 3 i implicit latura bc este vizibil. Pe poriunea 12 proiecia vertical a dreptei d este invizibil din 1 pn n i i vizibil din i pn n 2.

    Bazndu-ne pe acest raionament i tiind c, n proiecia orizontal dintre dou puncte care au proieciile orizontale suprapuse este vizibil punctul care are cota mai mare, n continuare s-au considerat punctele 4 5, la intersecia aparent a proieciei orizontale d a dreptei cu latura bc i s-a stabilit vizibilitatea dreptei pe planul orizontal. n proiecia orizontal, dreptea d este vizibil de la latura ac pn n i i invizibil din i pn la latura bc.

    Aceeai problem se poate rezolva utiliznd ca plan ajuttor un plan proiectant vertical [Q], dus prin dreapta D(d,d), obinndu-se aceleai rezultate (fig.5.21, b).

    Intersecia a dou plci plane tiind c dou plane se intersecteaz dup o dreapt, se pune problema determinrii

    dreptei de intersecie dintre dou plci plane. Pentru aceasta se vor afla dou puncte de intersecie dintre laturile unei plci cu cealalt plac, puncte care vor determina direcia dreptei de intersecie.

    n figura 5.22 sunt date plcile triunghiulare [ABC] i [KMN]. Pentru determinarea dreptei lor de intersecie, se propune aflarea punctelor n care laturile KM i MN ale plcii [KMN] intersecteaz placa [ABC].

    Prin latura KM se duce planul de capt [Q1], care intersecteaz placa [ABC] dup dreapta (12,12) i ea la rndul ei latura KM n punctul I(i,i), unul dintre punctele care determin drepta de intersecie dintre cele dou plci.

    Pentru determinarea unui al doilea punct al dreptei de intersecie, prin latura MN se duce planul de capt [Q2], care intersecteaz placa [ABC] dup dreapta (34,34), iar aceasta este

    a

    a'

    x

    y

    O

    b'

    c'

    c

    b

    z

    k

    k'

    n'

    m'

    m

    n

    4'j '

    3'2'

    i'1'=5'7'

    6'

    Q2xQ1xQ1 Q2

    Q1' Q2'

    1

    3i5

    2

    j

    4

    6=7

    Fig.5.22 Intersecia a dou plci plane opace, [ABC] [KMN] = IJ(ij,ij)

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    62

    concurent cu latura MN n punctul J(j,j). Cele dou plci triunghiulare se intersecteaz dup segmentul IJ(ij,ij).

    Plcile fiind considerate opace, se studiaz vizibilitatea laturilor. n plan vertical, se consider punctele aparent suprapuse 1 5 i n plan orizontal, punctele 6 7, folosind teoria cunoscut. Astfel, n proiecia vertical este vizibil punctul 1, deci latura ab, iar n plan orizontal, punctul 7, deci latura km, n dreptul interseciilor aparente. Restul segmentelor vizibile i invizibile rezult din epur, n funcie de linia de intersecie, considernd plcile rigide.

    Punctele care determin segmentul de dreapt dup care se intersecteaz dou plci nu rezult ntotdeauna direct. n figura 5.23 pentru determinarea dreptei de intersecie dintre plcile [ABC] i [KMN] se intersecteaz laturile KN i MN cu placa [ABC], folosind planele auxiliare de capt [Q1] i [Q2]. Latura KN intersecteaz placa [ABC] n punctul (,), iar latura MN intersecteaz planul din care face parte triunghiului ABC n punctul (,) i nu triunghiul efectiv.

    Din dreapta de intersecie (,), segmentul dup care se intersecteaz cele dou plci este (,), (,) fiind punctul n care latura BC intersecteaz placa [KMN].

    Vizibilitatea plcilor se determin studiind vizibilitatea punctelor (1,1), (5,5) i a punctelor (6,6) i (7,7).

    a

    a'

    x

    y

    b'

    c'

    c

    b

    z

    k

    k'

    n'

    m'

    m

    n

    4'

    3'2'

    '

    1'=5'

    7'

    6'

    O=Q2xQ1x

    Q1

    Q1'

    Q2'

    1

    35

    2

    4

    6=7

    Q2

    ''

    Fig.5.23 Intersecia a dou plci plane opace, [ABC] [KMN] = (,)

  • POZIII RELATIVE

    63

    5.3 Drepte i plane perpendiculare a) Dreapta perpendicular pe un plan Un caz particular al interseciei dintre o dreapt i un plan oarecare este cazul cnd

    dreapta face cu planul un unghi de 900. O dreapt D(d,d) perpendicular pe un plan oarecare [P], intersecteaz acel plan

    ntr-un punct I(i,i). Prin punctul de intersecie se pot duce n plan o orizontal G(g,g) i o frontal F(f,f) a planului. Conform teoremei unghiului drept, proiecia orizontal a dreptei d va fi perpendicular pe proiecia orizontal a orizontalei g, deci i pe urma orizontal a planului P i proiecia vertical a dreptei d va fi perpendi-cular pe proiecia vertical a frontalei f, deci i pe urma vertical a planului P (fig.5.24).

    Observaie : O dreapt este perpendicular pe un plan dac proieciile ei sunt perpendiculare pe urmele de acelai nume ale planului.

    Reciproca teoremei enunate mai sus este adevrat, cu excepia planului paralel cu axa Ox i a planului axial, la care toate dreptele de profil au proieciile orizontale i verticale perpendiculare pe urmele de acelai nume ale planului. Verificarea perpendicularitii se face ca i n figura 5.25, prin proiecia pe plan lateral att a dreptei ct i a planului. Aici se observ c dreapta D(d,d,d) este perpendicular pe planul [P], deoarece i d P, n ambele cazuri.

    Cnd planul nu este dat prin urme, construirea unei perpendiculare pe plan se face utiliznd o orizontal i o frontal a planului. n figura 5.26, se pune problema trasrii unei perpendiculare D(d,d) prin punctul M(m,m), pe planul triunghiului [ABC]. Se traseaz orizontala G(g,g) prin vrful A, g = a 1, g = a 1 i frontala F(f,f), prin vrful C(c,c), f = c 2, f = c 2. Din proiecia m se construiete proiecia orizontal d, perpendicular pe orizontala g, iar din m, proiecia vertical d perpendicular pe frontala f : d g, d f.

    x

    [H]

    [V]

    [L]

    z

    ya) b)

    x

    z

    y

    OP'

    Pz

    PyPx

    Pz

    Py

    P'

    P

    v'

    v

    [P]

    P"O

    Pd

    Px

    D

    IG

    F

    d'

    i

    i'

    g

    f 'v'

    h'

    h

    v

    i'

    h

    h'

    d'

    d

    f '

    f

    g'

    g

    Fig.5.24 Reprezentarea unei drepte D perpendicular pe un plan [Q] : a) n spaiu, D [Q]; b) n epur, d Q, d Q

    x

    z

    y

    O y1

    PzP'

    P"

    P Py

    d"d'

    d

    i'

    i

    i"

    x

    y

    O y1

    P"

    P=P'

    d"d'

    d

    i'

    i

    i"

    z

    a) b)

    Fig.5.25 Dreapt de profil perpendicular pe un : a) plan paralel cu Ox ; b) plan axial: D(d,d) [P],

    z

    a

    a'

    x

    y

    O

    b'

    g'c'

    cb

    1'

    1

    2'

    2d

    5'd'

    m'

    mgf

    f '

    Fig.5.26 Dreapt perpendicular pe un triunghi: D(d,d) [ABC]

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    64

    b) Plan perpendicular pe o dreapt Se pune problema construirii unui plan [P] perpendicular pe dreapta D(d,d),

    printr-un punct exterior ei, A(a,a) (fig.5.27). Pentru ca punctul A s aparin planului trebuie ca acesta s fie situat pe o dreapt a planului. Astfel, prin punctul A se duce o orizontal a planului G(g,g), a crei proiecie orizontal g s fie perpendicular pe proiecia orizontal d a dreptei, g d i se determin urma vertical a orizontalei, V(v,v). Urma vertical P a planului trece prin v i este perpendicular pe proiecia vertical d a dreptei, iar la intersecia cu linia de pmnt Ox se obine punctul Px. Urma orizontal P a planului trece prin punctul Px i este perpendicular pe proiecia orizontal d a dreptei. Planul [P] este perpendicular pe dreapta D(d,d) deoarece are urmele perpendiculare pe proieciile de acelai nume ale dreptei.

    c) Drepte perpendiculare Se cunoate faptul c unghiul drept dintre dou drepte oarecare nu se proiecteaz pe

    planele de proiecie n adevrat mrime. Pentru a construi perpendiculara D1(d1,d1) pe o dreapt D(d,d), se pleac de la

    considerentul c, prin punctul n care o dreapt perpendicular neap un plan, se pot duce o infinitate de drepte coninute n plan, toate formnd 900 cu perpendiculara dat.

    Fie M(m,m) punctul prin care se duce perpendiculara D1 pe dreapta D. Prin punctul M se duce un plan [P] perpendicular pe dreapta D i se determin punctul I(i,i) n care dreapta D intersecteaz planul [P]. n figura 5.28 planul [P] s-a dus cu ajutorul orizontalei G(g,g), construit prin punctul M, astfel nct g d. Punctul de intersecie s-a determinat cu ajutorul planului proiectant vertical [R], dus prin dreapta D, care intersecteaz planul [P] dup dreapta H1V1(h1v1,h1v1) i aceasta la rndul ei intersecteaz dreapta D n punctul I (se gsete, mai nti, punctul de intersecie din proiecia vertical, h1v1 d = i). Perpendiculara D1 se obine unind punctele M i I, d1 = m i i d1 = m i.

    d) Plane perpendiculare Observaie : Condiia necesar i suficient ca dou plane s fie perpendiculare

    ntre ele este ca unul dintre ele s conin o dreapt perpendicular pe cellalt. Fiind dat planul [P], se cere ca prin punctul A(a,a), exterior lui, s se construiasc

    un plan [R] perpendicular pe planul dat (fig.5.29). Conform observaiei de mai sus, prin punctul A(a,a) se construiete o dreapt D(d,d) perpendicular pe planul [P], care va trebui s aparin acestui plan. Se gsesc urmele dreptei, orizontal H(h,h) i vertical V(v,v), iar urmele planului [R] se vor trasa prin ele.

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    P

    v'

    v

    a

    a'

    d'

    d

    g'

    g

    Fig.5.27 Plan perpendicular pe o dreapt, [P]D(d,d), A(a,a)[P]

    x

    z

    y

    O

    P'

    d=R

    v'

    vm

    i'

    d'

    d1

    g'

    gi

    m'Px

    R'

    Rx=v1

    v1'

    h1

    d1'

    h1'

    Fig.5.28 Drepte perpendiculare, D1 D

  • POZIII RELATIVE

    65

    Problema are o infinitate de soluii, avnd n vedere c o dreapt oarecare nu determin singur planul. Astfel, se alege punctul Rx pe linia de pmnt i se obin urmele planului [R], unind punctul Rx cu urmele dreptei D, R = Rx h, R = Rx v. Planul [R] este perpendicular pe planul [P], deoarece conine dreapta D, perpendicular pe planul [P].

    Se observ c, n general, dou plane perpendiculare nu au urmele de acelai fel perpendiculare. Dac unul dintre planele perpendiculare este plan particular, atunci urmele orizontale sau verticale pot s fie perpendiculare. Spre exemplu, n figura 5.30 planul oarecare [P] i planul proiectant vertical [Q] sunt perpendiculare i au urmele orizontale perpendiculare, Q P.

    Analog, un plan oarecare i un plan de capt vor avea urmele verticale perpendiculare, Q P (fig.5.31).

    5.4 Probleme rezolvate 1. Prin punctul M(25,5,10), s se construiasc

    un plan [Q] paralel cu planul [P], dat prin urme : OPx = 10, OPy = -10, OPz = -20. Rezolvare : Pentru construirea planului [Q] paralel cu planul [P], se traseaz o orizontal a planului [Q], G(g,g), prin punctul M(m,m), astfel : proiecia g, paralel cu urma orizontal P i proiecia g, paralel cu axa Ox. Se determin urma vertical V(v,v) a orizontalei G i prin proiecia vertical v, se traseaz urma vertical Q, paralel cu urma vertical P, la intersecia cu axa Ox obinndu-se punctul Qx. Prin Qx se traseaz urma orizontal Q, paralel cu urma orizontal P (fig.5.32).

    2. Fie triunghiurile ABC i MNK, date prin coordonatele vrfurilor : A(10,2,7), B(3,14,23), C(33,11,3), M(60,15,20), N(45,0,5) i K(30,22,30). S se verifice dac cele dou triunghiuri sunt paralele.

    x

    z

    y

    O

    P'

    d

    v'

    v

    a

    d'

    R

    a'

    Px

    R'

    h

    h'

    P

    Rx

    x

    z

    y

    O

    P'

    v'

    a

    d'

    Q=d

    a'

    Px

    Q'

    h

    h'

    P

    v=Qx

    Fig.5.29 Plane perpendiculare, [R] [P] Fig.5.30 Plane perpendiculare, [Q] [P]

    x

    z

    y

    O

    P'v'

    a

    dQ

    a'

    Px

    Q'=d'

    h

    P

    vh'=Qx

    Fig.5.31 Plane perpendiculare, [Q] [P]

    z

    Qxx

    y

    OPx

    P'm'

    mQ

    Q'

    P

    g'

    g

    v'v

    Pz

    Py

    Fig.5.32 Rezolvarea problemei 1

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    66

    Rezolvare : Pentru a verifica dac triunghiurile ABC i MNK sunt paralele, se duce cte o orizontal G1 [ABC], G2 [MNK] i cte o frontal F1 [ABC], F2 [MNK] n fiecare plan al triunghiurilor. Deoarece proieciile orizontale ale orizontalelor g1, g2 i proieciile verticale ale frontalelor f1, f2 nu sunt paralele, nici triunghiurile nu sunt paralele (fig.5.33). 3. S se determine punctul de intersecie dintre planele : [P] : OPx = 10, OPy = -10, OPz = -10, [Q] : OQx = 40, OQy = , OQz = 20, [R] : ORx = 30, ORy = 25, ORz = . Rezolvare : Se determin dreptele de

    intersecie dintre planul oarecare [P] cu fiecare dintre planele [Q], respectiv [R] i se intersecteaz ntre ele (fig.5.34) :

    ''',','''

    '''

    ',

    ''''

    '''

    ',

    111

    111

    111

    1

    1

    111

    iddiddiiIDDdvh

    RdvhhRPvRP

    ddDRP

    Qdvhdvh

    hQPvQP

    ddDQP

    4. S se determine dreptele de intersecie dintre planul [P], definit prin urme : OPx = 40, OPy = 25, OPz = 20 i planele de nivel, [N] i de front, [F], care conin punctul A(10,10,5). Rezolvare : Dreapta de intersecie dintre planul [P] i planul de nivel, [N], este o dreapt orizontal (de nivel), G(g,g), care are proiecia vertical g suprapus peste urma vertical N, g = N, iar proiecia orizontal g, paralel cu urma orizontal P, trecnd prin urma v : P N = v, g P. Dreapta de intersecie dintre planul [P] i planul de front, [F], este o dreapt frontal (de front), D(d,d), care are proiecia orizontal d suprapus peste urma orizontal F, d = F, iar proiecia vertical d, paralel cu urma vertical P, trecnd prin urma h : F P = h, d P (fig.5.35).

    5. S se traseze dreapta de intersecie (,) dintre planele [P] i [Q], definite astfel: Px = 55, OPxP = 300, OPxP = 600

    Qx = 10, OQxQ = 600, OQxQ = 600.

    z

    a

    a'

    x

    y

    O

    b'

    g1'c'

    c

    b

    1'

    1

    2'

    2

    n

    5'

    n'

    g1

    f 1

    f 1'm'

    k'

    km

    g2'3'

    3g2

    f 2'4'

    4 f 2

    Fig.5.33 Rezolvarea problemei 2

    x

    z

    y

    OP'

    v'

    dQ

    Px

    Q'=d'

    hP

    vh'=Qx

    Pz

    Py

    v1'

    v1'=Rx

    i'

    i

    R=d1

    R'

    Ry

    Qzd1'

    h1'

    h1

    Fig.5.34 Rezolvarea problemei 3

    x

    z

    y

    O

    P'

    v'

    F=d

    Px

    P

    v

    Pz

    Py

    a

    h

    g

    d'

    a'

    h'

    N'=g'

    Fig.5.35 Rezolvarea problemei 4

  • POZIII RELATIVE

    67

    Rezolvare : La reprezentarea planelor se observ c, urmele verticale nu se intersecteaz n epur. Intersecia urmelor orizontale determin urma orizontal H(h,h) a dreptei de intersecie. Pentru a gsi nc un punct A(a,a) pentru dreapt, se intersecteaz cele dou plane date cu un plan de nivel :

    ',

    ,,

    ',

    21

    21

    '222

    '111

    aaADDadd

    ddDNQddDNP

    iiINQP

    Dreapta de intersecie (,) este dat de punctul A(a,a) i de urma orizontal H(h,h) : = a h, = a h (fig.5.36). 6. Prin punctul A(40,15,10), s se traseze o dreapt (,), paralel cu planele [P] : OPx = 50, OPy = 10, OPz = 15 i [Q] : OQx = 20, OQy = 25, OQz = 20. Rezolvare : O dreapt este paralel cu un plan, dac este paralel cu o dreapt din plan(fig.5.37). Se determin dreapta de intersecie dintre cele dou plane :[P] [Q] = D(d,d), dreapt comun ambelor plane i se traseaz, prin punctul A(a,a), dreapta (,) paralel cu ea : a , d, a , d.

    7. S se construiasc urmele unui plan [P], paralel cu dreapta D, determinat de punctele A(40,15,10) i B(30,10,5), care s conin punctul I(18,8,5) i s se intersecteze cu axa Ox la 5mm de planul lateral. Rezolvare : Prin punctul I(i,i) se traseaz o dreapt (,), paralel cu dreapta dat : i , d, i , d i i se determin urmele orizontal H(h,h) i vertical V(v,v). Planul cutat are OPx = 5 i urmele sale se traseaz prin urmele dreptei : P = Px h, P = Px v. Planul [P], astfel construit, este paralel cu dreapta D, deoarece conine dreapta , paralel cu dreapta D (fig.5.38). 8. Fie planul oarecare [Q] definit prin dreptele D(d,d) : A(30,20,15), H(20,10,0) i (,) : A, B(5,5,5). S se determine punctul de intersecie I(i,i) dintre planul [Q] i dreapta de capt ce trece prin punctul C(15,13,10). Rezolvare : Dreapta de capt D1(d1, d1) are proiecia vertical suprapus peste proiecia c, d1 = c i proiecia orizontal perpendicular pe axa Ox, trecnd prin proiecia c, c d1. Pentru determinarea punctului de intersecie I(i,i) dintre planul [Q] i dreapta de capt

    x

    z

    y

    O

    P'

    v1' N'=d1'=d2'

    Px

    Ph

    a'

    600

    300600

    600Qx

    Q'

    Q

    '

    d1

    d2

    a

    v1 v2'=h'

    v2'

    Fig.5.36 Rezolvarea problemei 5

    x

    z

    y

    OP'

    Px

    Ph

    a'

    QxQ'

    Q

    '

    vh'

    a

    v'd'

    d

    PzQz

    Py

    Qy

    Fig.5.37 Rezolvarea problemei 6

    x

    z

    y

    O

    P'

    Px

    P

    h

    a' '

    vh'

    a

    v'

    d'

    d

    b' i'

    bi

    Fig.5.38 Rezolvarea problemei 7

    x

    z

    y

    O

    P'

    Px

    Ph

    a' '

    h'd'

    d

    b'

    i'

    b

    c'=d1'=i'

    c

    d1

    1'2'

    12a

    Fig.5.39 Rezolvarea problemei 8

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    68

    D1(d1, d1), se duce prin dreapt un plan de capt [P] (d1 P) i se gsete dreapta de intersecie (12,12) dintre acest plan i dreptele D i , ce definesc planul [P]. Intersecia dintre dreapta (12,12) i dreapta de capt D1(d1, d1) determin punctul de intersecie I(i,i), n proiecia pe planul orizontal, 12 d1 = i, unde cele dou drepte se proiecteaz distinct (fig.5.39). 9. S se determine punctul de intersecie dintre dreapta D(d,d) definit de punctele K(5,10,35) i I(50,15,10) i placa triunghiular [ABC] : A(60,10,15), B(35,40,45),

    C(15,5,5). Considernd placa opac, s se studieze vizibilitatea dreptei. Rezolvare : Se traseaz un plan de capt [Q] prin dreapt, Q i se determin dreapta (12,12) dup care acesta intersecteaz placa : [Q] [ABC] = (12,12). Aceast dreapt se intersecteaz cu dreapta dat (,) n punctul (,), punct de intersecie ce se obine, mai nti, n proiecia pe planul orizontal, 12 = , pentru ca apoi, cu ajutorul unei linii de ordine, s se determine i proiecia vertical .

    Vizibilitatea dreptei n proiecia vertical, se stabilete pornind de la o intersecie aparent a dreptei cu o latur a plcii, considernd punctele 1 5. Din proiecia orizontal rezult c punctul 5 are deprtarea mai mare, deci n proiecia vertical punctul 5 este n faa punctului 1 i implicit proiecia este vizibil pn n , iar pn n 2, invizibil. Analog, se studiaz

    vizibilitatea dreptei i n proiecia orizontal, considernd intersecia aparent a proieciei cu latura bc, respectiv punctele 3 4 (fig.5.40). 10. Fie plcile plane opace date prin coordonatele vrfurilor [ABC] : A(70,15,35), B(10,40,10), C(5,0,30), i [MNK] : M(60,10,15), N(35,40,45), K(15,5,5). S se determine segmentul de dreapt dup care cele dou plci se intersecteaz i s se studieze vizibilitatea plcilor. Rezolvare : Segmentul de dreapt dup care cele dou plci se intersecteaz este determinat de punctele n care laturile MN i NK intersecteaz planul triunghiului [ABC]. Se procedeaz ca i la problema 9 i se determin punctele (,) i (,). Pentru stabilirea vizibilitii plcilor n proiecia orizontal s-au

    x

    z

    y

    O

    a'

    a

    b'

    c'

    c

    b

    i'

    k'

    k

    2'

    3=4

    1'=5'

    1

    2

    i

    '

    '=Q'

    5

    4'

    3'

    Fig.5.40 Rezolvarea problemei 9

    x

    z

    y

    O

    a'

    a

    m'

    m

    b'

    c'

    c

    b

    n'

    k'

    k

    n

    1'

    2'

    3'=5'

    4'

    1

    2

    3

    4

    ''

    56=7

    6'

    7'

    Fig.5.41 Rezolvarea problemei 10

  • POZIII RELATIVE

    69

    considerat punctele aparent suprapuse 3 i 5, iar pentru proiecia vertical, punctele 6 i 7 (fig.5.41). 11. S se determine segmentul de dreapt dup care se intersecteaz placa triunghiular [ABC] : A(60,10,15), B(35,40,45), C(15,5,5), i placa patrulater [EFGI] : E(5,10,35), F(65,5,40), G(55,35,5), I(10,yI,10). S se studieze vizibilitatea plcilor, considerndu-le opace. Rezolvare : placa [EFGI] se reprezint n epur determinnd deprtarea punctului I, yI, astfel nct punctul I s aparin plcii. Grafic, aceasta se realizeaz folosind punctul K(k,k) de intersecie al diagonalelor, ca n figura 5.42. Pentru definirea segmentului de dreapt dup care se intersecteaz cele dou plci, se determin punctele (,) i (,) n care laturile AB i BC, ale triunghiului, neap placa patrulater [EFGI]. Vizibilitatea plcilor se studiaz avnd n vedere observaia c vrful B al triunghiului are cea mai mare cot i deprtare, deci este primul vizibil, att n proiecia orizontal ct i n cea vertical, fa de planul patrulaterului (fig.5.42). 12. Din punctul K(40,5,35) s se traseze o perpendicular pe planul triunghiului [ABC] : A(60,10,15), B(45,28,37), C(15,5,5) i s se determine punctul n care aceasta l intersecteaz. Rezolvare : Construirea perpendicularei pe planul triunghiului se face utiliznd o orizontal i o frontal a acestuia. Astfel, se traseaz prin punctul A(a,a) orizontala G(g,g) i frontala F(f,f). Din proiecia k se construiete proiecia orizontal d, perpendicular pe orizontala g, iar din proiecia k, proiecia vertical d perpendicular pe frontala f : d g, d f, dreapta D(d,d) fiind perpendiculara cerut (fig.5.43). Perpendiculara intersecteaz planul triunghiului n punctul I(i,i), punct determinat ca n rezolvarea problemei 9. 13. Se consider planul [P] definit prin urme: OPx = 10, OPy = -5 OPz = -10 i un punct A(20,10,20), exterior planului. Prin punctul A s se traseze o dreapt D(d,d) perpendicular pe planul [P].

    x

    z

    y

    O

    a'

    a

    b'

    c'

    c

    b

    i'

    e'

    e

    2'

    3

    1

    2

    i

    '

    4'

    3'f '

    f

    g'

    g

    1'

    4

    'k'

    k yI

    Fig.5.42 Rezolvarea problemei 11

    x

    z

    y

    O

    a'

    a

    b'

    c'

    c

    b

    k'

    k

    n'm'

    mn

    i

    i'

    1'

    2'

    1

    2

    f '

    g'

    fg

    d

    d'

    Fig.5.43 Rezolvarea problemei 12

    x

    z

    y

    OPx

    P'

    Pa

    a'

    d'

    d

    Py

    Pz

    Fig.5.44 Rezolvarea problemei 13

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    70

    Rezolvare : Dreapta D(d,d), perpendicular pe planul [P], are proieciile perpendiculare pe urmele de acelai fel ale planului. Astfel, prin proiecia a se traseaz proiecia d, d P i prin proiecia a, proiecia d, d P (fig.5.44).

    14. Fie drepta D(d,d) : A(20,10,20), B(30,5,8) i un punct C(10,5,5), exterior ei. Prin punctul C s se traseze un plan [P] perpendicular pe dreapta D. Rezolvare : Prin punctul C se traseaz o orizontal G(g,g) a planului [P], perpendicular pe dreapta D : g Ox, c g, g d, c d. Se determin urma vertical V(v,v) a orizontalei i prin proiecia v se traseaz urma vertical P a planului [P], perpendi-cular pe proiecia d a dreptei D : P d, la intersecia cu axa Ox rezultnd punctul Px . Din Px se traseaz urma orizontal P a planului [P], perpendi-cular pe proiecia d a dreptei D : P d (fig.5.45). 15. Se consider dreapta D(d,d) : A(20,20,20), B(30,3,5) i un punct C(10,5,5), exterior ei. Prin punctul C s se traseze o dreapt (,) perpendicular pe dreapta D. Rezolvare : Prin punctul C se construiete un plan [P] perpendicular pe dreapta D, cu ajutorul orizontalei G(g,g) (vezi rezolvarea problemei 14). Se determin punctul E(e,e), n care dreapta D(d,d) intersecteaz planul [P], cu ajutorul unui plan de capt [Q], dus prin dreapta D, [P] [Q] = H1V1, h1v1 d = e. Dreapta este definit de punctele C(c,c) i E(e,e) : = c e, = c e. Observnd epura din figura 5.46, se confirm faptul c unghiul drept dintre dou drepte oarecare se proiecteaz deformat pe cele dou plane de proiecie.

    16. Fie dou drepte D(d,d) : A(5,20,20), B(20,3,5) i D1(d1,d1) : M(40,5,5), N(25,25,20). Prin punctul B s se traseze o dreapt (,) perpendicular pe dreapta D i concurent cu dreapta D1. Rezolvare : Prin punctul B se construiete un plan [P] perpendicular pe dreapta D, cu ajutorul orizontalei G(g,g) (vezi rezolvarea problemei 14). Orice dreapt din planul [P] care trece prin punctul B este perpendicular pe dreapta D, dar numai o anume dreapt intersecteaz i dreapta D1. Astfel, se determin punctul C(c,c), n care dreapta D1(d1,d1) intersecteaz planul [P], cu ajutorul unui plan de capt [Q], dus prin dreapta D1, [P] [Q] = H1V1, h1v1 d1 = c. Dreapta (,) cutat este definit de punctele B(b,b) i C(c,c) : = b c, = b c (fig.5.47).

    x

    z

    OPx

    P'

    Pa

    a'd'

    db

    b'

    c'

    c

    v'

    v

    g'

    g y

    Fig.5.45 Rezolvarea problemei 14

    x

    z

    OPx

    P'

    Pa

    a'd'=Q'

    d

    b

    b' c'

    c

    v'

    v

    g'

    g

    y

    Q

    e

    e'

    ' v1'

    v1

    h1

    h1'

    Fig.5.46 Rezolvarea problemei 15

    x

    z

    OPx

    P'

    Pa

    a'd'

    d

    b

    b' v'

    v

    g'

    g

    y

    v1'

    v1

    h1

    h1'm'

    n'

    m

    n

    Qc

    c''

    d1

    d1'

    Fig.5.47 Rezolvarea problemei 16

  • POZIII RELATIVE

    71

    17. Prin punctul A(35,15,28) s se construiasc un plan [R], perpendicular pe planul [P] : OPx = 50, OPy = 25, OPz = 35 i care s intersecteze axa Ox la 10mm de planul lateral. Rezolvare : Prin punctul A(a,a) se construiete o dreapt D(d,d), perpendicular pe planul [P] : d P, a d, d P, a d i i se determin urmele H(h,h) i V(v,v). Planul [R] este definit de dreapta D(d,d) i de punctul Rx, tiind din enunul problemei c ORx = 10 : R = Rx h, R = Rx v (fig.5.48).

    18. Fie dou plane definite prin urme, astfel : [P] : OPx = 50, OPxP = 350, OPxP = 400 i [R] : ORx = 17, ORxR = 1050, ORxR = 1200. S se verifice dac cele dou plane sunt perpendiculare. Rezolvare : Se consider un punct A(a,a) n planul [P] (punctul se ia pe orizontala G(g,g) a planului [P]) i prin el se construiete o dreapt D(d,d) perpendicular pe planul [R], astfel : d R, a d, d R, a d. Se determin urmele H1(h1,h1), V1(v1,v1) ale dreptei D i se verific dac acestea sunt pe urmele planului [P], respectiv dac dreapta D aparine acestuia. Dup cum se observ n epura din figura 5.49 : h1 P i v1 P, deci planul [P] conine dreapta D, care este perpendicular pe planul [R] ; rezult c cele dou plane sunt perpendiculare : [P] [R]. 19. Prin punctul A(40,15,10), s se construiasc un plan [R], perpendicular pe planele [P] : OPx = 50, OPy = 10, OPz = 15 i [Q] : OQx = 20, OQy = 25, OQz = 20. Rezolvare : Problema poate fi rezolvat n dou moduri : a) varianta I de rezolvare (fig.5.50, a) : Se determin dreapta de intersecie D(d,d) dintre planele [P] i [Q] : P Q = h, P Q = v, h v = d, h v = d. Se traseaz planul [R] perpendicular pe dreapta D(d,d), prin urma vertical V(v,v) a orizontalei G(g,g), dus prin punctul A(a,a), perpendicular pe dreapt : g Ox, a g, g d, a d, R d, v1 R, R Ox = Rx, R d. Planul [R] este perpendicular pe planele [P] i [Q], deoarece acestea conin dreapta D(d,d), care este perpendicular pe planul [R]. a) varianta II de rezolvare (fig.5.50, b) : Prin punctul A(a,a) se traseaz dreptele D(d,d) i (,), perpendiculare pe planele [P] i [Q] : d P, d P, Q, Q. Se determin urmele celor dou drepte i se traseaz urmele planului [R] : h h1 = R, v v1 = R. Planul [R] este perpendicular pe planele [P] i [Q], deoarece conine cte o dreapta perpendicular pe acestea.

    x

    z

    y

    O

    P'

    v'

    v

    a

    d'

    R

    a'

    Px

    R'

    h

    h'

    P

    Rx

    Py

    Pz

    d

    Fig.5.48 Rezolvarea problemei 17

    x

    z

    y

    O

    d

    v'

    va

    d'

    R

    a'Px

    R'

    g

    g'

    P

    Rx

    h1'

    P'

    v1'

    v1

    h1

    1200

    1050

    Fig.5.49 Rezolvarea problemei 18

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    72

    5.5 Probleme propuse

    1. Fie dreptele D(d,d) : A(50,13,37), B(70,-12,52) i (,) : E(20,5,70), F(40,20,35). Prin punctul M(80,10,35) s se duc un plan [Q] paralel cu planul [P], definit de cele dou drepte. 2. Se d planul [P] : OPx = 100, OPy = 50, OPz = 70. Prin punctul A(20,20,10) s se construiasc un plan [Q] paralel cu planul [P]. 3. Se consider planul [P], definit de dreapta D(d,d) : A(80,40,50), B(20,15,10) i de punctul M(45,10,40). Prin punctul N(60,25,20) s se traseze un plan [Q] paralel cu planul [P].

    4. Fie planul [Q] : OQx = 30, OQy = -80, OQz = -30. Prin punctul A(20,10,20) s se duc un plan [R] paralel cu planul [Q].

    5. Fie triunghiurile ABC i EFG, date prin coordonatele vrfurilor : A(0,30,20), B(40,70,90), C(80,10,70), E(150,90,20), F(60,70,30) i G(130,10,80). S se verifice dac cele dou triunghiuri sunt paralele. 6. Fie planele [P] : OPx = 140, OPxP = 600, OPz = 80 i [Q] : OQx = 30, OQy = -80, OQz = -30, a cror urme nu se ntlnesc n cadrul epurei. S se determine dreapta de intersecie D(d,d) dintre cele dou plane. 7. S se determine dreapta (,) de intersecie dintre planul [P] : OPx = 30, OPy = -20, OPz = i planul [R] : ORx = 100, ORy = 55, ORz = 70. 8. Fie punctul A(60,20,40), un plan de nivel [N] i un plan de front [F] care conin acest punct. S se determine coordonatele punctului de intersecie I(i,i), dintre cele dou plane i un plan de capt [Q], ce trece prin punctul B(20,30,60) i face 600 cu planul orizontal de proiecie. 9. S se determine dreapta de intersecie dintre planul [P] : OPx = 140, OPy = 40, OPz = 50 i planul de front [F] care trece prin punctul M(90,30,10). 10. S se determine dreapta de intersecie dintre planul [Q] : OQx = 70, OQy = 80, OQz = 65 i planul de nivel [N] care trece prin punctul A(90,30,10). 11. Prin punctul I(90,30,10) s se duc o dreapta D(d,d) paralel cu planele [P] : OPx = 140, OPy = 40, OPz = 50 i [Q] : OQx = 70, OQy = 80, OQz = 65.

    x

    z

    y

    O

    P'

    Px

    Ph

    a'

    QxQ'

    Q

    vh'

    a

    v'

    d'

    d

    PzQz

    Py

    Qy

    R'

    R

    g'

    g

    v1'

    v1Rx

    x

    z

    y

    O

    P'

    Px

    P

    R

    a'

    Qx

    Q'

    Q

    '

    v=h=v'=h'=Rx

    R'

    a

    h1'

    d'

    d

    PzQz

    Py

    Qy

    v1

    h1 v1'

    b)a)

    Fig.5.50 Rezolvarea problemei 19

  • POZIII RELATIVE

    73

    12. Se dau punctul A(30,10,30) i dreapta D(d,d) : B(60,40,10), C(80,15,40). S se determine urmele unui plan [P], paralel cu dreapta D, care taie axa Ox ntr-un punct de abscis 120 i conine punctul A. 13. Se consider planul [P], definit de punctele A(45,10,20), B(70,0,40) i C(100,40,0). Prin punctul M(20,40,40) s se duc o paralel D(d,d) la planul [P].

    14. Fie planul [P] definit prin urme : OPx = 150, OPy = 90, OPz = 85. Prin punctul K(110,15,30) s se duc o dreapt (,) paralel cu planul [P]. 15. Se consider planul [P] : OPx = 100, OPy = 50, OPz = 70 i un punct A(60,40,50), exterior planului. S se construiasc o dreapt D(d,d) paralel cu planul [P], care s treac prin punctul A. 16. Fie punctul M(50,10,20) i dreptele D(d,d) : A(95,20,5), B(70,10,25) i (,) : E(35,5,30), F(15,30,10), necoplanare. S se construiasc urmele planului [P], care trece prin punctul M i este paralel cu cele dou drepte

    17. Prin punctul B(70,60,70), s se traseze o dreapt (,), paralel cu planul [P] definit prin urme : OPx = 60, OPy = 40, OPz = 50. 18. Se d planul [P] definit prin urme: OPx = 100, OPy = 50, OPz = 70 i dreapta D(d,d) : A(70,50,60), B(20,20,10). S se determine punctul de intersecie I(i,i) dintre dreapta D i planul [P]. 19. Fie planul [P] definit prin dou drepte paralele D1(d1,d1) : A(70,5,20), B(30,35,20), D2(d2,d2) : C(40,10,30) i o dreapt oarecare (,) : M(60,40,50), N(10,10,5). S se determine proieciile punctului de intersecie I(i,i), dintre dreapta i planul [P], fr a se construi urmele planului

    20. Prin punctul E(60,30,50) s se traseze o dreapt (,), concurent cu planul triunghiului [ABC] : A(130,90,20), B(40,70,30), C(110,10,80) i s se determine punctul de concuren.

    21. S se determine punctul de intersecie dintre dreapta D(d,d) definit prin urme : H(55,30,0) i V(30,0,20) i placa triunghiular [ABC] : A(60,10,5), B(10,5,10), C(30,25,25). Considernd placa opac s se studieze vizibilitatea dreptei. 22. Fie plcile plane opace date prin coordonatele vrfurilor [ABCD] : A(120,75,10), B(10,75,10), C(10,15,65), D(120,15,65) i [KMN] : K(20,5,10), M(100,20,5), N(60,75,60). S se determine dreapta de intersecie dintre cele dou plci i s se studieze vizibilitatea plcilor. 23. Fie dou plci plane triunghiulare opace. S se determine dreapta de intersecie dintre cele dou plci i s se studieze vizibilitatea plcilor, n urmtoarele cazuri : a) [ABC] : A(100,10,20), B(60,85,60), C(30,30,30) [KMN] : K(70,10,10), M(120,60,50), N(15,70,60); b) [ABC]: A(100,10,70), B(60,70,90), C(20,30,20) [KMN] : K(120,50,40), M(70,10,20), N(30,60,80); c) [ABC] : A(160,40,50), B(20,10,30), C(80,70,90) [KMN] : K(130,90,20), M(40,70,30), N(110,10,80); d) [ABC] : A(110,20,60), B(25,10,75), C(70,70,10) [KMN] : K(90,10,20), M(15,40,20), N(40,65,80). 24. S se determine dreapta de intersecie dintre o plac plan triunghiular i una patrulater, date prin coordonatele vrfurilor : [ABC] : A(5,5,25), B(70,55,35), C(15,33,5) i [IKNM] : I(45,5,5), K(10,55,50), N(60,40,45), M(65,30,20). S se studieze vizibilitatea plcilor, considerndu-le opace. 25. Fie triunghiul ABC : A(50,20,50), B(90,70,10) i C(10,30,30). Din punctul M(55,10,15) s se duc o dreapt (,), perpendicular pe planul triunghiului ABC i s se determine punctul I(i,i) de intersecie dintre dreapta (,) i planul triunghiului. S se studieze vizibilitatea dreptei , triunghiul fiind considerat opac.

  • GEOMETRIE DESCRIPTIV

    74

    26. Fie placa plan triunghiular opac ABC : A(15,10,70), B(50,60,10), C(100,70,20). Din punctul M(75,10,5) s se duc o dreapt D(d,d) perpendicular pe planul triunghiului, s se determine punctul I(i,i) n care aceasta neap triunghiul i s se studieze vizibilitatea perpendicularei. 27. Se consider planul [P] definit prin urme: OPx = 100, OPy = 50, OPz = 70 i un punct A(60,40,50), exterior planului. S se determine segmentul de dreapt AI(ai,ai), care definete distana de la punctul A la planul [P]. 28. S se ridice n punctul A o perpendicular (,) pe planul triunghiului ABC, dat prin coordonatele vrfurilor : A(100,10,70), B(60,70,90), C(20,30,20). 29. Prin punctul A(60,30,50) s se traseze o perpendicular D(d,d) pe planul triunghiului EFG : E(130,90,20), F(40,70,30), G(110,10,80).

    30. Prin punctul C(30,30,15) s se duc un plan [P], perpendicular pe dreapta D(d,d) : A(50,13,37), B(70,-12,52).

    31. Fie dreapta D(d,d) : A (40,10,10), B(70,5,30). Prin punctul B s se traseze un plan perpendicular pe aceast dreapt.

    32. Cte plane [P], perpendiculare pe drepta D(d,d) : M(60,10,15), N(40,20,40) exist? S se traseze un astfel de plan. 33. Se consider punctul A(50,5,15) i dreapta (,) : M(70,50,60), N(20,-20,10). Prin punctul A s se duc o dreapt D(d,d), perpendicular pe dreapta (,). 34. Fie dreapta D(d,d) : A(80,40,50), B(20,15,10) i punctul M(45,10,40). S se determine proieciile perpendicularei KM duse din punctul M pe dreapta D, KD. 35. Prin punctul A(110,20,60) s se duc o perpendicular (,) pe dreapta MN : M(90,10,20), N(15,40,20). 36. Fie planul proiectant vertical [P] : OPx = 80, OPy = 70, OPz = i punctul A(20,20,40), exterior planului. S se construiasc planul proiectant vertical [Q], care trece prin punctul A i face 900 cu planul [P]. Ce fel de dreapt este dreapta de intersecie dintre cele dou plane ? 37. Fie planul de capt [Q] : OQx = 80, OQy = , OQz = 70 i punctul M(20,40,20), exterior planului. S se construiasc planul de capt [R], care trece prin punctul M i face 900 cu planul [Q]. Ce fel de dreapt este dreapta de intersecie dintre cele dou plane ? 38. Se consider planul [P] definit prin urme : OPx = 150, OPy = 90, OPz = 85. Prin punctul E(80,30,15) s se duc un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care ntlnete axa Ox n punctul F(35,0,0) ;

    39. Fie planul de capt [P]: OPx = 10, OPy = , OPz = -15 i punctul A(50,30,zA), din acest plan. Prin punctul A s se duc un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care are urmele n prelungire. 40. Se consider planul [P] definit prin urme: OPx = 100, OPy = 50, OPz = 70 i un punct A(60,40,50), exterior planului. Prin punctul A s se duc un plan [Q], perpendicular pe planul [P], care trece prin origine. 41. Se consider dreapta D(d,d) : A(100,40,30), B(70,60,70) i planul [P] : OPx = 60, OPy = 40, OPz = 50. S se determine proieciile unui triunghi [ABC], al crui plan s fie perpendicular pe planul [P]. 42. Fie planele [P] : OPx = 20, OPy = -10, OPz = -60 i [Q] : OQx = 70, OQy = -60, OQz = 50. S se verifice dac acestea sunt perpendiculare. 43. Prin punctul I(90,30,10), s se construiasc un plan [R], perpendicular pe planele [P] : OPx = 140, OPy = 40, OPz = 50 i [Q] : OQx = 70, OQy = 80, OQz = 65.