Geometría 1 ESO
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Ejercicio nº 1.- Nombra cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características y propiedades (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría...):
Solución:
Trapecio isósceles Hexágono regular Octógono irregular Ejercicio nº 2.- Describe esta figura plana, nómbrala e indica qué tipo de polígono es (regular o irregular):
Solución: Es un pentágono irregular porque sus lados y sus ángulos son desiguales. Ejercicio nº 3.- Construye, con ayuda de regla, compás y transportador, a partir del ángulo central, un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Solución:
Ejercicio nº 4.- Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
Solución:
Pentágono Rombo Triángulo equilátero
2cm 558
2
4,1290
2
cm 90
518
S
S
aPS
P
P
2cm 294
2
2128
2
cm 70
45,17
S
S
dDS
P
P
2cm 9,315
2
4,2327
2
cm 81
327
S
S
abS
P
P
Ejercicio nº 5.- Halla el valor de los ángulos centrales de los siguientes polígonos: a) Triángulo equilátero. b) Cuadrado. c) Pentágono regular. d) Hexágono regular. Solución:
a) 360 : 3 120
b) 360 : 4 90
c) 360 : 5 72
d) 360 : 6 60
Ejercicio nº 6.- ¿Dónde debe estar situado el centro de una circunferencia para que sea tangente a estas
dos semirrectas? Dibuja y justifica tu respuesta.
Solución:
El centro de la circunferencia debe estar situado sobre la bisectriz del ángulo, ya que cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. Ejercicio nº 7.- En la figura ves los ángulos formados por una secante que corta dos rectas paralelas. Justifica por qué los ángulos 1 y 8 son suplementarios:
Solución:
ˆˆLos ángulos 4 y 8 son iguales.
ˆ ˆ ˆ ˆEntonces: 1 8 1 4 180 Ejercicio nº 8.- Justifica la fórmula para el cálculo del área de un polígono regular a partir de la figura:
Solución:
Si el polígono es regular, se puede descomponer en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono. Por tanto, el área del polígono será igual a la suma de las áreas de esos triángulos:
veces 2
Perímetro
2
l aS n
aS
Ejercicio nº 9.-
ˆ Calcula la medida del ángulo :B
Solución:
ˆˆ ˆ ˆ 360
ˆ 360 90 90 47 20' 360 227 20' 132 40'
A B C D
B
359 60'
227 40'
132 20'
Ejercicio nº 10.- Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un
prado rectangular de 20 ´ 30 m. Calcular la superficie del prado en el que puede pastar la
cabra y la superficie del prado en la que no puede pastar.
Solución:
Superficie en la que puede pastar Superficie en la que no puede pastar
2
2
2
4
3,14 15
4
176,6 m
rS
S
S
2
rectángulo 176,6
176,6
20 30 176,6 600 176,6 423,4 m
S S
S a b
S
Ejercicio nº 11.- La diagonal de un rectángulo mide 160 cm y la base 120 cm. ¿Cuánto mide la altura?
Solución:
2 2 2
2 2 2
2 2 2160 120
11200
105,8 cm
a b c
b a c
b
b
b
Ejercicio nº 12.- Las dos diagonales de un rombo miden 24 cm y 26 cm. Calcula su perímetro y su área.
Solución:
Perímetro del rombo Superficie del rombo
2 2 212 13
17,7 cm
a
a
cm 8,7047,17 P
2cm 312
3122
2426
2
S
S
dDS
Ejercicio nº 13.- Se desea tender un cable uniendo los extremos de dos torres metálicas de 25 m y 35 m de altura, respectivamente. Si los pies de ambas torres están separadas 24 m, ¿cuántos metros de cable se necesitan?
Solución:
26676
676100576
1024
2
222
222
x
x
x
cba
Se necesitan 26 m de cable. Ejercicio nº 14.- Calcula la superficie de la zona sombreada:
Solución:
502500
3040 222
222
a
a
cba
a = 50 m mide la diagonal del rectángulo que es a su vez diámetro del círculo.
r = 50 : 2 = 25 m
Área del círculo Área del rectángulo Área zona rayada
2
2
2
3,14 25
1962,5 cm
S r
S
S
2
40 30
1200 cm
S a b
S
S
21962,5 1200 762,5 cm
Ejercicio nº 1.- Pon nombre a cada una de estas figuras atendiendo a sus características y propiedades:
Solución:
Rombo Romboide Hexágono regular Ejercicio nº 2.- Observa detenidamente este polígono, descríbelo en función de sus características y propiedades (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría...) y nómbralo:
Solución: Es un hexágono regular porque sus lados y sus ángulos son iguales. Ejercicio nº 3.- Construye un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm.
Solución:
Ejercicio nº 4.- Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
Solución:
Triángulo equilátero Rectángulo Rombo
cm 18
63
3
cm 6,152
2,562
2
P
P
lP
S
abS
cm 72
2844
214222
22
cm 308
14222
P
P
P
baP
S
S
abS
cm 52
134
4
cm 120
2
1024
2
2
P
P
lP
S
S
dDS
Ejercicio nº 5.- Determina el valor de todos los ángulos en los siguientes polígonos:
Un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mide 60.
Un triángulo isósceles en el que su ángulo desigual mide 40.
Un rombo en el que uno de sus ángulos mide 50. Solución:
Ejercicio nº 6.- ¿Qué condiciones debe de cumplir un punto P para pertenecer a la mediatriz del segmento AB?
Solución:
El punto P, para pertenecer a la mediatriz del segmento AB, debe estar a la misma distancia de A que de B. Ejercicio nº 7.-
Justifica que la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es siempre 360°.
Solución:
Mediante una diagonal cualquier cuadrilátero se divide en dos triángulos. La suma de los ángulos
de un triángulo es 180°. Por tanto, 180° · 2 = 360°.
Ejercicio nº 8.-
Razona si es cierta la siguiente afirmación: Para calcular el área de un triángulo rectángulo se multiplican los catetos y se divide entre dos.
Solución:
Sí, porque en todo triángulo rectángulo los catetos a y b son la base y la altura de dicho
.2
tanto, por y,triánguloba
S
Ejercicio nº 9.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 34° 25' 12'' y 23° 12' 30''. ¿Cuánto mide el tercero?
Solución:
34 25' 12'' 179 59' 60''
23 12' 30'' 57 37' 42''
57 37' 42'' 122 22' 18'' mide el tercero
Ejercicio nº 10.- Para solar una habitación rectangular de 9 ´ 6 metros se utilizan baldosas cuadradas de 30
cm de lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias para cubrir el suelo de la habitación? Solución:
.habitación la de superficie la es cm 000540
900600
cm 600 m 6;cm 900 m 9
2
S
S
baS
suelo. el cubrir para necesarias son baldosas 600900:000540
baldosa. cada de superficie la es cm 9003030 2
a
b
Ejercicio nº 11.- Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:
Solución:
2 2 2
2 2 2
2 2 226 5
651
25,5 cm
a b c
c a b
c
c
c
2 2 2
2 2 2
2 2 237 12
1225
35 cm
a b c
c a b
c
c
c
Ejercicio nº 12.- Calcula la altura y el área de este triángulo equilátero:
Solución:
Superficie
2 2 210 5
75
8,7 cm la altura
c
c
c
2cm 5,43
2
7,810
2
S
S
abS
Ejercicio nº 13.- Un cucurucho tiene forma de cono. El radio de la base del cono mide 10 cm y la altura 24 cm. ¿Cuál es la mínima distancia que ha de recorrer una hormiga para subir desde el suelo hasta el pico del cucurucho?
Solución:
26676
100576
1024
2
222
222
x
x
x
cba
x = 26 cm debe recorrer la hormiga.
Ejercicio nº 14.- Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular cuyo lado mide 8 cm.
Solución:
Perímetro Superficie
cm 9,648
48
cm 6,1652
9,648
2 cm 4868
222
2222
222
c
c
Sbac
aPSPcba
Ejercicio nº 1.- Pon nombre a cada una de estas figuras atendiendo a sus características y propiedades:
Solución:
Rombo Romboide Hexágono regular Ejercicio nº 2.- Describe esta figura en función de sus elementos y propiedades características, y nómbrala:
Solución: Es un octógono regular porque tiene sus lados y sus ángulos iguales. Ejercicio nº 3.- Construye, con ayuda de regla, compás y transportador, un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio. Solución:
Ejercicio nº 4.- Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
Solución:
Pentágono Rombo Triángulo equilátero
2cm 558
2
4,1290
2
cm 90
518
S
S
aPS
P
P
2cm 294
2
2128
2
cm 70
45,17
S
S
dDS
P
P
2cm 9,315
2
4,2327
2
cm 81
327
S
S
abS
P
P
Ejercicio nº 5.- Determina el valor de todos los ángulos en los siguientes polígonos:
Un triángulo rectángulo en el que uno de sus ángulos mide 60.
Un triángulo isósceles en el que su ángulo desigual mide 40.
Un rombo en el que uno de sus ángulos mide 50. Solución:
Ejercicio nº 6.- ¿Dónde está situado el centro de la circunferencia tangente a estas tres rectas? Justifica tu respuesta.
Solución:
El centro está donde se cortan las bisectrices de los dos ángulos.
Ejercicio nº 7.- Razona por qué el triángulo OAB es equilátero.
Solución:
ˆ ˆ ˆPorque el ángulo central 60 , y, por tanto, 60 .O A B
Al tener los tres ángulos iguales, también los tres lados son iguales. Ejercicio nº 8.- Sabiendo que el área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base por la altura, razona cómo se calcula el área de un triángulo.
Solución:
La superficie de un triángulo es la mitad de la superficie de un paralelogramo de igual base y altura:
paralelogramo triángulo
2
a bS a b S
Ejercicio nº 9.-
a
¿Qué ángulo ha de girar la veleta para señalar hacia el Oeste?
Solución:
179 60'
30 25'
149 35' si gira por el Sur
180
30 25'
210 25' si gira por el Norte
Ejercicio nº 10.- Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un
prado rectangular de 20 ´ 30 m. Calcular la superficie del prado en el que puede pastar la
cabra y la superficie del prado en la que no puede pastar.
Solución:
Superficie en la que puede pastar Superficie en la que no puede pastar
2
2
2
4
3,14 15
4
176,6 m
rS
S
S
2
rectángulo 176,6
176,6
20 30 176,6 600 176,6 423,4 m
S S
S a b
S
Ejercicio nº 11.- Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:
Solución:
2 2 2
2 2 2
2 2 226 5
651
25,5 cm
a b c
c a b
c
c
c
2 2 2
2 2 2
2 2 237 12
1225
35 cm
a b c
c a b
c
c
c
Ejercicio nº 12.- Calcula el perímetro y la superficie de esta figura:
Solución:
2 2 2
2
12 5
169
169 13 cm
a
a
a
Perímetro Superficie
22 13 10 5 50 cm
2
22 10 580 cm
2S
Ejercicio nº 13.- Un cucurucho tiene forma de cono. El radio de la base del cono mide 10 cm y la altura 24 cm. ¿Cuál es la mínima distancia que ha de recorrer una hormiga para subir desde el suelo hasta el pico del cucurucho?
Solución:
26676
100576
1024
2
222
222
x
x
x
cba
x = 26 cm debe recorrer la hormiga.
Ejercicio nº 14.-
La diagonal de una piscina rectangular mide 25 m y el ancho es de 15 m. Calcula su perímetro y la superficie que ocupa. Solución:
Perímetro Superficie
m 20
400
1525 222
222
c
c
c
cba
m 70
4030
22
P
P
baP
2m 300
2015
S
S
baS