Circunferencia y crculo (Pgs. 128-131)

& CI;o"". 161. Ddinki6n. 162. Puntal inlerior~ y pun,OI ex,." iotn. 163. Circulo. 164. CiKUnf.,...,nda. ;gualn. 16S. Arco de drcllnf."""cia. 166. Cuerda. 161. Dw".,tm.

42

Ifi 8. P .. kioneJ de .... a rttta y una c; r ~unl.,",nci ... 169. Fisur;lo en tI d,,, .. Jo. 170. Angu .. can"",,, ) ,,1(01 forrespondiellln .

PunlOS importantes

a) COfIcepl05 tue deben nJallOTizarse. Definicin de orcunferttlcia y circulo.

- Cuerda, an:o y dimetro de una circunferencia. - Secante y l ang ~ rlle a una circunferencia.

b) Figuras q~ deben analizarse: _ Segmento circular. .:o- Corona circular. - Sector circular. - Tr..pecio ciro:ular.

e) PunlO5 comuntS de una secante y de una tangente COn una circunferencia. ti) Comprcndc-r el eoo

43 CEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

(PJQi. 131-133)

s..a.... 171 . TI .... ldad de inlUIoo y arcos. 172. Daig .... ldad ~ ' nuloo y ar>l. 173. Are .. CONCCU1.. ... y .wn>I Y dif~...,nri.a de an".. 174 Teornna n.

Puntos ;mporlanla

a) Ejemplos de igualdad y desigualdad de angulm y arcos. b) Operaciones de suma y dife rencia de arcos. e) Propiedades dd diametro.

1. Si Ufl areo 51' divide en dos partes, Sl,I angulo central quedar dividido taro-bifn en dos partes?

H, spl1.n'll

2 En la figura liguif'llle. O es el centro de la c:in:unfel'l'f\c:ia y AB es su dimetro. A A

Si DD fl AC. demostrar que Il _ b.

Rnpl1.n tll "

3. Cunto mide el ngulo centl'1ll de una cuerda igual al radio dd crculo?

RI'Jpl1.t!Jtll "

ot . Cmo se lIaman!05 lados de un ngulo inscrito?

R t!SptustlJ : . " .

CIRCUNFERENCiA. V CIII.CULO '-6' - - ~ ~

;. Si Ol! 1. AC, denlOltrnr que: Q -~~ ;';... __ ,

o

A ~::t::7'C B

R~J~t'JIQ

Ca)if:ac in

G EOMETRI-\ PLA:>;'\ y DEL ES PACIO

44 Stcrion~1 (Pgs. 133.135) 175. Scrni(:in:llnl~ren

ClkCUXFtk"EXIA y CIRCCLO E~'

-\ i.n la flgUra an\~OOr, ~ D = de, ON 1. de y 01J J. AD, defl'Kl$lTal" que ".... ... .... AON "" ADM. R~Jpv'-"Q . ...

,; El lo misflIO decir ~micirrunre",ncia q ue ~micrculo? Por qu?

Rf!JP",-s'": ....

CaJiflC.l.cin _ _ _ ___ _

, .ro CEOMETRIo\ PLA!\'A Y DEL ESPACIO

45 Soeccionn

17'. Teoro:ma 4S. i80. Teorcrtlll rff;prono. 181 . TeoKma 46. 18'2. Tcoovna ..,dproc:o.

P1Jnlos importantes

a) RelacionH enlre las cuerdas y w. arcos corTelpOlldi.mta. b) Relaciones enlre las cuerdas y SUI dislallcia.s al centro. e) Ejcn:idos de aplicacin pan. la campremin de dichas n:bciooa. d ) Teon:mas ~rnxos rtSpccti,"OS.

Contestar con FtJ/JO o ',rdaduo los siguientes enunciados :

Dimetros del mismo o de crrulos iguale! son igualeJ.

R'JpueJltJ ..

2 En drrulos iguales. cuerdas iguales tienen arcos ig\lalcs.

ReJpu.rslo

:i Un ri imetro xrpendicular a una cuerda biseca dicha cuerda y su arco. R i'SpUl'itlJ ;

4 Si un ... dio bi5eCa a una cuerda, entonces forma COI! dicha cuerda 60".

Rupll

C IRCUNFERENC IA Y CIRCULO

(Pgs. 138-141 ) -183 T..ng.nle a b ci...,,,n'rrencia. 184. T.,....,ma 47. 18~. Trorwna rrdproro. 186. Nomuol. una ci...,unferencia. 187. Trorema 48.

PunlOS importaRICS

a) Tangl:nle )' nonnal a una circunferencia. b) Punto de tangencia o punto de eontacto. ,) Perpendicularidad de la tangente oon d radio, en el punto de contacto. d) Demoslracin del teonma 47.

46

~) Distancia de un punto a una circunferencia (cuando el punto es interior y cuan-do es exterior) .

l . Cmo se llama el punto comn a una cin:unferencia y a una tangenle a dicha cin:unfen:ncia~

2. Demoslrar : "Una linea recia ~rpendicular a \1n radio de una cirrunferencia en su eKlremO, es tangl:nte a dicha cirnmferencia" .

A A

3. Demostrar que" "'" b en la figura, si BD es el dimetro de la cin:unferencia y SD 11 AG.

b

B p '-----"I D

A

GEOMETR I \ PL.\S'" y DEL ESPAC IO

4. Si AB es tangentr a la cin:unfrrencia y O es rl centro dr dicha circunferencia.

enrontrar rl radio de la circunferencia si AB = 4 Y AO '" 6.

B

o

5. En la (igu"" antrrior. si e l radio de la circunferencia es igual a 8 y AB =- 12. f"n-contrar AO.

Rupu.olu:

CaJificaci6n ____ _

(Pgs. 141 _144)

'Wrdonn 188. Pmiciorlct re~t"a, de dOf cinunf .. ...,neia~, 189. C;...,,,nfr...,ne;". ClIlerion:s. 190. Cin:unfurnda . lanl"nl.,. ClIfu;""""'nl ... 191. C;r~"nl .. rcnf""" Otnl.,.. 192. ein:unlrrcnci .. I"nlmlel ;nlrnonntn lC-. 193. ei...,,,nlrn:new ;nlrr;o..,.. 19t. ei...,,,nlr...,....,;". concfnnica .

n) Posiciones relativas dt' dos ci rcunferencias.

47

b) Propiedades respeclO a llo distancia enlre los cmlros de lns circunferencias. , ) P"nIOll romurlI'"I segm Sl.IS posiciones relativas-.

En el espacio en blanco eribir el nmero rnrrespondienle de acuerdo con 1., posicin df' la~ drcunrerenri~ liguientrs :

_ ( :ircunfrrr-nri." lan!lrnl,"", inttrinr-menl ...

-- ( : ircunro-r("llcia~ lan~nl'" f'xlI'rior-mente. Circunfert"llcia.. ('"xtrriorf"S. Cirl"\mr .. renci~ seo:-anleo Cim..mft'renda~ inlerlQrf'!I

,

, O.O

Calificacin

E-74 GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... CIO

48 Scttiorln ( Pgs. 144.148) 19.5. T~D~ 49. 196. Troreno. ~lpro

CIRCUNfERENCIA Y C IRCULO

4 Construir grfICamente la llUlgt'flte a la circunferencia siguiente en el punto A.

" O

N

!i. Construir una tangente paralela a la euerda MN de la circunfe~ncia del ejer-cicio anterior.

CaJificacin _ ____ _ _ _

Angulos en la circunferencia 49 (Pig!

\:-'C.LLOS E.' L\ UR(;L~fEREr-;CIA E1'

4 Trvar. ulili;f.ando un tranliflOl lador. los nJtUlm 5iguicnles: a J 23 b l 47 e l 115 d I 223 e l 345 .

.5 Definir 10 que es angulo senn.inscrito y ngulo exinscrito.

R'JjJu

.. " GEOMETRIA PLA.~ .... Y DEL ESPACIO 50

"""-lO' T~ j/ . 204. Corolario / . 205. Corolario 1. W6. A...,o

..... NCULOS EN lA CIRCUNf.ERtNC I ..... '-70

" A . En la figura siguiente, encotItr.u x y )1, si x = AB, )' '"' o.

A

Calificacin~ _____ _

51 C EQMETRI.'\ PLAXA \' DEL. ESn UO

( Pgs. 154. 156)

Sn-C"iootn 207. Teorema S2. 208. T rornn.a S3. 209. AnSUIo inleri

"':-:C:ULOS EN LA CIRCU~fER E~c.; I ...

Re/pu. ,fo '

f"""\ / , f"""\ En la figura siguiente, si AB ,. 180" Y COA ", 7]0 , cncoonaJ" Be.

o

e

8

R. ,pun la ; .. . .. .. . ........ .. ... .... ... ..

C.lifkacin

Relaciones mtricas en la circunferencia

52 Sc~ 2 1 L T eorema 54. 211. T~rnn. SS. 213. Teorema 56.

Punto.. impor tante,.

(Pp. 1.57-161)

Q) Medida ocl ngulo interior y del ngulo exterior a una circunferencia. b) Memorizar las (nnula5 qul' nos dan dichas medida. e) Ejemplo!! di~nos sobre medidas de ngulos intcrio~ y c >I,erioJU. d) Fnnula q~ nos da la relacin entre l!os cuerdas que se: cortan en una drcun-

fermcia .

. jerri.::io- IId id onaln

" n En la fi,,.ul'll, , O es el centro dI' la circunferencia, ODE = 22 y CD .. 93, cOCOl1 trar :

" La medida del oiogulo CUD. Rupun ta

n '2 . La medida del arco BE.

Rl'Jpu~J 'tI : n

'\ La medida del arco Be.

" .J . La medida del ngulo /ME. R",,,.uJta

e

5 IfUCribi r geomtricamente un ngulo de 45 en una circunferencia.

R. IPU' Utl .

Calificaciu __

E,B2

RELALIO!'\ES METRICAS EN LA C IRCt" NfERE~CIA

St.:riorK. 214. T.,..,..,."a 57. 2U. T.,..,.em_ 58.

(Pgs. 161-163 )

216. D"ioi6n lIu.o 217. Clkulo _,...11\;':0 del KAID"o to ureo..

funt .. imponame5

n) Conceptos quo: d~'rl memorilane: F6nnula de la relacin entre secante<

.. , 53

Fnnula de la relaci6n entre La langentc y la Iel"ante t razadaJ desde un punto exterior a una circunferencia.

b ) Comprender el COfIttplu de segmentO ureo. l J Aplicando la propiedad de las proporciones calcular anal ticamente el segmentO

~IUreo y C!ilablcccr la fnnu la respectiva.

EjrKicio. adiciona,"

La circunferencia de la figura tiene por radio 6 cm ; !iendo O su ceruro, AB = 2 cm y AE "" .. .::m. calcular AC.

R.spUI'J !O

2 S, L" la fig''' llI anlet;Or AD

R ripul'J/a

,

Itl cm, AD ~ 3 cm yAC .. 5 cm, c.a lcular AE .

3 Si m la figura, AB = .. CII1 . Cfj = 3.5 cm y QB = 5 CIII , calcular QD.

B

~~/ D

e R I'f{lUu l a ~ . .

( ;OOMETJlI ..... PLAN ..... Y DEL ESPAC IO

4. En la figura siguaerlle, si QT "" 15 cm r QA D 7 cm, encontrar el valor de AB .

R'~",'Jta: ." . .. ....... . . . . .. . . . .. .. . .... .

5. Si el qmml 0 ureo de un tcgmI':nto "" igual a 7 cm cunto mide dicho .eg-metlto~

R, Jp .. ,stfl: ....................... . . . ................... . ..... .

C.IiIQcin~ ____ _

RELACIOr-:ES METRICAS EN LA CIRCUNFEREt-;CIA

1Pg>. 163-166)

Se: ti a e. 218 Ejempln&. 2 19. Divisin lu~a de un oqmenlo. SoI"cin grirM:a. 220. JUllir",,,,,in del "",Iodo gfico.

Puntos imponanlU

o) Rcaliur \os ejcmpkls do: la s.eccin 2HI para calcular los segmento. iureoa. b) Forma de resolver el problema de la divisin iurea ~'TIficamente.

54

e) Comparar !IOluciones griflcas y analtiC3.5 y ntablettr la justmcaci6n del mto-do gr..flCo.

1. Encontrar la fOrmula en la que yo; obtenga d M'gml':nlo m funcin del segmento uuo :

Relaciones mtricas en los polgonos 55 regulares

(Pigs. 167.170) ......... 221. PolgnOl rq:ul ... es. 222. PoIiO "",.ilO, 223. Circunf"""nda drcuruc.ita. 224. PoI1SOOO circul'lOCrilo. 22). Cirrunfc...,n.-'" nacrita. 226. Radio de un poIgo ..... rpgu la r. 227 "na:u1o erntr .. \. 228. Tcor=>ll 59. 229. Combrio. 230 Teonma 60.

P"ntos import.nf~

,, ) ConceptO!! qut" deben mcmoriune : _ Ddinid6n d .... poligr.'lo rrgular. - Radio de un polgono regular. - Angula centraL

b ) Comprender \(:J$ conceptos de: - Polgono inscrito y circunscri to. - Circunferencia ;nKnla y circunscrita.

r) Fonna de lrala/" grficamente un polgono inscMlo o circunscrilo a una circunfe-rencia..

d) Dem05traciOn de lo! ICOren1ll5 59 y 60.

Defin ir 1011 tnninos que a continuacin St' indican :

Polgonos regulares.

Rrspul'slfI. ' . . .. ..

2 Poligono inscrito y polgono circunscrito

Rl'$puuttl. : ..... . ........ .

RELACIO"lES METRICAS EN LOS POLlCONOS

1 (;rcunr~rencia in!OCrla ) cin::unfcrencia circunscrita.

R. sp ,uJtG .-

4 RadIo dc un poligono ~ular.

Rnput'JIG

5 AnguJo c~ntra.l.

R,

'88 GEOMETRIA PLANA \' DEL ESPACIO

56 (Pgs.. 170-172) s.n,.,ioM.

231. TI':Of'ftf\a 61. 232. Apol.,.,..a. 233. Cilculo de la apotena ..... fuoci6n d,.J bdo Y del radio.

Puntos imporlanlC:S

a) MClnori~ar el conecplo de apotema. b ) Analizar el teorema 61 y ~neraJi:arJo : Todo polgono regular puede ser ins-

cri to o circurucnlo a una circunferencia. r ) Analizar la COTl!ItroCdfl :rfica n .. :saria pan. calcular la rnnula del apotema

en (uncin del lado y del radio. ti) Hacer notar filie el 1t.'On:ma de Pitgoras el la niclI ayuda necesaria para kogar

a dicha frmula.

1. Qur le cnlinxk por apotema?

RCJ/J',usta:

2 Demostrar qu(' " todo polgono regular puede ser circunS(:rito m una circunf~ rencia".

:1. Cwimo miti

REI. ... C IONES METR ICAS EN LOS POLIOONOS

( Pags.. 172_176) 57 -234 Cikulo dd lado del polgono ...",,1,... "",rilo de dobI~ 1l .... m

GEOMETRIA PLANA V DEL ESPAC IO

58 (Pg'S. 17&.179) """dona

231. Cilc ... 1o

RELACIONES METRICAS EN LOS f'Ol..I(;ONOS [-91

(Pr- 179-183) 59 Suciooa

241. Cikulo d~1 lado d~l d~dgono ""sula. ;nscr;w ..., una cin:""I~""rl

60 Polgonos semejantes. Medida de la circunferencia.

(Pigs. 183-189) Sttci0n6

2iS. CI.kulo

YOI.IGUNOS SEMEJ .... NTES

: Cuindo oo.' dio;-." qu" "na C

GEOMETRIA PLANA" DEL ESPACIO

61 _ .... 249. Teor=\a 64. 2~ T"""""" 65. 2~ 1 Corolario. 2~2 TO'Of"ma 66.

Punto. importantes

(Pgl. 189-192)

tJ ) Teorema 64 ele scmcjama de poligol1O!'i n:gulares. b) Razbn de los lados., de los radios y de las apotemas de dos poligonos regulares

del mismo nlmero de: lados. (J MemoriTar la fnnula t"neomrada en el IL'Orellla 65. d ) ~mo5tradn de que la razn entre el permetro de un poligono regular)' el

radio o dimetro de la circunrercnda circunscrita es C()rlllante. Ejemplifica..-. r) Aprovechar la propiedad de las poligonales (cnvoh-cnle )' envuelta l, para de-

rna;lrar el teorema 66.

f.jc:n:iciO'< adirionab

Contestar ron FtJlJo o '"dadl'ttJ los sigmcnlt.'l; I"ntlnciados -

1>00; polronos irrq;;ulares d.,1 millno nrnt-ro

POLlGONOS SEMEJANTES

(Pgs. 193-196)

2)3 To:oma 67. 2M. Lonllilud de la "irrunfrrf:T"lCia. 2!1!1. Rdad6n enln: la apolrma r el radio. 2.'>6. Trorrma 68. 2!17. Corolario. 2:;8. El n""''''' 0;:. 2:;9. Corolario.

Puntos importantes

ll) Expl icar 10 que se entiende por lmite.

62

bJ Dt"1oOiul-aci6n de que el limite kl polgono inscrito, cuando el numero de la-dos st' hace infin'to, es la circunferencia en la cual est inscrito dicho polgono.

r) Allalizar la relacin de la circunferencia al dimctl'O para cualquier circunfe-rencia.

d) El numero r. Oivcnas fOl1nas de obtenerlo. Irracionalidad de dicho numero. f') MClTlom.ar la fmu]a e :: 2 ... , .

F.jtrcic~ adicionales

Conteste con Si o N() 10'\ sigukntes ejercicios:

loa relacin de ]a c irrunfcrencia al rad io es constante para todas las circunfe-rencias.

2 La longitud de una circunferencia depende del dimetro de dicha circunfe-rencia.

Rrop .. nlll:

:-1. La razn de las JongitudQ de dOlll circunfcn:nciIU cualQljuiera, es constante.

Rl"Jp .. r"a '

4 . Conociendo el valor de la longitud de una circunferencia, JlOdCITlO5 tnlzarla.

R, x""Jta .

i . El nmero ". C!i racional.

C:alific:acin~ ________ _

E-96 CEOMtTRIA PL .... NA Y DEL ESPACIO

63 (Pp. 196-202) ... -260. Clk,,1o de la lon811OO f1I, una . c .. nle..,ndll .

26 1. LonJitud de un aroo de ci..,unfenncia de n- , 262. c.kulo de ",,10m aproximados de '1:'. 263. M~todo lI;ri.li.o pan rec tifoca . apro"imadarnrnte UNI circunfuencia. 264. J ullir .... ci6n de la conll ruccin ~nterior.

"'unto! importanto

o) Aplicaciones de la rnnula de la circunferencia en funcin del radio. b) t-k" ooriudn de la frmula "Iue flOI da la lonK;tud de un arco do: '1"

f'OLlGONOS S[Mf:JA:o."Tt:S [ -9 7

A

o

Rt'J /"U!JIQ : .. ' . .. . ........ . ....... .. . .. .. .. .

Calif.cacin. _____ . __

64 Areas (Pgs.. 203-2(5)

S .. io ..... 265. Superficie. 266. Arn. 267. Medida ck una IUperfic:~. 268. Suma y dift ... ncu. ,., rtu. 269. Fl"""" '"

AREAS

5_ Urno:le efecta la medida Oc una superficie?

Rl'sput:JltI "

CalirtGIt:in. _______ _

~,oo t :FOMETRI\ ,,1..-\:-" Y DEI. F,SI'''-t lt)

65 _ ..... ~7 1. T..,rtma 69. ~72. T...,mna 10. 273. T.., ......... 11.

I'unll" imporlanlt '

(Pgs. 205-207 )

/1) E.xplicar 10 que: signirica unidad comn de mC'dida. b) Anali:r.ar el teot"ema 69. r } A panir &-1 teorema 69, demostra r los teoremas 70 )' 71. d) Ejt",-..:id05 que rlld liten la comprensin de est05 teorcmllS.

J:jcrdriu", adklOnalc-.

L 001 lt'Ctn~lIlos son iS"alcs. li tienen igualcs las bases y las alturas respocti"a-mt'nlt' ,

2. Si dos re"E

.... RE .... S &.101

.;, Si en la figura. U es .. 1 punlo medio de MN Y BD, Y ABCD es un paraklogramo. demostrar qll(' el are.a del paralelogr:uM ABNM = rea del paralt:logramo MNCD.

RtsplltJta: ,

D~-------------, C

f------4~-----i N O

A '-------------:>J S

CaJif"lcaciOn _______ _

.. ", CWMETRIA PLANA Y DF.L ESPACIO 66 ( Pig50 207-2(9)

Sc~d .. nel 174. T.,."nna 12. 115. Teomna 13. 176. CoroLario.

Punto!; importantes

D) Memori7.1r la fnnu l ... que nos da el rea del ~t.ngulo. b) Deducir el rea del cuadrado a partir de la del rectngtlJo. e) Mcmori7.ar la rmlUla del rea del cuadrado.

Ejercicios adicionales

1. El rea de un cuadrado es igual a 60 cm', Encontrar el radio del drt:ulo en que puede 0 la1 inscrito.

Rnptt~do. . ........ .. ... .

2. La diagonal de un rcctngulo mide lado. Hallar el rea dd Tel:lngulo.

RespurJltI .- .... . ................ .

10 cm y fOTrlla un ngulo de 35 con un

3. El rea de un l'ectir.ngulo es de 43 cm' y un lado midl" 6 cm ; cm:ontrar el valor de la diagonal del rectngulo.

R t spuuta:

4. El lado de un cuadrado mide x - 2. f.nconu-ar Su rea.

5. Un terreno est valuado en $300.00 el metro cuadrado. Si mide 18 lJl de lado y el terreno tiene fonna cuadrangular cual es el preo de dicho terreno ?

R C.J/IIUJla " " .....

Calificacin' ________ _

AREAS

( P~ 2Q9.212 ) --277. Tn>nmII 74. 278. TtortlTUl 75. 279. Corolario l . 280. Corolario 2. 281. Corolar;". 3.

Puntos importallt~

a ) Area del paralelogramo. b) Razonar con respec to al rea del paralelogramo y la del Ittto'ingulo. r) Melnoriotar el lrea de l tringulo. d) IJcmostrar el corolario I )' 2. 1") Recordar la definicin dc equivalencia de figuras gtQmtricas.

EjerdciOl adiclo nalcs

E.-1 03

67

Si las o'i~a5 de un rectngulo y de un paraklogramo son iguales, cul ~r la altura de l paralelogramo si iW base mide 10 cm )' la ba\e )' la altura del rec tn gula miden 14- y 12 cm, respectivamente?

R elpUf!J l tl

2. Encontrar el rea de la figura !ig\liente:

5 2

'

E- ",. C roMETll lA PL.\ XA V DEL ESPAC IO

.) Expresar el area de un paralclo.:ramo en fu ncin del n'a

.-\RL-\S E- IO)

( Pgs. 212214 ) 68 Scion.-. 282. Teornn. 16. 283. T..."...,... 11.

)'untO!> importanle.~

a) Ocducci6n del teono,ma 76 y 77. b l Aptit'a6n d .. \os teoremas antcrio~ en ejercicios d \"CI"5OS.

F.jercicioo. adicionales L'!. _ __ / ....

Encontrar el rea del tringulo ABC si liD = 6 ni. /tE = 7 m. BD = 1 m. DAE

'" - 60" Y rea del trinK"to ADE ... 18.19 m'. B

A E e

" 2 En la figura IIoigu imtc, si AC = R IU. Ae' = 9 In. Y rea de l ABe = 30 m", en " contrar el rea del AB'e'.

L----~,"

E-106 CEOMETRIA PLANA Y DF.L ESVACIO

- - " 4. En la figura antcrio" si A8' = 3 AH Y rea del ABe = 10 lO', ~ncontrar d '" rea del A8'C.

RCS/J1l.esto.

"..... ~ - -!j . En la figura anterior, si fUe' = 2 ABe)' fe = 3 cm, encontrar Ae'.

R espuesta

Calificacin~ ______ _

.'\RE .... S E-l01

69 Scc.cionct.

2M. Trorrma 78. 285. T~ 79. 286. T"",rrma 80.

PtJntos importantes

a) Memorizar la f6nnula del rea del tringulo en funci6n de ~us lados. b) Ikducir de esta f6nnula, el ...... a dd t.i:ingulo equiltero. r) Analizar la f6nnula del ...... a del tringulo en funcin de ~us lada!; y dd radio

de la drcunfcrencia inscrita.

EjerciciOli adidonaks

Los lados de un tringulo !!OfI 6, 7 Y \O m, I""C$ptttiva.mente. Hallar MI rea.

R"Jp,us!/J

2 En un tringulo, un lado mide 3 m, otro lado 5 In Y su w:mipermc tTO es igual a 3.75 m. Encontrar el rea de dicho tringulo.

Rnp"tl!/J

3 El rea de un tringulo es igual a 2A cm" y dos lados miden 9.5 y 7.A cm res-pecti\'amente. Hallar d valor de su sc:mipenmetro.

Rt . p"tsfa .

4 El n:a de un tringulo equiltero el igual a 3 cm'. Encontrar el \"alor del lado.

Rrs p"".'!/J

5. El scmiperimctro y d rea de un tringulo miden :1 cm y V3 cm' , respe

E- 111fI

70 Gf.oMf.TRJ\ PlAS'" y DEL f,SP ... C IO

~r;on."

1117 Trornna 81. 1811. T ~ma 82, :!R9. l :orol,.rio. 290. Tror "" 83.

( Pgs. 217-220)

l'unlO" inlp"rlanlc-.

nJ Om(epIO~ qtlt" cldX'n lT"1t"UlOrizarse. Area d .... lri';ngulo I'n fu ndn de 1>.11 lados y dd radio de la rirnmferl'O("ia drclln~1la.

Area del rombo. Area del ruadrado "n flllw;n de IU di~nnal. Area del lrapc

E-IIO CEOMETR Ii\ Pl-Ar'A Y DEL f.S PACIO

(Pap. 223226) 72 """"'" 29-4 . T.orans 86.

29~. T.on:ma 87. 296. C.omIario. 297. Scclon:s (i rcubra "'nltj~nlt . 298. T_ema 88.

PunlOS importa ntes

a) DecJucd(n del rea de una curona circular. b) MellloriVlr la frmula del rea del St.'Clo, c ircu lar. t) Comparar el rea del St:Clnr circular con el rea de un tringulo que tenga por

base la longitud dd arro !.le! 5' . ."Cor y por altura d radi

........ 299. Twl"l'fNl 89. 300 Corolario.

(Pgs. 22&232)

11ll Area del segmen 'o rlrculH .

PuntOli imP'""lanlCS

n) lkduclr la fnnula para ralcular el arca dI'! trapecio circular.

E1I1

73

bJ Equivak.'Jlcia ent re el trapecio circll lar }' el t rapecio "~tlineo. eo.,dicioncs. e) Ramnar la forma d., hallar el arca de un sq;mento rircular. d) Haur ull resumen de frmulas para la ap)icaci/lll

[..11 2 GEOMET1lIA PLAlSA \' DEL ESPACIO

5. Hallar el rea IOmbrcada de la rlf!:lIl'a 5iguiente donde " Y r. $Ofl 10$ radios de la$ cil'('unferenc::ia$ cornspondit.'IlIL'S.

Calirtcaci6n ______ _

Rectas y planos

St:cco.:-s 30'2. D~t(rminadn &'1 pl~no. 303. Posiciona ~ duo plano.. 304. POIiciooes de una 'KU y un plano. 30~. POIic:ion"" de duo rc

E-IH GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... C IO

5. o...mostrar d teorema siguiente: Una recta pcrpcndiclllar a otras dos que se intenecan, es perpendicular al plano fonnado por diclllu; recta.

RnpuestD.

CalirlCacin _______ _

RECTAS Y PLA."lOS

s...:c ...... 310 . Tcomna 93. '11 . T~nn" 9f 312. Tco~na 95 'U. Tcornna 96.

(P5gL 236-239)

". R""la I"'l"JKndicular a un plaoo

Puntos importantes

D) Analizar 1m teoremas 93 )' 94. b) E~tudiar delcnidamenu: el IL'O,ema 95.

75

l) Ot."rTKlSlrar que 1011 5tg:llenlOll correspondientes '1m: K forman al cortar dos rtas COrT1m.

1 Dos rectM l>Bralcl3.!i a una terttra li':"I1m un punlo c"mim.

Rl"Jput'JlrI .

4 Si M.o (ilrla.l dos rKla~ ror un par de p131105 paralelos, los wgrTlL'1l1l ru~pondierllcs I00I\ proporcionalCII.

Rn put$l tJ ;

'j 1/na rffta el p"rpt."ndirular a un plano si CI perpendicular a "na de hu n:ctas del plano que pa!'ll por la intcl'St:('ri611.

Ra pultJtn

Caliric.acin _ _ _ _

E- 11 6 GEOMETRI .... p!..AN .... y DEL ESPA.CIO

76 ( Pigs. 2:J9.242) Su .....

3 1 ~. Disuoncu. de un punto 1' . un pI .. no ... 316. Paralel;""'" y perpo:ndiculan

RF...CT .... S y I>l.ANOS

3 Explic.u lo

[...118 GEOMETRIA PL'\NA Y DEL ESPAC IO

77 (Pigs. 242-245) y."dont<

323. Planos "".-pendiculares. 324. Plano biJ.tctor d~ un ingula dirdro. 32!i. Proyein de un pU",o A aobr~ un plano .. 326. D,na".,ia ~n!r~ doJ f'tC1", q~ .., cru~n . 321 Angulo polit:dro convuo. 328. Seccin plana d~ un ingulo poIirdro. 329. AnllUIoo died,... en un "'lulo poIirdro.

l'unlOS impolfUntcs

a) Odinici6n de planos perpendiculares apron:chando la definicin de ngulo diedm.

b) Comprobar hu propiedades de los planos. e) Perpendicularidad de: los planos bisectores de d~ diedros adyacentes. d ) Proye

R ECT AS 'r' PLAN Os E119

4 La distancLa dd punto P a la arista del wgulo diedro recto ABMN es igual a 30 cm ; encontrar la distancia del punto P considerado a las caras del diedro, li di

&-120 CEOMETRIA PLANA y DEL ESPACIO

78 (Pgs. 245-249) ........ 330. An..,lo trir:dro. ~31. CluificaciOn de 101 l~roI. 332. POOcdro COf)Ye1W. 333. Poliedros regula_.

Puntos impot1ant"

IJ ) Memorizar lo que " un ngulo triedro. b) Definir: triedro rectngulo, birrectngulo y trirrectngulo. e) Dibujar un poliedro convexo de acuerdo con su definicin. d ) Memorizar el nombre de los cinco policdrm n.:gulare5 de 4, 6, 8, 12 Y 20 car.u

respectivamente. ~) Comprobar que (micamenle hay cinC(l poIiedTO$ regulares convel(()S.

Ejcn:iciOII ad.donales

Definir lo que es un angul0 triedro.

RCIPIit!du : .. ' . .. .... .

2. Cules son 105 triedros issceles?

Rt!Jp llt!stlJ : . ............. . . .. . ...... .. . . . . . . .

3. Cul es la propiedad rnfu importante" qUe" tiene un poliedro con~?

4 CunlOli poliedros regulares oom'exO$ e"xisten y por qu rawn?

RCJput!Jl a , . . , ., . . , . . "",., ... , .. ,

5. Dado el numero de caras de los poliedros regulara, escribi r $U nombre COrTes-pondit:nte" a continuacin de cada uno de ellos:

4 caras -------

6,~ ------

8 caras -------

12 canu -------

20'~ ------Calilicacin- _ ______ _

Prismas y pirmides (Pipo 251J.2S3) ... -554. Priarna. Definicin y dMlCl'lIOt..

SS5. Panlo.leplpedo. ' '6. OrtOEdro 337. Teonnuo 97. 3S1. c..bo. " 9. Romboedro. S40. Pirimide.

Puntos importanla

a) Mcmoriu.r los conceptos de : - PNma.

Prisma recto. - Prisma oblicuo. - Paraldeppedo. - O rtocdro. - Cubo. - Romboedro. - Pi r.imide.

79

b ) &ludiar lo que 50n las caras latttaks, aristas later.r.1C5 )' allu ra de un prisma.. e) C lasificacin de los prismas. a) Verificar que en el onoedro, el cuad rado de la diagonal es igual a la suma dI!'

10$ cuadrados de las tres aristas que concurren e n un lI .u.no ,';rtice. Notar que la aplicacin del teorema de Pitgoras es k> mfill importante para realilar esta den'lOStraci6n.

r) Oasificaci6n de las pirmides.

1. Defin ir lo q ue es un prisma.

R'Jpll~~ta '

2 Cunto mide la diagonal de: un ortoedro si sUl ladOl miden 4, 6 Y 8 cm respet:-tivameruc: ?

" )educir la f6nnuLa. de la diagonal de un cubo en funcin de un lado l .

Rnpuuta: ...

E-1 21

GOOMETR1A PLANA Y DEL ESPAC IO

4 Q~ n Ul'!a pirmide?

R l'IpUl'Il fl .

~ El'! qu sr basa la clasificaci6n de 10!5 pirmides?

Rt'lp"~Il(l '

Caliricaci6"~ _____ _

PRISMAS V PIRAMIDES

(Pgs. 254-257 )

s."....., 341. Pirlmidc ", ... Ia. 342. Teorema 98. 343. Arru

[,,124 GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

81 (Pgs. 257-261) Mee",,,,,.

347. Pi.imide ~ular . 348. Tronco de pirimide. Area !aleral y IDlal.

Punl05 impoctant~

a) Examinar d rea lateral de una pirmide regular y memorizar su frmula res. pecti\.a.

b) Deducir la f6rmula del rea total de una pirmide n:gular cualquiera, e) Esludiar lo que es un l ronco de pirmide y pirmide ddkiente. d) ESludiar cuidadosamente la frmula del area lateral y la del rea total de un

tronco de pir:i.mide.

Eje~ adicionala

Encontrar el rea lateral de una pirmide regular si el permetro de la base mide 108 m y la alt ura de una de las caras laterales es igual a I1 m.

Rt'sIJlUSla

2 Enoontrar la f6rmula del rea tota l de una pirmide cuadrangular en fum:i6n de las diagonales do la base y de la altura de la pirmide.

Res/nusla ;

1 El permelro de la base mayor de un tronco oe pirmide 1:$ igual a 85 cm ) el 5emiperimc:tro de la base: mmor es igual a las dos quinlas panes del perimelro d- la base: mayor. Encontrar la apotema dd tronco si su rea lateral mide BOO cm',

.. La base de una pirmide cua drangular mide 8 cm de lado. S~ el afea total es igual al doble de l rea lateral de la pirmide, enoontrar el valor de dichas reas.

R.'sputsta : ., . . ... .. .. ... .. . .... .. .... . ............ . . .

5 Hallar el rea total de un tronco de pirmide hexagonal regular si las base5 miden 8 y ') cm de lado respectIvamente, y la altura del tronco de pir:i.mirle es de 5 CfIl .

RnplO tSla: . .. . . .......... .. . . . .. ..... .... .

Calificaci6n __

Volmenes de los poliedros

......... 349. o.:rinic>one.. ,!lO. Teorema 99.

PuntOll imporlMltt:li

IPigs. 262-265)

a) Memoroa.r la ckfinici6r1 de volumen de un poliedro.

82

b} Estudiar la: diferentn unidades que existen para expresar el \'olurnen de un cuerpo.

e) F6nnula del volumen de un ortoedro.

E jen:kiOll ad icionales

Explicar lo que es volumen de un poliedro.

2 CuantO$ cm" hay en 18 m"?

Rtspwnta

1 ~, el volumm de un ortoedro C1 igual a 25 m" .. 1 ,r .. a de la ba5e 101,,', "ocontrar la altura de dicho ortoedro.

4 Encontrar la fnnula del volumen de un cubo en funcin de su diagonal.

5 Si el volumen de un cubo el numricamente igual al duplo del cuadrado de un lado de dicho cubo, encontra r el lado y el \"Dlumen del cubo.

R es IlII.I'Jta '

Calirteaci6n ______ _

E- 126

83

CEOMETR IA PLANA Y DEL ESP .... C IO

( Pgs. 265-268)

SKcio ...... 351 T e(If'ftna 100 352 T~ /0 / . 353. TtOrema /02. 35-4. Pri"" .. igual ... _ 355 Prisma u\H""'do.

Puntos importantes

a) EslUdiar 106 teoremas l OO, /01 )' 102. b) Igualdad de prismas, Propiedades. r) Manoritar la defin ici6n de prisma truncado.

Ejercicios adicionales

Contestar con C' t/o o Fnlw los &Iguicl'lles et>unciado!;: La rlUn de los \"O lmellC$ de dos pirmides de igual bale es igual a la raxn ce sus alturas respectivas.

RHpunla

2. I.a razn de los \'olr=ne de dos pirmides de ~al altura es proporcional al producto de sus bases respect i\as.

R"pU'Jla

3. La razn de los "olmcnes de dos ortoedros es igual a la r:un de Jos productos de dos de sus dimensiol'leS.

R"pul'J/a

4 Dos pri!.mas rectos que tienen iguales sus bases )' sus alturas, tienen diferentes areas laterales.

5 Prisma truncado es la porcin de prisma comprendida entre la bale )' un plano paralelo a dicha base que corte a IOOas las arislas laterales.

Rl'Jpuclla

Cal ificacin~ _______ _

\'OH MENES DE LOS POLIEDROS

(Pg5. 269-272)

Medon" 356 PriIrruo. H,.;-":nl ..... 357 T,..,..,.... 103_ 3S8. T ronm. UH. 359. TcorerTUI lOS .

1' "nl05 imporlantr'l

[ -121

84

0.) Estudiar la equivalencia. de prismas. VerifICar la igualdad de \oIUmenes en pris-mas auivalentes..

b ) IkmosIrar la. etuivalencia que existe enlre el prisma oblkuo yel prisma recto, y las condiciones nearias para que se cumpla esta ~uiva.lencia.

r J Menxrt7.ar el volumen de un paralelepiprdo recto. ti) Deducir el \'Olumcn de un par.delepipedo cualquiera.

rJUcicios adicionak-l

Si el volumen de un paraleleppedo re(:lo r:s igual al doble de la base y al lriple de la altura, encontrar dicho volumen.

Rn put!Jl fI:

2 Expresar el volumen de un paraleleppedo recto cuya base es un cuadrado, en funcin de la diagonal de la b

[.L28 C EQMETRIA PLANA Y DEI. ESPACIO

85 s",( ciOil."

360. T....-ana. 106. 361 . To:on:ma 107. 362 Tf

VO LUMENES DE LOS POLlEDIlOS E- I29

5 Encontrar la f6rmula del volumen del tetraedro regular en funcin de una de -""""-R t:sput:JIQ ; ............................

~lir~c~n ______________ __

E ] :lO GEOMETRIA PLANA V DEL ESPACIO

86 (Pgs. 275-277 ) _ .... 363. Teorema /09. 364 T,.,nma /10.

I'untfl(!; importantC";

(1 ) Demf>lltl"ilT 4"" .. 1 ~oh 'm~n dr! tetraedro es igual a !a tercera pane del ~'O!unlCn k un pri~ma u ianl{ular k la misma base e igual altura.

h ) A pan" d,! trorrma anterior, establecer la f6nnula del volumen k una pir-mide CUa" luiera.

r) Memorizar dicha Ct"mula ",p~da en palabras.

Ejercicio.. Adicionales

De,nostrar ; 'Toda pir.'midr f'"S la tel"Ce1"il pan e de un prisma que tenga iguaJ base e igual al tura"

R. 'P,..,!//I ... . . . .. ... .. ..... .. . ...... . .... .

2 Encontrar el volumen de una pir:i.lllid

VOLUMENLS DE LOS POLIEDROS

(p .... 278-282)

......... 365. T COfc.... 111. 366. T~ma 112. 367. Volumen del lronco dt pirLnidc de buco !)Ualela.

Puntos important~

G) Memoriur el teOrema 111 }' demoslrarJo analizndolo cuidadosamente. &) Establecer .la f6nnula del teorema anterior. ~) Estudiar detenidamente el teorema 112. dI Deducir la frmula del volumen del tronco de pir.imide de bases paralelas.

Ejercicios adicioruroles

Encnntrar el volumen de los trorlCO$ de pir:i.mides siguientes :

2m

4 m

Ru pUI'J 'lI . . .... . .. .

,

5cm

87

C[OWtTIlL\ PLANA '\ D[1. UPACIO

:1 f. _ 5 cm f. _ 8 an , _ lIan

Rtl/l"~Jla . .. . ............ .

,

Rc.plUJUJ ' ...

Cuerpos redondos

(Pp. 283-288)

~cio>MJ 368. Suprrficie d~ """""ci... 369. Cilindro. ""..,aI lalenl , 1OC.d. Vol .......... 310 . Suprrfio:ie o:6o.io:. do: ~oIuci6n. 371. Cono ci"""lar rn:lO. Ana. b.l~ ., IOlal . Volumen.

Punto-. ;mporta.nt~

a) Entender lo que es una superficie de revolucin.

88

b) Estudiar 1u ronn:u de tn~ndnr lu l uperficiet de un cilindro, de un cono y d~ una esfera,

d Establecer lu fnnulas del n:a lateral, total y del ",olumen de un cilindro. 11) Memorizar las dcfiniciones siguM:nta ;

- Cilindro, - Volumen del cilindro. - Superf>Cic: cnica de l'e\'OIuci6n. - Generalri..: y directriz de un (.'OnO. - Cono circular rrocto.

e) Deducir las fbrmulali dt-I rea lateral, tOla! '1 del volumen del oono circular I'ttto.

F.;andm adicionaln

1. Cmo ~ engmdl'1l una .uperficie de revolucin?

Rt!Jp." ,to ...

2 Encontnr el n'il laten!. total y el volumen de un cilindro de 6 m de altura y 3 n1 de radio.

R"pucJla

1 Qu superf'"acja engmdran a un cilindro, a un cono y a una aren ?

4 Si el ';' ,ca. lateral y el i rta total de un cono circular midm 43 y 65 cm' respec-tiV2mtntc, h,lIar el valor de la generatriz y d~l radio de dicho cono.

R CJpunftl ; . .. .. . . . . . . ..... . . . ... . ........ .

1-133

Cl' ERPOS REDO:>;DQS

(Pigs. 288-294 ) Sr ...........

372. Tronco do: ~ono. Atu. lal~fa! r 'Ola!. 313. S .. ~tfirie nf'rica l' esfera. 374. p.,.i.

PuntO'! importanll:'l

a J Memorizar las deriniciones siguientes: T ronc:o de (ono. Superficie eslrka. Esfera. Casquete esfl'ric:o. St.'gTIlCnto esfrico Huso 15fric:o. Cua esffrica. Triangulo esfiric:o. Angulo esfnco.

89

bJ Deducir IlIS f6rmulas com:spondiemes al rea lau'ral, lotal y al volumen del tronco df' cono.

el ludiar las posiciones relali\'as de una f\':Cta y una esfera. d) Obtencin del cono y del cilindro circunscritos Cf1 una esfera determinada.

[jo:rc,cio

"'36 GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

5 Q.x. es un ingulo esfrico? y qu el un triangulo esf"rico~

Rnp"eJltI: ..

Calificacin~ _____ _

CUERPOS REDONDOS

(Pigs. 294-3(1) 90 _ .... 371. Area. de una esfna y de fiprN eJUicao. 318. Relaei6n enl,., el "ca de una esfrn. y la dd cilindro cir('una

&-," GOOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO .s Encontrar el volumen oomprendido entre la esfcra y el tetraedro regular iruc:rito,

si el radio lk la esfera es igual a 1 m.

I ~\. / \ \

I \ , I \ \

I \ \ I .... , \.

I ........" \ I ........ , \

I::::::. _______ ~

R eJpul'Jt l2 ; .................. . .... .. . . . . .. .. . . . ..

Califiadn _______ _