GEOGEBRA

NA SALA DE AULA

Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) e Hugo Leonardo (DM/UFRPE).

Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE).

Agosto/2014

Introdução

Geogebra é um aplicativo de matemática que combina conceitos de geometria e álgebra em uma única interface.

Sua distribuição é livre (download e uso gratuitos).

Como projeto, foi iniciado em 2001 com o objetivo de ser utilizado em ambiente de sala de aula.

Ele permite realizar construções geométricas com pontos, retas, segmentos, polígonos, etc., assim como inserir funções e alterar esses objetos dinamicamente. Equações e coordenadas também podem ser diretamente inseridas.

Assim, o Geogebra reúne as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais adequadas à álgebra e ao cálculo.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Elementos básicos

Tela inicial

1. Menus

2. Visualização

Aqui o usuário pode visualizar os objetos criados no Geogebra.

2. Visualização

Além da janela de visualização inicial, existem outros tipos que podem ser acessados (i) na barra lateral à extrema direita ou (ii) na barra de menus.

3. Barra de ferramentas

Grupos de objetos e ações disponíveis.

3. Barra de ferramentas

3. Barra de ferramentas

3. Barra de ferramentas

Daremos ênfase aos seguintes recursos:

3. Barra de ferramentas

Daremos ênfase aos seguintes recursos:

3. Barra de ferramentas

4. Campo de entrada

Aqui podemos definir objetos como funções e pontos, além de realizar comandos algébricos. Clicando no botão com a letra alfa, é possível inserir símbolos matemáticos.

5. Janela de Álgebra

Nessa janela, podem ser visualizadas fórmulas e objetos matemáticos inseridos no campo de visualização.

Exercícios

Os exercícios a seguir exploram os recursos do Geogebra e foram definidos com base na lista de assuntos de Matemática nos quais os alunos da Escola Jarbas Passarinho possuem mais dificuldades.

Motivação

Exercício 1 – definição

Demonstração do cálculo da área de um:a) Paralelogramob) Triânguloc) Losangod) Trapézio

Assunto: Geometria Plana (apoio para ensino da Geometria Espacial);

Exercício 1 – passo a passo

1. Criar os polígonos.Dica: construir o paralelogramo fracionado em 1 quadrado e 2 triângulos.

2. Partindo da área do retângulo, fazer as manipulações necessárias para concluir a demonstração.

Exercício 1 – resultados

a) b)

c) d)

Exercício 1 – resultados

a) b)

c) d)

Provar o Teorema de Pitágoras através do uso de áreas.

Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

Exercício 2 – definição

Prova I1. Construir um quadrado composto de outros dois

quadrados menores de lados b e c, e quatro triângulos; 2. Retirar os dois quadrados e alterar a posição dos

triângulos.Prova II

3. Construir um trapézio de altura b + c, de base menor b e base maior c;

4. Calcular a área do trapézio;5. Igualar a área do trapézio à área das figuras que o

compõem.

Exercício 2 – passo a passo

Exercício 2 – resultado

Provar:

a) Lei dos Senos

Assunto: Lei do seno e do cosseno

Exercício 3 – definição

Exercício 3 – passo a passo

Lei dos Senos

1. Definir triângulo inscrito, seno, ângulo inscrito e ângulos que determinam arcos;

2. Criar um triângulo inscrito. Por um determinado vértice, traçar o diâmetro e projetar outro triângulo como na figura a seguir. Nos outros vértices o processo é semelhante.

Exercício 3 – resultado

Outras formas de calcular a área de um triângulo:

a) Em termos de dois de seus lados e o seno do ângulo localizado entre eles;

b) Do semi-perímetro e do raio inscrito.

Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

Exercício 4 – definição

Exercício 4 – passo a passo

1. Definir seno, lei dos senos, polígono inscrito e circunscrito, área, perímetro e semi-perímetro.

2. Criar os casos.a) Utilizar altura em termo do senob) Utilizar definição de área e de semi-perímetro.

Exercício 4 – resultado

Provar fórmula de ângulos internos de um polígono regular

Exercício 5 – definição

Assunto: Geometria Plana (apoio ao ensino da Geometria Espacial).

Exercício 5 – passo a passo

1. Definir ângulos internos e polígonos regulares.2. Criar polígonos regulares3. Dividir os polígonos regulares em triângulos isósceles com a

base correspondente aos lados dos polígonos regulares.

Exercício 5 – resultado

Provar ângulos notáveis.

Assunto: Relações Métricas no Triângulo retângulo

Exercício 6 – definição

Exercício 6 – passo a passo

1. Definição de Seno, Cosseno e Tangente.2. Definição das propriedades de um triângulo equilátero.3. Criação de triângulos especiais.

i. Triângulo a partir da altura de um triângulo equilátero.ii. Triângulo a partir da diagonal de um quadrado.

4. Calculo do Seno, Cosseno e Tangente.

Exercício 6 – resultado

Razões trigonométricas na circunferência.

Assunto: Trigonometria no ciclo

Exercícios 7 e 8 – tema

Exercícios 7 e 8 – resultado

Construção de: Cosseno, Seno e Tangente.

Exercício 7 – definição

Exercício 7 – passo a passo

Cosseno1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro

no centro e o último na reta perpendicular ao eixo X que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de cosseno.

Exercício 7 – resultado

Exercício 7 – passo a passo

Seno1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro

no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência, nomeando esse ponto de seno.

Exercício 7 – resultado

Exercício 7 - passo a passo

Tangente1. Criar o círculo trigonométrico2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro

no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência.

3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(1,0)

4. Prologar o segmento centro-vértice na circunferência até a reta tangente e nomear o segmento apropriado de tangente.

Exercício 7 – resultado

Construção de: Cossecante, Secante e Cotangente.

Exercício 8 – definição

Exercício 8 – passo a passo

Secante e Cossecante1. Criar o círculo trigonométrico;2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro

no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência;

3. Criar a reta tangente à circunferência no vértice do triângulo retângulo;

4. O ponto de intersecção dessa reta tangente com a reta OY nomeamos cossecante e com a reta OX nomeamos secante.

Exercício 8 – passo a passo

Cotangente1. Criar o círculo trigonométrico;2. Criar triangulo retângulo com um vértice no círculo, outro

no centro e o último na reta perpendicular ao eixo Y que passa pelo vértice na circunferência;

3. Criar a reta que passa tangente à circunferência no ponto P(0,1);

4. Prologar o segmento centro - vértice na circunferência até a reta tangente, nomeando o segmento apropriado de cotangente.

Exercício 8 – resultado

Exercício 8 – resultado

Explicar variações numa função afim, quando alterados o coeficiente angular a ou o coeficiente linear b, e numa função quadrática, quando se alteram os valores de a, b, c.

Exercício 9 – definição

Exercício 9 – passo a passo

1. Definir a função que será criada;

2. Criar, dependendo da função, dois ou três controles deslizantes;

3. Criar a função desejada;

4. Mostrar a mudança nas variáveis, quando alterado o controle deslizante.

Exercício 9 – resultado

Gráfico da função logarítmica a partir da função exponencial

Assunto: Função Logarítmica e Exponencial

Exercício 10 – definição

Exercício 10 – passo a passo

1. Criar a reta y = x2. Criar o controle deslizante “a” no intervalo desejado.3. Criar a função exponencial f(x) = a^x

Obs.: Com a variação do controle deslizante podemos mostrar o gráfico de vários exemplos da função logarítmica.

Caso a > 1

Exercício 10 – resultado

Caso 0 < a < 1

Exercício 10 – resultado

Simetria.

Assunto: Simetrias

Exercício 11

Definições:

1. Rotação2. Translação3. Reflexão4. Simetria axial

Exercício 11 – definição

Rotação1. Criar o polígono e o ponto que se deseja rotacionar;2. Rotacionar o polígono através da barra de ferramentas.

Translação3. Criar o polígono e o vetor tomado como base;4. Transladar através da barra de ferramentas.

Reflexão5. Criar o polígono, as retas e/ou o ponto que será tomado

como referência;6. Refletir através da barra de ferramentas.

Exercício 11 – passo a passo

Simetria axial1. Criar o objeto e a reta que será tomada como base;2. Refletir o objeto utilizando a barra de ferramentas.

Simetria radial (criação da estrela)3. Criar o quadrilátero BHID’’;4. Criar ângulos com amplitude fixa de 72º e retas

correspondentes;5. Refletir o objeto utilizado a barra de ferramentas.

Exercício 11 – passo a passo

Rotação.

Exercício 11 – resultado

Translação.

Exercício 11 – resultado

Reflexão.

Exercício 11 – resultado

Exercício 11 – resultadoSimetria axial.

Exercício 11 – resultadoSimetria radial.

GEOGEBRA

NA SALA DE AULA

Instrutores: Rodrigo Mendes (DMAT/UFPE) – rodrigoftbmendes@gmail.com Hugo Leonardo (DM/UFRPE) – obny.hugo@gmail.com

Coordenador do projeto: George Valença (DEINFO/UFRPE) – georgevalenca@deinfo.ufrpe.br

Agosto/2014