LICEO SALVADOREÑOHOJA DE EJERCICIOS GEOMETRIA PLANA SEGUNDO AÑO NOMBRE: ___________________________________________________________________ SECCIÓN: ______

ANGULOS PARTE I

1) De estas afirmaciones son verdaderas:

I.- La suma de los ángulos adyacentes suplementarios equivale a un ángulo extendido.II.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.III.- Dos ángulos son suplementarios si la suma de ellos es igual a180°

a) sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y IIe) I, II y III

6) En la figura, determinar el valor de y:

a) 10° b) 15°c) 25°d) 30°e) 35°

2) Si L1 // L2, ¿Cuánto vale ?

a) 35° b) 45°c) 16°d) 59°e) 79°

7) Si L1 // L2, determinar el valor de x:

a) 24° b) 23°c) 22,98°d) 23,98°e) ninguna anterior

3) Sea L1 // L2, ¿Cuánto vale 2x – y + z?

a) 180° b) 30°c) 40°d) 50°e) 230°

8) En la siguiente figura, ángulo ABC recto, determinar el valor de x:

a) 50° b) 40°c) 30°d) 20°e) 10°

4) Hallar la medida del ángulo CED. L1 // L2

a) 100° b) 120°c) 140°d) 160°e) 90°

9) Si L1 // L2 y el doble de es 30° menor que , determinar en cuántos grados se diferencian y .a) 50° b) 60°c) 80° d) 130°e) 180°

5) En la figura siguiente, ¿Cuánto vale ?

a) 45° b) 60°c) 90°d) 180°e) 360°

10) Encontrar la medida de dos ángulos complementarios cuya razón es 2 : 3

a) 43° y 47° b) 36° y 54° c) 36° y 45° d) 25° y 65° e) 15° y 75°

11) En la figura siguiente, ¿Cuánto vale x?

a) 180° – ( a + b) b) 180° – a + bc) 180° + a + bd) 180° + ( a – b)e) 180° – ( a – b)

15) En la siguiente figura, determinar el valor de x:

a) 30° b) 45°c) 60°d) 65°e) 90°

12) Hallar la medida del ángulo que, disminuido en su suplemento, es igual al triple de su complemento:

a) 22,5° b) 45° c) 60° d) 90° e) 180°

16) Si el 25% de es 5,5° y el 40% de es 52°, calcular +

a) 22° b) 40° c) 92° d) 130° e) 152°

13) Sean L1 // L2 y : = 2 : 5. Determinar el valor de .

a) 20° b) 40°c) 50°d) 120°e) 100°

17) Si = 38° y = 24°, encontrar el valor de x e y .

a) x = 117°; y = 25° b) x = 118°; y = 24°c) x = 116°; y = 23°d) x = 23°; y = 116°e) x = 24°; y = 118°

14) Si L1 // L2 y L secante, determinar el valor de x:

a) 2° b) 3°c) 4°d) 27°

e)

18) Si L1 // L2, L4 es bisectriz de y = 35°, ¿Cuánto mide el suplemento de ?

a) 70° b) 180°c) 90°d) 35°e) 110°

EJERCICIOS PROPUESTOS PARTE II

1. Determina el complemento de 72º.

2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?

3. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º

4. Determina el complemento del suplemento de 143º.5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados mide x?

6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a - 10)º.

7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el suplemento de 93º.

8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a - 15)º y el complemento de (a - 45)º

9. Un ángulo y su suplemento están en razón 7:2. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

10. Un ángulo y su complemento están en razón 2:1. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo mayor?

11. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.

12. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.

13. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor. ¿Cuánto mide el ángulo menor?

14. Si x e y son ángulos adyacentes y  x  tiene 27º más que y. ¿Cuánto mide x?

15. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es 12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?

16. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón están los complementos respectivos de estos ángulos?

17. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5. ¿Cuánto mide el ángulo?

18. Determina el complemento de 42º18'.

19. Determina el suplemento de 154º27'42''.

20. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho ángulo.

21. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?

22. Un ángulo recto se divide en razón 1:2:3. ¿Cuál es la diferencia entre el ángulo mayor y el ángulo menor de esta división?

23. Dos ángulos opuestos por el vértice miden  (20 - a)º  y  (a + 74)º. ¿Cuánto vale a?24. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?

25. Si la diferencia entre dos ángulos complementarios es 22º. ¿Cuál es la diferencia entre sus complementos respectivos?

26. A la cuarta parte de un ángulo se le suma su tercera parte resultando 7º. ¿Cuánto mide el ángulo?

27. El doble de un ángulo es la cuarta parte de su complemento. ¿Cuánto mide el ángulo?

EJERCICIOS PROPUESTOS PARTE III

1. Los ángulos α , β y φ están en razón de 1:2:3. Halla sus valores.

2. Dos ángulos consecutivos suman 100°. ¿Qué ángulo forman sus bisectrices?

3. Si tres ángulos suman 220°, y el menor es la tercera parte del mayor, y el mayor es el doble que el del medio. ¿Cuánto mide cada ángulo?

4. Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos 1 + 4 es igual a 180°

5. Demuestra que la suma de las medidas de los ángulos2 + 5 + 6 es igual a 180°

6. En la figura: 1 = 2; 2 = 2. 3. Halla el valor del ángulo 7

7. Si un ángulo excede en 20° al triple de otro, y su suma son 140°. Halla sus medidas.

8. En tres ángulos que forman un ángulo llano, uno de ellos es la mitad del segundo y la tercera parte del tercero. Halla sus medidas.

9. Señala cuáles ángulos son alternos internos entre paralelas; alternos externos entre paralelas; correspondientes entre paralelas y suplementarios.

10.Si tres ángulos suman 300°, y el mayor es el doble del menor menos 20°, y el del medio es el triple del menor menos 100°. ¿Cuánto mide cada ángulo?

11.Si tres ángulos suman 160°, y el mayor mide 5 veces lo que mide el menor, y el menor es la mitad de lo que mide el del medio. ¿Cuánto mide cada ángulo?

12.Si tres ángulos suman 290°, y el mayor mide el triple del menor mas 50°, y el del medio mide el doble que el menor. ¿Cuánto mide cada ángulo?

E J E R C I C I O S PARTE IV

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.

5. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?

6. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O. Demuestra que OAA’ OBB’.

7. Si a//b, r y r’ secantes que se cortan en O y OA = 8 cm., OB = 12 cm., AA’ = 10 cm., A’B’ = 15 cm. Determina OB’ y BB’.

8. En el ABC, AD BC y CE AB. Demostrar que CE AB = AD BC

9. Si en el ABC, CD es la bisectriz del ACB y ABE ACD, demostrar que ACD DBE y que ADC CEB.

10. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel.

11. Si los segmentos AB y CD se cortan en un punto E tal que CE EB = ED AE, demostrar que los segmentos AC y BD que unen sus extremos, son paralelos.

12. Si AE = 12, EB = 28, CE = 15, AC = 18, determinar ED y BD.

15

3

A

BE

C

D

P

QX

R

N

G

V

X T

R N

J

Y W

L

K

M

C

B

L M

K N

J

X

W Z

VY

T

13. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del EAB y forman con estos lados los ángulos BCE y EDB iguales, demuestra que el ADE ABC.

14. Calcula AC y BC, sabiendo que AE = 18 cm., AB = 12 cm., DB = 6 cm. y DE = 21 cm.

15. Encuentra el valor de ADsi AC = 25

16. Se sabe que: PQ = PR y que PX biseca ∠ QPR

. Demostrar que QPX QPR

17. Dado que T = NGV Demostrar que NGV NTX

18. Dado que R = W. Demostrar que JYW JMR

19. Dado que LK // CB .Demostrar que: LKM BCM

20.. Según la fig.

NK JL ; ML JL

NK = 4 , ML = 6 ,

JM = 15 , JN =?

21. Hipótesis : WZ = XY ; WX = ZY

Tesis : WTZ VWX

AB

D

F

E

C

BA

C

E D

F

C’

A’C’

ab’

C

BAc

ab

C

BA

F

ED

D C

B A

O

L2

L1

A

D

C E

B

22. Hipótesis :CF⊥AB , BD⊥AC Tesis : FBE DEC

23. ¿En qué casos el ABC DEF ?

a)

ABDE

= BCEF

=CAFD

b)

ABBC

=DEEF

; ∠ B = ∠ E

c)

BCEF

= ACDF

, ∠ B = ∠ D

d) ∠ A = ∠ D , ∠ C = ∠ E

24. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’.

25. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.

26. Los triángulos de la figura son semejantes. Escribir la proporcionalidad de sus lados homólogos.

27. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo.

28. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15 cm?

29. Demostrar que el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD, sabiendo que L1 // L2.

30. CD es bisectriz del ángulo ACB y <ABE <ACD. Demostrar que AD · BC = CD · BE.

31. La sombra de un árbol, cuya altura no se conoce, mide 15 m, y la sombra de una vara vertical de 6 m de alto mide 2 m. Las medidas fueron tomadas a la misma hora estando el árbol y la vara muy próximos uno del otro, ¿qué altura tiene el árbol?

32. Calcular los valores de x, y, z.

33. Calcula el perímetro del trapecio sombreado en la siguiente figura.

34. En la siguiente figura L1//L2.

Si AP = x + 13, BP = 10 cm, PC = 4 cm, PD = x + 4,

¿cuál es el valor de AP=?

35. Determina el valor de “x”, si BC = 20

36. De acuerdo a la gráfica, la razón DFDE

es:

37. La longitud del segmento CE = 20,AC = 5 y DE =

7. Entonces AD tiene un valor de:

CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS DE LOS TRIÁNGULOS. PARTE V

I. Justificar por qué dos triángulos rectángulos que tienen igual la hipotenusa y un ángulo agudo correspondiente son iguales.

2. Justificar por qué dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo desigual y el lado desigual, son iguales.

3. Justificar por qué dos triángulos rectángulos que tienen iguales la hipotenusa y un cateto, son iguales.

4. Justificar por qué para comprobar que dos triángulos rectángulos isósceles son iguales, basta saber que tienen bien un cateto o bien la hipotenusa iguales.

5. Sobre los lados iguales AB y AC de un triángulo isósceles se toman dos segmentos iguales BP y CQ. Demuestra que BQ = CP.

6. Demuestra que las alturas trazadas desde dos vértices de un triángulo cualquiera forman un ángulo igual al del otro vértice.

7. Demuestra que en un triángulo isósceles las medianas relativas a los lados iguales son iguales.

8. Demuestra que si un triángulo tiene dos alturas iguales es isósceles.

9. Demuestra que en un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto al lado desigual es altura y mediana de ese lado.

10. Razona que en un triángulo escaleno ninguna de sus alturas pueden ser mediatrices de sus lados.

II. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.

12. Sobre un lado del ángulo en el vértice O de un triángulo señalamos los puntos X e Y, en una posición cualquiera; sobre el otro lado señalamos los puntos X'e Y' tales que OX'= OX y OY=OY'. Unimos X con Y' e Y con X'. Estos segmentos se cortan en un punto P. Demostrar que P se encuentra sobre la bisectriz del ángulo en O.

13. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden el doble que el ángulo desigual. Demostrar que la bisectriz de uno de los ángulos iguales divide al triángulo en dos triángulos isósceles.

14. Demuestra que en un triángulo isósceles ABC, la recta paralela al lado desigual BC trazada por A es bisectriz del ángulo externo del triángulo en el vértice A.

15. Demuestra que si la bisectriz de un ángulo de un triángulo corta al lado opuesto perpendicularmente, el triángulo es isósceles

16. Dado un triángulo equilátero ABC, prolongamos el lado AB en un segmento BD=AB y unimos D con C. Demostrar que el triángulo ACD es rectángulo.

17. En un triángulo isósceles ABC de lado desigual BC se prolonga AB por el extremo A, se toma en esta prolongación un segmento AM=AC y se une M con C. Demuestra que el ángulo BCM es recto.

18. Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC trazar por el vértice A del ángulo recto una recta r en posición cualquiera pero que no sea secante al triángulo. Por los puntos B y C trazar las perpendiculares a r: sean D y E los pies de estas perpendiculares. Demostrar que DE= BD+CE.

19. Demuestra que uniendo un punto interior cualquiera de un triángulo con los extremos de un

lado se forma un ángulo mayor que el ángulo del triángulo, opuesto a aquel lado.

20. Demuestra que en un triángulo rectángulo el ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la diferencia de los ángulos agudos del triángulo.