Geometria Básica

GEOMETRIA

TRINGULOS

Definio:

Considere trs pontos distintos no colineares. Chamaremos tringulo a unio dos segmentos formados por estes pontos.

Elementos do tringulo

A partir do tringulo ABC abaixo pode-se destacar os seguinte elementos:

Vrtices: A, B e C Lados: AB, AC, e BC ngulos Internos:, ngulos Externos:, ,

Relao entre os ngulos

a) Soma dos ngulos:

Em um tringulo qualquer tem-se que:

Si = A soma dos ngulos internos 180o.

Se = A soma dos trs ngulos externos 360

o.

b) Soma dos ngulos

- Um ngulo externo e o interno consecutivos so suplementares.

- Um ngulo externo vale a soma dos internos no adjacentes.

Classificao dos Tringulos

a) Quanto aos lados:

Equiltero: trs lados com medidas iguais. Issceles: dois lados com medidas iguais (havendo um lado diferente, ele considerado a base do

tringulo). Escaleno: no possui lados com medidas iguais.

OBS: Todo tringulo equiltero tambm tringulo issceles.

a.1) Tringulo Equiltero

a.2) Tringulo Issceles

OBS.: O lado a chamado de base e o ngulo o ngulo do vrtice.

a.3) Tringulo Escaleno

Em todo tringulo, o maior lado se ope ao maior ngulo.

EXERCCIOS EM AULA DE GEOMETRIA

01. (AGENTE ADMINISTRATIVO DNOCS FCC 2010) No tringulo ABC representado na figura abaixo, os segmentos BT e CT dividem os respectivos ngulos internos dos vrtices B e C em partes iguais.

Se o ngulo do vrtice A mede 80, a medida do ngulo assinalado igual a

(A) 110. (B) 120. (C) 130. (D) 140. (E) 150.

02. (AFC CGU ESAF 2003-2004) Os ngulos de um tringulo encontram-se na razo 2:3:4. O ngulo maior do tringulo, portanto, igual a:

(A) 40 (B) 70 (C) 75 (D) 80 (E) 90

IMPORTANTE!

Para todo tringulo, tem se que:

Permetro:

! rea:

" # $%& ! # '

TRINGULO RETNGULO

Em relao ao tringulo retngulo pode-se destacar as seguintes relaes:

a) Teorema de Pitgoras:

O quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos.

() *) +)b) rea do tringulo retngulo:

A rea de um tringulo retngulo dada pelo semiproduto dos dois catetos.

" !$$ !$$ !


03. (ATRFB ESAF 2009) Duas estradas retas se cruzam formando um ngulo de 90 graus uma com a outra. Qual o valor mais prximo da distncia cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento?

(A) 5 km.

(B) 4 km.

(C) 42 km (D) 3 km.

(E) 5 2 km.

04. (TFC ESAF 96) A hipotenusa de um tringulo retngulo mede 10cm, e um de sues catetos mede 6 cm. A rea deste tringulo igual a:

(A) 24 cm

(B) 30 cm

(C) 40 cm

(D) 48 cm

(E) 60 cm

05. (AFC ESAF 2002) Um terreno triangular, localizado em uma esquina de duas ruas que formam entre si um ngulo

de pi/2 radianos, tem frentes de 12 metros e 16 metros. Um arquiteto, para executar um projeto arquitetnico, calculou a rea e o permetro do terreno, encontrando respectivamente:

(A) 48 m2 e 40 m

(B) 40 m2 e 48 m

(C) 96 m2 e 48 m

(D) 96 m2 e 60 m

(E) 192 m2 e 96 m

SEMELHANA DE TRINGULOS

Dois tringulos so semelhantes se, e somente se, possuem os trs ngulos ordenadamente congruentes e os lados homlogos proporcionais.

Assim se os tringulos ABC e ABC, so semelhantes, ento pode-se afirmar que:

ngulos:."/ "/1/ 123/ 3/ e Lados : !! 4

Casos de Semelhanas de Tringulos

a) Os dois tringulos apresentam dois ngulos respectivamente congruentes.

b) Os dois tringulos apresentam os trs lados proporcionais.

c) Os dois tringulos apresentam dois lados respectivamente proporcionais e o ngulo compreendido entre esses lados respectivamente congruentes.

Observaes:

1) Em dois tringulos semelhantes a razo de semelhana pode ser escrita em funo de qualquer relao que envolva somente medidas lineares. Assim:

5(67897:57?( @?:=?7@?:=?7 :6B(C(:6B(C( E

2) Em dois tringulos semelhantes a razo entre as reas dos tringulos igual razo de semelhana ao quadrado. Assim:

?(?( E) Teorema fundamental

Se uma reta paralela a um dos lados de um tringulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, ento, o tringulo que ela determina semelhante ao primeiro.

Teorema

Ligando-se os pontos mdios de dois lados de um tringulo qualquer, o segmento obtido paralelo ao terceiro lado e com medida igual a sua metade.

Como os dois tringulos obtidos so semelhantes, conclui-se que:

GHIIIII JJ KLIIIIGH KL2


06. Determine o valor de x nas figuras abaixo:

12

12

07. (ESAF) Um trapzio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do tringulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados no paralelos do trapzio igual a:

(A) 10

(B) 5

(C) 7

(D) 17

(E) 12

QUADRILTEROS

Os quadrilteros so polgonos formados por quatro lados.

QUADRILTEROS CLASSIFICAO

Paralelogramos

Retngulo

Losngulo ou Losango

Quadrado

Paralelogramo Ordinrio (comum)

Trapzios

Retngulo

Issceles

Escaleno

Trapezides

Paralelogramos:

O quadriltero que apresenta os lados opostos paralelos so chamados paralelogramos.

Todo quadriltero convexo que tem ngulos opostos congruentes paralelogramo.

Vamos ao estudo de cada um dos paralelogramos:

a) Retngulo

Paralelogramo com quatro ngulos retos.

As diagonais so congruentes e cortam-se ao meio e so congruentes (mesma medida).

Frmulas:

rea: N *(8 # (5=>?( N * 9

Permetro (soma dos lados): 2@ 2* 29

Diagonal: 6 *) 9)

b) Losango

Paralelogramo que apresenta os quatro lados congruentes.

As diagonais esto nas bissetrizes dos ngulos internos, so perpendiculares entre si e cortam-se ao meio. As diagonais do losango no so congruentes (no possuem a mesma medida).

Frmulas:

rea: N 8:B P @?76>=76(86B((6?(67 N )

Permetro (soma dos lados): 2@ 4

Diagonal: 6) ) ) 6 2) 6 2

As diagonais do quadrado so perpendiculares, esto nas bissetrizes dos ngulos internos, cortam-se ao meio e so congruentes (mesma medida).

IMPORTANTE!

Todo quadrado ao mesmo tempo losango e retngulo.

Considerando os conjuntos dos paralelogramos, teremos o diagrama:

d) Paralelogramo Ordinrio

No possui ngulo reto e dois lados consecutivos no so congruentes.

As diagonais cortam-se mutuamente ao meio, mas no so congruentes.

Frmulas:

rea: N *(8 # (5=>?( N * 9

Permetro (soma dos lados): 2@ 2( 2*


08. (ISS RJ ENGENHEIRO ESAF 2010) Considere um terreno quadrado com rea de 1600 m2 e vrtices A, B, C e D, sendo que A e C so vrtices no adjacentes. Um ponto est sobre a diagonal BD a uma distncia de 10m da intercesso das diagonais do quadrado. Qual o valor mais prximo da distncia deste ponto at o vrtice C?

(A) 30 m

(B) 17,32 m

(C) 34,64 m

(D) 28,28 m

(E) 14,14 m

09. (AGENTE ADMINISTRATIVO FUNDAO CASA VUNESP 2011) A razo entre o nmero de funcionrios dos sexos masculino e feminino de uma unidade industrial de 7 para 6, nessa ordem. Nessa unidade, o vestirio retangular foi dividido em duas alas (masculina e feminina), de forma que a rea de cada ala fosse diretamente proporcional ao nmero de funcionrios de cada sexo, conforme mostra a figura. Com essa diviso, a ala masculina ficou com um permetro de

(A) 54 m. (B) 58 m. (C) 60 m. (D) 62 m. (E) 64 m.

10. (SEFAZ SP ESAF 2009) A e B so os lados de um retngulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtm-se o retngulo II. Se, ao invs disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retngulo III. Pode-se afirmar que:

(A) os trs retngulos tm a mesma rea.

(B) o retngulo III tem a maior rea.

(C) o retngulo II tem a maior rea.

(D) o retngulo I tem a maior rea.

(E) os retngulos II e III tm uma rea igual, maior que a do retngulo I.

Trapzios

Os quadrilteros que apresentam um nico par de lados paralelos so chamados trapzios.

a) Trapzio Issceles

Os lados transversais (no paralelos) so congruentes.

Os ngulos de cada base de um trapzio issceles so congruentes.

b) Trapzio Escaleno

Os lados transversais no so congruentes.

c) Trapzio Retngulo

Um dos lados transversais perpendicular aos dois lados paralelos.

Frmulas:

para um trapzio qualquer podemos observar as seguintes relaes:

rea:

N XK *Y 92

Base mdia:

KZ K *2

Sendo: B = base maior, b = base menor e h = altura.


11. (MPE RS FCC 2010) A figura mostra um terreno retangular de largura 60 m.

Se a rea da regio destacada na figura corresponde a 30% da rea do terreno, ento a medida x vale

(A) 3 m.

(B) 6 m.

(C) 10 m.

(D) 12 m.

(E) 15 m.

12. (EPPGG MPOG ESAF 2000) Em um tringulo equiltero de lado igual a 12 cm, traa-se um segmento [\IIII paralelo ao lado KLIIII de modo que o tringulo fique decomposto em um trapzio e em um novo tringulo. Sabendo-se que o permetro do trapzio igual ao permetro do novo tringulo, ento o comprimento do segmento de reta[\IIII, em centmetros, vale

(A) 5

(B) 6

(C) 9

(D) 10

(E) 12

POLGONOS

Definio:

um conjunto de segmentos consecutivos no colineares onde a interseo de quaisquer dois lados no consecutivos vazia. Dentre os polgonos simples, estudaremos os polgonos convexos.

A,B,C,D, e E so os vrtices.

AB, BC, CD, DE e EA so os lados.

CE uma das diagonais (liga dois vrtices no consecutivos).

i um ngulo interno

e um ngulo externo

Observao: i + e = 180o

Denominao

Conforme o nmero de lados, os polgonos recebem diversas denominaes:

Propriedades - polgonos convexos

Em relao a qualquer polgono convexo pode-se destacar as seguintes relaes:

Soma dos ngulos internos (Si):

X] P Y Soma dos ngulos externos (Se):

N de diagonais (d):

] X] P Y

Polgonos regulares

Definio

Um polgono convexo regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes e todos os seus ngulos internos congruentes. Nos polgonos regulares alm das relaes anteriormente vista (Si, Se, e d), pode-se tambm observar as seguintes relaes

Cada ngulo interno de um polgono regular dado por:

^ = X] P Y ] Cada ngulo externo de um polgono regular dado por:

^ ] EXERCCIOS EM AULA DE GEOMETRIA

13. Em relaes aos polgonos responda:

a) Qual o nmero de diagonais de um polgono regular, sabendo que cada ngulo interno mede 140?

27 DIAGONAIS

b) Qual o polgono cujo nmero de diagonais igual ao nmero de lados?

5 LADOS

14. (AFT ESAF 2006) Em um polgono de n lados, o nmero de diagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Desse modo, n igual a:

(A) 11

(B) 12

(C) 10

(D) 15

(E) 18

15. (SUSEP ANALISTA TCNICO ESAF 2010 ADAPTADA) A soma Si dos ngulos internos de um polgono convexo de n lados, com n 3, dada por Si = (n-2)180

0. O nmero de lados de trs polgonos convexos, P1 , P2 , e P3, so representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ngulos internos dos trs polgonos igual a 32400, ento o nmero de lados do polgono P2 e o total de diagonais do polgono P3 so, respectivamente, iguais a:

(A) 5 e 5

(B) 8 e 44

(C) 11 e 44

(D) 8 e 11

(E) 11 e 5

CIRCUNFERNCIA E CRCULO

Definio:

Denominamos circunferncia ao lugar geomtrico dos pontos do plano, equidistantes de um ponto fixo chamado centro. Crculo a unio da circunferncia com o seu interior. (Lugar geomtrico o conjunto de pontos do plano que satisfazem uma certa propriedade).

Elementos da circunferncia:

O: centro da circunferncia.

DIMETRO: corda que passa pelo centro e vale o dobro do raio (ABIIII: dimetro da circunferncia). ARCO: parte da circunferncia limitada por dois pontos (CD: arco).

CORDA: segmento que liga as extremidades de um arco (CDIIII: corda). FLECHA: segmento que liga metade do arco ao ponto mdio da corda (RSIII: flecha).

Regies (reas) de um Crculo:

SETOR CIRCULAR (B): parte do crculo limitada por dois raios e o arco correspondente.

SEGMENTO CIRCULAR (A): parte do crculo limitada por uma corda e o arco correspondente.

COROA CIRCULAR (D): superfcie compreendida entre duas circunferncias concntricas.

ZONA CIRCULAR (C): parte do crculo limitada por duas cordas.

Clculos envolvendo a circunferncia e o crculo.

a) Comprimento da circunferncia:

L 2_`

b) Comprimento de arco ():

NK 2_` (a360e ,+7:aa:

e) rea do setor:

Nghijk _`) (a360e ,+7:aa:

(E) 553,5.

Clculo da rea do Tringulo

Existem formas especficas que facilitam o clculo da rea de um tringulo.

a) Em funo de dois lados e do ngulo formado por eles:

N 5(67 5(67 8C767C57C=?785(6782 * + 8C2

b) Em funo dos lados (Frmula de Hiero):

N u@ X@ (Y X@ P *Y X@ +Y sendo que p o semi permetro calculado por: @ wxyxz)

c) Em funo do raio da circunferncia inscrita e do semi permetro:

N @ { ?

d) rea do tringulo equiltero:

N 5(67) # 34 N 5)34


17. (AFC STN ESAF 2005) Em um tringulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 cm e um outro mede 2 cm. Se o

ngulo formado por esses dois lados mede 45, ento a rea do tringulo igual a

(A) 31/3

(B) 21/2

(C) 2-1/2

(D) 32 (E) 1

18. (FBDC 2004.2) A rea de um tringulo de lados a, b e c dada pela frmula N }@ ~@ ( X@ P *Y X@ +Y com p representando o seu semi permetro. Considere o tringulo cujos lados medem 4 cm, 5 cm e 7 cm. A medida, em cm, da altura relativa ao menor lado

(A) 6.

(B) 2 6 (C) 4 6 (D) 5 6 (E) 3 6

19. (SUSEP ANALISTA TCNICO ESAF 2010) Um crculo est inscrito em um tringulo issceles de base 6 e altura 4. Calcule o raio desse crculo.

(A) 1,50

(B) 1,25

(C) 1,00

(D) 1,75

(E) 2,00

20. (APO MPOG ESAF 2005) Se de um ponto P qualquer forem traados dois segmentos tangentes a uma

circunferncia, ento as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangncia

sero iguais. Sabe-se que o raio de um crculo inscrito em um tringulo retngulo mede 1cm. Se a hipotenusa desse

tringulo for igual a 20 cm, ento seu permetro ser igual a:

(A) 40 cm

(B) 35 cm

(C) 23 cm

(D) 42 cm

(E) 45 cm

21. (AFC CGU ESAF 2008) Um quadriltero convexo circunscrito a uma circunferncia possui os lados a, b, c e d, medindo (4x - 9), (3x + 3), 3x e 2x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b so lados opostos, ento o permetro do quadriltero igual a:

(A) 25

(B) 30

(C) 35

(D) 40

(E) 50

GABARITO EXERCCIOS PROPOSTOS DE GEOMETRIA PLANA

01 - C 02 - D 03 - A 04 - C 05 - C 06 - * 07 - A 08 - A 09 - B 10 - D

11 - B 12 - C 13 - * 14 - B 15 - B 16 - E 17 - E 18 - B 19 - A 20 - D

21 - B

*06 a) 12 / b) 12

*13 a) 27 / b) 5

OBSERVAO:

TEOREMA DE TALES

Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos proporcionais.

r // s // t

Assim, pode-se estabelecer as seguinte propores:

NKIIIIKLIIII NKIIIIIIKLIIIIII 7> NLIIIINKIIII NLIIIIINKIIIIII

EXERCCIOS PROPOSTOS DE GEOMETRIA

01. (ASSISTENTE DE CHANCELARIA MRE ESAF 2002) Num tringulo ABC, o ngulo interno de vrtice A mede 60. O maior ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos internos de vrtices B e C mede:

(A) 45

(B) 60

(C) 90

(D) 120

(E) 150

02. (ANALISTA SERPRO ESAF) Um tringulo tem lados que mede, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo tringulo, que um tringulo semelhante ao primeiro, tem permetro igual a 12m. A rea do segundo tringulo ser igual a:

(A) 6 m2

(B) 12 m2

(C) 24 m2

(D) 48 m2

(E) 60 m2

03. (APO MPOG ESAF 2005) O raio do crculo A 30% menor do que o raio do crculo B. Desse modo, em termos percentuais, a rea do crculo A menor do que a rea do crculo B em:

(A) 51%

(B) 49%

(C) 30%

(D) 70%

(E) 90%

04. (EPPGG MPOG ESAF 2002) Se o raio de uma circunferncia tiver um acrscimo de 50%, ento o acrscimo percentual em seu comprimento ser igual a:

(A) 25%

(B) 50%

(C) 75%

(D) 80%

(E) 85%

05. (ESAF) Os pontos A, B, C e D, no coincidentes, encontram-se todos sobre uma mesma linha reta. Se B o ponto

mdio do segmento AD e se C o ponto mdio do segmento BD, o valor de rtr :

(A) 3/4

(B) 1/3

(C) 1/2

(D) 2/3

(E) 1/4

06. (AFT ESAF 2009) Quando se faz alguns lados de um polgono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um

polgono de menor nmero de lados podendo at eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa

maneira, considere um quadriltero com duas diagonais iguais e de comprimento 52 cada uma. Sendo A a rea desse quadriltero, ento:

(A) A = 25.

(B) 25 A 50.

(C) 52 < A 25.

(D) 0 A 25.

(E) A 25.

07. (AFT ESAF) Fernando, Joo Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um est parado em um ponto, gritando o mais alto possvel, para que os outros possam localiz-lo. H um nico ponto em que possvel ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro nico ponto (diferente daquele) em que possvel ouvir simultaneamente Bruno e Joo Guilherme, e h ainda um outro nico ponto (diferente dos outros dois) em que possvel ouvir simultaneamente Joo Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, est a 350 metros, tambm em linha reta, do ponto onde est Joo Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possvel ouvi-lo em qualquer ponto at uma distncia de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distncia em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e Joo Guilherme :

(A) 650

(B) 600

(C) 500

(D) 700

(E) 720

08. (ANTT NCE) Um quintal tem a forma de um retngulo tal que a medida de um de seus lados o dobro da medida de outro e seu permetro em metros igual sua rea em metros quadrados. Nesse caso, o maior lado do quintal mede, em metros

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

09. (ENAP ESAF) A razo de semelhana entre dois tringulos, T1, e T2, igual a 8. Sabe-se que a rea do tringulo T1

igual a 128 m2. Assim, a rea do tringulo T2 igual a

(A) 4 m2.

(B) 16 m2.

(C) 32 m2.

(D) 64 m2.

(E) 2 m2.

10. (TFC ESAF) Os pontos X, Y e Z esto todos no mesmo plano. A distncia, em linha reta, do ponto X ao ponto Y de 30 cm, e do ponto X ao ponto Z de 22 cm. Se d a distncia em centmetros, tambm em linha reta, do ponto Y ao ponto Z, ento o conjunto dos possveis valores para d dado por:

(A) 8 d 30

(B) 8 d 52

(C) 22 d 30

(D) 22 < d 52

(E) 30 < d 52

11. (ATRFB ESAF 2009) Sejam X, Y e Z trs pontos distintos de uma reta. O segmento XY igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede 32 centmetros. Desse modo, uma das possveis medidas do segmento XY, em centmetros, igual a:

(A) 27

(B) 48

(C) 35

(D) 63

(E) 72

12. (METR SP FCC 2010) Um retngulo foi totalmente dividido por retas paralelas aos seus lados. Com a diviso, foram obtidos 4 500 quadrados congruentes cada um com lado de 12 cm. Se o lado maior do retngulo mede 9 m, ento a do menor, em metros,

(A) 7,0.

(B) 7,2.

(C) 7,4.

(D) 7,6.

(E) 7,8.

13. (METR SP FCC 2010) Num tringulo ABC o lado AB mede 16 cm. Por um ponto D, pertencente a AB e situado a 10 cm de A, traa-se uma paralela a BC que intercepta AC em E. Se AE = 8 cm, ento a medida de EC, em centmetros,

(A) 4,0.

(B) 4,2.

(C) 4,4.

(D) 4,6.

(E) 4,8.

14. (ISS RJ ENGENHEIRO ESAF 2010) Um quadrado de lado unitrio est inscrito em um crculo que, por sua vez, est inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais prximo de L.

(A) 1,732

(B) 1,414

(C) 2

(D) 1,5

(E) 1,667

15. (ISS RJ AGENTE ESAF 2010) O segmento de reta ab tem comprimento c(a,b) = 1. Um ponto x divide o segmento em duas partes ax e xb com comprimentos c(a,x) e c(x,b), respectivamente, onde 0 < c(a,x) < c(x,b) < 1 e tais que c(a,x)/c(x,b) = c(x,b). Obtenha o valor mais prximo de c(x,b).

(A) 0,5667

(B) 0,618

(C) 0,667

(D) 0,707

(E) 0,75

16. (AFC STN ESAF 2005) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros trs segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centmetros, dos segmentos sobre a transversal B so iguais a:

(A) 6, 30 e 54

(B) 6, 34 e 50

(C) 10, 30 e 50

(D) 14, 26 e 50

(E) 14, 20 e 56

17. (ESAF) Em um tringulo retngulo, um dos catetos forma com a hipotenusa um ngulo de 45. Sendo a rea do tringulo igual a 8 cm , ento a soma das medidas dos catetos igual a:

(A) 8 cm2

(B) 16 cm

(C) 4 cm

(D) 16 cm2

(E) 8 cm

18. (ANPAD) Se o comprimento e a largura de um retngulo so duplicados, ento:

(A) a rea e o permetro ficam multiplicados por 4

(B) a rea multiplicada por 2 e o permetro por 4

(C) a rea multiplicada por 4 e o permetro por 2

(D) a rea e o permetro ficam multiplicados por 3

(E) NRA

19. (METR SP FCC 2010) As pontas da estrela mostrada na figura abaixo so as intersees dos prolongamentos dos lados de um pentgono regular.

Assim sendo, a soma das medidas dos ngulos assinalados igual a

(A) 150.

(B) 160.

(C) 170.

(D) 180.

(E) 190.

20. (AFC CGU ESAF 2012) Um segmento de reta de tamanho unitrio dividido em duas partes com comprimentos x

e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais prximo de x de maneira que x = (1-x)/x, usando 5 2,24 (A) 0,62

(B) 0,38

(C) 1,62

(D) 0,5

(E) 1/

21. (EPPGG MPOG ESAF) Um tringulo tem lados que medem respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo tringulo, que um tringulo semelhante ao primeiro, tem permetro igual a 30m. Assim, a razo entre a rea do segundo e a do primeiro tringulo igual a:

(A) 5/4

(B) 5/3

(C) 8/5

(D) 25/16

(E) 16/25

GABARITO EXERCCIOS PROPOSTOS DE GEOMETRIA PLANA

01 - D 02 - A 03 - A 04 - B 05 - D 06 - D 07 - B 08 - D 09 - B 10 - C

11 - B 12 - B 13 - E 14 - B 15 - B 16 - A 17 - E 18 - C 19 - D 20 A

21 D

Geometria Básica

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