Geometría Analítica MatV PrepaAbierta

Matemáticas V

PREPARATORIAABIERTA

-=- ~-.._- - - ~

El contenido académico de este texto es exclusiva responsabilidad del- Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y su índice

pertenece al programa correspondiente al plan de estudios del nivel mediosu.perior, para la materia de:

MATEMATICAUNIDADESXVII-XX.

AUTORES: Humberto Cantú SalinasHéctor Paz Estrada

REVISO: Jai me Navarro Cuevas

COMITE ACADEMICO: Gustavo Mendoza González,Humberto Cantú Salinas,Roberto García Martínez,Moisés Galicia Arrambide,Héctor Paz -Estrada.

COLABORO: Andrés Ramírez y Villa

... educación es una responsabilidad compartida y en consecuen.cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-rar para resolver la problemática educativa, a que remita suscomentarios, críticas y sugerencias con respecto a esta obra a laDirección General de Educación Extraescolar de la SEP, CAllELAGO BANGUEOlO No. 24, COL. GRANADADELEGACiÓNMI-GUELHIDALGO,C. P. 11520 MÉXICO,D. F.

Sus aportaciones serán apreciadas en todo lo que valen y permiti-rán perfeccionar y adecuar permanentemente estos materiales alas cambiantes condiciones de la época actual.

@ SEP. 1983DERECHOS RESERVADOS

.. - - - -----

Indice

PRO LOGO 11Instrucciones para el Alumno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13

UNIDAD XV 11. La Ií!lea recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Diagrama temático estructural' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Glosario' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . , . . . .

Módulo 1 " . . . . . .Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .'. . . .Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Inclinación y pendiente de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Reactivos dé autoevaluación .............................

Módulo 2 ' 29Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29Esquema-Resu.men : 292.1 Rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302.2 Rectas perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 32Reactivos de autoevaluación 35

Módulo 3 37Objetivos Específicos , 37Esquema-Resumen' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -' . . . . . . . . .. 373.1 Angula entre dos rectas. . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 383.2 Divisiónde un segmento de recta en una razón dada. . . . . .. 44Reactivosde autoevaluación 52

Módulo 4 55Objetivos Específicos .'. . . . ~. . " 55Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 564.1 Definición de línea recta. . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . .. 574.2 EcuaCión punto-pendiente. . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 574.3 Ecuación dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60'4.4 Ecuación simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 614.5 Ecuación pendiente-ordenada al origen. . . . . . . . . . . . . . . ., 63

1517181920

2323232428

--- -- - '!'O"--

4.6 Ecuación general de la recta. . . . . '. . . . . . '. . . . . . . . . . . . .. 634.7 Distancia de una recta a un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66Reactivos de autoeval uación 75Paneles de v~rificadón .."... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 77

/

UNIDAD XVIII. Secciones Cónicas. Circunferencia. Parábola. Tras'la-ción de ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85ObjetivosGenerales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 86Diagrama temático ~estructural 87GIosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 88

Módulo 5 ...............................................Objetivos Específicos. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

'5.1 Definición de la circ;:unferencia .......................6.2 Ecuación cartesiana de lacircunferencia. . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Ecuación general de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Circunferencia determinada por trescondiciones. . . . . . . . .Reactivos de autoevaluación .............................

Módulo 6 , 101Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 1016.1 Definición de la parábola. . . . . . . . . . . . . . .-. . . . . . . . . . . ., 1026.2 Ecuación cartesiana de la parábola. Directriz. Lado recto. ., 102Reactivos de autoeval uaci ón - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110

Módulo 7 111Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . . . . . . . . . . . . .. 111Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1117.1 Otras formas de la ecuación de la parábola. . . . . . . . . . . . .. 112Reactivos de autoevaluación 120

83

8989899090929699

Módulo 8 , 123 "

Objetivos Específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ." 123

Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . .' 1238.1 Traslación de ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124Reactivos de autoeval uaci6n 129Panelesde verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131

UNIDAD XIX. Secciones Cónicas. Elipse. 139

Introducción ". . ., 141Objetivos Generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . ... . . . . ., 142Diagrama temático estructural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Glosario 144

Módulo 9 145ObjetivosEspecíficbs ' 145Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1459.1 Definición de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1469.2 Construcción mecánica de la elipse. . . . . . . . . :. . . . . . . . . .. 1489.3 Ecuación de la e!ips!3con centro en Oy focos ~n el eje X ... 149

9.4 Dominio de la relación{(x. y) I :: + ~: = 1}.. .. 1519.5 Intersecciones 152

Reactivos de autoevaluación 155-

Módulo .10 157Objetivos Espec íficos 157Esquema- Resumen " 15710.1 Excentricidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15810.2 Lado recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . .. 16010.3 Ecuación de 18elipse con centro en Oy focos en el eje Y. 162Reactivos de AlJtoevaluación 166

Módulo 11 '. . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169Objetivos Espec íficos 169Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16911.1 Otras formas de la ecuación de la elipse 170Reactivos de autoevaluación - . . . . . . . .. 175

Módulo 12 177Objetivos Espec íficos 177Esquema-Resumen. . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17712.1 Ecuación general de la elipse. . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . .. 178Reactivosde autoevaluación 183 )

Paneles de verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '(' . . . . . . . . . . ."' 185

UNIDAD XX. Secciones Cónicas. Hipérbola. Rotación de Ejes. . . . . . ,203Introducción. . . . . . . . . . . . . . ".. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205ObjetivosGenerales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206Diagramatemátko estructural. . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . .". . . . . . . . .. 207

I... -

Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 208

Módulo 13 211Objetivos Específicos. . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21213.1 De~inición de la hipérbola. . . . '-' . .. .. . . . . . . . . . ., . . . ., 21313.2 Ecuación de la hjpérbola con centro en Oy focos en X 214

13.3 Dominiode la relación{(XI y). I ~~ - ~: = 1}.. 215, . X2 . y2-

13.31 Graflcade 2 - '2 - 1 217a b

13.4 Asíntotas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 21713.5 Excentricidad 21913.6 Ecuación de la hipérbola con centro en "O" y focos en el eje

Y. 22113.7 Hipérbolas Conjugadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . 224Reactivos de Autoevaluación 226

Módulo 14 229Objetivos Espec íficos 229Esquema- Resumen 22914.1 Otras formas de la ecuación de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . 230Reactivos de Autoevaluación 235

Módulo 15 237Objetivos Específicos 237Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 23715.1 Ecuación general d~ la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Reactivos de autoevaluación 243

, Módulo 16 -' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Objetivos Específicos. .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Esquema-Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24516.1 Rotación de ejes. . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . 246Reactivos de autoevaluación , 257Panelesde verificación ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

::::.

.Prólogo j

La Geometría Anal ítica es el estudio o tratamiento anal ítico de la .Geometría, y por primera vez fue presentado por René Descartes en su obraGéométrie que se publicó en el año de 1637. En esta obra, Descartes.estable-cíala relación expl ícita entre las curvas y las ecuaciones y podemos decirque, además de'Descartes, todos los grandes matemáticos de los siglos XVII yXVIII, de una forma o de otra contribuyeron al desarrollo de esta nuevateoría. .

A la Geometría Anal ítica. también se le ha llamado Geometría porCoordenadas o Geometría Carte$iana en honor de su fundador.

Cuando hacemos el estudio anal ítico de un problema de geometría, lopodemos distribuir en los tres pasossiguientes:

1) Traducción del problema a expresiones algebraicas.2) , Elaboración hasta llegar a una ecuación o a un sistema de ecuacio-

nesy resolución puramente anal íticos.3) Interpretación geométrica de los resultados obtenidos.

En este libro haremos, en la primera unidad un estudio detallado de lalínea recta y en las tres unidades restantes se estudiarán cuatro de las más

importantes curvas Que son: la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y laHipérbola y se incluirá en las unidades XVIII y XX la traslación y rota-ción de ejes.

11

Ins~ruccionesparael alumno.

El presente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentesaspectos que caracterizan a los alumnos de Sistemas Abiertos de Enseñanza.

. l. .

El texto ha sido estructurado de tal forma que le facilite al máximo suestudio. Cuenta con varias unidades, cada una de las cuales contiene:

, .1)

2)

Objetivos generales: que le informan acerca de lo que se pretendelograr con el estudio de dicha unidad.Una introducción: independientemente de la que aparece dedicadaal texto.Un glosario: que le indica el significado de los términos técnicosempleados en el desarrollo de la unidad.

3)

Para el estudio del curso la unidad se ha dividido en partes llamadasmódulos. Cada texto consta siempre de 16 módulos. De esta manera, estima-mos qÚe es posible aprobar las asignaturas del plan de estudios de un semes-tre, en las 18 semanas. El módulo de cada asignatura está programado paraque lo estudie en un tiempo promedio de 4 a A:30 horas por semana. Sinembargo, se le -recomienda que dedique a cada módulo, el tiempo que ustedconsidere necesario, de acuerdo con sus posibilidades.

El módulo cuenta ,con:

1)

2)

Objetivos específicos: que desglosan el objetivo general de launidad. .

Esquema-:resumen: donde se le presenta el contenido de cada mó-dulo, en forma sinóptica.Contenido: se refiere al desarrollo del tema o de los temas.A~tividades complementarias: le servirán de refuerzo en el apren-dizaje de una unidad o un módulo específico.Reactivos de autoevaluación: al final de cada módulo se le dan unaserie de preguntas de autocomprobación, para que pueda verificarpor sí mismo, en qué grado ha logrado 16sobjetivos (propuestos alprincipio del módulo). Las respuestas correctas las encontrará alfinal de cada unidad o, en otros casos, al final del libro.

3) .

4)

5)

En la parte final del libro, podrá encontrar, cuando se estime necesario,apén9ices que le ayudarán a la ampliación y profundización de algún tema.

13

Además, se le da en las unidades o al final del texto, una bibliografíacon la que puede complementar sus estudios o ampliar su horizonte culturál,de acuerdo con sus inquietudes.

ADVERTENCIA:

Le-recomendamos la lectura cuidadosa y la comprensión de los objeti-vos específicos al empezar cada m6dulo, para que tenga presente lo que seespera de usted, con el trabajo que realice con cada uno de ellos. .

14

. UNIDAD XVIILA LINEA RECTA

Introducción

En esta unidad iniciará el aprendizaje de la Geometría Anal ítica Plana,haciendo un estudio detallado de la línea recta para posteriormente en otrasunidades, estudiar curvas tales como la circunferencia, elipse, parábola ehipérbola.

Para iniciar el estudio de la línea recta, es necesario que vuelva a repasartodo lo referente a las Coordenadas Cartesianas o Rectangulares.

17

ObjetivosGenerales

Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:

lo2.3.4.5.

Explicará el concepto de inclinación y pendiente de una recta.Explicará los criterios de paralel ismo y perpendicularidad entre rectas.Definirá la línea recta. .Deducirá las diferentes formas de la ecuación de la recta.Identificará la ecuación de una línea recta en cualquiera de sus formasequivalentes.

18

- ~ - - -- - - .. . - - .L-

Diagramatemátic,oestructural

CoordenadasRectangularesen el Plano

FunciónLineal

, LugarGeométrico

LaLíneaRecta

Ecuaciónde IaLínea Recta

Gráfica

19

- ...J

Glosario

.. Inclinación de una recta: Angula que forma una recta medido desde el eje Xen sentido contrario a como giran las manecillas de un reloj.

Pendiente de una recta: Tangente trigonométrica de su inclinación.

'nectas paralelas: Rectas que tienen. igual pendiente.

Rectas perpendiculares: Rectas con pendientes recíprocas y de signo con-.trario.

Angulo entre dos rectas: El ángulo formado entre dos rectas ql)e se intersec-tan en un punto.

Punto medio de un segmento: Es el punto que equidista de los dos extremosdel segmento.

Lugargeométri~D:Conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen ciertascondiciones.

Ecuación de un lugar geométrico: Cualquier ecuación que es satisfecha portodos los puntos del lugar geométrico y solamente por ellos.

Gráfica de un lugar geométrico: Es la representación geométrica del conjuntode puntos que,forman el lugar geométrico.

't ínea recta: Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos pun-tos diferentes cualesquiera d.el lugar, el valor de la pendiente m resultasiempre constante.

Ecuación punto pendient~: Toda ecuación de la línea recta de la forma

y - y 1 = m (x - Xl)

Ecuación dos puntos: Toda ecuación ge la línea recta de la forma

X - Xl

20

---

, Ecuación simétrica: Toda ecuación de la línea recta de la forma

x + Y... = 1a b

\ Ecuación pendiente-ordenadaal orgen: Toda ecuación de la línea recta de laforma"y=mx+b

'Ecuación generalde la recta: Tod ecuación de la línea recta de la formaA 'x + B y + e = o

21

Módulo ,1

OBJETIVOSESPECIFICaS

Al terminar de estudiar este módulo, el a~umno:

1.2.

Calculará la pendiente de una recta que pasapor dos puntos dados.Determinará el ángulo de inclinación de una recta que pasa por dospuntos dados.Encontrará las pendientes de los lados de una figura geométrica planade vértices conocidos.

3.

ESQUEMA-RESUMEN

CordenadasRectángulares

Angula deinclinación

Pendientede la Recta

PendientePositiva

PendienteNegativa

23

Angulodeinclinaciónde una recta.

1.1 INCLlNACIONV PENDIENTEDELA RECTA

Al ángulo que forma una recta dirigida o no, medidodesde el eje X en sentido contrario a como giran las mane-cillas de un reloj, se le llama inclinación de la recta y lorepresentaremos con la letra griega e (se lee teta); su medi-da estará comprendida entre por 00 ~ e ~ 1800. (Fi-gura 1). -

y

Fórmula parala.obtención

de la pendiente.

24

I

y

x x

Figura1 .

Tracemos ahora una recta / (figura 2) no paralelaal eje Y, y sean Pl(Xl,Yl) y P2(X2,Y2) dos puntos queestán sobre ella (P1 + P2). La pendiente de la recta (m)estará definida por la igualdad.

Como se puede observar, las diferencias de las abscisasy de las ordenadas se pueden tomar en cualquier orden; sinembargo, al formar el cociente sí tiel1en que tomarse am-bas en el mismo orden. ¿Por qué?

y

Figura 2

Tomemos dos puntos diferentes Pl '(Xl' 'Yl') yP2' (X2',Y2') sobre la mismarecta, y formemos los triángu..los rectángulos P1AP2 y Pl' Al' P2' los cuales son seme-jantes y debido a esta semejanza podemos escribir que:

Y2' - Yl '=X2' - XI '

o sea que, para una recta dada, la pendiente m defini-da por la ecuación (1) es independiente de como se tomenlos puntos P1 y P2, por lo que podemos decir que estaecuación asocia a cada recta no paralela al eje y, un solonúmero m al cual llamamos pendiente de la recta.

Si e es el menor ángulo que for'ma la recta con eleje X medido en sentido contrario a las manecillas de unreloj (sentido positivo), podemos ver, como se muestra enla figura 2, que:

I y, - y. I

tan 9 = =mX2 - X1

o sea que m = tan 9, para 0° ~ 9 ~ 180°

Lo anterior lo-podemos definir como: La pendientede una recta es igual a la tangente trigonométrica de suinclinación.

Y2' -y.'

x

¿Quesignficam?

m= tane

25

26

Como casos particulares de esta definición tenemosque, si una recta es paralela .al eje X, su inclinación es 0°y por lo tanto m = o. Si es perpendicular al eje X, suinclinación es igual a 90°, por lo que m=tan 90° noestá defi niqa.

Ejemplo 1:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por lospuntos p. (3,5) Y P1(6,9).

Solución:, .

Usando la fórmula (1) tenemos que:

Y1 - Y. 9 - 5 4m - =-=-X1 - x. 6 - 3 3

Ejemplo 2:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa porP.(-5,4) y P1(7,-6)

Solución:

-6-4m ::;:: 7 - (-5)

-6-47+5

-10 5-12 = -7

=

Ejemplo3:

Encontrar la inclinación e de la recta que pasa porlos puntos P.(4,5) y P1(6,7)

Solución:

Por la fórmula (2) tenemos que:

m = tan e = Y1 - Y.X1 - x.

así que:

7-.~ -..:...= 1tane=6-4-2

como tan 45° = 1, la incl inación de ta recta es de 45°.

Ejemplo 4:

Encontrar la incl inación e de la recta que pasaporPl(-4,-S) y p¡ (-16, 7).

Solución:

tan a - Y¡ - Yl = 7-(-5)X¡ - XI -16-(-4)

= 7 + 5 12= -= -1

-12

como tan 135° = -1, la inclinación de la recta es de 135°.

En los ejemplos 3 y 4, no fue necesario usar tablastrigonométricas para encontrar el valor de a, ya queeran valores "conocidos" En caso de que esto no suceda,haremos uso de las tablas trigonométricas para encontrar elvalor de 9.

Ejemplo5:

Encontrar la incl inación a de la recta que pasa porP1(4,4) Y p¡ (8,S).

Solución:

Y¡ - Yl 5 - 4tan a = =-X¡ - xI¡ 8 - 4

En la tabla de tunciones; trigonométricas* buscamosen la columna de las tangentes el valor de .2500 y encon-tramos que el más aproximado es .2493; para este valor dela tangente el ángulo es de 140, por lo que el valor de lainclinación de la recta es de 1-40aproximadamente. (1402'usando interpolaciÓn).

EjemplO 6: ~Encontrar las pendientes de los lados del triángulo

cuyasvérticesson los puntos P1 (3,-4), p¡ (-1,7) YP3 (-s,l).

1-¡-= .2500

Solución:

7 - (-4)

-1-3= 7+4

-4

11---4

* Tabla I del libro "Matemática" Unidades XIII-XVI.

27

1-( -4)m =

Pl P3 -5-3= 1+4

-85- --8

1-7m =

P2P3 -5-(-1)= 1-7

-5+1-6 3- ------4 2

Ejemplo7:

Encontrar la pendiente e inclinación de la recta quepasa por P1(3,1) y P2(-1,4)

Solución: .

4-1 3 3m = = - = --

-1-3 -4 4

Puesto que la pendiente es negativa, la inclinación dela recta es mayor de 900, luego,

3 f 3si tan e = -- => e = aretan (-~)

4 43

e = 180° - aretan-4

e = 180 - 36°52'

I

REACTIVOSDEAUTOEVALUAclON

En los siguientes problemas' encuentre el valor de la pendiente (m) y lainclinación (e) de la recta que pasa por los pares de puntos que se dan. Parala inclinación e use la tabla I del libro "Matemática Unidades XIII-XVI".

1. (3,2), (5,8)2. (3,6), (6,-2)3. (-4~ 1), (-1.5)4. (-6,9), (0,7)5. (-7,0), (0,-5)

6. (-5,-4), (4,-3)7. . (-6,0), (0,-6)8. (1,-5), (-1,-5)'I

9. (2,5), -(2,-5)

10. 0,8), (-8,0)

28

.Módulo2


Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

Demostrará por medio de pendientes, el paralelismo entre dos rectasdadas. .

Demostrará por medio de pendientes, la perpendicularidad entre dosrectas dadas.Verificará algunas propiedades de figuras geométricas planas, empl~an-do el-concepto de pendiente. . . -

1.

2.

3.

EsnuEMA-RESUMEN

Pendientede la Recta

RectasParalelas

RectasPerpendiculares

Aplicaciones

29

¿Cuándosedicequedos rectasson paralelas? .

30

2.1 RECTASPARALELAS

Las rectas l., con pendiente mI, Y 12 con pen-diente m2 no verticales;,son paralelassi, y sólo si, suspendientes son iguales: Se denotará como 1111/2 para indi-

car qu~ /1 es paralela a /2 .

.(3)

Para la demostración usaremos la figura 3

y

x

Figura 3 .

Primero demostramos que si I1 1112~ mI = m2

1111/2

el = e2tan el = tan e2mI = tan elm2 = tan e 2

mI = m2

Hipótesis.los ángulos correspondientes son iguales.ángulos iguales tienen tangentes iguales.definición de pendiente.definición de pendiente.Sustitución.

En seguida demostramos que si mI = m2 ~ /11112

mI = m2

mI = tan elm2 = tan e 2tan el = tan e2

el = e2

Hipótesis.definición de pendiente.definición de pendiente.Sustitución.Los ángulos son iguales si sus tan-gentes son iguales, cuandoOo ~ e ~ 180°

-- - - - - - --- -

Ejemplo1:

Las rectas son paralelas si sus án-gulos de inclinación son iguales.

Demostrar que los puntos PI(6,1), P1(5,7>,P3 (-4,3)YP4(-3.-3) son los vértic~s de un paralelogramo.

Dibujar el cuadrilátero. (Figura 4).

Solución: y

p. (6. l)

-3

P4(-3,-3) -4

Figura 4

Primero encontramos las pendientes de los cuatro la-dos:

7~1 -~= -6mI = 5 - 6 - -1

1-( -3)m2 6-( -3)

m3 -

m4=

= 1+36.+3

49

'7-35-( -4)

7-3 4- -----5+4 9

3-( -3)

-4-( -3)= 3+3 -~=-6

- -1

x

31

La condiciónpara que dosrectas seanperpendiculareses...

32

y m2 = m3 =>P2P3 IIP1P4

Como sus lados opuestos son paralelos, se concluyeque es un paralelogramo.

Ejemplo2:

Demostrar que la recta 11, que pasa por los puntosP1(-4,-5) y~~~ es paralela a la recta 12,que pasa porlos puntos P3 (tt'-10) y P4 (7,3). ,

Solución:

La pendiente de la recta 11es:

8-(-5) 8+5 13mI = 3-(-4) = 3+4 =7La pendiente de la recta 12 es:

3-(-10) 3 + 10m2=7-0=7

137

22 RECTASPERPENDICULARES

Las rectas /1 con pendiente mI Y/2 con pendiente m2

no verticales, son perpendiculares. si, y sólo si, sus pen-dientes son recíprocas y de signo contrario. (Figura 5)

y

Figura S

x

-- - - - - -- -

Demostración: Suponemos que /1 y 12 son per-pendiculares (Figura 5) y que /1 tiene inclinación el, y12 inclinación 82.

Primero demostramos que si

11 '.L /2 Hipótesis.8:z = 90° + el /1 .L /:ztan é2 = tan(900+9d Angulosiguales/tienentangentes

iguales. 0° ~ e ~ 180°Fórmulas de reducción.tan e 2 = - cot el

tan e 2

1---tan el

mi = tan elm2 = tan e:z

1m:z=--

1cote1 =-

tan el

Definición de pendiente.Definición de pendiente.

, Sustitúción.

En seguida se demuestra que si mlm2 = -1 ó mI = -2- => /1 .L /2, .m2

de la figura 5 tenemos que: 0° < 81' < 90° Y90° < e2 < 180"I '

Esto impl ¡ca que tan 82 es negativa y tane 1 es positiva.mI m2 = -1 Hipótesis

mI = tan elm2 = tan e2tan el. tan e:z = - 1

1

tan eltan e 2 =

tan e2 = - cot el

Definición de pendiente.Definición de pendiente.Sustitución.

1Si m1. = - m2entonces. . .

Multiplicandoambos ladospor ~tan el

1

cot el = tan el

tan e2 = tan(900+e 1) Fórmulas de reducción.e:z = 90°+ e 1 Los ángulos son iguales si sus

tangentes son iguales. 0° ~ e ~ 180°Restan.do a ambos lados el.El ángulo entre ambas rectas es de 900. I~

e2 - el = 90°/1 .L /2

33

-ll -10 -9 -8

34

-- - --- - -- - - - -

Ejemplo1:

Demostrar que la recta /1 que pasa por los puntosP¡(1,3) yP1(-3,-5) es perpendicular a la recta 11que pasa por los puntos P3 (3,2) YP4(-5,6).

Solución:

La pendiente de la recta /1 , es:

3 - (-5) 3 + 5 8mi = 1-(-3) - 1 +3 =4'= 2

La pendiente de la recta /2 es:

6-2 4 1m2 = - = ---5 -3 -8 2

Como m2 es recíproca y de signocontrario de mi, lasdos rectas son perpendiculares.

Ejemplo2:

Demostrar que los puntos P1(3,1), P1(-2,5) YP3 (-10,-5) son los vértices de un triángulo rectángulo.Trazar el triángu Io.

Solución:

PI (3, 1 )

x6 7 8

-3

-4-5-6

Figura 6

.. - - --- .....

5-(-5) 10 5 5-1/ 4mi = -2-(-10) = 8 =4 .m2 = -2-3=-5

Como m2 esrecíprocay de signo contrario de mi.,

el lado P2Pa es 1. al lado PIP2, por tanto, el triángulo

es rectángu Io.

REACTIVOSDEAUTOEVALUACION

1. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1 (-3,-1), P2 (3,2)Y P3 (7,4) quedan en Ií'nea recta.

2. Demuestrepor medio de pendientesque lospuntos P1 (3,5), P2 (1,-1) YP3(-4,-.16) quedan en línea recta.

3. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(O,O), 8(5,2),C(6,5) y D(1,3) son los vértices de un paralelogramo.

4. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(-6,0); 8(0,-6),C(8,6) y 0(2,12) son los vértices de un paralelogramo.

5. Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, demuestre que lospuntos que se dan en el problena 3 son los vértices de un paralelo-gramo.

6. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1 (4,3), P2 (6,-2) Y

P3(-11,-3), son los vértices deun triángulorectángulo.7. Demuestre por medio de pendientes que los puntos A(6,-3), 8(7,6) Y

C(2,2) son los vértices de un triángulo rectángulo.8. Demuestre por medio de pendientes que los puntos P1(0,9), P2(3,1),

P3(11,4) YP4 (8,12) son los vértices de un rectángulo.9. Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos, demuestre que los

puntos que se dan en el problema 6 son los vértices de un triángulorectángulo.

10. Demuestre que las diagonales del cuadrilátero que se dan en el problema8 son iguales. ;

35

Módulo3



1.2.

Determinará el ángulo entre dos rectas conocidas sus pendientes.Calculará la pendiente de una recta que se interseca con otra recta,dados el ángulo entre las dos rectas y la pendiente de la otra recta.Encontrará los ángulos internos de figuras geométricas planas cuyosvértices se conocen.Deducirá las expresiones que determinan las coordenadas de un puntoque divide a un segmento de recta en una raz6n dada.Encontrará las coordenadas de un punto que divide a un segmento derecta en una razón dada, conocidos dos puntos de esa recta.Determinará las coordenadas del punto medio de.un segmento de recta,dado por dos puntos.

3.

4.

5.

6.

ESQUEMA-RESUMEN

37

Pendiente AnguIoAplicacione$entre dosde la recta

rectas

División de Punto medioCoordenadasun segmento -- de'unde un --en una raz6n

segmentopuntoI dada

Dosrectasque seintersecanforman unángulo

38

1

3.1 ANGULOENTREDOS,RECTAS

Dos rectas que no se intersecan forman un ángulode 0° y se les llama paralelas. En el caso de dos rectas noparalelas y que por tanto se intersecan en un punto, noencontramos el ángulo directamente sino que encontramosla tangente de dicho ángulo, y ya conociendo este valor,con ayuda de las tablas trigonométricas encontr.amos elvalor del ángulo.

Sea /. una de las rectas y su inclinación e. y /2 laotra recta con incl'inación e2 . (Figura 7).

y

x

Figura 7

En este caso estamos considerando 92 >e., así tenemosque e = e1 - e.. .De la figura 7 podemos ver tambiénquee + e' = 180°por lo que nos basta encontrare paraconocer el valor de e. que estará dado por 180°- e~

Para encontrar el valor de la tangente de e procedemoscomo sigue:

Hipótesis.

m. = tane. Definición de pendiente.

m1 = tane1 Definición de pendiente.

- - -- ---

tana = tan(a1 - 0.) Angulos iguales tienentangentes iguales.

tana1 - tana. Valor de la tangente de latana = 1 + tana. tana1 diferenciade dos ángulos.

Sustitución.

A esta fórmula se le conoce como fórmula de la tangente Fórmulaparadel ángulo comprendido entre dos rectas que se intersecan \ hallarelen función de sus pendientes. ánguJoentre.

dos rectas.

Conociendo el valor de la tangente, a estará dado por lafórmula:

mz - m.S = are tan 1 + m. m"

Es interesante observar que si el numerador m1 - m. = O~ m" = m. la recta /. es paralela a /" y si el denominador1+m. m1=0 =>m. m1 = -1 la recta /. es perpendicular ala recta /1.

También es interesante observar que si en el numera-dor tomamos m. - m1 en lugar de m" - m., entoncesobtene.mos la tanS' .

Ejemplo1:

Una recta con pendiente m. =21 intersecta' a otra,

).. c.recta cQn pendiente m1 = 2. Encontrar el ángulo aque se forma entre las dos rectas. (Figura8)

f~,~

(5)

(6)

39

y

x'

Figura 8

Solución:

Usando la fórmula (5) para encontrar la tana

12--

21

1 +-.22

4-12

1 + 1

=

=

34

3tan e =4

3e = are tan-4

Si buscamos en las tablas de funciones trigonomé-tricas en la columna de tangente, encontramos que para3'4 = .7500'Selee un ángulo e = 36°52'Ycon el valor de epodemos encontrar e' que es igual a

180°- e = 180° - 36°52' = 143°8'

40/

Ejemplo2:

El ángulo entre dos rectas es de 45° y la pendiente deuna de ellas es 2. Encontrar la pendiente de la otra. Si haydos soluciones posibles encontar ambas.

Solución:

Trazamos una recta por cualquier punto del planocon pendiente 2, y arbitrariamente a la pendiente la llama-mos m1; después trazamos otra recta de tal manera queforme un ángulo de 45° con la recta de pendiente 2 y a

.su pendiente la llamamos m. (Figura 9).

Figura 9

Con los datos de la figura 8 y usando la fórmula (.5)tene-mos que:

2-m.,tan 45 o = 1 + m.' 2,

pero como tan 450 = 1 tenemos: .

2 - mi1 =

1 + 2m.

Resolviendo para mi esta ecuación se tiene que m. = ~

x

41

42

De la figura 9 vemos que hay otra recta con pendien-te m3 que forma también un ángulo de 45° con la rectade pendiente 2; si usamos la fórmula (5) para este otrocaso tenemos:

resolviendoesta ecuación para m3 se tiene 'm3 = -3.

Independientemente de los sub índices que se usan enlas pendientes de las dos rectas, cuando se usa la fórmula(5) para encontrar la tangente del ángulo que forman las.dos rectas como m'J se toma la pendiente de la recta queesta a la izquierda del ángulo y como m1 la pendiente de larecta que está ;é3la derecha del ángulo.

Ejemplo3:

Encontrar los ángulos internos del triángulo cuyosvértices son A(1,l), B(4,2) YC(2,S). (Figura 10).

Figura 10

5

4

3

2 8(4,2)--(

JA ( J.J ) "'J 2 3 4 5

De la figura se tiene que las pendientes de los tres ladosson:

5-1-!...=4mI = - - - 1

2-1

m" = 4-11.

3

5-2 3 3m3 = = -= --

2 - 4 -2 2

Usando la fórmula (5) para encontrar cada uno de los3 ángulos tenemos:

=

14-3~

1+43

113--73

- 11 = 1.571- 7

A = are tan 1.571 = 57°30'

4-(-T)1 31 +---3 2

43

¿A quéselellamarazóndedivisióndeun segmento?

44

I- - - -- --- - - -

=.!.~~3 2

31--6

116--36

11 = 3.666=3

B = are tan 3.666 = 74045'

Como la suma de los ángulos internos de un triángulo su-man 180°, el ángulo e se obtiene por diferencia, así

A + B + e = 180e = 180 - (A + B)

= 180 - (57°30' + 74°45')= 180 - 132°15'= 47°45'

3.2 DIVISIONDEUNSEGMENTODERECTAENUNARAZONDADA.

Vamos a considerar un segmento de recta que estádefinido por dos puntos:P1(Xl,Yl)yP:¡(X:¡,y:¡).Supongamosque un punto P(x,y) se coloca sobre este segmento. Noimport? dónde se coloque el punto P se obtendrá un'3pro-porción que se conoce y que llamaremos y. Si el punto Pqueda dentro del segmentoP1P:¡la razón y será positiva, ysi el punto P queda fuera del segmento P1p:¡la razón yserá negativa.

, Para obtener las coordenadas del puntoP,procedemoscomo sigue: (F,igura 11).

y

x - xl

C(X'Yl )

Se trazan dos segmentos de rectas paralelos a los ejesde coordenadas que pase.n por los puntos Pt y P2 (figura11); estos segmentos se intersecan formando un ángulorecto en el punto A y sus coordenadas son (X2,Y1),por loque el triángulo P1AP2 es un triángulo rectángulo.

Trazamos el segmento PB paralelo aPtA y el seg-mentoPCparalelo aP2A;Vc3scoordenadas de B son{x2,Y)ylasdel punto C, (X,Y1)'

Luego, los triángulos P1CP y PBP2 que se formanson semejantes, y haremos uso de este hecho para obtenerlas coordenadas del punto P.

Definimos y de la siguiente manera:

P1PY =-

PP2

Al definir y es muy importante que consideremos ladirecciónde los segmentosP1P y PP2.

Haciendo uso de los dos triángulos semejantes que seformaron, obtenemos primero la abscisa x del punto P (verfigura 11).

x

(7)

Obtención de lascoordenadas delpunto dedivisión deun segmento.

45

Sustituyendo P1P por y, P1C por X-Xl y P B porPp"

X2 - X tenemos:

X -Xl'y =

X2 -X

Multiplicando ambos lados de la igualdad por X2 - X Y. efectl:lando, tenemos:

Y(X2 - x) = X - Xl

YX2 - yx = X - Xl

Sumando a ambos lados Xl y yx se tiene:

YX2 + Xl . = yx + X=X(y + 1)

Multipliquemos ambos lados por Y~l" se tiene:

YX2 + Xl

y + 1 = X

Usando la propiedad de simetría de la igualdad y la propie-dad conmutativa para la suma, podemos escribir finalmen-te la fórmu la para X co.mo:

X = (8)

que es el valor de la abscisadel punto P.

Para obtener y se usa la siguiente relación en los trián-gulossemejantesPl CP y PBP2: .

P1P ePpp; =...,-p;

Sustituyendo ~ por y,CPporY-Yl Y BP2 por Y2-Y queda:

46

y = y -. YlY2 -y

-De donde resolviendo para y se tiene que:

Yl + YY2y = 1 + y

Que es el valor de la ordenada del punto P.

Ejemplo 1:

Dados los puntos P1(2,3) Y P2(5,6), encontrar lascoordenadas del punto p(x,y) que está colocado a una dis-tancia doble aP1que aP2.( Figura 12). .

y

6 ,'v~

'"~./~ P,/5.b)

P. P/x.y)p¡ (2.3j ..

5

4

3

2

o 1 2 3 4 6 75

Figura 12

Solución:

Primero encontramos el valor de y; comoP1P=2PP2entonces

P1P 2Ly=-=-=-=2

PP2 lL

(9)

Fórmulas para ladeterminaciónde los valoresde la absisa yla ordenada del

punto de di)llsión.

(

x

47

48

Usando las fórmulas(8)y(9)tenemos:

- 2 + 2(5) - 2 + 10 - 4x-1+2-3 -

- 3 + 2(6) - 3 + 12 - SY-1+2-3 -

Ejemplo2:

Dados los puntos P1(-3.5) y P(2.-4), encontrarlas coordenadas del punto P(x.y) que está colocado a unadistancia que es el triple a P1que aP1 .(Figura 13).

y

4

3

-5 -4 -3 2 '] 4" 5 6 x

-4

-5Figtlra 13

Solución:

P1P 1Ly=-=-=-PP1 3L

1 2-3 +-(2) -3 +-3 3x= =

1 +2.. !.."3 3

73

43

74

1 ' 4 115 +-(-4) 5 -3 3" 113 --=-

y= 1 = 4 -.!.. 41 +3 3' 3

Ejemplo3:

Dados los puntos P1(1,4) YP2(6,6), encontrarlas coordenadas del punto P(x,y) que está colocado fueradel segmento P1P2 y que está a una distancia tres vecesmayor a P1que a P2.

Solución:

P1P 3Ly =-=- =-PP2 -L

Aquí debe observarse que el sentido de la distanciaP1P se consi~era positivo, mientras que el de la distanciade PaP2seconsidera negativo. (Verfigura 14).

y

87

6

5

4

3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura '14

1 + (-3)6 1 - 18x= =1 + (-.-3) 1-3

-17 17= -2 =T

4+ (-3)6 4 -18 -14Y = = =-= 7

1 + (-3) 1.- 3 -2

/

x

49

¿Cómosedeterminael punto mediode un segmento?

50

Ejemplo ~:

Dados los puntos P1(Xl,Yl) y p;¡(x;¡,y;¡),encontrar lascoordenadas del punto p(x,y) que equidista de los puntosP 1 Y P'1. . ( F igura 1 5) .

y

\.. P P,Ix,. 1'» .'J..ij P(x,y)(

~ punto medio)P1(XI, YI) ,

x

Figura 15

Solución:

- -. P1P

ComoP1P = PP,-se tiene que y =-p¡r= 1,entonces,

A las fórmulas (10) Y (11) se les llamafórmulaspara¡ascoordenadas del punto medio de un segmento.

Ejemplo5:

Encontrar las coordenadas del punto medio del seg-mento que une los puntos P1(3,5) YP2(7,7).

Xl + l' X;¡ Xl + X2(10)x= =

1+1 2

Yl + Y2I

Yl + l'Y2 (11)Y = 1 + 1 2'

Solución:

x 3 + 7 = 10 = 52 2

y = 5 + 7 = 12 = 62 2

Ejemplo6:

Encontrar las coordenadas del punto medio del seg-mento que une los puntos Pt (-3,5) y P2(5,-4).

Solución: /

x = -3 + 52

2"2=1

y= 5 + (-4)2

12

5-42

Ejemplo7:

Uno de los extremos de un segmento es Pt (-3,-4)y su punto medio es P(2,3). Encontrar las coor denadasde,jotro extremo.

Solución:

En este caso se conocen las coordenadas de UIIextre-mo del segmento y su punto medio, por lo que podemosusar las fórmulas (10)y (11)para encontrar el otro extremoque llamaremos P2(X2,Y2).

Sustituyendo en (10) tenemos:

'i -;.-:¡-

';:) -.. (eMultipl icando por 2 ambos lados se ti'ene:

4 = -3 + X2

51

Sumándole 3 a ambos lados:

Sustituyendo en (11) tenemos:I

-4=3+Y12

Multiplicando por 2 ambos 1ados:

-8=3+Y1.

restándole 3 a ambos lados:

- 11 = Y1 =>Y1 = - 11

El otro extremo del segmento es P1 (7, -11).

REACTIVOSDE AUTOEVALUACION

1. Cada uno de los siguientes pares de números son las pendientes de dosrectas. En cada caso encuentre el ángulo que forman:

1 3e) -5' "2a) 2,5 b) 2,--3

2. El ángulo entre dos rectas de 45° y la pendiente de una de ellas es 3.Encuentre la pendiente de la otra. Si existen dos soluciones encuentreambas. 1

3. La pendiente ,de una recta es -2 y la inclinación de la otra es 60°

Encuentre el valor del ángulo agudo entre el.las.

4. Las pendientes de dos rectas son -; y ~ respectivamente: halle la

pendiente de la bisectriz. del ángulo que forman.

5. Encuentre los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A(3,1),B(-3,-2) YC(-4,4).

6. Encuentre los ángulos internos del triángulo cuyos vérticess.onA(-6,4),B(-4, -6) YC(2,-8).

52

7. Los vértices de un paralelogramo.son A(O,O),B(5,2), C(6,5) y D(1,3).Encuentre los ángulos inter,nos.

8. Los extremos de un. segmento son P1(-2~3) YP2(S,-2). Encuentre lascoordenadas de su punto medio.

9. Los extremos de un segmento son Pl(-4,--6) y P2(8,lO). Encuentre, las coordenadas de su punto medio.

10 Si el punto P(x,y) está a una distancia 4 veces mayor a Pl (5,3) que aP2(-6,-10) y queda entre P2 y P2. Encuentre las coordenadas de P.

11. Si Pl (-3, -4) Y P2(2,1) Y P. P2 se prolonga hasta P de ta I maneraque la longitud de p. P sea tres veces la longitud de P1P2. Encuentreas coordenadas de P.,

12. Si el punto medto de un segmento es P(6,3) y un extremo del seg-mento es P. (-4, -7). .¿Cuáles son las coordenadas del otro extremo?

13. Un punto P(7,2) está entre p. (3,-2) YP2(9,4). ¿En qué proporción(y) divide al segmento P1P2?

14. Demuestre anal íticamente que las coordenadas del centro de gravedaddel triángulo cuyos vértices son (Xl' Yl), (X2, Y2) y (X3, Y3 ) son

1 1x =3 (Xl + X2 + X3) yy = 3"(vI + Yz + Y3).

15. Demuestre que los segmentos que unen los puntos medios de los ladosopuestos del cuadriláteroA(3,0),B(7,8),C(5,-9) y D(0,-4), se bisectanmutuamente. .

16. Dos de los vértices de un triángulo son A(O,-4) y B(6,O) y lasmedianas se intersecan en (2,0). Encuentre las coordenadas del tercervértice del triángulo.

17. Los vértices de un triángulo rectángulo sonA(2,-1), B(6,1) y C(-2,7).Demuestre que el punto de la hipotenusa equidista de los 3 vértices.

53,

M6dulo4

OBJETIVOSESPECIFICOS


1. Encontrará la ecuaciónde una rectadadassupendientey lascoordena- I

das de un punto de la mi'sma.Determinará la ecuación de una recta, dadas las coordenadas de dospuntos de la misma.Determinará la ecuación de una recta conocidos sus puntos de intersec-ción con los ejes coordenadas".Determinará la ecuación de una recta dadas su pendiente y su intersec-

, ci6n con el eje' Y.Deducirá la ecuación general de la recta.

2.

3.

4.

5.

55

ESQUEMARESUMEN

La línearecta

Definiciónde línearecta

Ecuaciónpunto-pendiente

Ecuacióndos puntos

EcuaciónSimétrica

Ecuaciónpend iente-ordenadaal origen

Coordenadasde unpunto

Distancia deun punto auna recta

56

EcuaciónGeneralde Iarecta

4.1. DEFINICIONDELlNEARECTA

En la Unidad IX, estudió la función lineal y aprendió quela gráfica' de toda función lineal es una recta; en esta lec-ción estudiará las difereQtes formas de la e'cuación de unalínea recta.

Las tres definiciones siguientes le serán útiles en el estudiode la ecuación de la línea recta así como en el estudio deotras curvas que verá en temas posteriores.

Definición: Lugar geométrico es el conjunto de puntoscuyas coordenadas satisfacen ciertas condicio-nes.

Definición: Ecuaciónde un lugargeométrico es cualquierecuación que es satisfecha por las coordenadasde cada uno de los puntos del lugar geomé-trico y solamente por ellos.

Definición: Gráficade un lugargeométrico es la represen-tación geométrica del conjunto de puntos queforman el lugar geométrico.

Los casos particulares de rctas paralelas al eje X o aleje Y, los estudió en el módulo 1 de la Unidad IX por loque aquí estudiaremos el caso general de una recta\que noes paralela a ninguno de los ejes.

Definición: Llámase línea .recta al lugar geométri"co delos puntos tales que tomados dos 'puntos diferentescualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m re-sulta siem'pre constante. .

4.2 ECUACIONPUNTO-PENDIENTE.

Sea L una recta no paralela a ninguno de los ejes yque pasa por el punto Pt (Xt Yt) con pendiente m. (Figura16).

¿Que esunaIínearecta?

57

Obtencióndelaecuacióndeunarectaconocidosunpuntoy lapendiente.

58

..,

y

x

Figura 16

Supongamos un punto P(x,y) cualquiera diferentede PI , entonces P pertenece a L si, y s610 si, la pendiEm-te de P1 a P es m. Luego si obtenemos m usando lascoordenadas de los dos puntos tenemos:

y - Yl = mx -XI

y como L no es paralelaal eje Y por suposición,X :1= Xl'

por lo que, para todo P{x,y) diferente .de Pl (Xl,Yt) laecuaci6n anterior se puede escribir como:

y - Yt = m (x - x.) (12)

A esta ecuación se le conoce como ecuaci6n punto - pen-diente, ya que se conoce un punto por donde pasa la rectaV su pendiente. '

De la ecuación vemos que el punto P1(Xl,Yt) satis-face la ecuación, y que cualquier punto que no esté so-bre la recta no lo satisface.

Ejemplo1:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por elpunto P(5,2) con pendiente igual a 3

Se conocen Xt r 5, Yt = 2 Y m = 3

-sustituyendo estos valores en la ecuación (12) tenemos:

y - 2 = 3(x - 5)

Efectuando:

y - 2 = 3x - 15- 3x + y + 13 = O

- 3x + y + 13 = Oes la ecuación d.e la recta que pasa porP(5,2) con pendiente 3.

Ejemplo 2: ~Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P(-3,5)

d' .

I 4 . 4con pen lente Igl:laa -3se tiene Xl = -3, Yl = 5 Y m = -3

Sustituyendo estos valoresen laecuación (12) tenemos:4

y - 5 = --(x + 3)3

3y - 15 = - 4x - 12

4x + 3y -3 = O

Luego,laecuación pedida es 4x + 3y - 3 = O

Ejemplo3:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por Pl (2,4)YP;¡(-3,-6).

Como no conocemos la pendiente de la recta es necesario

encontrarla usando la fórmula m Y2 - Yl luego:X;¡ -Xl

- 6 - 4 - - 10 = 2m=-3-2--5

Si se conocendos puntos dela recta¿Cuál es su

ecuación? ;

60

Sustituyendo los valores Xl = 2, Yl = 4 Ym. = 2 en laecuación(12)tenemos: .

y - 4 = 2(x - 2)

y-4 =2x-4

-2x+y=O

Para encontrar la ecuadón de la recta también' 'po-díamos haber sustituido los valores X2 = -3, Y2 = -6 Y m = 2.

Haciéndolo as"í,tenemos:

y - (-6) = 2[ X - (-3)]y + 6 = 2(x + 3)

y+6 =2x+6

-2x + y = O

Como se puede' ver, la ecuación a que se llega es lamisma, por lo que podemos tomar las coordenadas de lospuntos Pl Ó P2 para sustituir en la ecuación de larecta quedándonos la misma ecuación.

4.3 ECUACIONDOSPUNTOS

En general si se conocen dos puntos por donde pasa larecta, siendo .~stos P1(Xl, Yl) YP2(X2:Y2) podemosescribir la ecuación de la recta como:

A estas dos ecuaciones que son equivalentes .se les llamaecuación dos puntos y podemos también escribirlás como:

y. - y, Iy - Yl = (x - x.)

X2 - Xl

- - - -- -

y - Yl - Y2 - Yl(13)X -Xl X2 - Xl

Ó

y - y _)'2 -)'1(14)X-X2 X2 - Xl

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por Pl (-4, 7)YP2(3,-8).

Se tiene Xl = -4, Yl = 7, X2 = 3 y Y2 = -8

Sustituímos estos valores en la ecuación (13) ó (14);lo hacemos en la (13) Y tenemos

y-7X - (-4)

-8-73 - (-4)

y - 7 = - 15x+4 3+4

y - 7 - - 15x + 4 -~

7(y - 7) = -15(x + 4)

7y - 49 = -15x - 60

15x + 7y + 11 = O

Sustituya los valores de Xl, Yl, X2, Y2 en la ecua-ción (14) y obtendrá la misma ecuación.

4.4 ECUACIONSIMETRICA

Usando la ecuación (13) ó (14). podemos llegar a unaforma muy útil de la ecuación de la recta. Si la recta no esparalela a ninguno de los ejes, interseca a los ejes en unpunto. Si (a,O) es la intersección con el eje X y(O,b)laintersección con el eje 1': entonces conocemos dos puntospor donde pasa la recta y podemos -encontrar su ecuaciónsustituyendo los valores de. las coordenadas de los puntosen la ecuación (13)ó (14),

Consideramos al punto (a,O)como Pl y a (O,b)comoP2y sustitu ímos en la ecuación (13)

Si conocemoslasinterseccionesde una recta

con los ejescoordenadostambiénpodremosdeterminarsu ecuación. .

61

62,f

y-Ox-a

b-O

O-a=

x-a a

ay = ":-b(x - a)

ay = -bx + ab

bx + ay = ab

bx + ay = abab ab ab

(15)

A la ecuación.:..+L = 1 se le llama ecuación intersec-. a bciones con los ejes ó forma simétrica.

Esta ecuación no se puede usar si la recta pasapor elorigen (0,0). ¿Por qué?

Ejemplo1:

Encontrar la ecuación de la recta que intersecta al ejeX en (5,0) y al eje y en (O,-6).

Se tiene a = 5 Y b = -6, sustituyendo estosvalores en laecuación (15), tenemos': .

x Y--+-= 15 -6

x -1...= 15-6

6x - 5y = 30

6x - 5y - 30 = O

4.5 ECUACIONPENDIENTE- ORDENADAAL ORIGEN

Si conocemos la intersección con el eje Y, (O,b) Y Ecuacióndeconocemos la pendiente (m) de la recta, usando la ecua- la rectación (12), tenemos: I cohocidasm y!l

y - b = m(x - O)y-b = mx

y = m:x+b (16)

a la ecuación y = m:x + b se le conoce comopendiente-.ordenadaal origen.

Ejemplo1:

Encontrar la ecuación de la recta que interseca al ejeYen (0,4) con pendiente -3.

m = -3 Yb = 4, sustituyendo estos valores en (16)tenemos:

y = -3x + 4Ó

3x + y - 4 = O

4.6 ECUACIONGENERALDE LA RECTA

Para terminar el estudio de la ecuación de la línearecta vamos a considerar la ecuación lineal o ecuación deprimer grado en x,y de la forma Ax + By + C = O,donde A, B YC son constantes reales tales que A y B nosean ambas cero y probar que toda ecuación de esta formaes el lugar geométrico de una recta.

1. Si B = O,A no puede ser cero por definición, por loque la ecuaciónse puede escribir como:

A:x+C=O

63

/

¿Cuáleslaformageneraldela recta?

64

Resolviendo para x tenemos:

Cx = - A

que es la ecuaciÓn de una recta paralela al eje Y e inter

sectando al eje X en (._E.., O)A

2. Si B :1=O, tenemos:

Ax+By+C=O

Resolviendo para y se tiene:

A Cy = --x--B BSi comparamos esta ecuación con la ecuación (16),

A .vemos que representa una recta con m = -li e intersec-

ción con el eje Y igual a - E-B

En ambos casos hemos encontrado que la ecuaciónAx + By + C = O representa la ecuación de una recta.

A la ecuación Ax + By + C = Osele conoce comoforma general de la recta.

Ejemplo1:

Una recta pasa por P.(1,3) y ,P2(-2,~5).Encontrar la ecuación de la recta y escribirla en todas lasformas que se han estudiado en esta lección. .

Usando la ecuación (13), tenemos:

y-3x-1

= -5-3-2-1

y-3x-1

-8---3

--- ...- - - - ...

y-3x-1

83

(Ecuación dos puntos)

y - 3 = i (x - 1) (Ecuación punto - pendiente)3

3(y - 3) = 8(x - 1)

3y-9=8x-8

-8x + 3y - 1 = O (Ecuación forma general)

-8x+3y=1

-x y 1-+-=-3 8 24

x y- +- = 13 8-- -24 24

(Ecuación forma simétrica)

Resolviendo para y de la forma general se tiene:

y =~x +L (Ecuaciónpendiente - ordenada al origen).3 3

Ejemplo2:

Encontrar la pendiente y las intersecciones con losejes de la recta cuya ecuación es 4x - 3y = 24.

Reso!viendo para y la ecuación, tenemos:

4 24Y =-x --3 3

Luego4

~ =3Para obtener la forma simétrica de la ecuación dividi-

mos ambos miembros entre 24

65

¿Aquéllamamosdistanciadeunpuntoa unarecta.?

66 .

4x - 3y = 2424 24 24

~ + ~= 16 -8

luego a = 6, b = - 8

4.7 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO.

Uno de los conceptos de gran utilidad cuando se trabajacon puntos y rectas y las relaciones entre ellos, es la distan-cia de una recta a un punto, distancia que consideraremossiempre como la mínima, es decir la distancia medida sobrela perpendicular a la recta dada y que pasa por el punto'dado.

'El primer caso que consideraremos es la distancia deuna recta paralela al eje Y al punto Pl (Xl, Yl); si la ecua-ción de la recta esX = e y las.coordenadas del punto son(Xl,Yl) la distancia de la recta al punto es IXl - el ya

sea que el pun,to esté a la derecha o a la izquierda de larecta. (Figura 17).

y ,Y

d

d

x =c x =c

x x

Figura 17

El segundo caso que consideramos es el de la distanciade ,una recta con ecuación y = mx + b al origen.

y

Figura 18 .

x

Tracemos por O una perpendicular a la recta 1,' YseaN el punto de intersección. Puesto que O N es perpendi-cular a 1 y pasa por el punto (0,0), su ecuación es:

1Y = --x

m

Si resolvemos el sistema formado por las ecuaciones

y=mx+b1

- --x,Y y - mlas coorde-

nadas del punto N son:

-bm bx = m2 + 1 ' Y = m2 + 1

Para encontrar la distancia entre N y O usamos la Obtenciónfórmula de la distancia entre dos puntos (Unidad XIII), de lafórmulaluego: de la distancia.

~ ,

67

NO j( -bm O) 2 + (m2 b+ 1 0)2= m2 + 1

Áb' m' b'= (m2 + 1)2 +. (m2 + 1)2

¿Qué esunarectadirigida?

68

= b2 m2 + b2

(m2 + 1)2

= b2(m2 + 1)(m2 +- 1)2

= ~b

..¡m2 + 1

La distancia de la recta 1 al punto Oes la distanciadirigida * N o. De la figura se ve que el signo de N O esopuesto al signo de b(b = OB). Considerando esto tenemosque:

. -bN O = d. = -

~+1

El tercer caso que consideramos es el de la distanciade una recta cuya ecuación es y = mx + b a un puntoPl (Xl' yd. (Figura 19).

y

x

Figura 19

*Una recta está dirigida si la distancia en un sentido espositiva, y en sentido contrario es negativa.

Por el punto PI (XI, YI) trazamos una recta [' paralelaa 1,por Ouna recta perpendicular a 1 y por lo tanto perpen-dicular al'; sean N y N los puntos de intersección con 1y /' respectivamente.

Dado que [' es paralela a 1, su ecuación es:

y = mx + b'

y puesto que l' pasa por PI (Xl, YI), su ecuación la pode- Interpretaciónmas escribir como: delsignode la

distancia.

ó

La distancia d, desde 1 hasta PI es igual a N N Yestadistancia es positiva si PI queda arriba de 1,y negativa si PIqueda abajo de l. Como O,N Y N son puntos sobre unarecta dirigida, en todos los casos tendremos que:

d = NN = NO+ON

pero NO

=NO-N'O*

-b=

y NO= - b'

Sustituyendo estos valores en d, tenemos

d = NN = -b

Vm2 + 1- b'---

= - b + b'V m2 + 1

* O N = - N' O por ser rectas dirigidas.

69

~",' , ,', ¡,.~~. ,

f-,', "

70

-.

b' - b=

pero b' = YI - mXI, entonces:

I d = N N - y, - mx, - b I

V m2 +-1. ,

A esta expresión se le conoce como fórmula de ladistancia de una recta a un punto.

(17)

Ejemplo1:

Encontrar la distancia de la recta 2x - 3y + 6 = Oal punto PI (5,3).

Primer9 resolvemos para y para que la ecuación que-de de la forma y = mx + b, así:

2~=~x+2

2De los datos tenemos que Xl = 5, YI = 3, m =3Y b =' 2r

sustituimos éstos valores en la fór.Q1ula (17) quedando:

- 2' . .

3,-(T)(S)-2d=

le), + 1

" ~

10'3 2'

3

j ;+19- 10 -6

3

'14+93

'"

= -7

Vi3

Por el 'signo de d sabemosque el punto p. (5,3) quedadebajo de la recta.

Ejemplo2:

Encontrar la distancia de la recta y = - 4x - 27 alpunto P. (-6,3).

De los datos tenemos que XI = -6, Yl = 3, m = - 4 Y b = - 27.Sustituímos estos valores en la fórmula (17) y nos queda:

3 - (-4) (-6) - (-27)d=V (-4)2 + 1

3 - 24 + 27

V 16 + 1

= 6

ViT

. En este eiemplo el punto queda arriba de la re~taporser d positiva.

Cuando la ecuación de ~ recta es de la forma Ax + By + C = 01la distancia de la recta al punto P.(x., Y.) está dada por:

d = IAx. + By. + CIVA2 + B2

. (18)

Dado que el numerador es un valor absoluto, estafórmula considera la distancia siempre positiva.

71

72

Ejemplo 3:

Encontrar la distancia de la recta 3x + 4y + 5 = Oal punto Pl (1,4); sustituyendo en la fórmula (18)tene-mos:

d = 13(1)+ 4(4) + 51

= 13 + 16 + 51

\/ 9 + 16

L2ilViS

24--r

Ejemplo4:

Encontrar la distanciade la recta 2x - 3; - 4 = Oal punto Pl (-4,2).

Sustituyendo en la fórmula (18) tenemos

12(-4) - 3(2)- 41d=\/ 22 + (-3)2

= I - 8 - 6 - 41\/4+9

1-181= Vi3

= 18

VT3

Ejemplo5:Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son

A (2,1), B(8,3) Y C(4,9) Ver figura 20.

El área de un triángulo está dada por la fórmula:

1 .

Area ="2(base) (altura)

Entonces, se puede tomar cualquier lado como base yse traza una recta perpendicular desde ese lado, al vértice,opuesto que nos representa la altura (h). En este ejemplotomamos como base el lado AB y h es la altura, por lo que:

1 -Area ="2 (AB~ h

\

y

/9~

76

C(4,9)

B (8,3)

54

3

2

J

01 J 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 20

Para encontrar la altura h se necesita la ecuación dellado AB, la que obtenemos por medio de los puntos A y B.

y-1x-2

3-18-2

2 1- ----6 3

=

3y-3=x-2

-x+3y-1=O

x

73

Usando la fórmula (18) de la distancia de una recta aun punto, tel1emos:

h = I - 4 + 3(9) - 1 JV (-1)2 + 32

- I - 4 + 27- 1 IV1+9

= l.EJvrrr22

, = V 10

Para obte'ner la longitud AB, usamos la fórmula de ladistancia entre dos puntos, quedando:

A B = V (8 - 2)2 + (3 -1)2

= ..¡36 + 4

= V40

= 2'¡¡¡¡

Luego, ej área del triángulo es:

1 22 )Area =- (2 ViO> ( V 102 .

= 22

74


En los problemas del 1 a 18, escriba las ecuaciones de las rectas determi-nadas por I~ssiguientes condiciones:

1. Pasapor (-4,5) y (7,9).2. Pasapor (3,0) y (6,-4).3. Pasapor (O,8)'y (-4,-5).

4. Pasapor (1,3) y tiene pendiente 1:..2.

5. Pasapor (-5, -3) Y tiene pendiente- ;.

6. Pasapor (0,0)y tiene pendiente ,~.

7. a = 4 Y b = 5. .

8. Pasapor (0,5) y tiene incl inación de 45°.9. Pasapor (-3,2) y tiene inclinación de 135°.

10. Pasapor (4,4) y es paralela al eje X.11. Pasapor (-3,6) Y es paraleia al eje Y.12. Esparalela al eje Y y está 5 unidades a la izquierda de él.13. Su intersección con el eje X es 6 y su incl inación es de 60°.14. Su ordenada al origen es 4 y su inclinación es de 45°.15. Pasa por (2,5) y se eleva 3 unidades por cada unidad que se incre-

menta ia x.. 16. Pasa por (-3,2) y desoiende 2 unidades por cada unidad que se in-

cremen-~ala. x. '. . .. 17. Pasapor (3,7)y es paraleia a la recta con ecuación 2x - 3y+ 4 = o.

l..

18. Pasapor (-1,-6) Y es perpendicular a la recta con"ecuación x - 5y+ 6 == o.

19. Demuestre que la recta que pásapor fos puntos (5,-4) y'(~2,7) es perpendicular y bisecta al segmento de recta determinado por lospuntos(-4, -2) y {7,S). .

20. Encuentre !as ecuaciones de los lados del triángulo cuyos vértices sonA(-3,2), B(5,6) YC(l,-4).En los problemas del 21 al 28 encuentre la distancia de la recta dada al

punto dado y diga sin trazar la recta y el punto, si el punto está arripa odebajo de la recta.

75

21. P(S,7),'3x - Sy + 4 :::;: O.

22. P(-1,3),' x + y - 4 = O.23. P(2,-4),' 2x + 3y - 6 = O.

24. P(-S,8),' x + 2y + S = O.

25. P(3,1),' x - y = O.

26. P(4,O),'x + y = O.

27. P(O,O);3x + 2y - 12 = O.

28. P(O,3),'x - 3y + 3 = O.

29. Encuentre la altura correspondiente al lado B C del triángulo cuyosvértices son A(1, -2), B(7,O)y C(3,3).

30. Determine el área del triángulo cuyos vértices son A(-4,-4), B(6,-6)C(O,3).

76

- - - ---- - ---- -- --

Panelesdeverificación

MODULO 1 - VALlDACION

1. m = 3 ,. e = 710.33'

2. m = - ~ ; e =:=1800 - 690 30' = 110030'

3. m = i.. e = 530 6'3 ;

14. m = - '3; e = 1800- 18° 26' = 161° 34'

5. m = - ~ ; e = 180°- 35030' = 1.4030'

6. m = ~ ; e = 60 22' ,

7. m = - 1 ; e = 1800- 45° = 135°

.8. m = O ; e = 0°

9. m no definida; e = 900

1O. m = 1 ; e = 45°


1---2

Luego. Pl, P1.,P3 están en línea recta.

2. m de P1 a P1. = 3 ; m de P1. a P3 = 3.

Luego, P1, P1., P3 están en línea recta.

2

3. mAB ="5 y2

mnc - 5

77

mAD = 3 y

Luego, ABIIDC y ADIIBC, por tanto, ABCD es un paralelogramo.

Luego ABIIDC y ADIIBC, por tanto ABCD es un paralelogramo.

5. A B = V29

AD = ViO

y DC = V29

B C = y¡¡¡-y

Como los lados opuestos en el cuadrilátero son iguales, ABCD es unparalelogramo.

6. y5

- -2

ComompIP3 y mp1P2 son recíprocas y de signo contrario P1P3 J.P1P2

Y por tanto, el triángulo P1P2P3 es rectángulo.

7.5 4

mAC = -7 y mBC =T

Como mAC Y mBC son recíprocas y de signo contrarioV por tanto, el triángulo ABC es rectángulo.

AC .l BC

Como las pendientes de los lados que son adyacentes son recíprocas yde signo contrario, estos lados son.perpendiculares, por tanto, el cuadri-látero es un rectángulo~

Usando el teorema de Pitágoras tenemos:

c:-7~ "..

.... 10r...."..¡ .~~

. .

4. mAB = -1 Y mDC = - 1

. 3 3mAD = 2' y 1hBC = "2

8.8 3

mp1P2 = -3 V mp2P3 .8

8 3

mp3 P 4= -y ymp1P 4=8

Si sustitu ímos la longitud de los lados se tiene:

?(v'29)2+ (Y261)2= {Y290)2

?29 + 261 ~ 290

290 = 290

Como sí se cumple el teorema de Pitágoras, concluimos que el triánguloPtP2P3 es un triángulo rectángulo.

10. Longitud de la diagonal Pt_P3 = Y146

Longitudde la diagonal P2P4 = Y146


1. ~) 15° 12'

2. i Ó -2

3. 86° 24'

~ 14. 2 0-"2

5. 49° 46' , 72° 54' , 57° 20'

6. 22° 22' , 119° 45' , 37° 53'

7. 49° 30' , 130° 30' , 49° 30' , 130° 30'3 1

8. x ="2' y = 2"

9. x = 2 , y = 219 37

1O. x = - 5" ' .y= - 511. x = 12 , Y = 1112. x = 16 , Y =' 1313. r = 2

16. x = '0 , y = 4

b) 45° e) 67° 36'

,,:,' . ... .t.'79

MODUL04 VALlDACION

1. 4x - 11y +' 71 = O

2. 4x + 3y - 12 = O

3. 13x - 4y + 32 = O4. x - 2y + 5 = O

5 4x + 3y + 29 = O

6. x..-:. 3y = O

7. 5x + 4y - 20 = O

8. x ~ y + 5 = O9. x + y + 1 = O

1O. y = 4

11. x=-3

12. x = - 5

13. V3x - y - 6 V3 = O14. x - y + 4 = O15. 3x - y - 1 = O16. 2x + y + 4 = O17. 2x - 3y + 15 = O18. 5x + y + 11 = O20. Ecuación delladoAB : x - 2y + 7 = O

Ecuación delladoAC : 3x'+ 2y + 5 = O

Ecuación delladoBC : 5x - 2y - 13 = O

16

21. d = Vf42

22. d = V2

14 ; debajo.23. d = Vi3

; arriba.

; debajo.

24 16. 'b. d = - I arn a.VS

80

25. d =~ ; debajo.V2

24 .

6. d =- ; arnba.Vi"

12d b

.27. d =; - ; e aJo.

Vii6 .

b28. d =- ; arn a.y¡¡¡

-

2629. Altura =-5

30. Area ~ 39

f

81

UNIDAD XVIIISECCIONESCO~ICAS.CIRCUNFERENCIA. '.

PARABOLA. TRASLACION DE EJES.

lótroducción"

~:.==::=~ ",,=..;;:=: -- -'" e;;- ~:o:- Enuni.c!~desanteriores ha estudiado las gráficasde alguTIaS'~~~ . "'

~ ~ esta unidad\ltas=cm-_rá cuatro curvasque por su impor-tarfcta~~~aplicaciones que tienen en alguna~- .' es necesarioestudiarlas éñ forma exhaustiva. Cada una de estas curvas se-describirá com ~--un lugar geornétricO:y""demQstraremos que cada una de ellas es la gráfica deuna eC4ación cuadrática en x V/o y, ecuación que se puede representar comoun caso especial de la ecuación general

Ar +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=O

donde A. B V C no todos son cero.

- Estas cuatro curvas que son: circunf..~rencia,parábola, elipse e hipér-bola, se les llama cónicas debido a que se punden describir como la.curva quese genera aJ intersectar un plano con un cono recto circular.

Estudiaremos en esta unidad la traslación de ejes con objeto de quecomprenda las ecuaciones de las curvas cuando su centro no coincide con elorigen de los ejes coordenadas.

85

ObjetivosGenerale's.

~ !!!!!

~-::;;!!':

':' ~ ~~

, 86

!!!i '= ~"'!: '"


1.2.3.

Identificará las secciones cónicas.Definirá la circunferencia.Deducirá la ecuación cartesiana de una circunferencia con centro en elorigen y. radio conocido.Definirá la parábola.Identificará los elementos de la parábola.Expl icará el proceso conocido como traslación de ejes.

4.5.6.

- - - - - - - - - --- -- - -- - --

Diagramatemáticoestructural

87

Secciones LaCónicas .. circunferencia

LaParábola

Transformación Traslaciónde \.

de,

Coordenadas Ejes

Glosario

Cónicas: Cuatro curvas que se general al intersectar de cierta manera unplano a un cono recto circular; siendo estas curvas la circunferencia, laelipse, la parábola y la hipérbola.

Circunferencia: Geométricamente se describe como la curva que resulta de laintersección de un cono recto circular y un plano paralelo, a la base delcono.

Circunferencia: Es el lugar geométrico de. todos los puntos en el plano queequidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación de la circunferencia: Toda ecuación de la forma(x - h)2 + (v - k)2 = r2o de la formaAx2 + Bv2 + Dx + Ey + F = O

Radio de i"acircunferenc'ia: Distancia del centro de la circunferencia a cual-quier punto de la misma. Se representa por r.

Parábola: Geométricamente se -describe como la curva que resulta a! inter-sectar un cono recto circulary un plano paraleloa lageneratrizdelcono.

Parábola: Es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de unpunto fijo dado (foco) y de unq recta fija dada (directriz) que no pasepor ~I punto. .

Directriz de la parábola: Recta perpendicular al'eje de la parábola.

Lado recto: Cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de laparábola. '

, \

Radio fo.cal: Distancia que hay entre el foco de una parábola y cualquierpunto de la misma.

Traslación de ejes: Desplazamiento de uno o ambos ejes de un sistema decoordenadas rectangulares de tal manera que, el origen quede en unanueva posición, pero permaneciendo cada eje paralelo a los ejes origi-nales. '

88

'"- -- - . -- -- - - - - -- - -- --- -

Módulo5

'Q-BJETIYOSESPECIFICOS

1.

Al terminar"deestudiarestemódulo, elalu~ ---

-----

Determinará la ecuación cartesiana de una circunferencia dadas las coár-

denadas de su centro y su radio.

Encontrará las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia

dada su ecuación.

Representará gráficamente una circunferencia a- partir de su ecuación

cartesiana.

Determinará la ecuación de una circunferencia dadas las coordenadas de

tres de sus puntos.

- -

2.-,.

3.

4.

ESQUEMA-RESUMEN

89

DefiniciónLa

delaCircunferencia

,

circunferencia

'v

E:cuaciónEcuación

....generalcartesiana de la rdela

circunferenciacircunferencia

..,11'

CircunferenciaCoordenadas

determi nada""\deun ,

por trespuntocondiciones.

¿Quéesunacircunferencia?

90

5.1 DEFINICIONDELACIRCUNFERENCIA.

De las cuatro cónicas, la circunferenciaes lamássim-ple y geométricamentese describecomo la il1terseooiónde.un cono recto circular y un plano p-araléTo-a la base delcono. (Figura 1.) ~=;:.---

Figura 1

Definición.- La circunferencia es el lugargeométricode todos los puntos en el plano que equidistan de unpunto fijo llamado centro.

5.2 ECUACIONCARTESIANADE LA CIRCUNFERENCIA.

Para deducir la ecuación de Ié\ circunferencia, hace-mos uso de la (Figura 2.) .

y

x

Figura 2

Sea P(x,y) un punto cualquiera de ia~circunferencia .

~Qr:1.centro" en (h,k) y radio igüai a r. Puesto que por ladefinición el radio es GOiistante,tenemos que para todas lasposiciones d§._Pst>bre la circunferencia.

--,--:;;'--CP= r

Usando la fórmula de la distancia entre dos puntostene mas: .

v(x - h)2 + (y - k)2 = r

-

-r'

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad Lacircunferencianos queda estád_eterminada

por uña ecuación.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

A esta ecuación se le llama ecuación cartesiana de lacircunferencia y se puede usar para escribir la ecuación decualquier circunferencia, cuando se conocen lascoordenadasdel centro y el radio de la circunferencia.

Ejemplo 1: .

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centroen (5,,2)y radio igual a 4.

Como el centro está en (5,2) entonces

h=5,k=2 Y r=4

Sustituyendo estos valores en la ecuación (1), tene-mos: .

(x - 5)2 + (y - 2)2 = 42 ,

(x - 5)2 + (y - 2)2 = 16

Ejemplo 2

Encontrar la ecuación de la circunferencia con centroen (-3,4) y radio igual a 5. En este caso .

(1)

:---h=-3, k"~

Sustituyendo en la ecuación (1) t~s~

-=

[ x - (-3)] 2 + [ y - 4] 2 = 52

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25

;:

Si el centro está en el origen h = O Y k = O la ecuación(1) se reduce a:

--~'-o iiii

(x - 0)2 + (y - O)~.'= ,.,.

x2 + y2 = ,.,.

Esta ecuación la estudió en la Unidad XIII.

La posición y tamaño de la circunferencia dependende tres constantes arbitrarias h, k Y r dado que (h,k) sonlas coordenadas del centro pueden ser positivas o negativasen tanto que r es necesariamente positivo.

5.3 ECUACIONGENERALDE LA CIRCUNFERENCIA

Si desarrollamos la ecuación (1) y agrupamos los tér-minos semejantes, tenemos:

'y dado que -2h, -2k y h2 + k2 -,.,. son constantes,podemos escribir la ecuación anterior como:

x2 +y2 +Dx+Ey+F=O (2)

en donde D = - 2h, E = -2k y F = h2 + k2 - ,.,.

A la ecuación (2) se le llama forma general de laecuación de la circunferencia. Si la ecuación de la circunfe-rencia tiene la forma (2) podemos reducirla a la forma (1)completando cuadrados en x y y proceso que estudiare-mos más adelante.

92

--

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=O

Laecuacióngeneraldesegundogradorepresentaunacircunferenciacuando...

Puesto que la ecuación general de segundo gradoen x y y es

esta ecuación puede reducirse a la forma general de la ecua-ción de una circunferencia si. y sólo si, B = O Y A = C.Cuando B = O.A = C -y A. C =1=1 la ecuación general pue-de reducirse a la forma (2) dividiendo la ecuación porA ó C ya que A = C.

Probaremos en seguida que si la ecuación (2) es satis-fecha por las coordenadas de más de un punto, es la ecua-ción de una circunferencia.

Demostración:

x2 +y2 +Dx+EY+F=O Hipótesis.

x2 + y2 + Dx + Ey = - F Se sumó a ambos ladosd~ la igualdad. -F.

D2 W D2 Wx2 + Dx +- + y2 + Ey +~ =- +- -F Se sumó a ambos lados

4 I 4 4 4 de la igualdad D2 E2'4 '4

gue son los cuadrados dela mitad de los coeficien-tes de x y y, con el obje-to de completar el cua-drado perfecto en x y. y

= D2 + F! - 4F4

El lado izquierdo seescri-bió como binomios alcuadrado y se efectuó laoperación indicada en ellado derecho de la igual-dad.

D2 + F! - 4F .4 (3)

93

94

. D~ + W - 4F h d d d 1,

SI 4 <O, no ay coor ena as e a gun

punto que satisfagan la ecuación puesto que del lado iz-quierdo de la igualdadse tiene una suma de cuadrados.

Si D2 + W - 4F = O las coorde~adas de un solo punto4

satisfacen la ecuación, sierid0 este pun.to

(1J E

) . ~ + El - 4F- 2" '-"2 ,. SI 4 >O,

tenemos la ecuación de una circunferenciacon centro en

(- ~,- ~) y.radio igual - a ~ V~ ,+ W -' 4F.

Ejemplo1:

Encontrar el centro y el radio de la circunferenciacuya ecuaciónes2x2 + 2y2 + 8x + 12y- 24 = O.Trazar lacircunferencia.

Dividiendo entre 2 la ecuación de la circunferencia,tenemos:

x2 + y2 + 4x + 6y - 12 = O

Se ,suma a ambos miembros de la igualdad + 12 y secompletan cuadrados quedando:

x2 + 4x + 4 + y2 4- 6y + 9 = 12.+ 4 + 9(x + 2)2 + (y + 3)2 = 25

. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 52

Si comparamos esta última ecuación con la ecuación(1) tenemos que h = -2, k = - 3 yr = 5 por lo que elcentro es C(-2, -3) y radio = 5.( Figura 3.)

Figura 3

, Ejemplo2:

Encontrar el centro y el radio de la circunferenciacuya ecuación es 3x2 + 3y2 + 10x - 12y + 5 = O.

Dividiendo entre 3 la ecuación, nos queda:

10 5x2 + y2 .+ - x - 4y +- = O

3 3

Sumando a ambos miembros de la ecuación - ~ ycompletando cuadrados tenemos: 3

10 25 5 25x2 +-x+-+y2-4y+4=--+-+4

3 9 3 9

-15 + 25 + 369(x + 1) 2 +

(x +])2 +

(y - 2) 2 =

(y - 2)2 = 46. 9

5Luego h =-- k = 2 y r =, 3 ' 46 - 1 V469- 3

/

¿Cuálessonlastres condiciones

que determinanunacircunferencia?

96

: --............

'- ~ 5 1por lo que el centro eS.(-- 3 ' 2) Y radio =- \/46.

~ 3

5.4 ClRCUNt=ERENCIADETERMINA.DAPOR TRES.CONDI-CIONES - - ~ =--

Si consideramos la ecuación (1) (x- h)2+ (y - k)2= ró la ecuaciÓn (2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = O, en 9mboscasos tenemos tres constantes independientes que sonh, k Y r para la ecuación (1) 6 D, E Y F para la ecuación(2); esto representaimpl ícitamenteque laecuaciónde unacircunferencia queda _determinada por tres condiciones in-dependientes, como se verá en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasapor los puntos (5,1), (4,6) Y (2,-2). Encontrar su cen-tro y su radio. Podemos usar la ecuación (1) ó (2) paraencontrar la ecuación de la circunferencia, usamos la (2):

x2 + y2 + Dx + Ey + F :::; O

Dado que todo punto que pertenezca a la curva satis-face su ecuación, sustituyendo los tres puntos dados en laecuación,tenemos: ~

, Para (5,1)

52 + 12 + D(S) + E(1) + F = O

sD+E+F;=-26

Para (4,6)

42 + 62 + D(4) + E(6) + F = Oó

4D + 6E + F = - 52

Para (2, -2)

-- . - -- --- - ------------

22 + (-2)2 + D(4) + E(-2) + F = Oo

2D-2E+F=-8

por tanto, tenemos el siguiente sistema de tres ecuacionescon tres incógnitas: '

5D +E+F= -264D + 6E + F = - 522D-2E+F=-8

Resolviendo este sistema por el método que se dio enel módul04 de la Unidad IX, se tiene que:

Sustituyendo estos valores en la ecuación (2) tene-mos:

Multi"plicando por 3 ambos miembros de la ecuación,se tiene

3x2 + 3y2 - 2x - 16y - 52 = O

que es la ecuación de la circunferencia que pasa por los 3puntos dados, (Verifique que los tres puntos dados satisfa-cen la ecuación obtenida).

Para encontrar el centro y el radio usamos el método.de completar cuadrados.

3~ + 3y2 -.2x - 16y - 52 = O

Dividiendo entre 3 tenemos:

. x2 +.y2 -~x _16 y - 52 = O, .. 3 3 3

97

Completando cuadrados se ti~ne,, ¡

2 1 2 16 64 52 1 64x2--x+-+y --y+-=-+-+-3 9 3 9399

entonces, c( 1, -}) y radio = '12213

Si en lugar de completar cuadrados usamos la ecua-ción (3) para encontrar el centro y el radio tenemos que:

, - D E j D2 + W - 4F- h = -2' k = -"2 y, r = 4

D I . ,D

. 2E

16e a ecuaclOn tenemos que = -- = --

3 ' 3

y F == - 52 sustituyendo' estos valores en h, k Yr se tiene3

2 16, -3 '1' . -3 8h=--=- 'k=--=-

2 3' ," 2 3

r =

,

(1 8

)'. '1221 .

Luego e "3'"3 y radio = ~ que es lo mismo

que habíamos encontrado.

98

REACTIVOSDE AUTOEVALUACIOr\

1. Encuentre la ecuación de la cirClll1ferencia en Laforma cartesian~ yredúzcala a la forma general.a) Centro en (3,4), radio 5.b) Centro en (-4,6), radio 6.c) Centro en (0,-5), radio 8.

2. Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias:a) (x - 6)2 + (y + 4)2 = 49b) (x + 3)2 + (y - 1)2. = 64c) x2 + y2 - 20x + 40, + 379 = Od) 3x2 + 3y2 + 36x - 12y = O

3. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguien-tes condiciones: .a) Tiene su centro en (~4, -2) Y pasa por (1,3). ,b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje X. .

c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es4x - 2y + 10 = O.

d) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambosejesyradio igual a 4.

e) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6.4. Grafique las drcunrerencias que se dan en los mcisos b, e, o y e del

problema 3.5. Describa el lugar geométrico que representa cada una de las'siguientes,

ecuaciones:a) x2 + y2 - 10x+ 8y + 5 = Ob) x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = Oc) x2 + y2 - 10x - 6y + 90 = Od) 2X2 + 2y2 + 4x - 12y - 30 ~O

6. Encuentre las ecuadones de las circunferencias que pasan por los pun-tos:a) A(3,4), B(-1, -4) YC(S,2).b) A(7,9), B(12, -3) YC(-5, -7).

7. Encuentre la, ecuación de la circunferencia con radiQ = VTf y tan-gente a la recta 4x - 6y + Z= Oen (1,1). .

8. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por A (2,3) yB(-1,6> Y su centro está sobre la recta 6x + 15y + 3 = O.

9. Encuentre la ecuación del lugar geométrico del vértice de un triángulorectángulo para el cual los extremos de la hipotenusa son (-2,1) y (8,3).

10. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distanciaal orígen es siempre el triple de su distancia al punto (8,0).

11. Demuestre que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) Y(V5,2) están sobre unamisma circunferencia. .

.\'

.'

99

Módulo6



1. Obtendrá las coordenadas del foto y la ecuación de la directriz de unaparábolaa partir de su ecuación. \

"Representará gráficamente una parábola dada su ecuación cartesiana.Obtendrá la ecuación cartesiana de una parábola que satisface ciertascondiciones dadas.

2.3.

ESQUEMA-RESUMEN

La parábola ~

Características

de la parábola.

101

Definición

de la parábola

.

,.-

"

Ecuacióncartes!ana de

....

..la parabola .

¿Aquéllamamos

"parábola?

- Elementosdela parábola.

102

'---

6.1 DEFINICIONDE LA PARABOLA. '

Esta cónica llamada parábola, se describe geométricamentecomo la curva que resulta al intersectar un" cono rectocircular y un plano paralelo a la generatriz del cono. (Figu-ra 1.)

Figura 1.

,

Definición: Parábola es el lugar geométrico de todoslos puntos que equidistan de un puntó fijo dado V deuna recta fija dada, que no pase por el punto~

Al punto fijo se le llama foco y lo representaremoscon F, a la recta fija se le llama directriz. La distancia entreel foco y la directriz la representaremos por 2p (p > O).

. La recta perpendicular a la directriz y que pasa por eJ foco-se llama eje de la parábola.

Basándonos en la definición de parábola," el puntomedio entre la directriz y el foco pertenece al lugar geomé-Úico y este punto se llama vértice. (Figura 2.)

6.2 ECUACIONCARTESIANADE LAPARABOLA.DIRECTRIZ.LADO,RECTO.

Para obtener la ecuacrón de la parábola empezaremos porel caso más simple haciendo que el vértice coincida con elorigen del sistema de coordenadas y que el eje de la pará-bola sea el eje X ó el eje 1': Puesto que las ramas de la

. parábolase pueden extender hacia arriba o hacia abajo, a laderecha o a la izquierda, tendremos una ecuación para cadacaso. Empezaremos por el caso de una parábola en la quesus ramas se extienden hacia la derecha, con vértice en el ,

origen y su eje es el eje X. (Figura 2).

y

N (-p,ly)

EJE

x =-p

Figura 2

Dado que la distancia de la directril al,fóco es 2p, lascoordenadas del foco son (p,O) y la ecuación de la directrizes x = - p (ver figura 2). Tomemos un punto cualquierap(x,y) del ¡'ugargeométrico; trazamo.s una recta PN per-pendicular a la directriz y siendo perpendicular a la direc-triz, es paralela al eje X por lo que las coordenadas de Nson (~p,y). Se traza la recta PF.

Usando la definición de la parábola, tenemos que

PN = PF

Usando la fórmula de la distancia entre dos puntospara encontrar PN y PF. tenemos:

PN = V'[-x - (-p)P + [ y - y)2

103

Obtención de laecuacióncartesianade la

parábola. .

Cuandolasramasdelaparábola.seextiendenhaciala izquierda¿Cuálessuecuat'ón?

104

=" V(x + .p)2 + (p

= V(x + p)2

y PF = Y(x - p)2 + (y - 0)2 \

= Y(x - p)2 + y2

SustituyendoPN y PF en PN = PF,se tiene:

y(x + p)2 = V(x - p)2 + y2

. (x + p)2 = (x - p)2 + y2 . Se. elevaron al cuadradoambos miembros.

x2 + 2px + p2 = x2 - 2px + p2 + y2 Efectuando.

y2 = 4px]

Simplificando.

Entonces, la ecuación x2 = - 4py;es la ecuación deuna parábola con vért.ice en (0,0), foco en (P,O), yecuación de la directriz x = - p. Las coordenadas de to-do punto que pertenece a la parábola satisfacen esta ecua-ción y viceversa; si las coordenadas de un punto satisfacenesta ecuación el punto pertenece a la parábola.

Si las ramas de la 'parábola se extienden hacia la iz-quierda, queda la siguiente figura:

-------

yp (x, y)

Figura 3

V(O,O)

N (p, O)

Laecuación de una parábola de este tipo es y2I = - 4px;la deducdón de esta ecuación se le deja como

ejercido (problema 1 de los Reactivos de Autoevaluación,Módulo 6.

Deduciremos ahora la ecuación de una parábola conlas ramas hacia arriba. (Figura 4.)

y

y=-pN (x. -p)

Figura 4

Puesto que PN ~s paralela al eje Y, por ser perpendi-cular a la directriz, las coordenadas de N son (x. -p).

x

¿y si las ramas seextienden haciaarriba?

x

105

¿Quéesel ladorecto?

106.

. \

Usando la definición de parábola, tenemos:

PN.= PF

V[ x - x] 2 + [ y - (-p] 2 = V(x - 0)2'+ (y - pj2

y2 + 2py +'p2 = x2 +.y2 - 2py + p2

I x' = 4py I

Entonces, la ecuación x2 = 4py es. la ecuación deuna parábola con las ramas hacia arriba, vértice en(O,O)foco en (O,p) y ecuación de I.adirectriz y = - p.

Si las ramas de la parábola se extienden hacia abajo,-qu~da la siguientefigura: .

y

y =p

N (x, p)

x

Figura S

La ecuación de una parábola de este tipo, es x2 =-4py; la deducción completa se le deja como ejercicio. (pro-blema 2de los Reactivos de Autoevaluación, Módulo 6.

La cuerda que pasa .por el foco y es perpendicu-lar al eje de la parábola, se le llama lado recto de laparábola.

A la distancia que hay entre el foco de una pará-bola y cualquier punto de la misma, se le llama radiofocal.

Ejemplo1:

Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación dela directriz para la parábola y2 = 8x.

Comparando esta ecuación con y2 = 4px, tenemosque

4p = 8 => p = 2

Entonces las coordenadas del foco son (2,0) y laecuación de I? directriz es x = - 2.

Ejemplo2:

Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación dela directriz para la parábola y2 = - 16x. -

Compara-ndo esta, ecuación con y2 = - 4px, tene-mos q~e

4p = 16 =>.p = 4

Como el signo menos del coeficiente de la x nosindica que las ramas de la parábola son hacia la izq~ierda,entonces las coordenadas del foco son (-4,0) y la ecua-ción de la directriz es x = 4.

Ejemplo 3:- -

Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación dela directriz para la parábola x2 = 6y. -

Comparando esta .ecuación con XZ = 4py, tenemosque

6 34p =6 => p =4=2

107

108

3Entonces, las coordenadas del foco son (O,}) y la

ecuación de la directriz es y =- ~ .

Ejemplo4:

Escribir la ecuación de la parábola con foco en (0,5)y directriz y ~ - 5. Hacersu gráfica.

Como el foco está sobre el eje Y .en' (0,5), entonces esuna parábola vertical con ramas hacia arriba y vértice en(0,0) por lo que su ecuaciónes de la forma x2 = 4py,Pordefinición, p es la distancia del vértice al foco, entoncesp = 5, sustituyendo estevalor en ~2 = 4py. tenemos

x2 = 4pyx2 = 4(5)yx2 = 20y

Por tanto, la ecuación de la parábola con fOGOen (0,5) ydirectriz y = - 5 es' x2 = 2Oy. Para hacer la gráfica,tabulamos algunos puntos; en este caso conviene darle va-lores a la y y encontrar los correspondientes valores de lax. (y = O,x = O,: y = 5, x = -:tlO;...) (Figura 6). '

y

.JO -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3'.2 -1' 1 2 3 4 5 6 7/ 8 9 10x

y=-5

Figura 6

--- -- .

. Ejemplo 5:

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en(0,'0);foco en el eje X y pasa por el punto (3,2).Encontrar el foco y la ecuación de la directriz. (Figura 7).

y

1X=-j x

Figura7

De la figura vemos que es una parábola horizontal conlas ramas hacia la derecha por lo que su ecuación es de laforma y1 = 4px. Como sabemos que pasa por el punto'(3,2), las coordenadas de este punto satisfacen esta ecua-ción. Su~tituyendox = 3y y. = ~en laecuación, tenemos:

22 = 4p(3)4 = 12 p4- = p =>,12

1p=}

S. 1 4 4I I ., :1 4

lp =3 => :p = 3Por o que a ecuaclon es y = }X,

el foco e¡stáen ( }-'O)Y la ecuación de la directriz esx = -]..

109 .


1. Deduzca la ecuación de una parábola con vértice en el origen, eje el ejeX y ramas hacia la izquierda.

.2. Deduzca la ecuaci'ón de una parábola con vértice en el origen, eje el ejeYy ramas hacia abajo. .En los problemas 3 al 8, encuentre las coordenadas del foco y la ecua-ción de la directriz para cada una de las parábolas dadas.

3. y2 = 16x "4. x2 + 12y = O5. 3x2 - 27y = O6. 4y = 24x2 .7. 12x = -:-3y28. y2 = - 16x

En los problemas del 9 al 14, escriba la ecuación de la parábola quesatisface las condiciones dadas.

9. Foco en (O,-3), directriz y = 310. Vértice en (0,0), directriz x = 2.11. Vértice en (0,0), pasa por (-4,-3). Eje vertical.

-12. Vértice en (0,0), foco en el eje X y pasa por (4,6).

3 F2

d.. 2

1. ocoen'(3' O), Irectnz x =-3

14. Vértice en (0,0) y pasa por (5,2).15. Demostrar que para cualquier punto p(x,y) sobre la parábola y2 = 4px,

la longitu~ del radio focal es Ix + pl.

16. Demuestre que la longitud del lado recto para cualquier parábola esigual a 4p. - - -

17. Encuentre al lado recto de las parábolas dadas en los problemas 3, S, 7.18. Encuentre el radio focal' al punto (-1,6) para la parábola dada en el

problema 8.19. Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y por

los extremos del lado r-ecto de la parábola y2 = 8x.20. Uno de los extremos de una cuerda que pasa-por el foco de una parábo-

la es el"punto (4,-4). La parábola tiene como eje el eje X y el vérticeen el odgen. Encuentre las coordenadas del otro extremo de la cuerda.

21. Demuestre que la circunferencia en cuyo diámetro es el radio focal de laparábola. y2 = 4px, es tangente al eje Y.-

22. Si AB representa la cuerda que pasa por el foco en la parábola y2 = 4px,- demuestre que la circunferencia con diámetro igual a A B es tangente

a la directriz de la parábola.

110

-- -- --- --- ---- --- - -

Módulo7



1. Obtendrá. el vértice, lado recto, foco y la ecuación de la directriz de unaparábolacuyo vértice esté en el punto de coordenadas (h, k). .

Encontrará la ecuación de una par~bola cuyo vértice no está en elorigen y satisface ciertas condiciones dadas.Resolverá algunos problemas de aplicad6n donde intervengan parábo-las. '

2.

3.

ESQUEMA-RESUMEN

Ecuacióncartesiana dela parábola

Funcióncuadrática

~Otras formasde la ecuaciónde la parábola

~I Aplicaciones

111

, .

Veamosel casoenqueelvérticenoestáenel origen.

112

1.1OTRASFORMASDELA ECUACIONDELA PARABOLA.

Las ecu_acionesde la parábola que estudiaste en la lecciónanterior, son válidas solamente para el caso bastante res-tringido, de que el vértice esté en el origen y que el eje dela parábola sea el eje X ó el eje Y.

Estudiaremos en esta lección un caso más general enel que el vértice está en un punto cualquiera que no es elorigen y el eje de la parábola es paralelo al eje X ó al eje Y.

Para deducir IpSecuaciones de este tipo de parábolas,háremos uso de la definición que se dio en la lección ante-rior. El vértice de la parábola es ahora el punto (h.k) y ladistancia del vértice al foco y del vértice a la directriz,seguirá siendo p. (Figura 1.)

f

x

N(h-p,y)

Figura 1

De la definición de la parábola, tenemos que:

NP = PF

V[ x - (h - p)] 2 + (y - y)2

= V[ X - (h + p)] 2 + (y - k)2 Sustitución.

-'~ -- -. --- -- - ---- \

[ x - (h - p)] + 02

= [ X - (h + p)] 2 + (y - k)2 Elevando al cuadradoambos miembros,de laigualdad.

(X - h + p)2 = (x - h - p)2 + (y - k)2 Eliminando lJaréntesis.

x2 + h2 + p2 - 2hx + 2px - 2hp

= x2 + h2 + p2. - 2hx - 2px + 2hp+ y2 -2ky + k2

4px - 4hp = y2 - 2ky + k2

y2 - 2ky + k2 = 4px - ~hp

I (y - k)' = 4p (x - k) I

Efectuando.

Simplificando.

Simetría

.Sustitución ypropiedad distributivapor la izquierda.

Entences la ecuación (y - k)2 = 4p (x - h) es laecuación de una parábola horizontal con vértice en (h,k),foco en (h + p, k) Ydirectriz x = h - p.

Si la parábola es horizontal con vértice en (h,k), y susramas se extienden hacia la izquierda, su ecuación es (y - k)2= - 4p (x - h).

Deduciremos ahora la ecuación de una parábola convértice en (h,k) y ramas hacia arriba. (Figura 2',)

113

Aplicando ladefinición deparábola.

114

y

V (h. k)

y=k-p

o

Figura 2

De la definición de parábola tenemos que:

PN = PF

v(x - X)2 + [y - (k - p)] 2

V(X - h)2 + [ y - (k + p)] 2

=

p (x. y)

N (x. k - p)

x

Sustitución

(x - X)2 + [ y - (k - p)] 2 = Elevando al cuadrado

(x + h)2 + [ y - (k + p)} 2 ambos miembros de la I

igualdad.

(J2+ (y_k+p)2 = (X-h)2 + (y-k-p)2

y2 + k2 + p2 - 2/ey = X2 - 2xh + h2

+ 2py ,- 2kp + y2 + k2 + p2

- 2/ey - 2py -t-.2kp

4py - 4kp = X2 - 2hx + h2

x2 - 2hx + h2 = 4py - 4kp

- - - ----

Eliminandoparéntesis.Efectuando.

Simplificando.

Sirretría.

propiedad distributivapor la izquierda.

Entonces, la ecuación (x - h)2 = 4p(y - k) eS.laecuación de una parábola vertical con vértice en (h,k),foco en (h, k + p) y directriz y = k-p.

(x - h)2 = -:f;4p(y- .k),

Si la parábola es vertical con vértice en (h,k) y susramas se extienden hacia abajo, la ecuación de la parábolaes (x - h)2 = - 4p(y ,- k).

Si resolvemospara x de la ecuación (y - k)2 = -:f;4p(x - h), la ecuación toma la forma.

x = ay2 + by + e

y si se resuelve para y de la ecuación (x - h)2 = 4p(y - k),la ecuación toma la forma y = ax2 + bx + e; esta ecuaci6n la estudió en la Unidad XI.

Si a es positiva, la parábola se extiende hacia la dere- .Interpretacióncha o hacia arriba y si a es negativa,la parábolase ext.ien- delsignodeade hacia la izquierda o hacia abajo.

Ejemplo 1:

Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la direc- ~triz y trazar la parábola cuya ecuación es x2 - 4x - 4y - 4 = o.Solución:

Dejamos del lado izquierdo de la igualdad los térmi-nos en x ; haciendo ésto, nos queda:

x2 - 4x. = 4y + 4

Sumamos 4 a ambos lados de la igualdad, para que del ladoizquierdo quede un trinomio cuadrado perfecto:

x2 - 4x + 4 = 4y + 4 + 4 = 4y+ ~

115

116

L--- - --

Esta igualdad la podemos escribir como:

(x -- 2)2 == 4(y ~ 2)

Luego el vértice está en (2,--2) Y el lado recto esigual a 4. (Ver problema 16 de los Reactivos de Auto-evaluación Módulo 6. Como 4p == 4, tenemos que p == 1por tanto, la ecuación de .Ia directriz es y == -- 3 Y lascoordenadas del foco son (2,--1).. La gráfica dela parábo-la es la siguiente:

y

x

V (2, - 2) y =-3

Figura 3

Ejemplo2:

Hallar vértice, lado recto, foco, ecuación de la direc-triz y trazar la parábola cuya ecuación es

y2 ~ 6y ~ 8x -- 7 == O.Solucibn:

Escribimos la ecuación dejando los términos en y dellado izquierdo de la igualdad.

y2 ~ 6y == -- 8x ~ 7

Completando un cuadrado perfecto el lado izquierdo de faigualdad se tiene

y2 +6y+9=-8x+7+9(y + 3)2 =- 8x + 16(y + 3)2 .= - 8(x - 2)

Como el coeficiente del término en x es negativo,las ra-mas de la parábola se extienden hacia la izquierda.

De la ecuación, tenemos que 4p = 8 ~ p = 2, luego,

Ladorecto = 4p = 4(2) = 8

El vértice está en (2.-3), foco en (O,-3) Y laecuación de la directriz es x = 4~ La gráfica de la pará-bola es la siguiente:

y

x =4

,2 3 41 5 6 7

-2t /'~,

-3 y~' 1V(2,-3)

-4

-5

Figura 4

Ejemplo3:

Encontrar la ecuación de una parábola horizontal quepasa por (-2,4), (-3,2) Y (2,-4). Encontrar el,vértice, lado recto, toco, extremos del lado recto y ecua-ción de la directriz. (Figura 5.)

x

117

y

(37 3

)F. - 24 ' "2

x12345678

Figura S

La ecuación de una parábola con eje paraleto al eje Xes (y - k)2:z4p(x - h) Óx = ay2 + by + c. Si sustituímosen esta última ecuación las coordenadas de los 3 puntospor donde pasa la parábola, tenemos:

- 2 = a(4)2 + b(4) + c para el punto (-2,4)

- 3 = a(2)2+ b(2) + c para el punto (-3,2)2 = a(-4)2 + b(--'-4)+ c parael punto (2,-4).

Si efectuamos operaciones y ordenamos las tres ecua-dones, tenemos el siguiente sistema:

16a + 4b + c = - 2

4a+2b+c=-3

16a - 4b + c = 2

Resolviendo este sistema por el método que se estu-dió en el Módulo 4 de la Unidad IX, tenemos que:

1 1 8a =6' b = - 2" y c = -3

\118

-- -- - --- -- ---

Por tanto, la ecuación de la parábola es:

1 2 1 8x =-y - --y--6 2 3

Si transformamos esta ecuación a la forma (y - k)2 = :1:4p(x - h), nos queda:

(y - ~) 2' = 6 (x + ~~)

L I l' I

(73 3'

) duego e vertace esta en 24' '2 ' La o recto = 6, foco

(37 3 ) I . I d I d" 109

en --,- y a ecuaclon e a Irectnz es x = --.24 2 24

como 4p = 6, 2p = 3 por lo que los extremos dellado recto son

(73 3

) (73 9

)-24'-'2 Y -24'2

Ejemplo4:

Encontrar la ecuación de una parábola con foco en(2,-2) y ecuación de la directriz y = 4. Figura 6.)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 o

.

!-~

-3

-4

Figura 6

y

6

54 A (2, 4) y =4

3

2

1 V (2, 1)

x

119

...-------

Como el eje de la parábola es perpendicular a la direc-triz, la parábola es vertical. El eje de la parábola intersecta ala directriz en A(2,4) por lo que el vértice está en el puntomedio de AF, luego el vértice es el punto (2,1), siendo pla distancia de! foco al vértice, entonces p = 3.

Corno conocemos el vértice, P y sabemos que las ramas dela parábola se extienden hacia abajo, su ecuación es:

(x - h)'I.= - 4p(y - k)

Sustituyendo valores nos queda:

(x - 2)'1.= - 4(3) (y - 1)

Simplificando, queda finalmente:

(x - 2)'1.= - 12(y - 1)

REACTIVOSDEAUTOEVAlUACION

1: Para cada una de las siguientes parábolas, encuentre las coordenadas delvértice, foco, ecuación d~ la directriz y longitüd del lado recto.a) y'l.- 6y - 8x + 17 = Ob) 4xZ + 4x + 24y + 25 ==Oc) 3yZ + 24y + 30x + 38 = Od) XZ - 4y + 8 = OEncuentre la ecuación de la parábola vertical que pasa por los puntos:a) (1,0), (-3,28), (2,3)b) (-1,0), (-2,-5), (3,0)Encuentre la ecuación de la parábola horizontal que pasa por los pun-tos:a) (-1,1), (-1,-1), (-5,0)b) (1,0), (-19,-2), (-14,3)Encuentre la ecuación de la parábola que satisface las siguientes condi-ciones:a) Directriz y = 8 , Foco en (3,-2)b) Directriz y = - 5 , Foco en (-4,3)c) Directriz x = 4 ,Foco en (8,6)d) Directriz)t = - 1, Foco en (-5,-3)e) Vértice en (4,2), longitud del lado recto = 6, eje horizontal.

2.

3.

4.

120

- ---- - - - - -- -- -- --- -

5.

6.

Encuen'tre la ecuación de la parábola con foco en (2,2) y directriz larecta 3x + 4y + 12 = O. (Use la definición de parábola.)La trayectoria de un proyectil lanzado por un mortero es la parábolay = 4x - x2; la unidad es un kilómetro y el punto de lanzamiento

es el-origen.a) ¿Cuál es el punto más alto que alcanza el,proyectil?b) ¿Cuál es el alcance máximo del proyectil?El cable de suspensión de un puente, toma forma paraból ica si el pesodel puente más el del cable está uniformemente distribu ídg en sentidohorizontal. Considera un puente cuyas torres son de 20 m de alto ,yestán separadas entre sí 100 m y en el cual el punto más bajo-del cablede suspensión está 10 m arriba del puente. ¿Cuál es la ecuación de laparábola que forma el cable de suspensión? (origen en el centro delpuente) .Verifique la siguiente construcción geométrica de la parábola cuando sedan las coordenadas del foco y la directriz, Dibuje una recta que pasepor el foco(F)y sea perpendicular a la directriz, llame D al punto dondese intersecta esta recta con la directriz. Localice el vértice sobre la rectaDF de tal 'manera que DV = VF. Tome cualquier punto A sobreVF del mismo lado de V o de F y trace por A una recta paralela a la

directriz. Con centro en F y radio igual a DA dibuje un arco queintersecte a la recta que se trazó por A en los puntos P y p' . Entonces \

estos puntos P y P' , son puntos de la parábola. Repita el proceso porotros puntos A', A" etc.

7.

8

121

Módulo8



1. Referirá la ecuación de unf] cónica dada en un sistema de dos dimensio-

nes a otro sistema que resulte de trasladar" paralelamente los ejes a un

nuevo origen cuyas coordenadas estén definidas.

Simplificará la ecuación de una superficie dada, eliminando los términos

de primer grado, mediante una traslación de ejes.

2.

ESQUEMA-RESUMEN

123

Coordenadas Traslación T ransformaci ón

de-

rectán gu Ia res

... .. deejes ecuaciones.

¿Cómoseefectúaunatraslacióndeejes?

124

--- -- ---

8.1TRASLACION DE EJES

En todos los temas que hemos tratado en relación con lalínea recta, circunferencia o parábola, se ha considerado elsistema de coordenadas rectangulares; sin embargo pode-mos referir la ecuación a un sistema rectangular determina-do y si cambiamos los ejes coordenados, obtener algunassimplificaciones en la ecuación de la curva que estamosconsiderando. Estos cambios pueden consistir en una tras-lación de ejes, una rotación de ejes, o bien ambos cambios,efectuando uno primero y después el.otro.

En este tema trataremos solamente el caso detraslación de ejes, el cual se define como sigue: Trasla-ción de ejes, es el desplazamiento de uno o ambos ejesde un sistema de coordenadas rectangulares de tal ma-nera que. el origen quede en una nueva posición peropermaneciendo cada eje parale/o a los ejes 'origina/es.

Usaremos la siguiente figura para ilustrar en qué con-siste la traslación deejes.

y y'x

y

x'

Figura 10(0,0) x

Designamos por O' un punto cuyas coordenadas son(h,k), referidos al sistema de coordenadas x, y, por estepunto O' trazamos rectas paralelas al eje X y al eje ~ las

-- - - -. ----

que tomaremos como los nuevos ejes y las Ilamare"mosX yY respectivamente. Todo punto P con coordenadas (x,y)en el sistema original tendrá coordenadas (x', y') referidasal nuevo sistema de ejes.

- De la figura 1, podemos ver la relación que hay entrelas coordenadas (x,y) y las coordenadas (x', y'). Para latraslación de los ejes a .O'(h,k); esta relación está dadapor: .

x' = x - h ,y' = y - k

o también como

x.= x' + h, y = y' + k I

, La demostración de las ecuaciones (1) se ve claramen-te a partir de la figura y las ecuaCiones (2) se obtienen

. directamente de la (1).

, Con el uso de las ecuaciones (2) podemos transformarcualquier ecuación en x y y en otra ecuación en x' y y' .La curva de la ecuación en el sistema de coordenadas xycoincide con la curva de la nueva ecuación referida al nue-vo sistema x' y', es decir .Iacurva no se ha trasladado, losque se han trasladado son los ejes.

Si la ecuación de una curva referida a un sistema de

coordenadas xy, es x2 - 10x - 4y + 9 = O, en~ontrarla ecuación de esta misma curva referida a un nuevo siste-ma de ejes x' y' con el origen en (S, -4). Graficar lacurva y trazar los ejes X, ~ YX', Y.

Solución:

Como O' es (5~ -4), de aqu í tenemos que h= 5yk=-4Y puesto que las coordenadas de todo punto p(x,y) satisfa-

(1)

Ecuacionesdetraslación deejes.

(2)

125

cen la ecuación x2 - 10x --- 4y + 9 = O,sus nuevascoor-denadas son: (usando la ecuación (2»

, x = x' + 5 y Y = y' - 4

Estas dos últimas ecuac'iones, nos dan las coordenadasoriginales en térmi nos de las nuevas coordenadas, por tan-to, sustituyendo estas expresiones en la ecuación tenemos:

, .

(x' + 5)2 -10(x' + 5) - 4(y' - 4) + 9 = O

x' 2 + 10x' + 25 - JOx' - 50 - 4y' + 16 + 9 = O

Simplificando, se tiene:

x' 2 - 4y' = Oó

x' 2 = 4y'

Esta última ecuación que es más simple que la origi-nal, es la ecuación de la misma curva referida al nuevosistema de coordenadas x' y' con el origen en (5. -4).

La gráfica de la curva y ambos sistemas de coordenadasse dan en la figura 2.

y y'

.5 -4 -3 x

.2

-3.4

-5

.6

Figura 2 .7

o' {5.-}x'

126

-- - - --- -- ----

Ejemplo2:

Determinar la traslación qu~ elimina los términos enx y y en la ecuación 4x2 + 16y + 9y2 + 18y - 119 = o.

Encontrar la ecuación resultante de esta traslación ygraficar la ecuación mostrando ambos ejes.

Solución 1:

Usando el método de completar cuadrados, tenemos:

4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 + 2y + 1) = 119 + 16 + 94(x + 2)2 + 9(y + 1)2 = 144

Dividiendo la ecuación por 144, se tiene:

4(x + 2)2 + 9(y + 1)2144 144

144--,144

(x + 2)2 + (y + 1)2 = 136 16

Haciendo x' = x + 2 y y' =y + 1 de tal forma que h' =-2Y k = - 1, la ecuación referida' al nuevo sistema de coor-+-denadas nos queda:

x' 2 y' 2

36 + 16 = 1

donde O'es (-2, -1).

Solución 2:

Como se desea encontrar la traslación necesaria paraque desaparezcan los términos en x y y, representamos

,esta traslación como h y k, luego:

x = x' + h . Y Y = y' + kSustituyendo estas expresiones en la ecuación 4x2 + 16x+ 9y 2 + 18y - 119 = O ~enemos:

127

4(x' + h)2 + 16(x' + h) + 9(y' + k)2 + 18(y' + k)- 119 = O

Efectuando, se tiene:

4x' 2 + 8x' h + 4h2 + 16x' + 16h + 9y'2 + 18y'k

+ 9k2 + 18y' + 18k - 119 = O

Asociando términos semejantes, obtenemos

4X'2 + (8h + 16)x' + (18k + 18)y' + 4h2 + 16h+ 9k2 + 18k - 119 = O

Como se desean eliminar los términos en x' y y' sus coefi-cientes deben ser cero, entonces: .

8h + 16 = O => h;:= - 2y

18k + 18 = O => k = - 1

por lo que la traslación requerida es x = x' - 2 Y Y = y' - 1,que es la misma que encontramos en la Solución 1.

Si estos valores se sustituyen en la ecuación original, obte-nemos:

x' 2 y' 2

36 + 16 = 1

La gráfica de la ecuación, así como los dos sistemas decoordenadas, se muestran en la figura 3.

128

- - - - -- - -

y' y

Figura 3

xX'


En los problemas del 1 al 5, transforme la ecuación dada, trasladandolos ejes de coordenadas al nuevo origen que se Lndica.

1.x2 + y2 - 4x + 4y = O , (2, -2)

2. y2 - 6x + 9 = O , (~, O)

3. 4x2 - 16x + 5y2 - 4 = O , (2, O)

4. 12x2 - 12x - 16y2 - 48y - 29 = O , ( ~,- ~ )

. 3 15. 75x2+ 90x - 375y + 152 = O , (-5'3)

En lo? problemas del 6 al 9, transforme la ecuación dada a otra que notenga términos en x y y por medio de una trasl'ación de los ejes de coorde-nad<Js.Obtenga la coordenadas del nuevo origen.

6. x2 - 2x - 12y + 25 = O.

7. y2 + 4y+ 20x+ 4 = O.8. x2 + 9y2 + 4x.- 18y - 23 = O.9. 4x2 - 12x + 4y2+ 12y+ 2 = O

129

1

En los problemas 10, 11 Y 12 grafique (mostrando los ejes X,1': YX'IY) lascurvasde losproblemas7, 8 Y9: .

10. Curva del problema 7.11. Curva del problema 8.12. Curva del problema 9.

130

II


MODULO5 - VALlDACION

1. a)(x - 4)2 + (y - 3)2 = 25

x2 +y2 -8x-6x =0

b)(x + 4)2 + (y - 6)2 = 36r + y2 + 8x - 12y + 16 ~ O

e) (x - 0)2 + (y + 5)2 = 64

x2 + y2 + lOy - 39 = O

2. a)C(6,-4) , radio = 7b)C(-3,1) , radio = 8

e)C(10,-20) , radio = 11d)C(-6,2) , radio = ..¡;¡o

a)(x + 4)2+ (y + 2)2= 50b)(x + 5)2 + (y - 6)2 = 36

e) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 495

d) (x - 4)2 + (y - 4)2 = 16

(x - 4)2 + (y + 4)2 = 16e)x2 + y2 = 18

y

3.

4. b) x-12-10 -8 -6 -4 .2 1.02 4 6 8 10

131

e)

y

J 234567

y

d)

132

./

x

x

e) y

5. a) Circunferenciacon centro en (5,4)y radio==6.b) . Esel punto (3,4)c) Esun lugargeométrico imaginariod) Circunferenciacon centro en(-1,.1) y radio= 5.

6. a) x" + y" - 2x - 19 = O

b) 56x" + 56y" - 260x - y - 5451 = O

7. (x - 3)" + (y + 2)" = 13 6 (x + 1)" + (y - 4)" = 13

8. (x + 3)" + (y - 1)" = 29

9. (x - 3)" + (y - 2)" = 26

10. 8x" + 8y" -144x + 576 = O


3. F(4,O); Directriz x = - 44. F(O,-3);. Directriz y = 3

9D

o. 95. F(O,:;); Irectnz y = -:¡

F(O1 o. 1

6. , 24); Directriz y = - 24

7. F(-l,O); Directriz x = 1

x

133

8. F(-4,O); Directriz x = 4

9. x2 = - 12y

1O. y2 = - 8x

1611. x2 = -3Y12. i~ = 9x

813. y2 ="3x

4 2 4 , 2 251. y =Sxox =2Y

17. Problema3, LadQrecto = 16Problema 5, Lado recto = 9Problema7, Lado recto = 4

18. Radio focal = Ixo + pl .= 1- 1 + (-9)1 = 1-101 = 1019. x2 + y2 -10x = O

120. (4' 1)

MODULO' 7 - VALlDACION

1. a) V(1,3), F(3,3), directriz x = - 1, Lado recto = 8.

b) V1(-~ -1 ) F( _!- _3- ) directriz Y =!.. Ladorecto = 62' , 2' 2' 2' . .

c) V(~, --4), F(- 13 , -4) directriz x = 17, Lado recto = 10.366

d) V(0,2), F(O,3)directriz y = 1, Ladorecto = 42. a) y = 2X2- 3x + 1

b) y = - x2 + 2x + 3

3. a) x = 4y2 - 5b) x = 3y2 + 4y + 1

4. a) (x - 3)2 = - 20(y - 3) Ó x2 - 6x + 20y- 51 = O

134

I 9.

b) (x + 4)2 = 16(y + 1) ó x2 + 8x - 16y = O

e) (y - 6)2 = 8(x - 6) Ó y2 ...:- 12y - 8x + 84 = Od) (y + 3)2 = - 8(x + 3) Ó y2 + 6y + 8x + 33 = O

e) (y - 2)2 = :!:6(x - 4)

5. 16x2- 24xy + 9y2-172x - 196y + 56 = O

6. a) 4 km.lb) 4 km.

7. x2 = 250 (y - 10) ó' x2 - 250y + 2500 =' O

MODULO8- VALltJACION

lo

2.

3.4.5.6.

7.

8.

x' 2 + y' 2 = 8

y' 2 = 6x'

4X'2 + 5y' = 203X'2 - 4y'2 = -1x' 2 = 5y'

x' 2 = 12y'. , (1,2)

y' 2 = - 20x' , (O, -2)

x' 2 y' 2- + - = 1 (-2 1)36 4 ' ,

'2 + '2 - 4 (3 3

)x y - , 2'-"2

135

10.

11.

13E

-- - -- - - ---

y,," y'12

10

8

.12 -10 .8

vrO, - 2)

-12

.14

y' y

-3

-4-5.6

-- - ...- .. --. - ...... .

x

x'

x'x

12.Y'y

3

2

4

X'

137

\

UNIDAD XIXSECCIONESCONICAS.ELIPSE.

- . - - - -

Introducción

El propósito de esta unidad es presentar al estudiante un .nuevo, intere-sante e importante material geométrico cuya utilidad será notable en cursosposteriores tanto de matemáticas como de física en temas tales como ópticay acústica. .

Para lograr el propósito descrito en el párrafo anterior el material espresentado en forma simple y concreta procurando al mismo tiempo reafir-mar conceptos como el de relación, ademásde generarhabilidadesnecesariaspara determinar dominio y contradominio de.una relación.

141

o bjetivosGenerales


1.2.3.

Definirá la elipse.Deducirá la ecuación de una elipse con centro en el origen.Determinará a partir de la ecuación de úna .elipse su dominio y contra-dominiQ.Exp,licará la interpretación geométrica de la ecuación de una elipse.Aplicará la trasfación de ejes para simplificar la ecuación de una cónica.

4.5.

142

DiagramaTemáticoEstructural

Seccionesc6n¡cas

143

'Glosario

Elipse: En un plano es la gráfica descrita por un punto que se mueve deforma tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una cons-tante.

Focos:Son los puntos fijos a que alude la definición de elipse.

Centro: El punto medio del segmento de recta que une los focos.

2 c: Longitud del segmento que une los focos.

Vértices: Intersecciones entre el segmento de recta que contiene al centro ylos focos, con la elipse.

Eje Mayor: Segmento de recta cuyos extremos son los vértices de la elipse.

2 a: Longitud del eje mayor.

Eje Menor: Segmento de'recta perpendicular al eje mayor en el centro de laelipse.

2 b: Longitud del eje menor.

Ecuación: Representación algebraica de la característica común a todos lospuntos de la elipsey sólo a esospuntos.

Lado Recto: Segmento de recta perpendicular al eje mayor, pasa por .un focoy sus extremos son puntos de Ja curva, L.R.

Excentricidad: Cociente que resulta de dividir la distancia de centro a focoentre la longitud del semi eje mayor.

144

I

I

L

Módulo9


Al terminar de .estudiar este módulo, el alumno será capaz de:

1. Dibujar una elipse utilizando un cordón sujeto por sus extremos a dospuntos.Determinar las longitudes del eje mayor y menor, las coorqenadas de losfocos y de los vértices de una elipse con centro en el origen de ecuacióndada.Obtener la gráfica de una elipse con centro en el origen cuya ecuaciónesté definida.

2.

3.

ESQUEMA-RESUMEN

La elipse ~Definiciónde la elipse

Construcciónmecánieade la elipse

Ecuación de laElipse concentro en "O"y focos en "X"

Caracter íst icasde la elipse

Dominio dela relación

{ I

X2 y 2

}(X,y) 7+-¡;;= 1 B

145

\\

¿Cómoseobtieneunaelipse?

146

9.1 DEFINICIONDE LA ELIPSE.

Descripción:

Una elipse es la curva que se obtiene intersectando un conocircular recto y un plano: si el plano está inclinado y no es '

paralelo a una de las generatrices* y corta a una sola ramadel Calla. (Ver figura 1.)

Figura 1

Definición: Una elipse, es el lugar geométrico de to-dos los puntos del plano cuya suma de distancias ados puntos fijos es una constante.

Estos dos puntos son conocidos como focos de laelipse, mientras que la constante será represen.tada por 2a

. (ver figura 2.)

*Generalriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus.puntos con uno de sus ex tremos describiendo una circunferencia plana.

/

y

tI

P

PF I + PF = 20

Figura 2

De la figura anterior puede deducir que la definiciónde la elipse sólo tiene sentido, si la constante (2a) que semenciona en dicha definición es mayor que la distanciaentre los focos (pp'); ésto se confirma observando quelos puntos P, P'y P' son los vértices de un triángulo, yrecordando que para todo triángulo la suma de dos de suslados (PP' + PF) es siempre mayor' que el tercero (F' F).

Para indicar los focos en una elipse, usamos las letras P' yF. La distancia entre estos puntos es representada por 2e,es decir P' P = 2e; el punto medio del segmento que unelos focos es el centro de la elipse. La recta que con'tiene,alos focos y al centro intersecta la elipse en los puntos V yV a los que llamamos Vértices, el segmento de recta' queune los vértices es el eje mayor de la elipse; mostraremosque la 10l}gitud del eje mayor (V' V) es igual con 2a osea VV' = 2a.

En la figura 3 tenemos una elipse con su respectivoeje mayor.

y

P

v' JI

Figura 3

x

La elipse tien~. dosfocos.

:x

147

¿Cuáles lalongitud del ejemayor?

¡-Construyamos

unaelipse!

148

Los extremos del eje mayor, puntos V' y V pertene-cen a la elipse por lo que:

V' F' t V' F = la

F'V+FV=2aV' F' + V' F = F' V + FV

(1) Definición de elipse.

(2) Definición de elipse.

(3) Propiedad transi tivade las Igualdades.

De la figura podemos confirmar que

V' F = V' F' + F' F y que F' V = F' F + FV

Haciendo las sustituciones correspondientes en (3), tenemos

V' F' + V' F' + F' F = F' F + FV + FV (4)sustitución

2V' É' = 2FV (5) Efectuando operacionesindicadas.

V' F' = FV (6) Ley de cancelación paramuItiplicación.

si FV 'sustituye a V' F' en (1)

FV+V'P=2a (7) Sustitución.

V'F+FV=2a (8) Conmutativo para la suma.

pero como V' F + FV = V' V

V' V = 2a (9) Sustitución.

Además con la expresión obtenida en (6) y recordan-do que F' C = CF,podemos concluir que V' O = OV = a,o sea q.ue los vértices de la elipse equidistan del centro, y ladistancia de centro a vértice (a) es la longitud del semiejemayor.

9.2CONSTRUCCIONMECANICADELA ELIPSE

En un papel dibuje dos puntos (focos) y fije en ellos losextremos de un cord6n cuya longitud obviamente tendrá

que ser mayor que la distancia entre los focos. La gráficaresulta cuando sobre el papel movemos un lápiz que man-tenga tirante el cordón (ver figura4).

Figura 4

Observe que la longitud del cordón, es la constantemencionada en la definición de este lugar geométrico.

9.3 ECUACIONDE LA ELIPSECONCENTRO~N OY FOCOSEN EL EJE X.

Como ya sabe, la ecuación de una curva o lugar geométricoes una representación "algebraica" de la característica co-

, mún de las coordenadas de los puntos que la forman; laelipse no es la excepción y para determinar su ecuacióndebemos basarnos-en su definición.

Dejemos que P(x,y) represente a los puntos de lacurva. Si P(x,y) pertenece a la elipse, entonces debe cum-plirse la siguiente igualdad: F' P + FP = ~a (ver figura 5).

y

p (x, y)

F' (- e, O) F (e, O)

Figura 5

También la elipsese determina pormedio de unaecuación.

x

149

Empleandolascoordenadasdelosfocos.

Esto es, la suma de sus distancias a los focos es igual ala longitud (constante) del eje mayor. 2a. Siendo (c,o) Y(-c,o) las coordenadas de los focos y V(X2 - Xl)2 + (Y2

- Yl)2. la expresión para indicar la distancia entredo~ puntos; podemos con estos datos representar la defini-ción de la elipse en términos de las coordenadas de suspuntos.

Si F' P = V(x + C)2 + y2 y FP = V(x ~ c)2 +y2

entonces: V(x + C)2 + y2 + v(x - c}~ . + y2 = 2a

Aunque esta ecuación representa la condición que sa-tisfacenlas coordenadas de los puntós en la elipse, deduci-remos una ecuación más f~cil de manipular; con ese objetodejamos en un miembro de la igualdad a un radical

V(x - C)2 + y2 = 2a - V(x + C)2+ y2

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad .te-nemos:

ó:

x2 - 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a V(x + C)2 + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2

cancelando sumandos iguales en ambos miembros de laecu aci ón resu Ita :

- 2cx = 4a2 - 4a V(x -+- c)2 y2 + 2cx

dejando a 4a V(x + C)2 + y2 sólo en un miembro de laigualdad

4aV(x + C)2 + y2 = 4a2 + 4cx

Dividiendo entre 4 y elevando al cuadrado, resulta:

ó:

Por la ley de cancelación para la suma

150

, Dejando los términos variables en un .lado de)a igual-'dad y los constantes en él otro

a2 x2 - e2x2 +, a2y2 = a 4 - a2 e2

(a2 - e2) x2 + a2 y2 = a2(a2 - e2)

Dado' que a (distancia de cenÚo a vértice) es mayorque e (distancia de ~entro a foco) entonces a2 >e2 porlo que a2 - e2 >0. Estad,iferenciaseacostumbrarepresen-tar por b2 ósea b2 = a2 - e2. Haciendo la sustitu.-~ión corr~spondiente en la última igualdad, obtenemos:

a esmayorque e

y si dividimos esta ecuación por a2b2, resulta:

Ecuación conocida como forma normalde la ecuación de,laelipse.

9.4 DOMINIO DE LA RELACION {(X, y) I :: + .~: = 1}Dominio de esta relación, es el conjunto de números ¿Cuálesel

reales los cuales al sustituir a x en la ecuación, generan dominioparavalores reales para y. Determinemos dicho dominio resol- laecuacióndeviendo la ecuación para y. . laelipse?

(1)Dado.

(2)Propiedad aditiva de igualdades.

(3)Efectua~do operaciones indicadas.

~: =, :2 (a2 - x2)(4) Definición de cociente.

151

y~ = ~ (a2 - x2) (5) Propiedad multiplicativa" a de igualdades.

y = z!?..Va2- x2 (6) Sim2 = n2 - m= n ó m=- n.a

Para que y sea un número real, es suficiente que elradicando a2 - x2 sea positivo o ce"ro, esto esa2 - x2 ~ O.

si

entonces: a2 ~ r

ó

luego, " Ixl ~ a

por lo que - a ~ x ~ a

Entonces,concluímos que

si - a ~ x ~ a entonces y E R

El dominio de la relación es { x ER I - a ~ x ~ a }

L51NTERSECCIONES

en la ecuación ~ + ~: = 1,Determinaciónde Si hacemos y = Olas intersecciones

de la elipse.

152

2

tenemos que x2 = 1 óx2 = a2 de donde x = a óx = - a,a

entonces los puntos V' (-a, O) y V(a,O) son las intersec-ciones de la elipse con el eje x.

Pero si hacemos x = Oen la misma ecuación resulta

- - - - - :....-

y=bóy=-b

, .entonces B(O,b) y B' (O,-b) son los puntos donde la elipseintersecta al eje Y.

El segmento B' ,B recibe el nombre de eje menor dela elipse y su longitud es obviamente B' B = 2b (ver figura6).

1'- - - - - - -EjeMenor

--------

Figura 6 ,

y

s' (O, b)

b

s' (O,-b)

De la ,figura anterior podemos notar que b y e sonlos catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa esa,. (b2 = a2 - c2). Siendo la hipotenusa el mayor de lostres lados del triángulo podemos justificar que a >b, que'2a >2b V el porqué de I,os nombres eje mayor (2a) y ejemenor (2b).

Ejemplo1:'

Determine la longitud del eje mayor y del eje menor,las coordenadas de los focos y de los vértices y grafique laelipsedefinidapor la siguienteecuación: '

9x2 + 16y2 = 144

Análisisde lax gráficade la

elipse.

153

Solución:

Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 144

x2 y2-+-=116 9

como a2 >b2 entonces a2 = 16.y b2 = 9 por lo que

a=4 y b=3

De ahí que la elipse intersecta los ejes coordenados en

V' (-4,0), V(4,0), B'(0,-3)yB(0,3)

y además el eje mayor 2a =8 Y el eje menor 2b = 6.Ahora bien, si b2=a2-e2 entonces e2 = a2- b2Ysustitu-yendo e2 = 16 - 9,e2 = 7 ó e = V7, las coordenadas de losfocos son F'(-V7,O), F(fi, O) (ver figura 7).

y

B (O,3)

V' (-4, O) F' e' Fx

V (4,O)

B' (0,-3)

Figura 7

1,54


Determine en cada caso las longitudes del eje mayor y del eje menor.La~coordenadas de los focos, de los vértices y grafique.

1.' 2X2 +,8y2 = 32

2. 16x2 + 25y2 = 400

3. 4x2 + 9y2 = 36

4. x2 + 9y2 = 9

5. x2 + 4y2 = 4

6. 4x2 + 7y2 = 28'

x2 y27. 4x2 +9y2 =1 NOTA4x2 =} y9y2 =}- -

4 9

x2 y2

8. 16x2+ 25y2= 1NOTA16x2=} y 25i~ =}- -16 25

Determine en cada caso la ecuación de la elipse, con centro en 0(0,0)que cumple las siguientes condiciones

9. V(5,O) F(3, O)

10. 2a = 10 F(4,O)

11. V(4,0) b = 2

155

Módulo10

,OBJETIVOSESPECIFICOS


1. Determinará la distancia entre los focos de una elipse y su excentricidadconocidas las longitudes de los semiejes.

2. Encontrará la ecuación de una elipse con centro en el origen Quesatisfa-ga ciertas condiciones dadas.

ESQUEMA-RESUMEN

157

Ecuaciónde laLa elipse

- elipse con centro -. Características-p r

en "O" y focos en "Y" ,

¿Cómoseinterpretalaexcentricidadenunaelipse?

Cuandodoselipsestienenlamismaexcentricidad.. .

158

10.1 EXCENTRICIDAD

Habrá notado que todas las circunferencias tienen lamisma forma, es decir, son similares aunque los radios seandiferentes; lo mismo sucede con las parábolas. Sin embar-go, ésto no acontece con las elipses; en ocasiones tienden aser "redondas", en otras ocasiones son "alargadas". Comouna medida de "redondez" o bien de "alargamiento", exis-

te un número definido por el cocienteea

llamado

excentricidad que es representado por e. Entoncese =.=.a

Para cualq~ier elipse e <a, por lo que ~<1 Óe <1.a

Esto significa que la excentricidad de una elipsesiempre es menor que 1.

Como para toda elipse a2 = b2 + c2 entonces c2 = a'" -- b2Y c=Ya2 -b2 La excentricidad podemos representarla

térmi nos de "a" y "b" as í;

Dos elipses tienen la misma forma, si y sólo si suexcentricidad es la misma; sin embargo la forma de la elip-se depende de "a", y "b 11 que son respectivamen-te las longitudes del semieje mayor y el"semieje menor.Esto lo confirmamos si la ecuación:

Ya2 - b2e = la escribimos como:

e =

a

v;¡2 - b2

v;¡;.a = y;;;

ó

y e

--- --- - --- -- --- -- --..

Consecuentemente todas las elipses para las cuales el

cociente!:.. es el mismo, tie~en la misma excentricidad ya

recíprocamente dos elipses con la misma excentricidad tie-

l . . bnen e mismo cociente -.

a

Si en una elipse dejamos constante la longitud 2ay permitimos que cada uno de los focos se aproxime alotro, la forma de la elipse se hará IImás redonda" y cuandolos focos coincidan en el centro de la el ipse (e = O)ésta se habrá convertido en una circunferencia. Es por elloque una circunferencia se describe o define en ocasiones,como una elipse de excentricidad O. o como una elipse deejes iguales,a = b

Ejemplo 1:

Si los semiejes de una elipse miden 6 y 10 unidades delongitud, determine la distancia entre los focos v Ir¡p.xrf:m-tricidad.

~nlllción:

e = j -(~), ;

e = )1 -(k)'

e= -fi-G)'

a = 10 h = 6

e=J[4 e 4e=---=-5 a 5 pero e ::/=4

¿Qué sucedesi c = 01

I

159

Definicióndeladorecto.

¿Cuántosladosrectostiene unaelipse?

160

--- -------------

e = V 100 - 36

e = V64 e = 8 :. 2e = 16

10.2LADO RECTO

En una elipse, lado recto es el segmento de rec-ta perpendicular al eje .mayor en uno de los focos, silos extremos de. dicho segmento son puntos de la cur-va. (Ver figura 8.)

y

x

Figura 8

Cada elipse tiene dos lados rectos; a nosotros nos inte-resa una expresiÓn que nos permita determinar su longitudy lo haremos estableciendo la distancia entre los puntosextremos de uno de ellos. Para eso necesitamos conocer lascoordenadas de dichos puntos y ésto 1'0logramos resolvien-do el sistema de ecuaciones formado por la elipse y el ladorecto. Como el lado recto es perpendicular al eje "X",resulta paralelo al eje .,Y" , por lo que todos sus puntos

--

están a la misma distancia ."c" de dicho eje; entonces laecuación del 19do recto es x = e ó x = - e y el sistemade ecuacioneses -

(2) x = :te

sustituyendo(2) en (1) tenemos

ó

b2 sustituye a a2 - e2

b2y =.:t-

a(ver figura 9)

. Figura 9

Si de la figura 9 no alcanza a comprender que lalongitud del lado recto que representamos por L.R. es L.R.

= 2b2 , puedevalerse de la expresión d = V(X2 - XI)2 + (Y2 - YI)2

a para confirmarlo.

161

162

Ejemplo1:

Determine la eCl.-/aciónde la elipse que satis'face las,siguientes condiciones:

Su lado recto mide 1. unidades, un vértice es el punto2

V (4,0) Ysu centro es el origen

Solución:

L.R. =.!2

(1) 21T - 9a -2

a=4 entoncesy

y (2) a = 4

Este sistema de dos ecuaciones con dos variables(a y b) se resuelve sustituyendo la a de (2) en (1) con loque resulta:

21T 9---4 2

Dado que a = 4 entonces a'J.= 16 por lo que la ecuaciónpedida es

XZ y'J.- +- = 116 9

10.3 ECUACIONDE LA ELIPSECONCENTROEN O VFOCOSEN.EL EJE V.

Si el centro de la elipse coincide con el origen de coordena-das y los focos están en el eje Y, los focos son los puntosF'(O,-c) y F(O,c). '(Ver fi,gura 10.)

y

x

Figura10

La definición de elipse nos dice que F' P + FP = 2a,lo cual expresado en términos de las coordenadas de los puntos, es .

Procediendo igual que en el caso anterior obtenemos laecuación

a >b

Haciendo x = Oen la ecuación, determinamos que lacurva intersecta al eje <!Y" en los puntos V (O,a) y V' (O,-a).

(Ver figura 11.) .

También losfocos de la

elipse puedenestar en el

ejeV

163

La excentricidad

y el lado rectono cambian

de expresión.

164

y

Y(O,a)

B' (-b. O) B (b,O)

y' (O,-a)

Figura 11

Si ahora hacemos y = O, encontramos que la gráficaintersecta al eje X en los puntos B(b,O) y B"(-b,O). (Verfigura 11.)

La longitud del lado recto sigue siendo L.R. =2/r Ya

la excentricidad e = ~.. a

Ejemplo 1:

Determine la longitud del eje mayor y del eje menor,las coordenadas de los focos y grafique la elipse definidapor I,asiguiente ecuaci6n:

Solución:

Dividimos ambos miembros de' la ecuación entre 100

como a2 >b2 entoncesa2 = 25 Yb2 = 4 por lo que

a=5 y b=2

Luego, la elipse intersecta a los ejes coordenadas enV (0,5), V'(O,-5), B(2,0) y B'(-2,0), de ahí que el ejemayor, 2a = 10 Y el eje menor,2b = 4 si a2 = b2 + c2entonces c2 = a2 - b2 Y ¿. = 25 - 4, c2 = 21 Y e = V2i

siendoentonces los focos los puntos F(O,V2i) Y F' (O- Vii )

y

vro, 5)

B' (-2, O)x

B (2,O)

V' (O,-5)

Figura 12

Ejemplo2:

Determine la ecuación de la elipse que tiene su centroen el origen y además cumple con las condiciones siguien-tes:

Un vértice es V (0,5) Y un foco es F' (0,3)

Solución:

Los datos indican que el eje mayor coincide con el eje

165

x2 y2

Y por lo que la ecuaciónesde la forma b2 + -;¡2 = 1,

además sabemos que a = 5,Y que e = 3; debemos conocerel valor de b2 para determinar la ecuación de la elipse,como b2 = a2 - c2 entonces b2 = 25 - 9 ó b2 = 16.

sustituyendoa2 = 25Yb2 = 16tenemos

x2 y2

16 + 25 = 1

que esla ecuación buscada.


31. La excentricidad de una elipse ese = 4 y la longitud del semieje menor

es de 2 unidades. ¿Cuál esla medida del eje mayor?2. El eje mayor de una elipse mide el doble de la longitud del eje menor..

¿Cuál es la excentricidad de dicha elipse?

3. EI.eje mayor de una ~Iipse mide 26 unidades si la excentricidad es

e = ~3¿CUáles la longitud del eje menor?4. Los semiejes de una elipse miden 3 unidades y S unidades de longitud.

Encuentre la distancia entre los focos y la excentricidad.5. Encuentre la ecuación de la elipse con vértices en los puntos

- . .d d2

(-2,0), (2,0) yexcentncl a e = 36. ,Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las siguientes condicio-

nes, focos en (3,0) y (-3,0) longitud del lado recto esL.R. = 9.7. Determine la ecuación de la elipse con vértices en (-6,0) y (6,0) con

longitud de su lado recto dado por L.R. =}..O3

8. L.R. = 4, b = 4, C (0,0) a = ?

9. L.R. = 1, a = 4, C (O,O) b = ?

10. L.R. = 2, V (9,0), C (0,0) b = ?

11. V (4,0), B (0,3), C (0,0) L.R. = ?

12. V (:t5,0), F (:t3,0), 'c (0,0) L.R. = ?

166

-- - - - -- - --- - --- - -

Determine en cada caso longitud de cada eje, longitud del lado recto,coordenadasde los focos, losvértices, la excentricidady grafique. .

13. 4x2 + y2 = 1614. 9x2 + y2 = 9

. 15. Sx2 + ay2 = 45

16. 25x2 + 9y2 = 225

17. 36x2 + 4y2 = 144

18. 16x2 + 9y2 = 144

19. 1.6x2+ 3y2 .= 4820. 16x2 + 9y2 = 121. 36x2 + 4y2 = 1

22. 9x2 + y2 = 1

Determine en cada caso la ecuación de la elipse con centro en el origende coordenadas que cumple con las siguientes condiciones. (De aqu í en

2 2'

adelante tendrá que distinguir si se hace referencia a la ecuación x.. +L=la~ b1

I., x2 + y2 - 1 b

"b )a a ecuaclon -¡;;: a2 - o len a am as .

23. Un vertice es (0,4) y pasa por el punto ( Vj, 2)2

24. El eje mayor coincide con uno de los ejes coordenados y la gráfica pasapor los puntosA(4,3)Y B(6,2)

25. Vértices en (O, :t6); focos en (O, :t4)26. Los ejes de la elipse coinciden con los ejes coordenados

2

L.R. = V52

e = V5

27. Haciendo uso de la definición determine la ecuación de la elipse confocos en (0,3) ,y (0,-3) con eje mayor de 10 unidades de 10l)gitud.

167

Módulo11


. Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:

1. Encontrará la ecuación de una elipse con centro en el punto (h, k) Yque satisfaga ciertas condiciones dadas.Analizará la ecuación general de una elipse y obtendrá centro, focos,vértices, excentricidad y lado recto.Graficar? IJna elipse a partir de su ecuación general.

2.

3.

ESQUEMA-RESUMEN

169

Ecuación Otras formascartesiana de ... de la ecuación ...

Apl icaciones,. ,.

la elipse. de la elipse.

11.1 OTRASFORMASDELA ECUACIONDELA ELIPSE

En este tema consideraremos elipses cuyo centro no coinci-de con el origen de coordenadas, pero sólo aquellas cuyosejes son paralelos a los ejes coordenados. Sus ecuacionespueden determinarse mediante el método usado en los te-mas anteriores, pero como es demasiado laborioso, nos val-dremos de lo que ha aprendido acerca de la traslación deejes para simplificar nuestro trabajo.

Veamoslaelipse Sea una elipse con centro en el punto ~ (h,k) con sucuandosucentro eje mayor parelelo al eje X. (Ver figura 15.)estáfueradelorigen.

170

y

y'

X'

x

Figura 15

Construyamos un nuevo sistema de coordenadasX' Y' cuyo origen coincida con el punto C(h.k) y susejes sean paralelos a los ejes Xy y (Ver figura 15.)

Con respecto a este nuevo sistema de coordenadas, la, 2 ' 2

ecuación de la elipse es :2 + ~2 = 1. Para referir

este conjunto de puntos a los ejes originales X, 1': necesi-tamos sustituir x' y y' por sus equivalentes en términos de xy y,y como x = x - h Yy' = y -k (ver figur~ 16).

--- -- - --.-

Efectuando la sustitución tenemos:

que es la ecuación de la elipse (referida a los ejes X, Y)concentro en el punto (h,k) con su eje mayor paralelo al ejeXo (Ver figura 16.)

yy'

Y'(h-a, k)

B(h,k+b)

x'V(h+a,k)

B'l(h. k -b)

x

Figura 16

Lascoordenadas de los vértices,focos y extremos del Tambiénpodemoseje men"or, se determi nan a partir del centro de la el ips~. determinarsusUna vez conocidos los valores correspondientes de elementos.

a, e y b. La longitud del lado recto 'sigue siendo L.Ro= 21J1a

y la excentricidad e =~ o La ecuación del eje mayor es:a

y = k, h. - a ~ x ~ h + a

y la ecuación del eje menor es x = h; k - b ~ Y <k + b

171

172,

'- . ----

V' (-lO, 6)

Ejemplo 1:

Determine la ecuación de la elipse que satisface lassiguientes condiciones, vértices: V' (-10,6) V (10,6)

L.R. = 10 Ó 21J2 = 10- a

Solución:

El centro de la elipse esel punto medio del segmento(V' V) que une los vértices entonces e (0,6) es el centro, ya = 10. Como el eje mayor es horizontal la ecuación de la

(x - h)1 (y - k)1elipseesde la forma ~ + u = 1, de la cual

conocemos h, k ya2 quedando por determinar sólo b1 este

valor resulta al sustituir el valor de a en 2b1 = 10 resul-, a,

tanda b1 = 50 por lo"que la ecuación de la elipse dada es

x1 (y - 6)2- + = 1 (ver figura 17).100 50

y

-1 I 1 2x

1210

8

~C(O.6) .2

V(J0,6)

-10

Figura 17

Si pensamos en una elipse con su centro en un puntodistinto del origen y su eje mayor paralelo al eje Y, elmétodo usado en el caso anterior nos lleva a la ecuación.

---.

a >b

La confirmación de este hecho se propone comoproblema para autoevaluaciól1.

Ejemplo2:

Usando la definición, determine la ecuación de la elip-se con focos en F' (3,-1) Y.F(3,5) siendo 10 unidades lalongitud de su eje mayor.

Solución:

De acuerdo con la definición, la suma de las distanciasde un punto P(x,y) en la elipse a los focos es 2a enton-ces F'P + FP = 2a y como

~'P = V(x - 3)2 + (y + 1)2

F P = y (x - 3)2 + (y - 5)2

2a = 10

tenemos Y(x - 3)2 + (y + 1)2 + \/(x - 3)2 + (y - 5)2 == 10

V(x - 3)2 + (y + 1)2 - 10 - V(x - 13)2 + (y - 5)2

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación re-sulta:

(x - 3)2+(y + 1)2= 100 - 2ÓV(x - 3)2+ (y - 5)2 (x - 3)2+(y - 5)2

Efectuando y simplificando:

ó:3y - 31 = - 5 V(x - 3)2 + (y - 5)2

5 Y(x - 3)2 + (y - 5)2 = - 3y + 31

y elevando al cuadrado nuévamente

25(x - 3)2 + 25(y - 5)2 = 9y2 - 186y+ 961

173

efectuando las operaciones indicadas V simpl ificando:

25x2 - 150x + 16y2 - 64y = 111

factorizando

25(x2 - 6x) +..16(y2 - 4y) = 111

completando trinomios cuadrados perfectos

25(x2 - 6x + 9)+ 16(y2 - 4y +4) = 111+ 25.9 + 16.4ó:

25(x - 3)2 + 16(y - 2)2 = 400

(x - 3)2 (y - 2)216 + 25 = 1

y-V(3,7)

B' (-1, 2) 'o(7, 2)

JI (3. -3)

Figura 18

174

REACTIVOSDEAUTOEVALUACIO,N

Determine. la ecuación de la elipse que satisface las condiciones especifi-cadas en cada caso y grafique con todo detalle.

1. Eje mayor de 20 unidades, eje menor mide 12 unidades, centro en(-3,2) eje menor paralelo al eje X.Focos en (1,-2), Y (7,-2) eje menor mide 8 unidades.V' (-8,5), V (12,5) L.R. = 5V' (0,0), V (10,0), F' (1,0), F (9,0)F' (2,-2), F(2,6),eje mayor mide 10 unidades

. 3V' (-3 -5) V (-3 3) e = -

'. 4 1 I 4

F' (-1, O) F (-1,8) e = ~

2.3.4.5.

6.

7.

8. Usando la definición determine la ecuación de la elipse con focos en lospl:mtos F' (-2,2), F(6,2) Y eje mayor 2a = 10.

175

, Módulo12


Al terminar de estudiar este módulo, el alumno será capaz de:

1. Determinar si"la ecuac:ión general de una cónica representa una elipse,un punto o al conjunto vacío.

2. Obtener la ecuación de la elipse dadas ciertas condiciones específicas.

ESQUEMA-RESUMEN

La elipseEcuacióngeneral delaelipse. .

Representacióngráfica

Elipse

].Punto

I

Conjuntovacío

177

Laecuación

generalpuede'representara un

, puntoo alconjuntovacío

178

12.1 ECUACIONGENERAL,DELA ELIPSE.

En el módulo 1 de la Unidad XVIII, aprendió que lascurvas que se estudian en estos temas, siempre se puedenrepresentar por medio de la ecuación cuadrática.

I I AX2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = o. r

Mostraremos que dicha ecuación puede representaruna elipse con sus ejes paralelos a los ejes coordenadas ocoincidiendo con ellos, cuando en la 'ecuación B = O Yademás AC >0 con A::/=C. Pero también puede ser quesu gráfica se reduzca a un punto o bien que represente alconjunto vacío. En este último caso debemos entender queningún punto del plano tiene coordenadas que hagan ciertala ecuación.

Sea

AX2 + Bxy+ Cy2+ Dx + Ey + F = O

en donde

,B = O,AC > O YA ::/=e

esta ecuación puede escribirse en formas equivalentes así:

AX2 + Dx + Cy2+ Ey = -- F

D EA(x2 + - x) + C(y2 + -y) = - FA ' e

completando los trinomios cuadrados perfectos resulta

D2 P=~+-=-F

4A 4C

factorizando

A(x + !! )2 + C(y + ~)2 = D2 + P - F2A 2C 4A 4C

D2 PHagamos - + - - F = N

4A 4C

como A . C > O,A Y C son ambos posi tivos o ambos nega~ .

tivos, consecuentemente los sumandos A(x + ~)2 Y

C(y + .!!.-)2 son también ambos positivoso ambos negati-. . 2C

vos o cero, es por ello que la suma es igual a cero solamen-

te si ambos sumandos son cero yeso sucede cuando

x = - ~ y y = -~ es decir sólo el par ordenado (-E.2A 2C . 2a '. .

- ~) hace .cierta la ecuación, por lo que su gráfica se reduce2e"

a un punto. SiN = O, la gráfica es un punto

Si N >0

Al " D Esustituir tenemos A(x + _)2 + C(y -1-_)2 = N

2A 2C

y dividiendo entre N

A . D C E- (x -1-_)2 + -- (v + _)2 = 1N 2A N 2C

pero

A 1 C 1-=-y-=-N N N N- -

A C

!..-(X + D ) 2 + ! (y + E-)2 = l'N 2A N 2C- -A C

179

Analizarbienestaecuación.

180

o bien

D )2(x + 2A

NA

+E )2

(y + 2C = 1N

C

Esta ecuación se reconoce como I~ ecuación de una

l.'

I D E) d

.e Ipse con centro en e punto (- - - - ,es eClrque2A' 2C

DE,h = - 2A Y k .= - 2C . El eje mayor es horizontal

cuando N > N*.ó en forma más simple A >C. ObviamenteA C

el eje mayor resulta paralelo al eje y cuando C > A~Si N <O con A >0 YC >0, la ecuación representa al

conjunto vacío, es decir no tiene representación geométri-ca en el plano real.

Ejemplo1:

Determine si la siguiente ecuación representa una el"ip-se, un punto o el conjunto vacío.

9x2 + 25y2 + 36x - SOy- 164 = O

. Solución:

La ecuación dada" puede representarse de las formasequivalentes:

9x2 + 36x "+ 25y2 - SOy = 164

9(x2 + 4x) + 25(y2 - 2y) = 164

9(x2 + 4x + 4) + 25(y2 - 2y + 1) = 164 + 36 + 25

9(x + 2)2 + 25(y - 1)2 = 225 ; N = 225 entonces"N > O

9(x + 2)2 + 25(y - 1)2 -2-25 225 - 1

* S. N . N N NI - >- -. - = a2.y - = b2A ~ A C

(x + 2)1 + (y - 1)1 = 1225 / 225- -9 25

/

(x + 2)1 + (y - 1) = 125 .9

esta es una elipse con C(-2,1) a = 5, b == 3;

e = Va1 - b1 :. e = V25 9 e = 4

L.R. = 2hZ = 18a . 5

4e=- 5

V'(-7,]}

Figura 14

Ejemplo2

y

C(-2, 1)v (3, 1)

Determine si la ecuación dada representa una elipse,un punto ó al conjunto vacío.,

9x'l + 2Sy1- 36y - SOy+ 61 = O

x

181

182

Solución:

Procediendo igual que en el ejemplo anterior tene-mos: .

9x2 - 36x + 25y2 ,- !JOy= - 61

9(x2 - 4x) + 25(y2 - 2y) = - 61

9(x2 - 4x + 4) + 25(yJ-- 2y + 1) = - 61 + 36 + 25

9(x - 2)2 + 25(y - 1)2 = O

N=O

por lo que representa al punto (1,2)

Ejemplo3:

Determine si la siguiente ecuación representa a unaelipse, a un punto o al conjunto vacío.

9x2 + 25y2- 36x - SOy+ 65 = O

Solución:

En este caso

A = 9, C = 25, D = -36, E = -50, F = 65

como

D2 W .N=-+--F

- 4A 4C

entonces

N = (-36)2 + ~-50)2 - 654.9- 4.25

o bien

N =~ + 50.50 - 6536 2 .2. 25

N = 36 + 25- 65

-. --- - --

N= -4

N<O

por lo tant09x2 + 25y2- 36x - SOy+ 65 = O no tienerepresentación en el plano real. .


En el siguiente conjunto de problemas determine en cada caso si laecuación dada representa una elipse, un punto ó el conjunto vacío; en casode ser una elipse encuentre: centro, focos, vértices, excentricidad, lade rectoy finalmente graficarla.

1. x2 - 8x + 4y2 = O

2. X2 + 16y2+ 4x - 32y - 44 = O

3. 25x2 + 4y2 + 100x = O

4. 9x2 + 4y2 + 36x ~ 24y - 252 == O

5. 9x2 + 25y2+ 36x - SOy- 164 = O

6. 9x2 + 16y2- 18x + 32y + 24 = O

7. 2X2 +y2 +12x-43=O

8. 5x2 + y2 - 10x - 2y + 71 = O

. 9. 7x2 + 6y2 + 14x - 24y + 32 = O

10. 8x2 + 3y2 - 12x + 6y + 62 = O11. 8x2.+ 9y2- 16x - 54y + 89 = O12. 4x2 + y2 - 8x + 4y = O

183

Pánelesde verificación


1. 2a = 8, 2b = 4, F' (-m. O), F(2 Vi. O), V/ (-4, O), -V(4,O)

y

B (0,2)

2. 2a = 10, 2b. = 8, F' (-3, O), F(3, O), V/ (-5, O), V(5, O)

y

B{O,2)

v' (-5. O) V (5,O)

n' (O,-4)

C(O,O)I y t .XI I

V'(-4. O)

(O'-2)

3. 2a = 6, 2b = 4, P' (- V5, O), F(V5. O), V' (-3, O), V(3,O)

y

B(O, 2)

x

B' (O,-2)

4. 2a = 6, 2b = 2, P' (-2 Vi. O), F(2 Vi: O),V' (~3, O), V(3,O)

y

B(O,1)

B'(O,-1)

5. 2a = 4, 2b = 2, P' (- Vi O);F(V3; O), V' (-2,0), V(2,O)

y

B(O, 1J

V'(-2, O)x

I .'

B' (O,-1)

186

- - -----------

6. 2a = 2 V7,2b = 4, F' (- Vi, O),F(V3, O),V' (- V7: O),V(v'7; O)

.y

V' (: J7, O) v (..ti, O)x

B' (O,-2)

2 '(

VSF(

V5 '(

1 1

7. 2a = 1, 2b =3' F - 6' O), 6' O),V -2,00), V(2' O)

y

x

LIB'(O,-+)

8. 2a = ~,2b = ~ ' F' (- ~, O),F( ~, O),V' (- ~, O),V( ~ ' O)

y

B(O,+)

V'f-+, O)

x

418(0,--;-)

187

r y29. - + - = 1 625 , 16

x2 y210. - + - = 125 9

x2 y211.-+-=116 4

161. 2a = 7 V72. Vj

e =-2

.3.2b = 24

44. 2e.= 8, e = 5'

x2- 9y25.- + - = 1. 4 20

x2 y26. - + - = 136 27

ó

ó

MODULO10- VALlDACION

6 5x2 + 9y2 = 20

ó 27x2 + 36y2 = 972

Nota: Se descarta la solución a =:=- ~

x2 y27._+_= 136 20

8. a = 89. b = V2

1O. b = 3

911. L.R. =-2

12. L.R =ll. . 5

188

ó

- -.- ---- - - - -- - - --- --

13. 2a = 8, 2b = 4, e = V;, L.R. ==2, F'(O, -2~, F(O,2 Vi),

V' (O, -4), V(O, 4)

y

B'(-1, O) B(l, O)x

v'(0,"--4)

2V2 2 I '

14. 2a = 6, 2b = 2, e = 3' L.R. = 3"' F (O, -2 V2), F(O, 2 '12),

V' (O, -3), V(O, 3)

y

v (O,3)F(O,l.j2)

x

F'(O,-lJ2)V'(O,- 3)

/

189

, ViO 6W,15. 2a = 2'JTs, 2b = 6, e = -, L.R. = _5

' F (O, - V6),5 -

F(O,V6), V' (O,- VT5), V(O,ViS)

y1V(O,$)

8' (O,-3) 8 (3, O)

v' (O,-$)

16. 2a = lO, 2b = 6, e = ;, L.R. = 1: ' F' (O, -4), F(0,4),

V' (O, -5), V(0,5)

y

v (0,5)

8' (O,-3) 8(3, O)

v' (O,-5)

190

x

x

/

17. 2a = 12,2b =4, e = ~, L.R. = ;, F'(O, ~4 V2), F(O,4 V2),

V'(0,-6), V(O,6)

y

0'(-2,0)

F' (O,- 4.j2)

V' (O.-6)

18. 2a = 8, 2b = 6, e = V¡, L.R. = ~ ' F/O, -V7), F(O,V'f),

V' (O,-4), V(0,4)

y

, V(O, 4)

o' (-3, O) 8(3, O)

V'rO,-4)

191

. V[j 3,19.2a = 8, 2b = 2'13, e = 4' L.R. = 2"' F (O,-m), F(O,W),

y

VI0,4)

B' (-VI: O)x

F' (O,-.JTJ)

V' (O,-4)

2 1 V7 3, V720.2a =3' 2b ="2' e = 4' L.R. ="8' F (O,- 12 ),

y

v (O,1..)3

, t)B (-'4; O

x

v' (O,- +)

192

~ - -- -- -- - - -

. Vi, 1 1F (O,3 ), v (O,- 2)' V(O, 2")

y

B' (--;. O)

x

, - /2'F'(O.-~J

¿lv' (O.- .i)

2 2V2 2, 2'1222. 2a = 2, 2b =3' e = 3' L.R. ="9' F (o. - 3)'

2'12,(

.

F (O.-:1 ).\( O. -1), V(0.1) -

'Y

B'(~.;.. O)

x

I'-

193

2

23 X 2 + L = 1. 16

x2 y224. - + - = 152 13

x2 y225. - + - = 120' 36

26. x2 + 5y2 = 5 Ó '5x2 + y2 = 5 (Dos soluciones)

x2 y227, - + - = 116 25

MODULO11 - VALI'DACION

,'. {x + 3)2 (y - 2)2+ =136 100'

194

y

V (-3,12)

B' (-9,2) ,B (3, 2)

v' (-3, -8)

x

2. (x - 4)2 + (y + 2)2=' 125 16

y

vi (-1.-2)

, '

3. (x - 2)2 (y - 5)2 -100 + 25 - 1

vi (-8,5)

V(9,- 2)

B'(4. -.(j)

y

B (2,10)

e (2.5)

B' (2,O)

x

x

195

4. (x - 5)2 + y2 = 125 ,9 ,

y

B (5, 3)

v' (O,O) e (5, O)

B' (5,-3)

5. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 19 25

y

V (2,7)

B'(-1,2) - B (5,2)

V (2, -3)

196

- ----

xV(JO,O)

x

6. -. (x + 3)2 (y + '1)27 + 16 = 1

y

V (-3,3)

s' (-3-ft, -})X

(-3+.j7; -1)

V'(-3, -5)

7. (x + 1)2.+ (y - 4)1 = 120 . 36 .

s' (-1-J'jii, 4) B (-1 +"';20. 4)

V'(-1.-2)

8. (x - 2)~ + (y - 2)1 = 125 . 9

197

MODULO 12- VALlDACION

1. Esuna elipse con: e (4,0), P' (4 - Vii, O),'P (4 + Vi2, O)V' (O,O), V(8, O)

. 2

(x - 4)2 + ~ = 116 4

VT2 2 Vie=-=-

4 4Vi L.R. = 2

e=T

y

V'(O, O)x

V (8, O)

2. Esuna elipse cuya ecuaci~~mes:(x + 2)2 + (y - 1)2 = 164 4

e (-2,1), P' (-2 -2 ViS, 1), P (-2+2 ViS, 1), V' (-10,1)\ VISV(6,1),e = 4 ,~L.R. = 1

y

198

- --

3. e (-2,0), F'(-2, -W), F(-2, Vil), V' (-2,-S), V{-2,S),

V21e =5"'

8L.R. = 5

y

v

x

v'

4. e (-2,3\ F' (-2, 3 - 3 V5), F(-2, 3 + 3 V5), V' (-2,-6),

V5V(-2,12) e = T'

L.R. = 8

y

v

x

J"

199

5. e (-2,1), F' (-6,1), F(2,1), V' (-7,1), V(3'1)'

4 18e =5' L.R. = 5"

y

v' (-7, 1) .e (-2.1)

, V7 V7,26. e (1,-1), F (1 - 12' - 1), F (1 + 12 ' - 1),V (3' - 1),

4 V7 3Vi(- - 1) e = - L R = -

3' , 4'" 8

y

1 2 3

-t V'~V

~

-2

200

-- --- - -- -

x

x

7. La ecuación dada 'representa al punto (-3,5).8. No tiene gráfica en el plano real.9. No tiene gráfica en el plano real.

'10. No tiene gráfica,e.nel plano real.11. El punto (1,3).

12 C(1, -2), F' (1,. - 2 - V6), F (1, ,- 2 + V6), V/ (1, - 2 - 2 Vi),

. ViV(1, - 2 + 2 Vi), e =2 '. L.R. = Vi

y

V(1,O.8)

v' (1, -4.8)

201

'. UNIDAD XX .

SECCIONESCONICAS.HIPERBOLA., R.OTACIONDE EJES.

203

Introducción

Siguiendo con la intención descrita en la unidad anterior al material queaqu í se presenta podemos asignarle las características mencionadas en launidad próxima pasada, además de que nos sirve para damos una idea aun-que somera de la trayectoria de los planetas que tienen una órbita el íptica asícomo de la de los cometas que en su desplazamiento d€?scribenuna hipér-bola. .

Nos permite notar las bondades tanto de la traslación como de la ro-tación de ejes y como fin impl ícito en todo el material generar las habilida-des suficientes en el estudiante para afrontar con éxito sus próximos com---promisos educativos.

205

ObjetivosGenerales


1.2.3.

Definirá la hipérbola. .

Deducirá la ecuación de una hipérbola con centro en el origen.Determinará a partir de la ecuación de una hipérbola su dominio ycontradominio.Explicará la interpretación geométrica de la ecuación de una hipérbola.Explicará el proceso conocido como rotación de ejes.Determinará a partir de la ecuaCión cuadrática qué cónica representa.

4.5.6.

206

- - -- - -- -. - - - --

Diagramatemáticoestructural

.207

SeccionesLa HipérbolaCónicas.

Transformación. Rotación de Ejes.de Coordenadas

I

Glosario

Hipérbola: Es la gráfica descrita en un plano por un punto'que se mueve enél de forma tal que: la diferencia de sus distancias a dos puntos fijospermanece constante.

Ecuación de hipérbola: Representación algebraica de la característica comúna los puntos de una hipérbolay sólo a esospuntos. .

Focos de la hipérbola: Los puntos fijos a que alude la descripción de la hipér-bola. .

Centro de la hipérbola: Punto medio del segmento de recta que une losfocos. .

1 c: Distancia de centro a foco en una hipérbola.

Vértices de la hipérbola: Intersecciones entre la hipérbola y el segmento derecta que contiene al centro y q los focos.

Eje transverso: Segmento de recta cuyos extremos son los vértices de lahipérbola.

2 a: Longitud del eje transverso.

Eje conjugado: Se gmento de recta perpendicular al eje transverso y pasa porel centro de la hipérbola.

2 b: Longitud del eje conjugado de la hip.érbola.

Excentricidad de la hiperbola: e = *

Lado recto de 'una hipérbola: Segmento de recta que pasa por un focoperpendicular al eje transverso y cuyos .extremos pertenecen a la curva.

Asíntotas de la hipérbola: Un par de rectas que pasan por el centro de lahipérbola, alas que se aproxima la gráfica de la curva.

Hipérbola conjugada: Hipérbola cuyos ejes, transversoy conjugado tienen la. misma longitud. .

208

~ --------

Rotación de ejes: Consiste en referir un punto o conjunto de puntos en unsistema coordenado X y a un sistema coordenado X' Y' si ambossistemas corrdenados tienen el mismo origen.

209

'1

Módulo13'



1.2.3.4.

Expl icará el concepto de as(ntota.Explicará la obtención de los ejes transverso y conjugado.Definirá el valor de la excentricidad en la hipérbola.Obtendrá las constantes a, b, c,' las coordenadas de los vértices y de losfocos, la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de lasas(totas a partir de la ecuación de una hipérbola con centro en el origen.

211

ESQUEMA-RESUMEN

La HipérbolaDefinicióndelaHipérbola

Ecuación de laHipérbola concentro en "O"y focos en 11X"

Ecuación de laHipérbola concentro en "O"y focos en "Y"

Dominio dela Relación

{x2 y2

}(x,y) 17 -¡;; = 1

HipérbolasConjugadas

212

Característicasde la Hipérbola

Gráfica

13.1 DEFINICIONDE LA HIPERBOLA

Descripción:

Una hipérbola es la curva que se obtiene intersectando uncono y un plano; si el plano está inclinado, corta ambassecciones del cono y no pasapor el vértice del mismo. (Verfigu ra 1).

Figura 1

Definición:

Una hipérbola es.el lugar geométrico de -todos lospuntos' del plano tales, que el valor absoluto de ladiferencia entre sus distancias a dos puntos fijos esuna constante a la que representaremos por 2a

(ver figura 2).

Cómoobtenemos

unahipérbola

213

Característicasde la hipérbola.

Obtención de laecuación dela hipérbola.

,L------

}'

P

f

F'

x

Figura 2 PF' -PF = 20

Características:

Los puntos fijos mencionados en la definici6n, son los lla-mados focos de la hipérbola y se representan por las letrasF y F'. La distancia entre los focos es 2e. El punto mediodel segmento FF' (eje focal) es conocido como centro dela hipérbola.

De la figura 2 puede notar que los puntos P F F' sonlos vértices de un ~riángulo y como en todo triángulo ladiferencia entre dos de sus lados es menor que el terceroentonces PF' - PF <FF' y dado que PF' - PF = 2a YFF' = 2e,tenemosque 2a<2e 6 también a <e.

13.2 ECUACIONDE LA 'HIPERBOLACONCENTROEN O VFOCOSEN X.

Si una hipérbola tiene su centro en el origen de coor-denadas y sus focos en el eje X, las coordenadas de losfocos son (-e, O) paraF'y (e,O) para F. Todo puntop(x,y)en la curva tiene coordenadas que satisfacen la siguienteigual dad IPF' - PFI = 2a Ó bien 'PF' - PF = :t 2a, y como

PF' = V(x + e)1 + y1, PF = V(x - e)2 + y2. Sustituyendoobtenemos

(x + e)2 + y2 - V(x - e)2 + y1 =:t: 2a

- - -- --- - -- ---

Dejando un radical solo en un miembro de la igualdad yelevando al cuadrado la ecuación que resulta, tenemos:

4cx - 4a1.= ::t4aV(x - C)2+ y2 Ótambién

ex - a2 =::t a V(x - C)2 + y2 al dividir entre 4

ambos miery1brosde la ecua~ión.

Elevamos al cuadrado nuevamente los dos miembrosde la ecuación y tenemos~

y como a<cóc>a entonces 'c2 >a2 Ó bienc2 -a2 >0

por lo que pOdemos reemplazar c2 - a2 por b2, b E Rquedando

.

ó

13.3 DOMINIODE.L~ RELACION{(x,y) l ::- - ~: = 1}I

Como en casos anteri ores, queremos determi nar elconjunto de números reales que al sustituir a "x" en la

22'.ó X y 1 I I .. "

ecuacln - - - = generan va ores rea es en y ;a2 b2

este conjunto se obtiene fácilmente cuando resolvemos pa-ra 'y" la ecuación dada .

Análisis del

dominio parala ecuación

de la hipérbola.

215

\ Interpretacióngráficadeldominio.

216

b'"y'" = - (x'" - a'")a'"

by = ::t:-V x'" - a2a

"y" es un número real si x'" - a'" ~ O,; con ésto elproblema se reduce a resolver la desigualdad obtenida:

x'" - a'" ~ O

Ixl ~ a

x ~ a ó x~ - a

Entonces el dominio de la relación, es {x ERlx ~ a

Ó x ~ - a} ésto significa qlJe para - a <x < a, y ft.R,'geométricamente lo interpretamos entendiendo que la grá-

f.

d I h. , b I . , x2 y'" 1.

Ica e a Iper o a con ecuaclon ~ - 77 = no eXiste

en la región del plano en la que - a <.x < a. (Ver figura 3).

y

-2 < x ~ Q

x

Figura 3

x2 y'2

13.3.1 GRAFICADE ;¡- - 17 = 1

Una consecuencia de la conclusión del párrafo ante-rior esel hecho de que la gráfica de referencia no intersecta

"

x2 y2al eje y, y si en - - - = 1 hacemos y = O obte-

a2 b2

nemos que x = a ó x = - a, de donde conclu ímos quela gráfica intersecta al eje X en los puntos V' (-a, O) yV (a,O).Estos puntos son llamados vértices de la hipérbolay al segmento de recta que los une eje tran sverso (V' V=2a),mientras que al segmento de recta de longitud 2b cuyamediatriz (perpendicular y bisectriz) es el eje transverso,lo llamamos eje conjugado (también eje no transverso).

13.4 ASINTOTAS

Una definición completa de asíntota requiere el con-cepto de límite (que suponemos no ha adquirido), porello sólo le damos una breve descripción que será suficientepara ayudarle a graficar hipérbolas.

Debemos entender por asíntota de una curva, la línearecta a la cual se aproxima la gráfica de la curva (ver figura4) sin llegar a tocarla aunque el valor de x seamuy grande.En la figura 4, la gráfica de la curva se aproxima al eje X yconforme el valor de ~ aumenta, más próxima está la grá-ficaal eje X,. sin embargo,no se intersectan por grande quesea el valor de"x. El eje X es una asíntota de la gráfica de lacurva.

y

x

Figura 4

¿Qué llamamos

eje transverso yeje conjugado?

Dosrectasimportantes sonlas asíntotas.

217

,

¿Cómo son laspendientes delas asíntotas?

218

La hipérbola tiene dos asíntotas y la gráfica de ellasse puede obtener construyendo un rectáñgulo cuyos ladostengan como puntos medios a los extremos de los ejes

~transversQlytconlugado~ y además sean paralelos a dichosejes. LasJasíntotastde una hipérbola pasan por el centro dela misma y por los }Vértices! opuestos del rec_tángulo; sugráfica y la de la hipérbola están dadas en la figura 5.

y

F(e.O)x

Figura S

Una de las asíntotas pasa por dos puntos cuyas coor-

denadas son (0,0) y (a,b), lL1egosu pendiente (m = Y1 - Yl ), X1 - XI

bS

.d ( )

b .,es m= -. ustltuyen o (0,0) a' X1Yl Y- a men la ecuaclOna a

y - Yl = m (x - XI) obtenemos su ecuación y.=!!..x;ala ,otra asíntota pasa por (0,0)y (-a,b). Procediendode.

I b., b

Igua manera o tenemos su ecuaclon que es y = - -:-x.a

El lado recto (L.R.) de una hipérbola, es el segmentode recta cuyos extremos son puntos de la curva, perpendi-cular al eje-focal en uno de los focos {ver figura 6}.

y

Figura 6

Tambiénlahipérbola tienedos lados rectos.

.x

Igual que la elipse, la hipérbola tiene dos lados rectos,

ambos de la misma longitud que es L.R. = 21J1. La prue-a

ba de ésto, está en un problema de autoevaluación.

13.5 EXCENTRICIDAD

La excentricidad se define también comoe

e =-' ,a

como en la hipérbola e >a, entoncese > 1.

Ejemplo 1:

Deter~ine a, b, e, L.R., e, y grafique la hipérbola ~cuyaecuaclones ~

r y-- -= 164 100

219

Figura 7

220

- -

Solución:

x2 y2La ecuación dada corresponde a Ia forma ;¡: - b2 = 1;

entonces a2 = 64'y b2 = 100 por lo que a =8 Y b = 10 Ycomo en la hipérbola c2 = a2 + b2, tenemos que, c2 ==64+ 100 de donde c2=164 y e = '-1164, ó bien e = 2 V4i.de ah í que los focos de esta hipérbola sean los puntosF' (-2 V4i, O) Y F (2 V4i, O);los vértices están en

V' (-8,0), V (8,0), L.R. = 2/~00J y simplificandoL.R. = 25V4i

ye=- 4

Las e9uaciones de las asíntotas sonb b

Y =-x,y = --x.5 o a

Sustituyendo a y b tenemos: y = :t - x, y con estos datosgraficamos (ver figura 7) o 4

y

=_íx4

-----

Lo.R.=25 LoRo == 25

t\.,/

XF'(-2..)41,0) V(8, O) F(2..)41, O)

13.6 ECUACIONDE LA HIPERBOLACONCENTROEN "0" YFOCOSEN EL EJEY

Cuando una hipérbola tiene su centro en el origen decoordenadas y sus focos F' (O,-e) y F (O,e) están en eleje "Y"J determinamos su ecuación procediendo igual.que en los casos anteriores, es decir, representamos me-diante una ecuación la condición que satisfacen todos lospuntos de la curva y solamente esos puntos; sea P (x,y)un punto cualquiera de la curva, de acuerdp con la defi-nición. La diferencia entre sus distancias a los focos (PF'- PE) es igual a :t 2a; entonces PF' - PF = :t 2a ,(ver

figu ra 8).y

p (X,y)

x

'F' (O,-e)

La hipérbolatambién puedetener susfocos enel ejeY

Figura 8

Si PF' -PF=:t2ayPF' =Yx2 +(y+e)2 ;PF=Vx2 +(y-e)2.

Sustituyendo, tenemos: Yx2 + (y + e)2 - Yx'- + (y - e)2 =:t 2a.

Dejando un radical solo en un miembro de la igual-dad, elevando al cuadrado y simplificando tenemos: .

ey - 'a2 = :t a ~+ (y - C)2\

Elevando al cuadrado otra vez ambos m'iembros dela igualdad y simpl,ificando, resulta:

221

de donde

y como

obtenemos

Si hacem09x = O resu Ita b2y2 = a2 b2 y consecuente-mente y2 = a2,Óbien y = a Ó y=.- a; por lo tanto V (O,a)yV' (O,-a) son las intersecciones de la curva con el eje "'yo.

. Si y es reemplazada por cero, es decir si y = O,entoncesx2 = - b2, por ~oque siy = U entonces x e R, lo cual sig-nifica que esta hipérbola no intersecta al eje l/X"

Resolviendo para y, tenemos que y = :t ~ Vx2 + a2,de ahí que y es número real para toda x ER, el dominio

- . 2 2

de la relación definidapor laecuación ~ - : = 1 es elconjunto de"los números reales. a2 b2

Cuando resolvemos la misma ecuación para 'x", re-b

sulta x = :t-Vy2 - a2a de donde conclu ímos que x es

UR número real siy2 - a2 ~ O, ó bien y ~ a Óy ~ - a.El contradominio de esta relación es {YERly~ -a Ó y ~ a}.

La gráfica de esta hipérbola la obtenemos fácilmentecon la ayuda del rectángulo por cuyos vértices pasan lasasíntotas, tomando en cuenta que en este caso el eje.transverso coincide con el eje "y" mientras que el ejeconjugado coincide con el eje "X". (Ver figura 9).

222

-

y

Figura 9

L.

d 1 , _a aas ecuaclones e as asrntotas son Y --¡;xy y=-¡;x.¿Por qué?

Ejemplo1:

Determine los elementos (centro,' focos, excentrici-dad, L.R., vértices y ecuaciones de las asíntotas) ygrafiquedetalladamente la hipérbola cuya ecuación es:

2 -x2 L=-15" - 4

Solución:

En primer lugar procuramos que el miembro de laderecha en la ecuación sea 1 y no -]: ésto' se logra mul-tiplicando por (-1) ambos miembros de la ecuación, conlo que obtenemos:

= 1óy2 x24 -5 = 1

que es obviamente la ecuación de una hipérb.ola con sueje transversa' en el eje Y y además C(O,O),a = 2, b = V5como e2 = a2 + b1 entonces e2 -= 4 + 5 = 9 por lo tanto

r

223

¿A qué llamamoshipérbolasconjugadas?

224

--- --- -----

e = 3, e = ~ ' L.R.= 5.Las ecuaciones de las asíntotas son

a, a . dy =b x O y = - b x sustituyen o tenemos:

2--xy ~ VS

2-xy =. - VS

ó

y

x

Figura 10

13.7 HIPERBOLASCONJUGADAS

Un caso particular de la hipérbola se presenta cuan-do las longitudes de los ejes transverso y conjugado soniguales,es decir 2a = 2b, lo cual implicaquea = b; las I

hipérbolas con esta característica son conocidas como con-jugadas o rectangulares

En estos casos, la ecuación de la hipérbola resulta1 2'

X 2 - Y2 = 1 cuando el eje 'transverso coincide con ela a

eje X Y el centro con el origen de coordenadas, o bien

2 2

,L - ~ = 1 si el eje transverso coincide con el eje Ya2 a2 .

y el centro con el origen de coordenadas.

Ejemplo:1:

Mo~trar que en una hipérbola rectangular las asínto-

tas se intersectan en ángulo recto y la excentricidad es V2.

Solución:2 2

Considerando la ecuación x2 - y 2 = 1, el eje trans-a a

verso coincide con el eje X, entonces las ecuaciones de lasasíntotas son:

b bY = -x , y = --xa a

pero como a = b, b es sustituido por a, y tenemosa

y =-xa

ay = --x

a

ó y = x y =-x

De inmediato conclu ímos que las pendientes de las asínto-tas son mi = 1 Ym2 = -1, luegoel producto de laspen-dientes mlm2 = - 1, lo cual es la condición que debensatisfacer las pendientes de rectas perpendiculares entre sí;por tanto concluimos que las asíntotas se intersectan enángulo recto.

eLa excentricidad está definida como e = - donde

a

e = Va2 +uf,2 ;' de nuevo b es sustituida por su igual a

fi¡;2, aV2y tenemos que e = - O e = - De donde e = Vi .

a a

(Ver figura 11).

Las asíntotas de

I"s hipérbolas

conjugadas son

perpendiculares.

225

Figura 11

y

I

x

REACTIVOSDEAUTOEVAlUACION

Las ecuaciones dadas a continuación representan hipérbolas con centroen el origen y focos en el eje X. Determine en cada una; las constantes a, b, c,las coordenadas de los vértices yde los focos, la longitud del lado recto, laexcentricidad, ecuaciones de las asíntota~ y grafique detalladamente.

x2 y21. 16-9=1

x22. 9" - y2 = 1

x2 .:r.. = 13. "4 - 25

4.

5.

6.

7.8.

4x2 - y2 = 16

5x2 - 7y2 = 35

4x2 - 9y2 = 36

x2 - 2y2 = 8

3x2 - 2y2 = 18

226

- - - - -- - ---

En el siguiente conjunto de problemas encuentre la ecuación de lahipérbola que satisface las cond ¡ciones dadas (todas ellas tienen su centro en0(0,0».

9. a = 10, b = 5 Focos en eje X10. Unvértice V (3,0) Yun foco en F (4,0)11. Foco en F (2,0), eje conjugadomide 2 unidades.

12. e = ~ ' b = 2, focos en el eje X.

13. Pruebe que la longitud del lado recto en una hipérbo!a es L.R.21J2--

a

Las ecuaciones dadas a continuación representan hipérbolas con cen-tro en el origen y focos. en el eje y, determine en cada caso: vértices,focos, longitud de lbS ejes, longitud del lado recto, excentricidad, ecuacio-nes de las asíntotas y grafique detalladamente.

14. ~ x225-9=1

15. y2 , x116-9- = 1

16. 25y2 - 4x2 = 100

17. 4y2 - 16x2 = 64 -

1 8. 'x2 - 4y2 = - 16

19. x2 - 2y2 = - 8

20. 16x2 - 9y2 = - 1

21. 25y2 - 16x2 = 1

Las ecuaciones dadas a continuación corresponden a hipérbolas concentro en el origen, determ ine si sus focos están en el eje X ó en el eje Y.y grafique detalladamente., .

22. 4x2 - 3y2 = 1223. 16y2 - 25x2 = 400

24. x2 - y2 - 4 = O

25. x2 - y2 + 4 = O 227

Determine en cada caso la ecuación de la hipérbola con centro en elorigen que satisface las siguientes condiciones. Grafique en cada uno.

26. a = 10, b = 5 ,focos en el eje Y.

27. Un vértice V' (O,-3) ,y un foco enF' (O,-4)28. Un vértice en V (0,2) , foco en F (0,5).29. Un vértice en (0,4) , eje conjugado mide 8 unidades.

228

...--- --

Módulo14


Al terminar de estudiar este módulo el alumno:

1. Determinará los elementos (centro, focos, vértices, etc.) de una hipérbo-la cuyo centro no coincide con ~I origen de coordenadas.

2. Dibujará la gráfica de la ecuación de una hipérbola con centro en (h,k),y ejes paralelos a los ejes coordenados.

ESQUEMA-RESUMEN

EcuaciónCartesiana dela Hipérbola

Otras formas

-'1 de la ecuaciónde la hipérbola

229

Estu~iemosel casocuandoel centrode lahipérbolanoestáen'el origen.

14.1 OTRASFORMASDE LA ECUACIONDE LA HIPERBOLA

Determinaremos en este tema la ecuación de una hi-pérbola cuyo centro no coincide con el origen de, coorde-nadas, pero con ejes paralelos a los ejes coordenados.

Seae (h,k) el (centro de una hipérbola cuyo-eje trans-verso es paralelo al eje X. (Ver figura 12).

y y'

Emplearemoslaecuacióndetraslacióndeeje.

230

xFigÚra12

Tracemos otro sistema de coordenadas X' Y' cuyosejes sean paralelos a los ejes X, Y cuyo origen coincida conel punto e (h,k). La ecuación de la hipérbola con respectoa este nuevo sistema de coordenadas es

'2Y

, 2

X - = 1- -b2

a2

Sin embargo a nosotros nos interesa referir esta relación alsistema coordenado original, cosa que logramos sustituyen-do x' y y' por expresiones equivalentes en términos de x yy. Estas expresiones' son x' = x - h YY = Y - k;. ha-ciendo la sustitución obtenemos:

-- ---------

(x - h )2

a2

que es la ecuación de una hipérbola con centro en (h,k)con su eje transverso paralelo al eje X.

Las coordenadas de los vértices se obtienen a partirdel centro, así como los extremos de los ejes, (transverso yconjugado) después de haber determinado los valore~ co-rrespondientes a las constantes a, b y c. (Ver figura 13).

y y'

F (h + e, k)

Figura 13

L d" ,...¡ I I b b .as pen lentes !:.le as aSlntotas son m = - y m = --,a a

y sus ecuaci ones

y - k =!!.. (x - h)I

yI

y - k = - !!..(x - h)a . a

X'

x

231

23:.

Ejemplo1:

Determine las coordenandas de centro, vértices y fo-cos, ecuaciones de las asíntotas, longitud del lado recto,excentricidad, y grafique la hipérbola cuya ecuación es:

Solución:

Siendo la ecuación de la forma (x - h)2 (y - k)2a2 - b2 = 1,

su eje transverso es horizontal, además h = 5, k = - 3,a2 = 9 Yb2 = 16, de donde resulta que el centro es elpunto e (5, -3) Y e2 = a2 + b2; entonces e2 = 9 + 16ósea e2 = 25, por lo que e = 5; si a2 = 9, b2 = 16,tenemos que a = 3 Y b = 4.

La "excentricidad (e = ~) resulta e =~ y la lon-a 32b2 32

esL.R. = 3; las ecua-gitud del lado recto L.R.

ciones de las asíntotas son

b b '

y - k =- (x - h) Y Y - k = - -(x - h)a a

al sustituir a, b, h Yk, obtenemos:

4Y + 3 =-(x - 5)3

" 4Y y + 3 = --(x - 5)3

La gráfica está en la siguiente figura 14.

(x - 5)2 - (y + 3)2 = 19 16 I

Ó

(x - 5)2 [y - (-3)]2- 16 = 1

L.R.-= 2!..3

F' (O,-3)

x

F(lO.3)

Figura 14

Si consideramos que la hipérbola tiene su centro fueradel origen y su eje transverso paralelo al eje UY", un pro-ceso similar al visto en el caso anterior establece que la

ecuación correspondiente es (y - k)2'a2

(Ver gráfica 15).

Figurá 1S

y

x

233

234

De la gráfica se obtiene que las pendientes de las asín-

. a atotas son m = - b para una, y m = b para la otra;

consecuentemente sus ecuaciones son y - k = = (x - h)a

para una de ellas y y - k = - b (x -~) para la otra.

Ejemplo 2:

Determine los elementos (centro, vértices, focos, etc.)y grafique con todo detalle la hipérbola cuya ecuación es:

(y + 3)26

(x + 1)29 = 1

Solución:

La ecuación puede escribirse:

[ y - (-3) P6 [x-(-1)]2 =1

9

De donde obtenemos los siguientes datos:

k = -3, h = -1, a = V6, b = 3 y por lo tanto e2 = 15

ViS , ViO 18..ye = m, e = - O e = - , L.R. = - =. 3 V6 ,

. ~ 2 V6 .V (-1, - i' + V6), V' (-1, - 3 - V6 ),F (-1, - 3

+ ViS), F'(-l; - 3 - ViS). (verfigura 16).

---------

y

x


1. Pruebe que la ecuación de una hipérbola con centro en el punto (h.k)con su eje transverso paralelo al eje Y es de la forma

(y - k)2a2

2. Determine las ecuaciones de las asíntotas correspondientes a la hipér-bola del problema 1. (Use la ecuación y - Yl = m (x - Xl). Deter-mine la ecuación y grafique detalladamente las hipérbolas que satisfacenlas condiciones dadas.

3. Vértices en (3. :t6) y Focos en (3. :tIO).

4. Vértices en (-2.3) y (6,3),.un foco en (7,3).

5. Centro en (-3.-2); a = 4. e = VS2, ejes paralelos a los ejes coordena-das (dos soluciones).

235

, 6. Ejes paralelos a los ej~s coordenadas centro en (-5.2) e = ~ LR.= 1.(dossoluciones). 2

)236

Módulo15



1. Determinará si la ecuación de una hipér.bóla dada en su forma general,representa a esta curva Óa dos rectas que s$ intersectan.

2. Determinará el valor de la constante k e~ la ecuaciÓn general a fin deque represente un par de rectas que se intersectan

ESOUEMA-RESUMEN

Ecuacióncuadrática

Ecuación generalde fa Hipérbola

RepresentaCióngráfica

Hipérbola

Dos rectasque seintersect.an

237

LaecuacióncuadráticatambiénrepresentaunahipérbolaqlJe...

15.1ECUACIONGENERALD,ELA HIPERBOLA.

Como toda cónica, la hipérbola también se representa pormedio de la ecuación cuadrática

AX2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O;si la hipérbola tiene sus ejes paralelos a

los ejes coordenados o coinciden con ellos, entoncesB = OYAC < O,es decir en la ecuación cuadrática no aparece eltérmino en xy, además el producto de los coeficientes dex2 y y2 es negativo.

Sea:

(1)(x - h)2 (y - k)2---=1

a2 b2

(2) b2(x - h)2 - a2(y - k)2 = a2b2

(3) b2(X2- 2hx + h2) - a2(y2 - 2ky + k2) = a2b2

(4)

(5)

b2x2 - 2b2hx + b2h2 -a2y2 + 2a21cy- a2p = a2b2

b2x2 - a2y2 - 2b2hx + 2a2ky + b2h2- a2k2 - a2b2 = o

(2) Multiplicando ambosmiembros de la igual-dad por a2 .b2

(4) Efectuando operacio-nes indicadas

(3) Desarrollando los bi-nomios' al cuadrado.

(5) Ordenando.

Hagamos

(6) A ==b2, C = - ,,2,D = - 2b2h, E = 2a2k, F = b2h2 -. a2k2 - a2b2

Sustituyendo tenemos:

238 .

(7) AX2 + Cy2 + Dx + Ey + F = O

Este hecho muestra que toda hipérbola puede repre-sentarse en términos de la ecuación cuadrática ya mencio-nada. Pero, ¿toda ecuación del tipo mencionado en la queB = Oy A . C <O representa una hipérbola? Veámoslo.

La ecuaciónAx" + Cy2 + Dx + Ey + F = O, A . C <Opodemos expresarla en las siguientes tormas equivalentes:

Ax2 +DX+Cy2 +Ey=-F

( D" D2

) (E W

)D2 W

A x2 + A x + 4A2 + C y2 - C y + 4(;l = 4A + 4C - F

si hacemos V + /j:2 - F ~ N Y consideramos que N :1= O' 4A 4C

ó N = O cuando N + O , tenemos

y

Análisisde los coeficientesde la ecuación

.general.

S" N

ON

I " ,.h

"

éI C < y A> o, a ecuaclon representa a una Ip r-

bola con centro en (- 2~ ' - 2~) Yeje transverso PCj-

ralelo al eje 'X~Si N <Oy N >0 entonces es una hipérbolaA C

con el mismo centro, pero su eje transverso es paralelo aleje 1':

Cuando N = O, la ecuación queda aSI:

A (x + D ) 2 + C(y' + ~ )2 = O2A. 2C

pero recordemos del paso (6) en el proceso anterior, queA = b2.,C = - a2, D = - 2b2h, F = 2a2k.

sustituyendo tenemos

239

240

----

una diferencia de cuadrados que al factorizarse resulta:

[ b(x - h) - a (y - k) ] [b(x- h) + a(y - k) ] = O

y como un producto igual a cero impl ica que al menos unode los factores es igual a cero, tenemos:

. b(x - h) - a(y - k) = Oó b(x - h) + a(y - k)= O,ó bien

a(y - k) = b(x - h) Ó a(y - k) = - b(x - h)b .' b

(y - k) = -(x - h) o (y - k) = - -(x - h)a a

Que son las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola

., {x - h)l (y -k)2 .con -ecuaclon - = 1. Esto qUiere

a2 b2

decir que si N = O, la ecuación representa un par de rectasque se iñtersectan en el punto (h,k).

Es obvio que si la discusión anterior comienza con laecuación

(y - k)2a2

hacer N = O en la ecuación cuadrática correspondiente,nos lleva a determi nar las ecuaciones de las asíntotas co-

rrespondientes a esta curva.

Ejemplo1:

Determi ne si la sigu¡ente ecuación representa una hi-pérbola o un par de rectas que se intersectan. Grafique contodo detalle:

, 16x2 - y2 - 32x + 4y - 36 = O

Solución:

En cualquiera de los casos es necesario completar tri-nomios cuadrados perfectos, así que:

16 (x2 - 2x) - (i~ - 4y) = 3616 (x - 2x + 1) - (y - 4y + 4) = 36 + 16 - 4

D2 WNote .que = 4A + 4C - F, es el miembro derecho de laecuaclOn - \

16 (x - 1)2 - (y - 2)2 = 48

N = 48, Y como IV =1=Oentonces la ecuación representauna- hi pérbola

16(x - 1)2

4lJ= 1

(x - 1)2 - (y - 2)2 = 1.4 48

La ecuación correspondiente a una hipérbola cuyo ejetransverso es horizontal, con centro en (1,2), a = 2, b =

V52 .

4V3, e = V52, e = 2 = W,L.R. = 48,ecuaclones de

asíntotas y-2 = N3 (x-1), y-2 = - 2V3-(x-1).(Verfigura 17).

Figura 17

y+ 2 =2..jT (x + J J

F(J + -/52. 2)

x

241

Ejemplo2:

¿Qué valor debe tener K en la siguiente ecuación paraque represente un par de rectas que se intersectan? Gra-fíquelas.

16x2 - y2 - 32x + 4y - K = O

Solución:

Si: 16x2 - y2 - 32x + 4y - K = O,

Entonces:16(x2- 2x + 1) - (y2 - 4y + 4) = K + 16 - 4

Como N = K + 12 y la ecuación es la deseada,si N = O

Tenemos O = K + 12 ó K = - 12

La ecuación queda así:

16 (x - 1)2 - (y - 2)2 = O

ó [ 4(x - 1) J 2 - (y - 2)2 = O Y factorizando resulta:

[ 4 (x - 1) - (y - 2) ] [ 4 (x - 1) + (y - 2) ] = O;

esto implica

4 (x - 1) - (y - 2) = O ó 4 (x - 1) + (y - 2) = O

y: 'y-2=4(x-1) Ó y-2=-4(x-1)

estará usted de acuerdo en que el punto de intersección es(1,2) y con las pendientes, obtenemos datos suficientespara graficarlas. (Ver figura 18).

242

- -----

y

Figura 18

y-2=-4 (x-l)

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

Determine si las siguientes ecuaciones representan una hipérbola o unpar de rectas que se intersectan, en cualquiera de los casos grafique V si eshipérbola, citg todos suselementos (centro, focos, L. R., etc.)

1. 4y2 - x2 + 24y + 4x - 48 = O2. 16x2 - 9y2 - 96x = O; recuerde que si no aparece un término de la

ecuación, significa que su coeficiente es cero.

3. yz - x2 - 6y = O

4. 4x2 - y2 - 24x + 2y + 35 = O

5. 4y2 - 25x2 - 24y + 100x - 164 = O

6. 16x2 - 9y2 - 18y + 96x - 9 = O

7. 4x2"- 9y2 - 18y - 24x - 9 = O

8. x2 - y2 - 12x + 16y - 64 = O

9. 3y2 - 3x2 + 6x + 6y - 27 = O

10. 4x2 - 9y2 - 16x + 18y + 43 = O

243

Determine K E?nI'as siguientes ecuaciones para que representen un 'parde rectas que se intersectan. Grafíquelas.

11. x2 - 4y2 + 4x + 24y + K = O

12. 9y2:- 16x2 + 96y + K = O,13. x2 - y2 ! 6y +. K = O14. 4y2 - xi + 2x + K = O

15. 7x2 - 14x - y2 - 8y + K = O

244

Módulo16

OBJETIVOS'ESPECIFICOS

Al termi nar de estudi<::lreste módulo, el alumno:

1. Referirá a otro sistema girado un ángulo dado, con respecto al original,la ecuación de una curva dada, referida a un sistema de dos dimen-siones.Simplificará la ecuación de una curva dada, eliminando los términosrectangulares, mediante una rotación de ejes.

2.

EsnUEMA-RESU~EN

245

Ecuacióncuadrática

-

,

Coordenadas Rotación Transforma-.... de ....

rectangulares,. "'7 ción de

ejes ecuaciones

¿Cómoseefectúaunarotacióndeejes?

246

--

16.1ROTACIONDEEJES

Con la informaciÓn que ha adquirido hasta antes de estetema, estará usted, capacitado para reconocer la cónica(si existe) represéntada por una ecuación de la formaAx2 + By2 + Dx + Ey + F = O. Una ecuación cuadráti-ca en x o yen la que no aparece el término en xy. (B = O)

En este tema, intentamos que logre identificar la cur-va aun cuando B :FO, o sea cuando en la ecuación apa-rezca el término xy, (Bxy). Lo haremos presentando unproceso llamado rotación de ejes mediqnte el cual transfor-mamos la ecuación de la forma AX2 -1-Bxy + Cy2 + Dx +Ey + F = O en otra que carece del término Bxy.

Cuando en un sistema de coordenadas rectangularesXY consideramos un nuevo par de ejes X' Y' con él mismoorigen, y referimos un punto o un conjunto de puntos delprimer sistema coordenado al segundo, efectuamos unarotación de ejes.

Igual que en la traslación, en la rotación de,ejes existeuna relación entre lascoordenadasde un punto (x,y) y lascoordenadas del mismo punto (x' ,y') referido al nuevosistema de ejes coordenados; con objeto de obtener dicharelación, en la figura 19 llamamos y a la magnitud delángulo medido en sentido positivo desde la parte positivadel eje X (original) hasta la parte positiva del nuevo eje X'(Ver figura 19)

y

t...

x

~I,,,,,, /, /V , , ,

Figura 19

//

//

//

//

- - - - - - - -- ---

.. En el módulo 2 de la Unidad XVI, vimos que lascoordenadas de un punto en el plano, pueden expresarseen términos de su distancia al origen de coordenadas (r) ydel ángulo que forma el sentido positivo del eje X, con elsegmento que une al punto con el origen de coordenadas,así en la figura 19 las coordenadas (x,y) del punto P conrespecto a los ejes originales, pueden escribirse:

(1) x = reos (y + (3)

(2) y = r sen (y + (3)

o bien:Coordenadasdeun punto

(3) x = r(cosycos{3 - senysen(3) = rcosycos{3 - rsenysen{3enfunciónde su distancia

(4) y = r(senycos{3 + cosysen(3) = rsenycos{3 + rcosysen{3 I.

a ongeny, I del ángulo

mientras que las coordenadas del mismo, (x ,y ) referido a formadoconlos nuevos ejes son: el eje X.

(5) x' = reos {3

(6) y' = r sen f3

sustituyendo de (5)y (6)en(3) y(4) tenemos:

(7) x = x' cos y - y' sen y

(8) y = x' sen y + y' cos y

Ahora bien, para expresar x' y y' en términos dex, yy, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (7) y

(~. .

MUltiplicandó(7) por cos y y (8)por sen y, resulta:

sumAndo:ó: .

x cos y = x' cos2y - y' sen y cos yy sen y = x' sen2 y + y' sen y cos y

x cos y + y sen'y = X'.(COS2 y + sen2 y)x cos y + y sen y = x'

ó: x' = x cosy + y seny

248

y sustituyendo en (7)

x = (x cosy + y seny) cosy - y' seny

de donde

x = X cos2 y + y sen y cos y - y' sen y

x - X cos2 y - y sen y cos y =- y' sen y

x (1 - cos2 y) - y sen y cos y = - y' sen y

x sen2 y - y sen y cos y = - y' sen y

(x sen y - y cos y) sen y = - y' sen y

x sen y - y cos y = - y'

ó: y' = - x sen y + y cos y así

entonces:

x' = x cos y + y sen y

y' =- x sen y + y cos y

Estas ecuaciones las utilizará para determinar las nuevascoordenadas (xl. l) del punto P (x,y) cuando los ejescoordenadosXY giranun ángulo y

Ejemplos1:

Un sistema de .coordenadas rectangulares se rota en,45°;

Dete~mine las coordenadas del punto A( 2, - ~ )referido aJ nuevo sistema coordenado X', Y'

sabemos que

x' = x cos y + y sen y

y' = - x sen y + y cos y

1 1Y = 45°, sen y = V2' Ycosy = V2'si

sustituyendo tenemos: .

, l' 1

x =xV2+Y~

y como

1x = 2, Y = - 2

, .2- L-x ='fi 2'12

1 1y' = - xV! + Y\jT

es el punto referido al sistema coorde-

nado X' Y. (Ver f.igura 20).

'i', ","-

,. "/

/-/

//

Figura 20

~jemplo2:

y

~i/

//

/

/'0" . X" ;)

f2. - ..!.)

'/ . 2 -. ¡;;"P !:fi. _!!..::i!..),( , 4" 4

"-

Si un sistema de coordenadas rectangulares se rota

45°, ¿cuál es la ecuac.ión de la curva 3~2 - 2xy + 3y2 = 2?

Solución:

x = x' cos y - y' sen y; y = x' sen y + y' cos y;

o 1 1.y = 45 , cos y =-sen y =- sustituyendo y

V2 V2

249

. x = ~ _L ;yefectuando tenemos. V2 V2

x'--

escribiendo x y y en términos de x' y y' en la ecuacióndad!:!:

('2 '2

) ('2 '2

('2 '2

)3 ~ - x' y' '+ ~ - 2 '~ - T)+ 3~ + x' y' +~ = 2

3 ' 2 1 " + 3 ' 2 ' 2 + ' 2 + 3 ' 2 + 1 ' , + 3 ' 2-x - XY - Y - x y -x x y -y = 22 2 2 2

.Reduciendo términos semejantes:

2x' 2 + 4y'2 = 2 ó

x' 2 + 2y'2 = 1

, 2 y' 2d 2 b2

1,b

1x +- = 1 en ondea =1 =-oa=1 =-

1 I I 2 ' .~2 v2

Obviamente, eliminar el término en xy nos permiteidentificar la curva representada por esta ecuación comouna elipse de centro en el origen y con sus ejes coincidien-do con los ejes X' Y' como puedes apreciar en la siguientefigura.

Il. 250

L..- ---- --- ..-----------

y;:

tt/

//

//

-x

//

//

//-

Figura 21

"-

"-"-

"-

"-

"-

Hemos visto qU!3 para eliminar el término Bxy dE:la ecuación

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O,

los ejes deben rotar pero, ¿cuál es la magnitud de y paraque eso suceda?

Mostraremos dos posibilidades, una -de ellas se pre-senta cuando A ::/=C, y la otra si'A = C.

BSi A =1=e, entonces tg2y =- A - C

Si 'A = e, entonces y = 45°

Sean las ecuaciones

(1) AX2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O y

(2) x = x' cos y - y' sen y, y = x' sen y + y' cos y

251

252

L - - -- - -- ---

sustituyendo (2) en (1) tenemos:

A(x' cosy - y' seny)2 + B(x' cosy - y' seny)(x' seny + y' cosy)+

C(x'seny + y' seny)2 + D(x' cosy - y' seny)

+ E(x' seny + y' seny) + F = O

efectuando las operaciones indicadas, agrupando .términossemejantes y haciendo.

A' = A cos2 y + .B sen y cos y + C sen2 y

B' = 2 (C - A) sen y cos y + B (cos2 y - sen2 y)

C' = A sen2 y - B sen y cos y + C cos2 y

D' =. D cos y + E sen y

E' = E cos y - D sen'y, resulta que

A'X'2 + B'x'y' + C'y'2 + D'x' + E'y' + F = O es lanueva ecuación de la misma curva, referida ahora al sistemacoordenado x' y'. Si.queremos que no aparezca el términoen x' y', debemos procurar queB' = O,ó bien de la igual-dadB' = 2(C-A) sen y cos y+ B(cos2 y- sen2 y).SiB' = O

O = 2(C - A) sen y cos y + B(cmP y - sen2 y). De donde

- 2(C - A) sen y cos y = B(cos2y - sen2 y). O bien

2 (A - C) sen y cos y = B(cos2 Y - sen2 y). También

(A - C) 2 sen y cos y = B(cos2 Y - sen2 y )

y co m o: 2 sen y cos y ==sen 2 y, Y '-:OS2y - sen2 y = cos2y

(A - C) sen2y = B cos2y

finalmente:

sen2y =cos2y

B..

A-Có

En esta ecuación si A = C, A - e = O,entoncesB

C no existe en el conjunto de los números reales,A-

- --- - - -- -- -- -

por lo que 2y = 90°, Ypor consecuencia y = 45°.

.AI rotar los ejes coordenados, la ecuación

AX2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F=O

se convi~rte en

A'X'2 + B'x'y' + C'y'2 + D'x' + E'y' + F = O

en la cual:

A' + C' = A cos2y + Bseny cosy + Csen2y

+ Asen2y - Bseny cosy + Ccos2y

= A{cos2y + sen2y) + C{sen2y + cos2y)=A+C

A' + C'

A' + C'

esto significa que la suma A + C, no cambia cuando selleva a cabo una rotación de ejes coordenados cuya magni-tud representa la variable y. Dada la característica de lasuma A + e ésta es conocida como invariante; estenombre se le asigna a todo número con la misma caracte-rística, es decir, dicho número resulta de operaciones entrelos coeficientes de la ecuación general de segundo grado yno se altera al rotar los ejes coorden.ados.

B2 - 4AC es también invariante bajo una rota-ción de ejes, pero no lo verificamos aqu í. De la mismamanera establecemos los siguientes hechos:

Si B2 - 4AC <O; la curva es una elipse, unacircunferencia (siB =' O), un punto ó no existe lacurva.

Si B2 - 4AC = O,la ecuación representa unaparábola,dos rectas paralelas,una recta Ó bien notiene gráfica.

Si B2 - 4AC >0, representa una hipérbola, ódos rectas que se cortan.

Análisis delaexpresión82 = 4AC

1II

253

254

Ejemplo3:

Identifique la' curva definida por la ecuación8x2 -4xy + 5y2 - 36 = O,grafíquela.

Solución:

B2 - 4AC = 16 - 4' 40,por lo queBl - 4AC<0, B *O.

Si B =F () no representa una circunferencia, quedanentonces como posibles una elipse, un punto ó el con-junto vacío. .

Como

A' = 8.B =-- 4, e = 5, D =0, E =0, F = -36;conA* C,

entonces

tg2y = - ~ . 2y ,= 126°52', Y = 63°26'3

Ahora determinaremos cosy, seny con objeto de sus-ti luir en

x = X' cosy - y' seny., y = x' seny + y' cosy

corno tg2y = -~, 2y es un ángulo del segundo cuadran-3le, y dado que

. I

sen2ytg2y ==- 2

' lenemos:eos y

sen2y- .-cos2y

4

3

sen22y

cos22y

16

9

9 sen).2y :7:: 16 cw/2y

9(1 - cos22..,.) = 16 cos22y

9 - 9 cos2 2y = J 6 cos22y

25 cos22y = 9

9cos22y = 25

cos2y =35

cos2y es negativo, ya que 2y es un ángulo del segundocuadrante. Ahora bien, basándonos en las identidades

ex

)'1 + cos ex ex }

1 - cos ex

cos 2 = 2 Y sen 2= 2 resul ta:

+ cos2y2 V senycosy

susti tuyendo cos2y

R ~T-1 - - 1 -!---J-

5 I 5

cosy = 2' y seny = ~

1 2cosy = - y seny = -

V5 'VS

Entonces sus tituyendo ~n

x = x' cosy - y' seny v y = x' seny + y' cosy

tenemos

x' 2y'x = ---V5 V5

, v- ~+ .y - V5

255

Sustituyendo ahora en' 8x2 - 4xy + 5y2 = 36, tenemos

8( ~ - 2.Y') 2 - 4 (~ - 2y' ) (2X' +..i. ) + 5(2X' + L )l= 36V5 V5 V5 V5 V5 V5 VSV"S,

(, 2 4 4 ' 2

) (2' 2 " 4 " 2 ' 2

)8 !.- - - x' y' + 2- - 4 ~ + x y - x y +..L5 5 5 5 5 5 5

+ S(4X'2 + 4x'y' + ~ ) = 365 5 5

!Lx' 2 - 32 x' y' + 32y' 2 - 8x' 2 + 12x'y' - 8y'2 i..f- 2o.x' 25 S' 5 5 5 5 5,

+ 20x'y' + 5y' 2 = 365 5

Reduciendo términos semejantes:

20x'2 45y' 2-+-=365 5

x' 2 y' 2- +- = 19 4

obviamente una elipse (ver figura 22).y

-\','\.

'\."-

'\.

IfX'/

//

x

Figura 22

//

//

256


Determine e identifique la curva definida por cada una de las siguientesecuaciones, eliminando el término en xy. Grafique cada caso.

1.. xy=l

2. 3x2 - 2xy + 3y2 = 8

3. xy = - 3

4. x2 + 4xy + y2 + 32 = O

257

"



1. a = 4, b = 3, e = 5, V' (-4,0), V (4,0),F' (-5,0), Ft5,0),L.R. = ~,5 3 - 3

e = 4' y = --¡x, y = 7x

y

x

259

Viii2. a = 3, b = 1, e = Vio, V (:t3,0),F(:tVio, O),e =3'

2 .d

' o 1 1L.R. =3. Ecuaclonese aSlntotas.. . y = - TX' y = TX

y

x

Vi9 .

3. a = 2, b = 5, e = V29, V (:t2,0), F(:tV29, O),e = 2'

5L.R. = 25, Y = :t 2' x.o

x'

260

, ,

4. a =.2, b = 4, e = V20, F (-:t2V5,O), V (-:t2,0),e = V5, LoRo = 16,y

y=;ta

x

50 a = V7,b = vs, e = 2V3, F (-:t2V3.O), V (-:tV7:O),

2m 1off V35e = -;¡-, LoRo, = --:¡ , y = ;t 7 x

y/

F (-2.J3: O)x

261

, Vfj6. a = 3, b = 2, e = m, F f:J:.w' O), V (:t3, O), e = 3'

8' 2L R - - Y - + - x. . - 3~ - - 3

y

/ V67. a = 2V2: b = 2, e = 2'13:F(:t2'13: O), V(:t2V2; O),e = "2'

ViL.R. = 2\1"2, y = :t 2 x

}'

262 .

-- - --- --- - ------

x

x

. . r;:- . r:-;; '. ~ . r;- ViO8. a = v6, b = 3, e = vIS, F(:~vlS, O), V(:tv6, O),e = 2'

'V6L.R. = 3'16,y = :t 2" x

x1 y1

9. 100 - 25 = 1

x

263

. V3414. a = 5, b = 3, e = V34,e = j"

18L.R. ="5 F (O,=t:V34), V (O,=t:5)

I

, 5ASlntotas: y = :t: 3'" x

(-3. O)

264

---

5 915. a = 4, b = 3, e = 5, e =7 L.R. =T

F (O,:t 5), V (O, ':t 4)

4.

Asíntotas: y = :t 3x

x

16. a = 2,b = 5,e = V29, F (O, :t V29), e = L.R. = 25

A ' 2Slntotas:, y = :tSx

y

F (O,$)

x

'F'(O,-$)

265

, V5 '

17., a = 4, b = 2, e = 2VS, e = 2"' L.R.. = 2, F(O,::t zIS), V(O, ::t4)

Asíntotas: y = ::t 2x

~X

18. a = 2, b = 4, e = 2V5,e = VS,L.R. = 16

, F (O,'::t 2YS), V (O, ::t2)

, 1Asmtotas: y = ::t 2" x

y

x

266

.19. a = 2, b = 2V2, e = 2'IJ

e = v'3: L.R. = 8

F (O, ::t 2Vf\ V (O,::t 2)

, . ViAs!ntotas: y = ::t 2 x

1 5l b -- c =-20. ,a ="3 - 4 12

. 5 3'

e =4' L.R.=8

5F O,::t12

4Y = +-x

-3

y

(-2 ../2. O)x

y

x

267

21. a = 1- b - 1- ..¡;¡¡5 ' - 4' e = 20

5- V41, L.R. = 8e - 4

V4í 1

F(O, :i: 20 ); V(O, :i: 5)

, 4ASlntotas:y = :t SX

y

F(o,E '20 )

x(- .l.O

4' '

1

(-;:.O)

26~

22. Focos en X

F' (- V7, O)

F (V7, O)

y

23. Focos en eje Y24. Focos 'en ej~ X25. Focos en eje Y

2

y2 -~ = 126. 100 25

2 -y2 ..::..-= 1

29. 76 - -16

x

269

MODULO14.VALlDAClo.N

a a2. (y - k) =¡;(x - h), y - k = -¡;(x - h)

3. = 1

y

-F(3,10)

x

F' (3, -10)

270

"" -- ------

4. (x - 2)216

5. a) (x + 3)2

= 1

y

(y + 2)2~ = 1.

y

x

271

(x + 3)236 = 1

y

6. 4(y - 2)2 = 15

ya)

272

---

.F' (-3J-2- .../52)

(y - 2)2 4(x + 5)2b) 1 - 5 "= 1

b)

--------

x

y

x

MODULO15.VALlDACION

l. HipérbQla con eje transverso vertical

e (2, -3)

y

F' (2, -13)

2. a = 3, b = 4. e = 5

5 32e = -¡;. L.R. = 3"

4Y = :t 3(x - 3)

.x

x

273

3. a = 3. b = 3. e = 3 V2

e = V2. L.R. = 6

y=:tx-3

y

274

x

x

5. e (2,3),a = 5, b = 2, e = V29V29 8

e=- L R =-5 ' .. 5

6.

x

x

275

.

7. e (3, -1), a = 3, b = 2, e = VTiVi3

e = 2 ' L.R. = 9

2 .

Y - 1 = :t - (x - 2)3 "

y

8. e (6,8), v (12,8), V' (0,8), F (6 + 6 Vi, 8), F' (6 - 6 Vi, 8),

e = V2, L.R. = 12

/

rL.R.= 12

F(6+6~ 8)

276

x

9.

x

e (1, -1), V (1,2), V' (1, -4), F (1, -1 ..1-3 Vi), F' (1, -1-3 Vi>,

e = V2. L.R. == 6

10.

:X

e (2,1), V (2,3), V' (2,-1), F (2,1 + W">, F' (2,1- W), L.R. = 9,

Vl3e=- 2

III

277

11. K = - 32

12. K = 256

13. K = - 9

14. K = - 1

15. K = - 9I

MODULO-16VALlDACION

'2 Y'2

X = 11. Hipérbola, "2 - 2

2. Elipse,, 2 ' 2

X + ~ = 1.4" 2

, 2 ' 2

3. Hipérbola, ~ - ~ = 1,6 6

, 2 X' 2Y - = 1

4. Hipérbola, . 32 - 323

278

Bibliografía

/

Introducción a la Matemática Moderna.Elbridge P. VanceAddison - Wesley Publishing CompanyCapítulo VII y Capítulo XXI

'First Year College Mathematics.Frank Ayres, Jr.Schaum Publishing Co.Parte 1, Cap(tulos: 4, 5, 9Parte 111,Capítulos: 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 55.

Geometría' Anal ítica Bidimensional.Pedro Lezama Noriega.Compañía Editorial Continental, S. A.Capítulo 1, 11,V, VI, VII.

Geometría Anal ítica.WilliamWemick '

Publicaciones Cultural, S. A.Capítulos: 3, 5, 6, 7-

279

Geometría Analítica MatV PrepaAbierta

Documents

Transcript of Geometría Analítica MatV PrepaAbierta