Geometria Espacial - Cone (2)
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7/25/2019 Geometria Espacial - Cone (2)
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Segmento: Ensino Mdio
Disciplina: Matemtica
Tema: Slidos Geomtricos - Cone
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Note: O Cone uma pirmide com base circular. E da?
Podemos utilizar as mesmas frmulas das pirmidesnos cones.
Cone: A Definio!
Considere um crculo Ccontido num lano
e um onto Vno-ertencente a C"ama-se conea reunio de todos os
se#mentos $ue li#am cada onto de Rao
onto P.
g
r
h
O cone formado por umaparte plana (base circular), euma parte curva que asuperfcie lateral.
Note: g, he r formamum trinulo retnulo.
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O!!
h
"#$"#$
A Fig. mostra
um ConeOblquo.
V vrtice
R raio da baseh alturag geratriz
R
V
g g
eixo
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Note que quando o cone reto o eixo coincide com a altura.
O eixo do cone o segmento que liga o vrtice ao centro dabase.
e o eixo perpendicular! base" o cone reto.e o eixo n%o perpendicular! base" o cone obl&uo.
Ei'o ()ltura
) altura sempre perpendicular ao
plano.
eix
oaltura
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Cone Circular *eto
OO
!!
g#$%o VOA &
A'
V
ou Cone de *e+olu%o
-- ( ( --/ */ *--R
h
($O eixo )er)endicularao )lano da base.
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*$ Cone de Revolu+,o&
-m cone reto )ode ser obtido ao girarum retngulo em torno de um dos seuslados.
A
' C
A
' C
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*$ Cone de Revolu+,o&
-m cone reto )ode ser obtido ao girarum retngulo em torno de um dos seuslados.
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' C
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O
V'A a se+,o meridiana do cone.
SeoSeo
MeridianaMeridiana
OO!! A'
V
g
#R
0e%o0e%o1eridiana1eridiana
Se o tringuloSe o tringulo!" !"
eq#il$tero% oeq#il$tero% o
cone umcone um
ConeCone
EqilteroEqiltero..
g=2Rg=2R
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Plani2ca%o do Cone*eto
Rx
h
g
Cli&ue
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Rx
h
g
Plani2ca%o do Cone*eto
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Rx
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Rx
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Rx
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Rx
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Rx
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Plani2ca%o do Cone*eto
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x
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g
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
Cone /lani0ca+,o do Cone Reto &
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Cone /lani0ca+,o do Cone Reto &
x
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Plani2ca%o do Cone*eto
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Plani2ca%o do Cone*eto
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x
h
g
R
g
#RR
Angulo
11
#R
g
Plani2ca%o do Cone*eto
3 4 l3 4 l
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AA2211 R gR gAA
2211 R gR g
At1 A23 #
Ab
4rea 2ateral
5 A2 $
4rea 6otal
5 At $Volume
5 V$
AAbb11 RR##
AAbb11 RR##
4rea 'ase5 Ab $
3reas e 4olume3reas e 4olume
V 1 RR##
h
55
66
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3reas e 4olume3reas e 4olume
Pirmide Conerea da
Base (AB)Depende doPolgono da
Base
rea dacircunferncia
rea Lateral(AL)
rea Total(At)
Volume (V)3
.hAb
33
. 2
hrhAb
=
O cone uma )irmide com base circular" logo as
78rmulas s,o as mesmas das )irmides. A)enas ada)te9
LBt AAA +=
rgrAt += 2LBt
AAA +=
2rAb
=
grAl .2=
gpAl ).2(=
gpAl ).2(=
glnAl ..=
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G% G
&
) sec%o trans+ersal forma o tronco decone
Chama9se sec+,otransversal a intersec+,ode um cone com um
)lano )aralelo ! base.
0e%o
7rans+ersal
0uas 8reas s%oproporcionais.
#; ; ;b l t
b l t
A A Ak
A A A= = =
0eus +olumes s%oproporcionais.
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0emelana de uma forma maisclara
Altura dotronco 5>6$
Altura doconeoriginal5>$
Altura doconesemelhante5h$
?eratriz do6ronco 5?6$
?eratriz do cone semelhante
5g$
Obviamente ? 1 g 3
?6Outra conclus,ol8gica
V 1 v 3 V6
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6ronco de6ronco deConeCone
Elementos:
*
raio da base
maiorr raio da basemenor7altura dotronco7eratriz dotronco
*
r
77
As 78rmulas do tronco de cone s,o todas dedutveis
a )artir da semelhan+a" )orm muito trabalhosas.
rea Lateral doTronco(ALT)
ALT= (R + r)gT
rea Total doTronco(ATT)
ATT= ALT+ Ab+ AB
ATT= (R + r)gT +
(r2+ R2)
Volume do Tronco(VT)
VT= V !47( r; / r*
/ *;P)< ) eratriz de um cone reto mede 56 cm eo dimetro de sua base 5# cm. O +olume docone em cm6:
)< 5##A B< -##A C< F##A D