Geometría de Proporción
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Geometría de Proporción
Prof: Isaías Correa M.
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Geometría de Proporción I
![Page 3: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/3.jpg)
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.
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1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
3.5 Postulados de semejanza
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4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
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1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
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A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
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2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
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3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
1212
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
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2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4 Área = 4
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3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
A
E
D
C
B
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
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A
E
D
C
B
G
F
J
I
H
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
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Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
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P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
= k
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PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC = a · bc
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• Entre los PerímetrosEntre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo: Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
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• Entre las ÁreasEntre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
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3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
ABDF
BCFE
ACDE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
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2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
E
F
D
ABFD
BCDE
ACFE
12
= = = = k
Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED
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3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
E
F
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además BAC=DFE y CBA=FED
BCED
412
515
13
= = = kACFD
=
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Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
4 10
Q
R
P
6
Solución:
10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
ABPR
10QR
46
= =
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razón de semejanza
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4º Postulado: LLA>Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
B
C
D E
FEjemplo:
A
Razón de semejanza: 1 : 2
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4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB
= m n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
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QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27
27
Por lo tanto, AB mide 72
![Page 25: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/25.jpg)
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD
= m n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
![Page 26: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/26.jpg)
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8
BA D812
20Solución:
![Page 27: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/27.jpg)
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB
= = nADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
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4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX
= AX BX
ó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?
5
OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ
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Solución:
(AP)2 = (AP + 5)∙5
(AP)2 = 5∙AP + 25
(AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
5
PA B
(AP)2 = AB∙PB
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Geometría de Geometría de Proporción IIProporción II
![Page 31: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/31.jpg)
APRENDIZAJES ESPERADOS:APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Conocer el teorema de Apolonio.
• Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides.
• Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.
![Page 32: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/32.jpg)
Segmentos proporcionales
Contenidos
2. Teorema de Euclides
1. Teorema de Apolonio
3. Teorema de Thales
![Page 33: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/33.jpg)
Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz)
b
u
a
v
=
b
vu
a
D
Este teorema es válido para cualquier triángulo.
En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción:
![Page 34: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/34.jpg)
D
9
5
10
Solución:
Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene:
9
AD
10
5
= AD = 9
2
Ejemplo:
En la figura, determinar el valor de AD.
![Page 35: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/35.jpg)
2. Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:
Además, se cumple que:
∙hc2 = p q
a2 = c q ∙
b2 = c p ∙
hc = a·b c
T. De la Bendición
T. De la Derecha
T. De la Izquierda
T. De la Altura
![Page 36: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/36.jpg)
De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Ejemplo:
Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición)
CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD = 4 3∙
CD = 2 3
![Page 37: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/37.jpg)
Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que:
AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
AC2 = 7 4 ∙
2 7
2 3
![Page 38: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/38.jpg)
C
D
F
E
A
B
L1
L2
L3
3. Teorema de Thales
Sean L1 // L2 // L3, entonces:
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:
ABBC
DEEF
= BCAC
EFDF
= ABAC
DEDF
=
a) Forma de Escalera:
![Page 39: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/39.jpg)
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Sean L1 // L2, entonces:
A
O
C
DB
L1
L2
OAAB
OCCD
= OAOB
OCOD
=
OAAC
OBBD
= OCAC
ODBD
=
ABOB
CDOD
=
![Page 40: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/40.jpg)
Sean L1 // L2, entonces:
L1
L2
A
C
B
O
D
AOOD
BOOC
= ABCD
AOOD
= ABCD
BOOC
=
c) Forma de Reloj de Arena:
![Page 41: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/41.jpg)
Ejemplos:
1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
A
O
C
DB
L1
L2
5
7
36
Solución:
Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»:
OAAC
OBBD
= 5 AC
1236
= AC = 15
![Page 42: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/42.jpg)
2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en función de x e y.
Solución:Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales:
L1
L2
A
C
B
O
D
x + y
2y
2x
ABCD
AOOD
= x+y 2x
2yOD
= 4xyx+y
OD =
![Page 43: Geometría de Proporción](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061603/568134cb550346895d9bf4f1/html5/thumbnails/43.jpg)
Ahora a estudiar….