GEOMETRA ANALTICA PLANA

UNIDAD 1:

Geometra Analtica

La Geometra analtica se divide en Plana y del Espacio o esfrica, y se basan en el segmento dirigido.

La Geometra analtica plana comprende el estudio de las figuras definidas en un plano y expresado en forma algebraica y viceversa.

Segmento Dirigido

Es aquel que tiene un punto de origen y un punto final, representa el movimiento de un punto segn su sentido.

Grfica de un punto.- Un punto est representado grficamente por un par ordenado, y este a su vez representa un punto. El primer nmero es la abscisa X y el segundo la ordenada Y.

Distancia entre dos puntos del plano

Para hallar la longitud de un segmento de recta, en el plano, debe encontrarse el valor absoluto de la distancia entre los puntos dados.

Sean los puntos P1 (X1,Y1) y P2 (X2,Y2), de donde

, por tanto, hallamos valor absoluto de

Del tringulo rectngulo P1P2B tenemos que:

Y

Aplicando el Teorema de Pitgoras para hallar la hipotenusa:

Ejercicios de Distancia entre dos puntos del Plano:

1) Encuentre la distancia entre los siguientes puntos:

a) A(1,3) y B(-2,7)b) A(8,5) y B(3,-7)

c) A(-4,-1) y B(4,5)

d) A(6,-5) y B(2,-2)

2) Calcule el permetro del tringulo cuyos lados son:

a) A(-9,8); B(4,7) y C(1,2)

b) A(4,-5); B(-2,3) y C(-1,7)

3) Demostrar que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo issceles:a) A(-2,4); B(-5,1) y C(-6,5)

b) A(-2,-1); B(2,2) y C(5,-2)

4) Demostrar que los siguientes puntos son los vrtices de un tringulo rectngulo y hallar su rea:

c) A(2,-2); B(-8,4); C(5,3)d) A(3,-6); B(8,-2); C(-1,-1)5) Demostrar que los siguientes puntos son los vrtices de un paralelogramo

a) A(1,1); B(3,5); C(11,6) y D(9,2)

b) A(-4,-1); B(-2,-3); C(4,3) y D(2,5)

6) Demostrar que los siguientes puntos son los vrtices de un cuadrado

a) A(0,1); B(3,5); C(7,2) y D(4,-2)

b) A(0,0); B(3,4); C(8,4) y D(5,0)

Angulo de Inclinacin

Tenemos un sistema de ejes rectangulares y una recta L, dirigida hacia arriba y que forma con el eje de las x un ngulo (, el mismo que se le denomina: ngulo de inclinacin.

Por lo tanto, inclinacin de una recta es el ngulo que forma su orientacin positiva con el eje de las X.

Pendiente de una recta

Se denomina coeficiente angular, o pendiente de una recta, a la Tangente trigonomtrica del ngulo de inclinacin. Simblicamente: m = tan (El ngulo de inclinacin tendr su valor entre 0 y 180 grados.

Segn el grfico:

La pendiente se considera positiva, si la recta se inclina a la derecha, y negativa si la recta se inclina a la izquierda.

Ejercicios de Angulo de inclinacin y Pendiente de una recta1. Hallar la pendiente y el ngulo de inclinacin de la recta que une los puntos:

a) A (-8, -4) y B (5, 9)

b) A (2, -3) y B (-4, 3)

c) A (5, 2) y B (-2, -3)

d) A (-8, -8) y B (-2, -2)

e) A (-3, 6) y B (2, -7)2. Los vrtices de un tringulo son los siguientes puntos. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

a) A (2, -2); B (-1, 4) y C (4, 5)

b) A (-2, 1); B (3, 4) y C (5, -2)

c) A (-3, -1); B (4, 4) y C (-2, 3)

Rectas Paralelas y perpendiculares

Si dos rectas son paralelas (L1 L2), sus pendientes son iguales: m1 = m2.

Si dos rectas son perpendiculares (L1 L2), la pendiente de una de ellas, es el inverso de la pendiente de la otra, con signo cambiado: m1 = - 1/m2, o tambin: m1m2 = -1.

Ejercicios de Rectas Paralelas y Perpendiculares1. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (-2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la recta que pasa por (-1, 1) y (3, 7)

2. Demostrar por pendientes que los siguientes puntos son los vrtices de un paralelogramo.

a) A (1, 1); B (5, 3); C (8, 0) y D (4, -2)

b) A (9,2); B (11, 6); C (3, 5) y D (1, 1)

c) A (-1, -2); B (0, 1); C (-3, 2) y D (-4, -1)

3. Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y B, as como las definidas por los puntos M y N; determinar si son paralelas o perpendiculares entre s:

a) A (4, 1), B (-2, 5) y M (3, 7), N (-1, 1)b) A (-7, 1), B (1, -6) y M (-4, -6), N (3, 2)c) A (2, 4), B (6, -2) y M (1, -1), N (7, 3)d) A (2, 2), B (9, 9) y M (6, 5), N (5, 6)e) A (1, -1), B (2, 4) y M (6, -2), N (7, 3)

f) A (-2, 5), B (4, 1) y M (-1, 1), N (3, 7)

g) A (-2,-4) y B (5, -1) y M (-1, -5), N (6,-2)

Lnea Recta

Definicin de Lnea Recta

Una lnea recta, analticamente, es la ecuacin lineal o de primer grado con dos variables.

Ax + By + C = 0 -> Ecuacin general de la recta

La recta, es tambin un lugar geomtrico, grfica de todos los puntos, tales que al tomar dos cualquiera de ellos, determinan el mismo coeficiente angular o igual pendiente, por ser sus puntos colineales.

Una recta queda determinada completamente si se conocen al menos dos condiciones. Por ello, proponemos los siguientes tipos de ecuaciones de la recta:

Ecuacin de la recta cuando se conoce un punto y la pendiente:

Transponiendo el denominador:

Multiplicamos por (-1) y permutamos:

Ejercicios de la Ecuacin de la Recta conociendo punto y pendiente

1. Hallar la ecuacin de las rectas que satisfacen las condiciones siguientes

a) Pasa por (2, 4) y m = -2b) Pasa por (-1, -2) y m = c) Pasa por (-4, 3) y m = d) Pasa por (1, 5) y m = 2

e) Pasa por (2, 0) y m = f) Pasa por (0, 2) y m = 3

g) Pasa por (3, 4) y m = 2/5

h) Pasa por (4, 3) y m = 2

i) Pasa por (-1, 6) y m = -3

j) Pasa por (2, -5) y m = -4/3

k) Pasa por (2, -3) y m = 4

l) Pasa por (-6, -3) y ngulo de inclinacin de 450m) m = -3 y cuya interseccin con el eje Y es -2

n) m = -2/3 y cuya interseccin con el eje Y es 1

o) m = 2 y cuya interseccin con el eje X es -4/3

p) m = 3/5 y cuya interseccin con el eje Y es -4

q) m = -2 y cuya interseccin con el eje X es 42. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuacin.

Ecuacin de la recta cuando se conocen dos puntos

En la forma:

Desconocemos m, pero

Remplazando m en la ecuacin anterior:

Ejercicios de ecuacin de la recta conociendo dos puntos

1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos:

a) A (2, 1) y B (-2, -4)

b) A (4, 2) y B (-5, 7)c) A (1, 4) y B (6, 5)

d) A (2, -3) y B (-4, 3)

2. Los vrtices de un cuadriltero son los siguientes. Hallar las ecuaciones de sus lados.a) A (0, 0); B (2, 4); C (6, 7) y D (8, 0)

b) A (4, 2); B (-4,3); C (-1, -4) Y D (2, -3)

Ecuacin de la recta conociendo Pendiente y ordenada en el origenSe conoce: P (0, b) y m.

Remplazo en la ecuacin de punto y pendiente:

Ejercicios de ecuacin de la recta conociendo pendiente y ordenada en el origen

1. Hallar la ecuacin de la recta conociendo los siguientes datos

a) m = -2 y pasa por el punto (0, 4)

b) m = 3/2 y pasa por el punto (0, -5)

c) m = -3/5 y pasa por el punto (0, 2)

d) m = 3 y pasa por el punto (0, -3)

e) m = 2/5 y pasa por el punto (0, -5)

f) m = -4 y pasa por el punto (0, 3)

Ecuacin de la recta cuando se conoce pendiente y abscisa en el origen

Se conoce: P (a, 0) y m.

Remplazo en la ecuacin de punto y pendiente:

Ejercicios de ecuacin de la recta conociendo pendiente y abscisa en el origen

1. Hallar la ecuacin de la recta conociendo los siguientes datos:

a) m = -3 y pasa por el punto (2, 0)

b) m = -2 y pasa por el punto (-3, 0) c) m = -2/3 y pasa por el punto (4, 0) d) m = 2/5 y pasa por el punto (-1, 0)e) m = -1/3 y pasa por el punto (5, 0)

f) m = -4/3 y pasa por el punto (-2, 0)Ecuacin de la recta conociendo abscisa y ordenada en el origen

Se conoce: A (0, b) y B (a, 0):

La pendiente ser igual a:

Remplazando en la ecuacin:

Dividiendo por ab:

La forma anterior se llama tambin Ecuacin cannica o simtrica.

Es importante recordar que la ecuacin Ax + By + C = 0, se puede pasar a la forma simtrica: Hacemos las siguientes consideraciones:Encontramos los puntos de corte con los ejes:

Si y = 0 ( Ax + C = 0 ( x = - C/A = a( (-C/A, 0)

Si x = 0 ( By + C = 0 ( y = - C/B = b( (0, -C/B)

Ejercicios de ecuacin de la recta conociendo abscisa y ordenada en el origen

1. Hallar la ecuacin de la recta cuya abscisa y ordenada son respectivamente:a) 5 y -3

b) 2 y -3

c) 7 y -5

d) 2 y 6

e) -1 y -4

2. Transformar en ecuacin cannica o simtrica la siguiente ecuacin:

a) 3x + y 6 = 0

b) 3x 8y 24 = 0

c) 5x + 4y 20 = 0

d) 6x 7y + 42 = 0

e) 4x 3y 12 = 0