Geometria delle masse
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APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino
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GEOMETRIA DELLE MASSE
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I CORPI RIGIDI ED ESTESI
Ogni corpo, di qualsiasi forma e dimensione, fermo o in movimento, in moto rettilineo, curvilineo o
rotatorio, è composto da un sistema di masse, di solito, ma non necessariamente, collegate tra loro.
Il corpo può essere composto completamente dello stesso materiale e allora si definisce omogeneo,
oppure da materiali differenti tra loro e quindi non omogeneo, inoltre all’interno del corpo possono
essere presenti zone in cui la materia è assente e allora si definisce discontinuo.
Il corpo è quindi assimilato ad un agglomerato di masse ed è definito “corpo esteso” per
distinguerlo dall’ipotetico e teorico “corpo puntiforme” che è stato utilizzato, ad esempio, per lo
studio del moto rettilineo.
Di solito, per le applicazioni normali della fisica, il corpo esteso ha una massa invariabile nel
tempo, ma non sono infrequenti i casi in cui si deve considerare anche la variabilità (come ad
esempio quando si considerano gli urti anelatici o i sistemi a massa variabile).
Il concetto di massa è poi sempre accompagnato dal concetto di volume, forma, densità, peso
specifico, peso, inerzia e stato.
Di particolare importanza il peso e l’inerzia per quanto riguarda la statica, la cinematica e la
dinamica.
Per quanto riguarda poi la definizione di corpo rigido, si parte dalla considerazione che il corpo sia
costituito da materia allo stato solido aggregata in particelle, collegate e unite tra loro, da forze
interne intermolecolari.
Tali forze interne sono le forze di coesione e la loro intensità dipende del tipo di materiale che
costituisce il corpo.
Esse possono essere assimilate, in modo analogico ed ideale, a molle elastiche deformabili per
effetto di forze esterne applicate al corpo (elasticità dei materiali), la cui robustezza sarà indicata dal
valore della “costante elastica caratteristica” elK .
La presenza di forze di coesione interne dovute all’elasticità dei materiali ci permetterà di definire
l’importante concetto di “Reazione vincolare” senza la quale non si potrà affrontare lo studio della
statica e della dinamica.
Il concetto di elasticità (legge di Hooke) sarà poi di fondamentale rilevanza per lo studio delle
deformazioni e delle conseguenti sollecitazioni interne strutturali sulle quali si basano le principali
teorie della Scienza delle Costruzioni applicate a tutti i manufatti siano essi fermi che in
movimento.
Rimandando ad altri momenti l’approfondimento dei concetti elencati, si vogliono ora prendere in
esame alcune caratteristiche fondamentali, tipiche di tutti i corpi o sistemi di corpi estesi, legate
principalmente alla forma geometrica della distribuzione delle masse e, di conseguenza, all’aspetto
esterno della massa.
Per questo motivo l’argomento che si affronta è “ LA GEOMETRIA DELLE MASSE” cioè la
distribuzione geometrica delle masse costituenti il corpo rigido ed esteso.
Si prenderanno in esame i corpi omogenei, costituiti perciò dallo stesso tipo di materia, sia continui
che discontinui.
Alcune volte, se non in contrasto con la teoria, sarà anche possibile scambiare tra loro due concetti
fisici assolutamente diversi quali la massa, ovvero la quantità di materia, e il peso, ovvero la forza
di attrazione esercitata dal campo gravitazionale terrestre (o di altro campo) sulla massa stessa.
Ciò è possibile, anche se non consigliabile, solo a condizione di aver appreso in modo definitivo la
differenza sostanziale tra le due grandezze, di utilizzare il chilogrammo come unità di misura del
peso, di far riferimento a ciò che accade sulla Terra e di utilizzare quel tanto di “leggerezza” che
può distinguere le scienze fisiche da quelle matematiche o chimiche.
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IL MOMENTO STATICO DI UNA MASSA RISPETTO AD UN’ASSE
Siamo partiti ammettendo la presenza di un corpo rigido ed esteso avente dimensioni tali da
impedirci la possibilità di poterlo pensare puntiforme.
Come sappiamo il punto è definito come entità puramente geometrica, priva di qualsiasi dimensione
spaziale e da utilizzarsi esclusivamente come rappresentazione ideale per i fenomeni in cui la
traiettoria o la posizione sono di fondamentale importanza.
A ben pensare, la traiettoria o la posizione, nulla hanno a che fare con le dimensioni fisiche reali del
corpo che invece la percorre o la occupa.
E’ però impossibile immaginare un corpo, anche se pensato piccolissimo, completamente privo di
dimensioni spaziali quali la larghezza, lunghezza e spessore che, alla fine, ci consentono di
individuarne la forma.
Di solito, il passaggio dal concetto di punto geometrico a punto materiale, avviene spontaneamente
trasformando il “punto geometrico” in una sua visualizzazione tridimensionale ingrandita che è poi
riconosciuta come una “sfera”.
Di raggio piccolo a piacere ma pur sempre una sfera.
Per chi pensa che la sfera possa comunque comportare problematiche non semplici da risolvere
esiste sempre la possibilità di scegliere forme più geometriche come ad esempio un cubo.
Di lato piccolo a piacere ma pur sempre un cubo.
Le due scelte comportano vantaggi e svantaggi: il cubo ha il vantaggio di non avere superfici curve
ma solo piane consentendoci, in questo modo, di visualizzare due dimensioni contemporaneamente
senza doverci sforzare al pensiero di cosa capita alla terza; il cubo ha il vantaggio di aver solo sei
facce laterali che, tra l’altro, sono parallele a due a due, inoltre gli spigoli formati dall’incontro dei
piani delle facce del cubo ci indicano, di solito, le direzioni, tra loro perpendicolari, della terna
d’assi cartesiani che usiamo come sistema di riferimento.
Certamente la sfera ha una forma più accattivante, perfettamente tonda, senza spigoli e poi, cosa
dire del fatto che tutti i punti giacenti sulla sua superficie hanno la stessa distanza dal punto
centrale?
La sfera sembrerebbe perfetta ma il suo volume e la sua superficie ci complicherebbero
notevolmente la vita non fosse altro che per la presenza di quel che non finisce mai con i
decimali!
Certo che la natura si presenta sempre in forma sferica piuttosto che cubica e sappiamo anche il
perché, ma nessuno osa confrontarsi con la natura.
La conclusione è che utilizzeremo ora la sfera ora il cubo secondo le necessità e il nostro stato
d’animo.
Tornando al corpo rigido esteso e ammettendo che esso è sicuramente individuato dalle tre
dimensioni spaziali che definiamo ZYX , ci torna in mente la fatica, subentra la pigrizia e
ci sforziamo di semplificare, ove possibile, il problema.
In fondo non sarebbe quella gran differenza se provassimo ad immaginare il corpo tagliato in tanti
strati, sottilissimi, da studiare ad uno ad uno e, da sommare a studio effettuato, ricostruendo il corpo
esteso.
Buona idea pensiamo: meno fatica per immaginare la profondità e, nel medesimo tempo, possiamo
individuare le superfici attraverso le quali si manifesteranno le probabili sollecitazioni dovute a
cause esterne o interne.
Ecco che, allora, il corpo si è trasformato in tante fettine ognuna delle quali è caratterizzata da solo
due dimensioni in evidenza, mentre la terza, ad esempio la profondità, possiamo ridurla quasi a
piacere.
La terza dimensione, piccola a piacere, confrontata con le altre due perde interesse e può quindi
essere trascurata.
E’ certamente una buona idea, sarà usata spesso e volentieri, ma con un certo criterio.
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Ci troviamo ora alla presenza di un corpo la cui profondità, che di solito faremo coincidere con la
dimensione individuata dall’asse Z , è molto ridotta e quindi trascurabile.
Possiamo dire, a questo punto, che il corpo tridimensionale si è trasformato in un parallelepipedo i
cui spigoli X e Y sono notevolmente più grandi dello spigolo Z .
La massa complessiva del corpo potrà, a questo punto, essere pensata come somma delle masse di
tante piccole particelle a forma di cubo ognuna delle quali di lato uguale allo spessore .Z
La posizione, all’interno della massa totale, di ogni singola particella sarà nota tramite i valori delle
coordinate rispetto ad un sistema di riferimento bidimensionale con origine in un punto qualsiasi del
piano YX della posizione dei punti centrali dei quadrati ognuno dei quali, essendo piccoli a
piacere, può ancora essere considerato puntiforme.
Figura 1 – DISTRIBUZIONE DI MASSE n
m IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M
MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE Y
Nella figura sovrastante è raffigurato un qualsiasi strato rettangolare di spessore Z ricavato da un
parallelepipedo avente spigoli paralleli agli assi del sistema di riferimento cartesiano.
La massa complessiva è stata suddivisa in 112 elementi o particelle di massa i
m .
Se lo strato è composto interamente dello stesso materiale, con la stessa densità volumetrica, le
particelle, essendo di volume uguale, saranno composte della stessa quantità di materia.
Ma ciò non è strettamente indispensabile.
Si definisce MOMENTO STATICO Y
S delle masse i
m rispetto all’asse Y , la sommatoria dei
prodotti di ciascuna massa per la rispettiva distanza i
X dall’asse Y .
La distanza è, in questo caso, misurata perpendicolarmente all’asse, ma può anche essere misurata
non perpendicolarmente e inclinata di un angolo .
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Essendo il prodotto di una massa per una distanza, le unità di misura del momento statico rispetto
ad un’asse saranno:
YS → mkg
Quindi il MOMENTO STATICO complessivo rispetto all’asse Y sarà espresso dalla seguente
formula:
i
112n
1n
iYXmS
IL CENTRO DI MASSA O CENTRO DI GRAVITA’
Il CENTRO DI MASSA dell’intero sistema, che corrisponde al centro di gravità e anche al
baricentro geometrico della figura, a condizione che il corpo sia composto completamente dello
stesso materiale, è definito dal punto in cui può essere pensata concentrata la massa complessiva del
corpo.
Partendo da questo presupposto e riferendoci alla definizione di MOMENTO STATICO
precedente, è piuttosto ovvio che, pensando di concentrare tutta la massa nel centro di massa, e
calcolando il momento statico complessivo bisognerà tenere conto della distanza del centro di
massa dall’asse Y .
Se indichiamo la distanza del centro di massa con .M.d.C
X , il momento statico complessivo di tutta
la massa rispetto all’asse Y sarà:
.M.d.CY XMS
Evidentemente il momento statico calcolato con questo secondo sistema dovrà essere uguale a
quello calcolato tenendo conto di tutte le particelle.
Quindi:
YYSS
Da cui:
112n
1n
ii.M.d.CXmXM
Da cui si ottiene la distanza .M.d.C
X del Centro di massa dall’asse Y :
M
Xm
X
112n
1n
ii
.M.d.C
Ora, con l’ipotesi che il corpo sia effettivamente costituito dello stesso materiale, e allo scopo di
semplificare il problema, consideriamo che il centro di massa corrisponda esattamente con il
BARICENTRO GEOMETRICO e anche con il CENTRO DI GRAVITA’.
D’ora in avanti il punto in cui può essere concentrata tutta la massa del corpo sarà definito
BARICENTRO e sarà indicato con la lettera G.
Per cui la formula precedente assumerà la forma:
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M
Xm
X
112n
1n
ii
G
Con essa potremo calcolare la distanza dall’asse Y del baricentro G .
Non abbiamo, però ancora risolto il problema in quanto esistono infiniti punti del piano YX che
sono distanti G
X dall’asse Y .
Solo uno di essi è il baricentro reale e, per il suo posizionamento finale, occorre la seconda
coordinata G
Y ovvero la sua distanza dall’asse X .
Per calcolarla definiamo, esattamente come prima, il MOMENTO STATICO delle masse rispetto
all’asse X .
Figura 2 - DISTRIBUZIONE DI MASSE n
m IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M
MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE X
Il MOMENTO STATICO delle masse rispetto all’asse X sarà:
i
112n
1n
iXYmS
Mentre il momento statico della massa complessiva per la distanza G
Y :
GX YMS
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Da cui:
XXSS
Infine:
M
Ym
Y
112n
1n
ii
G
E’ questa la seconda coordinata del Baricentro o Centro di massa che ci consente la reale
individuazione di G all’interno del sistema di riferimento cartesiano scelto.
Quindi, concludendo e generalizzando il problema, le coordinate del baricentro di un sistema di
masse disposte in un piano YX , qualunque sia il loro numero e posizionamento, sono ricavabili
dalle due formule:
M
Xm
X
qualsiasin
1n
ii
G
M
Ym
Y
qualsiasin
1n
ii
G
Se ripetiamo lo stesso ragionamento considerando il corpo disposto nello spazio, ricaviamo anche la
terza coordinata del baricentro:
M
Zm
Z
qualsiasin
1n
ii
G
Per quanto riguarda lo strato di materia preso in considerazione nei disegni precedenti,
considerando che esso è un rettangolo, le coordinate del baricentro saranno tali da individuare il
punto mediano:
2
XXX
12
G
2
YYY
12
G
Le formule ricavate con il calcolo del momento statico sono valide per qualsiasi distribuzione di
masse sia essa continua che discontinua; di conseguenza le coordinate del centro di massa possono
essere caratterizzare sia un punto interno al sistema sia esterno.
Il centro di massa può cioè essere un punto appartenente fisicamente al corpo oppure un punto che,
fisicamente, non appartiene al corpo e che è, quindi, esterno.
Per il calcolo dei MOMENTI STATICI, relativamente al segno algebrico da assegnare alle distanze
dagli assi delle masse, si seguirà il seguente principio:
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Il momento statico di una massa rispetto ad un asse sarà considerato positivo se la distanza
della massa dall’asse di riferimento è dalla parte dei numeri positivi, negativo se il contrario.
Figura 3 – COORDINATE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO DEL RETTANGOLO.
LE CARATTERISTICHE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO
Per come è stato definito il centro di massa e per quanto è stato esposto precedentemente circa i
segni algebrici da assegnare alle distanze, è possibile concludere che:
Il MOMENTO STATICO delle masse costituenti un corpo rispetto ad un qualsiasi asse
passante per il baricentro è nullo
0XmSi
qualsiasin
1n
iGY
0YmSi
qualsiasin
1n
iXG
Qualsiasi corpo, vincolato o appeso nel suo centro di massa e in condizioni di iniziale
quiete, mantiene il suo stato di quiete per un tempo infinito.
Le condizioni dinamiche del movimento causato da un sistema di forze che agisce sul corpo
non cambiano se lo stesso sistema di forze è applicato nel centro di massa.
Comunque sia complessa la traiettoria mantenuta dalle particelle costituenti un corpo in
movimento, il baricentro mantiene, invece, una traiettoria semplice.
Ogni corpo può essere scomposto in elementi più semplici come rettangolo, triangolo,
cerchio ed archi di circonferenza ecc. ecc.
Il centro di massa complessivo può essere pensato come centro di massa di tutte le masse
semplici ognuna delle quali, a sua volta, ha un centro di massa facilmente riconoscibile.
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I momenti statici delle masse semplici costituenti il corpo nel suo complesso e pensate
concentrate nei rispettivi centri di massa sono uguali al momento statico di tutta la massa
pensata concentrata nel centro di massa unico.
BARICENTRI CARATTERISTICI DI SEZIONI O SUPERFICI SEMPLICI.
Come già detto in precedenza, ogni sezione complessa può essere scomposta in più sezioni di forma
semplice in cui la posizione del centro di massa risulta facilmente individuabile.
Le sezioni semplici notevoli sono le seguenti:
Rettangolo
Triangolo
Quadrilatero
Trapezio
Cerchio
RETTANGOLO
Il baricentro di un rettangolo è all’incrocio delle mediane ai lati o delle diagonali.
Figura 4 – BARICENTRO DI UN RETTANGOLO HB
TRIANGOLO:
Per un triangolo qualsiasi la posizione del baricentro è individuata dal punto d’incrocio delle rette
mediane passanti nei rispettivi vertici opposti.
Inoltre il baricentro divide i tre segmenti mediani nel rapporto 3
2 e
3
1.
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Figura 5 – BARICENTRO DI UN TRIANGOLO.
QUADRILATERO:
Di solito il quadrilatero è diviso in due triangoli di area 1
A e 2
A e, per essi si riconosce la
posizione dei relativi baricentri 1
G e 2
G dall’incrocio delle mediane. Il baricentro G del
quadrilatero è collocato sul segmento che 21
GG ad una distanza da 1
G pari alla distanza HG2
oppure ad una distanza da 2
G pari a HG1
.
Figura 6 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD
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Figura 7 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD
TRAPEZIO:
Il baricentro del trapezio è collocato sul segmento che unisce i punti medi delle due basi all’incrocio
con la retta che si ottiene prolungando, da una parte, la base minore con un segmento pari alla base
maggiore e dall’altra la base maggiore con un segmento pari alla base minore.
Figura 8 – BARICENTRO DI TRAPEZIO
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ESEMPI DI CALCOLO
Esempio 1:
Date cinque masse di densità diverse, collocate in un piano YX come da disegno seguente,
calcolare le coordinate del loco centro di massa.
Ognuna delle masse ha uno spessore di 5 mm.
Le densità specifiche delle masse è:
1d =
3dm
kg20 2d =
3dm
kg0,3 3d =
3dm
kg5,0 4d =
3dm
kg5,8 5d =
3dm
kg5,6
Figura 9 – BARICENTRO DI SISTEMA DI MASSE DISCONTINUO
Soluzione:
Calcolo della grandezza delle masse:
kg400dm05,0dm20dm20
dm
kg0,20VdM
3111
kg15dm05,0dm10dm10
dm
kg0,3VdM
3222
kg5,7dm05,0dm30dm10
dm
kg5,0VdM
3333
kg85dm05,0dm10dm20
dm
kg5,8VdM
3444
kg5,32dm05,0dm10dm10
dm
kg5,6VdM
3555
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Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
5i
1i
i
5i
1i
Gi1
GM
S
M
XM
X
54321
5G54G43G32G21G1G
MMMMM
XMXMXMXMXMX
540
5,25,324855,25,75,4154400X G
m32,2540
255.1X G
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
5i
1i
i
5i
1i
Gi1
GM
S
M
YM
Y
54321
5G54G43G32G21G1G
MMMMM
YMYMYMYMYMY
540
5,25,325,2855,25,75,6154400X G
m63,2540
422.1X G
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Esempio 2:
Determinare il centro di massa di un corpo a forma di U avente le dimensioni riportate nel disegno
sottostante. Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a
3cm
g8d e di spessore
mm10Z .
Figura 10 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI. SISTEMA CONTINUO.
Soluzione:
Calcolo della grandezza delle masse:
g800.4dm0,1cm10cm60
cm
g0,8VdM
311
g000.4cm0,1cm10cm50
cm
g0,8VdM
322
g400.2cm0,1cm10cm30
cm
g0,8VdM
333
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
3i
1i
i
3i
1i
Gi1
GM
S
M
XM
X
321
3G32G21G1G
MMM
XMXMXMX
200.11
5,4400.25,2000.45800.4X G
dm4X G
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Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
3i
1i
Gi1
GM
S
M
YM
Y
321
3G32G21G1G
MMM
YMYMYMY
200.11
5,1400.25,3000.45,6800.4X G
dm36,4200.11
800.48X G
Esempio 3:
Determinare il centro di massa del sistema di masse omogenee illustrato in figura .
Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a
3cm
g8d e di spessore mm10Z .
Figura 11 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI E CERCHI.
Soluzione:
Calcolo della grandezza delle masse:
Con l’ipotesi di corpo omogeneo e per il fatto che lo spessore con si modifica, le messe sono
evidentemente proporzionali alla superficie delle varie parti che compongono il corpo nel
suo complesso.
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Per questo motivo si può procedere al calcolo determinando le superfici invece che le masse.
222i
2e
2
1 cm5501520RRS
2
2 cm3416410S
2
3 cm3001030S
2
4 cm9002045S
2
5 cm172443S
2
6 cm188447S
22
7 cm826.230S
2
TOTALE cm970.4S
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
3i
1i
i
7i
1i
Gii
GS
S
S
XS
X
TOTALE
7G76G65G54G43G32G21G1G
S
XSXSXSXSXSXSXSX
2
3
G
cm970.4
cm016.84
970.4
45826.27188151721090014300353450550X
dm69,1cm90,16X G
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
7i
1i
Gii
GS
S
S
YS
Y
TOTALE
7G76G65G54G43G32G21G1G
S
YSYSYSYSYSYSYSY
2
3
G
cm970.4
cm814.24
970.4
35826.235188121723390060300603460550X
dm499,0cm99,4X G
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Esempio 4:
Determinare il centro di massa del sistema planetario Terra-Luna .
La massa della Terra è kg10976,5M24
T , la massa della Luna è kg1035,7M22
L .
La distanza tra il centro di massa terrestre e lunare è di circa km000.400D
Figura 12 – CENTRO DI MASSA SISTEMA TERRA-LUNA
Soluzione:
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
3i
1i
i
2i
1i
Gii
GS
S
M
XM
X
LUNATERRA
LUNA.GLunaTERRA.GTerraG
MM
XMXMX
0735,0976,510
)0735,0976,5(10000.200
100735,010976,5
000.200100735,0000.20010976,5X
24
24
2424
2424
G
km140.1950495,6
000.2009025,5
0495,610
10000.2009025,5X
24
24
G
Quindi in centro di massa per il sistema Terra-Luna è posto a circa 4.860 km da centro di gravità
terrestre.
La Luna ha quindi un moto di rivoluzione attorno a tale punto e non al centro di gravità terrestre.
Nello stesso tempo anche la Terra ha un moto di rivoluzione attorno al centro di massa che dura
esattamente quanto il tempo impiegato dalla Luna.
Inoltre la Luna ruota su se stessa impiegando un tempo pari al periodo di rivoluzione attorno al
centro di massa (circa 27 giorni) e, per questo motivo, rivolge alla Terra sempre la stessa superficie.
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Esempio 5:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una struttura prefabbricata di copertura.
Figura 13 – COPPONE PREFABBRICATO DI COPERTURA.
Soluzione:
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
3i
1i
Gii
GS
S
M
YM
Y
cm24,27
302
4830
2
6425200
705,16302
48027,1630
2
6425,325200
yG
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
Per ragioni di simmetria la coordinata GX è pari alla metà della larghezza complessiva.
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Esempio 6:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave prefabbricata a doppia pendenza.
Figura 14 – SEZIONE DI TRAVE PREFABBRICATA
Soluzione:
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
5i
1i
Gii
GS
S
M
YM
Y
cm39,110
10201216552
122010
2
12401040
5102098121651252
122018610
2
12401951040
y G
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
Per ragioni di simmetria la coordinata GX è pari alla metà della larghezza complessiva.
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Esempio 7:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave da ponte tipo cassone.
Figura 15 – SEZIONE DI TRAVE A CASSONE.
Soluzione:
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
5i
1i
Gii
GS
S
M
YM
Y
cm70,16320340202002502030600
1020340120202002275502023530600y
G
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
5i
1i
i
5i
1i
Gii
GS
S
M
XM
X
cm07,2220340202002502030600
70203409020200230202002905020X
G
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21
Esempio 7:
Determinare il centro di massa della sezione tipica di un muro di contenimento terra con relativa
fondazione.
Figura 16 – MURO DI CONTENIMENTO CON FONDAZIONE.
Soluzione:
Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:
T
X
3i
1i
i
2i
1i
Gii
GS
S
M
YM
Y
cm00,119
4002
402040300
2184002
40202040300
y G
Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:
T
Y
5i
1i
i
5i
1i
Gii
GS
S
M
XM
X
cm00,183
4002
402040300
2164002
402015040300
X G
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22
DETERMINAZIONE GRAFICA DELLE COORDINATE DEL BARICENTRO
Per la determinazione della posizione del centro di massa di un qualsiasi corpo omogeneo, continuo
o discontinuo, si possono anche utilizzare sistemi grafici.
Il metodo più utilizzato è quello di una doppia applicazione della regola del poligono funicolare in
cui le masse dei corpi semplici costituenti il corpo nel suo complesso sono sostituite con vettori
aventi modulo uguale al valore delle masse (o delle superfici se il corpo è omogeneo).
I vettori sono applicati nei centri di massa di ogni particella.
Il centro di massa generale del sistema è determinato dall’incrocio delle direzioni delle risultanti di
due poligoni funicolari uguali e inclinati di 90° uno rispetto l’altro.
Figura 17 – DETERMINAZIONE DEL CENTRO DI MASSA CON IL POLIGONO FUNICOLARE.
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23
I MOMENTI DI SECONDO ORDINE
IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE
Sempre considerando un sistema di masse n321
m,.........m,m,m , contenute in un piano e
costituenti un corpo di massa
ni
1i
imM , si definisce MOMENTO D’INERZIA del sistema di
masse rispetto ad un asse X appartenente al piano, la somma dei prodotti delle singole masse per il
quadrato delle rispettive distanze misurate perpendicolarmente all’asse X e quindi parallele
all’asse .Y
Figura 18 – MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE X QUALSIASI
Il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE, rispetto all’asse X è:
ni
1i
i
2
iXYmJ
Le unità di misura del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE sono:
ni
1i
2
i
2
iXmYkgmJ →
XJ 2
mkg
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24
Il più delle volte, considerando la proporzionalità della massa alla densità e al volume del corpo, si
preferisce sostituire con la grandezza superficie la massa; il momento d’inerzia risulterebbe così
espresso da:
ni
1i
2
i
22
iXmYmSJ → 4
XmJ
Allo stesso modo è definito il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto a un’asse Y qualsiasi:
ni
1i
i
2
iYXmJ
Solitamente, specialmente per i corpi che sono utilizzati per la realizzazione di costruzioni (travi in
acciaio, in legno, in cemento armato) e che sono caratterizzati da differenze sostanziali tra due
dimensioni spaziali e la terza, i momenti d’inerzia assiali X
J e Y
J hanno valori diversi tra loro.
Considerando che le masse costituenti il sistema non possono, evidentemente, assumere valore
nullo e che il quadrato di un numero negativo è, comunque, un numero positivo, si può dedurre che
il momento d’inerzia assiale è sempre POSITIVO o NULLO, cioè sempre maggiore o uguale a
zero:
0JX
0JY
CASI PARTICOLARI:
Il MOMENTO D’INERZIA X
J o Y
J ha un valore nullo solo nel caso in cui tutte le masse
im costituenti il sistema siano collocate rispettivamente, esattamente sull’asse X o
sull’asse Y di riferimento.
I MOMENTI D’INERZIA XG
J eYG
J calcolati rispetto a due assi perpendicolari X e
Y passanti nel centro di massa o baricentro, sono, tra tutti i possibili momenti d’inerzia
calcolati rispetto ad assi non baricentrici, quelli che hanno valore minimo.
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25
IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE COME MOMENTO STATICO DEI
MOMENTI STATICI
La formulazione del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE così come precedentemente vista può
essere scritta anche in un altro modo:
i
ni
1i
ii
ni
1i
i
2
iXYYmYmJ
i
ni
1i
iiXYYmJ
Dunque, paragonando la relazione con quella che fornisce il valore del momento statico delle masse
rispetto ad un asse X , si riconosce che il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE è anche il momento
statico dei momenti statici dei valori ii
Ym pensati al posto di i
m .
Ora, se la coordinata G
Y del centro di massa rappresentava la distanza alla quale porre tutta la
massa M del corpo per ottenere lo stesso valore di MOMENTO STATICO X
S , è possibile
estendere tale concetto anche al MOMENTO D’INERZIA ASSIALE:
La radice quadrata del rapporto tra il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE X
J e la massa
complessiva M è definito RAGGIO D’INERZIA rispetto all’asse X :
ni
1i
i
ni
1i
iii
Xx
2
m
YYm
M
J =
In cui:
x
(ro) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse X
Il significato fisico del raggio d’inerzia (raggio giratorio) è il seguente:
Il raggio d’inerzia X
è la distanza, misurata perpendicolarmente all’asse X , in cui
concentrare tutta la massa M del corpo per ottenere lo stesso valore del momento d’inerzia
XJ .
Cioè:
MmJ
ni
1i
X
2
iX
2
X
Tutto quanto detto vale anche per il momento d’inerzia rispetto all’altro asse, per cui si ottiene:
i
ni
1i
ii
ni
1i
i
2
iYXXmXmJ
i
ni
1i
iiYXXmJ
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26
ni
1i
i
ni
1i
iii
YY
2
m
XXm
M
J
Y
(roY) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse Y
MmJ
ni
1i
Y
2
iY
2
Y
Esempio 1:
Dato un sistema di masse puntiformi collocate nel piano YX come da figura, determinare i
momenti d’inerzia X
J e Y
J del sistema rispetto agli assi cartesiani e i relativi raggi giratori
d’inerzia X
e Y
.
Le masse sono rispettivamente:
1M = 3 kg
2M = 2 kg
3M = 3 kg
4M = 5 kg
5M = 2 kg
Figura 19 – DETERMINAZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI J E DEI RAGGI GIRATORI .
SOLUZIONE:
Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse X :
5i
1i
i2
iX YmJ = 52
542
432
322
212
1 YmYmYmYmYm
22222
X 25022505250365024003J
2
X cmkg000.950.1J
2
i
XX
2cm000.130
15
000.950.1
m
J
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27
m5,3cm55,350cm000.1302
X
Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse Y :
5i
1i
i2
iY XmJ = 52
542
432
322
212
1 XmXmXmXmXm
22222
Y 25024005)250(3)450(24003J
2
Y cmkg500.997.1J
2
i
YY
2cm166.133
15
500.997.1
m
J
m65,3cm92,364cm166.1332
X
Esempio 2 :
Dato un sistema continuo di masse collocate nel piano YX a formare un rettangolo di base B
ed altezza H, determinare i momenti d’inerzia X
J , Y
J e i relativi raggi giratori d’inerzia X
e
Y del sistema, rispetto agli assi cartesiani passanti nel centro di massa del rettangolo e paralleli
rispettivamente alla base e all’altezza.
Y
Y
Figura 20 – MOMENTO D’INERZIA BARICENTRICO DI UNA MASSA RETTANGOLARE CONTINUA.
SOLUZIONE:
Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali baricentrici risulterebbe abbastanza agevole con l’uso delle
regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.
E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:
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28
La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo
spessore del corpo e alla sua densità specifica.
La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera
Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.
Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del
momento d’inerzia X
J e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento d’inerzia
YJ .
Supponiamo di suddividere la metà dell’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il
calcolo del momento d’inerzia X
J
Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.
Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:
N2
HY
La superficie di ogni striscia, parallela all’asse X , sarà dunque data da:
N2
HBYBS
i
Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza Y di ogni striscia è sufficientemente
piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato
nel punto mediamo dell’altezza Y .
La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione
della striscia considerata secondo la semplice relazione:
2
YY1nY
i
O anche:
2N2
H
N2
H1nY
i
1n2N4
H
2
12n2
N2
H
2
11n
N2
HY
i
Per ogni striscia, parallela all’asse X , situata dalla parte positiva dei valori di Y , sarà
presente, dalla parte negativa, un’uguale striscia posta alla stessa distanza. Il contributo di
ogni striscia – considerata solo dalla parte positiva – per il calcolo del momento d’inerzia
XJ dovrà quindi essere considerato doppio.
Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione
rettangolare rispetto all’asse X baricentrico.
Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in 4cm a condizione di utilizzare i cm
come unità di misura delle dimensioni geometriche.
Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il
risultato per il valore dello spessore cm e per il valore della densità
3cm
kg.
Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula
generale:
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i2
Ni
1i
iXYm2J
Che è però proporzionale alla:
Ni
1i
i2
iXYS2J
La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che
risulta essere il doppio di N (N è il numero di strisce componenti la metà del rettangolo).
Possiamo quindi raddoppiare il contributo di ogni striscia tenendo conto che, ad ogni modo, il
quadrato di un numero negativo è comunque positivo.
Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di i
S e i
Y come da ipotesi, si ottiene:
2Nn
1n
X1n2
N4
H
N2
HB2J
La sommatoria è estesa a tutte le N superfici i
S che hanno valore costante e che, quindi, in ogni
caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:
2Nn
1n
X1n2
N4
H
N2
HB2J
Da cui:
2
Nn
1n
2
22Nn
1n
X1n2
N16
H
N
HB1n2
N4
H
N
HBJ
Da cui:
Ni
1i
2
2
2
X1n2
N16
H
N
HBJ
Ni
1i
2
3
3
X1n2
N16
HBJ
Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:
Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:
16
HB
3
Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:
3
Nn
1n
2
3N
3
41n2
N
1
Ad esempio, se la metà del rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - 10N :
Nn
1n
21n2
2222222222191715131197531 1.330
Nn
1n
21n2
3N
3
4
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30
Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:
Ni
1i
2
3
3
X1n2
N16
HBJ
3
3
3
XN
3
4
N16
HBJ
Da cui, concludendo:
12
HB
12
HBJ
33
X
Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale baricentrico rispetto all’asse X
Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse Y , si
può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse Y
che è espresso dalla seguente relazione:
12
BHJ
3
Y
Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano poi i valori calcolati dei momenti d’inerzia
baricentrici, ottenendo:
H288,012
H
12
1H
12
H
HB
12
HB
S
J2
3
TOTALE
X
X
B288,012
B
12
1B
12
B
HB
12
HB
S
J2
3
TOTALE
Y
Y
Figura 21 – POSIZIONE DEI RAGGI D’INERZIA PER ASSI PARALLELI AI LATI E BARICENTRICI
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Esempio 3:
Dati due parallelepipedi di uguale spessore Z = 10 mm e di uguale superficie frontale 2
cm400S , uno con base B=10 cm ed altezza H=40 cm, l’altro con base B= 4 cm ed altezza
H=100 cm, realizzati in materiale avente densità
3cm
g5d , determinare i momenti d’inerzia
assiali baricentrici principali e i rispettivi raggi giratori d’inerzia.
Figura 22 –
SOLUZIONE:
Primo rettangolo:
cm40H
cm10B
cm88,2B288,0cm88,2400
333.3
S
J
cm52,11H288,0cm54,11400
333.53
S
J
cmkg665,16cm
g5cm1cm333.3
12
1040
12
BHJ
cmkg665,266cm
g5cm1cm333.53
12
4010
12
HBJ
YG
YG
XG
XG
2
3
4
33
YG
2
3
4
33
XG
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Secondo rettangolo:
cm100H
cm4B
cm152,1B288,0cm15,1400
533
S
J
cm80,28H288,0cm68,28400
333.333
S
J
cmkg665,2cm
g5cm1cm533
12
4100
12
BHJ
cmkg666.1cm
g5cm1cm333.333
12
1004
12
HBJ
YG
YG
XG
XG
2
3
4
33
YG
2
3
4
33
XG
Esempio 4:
Determinare le regole per il calcolo dei momenti d’inerzia assiali per un rettangolo di base B ed
altezza H rispetto agli assi X e Y rispettivamente passanti per la base e per l’altezza.
Si suppone che il rettangolo sia omogeneo e si conoscono le coordinate del baricentro G .
Figura 23 – CALCOLO MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE 0
X PASSANTE PER LA
BASE B
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33
Soluzione:
Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali NON BARICENTRICI risulterebbe abbastanza agevole con
l’uso delle regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.
E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:
La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo
spessore del corpo e alla sua densità specifica.
La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera
Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.
Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del
momento d’inerzia 0X
J e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento
d’inerzia 0Y
J .
Supponiamo di suddividere l’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il calcolo del
momento d’inerzia 0X
J
Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.
Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:
N
HY
La superficie di ogni striscia, parallela all’asse 0
X , sarà dunque data da:
N
HBYBS
i
Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza Y di ogni striscia è sufficientemente
piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato
nel punto mediamo dell’altezza Y .
La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione
della striscia considerata secondo la semplice relazione:
2
YY1nY
i
O anche:
N2
H
N
H1nY
i
1n2N2
H
2
12n2
N
H
2
11n
N
HY
i
Per ogni striscia, parallela all’asse X , è, questa volta solo dalla parte positiva dell’asse Y e
contribuisce con la sua distanza e la sua superficie, al calcolo del momento d’inerzia X
J
Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione
rettangolare rispetto all’asse 0
X passante, questa volta, sulla base B .
Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in 4cm a condizione di utilizzare i cm
come unità di misura delle dimensioni geometriche.
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34
Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il
risultato per il valore dello spessore cm e per il valore della densità
3cm
kg.
Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula
generale:
i
2Ni
1i
i0XYmJ
Che è però proporzionale alla:
Ni
1i
i
2
i0XYSJ
La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che
risulta essere N (N è il numero di strisce componenti tutta l’altezza del rettangolo).
Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di i
S e i
Y come da ipotesi, si ottiene:
2Nn
1n
0X1n2
N2
H
N
HBJ
La sommatoria è estesa a tutte le N superfici i
S che hanno valore costante e che, quindi, in ogni
caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:
2Nn
1n
0X1n2
N2
H
N
HBJ
Da cui:
2
Nn
1n2
22Nn
1n
0X1n2
N4
H
N
HB1n2
N2
H
N
HBJ
Da cui:
Ni
1i
2
2
2
0X1n2
N4
H
N
HBJ
Ni
1i
2
3
3
0X1n2
N4
HBJ
Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:
Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:
4
HB
3
Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:
3
Nn
1n
2
3N
3
41n2
N
1
Ad esempio, se il rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - 10N :
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35
Nn
1n
21n2
2222222222191715131197531 1.330
Nn
1n
21n2
3N
3
4
Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:
Nn
1n
2
3
3
0X1n2
N4
HBJ
3
3
3
0XN
3
4
N4
HBJ
Da cui, concludendo:
3
HB
3
HBJ
33
0X
Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale rispetto ad un asse 0
X passante
sul lato B.
Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse 0
Y ,
si può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse
0Y , passante sul lato H che è espresso dalla seguente relazione:
3
BHJ
3
0Y
Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano le formule generali, ottenendo:
H577,03
H
3
1H
3
H
HB
3
HB
S
J2
3
TOTALE
X
0X
B577,03
B
3
1B
3
B
HB
3
HB
S
J2
3
TOTALE
Y
0Y
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36
RELAZIONE TRA I MOMENTI D’INERZIA BARICENTRICI E I MOMENTI D’INERZIA
RISPETTO AD ASSI NON BARICENTRICI
Sfruttando i valori calcolati dei momenti d’inerzia baricentrici e dei momenti d’inerzia rispetto ad
assi non baricentrici, relativi ad un rettangolo di base B ed altezza H ( si veda l’esempio n. 2 e n.
4), si può determinare la relazione esistente tra gli stessi.
Determiniamo la relazione esistente tra il momento d’inerzia baricentrico XG
J e quello non
baricentrico 0X
J :
12
HBJ
3
XG
MOMENTO D’INERZIA BARICENTRICO
3
HBJ
3
XO
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO ALL’ASSE
0X
Possiamo ad esempio verificare se il momento d’inerzia 0X
J può essere ottenuto sommando al
momento d’inerzia XG
J una quantità incognita T :
Cioè:
TJJXG0X
Provando poi a determinare la quantità incognita T con la formula inversa:
XGXOJJT
Da cui, sostituendo i valori noti:
12
HBHB4
12
HB
3
HBT
3333
Da cui:
4
HB
12
HB3T
33
L’incognita così trovata può anche essere scritta, senza modificare il suo valore, in altro modo: 2
2
HHBT
In cui si riconosce, nel termine HB , la superficie complessiva del rettangolo (come si è detto la
superficie complessiva è il termine proporzionale per il valore della massa); e nel termine
2
H la
distanza tra l’asse 0
X rispetto a cui si è calcolato il momento d’inerzia 0X
J e il punto
rappresentativo del baricentro.
In poche parole si è così determinata una importante relazione che permette di calcolare il valore del
momento d’inerzia non baricentrico in funzione di quello baricentrico per un rettangolo:
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37
G2
XG
2
XG0XYHBJ
2
HHBJJ
Oppure, tenendo conto della effettiva formulazione del momento d’inerzia:
G2
TOTALEXG
2
TOTALEXG0XYMJ
2
HMJJ
La relazione, determinata per un sistema di masse di forma rettangolare, costituisce l’importante
TEOREMA DI TRASPOSIZIONE per i momenti d’inerzia che, come si vedrà, ha una validità
generale per una qualsiasi distribuzione di masse.
Il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE dimostra che:
Il Momento d’inerzia rispetto ad un asse 0
X qualsiasi, è uguale al momento d’inerzia
rispetto ad un asse X passante nel baricentro e parallelo a 0
X più la massa totale del corpo
(o la superficie proporzionale) moltiplicata per il quadrato della distanza tra i due assi.
G2
TOTALEXG
2
TOTALEXG0XYMJ
2
HMJJ
PER LE MASSE
G2
TOTALEXG
2
TOTALEXG0XYSJ
2
HSJJ
PER LE SUPERFICI
Il Teorema di trasposizione permette così un calcolo più veloce di momenti d’inerzia non
baricentrici partendo dal presupposto di conoscere quelli baricentrici.
Per le figure di più comune utilizzo i momenti d’inerzia baricentrici sono riportati in apposite
tabelle.
Naturalmente tutto quanto detto vale anche per i momenti d’inerzia rispetto all’asse 0
Y :
G2
TOTALEYG
2
TOTALEYG0YXMJ
2
BMJJ
PER LE MASSE
G2
TOTALEXG
2
TOTALEYG0YXSJ
2
HSJJ
PER LE SUPERFICI
APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
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38
IL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI
Il Teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia assiali permette di calcolare il momento d’inerzia
di un corpo rispetto ad un’asse qualsiasi, appartenente o no al corpo, a condizione di conoscere il
momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse baricentrico parallelo all’asse qualsiasi, la distanza tra
l’asse qualsiasi e quello baricentrico e la massa o superficie del corpo.
Si consideri il disegno seguente ove è raffigurato un corpo con forma qualsiasi con riportata la
posizione del centro di massa o baricentro ricavata con il sistema e il calcolo dei momenti statici:
Figura 24 – MOMENTO D’INERZIA ASSIALE 0X
J RISPETTO AD UN ASSE QUALSIASI 0
X NON
BARICENTRICO PARALLELO ALL’ASSE BARICENTRICO G
X
Il corpo è suddiviso in elementi di massa i
m , sufficientemente piccola da poter essere pensati
puntiformi.
Sia N il numero di elementi in cui si è suddiviso il corpo.
Se si suppone che il materiale di cui è costituito il corpo sia omogeneo, la superficie i
S è
proporzionale alla massa i
m .
Il momento d’inerzia assiale 0X
J rispetto all’asse 0
X non baricentrico, parallelo all’asse G
X
baricentrico, e distante G.Y
d dallo stesso è, per definizione, la sommatoria dei prodotti di ogni
singola massa per il quadrato della distanza i
Y dall’asse 0
X rispetto a cui si intende calcolare il
momento d’inerzia:
APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
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39
i
2Ni
1ii0X
YmJ
Osservando il disegno è però possibile notare che le distanze i
Y delle masse i
m dall’asse 0
X ,
dipendono dalla distanza G.Y
d tra i due assi – quello baricentrico G
X e quello non baricentrico
0X - e dalla distanza di ogni massa dall’asse baricentrico:
G.iG.YiYdY
Naturalmente la distanza G.i
Y deve essere considerata positiva o negativa a seconda che la massa
cui si fa riferimento sia collocata sopra o sotto l’asse baricentrico.
Dopo questa considerazione il momento d’inerzia può essere calcolato con:
2
G.iG.Y
Ni
1i
ii
2Ni
1i
i0XYdmYmJ
E, sviluppando il quadrato tra parentesi:
G.i
2
G.iG.YG.Y
2Ni
1i
i0XYYd2dmJ
Cioè:
Ni
1i
G.i
2
iG.iG.Y1G.Y
2
i0XYmYd2mdmJ
G.i
2Ni
1i
iG.iG.Y
Ni
1i
i
Ni
1i
G.Y
2
i0XYmYd2mdmJ
Da cui, considerando che i termini G.Y
d e 2 , sono comunque costanti per qualsiasi massa i
m sia
presa in esame, si ottiene:
G.i
2Ni
1i
iG.i
Ni
1i
iG.Y
Ni
1i
iG.Y
2
0XYmYmd2mdJ
Ora si può riconoscere che il termine:
Mm
Ni
1i
i
Cioè la sommatoria estesa a tutta la popolazione di masse i
m , rappresenta la massa complessiva
del corpo M .
APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
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40
Inoltre nella sommatoria:
Ni
1i
G.iiYm
Si riconosce il momento statico delle N masse i
m rispetto all’asse G
X passante nel centro di
massa e si ricorda che il momento statico rispetto a qualsiasi asse baricentrico ha un valore nullo,
proprio per definizione di baricentro, quindi:
0Ym
Ni
1i
G.ii
Per cui si ottiene:
G.i
2Ni
1i
iG.i
Ni
1i
iG.Y
Ni
1i
iG.Y
2
0XYmYmd2mdJ
=
G.i
2Ni
1i
iG.YG.Y
2
0XYm0d2MdJ
G.i
2Ni
1i
iG.Y
2
0XYmMdJ
D’altra parte il termine:
XGG.i
2Ni
1i
iJYm
Per quanto visto precedentemente è il momento d’inerzia della popolazione di masse rispetto
all’asse baricentrico G
X , quindi, in definitiva, si ottiene:
G.Y
2
XG0XdMJJ
Che è appunto il risultato dell’importante TEOREMA DI TRASPOSIZIONE dei momenti
d’inerzia assiali.
Il momento d’inerzia assiale 0X
J rispetto ad un qualsiasi asse 0
X parallelo ad un asse
passante nel centro di massa G , è uguale al momento d’inerzia baricentrico XG
J più il
prodotto della massa complessiva M per il quadrato della distanza tra i due assi G.Y
d .
In base al Teorema di trasposizione e considerando che il prodotto tra la massa complessiva
M e il quadrato della distanza G.Y
d è sempre positivo, si può anche dedurre che il
momento d’inerzia baricentrico XG
J , tra tutti i possibili momenti d’inerzia, è quello che ha
il valore minore.
Inoltre il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE è valido anche per i momenti d’inerzia calcolati
rispetto ad un asse Y oppure un asse qualsiasi:
G.X
2
YG0YdMJJ
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41
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE ALLE SUPERFICI:
Sempre considerando un corpo costituito da un materiale omogeneo, il TEOREMA DI
TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI può essere esteso alla superficie del
corpo a condizione di sostituire alla massa complessiva M la superficie complessiva S .
Si ottiene così la seguente formulazione:
G.Y
2
XG0XdSJJ
G.X
2
YG0YdSJJ
ESTENSIONE DEL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE AI CORPI COMPOSTI:
Per quanto riguarda i corpi omogenei composti essenzialmente da figure geometriche semplici quali
quadrati, rettangoli, cerchi ecc., si potrà applicare il teorema di trasposizione per il calcolo dei
momenti d’inerzia sommando i vari momenti d’inerzia baricentrici (di solito reperibili in tabelle) e i
vari prodotti di ogni massa (o superficie) costituente per il relativo quadrato della distanza tra il
baricentro generale della figura e il baricentro del singolo componente:
)dSJ(...............)dSJ(J Gn.Y
2
nnXGn1G.Y
2
111XG0X
)dSJ(...............)dSJ(J Gn.X
2
nnYGn1G.X
2
111YG0Y
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42
ESEMPIO 1:
Determinare il valore dei momenti d’inerzia assiali baricentrici per il corpo avente sezione come da
disegno seguente:
Figura 25 – SEZIONE A “ TDOPPIA ” SIMMETRICA
SOLUZIONE:
Calcolo momento d’inerzia baricentrico XG
J con applicazione del Teorema di trasposizione:
)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.Y2
33XG2G.Y2
22XG1G.Y2
11XGXG
Dove:
96
hHB
128
hHB
12
2
hHB
JJ
33
3
3XG1XG
12
hbJ
3
2XG
2
hHBSS
31
hbS 2
4
hH
4
hHH2
4
hH
2
H
22
hH
2
Hdd 3G.Y1G.Y
0d 2G.Y
Sostituendo si ottiene:
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43
23323
XG4
hH
2
hHB
96
hHB
12
hb
4
hH
2
hHB
96
hHBJ
12
hb
16
hH
48
hH
16
hH
48
hH
2
hHBJ
32222
XG
12
hb
8
hH
24
hH
2
hHBJ
322
XG
12
hb
8
hhH2H
24
hhH2H
2
hHBJ
32222
XG
12
hb
24
h3hH6H3hhH2H
2
hHBJ
32222
XG
12
hb
24
h4hH4H4
2
hHBJ
322
XG
12
hb
6
hhHH
2
hHBJ
322
XG
12
hbhhHHhhHhHH
12
BJ
3322223
XG
3333
33
XG hbhHB12
1
12
hbhH
12
BJ
Quindi, in definitiva:
333
XGhbhHB
12
1J
Calcolo momento d’inerzia baricentrico YG
J con applicazione del Teorema di trasposizione:
)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.X2
33YG2G.X2
22YG1G.X2
11YGYG
Dove:
24
hHB
122
hHB
12
2
hHB
JJ
33
3
3XG1XG
12
hbJ
3
2XG
2
hHBSS
31
hbS 2
0ddd3G.X2G.X1G.X
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44
Sostituendo si ottiene:
)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.X2
33YG2G.X2
22YG1G.X2
11YGYG
24
hHB
12
hb
24
hHBJ
333
YG
12
hb
12
hHBJ
33
YG
Quindi, in definitiva:
hbhHB12
1J
33
YG
ESEMPIO 2:
Determinare il valore dei momenti d’inerzia assiali baricentrici per il corpo avente sezione come da
disegno seguente:
Figura 26 – SEZIONE SIMMETRICA
SOLUZIONE:
Calcolo momento d’inerzia baricentrico XG
J con applicazione del Teorema di trasposizione:
)dSJ()dSJ(J 2G.Y2
22XG1G.Y2
11XGXG
Dove:
96
hHB
128
hHB
12
2
hHB
JJ
33
3
2XG1XG
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45
2
hHBSS 21
4
hH
4
hHH2
4
hH
2
H
22
hH
2
Hdd 2G.Y1G.Y
Sostituendo si ottiene:
)dSJ()dSJ(J 2G.Y2
22XG1G.Y2
11XGXG
2323
XG4
hH
2
hHB
96
hHB
4
hH
2
hHB
96
hHBJ
16
hHhHB
48
hHBJ
23
XG
1
hH
3
hH
16
hHBJ
22
XG
1
hhH2H
3
hhH2H
16
hHBJ
2222
XG
3
h3hH6H3hhH2H
16
hHBJ
2222
XG
3
h4hH4H4
16
hHBJ
22
XG
3
hhHH4
16
hHBJ
22
XG
322223
XG hhHHhhHhHH12
BJ
Quindi, in definitiva:
33
XGhH
12
BJ
Calcolo momento d’inerzia baricentrico YG
J con applicazione del Teorema di trasposizione:
)dSJ()dSJ(J 2G.X2
22YG1G.X2
11YGYG
Dove:
24
hHB
122
hHB
12
2
hHB
JJ
33
3
2XG1XG
2
hHBSS 21
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0dd 2G.X1G.X
Sostituendo si ottiene:
)dSJ()dSJ(J 2G.X2
22YG1G.X2
11YGYG
24
hHB
24
hHBJ
33
YG
Quindi, in definitiva:
12
hHBJ
3
YG
ESEMPIO 3:
Determinare il valore dei momenti d’inerzia assiali baricentrici per il corpo avente sezione come da
disegno seguente:
Figura 27 – SEZIONE RETTANGOLARE CAVA E SIMMETRICA
SOLUZIONE:
Come si può notare, la sezione rettangolare cava può essere scomposta nella somma di due sezioni
il cui momento d’inerzia baricentrico è già stato calcolato, una sezione con doppio rettangolo
simmetrico rispetto ai due assi baricentrici e un rettangolo.
Il momento d’inerzia è quindi calcolato con la somma dei momenti d’inerzia delle figure
componenti:
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47
Per il rettangolo simmetrico:
33
XG hH12
BJ
12
hHBJ
3
YG
Per il rettangolo semplice:
12
hbBJ
3
XG
12
hbBJ
3
YG
Quindi:
3333
33
XG hbBhHB12
1
12
hbBhH
12
BJ
3333
XG hbhBhBHB12
1J
33
XGhbHB
12
1J
12
hHBJ
3
YG
12
hbB3
hbBhHB12
1J
33
YG
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48
ESEMPIO 4:
Determinare, utilizzando il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE, i momenti d’inerzia assiali rispetto
a due rette X e Y passanti nel centro di massa del corpo indicato nella figura sottostante.
La posizione del centro di massa è stata ricavata precedentemente.
Il corpo è omogeneo. Utilizzare i centimetri come unità di misura.
Figura 28 – DETERMINAZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI BARICENTRICI.
SOLUZIONE:
Calcolo del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse G
X passante nel centro di massa del corpo:
Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi X baricentrici per ogni figura componente il
corpo:
4
331
3
11XG cm000.5
12
000.160
12
cm10cm60
12
HBJ
4
332
3
22XG cm166.104
12
000.12510
12
cm50cm10
12
HBJ
4
333
3
33XG cm500.2
12
000.130
12
cm10cm30
12
HBJ
Calcolo del momento d’inerzia complessivoXG
J baricentrico:
3G.Y2
33XG2G.Y2
22XG1G.Y2
11XGXGdSJdSJdSJJ
222
XG 56,283010500.256,85010166.10444,211060000.5J
4
XG cm808.668202.247802.140804.280J
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Calcolo del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse G
Y passante nel centro di massa del
Corpo:
Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi Y baricentrici per ogni figura componente il
corpo:
4
331
3
11YG cm000.180
12
000.21610
12
cm60cm10
12
BHJ
4
332
3
22YG cm166.4
12
000.150
12
cm10cm50
12
BHJ
4
333
3
33XG cm500.22
12
000.2710
12
cm30cm10
12
BHJ
Calcolo del momento d’inerzia complessivo YGJ baricentrico:
3G.X2
33YG2G.X2
22YG1G.X2
11YGYG dSJdSJdSJJ
222
YG 53010500.22155010166.488,91060000.180J
4
YG cm234.385000.30666.116568.238J
Esempio 5:
Determinare i momenti d’inerzia assiali baricentrici per assi paralleli ai lati principali della sezione
a cassone per la quale sono già state calcolate le coordinate del baricentro.
Figura 29 – TRAVE A CASSONE – CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI BARICENTRICI
SOLUZIONE:
Calcolo del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse G
X passante nel centro di massa del corpo:
Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi X baricentrici per ogni figura componente il
corpo:
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50
4
331
3
1
1XGcm333.208
12
cm50cm20
12
HBJ
4
332
3
2
2XGcm000.350.1
12
cm30cm600
12
HBJ
4
333
3
3
3XGcm333.333.13
12
cm200cm20
12
HBJ
4
333
3
3
4XGcm333.333.13
12
cm200cm20
12
HBJ
4
333
3
3
5XGcm666.226
12
cm20cm340
12
HBJ
Calcolo del momento d’inerzia complessivoXG
J baricentrico:
5G.Y
2d5XGJ4G.Y
2d4XGJ3G.Y
2d3S3XGJ2G.Y
2d2S2XGJ1G.Y
2d1S1XGJXGJ
In cui:
cm111d1G.Y
cm71d2G.Y
cm44dd4G.Y3G.Y
cm154d5G.Y
Per cui:
215420340666.226
24420200333.333.132
27130600000.350.1
21112050333.208XGJ
4
XGcm465.523.300J
Calcolo del momento d’inerzia complessivoYG
J baricentrico:
5G.X
2d5YGJ4G.X
2d4YGJ3G.X
2d3S3YGJ2G.X
2d2S2YGJ1G.X
2d1S1YGJYGJ
In cui:
cm312d1G.X
cm22d2G.X
cm154d3G.X
cm112d4G.X
cm48d5G.X
4
3
1YGcm333.33
12
2050J
4
3
2YGcm000.000.540
12
60030J
4
3
4YG3YGcm333.133
12
20200JJ
4
3
5YGcm666.506.65
12
34020J
Per cui:
24820340666.506.65
211220200333.133
215420200333.133
22230600000.000.540
23122050333.33YGJ
4
YGcm865.569.872J
APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
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51
IL MOMENTO D’INERZIA POLARE
Considerato un sistema continuo di masse avente forma qualsiasi e un punto O del piano in cui
sono contenute le masse, si definisce MOMENTO D’INERZIA POLARE, rispetto al punto O ,la
somma dei prodotti di ogni singola massa per il quadrato della relativa distanza dal punto O .
2Ni
1i
iPRmJ
MOMENTO D’INERZIA POLARE
Figura 30 – MOMENTO D’INERZIA POLARE
Se si utilizza un sistema di riferimento cartesiano con assi perpendicolari qualsiasi e passanti nel
punto O rispetto al quale si vuole calcolare il momento d’inerzia polare, la distanza i
R , relativa ad
ogni massa i
m in cui è stato suddiviso il corpo, può anche essere espressa, mediante il Teorema di
Pitagora, da:
i2
i2
i2
YXR
Per cui il Momento d’inerzia polare assume la forma:
Ni
1i
i2
i2
iPYXmJ
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52
E, scomponendo la sommatoria:
)YmXm(J
Ni
1i
i2
ii2
iP
Ni
1i
i2
i2
N1
1i
i2
iPYmXmJ
Si riconoscono, nelle due sommatorie, i momenti d’inerzia assiali Y
J e X
J rispetto agli assi Y e
X passanti nel punto O , quindi:
N1
1i
i2
iYXmJ
Ni
1i
i2
i2
XYmJ
Di conseguenza il momento d’inerzia polare è:
XYPJJJ
Poi, se si tiene conto del Teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia assiali e dalla conoscenza
dei momenti d’inerzia principali baricentrici XG
J e YG
J :
)dMJ()dMJ(J G.Y2
XGG.X2
YGP
)dd(MJJJ G.Y2
G.X2
XGYGP
)dd(MJJ G.Y2
G.X2
G.PP
PG2
G.PPRMJJ
In cui:
G.PJ
YGXGJJ MOMENTO D’INERZIA POLARE BARICENTRICO
PGR = Distanza tra il polo P e il baricentro G
Se il corpo è omogeneo la massa è proporzionale alla superficie, quindi:
G.Y2
G.X2
XGYGPdSdSJJJ
)dd(SJJJ G.Y2
G.X2
XGYGP
)dd(SJJ G.Y2
G.X2
G.PP
PG
2
G.PPRSJJ
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53
Figura 31 – MOMENTO D’INERZIA POLARE
ESEMPIO 1:
Determinare il momento d’inerzia polare di un rettangolo omogeneo come in figura rispetto ad un
suo spigolo O .
Figura 32 – MOMENTO D’INERZIA POLARE DI RETTANGOLO HB RISPETTO AL POLO O
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54
SOLUZIONE:
Il momento d’inerzia polare rispetto al polo O , spigolo del rettangolo come da figura, è dato da:
G.Y2
G.X2
XGYGPdSdSJJJ
Dove:
12
HBJ
3
XG
12
HBJ
3
YG
HBS
2
Hd YG
2
Bd XG
Per cui:
2233
P2
B
2
HHB
12
HB
12
HBJ
4
HB
4
HB
12
HB
12
HBJ
3333
P
3
HB
3
HBJ
33
P
22P BH
3
HBJ
ESEMPIO 1:
Determinare il momento d’inerzia polare di un rettangolo omogeneo come in figura rispetto ad un
suo spigolo O centrato sul lato di base B .
Figura 33 - MOMENTO D’INERZIA POLARE DI RETTANGOLO HB RISPETTO AL POLO O
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55
SOLUZIONE:
Il momento d’inerzia polare rispetto al polo O , punto medio del lato B , base del rettangolo, come
da figura, è dato da:
G.Y2
G.X2
XGYGPdSdSJJJ
Dove:
12
HBJ
3
XG
;
12
HBJ
3
YG
; HBS
2
Hd
YG 0d
XG
Per cui:
233
P2
HHB
12
HB
12
HBJ
4
HB
12
HB
12
HBJ
333
P
12
HB
3
HBJ
33
P
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56
IL MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO
Considerato un sistema continuo di masse avente forma qualsiasi e due rette qualsiasi X e Y
contenute nel piano, si definisce MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO, rispetto alle due rette,
la somma dei prodotti di ogni singola massa per le rispettive distanze dalle due rette, valutate
secondo due direzioni prefissate:
ii
Ni
1i
iXYYXmJ
MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO
Figura 34 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO
Evidentemente, considerando il sistema di rette rispetto al quale si calcola il momento d’inerzia
centrifugo e le varie posizioni delle particelle costituenti il corpo, il prodotto tra le distanze del
baricentro delle particelle dagli assi prefissati, può assumere valori positivi, negativi o nulli a
seconda dei segni algebrici che contraddistinguono le varie posizioni.
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57
ESEMPIO 1:
Determinare il momento d’inerzia centrifugo di un corpo con sezione rettangolare di dimensioni
HB rispetto a un sistema d’assi cartesiani ortogonali con origine nello spigolo del rettangolo
come indicato in figura.
Figura 35 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO SPIGOLO “A”– RETTANGOLO HB
SOLUZIONE:
Anche in questo caso, in alternativa alle regole d’integrazione ancora da acquisire, si propone la
risoluzione numerica delle sommatorie.
I lati di base ed altezza saranno suddivisi in N parti uguali in modo tale che la superficie
complessiva del rettangolo sia, alla fine, costituita da un numero di rettangoli pari a 2
N .
Ogni particella avrà, di conseguenza, una superficie rettangolare con dimensioni di base pari a N
B
ed altezza pari a N
H.
La superficie di ogni particella sarà dunque:
2i
N
HB
N
H
N
BS
Considerando che il numero N può essere scelto grande a piacere, di conseguenza la superficie di
ogni particella sarà piccola a piacere.
Il momento d’inerzia centrifugo, calcolato rispetto agli assi cartesiani ortogonali coincidenti con i
due lati e con origine nello spigolo denominato "A" sarà dunque dato dalla seguente formula
generale:
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58
ii
Ni
1i
iXYYXmJ
2
In cui la sommatoria deve essere estesa a tutte le particelle costituenti la superficie quindi partendo
dalla numero uno sino a quella contraddistinta dal numero 2
N .
Tenendo poi presente che, con l’ipotesi di corpo omogeneo, la massa è proporzionale alla superficie
potremo sostituire alla formula generale la seguente:
ii
Ni
1i
iXYYXSJ
2
Ricordando che la superficie i
S di ogni particella è:
2i
N
HBS
e sostituendo, si ottiene:
i
Ni
1i
i2ii
Ni
1i
2XYYX
N
HBYX
N
HBJ
22
I valori i
X e i
Y sono le coordinate, rispetto agli assi scelti, del baricentro di ogni singola
particella.
Dall’esame della figura è evidente che i segni algebrici delle coordinate sono sempre positivi,
qualsiasi sia la particella che si prende in esame.
La sommatoria può essere estesa a tutte le particelle appartenenti ad una stessa colonna e poi a tutte
le colonne comprese nella riga.
Tutte le particelle appartenenti alla stessa colonna saranno caratterizzate dallo stesso valore della
coordinata i
X ottenibile una semplice relazione matematica:
Per le particelle appartenenti alla prima colonna 1i :
N2
BX
i
Per le particelle appartenenti alla seconda colonna 2i :
N2
B122
N2
B3
N2
BB2
N2
B
N
BX
i
Per le particelle appartenenti alla colonna ennesima:
1n2N2
B
N2
12n2B
N2
BB1n2
N2
B
N
B1nX
i
Ogni particella appartenente alla stessa colonna sarà però caratterizzata da valori diversi della
coordinata i
Y che potremo ottenere con la seguente relazione matematica:
Per la prima particella di ciascuna colonna:
N2
HY
i
Per la seconda particella di ciascuna colonna:
N2
H122
N2
H3
N2
HH2
N2
H
N
HY
i
Per l’ennesima particella di ciascuna colonna:
1n2N2
H
N2
12n2H
N2
HH1n2
N2
H
N
H1nY
i
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59
Con queste necessarie precisazioni si può ora procedere con il calcolo della sommatoria generale
utilizzando il metodo delle strisce verticali, cioè:
La sommatoria generale è uguale alla somma delle sommatorie estese alle singole
particelle costituenti le varie strisce verticali:
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
2i
Ni
1i
i2
XY
22
)1n2(N2
H
N2
B)1n2(.......1n2
N2
H
N2
B3)1n2(
N2
H
N2
B
N
HBYX
N
HBJ
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
)1n2(N2
H
N2
B)1N2(.......1n2
N2
H
N2
B3)1n2(
N2
H
N2
B
2N
HB
XYJ
2
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
)1n2(N2
B)1N2(.......1n2
N2
B3)1n2(
N2
B
N2
H
2N
HB
XYJ
2
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
2XY
2
)1n2()1N2(.......1n23)1n2(N2
B
N2
H
N
HBJ
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
4
22
XY
2
)1n2()1N2(.......1n23)1n2(
N4
HBJ
Ni
1i
N2i
1Ni
Ni
1)1N(Ni
4
22
XY
2
)1n2(1N2.......1n23)1n2(
N4
HBJ
Tutte le sommatorie presenti sono uguali tra loro e contengono gli stessi termini.
In altre parole la sommatoria:
)1N2(.......975311n2
Ni
1i
E’ uguale alla somma dei numeri dispari compresi tra 1 e il numero )1N2( .
Come si potrà verificare la somma dei numeri dispari è uguale al quadrato del valore N , quindi:
2
Ni
1i
N)1N2(.......975311n2
Per cui si ottiene:
2222
4
22
XYN1N2................N5N3N
N4
HBJ
Raccogliendo a fattore comune il termine costante 2
N si ha:
1N2.............531NN4
HBJ
2
4
22
XY
Il termine tra parentesi è nuovamente una somma tra i numeri dispari sino al valore pari a
1N2 ; tale somma è di nuovo uguale al quadrato di N , per cui, alla fine, si ottiene:
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60
4
HBN
N4
HBNN
N4
HBJ
22
4
4
22
22
4
22
XY
Quindi, in conclusione, il momento d’inerzia centrifugo calcolato per un rettangolo di dimensioni
HB e rispetto ad una coppia d’assi cartesiani giacenti sui lati del rettangolo e aventi origine in
uno spigolo, ha un valore:
4
HBJ
22
XY
IL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE PER IL MOMENTO D’INERZIA
CENTRIFUGO
Anche nel caso di calcolo del momento d’inerzia centrifugo rispetto a due assi qualsiasi YX ,
possiamo verificare se esiste una regola che ci permetta di semplificare il problema partendo, ad
esempio, dalla conoscenza del momento d’inerzia centrifugo rispetto a due assi baricentrici
GGYX .
Sia allora a nostra conoscenza la sezione del corpo di massa complessiva M e due sistemi di assi
cartesiani, uno passante nel baricentro della sezione l’altro in un punto P qualsiasi.
Per semplicità immaginiamo di utilizzare coppie di assi cartesiani ortogonali e facciamo riferimento
alla seguente figura:
Figura 36 – TRASPOSIZIONE DEL MOMENTO CENTRIFUGO DA ASSI BARICENTRICI AD ASSI NON
BARICENTRICI
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61
Con queste ipotesi di partenza, il momento d’inerzia centrifugo rispetto al sistema di assi YX ,
non passanti nel centro di massa, si può dunque calcolare con la formula generale:
ii
Ni
1i
iXYYXmJ
Vale sempre la considerazione di poter suddividere il corpo di massa M in un numero di particelle
sufficientemente piccole da poter essere considerate puntiformi.
Per esempio si potrebbe pensare di suddividere tutta la massa in un numero N di particelle.
Il numero N sarà sufficientemente grande da poter immaginare infinitamente piccole le particelle
di massa i
m .
Ogni particella sarà quindi caratterizzata da una massa pari a N
Mm
i e, come al solito, se il corpo
è omogeneo, potremo sostituire alla massa M o alle masse i
m le rispettive superfici S o i
s .
Prendendo in considerazione la formula generale e il disegno schematico di cui sopra, le coordinate
di ogni massa i
m rispetto al sistema di assi YX sono comunque dipendenti dalle coordinate
della massa stessa rispetto agli assi baricentrici GG
YX e dalle distanze in orizzontale e
verticale tra i due sistemi:
G.Xi.GidXX
G.Yi.GidYY
Quindi il momento d’inerzia centrifugo assume la forma:
G.Yi.GG.Xi.G
Ni
1i
iXYdYdXmJ
Sviluppando i prodotti in parentesi:
G.YG.XG.Xi.GG.Yi.Gi.Gi.G
Ni
1i
iXYdddYdXYXmJ
Separando le sommatorie:
G.XG.Y
Ni
1i
iG.X
Ni
1i
i.GiG.Yi.G
Ni
1i
ii.Gi.G
Ni
1i
iXYddmdYmdXmYXmJ
Considerando poi che alcuni termini sono comunque costanti anche all’interno delle sommatorie e
che quindi possono essere presi a fattor comune e fatti uscire dalle rispettive sommatorie:
Ni
1i
iG.XG.Y
Ni
1i
i.GiG.Xi.G
Ni
1i
iG.Yi.Gi.G
Ni
1i
iXYmddYmdXmdYXmJ
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62
Esaminando ora le varie sommatorie si può osservare che:
YG.XGi.Gi.G
Ni
1i
iJYXm)....1
E’ il momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto
agli assi baricentrici.
0Xm)....2i.G
Ni
1i
i
E’ il momento statico delle masse rispetto all’asse G
Y passante
nel baricentro che, per definizione di baricentro, è nullo.
0Ym)....3i.G
Ni
1i
i
E’ il momento statico delle masse rispetto all’asse G
Y passante
nel baricentro che, per definizione di baricentro, è nullo.
Mm)....4
Ni
1i
i
La somma di tutte le masse delle particelle è evidentemente
uguale alla massa totale del corpo.
Per cui il momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto agli assi non baricentrici YX , risulta
uguale a:
MddJJG.XG.YYG.XGXY
Oppure, se il corpo è omogeneo:
SddJJG.XG.YYG.XGXY
Queste ultime relazioni rappresentano, in termini matematici, il Teorema di Trasposizione valido
per i Momenti d’inerzia centrifughi .
Il teorema di trasposizione dimostra che:
Il momento d’inerzia centrifugoXY
J ,calcolato rispetto a una coppia d’assi
cartesiani ortogonali YX , paralleli alla coppia d’assi cartesiani
ortogonali GG
YX passanti nel centro di massa o baricentro, è uguale al
momento d’inerzia centrifugo YG.XG
J calcolato rispetto agli assi baricentrici
più il prodotto della massa M del corpo per il prodotto delle distanze G.X
d e
G.Yd ,misurate ortogonalmente, tra i corrispondenti assi baricentrici e non
baricentrici.
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63
ESEMPIO 1:
Utilizzando il Teorema di trasposizione per i momenti centrifughi e i valori calcolati nell’esempio
precedente relativamente al momento d’inerzia centrifugo di un rettangolo, rispetto ad una coppia
d’assi cartesiani ortogonali passanti sui lati del rettangolo e con origine in uno spigolo, calcoliamo il
momento d’inerzia centrifugo baricentrico rispetto ad una coppia d’assi baricentrici paralleli ai lati
del rettangolo.
Figura 37 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO BARICENTRICO SECONDO ASSI PRINCIPALI
Il momento d’inerzia centrifugo rispetto agli assi YX è stato calcolato nell’esempio precedente:
4
HBJ
22
XY
Applicando il teorema di trasposizione e dovendo essere valida la relazione:
SddJJG.XG.YYG.XGXY
Si ottiene, invertendo la formula:
SddJJG.XG.YXYYG.XG
04
HB
4
HBHB
2
B
2
H
4
HBJ
222222
YG.XG
Da cui si ottiene:
0JYG.XG
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Cioè:
Il momento d’inerzia centrifugoYG.XG
J rispetto ad assi baricentriciG
X e G
Y
in corrispondenza dei quali si hanno, rispettivamente, il valore massimo e il
valore minimo dei momenti d’inerzia assiali XG
J e YG
J , è nullo.
Attenzione:
Se gli assi sono baricentrici ma NON corrispondono agli assi principali d’inerzia, il momento
d’inerzia centrifugo NON E’ NULLO.
MOMENTI D’INERZIA RISPETTO AD ASSI CON DIREZIONE VARIABILE
Si considera ora un corpo di massa omogenea, di forma qualsiasi, e, come già visto, si scompone in
particelle di massa i
m sufficientemente piccole, tali da poter essere considerate puntiformi.
Utilizzando le definizioni di momento statico e la particolare caratteristica del baricentro, punto
rispetto al quale si annullano i momenti statici, si procede al calcolo delle coordinate del baricentro
stesso.
Se il corpo ha forme regolari oppure se è composto da figure geometriche semplici – in primo luogo
rettangoli – risulta abbastanza agevole individuare un sistema d’assi cartesiani YX paralleli e/o
perpendicolari ai lati principali del corpo stesso.
Sfruttando il Teorema di Trasposizione dei momenti d’inerzia assiali, è poi possibile determinare il
valore dei Momenti d’inerzia XG
J e YG
J , calcolati rispetto agli stessi assi YX passanti nel
baricentro.
Utilizzando ancora il Teorema di Trasposizione, unitamente alla conoscenza dei momenti
baricentrici e ai valori delle coordinate del baricentro o centro di massa, si perviene al valore dei
momenti d’inerzia assiali rispetto ad assi qualsiasi ma paralleli a quelli baricentrici e al valore del
momento d’inerzia polare rispetto ad un punto appartenente al piano in cui è sezionato il corpo.
Ora, supponendo di aver determinato i vari momenti d’inerzia rispetto agli assi così come definiti, si
vuole prendere in considerazione anche l’eventualità di poter modificare a piacere l’inclinazione del
sistema d’assi cartesiani rispetto al sistema di riferimento principale e determinare i nuovi valori dei
momenti d’inerzia confrontandoli, poi, con i valori di riferimento.
In altre parole: si utilizzerà un sistema di riferimento fisso di assi cartesiani ortogonali YX in cui
l’asse orizzontale X è anche un sistema di riferimento angolare, e un altro sistema di riferimento
cartesiano pure ortogonale 11
YX girevole intorno all’origine P del primo sistema.
L’inclinazione del sistema girevole )YX(11
rispetto al sistema fisso )YX( sarà misurata, in
senso antiorario, dall’ampiezza dell’angolo tra l’asse X e l’asse 1
X .
Le coordinate cartesiane di ogni particella di massa i
m costituenti il corpo di massa M , potranno
essere riferite sia al sistema fisso )YX( sia al sistema girevole )YX(11
mediante opportune
trasformazioni che terranno conto dell’inclinazione angolare tra i due sistemi.
Facendo riferimento al disegno sottostante ove è riportato un corpo qualsiasi, una particella di
massa m , il sistema fisso assoluto YX , il sistema girevole 11
YX e l’ampiezza
dell’angolo tra i due sistemi; le coordinate della particella in esame e, di conseguenza di tutte
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65
quelle componenti il corpo, rispetto al sistema girevole, si possono ottenere dalle coordinate rispetto
al sistema fisso tenendo presente le seguenti relazioni:
CDABX1
BCAPY1
I segmenti indicati dipendono dalle coordinate della particella rispetto al sistema assoluto e
all’angolo tra i due sistemi.
Più precisamente:
SenYAB
CosXCD
CosYAP
SenXBC
Per cui, le coordinate rispetto al sistema girevole – in riferimento al sistema fisso - assumono la
forma:
CosXSenYX1
SenXCosYY1
Figura 38 – TRASFORMAZIONE DI COORDINATE: )YX()YX(11
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66
CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI
Utilizzando le nuove coordinate si può quindi calcolare il momento d’inerzia assiale rispetto
all’asse 1
X del sistema girevole:
Ni
1i
i1
2
i1XYmJ
E, inserendo i valori dipendenti dal sistema fisso e dall’angolo:
2
ii
Ni
1i
i1XSenXCosYmJ
Ni
1i
1i
2
i
22
i
2
i1XSenCosYX2SenXCosYmJ
Tenendo presente che il valore dell’angolo è costante per ogni posizione assunta dal sistema
girevole rispetto al sistema fisso e che, di conseguenza, sono costanti i valori di:
22
Sen;Cos;Sen;Cos
Si ottiene, spostando fuori dalla sommatoria i termini comunque costanti e separando le
sommatorie:
ii
Ni
1i
ii2
Ni
1i
i
2Ni
1i
i2
i
2
1X YXmSenCos2XmSenYmCosJ
Da cui, tenendo presente che le sommatorie non sono altro che:
Xi2
Ni
1i
i JYm
MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “X”
Yi2
Ni
1i
i JXm
MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “Y”
XYii
Ni
1i
i JYXm
MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO RISPETTO A “XY”
Si ottiene dunque:
SenCos2JSenJCosJJXY
2
Y
2
X1X
Il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto all’asse 1
X del sistema girevole è uguale:
Alla somma dei momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto all’asse X e
all’asse Y del sistema fisso moltiplicati, rispettivamente per il quadrato del
coseno e del seno dell’angolo tra i due sistemi, meno il doppio prodotto del
momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto ai due asse fissi moltiplicato
per il valore del seno e del coseno dell’angolo.
Per quanto riguarda il valore del momento d’inerzia 1Y
J rispetto all’asse 1
Y del sistema girevole,
si segue il medesimo procedimento, ottenendo:
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67
Ni
1i
i12
i1YXmJ
E, inserendo i valori dipendenti dal sistema fisso e dall’angolo:
2
ii
Ni
1i
i1YCosXSenYmJ
Ni
1i
1i
2i
22i
2
i1YSenCosYX2CosXSenYmJ
Tenendo presente che il valore dell’angolo è costante per ogni posizione assunta dal sistema
girevole rispetto al sistema fisso e che, di conseguenza, sono costanti i valori di:
22
Sen;Cos;Sen;Cos
Si ottiene, spostando fuori dalla sommatoria i termini comunque costanti e separando le
sommatorie:
ii
Ni
1i
ii2
Ni
1i
i
2Ni
1i
i2
i
2
1YYXmSenCos2XmCosYmSenJ
Da cui, tenendo presente che le sommatorie non sono altro che:
Xi2
Ni
1i
i JYm
MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “X”
Yi2
Ni
1i
i JXm
MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “Y”
XYii
Ni
1i
i JYXm
MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO RISPETTO A “XY”
Si ottiene dunque:
SenCos2JCosJSenJJXY
2
Y
2
X1Y
Il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto all’asse 1
Y del sistema girevole è uguale:
Alla somma dei momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto all’asse X e
all’asse Y del sistema fisso moltiplicati, rispettivamente per il quadrato del
seno e del coseno dell’angolo tra i due sistemi, a cui è sommato il doppio
prodotto del momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto ai due asse fissi
moltiplicato per il valore del seno e del coseno dell’angolo.
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68
CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA POLARE
Per quanto riguarda il calcolo del momento d’inerzia polare relativo al punto P , origine sia del
sistema fisso sia del sistema girevole, si farà riferimento alla formula generale:
i12
Ni
1i
i)1Y1X(PRmJ
In cui i termini i2
R , per il Teorema di Pitagora, hanno un valore:
i12
i12
i12
YXR
CosXSenYX1
SenXCosYY1
SenCosiYiX2a2
Seni2
X2
Cosi2
YCosSeniYiX22
Cosi2
X2
Seni2
Yi12
R
22
i222
i2
i12
CosSenXCosSenYR
Quindi, tenendo presente che la somma dei quadrati di seno e coseno ha comunque sempre valore
unitario, si ottiene:
i2
ì2
i2
i2
i12
XY1X1YR
E, il momento polare risulta:
i2
i2
Ni
1i
i)1Y1X(PXYmJ
Cioè, alla fine:
COSTANTEJJJJJJ1Y1XYX)YX(P)1Y1X(P
Cioè:
Il momento polare rispetto ad un punto P è costante qualsiasi sia
l’inclinazione del sistema di riferimento che si utilizza per il calcolo.
CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO
Il momento d’inerzia centrifugo rispetto al sistema girevole di assi 11
YX è dato dalle seguenti
relazioni:
i1i1
Ni
1i
i1Y1XYXmJ
Che, con le opportune sostituzioni di coordinate, diventa:
SenXCosYCosXSenYmJiiii
Ni
1i
i1Y1X
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69
SenCosXCosYXSenXYCosSenYmJ i22
ii
2
iii2
Ni
1i
i1Y1X
SenCosXSenCosXYCosSenYmJ i222
iii2
Ni
1i
i1Y1X
Cioè, scomponendo la sommatoria e portando fuori dagli indici di sommatoria i termini che sono
comunque costanti:
ii
Ni
1i
i22
i2
Ni
1i
ii2
Ni
1i
i1Y1X XYmSenCosXmSenCosYmCosSenJ
Riconoscendo poi i momenti assiali e il momento centrifugo rispetto agli assi fissi YX :
22
XYYX1Y1XSenCosJSenCosJCosSenJJ
Oppure:
22
XYYX1Y1XSenCosJCosSenJJJ
Alla fine, riepilogando tutti i risultati ottenuti, si ha:
Per i momenti d’inerzia assiali rispetto ad assi girevoli:
SenCos2JSenJCosJJXY
2
Y
2
X1X
SenCos2JCosJSenJJXY
2
Y
2
X1Y
Per il momento d’inerzia centrifugo rispetto ad assi girevoli:
22
XYYX1Y1XSenCosJSenCosJCosSenJJ
Per il momento d’inerzia polare rispetto ad assi girevoli:
COSTANTEJJJJJJ1Y1XYX)YX(P)1Y1X(P
Con:
X
J Momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X fisso.
Y
J Momento d’inerzia assiale rispetto all’asse Y fisso.
XY
J Momento d’inerzia centrifugo rispetto alla coppia di assi fissi.
)YX(P
J Momento d’inerzia polare rispetto alla coppia d’assi fissi
Ampiezza dell’angolo tra il sistema fisso e quello girevole.
Dalla goniometria si riprendono poi alcune formulazioni specifiche riguardanti alcune funzioni
trigonometriche che, in modo specifico, ricorrono nel caso.
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In particolare:
1.
2
2Cos1Cos
2
2.
2
2Cos1Sen
2
3. 2SenCosSen2
4. 2CosSenCos22
Le formule precedenti assumono la forma:
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ
XY
YXYX
1X
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ
XY
YXYX
1Y
2CosJ2Sen2
JJJ
XY
YX
1Y.1X
ASSI PRINCIPALI D’INERZIA
La disponibilità delle formule per il calcolo dei momenti d’inerzia assiali e centrifughi rispetto ad
assi ortogonali mobili in sincrono attorno al punto d’origine di un sistema d’assi cartesiani
ortogonali fisso, ci permette il calcolo dei momenti di secondo ordine rispetto ad assi comunque
orientati a condizione di essere a conoscenza dei momenti rispetto agli assi fissi.
Orientando a piacere il sistema mobile si potranno ricavare i conseguenti momenti di secondo
ordine.
Più avanti si dimostrerà che, per ogni corpo considerato, esiste una particolare configurazione d’assi
cartesiani per la quale il momento centrifugo ha valore nullo.
In altre parole:
Esiste un particolare valore dell’ampiezza dell’angolo e, di conseguenza, un particolare
sistema d’assi, in riferimento al quale il corrispondente valore del momento d’inerzia
centrifugo 1Y.1X
J si annulla.
Il sistema d’assi cartesiani rispetto al quale si annulla il momento centrifugo è anche definito
“SISTEMA D’ASSI PRINCIPALI D’INERZIA” e gode anche della seguente importante proprietà:
I momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto a due assi principali d’inerzia –
rispetto ai quali il momento centrifugo è nullo – sono rispettivamente quello
massimo e quello minimo per la sezione.
Se il sistema d’assi , oltre ad essere principale, è anche baricentrico allora
esso è definito “Sistema d’assi principali centrali d’inerzia”.
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Per la sezione che si considera, l’ampiezza dell’angolo che soddisfa alle ipotesi di cui sopra, può
essere determinato imponendo l’annullamento del momento centrifugo e risolvendo l’equazione
conseguente:
02CosJ2Sen2
JJJ 0XY0
YX1Y.1X
Di conseguenza si ottiene:
02CosJ2Sen2
JJ
0XY0YX
Da cui:
0XY0
YX2CosJ2Sen
2
JJ
0XY0
XY2CosJ2Sen
2
)JJ(
0XY0
XY2CosJ2Sen
2
)JJ(
XY
XY
0
0
JJ
J2
2Cos
2Sen
XY
XY0
JJ
J22Tan
O anche:
0
XY
XY0 2Cos
JJ
J22Sen
0
XY
XY0 2Sen
J2
JJ2Cos
Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si
ottiene:
2
JJ
J2Tan
XY
XY1
0
Determinato l’angolo che individua la posizione degli assi principali d’inerzia si può passare al
calcolo dei momenti assiali rispetto a tali assi che rappresentano anche il massimo e minimo valore
possibile per la sezione:
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ XY
YXYX
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ XY
YXYX
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ESEMPIO 1:
Data la sezione come nelle figura sottostante, determinare le coordinate del centro di massa, gli assi
principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici i relativi
raggi d’inerzia.
Figura 39 -
SOLUZIONE:
Calcolo delle coordinate del baricentro:
cm0,20
205010010
352050510010X
G
cm0,30
205010010
1020505010010Y G
Calcolo dei momenti d’inerzia assiali rispetto agli assi non baricentrici YX :
4633
X cm10466,33
2050
3
10010J
4633
Y cm10466,13
6020
3
8010J
Calcolo dei momenti assiali rispetto agli assi GX e GY baricentrici:
Utilizzando il teorema di trasposizione dei momenti assiali:
G2
XGX YSJJ
Da cui si ottiene:
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G2
XXG YSJJ
466626
XG cm10666,1108,110466,330)205010010(10466,3J
Mentre per il momento YGJ :
G2
YGY XSJJ
G2
YYG XSJJ
4526
YGcm1066,62020501001010466,1J
Calcolo del momento centrifugo rispetto agli assi GX e GY baricentrici:
Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i
momenti centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:
2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJJ
0J 1YG.1XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 2YG.2XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
2
1 cm100010010S
2
2 cm10005020S
cm15X1G
cm15X2G
cm0,20Y 1G
cm0,20Y2G
Per cui:
4
YG.XGcm000.6000,2015100000,201510000J
Calcolo dell’inclinazione degli assi principali centrali d’inerzia baricentrici:
XGYG
YG.XG
0JJ
J22Tan
Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento
centrifugo si ottiene:
2
JJ
J2Tan
XGYG
YGXG1
0
2
2,1Tan
2
101
102,1Tan
2
10666,11066,6
000.6002Tan
16
6
1
65
1
0
09,252
2,1Tan1
0
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Calcolo dei momenti d’inerzia assiali
J e
J rispetto agli assi principali centrali
d’inerzia:
0XGY0YGXGYGXG
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ
18,50Sen)000.600(18,50Cos2
1066,610666,1
2
1066,610666,1J
5656
65656
10948,177,0000.60064,02
1066,610666,1
2
1066,610666,1J
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ YG.XG
YGXGYGXG
18,50Sen000.60018,50Cos2
1066,610666,1
2
1066,610666,1J
5656
55656
10999.59977,0000.60064,02
1066,610666,1
2
1066,610666,1J
Calcolo dei raggi
e
principali d’inerzia:
cm29,319791000000.1
10958,1
S
J 6
cm32,173001000000.1
109999,5
S
J 5
Figura 40 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSSIMI E MINIMI
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ESEMPIO 2:
Data la sezione come nelle figura sottostante, determinare le coordinate del centro di massa, gli assi
principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici e i relativi
raggi d’inerzia.
Figura 41
SOLUZIONE:
Calcolo delle coordinate del baricentro:
cm14,9
43040246
173041240346X G
cm28,12
43040246
2304204023846Y G
Calcolo dei momenti assiali baricentrici:
o 3G2
32G2
21G2
13XG2XG1XGXG YSYSYSJJJJ
433
1XG cm3212
46
12
HBJ
433
2XG cm666.1012
402
12
HBJ
433
3XG cm16012
430
12
HBJ
21 cm24S 2
2 cm80S 23 cm120S
cm72,25Y 1G cm72,7Y 2G cm28,10Y 3G
Per cui:
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4222XG cm183.44)28,10(12072,78072,2524160666.1032J
o 3G2
32G2
21G2
13YG2YG1YGYG XSXSXSJJJJ
433
1YG cm7212
64
12
HBJ
433
2YG cm66,2612
240
12
HBJ
433
3YG cm000.912
304
12
HBJ
21 cm24S 2
1 cm80S 23 cm120S
cm14,12Y 1G cm14,8Y 2G cm86,7Y 3G
Per cui:
4222
YG cm350.2586,712014,880)14,12(24000.966,2672J
Calcolo del momento centrifugo secondo gli assi baricentrici:
Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i momenti
centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:
3G3G33YG.3XG2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJYXSJJ
0J 1YG.1XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 2YG.2XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 31Y.3XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
21 cm2446S
22 cm80402S
23 cm120304S
cm14,12X 1G
cm14,8X 2G
cm86,7X 3G
cm72,25Y 1G
cm72,7Y 2G
cm28,10Y 3G
Per cui:
4YG.XG cm786.2228,1086,7120072,714,880014,1272,25240J
Calcolo dell’inclinazione degli assi principali d’inerzia baricentrici:
XY
XY0
JJ
J22Tan
Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si ottiene:
2
JJ
J2Tan
XY
XY1
0
2
4199,2Tan
2
832.18
572.45Tan
2
183.44350.25
786.222Tan
1
11
0
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77
77,332
186,2Tan1
0
Calcolo dei momenti d’inerzia assiali J e J rispetto agli assi principali centrali d’inerzia:
02SenXYJ02Cos2
YJXJ
2
YJXJJ
54,67Sen)786.22(54,67Cos2
350.25183.44
2
350.25183.44J
924.0786.22382,02
350.25183.44
2
350.25183.44J
4cm417.59054.21597.3766.34J
2SenXYJ2Cos2
YJXJ
2
YJXJJ
54,67Sen)786.22(54,67Cos2
350.25183.44
2
350.25183.44J
924,0786.22382,02
350.25183.44
2
350.25183.44J
4cm115.10054.21597.3766.34J
Calcolo dei raggi principali d’inerzia:
cm28,16262224
417.59
S
J
cm71,615,45224
115.10
S
J
Figura 42 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSIMI E MINIMI
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ESEMPIO 3:
Data la sezione come nelle figura sottostante, determinare le coordinate del centro di massa, gli assi
principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici e i relativi
raggi d’inerzia.
Figura 43 -
SOLUZIONE:
Calcolo delle coordinate del baricentro. Si utilizzano i valori già calcolati:
cm40XG
cm6,43YG
Calcolo dei momenti assiali baricentrici:
o 3G2
32G2
21G2
13XG2XG1XGXG YSYSYSJJJJ
433
1XG cm000.512
1060
12
HBJ
433
2XG cm166.10412
5010
12
HBJ
433
3XG cm500.212
1030
12
HBJ
2
1 cm600S 2
2 cm500S 2
3 cm300S
cm44,21Y 1G cm56,8Y 2G cm56,28Y 3G
Per cui:
4222
XGcm809.66856,2830056,850044,21600500.2166.104000.5J
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79
o 3G2
32G2
21G2
13YG2YG1YGYG XSXSXSJJJJ
4
33
1YGcm000.180
12
6010
12
HBJ
4
33
2YGcm166.4
12
1050
12
HBJ
4
33
3YGcm500.22
12
3010
12
HBJ
2
1cm600S 2
1cm500S 2
3cm300S
cm88,9x1G cm15Y
2G cm5Y
3G
Per cui:
4222
YGcm234.385530015500)88,9(600500.22166.4000.180J
Calcolo del momento centrifugo secondo gli assi baricentrici:
Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i momenti
centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:
3G3G33YG.3XG2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJYXSJJ
0J 1YG.1XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 2YG.2XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 31Y.3XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
2
1cm600S
2
2cm500S
2
3cm300S
cm88,9X1G
cm15X2G
cm5X3G
cm44,21Y1G
cm56,8Y2G
cm56,28Y3G
Per cui:
4
YG.XGcm456.14856,285300056,8(15500044,2188,96000J
Calcolo dell’inclinazione degli assi principali d’inerzia baricentrici:
XGYG
YG.XG
0JJ
J22Tan
Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si ottiene:
2
JJ
J2Tan
XGYG
YG.XG1
0
2
047,1Tan
2
575.283
912.296Tan
2
809.668234.385
456.1482Tan
1
11
0
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80
158,232
047,1Tan1
0
Calcolo dei momenti d’inerzia assiali J e J rispetto agli assi principali centrali d’inerzia:
0YG.XG0
YGXGYGXG2SenJ2Cos
2
JJ
2
JJJ
31,46Sen)456.148(31,46Cos2
234.385809.668
2
234.385809.668J
)723,0(456.148691,02
234.385809.668
2
234.385809.668J
4cm829.732333.107975.97521.527J
2SenJ2Cos2
JJ
2
JJJ
YG.XG
YGXGYGXG
31,46Sen)456.148(31,46Cos2
234.385809.668
2
234.385809.668J
712.321723,0456.148975.97021.527J
4cm712.321J
Calcolo dei raggi principali d’inerzia:
cm87,22262400.1
829.732
S
J
cm15,1579,229400.1
712.321
S
J
Figura 44
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81
USO DEGLI ASSI PRINCIPALI D’INERZIA
Dopo aver definito e calcolato la posizione angolare degli assi principali d’inerzia e – che
sono anche centrali nel caso di assi baricentrici – e ai quali corrispondono il massimo e minimo
momento d’inerzia assiale e il valore nullo del momento d’inerzia centrifugo, è possibile utilizzarli
come assi di riferimento per il calcolo dei momenti d’inerzia assiale e centrifugo rispetto ad assi
girevoli YX passanti nel punto d’origine degli assi principali.
Per fare ciò basta utilizzare il sistema già adottato per il calcolo dei momenti di secondo ordine
relativamente ad un sistema fisso e ad uno mobile, sostituendo quello fisso con il sistema principale.
Facendo riferimento alla figura seguente:
Figura 45 – ASSI PRINCIPALI D’INERZIA E SISTEMA GIREVOLE YX
Ricordando le formule che permettono il calcolo dei momenti assiali per un sistema girevole,
tenendo presente che il momento centrifugo rispetto al sistema d’assi principali ha un valore nullo e
che il valore dell’angolo rappresenta l’inclinazione degli assi YX rispetto agli assi
principali d’inerzia , si ottiene:
1) Per il momento assiale rispetto a X :
SenCos2JSenJCosJJ22
X
0J
Quindi:
22
XSenJCosJJ
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82
Oppure, tenendo presente che:
2
2Cos1Cos
2 ;
2
2Cos1Sen
2
2
2Cos1J
2
2Cos1JJ X
2Cos2
JJ
2
JJJ
X
2) Per il momento assiale rispetto a Y :
SenCos2JCosJSenJJ22
Y
0J
Quindi:
22
YCosJSenJJ
Oppure, per lo stesso di prima:
2Cos2
JJ
2
JJJ
Y
3) Per il momento centrifugo rispetto a YX :
22
XY SenCosJSenCosJCosSenJJ
0J
Quindi:
SenCosJCosSenJJXY
Oppure, tenendo presente che:
2SenCosSen2
2Sen2
JJJ
XY
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83
IL SISTEMA ANTIPOLARE
IL MOMENTO STATICO DEI MOMENTI STATICI
Ritorniamo al concetto di momento statico di un sistema di masse calcolato rispetto ad un asse X o
Y qualsiasi.
La definizione di momento statico è stata utilizzata – in modo specifico – per la determinazione
delle coordinate del centro di massa o baricentro di un corpo, relativamente ad un sistema di
riferimento d’assi cartesiani ortogonali aventi origine in un punto qualsiasi del piano contenente la
sezione del corpo in esame.
Il momento statico delle masse costituenti il corpo e relativo ad esempio ad un asse X qualsiasi, era
stato così definito:
ni
1i
iiXYmS
Si ricorda che il prodotto di ogni massa i
m per la relativa distanza i
Y dalla retta X scelta come
riferimento, può essere equiparato al momento di una forza parallela all’asse X la cui distanza,
valutata perpendicolarmente all’asse, è appunto i
Y .
In questo caso basterà sostituire alla grandezza “massa” la grandezza “forza-peso” che, come è
risaputo dipende dalla massa.
Il centro di massa o baricentro G era poi stato definito come punto particolare del piano,
appartenente o non appartenente al corpo, nel quale risultava possibile concentrare tutta la massa
ottenendo lo stesso valore del momento statico relativo all’asse stabilito:
MYmYSG
n1
1i
iGX
Si poteva quindi calcolare la coordinata G
Y del baricentro delle masse uguagliando i valori dei
momenti statici ottenendo:
i
ni
1i
iGYmMY
M
Ym
Y
ni
1i
ii
G
Con l’ipotesi di corpo omogeneo si estendeva poi la relazione alla superficie ottenendo:
S
Ym
Y
ni
1i
ii
G
Lo stesso ragionamento era valido anche per la coordinata G
X del baricentro cosicché si otteneva
anche l’altra relazione:
M
Xm
X
ni
1i
ii
G
oppure: S
Xm
X
ni
1i
ii
G
Si ricorda inoltre che la posizione del centro di massa risultava indipendente dal sistema d’assi di
riferimento ed era quindi stabilita solo dalla posizione delle varie masse o dalla forma del corpo.
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84
IL BARICENTRO DEI MOMENTI STATICI O CENTRO RELATIVO AD UN ASSE
Ora, lo stesso ragionamento e definizioni, possono essere applicate anche nel caso in cui al posto
delle masse i
m costituenti le n particelle, siano prese in considerazione, al posto delle masse, le
grandezze ottenute moltiplicando la massa di ognuna per la distanza, misurata ad esempio in modo
perpendicolare, dall’asse cui si fa riferimento.
Relativamente all’asse :X
im
iiYm mkg
Il momento statico, relativo ad ogni asse, delle nuove grandezze definite come sopra, può quindi
essere considerato “il momento statico dei momenti statici delle masse i
m ” e può essere calcolato
con le seguenti relazioni:
ni
1i
i2
ni
1i
iiiX*
YmYYmS
D’altra parte si riconosce, nell’espressione X*
S , il momento d’inerzia assiale delle masse calcolato
rispetto all’asse X .
Di conseguenza, in modo analogo al baricentro delle masse, potremo definire un nuovo punto del
piano che rappresenterà il baricentro X delle nuove grandezze messe al posto delle masse cioè il
baricentro dei momenti statici o centro relativo all’asse considerato.
Riprendendo la definizione di baricentro diremo che:
Il baricentro X dei momenti statici è un punto particolare, appartenente al piano, in cui è
possibile concentrare i momenti statici complessivi delle masse, calcolati relativamente
all’asse considerato, ed ottenere i momenti statici delle nuove grandezze.
La coordinata X
Y del baricentro B dei momenti statici rispetto all’asse X saranno calcolate con le
seguenti relazioni:
ni
1i
iiiX
*
i
ni
1i
iXYYmSYmY
ni
1i
ii
ni
1i
iii
X
Ym
YYm
Y
D’altra parte, esaminando le relazioni e ricordando le definizioni di momento statico delle masse, di
baricentro delle masse, di momento d’inerzia assiale e di raggio d’inerzia, si riconoscono:
Xi2
ni
1i
i
ni
1i
iii JYmYYm
MYmYYm G
ni
1i
iGi
ni
1i
i
Per cui, la coordinata del baricentro dei momenti statici, o centro relativo agli assi, è anche espresso
da:
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85
MY
J
Ym
YYm
Y
G
X
ni
1i
ii
ni
1i
iii
X
mkgm
mkg2
Il momento d’inerzia assiale è, di conseguenza, anche espressi dalle seguenti:
MYYJGXX
In cui X
Y è la coordinata, misurata perpendicolarmente all’asse X , del baricentro dei momenti
statici, mentre G
Y è la coordinata, misurata sempre perpendicolarmente all’asse X , del centro di
massa o baricentro delle masse.
Oppure, utilizzando la definizione di raggio d’inerzia:
MJ X
2
X
Da cui il legame tra i raggi d’inerzia, le coordinate del baricentro delle masse e le coordinate del
baricentro dei momenti statici:
GXX
2
YY GXX
YY
Inoltre, considerando il Teorema di trasposizione dei momenti assiali:
MYJJ G2
XGX
e ricordando che il momento d’inerzia baricentrico è:
MJ XG
2
XG
Si ottiene:
MYMJ G
2
XG
2
X
Infine:
MYMMYYJ G
2
XG
2
GXX
Semplificando i termini simili:
G
2
XG
2
GXYYY
E ricavando la coordinata X
Y del centro relativo o baricentro dei momenti statici:
G
XG
2
G
G
G
2
XG
2
X
YY
Y
YY
A un risultato analogo si perviene considerando i momenti statici rispetto all’asse Y e rifacendo
quindi gli stessi ragionamenti fatti a proposito dell’asse X .
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86
MX
J
Xm
XXm
X
G
J
ni
1i
ii
ni
1i
iii
Y
MXXJGYY
MJ Y
2
Y
GYY
2
XX GYY
XX
MXJJ G
2
YGY
MJ YG2
YG
MXMJ G
2
YG
2
Y
MXMMXXJ G
2
YG
2
GYY
G
2
YG
2
GYXXX
G
YG
2
G
G
G
2
YG
2
Y
XX
X
XX
ESEMPIO 1:
Determinare le coordinate XX
YX del centro relativo X (baricentro dei momenti statici ym
calcolati rispetto all’asse x ) e le coordinate YY
YX del centro relativo Y (baricentro dei
momenti statici xm calcolati rispetto all’asse y ) per un rettangolo HB e per assi passanti,
come in figura, sui lati di base ed altezza.
Figura 46 – CENTRO RELATIVO RISPETTO AGLI ASSI X E Y
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Soluzione:
Posizione del baricentro dei momenti statici ii
ym calcolati rispetto all’asse x . Il
baricentro dei momenti statici è indicato con il simbolo X .
La posizione del baricentro dei momenti statici X o centro relativo rispetto all’asse X è
data dalle due coordinate X
Y e X
X (nel sistema di riferimento cartesiano stabilito).
Esse sono calcolate con:
G
XG2
G
G
G2
XG2
G
G2
XG
G
XX
YY
Y
Y
SY
SYJ
SY
JY
SY
SddJ
SY
JX
G
YGXGYG.XG
G
XYX
1) Calcolo della prima coordinata X
Y :
Per il rettangolo in figura e, relativamente all’asse X , si ha:
12
H
HB
12
HB
S
J
2
HY
2
3
XGXG
2
G
Da cui si ottiene:
cm283
422
3
H2
6
HH3
6
H
2
H
H12
H2
2
H
2
H
12
H
2
H
YYY
2
2
G
XG2
GX
Oppure, più semplicemente:
cm283
422
3
H2
HB3
HB2
HB2
H
3
HB
SY
JY
2
3
3
G
XX
2) Calcolo della seconda coordinata G
Y :
Per il rettangolo in figura si ha:
SY
SddJ
SY
JX
G
YGXGYG.XG
G
XYX
Con i seguenti valori:
0J YG.XG in quanto momento centrifugo baricentrico secondo assi principali
2
Bd XG
2
Hd YG
Per cui:
cm122
24
2
B
HB4
HB2
HB2
H
HB2
B
2
H0
X2
22
X
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88
Posizione del baricentro dei momenti statici ii
Xm calcolati rispetto all’asse y . Il
baricentro dei momenti statici è indicato con il simbolo Y .
La posizione del baricentro dei momenti statici Y o centro relativo rispetto all’asse y è
data dalle due coordinate Y
Y e Y
X (nel sistema di riferimento cartesiano stabilito).
Esse sono calcolate con:
G
YG2
G
G
G2
YG2
G
G2
YG
G
y
YX
XX
Y
SX
SXJ
SX
JX
SX
SddJ
SX
JY
G
YGXGYG.XG
G
XYY
1) Calcolo della prima coordinata Y
X :
Per il rettangolo in figura e, relativamente all’asse X , si ha:
12
B
HB
12
HB
S
J
2
BY
2
3
YGYG
2
G
Da cui si ottiene:
cm163
242
3
B2
6
BB3
6
B
2
B
B12
B2
2
B
2
B
12
B
2
B
XXX
2
2
G
YG2
GY
Oppure, più semplicemente:
cm163
242
3
B2
HB3
HB2
HB2
B
3
HB
SX
JX
2
3
3
G
YY
2) Calcolo della seconda coordinata YY :
Per il rettangolo in figura si ha:
SX
SddJ
SX
JY
G
YGXGYG.XG
G
XYY
Con i seguenti valori:
0J YG.XG in quanto momento centrifugo baricentrico secondo assi principali
2
Bd XG
2
Hd YG
Per cui:
cm212
42
2
H
HB4
HB2
HB2
B
HB2
B
2
H0
Y2
22
Y
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ESEMPIO 2:
Determinare la relazione che permette di calcolare la posizione del centro relativo X
Y per un
rettangolo HB come in figura e per un asse X la cui distanza dal baricentro G delle masse è
variabile a piacere.
Figura 47 -
Soluzione:
La posizione del baricentro dei momenti statico o centro relativo B
Y è data da:
G
XG
2
G
G
G
2
XG
2
X
YY
Y
YY
Per il rettangolo in figura e, relativamente ad un asse X la cui distanza Y dal baricentro G è
variabile da un valore infinitamente grande sino ad un valore nullo (asse X baricentrico):
S
J
YY
XGXG
2
VariabileG
Con i seguenti valori costanti:
12
HBJ
3
XG
HBS
La posizione del centro relativo è quindi data da:
YHB
12
HB
YY
S
J
YY
3
XG
X
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Da cui:
Y12
HY
YHB12
HBY
YHB12
HBYY
233
X
Esaminando la relazione che permette il calcolo della distanza, dall’asse X , del centro relativo X
Y
si potrà notare che:
Se l’asse X è baricentrico, la distanza tra l’asse e il baricentro G è nulla.
Ipotesi:
0Y
Per cui:
Y12
H
Y12
H0
Y12
HYY
222
)0YPER(X
D’altra parte, essendo nullo il valore del denominatore, il risultato del quoziente ha la
tendenza a diventare un numero infinitamente grande, di conseguenza:
)0(12
H2
Quindi:
X
Y
Quindi, in conclusione, se l’asse X si avvicina al baricentro delle masse, il centro relativo
XY ha la tendenza a essere infinitamente distante dall’asse stesso.
Se l’asse X si allontana grandemente dal baricentro G :
Ipotesi:
Y
Allora il termine Y12
H2
, avendo al denominatore un numero tendente all’infinito, ha la
tendenza ad assumere un valore nullo, perciò:
0
12
H
Y12
HYY
22
)YPER(X
In conclusione, se l’asse X si allontana grandemente dal baricentro delle masse, il centro
relativo X
Y ha la tendenza ad essere infinitamente vicino al baricentro stesso in quanto il
suo valore è uguale alla distanza dell’asse X dal baricentro.
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91
IL CENTRO RELATIVO AD UN ASSE DEI MOMENTI STATICI RISPETTO AD UN ALTRO
ASSE – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO
Prendiamo ora in esame un corpo di massa M , di forma qualsiasi, e un sistema di riferimento
cartesiano che immaginiamo, per semplicità, ortogonale e con origine in un punto qualsiasi del
piano.
Del corpo in esame si conoscono, in quanto calcolate, le coordinate del centro di massa o baricentro
G .
Il corpo è suddiviso in un numero n di particelle di massa i
m .
Il numero n sia sufficientemente grande da poter considerare puntiformi le particelle.
Figura 48 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO E POSIZIONE DEI CENTRI RELATIVI
Come già visto in precedenza, si definisce Momento d’inerzia centrifugo delle n masse i
m rispetto
alle due rette YX , la sommatoria dei prodotti di ogni singola massa per le rispettive distanze
dagli assi considerati:
ii
ni
1i
iXYXYmJ
Tuttavia è anche possibile, senza alcuna modifica al risultato finale, riscrivere l’espressione del
momento d’inerzia centrifugo nel modo seguente:
ii
ni
1i
iXYX)Ym(J
Ed interpretare la relazione nel modo seguente:
Il momento d’inerzia centrifugo XY
J è uguale alla sommatoria dei momenti statici rispetto
all’asse Y delle grandezze ottenute moltiplicando ciascuna massa per la rispettiva distanza
iY dall’asse X , cioè i momenti statici delle masse rispetto all’asse X .
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92
Deve perciò esistere, nel piano individuato dai due assi, un punto particolare definito centro relativo
all’asse Y , ove poter concentrare la somma dei momenti statici relativi all’altro asse ed ottenere il
medesimo valore del momento centrifugo.
Tale punto può, come precedentemente, essere pensato come baricentro dei momenti statici rispetto
all’asse X .
Cioè:
)Ym(XJi
ni
1i
iXXY
D’altra parte la sommatoria dei prodotti delle singole masse per le rispettive distanze dall’asse
X altro non è che il momento statico delle masse e, come tale, può essere a sua volta espresso
tenendo conto della definizione di baricentro delle masse:
MYmY)Ym(S
ni
1i
GGi
ni
1i
iX
Si ottiene quindi:
MYX)Ym(XJGXi
ni
1i
iXXY
Ove:
XX Centro relativo all’asse Y dei momenti statici delle masse rispetto all’asse X
GY Coordinata del baricentro delle masse
Il momento d’inerzia centrifugo rispetto ai due assi YX è quindi uguale al prodotto della
massa complessiva del corpo per la distanza G
Y del baricentro dall’asse X e per la distanza
YX del centro relativo delle grandezze
iiYm rispetto all’asse Y .
Ancora senza modifiche al valore finale, l’espressione del momento centrifugo può essere espressa
anche dalla seguente:
ii
ni
1i
iXYY)Xm(J
La sommatoria equivale al momento statico, questa volta rispetto all’asse X delle grandezze
ottenute moltiplicando le svariate masse per le relative distanze dall’asse Y .
Deve perciò esistere, nel piano individuato dai due assi, un punto particolare definito centro relativo
all’asse X , ove poter concentrare la somma dei momenti statici relativi all’altro asse ed ottenere il
medesimo valore del momento centrifugo.
Tale punto può, come precedentemente, essere pensato come baricentro dei momenti statici rispetto
all’asse X .
Cioè:
)Xm(YJi
ni
1i
iYXY
D’altra parte la sommatoria dei prodotti delle singole masse per le rispettive distanze dall’asse
Y altro non è che il momento statico delle masse e, come tale, può essere a sua volta espresso
tenendo conto della definizione di baricentro delle masse:
MXmX)Xm(S
ni
1i
GGi
ni
1i
iY
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93
Si ottiene quindi:
MXY)Xm(YJGYi
ni
1i
iYXY
Ove:
YY Centro relativo all’asse X dei momenti statici delle masse rispetto all’asse Y
GX Coordinata del baricentro delle masse
Per concludere è quindi possibile equiparare le due espressioni del momento d’inerzia centrifugo
ottenendo così la seguente relazione:
MYXJ
MXYJ
GXXY
GYXY
da cui si ottiene:
GXGY
YXXY
Oppure:
G
G
Y
X
Y
X
Y
X
Cioè:
Considerata una coppia d’assi cartesiani YX qualsiasi, il rapporto tra le distanze dei
centri relativi ai due assi, è uguale al rapporto tra le coordinate del centro di massa misurate
rispetto alla stessa coppia d’assi cartesiani.
O anche:
Y
G
G
XY
Y
XX
X
G
G
YX
X
YY
CORRISPONDENZA TRA ASSI E CENTRI RELATIVI
Tenendo presente i risultati ottenuti con il calcolo del momento d’inerzia centrifugo esaminiamo ora
un caso particolarmente importante relativo alla corrispondenza tra assi di riferimento e loro centri
relativi.
A questo scopo consideriamo un corpo di forma qualsiasi del quale abbiamo già calcolato la
posizione del centro di massa o baricentro e un’asse di riferimento x NON baricentrico.
Sia X
Y la coordinata del centro relativo dei momenti statici delle n particelle rispetto a tale asse,
il cui valore è calcolato con la seguente espressione:
G
XG2
G
G
G2
XG2
XY
YY
YY
Indicheremo con X il centro relativo rispetto alla retta x .
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94
L’altra coordinata del punto X si ottiene mediante il calcolo del momento statico rispetto all’asse
y delle grandezze costituite da ymi , cioè i momenti statici delle masse rispetto a x , che, alla
fine risulta essere il momento centrifugo:
MYXYmXXYmJGX
ni
11
iiXi
ni
1i
iixy
Da cui:
MY
JX
G
xy
X
Allo stesso modo si potrà procedere anche nel caso in cui si decida di prendere in considerazione
una seconda retta di riferimento y anch’essa NON baricentrica.
Indicheremo con Y il centro relativo rispetto a tale retta e la sua distanza Y
X dalla stessa sarà
calcolata con:
G
YG2
G
G
G2
YG2
YX
XX
XX
L’altra coordinata del punto Y si ottiene mediante il calcolo del momento statico rispetto all’asse
x delle grandezze costituite da ii
Xm , cioè i momenti statici delle masse rispetto a y , che, alla
fine risulta essere il momento centrifugo:
MXYXmYYXmJGy
ni
11
iiyi
ni
1i
iixy
Da cui:
MX
JY
G
xy
y
Le due rette yx costituiscono quindi un sistema di riferimento, non necessariamente di tipo
ortogonale, il cui punto d’origine non è coincidente con il centro di massa del corpo.
Per un sistema di riferimento qualsiasi vale la relazione dimostrata precedentemente con il calcolo
del momento d’inerzia centrifugo:
GXGYYXXY
Supponiamo ora che l’asse y passi esattamente nel punto occupato dal centro X relativo all’asse
x in modo tale che la distanza X
X sia nulla:
Ipotesi 1:
Asse Y comunque orientato ma passante in ogni caso nel centro relativo all’asse X
Dall’ipotesi 1 consegue che:
0XX
Ipotesi 2:
Asse Y e asse X non passanti per il baricentro G del corpo
Dall’ipotesi 2 consegue che:
0Y
0X
G
G
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CONSEGUENZE:
Essendo nullo il valore di X
X è automaticamente nullo anche il prodotto GX
YX e di
conseguenza deve essere nullo anche il prodotto GY
XY
Quindi se 0XX 0YX
GX
Se 0YXGX 0XY
GY
D’altra parte, non essendo nullo G
X per il fatto che l’asse Y , per definizione è
baricentrico, dovrà essere sicuramente nullo il valore di Y
Y .
Cioè: 0XYGY 0X
G 0Y
Y
Conclusioni:
Se l’asse y passa nel centro relativo X dell’asse x , di conseguenza anche l’asse x passa nel
centro relativo Y dell’asse y . In questo caso il momento centrifugo è nullo e i due assi sono
principali d’inerzia.
Il centro relativo X è definito “ANTIPOLO” della retta x .
Dunque se la retta y passa nell’antipolo X , le due rette yx si dicono “CONIUGATE”
Oppure:
Se uno dei due centri relativi è su un asse, di conseguenza l’altro centro relativo è sull’altro asse.
Figura 49 – CENTRI RELATIVI E ASSI yx QUALSIASI
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96
Figura 50 – CENTRI RELATIVI POSIZIONATI SUGLI ASSI DI RIFERIMENTO – FASCI DI RETTE y
PASSANTI NEL CENTRO RELATIVO x .
Considerato che, l’unica condizione necessaria per far sì che i centri X e Y - rispettivamente
relativi all’asse x e all’asse y - siano posizionati sugli assi stessi ( X sull’asse y , Y sull’asse
x ) è che almeno uno delle rette passi nel centro relativo dell’altra, possiamo dedurre, ad esempio,
che ogni retta y passante nel punto X ha il centro ad essa relativo posizionato sulla retta x .
Siccome le rette passanti per un punto sono infinite, si può concludere che ad ogni posizione
angolare dell’asse y corrisponde una determinata posizione del centro relativo Y sull’asse x .
In altre parole, se si immagina di ruotare l’asse y attorno al punto X - centro relativo dell’asse x -
il centro relativo Y si muoverà su una linea retta corrispondente all’asse x .
Naturalmente vale lo stesso principio anche per l’eventuale rotazione dell’asse x attorno al centro
relativo Y .
IL SISTEMA ANTIPOLARE
Ritornando al problema del centro relativo X rispetto ad una retta di riferimento prefissata x ,
relativamente ad un sistema di masse comunque disposte, abbiamo osservato che la posizione del
centro cambia continuamente se è modificata la posizione della retta.
Tuttavia, in base a quanto visto sino ad ora, è possibile affermare che, una volta determinata la
coordinata del centro di massa o baricentro G della sezione in esame, il centro relativo X rispetto
ad una qualsiasi retta x è sempre posto a una distanza maggiore che non il baricentro dalla retta
stessa.
In termini matematici questo fatto è espresso, in modo generico,da:
GXYY
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In modo particolare, poi, la differenza tra i due valori si può ottenere se si prende in esame la
relazione che permette il calcolo di X
Y :
G
XG2
GXY
YY
Dalla quale si ricava la differenza:
G
XG2
GXY
YY
Considerando che il raggio d’inerzia baricentrico XG
non è mai nullo e che il suo valore non è
influenzato dalla distanza della retta di riferimento x dal baricentro, ma solo dall’inclinazione della
retta baricentrica rispetto alla quale si calcola il momento d’inerzia e il relativo raggio giratorio,
possiamo dire che il rapporto G
XG2
Y
dipende quasi esclusivamente dal valore di
GY che è collocato
al denominatore.
E’ quindi logico pensare che, allontanando la retta x dal baricentro G , si mantiene inalterato il
numeratore ed aumenta il denominatore e, di conseguenza, il rapporto ha la tendenza a diminuire.
Ciò vuol dire che, allontanando la retta dal centro di massa, la differenza tra il centro relativo X e
la distanza del baricentro dall’asse, ha la tendenza a diminuire.
In condizioni limite, se si immagina di spostare la retta infinitamente distante dal baricentro, il
rapporto G
XG2
Y
e, di conseguenza, anche la distanza tra
XY e
GY hanno la tendenza ad annullarsi.
Quindi, quando la retta è infinitamente distante dal baricentro G , il centro X ad essa relativo è
coincidente con il baricentro stesso.
Ipotesi e tesi:
G
Y 0YYGX
GXYY
D’altra parte, mentre la retta x si avvicina al baricentro, la distanza G
Y diminuisce sino ad
annullarsi completamente se la retta è baricentrica e, di conseguenza, il rapporto G
XG2
Y
e la
differenza GX
YY tendono ad un valore infinitamente grande:
0YG
GXYY
Ciò significa che, spostando la retta verso il baricentro G , il suo centro relativo X si allontana dal
baricentro sino ad una distanza infinitamente grande nel momento in cui la retta è proprio
posizionata sul baricentro.
E’ quindi chiaro che ad ogni retta x corrisponde un centro relativo X ; se la retta è infinitamente
distante dal baricentro il suo centro relativo è il baricentro stesso mentre se la retta è baricentrica il
suo centro relativo è all’infinito.
Risulta quindi impossibile l’esistenza di una retta x contenente il suo centro relativo X e, siccome
il centro relativo è anche definito “POLO”, non esItono rette che contengano il proprio polo.
Se esistesse una retta simile, sarebbe definita retta “AUTOCONIUGATA” cioè “retta contenente il
proprio polo”.
Possiamo quindi concludere che, nel sistema di masse e assi di riferimento come descritto, non
esistono rette “AUTOCONIUGATE”.
APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE
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98
Tuttavia se si considerano nuovamente la retta x , il suo polo o centro relativo X e un punto 1
X -
simmetrico di X rispetto al baricentro G - e si ripete il ragionamento precedente, si può
concludere facilmente quanto segue:
Mentre la retta x si avvicina alla posizione del baricentro, il suo centro relativo X si
allontana dal baricentro e, di conseguenza, il punto simmetrico di X rispetto al baricentro
G - che abbiamo definito 1
X - si avvicina alla retta.
Il movimento del centro relativo X deve necessariamente avvenire su una linea retta la cui
direzione è individuata dal segmento che congiunge il baricentro G - fisso – a un centro
X relativo ad una posizione intermedia della retta x .
Se immaginiamo di spostare la retta x dall’infinito ad una certa posizione, sempre
mantenendola parallela a se stessa, il centro relativo si sposterà da una posizione iniziale
corrispondente con il baricentro ad una posizione finale corrispondente al punto X
percorrendo il segmento GX .
E’ evidente che ad un ulteriore spostamento della retta deve corrispondere uno spostamento
del punto X tale da mantenere la stessa direzione del segmento GX .
E’ ovvio che, ad un certo momento ed ad una certa distanza, la retta x e il punto 1
X saranno
sovrapposti, mentre il centro relativo X sarà simmetrico di 1
X rispetto al baricentro.
La particolare retta x che contiene il punto 1
X - simmetrico di X - è quindi
“AUTOCONIUGATA” con 1
X che è ora definito “POLO” di x .
Il punto X - vero centro relativo – diventa “ANTIPOLO” di x
D’altra parte, congiungendo il punto X con il suo simmetrico 1
X , è individuata una retta G
y che
passa anche nel baricentro G e che gode quindi delle seguenti proprietà:
Unita alla retta x costituisce un sistema di riferimento cartesiano non necessariamente
ortogonale.
Passando nel centro relativo X dell’asse x è automaticamente coniugata con la retta x .
Essendo coniugate, ognuna contiene il centro relativo dell’altra.
La seguente figura illustra la posizione della retta autoconiugata con il proprio antipolo 1
X .
Per un determinato corpo avente la sezione come illustrata in figura è relativamente
semplice determinare la posizione del baricentro G utilizzando i momenti statici delle
masse rispetto a due assi qualsiasi.
Considerando poi una retta 1x qualsiasi si può determinare la posizione del centro
relativo che sarà indicato con 1X .
Congiungendo il punto 1X con il baricentro G si individua il segmento 1GX che è
indicativo della direzione sulla quale si muoverà il centro relativo per ulteriori spostamenti
della retta x .
Ruotando di 180° il segmento 1GX , con il baricentro come punto fisso, si trova,
all’estremità opposta il punto 1X1
, evidentemente simmetrico di 1X .
Ora, mantenendola parallela a se stessa, avviciniamo la retta 1x al baricentro; di
conseguenza il centro 1X si muoverà verso l’esterno lungo la direttrice 1GX , mentre
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99
il simmetrico 1X1
si muoverà verso l’interno – sempre lungo la direttrice 1GX -
andando incontro alla retta x in movimento verso il baricentro.
Alla posizione 2x corrisponderà il centro 2X e il suo simmetrico 2X1
, alla
posizione 3x corrisponderà il centro 3X e il suo simmetrico 3X1
Fermiamo il movimento della retta x nel momento in cui il punto 1
X è esattamente
collocato sulla stessa. In questo caso si è immaginato che la retta 3x sia in una posizione
tale da contenere il simmetrico 3X1
La direttrice GX sarà ora rappresentata dalla retta G
y passante nel baricentro e luogo dei
punti occupati, nei vari istanti, dal movimento del centro relativo X
Lo stesso ragionamento fatto per la retta x può essere ripetuto per ogni retta tra le infinite
appartenenti al piano contenente la sezione, trovando, per ognuna, una corrispondenza con:
Una retta coniugata G
y contenente il baricentro G , il centro relativo X e il suo
simmetrico 1
X
La retta autoniugata nx che contiene il simmetrico 1
X
La retta parallela a nx e Gx che contiene il centro relativo X
Svolgendo quanto descritto per tutte le rette x appartenenti al piano e unendo tra loro gli infiniti
punti 1
X o X si otterrà una curva chiusa – definita conica – di forma solitamente ellittica.
Tale curva è definita “ELLISSE CENTRALE D’INERZIA” e la sua conoscenza permette di
calcolare i momenti d’inerzia baricentrici relativi ad una retta passante nel baricentro e avente
inclinazione qualsiasi.
In particolare, dato l’ellissi centrale d’inerzia per la sezione in esame, si nota l’esistenza di una
coppia di rette, tra loro coniugate e ortogonali, alla quale corrispondono il diametro massimo e
minimo dell’ellissi.
Queste rette particolari sono gli assi principali centrali d’inerzia ai quali corrispondono
rispettivamente il massimo e minimo momento assiale baricentrico per la sezione in esame.
Inoltre, relativamente a tali assi, si annulla il momento d’inerzia centrifugo.
Gli assi principali sono, in questo caso, anche centrali e, di solito, vegono definiti e .
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Figura 51 – ELLISSE CENTRALE D’INERZIA
Qualora si intenda calcolare il momento d’inerzia del corpo rispetto alla particolare retta 3x che
contiene 3X1
- simmetrico del suo centro relativo 3X -, si potrà ricorrere alla formula
generale:
MYYmYYJG3X
ni
1i
iG3X3X
Riferendo la relazione al disegno sovrastante e misurando le distanze parallelamente alla retta
baricentrica G
y , si avrà:
3331
3XGX2XXY
331
GGXGXY
Quindi il momento d’inerzia assume la forma:
MGXGX2J333X
MGX2J2
33X
D’altra parte, per calcolare il momento d’inerzia assiale 3XJ , è anche possibile applicare il teorema
di trasposizione dei momenti assiali ottenendo:
MdJJ GX2
)G(X3X
Con:
GXJ Momento d’inerzia rispetto ad una retta Gx parallela a 3x e passante in G
2
3GX2
GXd
M Massa complessiva del corpo
Uguagliando i momenti d’inerzia si ottiene:
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MGXJMGX22
3)G(X
2
3
Da cui:
GX
2
3
2
3JMGXMGX2
GX
2
3JMGX
Tenendo poi conto che il momento d’inerzia può anche essere espresso in funzione del raggio
d’inerzia , si ottiene:
MJ GX2
GX
MMGX GX22
3
Da cui:
3GXGX
In conclusione si può quindi affermare che:
Il raggio d’inerzia relativo ad una retta generica G
x baricentrica, per un corpo del quale è
stato tracciato l’ellisse centrale d’inerzia, corrisponde alla metà del diametro dell’ellisse
misurato sulla retta coniugata alla retta G
x .
USO DELL’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA
Per determinare la forma e le dimensioni dell’ellisse centrale d’inerzia, relativamente alla sezione
del corpo in esame, si utilizza, di solito, la seguente procedura:
Avendo a disposizione la forma e dimensioni della sezione e utilizzando un sistema di
riferimento costituito da due assi cartesiani ortogonali – ognuno dei quali può essere ad
esempio considerato parallelo ai lati principali della sezione – sono calcolate, rispetto al
sistema stesso, le coordinate del centro di massa o baricentro G .
Le coordinate del baricentro, pur variabili rispetto ad un qualsiasi altro sistema di
riferimento diverso da quello utilizzato per il calcolo, saranno comunque sempre dipendenti
dalla posizione immutabile dello stesso baricentro.
Solitamente le sezioni in esame sono scomponibili in forme più semplici quali rettangoli,
quadrati, circonferenze o triangoli e ciò rende agevole il passo successivo cioè il calcolo dei
momenti assiali X
J e Y
J della sezione riferiti ai due assi yx scelti. Si utilizzano, a
tale scopo, i momenti assiali baricentrici relativi alle varie sezioni semplici in cui si è
scomposta la sezione di partenza e per assi baricentrici paralleli agli assi di riferimento.
Per il calcolo dei momenti assiali baricentrici relativi alla sezione intera, unitamente a quelli
parziali baricentrici per ogni sezione semplice, si utilizza il Teorema di trasposizione dei
momenti assiali computando le distanze dei rispettivi baricentri secondo direzioni parallele
ai due assi scelti.
E’ poi calcolato, sempre rispetto ad assi ortogonali paralleli agli assi yx originari e
passanti nel baricentro generale della sezione, il momento d’inerzia centrifugo YG.XG
J .
Anche in questo caso è utilizzato il Teorema di trasposizione dei momenti centrifughi
applicato alle varie figure componenti ricordando che, per ogni sezione semplice sono
facilmente individuati gli assi principali centrali d’inerzia baricentrici relativamente ai quali
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sono nulli i momenti centrifughi. Anche in questo caso le distanze tra i vari baricentri e il
baricentro della sezione completa saranno computate parallelamente agli assi.
Dopo aver determinato il valore del momento centrifugo YG.XG
J baricentrico generale
rispetto agli assi baricentrici paralleli agli assi yx , utilizzando la teoria relativa ad assi
girevoli e ricordando che il momento centrifugo si annulla se calcolato rispetto ad assi
principali centrali d’inerzia, sarà possibile calcolare l’inclinazione anglorare, rispetto agli
assi baricentrici paralleli a yx , del sistema di assi principali centrali d’inerzia che
saranno definiti . Gli assi principali centrali d’inerzia saranno ortogonali e, rispetto
ad essi, si avrà il massimo e il minimo valore dei momenti assiali baricentrici.
Considerando poi il sistema d’assi principali d’inerzia come nuovo sistema di
riferimento fisso e utilizzando i valori dei momenti d’inerzia
YG.XGYGXGJJJ calcolati in precedenza, si potranno determinare i nuovi momenti
d’inerzia assiali GG
JJ
rispetto agli assi principali centrali d’inerzia.
Infine, con i momenti assiali GG
JJ
e utilizzando le apposite relazioni, si calcoleranno
i raggi d’inerzia G
e G
che costituiscono rispettivamente i due semidiametri
dell’ellisse centrale d’inerzia re della sezione in esame.
Relativamente alla procedura descritta, si riporta, di seguito, l’esempio n. 2 già svolto alla pagina n.
67. Le dimensioni sono riportate a pag. 67.
ESEMPIO 2:
Data la sezione come nelle figura sottostante, determinare le coordinate del centro di massa, gli assi
principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici e i relativi
raggi d’inerzia.
Figura 52
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SOLUZIONE:
Calcolo delle coordinate del baricentro:
cm14,9
43040246
173041240346X G
cm28,12
43040246
2304204023846Y G
Calcolo dei momenti assiali baricentrici:
o 3G2
32G2
21G2
13XG2XG1XGXG YSYSYSJJJJ
433
1XG cm3212
46
12
HBJ
433
2XG cm666.1012
402
12
HBJ
433
3XG cm16012
430
12
HBJ
21 cm24S 2
2 cm80S 23 cm120S
cm72,25Y 1G cm72,7Y 2G cm28,10Y 3G
Per cui:
4222XG cm183.44)28,10(12072,78072,2524160666.1032J
o 3G2
32G2
21G2
13YG2YG1YGYG XSXSXSJJJJ
433
1YG cm7212
64
12
HBJ
433
2YG cm66,2612
240
12
HBJ
433
3YG cm000.912
304
12
HBJ
21 cm24S 2
1 cm80S 23 cm120S
cm14,12Y 1G cm14,8Y 2G cm86,7Y 3G
Per cui:
4222
YG cm350.2586,712014,880)14,12(24000.966,2672J
Calcolo del momento centrifugo secondo gli assi baricentrici:
Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i momenti
centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:
3G3G33YG.3XG2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJYXSJJ
0J 1YG.1XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 2YG.2XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
0J 31Y.3XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali
21 cm2446S
22 cm80402S
23 cm120304S
cm14,12X 1G
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cm14,8X 2G
cm86,7X 3G
cm72,25Y 1G
cm72,7Y 2G
cm28,10Y 3G
Per cui:
4YG.XG cm786.2228,1086,7120072,714,880014,1272,25240J
Calcolo dell’inclinazione degli assi principali d’inerzia baricentrici:
XY
XY0
JJ
J22Tan
Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si ottiene:
2
JJ
J2Tan
XY
XY1
0
2
4199,2Tan
2
832.18
572.45Tan
2
183.44350.25
786.222Tan
1
11
0
77,332
186,2Tan1
0
Calcolo dei momenti d’inerzia assiali J e J rispetto agli assi principali centrali d’inerzia:
02SenXYJ02Cos2
YJXJ
2
YJXJJ
54,67Sen)786.22(54,67Cos2
350.25183.44
2
350.25183.44J
924.0786.22382,02
350.25183.44
2
350.25183.44J
4cm417.59054.21597.3766.34J
2SenXYJ2Cos2
YJXJ
2
YJXJJ
54,67Sen)786.22(54,67Cos2
350.25183.44
2
350.25183.44J
924,0786.22382,02
350.25183.44
2
350.25183.44J
4cm115.10054.21597.3766.34J
Calcolo dei raggi principali d’inerzia:
cm28,16262224
417.59
S
J
cm71,615,45224
115.10
S
J
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Figura 53 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSIMI E MINIMI
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SEZIONE MOMENTI D’INERZIA
BARICENTRICI
12
HBJ
3
XG
12
BHJ
3
YG
12
hHBJ
33
XG
12
BhHJ
3
YG
12
hbHBJ
33
XG