GEOMETRÍA EN EL PLANO Introducción. Vectores. Producto escalar de vectores libres. Ecuaciones de...
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GEOMETRÍA EN EL PLANO
Introducción. Vectores. Producto escalar de vectores libres. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Problemas métricos. La circunferencia.
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INTRODUCCIÓN.
El nombre. Breve historia. El presente. Nuestro tema. Un reto.
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VECTORES.
Vectores fijos en el plano. Equipolencia de vectores fijos. Vectores libres en el plano.
Propiedad fundamental de los vectores libres. Operaciones con vectores libres. Combinación lineal de vectores libres.
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OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.
Suma de vectores libres.
Diferencia de vectores libres.
Producto de un número real por un vector.
1 2 1 2 1 1 2 2, , ,a a b b a b a b
1 2 1 2 1 1 2 2, , ,a a b b a b a b
1 2 1 2· , · , ·a a a a
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COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Dependencia e independencia de vectores. Base y dimensión de un espacio de vectores. Coordenadas de un vector respecto de una bas
e. Estudio analítico de los vectores y las
operaciones. Estudio analítico de los puntos.
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COORDENADAS.
Coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de sus extremos.
Coordenadas del punto medio de un segmento.
1 1 2 2,AB b a b a ��������������
1 1 2 2,2 2
a b a bM
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PRODUCTO ESCALAR.
Producto escalar.
Interpretación geométrica del producto escalar.
Propiedades del producto escalar. Expresión analítica el producto escalar.
· · , , si y no son nulos.·
0, si ó son el vector
nulo.
u v cos u v u vu v
u v
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EXPRESIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR.
Expresión analítica del producto escalar.
Expresión analítica del módulo de un vector.
Coseno del ángulo de dos vectores.
1 1 2 2· · ·a b a b a b
2 21 2a a a
1 1 2 2
2 2 2 21 2 1 2
· ·,
·
a b a bcos a b
a a b b
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LA RECTA.
Ecuaciones de la recta. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas
y ecuación continua. Ecuación general, ecuación explícita, ecuación punto pe
ndiente. Ecuación segmentaria y ecuación normal.
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E. VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y CONTINUA.
Ecuación vectorial: : · ,r x a tu t
Ecuaciones paramétricas: 1 1
2 2
·: ,
·
x a tur ty a tu
Ecuación continua: 1 2
1 2
:x a y aru u
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E. GENERAL, EXPLÍCITA Y PUNTO-PENDIENTE.
Ecuación general: : 0r Ax By C Ecuación explícita: :r y mx n
Ecuación punto-pendiente: 2 1:r y a mx a
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E. SEGMENTARIA Y NORMAL.
Ecuación segementaria: : 1x yra b
Ecuación normal: : · 0rnxa
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INCIDENCIA Y PARALELISMO.
Posiciones relativas de dos rectas. Haz de rectas.
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HAZ DE RECTAS.
H a z d e r e c t a s d e v é r t ic e 0 0,P x y .
0 0
0
,y y m x x m
x x
H a z d e r e c t a s p a r a le la s a la r e c t a r . ,y m x k k
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PROBLEMAS MÉTRICOS.
Perpendicularidad. Ángulo de dos rectas. Distancia.
Entre dos puntos. Entre un punto y una recta. Entre dos rectas.
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ÁNGULO DE DOS RECTAS.
2 2 2 2
· ' · ',
· ' '
A A B Bcos r s
A B A B
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DISTANCIA.
Distancia. Entre dos puntos.
Entre un punto y una recta.
Entre dos rectas.
2 2
2 1 2 1,d A B x x y y
1 1
2 2,
Ax By Cd P r
A B
2 2
',
C Cd r s
A B
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CIRCUNFERENCIA.
Definición y ecuación. Posiciones relativas de una recta y una
circunferencia. Posiciones relativas de dos circunferencias. Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias. Centro radical de tres circunferencias.
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ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.
2 2 2x a y b r
2 2 2 2 22 2 0x y a x b y a b r
2 2 0x y D x E y F
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POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA.
2 2cPo t P d r
2 2 20 0cPo t P x a y b r
2 20 0 0 0cPo t P x y D x E y F
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EJE RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS.
1 2 1 2 1 2 0D D x E E y F F