GeometraCompendio de Ciencias VECAPTULOOBJETIVOS Aplicar correctamente los teoremas fundamentales de las relaciones mtricas en tringulosoblicungulos. Entender que las relaciones mtricas en tringulos oblicungulos vienen a ser la generalizacin del Teorema de Pitgoras.INTRODUCCINDebido a la forma muy variada que presenta el relieve de un terreno en la corteza terrestre. Muchas veces es un problema realizar la medicin de dicho terreno, ya que se encuentran en lugares inaccesibles. Por lo cual con el transcurrir del tiempo se ha ido encontrando diferentes tipos de soluciones, tal es asi dando muy buenos resultados para el avance tcnico y cientfico como la Topografa, la Ingeniera Civil, la Arquitectura, etc.Por ejemplo : Los egipcios saban como trazar figuras geomtricas y perpendiculares en el terreno, usando solamenteuna cuerda.BAtrenzando la cuerda A B y haciendo centro en A. se traza un arco, luego cambiando de posicin y haciendo centroen B se traza otro arco hasta que se intersecten los dos arcos en P y P y al unir los extremos de las intersecciones se habr formado la perpendicular como se indica en la figura.PA BP55Compendio de Ciencias VEGeometraRELACIONES MTRICAS EN TRINGULOSOBLICUNGULOSTEOREMA DE EUCLIDES.-TEOREMA I:(El cuadrado del lado opuesto a un ngulo agudo) En todo tringulo oblicungulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone a un ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la longitud de la proyeccin del otro lado sobre el lado que se considera para el TEOREMA DE LA MEDIANA:En todo tringulo se cumple que:dos veces el cuadrado de la longitud de la mediana relativa a un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros 2 lados, menos la mitad del cuadrado de la longitud del lado relativo a la mediana.Bdoble producto.Cb a * Se ael ABC c x aA b M b C2 2 Dado el ABC : BM media nah * 0 90 2 2 2 b 22 2 2 2 x a c A n Hc a b cB 2cn 2T E O R E M A DE L A P R O Y E C C I N DE L ATEOREMA II:(El cuadrado del lado opuestos a un ngulo obtuso)En todo tringulo oblicungulo, el cuadrado de esa longitud del lado opuesto al ngulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados ms el doble producto de la longitud de uno de estos lados por la proyeccin del otro lado sobre el.B MEDIANA:Dado el ABC:Bc aA H M CbBM mediana(AM MC) HM proyeccin de BMa * Se ae l ABCh c * 90 1802 2 2 a 2 c 2 2b HMH A C a b c 2nbn b TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR EN EL TRINGULO:FRMULA DE HERN:Nos sirve para determinar la longitud de la altura de un tringulo en funcin del semipermetro y las longitudes de los lados del tringulo.B B c x a Dad o el ABC:BD bisectriz interior2c a * Si: P a b c ; do nde2(P e s semiperme tro) A D Cm nb x ac m nA H Cb Tambin:a c; m bc n ab2 hb b P (P a) (P b) (P c) nma ca c56GeometraCompendio de Ciencias VETEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR:Dado el ABC:B TEOREMA DE EULER:En todo cuadriltero; la suma de los cuadrados de los lados es igual a cuatro veces el cuadrado de la longitud del segmento que une los puntos medios de susc x diagonales, ms la suma de sus cuadrados, de dichasa diagonales.b B b CA C n Dm a M N cBD bisectriz exteriorx 2 m n acc manAdDM punto med iodeACTEOREMA DE STEWARD:Al trazar una ceviana cualquiera, su longitud se puede N punto med io de BD2222222calcular en funcin de las longitudes de los segmentos a b c d 4 MN AC BDque determina dicha ceviana y los lados del tringulo.B NATURALEZA DE UN TRINGULO:Sean a; b y c las medidas de los lados de un tringuloABC, siendo "a" la medida del mayor lado.c x a 1. Si a2 < b2 +c2 ABC es acutngulo.m nA D Cb Dado el ABC : BD ceviana 2. Si a2 = b2 +c2 ABC es rectngulo.3. Si a2 > b2 +c2 ABC es obtusngulo.Bx 2b a 2m c 2n m n b c aProblema Desarrollado A b CLuego:a2 (b 2 n2 ) (c2 n)22 2 21. Demostrar que: a b c 2cn si: 0 90C a2 b 2 n2 c2 2cn n22 2 2 a b c 2cnb a Problema por Desarrollar2. Demostrar que: 2 2 2a b c 2bnA n H m Bc Si: 90 180BResolucin:B HC: a2 h2 m 2 (T. Pitgoras) h c aB HC: h2 b 2 n 2 AB C: m c n (T. Pitgoras) n A b CResolucin:57Compendio de Ciencias VEGeometra1. En un tringulo acutngulo ABC, AB = c, BC = a,AC = b y a2 = b2 + c2 bc. Calcule la mBAC.Rpta.: ...........................................2. Si los lados de un tringulo miden 6,7 y 8, calcule la longitud de la proyeccin del lado menor sobre el lado mayor.Rpta.: ........................................... 8. En un rombo ABCD, AB = 5 y BD = 8. Calcule la distancia de A al punto medio de C DRpta.: ...........................................9. En un tringulo ABC, AB = 10, BC = 24 y AC = 26.Calcule la distancia de C a la mediana B M .3. En un tringulo ABC, A B 29 ; B C 13 y Rpta.: ...........................................A C 14 . Si B H es altura. Calcule la distancia de H a B C . 10. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 10 y Aes el centro del arco BD. Calcule CG.Rpta.: ........................................... B C4. En la figura A B 13 , B C 20 , C D 10 yA D 17 . Calcule la longitud de la proyeccinde A D sobre la relcta que contiene A B . GAA DRpta.: ...........................................B D CRpta.: ...........................................5. Los lados de un tringulo miden 2;5 y 3.Calcule la longitud de su menor altura.Rpta.: ...........................................6. Si los lados de un tringulo miden 5; 6 y 7, calcule la longitud de su mayor altura.Rpta.: ...........................................7. Los lados de un tringulo miden 2k, 3k y 4k. Si la altura relativa al lado intermedio mide 15 . Calcule k.Rpta.: ........................................... 11. En un romboide la suma de los cuadrados de doslados consecutivos es 8. Calcule la suma de los cuadrados de las longitudes de sus diagonales.Rpta.: ...........................................12. En una circunferencia de centro O y de radio 15, se traza la cuerda A B y en ella se ubica el punto F tal que A F F B 200 . Calcule OF.Rpta.: ...........................................13. Las bases de un trapecio miden 8 cm y 30 cm respectivamente, y los lados no paralelos miden13 cm y 19 cm respectivamente. Calcular ladistancia entre los puntos medios de las bases.Rpta.: ...........................................58GeometraCompendio de Ciencias VE14. En el trapecio ABCD, calcular x. 6 5 7x14Rpta.: ...........................................15. La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide10 cm. Hallar la suma de los cuadrados de las longitudes de las medianas relativas a los catetos.Rpta.: ...........................................16. En un tringulo ABC, A B c , B C a , A C b . 18. En u n cu ad ra do A B C D s e i ns cr ib e un a circunferencia de centro O y radio 74 cm. Haciendo centro en A y con un radio igual a AB s e traz a al arco B D qu e int erce pta a la circunferencia en los puntos F y G (en ese orden). Determine CF.Rpta.: ...........................................19. Se inscribe una circunferencia en un cuadrado ABCD de 24 cm. Luego haciendo centro en D y con un radio igual al lado del cuadrado se traza el arco AC que intercepta a la circunferencia en los upntos M y N (en ese orden). Hallar la distancia del centro de la circunferencia al punto medio de N D .Rpta.: ...........................................20. Determine el radio del crculo menor.2 2 2Si a b c 48 . Hallar la suma mde loscuadrados de las longitudes de sus tres medianas. ARpta.: ........................................... 617. En un tringulo ABC: A B c , B C a , A C b .Si se cumple que a2 b2 c 2 bc. Cunto mide el ngulo A?Rpta.: ........................................... 3B CRpta.: ...........................................1. La circunferencia inscrita en un tringulo ABC, es 4. En un tringulo ABC se tiene que A B 10 ,tangente a A C en D. Calcular BD si A B 5 , B C 4 y A C 9 . Calcule la medida de la bisec-B C 7 y A C 6 . triz exterior BQ (Q en la prolongacin de A C ).Rpta.: ...........................................2. Sea ABC un tringulo rectngulo en c, cuya hipo- tenusa mide d, se divide la hipotenusa en tres seg- mentos de igual longitud por medio de los puntos H y N. Entonces la suma de los cuadrados de las medidas de los lados del tringulo CNM es igual a: 5. Si A Q 9B Rpta.: ...........................................y Q C 4 . Calcule BQ.C QRpta.: ...........................................A D3. Se tiene el trapecio ABCD: B C // A D tal que: Rpta.: ...........................................A B 9 , B C 6 , C D 13 y A D 16 . Calculela medida del segmento que une los puntos medios de las bases.Rpta.: ...........................................59CAPTULOOBJETIVOS Conocer los polgonos regulares ms importantes. Relacionar los lados y apotemas de dichos polgonos con el radio de la circunferencia circunscrita.INTRODUCCINLos movimientos a travs de mosaicosEs posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos; ahora bien, has pensado lo que sucede- ra si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polgono regular?.Las baldosas pentagonales no recubren perfectamente el plano.No todos los polgonos regulares recubren exactamente el plano. Slo tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad.Mosaicos Hexagonales Mosaicos Cuadra dos Mosaicos Tria ngularesEllo no supone, como bien sabes, que los diseadores industriales de mosaicos no puedan crear e imaginar una diversidad de modelos en cada caso. Estudiemos, por ejemplo, diferentes modelos a partir de baldosas, todas ellas de forma cuadrada.Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos movimientos.POLGONO REGULARDEFINICIN:Es aqul polgono que es equiltero y equingulo a la vez, todo polgono regular puede estas inscrito y cir- cunscrito a una circunferencia siendo ambas circunfe- rencias concntricas.R ApO r En la figura:O : CentroR : Circunradio r: inradioL n : Longitud del lado del polgono regular.A p : Longitud del apotema del polgono regular. : Medida del ngulo central del polgono regu-lar.Compendio de Ciencias VEGeometraA B Ln60GeometraCompendio de Ciencias VEApotema (Ap), es el segmento perpendicu- lar a un lado de un polgono regular, traza- do desde su centro.NGULO CENTRAL ( AOB)Es un ngulo que tiene su vrtice en el centro del pol- gono regular, sus lados que lo determinan pasan por dos vertices consecutivos. POLGONOS REGULARES NOTABLESLos principales polgonos regulares a estudiarse son: trin- gulo equiltero, cuadrado, pentgono, hexgono, oct- gono, decgono y el dodecgono regular.I. TRINGULO REGULAR (L3)OR R 360nn : Nmero de lados del polgono regular.Clculo de la longitud del apotema de un polgono re- gular en funcin de su circunradio y la longitud de uno de sus lados. A BL3Si: m AB 120 = 120 AB L3 L 3 R 3 Ap R / 2II. CUADRADO (L4 )Ap R R R2A 1p 2 224 R L 2n LA B4Si: m AB 90 = 90 AB L4R : CircunradioL n : Longitud del lado del polgono regular.Clculo de la longitud del lado de un polgono regular, de 2n lados en funcin de sus circunradio y la longitud del lado del polgono regular de n lados inscrito en la misma circunferencia. L 4 R 2 Ap = R 22III. PENTGONO REGULAR (L5) O R R MRAp RB ALn Si: A Bm AB 72 = 72 AB L5L 2 22R R 4 R L 2 R L5 10 2 52 n nR : Circunradio.L n : Longitud del lado del polgono regular. 2 A R ( 5 1)P 461Compendio de Ciencias VEGeometraIV. HEXGONO (L6) VII. DODECGONO REGULAR (L12 )O OR R R R MA BSi: m AB 60 = 60 AB L6 ABSi: m AB 30 = 30 AB L12 L6 R L12 R 2 3R AP 2 3 R AP 2 2 3V. OCTGONO REGULAR (L8)R O ARBSi: m AB 45 = 45 AB L8 SECCIN UREA DE UN SEGMENTOLa seccin urea de un segmento se obtiene por divi- sin de un segmento en media y extrema razn, esto quiere decir que la parte mayor del segmento llamado seccin urea es media proporcional entre la longitud del segmento y la parte menor.x xA P B2 2Del grfico, si P divide en medio y extrema razn al segmento AB, tal que: AP > PB; por definicin se cum- L8 R 2 2 ple: (AP)2 = (PB)(AB)R AP 2 2 2 AP : Seccin urea de ABVI. DECGONO REGULAR (L10)O Reemplazando:x2 = (R x)Rx2 + Rx R2 = 0Luego por frmula general:R x R M A 4(1)()2(1)B x 5 1 Si: m AB 36 = 36 AB L10 Donde: 2 L R ( 5 1) 5 1 se denomina nmero ureo10 2 2 AP R ( 10 2 5 )4 5 1 0, 6262GeometraCompendio de Ciencias VETRINGULOS ELEMENTALES1. 6. 90R 2R 2 32.36 7.1082R 5 1R ( 5 1)2 8.12 03.R 3R 2 2 9.13 54.60 R 2 210. 144R 10 2 525.7211. 150R (10 2 5 )2 R 2 363Compendio de Ciencias VEGeometraProblema Desarrollado1. Demostrar que: L 3 R 3 Problema por Desarrollar2. Demostrar queB30 30RR R L8 R 2 2CB DA O E R30R/2303030AHCR 3 R 32 2H FResolucin: GSi R es el circunradio Resolucin:60RR230R 32A C A H H CA C R 3 R 32 2A C R 31. Si A B L3 y B C L4 . Calcular x. 2. Calcular x si el radio de la circunferencia es RA B R 3B B y C D R .CCA xA D ERpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................64GeometraCompendio de Ciencias VE3. Si A B L3 y C D L12 . Calcular x.A BxC DRpta.: ........................................... 10. Sea un cuadrado de lado ( 2 1), en el cual se inscribe un octgono regular que tiene cuatro de sus lados no consecutivos sobre los lados del cuadrado. Calcular el lado del octgono.Rpta.: ...........................................11. En una circunferencia se trazan las cuerdas A B y B C de modo que formen un ngulo de medida igual a 60. Si AB = 4 y BC = 5. Calcular lalongitud del radio de dicha circunferencia.4. Calcular ; si A B RB y B C R 2.C Rpta.: ...........................................12. En una circunferencia de radio 2 , se inscribe unA O D P tringulo ABC, tal queCalcular AC. m A B 9 0 ; mB C 120.Rpta.: ...........................................5. Un octgono regular se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 6 2 . Calcular el lado del octgono regular que tiene por vrtices los puntos medios de los lados del primer octgono.Rpta.: ...........................................6. En un tringulo acutngulo ABC se sabe que Rpta.: ...........................................13. El lado de un pentgono regular mide 2. Se prolonga dos lados no consecutivos hasta que se intersequen. Calcular la longitud de una de estas prolongaciones.Rpta.: ...........................................14. En un heptgono regular ABCDEFG se cumple:m B 75 y AC = 12. Se trazan las alturas A Fy C E. Calcular EF. (2 A C)2 A D2 A D 2. Calcular FG.Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................15. Si: A B dimetro, m P B 112; AB = 2PQ y7. En un nongono regular ABCDEFGHI. CalcularAF, si: AI + AC = 14.Rpta.: ........................................... m A B Q 4 . Calcular x.P8. Se tiene un tringulo equiltero ABC de permetro12. Calcular el permetro del tringulo equiltero inscrito en la circunferencia inscrita al tringulo A B C .Rpta.: ...........................................9. Un hexgono regular est inscrito en una circunferencia cuyo radio es R. Calcular el lado del polgono que se forma al unir los puntos medios de los lados no consecutivos.Rpta.: ........................................... QA O BRpta.: ...........................................16. El permetro de un trigulo equiltero inscrito en una circunferencia es 30. Calcular el permetro del exgo no regular inscrito en la m is ma circunferencia.Rpta.: ...........................................65Compendio de Ciencias VEGeometra17. En un exgono regular ABCDEF de lado 8. 19. En un tringulo ABC obtuso en B, m C 15 ,Calcular la distancia del punto de interseccin delos diagonales A D y F B a la diagonal A C . A C 2 3 y A B 1 . Calcular la m B .Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................20. En un tringulo ABC, m B 54 . Calcular AC18. Cunto mide la cuerda que subtiene un arco quemide 144 en una circunferencia de radio R? si el radio de la circunferencia mide 5 1 .Rpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................1. Si: A B L8 , B C L5 . Calcular .AB 4. En la figura m A 54 , B C 8 . Calcular MN.BM nD A N CCRpta.: ........................................... Rpta.: ...........................................5. En la figura ABCD es un cuadrado, el arco trazado2. Si: A B L5 , B C L6B y C D L4 . Hallar .C en un cuadrante de circunferencia, m MD C 9y B C 4 . Halar BM.D B CA OMRpta.: ...........................................3. Calcular la diagonal de un pentgono regular cono- ciendo que su lado mide 5 1 .Rpta.: ........................................... A DRpta.: ...........................................66CAPTULO REGIN: Es aquella parte de una superficie plana delimitada por una lnea. REA: Es el nmero que indica la medida de una regin, es decir es igual al nmero de veces que se utiliza la regin unitaria.POSTULADO DE LA UNIDAD.-El rea de una superficie limitada por un cuadrado de lado una unidad es igual a una unidad cuadrada. 4. tringulo Equilterob bb5. En Funcin del Inradio b 2 3S 4p : a b ca b 2r1m. 1m2 S p rc1m.REA DE REGIONES TRIANGULARESA continuacin daremos una serie de frmulas para calcular las reas de diversas regiones triangulares.1. Frmula Bsica 6. En Funcin del CircunradioRa b c S a b c4 Rb b2. Frmula trigonomtricaa S b h2S a b se n 2 PROPIE DADES:RELACIN DE REAS ENTRE DOS TRINGULOS:I. Si dos tringulos tienen la misma altura, entonces la relacin entre sus reas ser igual a la relacinentre sus bases.B ES1 Sb3. Frmula de Hern 2A C D FS1ACS 2DFcb p : semipermetrop a b c2a Consecuencia:BSAMS 2MCS1 S2 1S p(p a)(p b)(p c) A M CGeometraCompendio de Ciencias VE67Compendio de Ciencias VEGeometraEjemplo: s 2s s s III.Si dos tringulos son semejantes entonces la relacin entre sus reas ser igual a la relacin entre los cuadrados de sus elementos homlogos.Ba 2aII. Si dos tringulos tienen un ngulo igual o suple- c H a Np h mmentarios, entonces se cumple que la relacin desus reas es igual a la relacin del producto de los lados que forman dichos ngulos. A b C M n PPrimer Caso: N Sa2 b 2c 2H 2(ABC) K2SmnphB 2222 (MNP )S1 S2A C M PS1 (AB) (AC) OBSER VACIONE S:1. En todo tringulo se trazan las tres medianas, se determinan seis tringulos equivalentesS 2(MN) (MP)S SConsecuencia: S S S SBMA N C 2. En todo tringulo si se une el baricentro con sus tres vrtices, se determinan tres tringulos parciales equi- valentes.S(AMN ) (AM) (AN) S G SS(ABC) (AB) (AC)SSegundo Caso: Si: + = 180B NS1 S2 3. En todo tringulo si se une el baricentro con lospuntos medios de los tres lados se generan tres re- giones equivalentes. A C M P SS1 (AB) (AC)GS 2(MN) (MP)S SConsecuencia:C M 4. En todo tringulo si se unen los puntos medios de sus tres lados se determinan cuatro tringulos par- ciales equivalentes.SA B NSS(ABC) (AB) (BC)S SS(MBN) (BM) (BN)68GeometraCompendio de Ciencias VEPROPIEDADES ADICIONALES:1. 7. Si: MN // BC ; RS // AB y PQ // ACBB ra M Rr P S1 S2 QA C SS(ABC ) ra r2. 3A S N CS( ABC ) S1 S2 S3Brc raA CS(ABC) ra rc 8. Si: MN // AC ; P Q // BC y RS // ABBM S1 NR3. PB S2 S3A Q S CA m n4. B S( ABC ) m nC9. S( ABC ) S1 B S2 S3A C S( ABC ) m nm n S1 S2SA C35.BS(ABC) (S1 S 2 ) (S1 S 3 ) (S 2 S 3 )n A m S( ABC ) m nC 10. S1 S 2 S1B S 3 S 2 S 36. Si: MN // AC y NP // AB cnaB PS1M NS2A P C mcR aQA b pb CS2S(ABC ) S1 S 2 (PQR )S( ABC ) (m n p 1)(m p + p + 1) (np + n + 1 )(m n + m + 1)69Compendio de Ciencias VEGeometraProblema Desarrollado1. Demostrar que:A a b sen 2 Problema por Desarrollar2. Demostrar que:NNb bbM a LM LResolucin:Nb b 2 3AM N L 4Resolucin:M H a LNbN H b sen M H AM N a(N H)2 AM N L a (b sen 270GeometraCompendio de Ciencias VE1. En la figura AOB es un cuadrante de radio 10.m O F A 90 y el arco AM mide 53. Calcule el rea de la regin triangular FBM.AM 7. Calcule el rea de un rombo cuyo permetro es 32metros y su inradio mide 3 metros.Rpta.: ...........................................8. En la figura ABCD es un rectngulo de rea48 m2. Calcule el rea de la regin sombreada.B CFO BRpta.: ........................................... A D2. C a l c u l e e l r e a d e l a r e g i n t r i a n g u l a r obtusngulo issceles cuya base mide 16 y su circunradio mide 10.Rpta.: ...........................................3. En el interior de un cuadrado ABCD se construye el tringulo equiltero AFD. Se traza C G perpendicular a F D. Calcule el rea de la regin triangular CGD si A D 4 .Rpta.: ...........................................4. Calcule el rea de la regin triangular formada al unir los puntos medios de los lados de un tringulo cuyos lados miden 16, 18 y 14.Rpta.: ...........................................5. Calcule el mximo valor del rea que puede tener un trapezoide, si sus diagonales miden 6 y 8.Rpta.: ...........................................6. Calcule el rea del paralelogramo ABCD de la Rpta.: ...........................................9. La figura ABCD es un trapecio, M es un punto medio de B C y las reas de los tringulos BQM yAQD son 3 m2 y 12 m2 respectivamente. Calculeel rea del trapecio ABCD.BMC GA DRpta.: ...........................................10. Un trapecio issceles est circunscrito a una circunferencia, si uno de los ngulos del trapecio es 30 y el rea de la regin limitada por el trapecio es S. Calcule la longitud del lado congruente del trapecio en funcin a S.Rpta.: ...........................................11. En el grfico, calcule el rea de la regin triangularfigura , si las reas de los tringulos ABP y PQCson 9 m2 y 3 m2 respectivamente. ABC, si: B C 14 , A C 15B y A B 13 .B P CQA DRpta.: ........................................... A CRpta.: ...........................................71Compendio de Ciencias VEGeometra12. En el grfico, calcule el rea de la regin ACD.9B C 16. En el grfico, si: AH = 2, HC = 3. Calcule el rea de la regin triangular ABC.B6A 5 DRpta.: ...........................................13. En el grfico, A M es mediana.Si S1 = 19 y S2 = 11. Calcule Sx.B 2A H CRpta.: ...........................................17. En el grfico, si: AB = CD = 4. Calcule el rea de la regin sombreada.BMS1S2SxA N CRpta.: ...........................................14. En el grfico, calcule el rea de la regin triangular C30A BRpta.: ...........................................A B C .B 18. En el grfico, si: O A O B 5 y P H 2 (E F).Calcule el rea de la regin sombrada.12 AH F8 E6 3A Q CRpta.: ...........................................15. En el grfico, calcule la relacin entre las reas de las regiones sombreadas y no sombreadas.B O P BRpta.: ...........................................19. En el grfico, calcule S1 + S2, si R = 4 u y O es elcentro. BQ M S1A 3 P 5 Q 4 CRpta.: ........................................... S2A R O R BRpta.: ...........................................72GeometraCompendio de Ciencias VE20. En el grfico, calcule el rea de la reginsombreada. C6060A 2 3 BRpta.: ...........................................1. El rea de la regin triangular es 54. Calcule lalongitud del menor cateto.B 4. Si los tringulos mostrados son equilteros de reaS1 y S2. Calcule: S1/S2.N2k 3k B3S1S2A C M LA CRpta.: ...........................................2. Si el rea de la regin triangular ABC es 80. Calcule el rea de la regin sombreada.B Rpta.: ...........................................5. Calcular el rea de la regin sombreada, si el rea de la regin triangular ABC es 120.Bb 2nN Mb nA 3b D b CRpta.: ...........................................3. Si el rea de la regin sombreada es 8. Calcule el rea de la regin ABC. A a D a CRpta.: ...........................................Bb2bA 2n D n CRpta.: ...........................................73Compendio de Ciencias VEGeometraAlan Garca PrezNaci en el seno de una familia de clase media,estrechamente ligada al APRA. Curs sus estudios en el Colegio Nacional Jos Mara Eguren del distrito limeo de Barranco.Mientras que su madre Nytha Prez fue fundadora del APRA en Caman. Su padre, Carlos Garca Ronceros, fue secretario de organizacin del partido durante el gobierno del general de divisin EP, Manuel A. Odra, durante el cual se haba declarado la ilegalidad del APRA. Fue arrestado durante el gobierno de este y por ese motivo, no conoci asu hijo sino hasta pasado cinco aos.Nacimiento:23 de mayo de 1949Ciudad:LimaDatos PersonalesPrimer Mandato como Presidente del PerMandato : Julio 1985 - Julio 1990Predecesor : Fernando Belande TerrySucesor : Alberto Fujimori Primera Dama : Pilar Nores de Garca Vice-presidente : Luis Alberto Snchez Partido Poltico : Partido Aprista PeruanoSegundo Mandato como Presidente del PerMandato : Julio 2006 - Julio 2011Predecesor : Alejandro Toledo ManriqueSucesor : Presidente Electo Primera Dama : Pilar Nores de Garca Vice-presidente : Luis Giampietri RojasPartido Poltico : Partido Aprista Peruano A corta edad y an cursando el colegio, Alan Garcadescubre el poder que tenan las palabras, objeto que le vali varios premios escolares en oratoria y un destacadoverbo que le sera til al iniciarse como militante aprista.Siendo an muy joven, Garca se une a la Federacin ApristaJuvenil, recibiendo su carn de militante a los 17 aos.Realiza estudios posteriores en la Pontificia Universidad Catlica del Per y recibe su ttulo en leyes en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos en 1971. Interesado en expandir su currculum acadmico, se mud a Europa, asistiendo a la Universidad Complutense de Madrid donde estudi y complet su tesis en ley constitucional, con la que obtuvo su doctorado en Ciencias Polticas. En 1973, va a la Universidad de Pars, donde obtiene su ttulo en sociologa. Luego contraera matrimonio con Pilar Nores a la que haba conocido en un seminario en Madrid. Previamente ya haba estado casado una vez.Despus de vivir varios aos en Pars, Garca fue llamado por el fundador y entonces lder del APRA, Vctor Ral Haya de la Torre, para regresar a la vida poltica peruana en 1978, despus de que la administracin de Bermdez, presida el regreso al gobierno civil y permita la reorganizacin de otrospartidos polticos.74