Geometria quadratica 2: quadriche e coniche...

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6 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini La geometria quadratica studia i luoghi dei punti del piano e dello spazio le cui coordinate, rispetto ad un riferimento ane, soddisfano ad un’equazione qua- dratica di secondo grado. Nel piano tali luoghi sono chiamati coniche e nello spazio quadriche. Nel capitolo precedente abbiamo studiato diversi esempi di coniche e di quadriche. Il presente capitolo si occupa della trattazione gene- rale di questi luoghi di punti. In particolare, ci occuperemo dello studio delle quadriche e delle coniche dal punto di vista ane. 6.1 La definizione di quadrica e conica Iniziamo, anche per fissare le notazioni, con la seguente Definizione 6.1. (a) Fissato un sistema di riferimento ane nello spazio una quadrica Q è il luogo dei punti P le cui coordinate ( x, y, z), rispetto al sistema di S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

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6Geometria quadratica2: quadriche e conicheaffiniLa geometria quadratica studia i luoghi dei punti del piano e dello spazio le cuicoordinate, rispetto ad un riferimento a!ne, soddisfano ad un’equazione qua-dratica di secondo grado. Nel piano tali luoghi sono chiamati coniche e nellospazio quadriche. Nel capitolo precedente abbiamo studiato diversi esempi diconiche e di quadriche. Il presente capitolo si occupa della trattazione gene-rale di questi luoghi di punti. In particolare, ci occuperemo dello studio dellequadriche e delle coniche dal punto di vista a!ne.

6.1 La definizione di quadrica e conicaIniziamo, anche per fissare le notazioni, con la seguenteDefinizione 6.1.(a) Fissato un sistema di riferimento a!ne nello spazio una quadrica Q

è il luogo dei punti P le cui coordinate (x, y, z), rispetto al sistema di

S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

6.1 La definizione di quadrica e conica 117

riferimento a!ne scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + a33z2+2a12xy + 2a13xz + +2a23yz+2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 , (6.1)

con a11, a22, a33, a12, a13, a23 non tutti nulli.

(b) Fissato un sistema di riferimento a!ne nel piano una conica Q è il luo-go dei punti P le cui coordinate (x, y), rispetto al sistema di riferimentoa!ne scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 , (6.2)

con a11, a12, a22 non tutti nulli.

Osservazione 6.2. Per semplicità espositiva, quando non vi è necessità di spe-cificare, denoteremo con Q sia la quadrica che il polinomio di secondo gradoche la descrive.Se denotiamo con

P =

!

"

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"

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#

xyz

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il vettore colonna delle coordinate di un punto P dello spazio e introduciamole matrici

A =

!

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#

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

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, a =

!

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#

a10a20a30

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&

una verifica diretta mostra che l’equazione di una quadrica (6.1) si può scriverenella forma matriciale

P!AP + 2a!P + a00 = 0. (6.3)

Nel caso di una conica nel piano, introducendo le matrici

A ='

a11 a12a12 a22

(

, a ='

a10a20

(

,

l’equazione di una conica (6.2) si può scrivere nella stessa forma matriciale(6.3).

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118 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Questo fatto ci permette di trattare la teoria delle coniche e delle quadriche sen-za distinzione, basterà tener conto che la matrice A nel caso di una quadrica èdi ordine 3 mentre è di ordine 2 per una conica. Le stesse osservazioni valgonoper il vettore colonna a.La matrice A prende il nome di matrice dei termini quadratici mentre il vet-tore a rappresenta i coe!cienti dei termini di primo grado. È bene osservaresin da adesso che la matrice A è simmetrica.

Se adesso denotiamo con

P =

!

"

"

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"

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"

"

"

#

xyz1

$

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, e con A =

!

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#

a11 a12 a13 a10a12 a22 a23 a20a13 a23 a33 a30a10 a20 a30 a00

$

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&

l’equazione di una quadrica diventa

P!AP = 0. (6.4)

Un’equazione analoga vale per una conica con

A =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

#

a11 a12 a10a12 a22 a20a10 a20 a00

$

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e P =

!

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#

xy1

$

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&

.

Proposizione 6.3. La definizione di quadica (conica) non dipende dal riferi-mento a!ne scelto.

Dimostrazione. SiaP!AP + 2a!P + a00 = 0

l’equazione di una quadrica Q rispetto ad un riferimento a!ne (O,B). Sia(O",B") un altro riferimento a!ne allora, tenendo conto della Proposizione 1.16,

P = MP" + ! ,

dove M è una matrice non singolare e ! un vettore colonna. Segue che l’equa-zione della quadrica rispetto al riferimento (O",B") è

(MP" + !)!A(MP" + !) + 2a!(MP" + !) + a00 = 0 .

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6.1 La definizione di quadrica e conica 119

Svolgendo i conti l’ultima equazione diventa

(P")!M!AMP"+(P")!M!A!+!!AMP"+2a!MP"+!!A!+2a!!+a00 = 0 . (6.5)

Osserviamo che, da un lato (!!AMP")! = !!AMP" (sono matrici di ordine 1),dall’altro, usando che A è simmetrica, si ha (!!AMP")! = (P")!M!A!. La (6.5)diventa

(P")!M!AMP"P" + 2(!!AM + a!M)P" + Q(!) = 0,

la quale, ponendo

A" = M!AM , (a")! = !!AM + a!M , a"00 = Q(!),

assume l’espressione

(P")!A"(P") + 2(a")!(P") + a"00 = 0 ,

che, essendo A" = M!AM una matrice simmetrica, rappresenta un’equazionequadratica nel riferimento (O",B"). !

Un’ispezione attenta della dimostrazione della Proposizione 6.3 ci permette diprovare la seguente

Proposizione 6.4. Siano A e A le matrici associate ad una quadrica Q rispettoad un riferimento a!ne dello spazio (O,B) e siano A" e A" le matrici associa-te alla stessa quadrica Q rispetto ad un altro riferimento a!ne dello spazio(O",B"). Allora,

rank(A) = rank(A") , rank(A) = rank(A")

edet(A) = " det(A") , det(A) = " det(A") , con " > 0 .

Dimostrazione. Dalla dimostrazione della Proposizione 6.3 si ha

A" = M!AM

con M matrice non singolare. Segue che A e A" hanno lo stesso rango. Inoltre

det A" = det(M!AM) = det(M!) det(A) det(M) = det(M)2 det(A) .

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120 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Sia adesso

P =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

#

xyz1

$

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%

%

%

%

%

&

=

'

P1

(

dove (x, y, z) rappresentano le coordinate rispetto al riferimento (O,B) . Uncalcolo diretto mostra che, rispetto al cambiamento di coordinate a!ni

P = MP" + ! ,

dove M è una matrice non singolare e ! un vettore colonna,

P ='

P1

(

=

'

M !

0 1

( '

P"1

(

= M!P" ,

dove M! è una matrice di ordine 4 con lo stesso determinante della matrice M.L’equazione (6.4) della quadrica diventa, dopo il cambiamento di riferimento,

(M!P")!A(M!P") = (P")!(M!! AM!)(P") = 0 .

Segue cheA" = M!! AM!

da cui A e A" hanno lo stesso rango e

det(A") = det(M!! AM!) = det(M!)2 det(A) .

!

La Proposizione 6.4 mostra che i due numeri det(A) e det(A) hanno un impor-tanza nello studio a!ne delle quadriche. Da ora in poi indicheremo questi duenumeri con le seguenti lettere

# = det(A) , " = det(A) .

Vediamo adesso quanti punti sono necessari per determinare una conica o unaquadrica. Si ha la seguente

Proposizione 6.5. Dati cinque punti nel piano in posizione qualunque esisteuna conica che li contiene. Dati nove punti nello spazio in posizione qualunqueesiste una quadrica che li contiene.

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6.2 Intersezione di una quadrica con un piano 121

Dimostrazione. La dimostrazione è immediata considerando l’equazione (6.2)di una conica in un dato riferimento a!ne nel piano. Infatti, i coe!cientidell’equazione della conica passante per cinque punti Pi = (xi, yi), i = 1, . . . , 5,si ottengono risolvendo il sistema

)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

,

a11x21 + a22y21 + 2a12x1y1 + 2a10x1 + 2a20y1 + a00 = 0

a11x22 + a22y22 + 2a12x2y2 + 2a10x2 + 2a20y2 + a00 = 0a11x23 + a22y

23 + 2a12x3y3 + 2a10x3 + 2a20y3 + a00 = 0

a11x24 + a22y24 + 2a12x4y4 + 2a10x4 + 2a20y4 + a00 = 0a11x25 + a22y

25 + 2a12x5y5 + 2a10x5 + 2a20y5 + a00 = 0

(6.6)

il quale, essendo un sistema omogeneo di cinque equazioni nelle sei variabi-li a11, a22, a12, a10, a20, a00, ammette #(6$$) soluzioni (dove $ è il rango dellamatrice dei coe!cienti). Siccome $ è al massimo 5 esiste una soluzione nonbanale. Se tale soluzione avesse a11 = a22 = a12 = 0, la (6.2) diventerebbel’equazione 2a10x + 2a20y + a00 = 0 di un piano ed, in ogni caso, la conica(2a10x + 2a20y + a00)2 = 0 passerebbe per i cinque punti dati.

La dimostrazione per la quadrica è analogo e quindi lasciata come esercizio.!

Osservazione 6.6. La conica passante per i cinque punti non è unica. L’uni-cità si ha quando il rango della matrice dei coe!cienti del sistema (6.6) è 5,infatti, in questo caso, si avrebbero #1 soluzioni ed, essendo i coe!cienti del-l’equazione di una conica univocamente determinati a meno di un fattore diproporzionalità non nullo, si deduce che si ottiene un’unica conica. La stessadiscussione vale nel caso delle quadriche.

6.2 Intersezione di una quadrica con un pianoAndiamo a considerare adesso l’intersezione di una data quadrica con un pianodello spazio. Sia

P!AP + 2a!P + a00 = 0

l’equazione di una quadrica Q in un dato riferimento a!ne e sia

P = P0 + sv + tw

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122 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

l’equazione parametrica di un piano % nello stesso riferimento a!ne. Il luogodei punti di intersezione tra Q e % si ottiene risolvendo il sistema

)

*

*

+

*

*

,

P!AP + 2a!P + a00 = 0P = P0 + sv + tw ,

dal quale si ottiene la condizione

(P0 + sv + tw)!A(P0 + sv + tw) + 2a!(P0 + sv + tw) + a00 = 0.

Con semplici calcoli e tenendo conto che, per esempio, v!a = a!v o v!Aw =w!Av, l’ultima equazione diviene

(v!Av)s2+ (w!Aw)t2+2(v!Aw)st+2v!(AP0+a)s+2w!(AP0+a)t+Q(P0) = 0.(6.7)

Se (v!Av), (w!Aw) e (v!Aw) non sono tutti nulli la (6.7) rappresenta l’equazio-ne di una conica nelle coordinate a!ni (s, t) del piano rispetto al riferimentoa!ne (P0,B = {v,w}) del piano.

Non discutiamo adesso tutti i casi in cui (v!Av) = (w!Aw) = (v!Aw) = 0 iquali saranno trattati più agevolmente una volta nota la classificazione dellequadriche. A titolo di esercizio, se (v!Av) = (w!Aw) = (v!Aw) = 0 definiamola forma bilineare simmetrica & : R3 % R3 & R come &(u1, u2) = u!1Au2.Rispetto ad una base di R3 con primi due vettori v e w, cioè {v,w, e3}, la matriceassociata alla forma bilineare & è

M =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

#

0 0 m130 0 m23m13 m23 m33

$

%

%

%

%

%

%

%

%

&

,

la quale ha rango $ ' 2. Segue che anche la matrice A ha rango al massimo 2.Tenendo conto della Proposizione 6.4 possiamo concludere che se una quadricaha matrice dei termini di secondo grado non singolare, allora l’intersezione diQ con un qualsiasi piano % è una conica del piano %.Osservazione 6.7. Il lettore dovrebbe, per esercizio, scrivere le matrici A e Adi tutti gli esempi di quadriche visti nel Capitolo 5. Inoltre, nei casi descrittidovrebbe cercare di capire se l’intersezione con un piano è sempre una conica.Esiste anche la possibilità che l’intersezione di un piano con una quadrica sial’insieme vuoto, come vedremo più avanti. Infine, risulta molto utile rivederela discussione fatta nella sezione 5.1.7 sull’intersezione di un piano con unasfera.

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6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 123

6.3 Intersezione di una quadrica con una rettaIn questo paragrafo discuteremo l’intersezione di una quadrica (conica) conuna retta. Da questa discussione scaturiranno la maggior parte delle nozioniche ci permetteranno di comprendere la geometria delle quadriche (coniche) edi classificarle.Sia quindi Q una quadrica di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0

e sia r una retta parametrizzata da

P = P0 + tu .

Per semplicità espositiva supporremo inizialmente che la retta r non sia conte-nuta nella quadrica.Per determinare i punti di intersezione della retta con la quadrica dobbiamorisolvere il sistema

)

*

*

+

*

*

,

P!AP + 2a!P + a00 = 0P = P0 + tu .

Sostituendo la seconda equazione nella prima, svolgendo i calcoli e raccoglien-do i termini, si perviene all’equazione in t:

(u!Au) t2 + 2(u!AP0 + u!a) t + Q(P0) = 0 . (6.8)

Gli eventuali punti di intersezione della quadrica con la retta si ottengono ri-solvendo la (6.8) ed andando a sostituire le eventuali soluzioni nella parame-trizzazione della retta.

La (6.8) può presentare una delle seguenti tipologie:

(a) esistono due soluzioni reali o due soluzioni complesse coniugate;

(b) esistono due soluzioni reali coincidenti;

(c) esiste al massimo una soluzione (quindi reale);

(d) non esiste nessuna soluzione (reale o complessa);

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124 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Analizziamo per primo i casi (c). Se esiste al massimo una soluzione vuol direche il coe!ciente del termine di secondo grado della (6.8) vale zero. In questocaso diamo la seguenteDefinizione 6.8. Una direzione u si dice asintotica per la quadrica Q se tuttele rette con direzione u (non contenute nella quadrica) intersecano la quadricain al massimo un punto, cioè se u soddisfa alla condizione

u!Au = 0 .Se u = (l,m, n) l’insieme delle direzioni asintotiche di una data quadrica ècaratterizzato dall’equazione

u!Au = a11l2 + a22m2 + a33n2 + 2a12lm + 2a13ln + 2a23mn = 0 . (6.9)La (6.10), essendo definita da un polinomio omogeneo nelle variabili (l,m, n)rappresenta un cono di direzioni asintotiche.

Nel caso di una conica la definizione di direzione asintotica è del tutto analogama, in questo caso, la (6.10) si riduce alla

a11l2 + a22m2 + 2a12lm = 0 , (6.10)che rappresenta una coppia di direzioni reali distinte, complesse coniugate ocoincidenti a seconda che il discriminante a212 $ a11a22 = $# sia maggiore, mi-nore o uguale a zero.

Con riferimento alla situazione (d) diamo la seguenteDefinizione 6.9. Una retta r è un asintoto per una quadrica (conica) se l’inter-sezione tra la retta e la quadrica (conica) è l’insieme vuoto. Con riferimentoalla (6.8) una retta è un asintoto se e solo se

u!Au = 0 , u!AP0 + u!a = 0 , Q(P0) ! 0 .Nella definizione precedente dire che l’intersezione di una retta con una qua-drica è l’insieme vuoto significa che non ci sono punti di intersezione sia concoordinate reali che complesse.Osservazione 6.10. La retta r è completamente contenuta in una quadrica se la(6.8) è soddisfatta per ogni valore di t, cioè se

u!Au = 0 , u!AP0 + u!a = 0 , Q(P0) = 0 .Quindi le rette contenute in una quadrica hanno, formalmente, direzione asin-totica, nel senso che u!Au = 0.

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6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 125

6.3.1 Asintoti di una conicaSia Q una conica nel piano con equazione, rispetto ad un riferimento a!ne,

P!AP + 2a!P + a00 = 0 .

Dalla Definizione 6.9 una retta r : P = P0 + tu, non contenuta nella conica,è un asintoto se u è una direzione asintotica ed inoltre, essendo P0 un puntogenerico della retta, se ogni punto della retta soddisfa alla condizione

u!AP + u!a = 0 . (6.11)

La ricerca degli asintoti di una conica si può quindi schematizzare nel modoseguente.

• Si cercano le soluzioni u! = (l,m) dell’equazione

u!Au = a11l2 + a22m2 + 2a12lm = 0 .

• Per ogni soluzione u tale che u!A ! 0, si considera la retta r di equazione

u!AP + u!a = 0 .

Se esiste un punto P0 di r contenuto nella conica, allora r è tutta conte-nuta nella conica, altrimenti, se esiste un punto P0 non contenuto nellaconica, la retta r è un asintoto.

Applichiamo la procedura appena descritta per determinare gli asintoti delleconiche descritte nel Capitolo 5.Consideriamo assieme il caso dell’ellisse e dell’iperbole la cui equazione puòessere scritta come (si vedano le (5.17)–(5.19)):

x2

a2±y2

b2$ 1 = 0 ,

con + nel caso dell’ellisse e $ in quello dell’iperbole. Le matrici A, a ed Asono

A =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

#

1a2

0

0 ±1b2

$

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

&

, a ='

00

(

, A =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

#

1a2

0 0

0 ±1b2

00 0 $1

$

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

&

.

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126 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Si osservi che # = det(A) = ±1/(a2b2), mentre " = det(A) = (1/(a2b2). Ledirezioni asintotiche u! = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

l2

a2±m2

b2= 0 ,

la quale si può riscrivere come'

la$mb

( '

la+mb

(

= 0 , nel caso dell’iperbole

o'

la$ i

mb

( '

la+ i

mb

(

= 0 , nel caso dell’ellisse .

Si conclude che, nel caso dell’iperbole, esistono due direzioni asintotiche reali

u!1 = (a, b) , u!2 = (a,$b)

ed i corrispondenti asintoti hanno equazione

u!1AP + u!1a = (a, b)

!

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

#

1a2

0

0 $1b2

$

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

&

'

xy

(

=xa$yb= 0

e

u!2AP + u!2a = (a,$b)

!

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

#

1a2

0

0 $1b2

$

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

&

'

xy

(

=xa+yb= 0 ,

in accordo con quanto trovato nella sezione 5.3, si veda anche la Figura 5.9.

Nel caso dell’ellisse si trovano le due direzioni immaginarie

u!1 = (a, ib) , u!2 = (a,$ib)

ed i corrispondenti asintoti sono le rette immaginarie di equazionexa+ i

yb= 0 , x

a$ i

yb= 0 .

Vediamo adesso il caso della parabola di equazione (si veda la (5.23)):

y2 $ 2px = 0 .

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6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 127

Le matrici A, a ed A sono

A ='

0 00 1

(

, a ='

$p0

(

, A =

!

"

"

"

"

"

"

"

"

#

0 0 $p0 1 0$p 0 0

$

%

%

%

%

%

%

%

%

&

.

In questo caso # = det(A) = 0, mentre " = det(A) = $p2. Le direzioniasintotiche u! = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

m2 = 0 ,

la quale ha l’unica soluzione doppia u! = (1, 0). Le rette con tale direzionesono le rette orizzontali che, dall’osservazione della Figura 5.11, hanno unasola intersezione con la parabola. In questo caso

u!A = (1, 0)'

0 00 1

(

=

'

00

(

,

quindi, per la parabola, non esiste alcun asintoto.

6.3.2 Asintoti di una quadricaLa discussione degli asintoti di una quadrica è più complessa. Anche per unaquadrica un asintoto è caratterizzato dal fatto che ogni suo punto soddisfa lacondizione (6.11) la quale, nel caso in cui u sia una direzione asintotica conu!A ! 0, rappresenta l’equazione di un piano. Tale piano associato alla dire-zione asintotica u è chiamato piano asintotico della quadrica. In generale sipuò solo concludere che un asintoto di una quadrica appartiene a qualche pianoasintotico associato ad una direzione asintotica della quadrica.

Sia adesso % un piano asintotico che intersechi la quadrica Q lungo una conicaC = Q ) %. Sia adesso r un asintoto della conica C. Siccome r non ha punti incomune con C e r * % segue che r non ha punti in comune con la quadrica Q,cioè r è un asintoto della quadrica. Viceversa, se r è un asintoto della quadrica,allora r appartiene a qualche piano asintotico % e, di conseguenza, r è un asin-toto della conica C = Q ) %.

Questo ragionamento mostra che, per determinare gli asintoti di una quadri-ca, bisognerebbe studiare gli asintoti delle coniche intersezione di tutti i piani

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128 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

asintotici della quadrica con la quadrica stessa.

Nel caso delle quadriche descritte nella sezione 5.5, le direzioni asintoticheu! = (l,m, n) sono soluzione delle equazioni:

l2

a2+m2

b2+n2

c2= 0 , Ellisoidi;

l2

a2±m2

b2$n2

c2= 0 , Iperboloidi;

l2

a2±m2

b2= 0 , Paraboloidi.

A questo punto non è di!cile convincersi (il lettore deve però convincersi)che le rette generatrici dei seguenti coni con vertice nell’origine (chiamati coniasintotici) sono asintoti delle corrispondenti quadriche.

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Ellisoidi;

x2

a2±y2

b2$z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Iperboloidi;

x2

a2±y2

b2= 0 , Cono asintotico per i Paraboloidi.

Nel caso dell’ellissoide il cono asintotico è immaginario, nel caso degli iperbo-loidi si trova un cono reale, mentre nel caso dei paraboloidi il cono asintoticodegenera in due piani incidenti reali (paraboloide iperbolico) o incidenti imma-ginari (paraboloide ellittico).

Si osservi infine che i coni asintotici sopra descritti non esauriscono tutti ipossibili asintoti di una quadrica. Per esempio se prendiamo il paraboloideiperbolico di equazione z = x2 $ y2, ogni piano z = costante interseca il para-boloide lungo un’iperbole i cui asintoti sono anche asintoti dell’iperboloide enon passando per l’origine non appartengono al cono.

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6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 129

6.3.3 Generatori rettilinei di una quadricaDefinizione 6.11. Una retta r contenuta in una quadrica (conica) si chiama ungeneratore rettilineo della quadrica (conica).

La nozione di generatore rettilineo è interessante solo nel caso di una quadrica.Infatti, se una retta r di equazione ax+by+c = 0 è completamente contenuta inuna conica, necessariamente il polinomio che definisce la conica si scomponenel prodotto (ax+ by+ c)(a"x+ b"y+ c") per qualche polinomio di primo gradoa"x + b"y + c" e la conica si spezza in una coppia di rette.

Come indicato nell’Osservazione 6.10, una retta r di equazione parametricaP = P0 + tu è completamente contenuta in una quadrica di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0

seu!Au = 0 , u!AP0 + u!a = 0 , Q(P0) = 0 .

In questo testo non faremo un analisi teorica partendo dalle condizioni indicatesopra ma ci limiteremo a dimostrare la seguente

Proposizione 6.12. Il paraboloide iperbolico e l’iperboloide ad una faldapossiedono due famiglie ad un parametro di generatori rettilinei.

Dimostrazione. L’equazione (5.30) di un iperboloide ad una falda si può scri-vere come

- xa$zc

. - xa+zc

.

=

-

1 $ yb

. -

1 + yb

.

.

Segue che, per ogni t + R, t ! 0, le rette di equazione

rt :

)

*

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

*

,

xa$zc= t

-

1 $ yb

.

xa+zc=1t

-

1 + yb

.

, r"t :

)

*

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

*

,

xa$zc= t

-

1 + yb

.

xa+zc=1t

-

1 $ yb

.

appartengono all’iperboloide ad una falda. Si veda la Figura 6.1 per una rap-presentazione grafica della famiglia rt.Allo stesso modo si fa vedere che, per ogni t + R, t ! 0, le rette

rt :

)

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

,

xa$zc= 2t

xa+zc=zt

, r"t :

)

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

,

xa+zc= 2t

xa$zc=zt

S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

130 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

appartengono al paraboloide iperbolico. !

Figura 6.1 – Una delle famiglie di generatori rettilinei dell’Iperboloide ad una falda.

Il lettore dovrebbe dimostrare adesso che le altre tre quadriche descritte nellasezione 5.5 e riassunte nella Tabella 5.1 non contengono generatori rettilinei.

6.3.4 Rette tangenti ad una quadricaTorniamo adesso all’equazione (6.8) e diamo la seguenteDefinizione 6.13. Se una retta interseca una quadrica (conica) in due punti realicoincidenti P = P1 = P2, la retta si dice tangente alla quadrica (conica) nelpunto di contatto P.Ricordando l’equazione quadratica in t dell’intersezione tra una retta ed unaquadrica,

(u!Au) t2 + 2(u!AP0 + u!a) t + Q(P0) = 0 ,si ricava immediatamente che una retta per P0 è tangente alla quadrica se e solose il vettore direttore u soddisfa alla condizione

(u!AP0 + u!a)2 $ (u!Au)Q(P0) = 0 . (6.12)

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6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 131

Cerchiamo adesso il luogo geometrico delle rette per P0 tangenti alla quadri-ca Q. Se un punto P appartiene al luogo cercato, allora P appartiene ad unadelle rette del luogo e, di conseguenza, il vettore P $ P0 ha la direzione dellaretta tangente. Segue che l’equazione del luogo delle rette per P0 tangenti allaquadrica si ottiene sostituendo u = P $ P0 nella (6.12). Si ottiene

[(P $ P0)!AP0 + (P $ P0)!a]2 $ [(P $ P0)!A(P $ P0)]Q(P0) = 0 . (6.13)

Con un semplice calcolo il termine al primo addendo si può scrivere come

(P $ P0)!AP0 + (P $ P0)!a = P!AP0 $ P!0AP0 + a!P $ a!P0= P!AP0 + a!P + a!P0 + a00$ (P!0AP0 + 2a!P0 + a00)

=Q(P, P0) $ Q(P0) ,

dove abbiamo posto

Q(P, P0) = P!AP0 + a!P + a!P0 + a00 . (6.14)

La (6.13) diventa

Q(P, P0)2$Q(P0)Q(P, P0)+Q(P0)2$ [(P$P0)!A(P$P0)]Q(P0) = 0 . (6.15)

Metendo in evidenza Q(P0) negli ultimi tre addendi della (6.15) e svolgendo icalcoli si perviene alla condizione

Q(P, P0)2 $ Q(P0)Q(P) = 0 . (6.16)

La condizione (6.16) è del tutto analoga alla (5.8) trovata nel caso in cui laquadrica fosse una sfera. L’espressione diQ(P, P0) si ottiene per polarizzazionedel polinomio di secondo grado che definisce la quadrica. OperativamenteQ(P, P0) si ottiene tramite le seguenti sostituzioni

x2 ,& xx0y2 ,& yy0z2 ,& zz0xy ,& (xy0 + x0y)/2xz ,& (xz0 + x0z)/2yz ,& (yz0 + y0z)/2x ,& (x0 + x)/2y ,& (y0 + y)/2z ,& (z0 + z)/2 .

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132 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Un altro modo per calcolare Q(P, P0) è utilizzare la matrice A. Infatti è imme-diato verificare che

Q(P, P0) = P!AP0 . (6.17)

La (6.16) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette per P0 tan-genti alla quadrica.

Se Q è una conica nel piano e P0 non appartiene a Q, allora (6.16) rappresentadue rette reali o immaginarie distinte. Se P0 appartiene alla conica la (6.16) siriduce alla

Q(P, P0) = 0 (6.18)

che rappresenta l’equazione della retta tangente alla conica in P0.

Se Q è una quadrica e P0 non appartiene a Q, la (6.16) rappresenta un cono rea-le o immaginario, con vertice in P0, tangente alla quadrica. Se P0 appartienealla quadrica la (6.18) rappresenta l’equazione del piano tangente alla quadricain P0.

In modo completamente analogo a quanto visto nel caso della sfera, definiamopiano (retta) polare di un punto P0 rispetto ad una quadrica (conica)Q il piano(la retta) di equazione

Q(P, P0) = 0 .

Anche in questo caso vale il teorema di reciprocità.

Il lettore dovrebbe ripercorrere le costruzioni grafiche della polare, viste nel-l’Esempio 5.4 per il caso della circonferenza, ed addatarle al caso di una conicaqualunque.

Terminiamo questo paragrafo descrivendo l’equazione del luogo delle rette pa-rallele ad una data direzione u e tangenti ad una quadrica. Se consideriamo la(6.12) con u fissato e P0 generico, si ottiene l’equazione del luogo cercato, cioè

(u!AP + u!a)2 $ (u!Au)Q(P) = 0 . (6.19)

Nel caso di una conica la (6.19) rappresenta due rette parallele, mentre nel casodi una quadrica la (6.19) è un cilindro con generatrici parallele a u.

S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

6.4 Centro di simmetria 133

6.4 Centro di simmetriaDiamo la seguente

Definizione 6.14. Un punto C è un centro di simmetria per una quadrica(conica) Q se per ogni retta per C che interseca la quadrica in due punti distintiP1, P2, C è il punto medio tra P1 e P2.

Il cento di simmetria, se esiste, è caratterizzato dalla seguneteProposizione 6.15. Sia Q una conica di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0.

Allora un punto C è un centro di simmetria se e solo se C è soluzione delsistema

AP + a = 0 . (6.20)

Dimostrazione. Supponiamo che C sia un centro di simmetria e sia r una rettaper C con direzione u non asintotica, cioè tale che u!Au ! 0. Siano P1 e P2 idue punti di intersezione di Q con r. Allora, per definizione di centro,

C =P1 + P22

.

Se parametrizziamo la retta r come P = C + tu i due punti di intersezione sonoP1 = C + t1u e P2 = C + t2u dove t1 e t2 sono le soluzioni dell’equazione

(u!Au) t2 + 2(u!AC + u!a) t + Q(C) = 0 .

Segue che, da un lato,

C =P1 + P22

=C + t1u +C + t2u

2= C +

t1 + t22

u,

quindi t1 + t2 = 0, dall’altro lato

$(t1 + t2) =2(u!AC + u!a)

u!Auda cui

u!AC + u!a = 0 .Infine, siccome esiste sempre una base dello spazio formata da direzioni nonasintotiche, l’ultima equazione implica che AC + a = 0 come ricchiesto.Ripercorrendo i passaggi al contrario si ottiene immediatamente il viceversa.

!

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134 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Osservazione 6.16. Dato un punto C si definisce riflessione centrale con cen-tro in C la trasformazione a!ne & : E3 & E3 definita da &(P) = 2C $ P.Una definizione alternativa di centro di simmetria è la seguente: C è un cen-tro di simmetria per una quadrica Q se il polinomio F(x, y, z) che definisce laquadrica soddisfa alla condizione

-P + Q , F(P) = " F(2C $ P) , " + R, " ! 0, (6.21)

cioè se la riflessione centrale con centro in C trasforma la quadrica in se stessa.Il lettore dovrebbe provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti.Per questo basta dimostrare che un punto C soddisfa la (6.21) se e solo se èsoluzione del sistema (6.20).Essendo gli eventuali centri di simmetria di una quadrica soluzioni di un si-stema lineare la cui matrice dei coe!cienti è la matrice A della quadrica,un discussione attenta del sistema, utilizzando il Teorema di Rouché-Capelli,conduce alla seguente

Proposizione 6.17. Sia Q una quadrica (conica).

(a) Se # = det(A) ! 0, allora esiste un unico centro di simmetria.

(b) Se # = det(A) = 0 e " = det(A) ! 0, allora non esiste alcun centro disimmetria.

(c) Se # = det(A) = 0 e " = det(A) = 0 e Q è una conica allora esiste unaretta di centri di simmetria. Se Q è una quadrica esistono tre possibilità:non esiste alcun centro; esiste una retta di centri; esiste un piano dicentri.

Dimostrazione. Un eventuale centro di simmetria è soluzione del sistema (6.20).

(a) – Se # = det(A) ! 0 la matrice del sistema ha rango massimo e quindi ilsistema ammette un unica soluzione.

(b) – Supponiamo adesso che # = det(A) = 0 e " = det(A) ! 0. La matrice deicoe!cienti del sistema AP + a = 0 è A mentre la matrice completa del sistema(a meno del segno dell’ultima colonna che in ogni caso non altera il rango) è

!

"

"

"

"

"

"

"

"

#

a11 a12 a13 a10a12 a22 a23 a20a13 a23 a33 a30

$

%

%

%

%

%

%

%

%

&

. (6.22)

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6.4 Centro di simmetria 135

Essendo det(A) = 0 la matrice dei coe!cienti del sistema à rango minore di 3mentre la matrice completa del sistema, essendo una sottomatrice della matriceA ed avendo quest’ultima rango massimo, ha rango 3. Dal Teorema di Rouche-Capelli segue che il sistema è incompatibile e quindi non esiste alcun centro disimmetria.

(c) – Supponiamo che # = det(A) = 0 e " = det(A) = 0 e che Q sia una conica.Il rango della matrice A è 1. Dimostriamo che anche il rango della matricecompleta

'

a11 a12 a10a12 a22 a20

(

(6.23)

vale 1. Siccome det(A) = 0 una delle colonne di A è combinazione linearedelle altre. Se fosse la terza colonna allora anche la terza colonna della (6.23)sarebbe combinazione lineare delle altre ed il sistema risulterebbe compatibile.Supponiamo adesso che la terza colonna non sia combinazione lineare dellealtre e che il rango della (6.23) sia, per assurdo, 2. Dalla simmetria di A lerighe della matrice (6.23) corrispondono alle prime due colonne della matriceA. Siccome per ipotesi la (6.23) ha rango 2 le prime due colonne di A sonolinearmente indipendenti ed essendo la terza colonna linearmente indipendentecon le prime due segue che il rango di A è uguale a 3 in contraddizione col fattoche det(A) = 0. Il sistema risulta quindi compatibile ed ammette#1 soluzioniche formano una retta.Nel caso in cuiQ sia una quadrica la situazione è più complessa. Infatti il rangodi A può essere sia 2 che 1. Se il rango di A fosse 2 un ragionamento analogoa quello visto sopra dimostrerebbe che il sistema AP + a = 0 è compatibile edammette #1 soluzioni che formano una retta. Se il rango di A è 1 ci sono duepossibilità: il rango di (6.22) è due, ed in questo caso il sistema è incompatibile;il rango di (6.22) vale 1 e il sistema AP + a = 0 è compatibile ed ammette #2

soluzioni che formano un piano. !

L’importanze del centro in geometria a!ne risiede nella sua invarianza pertrasformazioni geometriche come illustrato nella seguente

Proposizione 6.18. Fissato un riferimento a!ne nello spazio (piano) sia C ilcentro di una quadrica (conica) Q definita dall’equazione F(x, y, z) = 0 e sia& : E3 & E3 una trasformazione a!ne. Allora C" = &(C) è il centro dellaquadrica Q", immagine di Q tramite &, definita dall’equazione F"(x", y", z," ) =F . &$1(x", y", z") = 0.

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136 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Dimostrazione. Usiamo la definizione di centro data nella Osservazione 6.16.Quindi C è un centro per la quadrica Q se esiste " + R, " ! 0 tale che F(P $2C) = "F(P) per ogni P + Q. Sia quindi P" = &(P), con P + Q. Allora

F"(P") = F . &$1(P") = F(P) = " F(2C $ P)= " F(2&$1&(C) $ &$1(P"))= " F . &$1(2C" $ P")= "F"(2C" $ P") . (6.24)

La (6.24) dice esattamente che C" = &(C) è un centro per la quadrica Q". Il let-tore dovrebbe però fare attenzione che la trasformazione a!ne & non è lineare,quindi l’uguaglianza tra la seconda e la terza riga della (6.24) non discende perlinearità e, di conseguenza, va dimostrata (per esercizio) esplicitamente. !

Se una quadrica (conica) ha un centro di simmetria C possiamo scegliere unriferimento a!ne con origine in C. Rispetto a tale riferimento l’equazione chedefinisce la quadrica (conica) è di tipo speciale, come mostra la seguente

Proposizione 6.19. Rispetto ad un riferimento a!ne con origine in un centrodi una quadrica (conica) Q il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica(conica) non presenta i termini di primo grado. Viceversa, se il polinomioF(x, y, z) che definisce la quadrica (conica) non presenta i termini di primogrado l’origine è un centro di simmetria.

Dimostrazione. Supponiamo che il centro di una quadrica Q di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0

sia l’origine. Sia P un punto della quadrica, allora, essendo l’origine il puntomedio tra P e P" = $P, segue che P" = $P + Q. Si ottiene quindi

P!AP + 2a!P + a00 $ [($P)!A($P) + 2a!($P) + a00] = 0 $ 0 = 0 ,

la quale, dopo le ovvie semplificazioni, implica che

4a!P = 0 , - P + Q.

Viceversa, se a = 0 allora il sistema (6.20) che caratterizza i centri di unaquadrica è omogeneo di conseguenza l’origine è un centro di simmetria. !

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6.5 Diametri di una quadrica 137

6.5 Diametri di una quadricaSia u una direzione non asintotica per una quadrica Q. Allora tutte le rettacon direzione u intersecano la quadrica in due punti P1 e P2, eventualmenteimmaginari. In ogni caso il punto medio tra P1 e P2 è un punto di coordinatereali. Diamo quindi la seguente

Definizione 6.20. Sia Q una quadrica (conica) e sia u una direzione non asin-totica. Il luogo dei punti medi dei punti di intersezione delle rette con direzioneu con la quadrica Q si chiama diametro della quadrica (conica) coniugato alladirezione u.

Il diametro di una quadrica (conica) è caratterizzato dalla seguente

Proposizione 6.21. Sia u una direzione non asintotica per una quadrica (co-nica) di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0

allora il diametro coniugato è un piano (una retta nel caso di una conica) diequazione

u!AP + a!u = 0 . (6.25)

Dimostrazione. Sia u una direzione non asintotica e sia r una retta con dire-zione u. Siano P1 e P2 i punti di intersezione di r con Q e sia M il loro puntomedio. Se parametrizziamo la retta r come P = M + tu i punti di intersezionedi Q con r sono dati da P1 = M + t1u e P2 = M + t2u dove t1 e t2 sono soluzionidella (6.8) con M = P0:

(u!Au) t2 + 2(u!AM + u!a) t + Q(M) = 0 . (6.26)

Siccome M è il punto medio tra P1 e P2 segue che 2M = P1 + P2 = 2M +(t1 + t2)u, da cui t1 + t2 = 0. Essendo t1 e t2 soluzione dell’equazione (6.26), siottiene

0 = t1 + t2 = $2(u!AM + u!a)

(u!Au).

Quindi i punti medi M soddisfano alla condizione u!AM + u!a = 0 la qualerappresenta l’equazione di una retta nel caso di una conica e l’equazione di unpiano nel caso di una quadrica. !

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138 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Da ora in poi chiameremo diametro il diametro coniugato ad una direzioneu rispetto ad una conica mentre chiameremo piano diametrale il diametroconiugato a u.Il nome diametro, ricordando la nomenclatura classica per una circonferenza,è stato scelto poiché se una quadrica (conica) ha un centro allora un qualsiasidiametro contiene il centro. Tale proprietà è di immediata verifica, infatti uneventuale centro soddisfa la condizione AC + a = 0 da cui segue che u!AC +u!a = u!(AC + a) = 0.

Definizione 6.22. Una direzione v si dice coniugata alla direzione u se v èparallela al diametro coniugato a u.

Proposizione 6.23. Una direzione v è coniugata ad una direzione u se e solose

u!Av = 0. (6.27)

In particolare, se v è coniugata a u se e solo se u è coniugata a v.

Dimostrazione. Se v è coniugata ad u allora ogni retta r con direzione v nonha punti di intersezione con il diametro coniugato ad u o è contenuta nel dia-metro coniugato. Parametrizzando r come P = P0 + tv gli eventuali punti diintersezione con il diametro coniugato alla direzione u si ottengono risolvendoil sistema

)

*

*

+

*

*

,

u!AP + u!a = 0P = P0 + tv ,

il quale conduce alla equazione di primo grado in t

(utAv)t + u!AP0 + u!a = 0.

Per ipotesi l’ultima equazione o non ammette soluzioni o ammette infinitesoluzioni ed in entrambi i casi si deve avere utAv = 0. !

Esempio 6.24. Sia Q l’ellisse di equazione

6.6 Classificazione a!ne delle quadricheDue quadrice (coniche) Q e Q" si dicono a!nemente equivalenti se esiste unatrasformazione a!ne & tale che &(Q) = Q". Se, rispetto ad un riferimento a!-ne, F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 sono le equazioni di Q e Q" rispettivamente,

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6.6 Classificazione a!ne delle quadriche 139

allora Q e Q" sono a!nemente equivalenti se F(&$1(P)) = G(P). In modoequivalente, due quadriche Q e Q" sono equivalenti dal punto di vista a!ne seesiste un cambiamento di coordinate a!ni rispetto al quale l’equazione di Qnel primo riferimento coincide con quella di Q" nel nuovo.

Con classificazione a!ne delle quadriche (coniche) si intende determinare tuttii tipi di quadriche (coniche) a meno di trasformazioni a!ni.

Iniziamo con la classificazione a!ne delle coniche. Un primo risultato è chetramite una trasformazione a!ne l’equazione di una conica si può ricondurread una forma pre-canonica come mostra la seguenteProposizione 6.25. Sia Q una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (6.28)

Allora esiste una trasformazione a!ne rispetto alla quale la conica ha equa-zione

y2 = Ax2 + 2Bx + C , A, B,C + R . (6.29)Dimostrazione. Possiamo supporre che a22 ! 0. Infatti, se fossero a22 = 0 ea11 ! 0, basterebbe considerare la trasformazione a!ne che manda x in y e yin x per ricondursi al caso a22 ! 0. Se invece fossero a22 = 0 e a11 = 0, allora,necessariamente, a12 ! 0 e la trasformazione a!ne

)

*

*

+

*

*

,

x ,& (x $ y)y ,& (x + y)

trasformerebbe il termine xy in x2 $ y2 riconducendoci al caso precedente.Sia quindi a22 ! 0. Moltiplicando la (7.3) per il reciproco di a22 possiamoassumere che a22 = 1. Completando il quadrato dei termini in y si ottiene

(y + a12x + a20)2 + (a11 $ a212)x2 + 2(a10 $ a12a20)x + a00 $ a220 = 0 .

Ponendo A = a12 $ a11, B = 2(a12a20 $ a10) e C = a220 $ a00, si ottiene

(y + a12x + a20)2 = Ax2 + 2Bx +C .

In fine, tramite la trasformazione a!ne)

*

*

+

*

*

,

x ,& xy + a12x + a20 ,& y

si ottiene la (6.35). !

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140 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

Siamo pronti per enunciare il seguente

Teorema 6.26. Sia Q una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (6.30)

Allora esiste una trasformazione a!ne rispetto alla quale la conica assumeuna delle seguenti forme canoniche:

(i) y2 = $x2 $ 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = $x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole)(iv) y2 = x (Paraboa)(v) y2 = $x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti)(vii) y2 = $1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele)(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti).

Dimostrazione. Dalla Proposizione 6.25 possiamo assumere che l’equazionedella conica sia

y2 = Ax2 + 2Bx + C , A, B,C + R . (6.31)Dividiamo inizialmente nei due casi A ! 0 e A = 0.

Sia A ! 0. Allora tramite la trasformazione a!ne)

*

*

+

*

*

,

x ,& "xy ,& y

il coe!ciente del termine in x2 diventa A"2 e possiamo determinare " tale cheA"2 = ±1 (+1 quando A > 0 e $1 quando A < 0). L’equazione diventay2 = ±x2 + 2"Bx + C. Completando il quadrato dei termini in x si trovano, aseconda del segno del coe!ciente di x2, le seguenti possibilità

)

*

*

+

*

*

,

y2 = (x + "B)2 + C $ "2B2

y2 = $(x $ "B)2 + C $ "2B2 .

In entrambi i casi esiste una trasformazione a!ne che trasforma l’equazionenella

y2 = ±x2 + D , D = C $ "2B2 . (6.32)

S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

6.6 Classificazione a!ne delle quadriche 141

Operando ora la trasformazione a!ne)

*

*

+

*

*

,

x ,& µxy ,& µy

la (6.32) diventay2 = ±x2 +

Dµ2. (6.33)

Si presentano due sotto casi.

Se D ! 0 allora esite µ tale che D2/µ2 ± 1 e la (6.33) diventa y2 = ±x2 ± 1. Sihanno quindi i seguenti quattro casi

(i) y2 = $x2 $ 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = $x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole) .

Il caso y2 = $x2 $ 1 non compare poiché tramite la trasformazione a!ne chescambia x con y si riconduce al caso (iii).

Se D = 0 la (6.33) diventa y2 = ±x2 e si presentano gli ulteriori due coniche(v) y2 = $x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti) .

Vediamo adesso il caso in cui A = 0. La (6.31) diventa

y2 = 2Bx + C . (6.34)

Se B ! 0 tramite la trasformazione a!ne)

*

*

+

*

*

,

(2Bx +C) ,& xy ,& y

la (6.34) diventa il tipo(iv) y2 = x (Paraboa) .

Se B = 0 e C ! 0, tramite il la trasformazione a!ne che manda y in 'y, per unopportuno ', la (6.34) diventa y2 = ±1 e si trovano i casi

(vii) y2 = $1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele) .

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142 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

In fine, se B = 0 e C = 0 la (6.34) conduce all’ultimo tipo

(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti) .

!

6.6.1 Invarianti a!niA questo punto la domanda importante è se i nove tipi di equazione canonicadel Teorema 6.26 sono tutti distinti dal punto di vista a!ne, nel senso che nonesiste una trasformazione a!ne (o un cambiamento di coordinate a!ni) cheporti uno dei tipi in un qualunque altro tipo.Per dimostrare che non sono a!nemente equivalenti utilizziamo la Proposizio-ne 6.4 dalla quale si ricava che se P = MP" + ! è una trasformazione a!ne e Qè una conica di equazione

P!AP + 2a!P + a00 = 0

allorarank(A) = rank(A") , rank(A) = rank(A")

edet(A) = " det(A") , det(A) = " det(A") , con " > 0 ,

dove con A" e A" abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata. Quindi i due ranghi e i due determinanti sono degli invarianti a!ni,anche se va osservato che mentre il rango rimane numericamente uguale i duedeterminanti vengono moltiplicati per una costante positiva. In ogni caso seuno dei determinanti è zero rimane zero. Bisogna però osservare che il segnodi " non è un invariante. Infatti, sebbene tramite una trasformazione a!ne "viene moltiplicato per una costante positiva, il segno di " per una data conicanon è univocamente determinato: se moltiplichiamo l’equazione di una conicaper $1 si ottiene la stessa conica ma il determinante della matrice A, essendodi ordine 3, viene moltiplicato per ($1)3 = $1 e quindi cambia segno. Al con-trario, il segno di # è un invariante a!ne poiché la matrice A è di ordine 2.

Con un calcolo diretto degli invarianti sopra descritti per i nove tipi di equa-zioni canoniche determinati nel Teorema 6.26 si ottiene la Tabella 6.1. DallaTabella 6.1 rimane da verificare che non sono a!nemente equivalenti (i) con(ii) e gli ultimi tre tipi (vii), (viii) e (ix). La conica (i) ha solo punti immaginari

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6.6 Classificazione a!ne delle quadriche 143

Tipo Equazione " # Nome

(i) y2 = $x2 $ 1 ! 0 > 0 (Ellisse immaginaria)

(ii) y2 = $x2 + 1 ! 0 > 0 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 ! 0 < 0 (Iperbole)

(iv) y2 = x ! 0 = 0 (Paraboa)(v) y2 = $x2 = 0 > 0 (Rette immaginarie incidenti)

(vi) y2 = x2 = 0 < 0 (Rette reali incidenti)(vii) y2 = $1 = 0 = 0 (Rette immaginarie parallele)

(viii) y2 = 1 = 0 = 0 (Rette reali parallele)(ix) y2 = 0 = 0 = 0 (Rette reali coincidenti).

Tabella 6.1 – Gli invarianti a!ni per i nove tipi di coniche

mentre (ii) è reale quindi non possono essere a!nementi equivalenti. Per lostesso motivo (vii) non può essere a!nemente equivalente con (viii) o con (ix).In fine, la matrice A del tipo (ix) è l’unica con rango uno.

La Tabella 6.1 mostra che le coniche a!ni si dividono in quelle con " ! 0e quelle con " = 0. Chiamiamo coniche non degeneri quelle con " ! 0e coniche degeneri quelle con " = 0. Un osservazione attenta della Tabel-la 6.1 mostra che una conica è non degenere se non contiene nessuna retta edi conseguenza il polinomio che la descrive è irriducibile, nel senso che nonsi può scrivere come prodotto di due polinomi (eventualmente con coe!cienticomplessi) di primo grado.

6.6.2 Classificazione a!ne delle quadricheCon una dimostrazione simile a quella della Proposizione 6.25 si dimostra laseguente.Proposizione 6.27. Sia Q una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste unatrasformazione a!ne rispetto alla quale la quadrica assume l’equazione

z2 = F(x, y) , (6.35)

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144 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y.

Possiamo adesso enunciare il seguente

Teorema 6.28. Sia Q una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste una tra-sformazione a!ne rispetto alla quale la conica assume una delle seguentiforme canoniche:

(i) z2 = $x2 $ y2 $ 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = $x2 $ y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = $x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = $y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = $x2 $ y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = $x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = $y2 $ 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = $y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 $ 1 (Cilindro iperbolico)(xii) z2 = y (Cilindro parabolico)(xiii) z2 = $y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti)(xv) z2 = $1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti)

Dimostrazione. Dalla Proposizione 6.27 esiste una trasformazione a!ne ri-spetto alla quale la quadrica assume la forma

z2 = F(x, y) ,

dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y. Se F(x, y) = 0 descriveuna conica esiste una trasformazione a!ne

)

*

*

+

*

*

,

x ,& x" = &1(x, y)y ,& y" = &2(x, y) ,

del piano z = 0, rispetto alla quale la conica F(x, y) = 0 assume una delle noveforme canoniche descritte nel Teorema 6.26. Quindi rispetto alla trasformazio-

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6.6 Classificazione a!ne delle quadriche 145

ne a!ne)

*

*

*

*

*

+

*

*

*

*

*

,

x ,& x" = &1(x, y)y ,& y" = &2(x, y)z ,& z

l’equazione z2 = F(x, y) assume una delle seguenti forme canoniche (tenendoin conto che l’opposto di una forma canonica per F(x, y) è ancora una formacanonica):

(i) z2 = $x2 $ y2 $ 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = $x2 $ y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = $x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = $y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = $x2 $ y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = $x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = $y2 $ 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = $y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 $ 1 (Cilindro iperbolico)(xiii) z2 = $y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti).

Rimangono da studiare i casi in cui il polinomio F(x, y) è di grado uno o digrado zero. Nel primo caso, supponendo che il coe!ciente in y sia diversoda zero (altrimenti si e#ettua la trasformazione a!ne che scambia x con y) siottiene, tramite l’ovvia trasformazione a!ne, l’unica forma canonica

(xii) z2 = y (Cilindro parabolico),

Nel secondo caso F(y, x) = c, con c costante, e, a seconda che il valore di c siamaggiore, minore o uguale a zero, si trovano le ultime tre forme canoniche:

(xv) z2 = $1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti).

!

Anche in questo caso un calcolo esplicito degli invarianti # e " restituisce laTabella 6.2. Si osservi che nel caso delle quadriche il segno di # non può

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146 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche a!ni

essere un invariante a!ne, infatti in questo caso la matrice A ha ordine dispari,mentre è un invariante il segno di ". Dall’osservazione della Tabella 6.2 ci sirende conto che i soli due invarianti # e " non sono su!cienti per distinguerei vari tipi di quadriche a!ni. Abbiamo in questo caso aggiunto nella tabellaanche i relativi valori dei ranghi delle matrici A e A.

Tipo Equazione " # ($(A), $(A)) Nome

(i) z2 = $x2 $ y2 $ 1 > 0 ! 0 (4, 3) (Ellissoide immaginario)

(ii) z2 = $x2 $ y2 + 1 < 0 ! 0 (4, 3) (Ellissoide reale)(iii) z2 = $x2 + y2 + 1 > 0 ! 0 (4, 3) (Iperboloide ad una falda)

(iv) z2 = x2 + y2 + 1 < 0 ! 0 (4, 3) (Iperboloide a due falde)(v) z2 = $y2 + x < 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide ellittico)

(vi) z2 = y2 + x > 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = $x2 $ y2 = 0 ! 0 (3, 3) (Cono immaginario)

(viii) z2 = $x2 + y2 = 0 ! 0 (3, 3) (Cono reale)(ix) z2 = $y2 $ 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro immaginario)

(x) z2 = $y2 + 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro ellittico)

(xi) z2 = y2 $ 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro iperbolico)(xii) z2 = y = 0 = 0 (3, 1) (Cilindro parabolico)

(xiii) z2 = $y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani reali incidenti)

(xv) z2 = $1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani reali paralleli)

(xvii) z2 = 0 = 0 = 0 (1, 1) (Piani reali coincidenti)

Tabella 6.2 – Gli invarianti a!ni per i 17 tipi di quadriche

Per terminare dobbiamo verificare che i diciassette tipi di quadrica nella Ta-bella 6.2 non sono a due a due a!nementi equivalenti. Tramite l’uso degliinvarianti, rimangono ancora alcuni casi irrisolti dei quali discutiamo adesso.

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6.6 Classificazione a!ne delle quadriche 147

Il tipo (i) non è equivalente al tipo (iii) in quanto in un caso la quadrica è imma-ginaria e nell’altro caso è reale. Il tipo (ii) non è equivalente al tipo (iv) poichéil cono asintotico di (ii) è immaginario mentre quello di (iv) è reale. Il tipo (vii)essendo immaginario non è equivalente al tipo (viii). Il tipo (ix) essendo im-maginario non può essere equivalente al tipo (x) o al tipo (xi), mentre i due tipi(x) e (xi) avendo coni asintotici rispettivamente immaginari e reali non sonoequivalenti. Il tipo (xiii) è una quadrica immaginaria e quindi non equivalenteal tipo (xiv). In fine il tipo (xv), poiché immaginario, non è equivalente al tipo(xvi).

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