GEODETICKÉ SÍTĚfast.darmy.net/opory - II...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

GEODETICKÉ SÍTĚ MODUL 01

PŘÍPRAVA DAT PRO VYROVNÁNÍ

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

© Ladislav Bárta a František Soukup, Brno 2005

revize: únor 2006

Obsah

OBSAH

1 Úvod ...............................................................................................................5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................6 1.5 Metodický návod pro práci s textem.....................................................6

2 Úvod do geodetických sítí ............................................................................7 2.1 Geodetické základy ...............................................................................7 2.2 Způsoby řešení geodetických sítí ..........................................................9 2.3 Schématický zákres geodetické sítě ....................................................11 2.4 Shrnutí .................................................................................................15

3 Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ.............................................17 3.1 Linearizace funkčních vztahů .............................................................17 3.2 Vyrovnání zprostředkujících měření...................................................18 3.3 Zákony hromadění středních chyb......................................................23 3.4 Charakteristiky přesnosti souřadnic bodu ...........................................25 3.5 Intervaly a křivky spolehlivosti...........................................................30 3.6 Testování střední jednotkové chyby ...................................................32 3.7 Testování odlehlých hodnot ................................................................37 3.8 Shrnutí .................................................................................................39

4 Vyrovnání osnov směrů .............................................................................51 4.1 Přibližné metody vyrovnání osnov směrů...........................................51 4.2 Vyrovnání úplných osnov směrů ........................................................52 4.3 Vyrovnání neúplných osnov směrů.....................................................55 4.4 Shrnutí .................................................................................................56

5 Orientace osnov směrů...............................................................................63 5.1 Předběžná orientace osnov směrů .......................................................63 5.2 Přibližná orientace osnov směrů .........................................................66 5.3 Posouzení přesnosti souřadnic výchozích bodů..................................67 5.4 Shrnutí .................................................................................................74

6 Centrace osnov směrů ................................................................................85 7 Převod směrů na výpočetní plochu ...........................................................89 8 Zpracování měřených délkových veličin ..................................................91

8.1 Převod délek na výpočetní plochu ......................................................91 8.2 Centrace délek.....................................................................................98 8.3 Místní měřítko sítě ..............................................................................99 8.4 Shrnutí ...............................................................................................103

9 Nivelační měření .......................................................................................111 10 Zpracování vektorů GPS .........................................................................113 11 Závěr ..........................................................................................................115

11.1 Shrnutí ...............................................................................................115

- 3 (116) -

Geodetické sítě . Modul 01

11.2 Studijní prameny .............................................................................. 115 11.2.1 Seznam použité literatury................................................... 115 11.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................. 115 11.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ........................ 116

11.3 Klíč ................................................................................................... 116 11.4 Poznámka ......................................................................................... 116

- 4 (116) -

Úvod

1 Úvod

1.1 Cíle

1.2

•

•

1.3

Úkolem této kapitoly je informovat čtenáře o předmětech, na které problemati-ka geodetických sítí přímo navazuje. Jde tedy o stručné vymezení teoretického základu předmětu.

Cílem předkládaného studijního materiálu je seznámení čtenáře se způsoby úprav veličin pro řešení geodetických sítí. Čtenář se teoreticky a prakticky seznámí s postupy aplikovanými při řešení sítí a různými interpretacemi výsledků výpočtu. Znalost matematického operátu používaného při řešení úloh vyrovnání totiž obecně nezaručuje nejvěrohodnější vystižení měřením zachycené skutečnosti. Náplní tohoto materiálu jsou tedy i zásady pro správné použití MNČ.

Požadované znalosti

Pro zvládnutí látky tohoto studijního materiálu jsou vyžadovány znalosti z řady odborných a teoretických předmětů.

Z oblasti matematiky je vyžadována znalost:

lineární algebry – zejména matice a maticové operace a řešení soustav line-árních rovnic

diferenciálního počtu – zejména parciální derivace funkcí a rozvoje funkcí v řady

Z oblasti matematické statistiky a pravděpodobnosti nás budou zajímat odhady charakteristik polohy a proměnlivosti náhodných veličin a náhodných vektorů. Zvláštní kapitolu pak tvoří testování parametrů náhodných veličin a tvaru jejich rozdělení.

Geodetické sítě jsou postaveny na předmětu teorie chyb a vyrovnávací počet. Znalosti z této oblasti jsou tedy pro úspěšné zvládnutí tohoto materiálu zcela zásadní. Tento předmět se tématicky zabývá problematikou měřických chyb, problematikou jejich šíření a druhy vyrovnání měřených veličin metodou nej-menších čtverců – MNČ.

Z oblasti nižší geodézie se očekává znalost základních souřadnicových úloh pro získání počátečního řešení geodetické sítě. Jde tedy o výpočty, které obec-ně předchází vyrovnání sítí užitím MNČ.

Doba potřebná ke studiu

Doba potřebná k nastudování látky probírané v rámci tohoto modulu odpovídá výuce 2 hodin cvičení a 2 hodin přednášek týdně po dobu 5 týdnů. Jedná se tedy orientačně o 20 hodin. Je však třeba mít na paměti, že čas potřebný ke studiu je značně individuální záležitost.

- 5 (116) -


1.4

1.5

Klíčová slova

Geodetická síť, geodetické základy, linearizace funkčního vztahu, zprostředku-jící vyrovnání užitím MNČ, charakteristiky polohy a proměnlivosti, statistický test, intervaly spolehlivosti, apriorní přesnost technologických procesů, vyrov-nání osnovy směrů, orientace osnovy směrů, centrace osnov směrů, orientační posun, fiktivní měřená veličina, matematické a fyzikální korekce měřených veličin.

Metodický návod pro práci s textem

Zde uvedené informace jsou základním materiálem pro pochopení problemati-ky. V rámci studia a zájmu o danou problematiku je vhodné si doplnit znalosti pročtením další literatury.

Příklady pro procvičení jsou veskrze jednoduché z pohledu použitého matema-tického a fyzikálního operátu. Některé jsou ovšem řešitelné pouze pokud je student ochoten se zamyslet a chvíli logicky uvažovat. Při problémech s nale-zením postupu řešení autoři doporučují konzultace (a to jak osobní, tak formou vhodných informačních technologií).

- 6 (116) -

Úvod do geodetických sítí

2

2.1


Tato kapitola čtenáře uvádí do problematiky řešení a budovaní geodetických sítí. Čtenář se seznámí s aktuálními trendy na poli budování moderních geode-tických základů v České Republice, se základním rozdělením geodetických sítí a symbolikou používanou pro schématický zákres observovaných veličin sítě.

Geodetické základy

Vznik dnes běžně používaných geodetických základů můžeme datovat na začá-tek minulého století. Jejich kvalita tedy souvisí s dostupnými geodetickými metodami použitými při jejich budování. Trigonometrické sítě vznikaly na zá-kladě terestrických měření. Budeme-li mluvit o naší České státní trigonomet-rické síti, můžeme ji charakterizovat jako síť měřenou triangulací s délkovým rozměrem nepřímo převzatým z vojenské triangulace za Rakouska Uherska, síť umístěnou na elipsoid na základě jednoho Laplaceova bodu, hustotou bodů po dvou kilometrech a s rovinnými souřadnicemi Křovákova obecného konform-ního kuželového zobrazení. Za zmínku stojí i později budovaná síť označovaná jako síť Astronomicko-geodetická s hustotou bodů po 30 kilometrech, při je-jichž budování se uplatnily nejnovější poznatky našeho oboru i nové metody měření. Tato síť je pak právem označovaná jako nejlepší terestrická síť vybu-dovaná na našem území, která prokázala i první nedostatky JTSK ve formě místních deformací této sítě. Astronomicko-geodetická síť byla bohužel jako projekt armády Československé republiky dílo tajné a její výsledky se nikdy prakticky neprojevily na zpřesnění v praxi používané trigonometrické sítě.

Nový přístup k budování geodetických základů se otevřel v 90. letech 20. stole-tí, kdy se běžnému užívání nabídl družicový systém GPS NAVSTAR. Praktické nasazování GPS aparatur v plné míře prokázalo deformace JTSK. Závaznost souřadnic bodů S-JTSK navíc nutí deformovat přesné výsledky GPS měření do této sítě metodami místních kalibrací a různými formami dotransformací. Ve světle těchto skutečností a s rostoucí dostupností metod družicové geodézie bylo přistoupeno k zásadní inovaci našich geodetických základů. Při budovaní těchto základů byly použity právě GPS aparatury. K použitým měřickým me-todám patří metoda statická a rychlá statická.

Modernizace našich geodetických základů souvisela z rozšiřováním Evropské-ho terestrického referenčního rámce – ETRF-89, který byl fixován body Mezi-národního terestrického referenčního rámce – ITRF-89 v době jeho vzniku. Tento systém dále můžeme charakterizovat jako systém prostorových geocent-rických souřadnic, systém velmi stabilní na Evropské pevninské desce a systém poměrně blízký systému WGS-84. První body systému ETRF-89 u nás vznikly na základě mezinárodní kampaně z roku 1991 (3 body totožné s Astronomicko geodetickou sítí - Pecný, Kleť a Přední Příčka s hustotou 150 km). Do roku 1992 je datováno další rozšíření referenčního rámce budováním tzv. sítě nulté-ho řádu – NULRAD (10 bodů o hustotě 90 km), která byla do roku 1995 dále rozšířena v rámci tzv. kampaně doplňování nultého řádu – DOPNUL (176 bodů s hustotou 21 km).

- 7 (116) -


Uvážíme-li počet určených bodů, vyjde nám průměrně jeden bod na jeden tri-angulační list což je pro připojení GPS měření do sítě ETRF-89 možná dosta-tečné, ale stejně zde zůstává nutnost deformovat družicové měření do S-JTSK. Cílem další modernizace se tak stalo další zahuštění dosavadně vybudované sítě a následného uplatnění výsledků měření pro novou definici S-JTSK již jako sítě vysoce homogenní s vysokou přesnosti vyplývající z technologií dru-žicové geodézie. Zhušťování probíhá v rámci kampaně výběrové údržby zá-kladního bodového pole – jednotná trigonometrická síť s termínem dokončení 2007 (3 500 bodů s hustotou 5 km) a v rámci projektu zhuštění podrobného polohového bodového pole – zhušťovací body s termínem dokončení 2005 (37 000 bodů o hustotě 2 km).

Současně s budováním ETRF probíhalo v Evropě budování Jednotné Evropské nivelační sítě – EULN charakterizované počátkem Jaderské moře – Kronštadt a zpracovávané v geopotenciálních rozdílech. Hlavním účelem byla snaha sjed-notit velice různorodé výškové systémy na území Evropy jak z hlediska počát-ků (Baltské moře, Jaderské moře, Černé moře, …) tak z hlediska způsobu defi-nic výšek (normální, ortometrické, …). Tato síť byla v devadesátých letech na základě propojovacích měření připojena i na Českou státní nivelační síť - ČSNS. Na základě těchto měření byla vytvořena kostra EULN (uzlové body nivelačních pořadů prvního řádu) u nás. O odklonu od ČSNS (systém vztaže-ný k Baltskému moři – Kronštadt, systém normálních výšek s přesností srovna-telnou s EULN) se však v blízké budoucnosti neuvažuje.

Moderní geodetické základy bude spojovat přízvisko integrované v okamžiku spojení geometrické složky (3D prostorové sítě budované metodami družicové geodézie) a složky fyzikální (nivelační a tíhové měření) pramenící v definici jednoznačného vztahu mezi těmito systémy pomocí modelu geoidu. V Evrop-ském pohledu je to snaha v rámci Evropské vertikální sítě – EUVN definovat evropský kvazigeoid. Na našem území pak nejkvalitnějším modelem geoidu bude gravimetrický kvazigeiod ČR 2000 s udávanou střední chybou převýšení 20 mm. Jeho přesnost byla ověřena znivelováním některých bodů výběrové údržby.

Výsledkem budování nových geodetických základů bude poměrně hustá, ho-mogenní a řádově 2 cm přesná síť bodů v prostorovém geocentrickém systému. Novou definicí S-JTSK získáme též velmi přesnou polohovou síť oproštěnou od hodnot místních deformací. Body, které nebyly přímo měřeny, budou do nových systémů přetransformovány s předpokládaným mírným snížením přes-nosti. Budou existovat jednoznačné transformační vztahy mezi těmito systémy a odpadnou tak problémy místních kalibrací. Problém však do jisté míry zůsta-ne ve vztahu mezi elipsoidickými a nadmořskými výškami a to především v případě vyššího požadavku na přesnost než bude poskytovat používaný model kvazigeoidu.

Zvláštní kapitolou z oblasti moderních geodetických základů jsou tzv. aktivní geodetické základy realizované permanentně měřícími stanicemi GPS. Na Evropské úrovní půjde o Evropskou permanentní síť EUREF, kterou na našem území reprezentují body PECNÝ a TUBO. Síť podporuje GPS NAVSTAR a GLONASS. Mezi produkty této sítě patří observovaná data – RINEX soubory, souřadnice bodů sítě, dráhy družic – SP3 soubory, parametry rotace Země – ERP soubory a modely ionosféry. Jednotlivé stanice se mohou také snadno stát

- 8 (116) -


distributory různých druhů diferenčních korekcí. V národní úrovni nyní vzniká Permanentní síť ČR – CZEPOS o plánovaném počtu 24 stanic o dosahu každé stanice 40 km. Tato síť bude poskytovat data v reálném čase (korekce pro dife-renční fázová měření – RTK a korekce pro diferenční kódová měření – DGPS a to ve formátu RTCM) a též data pro postprocessing (fáze, pseudo-vzdálenosti a dopplerovské součty v komprimovaném RINEX formátu). Permanentní síť bude podporovat pouze družicový systém GPS NAVSTAR.

Výše uvedené odstavce shrnují a uvádějí dílčí fakta a závěry týkající se typů, rozsahu a přesnosti geodetických základů jako výchozích údajů pro řešení praktických geodetických aplikací.

2.2

•

•

•

•

•

•

•

Způsoby řešení geodetických sítí

Existuje řada přístupů k řešení a rozdělení geodetických sítí. Některé z nich se pokusím specifikovat v rámci této podkapitoly.

Geodetické sítě podle observovaných dat můžeme rozdělit na sítě:

terestrické

družicové

kombinované

Terestrické sítě jsou tvořeny veličinami měřenými ve fyzickém tíhovém poli Země. Jde principiálně o veličiny definované od základních směrů a rovin, které realizujeme horizontací geodetických přístrojů. Vodorovné úhly, vodo-rovné směry a azimuty měříme v rovině kolmé k tížnici tíhového pole. Zenito-vé úhly měříme od svislice přístroje, která je opět horizontací stroje ztotožněná s tížnicí. Též vodorovná rovina realizovaná nivelačními přístroji je přímo k tíhovému poli vztažena. Mezi terestrické veličiny jsou zařazovány také mě-řené délky, i když jako jediné z jmenovaných veličin tímto polem přímo ovliv-něny nejsou.

Družicové sítě jsou tvořeny tzv. vektory udávajícími vzájemný vztah dvou bo-dů, na kterých byly umístěny družicové aparatury. Tyto veličiny jsou odvozo-vány ze signálu družic rozmístěných na odběžných drahách Země. Družicové měření tedy nejsou přímo tíhovým polem Země ovlivněny. Vliv je zde pouze nepřímý. Jde o působení tohoto pole na jednotlivé družice.

V kombinovaných sítích zpracováváme data terestrická i družicová společně.

Geodetické sítě podle dimenze měřených veličin můžeme rozdělit na sítě:

1D – vertikální sítě (výsledkem jsou 1D souřadnice bodu)

2D – horizontální sítě (výsledkem jsou 2D souřadnice bodu)

3D – prostorové sítě (výsledkem jsou 3D souřadnice bodu)

4D – prostorové sítě (výsledkem jsou 4D souřadnice bodu)

- 9 (116) -


V 1D sítích obvykle zpracováváme nivelovaná převýšení. Výsledkem zpraco-vaní jsou vyrovnané nadmořské výšky bodů sítě. U vyrovnaných výšek je třeba uvádět těž výškový systém např. BPV.

1D síť může být teoreticky tvořená též výškami elipsoidickými, které lze od-vodit z družicových měření. Výsledkem zpracování takové sítě jsou tedy výšky elipsoidické, vztažené k určitému referenčnímu elipsoidu např. WGS-84.

U 2D sítí zpracováváme horizontální složku sítě, která je dána měřenými hori-zontálními směry, vodorovnými délkami nebo též horizontálními průměty vek-torů družicových měření. Sítě horizontální můžeme zpracovávat na ploše refe-renčního elipsoidu nebo v zobrazovací rovině určitého kartografického zobra-zení. Název referenčního elipsoidu případně název kartografického zobrazení je potřeba k vyrovnaným souřadnicím bodů sítě opět uvádět.

U 3D sítí zpracováváme tzv. prostorové záměry dané horizontálními směry, vertikálními úhly a šikmými délkami. Výsledkem zpracování jsou vyrovnané 3D souřadnice bodů (obvykle horizontální složka a nadmořská výška).

Čistě 3D síť může být tvořena také družicovými vektory. Výsledkem zpraco-vání jsou pak vyrovnané 3D souřadnice bodů (obvykle horizontální složka a elipsoidická výška).

Spojením observovaných dat dvou výše uvedených 3D sítí vzniká síť 4D. Ta-ková síť je charakteristická body o čtyřech souřadnicích (horizontální složka, výška nadmořská a výška elipsoidická). Rozpor mezi výškami nadmořskými a elipsoidickými je řešen modely geoidů.

Geodetické sítě můžeme rozdělit podle výpočetních ploch, ke kterým vztáhneme observovaná data. Za výpočetní plochy můžeme zvolit:

referenční plochu •

•

referenční elipsoid

referenční koule

rovinu kartografického zobrazení

2D souřadnice bodu na referenční ploše bývají obvykle vyjádřeny souřadnice-mi ϕ – šířka a λ – délka.

2D souřadnice bodu v rovině kartografického zobrazení pak souřadnicemi or-togonálními tj. x a . y

Prostorovou polohu bodu vzhledem k referenční ploše popisujeme souřadni-cemi ϕ , λ a H. Symbol H představuje tzv. elipsoidickou / kulovou výšku de-finovanou jako jeho vzdálenost po normále k uvažované referenční ploše. Dru-hou variantou prostorových souřadnic je ortogonální souřadnicový systém X, Y a Z. Počátek systému je umístěn do středu referenční plochy, osa Z je vlože-na do kladné větve osy rotace, osa X je definována jako průnik roviny nultého poledníku s rovinou rovníku a osa Y systém doplňuje na pravotočivý. V 3D prostorových ortogonálních systémech bývají vyjádřena měření družicová.

- 10 (116) -


Obdobně lze 3D systém vytvořit i ze systému daného rovinou kartografického zobrazení. Výška bude měřena po normále a půjde obvykle o výšku nadmoř-skou s označením h.

Přístup k řešení geodetických sítí v ČR Náplní tohoto modulu je řešení geodetických sítí, kde za výpočetní plochu ho-rizontální složky sítě zvolíme rovinu kartografického zobrazení. Vertikální složku sítě budeme řešit samostatně v jednorozměrném euklidovském prostoru.

Použité kartografické zobrazení bude S-JTSK. Vertikální složka sítě bude vyjá-dřena v BPV. Oba uvedené systémy jsou na území ČR povinné. Jedinou dovole-nou alternativou těchto závazných systémů pro výpočty souřadnicové jsou tzv. souřadnicové systémy místní.

Observačními technikami naměřené veličiny před vlastním řešením geodetic-kých sítí převedeme na výpočetní plochu.

Převod veličin obnáší několik druhů korekcí:

•

•

2.3

•

•

fyzikální

přiřazení fyzikálního rozměru observovaným datům

matematické

převod na referenční plochu – korekce z tíhového pole Země

převod do kartografického zobrazení – korekce ze zkreslení

Rozpory v nadbytečnosti v observovaných datech odstraníme vyrovnávacími postupy založenými na metodě nejmenších čtverců – MNČ.

V následující podkapitole se budeme zabývat grafickým znázorněním měřené geodetické sítě. Přehledná situace o geodetické síti bude obsahovat rozlišení daných a určovaných bodů a zákres observovaných veličin s vyjádřením jejích druhu.

Schématický zákres geodetické sítě

Tato kapitola se bude věnovat grafické prezentaci horizontální a vertikální složky sítě.

Grafická prezentace sítě by měla obsahovat:

zákres bodů sítě

vhodnou mapovou značkou rozlišení výchozích a určovaných bodů

číselné označení bodů

zákres observovaných veličin

vhodným grafickým vyjádřením rozlišení druhů veličin

vyznačení počtu opakování měření

- 11 (116) -


Přehledná situace geodetické sítě bude dále vyhotovena v přehledném měřítku a opatřena vhodnou vysvětlující legendou.

Prezentace geodetických sítí se vyhotovují v různých stádiích jejich budovaní.

Prezentaci sítě ve stadiu jejího navrhovaní nazýváme tzv. observačním plánem. Ten je následovně využit při měřických pracích v terénu. Obecně informuje měřiče jaké veličiny má měřit. Můžeme získat i informace o požadavcích na technologii měření (typ přístroje, způsoby centrace, počty opakovaní měření, mezní odchylky atd.).

Prezentaci geodetické sítě po provedení vlastního měření doplníme na aktuální stav tj. zákres sítě aktualizujeme o nově doplněné body a observace.

Obr. 2-1 Observační plán – horizontální složka sítě

Ve fázi zpracovaní dat před vlastním vyrovnáním sítě může prezentace sítě sloužit k přehlednému zápisu odchylek dosažených při měření. Může jít o vy-značení rozdílu protisměrně měřených délek, rozdílů oboustranně měřených

- 12 (116) -


převýšení nebo hodnoty úhlových odchylek vypočtených pro uzavřené obrazce sítě. Tyto informace pak mohou posloužit pro objektivní posouzení dodržení použitých technologických postupů při měření.

Finální prezentace sítě je doplněna grafickým zákresem dosažené přesnosti vyrovnaných bodů sítě.

Horizontální přesnost obvykle vyjadřujeme pomocí tzv. elips chyb, případně tzv. křivek spolehlivosti.

Vertikální přesnost můžeme vyjádřit pomocí vektorů středních chyb výšky bodů nebo opět intervaly spolehlivosti.

Horizontální složka sítě Prezentace horizontální složky sítě je patrná z obrázku 2-1. Jde o síť budova-nou čistě terestrickým měřením. Observované veličiny jsou osnovy směru mě-řené na jednotlivých bodech a měřené délky. Hlavní důraz je kladen na vyjád-ření protisměrně a jednosměrně měřených veličin. V síti je též dobře patrné rozlišení bodů daných a určovaných.

Informace o geodetické síti musí být také doplněna o seznam souřadnic daných bodů, které obvykle získáme z geodetických údajů o výchozím bodovém poli. Vytvořený seznam může být dále doplněn údaji o způsobu stabilizací bodů a též údaji o jejich vzniku a přesnosti.

Obr. 2-2 Seznam souřadnic daných bodů horizontální složky sítě

Vertikální složka sítě Způsob prezentace vertikální složky sítě je patrný z obrázku 2-4. Jedná se opět o síť terestrickou. V tomto případě je síť složena pouze z jednoho typu obser-vačních dat. Jde o nivelační převýšení realizovaná nivelačními pořady vede-nými mezi jednotlivými body sítě. U nivelovaných převýšení bývá zvykem vyznačovaní směru stoupání. Tato informace může pomoci při odhalování omylů vyplývajících ze záměny znamének převýšení.

Informace o geodetické síti musí být z geodetických údajů doplněna o seznam výšek bodů výchozích. Poloha nivelačních bodů je zde pouze informativní údaj a v geodetických údajích bývá obvykle uvedena pouze s přesností na desítky metrů. Souřadnice jsou totiž získány jejích odsunutím z map.

- 13 (116) -


Obr. 2-3 Seznam výšek nivelačních bodů

Obr. 2-4 Observační plán – vertikální složka sítě

Závěr

Grafická prezentace sítě bývá obvykle doplněna i seznamem přibližných sou-řadnic bodů určovaných. Tyto souřadnice můžou být získány odměřením od-hadované polohy bodů z mapy nebo na základě observovaných dat pomocí jednoduchých souřadnicových výpočtů.

- 14 (116) -


Obr. 2-5 Přibližné souřadnice určovaných bodů

Závěr této kapitoly bude věnován procvičení probrané látky.

2.4 Shrnutí

Budování geodetických sítí je ve své podstatě úkon, při kterém účelově zahuš-ťujeme stávající bodová pole. Geodetické sítě se stávají základem pro další geodetické činnosti prováděné v daných lokalitách. Jde především o účel ma-povací. Geodetické sítě budované za účelem realizace určitého inženýrského projektu se nazývají sítěmi vytyčovacími.

Úkol 2.1

Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení zá-kladních a podrobných polohových bodových polí.

Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bo-dových polí.

Úkol 2.2

Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení zá-kladních a podrobných výškových bodových polí.

Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bo-dových polí.

Úkol 2.3

Zjistěte jakými způsoby se dají získat informace o základních polohových a výškových polích.

Pozn.: Jaké informace najdete v geodetických údajích o bodech ?

Pozn.: Jakým způsobem jsou bodová pole graficky prezentována ?

Úkol 2.4

Získejte informace o bodovém poli na území o rozloze 1.5 x 1.5 km. Vyho-tovte observační plán na zahuštění místního bodového pole.

Pozn.: Vyhotovte samostatně pro horizontální a vertikální složku sítě.

Kontrolní otázky

Jakými metodami jsou v současnosti budovány geodetické základy ?

Jakou máte představu o polohové přesnosti našich geodetických základů ?

Jakou máte představu o výškové přesnosti našich geodetických základů ?

Jaké výpočetní plochy lze využít pro řešení geodetických sítí.

- 15 (116) -


Proč je nutné observované veličiny před souřadnicovými výpočty převádět na výpočetní plochy ?

Vyjmenujte závazné souřadnicové systémy pro souřadnicové výpočty na území ČR.

Jaký je rozdíl mezi daty terestrickými a družicovými ?

Co je to observační plán ?

Řešení Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole.

Informace

Následující kapitola bude věnována opakovaní důležitých pasáží teoretických předmětů podstatných pro správné pochopení dále probírané látky.

Další kapitoly budou řešit přípravu jednotlivých typů měřených veličin pro závěrečné sestavení úlohy geodetické sítě a její následné vyrovnání užitím MNČ.

Konkrétní postupy a řešení geodetických síti naleznete v navazujícím studijním materiálu.

- 16 (116) -

Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ

3

3.1


Toto kapitola bude věnována vybraným tématickým pasážím teoretických předmětů, na které problematika řešení geodetických sítí přímo navazuje. Pů-jde o připomenutí kapitol z oblasti teorie chyb, vyrovnávacího počtu, pravdě-podobnosti a matematické statistiky. Cílem bude připravit matematický aparát, který následně aplikujeme při řešení látky probírané v rámci tohoto studijního materiálu. Důraz bude kladen také na odbornou terminologii a na symboliku užitou v matematických výrazech a rovnicích.

Linearizace funkčních vztahů

Řešení výpočetních úloh v geodézii obecně vede na soustavy nelineárních rov-nic. Takové systémy lze řešit za předpokladu znalosti přibližného řešení úlohy jejich převodem na systémy lineární.

Linearizace funkčních vztahů je úloha řešící převod obecně nelineární funkce na funkci lineární. Vlastní převod je realizován pomoci rozvoje původní funkce v řadu. Funkce linearizovaná se nejlépe přimyká funkci původní v tzv. bodě rozvoje. Za tento bod obvykle dosazujeme přibližné řešení systému rovnic. Po převodu systému nelineárních rovnic na lineární již počítáme pouze diferenci-ální změny neznámých parametrů.

Princip metody řešení systému nelineárních rovnic a princip linearizace funkč-ních vztahů je nejnázornější na ukázce řešení soustavy jedné nelineární rovnice o jedné neznáme – rovnice 3.1.

( )xfl = (3.1)

Linearizaci funkčního vztahu 3.1 provedeme v hodnotě přibližného řešení sys-tému . 0x

( ) ( ) ( 000

xxxxfxfl

xx−

∂∂

+==

) (3.2)

Rovnici 3.2 můžeme přepsat na tvar 3.3.

bdxal += (3.3)

Řešením systému jedné lineární rovnice o jedné neznáme získáme diferenciální přírůstek neznámého parametru 3.4.

baldx −

= (3.4)

Výsledné řešení systému je dáno rovnici 3.5.

dxxx += 0 (3.5)

Geometrický význam linearizace funkce o jedné proměnné vystihuje obrázek 3-1. Původní funkce je označena symbolem f(x) a funkce linearizovaná symbo-lem g(x). Z obrázku je zřejmé, že chyba z linearizace f(x)-g(x) roste s velikostí

- 17 (116) -


přírůstku neznámých dx. Obrázek tedy demonstruje nutnost velmi kvalitního odhadu řešení systému.

Obr. 3-1 Linearizace funkce f(x)

V případě méně kvalitních odhadů přibližných řešení počítáme systémy rovnic iteračním způsobem. Za nové přibližné řešení systému volíme vždy řešení sys-tému získané v předchozím kroku výpočtu.

Obecně však řešíme systémy složitější tj. systémy rovnic o k neznámých para-metrech. Provádíme tedy linearizace funkcí o k proměnných – rovnice 3.6.

( kii xxfl ,...,1= ) (3.6)

Označíme-li přibližné řešení , pak linearizovaná funkce bude mít tvar daný rovnicí 3.7.

kxx ,01,0 ,...,

( ) ( ) ( ) ( ) ( kkXXXXk

ki

XXXX

kikii xx

xxxfxx

xxxfxxfl

kkkk

,0,...,

11,01

,...,1

1,01,0

,01,01,01,01

,...,...,...,,..., −∂

)∂++−

∂∂

+=====

(3.7)

Rovnici 3.7 můžeme přepsat symbolickým zápisem na rovnici 3.8.

kk

iiii dx

xfdx

xffl

∂∂

++∂∂

+= ...11

,0 (3.8)

Další podkapitola bude věnovaná řešení systému n nelineárních rovnic s k ne-známými parametry, kde n>k. Jednoznačné řešení takových systémů získáme použitím metody nejmenších čtverců – MNČ.

3.2 Vyrovnání zprostředkujících měření

Vyrovnání zprostředkujících veličin ve své podstatě představuje řešení úlohy n nelineárních rovnic o k neznámých parametrech tj. systému 3.9. Tento systém má n-k nadbytečných měření. Počet nadbytečných měření je obecně větší jak 0 a úloha tedy není jednoznačně řešitelná. Řešení systému rovnic získáme užitím základní podmínky MNČ dané vztahem 3.10, kde je váha veličiny a v je oprava veličiny l z vyrovnání.

ip il i

i

- 18 (116) -


( )

(

( )kin

kii

k

xxfl

xxfl

xxfl

,...,...

,...,...

,...,

1

1

111

=

=

=

) (3.9)

∑ ==

n

i iii vvp1

min (3.10)

Řešení systému hledáme v okolí tzv. výchozího, počátečního nebo přibližného řešení úlohy 0H - vztah 3.11.

( TkxxH ,01,00 ,...,= ) (3.11)

Rovnice systému 3.9 budeme nazývat rovnicemi zprostředkujícími. Veličiny na levé straně rovnic budou veličiny měřené nebo měření a proměnné ve funkč-ních vztazích na pravé straně rovnic budou neznámé parametry v procesu vy-rovnání. Systém 3.9 přepíšeme v symbolice zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ na systém 3.12.

( )

( )

( ),,...,...

,,...,...

,,...,

1

1

11111

knnmernn

kiimerii

kmer

XXfvlL

XXfvlL

XXfvlL

=+=

=+=

=+=

∑ (3.12)

n

i

m

m

m

...,

...1

==

n

i iii vvp1

min

Systém dále přepíšeme do podoby rovnic 3.13.

( )

( )

( ),,...,...

,,...,...

,,...,

,011,0

,011,0

,011,01111

kknnmernn

kkiimerii

kkmer

dxXdxXfvlL

dxXdxXfvlL

dxXdxXfvlL

++=+=

++=+=

++=+=

n

i

m

m

m

...,

...1

∑ ==

n

i iii vvp1

min (3.13)

Symbol je i-tá vyrovnaná měřená veličina, symbol l je hodnota i-té mě-řené veličiny, je oprava i-té měřené veličiny z vyrovnání a symbol m

iL meri

iv i před-stavuje přesnost i-té měřené veličiny.

Vztahy 3.14, 3.15 a 3.16 definují vektor vyrovnaných měřených veličin L , vektor měřených veličin merl a vektor oprav měřených veličin z vyrovnání v .

( TnLLL ,...,1= ) (3.14)

( Tmern

mermer lll ,...,1= ) (3.15)

( Tnvvv ,...,1= ) (3.16)

- 19 (116) -


Vztah mezi měřenými veličinami a jejich vyrovnanými hodnotami vektorově udává rovnice 3.17.

vlL mer += (3.17)

Vztahy 3.18 a 3.19 definují vektor vyrovnaných neznámých parametrů H a vektor přírůstků neznámých parametrů dh .

( TkXXH ,...,1= ) (3.18)

( Tkdxdxdh ,...,1= ) (3.19)

Vztah mezi přibližným řešením úlohy a řešením finálním vektorově udává rov-nice 3.20.

dhHH += 0 (3.20)

Každé měřené veličině je obecně přiřazena také její přesnost udávaná pro-střednictvím střední chyby měření m

meril

i. Pro řešení úlohy vyrovnání se pro kaž-dou měřenou veličinu spočítá její váha – vzorec 3.21.

2

2.0

i

aprii m

mp = (3.21)

Symbol představuje střední jednotkovou chybu apriorní. Její hodnotu volíme před vyrovnáním tak, aby se váhy měřených veličin pohybovaly okolo jedné.

aprim .0

( )

( )

( ) ,,...,...

,,...,...

,,...,

,011,0

,011,0

1,011,011

mernkknn

merikkii

merkk

ldxXdxXfv

ldxXdxXfv

ldxXdxXfv

−++=

−++=

−++=

n

i

p

p

p

...,

...1

∑ ==

n

i iii vvp1

min (3.22)

Definice

Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v nelineární podobě jednoznačně definována tzv. soustavou původních rovnic oprav 3.22

Systém 3.22 linearizujeme podle přibližného řešení 3.11. Výsledný systém rovnic označíme 3.23.

- 20 (116) -


( )

( )

( ),......

,......

,...

,011

,011

11,01

11

11

mernnk

k

nnn

meriik

k

iii

merk

k

lfdxxfdx

xfv

lfdxxfdx

xfv

lfdxxfdx

xfv

−+∂∂

++∂∂

=

−+∂∂

++∂∂

=

−+∂∂

++∂∂

=

n

i

p

p

p

...,

...1

∑ ==

n

i iii vvp1

min (3.23)

Definice

Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v lineární podobě jed-noznačně definována tzv. soustavou přetvořených rovnic oprav 3.23

Finální sestavení úlohy vyrovnání získáme zápisem přetvořených rovnic oprav 3.23 v maticové podobě 3.24.

−

−+

=

mernn

mer

kknn

k

n lf

lf

dx

dx

aa

aa

v

v

,0

11,01

,1,

,11,11

.........

............

... , ,

np

p

000...0001

∑ ==

n

i iii vvp1

min (3.24)

Systém 3.24 lze obecně zapsat rovnicí 3.25.

*ldhAv += , P , (3.25) ∑ ==

n

i iii vvp1

min

Systém přetvořených rovnice oprav v maticové podobě 3.25 na základě teorie MNČ převádíme na systém tzv. normálních rovnic 3.26.

=

+

∑

∑

∑∑

∑∑

=

=

==

==

0...0

.........

............

*,1

*1,11

,,11,,1

,1,11,1,1

ikiini

iiini

kkikiiniikii

ni

kiiiniiii

ni

lap

lap

dx

dx

aapaap

aapaap (3.26)

Systém 3.26 lze obecně zapsat rovnicí 3.27.

0=+ rdhN , kde APAN T= a *lPAr T= (3.27)

Systém normálních rovnic je již systémem k lineárních rovnic o k neznámých a má tedy za podmínky regularity matice soustavy N jednoznačné řešení 3.28.

rNdh 1−−= (3.28)

Výsledkem výpočtu je vektor přírůstků neznámých parametrů z vyrovnání dh , který použijeme pro výpočet vyrovnaných hodnot neznámých parametrů H podle rovnice 3.20.

- 21 (116) -


V tomto okamžiku je doporučen dvojí výpočet vektoru oprav v a to dosazením vektoru dh do systému přetvořených rovnic oprav 3.23 a dosazením vektoru H do systému rovnic oprav původních 3.22.

Pokud je vektor oprav podle rovnice 3.23 totožný s vektorem 3.22 máme spo-lehlivou kontrolu sestavení úlohy vyrovnání a navíc výsledek řešení úlohy není ovlivněn chybami z linearizace zprostředkujících rovnic.

Pokud vektory oprav podle rovnic 3.23 a 3.22 totožné nejsou, je to obecně způ-sobeno zadáním přibližného řešení úlohy 0H s velmi nízkou přesností. Takový výsledek je též charakterizován velkými přírůstky neznámých parametrů dh z vyrovnání.

V tomto případě řešíme úlohu vyrovnání iteračním způsoben, kdy za nové při-bližné řešení úlohy použijeme výsledné řešení úlohy z předcházejícího kroku výpočtu. Konvergence úlohy k řešení je charakterizována klesajícím rozdílem mezi vektory dvojího výpočtu oprav a též zmenšováním přírůstku neznámých parametrů ve vektoru dh . Při chybném zadání počátečního řešení není konver-gence úlohy k výsledku u nelineárních soustav obecně zaručena.

Výpočet charakteristik polohy zakončíme výpočtem vyrovnaných měřených veličin L podle rovnice 3.17.

Závěr kapitoly bude věnován výpočtům charakteristik proměnlivosti, kterými je potřeba doplnit hodnoty vyrovnávaných veličin.

Vzorec 3.29 slouží pro výpočet tzv. střední jednotkové chyby aposteriorní, kte-rou počítáme z oprav měřených veličin. Tato charakteristika slouží pro základ-ní hodnocení prováděného vyrovnání a jsou z ní dále odvozovány další charak-teristiky proměnlivosti.

knvvp

m iiini

apost −= ∑ =1

.0 (3.29)

Na základě střední jednotkové chyby po vyrovnání můžeme definovat následu-jící charakteristiky přesnosti:

střední chybu m měřených veličin l po vyrovnání aposti.meri•

i

apostaposti p

mm

2.02

. = (3.30)

kovarianční matici ( )Lcov vyrovnaných měřených veličin L •

( ) Lapost QmL 2.0cov = kde T

L ANA 1−=Q (3.31)

kovarianční matici ( )Hcov vyrovnaných neznámých parametrů H •

( ) Hapost QmH 2.0cov = kde 1−= NHQ (3.32)

- 22 (116) -


Symbol HQ představuje matici váhových koeficientů vyrovnaných neznámých parametrů a symbol LQ váhovou matici vyrovnaných měřených veličin.

Pokud byly měřené veličiny vstupující do vyrovnání korelované, pak vektoru měřených veličin merl obecně náležela kovarianční matice ( )merlcov v nediago-nální podobě. Matice vah P musí být v tomto případě nahrazena maticí in-verzní k maticí váhových koeficientů vektoru měřených veličin – rovnice 3.33.

1.

−= merlQP kde ( )2.0

.cov

aprior

mer

merl ml

=Q (3.33)

Vyrovnaní zprostředkujících měření metodou nejmenších čtverců bude základ-ní metodou používanou v rámci tohoto studijního materiálu k řešení problema-tiky geodetických sítí. Ve výše uvedených odstavcích je popsán matematický aparát metody. Zbývající podkapitoly budou věnovány způsobům interpretace výsledků vyrovnání a též metodám hodnocení provedeného vyrovnání.

Následující podkapitola bude věnovaná transformacím náhodných vektorů a jim odpovídajících kovariančních matic.

3.3 Zákony hromadění středních chyb

V úvodu této kapitoly si připomeneme základní pojmy z matematické statisti-ky, mezi které patří náhodná veličina a náhodný vektor a odhady a vlastnosti charakteristik polohy a proměnlivosti náhodné veličiny a náhodného vektoru.

Náhodný vektor a kovarianční a korelační matice náhodného vektoru

Kovarianční matici náhodného vektoru ( )TkXXX ,...,1= budeme označovat

( )Xcov - rovnice 3.34.

( )

=

kkXkX

kXX

cc

ccX

,1,

,11,1

............

...cov (3.34)

Kovarianční matice náhodného vektoru je symetrická podle diagonály. Prvky na diagonále se nazývají variance a můžeme je použít k výpočtu odhadů středních chyb náhodných veličin . Prvky mimo diagonálu matice se nazývají kovariance a definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhod-ného vektoru tj. veličin a . V případě, že jsou veličiny náhodného vek-toru nezávislé, kovarianční matice je diagonální. Kovariance jsou tedy rovné nule.

iiXc ,

iX jiXc ,

iX jX

Závislost mezi náhodnými veličinami je velmi dobře patrná v tzv. korelační matici ( )Xcor náhodného vektoru X - rovnice 3.35.

- 23 (116) -


( )

=1............

...1

1,

,1

kX

kX

Xcorρ

ρ (3.35)

Korelační matice náhodného vektoru je stejně jako matice kovarianční symet-rická podle diagonály. Jediný rozdíl je v prvcích na diagonále, které jsou rovny jedné. Prvky jiX ,ρ mimo diagonálu matice se nazývají korelační koeficienty a v intervalu definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhod-ného vektoru tj. veličin a . V případě vzájemné nezávislosti veličin ná-hodného vektoru je korelační matice jednotková. Korelační koeficienty

>< +− 1,1

iX jX

jiX ,ρ jsou tedy rovné nule.

Míru závislosti lze objektivně hodnotit například statistickými testy korelační-ho koeficientu.

Pro převod matice kovarianční na matici korelační lze použít vzorec 3.36.

jjXiiX

jiXjiX cc

c

,,

,, =ρ (3.36)

Transformace náhodného vektoru X na náhodnou veličinu L.

Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice ( )Xcov náhodného vektoru X a transformační rovnicí 3.38 náhodného vektoru X na náhodnou veličinu L .

=

kX

XX ...

1

, ( )

=

kkXkX

kXX

cc

ccX

,1,

,11,1

............

...cov (3.37)

( )kXXfL ,...,11 = (3.38)

[ 1LL = ] , [ ]1,1)cov( LcL = (3.39)

Kovarianční matici ( )Lcov náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice 3.40.

( ) ( ) TFXFL covcov = kde

∂∂

∂∂

=kx

fxfF ,...,1

(3.40)

Transformace náhodného vektoru X na náhodný vektor L.

Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice ( )Xcov náhodného vektoru X a transformačními rovnicemi 3.42 náhodného vektoru X na náhodný vek-tor L .

- 24 (116) -


=

kX

XX ...

1

, ( )

=

kkXkX

kXX

cc

ccX

,1,

,11,1

............

...cov (3.41)

( )

( )knn

k

XXfL

XXfL

,...,...

,...,

1

111

=

= (3.42)

=

nL

LL ...

1

,

=

nnLnL

nLL

cc

ccL

,1,

,11,1

............

...)cov( (3.43)

Kovarianční matici ( )Lcov náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice 3.44.

( ) ( ) TFXFL covcov = kde

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

k

nn

k

xf

xf

xf

xf

F

1

1

1

1

(3.44)

Tématem další kapitoly jsou definice různých typů charakteristik přesnosti polohy bodu. Informace o přesnosti souřadnice bodu apriorně nacházíme v kovariančních maticích náhodných vektorů.

3.4 Charakteristiky přesnosti souřadnic bodu

Náhodný vektor X je tvořen náhodnými veličinami , a . Tyto ná-hodné veličiny představují souřadnice určovaného bodů P.

PX PY PZ

[ ]TPPP ZYXX = (3.45)

U jednotlivých veličin obecně předpokládáme, že mají normální rozdělení s parametry iη a – rovnice 3.46 a že budou vzájemně závislé. 2

iσ

( )(( )2

2

2

,,,

zzP

yyP

xxP

NZNYNX

σησηση

≈≈≈

) (3.46)

Náhodnému vektoru X tedy budeme moci přiřadit trojrozměrnou normální rozdělovací funkci popsanou parametry jednotlivých náhodných veličin a pa-rametry vyjadřující jejich vzájemnou závislost.

- 25 (116) -


Odhady parametrů rozdělovacích funkcí náhodných vektorů se obecně zabývá matematická statistika. Jednotlivé parametry získáváme na základě realizací ix náhodného vektoru X .

Příkladem tří realizací náhodného vektoru X můžou být souřadnice bodu P určené ze tří výpočetních kombinací – rovnice 3.47.

[ ][ ][ ]TPPP

TPPP

TPPP

zyxxzyxxzyxx

3,3,3,3

2,2,2,2

1,1,1,1

===

(3.47)

Symboly xη , yη a zη představují odhady parametrů xη , yη a zη náhodných veličin , a nebo též odhady jejích středních hodnot – , PX PY PZ ( )PXE ( )PYE a . V geodézii hovoříme o odhadu nejpravděpodobnějších hodnot sou-řadnic bodu P.

( PZE )

Ve smyslu uvažovaného příkladu můžeme použít výpočetních vzorců 3.48, kde n je počet realizací náhodného vektoru nebo počet určujících výpočetních kombinací. Ve zmíněném příkladě volíme n=3.

( )

( )

( ) ∑

∑

∑

=

=

=

===

===

===

n

i iPPz

n

i iPPy

n

i iPPx

zn

ZZE

yn

YYE

xn

XXE

1

1

1

1

1

1

η

η

η

(3.48)

Symboly 2xσ , 2

yσ a 2zσ

P

představují odhady parametrů , a náhod-ných veličin , a nebo též odhady hodnot jejich rozptylu – ,

a c . V geodézii hovoříme o odhadech čtverců středních empirických chyb bodu P.

2xσ 2

yσ 2zσ

PX Y PZ xxPc ,

yyPc , zzP ,

( )( )( )∑

∑

∑

=

=

=

−−

===

−−

===

−−

===

n

i izzPzzPz

n

i iyyPyyPy

n

i ixxPxxPx

zn

mc

yn

mc

xn

mc

1

22,

2

1

22,

2

1

22,

2

11

11

11

ησ

ησ

ησ

(3.49)

Vzájemnou závislost jednotlivých veličin náhodného vektoru můžeme odhad-nout výpočetními vzorci 3.50. Půjde o výpočet tzv. kovariancí náhodných veli-čin.

( )( )( )( )( )( )∑

∑

∑

=

=

=

−−−

==

−−−

==

−−−

==

n

i iyizzyPyzP

n

i izixzxPxzP

n

i iyixyxPxyP

yzn

cc

zxn

cc

yxn

cc

1,,

1,,

1,,

11

11

11

ηη

ηη

ηη

(3.50)

- 26 (116) -


Normální rozdělovací funkci náhodného vektoru X můžeme maticově zapsat pomocí tzv. vektoru středních hodnot ( )XE a tzv. kovarianční matice )cov(X náhodného vektoru X – rovnice 3.51.

Definice

V matematické statistice a pravděpodobnosti označujeme vektor střed-ních hodnot symbolem ( )XE

V teorii chyb a vyrovnávacím počtu označujeme vektor středních hodnot symbolem X . Ten je tedy identický s označováním náhodného vektoru.

U vyrovnání zprostředkujících měření získáme odhad vektorů středních hodnot a kovariančních matic na základě výpočetních vzorců uvedených v předchozí podkapitole – rovnice 3.17, 3.31 a 3.20, 3.32. Z vypočtených matic je nutné separovat sub-vektor a sub-matici toho bodu, jehož charakteristiky polohy a proměnlivosti budeme chtít určovat. Úplnou informaci o bodě P vyrovnávané-ho v geodetické síti představuje rovnice 3.51.

( )( )( )( )

=

P

P

P

ZEYEXE

XE , ( )

=

zzPyzPxzP

zyPyyPxyP

zxPyxPxxP

ccccccccc

X

,,,

,,,

,,,

cov (3.51)

Na základě kovarianční matice bodu lze vypočítat odhady středních chyb ve směrech jednotlivých souřadnicových os – rovnice 3.52, 3.53 a 3.54.

xxx cm ,= (3.52)

yyy cm ,= (3.53)

zzz cm ,= (3.54)

Charakteristika proměnlivosti horizontální složky bodu se obvykle graficky prezentuje prostřednictvím odhadu tzv. střední elipsy chyb. Hlavní parametry této elipsy lze vypočítat pomocí vztahů 3.55, 3.56 a 3.57. Jedná se o stanovení hlavní a vedlejší poloosy elipsy chyb a úhlu jejího stočení vzhledem k souřad-nicové soustavě – obrázek 3-2.

Při výpočtu úhlu uvažujte znaménka výrazů c2σ yxc ,2 a yyxx c ,, − pro stano-

vení jeho hodnoty ve čtyřech kvadrantech tj. π0,22σ∈ . Aplikujte tedy stejný postup jaký je v geodézii používaný pro výpočet směrníku.

- 27 (116) -


Obr. 3-2 Střední elipsa chyb

( ) ( )2,

2,,,,2

max 42 yxyyxxyyxx c

ccccm +

−+

+= (3.55)

( ) ( )2,

2,,,,2

min 42 yxyyxxyyxx c

ccccm +

−−

+= (3.56)

yyxx

yx

ccc

,,

,2tg2σ

−= (3.57)

Výpočetní vzorec 3.58 poslouží k výpočtu přesnosti bodu v konkrétním směru γ , který má opět charakter směrníku.

γγγγγ cossin2sincos ,2

,2

, yxyyxx cccm ++= (3.58)

Často používané charakteristiky proměnlivosti polohy bodu jsou tzv. střední polohová chyba m a střední souřadnicová chyba . Vzájemný vztah těchto charakteristik proměnlivosti je patrný z obrázku 3-3.

p xym

Obr. 3-3 Střední polohová a střední souřadnicová chyba

- 28 (116) -


22yxp mmm += (3.59)

2

22yx

xy

mmm

+= (3.60)

Charakteristiky pro vyjádření přesnosti polohy bodu 3.52, 3.53, 3.59 a 3.60 nemusí být v případě bodů s protáhlými elipsami chyb příliš věrohodné. Výpo-četní vzorce je tedy vhodné upravit na tvar 3.61 a 3.62.

2min

2max. mmm elp += (3.61)

2

2min

2max

.mmm elxy

+= (3.62)

Přesnost vertikální složky polohy bodu obvykle vyjadřujeme pomocí odhadu střední chyby souřadnice Z – vztah 3.54.

Mezi úplné charakteristiky horizontální přesnosti polohy patří prvky kovari-anční matice , a , které můžeme použít k výpočtu parametrů střední elipsy chyb – vztahy 3.55, 3.56 a 3.57.

xxPc , yyPc , yxPc ,

Mezi neúplné charakteristiky přesnosti bodu zařazujeme střední chybu v souřadnici X, střední chybu v souřadnici Y, střední polohovou chybu a

střední souřadnicovou chybu .

xm

pmym

mxy

Obrázek 3-4 je ukázkou grafické prezentace výsledku vyrovnání geodetické sítě.

Obr. 3-4 Přesnost bodu měřické sítě

- 29 (116) -


Následující podkapitola bude věnována intervalům spolehlivosti a jejich použi-tí při interpretaci výsledků vyrovnání geodetických sítí. Bude také řešena otáz-ka věrohodnosti intervalů spolehlivosti při různě rozsáhlých měřených výběro-vých souborech.

3.5 Intervaly a křivky spolehlivosti

V této podkapitole si připomeneme pojmy interval a křivka spolehlivosti a sou-činitel konfidence.

Normální náhodná veličina ( ) =≈ xfX ( )2,σηN

U náhodných veličin definuje tzv. intervaly spolehlivosti – rovnice 6.63.

σηση ttI +−= , (3.63)

Symboly η a jsou parametry rozdělovací funkce náhodné veličiny 2σ X .

Volbou parametru t určíme velikost intervalu spolehlivosti a tím na sebe záro-veň vezmeme riziko α , že realizace náhodného veličiny ix X nepadne do námi definovaného intervalu.

Obr. 3-5 Rozdělovací funkce f(x)

Parametr se nazývá koeficientem spolehlivosti nebo též koeficientem konfi-dence.

t

( )∫+

−

=−σ

σ

αt

t

dxxf1 (3.64)

Obrázek 3-6 je ukázkou rizik α , že měřená veličina nepadne do intervalu spo-lehlivosti při různé volbě parametru t.

- 30 (116) -


Obr. 3-6 Volba intervalu spolehlivosti u 1D náhodné veličiny

Normální náhodný vektor ( ) ( )yxfYXX T ,, ≈=

U náhodného vektoru X tvořeného náhodnými veličinami X a Y definujeme tzv. křivku spolehlivosti – rovnice 3.65.

Ω∈I (3.65)

Volbou na sebe bereme riziko t α , že realizace ( )Tiii yxx ,= náhodného vek-

toru X nepadne do oblasti dané křivkou spolehlivosti.

Obr. 3-7 Rozdělovací funkce f(x,y)

Parametr se stejně jako v předchozím případě nazývá koeficientem spolehli-vosti nebo též koeficientem konfidence.

t

∫∫Ω

=− dxdyyxf ),(1 α kde Ω uzavřená křivka (3.66)

Obrázek 3-8 je ukázkou rizik, že realizace náhodného vektoru nepadne do pro-storu daného křivkou spolehlivosti při různé volbě parametru t. Ω

Obr. 3-8 Volba intervalu spolehlivosti u 2D náhodného vektoru

- 31 (116) -


Věrohodnost intervalů spolehlivosti velmi úzce souvisí s rozsahem n výběro-vých souborů. Na základě malých souborů získáme velmi nekvalitní odhady parametrů rozdělení. Chyby těchto parametrů se pak následně přímo přenáší i na vlastní intervaly a křivky spolehlivosti.

Obecně se uvádí, že výběrový soubor by měl mít rozsah alespoň 20. U menších souborů nemá v podstatě smysl charakteristiky proměnlivosti počítat.

Existují však i přístupy objektivní volby intervalů a křivek spolehlivosti i pro malé výběrové soubory – obrázek 3-9.

Obr. 3-9) Součinitel konfidence pro it 05.0=α

Symbol i značí rozměr náhodného vektoru a symbol n rozsah výběrového sou-boru náhodného vektoru.

Například hodnotu parametru t můžeme vypočítat jako 100 (1 )α−1 procentní kvantil studentova rozdělení s n stupni volnosti.

Následující podkapitola je věnována statistickým testům používaným pro tes-tování středních jednotkových chyb z vyrovnání.

3.6

•

•

Testování střední jednotkové chyby

Pro potřebu testování středních jednotkových chyb z vyrovnání lze principiálně využít dvou typů statistických testů:

testy parametrů rozdělení náhodné veličiny

testy parametrů dvou výběrových souborů

Statistický test Statistické testy slouží k ověřování hypotéz ohledně parametrů a tvarů rozděle-ní náhodných veličin nebo náhodných vektorů.

Statistický test T je formulován definicí tzv. nulové hypotézy H0, proti které klademe alternativní hypotézu H – vztah 3.67.

T: H0 ↑ H (3.67)

O zamítnutí nebo nezamítnutí hypotézy H0 rozhodujeme na základě tzv. testo-vacího kritéria R.

- 32 (116) -


Leží-li hodnota testovacího kriteria R v tzv. kritickém oboru testu Wi - rovnice 3.68, pak zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu H s rizikem omylu maximálně 100 α procent. Parametr 1,0∈α .

iWR ∈ (3.68)

Neleží-li hodnota testovacího kritéria R v kritickém oboru testu Wi – rovnice 3.69, pak nulovou hypotézu nezamítáme. Nulovou hypotézu však ani nepři-jmeme, protože nemáme žádnou informaci o chybě jejího mylného přijetí. Ne-známe totiž tzv. sílu testu β . Parametr 1,0∈β

Závěr testu tedy je, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout.

iWR ∉ (3.69)

Testování střední chyby σ výběrového souboru za předpokladu znalosti střední hodnoty η tohoto výběrového souboru.

Definice

Buď náhodný výběr z rozdělení ( nXX ,...,1 ) ( )2,σηNX ≈ s neznámým

rozptylem a známou střední hodnotou 2σ 0ηη = . Buď , 20σ 0η a α jsou

předem daná čísla, kde ( )1,0∈α .

Potom pro statistické testy

:1T hypotézy H : proti hypotéze 020

2 σσ ≤ H : ; (3.70) 20

2 σσ >

:2T hypotézy : proti hypotéze 0H 20

2 σσ ≥ H : ; (3.71) 20

2 σσ <


2 σσ = H : ; (3.72) 20

2 σσ ≠

lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku

20

20

σnSR = (3.73)

kde

( )n

xS

n

i i∑ =−

= 12

020

η tj. odhad náhodné veličiny X (3.74) 2σ

Zvolená statistika 3.73 má za podmínky rozdělení 20

2 σσ = ( ).2 nχ

Za kritické obory W pro testy T na hladině významnosti j j α lze postup-ně volit množiny

( ) αχ −>= 1,, 21 nrrW (3.75)

( ) αχ ,, 22 nrrW <= (3.76)

−>∨

<=

21,

2,, 22

3αχαχ nrnrrW (3.77)

- 33 (116) -


Symbolem ( )*2 nχ označujeme tzv. chí-rozdělení s n stupni volnosti. Pro uvažovaný test symbol n též odpovídá rozsahu výběrového souboru . Symbol

*

* n( )α,*2 nχ je tzv. 100 α procentní kvantit chí-kvadrát rozdělení s n

stupni volnosti.

*

Testování střední chyby σ výběrového souboru za předpokladu, že ne-známe střední hodnotu η tohoto výběrového souboru.

Definice

Buď náhodný výběr z rozdělení ( nXX ,...,1 ) ( )2,σηNX ≈ s neznámou

střední hodnotou η a s neznámým rozptylem . Buď a 2σ σ 20 α jsou

předem daná čísla, kde ( )1,0∈α .

Potom pro statistické testy

:1T hypotézy H : proti hypotéze 020

2 σσ ≤ H : ; (3.78) 20

2 σσ >


2 σσ ≥ H : ; (3.79) 20

2 σσ <


2 σσ = H : ; (3.80) 20

2 σσ ≠

lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku

( )20

21σ

SnR

−= (3.81)

kde

( )1

1

22

−

−= ∑ =

nx

Sn

i iη tj. odhad náhodné veličiny X (3.82) 2σ

a

nxn

i i∑ == 1η tj. odhad η náhodné veličiny X (3.83)

Zvolená statistika 3.81 má za podmínky rozdělení 20

2 σσ = ( ).12 −nχ

Za kritické obory W pro testy T na hladině významnosti j jα lze postup-

ně volit množiny

( ) αχ −−>= 1,1, 21 nrrW (3.84)

( ) αχ ,1, 22 −<= nrrW (3.85)

−−>∨

−<=

21,1

2,1, 22

3αχαχ nrnrrW (3.86)

- 34 (116) -


V uvažovaném testu počet stupňů volnosti vypočteme podle vzorce n . 1* −= n

Pro oba typy testů jsou podstatné kvantily chí-kvadrát rozdělení. Hodnoty kvantilů bývají obvykle tabelovány pro různé hodnoty α a různý počet stupňů volnosti viz. obrázek 3-10 a 3-11. *n

Obr. 3-10 Kvantil ( )αχ ,*2 n chí-kvadrát rozdělení

Obr. 3-11 Kvantil ( )αχ −1,*2 n chí-kvadrát rozdělení

Testování rovnosti středních chyb dvou výběrových souborů za předpo-kladu neznalosti středních hodnot těchto souborů.

Definice

Buď ( )xnXX ,...,1 náhodný výběr z rozdělení ( )2, xxNX ση≈ s neznámou

střední hodnotou xη a s neznámým rozptylem . 2xσ

Buď ( )ynYY ,...,1 náhodný výběr z rozdělení ( )2, yyNY ση≈ s neznámou

střední hodnotou yη a s neznámým rozptylem . 2yσ

- 35 (116) -


Buď α je předem dané číslo, kde ( )1,0∈α a . yx σσ >

Potom pro statistický test

:1T hypotézy H : proti hypotéze 022yx σσ = H : (3.87) 22

yx σσ ≠

lze za testovací kritérium volit statistiku

2

2

y

x

SSF = (3.88)

kde

( )1

1

22

−

−= ∑ =

x

n

i ixx n

xS

x η , ( )1

1

22

−

−= ∑ =

y

n

i iyy n

yS

y η (3.89)

tj. odhad rozptylů a náhodných veličin 2xσ 2

yσ X a Y

a

nxxn

i ix

∑ == 1η , n

yyn

i iy

∑ == 1η (3.90)

tj. odhad střední hodnoty xη a yη náhodného vektoru X a Y

Zvolená statistika 3.88 má rozdělení Fišer-Snedecorovo s n a 1−x 1−yn stupni volnosti – F( 1−xn , 1−yn ).

Za kritický obor W pro test T na hladině významnosti 1 1 α lze zvolit množinu

−−−>= 1,1,

21,1 yx nnFrrW α (3.91)

Pro uvedený statisticky test jsou podstatné kvantity Fišer-Snedecorova rozdě-lení. Hodnoty kvantilů bývají obvykle tabelovány pro různé hodnoty α a růz-ný počet stupňů volnosti a – obrázek 3-12. *

xn *yn

V uvažovaném testu počet stupňů volnosti u náhodné veličiny X a Y vypočteme podle vzorce a . 1* −= xx nn 1* −= yy nn

Obr. 3-12 Kvantil ( )**,,1 yx nnF α− pro 05.0=α

- 36 (116) -


Odhady , , a v případě vyrovnání zprostředkujícího vypočteme na základě výpočetních vzorců pro odhad střední jednotkové chyby po vyrovnání

. V testech o parametrech rozdělení testujeme například hypotézu :

proti hypotéze

2S

m .0

20S

apri

2xS 2

yS

2.0 apostm

apostm .0

0H

= H : . Počet stupňů volnosti zde bude odpovídat počtu nadbytečných měření

apriapost mm .0.0 ≠n

*nk− .

Test o porovnání dvou středních jednotkových chyb po vyrovnání bude apliko-ván na střední jednotkové chyby vypočtené zvlášť pro různé typy měřených veličin.

Předposlední kapitola bude věnována testování odlehlých hodnot a grafickému způsobu presentace reziduí v z vyrovnání. i

3.7 Testování odlehlých hodnot

Tato podkapitola se bude zabývat zpracováním vektoru oprav 1v získaného zprostředkujícím vyrovnáním.

Buď V je n-rozměrný náhodný vektor – rovnice 3.92.

=

nV

VV ...

1

(3.92)

Jednotlivé náhodné veličiny V budou mít normální rozdělení s parametry i iη a - rovnice 3.93 a budou vzájemně nezávislé. 2

iσ

( ) ( )2, iiiii NvfV ση=≈ (3.93)

Náhodný vektor V popíšeme vektorem středních hodnot ( )VE a kovarianční maticí ( )Vcov – vztah 3.94.

( )

=

=

0...0

...1

n

VEη

η , ( )

=

=

nnV

V

n c

cV

,

1,1

2

21

000...000

000...000

covσ

σ (3.94)

Odhad rozptylu 2iσ náhodné veličiny V získáme z výsledků vyrovnání – kova-

rianční funkce vyrovnaných měřených veličin 3.31. i

Vektor 1v bude představovat jednu realizaci náhodného vektoru V – rovnice 3.95.

=

nv

vv ...

1

1 (3.95)

- 37 (116) -


Pro účely analýzy vektoru oprav 1v provedeme transformaci náhodné vektoru V na náhodný vektor normV – rovnice 3.96 tak, aby jednotlivé náhodné veliči-ny V měli normální normované rozdělení – rovnice 3.97. normi.

=

normn

norm

norm

V

VV

,

,1

... (3.96)

( ) ( )1,0,,, NvfV norminorminormi =≈ (3.97)

Náhodný vektor normV jednoznačné popíší vztahy 3.98.

( )

=

0...0

normVE , ( )

=

1000...0001

cov normV (3.98)

Vektor norm,1v představuje normovanou realizaci náhodného vektoru V .

=

normn

norm

norm

v

vv

,

,1

,1 ... (3.99)

Jednotlivé prvky v vypočteme podle vztahu 3.100. normi,

i

inormi

vvσ

=, (3.100)

Obr. 3-13 Teoretická a empirická rozdělovací funkce

Vektor normv ,1

N

můžeme považovat jako vektor n realizací náhodné veličiny s rozdělením . Tyto realizace nyní použijeme ke konstrukci empirické rozdělovací funkce, kterou budeme konfrontovat s funkcí teoretickou, danou rozdělením – obrázek 3.13.

( 1,0N

( )1,0

)

- 38 (116) -


Asymetrie empirické rozdělovací funkce může být náznakem působení syste-matických chyb. Hodnoty překračující definované intervaly spolehlivosti pak můžeme interpretovat jako odlehlé hodnoty ve vyrovnání.

Pro objektivní posouzení odlehlých hodnot můžeme použít statistické testy o extrémně se odchylujících měření od průměru.

Rozlišujeme dva typy testů:

McKay test – při známé střední hodnotě η •

Grubbsův test – při neznáme střední hodnotě η •

Závěrečná podkapitola bude věnována praktickému zopakovaní probrané látky.

3.8 Shrnutí

Toto kapitola byla věnována vybraným tématickým pasážím teoretických předmětů, na které problematika řešení geodetických sítí přímo navazuje. Při-pomněli jsme si vybrané kapitoly z oblasti teorie chyb, vyrovnávacího počtu, pravděpodobnosti a matematické statistiky. Nyní máme připravený matematic-ký aparát, který budeme následně aplikovat při řešení látky probírané v rámci tohoto studijního materiálu.

Příklad 3-1

Řešte systém ( )xf=l jedné nelineární rovnice o jedné neznámé postupem popsaným v podkapitole 3.1. Úlohu řešte iteračním způsobem. Při výpočtu vyjděte z dvou nulových řešení 40 −=x a 40 +=x .

xx 412 2 +=

Příklad 3-2

Linearizujte funkční vztah l kde a, b a c jsou konstanty. Vektor přibližného řešení je

( ) czbxyaxzyxf ++== 2,,( )Tzyx ,, 0000 == T)3,2,1(h .

Příklad 3-3

Linearizujte funkční vztah ( ) czbxyaxcbaf ++== 2,,l kde x, y a z jsou konstanty. Vektor přibližného řešení je ( )Tcba ,, 0000 == T)3,2,1(h .

Příklad 3-4

Sestavte původní a přetvořené rovnice oprav úlohy zprostředkujícího vyrov-nání. Zprostředkující rovnice má v obecné podobě tvar

( ) BAxBAfL iii +== , , kde je konstanta. Vektor přibližného řešení je ix

( ) TTbah )2,1(, 000 == .

- 39 (116) -


BAvBAvBAv

+=++=++=+

32.529.311.3

3

2

1

, 111

3

2

1

===

ppp

, ∑ == min31 iiii vvp

Příklad 3-5

Vypočtěte střední chybu aritmetického průměru čtyř měřených veličin s přesností . Jednotlivé veličiny jsou vzájemně nezávislé.

il

ilm

mlmlmlml

40.15035.15038.15041.150

4

3

2

1

====

,

mmmmmmmm

l

l

l

l

01.001.001.001.0

4

3

2

1

====

Pozn.: Použijte zákon hromadění chyb v maticové podobě.

Příklad 3-6

Proveďte transformaci kovarianční matice ( )PXcov bodu P[YP,XP].

=

=

65m1151284.349m581002.089

P

PP

XY

X , ( )

=

04-1.83184E05-6.60065E-05-6.60065E-04-1.13246E

PXcov

Požijte transformačních vztahů ),( PPYP XYfy = a ),( PPXP XYfx = .

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )651151284.34Xcos9581002.089Ysin

651151284.34sin9581002.089Ycos

p

p

−+−−=−+−+=

PP

PP

xXy

εεεε

kde g-165.5078=ε

Pozn.: Opět použijte zákon hromadění chyb v maticové podobě.

Příklad 3-7

Vypočtěte všechny v podkapitole 3.4 definované charakteristiky přesnosti bodu P. Je zadaná matice váhových koeficientů PXQ a střední jednotková chyba = 2.002101. 0m

=

=

65m1151284.349m581002.089

P

PP

XY

X ,

=

05-4.5700E05-1.6467E-05-1.6467E-05-2.8252E

PXQ

Příklad 3-8

Určete interval spolehlivosti náhodné veličiny , jejíž charakteristiky byly odhadnuty z výběrového souboru o rozsahu n=30.

1L

Náhodná veličina je popsána vektorem středních hodnot a kovarianční ma-ticí.

( ) ( )[ ] [ 00.10011 == LELE ]a ( ) [ ] [ ]21,11 1.0== LcLcov

Pozn.: Součinitel t volte tak, aby riziko α , že výsledek nepadne do defino-vaného intervalu spolehlivosti, bylo maximálně 5 procent.

- 40 (116) -


Příklad 3-9

Určete interval spolehlivosti náhodné veličiny , jejíž charakteristiky byly odhadnuty z výběrového souboru o rozsahu n=5.

1L

Náhodná veličina je popsána vektorem středních hodnot a kovarianční ma-ticí.

( ) ( )[ ] [ 00.10011 == LELE ]a ( ) [ ] [ ]21,11 1.0== LcLcov

Pozn.: Součinitel t volte tak, aby riziko α , že výsledek nepadne do defino-vaného intervalu spolehlivosti, bylo maximálně 5 procent.

Pozn. Uvažte nespolehlivost odhadu střední hodnoty a rozptylu při malém výběrovém souboru.

Příklad 3-10

Na hladině významnosti 05.0=α ověřte statistickou hypotézu podle rovnice 3.80. Parametry η a byly odhadnuty na základě deseti realizací náhod-né veličiny

2σX .

A) 1.00 == aprimσ , 6095.0.0 === Sm apostσ 0=η , 10=n , 1=k

B) 1.00 == aprimσ , 0254.1.0 === Sm apostσ 0=η , 10=n , 1=k

Příklad 3-11

Na hladině vý znamnosti 10.0=α ověřte statistickou hypotézu podle rovni-ce 3.87. Parametry xη , yη , a byly odhadnuty na základě deseti rea-lizací náhodných veličin

2xσ 2

yσX a Y .

A) 7969.1.0

===apostxx mS ψσ , n , 10=x 1=xk , 6767.0

.0===

apostxyyy mSσ , 10=yn , 1=yk

B) 0366.1.0

===apostxx mS ψσ , 10=xn 1=xk , 0209.1

.0===

apostxyyy mSσ , 10=yn , k 1=y

Příklad 3-12

Normujte vektor reziduí a nakreslete teoretickou a empirickou rozdělovací funkci - vyjděte z podkapitoly 3.7.

=

1.00.78.5-2.61.45.93.0-

1v , ( )

=

2

2

2

2

2

2

2

3.600000002.200000002.200000003.100000002.000000001.900000002.0

Vcov

Řešení

Řešení příkladu 3.1

- 41 (116) -


A. Linearizace funkčního vztahu

( ) ( )dxxxx 42412 0020 +++=

B. Řešení úlohy při 40 −=x

První iterace

40 −=x , 12 , dx40 −= 3−=dx , 7340 −=−−=+= dxxx

Druhá iterace

70 −=x , 12 , dx1021−= 9.0+=dx , 1.69.070 −=+−=+= dxxx

Třetí iterace

1.60 −=x , 12 dx2.881.12 −= , 1.0+=dx , 0.61.01.60 −=+−=+= dxxx

Čtvrtá iterace

0.60 −=x , 12 dx812 −= , 0.0+=dx , 0.60.00.60 −=+−=+= dxxx

C. Řešení úlohy při 40 +=x

Iterace 1

0.40 +=x , 12 dx1232 += , 7.1−=dx , 3.27.10.40 +=−+=+= dxxx

Iterace 2

3.20 +=x , 12 dx6.849.14 += , 3.0−=dx , 0.23.03.20 +=−+=+= dxxx

Iterace 3

0.20 +=x , 12 dx812 += , 0.0−=dx , 0.20.00.20 +=−+=+= dxxx

Pozn.: Nulové přírůstky neznámých jsou základní informací o nalezení ře-šení systému.

Pozn.: Nelineární systémy mohou mít obecně více řešení.

Pozn.: Popsaným postupem nalezeme vždy pouze jedno řešení.

Pozn.: Při velmi nepřesném přibližném řešení, konvergence úlohy k výsledku není zaručena.


A. Obecný zápis linearizované funkce

dzzfdy

yfdx

xffl

∂∂

+∂∂

+∂∂

+= 0

( ) ( ) ( ) ( )dzcdybxdxbyaxczybxaxl ++++++= 00000020 2

B. Numerické vyčíslení linearizované funkce

( ) ( ) cdzbdydxbacbal ++++++= 2232

- 42 (116) -


Pozn.: Linearizujeme-li funkci, která je nelineární, pak jednotlivé parciální derivace jsou funkcí přibližného řešení úlohy.


A. Obecný zápis linearizované funkce

dccfdb

bfda

affl

∂∂

+∂∂

+∂∂

+= 0

( ) ( ) ( ) ( )dczdbxydaxzcyxbxal +++++= 200

20

B. Numerické vyčíslení linearizované funkce

( ) zdcxydbdaxzxyxl +++++= 22 32

Pozn.: Linearizujeme-li funkci lineární, pak jednotlivé parciální derivace jsou konstanty. Z toho vyplývá, že systém bude konvergovat k výsledku v jednom iteračním kroku pro libovolné počáteční řešení úlohy.


A. Původní rovnice oprav

2.539.321.31

3

2

1

−+=−+=−+=

BAvBAvBAv

, , ∑ 111

3

2

1

===

ppp

== min31 iiii vvp

B. Přetvořená rovnice oprav v obecné podobě

( ) BAxBAfL iii +== ,

( ) dBdB

fdABffdBBdAAfvl ii

iiimeri

∂+

∂∂

+=++=+ 0,00 ,

( ) ( )meriii

meriii lfdbdaxldBBdAAfv −++=−++= 0,00 1,

C. Přetvořené rovnice oprav

2.0131.0121.011

3

2

1

−+=++=−+=

dBdAvdBdAvdBdAv

, , ∑ 111

3

2

1

===

ppp

== min31 iiii vvp

D. Maticové sestavení úlohy

−+−

+

=

2.01.01.0

131211

3

2

1

dBdA

vvv

,

=

100010001

P , ∑ == min31 iiii vvp

Pozn.: Úloha je dále řešena maticově podle postupu uvedeného v podkapitole 3.2.


- 43 (116) -


A. Zápis úlohy maticově

=

4

3

2

1

LLLL

L

( )

=

=

mmmm

llll

LE

40.15045.15036.15041.150

4

3

2

1

, ( )

=

2

2

2

2

0.0100000.0100000.0100000.01

Lcov

B. Formulace transformačního vztahu

( )4

,,, 43214321

LLLLLLLLfX +++==

C. Řešení úlohy

[ ]XX =

( ) ( )[ ] mXEXE 405.150==

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=41

41

41

41

4321 lf

lf

lf

lfF

( ) [ ] ( ) [ ]0.000025covcov , === Txx FLFcX

mcm xxx 005.0, ==


A. Zápis úlohy maticově

=

P

PP

XY

X

( ) ( )( )

=

=

65m1151284.349m581002.089

P

PP

XEYE

XE , ( )

=

04-1.83184E05-6.60065E-05-6.60065E-04-1.13246E

PXcov

B. Formulace transformačních vztahů ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )651151284.34Xcos9581002.089Ysin,

651151284.34sin9581002.089Ycos,

p

p

−+−−==−+−+==

PPPXP

PPPYP

XYfxXXYfy

εεεε

kde g-165.5078=ε

C. Řešení úlohy

=

P

PP

xy

x

( ) ( )( )

=

=

0.000m0.000m

P

PP

xEyE

xE

- 44 (116) -


( ) ( )( ) ( )

=

−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=20.85678077-0.51568082

0.51568082-20.85678077-cossinsincos

εεεε

Xf

Yf

Xf

Yf

FXX

YY

( ) ( )

==

=

20.0002229110-3.13112E-10-3.13112E-05-7.35177E

covcov,,

,, T

yxPyxP

xyPyyPP FXF

cccc

x

mcm yyy 009.0, ==

mcm xxx 015.0, ==

mm 015.0max =

mmmix 009.0= g0000.0=σ

D. Grafická interpretace výsledků


A. Výpočet kovarianční matice

( )

=

04-1.83184E05-6.60065E-05-6.60065E-04-1.13246E

cov PX

B. Výpočet parametrů elipsy chyb

0.015mmax =m

0.009mmin =m g51.165=σ

C. Výpočet ostatních charakteristik proměnlivosti

0.017m=pm

0.012m=xym

- 45 (116) -


D. Grafický zákres elipsy chyb


A. Zápis úlohy

( ) 00.1001 == LEη

1.01,11 === LL cmσ

05.0=α , 20=n

B. Interval spolehlivosti

2=t - obrázek 3-6

σηση ttI +−= ,

σσ 2100,20.100 +−=I

2.100,8.99=I


A. Zápis úlohy

( ) 00.1001 == LEη

1.01,11 === LL cmσ

05.0=α , 5=n

B. Interval spolehlivosti

57.2=t - obrázek 3-9

σηση ttI +−= ,

σσ 57.2100,57.20.100 +−=I

287.100,743.99=I

- 46 (116) -



A. Formulace testu

:3T hypotézy proti hypotéze 0H : 20

2 σσ = H : 20

2 σσ ≠

( )20

2

σSkn

R−

=

−−>∨

−<=

21,

2,, 22

3αχαχ knrknrrW

B. Zadání A

1.00 == aprimσ , 6095.0.0 === Sm apostσ , 0=η , 10=n , 1=k , 05.0=α

( )343.3

16095.0110

2

2

=−

=R

( ) ( ) 975.0,110025.0,110, 223 −>∨−<= χχ rrrW

( ) ( )+∞∪∞−= ,020.19700.2,3W

3WR ∉

Závěr testu je tedy, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout.

C. Zadání B

1.00 == aprimσ , 0254.1.0 === Sm apostσ , 0=η , 10=n , 1=k , 05.0=α

( )46.9

10254.1110

2

2

=−

=R

( ) ( ) 975.0,110025.0,110, 223 −>∨−<= χχ rrrW

( ) ( )+∞∪∞−= ,020.19700.2,3W

3WR ∉



A. Formulace testu

:1T hypotézy proti hypotéze kde :0H 22yx σσ = :H 22

yx σσ ≠ yx σσ >

2

2

y

x

SSF =

−−−>= yyxx knknFrrW ,,

21,1

α

- 47 (116) -


B. Zadání A

7969.1.0

===apostxx mS ψσ , 0=xη , 10=xn , 1=xk

6767.0.0

===apostxyyy mSσ , 0=yη , 10=yn , 1=yk

051.72

2

==y

x

SSF

( ) 110,110,05.01,1 −−−>= FrrW

( )+∞= ,21.31W

1WF ∈

Zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu H s rizikem omylu maximálně 10%.

C. Zadání B

0366.1.0

===apostxx mS ψσ , 0=xη , 10=xn , 1=xk

0209.1.0

===apostxyyy mSσ , 0=yη , 10=yn , 1=yk

0309.12

2

==y

x

SSF

( ) 110,110,05.01,1 −−−>= FrrW

( )+∞= ,21.31W

1WF ∉



A. Formulace úlohy

=

1.00.78.5-2.61.45.93.0-

1v , ( )

=

2

2

2

2

2

2

2

3.600000002.200000002.200000003.100000002.000000001.900000002.0

cov V

- 48 (116) -


B. Normování reziduí

=

0.30.33.9-0.80.73.11.5-

,1 normv , ( )

=

1000000010000000100000001000000010000000100000001

normV cov

C. Grafická prezentace

Kontrolní otázky

Jak se obvykle řeší systém nelineárních rovnic v geodézii ?

Vysvětlete pojem chyba z linearizace funkce.

Jaký je rozdíl mezi původní a přetvořenou rovnicí oprav ?

Vyjmenujte charakteristiky proměnlivosti polohového bodu.

Formulujte zákon hromadění středních chyb maticově.

K čemu slouží testy statistických hypotéz ?

Co je to interval spolehlivosti ?


- 49 (116) -


Informace

Správné pochopení látky procvičované v rámci této úvodní kapitoly je dobrým východiskem pro další pokračování ve studiu tohoto učebního textu.

V kapitolách následujících se budeme věnovat úpravám naměřených veličin tj. jejích přípravě na vyrovnání konkrétní geodetické sítě.

Nepůjde pouze o převod veličin na vhodnou výpočetní plochu, ale též o postu-py vedoucí k objektivnímu zhodnocení přesnosti provedených měření.

- 50 (116) -

Vyrovnání osnov směrů

4

4.1


Mezi základní určující veličiny pro výpočty souřadnicové a řešení geodetic-kých sítí všeobecně patří veličiny úhlové. Podle metody určení měříme úhly (např. metoda repetiční) nebo směry (např. metoda měření osnov směrů v řadách a skupinách).

Tato kapitola se zabývá metodami zpracování úplných a neúplných osnov smě-rů, které jsou výsledkem měření směrů v jednotlivých skupinách výše jmeno-vané metody nebo výsledkem opakovaných měření na stanovisku.

Přibližné metody vyrovnání osnov směrů

Pod pojmem vyrovnání osnov měřených směrů si obecně představme hledání pokud možno nejpravděpodobnějších hodnot směrů na jednotlivě zaměřované body.

Mezi přibližné metody vyrovnání osnov směrů zařazujeme odpovídající zpra-cování naměřených veličin v zápisníku vodorovných měřených směrů obr. 4.1. Princip metody spočívá ve spojení osnov jednotlivých skupin prostřednictvím prvního zaměřovaného směru. Kvalita spojení dílčích osnov směrů je tedy ve-lice závislá na směru výchozím. Hodnoty směrů na první bod mají po natočení jednotlivých osnov směrů nulové hodnoty. Vyrovnané hodnoty všech směrů v posledním kroku výpočtu získáme jako aritmetický průměr odpovídajících si směrů v jednotlivých skupinách.

Osnovy směrů při této metodě tedy spojujeme na základě jednoduchých pravi-del daných rovnicemi 4.1 a 4.2 kde symbol zastupuje j-tý měřený směr

v i-té skupině, symbol j-tý vyrovnaný směr v i-té skupině a

merij,ϕ

ijΦ jΨ j-tý vý-

sledný vyrovnaný směr. merimeri

jij

,1

, ϕϕ −=Φ pro a i (4.1) nj ..1= s..1=

( ) ksjjj Φ++Φ=Ψ ...1 pro (4.2) nj ..1=

Symbol n je počet zaměřovaných směru v jedné osnově směrů. Symbol s je počet osnov směrů měřených na jednom stanovisku.

Tato metoda vyrovnání osnov směrů minimalizuje opravy směrů jednotlivých skupin od výsledného směru pouze pro směr výchozí. Opravy ostatních směrů uváženy nejsou.

Vzorce 4.3 a 4.4 jsou ukázkou odhadu průměrné přesnosti měřených směrů ve skupině a přesnosti směrů vyrovnaných, kde n je počet směrů a s je počet sku-pin.

( )( )1

2,

1,1

−

Φ−Ψ=

∑ ==

snm

sn

ijijj

ϕ (4.3)

- 51 (116) -


sm

m ϕ=Ψ (4.4)

Následující úlohy vyrovnání již budou založeny na vyrovnaní pomocí MNČ a budou minimalizovat opravy dílčích směrů od výsledných hodnot pro všechny směry jednotlivých osnov směrů současně. Od těchto metod tedy očekáváme věrohodnější odhady výsledných směrů a jejich charakteristik přesnosti.

4.2 Vyrovnání úplných osnov směrů

Máme-li určitý počet osnov směrů měřených na témže stanovisku, potom o těchto osnovách prohlásíme, že jsou úplné pouze v případě, že obsahují směry na téže body. V osnovách směrů nesmí žádný bod chybět ani přebývat. Příkla-dy úplných osnov směrů jsou na obr. 4-1.

ijij O+Ψ=Φ (4.5)

Definice

Vyrovnaný měřený j-tý směr v i-té skupině je roven součtu j-tého ijΦ

výsledného směru jΨ a otočení i-té osnovy směrů o úhlovou hodnotu

iO .

V následujících odstavcích provedeme formulaci úlohy vyrovnání úplných osnov směrů. Vyjdeme z definice obecné observační rovnice 4.5. Pro zjedno-dušení budeme uvažovat tři osnovy směrů po čtyřech měřených směrech stejné přesnosti.

111 OI +Ψ=Φ , , 211 OII +Ψ=Φ 311 OIII +Ψ=Φ



144 OI +Ψ=Φ , , (4.6) 244 OII +Ψ=Φ 344 OIII +Ψ=Φ

( )3214321, ,,,,,, OOOfv i

jij

merij

ij ΨΨΨΨ=+=Φ ϕϕϕ pro j=1…4 a i=1..3

min3,4

1,1=∑ == ij

ij

ij

ij

vvp ϕϕϕ (4.7)

Původní rovnice oprav 4.6 jsou popisem úlohy vyrovnání s 12 měřenými veli-činami a 7 neznámými parametry, kde parametr Oi nám představuje možnost natočení i-té osnovy směrů. Rovnice 4.7 představuje obecný zápis úlohy. Po-kud bychom na takto sestavenou úlohu aplikovali MNČ, řešení by vedlo na systém normálních rovnic s defektem jedna. O úloze tedy můžeme prohlásit, že má nekonečně mnoho řešení a pro konkretizaci úlohy budeme muset doložit

- 52 (116) -


jednu okrajovou podmínku. V úloze musí například existovat jedna pevná os-nova směrů, na kterou ostatní dvě prostřednictvím MNČ napasujeme – rovnice 4.8.

konstOi = (4.8)

Obr. 4-1 Zápisník měřených vodorovných směrů

Podmínku, konkretizující úlohu vyrovnání, můžeme aplikovat též na neznámý parametr podle rovnice 4.9. jΨ

konstj =Ψ (4.9)

- 53 (116) -


Po uvážení okrajové podmínky 4.9 získáme jednoznačně řešitelnou úlohu s 12 měřenými veličinami a šesti neznámými parametry. Obecný zápis představují rovnice 4.10.

( )321432, ,,,,, OOOfv i

jij

merij

ij ΨΨΨ=+=Φ ϕϕϕ pro j=1…4 a i=1..3

konstm ij

=ϕ pro j=1..4 a i=1..3

g0000.01 =Ψ

min3,4

1,1=∑ == ij

ij

ij

ij

vvp ϕϕϕ (4.10)

Obecná rovnice pro vyrovnání osnov směrů 4.5 je lineární. O řešení úlohy uži-tím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku pro libovolné počáteční řešení. U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 4.11.

[ ] [ ]TTOOOh 0,0,0,,,,,,,, 4,03,02,03,02,01,04,03,02,00 ΨΨΨ=ΨΨΨ= (4.11)

Vektor výsledného řešení pak udává rovnice 4.12.

dhhH += 0 (4.12)

Rovnice 4.10 linearizujeme rozvojem v řadu podle nulového řešení 4.11. Úpra-vou získáme linearizované zprostředkující rovnice 4.14.

( 3,02,01,04,03,02,0,0 ,,,,, OOOff ij

ij

ΨΨΨ= ϕϕ ) (4.13)

( ) 111,0113214321,

1 11,,,,, dOdfOOOOfv Iij

ImerI +Ψ+=+Ψ=ΨΨΨ=+ ϕϕϕϕ

( ) 122,01232143222,

2 11,,,,, dOdfOOOOfv IIImerI +Ψ+=+Ψ=ΨΨΨ=+ ϕϕϕϕ

…

( ) 211,02132143211,

1 11,,,,, dOdfOOOOfv IIIIIImerII +Ψ+=+Ψ=ΨΨΨ=+ ϕϕϕϕ

( ) 222,02232143222,

2 11,,,,, dOdfOOOOfv IIIIIImerII +Ψ+=+Ψ=ΨΨΨ=+ ϕϕϕϕ

…

( ) 311,03132143211,

1 11,,,,, dOdfOOOOfv IIIIIIIIImerIII +Ψ+=+Ψ=ΨΨΨ=+ ϕϕϕϕ

( ) 322,03232143222,

2 11,,,,, dOdfOOOOfv IIIIIIIIImerIII ++=+Ψ=ΨΨΨ=+ ψϕ ϕϕϕ

… (4.14)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav 4.15 představuje finální sestavení úlohy.

- 54 (116) -


−Ψ−Ψ−Ψ

−−Ψ−Ψ−Ψ

−−Ψ−Ψ−Ψ

−

+

ΨΨ

=

merIII

merIII

merIII

merIII

merII

merII

merII

merII

merI

merI

merI

merI

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

dOdOdOddd

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

,44,0

,33,0

,22,0

,1

,44,0

,33,0

,22,0

,1

,44,0

,33,0

,22,0

,1

3

2

1

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0

0

0

100100100010100001100000010100010010010001010000001100001010001001001000

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(4.15)

Zvolíme-li , pak matice vah konstmm i

japri == ϕ.0 P je jednotková – rovnice

4.16.

( ) ( 111111111111=Pdiag ) (4.16)

Sestavenou úlohu vyrovnání řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem vyrovnání bude vektor vyrovnaných neznámých tj. vektor vyrov-naných směrů H a jemu odpovídající kovarianční matice ( )Hcov . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry měřené v jednotlivých skupinách, doplněné opět odpovídající kovarianční maticí ( )Lcov .

Tato kapitola popisuje vyrovnání úplných osnov směrů užitím MNČ. Důraz je kladen na sestavení vlastní úlohy vyrovnání v maticové podobě – rovnice 4.15 a 4.16 popsané na konkrétní úloze tří osnov směrů po čtyřech směrech. Další výpočetní postupy jsou již rutinní aplikací maticových operací a nejsou tedy ani uváděny.

4.3 Vyrovnání neúplných osnov směrů

Máme-li na jednom stanovisku zaměřený větší počet osnov směrů a směry, na které jsme měření prováděli jsou různé, pak hovoříme o neúplných osnovách směrů. Obecně tedy opakovaně zaměřujeme skupiny různých bodů. Základní podmínkou pro vyrovnání takových osnov směrů je, aby existoval v každé skupině alespoň jeden směr totožný se směrem jiné osnovy směrů.

Při sestavování úlohy vyrovnání neúplných osnov směrů postupujeme stejným postupem jako při sestavovaní úlohy v předchozí podkapitole tj. pro každý zaměřený směr v prvním kroku napíšeme zprostředkující rovnici.

- 55 (116) -


Příkladem neúplných osnov směrů může být upravený příklad z předchozí ka-pitoly – rovnice 4.17. Názorně je vidět, že v první skupině nebyl zaměřen směr 4, v druhé směr 2 a 3 a v třetí směr 1 a 2.



133 OI +Ψ=Φ (4.17)

Obecný zápis úlohy vyrovnání je totožný z obecným zápisem úlohy z předcho-zí kapitoly tj. rovnice 4.10. Jediný rozdíl je ve skutečnosti, že máme k dispozici jen 7 měření.

Pro úplnost rovnice 4.18 a 4.19 udává finální maticové sestavení uvažované úlohy.

−Ψ−Ψ−Ψ

−−Ψ−Ψ

−

+

ΨΨΨ

=

merIII

merIII

merII

merII

merI

merI

merI

III

III

II

II

I

I

I

dOdOdOddd

v

v

v

v

v

v

v

,44,0

,33,0

,44,0

,1

,33,0

,22,0

,1

3

2

1

4

3

2

4

3

4

1

3

2

1

0

0

100100100010010100010000001010001001001000

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

(4.18)

( ) ( 1111111 )=Pdiag (4.19)

Pokud řešíme úlohu vyrovnání osnov směrů aplikací MNČ není vůbec nutné rozlišovat zda jde o úplné nebo neúplné osnovy směrů. Je potřeba pouze defi-novat pro každý měřený směr správný tvar zprostředkující rovnice, zvolit vho-dnou okrajovou podmínku a řešit úlohu jen pro takové osnovy směrů, které jsou vzájemně provázány alespoň jedním směrem.

4.4 Shrnutí

Spojování osnov směrů je velmi důležitý krok přípravy měřených dat pro vlastní vyrovnání geodetických sítí. Výsledkem zpracovaní jsou vyrovnané hodnoty směrů a jejich charakteristiky přesnosti. Především údaje o přesnosti jednotlivým vyrovnaných směrů jsou objektivním hodnocením technologie měření a při dostatečném počtu nadbytečných měření jsou více spolehlivé než údaje odvozené z hodnot udávaných výrobci přístrojů. Ani nemluvě o snazší identifikaci hrubých chyb a jejich vyloučení z měření již v této přípravné fázi tj. před vlastním řešením geodetické sítě. Velkým přínosem je i redukce počtu měřených veličin a počtu neznámých ze spojení dílčích osnov jednoznačně vyplývajících.

Do vyrovnání geodetických sítí tedy vstoupí vyrovnané hodnoty osnov směrů dané vektorem H – rovnice 4.12 a údaje o přesnosti jednotlivých směrů odvo-

- 56 (116) -


zených z kovarianční matice neznámých ( )Hcov . Přesnost technologie měření osnov směrů můžeme vypočítat např. jako aritmetický průměr přesností jednotlivých vyrovnaných směrů podle vzorce 4.20.

( ) 44,3,2,1, ΨΨΨΨΨ +++= mmmmm (4.20)

Příklad 4-1

Užitím MNČ vyrovnejte osnovu směrů měřenou na stanovisku 2110. Směry považujte za stejně přesné, zvolte a okrajovou podmínku

ccm 12=ϕ

.0000.02030g=Ψ

=

g

g

g

g

merI

merI

merI

merI

6220.3270312.2774672.263

0000.0

,2040

,4002

,2080

,2030

ϕϕϕϕ

, ,

=

g

g

g

g

merII

merII

merII

merII

6240.3270321.2774658.263

0000.0

,2040

,4002

,2080

,2030

ϕϕϕϕ

=

g

g

g

g

merIII

merIII

merIII

merIII

6242.3270291.2774644.263

0000.0

,2040

,4002

,2080

,2030

ϕϕϕϕ

Příklad 4-2


ccm 20=ϕ

.0000.02090g=Ψ

=

g

g

g

g

merI

merI

merI

merI

2535.2685646.2083248.106

0000.0

,4002

,2040

,2120

,2090

ϕϕϕϕ

, ,

=

g

g

g

g

merII

merII

merII

merII

2541.2685644.2083270.106

0000.0

,4002

,2040

,2120

,2090

ϕϕϕϕ

=

g

g

g

g

merIII

merIII

merIII

merIII

2508.2685608.2083212.106

0000.0

,4002

,2040

,2120

,2090

ϕϕϕϕ

Příklad 4-3


ccm 10=ϕ

.0000.02120g=Ψ

=

g

g

g

g

g

g

merI

merI

merI

merI

merI

merI

7984.3324705.2592584.1939537.977030.530000.0

,4001

,4002

,2110

,2030

,2130

,2120

ϕϕϕϕϕϕ

, ,

=

g

g

g

g

g

g

merII

merII

merII

merII

merII

merII

8010.3324720.2592576.1939560.977030.530000.0

,4001

,4002

,2110

,2030

,2130

,2120

ϕϕϕϕϕϕ

=

g

g

g

g

g

g

merIII

merIII

merIII

merIII

merIII

merIII

8015.3324724.2592599.1939552.977035.530000.0

,4001

,4002

,2110

,2030

,2130

,2120

ϕϕϕϕϕϕ

Příklad 4-4

Vypočtěte odhad přesnosti přibližného vyrovnání osnov směrů pro měření na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetních vztahů 4.3 a 4.4.

- 57 (116) -


Příklad 4-5

Vypočtěte odhad přesnosti vyrovnání osnov směrů užitím MNČ pro měření na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetních vztahů 4.3 a 4.4.

Pozn.: Výraz ve vztahu 4.3 nahraďte odpovídajícími hodnotami

oprav měřených směrů v z vyrovnání.

ijj Φ−Ψ

ijϕ

Řešení

Řešení příkladu 4.1 - stanovisko 2110

A. Sestavení úlohy vyrovnání

000000.1.0 =aprim , m , cc12=ϕ

g0000.02030 =Ψ - okrajová podmínka úlohy gO 0000.01,0 = , , gO 0000.02,0 = gO 0000.03,0 =

g0000.2632080,0 =Ψ , , g0000.2774002,0 =Ψ g0000.3272040,0 =Ψ

+

ΨΨΨ

=

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

3

2

1

2040

4002

2080

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

0.6242-0.0291-0.4644-0.0000-0.6240-0.0321-0.4658-0.0000-0.6220-0.0312-0.4672-0.0000-

100100100010100001100000010100010010010001010000001100001010001001001000

dOdOdO

ddd

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

B. Základní údaje o vyrovnání

12=n , k , 6= 6=− kn , 040555.1.0 =apostm

- 58 (116) -


C. Vektor vyrovnaných měření, vektor středních chyb a vektor oprav

−

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

6228.3270302.2774652.2630006.06239.3270313.2774663.263

0005.06239.3270309.2774659.263

0001.0

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

, ,

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

mmmmmmmmmmmm

999999999999

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

−++−−−+++−−+

=

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

vvvvvvvvvvvv

1411861855

153

131

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

2040

4002

2080

2030

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

D. Konstanty pro vyrovnání

[ ] [ ]g0000.02030 =Ψ , [ ] [ ]ccm 02030 =Ψ

E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejich středních chyb

−++

=

ΨΨΨ

g

g

g

g

g

g

OOO

0006.00005.00001.06234.3270308.2774658.263

3

2

1

2040

4002

2080

,

=

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

O

O

O

mmm

mmm

999

101010

3

2

1

2040

4002

2080



000000.1.0 =aprim , m cc20=ϕ

g0000.02090 =Ψ - okrajová podmínka úlohy gO 0000.01,0 = , O , O g0000.02,0 = g0000.03,0 =

g0000.1062120,0 =Ψ , Ψ , Ψ g0000.2082040,0 = g0000.2684002,0 =

- 59 (116) -


+

ΨΨΨ

=

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

3

2

1

4002

2040

2120

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

0.2508-0.5608-0.3212-0.0000-0.2541-0.5644-0.3270-0.0000-0.2535-0.5646-0.3248-0.0000-

100100100010100001100000010100010010010001010000001100001010001001001000

dOdOdO

ddd

vvvvvvvvvvvv

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


12=n , k , 6= 6=− kn , 644474.0.0 =apostm


−

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

2509.2685614.2083224.1060019.02541.2685645.2083256.106

0013.02534.2685639.2083250.106

0006.0

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

, ,

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

mmmmmmmmmmmm

999999999999

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

+++−++

−+−−++

=

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

II

II

II

II

I

I

I

I

vvvvvvvvvvvv

16

121901

14131726

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

4002

2040

2120

2090

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


[ ] [ ]g0000.02090 =Ψ , [ ] [ ]ccm 02090 =Ψ

E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejích středních chyb

−++

=

ΨΨΨ

g

g

g

g

g

g

OOO

0019.00013.00006.02528.2685633.2083243.106

3

2

1

4002

2040

2120

,

=

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

O

O

O

mmm

mmm

999

111111

3

2

1

4002

2040

2120

Řešení příkladu 4.3 – stanovisko 2040


- 60 (116) -


000000.1.0 =aprim , m cc10=ϕ

g0000.02120 =Ψ - okrajová podmínka úlohy gO 0000.01,0 = , O , O g0000.02,0 = g0000.03,0 =

g0000.532130,0 =Ψ , Ψ , Ψ g0000.972030,0 = g0000.1932110,0 =

g0000.2594002,0 =Ψ , Ψ g0000.3324001,0 =

Pozn.: Sestavení úlohy maticově je obdobné jako u příkladů 4.1 a 4.2.


18=n , k , n , 8= 10=− k 833267.0.0 =apostm


,

8009.3324723.2592593.1939556.977038.53

0006.08004.3324718.2592588.1939551.977033.530001.07995.3324708.2592579.1939542.977024.530008.0

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

−

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

III

III

III

III

III

III

II

II

II

II

II

II

I

I

I

I

I

I

,

666666666666666666

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

III

III

II

II

II

II

II

II

I

I

I

I

I

I

mmmmmmmmmmmmmmmmmm

−−−+++−−+−++

++−+−−

=

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

III

III

III

III

III

III

II

II

II

II

II

II

I

I

I

I

I

I

vvvvvvvvvvvvvvvvvv

61643652

129311135568

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

4001

4002

2110

2030

2130

2120

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


[ ] [ ]g0000.02120 =Ψ , [ ] [ ]ccm 02120 =Ψ

E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejich středních chyb

++−

=

ΨΨΨΨΨ

g

g

g

g

g

g

g

g

OOO

0006.00002.00008.08003.3324716.2592586.1939550.977032.53

3

2

1

4001

4002

2110

2030

2130

,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

O

O

O

mmm

mmmmm

66677777

3

2

1

4001

4002

2110

2030

2130

- 61 (116) -



=

=Ψcc

cc

smm

712

2110tan

ϕ , ,

=

=Ψcc

cc

smm

1220

4001tan

ϕ

=

=Ψcc

cc

smm

610

2040tan

ϕ


=

=Ψcc

cc

smm

611

2110tan

ϕ ,

,

=

=Ψcc

cc

smm

711

4001tan

ϕ

=

=Ψcc

cc

smm

58

2040tan

ϕ

Kontrolní otázky

Co je to úplná osnova směrů ?

Co je to neúplná osnova směrů ?

Jaké znáte přibližné a přesné metody vyrovnání osnov směrů ?


Informace

Tato kapitola se věnuje základní metodě zpracovaní osnov směrů před vlastním vstupem těchto veličin do vyrovnání geodetických sítí. Čtenář se též naučil objektivně posoudit přesnost technologie měření osnov směrů tj. apriorní přes-nosti metody. Správný odhad přesnosti technologie měření bude velmi důležitý pro správnost řešení vlastní geodetické sítě v kombinaci s dalšími druhy měře-ných veličin.

Následující kapitola čtenáře seznámí s pojmem orientace osnovy směrů a jeho významem pro řešení geodetických sítí.

- 62 (116) -

Orientace osnov směrů


- 63 (116) -

5

5.1

Orientace osnov směrů nám umožňuje přímou konfrontaci naměřených úhlo-vých veličin se stávajícím bodovým polem. V úloze vyrovnání začneme použí-vat i souřadnice zaměřovaných bodů. Odhady charakteristik přesnosti oriento-vané osnovy směrů v sobě nadále nebudou zahrnovat pouze přesnost technolo-gie měření směrů tj. přesnost měření směrů a přesnost centrace jak tomu bylo v případě vyrovnání osnov směrů, ale také kvalitu použitého bodového pole.

Tato kapitola se zabývá problematikou orientací osnov směrů. Budeme praco-vat s pojmy předběžná orientace osnov směrů, přibližná orientace osnov směrů a s pojmem orientační posun.

Předběžná orientace osnov směrů

Poloha nulového čtení na vodorovném kruhu měřícího přístroje je při měření položena do obecného směru nebo do směru nastaveného měřičem. Zpracová-ním osnov směrů na jednom stanovisku jsme získali osnovy s nulovým čtením vloženým do směru na první zaměřovaný bod. Výsledkem orientace osnovy bude vložení nulového čtení do směru společného pro všechna stanoviska. Tímto základním směrem bude rovnoběžka s osou X.

Orientaci osnovy měřených směru obecně provedeme jejím natočením, aby-chom četli nulové čtení na vodorovném kruhu právě v okamžiku po zacílení stroje do kladného směru osy X.

Obr. 5-1 Osnova směrů měřena na stanovisku i

Z obrázku 5-1 je zřejmé, že po orientaci osnovy směrů merli ,ψ pro l n..1= osno-

va přejde v osnovu pro l . Orientované směry tedy odpovídají směrníkům k odpovídajícím bodům.

merli,σ n..1=


( ) iil

ililili O

xxyyarctgOf −

−−

==Ψ ,,, ψ (5.1)

Definice

Vyrovnaný měřený směr li,Ψ získáme jako rozdíl směrníku vypoč-sourli,σ

teného ze souřadnic daných bodů a orientačního posunu O společného i

pro celou osnovu směrů.

Definice

Orientační posun O je směrník nulového směru tj. směrník nulového i

čtení na vodorovném kruhu měřícího přístroje.

Vztah 5.1 je definicí základní observační rovnice, kterou využijeme k orientaci osnovy směrů užitím MNČ. Výsledkem výpočtu bude odhad hodnoty orientač-ního posunu O jako jediného neznámého parametru při vyrovnání. Hodnotu orientačního posunu dále použijeme k orientaci osnovy směrů podle následující rovnice – 5.2.

i

imerli

merli O+= ,, ψσ pro nl ..1= (5.2)

Předběžná orientace osnovy směrů Předběžně orientovaná osnova směrů je osnova směrů orientovaná na základě známých souřadnic bodů. Pro nás to znamená, že osnova směrů musí být mě-řena na daném bodě a musí obsahovat alespoň jednu záměru na další známý bod. Směry osnovy směrů na neznámé body do výpočtu parametru vůbec nevstoupí.

iO

Pro zjednodušení budeme dále uvažovat osnovu směrů měřenou na daném bodě o třech směrech na okolní body o známých souřadnicích a jedním směrem na bod neznámý. Budeme též uvažovat, že jednotlivé směry osnovy směrů mají stejnou přesnost.

Uvažovaná osnova o 4=n směrech obsahuje pouze 3=k použitelných směrů pro výpočet orientačního posunu.

ii

ii O

xxyyarctg −

−−

=Ψ1

11,

ii

ii O

xxyyarctg −

−−

=Ψ2

22,

ii

ii O

xxyyarctg −

−−

=Ψ3

33, (5.3)

- 64 (116) -


- 65 (116) -

( ijijimer

jiji Ofv ,,,,, ψψψ =+=Ψ ) pro j=1..3

konstmji

=,ψ pro j=1..3

(5.4) min3

1 ,,,=∑ =j jijiji

vvp ψψψ

Obecná rovnice pro vyrovnání osnov směrů 5.1 je lineární. O řešení úlohy uži-tím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku pro libovolné počátečním řešení. U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečného řešení podle rovnice 5.5.

[ ] [ ]TTOh 01,00 == (5.5)


dhhH += 0 (5.6)


( )ijiji Off ,0,,,,,0 ψψ = (5.7)

( )

( )

( ) iiii

iiii

meri

iiii

iiii

meri

iiii

iiii

meri

dOfOxxyyarctgOfv

dOfOxxyyarctgOfv

dOfOxxyyarctgOfv

1

1

1

3,,,03

33,,3,3,

2,,,02

22,,2,2,

1,,,01

11,,1,1,

−=−

−−

==+

−=−

−−

==+

−=−

−−

==+

ψψψ

ψψψ

ψψψ

ψ

ψ

ψ

(5.8)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav 5.9 představuje finální sestavení úlohy tj. úlohy soustavy tří rovnic o jedné neznámé.

[ ]

−−−

+

−−−

=

meri

souri

meri

souri

meri

souri

i

i

i

i

dOvvv

3,3,

2,2,

1,1,

3,

2,

1,

111

ψσψσψσ

(5.9)

Zvolíme-li , pak matice vah konstmmjiapri ==

,.0 ψ P bude jednotková – rovni-

ce 5.10.

( ) ( 111=Pdiag ) (5.10)

Sestavenou úlohu vyrovnání řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vektor s odhadem hodnoty orientačního posunu a jemu odpovídající kovarianční matice ( )Hcov . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry na jednotlivé body a matice ( )Lcov bude kovarianční maticí vyrovnaných měřených veličin.

Řešení úlohy vede na známý vztah používaný pro orientace osnov směrů daný rovnicí 5.11, kde k je počet směrů na body známé.


kO

merji

sourji

kj

i∑ −

= = ,,1 ψσ (5.11)

Výpočetní vzorec pro určení orientovaných směrů osnovy směrů o n smě-rech dle rovnice 5.2 bude mít ve finální podobě tvar 5.12.

merli,σ

k

merji

sourji

kjmer

limerli

∑ −+= = ,,1

,,

ψσψσ pro nl ..1= (5.12)

Aplikujeme-li na vztah 5.12 zákon hromadění středních chyb získáme výpo-četní vzorec 5.13 pro vyjádření vzájemného vztahu mezi přesností směrů v původní osnově směrů a v osnově směrů orientované.

km

mm2

22 ψψσ += (5.13)

Druhý člen vzorce 5.13 je za předpokladu bezchybného bodového pole teore-tickým odhadem přesnosti orientačního posunu. Poněvadž každé bodové pole má svoji kvalitu, je vhodnější převzít přesnost výpočtu orientačního posunu spíše z výsledků vyrovnání úlohy. Odhad přesnosti orientovaného směru je následně vyjádřen rovnicí 5.14, kde je prvek kovarianční matice nezná-mých parametrů.

1,1Hc

iOmmm 222 += ψσ kde 211,1HiO c=m (5.14)

V této kapitole mluvíme o předběžné orientaci osnovy směrů. Pojem předběžně znamená, že výpočtem upravená osnova směrů bude dále využita pro řešení souřadnicových úloh nebo pro řešení geodetických sítí. Osnova směrů byla ve své podstatě převedena na osnovu tzv. měřených směrníků. Při řešení geodetic-kých sítí takovou osnovu obecně nebudeme dále otáčet. Jednotlivé směry do-stanou pouze opravu z vyrovnání a získáme tak finální podobu osnovy směrů tj. konečně orientovanou osnovu směrů.

5.2 Přibližná orientace osnov směrů

Přibližně orientovaná osnova směrů je osnova orientovaná na základě přibliž-ných souřadnic bodů. Pro nás to znamená, že osnova směrů bude měřena na neznámém bodě se záměrami na další neznámé i známé body. Do výpočtu tedy vstoupí body se známými i přibližnými souřadnicemi.

Pro přibližnou orientaci osnovy směrů použijeme výpočetní aparát definovaný v předchozí podkapitole. Vlastní řešení úlohy bude obsahovat nekorektní vý-počet směrníku vyplývající z neznalosti přesných souřadnic stanoviska pozoro-vání, na kterém je osnova směrů změřena. Chyba ve výpočtu směrníku se pl-nou mírou podepíše na hodnotě odhadovaného orientačního posunu. Obrázek 5-2 ilustruje situaci při záměře na jeden bod. Bod i představuje přibližnou polohu místa pozorovaní. Správná poloha stanoviska je označena symbolem i

*

- 66 (116) -


- 67 (116) -

bez hvězdičky. Úhel iβ je chyba směrníku vypočteného z přibližných sou-

řadnic stanoviska. Rovnice 5.15 udává vztah mezi orientačním posunem pro přibližnou orientaci osnovy směrů a orientačním posunem o pro předběžnou orientací osnovy směrů. Orientační posun a o je odvozen ze záměry na bod 1.

*1,iσ

*io

*io

i

i

1β

k

sourji,σ

merli,ψ

1* β+= ii oo (5.15)

Obr. 5-2 Přibližná orientace osnovy směrů

Odhad správné polohy stanoviska pozorovaní získáme až při řešení geodetické sítě, při kterém budeme řešit i odhad úhlu tj. provedeme finální natočení osnovy směrů.

merji

kjmer

limerli

∑ −+= = ,1

,,

ψψψ pro nl ..1= (5.16)

Při řešení úlohy orientace osnovy směrů na neznámém bodě využijeme jeho přibližných souřadnic. Orientaci osnovy směrů tedy provedeme pouze přibližně s chybou β jako průměrné hodnoty jβ z měření na okolní body. Výsledkem zpracování bude pouze osnova směrů velmi blízka osnově měřených směrníků. U této osnovy budeme muset řešit její natočení i v procesu dalšího zpracování. Měřené směry výsledné osnovy tedy budeme dále označovat symbolem .

5.3 Posouzení přesnosti souřadnic výchozích bodů

Výsledky vyrovnání úlohy užitím MNČ mohou posloužit pro objektivní posou-zení apriorně volených přesností vstupních veličin. Tato kapitola se bude zabý-vat stanovováním přesností technologií měření na základě aposteriorních cha-rakteristik přesnosti tj. charakteristik přesnosti vypočtených po vyrovnání.


Dodržení níže popisovaných postupů bude o to důležitější, pokud budeme pra-covat s veličinami získanými různými technologickými postupy.

Měřené veličiny získané různými observačními technikami nebo technologiemi měření nazýváme různorodé. Každá skupina veličin je na vstupu do vyrovnání popsána apriorní přesností vycházející z údajů udávanými výrobci přístrojů nebo správněji z analýz rozptylů naměřených dat. Příkladem může být přesnost měřené osnovy směrů ve třech skupinách vteřinovým přístrojem, kterou jsme v minulé kapitole konfrontovali s odhady přesnosti vyrovnaných osnov směrů. Výsledkem vyrovnání osnov směrů již nebyl pouze odhad přesnosti přístroje, ale celé technologie měření. Odhady přesnosti získané úpravou dat před vyrov-náním při dostatečně velkém počtu nadbytečných měření jsou pak mnohem kvalitnější pro další výpočetní proces než údaje udávané výrobci. K odhadu apriorních přesností technologií měření můžou posloužit i výsledky následovně provedeného vyrovnání měřených veličin tj. aposteriorní stanovení apriorních přesností technologií měření. Věrohodnost odhadu i zde souvisí s dostatečným počtem nadbytečných měření.

Přesnost výchozího bodového pole lze do úlohy vyrovnání zahrnout definová-ním observačních rovnic jednotlivých souřadnic bodů – rovnice 5.17 a 5.18. Souřadnice bodů obvykle nezískáme přímým měřením. Často se tedy v tomto kontextu hovoří o tzv. fiktivních měřených veličinách.

( ) iiiyfik

i YYfY == , (5.17)

( ) iiixfik

i XXfX == , (5.18)

Definice

Souřadnici Y bodu i považujeme za fiktivní měřenou veličinu , která meriy

je rovna Y souřadnici bodu Y jako parametru pro vyrovnání. i

Definice

Souřadnici X bodu i považujeme za fiktivní měřenou veličinu , která merix

je rovna X souřadnici bodu jako parametru pro vyrovnání. iX

Druhý typ veličiny, která vstoupí do úlohy vyrovnání je měřený směr osnovy směrů. Observační rovnice měřeného směru podle vzorce 5.1 bude muset být mírně upravena. Souřadnice bodů i a j jsou nyní parametry při vyrovnání. Rovnice 5.1 tedy přejde na rovnici 5.19 o pěti neznámých parametrech.

( ) iij

ijijjiijii O

XXYY

arctgOXYXYf −−−

==Ψ ,,,,,,ψ (5.19)

- 68 (116) -


- 69 (116) -

Definice

Vyrovnaný měřený směr je funkcí pěti parametrů tj. souřadnic bodu ji,Ψ

stanoviska – , souřadnic bodu, na který byla realizována záměra – ii XY ,

jj XY , a orientačního posunu O společného pro celou osnovu směrů. i

Pro zjednodušení budeme dále uvažovat osnovu směrů měřenou na daném bodě o třech směrech na tři okolní body o známých souřadnicích. Budeme též uvažovat, že jednotlivé směry osnovy směrů mají stejnou přesnost. Konstantní přesnost přiřadíme také všem fiktivně měřeným veličinám tj. observačním rov-nicím souřadnic bodů.

Úloha vyrovnání bude v této konkrétní podobě obsahovat jedenáct observač-ních rovnic a devět neznámých parametrů.

Vzorce 5.20 představují observační rovnice stanoviska měření. Vztahy 5.21 jsou obecnou podobou observačních rovnic 5.20.

( )( ) iiix

fiki

iiiyfik

i

XXfXYYfY==

==

,

, (5.20)

( )( )iixix

meri

fiki

iiyiymeri

fiki

XfvxXYfvyY

,

,

=+==+=

Amm ixiy == ,, kde A=konst (5.21)

Vzorce 5.22 představují observační rovnice bodů, na které bylo v osnově smě-rů měřeno a rovnice 5.23 je opět jejich obecnou podobou.

( )( ) 111,1

111,1

XXfXYYfY

xfik

yfik

====

( )( ) 222,2

222,2

XXfXYYfY

xfik

yfik

====

( )( ) 333,3

333,3

XXfXYYfY

xfik

yfik

====

(5.22)

( )( jjxjx

merj

fikj

jjyjymerj

fikj

XfvxXYfvyY

,

,

=+=

=+=

) pro j=1..3

Amm jxjy == ,, pro j=1..3 kde A=konst (5.23)

Popis úlohy vyrovnání uzavírají observační rovnice osnov směrů 5.24 v kon-krétní a 5.25 v obecné podobě. Pro dosažení jednoznačnosti řešení systému je přidána základní podmínka pro řešení úloh užitím MNČ – rovnice 5.26.


ii

ii

ii

ii

ii

ii

OXXYYarctg

OXXYYarctg

OXXYYarctg

−

−−

=Ψ

−

−−

=Ψ

−

−−

=Ψ

3

33,

2

22,

1

11,

(5.24)

( )ijjiijijimer

jiji OXYXYfv ,,,,,,,,, ψψψ =+=Ψ pro j=1..3

Bmji

=,ψ pro j=1..3 kde B=konst (5.25)

min3

1 ,,,3,2,1,3,2,1,=++ ∑∑∑ =∈∈ j jijijiij jxjxjxij jyjyjy vvpvvpvvp ψψψ (5.26)

Obecné rovnice 5.21, 5.23 a 5.25 nejsou v některých parametrech lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku v jenom výpočetním kroku – jedna iterace pouze při znalosti přibližného řeše-ní v diferenciálních hodnotách blízkého řešení finálnímu. V uvažované úloze vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 5.27.

[ ][ Tmermermermermermermer

imeri

Tiii

xyxyxyxyOXYXYXYXYh0,,,,,,,,

,,,,,,,,

332211

,03,03,02,02,01,01,0,0,00

=

==

] (5.27)


dhhH += 0 (5.28)

Rovnice 5.20, 5.22 a 5.24 linearizujeme rozvojem v řadu podle nulového řeše-ní 5.27. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 5.30, 5.31 a 5.32.

( )(

( )0,,,,,,,,0,,,,,,,,0,,,,,,,,

332211,,,,,0

332211,,,0

332211,,,0

mermermermermermermeri

merijiji


meriixix


meriiyiy

xyxyxyxyffxyxyxyxyffxyxyxyxyff

ψψ ===

) (5.29)

( )( ) iixiiiixix

meri

iiyiiiiyiymeri

dXfOXYXYXYXYfvxdYfOXYXYXYXYfvy

1,,,,,,,,1,,,,,,,,

,,0332211,,

,,0332211,,

+==++==+ (5.30)

( )( )( )( )( )( ) 33,,03322113,3,3

33,,03322113,3,3

22,,03322112,2,2

22,,03322112,2,2

11,,03322111,,1

11,,03322111,1,1

1,,,,,,,,1,,,,,,,,1,,,,,,,,1,,,,,,,,

1,,,,,,,,1,,,,,,,,

dXfOXYXYXYXYfvxdYfOXYXYXYXYfvydXfOXYXYXYXYfvxdYfOXYXYXYXYfvy

dXfOXYXYXYXYfvxdYfOXYXYXYXYfvy

xiiixxmer

yiiiyymer

xiiixxmer

yiiiyymer

xiiixixmer

yiiiyymer

+==++==++==++==+

+==++==+

(5.31)

- 70 (116) -


- 71 (116) -

( )

( )

( )

isouri

souri

souri

souri

isouri

souri

isouri

souri

i

iiiiimeri

isouri

souri

souri

souri

isouri

souri

isouri

souri

i

iiiiimeri

isouri

souri

souri

souri

isouri

souri

isouri

souri

i

iiiiimeri

dOdys

dys

dxs

dys

f

OXYXYXYXYfv

dOdys

dys

dxs

dys

f

OXYXYXYXYfv

dOdys

dys

dxs

dys

f

OXYXYXYXYfv

−−++−=

==+

−−++−=

==+

−−++−=

==+

33,

3,3

3,

3,

3,

3,

3,

3,3,,,0

3322113,,3,3,

22,

2,2

2,

2,

2,

2,

2,

2,2,,,0

3322112,,2,2,

11,

1,1

1,

1,

1,

1,

1,

1,1,,,0

3322111,,1,1,

sincossincos,,,,,,,,



σσσσψ

σσσσψ

σσσσψ

ψ

ψψ

ψ

ψψ

ψ

ψψ

(5.32)

Zvolíme-li , pak matice vah 1.0 =aprim P je diagonální – rovnice 5.33.

( )

= 22222222222

11111111111BBBAAAAAAAA

Pdiag (5.33)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav 5.34 představuje finální sestavení úlohy tj. úlohy soustavy jedenácti rovnic o devíti neznámých.

−−−

+

−−−

=

meri

souri

meri

souri

meri

souri

i

i

i

iiii

iiii

iiii

i

i

i

x

y

x

y

x

y

ix

iy

dOdXdYdXdYdXdYdXdY

dcbadcba

dcba

vvvvvvvvvvv

3,3,

2,2,

1,1,3

3

2

2

1

1

3,3,3,3,

2,2,2,2,

1,1,1,1,

3,,

2,,

1,,

3,

3,

2,

2,

1,

1,

,

,

00000000

100001000010000

010000000001000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001

ψσψσψσ

ψ

ψ

ψ

(5.34)

kde sourji

sourji

ji sa

,

,,

cosσ−= , sour

ji

sourji

ji s ,

,,

sinσ=b , sour

ji

sourji

ji s ,

,,

cosσ=c a sour

ji

sourji

ji sd

,

,,

sinσ−= .

Sestavenou úlohu vyrovnání řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání. Výsledkem vyrovnání bude vektor vyrovnaných neznámých parametrů H tj. vektor s odhadem hodnoty orientačního posunu a odhadem souřadnic bodů. Vektor H bude doplněn o jemu odpovídající kovarianční maticí ( )Hcov . Vek-tor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry na jednotlivé body a souřadnice bodů jako měřené veličiny. Vektoru L opět přiřadíme kova-rianční maticí, kterou označíme ( )Lcov .

V dalším textu se již budeme zabývat problematikou správné volby vah pro vyrovnání úlohy s různorodými veličinami. Získané zkušenosti na závěr apli-kujeme na příklad matematicky popsaný v předchozích odstavcích tj. na úlohu,


kde do vyrovnání vstupují dva druhy měřených veličin (osnova měřených smě-rů a fiktivní měřené souřadnice bodů bodového pole).

Pro zjednodušení budeme dále uvažovat pouze dva typy měřených veličin ri a si. Každé měřené veličině náleží i odhad její přesnosti, který odpovídá přesnosti technologie měření. Tyto přesnosti budeme nazývat apriorní. Skupině veličin typu rj o rozsahu nr přiřadíme konstantní apriorní přesnost mr a skupině veličin si o rozsahu ns přiřadíme konstantní apriorní přesnost ms.

ir , rir mm =, pro i=1.. rn

js , sjs mm =, pro j=1.. n (5.35) s

Apriorní střední jednotkovou chybu pro vyrovnaní volíme . Počet všech měřených veličin v úloze vyrovnání bude n – rovnice 5.36.

1.0 =aprim

sr nnn += (5.36)

Střední jednotkovou chybu aposteriorní vypočteme podle obecně zná-mého vzorce 5.37, kde k je počet neznámých parametrů.

apostm .0

knpvv

m apost −= ∑

.0 (5.37)

Výpočetní vzorec 5.37 upravíme uvážením vztahu 5.35 a získáme vztah 5.38.

knvvpvvp

m jsjssnjirirr

ni

apost

sr

−+

= ∑ ∑ == ,,1,,1.0 (5.38)

Dále definujeme výpočetní vztahy pro odhad střední jednotkové chyby po vy-rovnání vypočtené z oprav měřených veličin ri a oprav měřených veličin sj.

( )nnkn

vvpm

r

irirrni

apostr

r

−= ∑ = ,,1

..0 (5.39)

( )nn

kn

vvpm

s

jsjssnj

aposts

s

−= ∑ = ,,1

..0 (5.40)

Pro úlohu vyrovnání můžeme vypočítat odhady všech výše jmenovaných cha-rakteristik přesnosti.

V dalším textu budeme obecně předpokládat, že skupiny veličin ri a sj jsou dostatečně rozsáhlé statistické soubory a odhady výše jmenovaných charakte-ristik přesnosti jsou dostatečně spolehlivé.

Správnost odhadu apriorní přesnosti technologií měření ověříme na základě výsledku vyrovnání použitím vztahů 5.41 a 5.42.

- 72 (116) -


- 73 (116) -

apostaprio mm .0. = (5.41)

apostsapostro mm ..0.. = (5.42)

Statistickým testováním rovnosti dvou středních chyb se zabývají úvodní kapi-toly tohoto modulu.

1.0

.1 ==

apri

aposto

mm

k (5.43)

Definice

Je-li správně zvolena apriorní přesnost technologie měření, pak koefici-ent k1 vyjadřující poměr střední jednotkové chyby před vyrovnáním

apriom . a střední jednotkové chyby po vyrovnání je roven jedné. apostm .0

Vyjde-li koeficient k1 menší jak jedna, dosáhli jsme vyrovnáním lepších vý-sledků než jsme předpokládali. Je-li k1 vetší jak jedna dosáhli jsme vyrovnáním výsledků horších. Příčina může být ve špatném odhadu apriorní přesnosti technologií měření nebo z důvodu odlehlých hodnot v souboru měření.

OLDr

NEWr mkm 1=

(5.44)

řesnosti jednotlivých technologií měření vstupujících

OLDs

NEWs mkm 1=

Správný odhad apriorní pdo úlohy vyrovnání získáme výpočetním vztahem 5.44. Nové odhady přesnosti technologií měření aplikujeme do úlohy vyrovnání a provedeme opakovaný výpočet úlohy. Postupovat lze iteračně do okamžiku splnění rovnice 5.43 na základě odpovídajícího statistického testu.

1..2 == apostrom

k (5.45)

Mají-li se výsledky technologie měření veličin ri a sj uplatnit ve vyrovná-

.. apostsom

Definice

ní stejnou mírou, pak musí být koeficient k2 o poměru odhadu středních aposteriorních chyb technologií měření ri a sj roven jedné.

Správný odhad poměru apriorních přesnosti jednotlivých technologií měření

získáme výpočetními vztahy danými rovnicemi 5.46 nebo 5.47.


OLDs

NEWs mm =

2k

5.4 Shrnutí

•

•

•

ccm 10=ψ

/mm OLDr

NEWr = (5.46)

2kmm OLDs

NEWs =

OLDr

NEWr mm = (5.47)

Nové odhady přesnosti technologií měření aplikujeme do úlohy vyrovnání a provedeme opakovaný výpočet úlohy. Postup lze iteračně opakovat až do oka-mžiku splnění rovnice 5.45 na základě odpovídajícího statistického testu.

V této podkapitole byl zaveden pojem různorodě měřené veličiny jako výsledek měření různých technologických postupů. Byly navrženy postupy pro posouzení apriorních přesností a stanovení jejích správného poměru pro provedení finálního vyrovnání úlohy.

Dále byl definován pojem fiktivní měřená veličina resp. fiktivně měřená souřadnice bodu.

Byla definována úloha vyrovnání osnov směrů s uvážením přesnosti výchozího bodového pole tj. úloha s veličinami různorodými. Výpočetní postupy zmiňo-vané v závěru této podkapitoly mohou ve svém důsledku pomoci ke stanovení správného poměru mezi přesností měření osnovy směrů a přesností bodového pole – výpočetní vztahy 5.35 - 5.47.

V následující podkapitole bude na praktických příkladech demonstrována pro-blematika kapitoly 5.

Tato podkapitola by měla být praktickým dokreslením nabytých zkušeností týkajících se orientací osnov směrů a volby apriorních přesností technologií měření vstupujících do procesu vyrovnání.

Stanovení apriorní přesnosti technologií měření můžeme provést:

na základě údajů poskytnutých prodejci přístrojů,

na základě údajů vypočtených z rozptylů výsledků získaných určitou tech-nologií měření nebo

na základě informací o provedeném vyrovnání

Spolehlivost všech odhadů souvisí s dostatečným počtem nadbytečných měře-ní.

Příklad 5-1

Užitím MNČ proveďte předběžnou orientaci osnovy směrů měřenou na sta-novisku 2110. Směry považujte za stejně přesné a zvolte

- 74 (116) -


- 75 (116) -

]01142807.46,593427.420[2040]01141974.69,593369.920[2080

====

XYXY

=

g

g

mer

mer

4658.2630000.0

2080,2110

2030,2110

ψψ

=

mm

2080,2110

2030,2110

ψ

ψ

0]1143841.81,593624.290[20300]1142743.11,593987.890[2110

====

XYXY

cc

cc

1010

ccm 11=ψ

]0m1143019.86,m592478.600[2120]0m1141928.24,m592751.680[2090

====

XYXY

ccm 7=ψ

]0m1143019.86,m592478.600[2120]0m1142807.46,m593427.420[2040

====

XYXY

g

g

mer

mer

6234.3270308.277

2040,2110

4002,2110

ψψ

,

cc

cc

mm

1010

2040,2110

4002,2110

ψ

ψ

Příklad 5-2

Užitím MNČ proveďte přibližnou orientaci osnovy směrů měřenou na sta-novisku 4001. Směry považujte za stejně přesné a zvolte

]0m1142807.46,m593427.420[2040 == XY

]0m1142426.00,m593596.000[4002]0m1142474.10,m593126.000[4001

====

XYXY

=

g

g

mer

mer

3243.1060000.0

2120,4001

2090,4001

ψψ

=

cc

cc

mm

1111

2120,4001

2090,4001

ψ

ψ

g

g

mer

mer

2528.2685633.208

4002,4001

2040,4001

ψψ

cc

cc

mm

1111

4002,4001

2040,4001

ψ

ψ

Pozn.: Body 4001 a 4002 mají pouze přibližné souřadnice s přesnosti řádo-vě 0.100m

Příklad 5-3

Užitím MNČ proveďte předběžnou orientaci osnovy směrů měřenou na sta-novisku 2040. Směry považujte za stejně přesné a zvolte

]0m1142743.11,m593987.890[2110]0m1143841.81,m593624.290[2030]0m1143878.80,m592832.380[2130

======

XYXYXY


=

g

g

g

g

g

g

mer

mer

mer

mer

mer

mer

8003.3324716.2592586.1939550.977032.530000.0

4001,2040

4002,2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψψψψψψ

,

=

cc

cc

cc

cc

cc

cc

mmmmmm

777777

4001,2040

4002,2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

Příklad 5-4

Odhadněte přesnosti směrů orientovaných osnov měřených na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetního vztahu 5.13.

Příklad 5-5

Odhadněte přesnosti směrů orientovaných osnov měřených na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Přesnosti orientačních posunů převezměte z výsledků vyrovnání a využijte výpočetního vztahu 5.14.

Příklad 5-6

Osnovu směrů měřenou na stanovisku 2040 orientujte s uvážením přesnosti výchozího bodového pole. Na základě výsledků vyrovnání stanovte apriorní přesnost technologie měření osnovy směrů a apriorní přesnost bodového pole.

]0m1142743.11,m593987.890[2110]0m1143841.81,m593624.290[2030]0m1143878.80,m592832.380[2130]0m1143019.86,m592478.600[2120]0m1142807.46,m593427.420[2040

==========

XYXYXYXYXY

=

g

g

g

g

g

g

mer

mer

mer

mer

mer

mer

8003.3324716.2592586.1939550.977032.530000.0

4001,2040

4002,2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψψψψψψ

Pozn.: Na základě rozboru přesnosti technologie měření byla směrům osno-vy směrů přiřazena apriorní přesnost 7cc. Bodové pole je charakterizováno střední souřadnicovou chybou 5 mm. Správné řešení úlohy získáte po splně-ní podmínek definovaných rovnicemi 5.41 a 5.42.

- 76 (116) -


- 77 (116) -

Řešení



000000.1.0 =aprim ,

ccm 10=ψ ,

gO 0000.02110,0 =

[ ]

+

−−−

=

g

g

g

2110

2040,2110

2080,2110

2030,2110

20.3460-20.3474-20.3459-

111

dOvvv

ψ

ψ

ψ


3=n , k , 1= 2=− kn , m 0.876421.0 =apost


=

ΨΨΨ

g

g

g

6239.3274648.263

0006.0

2040,2110

2080,2110

2030,2110

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

mmm

555

2040,2110

2080,2110

2030,2110

+−+

=

cc

cc

cc

vvv

5106

2040,2110

2080,2110

2030,2110

ψ

ψ

ψ

D. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady středních chyb

[ ] [ ]gO 3464.202110 −= , [ ] [ ]ccOm 52120 =

E. Předběžně orientovaná osnova směrů

=

g

g

g

g

mer

mer

mer

mer

2770.3076844.2561194.2436536.379

2040,2110

4002,2110

2080,2110

2030,2110

σσσσ

Pozn.: Při předběžné orientaci osnov směrů vstupují do vyrovnání jenom směry měřené mezi danými body.



000000.1.0 =aprim ,

ccm 11=ψ ,

gO 0000.04001,0 =


[ ]

−−−−

+

−−−−

=

g

g

g

g

dO

vvvv

7602.1617639.1617343.1617332.161

1111

4001

4002,4001

2040,4001

2120,4001

2090,4001

ψ

ψ

ψ

ψ


4=n , , 1=k 3=− kn , 14.910873.0 =apostm


=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2405.2685473.2083379.106

0147.0

4002,4001

2040,4001

2120,4001

2090,4001

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

82828282

4002,4001

2040,4001

2120,4001

2090,4001

−−++

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

123160136147

4002,4001

2040,4001

2120,4001

2090,4001

ψ

ψ

ψ

ψ


[ ] [ ]gO 7479.1614001 −= , [ ] [ ]ccOm 824001 =

E. Přibližně orientovaná osnova směrů

=

g

g

g

g

4002,4001

2040,4001

2120,4001

2090,4001

106.504946.8154

344.5764238.2521

mer

mer

mer

mer

ψψψψ

Pozn.: Při přibližné orientaci osnovy směrů vstupují do vyrovnání směry měřené mezi danými i neznámými body.



000000.1.0 =aprim ,

ccm 7=ψ ,

gO 0000.02040,0 =

[ ]

−−−−

+

−−−−

=

g

g

g

g

dO

vvvv

9812.859813.859793.859800.85

1111

2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ


4=n , k , 1= 3=− kn , 1.357696.0 =apostm

- 78 (116) -


- 79 (116) -


=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2579.1939541.977043.530005.0

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

5555

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

−−++

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

79115

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ


[ ] [ ]gO 9804.852040 −= , [ ] [ ]ccOm 52040 =

E. Předběžně orientovaná osnova směrů

=

g

g

g

g

g

g

mer

mer

mer

mer

mer

mer

8199.2464912.1732782.1079746.117228.3670196.314

4001,2040

4002,2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

σσσσσσ

Pozn.: Při předběžné orientaci osnov směrů vstupují do vyrovnání jenom směry měřené mezi danými body.


=

=cc

cc

smn

m

123

10

2110tanσ

ψ

, ,

=

=

cc

cc

smn

m

124

11

4001tanψ

ψ

=

=cc

cc

smn

m

84

7

2040tanσ

ψ

Pozn.: Symbol n představuje počet směrů uvážených pro výpočet orientač-ního posunu.


=

=cc

cc

cc

s

O

mmm

115

10

2110tanσ

ψ

, ,

=

=

cc

cc

cc

s

O

mmm

838211

4001tanψ

ψ

=

=cc

cc

cc

s

O

mmm

957

2040tanσ

ψ

Pozn.: Výsledkem přibližné orientace osnovy směrů je orientovaná osnova s velmi nízkou přesnosti, proto je výhodnější s touto osnovou i nadále pra-covat jako s neorientovanou.


Pro úlohu budou za konstanty považovány níže uvedené veličiny.

000000.1.0 =aprim , n , k ,14= 11= 3=− kn , 10=xyn , 4=ψn


Iterace 1

A. Sestavení úlohy vyrovnání – iterace 1

mmmY 0.5= , , mmmX 0.5= ccm 0.7=ψ

B. Základní údaje o vyrovnání – iterace 1

1.7969,0.6707,1.1153 ..0..0.0 === apostapostxyapost mmm ψ

3732.0,1.1153..0

..02

.0

.01 ====

apost

apostxy

aprior

apost

mm

kmm

kψ

5.6mm,7.8 1cc

1 ==== OLDxy

NEWxy

OLDNEW mkmmkm ψψ

( ) mmmkmmm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 4.131,0.7 2 ==== ψψ volíme

mmmmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 0.5,6.22 ==== ψψ

C. Vektor vyrovnaných měření, středních chyb a oprav – iterace 1

=

6m...743.1088m...987.8896m...841.8093m...624.2929m...878.7981m...832.3785m...019.8599m...478.5999m...427.4199m...427.419

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

YYXYXYXYXY

, ,

=

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

0.56.56.53.55.54.53.56.54.43.5

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

−−−+−−−−+−

=


vvvvvvvvvv

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

4.12.04.03.21.19.15.01.04.31.0

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

193.2583597.9542553.704040.00016

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

4.60.59.45.5

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

−−++

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

5.25.74.86.1

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ

D. Vektor vyrovnaných neznámých a jejích středních chyb – iterace 1

=

g2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

85.98037-86m1142743.108m593987.889

96m1143841.803m593624.292

89m1143878.791m592832.378

95m1143019.859m592478.599

34m1142807.469m593427.419

OXYXYXYXYXY

,

=

ccO

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


mmmmmmmmmmm

7.40.56.56.53.55.54.53.56.54.43.5

2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

- 80 (116) -


- 81 (116) -

Iterace 2


mmmY 4.13= , m mmX 4.13= , m cc0.7=ψ



0.7720,0.7398..0

..02

.0

.01 ====

apost

apostxy

aprior

apost

mm

kmm

kψ

mmmkmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 9.9,2.5 11 ==== ψψ

( ) mmmkmmm OLDxy

NEWxy


mmmmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 4.13,4.52 ==== ψψ


=

7m...743.1089m...987.8894m...841.8081m...624.2981m...878.7969m...832.3725m...019.8601m...478.6003m...807.4660m...427.419

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

YYXYXYXYXY

, ,

=


mmmmmmmmmm

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

0.89.99.91.86.97.83.89.93.67.8

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

−−−+−−+++−

=


vvvvvvvvvv

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

3.11.06.11.89.31.75.01.03.60.1

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

193.2585797.9546353.703630.00002-

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

0.55.45.46.4

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

−−+−

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

3.07.33.42.0

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ


=

g2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

85.98029-87m1142743.109m593987.889

84m1143841.801m593624.2986m1143878.799m592832.372

05m1143019.861m592478.600

63m1142807.460m593427.419

OXYXYXYXYXY

,

=

ccO

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


mmmmmmmmmmm

2.50.89.99.91.86.97.83.89.93.67.8

2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040


Iterace 3


mmmY 4.17= , mmmX 4.17= , ccm 7=ψ



0.9393,0.6094..0

..02

.0

.01 ====

apost

apostxy

aprior

apost

mm

kmm

kψ

mmmkmmkm OLDxy

NEWxy


( ) mmmkmmm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 5.181,0.7 2 ==== ψψ

mmmmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 4.17,6.62 ==== ψψ

C. Vektor vyrovnaných měření, středních chyb a oprav – Iterace 3

=

9m...743.1089m...987.8891m...841.8088m...624.2992m...878.7953m...832.3711m...019.8612m...478.6007m...807.4668m...427.418

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

YYXYXYXYXY

, ,

=

mmmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

7.88.108.105.84.101.98.88.107.63.9

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

−−−+−−+++−

=


vvvvvvvvvv

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

1.11.09.18.98.47.81.12.07.62.1

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

193.2585897.9547353.703510.00003-

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

3.40.48.31.4

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

−−+−

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

2.07.21.33.0

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ

D. Vektor vyrovnaných neznámých a jejích středních chyb – Iterace 3

=

g2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

85.98028-89m1142743.109m593987.889

81m1143841.808m593624.299

52m1143878.793m592832.371

11m1143019.862m592478.600

67m1142807.468m593427.418

OXYXYXYXYXY

,

=

ccO

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

mmmmmmmmmm

mmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmm

4.57.88.108.105.84.101.98.88.107.63.9

2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

- 82 (116) -


- 83 (116) -

Iterace 4


mmmY 6.10= , m mmX 6.10= , m cc3.4=ψ



0.9848,1.0254..0

..02

.0

.01 ====

apost

apostxy

aprior

apost

mm

kmm

kψ

Pozn.: Podmínky dané rovnicemi 5.41 a 5.42 jsou splněny.

mmmkmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 9.10,4.4 11 ==== ψψ

( ) mmmkmmm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 8.101,3.4 2 ==== ψψ

mmmmmkm OLDxy

NEWxy

ccOLDNEW 6.10,2.42 ==== ψψ


=

9m...743.1089m...987.8891m...841.8088m...624.2992m...878.7953m...832.3710m...019.8612m...478.6007m...807.4668m...427.418

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

fik

YYXYXYXYXY

, ,

=


mmmmmmmmmm

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

6.88.108.104.83.101.98.87.107.63.9

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

−−−+−−+++−

=


vvvvvvvvvv

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

1.11.09.18.98.47.80.12.07.62.1

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

=

ΨΨΨΨ

g

g

g

g

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

193.2585897.9547353.703510.00003-

, ,

=

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

cc

cc

cc

cc

mmmm

3.40.49.31.4

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

−−+−

=

cc

cc

cc

cc

vvvv

2.07.21.33.0

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

ψ

ψ

ψ

ψ


=

g2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040

85.98028-89m1142743.109m593987.889

81m1143841.808m593624.299

52m1143878.793m592832.371

10m1143019.862m592478.600

67m1142807.468m593427.418

OXYXYXYXYXY

,

=

ccO

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


mmmmmmmmmmm

4.56.88.108.104.83.101.98.87.107.63.9

2040

2110

2110

2030

2030

2130

2130

2120

2120

2040

2040


E. Orientovaná osnova směrů – iterace 4

=

g

g

g

g

g

g

mer

mer

mer

mer

mer

mer

8200.2464913.1732783.107

9747.117229.3670197.314

4001,2040

4002,2040

2110,2040

2030,2040

2130,2040

2120,2040

σσσσσσ

Pozn.: Technologie měření osnov směrů má odhadovanou přesnost 4.3cc a bodové pole můžeme charakterizovat střední souřadnicovou chybou 10.6mm.

Kontrolní otázky

Co je to předběžná orientace osnovy směrů ?

Co je to přibližná orientace osnovy směrů ?

V čem se liší předběžně a přibližně orientovaná osnova směrů ?

Proč zavádíme pojem fiktivní měřené veličiny ?

Jaké jsou hlavní metody vedoucí k správnému stanovení apriorní přesnosti technologií měření na základě výsledků vyrovnání ?

Řešení

Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole.

Informace Tato kapitola se věnuje orientacím osnov směrů měřených na známých bodech – předběžná orientace osnov směrů a orientacím osnov měřených směrů na neznámých bodech – přibližná orientace osnov směrů. Velkým přínosem pro vyrovnání geodetických sítí je orientovaná osnova na známém bodě, kdy jed-notlivé směry přechází na měřené směrníky tj. veličiny, které již nejsou spoje-né hodnotou orientačního posunu. Odpadá nám tedy jedna neznámá pro vyrov-nání geodetických sítí. Navíc do vyrovnání sítě vstoupí jen měřené směrníky k určovaným bodům tj. dojde i k redukci observačních rovnic. U přibližně ori-entovaných osnov směrů k popisovanému zjednodušení nedojde. Závěr kapito-ly 5 byl věnován problematice správné volby apriorní přesnosti různorodých veličin vstupujících do vyrovnání.

Následující kapitola čtenáře seznámí s pojmem excentrické stanovisko, excent-rický cíl a s problematikou šíření chyb z centrace na osnovy měřených směrů.

- 84 (116) -

Centrace osnov směrů

6 Centrace osnov směrů

Problematika centrací osnov měřených směrů byla vysoce aktuální v dobách budovaní trigonometrických sítí pomocí terestrických technik – triangulace.

Na jednotlivých bodech sítě byly budovány dřevěné stavby – měřické věže a měřické pyramidy zajišťující vzájemnou viditelnost sousedních bodů. Signali-zační část těchto konstrukcí, místo pro postavení přístroje a střed měřické značky byly obvykle vzájemně excentrické. Hodnoty excentricit dosahovaly centimetrových až decimetrových hodnot.

Osnovy měřených směrů obecně na excentrických stanoviscích s excentrický-mi cíli musely být převáděny na osnovy centrické.

jie

jiji ,,, δψψ += (6.1)

Můžeme rozlišit tyto základní úlohy pro centrace osnov měřených směrů:

excentrické stanovisko •

•

•

•

excentrický cíl

excentrické stanovisko a cíl

Vzájemná poloha centru a excentru byla určena pomocí tzv. měřených centrač-ních prvků:

centrační úhel ε

excentricita e •

Korekce excentrického směru na centrický je nazývána centrační změnou ji,δ .

Excentrický cíl

Obr. 6-1 Excentrický cíl

= j

ji

jji s

eεδ sinarcsin

,, (6.2)

- 85 (116) -


Excentrické stanovisko

Obr. 6-2 Excentrický cíl

= i

ji

iji s

e εδ sinarcsin,

, (6.3)

Excentrické stanovisko a excentrický cíl

Obr. 6-3 Excentrické stanovisko a excentrický cíl

Aji

Bji

ejiji ,,,, δδψψ ++= (6.4)

= j

ji

jBji s

eεδ sinarcsin

,, (6.5)

(

+= B

jiiji

iAji s

e,

,, sinarcsin δεδ ) (6.6)

- 86 (116) -

Centrace osnov směrů

Uvážení chyb z centrace Z hlediska přípravy veličin pro vyrovnání nás bude zajímat jakým způsobem nepřesnost centrace na bodech ovlivní přesnost měřených veličin. Protože ni-kdy nebudeme znát centrační prvky aktuálně postaveného stroje, pokusíme se vyřešit variantu nejméně příznivou tj. při volbě a . g

i 100=ε gj 100=ε

Úpravou vztahů 6.4, 6.5 a 6.6 a při předpokladu získáme rovnici 6.7.

iB

jii εδε ≅+ ,

+

+=

ji

j

ji

iejiji s

ese

,,,, arcsinarcsinψψ (6.7)

Uvážíme-li, že výrazy e a jii s ,<< jij se ,<< lze rovnici 6.7 přepsat do podoby 6.8.

ji

j

ji

iejiji s

ese

,,,, ++=ψψ (6.8)

Na vztah 6.8 aplikujeme zákon hromadění středních chyb.

2,2

,

2,2

,

2

,,2,

11ie

jije

jijieji

ms

ms

mm ++= ψψ (6.9)

Dále budeme předpokládat, že střední chyba centrace na stanovisku i na cíli je stejná tj. tj. vztah 6.9 upravíme na tvar 6.10. iejee mmm ,, ==

22,

2

,,2,

2e

jijieji

ms

mm += ψψ (6.10)

Souhrn Následující obrázek je ilustrací vlivu excentricity postavení přístroje a cíle při proměnlivě dlouhé záměře s a při použití různých druhů centrací.

Obr. 6-4 Přesnost směru při uvážení centrace

Symbol představuje přesnost excentrický změřeného směru a symbol přesnost téhož směru při uvážení vlivu centrace – nejméně příznivý případ.

em ,ψ ψm

Uvážení přesností centrace přístroje a cíle na zaměřovaných bodech nám umožňuje kvalitnější zhodnocení přesnosti technologického postupu. Potlačení centračních chyb má velký význam v sítích s krátkými stranami – 10 až 200 m.

- 87 (116) -


Volba kvalitního způsobu centrace je v těchto případech velmi důležitá např. použití optické centrace na troj-podstavcových soupravách.

Kontrolní otázky

Co si představujete pod pojmem centrace osnov směrů ?

Co jsou to centrační prvky ?

Co je to centrační změna ?


Informace

Následující kapitola se věnuje převodům osnov měřených směrů na výpočetní plochu.

- 88 (116) -

Převod směrů na výpočetní plochu

7

•

•

•

•

Převod směrů na výpočetní plochu

U měřených osnov směrů můžeme rozlišit několik typů fyzikálních a matema-tických korekcí. Korekce fyzikální vyplývají z vlastní podstaty šíření světelné-ho paprsku prostředím, které je obecně značně nehomogenní. Korekce mate-matické pak poslouží pro převedení naměřeného směru na vhodnou výpočetní plochu.

Fyzikální korekce Mezi fyzikální korekce měřeného směru můžeme zařadit:

vliv boční refrakce

difrakce

Při šíření paprsku prostředím se obvykle využívá modelů prostředí s vertikálním teplotním gradientem, který má za následek zakřivení paprsku především ve vertikální rovině. Vliv refrakce boční je při běžných měřických pracích v podstatě zanedbatelný. Existuje však mnoho aplikací v inženýrské geodézii, kdy je nutno při navrhování geodetických sítí tento vliv uvážit. Jde především o realizaci záměr v blízkosti rozehřátých předmětů a záměr na pře-chodech mezi uzavřenými prostory a venkovním prostředím. Modely pro zave-dení oprav z refrakce obvykle nedokážeme přesně definovat. Těmto vlivům předcházíme volbou technologických postupů.

Vliv difrakce způsobuje změnu směru šíření světelného paprsku při jeho dopa-du na překážku. Jsou-li splněny všechny podmínky nutné pro vznik difrakčního jevu, dojde k ohybu paprsku za překážkou. V měřické praxi tento jev nastává při měření v blízkosti různých předmětů, které měřič z důvodu přeostření dale-kohledu na jiný cíl ani nemusí zpozorovat.

Matematické korekce Mezi matematické korekce zařadíme:

korekce na referenční plochu

vliv tížnicových odchylek

korekce z nadmořské výšky cíle

korekce z převodu na geodetickou křivku

korekce do zobrazení

meridiánová konvergence

korekce z kartografického zkreslení

převod na přímou spojnici

Korekce na referenční plochu souvisí s ustavováním stroje ve směru tížnice skutečného tíhového pole Země. Naměřené veličiny je však nutno převést k pomyslnému postavení stroje ve směru normály referenční plochy. Tížnicové odchylky v rovinatých územích dosahují pouze vteřinových hodnot, což jsou hodnoty odpovídající přesnostem horizontce strojů. Velikosti tížnicových od-chylek navíc obvykle neznáme, a tedy je ani nemůžeme zavést.

- 89 (116) -


Korekce z nadmořské výšky cíle a korekce z převodu na geodetickou křivku jsou podrobně probírány v předmětu vyšší geodézie.

Z korekcí do roviny kartografického zobrazení můžeme uplatnit pouze korekci na přímou spojnici. Korekce je způsobena zobrazením geodetické křivky (zá-měra promítnutá na referenční plochu) jako křivky v rovině kartografického zobrazení. Konformnost měřených úhlových veličin je pak definována k teč-nám těchto křivek viz. obrázek 7.1 korekce BA,δ .

Meridiánovou konvergenci na osnovy měřených směrů uplatňovat nemusíme, tato hodnota se určí v rámci orientačního posunu osnovy směrů.

Všechny jmenované matematické korekce v sítích běžných rozsahů dosahují zcela zanedbatelných hodnot a tyto vlivy tedy nemusíme uvažovat.

Souhrn Jednotlivé matematické korekce ilustruje obrázek 7.1.

Obr. 7-1 Korekce do zobrazení

jimer

jiji ,,, δψψ += (7.1)

AAjijiji oRA γδψ −+−−= 2,,, (7.2)

Kontrolní otázky

Vyjmenujte fyzikální korekce měřených osnov směrů.

Vyjmenujte matematické korekce měřených osnov směrů.


Informace Následující kapitola se věnuje zpracování měřených délkových veličin.

- 90 (116) -

Zpracování měřených délkových veličin

8

8.1


Mezi základní veličiny, ze kterých můžeme vytvořit kostru polohové složky geodetické sítě patří kromě osnov měřených směrů také veličiny délkové. Pro účely budování geodetických sítí se v současnosti využívá především světel-ných dálkoměrů.

Převodem délek na výpočetní plochu, centracemi délek a místním měřítkem sítě se zabývá tato kapitola.

Převod délek na výpočetní plochu

Převod veličin na výpočetní plochu můžeme rozdělit do dvou základních kro-ků. Měřené veličiny opravujeme o tzv. fyzikální a matematické korekce.

Fyzikální korekce V tomto výpočetním kroku měřeným veličinám přiřazujeme správný fyzikální rozměr.

Mechanická měřidla

Mezi mechanická měřidla můžeme zařadit měřická pásma (pásma plastová, pásma ocelová, pásma invarová), invarové dráty a sady normálních metrů.

Definice

Korekce měřené délky pásmem:

- oprava ze skutečné délky měřidla – komparační list

- oprava z teplotní roztažnosti měřidla

- oprava z průhybu měřidla

- oprava z nevodorovnosti měřidla

- oprava z vybočení měřidla

Zavedením všech uvedených korekcí dostaneme hodnotu měřené délky v jednotkách, které svým rozměrem budou odpovídat definici metrické sousta-vy.

Optické určování délek Jiným příkladem může být hodnota délky odvozená z metody paralaktického určování délek. I zde existuje řada příčin mající za následek, že naměřená hod-nota délky nebude mít správný fyzikální rozměr.

- 91 (116) -


Definice

Mezi korekce paralakticky měřené délky patří:

- oprava z nesprávné délky základnové latě

- oprava z excentricity základnové latě

- oprava z nekolmosti základnové latě

- oprava z nevodorovnosti základnové latě

Elektronické určování délek Poslední uvažovanou metodou bude tzv. metoda elektronického určování délek užitím světelných dálkoměrů. Využívá se zde šíření dálkoměrem vyslané mo-dulované nosné vlny. Signál se po odrazu v koutovém odražeči umístěném v cíli vrací k dálkoměru.

Vlnová délka nosné vlny odpovídá oblasti viditelného spektra světla a vlnová délka modulační vlny hodnotě kolem 10 cm. Nosná vlna je fázově modulována vlnou modulační. Princip určení délky mezi dvěmi body obvykle souvisí s určením fázového rozdílu (měří se fáze modulační vlny) odeslaného a přija-tého signálu.

Na základě těchto informací lze napsat obecný vzorec pro výpočet měřené dél-ky.

( )kfvfl lmer ,,, ϕ= (8.1)

Symbol v je rychlost šíření nosné vlny prostředím.

( Ncfv V ,= ) (8.2)

Symbol představuje rychlost šíření světelného paprsku nosné vlny ve vakuu a je tzv. index lomu prostředí, který je obecně prostorově proměnlivý. Vý-sledkem je, že se signál pohybuje po zakřivené dráze rychlostí odlišnou od rychlosti signálu ve vakuu.

cN

Index lomu prostředí je obecně funkcí teploty t , tlaku N p a vlhkosti mě-řené podél dráhy paprsku.

Φ

( )Φ= ,, ptfN N (8.3)

Zjišťování atmosférických podmínek pro výpočet korekce měřené délky se obvykle zjednodušuje na jejich stanovení pouze v místech postavení dálkoměru a koutového odražeče.

Symbol v rovnici 8.1 představuje modulační frekvenci nosného signálu, symbol

fϕ hodnotu odečteného fázového rozdílu a symbol k hodnotu konstan-

ty dálkoměru a hranolu.

Rovnice 8.4 představuje obecnou podobu vzorce pro výpočet přesnosti měřené délky.

( )merkfvml lmmmmfm ,,,, ϕ= (8.4)

- 92 (116) -


Vztah 8.4 lze upravit – rovnice 8.5.

( ) ( )merfvkl lmmfmmfm ,,, 21 += ϕ (8.5)

V uvedeném vztahu funkce představuje vliv konstantní a vliv úměrný měřené délce.

1f 2f

[ ] [ ] merl lppmbmmam

++=

10000001

1000 (8.6)

Přesnost světelných dálkoměrů bývá často uváděna ve zjednodušeném tvaru – rovnice 8.7.

[ ] [ppmbmmaml += ] (8.7)

Definice

Na základě výše uvedeného lze specifikovat následující fyzikální korekce měřené délky:

- atmosférické korekce

- oprava z rychlosti šíření elektromagnetických vln

- oprava ze zakřivení dráhy elektromagnetických vln

- přístrojové korekce

- konstanta dálkoměru

- konstanta hranolu

Zaváděním fyzikálních korekcí se podrobně zabývají související předměty a proto dále nebudou uváděny konkrétní výpočetní vzorce.

V geodetické síti provedeme délkové měření pomocí jednoho technologického postupu. Měření bude probíhat za podobných atmosférických podmínek, stej-nými pomůckami a stejnou měřickou skupinou. Pokud zanedbáme fyzikální korekce uvedené výše, pak celá síť bude systematicky deformována. Tento systematický vliv vystihneme jednotným matematickým vztahem daným rov-nicí 8.8.

[ ] [ ] merFYZFYZ lppmbmmal

++=

10000001

1000 (8.8)

Symbol představuje konstantní chybu pro každou délku a symbol b tzv. průměrnou měřítkovou deformaci sítě.

FYZa FYZ

Měřítkovou deformaci sítě b v ppm ze vztahu 8.8 můžeme užitím vztahu 8.9 převést na číselné měřítko s hodnotou blízkou jedné.

FYZ

FYZM

( )1000000

1 ppmbM FYZFYZ += (8.9)

- 93 (116) -


Matematické korekce

Úkolem matematických korekcí bude převést měřenou veličinu na výpočetní plochu, kterou je v pojetí tohoto studijního materiálu rovina Křovákova karto-grafického zobrazení.

Korekce na referenční elipsoid

Veličiny převádíme na elipsoid použitého kartografického zobrazení. V našem případě půjde o elipsoid Besselův. Složitost výpočetních vzorců pro převod veličin na elipsoid souvisí s hodnotou měřené délky. Vzorce mají zajistit výpo-čet korekce alespoň s milimetrovou přesností. Vztahy pro výpočty korekcí krátkých délek lze výrazně zjednodušit.

Pro délky do 60 km můžeme napsat výpočetní vzorec ve tvaru rovnice 8.10.

( )Ajiele RlHHfl ,,,,0,,0 = (8.10)

Symboly a jsou elipsoidické výšky určovaných bodů, je naměřená hodnota délky po fyzikálních korekcích a je poloměr elipsoidu v azimutu měřené délky .

iH jH

ji,

l

ARA

( )iiHi hfH ξ,= (8.11)

Symbol je nadmořská výška bodu i a symbol ih iξ je převýšení elipsoidu nad geoidem v bodě i.

( )ijiAA AfR ϕ,,= (8.12)

Symbol iϕ představuje elipsoidickou šířku bodu i.

U délek kratších, řekněme do 5 km, můžeme referenční elipsoid nahradit refe-renční koulí a též zanedbat rozdíl nadmořských a elipsoidických výšek.

( )RlHHfl jiele ,,,,0,,0 = (8.13)

Symbol R představuje poloměr referenční koule.

Převod měřené délky l na délku vodorovnou tl ,0 výšce stanoviska po-zorování iH

ve

Vztah 8.14 realizuje převod měřené délky na vodorovnou s uvážením měřené-ho zenitového úhlu na bodě i.

( )

+

+

+

−=

i

iji

t

HRl

HRl

zll

22sin

sin ,

,0 π (8.14)

- 94 (116) -


Obr. 8-1 Redukce měřené délky na vodorovnou

Vtahem 8.15 a následovně 8.14 realizujeme převod měřené délky na vodorov-nou při znalosti převýšení koncových bodů měřené délky.

( ) ( )i

ij

iji HR

ll

HHHR

larz+

+

−

+

+=222

sincos,π (8.15)

Převod vodorovné délky ve výšce stanoviska pozorování na tětivu na referenční ploše.

tl ,0 iH

etl ,,0

Měřenou vodorovnou délku převedeme k ploše referenčního elipsoidu pomocí výpočetního vzorce 8.16

Obr. 8-2 Redukce měření délky na referenční elipsoid

itte HR

Rll+

= ,0,,0 (8.16)

- 95 (116) -


Převod tětivy l na referenční ploše na geodetickou čáru l te,,0 e,0

Vzhledem ke krátkým délkám můžeme zanedbat rozdíl mezi vzdáleností bodů i a j měřenou po referenční ploše a vzdáleností měřenou po tětivě. Tento před-poklad vyjadřují rovnice 8.17 a 8.18.

tll ,00 = (8.17)

tee ll ,,0,0 = (8.18)

Výpočetní vzorec 8.16 lze přepsat na tvar 8.19.

ie HR

Rll+

= 0,0 (8.19)

Budujeme-li síť o rozsahu několika kilometrů s malými převýšeními bodů sítě, pak za lze zvolit průměrná výšku lokality . Výpočetní vzorec 8.19 přepíšeme na tvar 8.20.

iH LOKH

LOKe HR

Rll+

= 0,0 (8.20)

Výraz – rovnice 8.21 představuje měřítkovou změnu všech délek měře-ných v dané lokalitě.

LOKM

LOKLOK HR

RM+

= (8.21)

Rovnici 8.21 můžeme přepsat na tvar 8.22

LOKe Mll 0,0 = (8.22)

Měřítková změna může být vyjádřena též v ppm a rovnici 8.22 pak mů-žeme přepsat na tvar 8.23.

LOKM

[ ]

+=

100000010,0

ppmbll LOKe (8.23)

Korekce do zobrazení Křovákovo zobrazení, jehož prostřednictvím chceme převést délky do rovinné-ho souřadnicového sytému S-JTSK, je na území ČR charakterizováno hodno-tami zkreslení +14 až -10 cm na kilometr.

Velikost zkreslení je definována jako funkce vzdálenosti bodu, pro který hodnotu zkreslení počítáme od počátku souřadnicového systému.

JTSKSM −

( )RfM SYSJTSKS =− (8.24)

- 96 (116) -


Hodnoty zkreslení pro naše území můžeme vypočítat pomocí rozvoje funkce v řadu pátého stupně v bodě . SYSf 0R

( RRfM SYSJTSKS ∆+=− 0 ) (8.25)

Rovnice 8.26 je výpočetním vzorcem pro délkové zkreslení systému S-JTSK.

433

427

321

214

150.1848.1154.3

22822.19999.0

ReRERERE

M JTSKS

∆−∆+∆−∆+

=

−

−

−

−−

(8.26)

0RRR −=∆ kde mR 12980390 = (8.27)

22 yxR += (8.28)

Obr. 8-3 Délkové zkreslení systému S-JTSK

Délkové zkreslení je proměnné podél měřené délky. U délek do 5 km však stačí vypočítat jeho velikost pouze pro její koncové body. Výslednou korekci zís-káme podle jednoduchého vztahu 8.29.

2,, jJZSKSiJTSKS

JTSKS

MMM −−

−

+= (8.29)

Délku následovně převedeme do S-JTSK pomoci vztahu 8.30.

eJTSKSJTSKS lMl ,0−− = (8.30)

Celá geodetická síť však málokdy dosáhne rozměru několika kilometrů. Obec-ně tedy stačí počítat s jednotným měřítkem pro celou lokalitu měření. Měřítko sítě odvodíme z bodu jejího těžiště.

- 97 (116) -


Stejně jako v předchozích případech může být i měřítko pro převod do zobra-zení vyjádřeno v ppm.

[ ]e

JTSKSJTSKS lppmbl ,01000000

1

+= −

− (8.31)

Zavádění korekcí pro měřené délky principiálně způsobuje měřítkovou změnu těchto veličin. Za předpokladu splnění výše uvedených myšlenek, můžeme napsat souhrnný vzorec, který použijeme jednotně pro opravu všech měřených délek sítě – rovnice 8.32 nebo 8.34.

[ ] merSUMA

FYZJTSKS lMmmal 01000

+=− (8.32)

JTSKSLOKFYZSUMA MMMM −=1, (8.33)

[ ] [ ] merSUMAFYZJTSKS lppmbmmal 01000000

11000

++=− (8.34)

[ ] [ ] [ ] [ ]ppmbppmbppmbppmb JTSKSLOKFYZSUMA −++=1, (8.35)

Symbol ve finálních vztazích představuje vodorovnou délku v průměrné výšce lokality neopravenou o fyzikální korekce.

merl0

8.2 Centrace délek

Pojem centrace měřené délky souvisí s měřením veličin sítě při excentricky umístěných stanoviscích, a to jak v místě stroje, tak v místě cíle. Poloha excen-trických stanovisek je určena pomocí tzv. centračních prvků, které jsou tvořeny centračním úhlem iε a excentricitou e . i

Popsaný problém nejlépe dokreslí následující obrázek.

Obr. 8-4 Centrace měřené délky

- 98 (116) -


Vztah 8.36 je výpočetním vzorcem pro převod měřené délky na excentrickém stanovisku a excentrickém cílí na délku centrickou.

( ) ( )22211

22211 coscossinsin ∗∗∗∗ −−+−= εεεε eeleel ex (8.36)

Problematika excentrického umísťování strojů a cílů nad body je zcela aktuální problém. Na každý bod se dokážeme zcentrovat pouze s určitou přesností pří-mo související s druhem použité centrace. Při centracích obvykle neznáme cen-trační prvky, ale na straně druhé, známe přesnosti různých centračních postupů.

Z hlediska přípravy veličin pro vyrovnání nás bude zajímat jakým způsobem nepřesnost centrace na bodech ovlivní přesnost měřených veličin. Protože ni-kdy nebudeme znát centrační prvky aktuálně postaveného stroje, pokusíme se vyřešit variantu nejméně příznivou tj. při volbě a . 0=∗

iε 0=∗jε

Výpočetní vztah 8.36 po úpravě přejde na tvaru – rovnice 8.37.

jiex eell −−= (8.37)

Na vzorec 8.37 aplikujeme zákon hromadění chyb.

jeieexll mmmm 2222 ++= (8.38)

Přesnost centrace v cíli i u stroje zvolíme stejnou. 222 2 eexll mmm += (8.39)

Následující obrázek je ilustrací vlivu excentricky postaveného stroje a cíle na přesnost měřené délky použijeme-li různé druhy centrací.

Obr. 8-5 Přesnost měřené délky dálkoměrem 2mm+2ppm s uvážením přesnosti centrace

Následující podkapitola bude věnována pojmu místní měřítko sítě a následovně bude popsána úloha pro odhad systematických vlivů potenciálně obsažených v měřených datech.

8.3 Místní měřítko sítě

Budování geodetických sítí přímo souvisí s rozšiřováním a zhušťováním již existujících bodových polí. V ideálním případě by tyto sítě měly mít správný fyzikální rozměr tj. měřítko stávající sítě bude rovno jedné – rovnice 8.40.

1=XYZM (8.40)

- 99 (116) -


Tento axiom však platí pouze za předpokladu správně zavedených korekcí ve-ličinám měřeným při budování této výchozí sítě. Každá geodetická síť bude mít ve skutečnosti svůj vlastní rozměr různě blízký rozměru správnému.

Další problém souvisí s vlastní realizací bodů sítě v terénu. Stabilizace bodů mohou v čase vykazovat pohyb. Tento jev je nazýván tzv. pojmem stárnutí sítě. Náhodným, případně systematickým pohybem stabilizačních značek, geodetic-ká síť ztratí jednotné měřítko. Měřítko se stane proměnlivé s polohou v dané sítí.

Z výše uvedených důvodů se často hovoří o místním měřítku výchozí sítě, kte-ré obecně nesplňuje rovnici 8.40.

Pokud chceme v určité lokalitě vybudovat geodetickou síť, je nutné výše uve-denou skutečnost nějakým způsobem respektovat. Obecně existuje několik přístupů k řešení tohoto problému, které závisejí na otázce, do jaké míry jsou pro nás souřadnice výchozí sítě závazné a též na přesnosti našich měření.

Lze zvolit tyto postupy:

deformovat nová měření na výchozí síť •

•

•

•

•

uvážit místní měřítko sítě

Následující odstavce se budou zabývat způsoby určení místního měřítka sítě . XYZM

Při řešení geodetických sítí z výchozího bodového pole nepřímo přebíráme:

umístění nové sítě na elipsoidu

orientaci sítě na elipsoidu

měřítko sítě

Při klasickém postupu řešení geodetických sítí s délkovými veličinami je ne-soulad rozměru sítě výchozího bodového pole s veličinami nového měření ře-šen deformací nové sítě na výchozí bodové pole – observační rovnice 8.41.

( ) ( ) ( )22,,,,, ,,, ijijjjiijiljil

merjiji XXYYYXYXfvlL −+−==+= (8.41)

Rozdílné měřítko sítí však můžeme popsat jednoduchou úpravou výše uvedené observační rovnice.

( )( ) ( )22

,,,,, ,,,,

ijijXYZ

XYZjjiijiljilmer

jiji

XXYYM

MYXYXfvlL

−+−=

==+= (8.42)

Místní měřítko sítě může být vyjádřeno též v ppm.

[ ]( )[ ] ( ) ( )22

,,,,,

10000001

,,,,

ijijXYZ

XYZjjiijiljilmer

jiji

XXYYppmbppmbYXYXfvlL

−+−

−=

==+= (8.43)

- 100 (116) -


V dalších odstavcích budeme dále předpokládat, že délkové měření bude zatí-ženo též konstantním vlivem a, který budeme vyjadřovat v mm. Měřítko sítě budeme dále označovat prostým symbolem b s jednotkami ppm.

Dále tedy budeme pracovat s observační rovnicí 8.44.

[ ] [ ]( )[ ] [ ] ( ) ( )22

,,,,,

10000001

100

,,,,,,

ijij

jjiijiljilmer

jiji

XXYYppmbmmappmBmmAYXYXfvlL

−+−

−+−=

==+= (8.44)

Body i a j budou známé body výchozí sítě. Souřadnice těchto bodů tedy před-stavují konstanty ve smyslu dalšího řešení úlohy. Observační rovnice 8.44 pak získá tvar rovnice 8.45.

[ ] [ ]( )[ ] [ ] ( ) ( )22

,,,,,

10000001

100

,,

ijij

jiljilmer

jiji

XXYYppmbmmappmBmmAfvlL

−+−

−+−=

==+= (8.45)

Na závěr uvádím zkrácený zápis výše uvedené observační rovnice.

( ) sourjijiljil

merjiji sBABAfvlL ,,,,,, 1000000

11000

,

−+−==+= (8.46)

Našim úkolem bude určit místní měřítko sítě a konstantní chybu měřených délek užitím observační rovnice 8.46. Pro jednoduchost tyto parametry určíme na základě tří měření mezi vybranými body výchozí sítě. O měření prohlásíme, že má stejnou přesnost.

( )

( )

( ) sourpopolpol

merpopo

sournmnmlnml

mernmnm

sourlklkllkl

merlklk

sBABAfvlL

sBABAfvlL

sBABAfvlL

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

10000001

1000,

10000001

1000,

10000001

1000,

−+−==+=

−+−==+=

−+−==+=

(8.47)

( )BAfvlL jiljilmer

jiji ,,,,,, =+= pro ),(),,(),,(),( ponmlkji ∈

konstm jil =, pro ( ),(),,(),,(), ponmlkji ∈

min=∑ pvv (8.48)

Obecná rovnice 8.48 je lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku pro libovolné počátečním řešení. U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečného řešení podle rovnice 8.49.

[ ] [ TTBAh 0,0, 000 == ] (8.49)


- 101 (116) -


dhhH += 0 (8.50)


( 00,,,,,0 , BAff jiljil = ) (8.51)

( )

( )

( ) dBs

dABAfvl

dBs

dABAfvl

dBs

dABAfvl

sourpo

polpolmer

po

sournm

nmlnmlmer

nm

soulk

lkllklmer

lk

100000010001,

100000010001,

100000010001,

,00,,,0,,

,00,,,0,,

,00,,,0,,

−−=+

−−=+

−−=+

(8.52)

Maticový zápis přetvořených rovnic oprav 8.53 představuje finální sestavení úlohy tj. úlohy soustavy tří rovnic o dvou neznámých.

−−−

+

−−

−−

−−

=

merpo

sourpo

mernm

sournm

merlk

sourlk

sourpo

sournm

sourlk

pol

nml

lkl

lslsls

dBdA

s

s

s

vvv

,,

,,

,,

,

,

,

,

,

,

100000010001

100000010001

100000010001

(8.53)

Zvolíme-li , pak matice vah konstmm jilapri == ,.0 P bude jednotková – rovni-ce 8.54.

( ) ( 111 )=Pdiag (8.54)

Sestavenou úlohu řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ. Výsledkem bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vektor s odhady para-metrů A a B a jemu odpovídající kovarianční matice ( )Hcov . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. korigované hodnoty délek měřené mezi jednotlivými body sítě a opět jim odpovídající kovarianční matice

( )Lcov .

Řešením výše popsané úlohy jsme schopni odhadnout měřítkovou změnu nově měřené sítě vzhledem k síti původní. Odhadnuté měřítko můžeme interpretovat jako místní měřítko sítě, ale můžeme hledat i další příčiny jeho vzniku. Neza-vedeme-li žádné v této kapitole popsané korekce pro měřené délky, pak odhad-nuté měřítko a odhadnuta konstantní chyba délek bude v sobě tyto vlivy plně obsahovat – rovnice 8.55 nebo 8.56.

XYZJTSKSLOKFYZSUMA MMMMM −=2. (8.55)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ppmbppmbppmbppmbppmb XYZJTSKSLOKFYZSUMA ]+++= −2. (8.56)

V následující kapitole budeme procvičovat probranou látku.

- 102 (116) -


8.4 Shrnutí

Tato kapitola by měla být praktickým dokreslením nabytých zkušeností týkají-cích se převodů měřených délek na výpočetní plochu.

Příklad 8-1

Vypočítejte korekce z nadmořské výšky. Uvedené délky byly převedeny na vodorovné vzdálenosti ve výškách stanovisek pozorovaní užitím rovnice 8.14.

]320.670mH0m,1143878.80,m592832.380[2130]358.890mH0m,1143019.86,m592478.600[2120

317.610m]H0m,1142743.11,m593987.890[2110]337.080mH0m,1141928.24,m592751.680[2090]288.530mH0m,1141974.69,m593369.920[2080]282.670mH0m,1142807.46,m593427.420[2040]323.880mH 0m,1143841.81,m593624.290[2030

=====================

XYXYXYXYXYXYXY

]m300 Z1142426m,,593596m[4002]m300 Z1142474m,,593126m[4001

======

XYXY

=

564.265m504.120m

1157.491m564.269m

1053.090m1225.725m449.420m417.156m472.709m449.422m662.114m

2040,21100

4002,21100

2030,21100

2110,20400

2030,20400

2130,20400

4001,20400

4002,20400

4002,40010

2040,40010

2090,40010

lllllllllll

Pozn.: Měřené vzdálenosti opravte o vypočtené korekce.

Pozn.: kmR 6381=

Příklad 8-2

Vypočtěte průměrnou korekci z nadmořské výšky pro danou lokalitu tj. pro lokalitu zadanou měřením podle příkladu 8.1

Pozn.: Vypočtěte korigované měřené veličiny a odchylky vůči řešení z předchozího příkladu.

Pozn.: kmR 6381=

- 103 (116) -


Příklad 8-3

Vypočítejte korekce do Křovákova zobrazení. Uvedené délky jsou vztaženy k ploše Besselova elipsoidu.

]320.670mH0m,1143878.80,m592832.380[2130]358.890mH0m,1143019.86,m592478.600[2120

317.610m]H0m,1142743.11,m593987.890[2110]337.080mH0m,1141928.24,m592751.680[2090]288.530mH0m,1141974.69,m593369.920[2080]282.670mH0m,1142807.46,m593427.420[2040]323.880mH 0m,1143841.81,m593624.290[2030

=====================

XYXYXYXYXYXYXY

]m300 Z1142426m,,593596m[4002]m300 Z1142474m,,593126m[4001

======

XYXY

=

564.236m504.094m

1157.433m564.244m

1053.043m1225.670m449.400m417.137m472.686m449.400m662.082m

2040,2110,0

4002,2110,0

2030,2110,0

2110,2040,0

2030,2040,0

2130,2040,0

4001,2040,0

4002,2040,0

4002,4001,0

2040,4001,0

2090,4001,0

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

lllllllllll

Pozn.: Měřené vzdálenosti opravte o vypočtené korekce.

Pozn.: Souřadnicový systém S-JTSK

Příklad 8-4

Vypočtěte průměrnou korekci do zobrazení pro danou lokalitu tj. pro loka-litu zadanou měřením podle příkladu 8.3

Pozn.: Vypočtěte korigované měřené veličiny a odchylky vůči řešení z předchozího příkladu.

Pozn.: Souřadnicový systém S-JTSK

Příklad 8-5

Určete místní měřítko sítě postupem popsaným v předchozí podkapitole. Je zadán seznam původních souřadnic sítě a seznam měřených veličin.

- 104 (116) -


]0m1143878.80,m592832.380[2130]0m1143019.86,m592478.600[2120

0m]1142743.11,m593987.890[2110]0m1141928.24,m592751.680[2090]0m1141974.69,m593369.920[2080]0m1142807.46,m593427.420[2040]0m1143841.81,m593624.290[2030

==============

XYXYXYXYXYXYXY

=

564.265m1157.491m564.269m

1053.090m1225.725m

2040,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

mer

mer

mer

mer

mer

lllll

=

504.120m449.420m417.156m472.709m449.422m662.114m

4002,2110

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

mer

mer

mer

mer

mer

mer

llllll

Pozn.: Zvolte konstantní přesnost měřených veličin mml 010.0=

Příklad 8-6 Na základě analýzy výsledků předchozího příkladu bylo zjištěno, že měřená data nebyla opravena o matematické korekce.

Měřené hodnoty:

=

564.265m504.120m

1157.491m564.269m

1053.090m1225.725m449.420m417.156m472.709m449.422m662.114m

2040,21100

4002,21100

2030,21100

2110,20400

2030,20400

2130,20400

4001,20400

4002,20400

4002,40010

2040,40010

2090,40010

lllllllllll

převeďte do S-JTSK.

ppmbFYZ 00.0= , b , bppmLOK 53.46−= ppmJTSKS 67.98−=− a a mm35−=

Vypočtěte místní měřítko sítě je-li ppmbSUMA 58.1462. −=

- 105 (116) -


Řešení


A. Korekce z nadmořské výšky

=

49.77ppm-49.77ppm-49.77ppm-44.30ppm-44.30ppm-44.30ppm-44.30ppm-44.30ppm-47.01ppm-47.01ppm-47.01ppm-

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

LOK

bbbbbbbbbbb

,

=

564.236m504.094m

1157.433m564.244m

1053.043m1225.670m449.400m417.137m472.686m449.400m662.082m

2040,2110,0

4002,2110,0

2030,2110,0

2110,2040,0

2030,2040,0

2130,2040,0

4001,2040,0

4002,2040,0

4002,4001,0

2040,4001,0

2090,4001,0

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

lllllllllll


A. Průměrná výška lokality a jí odpovídající korekce

mH LOK 925.296=

ppmbLOK 53.46−=

B. Korigované délky a porovnání s příkladem 8.1.

=

564.238m504.096m

1157.437m564.242m

1053.040m1225.667m449.399m417.136m472.687m449.401m662.083m

2040,2110,0

4002,2110,0

2030,2110,0

2110,2040,0

2030,2040,0

2130,2040,0

4001,2040,0

4002,2040,0

4002,4001,0

2040,4001,0

2090,4001,0

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

lllllllllll

,

+++++

=

2mm-2mm-3mm-2mm2mm3mm0mm0mm1mm-1mm-0mm-

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

vvvvvvvvvvv

- 106 (116) -



A. Korekce ze zobrazení a korigovaná měření

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

98.73ppm-98.73ppm-98.73ppm-98.68ppm-98.68ppm-98.68ppm-98.68ppm-98.68ppm-98.57ppm-98.57ppm-98.57ppm-

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

bbbbbbbbbbb

,

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

564.180m504.044m

1157.318m564.188m

1052.939m1225.549m449.355m417.095m472.639m449.355m662.016m

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

lllllllllll


A. Průměrné souřadnice lokality a jim odpovídající korekce

0m1142699.04m593498.070

==

LOK

LOK

xy

ppmb JTSKS 67.98−=−

B. Korigované délky a porovnání s příkladem 8.3.

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

564.180m504.044m

1157.318m564.188m

1052.939m1225.549m449.355m417.095m472.639m449.355m662.016m

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

lllllllllll

,

=

0mm0mm0mm0mm0mm0mm0mm0mm0mm0mm0mm

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

vvvvvvvvvvv

- 107 (116) -



A. Sestavení úlohy

000000.1.0 =aprim ,

mml 010.0= ,

mmA 00 = , ppmB 00 =

+

−−−−−

=

0.112943-0.189548-0.116943-0.171333-0.228367-

04-5.641521E-1000/103-1.157301E-1000/104-5.641521E-1000/103-1.052919E-1000/103-1.225497E-1000/1

2040,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

dBdA

vvvvv

l

l

l

l

l

Pozn.: Neznáme parametry A a B určíme pouze na základě měřených veličin mezi body výchozí sítě.


5=n , k , 2= 3=− kn , 1.460548.0 =apostm


=

564.265m1157.501m564.265m

1053.103m1225.706m

LLLLL

2110,2040

2110,2030

2040,2110

2040,2030

2040,2130

, ,

=

10mm9mm

10mm7mm

10mm

mmmmm

2110,2040L

2110,2030L

2040,2110L

2040,2030L

2040,2130L

+

+=

0mm-10mm4mm-13mm19mm-

vvvvv

2110,2040l

2110,2030l

2040,2110l

2040,2030l

2040,2130l


=

ppmmm

BA

146.581-30.027-

,

=

ppmmm

mm

B

A

22.52921.577

E. Veličiny korigované o vliv a[mm] a b [ppm]

=

564.152m504.016m

1157.291m564.156m

1052.905m1225.515m449.324m417.064m472.609m449.326m661.986m

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

lllllllllll

Pozn.: Značně velká hodnota měřítkové změny svědčí o významné deformaci sítě.

- 108 (116) -



A. Sestavení úlohy

ppmbSUMA 20.1451. −=

ppmbSUMA 58.1462. −=

ppmbbb SUMASUMAXYZ 38.11.2. =−=

mma 35−=

B. Převod veličin do S-JTSK

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

564.148m504.011m

1157.287m564.152m

1052.902m1225.512m449.319m417.060m472.605m449.321m661.982m

2040,2110

4002,2110

2030,2110

2110,2040

2030,2040

2130,2040

4001,2040

4002,2040

4002,4001

2040,4001

2090,4001

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

JTSKS

lllllllllll

Kontrolní otázky

Jaké rozlišujeme korekce měřených délek ?

Jakých hodnot dosahuje délkové zkreslení u Křovákova zobrazení ?

Co si vybavíte pod pojmem centrace měřené délky ?

Vyjmenujte druhy centrací a jejich přesnosti.

Co je to místní měřítko sítě ?

Řešení

Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole.

Informace

Tato kapitola se věnuje úpravě délkových veličin před vlastním vyrovnáním geodetické sítě. V této souvislosti hovoříme o tzv. matematických a fyzikálních korekcích měřených délek. Výsledkem jednotlivých úprav jsou veličiny převe-dené na výpočetní plochu, za kterou jsme zvolili rovinu Křovákova kartogra-fického zobrazení. I v případě správného zavedení všech uvažovaných korekcí data do sítě výchozí zapadnout nemusí. Příčinou toho jevu je tzv. místní měřít-ko sítě.

- 109 (116) -


Následující kapitola čtenáře seznámí s úpravami měřených převýšení pro vy-rovnání výškové složky sítě.

- 110 (116) -

Nivelační měření

9

•

•

•

Nivelační měření

Měření nivelačních převýšení metodou geometrické nivelace ze středu patří k nejpropracovanějším geodetickým metodám. Výšky přenášíme pomocí dife-renciálně měřených výškových rozdílů v rámci nivelačních sestav. Měření je tedy plně ovlivněno skutečným tíhovým polem Země.

Většina systematických vlivů, které by mohly nepříznivě ovlivnit výsledky měření, je vyloučena technologickými postupy nivelace.

V případě nivelačních měření opět rozlišujeme několik typů fyzikálních a ma-tematických korekcí.

Mezi fyzikální korekce zařadíme:

korekci z teplotní roztažnosti latě

korekci z nesprávných délek laťových metrů

Tyto korekce se zavadí pouze u těch nejpřesnějších nivelačních technik – PN a VPN.

Mezi matematické korekce zařaďme:

převod převýšení ve skutečném tíhovém poli Země na převýšení v systému Normálních Moloděnského výšek.

Tyto korekce se opět zavádějí jen při nejpřesnějších pracích.

Přesnosti, druhy nivelačních technik a též zavádění jednotlivých druhů korekcí pro naměřená převýšení jsou dopodrobna rozebrány v předmětu vyšší geodé-zie.

Kontrolní otázky

Jak se udává přesnost nivelačních měření ?

Vyjmenujte nivelační observační techniky a uveďte jejich přesnosti.

Vyjmenujte systematické chyby při nivelaci, které vylučujeme metodou mě-ření.

Vyjmenujte osové zkoušky nivelačního přístroje.

Řešení Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v souvisejících studijních materiá-lech.

Informace Následují kapitola je informací o přípravě družicových měření pro vyrovnání.

- 111 (116) -


- 112 (116) -

Zpracování vektorů GPS

10

•

•

•

•

Zpracování vektorů GPS

Výsledkem družicových měření jsou tzv. vektory udávající vzájemný vztah bodů geodetické sítě. Vektor je definovaný v prostorovém geocentrickém sys-tému, který je pevně spojen se zemským tělesem.

Vezmeme-li v úvahu družicový systém GRS NAVSTAR, pak měřený vektor bude vyjádřen v prostorovém systému WGS-84.

U družicových měření mezi fyzikální korekce zařadíme:

převod apriorně měřených dat na měřené vektory

Výsledkem zpracování družicových dat jsou vektory v trojrozměrném systému WGS-84 a jim odpovídající kovarianční matice.

Existuje řada metod pro objektivní stanovení přesnosti družicových měření ve fázi přípravy dat pro vyrovnání. Tato problematika je náplní předmětu kosmic-ká geodézie.

Mezi matematické korekce družicových měření patří:

převod družicových měření do prostorového systému spojeného s elipsoi-dem, na kterém je definováno kartografické zobrazení

převod výšek elipsoidických na nadmořské

převod horizontální složky družicového vektoru do roviny kartografického zobrazení

Převody družicově měřených vektorů na výpočetní plochy uvažované v rámci tohoto studijního materiálu jsou podrobně rozepsány v předmětech matematic-ká kartografie a kosmická geodézie.

V předmětu kosmická geodézie najdete i specifikace a přesnosti různých ob-servačních technik.

Kontrolní otázky

Jak se udává přesnost družicových měření ?

Vyjmenujte družicové observační techniky a uveďte jejích přesnosti.

Vyjmenujte systematické chyby družicových měření.

Řešení

Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v souvisejících studijních materiá-lech.

Informace Závěrečná kapitola přináší informace o doplňkové literatuře k předmětu.

- 113 (116) -


- 114 (116) -

Závěr

11

11.1 Shrnutí

•

•

•

•

•

•

11.2

11.2.1

[1]

[2]

[3]

11.2.2

[4]

[5]

[6]

Závěr

Tato kapitola je rekapitulací dovedností, které si čtenář tohoto studijního mate-riálu osvojil a které dále uplatní při řešení geodetických sítí.

Vyrovnáním geodetických sítí a transformacemi souřadnic se bude zabývat navazující studijní text.

Tento studijní materiál se zabýval:

vývojem geodetických základů na našem území

opakováním vybraných kapitol ze souvisejících odborných předmětů

převody měřených směrů na výpočetní plochu

převody měřených délek na výpočetní plochu

zpracováním nivelačních měření

zpracováním vektorů družicových měření

Studijní prameny

Uvedená literatura umožňuje čtenáři hlubší proniknutí do problematiky řešení geodetických sítí a problematiky transformací souřadnic užitím MNČ a je tedy námětem pro další studium a rozšiřování vlastních znalostí v dané oblasti.

Seznam použité literatury

Kratochvíl, V. Polohové geodetické sítě – Aplikace metody nejmenších čtverců a transformace souřadnic. Vojenská akademie v Brně 2000.

Kratochvíl, V., Fixel, J. Globální systém určování polohy – GPS - Apli-kace v geodézii. Vojenská akademie v Brně 2001.

Nevosád, Z., Vitásek, J., Bureš, J. Geodézie IV. CERM Brno 2002.

Seznam doplňkové studijní literatury

Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 10. Ediční středisko ČVUT Praha 1997.

Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 20. Ediční středisko ČVUT Praha 1997.

Koutková, H., Moll, I. Úvod do pravděpodobnosti a matematické statis-tiky. CERM Brno 2001.

- 115 (116) -


- 116 (116) -

11.2.3

[7]

11.3

11.4 Poznámka

Odkazy na další studijní zdroje a prameny

Velmi doporučuji prostudování souvisejících studijních opor vydaných Ústavem geodézie VUT v Brně.

Klíč

Odpovědi na otázky, výsledky příkladů a postupy řešení úkolů obsažených v tomto studijním materiálu jsou vždy situovány na konce jednotlivých kapitol. V případě nejasnosti doporučuji vyhledat výše uvedenou literaturu.

Postřehy a náměty ze strany čtenářů jsou obecně velmi prospěšné pro inovace a další rozšiřovaní studijních materiálů libovolného typu. Cestou zpětné vazby od čtenářů můžu též velmi operativně upravit méně srozumitelné pasáže a pří-padně i chyby textu. Vaše připomínky a náměty zasílejte na emailovou adresu [email protected].

mailto:[email protected]

GEODETICKÉ SÍTĚfast.darmy.net/opory - II...

Documents

Transcript of GEODETICKÉ SÍTĚfast.darmy.net/opory - II...