Geom Estratto

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Raffaele Santoro Geometria Classi 6-7 Scuole Europee (5 periodi per settimana) Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi proposti VECCHIARELLI EDITORE

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Raffaele SantoroGeometriaClassi 6-7 Scuole Europee(5 periodi per settimana)Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi propostiVECCHIARELLI EDITORESimboli geometrici usati nel testoSimboli SignicatoA, B, C, . . . A, B, C,. . .Punti del piano o dello spazioa, b, c, . . . , r, s, . . . Rette del piano o dello spazio(AB) Retta passante per i punti A e B[AB) Semiretta uscente da A e passante per B[AB] Segmento avente come estremi i punti A e BAB Lunghezza del segmento [AB] a , b , . . . Vettori del piano o dello spazioAB,CD, . . . Vettori del piano o dello spazio di estremi assegnati a b ,AB CD Prodotto scalare di due vettori

a ,___AB___ Norma o modulo di un vettore a b ,AB CD Prodotto vettoriale di due vettori_O, i , j_ Base ortonormata del piano euclideo_O, i , j , k_ Base ortonormata dello spazio euclideoa b Rette a e b parallele1 2 Piani 1 e 2 paralleliab Rette a e b perpendicolari o ortogonali12 Piani 1 e 2 ortogonalir (A, u ) Retta r passante per A e avente u come vettoredirettore (A, u , v ) Piano passante per A e avente i vettori u e v comevettori direttori (A, n ) Piano passante per A ed avente n come vettorenormaleRaffaele SantoroGeometriaClassi 6-7 Scuole Europee(5 periodi per settimana)Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi propostiVECCHIARELLI EDITOREAi miei genitoriVecchiarelli Editore S.r.l. - 2011Piazza dellOlmo, 2700066 Manziana (Roma)Tel. 06.99674591Fax [email protected]comISBN 978-88-8247-289-4IndicePrefazione alla terza edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiPrefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix1. Matrici e Determinanti 11.1. Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Somma di due matrici dello stesso tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero reale . . . . . . . . . . . . 31.4. Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1. 1 caso: matrice 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. 2 caso: matrice 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3. 3 caso: matrice n n (n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Prodotto di due matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Risoluzione di sistemi lineari con la regola di Cramer . . . . . . . . . . . 101.7. Matrice inversa di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1. 1 caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. 2 caso: n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. 3 caso: n > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale . . . . . . . . . 171.9. Anello delle matrici quadrate di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192. Punti, vettori e rette del piano (richiami) 232.1. Richiami sullo spazio vettoriale V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1. Somma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2. Moltiplicazione di un vettore per un numero reale . . . . . . . . . 262.1.3. Propriet dello spazio vettoriale V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Base di V2 . . . . . . . . . . . . 272.3. Piano afne e relazione di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Prodotto scalare di due vettori di V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Piano euclideo (richiami di geometria analitica del piano) . . . . . . . . . 312.5.1. Distanza fra due punti e punto medio fra due punti dati . . . . . 312.5.2. Equazione di una retta nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.3. Angolo fra due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353. Trasformazioni nel piano. Aspetto analitico e matriciale 393.1. Isometrie del piano in se (richiami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Raffaele Santoro: Geometriavi Indice3.2. Simmetria ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Rotazione attorno ad O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. Simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6. Considerazioni generali sulle isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7. Omotetie del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.8. Proiezione ortogonale su una retta passante per O . . . . . . . . . . . . . 533.9. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564. Punti, vettori, piani e rette nello spazio 594.1. Richiami di geometria elementare dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . 604.1.1. Incidenza fra piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.1.2. Parallelissmo tra rette. Direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.3. Rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.4. Perpendicolarit e ortogonalit fra rette . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.5. Incidenza tra retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.6. Angolo fra due piani incidenti e piani ortogonali . . . . . . . . . . 634.1.7. Proiezione ortogonale su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2. Spazio vettoriale V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.1. Spazio afne e relazione di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2. Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione di V3. Base di V3 654.2.3. Prodotto scalare in V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.4. Coseni direttori di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.5. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3. Coordinate nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4. Equazione di un piano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.1. Equazione segmentaria del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5. Equazione di una retta nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6. Distanza di un punto da un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.6.1. Applicazione: forma normale di Hesse dellequazione cartesianadi un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7. Prodotto vettoriale di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.1. Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.7.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.8. Prodotto misto di 3 vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.8.1. Propiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8.2. Distanza tra due rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.3. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Raffaele Santoro: GeometriaIndice vii5. Equazione della sfera e applicazioni 1015.1. Equazione della sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.1. Luogo dei punti tali cheAP BP = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2. Posizione di un piano e di una retta rispetto ad una sfera . . . . . . . . . 1045.2.1. Piano tangente ad una sfera con centro in O(0, 0, 0). . . . . . . . . 1075.3. Posizioni relative di due sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096. Trasformazioni nello spazio. Aspetto analitico e matriciale 1136.1. Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2. Traslazioni nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3. Proiezione ortogonale su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4. Simmetria ortogonale rispetto ad un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5. Simmetria ortogonale rispetto ad una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.5.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6. Simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7. Rotazione attorno ad un asse sso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.8. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123A. Problemi supplementari 125B. Risposte agli esercizi proposti 139Indice Analitico 163Raffaele Santoro: GeometriaPrefazione alla terza edizioneQuesta nuova edizione1del corso di Geometria dello spazio per le Scuole Europee ha iseguenti cambiamenti rispetto alla versione precedente: Una nuova appendice con le risposte a tutti gli esercizi proposti Tutte le gure rifatte con il programma Geogebra Correzione di alcuni errori residui, il che non signica che non ci siano pi sviste Una pagina interna della prima copertina con un richiamo sul simbolismo usatoper vettori, rette, piani. . . Due pagine interne alla seconda copertina con un formulario delle principaliformule usate nel testo Una veste graca miglioreAnche se, da quando (1992) uscita la prima edizione del presente corso, il panoramaeditoriale italiano offre qualche alternativa, ritengo ancora valide le motivazioni che mihanno spinto ad affrontare questa fatica.Manziana, Marzo 2011Raffaele Santoro1Scritta con LATEX grazie allincoraggiamento ed ad una prima introduzione del mio ex allievo LucaGalantucci, ora ricercatore di Fisica presso il Politecnico di Milano.Prefazione alla seconda edizioneLe ragioni della nascita della prima edizione di questo corso di Geometria restano va-lide: lassenza, nel panorama editoriale italiano, di un corso di Geometria dello spaziocon lausilio dello strumento vettoriale e matriciale, come previsto dal programma diMatematica delle classi 6-7 (5 periodi per settimana) delle Scuole Europee.Tuttavia, la disponibilit di un corso su misura per le Scuole Europee ha spinto al-cuni colleghi a volersi sobbarcare la fatica di una traduzione della prima edizione inaltre lingue. Sono cos comparse, in ordine di tempo, una versione in francese (a curadel collega J.P. MASCLE, Luxembourg), una versione in danese (a cura del collega J.THORSEN, Luxembourg) ed una versione in tedesco (a cura del collega D. KORING,Bruxelles II). A tutti questi colleghi va un sentito ringraziamento, anche perch hannocondiviso con me la losoa dei diritti dautore di questo corso: il prezzo di ogni co-pia viene ssato aggiungendo al costo di riproduzione 100 FB da inviare ai ComitatiUnicef.Questa seconda edizione esce per rimediare ad alcune omissioni e per tener conto deisuggerimenti di alcuni colleghi. Questi i cambiamenti pi importanti: per il capitolo terzo: omotetie e proiezione ortogonale su un retta; per il capitolo quarto: maggior peso alle propriet geometriche di rette e pianinello spazio; per tutti i capitoli: aumento del numero degli esercizi proposti e correzione dierrori residui.Anche se, ovviamente, i colleghi possono seguire litinerario di studio che ritengono piopportuno, mi permetto di suggerire un itinerario che mi sembra ottimale per trarre ilmassimo protto da questo corso:Classe 6 Capitolo 1 (Matrici e determinanti). Capitolo 2 (Punti, vettori e rette del piano - Richiami). Capitolo 4 (Punti, vettori, piani e rette dello spazio).Classe 7 Ripasso dei capitoli 1, 2 e 4 (visti in Classe 6). Capitolo 5 (Equazione della sfera e applicazioni) Capitolo 3 (Trasformazioni del piano - Aspetto analitico e matriciale). Capitolo 6 (Trasformazioni dello spazio - Aspetto analitico e matriciale). Risoluzione di tutti i problemi previsti nellAppendice.Resta lauspicio che il corso, nelle sue diverse versioni, possa servire, oltre che per lapreparazione al Bac Europeo, anche per la preparazione allesame dingresso in alcuneUniversit e come punto di partenza di un primo corso di Geometria per lUniversit.Luxembourg, Luglio 1994Raffaele SANTORO1. Matrici e DeterminantiIndice1.1. Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Somma di due matrici dello stesso tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero reale . . . . . . . . . . 31.4. Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1. 1 caso: matrice 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. 2 caso: matrice 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3. 3 caso: matrice n n (n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Prodotto di due matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Risoluzione di sistemi lineari con la regola di Cramer . . . . . . . . . 101.7. Matrice inversa di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1. 1 caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. 2 caso: n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. 3 caso: n > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale . . . . . . 171.9. Anello delle matrici quadrate di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Raffaele Santoro: Geometria2 Matrici e Determinanti1.1. DenizioniUna matrice reale (a elementi in R, insieme dei numeri reali) una tabella rettangolaremn (m righe ed n colonne) di numeri reali. Sono matrici reali ad esempio:A =__123__, B =_ 2 13 4_, C =_ 1 2 12 0 3_.La matrice A una matrice rettangolare 3 1 avente 3 righe ed 1 colonna. La matriceB una matrice quadrata 2 2 avente 2 righe e 2 colonne. La matrice C una matricerettangolare 2 3 avente 2 righe e 3 colonne.In generale, una matrice A con m righe e n colonne si indica cos:A =_____a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n... ... ... ...am1 am2 . . . amn_____dove a11 (da leggere a uno uno), a12 (da leggere a uno due), . . ., amn (da leggere aemme enne) sono gli elementi della matrice. La matrice A, a volte, anche indicatacon [ars], oppure (ars), dove ars un elemento generico della matrice (lelementos-simo della riga r-sima).Se m = n, la matrice si dice matrice quadrata di ordine n e, in questo caso, gli elementia11, a22, . . ., ann si dicono elementi della diagonale principale.Una matrice diagonale una matrice quadrata per cui gli elementi diversi da quellidella diagonale principale sono tutti nulli.Esempi di matrici diagonali sono:_ 2 00 1_,__3 0 00 2 00 0 0__.Una matrice diagonale con gli elementi della diagonale principale tutti uguali a 1 (uno)e gli altri elementi nulli si dice matrice unitaria. Ad esempio la matrice unitaria 3 3 :I =__1 0 00 1 00 0 1__.Una matrice, anche non quadrata, con tutti gli elementi uguali a 0 (zero) si dice matricenulla. Ad esempio, la matrice_ 0 00 0_ la matrice nulla 2 2.Una matrice Ain cui si scambiano tra di loro le righe con le colonne d luogo ad unaltramatrice tA o A che si chiama matrice trasposta di A. Cos, ad esempio:Raffaele Santoro: Geometria1.2 Somma di due matrici dello stesso tipo 3A =__1 23 11 4__A =_ 1 3 12 1 4_.1.2. Somma di due matrici dello stesso tipoSia Amn linsieme delle matrici mn . In questo insieme si denisce loperazione + (somma) che associa a due matrici A e B una terza matrice C = A+B, tale che:(A = [ars] , B = [brs]) C = [crs] = [ars +brs]Esempio 1.1 Date le matrici A =__1 32 41 1__e B =__1 23 01 3__, determinarela matrice: C = A+B.Soluzione. Risulta:C =__1 32 41 1__+__1 23 01 3__=__1 1 3 + 22 + 3 4 + 01 + 1 1 3__=__0 55 40 2__ facile rendersi conto che la struttura (Amn,+) una struttura di gruppo commuta-tivo, dove lelemento neutro la matrice nulla m n e la matrice inversa di A = [ars] la matrice A

= [ars] (tale matrice prende anche il nome di matrice opposta di Ae viene indicata con A). Qui le propiet di gruppo derivano dalla denizione stessadella somma di due o pi matrici come somma degli elementi corrispondenti delle ma-trici da sommare: dal momento che linsieme di numeri reali, rispetto alloperazionesomma una struttura di gruppo commutativo, anche (Amn,+) sar una struttura digruppo commutativo.1.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero realeSe A una matrice di Amn , si denisce prodotto della matrice A per il numero reale kquella matrice, B, i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per k:kA = k [ars] = [kars] = [brs] = B.Raffaele Santoro: Geometria4 Matrici e DeterminantiEsempio 1.2 Se A =_ 2 1 32 1 0_, determinare le matrici: 2A e 3A.Soluzione. Risulta subito:2A =_ 2 4 64 2 0_, 3A =_ 3 6 96 3 0_.La moltiplicazione di una matrice di Amn per un numero reale unoperazione esternaad Amn , in quanto risulta essere unapplicazione f di R Amn in Amn :f : R Amn Amn.Si pu considerare la struttura (Amn, R, +), dove + indica la somma (operazioneinterna) di due matrici di Amn e R sta ad indicare loperazione esterna di moltiplica-zione degli elementi di Amn per un elemento di R (insieme dei numeri reali e insiemedegli operatori). E facile rendersi conto allora che la struttura(Amn, R, +) una struttura di spazio vettoriale reale.I vettori di questa struttura sono le matrici di Amn .1.4. Determinante di una matrice quadrataIl determinante di una matrice quadrata un numero associato alla matrice stessa. Talenumero si ottiene a partire dagli elementi della matrice applicando determinate regoledi calcolo. In questa sede si considereranno principalmente i casi delle matrici quadratedi ordine n con n = 2 o n = 3 e si far un rapido cenno a come calcolare il determinantedi una matrice quadrata con n > 3.1.4.1. 1caso: matrice 2 2Sia A =_ a11 a12a21 a22_la matrice. Si denisce determinante di A il numero:det A =a11 a12a21 a22= a11a22a21a12Raffaele Santoro: Geometria1.4 Determinante di una matrice quadrata 5Esempio 1.3 Se A =_ 1 23 1_e B =_ 2 11 4_, calcolare det A e det B .Soluzione. Si ha:det A =1 23 1= 1 1 3 2 = 1 6 = 7det B =2 11 4= 2 4 1 (1) = 8 + 1 = 91.4.2. 2caso: matrice 3 3Sia A =__a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33__la matrice. Si denisce determinante di A il numero:det A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33= a11a22 a23a32 a33a12a21 a23a31 a33+a13a21 a22a31 a32== a11 (a22a33a32a23) a12 (a21a33a31a23) +a13 (a21a32a31a22) == a11a22a33a11a32a23a12a21a33 +a12a31a23 +a13a21a32a13a31a22Ci sono 6 modi diversi per calcolare il determinante di una matrice 33, a secondadella riga o della colonna che si sceglie per sviluppare il calcolo. In effetti, si prendonogli elementi di una riga o di una colonna, moltiplicati per il segnante (1)r+s(r ilnumero di riga e s il numero di colonna dellelemento), ciascuno moltiplicato ancoraper il determinante 22 che si ottiene eliminando dal determinante di partenza la rigae la colonna dellelemento considerato; si sommano i 3 risultati ottenuti.Esempio 1.4 Calcolare il determinante della matrice A =__1 2 13 1 01 2 3__.Soluzione. Sviluppando secondo gli elementi della prima riga, si ha:det A =1 2 13 1 01 2 3= 1 1 02 32 3 01 31 3 11 2== 1 3 2 9 1 (7) = 8Oppure (sviluppando secondo gli elementi della terza colonna):det A =1 2 13 1 01 2 3= 1 3 11 20 1 21 2+ 3 1 23 1== 1 (7) + 3 (5) = 8Raffaele Santoro: Geometria1612: (x 3)2+y2+(z 5)2= 4 ;e) S :_x 43_2+_y 53_2+_z 103_2=_233_2.39. a) i) A

(6, 10, 4), ii) (0, 4, 1) ;b) S1 : (x 6)2+ (y + 8)2+ (z + 2)2= 26 ,S2 : (x + 2)2+ (y + 4)2+(z 6)2= 26 ;c) A

_149 , 349 , 329_;d)___x

= x + 8y

= y 6z

= z 2.40. a) M (1) =_ 0 11 0_,M (2) =_ 354545 35_,M (12) =_ 45 353545_, = 3652

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.41. a)11 ;b) M(1, 3, 2) .42. a) 22 ;b) la retta___x = 2 + 2y = 2z = 5 + 3;c) x 11y 2z = 0 ;d) x2+y2+z26x 3y 6z = 0 .43. . . . ..44. a) 5147

12

;b) x +y +z = 0 .45. a)66 ;b) 30 ;c) P1_0, 0, 1 +2_e P2_0, 0, 1 2_;d)___x = y = z = 1 _2 + 1_,_2 1,2 1, 0_interno alla base della piramide;e) S_0, 34, 14_.46. a) M (0, 2, 2) , M

(2, 2, 2) ;b) tangenza in:_43, 23, 23_, : x + 2y 2z 4 = 0 ;Raffaele Santoro: Geometria162 Risposte agli esercizi propostic) 13, 23, 23 ;d)_x2+ (y + 2)2=_23_2z = 0;e)__1 0 00 1 00 0 0__, t

:___x = y = 2 + 2z = 0;f) 2x y 2 = 0 ;g) 90 .47. b) 4x y 3z + 26 = 0 ;c) 151326 .48. a)___x = y = 1 + 2z = 2 + 2;b) (x 3)2+ (y 7)2+ (z 4)2= 14 e_x 53_2+_y 133_2+_z 43_2= 14 ;c)_x 73_2+_y 173_2+_z 83_2= 10 ;d) D1 (7, 0, 3) e D2 (3, 0, 1) .49. a) i)___x = 1 y = 2 +z = 3 +, ii) (-1,0,1);b) 3515

52

;c) . . .50. a) ii)_83, 43, 193_,24 ;b) 2 ;c)___x = 2 + 2y = 3 +z = 7 2;d) a = 0, b = 1 .Raffaele Santoro: GeometriaIndice analiticoanello, 18matrici, 18angolo diedro, 63angolo fra due rette, 33baseortonormata del piano, 30ortonormata nello spazio, 68bipunti, 24dello spazio, 65equipollenti, 24Chasles (relazione di), 29, 65classi di equivalenza, 24cofattore, 15Cramer (regola di), 10determinante, 4diagonale principale, 2dimensione, 66dipendenza lineare, 28direzione, 61distanza, 86di un punto da un piano, 86di un punto da una retta nello spa-zio, 92fra due puntinello spazio , 72fra due rette sghembe, 97distanza fra due puntinel piano, 31divisori dello zero, 19dominio dintegrit, 19equipollenza (relazione di), 24gruppo, 25abeliano, 25insieme quoziente, 24isometria, 40diretta, 48inversa, 48isometrie del piano, 40matrice, 2aggiunta, 16diagonale, 2inversa, 132x2, 143x3, 15nxn, 15isometria, 47nulla, 2prodotto per numero reale, 3quadrata, 2reale, 2regolare, 16singolare, 16trasformazione, 42trasposta, 2unitaria, 2matrici, 3ortogonali, 48prodotto, 82x2, 8nxn, 8sistemi lineari, 18somma, 3minore, 15omotetia, 50centro, 50Raffaele Santoro: Geometria164 Indice analiticopiana, 50rapporto di, 50operazione esterna, 4, 26, 29, 67operazione interna, 4, 24, 89piani, 60coincidenti, 60di piani, 81incidenti, 60angolo, 63paralleli, 60, 62piano, 60afne, 29equazione cartesiana, 75forma normale di Hesse, 88equazione segmentaria, 76equazione vettoriale, 74equazioni parametriche nello spazio,74euclideo, 31, 41proiezione ortogonale, 53su un piano, 64, 114su una retta, 53proiezione parallela ad una retta su unpiano, 124punti uniti, 40punto medio fra due puntinel piano, 31nello spazio, 72regola del parallelogramma, 25retta, 32equazione cartesiana nel piano, 33equazione vettoriale, 32equazione vettoriale nello spazio, 80equazioni parametriche nel piano, 33equazioni parametriche nello spazio,81vettore direttore, 33vettore normale, 33rette, 61incidenti, 62ortogonali, 62parallele, 61perpendicolari, 62sghembe, 62distanza, 62riferimento afnedel piano, 31dello spazio, 66rotazioneattorno ad una retta ssa, 121nel piano, 44Sarrus (regola di), 6sfera, 102equazione cartesiana, 102posizione relativa ad un piano, 104posizione relativa ad unaltra sfera,108posizione relativa di una retta, 104simmetria centralenel piano, 46nello spazio, 121simmetria ortogonale, 40rispetto ad un piano, 116rispetto ad una retta nello spazio,118sistemi lineari, 10somma vettoriale, 24spazio afne, 65spazio euclideo, 71spazio vettoriale, 4, 26base, 28dimensione, 27spazio vettoriale V_{3}, 65struttura di spazio vettoriale, 65trasformazione, 40identica, 40involutoria, 49trasformazione del piano in s, 40Trasformazioni nello spazio, 113traslazione, 43nel piano, 43nello spazio, 114tre perpendicolari (teorema delle), 64vettore, 4Raffaele Santoro: GeometriaIndice analitico 165colonna, 28, 66, 68componenti numeriche, 27, 66componenti scalari, 27coseni direttori, 69direttore, 32modulo, 30, 68moltiplicazione per un numero rea-le, 26norma, 30, 68, 72normale ad un piano, 77nullo, 24opposto, 24riga, 66, 68vettoricollineari, 65coplanari, 67del piano, 24dello spazio, 65linearmente dipendenti, 27, 65linearmente indipendenti, 27, 65prodotto misto, 95prodotto scalare, 29prodotto scalare nello spazio, 67prodotto vettoriale, 89Raffaele Santoro: GeometriaPagina biancaPagina biancaFormulario per il pianoBase ortonormata_i ,j_tale chei i = 1,i j = 0 ,j j = 1a = a1i + a2j ,b = b1i + b2j_a = a1i + a2j , b = b1i + b2j_a b = a1b1 + a2b2

a =_a21 + a22cos_

a ,b_= a b

a

b

= a1b1+a2b2a21+a22b21+b22Piano afne euclideo_O,i ,j_P (x, y) OP = xi + yj OP =___OP___ =_x2+ y2(A(x1, y1) , B (x2, y2)) ___AB = (x2x1)i + (y2y1)jAB =___AB___ =_(x2x1)2+ (y2y1)2I_x1+x22 , y1+y22_ I punto medio di [AB]xx1x2x1= yy1y2y1equazione cartesiana di (AB)Retta r (A,u ) con A(x1, y1) eu =_ u1u2_:___P r AP = u ( R)_x = x1 + u1y = y1 + u2equazioni parametrichexx1u1= yy1u2equazione cartesianaEquazione canonica della retta r: ax + by + c = 0, doveu =_ ba_ il vettore direttore en =_ ab_ il suo vettore normale.Distanza di P (x0, y0) dalla retta r: ax + by + c = 0 d (P, r) = |ax0+by0+c|a2+b2Formulario per lo spazioBase ortonormata_i ,j ,k_tale chei i = 1,i j = 0 ,j j = 1,i k = 0,j k = 0 ,k k = 1a = a1i + a2j + a3k ,b = b1i + b2j + b3k_a = a1i + a2j , b + a3k = b1i + b2j + b3k_a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (prodotto scalare)a b =i j ka1 a2 a3b1 b2 b3(prodotto vettoriale)___a b___ = a ___b___ sin_

a ,b____a = a1i + a2j + a3kb = b1i + b2j + b3kc = c1i + c2j + c3k___a _b c_=a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3(prodotto misto)

a =_a21 + a22 + a23cos_

a ,b_= a b

a

b

= a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23b21+b22+b23Spazio afne euclideo_O,i ,j ,k_P (x, y, z) OP = xi + yj + zk OP =___OP___ =_x2+ y2+ z2(A(x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2)) ___AB = (x2x1)i + (y2y1)j + (z2z1)kAB =___AB___ =_(x2x1)2+ (y2y1)2+ (z2z1)2I_x1+x22 , y1+y22 , z1+z22_ I punto medio di [AB]xx1x2x1= yy1y2y1= zz1z2z1equazioni cartesiane di (AB)Retta r (A,u ) con A(x1, y1) eu =__u1u2u3__:___P r AP = u ( R) equazione vettoriale___x = x1 + u1y = y1 + u2z = z1 + u3equazioni parametrichexx1u1= yy1u2= zz1u3equazioni cartesianeEquazione canonica del piano : ax + by + cz + d = 0, doven =__abc__ il suo vettore normale.Distanza di P (x0, y0, z0) dal piano : ax + by + cz + d = 0d (P, ) = |ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2Equazioni del piano passante per P (x0, y0, z0) e con vettori direttoriu =__u1u2u3__ev =__v1v2v3__: cartesianax x0 y y0 z z0u1 u2 u3v1 v2 v3= 0 parametriche___x = x0 + u1 + v1y = y0 + u2 + v2z = z0 + u3 + v3 vettoriale P AP = u + v normale a (x x0) +b (y y0) +c (z z0) = 0, doven =__abc__=u v un vettore normaleal pianoDistanza di P dalla retta r (A,u ) : d (P, r) = AP u

u Distanza fra le rette r (A,u ) e s (B,v ) : d (r, s) = |AB( u v )|

u v (se le rette sono coplanari la distanza nulla perch il numeratore della formula nullo)Equazione della sfera di centro C (x0, y0,z0) e raggio R : (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2= R2Piano tangente alla sfera x2+ y2+ z2= R2nel suo punto (x0, y0, z0): x0x + y0y + z0z = R2Raffaele Santoro, dopo la Laurea in Fisica conseguita presso lUniversit di Torino, stato titolare della cattedra di Matematica e Fisica presso il Liceo Scientico LorenzoFazzini di Vieste e professore di Matematica, Fisica e Informatica presso la Scuola Eu-ropea di Lussemburgo.e20.00