Geometria cilindro

9.2 MA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

PRISMA RECTOPRISMA RECTOEs aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a

las bases.

Área de la Superficie Lateral: ASL = (2pBASE)aL

Área de la Superficie Total: AST = ASL + 2ABASE

Volumen: V = (ABASE) aL

Observación:Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas

por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR, PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,

ORTOEDRO O RECTOEDROORTOEDRO O RECTOEDROEs un paralelepípedo recto cuyos bases son

rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.

Área de la Superficie Lateral: ASL = 2ac + 2bc

Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab

Volumen: V = abc

Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2

CILINDRO CIRCULAR RECTOCILINDRO CIRCULAR RECTODenominado también “cilindro de revolución” debido a

que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral.

Área de la Superficie Lateral: ASL = 2πrg

Área de la Superficie Total: AST 2πr (g + r)

Volumen: V = π r2 g

PIRÁMIDE REGULARPIRÁMIDE REGULAREs la pirámide recta que tiene la base limitada por un

polígono regular.

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

AB C

D

A´F´ E´

D´

B´

EF

P

aL

C´

h

r

360°

g

r

r

g

r

g

2πr

a

b

cD

A

B C

D

H

EF

V

O

aph

Sólidos Geométricos

O : centro de la base

VH : apotema de la pirámide

Área de la Superficie Lateral: ASL = (pbase) . ap

Área de la Superficie Total: AST = ASL + ABASE

Volumen: V = 3

hABASE

Observaciones: En una pirámide regular las aristas laterales tienen

longitudes iguales.

En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema.

En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.

CONO CIRCULAR RECTOCONO CIRCULAR RECTODenominado también “cono de revolución” debido a

que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.

Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular.

Área de la Superficie Lateral: ASL = π r g

Área de la Superficie Total: AST = π r (g + r)

Volumen: V = 3

hr2π

Observaciones Un cono se denomina equilátero si es revolución y la

generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

ESFERAESFERAEs el sólido limitado por una superficie esférica, la cual

se define como el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro.

La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.

Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.

V = 3

4π R3 ASE = 4π R2

1. La base de un prisma triangular regular es inscriptible

en una circunferencia de radio igual a 8 3 cm. Si la

altura del prisma es el doble del apotema de la base, hallar el área lateral del sólido.

2. La base de un prisma recto de 6 m de altura es un rectángulo que tiene uno de sus lados el doble del otro. Si su área total es 144 m2, hallar la diagonal del sólido.

3. Tres caras de una caja rectangular tienen áreas iguales a 49 cm2, 64 cm2 y 9 cm2. Hallar el volumen de la caja.

- 2 -

R

R

O

círculo máximo

g

r

O

h

r

g

360°

h


4. Se tiene una hoja rectangular de 5 cm de ancho y 6 cm de largo. Se construye una caja abierta, cortando en las esquinas cuadrados de 1 cm de lado. Hallar la capacidad de la caja.

5. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral

36 π m2. Hallar su volumen.

6. ¿Cuánto mide el radio de la base de un cilindro, si su

altura es 2 cm y su área lateral es 6 π cm2?

7. En un cilindro recto el área lateral es igual al área de la base. Si el radio de la base es 8 m, hallar el volumen del cilindro.

8. Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” está lleno de agua. Si se vierte el contenido en otro vaso de diámetro “2d”, ¿hasta qué altura subirá el agua?

9. Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuyo

apotema mide 12 y cuya altura mide 6 2 .

Determinar el volumen de la pirámide.

10. Se ha construido un cono con un sector circular de 120° y radio R y un círculo base de radio r. ¿En qué relación están los radios r y R?

11. Dado un trapecio rectangular ABCD (recto en A y D), de lados: AB = 3, BC = 10 y CD = 9, determinar el volumen del sólido generado por la rotación completa

del trapecio alrededor del lado AD .

12. Un triángulo isósceles de base 6 m y altura 3 m gira alrededor de una perpendicular a la base, levantada desde uno de sus extremos. Calcular el volumen del sólido generado.

13. Hallar el volumen de la esfera inscrita en un cono de 6 cm de radio y 10 cm de generatriz.

14. Determinar el volumen de una esfera inscrita en un cubo de área lateral igual a 24 cm2.

1. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es 5 2

m. Sabiendo que sus dimensiones están en

progresión aritmética de razón 1, hallar el volumen del sólido.A) 80 m3 C) 70 m3 E) 50 m3

B) 60 m3 D) 40 m3

2. Se tiene un prisma de base cuadrangular regular cuya área lateral es 48 m2. y el área de la base igual a 4 m2, calcular el volumen del prisma.A) 24 m3 C) 16 m3 E) N.A.B) 12 m3 D) 18 m3

3. Se tiene un ladrillo que pesa 4 kg. Si todas sus dimensiones fueran reducidas a un quinto de su actual magnitud, el ladrillo pesaría:A) 800 gr C) 160 gr E) N.A.B) 1 kg D) 32 gr

4. Cada vez que Jorgito se mete a la tina, el nivel del agua sube 10 cm. Si la tina mide 1,5 m por 1 m, hallar el volumen de Jorgito.A) 15 m3 C) 7500 cm3 E) 150 m3

B) 1,5 m3 D) 150,000 cm3

5. Las áreas de 3 caras de un paralelepípedo rectangular son 6, 12 y 8 cm2. Su volumen será:A) 36 cm3 C) 12 cm3 E) 48 cm3

B) 24 cm3 D) 72 cm3

6. La altura de un prisma recto mide 8 m; su base es un rectángulo, en el que uno de sus lados es 3/4 del otro. Si el área total es 552 m2 ¿cuál es la longitud de una de las diagonales del prisma?A) 6 m B) 9 m C) 12 m D) 17 m E) 18 m

7. Se tiene una pirámide regular inscrita en un cubo de arista “a”. Se pide hallar el apotema de la pirámide.

A) 2 a/2 C) a E) a/3

B) 3 a/2 D) 5 a/2

8. El volumen de una pirámide regular de base cuadrada de 16 cm de lado es 1280 cm3. Hallar el área total de la pirámide.A) 546 cm2 C) 834 cm2 E) 724 cm2

B) 800 cm2 D) 624 cm2

9. El área lateral de una pirámide regular cuadrangular

es de 36 m2. Si el apotema de la pirámide mide 2

veces el radio del círculo que circunscribe a la base, hallar el lado de la base.

A) 3 m C) 9 m E) 3 2 m

B) 4 m D) 9 2 m

- 3 -


10. La base de una pirámide regular es un cuadrado de lado 12 y el apotema de la pirámide mide 10. Hallar el área total de la pirámide.A) 448 B) 328 C) 336 D) 192 E) 384

11. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal

regular, sabiendo que las aristas laterales miden el

doble del lado de la base. El lado de la base es “a”.

A) 2

a3 3C)

2

a4 3E)

2

a7 3

B) 2

a5 3D) a3

12. Hallar el volumen del cilindro mostrado en la figura; si

AO = 4 m y m∠OAB = 30°, siendo “O” el centro del

círculo de la base.

A) 12 π m3

B) 4 3 π m3

C) 16 π m3

D) 8 3 π m3

E) 10 π m3

13. En un cilindro circular recto de 6 cm de radio, que

contiene agua. Se introduce una esfera de plomo de

3 cm de radio. ¿En cuánto sube el nivel del agua en el

cilindro?

A) 0,5 cm C) 1 cm E) 2,5 cm

B) 2 cm D) 3 cm

14. En la figura ABCD es un paralelogramo donde: m∠A

=135°, AB = 4 y AD = 8. Calcular el volumen del sólido

generado por el paralelogramo cuando gira alrededor

de BC .

A) 30 π

B) 32 πC) 64 π

D) 96 πE) 128 π

15. Si se hace rotar un rectángulo de lados “a” y “b”

alrededor del lado “b” se genera un cilindro. Si se le

hace rotar alrededor del lado “a” se genera otro

cilindro. Hallar la relación de volúmenes de ambos

cilindros.

A) 1 / ab C) (a + b) / b E) 2 / ab

B) a / b D) (a – b) / b

16. En la figura, se muestra un cilindro de revolución con

generatriz PH = 3 m “O” es el centro de la base. Si

la distancia de H a PO es 1 m, calcular el volumen

del cilindro.

A) 3 3 π / 2 m3

B) 2 3 π m3

C) 3 π / 3 m3

D) 3 π / 2 m3

E) 3 3 π m3

17. El volumen de un cono circular recto de diámetro 32 m

es 1024 π m3. Hallar el área total del cono.

A) 576 π m2 C) 432 π m2 E) 360 π m2

B) 320 π m2 D) 288 π m2

18. Determinar el volumen de un cono recto de radio igual a 8, si su generatriz forma un ángulo de 60° con la base.

A) 5123

3C) 512 π

3

3E) 256 π

2

3

B) 2563

3D) 256 π

3

3

19. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de un cubo de 24 cm2 de área total. Determinar el volumen del cono.A) 6 cm3 C) 8 cm3 E) 24 cm3

B) 9 cm3 D) 8/3 cm3

20. En un cono recto la relación entre el área lateral y el

área de su base es 5/3. Si el área total es 24 π m2,

hallar el volumen del cono.

A) 5 π m3 C) 15 π m3 E) 12 π m3

B) 3 π m3 D) 9 π m3

21. El diámetro de la base de un cono recto de revolución mide 20 cm. Si las generatrices forman un ángulo de 60° con el plano de la base, encontrar el área total del cono.

A) 150 π cm2 C) 300 π cm2 E) 500 π cm2

B) 200 π cm2 D) 400 π cm2

22. Un cono y un cilindro tienen iguales bases y altura. ¿En qué proporción están sus volúmenes?A) 3 : 1 B) 2 : 1 C) 1,5 : 1 D) 4 : 3 E) 1 : 3

- 4 -

A

BO

A

B

C

D

P

HO


23. La generatriz de un cono circular recto es el doble del

diámetro. Su área total es de 80π cm2. Calcular la

longitud de la generatriz.A) 4 cm C) 8 cm E) 16 cm

B) 6 cm D) 10 cm

24. Un cono es tal que visto de frente se ve como un triángulo equilátero de lado “a”. Calcular el volumen del cono.

A) π a3 / 12 C) π a3 3 / 24 E) π a3 3 / 8

B) π a3 3 / 12 D) π a3 / 24

25. Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de un trapecio isósceles ABCD, alrededor de un base

mayor AD , si AB = BC = CD = a y AD = 2a.

A) 4 π a3 C) 4 π a3 / 3 E) 2 π a3

B) π a3 D) 8 π a3/ 3

26. Hallar el volumen de un cono inscrito en un cubo cuya

diagonal mide 3 .

A) 2 π / 3 C) π / 4 E) π / 12

B) π / 3 D) π / 6

27. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto de 4 m de altura mide 8 m. Si la distancia de la cuerda al centro del círculo es 2 m, ¿cuánto mide la generatriz?A) 12 cm B) 8 cm C) 6 cm D) 4 cm E) 3 cm

28. Un cono recto de 24 m de altura tiene un punto M sobre su generatriz que dista 10 m del vértice y 6 m de la altura. Determinar el volumen del cono.

A) 324 π m3 C) 2540 π m3 E) 2592 π m3

B) 864 π m3 D) 432 π m3

29. El diámetro de una esfera mide 60 cm. ¿Cuál es el diámetro de la base de un cono de igual volumen, cuya altura es 30 cm?A) 0,60 m C) 1,60 m E) 3,20 mB) 1,20 m D) 2,40 m

30. Se tiene una esfera inscrita en una semiesfera de radio “R”. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de la esfera y la semiesfera?

A) 1 : 2 B) 1 : 2 C) 1 : 4 D) 1 : 3 E) 1 : 3

31. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de una esfera y una semiesfera del mismo radio?A) 5 : 3 B) 2 : 1 C) 3 : 2 D) 3 : 1 E) 4 : 3

32. ¿Cuál es el área total de una esfera circunscrita a un

cubo de 6 3 m de arista?

A) 162 π m2 C) 324 π m2 E) 360 π m2

B) 81 π m2 D) 486 π m2

33. ¿Cuál es el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 6 m de arista?

A) 48 π cm3 C) 36 π cm3 E) 18 π cm3

B) 24 π cm3 D) 12 π cm3

34. Hallar la relación de volúmenes entre un cubo y la esfera inscrita.

A) π / 6 C) π / 3 E) 3π / 2

B) 2 / 3π D) 6 / π

35. La sección máxima de una esfera tiene un área S. ¿Cuál es el área total resultante al partir dicha esfera en dos pedazos iguales?A) S B) 2 S C) 3 S D) 4 S E) 6 S

36. Una esfera de radio igual a 3 cm tiene el mismo volumen que un cono circular recto cuyo radio de la base es 2 cm. Hallar la altura del cono.A) 12 cm C) 24 cm E) 27 cmB) 48 cm D) 36 cm

37. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto. Hallar la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro.A) 4 / 9 B) 2 / 5 C) 1 / 4 D) 2 / 3 E) 1 / 3

38. Calcular el área de la esfera circunscrita a un cubo, si el área de la esfera inscrita es igual a 60.A) 120 B) 60 C) 180 D) 240 E) 320

39. Un barquillo tiene la forma de un cono de 12 cm de altura y 6 cm de radio. Se llena el barquillo de helado de modo que la porción de helado exterior al barquillo sea una semiesfera. Hallar el volumen del helado.

A) 144 π cm3 C) 180 π cm3 E) 288 π cm3

B) 72 π cm3 D) 360 π cm3

40. Calcular el área total de un cono recto, si el diámetro de su base mide 20 m y las generatrices están inclinadas 60° con respecto a la base.

A) 400 π m2 C) 150 π m2 E) 200 π m2

B) 500 π m2 D) 300 π m2

- 5 -

Geometria cilindro

Documents

Transcript of Geometria cilindro