GEOMETRI HIPERBOLIKMUHAIMINA SA’ADAH HELVY EFFENDI | DEBY RAHAYU UTAMI| KASMAH |

HUMAIRAH | SANIA LETEK OLA | LOITA WAJITLA SITUMORANG

SEJARAH

Kontroversi

terhadap postulat

kesejajaran Euclid.

Mengganti postulat kesejajaran

Euclid dengan negasinya

Terjadi perbedaan

sifat antara Euclid

dan Hiperblik

Menggunakan empat postulat geometri

Euclid

Menggunakan empat postulat geometri

Euclid

Geometri

Hiperbolik

Postulat Kesejajaran

“Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut”

l

Amn

Teorema Non-metrical

l

P

m

n

A'

B' A

B

Teorema 7.1

Sebarang garis lurus seluruhnya berada dalam sudut tertentu.

Bukti:

Misalkan diketahui garis l.

Tentukan titik P di luar l.

Buat garis m dan n yang melalui P dan sejajar l (Postulat

kesejajaran Lobachevsky).

Pada garis m Titik P terletak diantara A dan A' dan pada

garis n titik P diantara B dan B'

l

P

mB'

A'

A

B

nQ

Garis m dan n, membagi bidang menjadi 4

daerah, yang masing-masing merupakan bagian

dalam suatu sudut, yaitu: APB, APB’ , A’PB’

, A’PB.

Misalkan Q adalah titik pada garis l.

Karena l tidak memotong m dan n maka Q tidak

terletak pada m dan n.

Karena Q tidak terletak pada m dan n, maka Q

berada pada salah satu dari 4 bagian dalam sudut di

atas, misalnya pada A'PB.

Dimana letak garis l ?

l

P

mB'

A'

A

B

n

Q

Titik Q terletak pada garis l dan Q berada pada bagian

dalam A'PB, dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya yaitu,

PA' dan PB.

Jadi, l berada di dalam A’PB, yang berarti garis l

seluruhnya termuat di dalam A’PB

TEOREMA AKIBAT

“Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar

garis itu”

Bukti:

B

lQ

P

mB'

A'

A

n

R

Misalkan diketahui garis l dan titik P

Gunakan Teorema 7.1

Misalkan R sebarang titik di dalam daerah APB

Buat garis yang melalui titik P dan R

PR kecuali titik P seluruhnya termuat dalam daerah APB

dan A’PB’.

PR tidak memotong garis l yang termuat dalam A’PB.

Jadi, PR // ln

lQ

P

mB'

A'

A

B

R

Karena terdapat tak berhingga garis yang seperti PR,

sehingga teorema akibat terbukti.

Jadi, ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang

melalui suatu titik di luar garis itu.

h

l

P

JUMLAH SUD UT SEGITIGA DALAM GEOMETRI HIPERBOLIK (

lobachevsky)

LEMMA 7.1

“Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang dari atau sama dengan besar sudut luar

yang tidak bersisian dengan sudut tersebut”

Bukti:

A B

C • Perhatikan segitiga ABC

• Menurut teorema Saccheri –Lagendre :

A + B + C 180

• Kedua ruas dikurangi C, diperoleh :

A + B 180 - C,

• Lemma tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan 180 - C,

LEMMA 7. 2

“Misalkan diketahui garis l, Titik P di luar l, dan titik Q pada l”

misalkan diberikan sisi PQ, maka ada titik R pada l yang

terletak satu pihak dengan PQ sedemikian hingga PRQ

adalah sekecil yang diinginkan.

l

P

Q R

Bukti:

Misalkan a adalah suatu sudut yang terkecil.

ada titik R pada l yang terletak di sebelah kanan PQ sedemikian hingga PRQ < a.

Pertama, bentuk barisan sudut-sudut, dengan besar setiap sudut tidak lebih besar dari sudut

sebelumnya,, 21 QPRQPR

Misalkan pada titik l dan berada di sebelah

kanan sisi PQ sedemikian hingga PQQR 1

1R

lQ

P

R1

P

lQ R1

b

1

b

1

Tarik PR1 sehingga terbentuk PQR1 sama kaki dan

QPR1=QR1P = b1.

Misalkan sudut luar PQR1 di Q adalah b, maka

menurut Lemma 1, diperoleh:

b1+b1= 2b1 b

Dengan langkah yang sama, kita buat segitiga baru.

Perpanjang QR1 melalui R1 dan R2 sedemikian hingga

R1R2=PR1

Tarik PR2 maka PQR2 sama kaki dan

R1PR2=PR2R1 = PR2Q = b2

berdasarkan Lemma 1, diperoleh:

b2+b2= 2b2 b1

)1..(..........2

11 bb

Lanjutan:

)2..(..........2

112 bb

Dari (1) dan (2) diperoleh: bb22

2

1

lR1

Q

P

b1

b1

R2

b2

b2

Ulangi langkah sebelumnya sebanyak n kali sehingga diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah kanan

sisi PQ sedemikian hingga:bQPRb

nnn2

1

abn

2

1dengan memilih n yang cukup besar, maka diperoleh sehingga PRnQ < a

Jadi untuk R =Rn , PRQ adalah sudut terkecil seperti yang diinginkan. (terbukti)

TEOREMA 7. 2

“Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180”

Menurut Postulat kesejajaran Lobachevsky ada garis

lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l, dan salah

satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip.

P

l

Q

n

m

Misalkan l suatu garis dan titik P di luar l.

Buat garis m // l melalui titik P dengan cara biasa

seperti berikut: PQ l di Q, dan m PQ di P.

Misalkan :

X titik pada n sedemikian hingga QPX lancip.

Y titik pada m dan di sebelah kanan sisi PQ seperti X, XPY

= a

Maka QPX = 90 - a.

P

l

m

Q

nX

Y

a

R

Kemudian gunakan Lemma 2

Misal R pada l dan berada di sebelah kanan sisi PQ,

sedemikian hingga PRQ < a.

P

l

m

Q

nX

Y

a

R

PQR = 90

QRP < a

RPQ < XPQ = 90 - a (keseluruhan lebih besar dari

sebagian)

Jika dijumlahkan maka diperoleh:

PQR + QRP + RPQ < 90 + a + 90 - a = 180

Jadi, PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari 180

(terbukti)

Perhatikan PQR

TEOREMA 7.3

“Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180”

Bukti:

Menurut Akibat 2 Teorema F.7 (Geometri absolut)

“ Jika segitiga mempunyai jumlah besar sudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah

besar sudutnya juga kurang dari 180 ”

Menurut Teorema 7.2 (Geometri Hiperbolik)

“ Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180 ”

Berdasarkan Akibat 2 Teorema 6 (Geometri absolut) dan Teorema 7. 2 (Geometri

Hiperbolik) maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180.

AKIBAT 1 TEOREMA 7. 3

“Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360”

Misalkan ada segiempat ABCD.

Tarik diagonal AC sehingga terbentuk ABC dan

ACD.

Pandang ABC, menurut Teorema 3 maka:

180 ACBABCCAB

Pandang ACD, menurut Teorema 3 maka:

180 DCAADCDAC

Bukti:

A B

CD

A B

CD Jumlah sudut dalam segiempat ABCD

= A + B + C + D

= DAC + CAB + B + BCA + ACD + D

= (CAB + B + BCA) + (ACD + D + DAC)

< 180 < 180

Jadi, jumlah sudut dalam segiempat ABCD adalah kurang dari 360. (terbukti)

Lanjutan: AKIBAT 2 TEOREMA

7.3

“Tidak ada persegipanjang”

Bukti:

Andaikan ada persegipanjang ABCD.

Berdasarkan Definisi F.3 (Geometri Absolut): “Suatu

segiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya

adalah siku-siku” maka:

A = B = C = D = 90

• Jumlah besar sudut dalam persegipanjang ABCD:

A + B + C + D = 90 + 90 + 90 + 90 = 360

Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 7.3

Jadi, tidak ada persegipanjang (terbukti)

A B

CD

Adakah Segitiga-segitiga yang Sebangun dalam Geometri Hiperbolik ?

TEOREMA

7.4“Dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut

yang bersesuaian sama”

Misal diketahui

ABC dan A’B ’C ’

A = A’, B = B’, C = C ’

Akan dibuktikan ABC A’B ’C ’

Bukti:

Andaikan ABC ≇ A’B ’C ’

Karena ABC ≇ A’B ’C ’maka A’B’ ≠ AB atau A’C ’ ≠ AC atau B’C ’ ≠ BC.

Terdapat 2 kasus: (1) Hanya ada satu sisi yang tidak sama panjang, misal sisi A’B’≠AB.

A B

C

A’ B’

C’

(a) (b) A’ B’

C’,C

A B(c)

Berdasarkan Gambar (c), kasus ini tidak mungkin terjadi

Ada 2 sisi yang tidak sama panjang, yaitu A’C’≠AC dan

B’C’≠BC.

Misalkan A’C ’< AC dan B’C ’< BC

Tentukan titik A” pada AC A” C = A’C ’

Tentukan titik B” pada BC B” C = B’C ’

Hubungkan titik A” dan B” sehingga terbentuk

A”B”C

A B

C

A’ B’

C

’ A

”B

”

1 122

A’ B’

C

’

A B

C

A

”B

”

1 122

Pandang A’B’C ’ dan A”B”C

A’C ’ = A” C ….. dibuat

C ’ = C ….. refleksif

B’C ’ = B” C ….. dibuat

Berdasarkan s-sd-s maka A’B’C ’ A”B”C

Akibatnya, A ’ = A1” dan B ’ = B1”

C

1 1

A B

A

”

B

”22

A’ B’

C ’Pandang segiempat ABB”A”

Jumlah besar sudut dalam segiempat ABB”A”

= A + B + B2” + A2”

= A1” + B1” + B2” + A2”

= A1” + A2” + B1” + B2”

= 180 + 180 ..…. Sudut berpelurus

= 360

Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 3, pengandaian salah

yang benar ABC A’B ’C ’ (terbukti)

Lanjutan:

Teori Luas Lobachevsky

Ukuran luas

Geometri

Euclid

Geometri Hiperbolik≠

Menggunakan

satuan luas persegi

Menggunakan metode

perhitungan integral dan

pendekatan tertentu

Luas segitiga

Sifat-sifat Luas

1. Kepositifan setiap segitiga ditentukan secara tunggal oleh bilangan positif yang dinamakan luasnya.

2. Invariansi terhadap kongruensi segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama.

Misal: ABC PQR maka L. ABC = L. PQR

3. Sifat additive (penambahan) jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2 maka luas T adalah

jumlah T1 dan T2.

Konsep Pengukuran Luas

Fungsi Luas ∆

Memenuhi 3 sifat

(kepositifan, invariansi

terhadap kongruensi, dan

sifat additive)

DEFINISI 7.1

Suatu fungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real

tertentu sedemikian hingga sifat 1, 2, dan 3 terpenuhi disebut fungsi

luas atau ukuran luas (untuk segitiga).

Jika µ adalah fungsi semacam itu dan ABC adalah

segitiga, maka µ(ABC) menyatakan suatu nilai yang

dipasangkan oleh µ dengan segitiga ABC, dan disebut

luas atau ukuran segitiga ABC yang ditetapkan oleh µ.Juga berlaku untuk sebarang Geometri Absolut.

Geometri

EuclidMenghasilkan sebuah fungsi luas yang memenuhi

sifat 1 dan 2

tinggi alas 2

1 L

TEOREMA 7.5 (Penjumlahan

Berhingga)Misalkan sebuah segitiga dipecah menjadi suatu himpunan segitiga-segitiga

yang tidak saling menutupi 1, 2, … , n maka fungsi luas µ nya adalah:

µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)

Bukti:

Buat ABC

Buat segitiga di dalam ABC

sebanyak n buah.

Beri nama segitiga-segitiga tsb

dengan 1, 2, … , n

A B

C

A B

C

1

2

n

A B

C

A B

C1

2

n

Menurut Definisi 3, ABC mempunyai fungsi luas

µ()

Menurut Definisi 3, 1, 2, … , n mempunyai

fungsi luas µ(1), µ(2), … , µ(n).

Karena ABC = 1+ 2 + … + n

maka:

µ() = µ(1+ 2 + … + n)

µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) .. Sifat distributif

Jadi, fungsi luas segitiga µ()

yang dipecah menjadi himpunan

berhingga segitiga-segitiga

yang tidak saling menutupi

adalah

µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)

DEFINISI 7.2

Defect ABC = 180 – (A + B + C)

A, B, dan C diambil dari besar derajat dari sudut-sudut yang dimaksud.

Jadi, defect suatu segitiga adalah bilangan real bukan bilangan derajat.

Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas

TEOREMA 7.6

Diberikan sebarang ABC dan titik D diantara titik A dan B maka

defect (ABC) = defect (ACD) + defect (BCD)

TEOREMA 7.7

“defect adalah fungsi luas pada segitiga”Bukti:

Berdasarkan Teorema 7, maka:

Defect ( ABC) = defect ( ADC) + defect ( BDC)

= 180 – (A+ADC+ACD) + 180 – (B+BCD+BDC)

= 180 + 180 – (A +B +ACD +BCD +ADC +BDC)

= 180 – (A + B + ACD + BCD)

Defect ( ABC) = 180 – (A + B + C) … (ii)

Dari (i) dan (ii) maka µ(ABC) = 180 – (A + B + C)

Misalkan diketahui ABC, berdasarkan Teorema 7 dan Definisi 3

ABC memiliki sifat 1 dan 2 sehingga … (i)

Untuk menyelidiki sifat 3, maka kita tentukan titik D pada AB

sedemikian hingga CD memecah ABC menjadi ACD dan BCD.

A

C

D

TEOREMA 7.8

“Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas”

Bukti:

Diketahui fungsi luas µ().

Misalkan ada n sedemikian hingga n adalah bilangan sebarang bilangan positif.

n × µ() …perkalian fungsi luas dengan bilangan sebarang n.

n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) … definisi perkalian.

Berdasarkan Teorema 9, yaitu: µ(*) = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) sehingga diperoleh:

n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)

n × µ() = µ(*)

Jadi, perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas.

Jika diketahui ∆ABC dan ∆PQR di dalam ∆ABC, buktikan bahwa defect ∆ABC > defect ∆PQR

Contoh 7.1

Bukti :

Q

P

R

A B

C

Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR

Buat Segitiga ABC dann PQR di dalam segitiga ABC

Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR

Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR

Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR

Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR

Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR

Berdasarkan Teorema 7.3

∆ABC : A3 + B1 + Q2 < 180

∆BQR : B2 + Q3 + R1 < 180

∆BCR : B3 + R2 + C1 < 180

∆CPR : C2 + P4 + R3 < 180

∆CPA : C3 + A1 + P1 < 180

∆APQ : A2 + P2 + Q1 < 180

Q

P

R

A B

C

Lanjutan:

A123 + B123 + C123 + Q123 + R123+ P124 < 6.180

A + B + C + P124+ Q123 + R123 < 6.180

A + B + C < 6.180 – ( P124+ Q123 + R123) A + B +

C < 3.360 – [(360- P3)+(360- Q4) +(360- R4)] A + B + C <

3.360 –3.360+ P3 + Q4 + R4 + A + B + C < P3 + Q4

+ - ( A + B + C) > 180 - ( P3 + Q4 + R4)

Defect ∆ ABC > defect ∆ PQR ………. Terbukti

TEOREMA 15

“Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid, maka ada sebuah persegipanjang”

AKIBAT TEOREMA15

“Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 180°”

TEOREMA 14

“Tidak ada garis sejajar yang jaraknya sama dimana-mana”

TEOREMA 16

Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 180°

AKIBAT TEOREMA 16

Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°

Berdasarkan Teorema 16, “Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dansebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, maka adasegitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 1800. (Logika: p q)

Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, “Jika ada sebuah segitiga yang jumlahsudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurangdari180. (Logika: q r)

Dengan menggunakan prinsip silogisme, maka p r.

Bukti:

Jadi, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifatkesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurangdari 180°.

TEOREMA 17

“Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran

Euclid maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Euclid yang berarti

geometrinya adalah Geometri Euclid”

Bukti:

Andaikan Teorema 17 salah, berarti hanya ada satu garis dan satu titik yang memenuhi sifat

kesejajaran Lobachevsky.

Menurut Akibat Teorema 16, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi kesejajaran

Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°.”

Tetapi menurut Akibat Teorema 15, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid maka setiap segitiga jumlah sudutnya 180°.”

Terjadi kontradiksi antara akibat teorema 15 dengan akibat teorema 16, sehingga pengandaian salah. Hal ini berarti Teorema 17 terbukti benar.

“Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik di luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah Geometri Lobachevsky”

AKIBAT 1 TEOREMA 17

AKIBAT 2 TEOREMA 17“Setiap geometri absolut tentu merupakan geometri Euclid atau Geometri Lobachevsky”

Model Geometri Hiperbolik

Model Klein

Model Disc Poincare

Model bidang setengah Poincare

Model Lorentz

MODEL KLEIN

• Jika O adalah pusat lingkaran dan OR adalah jari-jarinya.

Berdasarkan definisi, bagian dalam lingkaran terdiri dari titik-titik X

sedemikian hingga OX < OR.

• Tali busur . ruas garis ab disebut tali busur terbuka yang

menghubungkan titik a dan titik b di , dinotasikan dengan a)(b.

Titik A dan B terletak pada lingkaran oleh karena itu titik A dan B

tidak merepresentasikan titik dalam bidang hiperbolik tetapi

dikatakan titik ideal dan disebut ujung dari garis hiperbolik A)(B.

O

XR

P

m

n

l

MODEL KLEIN

Dua garis m dan n melalui titik P keduanya

sejajar dengan tali busur terbuka l (definisi

sejajar menyatakan bahwa dua garis dikatakan

sejajar jika mereka tidak memiliki titik

persekutuan). Dalam model klein, definisi ini

akan berubah menjadi : dua tali busur terbuka

dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik

persekutuan

Aksioma Klein

Diberikan sebarang dua titik berbeda A dan B di bagian dalam lingkaran . maka terdapat

satu tali busur terbuka l dari sedemikian hingga A dan B terletak pada l.

Bukti.

Diberikan titik a dan b di bagian dalam lingkaran . misalkan

adalah garis euclid melalui titik a dan b. Garis ini akan memotong

lingkaran di dua titik berbeda C dan D. Sehingga titik A dan B

terletak pada tali busur terbuka C)(D. Dengan menggunakan

aksioma pertama euclid (melalui sebarang dua titik dapat ditarik

tepat garis lurus), garis ini merupakan satu-satunya tali busur

terbuka dimana titik A dan B terletak.

A

B

C

D

• Garis tegak lurus dalam model klein

Misalkan l dan m adalah tali busur terbuka dari . terdapat dua kasus

untuk menjelaskan kapan dalam model klein, yaitu :

kasus 1: salah satu tali busur terbuka l dan m adalah diameter

lingkaran . maka dalam pengertian klein jika dan hanya jika

dalam pengertian euclid

Ol

m

y

Kasus 2: baik l maupun m bukan diameter

lingkaran . pada kasus ini kita hubungkan ke l

sebuah titik tertentu p(l) diluar lingkaran yang

disebut kutub dari l. Misalkan t1 dan t2 adalah garis

singgung lingkaran pada ujung-ujung l. Maka p(l)

adalah titik perekutuan t1 dant2

• Garis l tegak lurus ke m dalam pengertian model klein jika dan hanya jika apabila

garis euclid m diperpanjang maka ia melalui kutub l.

P(l) l

mt1

t2

Y • Titik biasa (ordinary point) yaitu titik yang terletak di dalam

lingkaran yang merepresentasikan semua titik dalam

bidang hiperbolik. Umumnya titik biasa ini disebut titik

saja.

• Titik ideal (ideal point) yaitu titik-titik yang terletak pada

lingkaran .

• titik ultra ideal(ultra-ideal point) yaitu titik-titik yang

terletak di luar lingkaran .

Ordinary

Ideal

Ultra-ideal

Ultra-idealUltra-ideal

Ideal

●

●

●

●●

●

MODEL POINCARE

Sering disebut

Disk Poincare

Disk Konformal

Garis direpresentasikan oleh :

1. Semua tali busur terbuka yg melalui pusat lingk

2. Busur terbuka lingk ortogonal

Om

l

y

s

Bidang-Setengah Poincare

A B

PQ

●A’

P’

Q’

●

●●

●

●

Model Bidang-Setengah Poincare

QPR =

Q’PR’

P

Q

R

Q’

R’

Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini menggunakanhiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi sebagai bidanghiperboliknya. Diantara keempat model bidang hiperbolik, model lorentz merupakan modelyang memiliki tingkat kekomplekan yang sangat tinggi.

Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga dimensiMinkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang. Satu dapat mengambilhiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak, memancar keluar pada bidang spasialdari satu titik akan mencapai pada suatu waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titikpada hiperboloid akan dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat.

Model Lorentz