Geometría Inversiva

5/16/2018 Geometra Inversiva

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Geometria inversivaporLuis Ugarte Vilumbrales

En la geometria inversiva Ia idea de refiexi6n en una recta se extiende a una circunfer-encia definiendo una reflexi6n 0 inversi6n respecto de ella. La Secci6n 1 introduceeste concepto y muestra sus propiedades m a s importantes. La transformaci6n porinversi6n es especialmente titil por su capacidad simplificadora de algunas figurasgeornetricas planas; en la Secci6n 2 utilizamos la inversi6n en el estudio de algunosproblemas clasicos de la geometrfa euclfdea plana, entre los que se encuentra elteorema de construcci6n de Mohr-Mascheroni, que asegura que toda construcci6ngeometrica realizada con regIa y compas puede realizarse utilizando exclusivamenteel compas, Finalmente, la Secci6n 3 se dedica a 1aintroducci6n del grupo inuersiuo,que nos permite dar una definici6n rigurosa de geometria inversiva.

1 Inversion respecto de una circunferenciaAunque parece probable que algunas ideas sobre la inversi6n apareciesen ya en1a obra perdida de Apolonio (aprox. 262-200 A.C.) Lugares qeomeiricos planos,10 que sf es claro es que la noci6n de puntos inversamente re1acionados era bienconocida en el siglo XVI. Sin embargo, la utilizaci6n de la inversi6n en el estudio deproblemas geornctricos en el plano eucltdeo, como los que tratamos en la Secci6n 2,

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no tiene su aparici6n hasta el siglo XIX. La definici6n de inversi6n respecto de unacicunferencia es muy sencilla:

Definicion 1. Fijemos en el plano una circunferencia E(a,r) de centro a y radior. Para cada punto P distinto de a, el punto inverso de P respecto de E es el puntoP' de la recta ap que cum pie que ap .apI=r2 .

De aquf en adelante, la expresi6n AB significa distancia can signa entre lospuntos A y B (suponemos que hemos fijado en la recta que pasa por A y B unsentido que consideramos positive), mientras que la expresi6n AB se reserva parala distancia absoluta entre A y B. Asf, la expresi6n a p .0J5i =r2 en la definici6nanterior nos dice que P' siempre esta al mismo lade que P respecto de O.

Nos referiremos a E(O, r) como la circunferencia de inversion y diremos queel punto a es el centro de inversion.

Propiedades que se obtienen de manerainmediata: si el punto P es exterior a la cir-cunferencia E, es decir, 0 P > r, entoncesoP'


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107E2 U {oo} en S 1 mismo. EI plano E2 U {oo } se suele denominar plano inversivo y elpuntoideal 00seconsideracomo perienecietiie a toda recta del plano. Es iitil teneresta idea en mente para entender mejor las propiedades que vemos a continuaci6n.

Podemos invertir punto a punto cualquier curva C respecto de ~(O, r), y deno-taremos por e'la curva inversa. Ya sabemos que ~I =E. A continuaci6n obtenemoslas inversas de las curvas mas simples: rectas y circunferencias.Proposici6n 2. La inversa de una recta I que pasa por el centro de inversiones la propia l, es decir, ['=.

La demostraci6n es inmediata, pero cabe observar que la recta 1 queda fija enconjunto, y no punto a punto como sucedia con E.

Proposici6n 3. La inversa de una recta 1 que no pasa por el centro de in-version 0 es una circunferencia [' que pasa por O.Demostraci6n: Sea A el pie de la perpendicular a l trazada desde el punto 0, ytomemos un punto eualquiera P de I (ver Figura 2). Los inversos A' y P' de los puntosA y P verifican, por la propia definici6n de inverse, que 0 A ."Q 'A I = r2 = 0 p.0 P'.Esto implica que OP'IOA' =OAIOP y, por tanto, los triangulos OP' A' y OAPson semejantes. En particular. el angulo 0 P ' A ' =0 AP =1(" /2 .por 10 que cuandoP recorre la recta l el punto pi recorrera una curva l' tal que desde cualquier puntode ella se ve el segmento OA' bajo un angulo recto. Ahora bien. es claro que latinica curva l' con esta propiedad es la circunferencia de diametro aA'.

[(O,r)

E)t\ .v:.o """:AFigura 2

De forma analoga al resultado anterior se prueba la siguiente:


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Proposici6n 4. La inversa de una circunferencia T que pasa par el centro deinversi6n 0 es una recta I" que no pasa por O.Recordemos que dado un punto fijo 0 del plano y un numero real k > O. la

transformaci6n del plano E2 que lleva cada punto P a un punto Q tal que OQ =k OP se denomina homotecia de centro 0 y mz6n k. Es facil comprobar quela composici6n de dos inversiones respecto de dos circunferencias concentric as esuna homotecia. Enunciamos el siguiente resultado sin demostraci6n 1

Figura 3

Proposici6n 5. La uiuersa de una circunferencia I'que no pasa par el centrode inversi6n 0 es una circunferencia 1" que tampoco pasa par O. Mas asin, I"es la imagen de I'via una homotecia de centro O.La imagen de una circunferencia por una homotecia 1 es otra circunferencia cuyo

centro es la imagen par 'H del centro de la primera. Sin embargo. en las condicionesde la Proposicion 5, el centro de la circunferencia rno se invierte en el centro de I",Este heche, que en principia podrfa parecer "problematico", representa en realidaduna gran ventaja de la inversi6n como transformaci6n siroplificadora ya que permiteinvertir dos circunferencias cualesquiera que no se corten en dos circunferenciasconcentricas (en la Secci6n 2.2 demostraremos esta propiedad y la utilizaremos enel estudio de las cadenas de Steiner).

Una recta en el plano inversivo E2 U{(X)} puede pensarse como una circunferen-cia que pasa par el punto ideal 00. Asi, es muy habitual encontrar en la bibliografiaque par 'circunferencia J se entienda tanto una recta como una circunferencia en elsentido usual. Las proposiciones anteriores se resumen en:

1Por falta de espacio algunos resultados de esta secci6n se dejan sin demostrar. Unaprueba completa de enos se puede encontrar en el libra de Howard Eves, Estudio de lasGeometrias, Torno 1, Ed. UTEHA, 1969.


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Teorema 6. La inversion respecto de una circunferencia es una tmnsfor-tnacioti que lleva 'circunferencics' a 'circunferencias '.Otra importante propiedad de la inversi6n es que conserva los angulos entre

curvas, es decir, la inversi6n es una transformaci6n conforme. Sean C 1 Y C2 doscurvas (que suponemos suficientemente regulares) que se cortan en un pun to Pdistinto del centro de inversi6n O . Sea ael angulo fonnado por las tangentes a C1YC2 en el punta P. Entonces las tangentes a las curvas inversas C 'l Y C/2 en el puntapi tambien forman un angulo a.

Figura 4

Teorema 7. La inversion es una tmnsformaci6n conforme, es decir, conservala magnitud de los angulos, aunque invierte su sentido.

En particular, la inversi6n conserva tangencia (a = 0 ) Y ortogonalidad (a =7r /2 )de 'circunferencios '.

Existe una estrecha relaci6n entre puntas inversos Yortogonalidad de circunfer-encias, como se pone de manifiesto en la siguiente:Proposici6n 8. SiP y pi son puntos inversos respecto de la circunferencia~, entonces cualquier circunferencia que pase por P y pi cortaro' a ~ ortogo-nalmente.

Sin embargo, la inversi6n no es una isometna, es decir, no conserva la distanciaentre puntas. En concreto, se tiene:


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Teorema 9. Sean P, P' Y Q l Q ' dos pares de puntos inuersos respecto deE(O,r). Entonces, P'Q' =PQ (r2/OP. OQ).

El concepto de inversi6n respecto de una circunferencia es generalizable acualquier dimensi6n n 2 : : 3 de la siguiente manera: tomemos una esfera (n - 1)-dimensional En-l(O, r), de centro un punto 0 del espacio euclfdeo n-dimensionalen y radio r > D.y definarnos el inverso de un punto P = I - 0 como el punto P' dela recta OP que cumple que OP OP' =r2. La transforrnaci6n asf definida poseelas mismas propiedades que las que hemos visto para la inversi6n en el plano, peratrasladandolas a la dimensi6n correspondiente.

Asf, el Teorema 6 en el espacio (n = 3) nos dice que las esferas y los pIanosse invierten, respecto de la esfera E2(0, r), en esferas 0 pIanos segtin pasen 0nopor el centro de inversi6n O. Pero podemos tarnbien invertir curvas y superficiescualesquiera, 10 que nos permite generar nuevas curvas y superficies",

En este contexto, Ia conocida proyecci6n estereografica no es mas que Ia trans-formaci6n de una esfera en un plano por una inversi6n adecuada: Sean N y Sdospuntos distintos del espacio euclfdeo y sea M el punto medio del segmento NS.Consideremos la esfera de inversi6n '.2(N, (.../2 /2 ) . NS). de centro el punto Nyradio (-/2/2) .N S. Entonces, la esfera r2 de diametro el segmento N S se invierteen el plano l2 U{oo } que pasa por M y es perpendicular a NS(ver Figura 5). La apli-caci6n li: r = ~ 1 2 U {oo} obtenida de esta forma es precisamente la proyecci6nestereografica usual que proyecta desde el polo norte N los puntos de la esfera r = enel plano 1 2 U {oo}. (Observar que la proyecci6n be: r = ~ 1 2 U {oo} des de el polosur S de r2 se obtiene al considerar E2(S, (.../2 /2 ) . NS) como esfera de inversi6n.)La proyecci6n estereografica perrnite entonces obtener una representaci6n sobre elplano de cualquier figura situada sobre la esfera, 10 que proporciona un metodo paraconstruir mapas geognificos. EI Teorema 7 garantiza la conservaci6n de los angulosen los mapas construidos de esta forma.

2En el reciente libra de Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Sur-faces with Mathematica, eR e Press, 1998,se estudia, desde el punta de vista de lageometriadiferencial, la imagen de curvas y superficies bajo una inversion. EI programa Mathematicaes utilizado para visualizar las nuevas curvas y superficies obtenidas de esta manera.


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Figura 51 1 1

Finalmente, cabe observar que la inversi6n en el plano puede a su vez serobtenida a partir de las proyecciones estereograficas hN y hs. En efecto, iden-tificando el plano euclfdeo E2 con [2 es facil probar que Ia aplicaci6n cornpuestahN 0hS I: E 2 U{oo} ----+ E2U{oo} es precisamente la aplicaci6n inversi6n respectode la circunferencia E(M, NS/2).

2 Algunas aplicaciones de la inversionEn esta secci6n estudiamos, haciendo uso de la inversi6n, el problema de Apolonio,algunas propiedades de las cadenas de Steiner, los rnecanismos articulados de Peau-ceilier y Hart para trazar una recta, y demostramos el teorerna de Mohr- Mascheronique nos dice que toda construcci6n realizada con regla y compas puede realizarseigualmente utilizando s610 el compas.

2.1 El problema de ApolonioApolonio rnarc6, junto con Euc1ides y Arqufrnedes, el apogeo de la geornetrfa gr-iega. Se gan6 el titulo de "El mayor ge6metm" entre sus contemporaneos porsu extraordinaria ohra Secciones conicas, la cual contiene unas 400 proposicionesrecogidas en 8 libros que sustituyeron a todos los trabajos anteriores sobre el tema.De entre otros seis tratados que tambien se Ie atribuyen a Apolonio, el titulado Tan-gencias plantea el problema de la construcci6n de una circunferencia tangente a trescircunferecias dadas EI, E2 YE3, donde cada una de las Ei puede asumir indepen-dienternente cualquiera de las fonnas degeneradas de recta 0 punto. Este problema,que ha atraido la atenci6n de muchos matematicos, se conoce como el problema deApolonio. De entre las IOposibilidades parala tema (EI' E2, E3), lamas interesantees sin dud a aquella en la que cada Ei es una circunferencia. EI numero de solucionesde este problema depende de c6mo esten situadas las circunferencias E1, E2 y Ea enel plano, dandose situaciones en las que no existe ninguna circunferencia tangentea las tres dadas. Una situaci6n de este tipo es facil de imaginar: basta tomar una delas circunferencias Ei dentro de otra.


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El problema deApolonio fue considerado durante siglos como muy diffcil, hastaque Jacob Steiner (1796-1863) encontr6 una soluci6n muy simple basada en la in-versi6n. Sean E1, E2 Y E3 tres circunferencias colocadas como en Ia Figura 6, yqueremos encontrar una circunferencia E tangente a las Ei a la vez, Este problemase reduceJacilmente a1 problema degenerado de Apolonio de encontrar una circun-ferencia E que pase por un punto dado y sea tangente ados circunferencias dadas.En efecto, llamando 0, a1 centro de E, y r, a su radio, si la circunferencia E(0, r)de la Figura 6 es tangente a las tres circunferencias dadas E1, E2 YE3, entonces Iacircunferencia E (0,r + rd pasa por el punto 01 yes tangente a E 2( O2, r2 - rd yE3(03, r3 - rd

L 2 .Figura 6

Por 10tanto, para resolver el problema de Apolonio s610queda demostrar quedado un punto 0 1 y dos circunferencias E 2 y E 3 como en la Figura 6, existe unacircunferencia E tangente a E 2 y E 3 pasando por 0 1. Pero invirtiendo E , E l yE 2 con 0 1 como centro de inversi6n (no importa el radio de inversi6n) y haciendouso de las Proposiciones 4, 5 y el Teorema 7 obtenemos la Figura 7, con 10que elproblema se traduce en encontrar la recta } 5 1 correspondiente que es tangente a lascircunferencias f:~y E~.Luego, una de las 4 tangentes comunes a E~y E~nosproporcionara la circunferencia E buscada en la Figura 6, y asi este problema deApolonio queda resuelto.


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Figura 7113

Pero, i.,cmintassoluciones distintas podemos encontrar? Uno puede ver queexisten 8 soluciones en la situaci6n de la Figura 6: la circunferencia E buscadapuede ser exterionnente tangente a las tres circunferencias dadas, puede rodear alas tres, puede rodear dos de ellas y no la tercera (3 soluciones) 0 puede rodear unay no las otras dos (3 soluciones). El problema que hemos resuelto corresponde alprimer caso, pero se puede proceder de manera similar para obtener las restantessoluciones.

Una situaci6n con s6104 soluciones surge cuando se toman tres circunferenciasconcurrentes en un punto.

2.2 Cadenas de SteinerComo otra muestra de Ia utilidad de la inversi6n en la resoluci6n de algunos pro-blemas clasicos de la geometrfa plana, vamos a considerar el siguiente problema:dadas dos circunferencias El y E2 que no se cortan, consideremos circunferenciasf) f) ... de manera que cada I',sea tangente a EI, E2 Yfi-1, para i2: 2. Si existeun mimero natural N tal que fN es tangente a Eb E2, fN-1 Yr1 entonces se diceque [I',}~1 es una cadena de Steiner pam El Y E2 . Es claro que la existencia detales cadenas depende de c6mo esten colocadas El Y E2 en el plano. Las Figuras 8y 9 muestran dos ejemplos de cadenas de Steiner.

Fig. 8

Jacob Steiner estudi6 estas configuraciones usando el poder simplificador de la


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114 Geometria inversivainversion, y dio respuesta a cuestiones como las siguientes:Cuesti6n 1. Supongamos que El y E2 admiten una cadena de Steiner {ri}~I'l.Es iinica dicha cadena? En el caso de no ser iinica, l.cmmtas cadenas de Steinerexisten, y cuantas circunferencias tiene cada cadena?Cuesti6n 2. Sea {rd~l una cadena de Steiner para El y E2 l.Sobre que curvaestan los puntas de contacto de las circunferencias I',? l.Y sus centros?

Para responder a la primera cuesti6n vamos a demostrar primero que "dos cir-cunferencias El Y E2 que no se cortan siempre se pueden inuertir en dos cir-cunferencias E~ Y E~ que sean concetitricas." Para ello, tomemos (h y O2 doscircunferencias ortogonales a El y E2 ala vez, las cuales se cortaran en dos puntosA y B (Figura 10). Si elegimos por ejemplo el punto A como centro de inversi6nentonces, debido a que la ortogonalidad se conserva en la inversi6n, obtenemos quen~,n~1.Ei, E~. Ahora bien, como las circunferencias 01 yO2 pasan por A, lasProposiciones 4 y 5 nos dicen que n~y O~son dos rectas distintas ortogonales a lascircunferencias E~ y E~ a la vez. Pero una recta ortogonal a una circunferencia esun diametro de ella y. por tanto, Ei y E~deben ser concentricas, Ademas, comoindica la Figura 11,el punto B' =0i n O~inverso de B es el centro de Ei y E~.


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fl.\'-.2

Fig. 11Haciendo uso de la propiedad que acabamos de demostrar, la Cuesti6n 1 tiene

una respuesta inmediata. En efecto, al invertir El Y E2 en dos circunferenciasconcentricas Ei yE~.la cadena {ri}f~l se invierte en una cadena de Steiner {q}[~:lpara E i y E~. donde obviamente todas las q tienen el mismo radio (Figura 12).

Figura 12

r'.

Podemos ahora girar un cierto angulo a la cadena {ra~l para obtener unanueva cadena de Steiner {r~,J!1para Ei yE~, la eual correspondera a una nuevacadena de Steiner {I'a,i}~l para las circunferencias iniciales El y E2 Es claro queesto puede hacerse para infinitos valores de a, con 10 que hemos demostrado:Proposici6n 10. Si dos circunferencias El Y E2 que no se conan admitenuna cadena de Steiner enionces admiten un tuunero infinito de elias, y todaslas cadenas poseen el mismo numero de circunferencias. Mas tuin; cualquiercircunferencia tangente a EI Y E2 (que rodee a las dos a la vez 0 que no rodee


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a ninguna) es miembro de una cadena de Steiner.En cuanto ala Cuesti6n 2, es claro que los puntos de contacto de las I', estan

sobre una circunferencia 0 sobre una recta, es decir, sobre la curva inversa de lacircunferencia que contiene los puntas de contacto de las r~n la cadena de Steinerpara las circunferencias concentricas Ei y E~.

Los centros de las I', estan sin embargo sabre curvas mas interesantes, a saber,sobre c6nicas. En concreto:Proposici6n 11. Sean Is, y.E2 dos circunferencios que no se cotton y admitencadenas de Steiner. Si una de las circunferencias esta en el interior de la otraenionces los ceniros de las circunferencias de las cadenas de Steiner esuitisobre una elipse. En oiro coso, los centres esuiti sobre una hiperbola.Demostrecion: Recordemos primero que una elipse es el lugar geometrico de unpunto que se rnueve en un plano de modo que la Burna de su s distancias ados puntosfijos del plano (llamados Jocos) sea constante. Una hiperbola se define de manerasimilar, pero reemplazando la palabra suma por diferencia.

Asf, si El (Ob 1'1) y E2( O2,1'2) estan colocadas como en la Figura 8, y si P y rdenotan el centro y el radio de una circunferencia r que es miembro de una cadenade Steiner, entonces POI = 1'1 + r YP02 ='2 - 1'. Por tanto,Luego, los centros P de las circunferencias de la cadena estan sobre una elipse defocos 01 y O2 (Notar que si 01 - O2, es decir, El y E2 son concentricas, entoncesPesta sobre una circunferencia.)

Consideremos ahora E1(0I,1'd y E2(02,1'2) como en la Figura 9, y sean P yr e1 centro y el radio de una circunferencia r tangente exterior a El y E2 (es decir,r=rl, r2 6 r4 en la Figura 9). En este caso se tiene que

con 10 que los centros P de tales circunferencias de Steiner estan sobre una hiperbolade focos 01 y O2. Por ultimo, es claro que POI - P02 =(1'1 - 1'2) para loscentros P de las circunferencias de Steiner r que rodean a El y E2 (es decir, r =3en la Figura 9), can 10 que los centros de tales circunferencias de Steiner estan sobre


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la misma hiperbola, pero recorren su otra rama. (Notar que si rl =2 entonces loscentros estan sobre una recta.) I

Tenninamos este apartado observando que las cadenas de Steiner de las Fi-guras 8 y 9 s610 necesitan una vuelta para cerrarse correctamente. Pueden sinembargo imaginarse situaciones en las que una cadena necesite varias vueltas paraque esto suceda. Por ejemplo, podrfa ocurrir que en la primera vuelta obtuviesemos4 circunferencias y media, con 10que en la segunda vuelta obtendrfarnos una cadenade Steiner de 9 circunferencias. Ahora bien, si el mimero de circunferencias en unavuelta es irracional entonces la cadena no se cierra nunca.

2.3 Mecanismos articulados para trazar una recta:el mecanismo inversor de Peaucellier yel contraparalelogramo de Hart

Durante el siglo XIX se prest6 gran atenci6n al problema de producir movimientorectilineo pormedio de mecanismos articulados. Lamaquina de vapor de James Watt(1736-1819) disponfa de un mecanismo, conocido como paralelogmmo de Watt,cuya finalidad era conseguir que el extremo del pist6n siguiese un movimiento quese aproximara 10 suficientemente al rectilineo como para que la maquina funcionase.Sin embargo, este mecanismo no conseguia un movimiento estrictamente rectilfneo,por 10 que el propio P.L. Chebishev (1821-1894) estudi6 divers as modificacionesdel paralelogramo de Watt, pero no encontr6 ningiin mecanismo articulado que pro-dujera exactamente una linea recta. Muchos matematicos empezaron a dudar de laexistencia de un tal mecanismo, incluso Chebishev trat6 de demostrar la imposibil-idad del mismo.

En 1864 el oficial de la armada frances a A. Peaucellier (1832-1913) hall6una soluci6n, que fue anunciada en Paris en 1867. Sin embargo, no se prest6practicamente ninguna atenci6n a este descubrimiento hasta que un estudiante deChebishev llamado Lipkin reinvent6 el mecanisme en 1871 de forma independiente.Fue entonces cuando el merito de Peaucellier qued6 finalmente reconocido.


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EI mecanismo inversor de PeaucellierEste mecanismo se basa en el hecho de que la curva inversa de una circunferenciaque pasa por el centro de inversi6n es una recta. Mas atin, el mecanismo permiteobtener una inversi6n de todo el plano.

Comenzemos en primer lugar con el mecanismo fonnado por las 6 varillasOA, OB, AP, AP', BP y BP' de la Figura 13, donde las longitudes de las varillascumplen que 0 A = 0 B, A P = A P ' = B P = B P ' y la varilla 0 A es mas largaque AP. Este mecanismo esta articulado en 0, A, B, P Ypl. Fijamos 0 al planoy movemos el mecanismo, Entonces los puntas P y P' describircin curvas inversasrespecto de la circunferencia de centro 0 y radio r =J0 A2 - AP2.

//r/II0'

8 \ rlIII\

."

Figura 13 ,-, - - - -.. _ --.--La demostraci6n es inmediata. Tomando el punta auxiliar G = P P' n AB y

utilizando el teorema de Pitagoras obtenemosoP . 0pI = (OC - PC) . (OC + PC) = O~ - PCz

= (OCZ + CA 2 ) - (P~ + CA2) =OA 2 _ A P 2 =2 .Como los puntas P y P' estan siempre al mismo lade respecto de 0, concluimosque OP OP' =r 2 .

Ahora, para obtener movimiento rectilfneo debemos obligar al punto P a recorreruna circunferencia I'que pase por 0, con 10 que P ' se desplazara a 10 largo de la rectaI", tal y como indica la Proposici6n 4. Para conseguirlo basta afiadir una septimavarilla ZP, siendo su longitud igual a la distancia OZ. Fijando Z al plano, al moverel mecanismo el punto P ' describira una recta".

3Se puede contemplar el mecanismo inversor de Peaucellier en movimiento en


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EI contraparalelogramo de HartHarry Hart (1848-1920) descubri6 en 1874 un sistema articulado que tambienprod ucla una inversi6n del plano, pero s610 necesitaba 5 varillas para producirmovimiento rectilfneo. Este mecanismo, conocido como el contraparalelogramode Hart, es el sistema articulado para trazar una recta con menor mimero de varillasque se conoce , y aun no se ha demostrado si puede existir 0 no un tal sistema conmimero de varillas BC. Puestoque los triangulos ACB y CAD son congruentes tenemos que las "diagonales" ACy BD son paralelas. Tomemos una recta 0PpI paralela a las diagonales AC y BD,y marquemos los puntos 0,P y P', uno sobre cada una de las varillas tal y comose indica en la Figura 14. Fijando 0 al plano, cuando movemos el mecanismo lospuntos 0,P YP' estan siempre alineados en una recta paralela a las diagonales. Paraverlo, observemos que en la posici6n inicial de la articulaci6n se tiene que 0PIIBDy, por tanto, fijandonos en el triangulo ADB, obtenemos que OAIOD =API PB.Pero esta relaci6n s610 depende de las longitudes de los segmentos y no de laposici6n de la articulacion, 10 que implica que OPIIBD en cualquier posici6n delsistema articulado. De manera analoga, pero observando ahora el triangulo ADC,obtenemos que tambien OP'IIAC en cualquier posici6n del mecanismo articulado.Como las diagonales AC y BD son siempre paralelas, conc1uimos que OPIIOpl,es decir, 0,P, pi estan siempre alineados.

A cFigura 14

la secci6n titulada "Matemaquines'' de la Red Telematica de Educaci6n Catalana:http://www.xtec.es/recursos/mates.
http://www.xtec.es/recursos/mates.http://www.xtec.es/recursos/mates.


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120 Geometrfa inversivaVeamos a continuaci6n que los puntos P y P' describen curvas inversas respecto

de una circunferencia de centro O. Para ello, puesto que los triangulos AO p y AD B,y los triangulos DOP' y DAC son semejantes obtenemos que OP/OA =BD /ADyOpt/OD =AC/AD. Porlotanto,

OP. OF' =O~~~D . AC. BD.En el segundo miembro de esta igualdad las longitudes 0 A, 0 DyAD son fijas en laarticulaci6n de Ia Figura 14, pero las longitudes AC yB D de las diagonales dependende su posici6n. Sin embargo, puesto que el cuadrilatero ADBC es inscribible enuna circunferencia, el teorerna de Tolorneo (que probarnos mas abajo) implica queel producto AC BD = AB2 - BC2 es una constante positiva independientede la posici6n del mecanismo articulado. Por 10 tanto, P YpI son puntos inversosrespecto de una circunferencia E(0, r), siendo r = A b J 0 A . 0 D . (AB2 - BC2).Finalmente, para producir movimiento rectilfneo s610 tenemos que aiiadir la quintavarilla Z P de la Figura 14. que obligara a1 punto P a recorrer una circunferencia I'que pasa por el centro de inversi6n O.

Por Ultimo, s610 queda demostrar el teorema de Tolomeo que dice que ((en uncuadritatero convexo ABCD inscrito en una circunferencia I', el producto delas diagonales es igual a la suma de los productos de los dos pares de ladosopuestos, es decir, AC B D = BC AD +AB .CD. IIUna vez mas una inversi6nadecuada nos proporciona una sencilla demostraci6n de este resultado. En efecto,invirtamos la circunferencia rrespecto de la circunferencia de inversi6n E(A, 1)decentro A y radio 1. Los puntos B', C' y D' inversos de los vertices B, C YD estansobre Ia recta I",por 10 que B'D' =B'G' + C'D' (ver Figura 15). Ahora bien, delTeorema 9 se sigue que

BD/(AB. AD) =BC/(AB. AC) + CD/(AC AD),y multiplicando por AB AC AD conc1uimos que AC BD = BC AD + AB .CD.

A r'r

Figura 15
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2.4 Construcciones geometrlcas utilizando un compassdemostraclon de Adler del teorema de construcclonde Mohr-Mascheroni

En este apartado demostraremos, utilizando la transfonnaci6n por inversi6n, el sigu-iente resultado: "toda construccioti qeometrica realizada con reqla y compdspuede realizarse utilizando exclusivamente el comptis". E s decir, podemos pres-cindir del uso de la regIa en tales construcciones.

Lorenzo Mascheroni (1750-1800), poeta y ge6metra italiano, profesor de laUniversidad de Pavia, public6 este descubrimiento en 1797 en su obra Geometriadel compasso. Sin embargo, muchos a n os d es pu e s de esta publicaci6n, el ge6metradanes Johannes Hjelmslev (1873-1950) enseguida se dio cuenta de la importancia deun antiguo libro, titulado Euclides Danicus y escrito porGeorg Mohr (1640-1697),que un alumno suyo habfa obtenido en una librerfa de libros de segunda mana deCopenague. En este libro se daba una demostraci6n distinta del descubrimiento deMascheroni y 10mas sorprendente del hecho es que Euclides Danicus fue publicadoen 1672, es decir, 125 anos antes de la obra de Mascheroni.

Es evidente que uno no puede trazar una recta utilizando exclusivamente uncompas, por 10 que en el resultado de Mohr-Mascheroni por rrecta" vamos aentender"dos puntos cualesquiera y distintos de ella". los cuales ladeterminan unfvocamente,Por otro lado, no vamos a entrar en el interesante tema de las construcciones que nose pu eden realizer u san do la regIa y el com pas, com o son los tres farnosos proble-mas griegos de la duplicaci6n del cubo, la trisecci6n de un angulo y la cuadraturadel cfrculo, (EI tratamiento de estos problemas requiere metodos algebraicos yan al ft icos , )

La demostraci6n del resultado de Mohr-Mascheroni que vamos a ver a con-tinuaci6n esta basada en la inversi6n y fue publicada en 1890 por August Adler(1863-1923).

En primer lugar, veamos c6mo se pueden invertir puntos, rectas y circunferenciasutilizando solo un cornpas:(1) El inverso de un punta: Sea ~(O, r) la circunferencia de inversion y Punpunto dado. Vamos a distinguir dos situaciones:
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122 Geometrfa inversive

(1.1) El punto Pesta situado a una distancia mayor que r/2 del centro de inversi6n,es decir, 0P > r /2. En este caso la circunferencia 'E ( P,0P) cortara a la de in-versi6n 'E (0,r) en dos puntos distintos A y B. Entonces, L; (A, 0A) n 'E (B) 0B) ={O, P'}, siendo P' el punto inverso de P que buscabamos (ver Figura 16).La demostraci6n de que en efecto el

punto P' as! construido es el inverso de Prespecto de 'E (0,r) es inmediata si obser-vamos que los triangulos is6sceles 0PAy...._.....::::::.p 0ApIson semejantes, 10 cual irnplica queOP/OA = OA/OP',esdecir,OPOP' =(OA)2 =2. Como ademas elpunto P' as!construido esta al mismo 1ado que P re-specto de 0, concluimos que 0P .0pI=Figura 16 r2.

(1.2) Si OP r /2. aplicar el procedimiento(1.1) a PI paraencontrar Pi y despues volver aalejarnos de Pi hastaobtenerelpuntoP' buscado.

Es decir, debemos obtener un punto PI tal que el segmento 0PI = ti- 0P, donden es un mimero natural suficientemente grande para que se curnp1a que 0PI >r2(por ejemplo, n =3 en la Figura 17). El punto buscado pi inverso de P seraaquel tal que el segmento 0pi =n .0Pi. Basta echar un vistazo a 1a Figura 17para darse cuenta de que esta construcci6n puede realizarse trazando varios areos decircunferencia, can 10 que en la obtenci6n de P' hemos utilizado exclusivamente elcompas,

Figura 17
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123La justifieaei6n de este metodo es sencilla ya que sustituyendo 0PI = n .0P

y OPf = OP'ln en la expresi6n OPI . OPf = 1 ' 2 , la eual se cumple par (1.1),obtenemos que 0 P . 0 pI =1'2, es decir, P' es en efecto el inverso del punto Prespecto de B(O, 1 ' ) .(2) La circunferencia [' inversa de una recta dada l que no pasa por el centrode inversion: Sean A, B dos puntas de una recta l que no pasa por el centro dela cireunferencia de inversi6n E(0, 1 ' ) . Par la Proposici6n 3 sabernos que [' esuna circunferencia que pasa por O. a sf que para trazar [' nos basta con encontrarsu centro. Para ella, sea 01 el simetrico del punto 0 respecto de la recta l, eleual se obtiene trazando los areas de circunferencia E(A, OA) y E(B,OB) (verFigura 18). Sea 0i el punta inverso de 01 respecto de E(O, r), el cual fue obtenidoen el apartado (1) utilizando exc1usivamente un c or np as , En to n ce s i' =E( O~,ODDes la circunferencia inversa de la recta I =AB.

Figura 18

_ a l II

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Veamos que la circunferencia If asf construida es en efeeto la curva inversa deI: Tomemos la eircunferencia auxiliar n = ~(C, OC) de centro el punto C deintersecci6n de las reetas l y m =001. Como m, n .L l entonees m', 0' .il' yaque la ortogonalidad se conserva en la inversi6n. Ahora bien. m' = m y 0' es unarecta que pasa por O~ y es ortogonal a la eireunferencia If. Par tanto, m' y O f sondiametros de l' que se eortan en el punta O~ inverso de 01=mn n, por 10 que O~es neeesariamente el centro de l',(3) La circunferencia r' inversa de una circunferencia r que no pasa por elcentro 0 de La circunferencia de inversion E(0, r ). Para trazar I"usando s610el com pas proeedemos de la siguiente manera. Usando (1) obtenemos el punta 01
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124 Geometria inversivainverso de respecto de la circunferencia I'y, usando de nuevo (1), obtenemosel punto 0i inverso de 01 respecto de B(0, r). Entonces 0i es el centro de lacircunferencia I"buscada. Para trazar I"basta tomar ahora un punto cualquiera A delacircunferencia I',obtener su inverso A' utilizando (1), y asf I"es lacircunferenciade centro D i y radio DiA ' (ver Figura 19).

[(0, t o ) r\\

\ - --_ - - m

Figura 19 " _ - .---Para justificar esta construcci6n es claro que basta con demostrar que 0i es enefecto el centro de r - . Observamos primero que como 0 y 01 son un par de puntos

inversos respecto de I'entonces, segrin la Proposici6n 8, eualquier circunferenciaque pasapor 0 y 01 es ortogonal a I', Sea 0 la circunfereneia que tiene por diametroel segmento 001 y denotemos pormla recta 001. Como 0, m.1I',invertimos n,my rrespecto de E(O, r) y obtenemos que las rectas 0' y m' = m son ortogonalesa I", Por tanto, 0' ym son diametros de I". Ademas 0 n m = {O,Od, con 10 quelos diametros n' y mse cortan en el punto Oi. es decir, O~es en efecto el centro deI".

Estamos ya en condiciones de demostrar el teorema de Mohr-Mascheroni, esdecir, cualquier construcci6n qeometrica :F realizada con el compds y la reglapuede realizarse utilizando s6lo el cotnptis.Demostraci6n: Puesto que en una construeci6n:F de este tipo todo punto seobtienemediante intersecci6n de dos cireunferencias, de una recta y una circunferencia 0de dos rectas y, por muy eomplicada que pueda ser F, esta se consigue realizandoun mimero finito de estos procedimientos, basta demostrar que dados cuatro pun-tos distintos A) B, C, D se pueden resolver los siguientes tres problemas basicosutilizando exclusivamente un compas:
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Problema 1. Hallar los puntos de intersecci6n de las circunferencias ~(A, AB) y~(C,CD).Problema 2. Hallar los puntos de interseccion de la recta AB y la circunferencia~(C,CD).Problema 3. Hallar el punto de intersecci6n de las rectas AB y CD.

Ahora bien, la soluci6n del Problema 1 es evidente usando un compas, por10 que resolveremos los Problemas 2 y 3 mediante una inversion adecuada. Asi,para resolver el Problema 2 trazamos una circunferencia ~(D, r) de manera que sucentro D no este ni en la recta l = AB ni en la circunferencia r= ~(C, CD) (verFigura 20). Invertimos l y r respecto de B(D, r ), 10 que por (2) y (3) se puederealizar utilizando el compas iinicamente, y obtenemos dos circunferencias l'y I",Los puntos de corte XI, Y' de estas dos circunferencias son los inversos de los puntosbuscados {X, Y} =n r. Invertimos entonces X' e Y' para obtener X e Y, 10 quenuevarnente se puede realizar usando s610 el compas tal y como hemos visto en (1).

A- . . ._ B

Figura 20

. . '. _

Finalmente, el Problema 3 se resuelve de manera similar. Tomamos una circun-ferencia de inversi6n B(D, r) cuyo centro 0 no este ni en la recta I =AB ni en larecta m = CD. Invertimos 1y m respectode E(O, r) para obtenerdos circunferen-cias [' y m' que se cortaran, adernas de 0,en el punto X' inverso del punto buscadoX = nm. Este punto X se obtiene invirtiendo X, y, en virtud de (1) y (2), elProblema 3 queda tambien resuelto utilizando exclusivamente un compas. I

Como acabamos de demostrar, todas las construcciones geometricas que son
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1 2 6 Geometrfa inversiva

realizables con regIa y compas son posibles usando s610 un compas, Sin embargo,no todas ellas son posibles usando iinicamente una regIa. No es diffcil demostrarque el punto medio entre dos puntos dados no se puede obtener con s610 una regla,10 que confiere al compas el caracter de indispensable en las construcciones de lageometrfa elemental.

En 1822 Jean-Victor Poncelet (1788-1867), inspirado por los resultados deMascheroni, sugiri6 un metoda para demostrar que "cada problema de construe-ci6n resoluble por medio del compos y la reqla puede solucionarse valiendoseunicamente de una regla, sietnpre y cuando en el plano del dibujo se fije pre-viamente una circunferencia y su centro". La demostraci6n detallada de esteresultado fue dada por Steiner en 1833 y por ella se conoce como el teorema dePoncelet-Steiner'. Par 10 tanto, segun este resultado, para que la regIa sea equiva-Iente al compas es suficiente can usar s6lo una vez el compas,

A modo de curiosidad, todas las construcciones geometric as realizadas con regIay compas pueden resolverse sin ninguna herramienta, simplemente doblando y ple-gando el papel que representa el plano de la construcci6n. Este resultado se siguede la obra Geometric Exercises in Paper Folding de T. Sundara Row de finalesdel siglo pasado",

3 Transfonnaciones de MobiusEn la secci6n anterior hemos visto c6mo la inversi6n pennite resolver de manera sen-cilIa muchos problemas de la geometria plana. En la resoluci6n de estos problemasno hemos hecho uso de coordenadas cartesianas en el plano. es decir, hemos utilizadorazonamientos puramente sinteticos. Como anectoda, en el siglo XIX el problema deApolonio sirvi6 como una especie de problema de ensayo al competir entre geometriasintetica y analftica. Poncelet y Steiner fueron ardientes defensores de la geometriasintetica y les disgustaban los metodos analfticos hasta el punto de arremeter enocasiones contra los que los utilizaban. Sin embargo, la introducci6n y desarrollode metodos analfticos permitio tratar con exito problemas que la geometrfa sintetica4Una demostraci6n de este resultado se puede encontrar en el llbro de Howard Eves

mencionado anteriormente.5La primera obra que da un tratamiento riguroso de este tema es debida a Robert C.

Yates, Geometrical Tools, A Mathematical Sketch and Model Book, Educational Publishers,1949.
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no habfa side capaz de resolver (como, por ejemplo, demostrar la imposibilidad deciertas construcciones con regIa y compas),Veamosc6mo se describe la inversi6n respecto de una circunferencia por mediode coordenadas. Identificando el plano inversivo con CU{00}. la inversi6n respectode la circunferencia ~(O, 1) centrada en el origen de coordenadas y de radio la

unidad se expresa por z 1--4 liz, siendo z el conjugado del mimero complejo z.Esta transformaci6n forma parte de un grupo de transformaciones mas general queintroducimos a continuaci6n.En primer lugar, consideremos las transformaciones de Mobius de C U{oo},las cuales vienen dadas por

az+bZl--4cz+d' a, b, e, dEC, ad i = be,

donde 00 1--4 ale y -die 1--4 00. Estas transformaciones de C U {oo} forman ungrupo, que denotamos por Mob, y la geometria correspondiente es precisamente lageometrfa de la recta proyectiva compleja. Felix Klein propuso en 1872 la ideade pensar en una geometrfa como en un par (X, G), donde X es un conjunto y Ges un grupo de transformaciones de X que define las relaciones invariantes de lageometrta (Erlanger Programm).

Un grupo de transformaciones de C U {oo} que contiene al grupo Mob es elgenerado por todas las transformaciones de Mobius junto con la transformaci6nz 1--4 Z dada por la conjugaci6n compleja. Este grupo se denomina grupo inversivoy 10 denotamos por Inv. (Notar que la inversi6n z 1--4 liz pertenece a Inv, perono al grupo Miib.) La geometrfa eorrespondiente a (C U {oc}, Inv) se denominageometria inversiva.

Enuneiamos sin demostracion" algunos resultados interesantes sobre las trans-formaciones pertenecientes a1 grupo Inv. En primer lugar, se puede probar que eadabiyecci6nde CU{oo}que lleva 'circunferencias 'a 'circunferencias 'es unelementodel grupo inversivo Inv. Por otro lado, si por 'refiexi6n'designamos una refIexi6nen una recta (por ejemplo, z 1--4 Z es la refIexi6n en el eje real) 0 una inversi6n res-pecto de una circunferencia, entonees se tiene que eada transformaci6n deMobius esprodueto de un mimero par de 'rejiexiones '. En particular, las 'refiexiones' generanel grupo inversivo Inv.6Las demostraciones se pueden consultar por ejemplo en el libro de P.M. Neumann, G.A.

Stay y E.C. Thompson, Groups and Geometry, Oxford Univ. Press, 1994.
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128 Geometria inversive

Volviendo a la idea de Klein citada anteriormente, si (X', G') y (X, G) sondos geometrfas, se dice que (X ', G ') es una subqeometria de (X, G ) si X' c X yG' c G. Los conceptos de una geometrfa aparecen automaticamente en todas sussubgeometrias.

En la geometria euclfdea el conjunto subyacente es el plano complejo, es decir,X =C y el grupo G es el conjunto de transfonnaciones de la forma z 1--+ eifJ z + b,donde B y b son constantes, B real, b compleja. (Estas transfonnaciones representanlos movirnientos rfgidos en el plano, es decir, rotaciones seguidas de traslaciones.)Por tanto, la geometria euclfdea es una subgeometria de la geometna de Mobius,que a su vez es una subgeometna de la geometrfa inversiva. Los problemas de laSecci6n 2 estaban planteados en el marco de la geornetrfa euclidea y hemos hechouso de la inversi6n para resolverlos; dicho de otro modo, hemos resuelto problemasde la geometria euclidea plana considerando esta como subgeornetrfa de la geometrfainversiva.
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Geometría Inversiva

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