GEOMETRIA DESCRIPTIVA IEN EL DIEDRO

II PVS I . a´ A PV.S: PV.I : T PH.A:

PHA PH.P:PHP ao a LT :

. O : L . a

III PVI IV

EN EL GEOMETRAL

. a´ .

cota (+)L O ao . T

Dist. al origen O Abscisa

Alejamiento (+) a .

DIST. AL ORIGEN: + A LA DERECHA DE O

- A LA IZQUIERDA DE O

ALEJAMIENTO: + DEBAJO DE LT. lo que se aleja del PV

- ARRIBA DE LT.

COTA: + ARRIBA DE LT altura con respecto al PH

- DEBAJO DE LT

1er 2 do 3 er 4 to A B C D

ALEJAMIENTO + - - +

COTA + + - -

1

TIPOS DE RECTASHORIZONTAL FRONTAL

.b´ . v´ a´ b´ a´ VM . v h´ L T L T. a VM h a b. b

TOPO O DE PUNTA VERTICAL O DE PIE .b´

VM . *v´=a´=b´ a´

L T L T . v h´ a VM *h=a=b b

DE PERFIL FRONTO HORIZONTAL (// LT) .a´ VM .b´ a´ b´ L T L T

.a VM .b a b

CUALQUIERA Proy.vert. de v´ . b´. a´ h´ v L T. b. h a proy. horiz de

PLANOS BISECTORES

2do bisector 1er bisector (igual valor y signos)(igual valor y signos distintos)

2

3

4

RECTA CUALQUIERA

V=v´

b´ B T PV V V´ . a´ A B VM a. A

L

METODO DEL TRAPECIO A V.M. B v´. . b´ a´ L h´ v T

b. a . B . h A V.M.

OBS: * LOS ANGULOS Y ESTAN DADOS POR LA V.M. Y LAS RESPECTIVAS PROYECCIONES SOBRE LA CUAL SE ESTA TRABAJANDO. * ADEMAS LA VM Y ab SE CORTAN EN h Y LA VM Y a´b´ SE CORTAN EN v´

METODO DE GIRO

5

EN UNA FRONTAL EN UNA HORIZONTAL

B. b´ 2 da // LT b´

A=a´ VM a´ b´1 1era // LT

L T L T

1era //LT a b1 A=a VM

2 da // LT b . b B

OBS: LOS ANGULOS Y ESTAN DADOS POR LA V.M. Y LT

REBATIMIENTO DE UNA RECTA DE PERFIL

PV visto de canto

V=v´ . PV II D. a´ A I D.

VM . b´ B V=v´ A B T L H(R) T a´ A v =h´ PH v° c°

. PH a b´ B a. III D. IV D L b b H=h h

6

HALLAR LAS PROYECCIONES DE UNA RECTA DADOS LOS ANGULOS QUE FORMA CON LOS PLANOS DE PROYECCIÓNLlamemos al ángulo que forma la recta con el PHP y con el PVP.Trazamos por M (punto cualquiera de la LT) una recta de manera que forme con la LT un ángulo igual a , limitamos en un punto cualquiera, sea V’ que será la traza vertical, línea de referencia y tenemos V sobre la LT. Por V’ y a partir de la recta MV’ trazamos otra recta que forme con ésta un ángulo igual a .Por M trazamos una recta perpendicular a ésta última y tenemos el punto T. Con centro en V’ y radio V’T describimos un arco de circunferencia hasta que corte a la LT en dos puntos, tenemos h’ que uniendo con V’ nos da las dos probables proyecciones verticales de la recta (s´en verde).Trazamos por h’ líneas de referencias y con centro en V y radio VM trazamos otro arco de circunferencia hasta que intercepte a las líneas de referencia trazada por h’, y obtenemos h (traza horizontal) que uniendo con V resulta las dos probables proyección horizontal buscada (s en azul).Luego por a´ se traza “r” paralela a una de las s´ (verde) y por a trazamos “r” (azul) paralela a unas de las s.

PLANO

Ej: Traza por A(a,a´) una recta que forme 45º con el PH, 30º con el PV y tenga la forma L r´ / T A(3; 4; 2) r /

7

a´

a

L*

s´ s´

s

V´

V

h

h´

hs

T

M h´T

s´

PLANO

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

R R A B * A* * S S R C*

RECTA NOTABLE

RECTA CONTENIDA EN UN PLANO

UNA RECTA ESTA CONTENIDA EN UN PLANO, SI POR LO MENOS DOS PUNTOS DE LA RECTA SE HALLAN EN EL PLANO (H,V las trazas) PV P P´ . v´ v´ P´ R r´ L Po v h´ T h P r Po PH P L h

OBS: Si v´ está sobre P´ y h´ sobre P, la recta está en el plano

8

DETERMINACION DE PLANOS

POR RECTAS PARALELAS POR RECTAS CONCURRENTES

P P . v´ PV v´ PV _ P´ _ PH P´ R _ PH . v´ _ S v´ S R H=h Po H=h Po H=h P H=h P

EN EL GEOMETRAL

P´ P´. v´ v´. v´ s´ v´ s´O´. Po r´ Po r´

L v v h´ h´ T L v v h´ h´ T . r O s s . h r. h . h P h

P Si : Si :

. r´y s´ son // r´ y s´se cortan

. r y s son // r y s se cortan Las rectas en el espacio R y S son // Las rectas en el espacio R y S se cortan

9

TIPOS DE PLANOS

HORIZONTAL (// al PH) FRONTAL (// al PV)

P´

L T L T P

DE TOPO O DE PUNTA ( al PV) VERTICAL O DE PIE( al PH)

P´ P´ L Po H T L H Po T

V V P P

DE PERFIL( al PV, PH y a la LT) PARALELO A LA L. DE T.

P´ P´

L H Po T L T

V P P

CUALQUIERA P´ P´PoL L Po P´PoT T

(Ángulos que las trazas forman con LT) PPoL PPoT

P

10

11

12

RECTAS NOTABLES DEL PLANO A) RECTA HORIZONTAL B) RECTA FRONTAL DEL PLANO DEL PLANO

P P´ P P´ . r´ T T PV R PV S v´ PH s´//P´ PH

v r// P h s Po P h´ P Po h L L

P´ P´ r´ . v´ s´// P´ Po v Po h´ L T L T r // P s h P P

P´ P´ r´ . v´ s´coincide con P´ Po= v Po=h´ L T L T r coincide con P h s P P

13

C) RECTA DE MAXIMA PENDIENTE

C1) RECTA DE MAXIMA PENDIENTE C2) RECTA DE MAXIMA INCLINACION(La VM es a la traza hor P) (La VM es a la traza vert P´)

P P . v´ P´ PV P´ VM PH PV PH . r´v v´ s´ r h´ s h Po h´ P v h Po P L L

.v´ P´ P´ V.M . r´ v´ . V L Po h´ v T L Po v s´ h´ T r . H s . h P V.M

P h

R. de Max. Pendiente: R. Max. InclinaciónPor h se traza la perpendicula a “ab“ Por v´ se traza la perpendicula a “a´b´ Y se obtiene “P“, sobre LT > Po y al Y se obtiene “P´ “, sobre LT > Po y al unir con v´obtenemos P´ unir con h obtenemos P

OBS: Solo se halla las V.M. si pide los ángulos que el plano forma con los Planos de Proyecciones

14

DETERMINA LAS TRAZAS DE UN PLANO CONOCIENDO LOS ÁNGULOS QUE FORMA CON LOS PLANO DE PROYECCIONES

Cuando se pide trazar un plano por el punto A, que forme un ángulo H con el PH y V con el PV se procede de la siguiente forma: se ubica en el geometral el punto A (ao, a, a´) y sobre la LT y a la derecha se realiza un cálculo auxiliar, tomando un punto arbitrario M, por M se traza una recta que forme el ángulo H con LT limitando arbitrariamente en V´, V, luego por V se traza una perpendicular a MV´ obteniendo T, con radio VT se traza una circunferencia, luego se traza una recta que sea tangente a la circunferencia y que forme el ángulo V con LT y donde corta la línea de referencia V´V se obtiene h. Se hace centro en V y con radio MV se traza un arco de circunferencia, luego por h se traza una tangente al arco de circunferencia trazado obteniendo la dirección de P y Po auxiliar que al unir con V´ se obtiene la dirección de P´. Luego se traza por A un plano paralelo al hallado en forma auxiliar, usando una recta horizontal.

15

vH M

arb

a r // a la direc de P

V´ a´

Po V L T

r´// a LT

V´

T

V

h

Po aux

REBATIMIENTO DE PLANOS

EN EL DIEDRO EN EL GEOMETRAL REBATIMIENTO DE:

DE LA TRAZA VERT. P´ DE UNA RECTA HORIZ. S DE UN PUNTO A

. s´ A P P´ S s´ a´ PV P´ PH v´ . v´

s //P a L Po v T v s//P Po P . P a P´® S®//P A® v´® L P(reb) P´® S//P v´® A®

P´ . v´ b´

. v´ c´ s´(// a LT). v´ a´

L Po T

V´® a b A®

c P´R s

VM (// a P) B® C® P

S®

//s a P

16

REBATIMIENTO DE UN PLANO PARALELO A LTGIRO ALREDEDOR DE P

Plano visto de canto Se usa como

P´ v´ v´ 1er radio P a´ . PV P´ T L v=h´ H T . a PH P h h 2do radio

P P´® P´® A® L v´® P

P´®

GIRO ALREDEDOR DE P´

P® h ®

PV A® P®

centro P´ v´

radio

. a´ P´ T L T h´ v H a P P h

. L OBS: lo que está en naranja es otra forma de rebatir A

17

ENCUENTRA LAS PROYECCIONES DE UN TRIANGULO EQUILATERO QUE SE ENCUENTRA EN EL PLANO P SIENDO AB UN LADO DEL TRIANGULO

v´ P´ v´ c´

b´

. a´ L v h´ (2) H (1) v´(1) T h´ c

b

h a h P h

AR

VM BR

CR

v´R P´R v´R

18

PARALELISMO

RECTAS PARALELAS

Si: a “r´” es // a “s´” y “r” es // “s”, las rectas R y S en el espacio son //

. s´ . r´ s´ r´

L T L T . r s r s.

*s´ . r´ s´ *r´ L T L T . r . s r . s

. r´ s´

r´=r s´=s L T L T

*r *s

Si las rectas son de perfil, se rebaten y serán // si sus V.M. son //

. a´ A c´ C. vm vm

b´ B d´ D L T a c

b d

19

Q PLANOS PARALELOS

Q´ P P´ Q´ P´ L Po Qo T PV Q

Qo P P Q Po PH si P´ // Q´ L P // Q los planos son paralelos

PLANOS PARALELOS A LT.

P’ si los planos, visto de canto. son paralelos, en el espacio

P Q´ los planos son paralelos P´

Q´ L T

Q P Q Q P

P´ LOS PLANOS

Q´ NO SON PARALELOS

L T

Q

P . recta de intersección . que se ve de punta

20

PARALELISMO ENTRE PLANOS Y RECTAS

PV P´

. v´ P v´ v´ . r´ s´ s´ S L Po T v´ h s r´ PH r P s R . r h h h L OBS: Si el P contiene a S y S es // a R El P es // a R

Traza por A un plano paralelo a la recta “R”

P´ por a´ se traza s´ // a r´ . v´ por a se traza s // a r . r´ a´ se hallan las trazas de S (hh´vv´) . L s´// r´ T se toma Po arb. Se une con v ´ P´

Po se une Po con h P

. r a

. P s// r

. h

21

PERPENDICULARIDAD

RECTAS PERPENDICULARES

. b´

a´. b´ B c´PV c´C L T

c a

. a´ A c b

b a PH OBS: Con la simple observación del geometral, no se

puede decir que las rectas son perpendiculares. L Se debe hallar el ángulo en verdadera magnitud.

Si las rectas son horizontales o frontales, se puede afirmar con la simple observación del geometral si son perpendiculares

RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL . b´ . ´ 90°

. a´ b´ c´ a´ c´

L T L T

. c a b c

. a 90°

. b

22

RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES

RECTA CUALQUIERA PERPENDICULAR A UN PLANO CUALQUIERA

P´ si: P´ r´ P P r

. r´ En el espacio

PV P´ R P

. r´P

Po P

PH

PLANO PARALELO A LT Y RECTA DE PERFIL

P´ P R r´

r P

Si el plano visto de canto es perpendicular a la verdadera magnitud de la recta de perfil, en el espacio R P

23

PLANOS PERPENDICULARES

PLANO CUALQUIERA

P´ Q´ A R a´

Q s´ Po b´ Qo(arbitrario) L T B P P h v´ b s Q

a

PLANOS DE TOPOS PLANOS VERTICALES

Q´ P´ P´ Q´ Po Qo Qo Po L T L T P Q Q P

PL. PARALELOS A LT PL. HORIZONTAL Y FRONTAL

P´ P´

L T L T

Q´ < Q Q P

24

INTERSECCION

* *

* *

25

EJEMPLOS DE INTERSECCIONES DE PLANOS

26

MOVIMIENTO DE LOS PLANOS DE PROYECCIONES

MOVIMIENTO DEL PV.

a´ PV1 . a´´ . a´´ L a o T ao1 .PV a´ A T1 a L1 ao1 . OBS: “ a ” constante proy. Horiz. ao a ao a´ (cota) se toma igual ao1 a´´ L PH

MOVIMIENTO DEL PH

L1 P a´

L ao T PV a´ A . ao a 2 ao 1

T1 a a 2

ao a PH OBS: “ a´ ” constante proy. Vert. L ao a (alejamiento) se toma igual ao1 a2

27

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

P´ *a´ . (arb) v´ L Po v T

a* P a´´ * distancia en VM (arb)Po1 . v´´ P´´

DISTANCIA DE UN PUNTO “C” A UNA RECTA AB

. a´c´ x´ triángulo en V.M

c2 L b´ T b2 c * distancia de C . b x2 a “AB” . x b´´ a2 . a c´´x´´

nuevos alej. C/L1T1 . a´´ paralelo a c´´a´´

Perpendicular a cx

OBS: La recta CX es una horizontal del plano determinado por la recta AB y el punto C, se coloca L1T1 perpendicular a cx y será perpendicular a la traza horizontal P del plano, o sea al plano lo combertimos en plano de topo para verlo de canto y con el 2do cambio lo transformamos en un plano horizontal y se ve el triángulo en V.M.

28

COMO ENCONTRAR LA OTRA PROYECCIÓN DE UN PUNTO QUE SE ENCUENTRA SOBRE UNA RECTA DE PERFIL

A1

. a´1

2´ 1´ 1 V°C°

L A T a´

. a1

2 2R 1 1R vm a

29

DESARROLLO DE VOLUMENES

30

METODO DE DESCASCARAMIENTOLOS DATOS SON LAS LONGITUDES DE LAS ARISTAS: AS; BS; CS.

S´. S

h . h ángulo entre ABS y la base

. L a´ c´ o´ b´ o m T

. . . b . a s=o

n m

c S/3

S/3 radio=apot

31

TETRAEDRO

VM

“l” arbitrario S real

s S real o s

c o c C real C real

INTERSECCION DE POLIEDROS

32

INTERSECCION DE CUERPOS

33

S´1

S´2

M´

M´

S2

S1

h´

hFoco o pivot

R1R2

R3

1

2 1-2

1

2

. .

1´

2´

Primero se halla el contorno aparente de cada cuerpo por separado luego se tratade ver donde las aristas interceptan a las caras del otro cuerpo, para eso:

1

1 (1-2)

se une los vértices S1 con S2 hallando la recta M(m,m´), luego se halla su traza horizontal “h” que se denomina FOCO O PIVOT, luego se une el foco con los vértices de las bases de los dos cuerpos (se denominan rayos, realmente son las trazas horizontales de los planos auxiliares que contienen a S1, S2 y las respectivamente las aristas), donde los rayos cortan a la base del otro cuerpo se coloca el 1er “1”, al lado del vértice se coloca el 2do “1”, el primer “1” se une con su respectivo vértice (S1) y donde corta a la arista obtenemos el 3er “1”, se procede igual para los demás vértices.

Para unir los 3eros números (que son las proyecciones horizontales de la intersección entre los cuerpos) se observa los números que se hallan en un lado de base de un cuerpo y si se hallan también en un lado de base del otro cuerpo se une con línea llena si ambas caras son visibles y con líneas de puntos si una de ellas o ambas son no visibles.

Para obtener la proyección vertical de la intersección entre los dos cuerpos se levanta cada número sobre su respectiva arista obteniendo los 1´,2´,3´etc.

Se unen los mismos números que se unieron en la proyección horiz pero se tiene en cuenta que el contorno aparente puede ser distinto ya que el observador se pone enfrente del PV.

OBS: Si el rayo pasa por delante de la otra base, la arista no corta al cuerpo, y esta pasa por delante y la arista se ve, si pasa por detrás de la otra base tampoco intercepta al cuerpo, pero la arista pasa por detrás del cuerpo y queda oculta por este.

34

S

// a a a1

a1

h

a

35