Geo Me Tria Guia

Secuencias de Aprendizaje de Geometría Analítica

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICASUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIABACHILLERATO TECNOLÓGICO AGROPECUARIO

AutoresJosé Ronaldo Calderón Estrada.Adolfo García Leyva.María del Refugio Gómez Velázquez.Francisco Antonio Montaño Quijada.Wenceslao Quijano Galaviz.José Juan Solís Granados.

Junio de 2011.

Academia de Matemáticas del Estado de Sonora

Geometría


DIRECTORIO

Mtro. Alfonso Lujambio IrazábalSecretario de Educación Pública

Lic. Miguel Ángel Martínez EspinosaSubsecretario de Educación Media Superior

Ing. Ernesto Guajardo MaldonadoDirector General de Educación Tecnológica Agropecuaria

Ing. Agustín Velásquez ServínDirector de Apoyo a la Operación Desconcentrada DGETA

Prof. Saúl Arellano ValadezDirector Técnico de la DGETA

Lic. Mario Holguín CebrerosRepresentante de la SEMS en Sonora

C. P. Francisco Guadalupe Márquez RoblesSubdirector de la Coordinación de Enlace

Operativo DGETA Sonora

Presentación

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La Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA) se ha conformado como un

sistema integral de servicios educativos para el campo, que contribuye al desarrollo económico y

social de las regiones, mediante la formación de técnicos y profesionales en diferentes disciplinas

agropecuarias y la atención a la población rural en diferentes demandas de capacitación y asistencia

técnica.

En nuestro Estado, la DGETA cuenta con diez planteles distribuidos a lo largo y ancho de su

territorio, los que se ubican en comunidades rurales con el propósito de ofrecer una formación

integral, social, humanista y tecnológica centrada en la persona, que consolide el conocimiento hacia

el sector rural, fortalezca la pertenencia, fomente la mentalidad emprendedora y de liderazgo.1

Gracias al esfuerzo de personal docente adscrito a nuestros planteles, quienes vale decirlo, han

tenido que enfrentarse a la tarea de desarrollar sus propias competencias docentes

(PROFORDEMS), ha sido posible la culminación de la presente obra editorial, diseñada bajo el

enfoque de competencias que exige la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), y

que permitirá con la participación activa del estudiante, el logro de mejores niveles de dominio en

cualquier actividad académica, social y profesional a que se dirija en su contexto, al movilizar sus

conocimientos, habilidades y actitudes.

Ponemos a disposición de todos nuestros docentes y estudiantes esta obra editorial, con la firme

convicción de que al utilizarla, permita definir y consolidar el quehacer educativo, dispuestos siempre

a la mejora continua con sus aportaciones.

Consejo Técnico Académico Estatal DGETA

Comité Estatal de Obra Editorial

1 http://www.dgeta.edu.mx

En el proceso de elaboración de este material colaboraron los siguientes docentes:

Nombre Plantel

M.C. María del Refugio Gómez Velázquez CBTa No. 26Ing. José Juan Solís Granados CBTa No. 38

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Ing. José Ronaldo Calderón Estrada CBTa No. 132M.C. Adolfo García Leyva CBTa No. 197M.C. Francisco Antonio Montaño Quijada CBTa No. 197Ing. Wenceslao Quijano Galaviz CBTa No. 197

Edición y Enfoque Pedagógico.Comité Estatal de Obra EditorialDGETA-Sonora

Responsables de ImpresiónQ. B. Pércida Robles Ibarra.- Responsable del Área Técnica DGETA- Sonora.M. E. José Juan León Torres.- Presidente del Consejo Técnico Académico EstatalSecuencias de Aprendizaje de Geometría AnalíticaAcademia de Matemáticas del Estado de Sonora

Introducción

El presente material fue elaborado por docentes de distintos planteles de la DGETA en Sonora, enfocado en la educación basada en competencias, del marco curricular común, que marca la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), donde se busca la construcción de conocimientos, habilidades y actitudes en los estudiantes de bachillerato.

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Los contenidos de la asignatura de Geometría Analítica se abordan mediante el empleo de secuencias de aprendizaje, donde se lleva al estudiante de manera gradual a incorporar los nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, para lograr desempeños integrales en cualquier contexto, con un profundo sentido ético.

Las secuencias didácticas están desarrolladas en tres fases: apertura en las que se busca a traer los conocimientos previos del estudiante, a partir de una situación problemática real, tomada del contexto. Enseguida continúa la etapa de desarrollo, donde el estudiante interioriza con los contenidos realizando análisis y ejercicios de ellos; para finalizar, la etapa de cierre, donde incorpora sus nuevos conocimientos con los previos, evaluando integralmente los aprendizajes alcanzados. Se propone en cada actividad la participación colaborativa de los estudiantes, en la búsqueda de su propia formación integral, así como la retroalimentación con el maestro-mediador.

En la evaluación, se propone medir de manera cuantitativa y cualitativa los logros alcanzados por los estudiantes, a través de diversos instrumentos creados para tal fin, y que los resultados sirvan de plataforma para la retroalimentación y establecimiento de procesos de mejora.

Al final, se dan a conocer las referencias bibliográficas consultadas para el desarrollo de cada tema abordado, así como también, la sugerencia de sitios de Internet donde el estudiante podrá ampliar los conocimientos relacionados al tema.

Es de primordial importancia utilizar el presente material durante el curso, para analizarlo, evaluarlo, dar aportaciones, y sugerencias a esta obra, por parte de los docentes que imparten la asignatura de Geometría Analítica, en los diferentes planteles de la DGETA en Sonora, a fin de mejorar las ediciones que le procedan a esta.


Índice de secuencias

Geometría AnalíticaBloque 1: Sistema de coordenadas rectangulares.

PáginasSecuencia 1 Sistema de coordenadas rectangulares.

8 a 18

Bloque 2: La recta.

5



PáginasSecuencia 2 La recta.

19 a 39Páginas Secuencia 3 Relación entre rectas.40 a 48Páginas Secuencia 4 Área de polígonos49 a 59

Bloque 3: CónicasPáginas

Secuencia 5 La circunferencia.61 a81

Páginas Secuencia 6 La parábola.82 a 111Páginas Secuencia 7 La elipse.112 a 123Páginas Secuencia 8 La hipérbola.124 a 141

Páginas Referencias Bibliográficas142 a 143

Bloque 1

6


Tema integrador: Contaminación ambiental

Sistema de Coordenadas Rectangulares

Puntos en el plano. Distancia entre dos puntos. División de un segmento en una razón

dada. Punto medio Perímetros y áreas


En esta sección aprenderás a:

Identificar las características de un sistema de ejes coordenados. Localizar puntos a partir de sus coordenadas. Calcular distancias entre puntos dados en el plano cartesiano. Dividir un segmento en una razón dada.

Para ello, necesitaras desarrollar tu competencia en los atributos:

5. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales:

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5.Esto lo lograras si te lo propones realizando y reflexionando las actividades propuestas, así como también con la ayuda de tus compañeros de clase y facilitador para la aclaración de dudas.

Secuencia 1: Sistema de coordenadas rectangulares

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Reconoce al punto como lugar geométrico y establece relaciones

Al término de esta secuencia, podrás adquirir las competencias en:Conocimiento -Localizar puntos en un plano bidimensional.

-Determinar distancias entre dos puntos.

-Dividir un segmento en una razón dada.

-Calcular del punto medio de una recta.

-Perímetros y áreas.

-Utilizar graficas, mapas, diagramas o textos.

Habilidades

-Identificar los elementos de los sistemas de coordenadas

rectangulares.

-Ubicar puntos en un plano bidimensional.

-Extraer información de registros algebraicos o gráficos.

-Usar la calculadora como herramienta de exploración de los

resultados.

-Investigar y trabajar en equipo.

-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su

validez.

Actitudes

-comprende el estudio de las propiedades del sistema de

coordenadas rectangulares, condiciones geométricas y

analíticas, que favorezca el desarrollo de actitudes críticas y

reflexivas ante una situación problemática del mundo real.

“El sistema de coordenadas es una poderosa herramienta de la

geometría analítica para resolver problemas de la vida real”


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A continuación se te presenta una información relacionada con el problema de los desechos de residuos sólidos que afectan de manera considerable a nuestro medio ambiente. Te invitamos a leerla, prestándole la atención debida y tomando nota de todo aquello que consideres importante, o te sea interés (recuerda que en actividades posteriores podrás usar todas tus anotaciones).

El deterioro del medio natural en el que vivimos es innegable; los asentamientos humanos, la proliferación de ciudades, de la industria, la sobrepoblación mundial, los patrones de consumo, incluso las políticas sobre la regularización del medio ambiente, lo afectan. Somos responsables directos de este deterioro y desde que nos encontramos en la tierra la hemos modificado para nuestro beneficio; todo lo obtenemos de ella: alimento, vestido, protección e incluso diversión.Dentro de este uso desmesurado para nuestro beneficio, nos ha llegado la preocupación de su agotamiento, pues aun cuando conocemos que mucho en la naturaleza tiene sus ciclos de recuperación, también somos conscientes de que estamos sobrepasando esta capacidad y poniendo en peligro su existencia para las generaciones futuras. Por mencionar algunos ejemplos, en nuestro país la generación de residuos fue de 21,967.51 miles de toneladas para el año de 1992, aumentando para el 2008 a 37,595.00 miles de toneladas (Secretaria de medio ambiente y recursos naturales, 2009). Este mismo compendio de estadísticas

ambientales de la Secretaria de Medio Ambiente y Recursos Naturales en su edición del 2009, apunta que para nuestro estado de Sonora, el incremento de generación de residuos sólidos fue de 561.13 a 832 miles de toneladas en 16 años. Además expone que contamos con municipios con tasas de crecimiento importantes en los años anteriores (1992-2005 aprox.) y para los

próximos años en ciudades como Nogales, Hermosillo, Caborca, entre otras.

Residuos sólidos urbanos

México ocupa uno de los primeros lugares en la generación de residuos sólidos de América Latina. La producción per cápita varía de acuerdo con la zona geográfica y con el grado de desarrollo. La generación de residuos sólidos urbanos continúa aumentando. Mientras que en 2000 se producían 30.7 millones de toneladas, en 2009 aumentó a 38.3, lo que implica un incremento de casi un millón de toneladas por año.

Del total de los residuos generados terminan en rellenos sanitarios, sitios controlados y sitios no controlados, es decir en tiraderos a cielo abierto, lo que representa un peligro para la salud pública y el patrimonio ecológico, pues contamina los mantos freáticos mediante la filtración de los lixiviados a través de los suelos, ensucia los ríos y lagos, valles y montañas y los campos de cultivo e impide el desarrollo de la vida en muchos ecosistemas.

En 2009, residuos orgánicos como los restos de comida, de jardines y otros materiales similares representan poco más del 52.4% del total de desechos urbanos. Mientras que otro tipo de residuos, entre los que se encuentran los residuos finos y los pañales desechables, redujeron su participación de 18% en 2000 a 12.1% en 2009. El papel y el cartón integran el 13.8% de los residuos; el vidrio representa el 5.8% y los metales el 3.4 %.

La generación de residuos inorgánicos, como los plásticos, ha aumentado considerablemente en los últimos ocho años: mientras en el año 2000 sólo representaban el 4.4% de los residuos sólidos urbanos, en 2009 han incrementado su participación al 10.8 por ciento.

Los siguientes son los resultados en el incremento de producción de residuos de sólidos urbanos de 2000 a 2009 en millones de toneladas.

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20

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

30.7

31.5

32.2

33.0

34.6

35.4

36.1

36.9

37.6

38.3

Incluye productos de papel, textiles, plásticos, vidrios, metales, basura de comida, materiales orgánicos, pañales desechables, otros.Fuente: http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/20180/Introducci%C3%B3n.pdfhttp://www.inegi.org.mx/inegi/contenidos/espanol/prensa/contenidos/estadisticas/2010/ambiente10.asp?s=inegi&c=2761&ep=36

A continuación te invitamos a resolver el siguiente cuestionario. Al finalizar comparte tus respuestas con los compañeros de tu grupo compartiendo coincidencias y diferencias (anota todo aquello que te resulte interesante).

1. ¿Qué entiendes por medio ambiente?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Qué factores constituyen el medio ambiente?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. ¿Qué sucede en el medio ambiente cuando un factor es alterado?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿De qué forma puede el hombre influir para el deterioro o bien para mejorar el medio ambiente?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. ¿Qué propones para tener una mejor calidad de vida en tu comunidad?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Tendrán aplicación los contenidos citados para lograr una mejor calidad del medio ambiente? ¿En qué forma?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Realiza la siguiente actividad en equipo, desarróllenla y preséntenla al resto del grupo, anoten coincidencias y diferencias con las opiniones del grupo (el mediador podrá retomar el problema al final de la secuencia apoyados en los conocimientos adquiridos del tema a abordar en la misma).

http://www.inegi.org.mx/inegi/contenidos/espanol/prensa/contenidos/estadisticas/2010/ambiente10.asp?s=inegi&c=2761&ep=36



http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/20180/Introducci%C3%B3n.pdf

http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/20180/Introducci%C3%B3n.pdf

Con los datos de la tabla anterior elabora una grafica que muestre la forma en cómo ha ido creciendo la producción de residuos de sólidos en México.Enseguida:

a) Describe el comportamiento de la gráfica.

b) Que valor se puede esperar para finales del año 2011 y 2012.

c) Cual es razón de crecimiento en la producción de basura del periodo 2000-01 en relación al periodo 2000-09.

d) Comenta tus observaciones con los compañeros, obtengan una conclusión y socialícenla al grupo

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1) ¿Qué es un lugar geométrico?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) ¿Cita la importancia que tiene el uso de un sistema coordenado rectangular en tu vida cotidiana?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________3) ¿Qué uso le puedes encontrar a la formula de la distancia entre dos puntos dentro de un sistema de ejes coordenados?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) Cual es la diferencia entre una razón y una proporción. ¿Qué importancia tiene este concepto en tu vida diaria?

__________________________________________________________________________

Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo.

Lee la siguiente información que tiene que ver con el tema de Sistema de coordenadas rectangulares.

Al menos en alguna ocasión habrás tenido la necesidad de explicarle a una persona el camino que puede seguir para llegar a un lugar determinado. Para ello, con seguridad tomas como referencia casas o edificios con algunas características especiales, además de los posibles nombres de las calles por las que debe pasar esa persona. Lo que haces con ello es tratar de dar la ubicación de un objeto tomando como referencia otro. Hoy en día existen satélites que permiten asignar coordenadas a puntos sobre nuestro espacio y que forman parte del llamado sistema de posicionamiento global (GPS), con lo que es posible la localización de puntos específicos de la superficie terrestre desde el espacio.

Puntos en el planoPara localizar o determinar en donde esta un objeto es indispensable indicar a partir de qué punto nos referimos.

Ese punto se denomina punto de referencia, y con base en el podemos mencionar cuán lejos o cerca está un objeto en relación con otro: si esta al norte, al sur, a la izquierda o a la derecha.

Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano.

Un plano cartesiano está formado por dos líneas perpendiculares, llamadas ejes coordenados, cuyo punto de intersección se denomina origen. A la línea horizontal se le

denomina eje x o de las abscisas, y a la línea vertical, eje y o de las ordenadas. Los ejes cartesianos dividen al plano en cuatro

regiones llamadas cuadrantes, los cuales se enumeran, como se muestra en la figura 1.

Fig. 1

Teniendo a estos ejes así construidos, es perfectamente posible identificar a cualquier punto en el plano.

La localización de puntos en el plano le llamaremos trazado de puntos.

Por ejemplo, para trazar el punto (3,1), (fig. 1), procederemos de la siguiente manera:

Paso 1. Señalaremos primero el punto 3 sobre el eje x, que está a tres unidades a la derecha del origen.

Paso 2. A partir del 3, sobre una paralela al eje y, mediremos una unidad hacia arriba del eje x, obteniendo así el punto (3,1).

Distancia entre dos puntos

Sea P(x1, y1) y Q(x2, y2), dos puntos cualesquiera de un plano coordenado como el que se muestra en la siguiente figura.

¿Cómo determinar la distancia entre los puntos P y Q.

Sea R el punto de intersección de la línea recta que pasa por P y es paralela al eje X, con la línea recta que pasa por Q y es paralela al eje Y.

De acuerdo con la figura, se observa que la distancia entre los puntos P y R, esta dada por:

Y que la distancia entre los puntos Q y P, está dada por:

Si se representa con d a la distancia entre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo PRQ, que se muestra en la figura, se tiene que:

Formula que se utiliza para calcular la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), dados en un plano coordenado.

En el siguiente ejemplo se desea determinar la distancia que existe entre el punto A y B. Analízalo: División de un segmento en una razón

dada.

Como puede observarse, se han formado dos triángulos semejantes de donde se puede establecer la siguiente relación:

, es decir:

De donde:

De manera similar:

Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A (1, 1) y B (11, 6) en una

razón tal que:

De acuerdo a la relación planteada, se pueden aplicar las fórmulas obtenidas:

De manera similar para y:

Por lo que las coordenadas del punto buscado son P (5, 3).

Punto medio

El punto medio es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, se pueden obtener las siguientes expresiones:

Ejemplo

Obtener el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, –2) y B (-5, 4).

Por lo que las coordenadas del punto medio son: (-1, 1).

Actividad 1

En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes

ejercicios que involucran a sistema de ejes coordenados.

Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas cartesiano y localiza los puntos siguientes:

A (-4, 2), B(1, 2), C(1, -2), D(3, 8), E(0, -4), F(-7, 2), G(2/3, 3/5) y H (0, -4/6).

Compara con tus compañeros la ubicación de los puntos en el eje de coordenadas, si existen divergencias analícenlas y socialícenlas ante el grupo. De seguir las dudas coméntenlas con el facilitador.

Actividad 2

Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas rectangular, localiza los puntos siguientes:

A(5, 7), B(4, 4), C(-4, 2) y D(-3, 6), enseguida une los puntos, que darán forma a un cuadrilátero, determina la distancia que existe entre ellos y calcula finalmente su perímetro.

Contrasta tu resultado con el de tus compañeros y socialízalo al grupo.

Actividad 3

Consigue 4 popotes de 18 cm de largo. Divide el primer popote en dos partes iguales, corta el segundo en segmentos de 12 y 6 cm, y el tercero secciónalo en trozos de 2 y 16 cm. Contesta:

1. ¿Cuántas veces es más grande uno de los segmentos respecto al otro de cada popote?

________________________________________________________________________

2. Encuentra la razón que existe entre cada segmento con la longitud original.

________________________________________________________________________

Haz dos cortes en el cuarto popote, de tal manera que la relación de los segmentos con la longitud original sea 1/3.

3. ¿Cuánto vale la razón entre dos segmentos?

________________________________________________________________________

Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las coordenadas de un punto P (x, y), tal que divida al segmento en una

razón tal que

Una vez que sabes el procedimiento para encontrar el punto de división de un segmento en una razón dada, reúnete con tus compañeros y resuelve el siguiente:

Problema:

El frente del solar de una casa es de 15 m. Una persona desea colocar cuatro postes en

el frente de su solar, de forma tal que estos se encuentren separados por distancias iguales.

Tomando esa medida a escala y colocándola sobre un eje de coordenadas de tal forma que sus extremos se hagan coincidir en puntos con coordenadas que contengan números enteros, se observa que el primero de los postes queda ubicado en la posición A (6, 9), mientras que el último de ellos se ubica en el punto B(-3,-3).

Bajo esta distribución, que coordenadas le corresponderán a los postes que ocupen las posiciones C y D. Las longitudes en los ejes coordenados están dadas en metros.

Actividad 4

El grupo se organizara formando equipos de 6 estudiantes para elaborar un ensayo que nos permita determinar los volúmenes de basura que se generan durante un ciclo escolar en el plantel.

Para ello, se contabilizaran los contenedores de basura del plantel y de manera aleatoria cada equipo en un día de la semana revisaran los contenedores seleccionados, para obtener información del tipo de residuos sólidos que se generan diariamente en la comunidad escolar.

Estos serán separados y pesados por tipo de residuo, posteriormente determinaran y realizarán:

1. Graficar resultados y publicarlos al interior del plantel, para sensibilizarlos al respecto.

2. Establecer la razón de crecimiento de producción de basura generada el día lunes respecto de la generada a lo largo de la semana.

3. En base a tus resultados elabora un mensaje dirigido a la comunidad escolar, con la finalidad de entender el problema que representa la generación de basura en el planeta tierra y como minimizar el efecto.

Actividad 5

Grafica en una hoja de papel milimétrico un plano cartesiano que contenga los puntos A (-1, 3), B (7, -5) y C (3, -1). Mide con una escuadra las distancias de AB, BC y AC.

Realiza lo siguiente:

1. ¿Cuál es la longitud de las distancias?

Ahora aplica la formula de la distancia y compara resultados. ¿Son parecidos?

Actividad 6

Traza un eje de coordenadas en tu cuaderno y ubica los puntos citados en cada uno de los incisos y únelos por un segmento de recta.

Enseguida determina las coordenadas del punto P(x, y) que divida al segmento en la razón señalada:

a) P1 (4,-2), P2 (-5, 3), r= 1/4

b) P1 (-1, 8), P2 (7, 10), r= 3/2

c) P1 (6,-5), P2 (0, 0), r= 2/15

d) P1 (4, 10), P2 (-4, 8), r= -2

e) P1 (0,-10), P2 (-10, 0), r= 2

Compara los resultados obtenidos con el resto de tus compañeros, en caso de existir divergencias analícenlas y coméntenlas con el facilitador.

Actividad 7

Encuentra el valor de las incógnitas que hace posible que el punto P cumpla con la relación r.

a) P1 (-7, 4), P2 (x, y), P (5, 4), r= 1/2

b) P1 (x, 8), P2 (7, y), P (4, 7), r= 1

c) P1 (10, y), P2(x, -5), P (12,5), r= 8

Para cada uno de los ejercicios realiza su representación grafica en tu cuaderno, compara los resultados obtenidos con el resto de tus compañeros, analícenlos y coméntenlos con el facilitador.

Actividad 8

De acuerdo con la grafica, asigna las coordenadas correspondientes en A y B y determina las coordenadas del punto medio.


RúbricaLa evaluación se orienta de acuerdo con los criterios y niveles de logro que siguen:

Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos. Obtener las coordenadas para la división de un segmento en una razón dada.

Aspecto deficiente Regular Bueno excelenteAplica la formula de la distancia entre dos puntos colocados en un plano cartesiano, utilizando de forma correcta el algebra y la aritmética.

No le es posible encontrar la distancia entre dos puntos localizados en un plano cartesiano, debido a que no usa la formula, el algebra y la aritmética correctamente.

Aplica correctamente la formula, pero su algebra y su aritmética, son deficientes por lo que no llega al resultado correcto.

Encuentra la distancia entre dos puntos correctamente en el 80 % de los casos, con el uso pertinente de la formula, el algebra y la aritmética.

Encuentra la distancia entre dos puntos correctamente en el 100 % de los casos, con el uso pertinente de la formula, el algebra y la aritmética

Resuelve problemas geométricos en los que se aplican las distancias entre dos puntos.

Plantea incorrectamente todos los problemas geométricos que se presentan.

Plantea correctamente los problemas geométricos, aunque solo llega al resultado correcto en los casos más sencillos.

Plantea correctamente los problemas geométricos que se presentan y obtiene el resultado correcto 80 % de los casos.

Plantea correctamente los problemas geométricos que se presentan y obtiene el resultado correcto 100 % de los casos.

Encuentra las coordenadas de un punto P que divide a un segmento en una razón dada.

No le es posible encontrar las coordenadas de un punto P que divide un segmento en una razón dada.

Aplica bien la formula en todos los ejercicios, pero en mas de 50 % no utiliza de forma correcta las leyes del algebra y la aritmética

Encuentra las coordenadas de un punto P, que divide a una recta con una razón dada en 80 % de los casos, aplicando correctamente, las formulas el algebra y la aritmética

Encuentra las coordenadas de un punto P, que divide a una recta con una razón dada en 100 % de los casos, aplicando correctamente, las formulas el algebra y la aritmética

Colabora con los miembros del equipo para obtener los productos correspondientes al bloque.

No consigue trabajar en equipo ni logra obtener los productos de la secuencia.

Trabaja en equipo, pero no da su opinión para obtener los productos de la secuencia.

Trabaja en equipo y participa para obtener los productos de la secuencia.

Trabaja en equipo y da su propia opinión para obtener los productos de la secuencia

Academia de Matemáticas del Estado de Sonora17


Bloque 2Bloque 2 SecuenciaSecuencia 2: La recta 2: La recta


En esta secuencia abordarás temas de interés para resolver problemas, empleando conocimientos de la inclinación y pendiente de una recta. En esta secuencia abordarás temas de interés para resolver problemas, empleando

conocimientos de la inclinación y pendiente de una recta.

Al término de esta secuencia serás competente si te aplicas en:

Conocimiento-Representar y determinar la pendiente de la recta

y su expresión algebraica.

Habilidades-Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

-Seguir instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

-Utilizar las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

-Elegir fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

-Aportar puntos de vista con apertura y considerar los de otras personas de manera reflexiva.

Actitudes- Trabajar en binas con ejercicios planteados.-Colaboración entre equipos con respeto y tolerancia hacia sus compañeros.


A continuación se te presenta una lectura que tiene que ver con la toma de decisiones para resolver problemas. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

Toma de decisiones

Para tomar una decisión, no importa su naturaleza, es necesario conocer, comprender, analizar un problema, para así poder darle solución; en algunos casos por ser tan simples y cotidianos, este proceso se realiza de forma implícita y se soluciona muy rápidamente, pero existen otros casos en los cuales las consecuencias de una mala o buena elección

puede tener repercusiones en la vida y si es en un contexto laboral en el éxito o fracaso de la organización, para lo cual es necesario realizar un proceso más estructurado, que puede dar más seguridad e información para resolver el problema. Las decisiones nos atañen a todos ya que gracias a ellas podemos tener una opinión crítica.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Toma_de_decisiones consulta día 2 de junio de 2011 a las 7:00 hrs


1.- En relación a la lectura, explica con tus palabras la importancia de

tomar decisiones___________________________________

2.-Cuándo se te presenta un problema ¿Cómo le haces?________________________________________

3.- Según tu punto de vista ¿Porque es necesario conocer y comprender un problema?____________________________

4.- Comenta en clase con tus compañeros las respuestas y anota aquello que sea interesante para complementar la información. Muéstrale los resultados a tu facilitador y presta atención a sus sugerencias.______________________________________

http://es.wikipedia.org/wiki/Toma_de_decisiones

http://es.wikipedia.org/wiki/Organizaci%C3%B3n

http://en.wiktionary.org/wiki/es:comprensi%C3%B3n

http://en.wiktionary.org/wiki/es:conocer

Evaluación diagnóstica

Un ingeniero en la Comunidad de Providencia, proyecta instalar una tubería recta, cuya longitud es de 25 metros con una pendiente tal que, por cada metro sobre el terreno horizontal la tubería ascienda 0.04 metros.

1. ¿Cuál seria la altura a la que se descargaría el agua?

2. Haz una ilustración grafica de la situación.

3. Si la tubería tiene un ángulo α de inclinación con respecto a la horizontal, ¿Cuál es la tangente de dicho ángulo?

4. Si el ángulo de inclinación del techo de una casa es de 10º ¿Cuál es su pendiente?

5. ¿Qué es la pendiente de cualquier recta?

6. Dibuja cuatro rectas con diferentes ángulos de inclinación y obtén su pendiente, utilizando una regla graduada en centímetros.

7. Dibuja 3 rectas cuyas pendientes sean y respectivamente.

8. En otro sistema de coordenadas, dibuja una recta que pase por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y obtén una ecuación que exprese el valor de la pendiente.


Ahora te invito a leer la siguiente información y resolver las actividades que se te presentan al final de cada una de ella.

El Teorema de Tales y la pendiente de una recta, inclinación y pendiente.

Sea L una recta no paralela al eje x y A el punto donde L corta a este eje. Tómese un punto M del eje

x a la derecha de A (con abscisa mayor que A) y un punto N de L que tenga segunda coordenada

mayor que cero (estará por encima del eje x, en el primero o en el segundo cuadrante). El ángulo

MAN (figuras 1 y 2) lo llamaremos la inclinación de L.

Si una recta L es paralela al eje x, diremos que L tiene una inclinación igual a cero. Nótese que 0

inclinación < dos rectos (180º).

Pendiente de una recta.

El Teorema de Tales interpretado en un sentido físico nos indica que si estamos subiendo por una

rampa recta, dados dos puntos arbitrarios P y Q de la rampa, la razón entre lo subido y lo avanzado

cuando nos desplazamos de P a Q es siempre la misma (figura 3).

Figura 1

Figura 3

A esa constante se le denomina pendiente de la rampa y como puede apreciarse de la figura 3, es igual a la tangente del ángulo θ, el ángulo de inclinación de la rampa.

De la misma forma, definimos la pendiente de una recta L (no perpendicular al eje x) como la tangente de su ángulo de inclinación.

Las líneas perpendiculares al eje x no tienen pendiente, pues 90º no tiene tangente.

Calculo de la pendiente de una recta dados dos de sus puntos.

P = (x1, y1), Q = (x2, y2).

Tomando en cuenta lo que ocurre con la rampa expuesta con anterioridad, construimos un triangulo rectángulo PQR que tenga a PQ por hipotenusa y un cateto paralelo y otro perpendicular al eje x (figuras 4 y 5).

Estas igualdades en ambos casos, nos dan como resultado, que la pendiente se define matemáticamente por el siguiente:

Teorema

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

Siendo x2 x1

Valor del ángulo de inclinación.

A partir de la ecuación m = tg θ, despejando para el ángulo de inclinación, tenemos:

Ejemplos:

1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).

Solución: al graficar los puntos dados, tenemos:

Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:

Donde m=1/2

Para determinar el ángulo de inclinación, utilizamos la ecuación:

q = arc tg m q = arc tg (1/2)= arc tg(0.5) q = 26°33’ 54’’

Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° .

2. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,-5) y B(2,1).

Solución: Al graficar los puntos dados, tenemos:

arc tg m

Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:

Donde m = -3/5

Para determinar el ángulo de inclinación, utilizamos la ecuación:

q = arc tg m q = arc tg (-3/5) = arc tg (-0.6) q = 30°57’ 49’’

Como la m es negativa, el ángulo q es mayor de 90° pero menor de 180°, por lo que el ángulo encontrado deberá restarse a 180°, es decir:

q = 180° – 30°57’49’’= 149° 2’ 11’’

Actividad 1

En pareja, y de ser necesario, con el auxilio del maestro-facilitador, resuelve los siguientes ejercicios que involucran la inclinación y pendiente de una recta.

En los ejercicios 1 a 6, calcular la pendiente de la recta a partir de su grafica

.

En los

ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el punto dado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema de coordenadas.

En los ejercicios 9 a 14, dibujar el par de puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos.

En los ejercicios 15 a 18, utilizar el punto de la recta y su pendiente para determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hay mas de una respuesta correcta).

Pendientes de rectas paralelas

Por leyes de geometría elemental, se supone que si as rectas a y d que aparecen en la imagen siguiente (figura de abajo) son paralelas, entonces los ángulos de inclinación de ambas son iguales (α1 = α2). Aceptado lo anterior, resulta obvio que las pendientes de ambas rectas también son iguales entre sí.

Lo anterior se simboliza:

α1 = α2 y m1 = m2

Donde m1, es la pendiente de la recta a, y m2 es la pendiente de su paralela, la recta d.

α1 = α2 , son ángulos de inclinación de las rectas.

Pendiente de rectas perpendiculares

También se ha demostrado que cuando se tienen dos rectas perpendiculares como las que se observan en la siguiente figura (fig. 7), la relación que existe entre sus pendientes es:

donde,

m1, es la pendiente de la recta a, y m2, es

la pendiente de su perpendicularidad, la

Figura 7

recta d.

Ejemplos:

1. Determinar si la recta que pasa por los puntos (6, 0) y (0, 4) y la que pasa por (0, 2) y (3, 0) son paralelas.

Resolución:

Sustituimos: Pendiente m de la recta que pasa por (6, 0) y (0, 4):

Pendiente m de la recta que pasa por (0, 2) y (3, 0):

2. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (2, 5), (-3, -2) es perpendicular a la recta que pasa

por los puntos (4, 1) con .

Resolución:

Como , sustituimos

Actividad 2

En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor-facilitador, resuelve los siguientes ejercicios que involucran problemas de aplicación de los temas tratados.

1. En un torneo de saltos de esquí acuático, la rampa se eleva hasta una altura de 6 pies sobre una balsa de de 21 pies de largo, como se ilustra en la figura 8. La pendiente de la rampa de esquí es

Solución: son paralelas

Solución: Son perpendiculares porque sus pendientes cumplen la condición.

el cociente entre su altura (ascenso) y la longitud de su base (avance). Indicar el valor de su pendiente y su ángulo de inclinación.

Figura 8.

2. Al sobreponer el croquis del corte de un auditorio con una representación del plano cartesiano, tal y como se muestra en la figura 9, se observa coincidencia entre puntos A (-10, 5), B (0, 12) y D (16, 4).

Figura 9.

a) ¿Cual es la pendiente y el ángulo de inclinación de la parte AB del techo?

b) ¿Cuál es la pendiente y el ángulo de inclinación de la parte BD del techo?

c) Para colocar un reflector, se quiere dejar a L como punto medio del segmento AB. ¿Cuáles deben ser las coordenadas de dicho punto?

d) Para poner unas bocinas, se pretende ubicar al punto M en la tercera parte del segmento BD. ¿Cuales deben ser las coordenadas de M?

e) Utilizando los ángulos de inclinación de AB y de BD, y algunas propiedades de los triángulos, calcula el ángulo ABD formado entre las dos partes del techo.

Ecuación de la recta que pasa por el origen.

Considérese la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x.

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3

sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:

Eso es ; es decir,

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen. Ecuación de la recta en forma simplificada o forma común. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta con pendiente 3 y ordenada al origen -2. Traza su grafica.

Resolución: Sustituimos en

Si igualamos a cero queda:

Observa que el coeficiente de x es el valor de la pendiente y que el valor de b da la ordenada al origen. Con estos datos podrás trazar la gráfica de la recta.

Calculando la pendiente

Despejando y, y ordenando los términos

Ejemplo 2. Representa gráficamente la ecuación 4x + 2y + 3 = 0. Además señala el valor de la pendiente y de la intersección con el eje y.

Resolución:

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente.

Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.

Esta es la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.

Ejemplo 3. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 3) cuya pendiente es .

Resolución: Sustituimos en:

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente

puede definirse como: .

Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:

Solución:

Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.

Ejemplo 4. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1, 4) y (-3, 5).


Ecuación de la recta en forma simétrica.

La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a, 0) y B(0,b).

Ordenando los miembros de la ecuación, se obtiene:

A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

O bien, la pareja de coordenadas del punto B

Al calcular la pendiente obtendríamos:

Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y= mx+b, tenemos:

Esta es la ecuación simétrica de la recta.

Solución:

Ejemplo 5. Determina la ecuación de la recta cuyas intersecciones son (2, 0) con el eje x, y (0, 5) con el eje y. Traza su grafica.


Ecuación general de la recta. La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax + By + C = 0

A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes:

Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B¹0, C ¹ 0; la ecuación se reducirá a By + C = 0, de la cual se obtiene que y = - C/B, que representa una recta paralela al eje x.

Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A¹0, B=0, C ¹ 0; la ecuación se reducirá a Ax+ C=0, de la cual se obtiene que x = - C/A, que representa una recta paralela al eje y.

Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y = - x o x = - y, o bien y =|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

Haciendo a = - C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

Gráficamente x = a, donde a = - C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

Si igualamos a cero nos queda

Solución.

Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A¹1, B¹1, C¹ 0; al despejar y la ecuación general toma la forma

Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m =-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra en la siguiente figura.

Transformación de las diferentes formas de la ecuación de una recta

1. Transformación de las diferentes formas de la ecuación de una recta a la forma general Ax + By + C = 0

Nota: Los ejemplos 1, 3, 4 y 5 que se desarrollaron anteriormente son muestra de cómo se transforman las diferentes ecuaciones a la forma general.

2. Transformación de la forma general Ax + By + C = 0 de la ecuación de una recta a la forma común (pendiente ordenada al origen), a la forma simétrica y a la representación gráfica

A) De la forma general

Ejemplo. Convierte la ecuación 3x + 2y + 4 = 0 a la forma común.

.

Resolución: 3x + 2y + 4 = 0

Despejamos y: 2y = -3x – 4

B) De la forma general

Ejemplo. Transforma la ecuación 2x – 4y – 6 = 0 a la forma simétrica.

Resolución: Para determinar las intersecciones con los ejes, se procede de la siguiente forma:

Hacemos y = 0 despejamos x;

Hacemos x = 0 y despejamos

2x - 4(0) - 6 = 0

2x – 6 = 0

x = 3

Para representar gráficamente una ecuación de una recta que esta en su forma general, podemos utilizar con facilidad cualquiera de las formas: común o simétrica.

Ejemplo: Representa gráficamente la ecuación x + 2y – 6 = 0

Resolución empleando la forma común:

x + 2y – 6 = 0

2y = -x + 6

En donde:

Solución: Queda en la forma común:

2(0) – 4y – 6 = 0

-4y – 6 = 0

Sol. Queda en la forma simétrica

:

Solución-. La gráfica queda:

El mismo problema resuelto mediante la forma simétrica.

Ejemplo: Representa gráficamente la ecuación x + 2y – 6 = 0

Resolución:

x + 2y – 6 = 0

con x = 0 con y = 0

2y – 6 = 0 x – 6 = 0

2y = 6 x = 6

y = 3

De todo lo anterior se concluye:

a) En la ecuación de la recta Ax + By + C = 0, los coeficientes A y B no pueden ser simultáneamente iguales a cero, porque entonces no se trataría de la ecuación de una recta.

b) Las constantes A, B y C son números reales; las razones son las constantes

arbitrarias o parámetros que definen la posición de la recta; m es y la intersección de la

recta con el eje y es .

c) De las diferentes formas de la recta podemos pasar a la forma general, y de ésta, a cualquiera que necesitemos.

Actividad 3

En pareja, resuelvan los siguientes ejercicios sobre ecuación de la recta y. En caso de no poder resolverlos, pidan ayuda a su facilitador.

1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita.

3. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-2,5).

Solución-. La gráfica queda:

4. Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a) 2x + 3y - 4 =0

b) x - 2y + 1= 0

c) 3x - 2y -9 = 0

d) 4x + 6y - 8 = 0

e) 2x - 4y - 6 = 0

f ) 2x + 3y + 9 = 0

5. Hallar la ecuación de la recta r, que para por A(1, 5), y es paralela a la recta s = 2x + y + 2

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2).

7. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 2) y es paralela a la recta x=5.

8. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1) y que es paralela a la recta de ecuación 2 x + 4 y - 1 = 0.

9. Sea y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifica que su

ecuación en su forma punto-pendiente es: 5y-x+18=0

10. Pasar a la forma general la ecuación de la recta que interseca a los ejes coordenados en x = -2, y = 4.

11. Hallar la pendiente de la recta x -2y + 4 = 0

12. Pasar a la forma simétrica la ecuación de la recta x – y + 1 = 0

13. Graficar la ecuación normal de la ecuación 2x + 3y = 4

Coevaluación

Escribe en tu cuaderno las respuestas a los siguientes planteamientos.

Un ingeniero proyecta instalar una tubería recta, cuya longitud es de 25 metros con una pendiente tal que, por cada metro sobre el terreno horizontal la tubería ascienda 0.04 metros.

1. ¿Cuál seria la altura a la que se descargaría el agua?

2. Haz una ilustración grafica de la situación.

3. Si la tubería tiene un ángulo α de inclinación con respecto a la horizontal, ¿Cuánto vale la tangente de dicho ángulo?

4. Si el ángulo de inclinación del techo de una casa es de 10º ¿Cuánto valdrá su pendiente?

5. ¿Qué cosa es la pendiente de cualquier recta?

6. Dibuja cuatro rectas con diferentes ángulos de inclinación y obtén su pendiente, utilizando una regla graduada en centímetros.

7. Dibuja 3 rectas cuyas pendientes sean y respectivamente.

8. En otro sistema de coordenadas, dibuja una recta que pase por los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) y obtén una ecuación que exprese el valor de la pendiente.

Resuelve el problema.

En tus respuestas apóyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando

y porque.

Comparte tus respuestas con las de tus compañeros.

Elaboren una estrategia a seguir con la aplicación de las técnicas aprendidas.

Autoevaluación

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resuélvelos aplicando las propiedades y teoremas aprendidos en el tema.

Ejercicios en equipo:

1-. Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales.

Solución: longitud total de las vigas 59.41m

2-. Una compañía de seguros paga a un agricultor el doble de la cantidad invertida en el cultivo, si x es la cantidad invertida, e y, el pago por seguro; entonces:

1. ¿Cuál seria la relación que existe entre ambos valores?

2. ¿A que potencia están elevadas la x y la y?

3. ¿De que grado es la ecuación?

4. Suponiendo que cuatro agricultores invirtieron 2 mil, 4 mil, 6 mil y 8 mil pesos respectivamente, ¿Cuál es el pago que recibieron en caso de siniestro?

5. Representa en un sistema de coordenadas las situaciones mostradas en el punto anterior (4), únelas con una línea. Representa cada situación con un punto (x, y) donde x es la abscisa y y es la ordenada de cada punto.

6. La ecuación de una recta expresa la relación entre la _____________ y la _____________ de cada punto de ella.7. Dibuja 5 puntos (x, y) donde el doble de la abscisa x, incrementado en 3 unidades, sea igual al valor de la ordenada y. Únelos con una línea; además representa algebraicamente la relación entre x e y.

8. Las ecuaciones: x = 3 2x + y = 6 y = -4x – 3

y = 4 y = 4x – 1

¿Son estas de primer grado?, ¿Representan rectas? Si o no y porque.

Secuencia 3: Relación entre rectas.Secuencia 3: Relación entre rectas.


Conocimiento

-Representar y determinar la distancia entre rectas, distancia de un punto a una recta y ángulos entre rectas.

Habilidades

- Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.




- Aportar puntos de vista con apertura y considerar los de otras personas de manera reflexiva.Actitudes- Trabajo en binas con ejercicios planteados.- Colaboración entre equipos con respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

En esta sección conocerás la relación entre rectas, puntos, y la inclinación de ellas ya que son aspectos importantes para obtener mejores cálculos en problemas de la vida cotidiana. En esta sección conocerás la relación entre rectas, puntos, y la inclinación de ellas ya que son aspectos

importantes para obtener mejores cálculos en problemas de la vida cotidiana.

A continuación se te presenta una lectura que tiene que ver con alternativas paramejorar la salud. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

El atletismo, una buena alternativa para los jóvenes

Hacer deporte es una magnifica, divertida y estupenda forma de pasárselo bien, mantenerse activo y con salud. Los niños tienen muchas opciones entre las que escoger a la hora de hacer deporte, y pueden elegir entre si prefieren practicarlo solo para divertirse o también para competir

La actividad deportiva infantil convertida, en el ámbito mundial en negocio, busca deportistas cada vez más jóvenes, sin prestar atención a la calidad de vida del niño, ni a los intereses propios de su edad. Observo que desde edades muy tempranas se antepone ante todo los resultados, dejando a un lado a los valores

que se tienen que aprender con la práctica deportiva

Aprender a competir, saber ganar, saber perder, es muy importante de cara a la formación del niño, y más en una sociedad cada vez más competitiva, pero hasta cierto punto

Existen alternativas a los "deportes estrella" para que el deporte sea un escalón importantísimo en la educación y en la adquisición de buenos hábitos en edad tan importante y una de ella es el atletismo.

El atletismo tiene un gran competidor en los deportes de equipo, ya que éstos ofrecen recompensas inmediatas (un gol, una canasta...), mientras que en el atletismo las satisfacciones son más a largo plazo. Sin embargo, en este deporte se estimulan otros valores como la constancia, el espíritu de sacrificio y la superación personal. Además, mientras en un partido siempre hay un equipo que gana y otro que pierde, en la práctica del atletismo es mucho más importante la mejora de las propias marcas que la victoria sobre un rival.

Fuente: http://www.correliana.com/2010/05/el-atletismo-una-buena-alternativa-para_11.html: consulta día 2 de junio de 2011 a las 7:00 hrs

http://www.correliana.com/2010/05/el-atletismo-una-buena-alternativa-para_11.html

http://www.correliana.com/2010/05/el-atletismo-una-buena-alternativa-para_11.html

Evaluación Diagnóstica

A continuación se te presenta un problema interesante con el cual aprenderás a resolverlo durante la secuencia.


1. ¿Cómo resolverías el problema?

2. ¿Qué idea tienes de cómo expresarlo?

3. ¿Qué información será necesaria para resolverlo?

4. ¿Qué tendrá que ver con la distancia entre rectas?


Lee la siguiente información y resuelve las actividades que se te presentan al final de cada una de ella.

Distancia entre recta y un punto

Consideraremos una recta L y un punto P(x1, y1) que no este en la recta. La distancia del punto P a la recta L se define como la distancia de P al punto L que este más cercano a él. Si la forma general de la recta L es , entonces la forma pendiente ordenada al origen de l es:

.

Consideremos la recta que pasa por P(x , y ) y es perpendicular a L.

Puesto que la pendiente de L es , la

pendiente buscada es ; entonces, la forma

pendiente- ordenada de L es:

Te encuentras en la pista de atletismo en el punto (0, 0) y caminas por el carril central hasta llegar al punto (4,1), así también vez que un compañero se encuentra en el punto (2,2). De que manera puedes determinar la distancia que existe entre estos carriles. x

yP

Q

L

1.- En relación a la lectura, explica con tus palabras que alternativas tienes para mejorar tu salud_____________________________

2.- Cuándo se te presenta un problema de salud ¿Cómo lo resuelves?______________

3.- Según tu punto de vista ¿Porque es necesario tener alternativas para practicar un deporte?____________________________

4.- Comenta en clase con tus compañeros las respuestas y anota aquello que sea interesante para complementar la información. Muéstrale los resultados a tu facilitador y presta atención a sus sugerencias.__________________________

Ahora encontramos el punto en que se cortan la recta L y la que acabamos de obtener; es decir, resolvemos el sistema:

Multiplicamos la primera ecuación por B y la segunda por A

Sumándolas y despejando y, tenemos:

Sustituyendo el valor de la y en la primera ecuación y despejando x tenemos:

Así, el punto en el que se cortan las rectas es:

La distancia de P a la recta es la distancia de P a Q:

Es decir,

Como la distancia debe ser un número no negativo, el signo de la raíz se escoge de manera que el cociente sea positivo. Este signo del radical nos indica si esta el punto por arriba o por debajo de la recta.

Si tomamos el radical con signo positivo significa que el punto esta por encima de la recta.

Si tomamos el radical con signo negativo significa que el punto esta por debajo de la recta.

Por ejemplo, si queremos determinar la

distancia del punto p (-4, ) a la recta x-2y -2

=0

Para determinar la distancia del punto a la recta, es la distancia de P al punto que este sobre la recta mas cercano a él.

Escribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente – ordenada al origen:

Consideraremos la recta perpendicular a ella

que pase por P (-4, ):

Encontramos el punto donde se cortan las rectas

y

Para ello resolvemos el sistema:

Sumándolas y despejando x

Sustituimos el valor de x en la primera ecuación y obtenemos el valor de y

El punto donde se cortan las dos rectas es Q

.

La distancia del punto P a la recta es la distancia P a Q.

x

y

P

Q

Así que la distancia de P (-4, ) a la recta x-

2y-2=0 es de

Ejemplo 2.- encuentra la distancia entre el

punto P (2,3) a la recta

Escribimos la ecuación en su forma general:

Sustituimos las coordenadas de P(2,3) y los coeficientes de la ecuación de la recta en la formula determinada:

Como el numerador quedo positivo el radical se tomo positivo para que el cociente sea positivo. Entonces, la distancia es de d=2/5.

Actividad 1

En equipo, resuelve los siguientes ejercicios aplicando la distancia de un punto a una recta.

Encuentra la distancia entre la recta y el punto dado.

1)

P(-1,2)

2)

P(1,5)

3)

P(6,2)

4) P(0,-3)

5) P(-2,4)

6) P(-2,4)

Distancia entre dos rectas paralelas

Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la distancia de ahí a la otra recta. Por ejemplo:

Encuentra la distancia entre las rectas 6x+2y-3=0 y 6x+2y+5=0

Observemos que los coeficientes x y y son iguales en ambas ecuaciones; entonces son rectas paralelas. Elegimos un punto al azar en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por ejemplo x=1, lo sustituimos en la ecuación y encontramos el valor de y correspondiente.

6(1)+2y=3

2y = 3-6

Y=-3/2

Así el punto P(1, ) que pertenece a la

primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda recta:

Por lo tanto, la distancia entre las rectas es de

Actividad 2

En equipo, determina la distancia entre las rectas que plantea cada ejercicio.

1) 6x+9y-9=0, 2x+3y+7=0

2) x+2y+2=0, 2x+4y-3=0

3) 5x+6y=20, 5x+6y=15

4) –x+3y-5=0, 5x-15y+8=0

Coevaluación

Te encuentras en la pista de atletismo en el punto (0, 0) y caminas por el carril central hasta llegar a otro punto, dicha distancia se

representa por la ecuación , así

también vez que un compañero se encuentra en el punto (2,2). De que manera puedes determinar la distancia que existe entre tu compañero y tú.

1. ¿Cómo resolverías el problema?

2. ¿Qué idea tienes de cómo expresarlo?

3. ¿Qué información será necesaria para resolverlo?

4. ¿Qué tendrá que ver con la distancia entre rectas?


En tus respuestas apóyate de lo

aprendido en esta secuencia,

citando que estas aplicando y

porque.

Comparte tus respuestas con las

de tus compañeros.

Elaboren una estrategia a seguir

con la aplicación de las técnicas

aprendidas.

Autoevaluación

Lee cuidadosamente los siguientes ejercicios-problemas y resuélvelos aplicando lo aprendido.

1.- considera las rectas cuyas ecuaciones son

y , y los

puntos A y B . Calcula las

distancias de A y B a cada una de las rectas.

¿Que puedes decir acerca de la recta que

pasa por los puntos A, B?

2.- Considera los puntos A(-1,3), B(2,6) y

C(4,1). Calcula la distancia del punto A la

recta que pasa por los puntos B, C.

3.-Una circunferencia tiene su centro en el punto (1, -1) y es tangente a la línea recta cuya ecuación es -15x + 3y -9 =0. Calcular la longitud del radio de la circunferencia.

4.- Un barco se mueve en el mar en la dirección de la línea recta cuya ecuación es:

X – 3y – 5=0

El vigía observa un faro y por el radar se da

cuenta de que el faro tiene coordenadas (3,

2). Si el barco sigue su trayectoria ¿Cuál será

la distancia mas corta entre el faro y el barco?

5.- Hallar la distancia de la recta 4y – 5y + 10 = 0 al punto 2, -3).

6.- Hallar la distancia dirigida de la recta x + 2y +7 =0 al punto (1, 4)

7.- Los vértices de un triangulo son A (-4, 1), B (-3, 3) y C (3, -3). Hallar la longitud de la altura del vértice A, sobre el lado BC.

8.- Los vértices de un triangulo son P (-2, 3),

Q (5, 5) y R (4, -1). Hallar la longitud de la

altura del vértice C, sobre el lado AB.

9.- Resuelve los siguientes ejercicios empleando lo aprendido.

1) 7x - 5y +1 = 0,

7x - 5y – 1 = 0

2) x + 2y + 2 = 0,

2x + 4y - 3 = 0

3) -2x + 4y-3 = 0, -

8x + 16y – 2 = 0

4) 8 x + 3y - 5 = 0,

8x + 3y + 6 = 0

Secuencia 4: Área de polígonosSecuencia 4: Área de polígonos

Al finalizar el alumno será capaz de obtener el área de polígonos, a partir de la ubicación de las coordenadas de sus vértices y mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, que les permita resolver problemas de la vida cotidiana

Al finalizar el alumno será capaz de obtener el área de polígonos, a partir de la ubicación de las coordenadas de sus vértices y mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, que les permita resolver problemas de la vida cotidiana


Conocimiento

-Determinar el área de un polígono.

Habilidades

-Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.




-Aportar puntos de vista con apertura y considerar los de otras personas de manera reflexiva.

Actitudes

- Trabajo en binas con ejercicios planteados.

-Colaboración entre equipos con respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

A

continuación se te presenta una lectura que tiene ver con la salud y el deporte. Te invitamos a leerla y reflexionar al respecto.

El deporte y los adolescentes

Cuando se asiste el entrenamiento deportivo de un niño en su pasaje a la adolescencia, es importante prestar atención a su desarrollo psicomotriz. Los deportes -todos ellos- ayudan a este aprendizaje neuromotor y, por lo tanto, aquellos adolescentes que vienen realizando algunas disciplinas deportivas desde pequeños están en mejores condiciones de asimilarlo. Lo ideal es que un individuo experimente diferentes deportes a fin de tener la mayor cantidad de experiencias motrices. En ese sentido, las horas que se dedican a la actividad física en los sistemas educativos deberían brindarle una formación física básica, que le ayude a organizar su esquema corporal.

Esto le ahorrará tiempo y esfuerzo al encarar una disciplina deportiva determinada.

Muchos se preguntan cuál es el mejor deporte para que el adolescente se desarrolle sano. En realidad, ninguna disciplina es mala, aunque algunas parezcan más riesgosas que otras, como el rugby u otros deportes de mucho contacto, por ejemplo. Otros, como la natación, presentan a primera vista muchos menos riesgos. Pero todos tienen beneficios y el adolescente los elegirá por otros motivos, que tienen más que ver con su perfil psicológico. Algunos optarán por los deportes solitarios como la natación o el tenis, y otros preferirán compartir en los deportes colectivos como el volley-ball o el foot-ball. Si bien siempre se busca que el niño o el adolescente sociabilice con sus pares, no podemos obligarlo a elegir determinada disciplina.

Fuente: http://www.latinsalud.com/articulos/00238.asp: consulta realizada el día lunes 6de junio de 2011 a las 6:31 p.m.

1.- En relación a la lectura, explica con tus palabras porque es importante realizar cualquier deporte___________________________________

2.- ¿Cual es el mejor deporte para que el adolecente se desarrolle sano?________________________________________

3.- ¿Cual seria el motivo por el cual un adolecente elige un deporte?____________________________

4.- Comenta en clase con tus compañeros las respuestas y anota aquello que sea interesante para complementar la información. Muéstrale los resultados a tu facilitador y presta atención a sus sugerencias.______________________________________

http://www.latinsalud.com/articulos/00238.asp


Evaluación Diagnóstica

A continuación se presentan algunos cuestionamientos, que ya revisaste en temas anteriores de Geometría Analítica, si no los resolverás con lo que aprendas durante la secuencia.

1.- Una cancha de fútbol se dibuja a escala, en un plano coordenado, como muestra la figura.

a) Proporciona las coordenadas de los puntos señalados.

b) Si la escala es 1:20, ¿Cuál es la longitud real del campo, medida en metros?

c) Calcular el perímetro y el área de la cancha.

2.- Identifica las siguientes coordenadas en un plano cartesiano.

A( 4, 6); B(-3 , 5 ); C( 2 , -5 ); D( 0 , -4 ); E( 6, 0 ); F( -4, -2 ).

3.- Calcula el área total del siguiente polígono trazado en el sistema cartesiano. ¡Utiliza

métodos ya vistos en geometría plana, identifica las coordenadas de cada vértice.

4.- ¿Conoces otro método para obtener el área de un polígono conociendo las coordenadas de sus vértices? ¿Cuál? ¡Explícalo! Si no te invito a que conozcas otras formas de calcular áreas.

5.- Si tenemos un triangulo cualquiera que no sea triangulo rectángulo, definido por los puntos: A( x1, y1); B( x2, y2 ); y C( x3, y3 ) ¿Podríamos por los métodos convencionales, conocidos por nosotros hasta ahora, determinar su área?

6.- Comenta tus respuestas con tus compañeros de equipo.

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Primeramente vamos a encerrar la figura dentro de un rectángulo, el cual estaría limitado en sus extremos por los vértices del triangulo, de la forma siguiente:

De estos cuatro triángulos tres de ellos son triángulos rectángulos, a los cuales si pudiéramos obtener su área (refiriéndonos a los triángulos II, III y IV), asimismo del rectángulo también se podría obtener su área, quedando estas de la siguiente manera:

Triángulo II, su área =

Triángulo III, su área=

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En base a la pregunta anterior, no podríamos hacerlo, para ello utilizaremos un método alternativo que nos permita hacerlo, consiste en lo siguiente:


Triangulo IV área=

Área del rectángulo=

Al área del rectángulo le retamos la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos, nos queda el área del triangulo deseada, haciendo estas operaciones y simplificando nos queda:

Área del rectángulo= 25 u2

Por lo tanto el área del triangulo No. I = 9.5 u2

Este resultado se obtiene a través del siguiente procedimiento:

Área del Triángulo I =

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Recuerda que esta formula, nos permite obtener el área de un triangulo cualquiera y si el polígono tiene mas de tres vértices se procede de la misma forma.

¿Recuerdas que en el primer semestre estudiaste la regla de kramer?


Ahora vamos a utilizar un procedimiento similar, utilizando determinantes, pero con las siguientes condiciones:

Los puntos se van a colocar dentro de un determinante de tal manera que queden ordenadas siguiendo el sentido opuesto a la dirección de las manecillas del reloj; se colocan todos los puntos, pero al final se repite el primer punto.

A = =(

A esta ecuación se le conoce como regla de Sarrus.

Si la figura tiene más de tres vértices, estos se siguen colocando hacia abajo y al final se repite el primero de ellos.

Ejercicio resuelto: analiza bien el siguiente procedimiento y trabaja análogamente los demás ejercicios propuestos más adelante. (Observa cada una de las coordenadas de los vértices y utiliza la regla de Sarrus)

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http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.compesa.com.mx/compresores-chihuahua-aire-bombas-secadores-compesa/images/foco%20100w.PNG&imgrefurl=http://www.compesa.com.mx/compresores-chihuahua-aire-bombas-secadores-compesa/index.php?option=com_content&task=view&id=30&Itemid=49&h=313&w=313&sz=125&hl=es&start=8&tbnid=I0AOOVXlBxR-iM:&tbnh=117&tbnw=117&prev=/images?q=foco&gbv=2&hl=es&sa=G


A= =

A= =

Otro ejercicio resuelto, sea el siguiente polígono cuyas coordenadas son:

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El área se obtiene de la siguiente forma:

A =

A =

A =

Actividad 1

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Resuelve los siguientes ejercicios, compáralos con tus compañeros y presenta tus resultados a tu profesor, si se te dificulta no dudes en pedir ayuda a tu facilitador.

1.- Obtén el área de los siguientes polígonos.

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de puntos no es un polígono?

* A( 0, 4 ); B( 3, -2 ) C( -2, 8 )

* A( 10, 5 ); B( 3, 2 ); C( 6, -5 )

* A( -2, 3 ); B( -6, 1 ); C( -10, -1 )

* A( 6, 7 ); B( -8, -1 ); C( -2, -7 )

* A( -3, -2 ); B( 5, 2 ); C( 9, 4 )

Coevaluación

Retomando los ejercicios del inicio de la secuencia.

1.- Identifica las siguientes coordenadas en un plano cartesiano.

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A( 4, 6); B(-3 , 5 ); C( 2 , -5 ); D( 0 , -4 ); E( 6, 0 ); F( -4, -2 ).

2.- Calcula el área total del siguiente polígono trazado en el sistema cartesiano. ¡Utiliza métodos ya vistos en geometría plana, identifica las coordenadas de cada vértice.

3.- ¿Conoces otro método para obtener el área de un polígono conociendo las coordenadas de sus vértices? ¿Cuál? ¡Explícamelo!. Si no te invito a que conozcas otras formas de calcular áreas.4.- Si tenemos un triangulo cualquiera que no sea triangulo rectángulo, definido por los puntos: A( x 1, y1); B( x2, y2 ); y C( x3, y3 ) ¿Podríamos por los métodos convencionales, conocidos por nosotros hasta ahora, determinar su área?


En tus respuestas apóyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y

porque.

Comparte tus respuestas con las de tus compañeros.

Elaboren una estrategia a seguir con la aplicación de las técnicas aprendidas.

Autoevaluación

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resuélvelos aplicando las propiedades y teoremas aprendidos en el tema.

1. Una recta pasa por el punto A (-6, 7) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 10.5. Hallar la ecuación.

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2. Una recta pasa por el punto A (2, 4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Hallar su ecuación. Compruébese el resultado por otro método.

3. La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a

10. Hallar la ecuación de la recta si forma con los ejes coordenados un triángulo de área 12.

Bloque 3

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Vida saludable a través de:

- Una circunferencia.

- Una Parábola.

- Una Elipse

Resuelve y gráfica las cónicas

En esta sección aprenderás la aplicación, importancia de los contenidos de:

Emplear la ecuación y gráfica de la circunferencia en situaciones reales. Utilizar las diversas formas de la ecuación y gráfica de la parábola. Resolver problemas que involucren el uso de la ecuación de la elipse. Demostrar las distintas formas de la ecuación de la hipérbola y su

respectiva gráficaPara ello, necesitaras desarrollar tu competencia en los atributos:

Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones. Reconocer la actividad física como un medio para su desarrollo físico,

mental y social. 6. Cultivar relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano

y el de quienes lo rodean.6. Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión el análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales:

7. Proponer explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

8. Argumentar la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático.

Esto lo lograras si te lo propones realizando y reflexionando las actividades propuestas, así también con ayuda de tus compañeros de clase y facilitador para la aclaración de dudas.


Secuencia 5: La circunferencia Secuencia 5: La circunferencia

En esta secuencia abordarás temas de interés para resolver problemas, empleando como herramienta matemática la ecuación de la circunferencia; que te permitirán contar con información matemática relevante para la toma de decisiones en la solución del problema. Además podrás analizar su grafica a fin de explicar lo que está ocurriendo en dicha situación. Ten presente que el propósito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas a través de su ecuación y gráfica mediante métodos de solución precisos.

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Al término de esta secuencia, podrás adquirir la competencia en:Conocimiento

-Comprender las distintas formas de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y fuera del origen a partir de su forma general y desarrollada, empleando como herramientas la factorización así como el desarrollo de productos notables y elementos de la circunferencia en un sistema de coordenados.-Interpretar situaciones reales con la ecuación de la circunferencia, partiendo del conocimiento de planteamiento de problemas a través de modelos matemáticos, así como el empleo de tablas, gráficas, diagramas y textos que apoyen la toma de decisiones.-Identificar los elementos y formas que involucra la ecuación de la circunferencia a partir de su gráfica.Habilidades-Resolver las transformaciones de la ecuación de la circunferencia aplicando diversas técnicas algebraicas y/o despejes.-Identificar los elementos que determinan la ecuación de la circunferencia dependiendo de la ubicación de las coordenadas de su centro.-Extraer información de registros algebraicos o gráficos.-Usar la calculadora como herramienta de exploración de los resultados.-Investigar y trabajar en equipo.-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su validez.-Plantear problemas a través de ecuaciones cuadráticas.-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos algebraicos para probar su validez.Actitudes

-Tomar decisiones como consecuencia de la valoración de los elementos que se presenten en el consumo de comida chatarra.-Apreciar la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y patrones.

Toma en cuenta que el atributo de la competencia genérica en la que tienes oportunidad de desarrollar es:

“Cultivar relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean”.

“

La tierra el único planeta con vida en el sistema solar”


A continuación se te presenta una nota periodística, te invitamos a leerla prestándole la atención debida y tomando nota de todo aquello que consideres importante o te sea interés (recuerda que en actividades posteriores podrás usar todas tus anotaciones).

"La Tierra es nuestro hogar y

el hogar de todos los seres

vivos.La Tierra

misma está viva.

Somos partes de un universo en evolución.Somos miembros de una comunidad de vida

interdependientecon una magnificente diversidad de formas de

vida y culturas.Nos sentimos humildes ante la belleza de la

Tierray compartimos una reverencia por la vida y las

fuentes de nuestro ser..."CARTA DE LA TIERRA

El 22 de Abril se conmemora el DÍA DE LA TIERRA iniciativa que desde 1990 se internacionalizó para dar paso a una celebración global del medio ambiente y de nuestro compromiso con su protección. Este

planeta azul es la única casa que tenemos y pese a que la tratamos tan mal sigue dándonos lo mejor de si cada día...si eso no es amor que alguien me explique que es. Pequeño Pez invita a tomarse unos minutos para pensar en nuestro planeta y planificar conscientemente qué puedo hacer hoy día para devolver la mano a la madre naturaleza. En Chile la Conama apenas está realizando un concurso fotográfico...nada más! una clara señal de como esta la conciencia ecológica por casa: solo para la foto. En otras partes del mundo la gente sale a la calle a protestar por el derecho de vivir en un planeta limpio...pero para reclamar hay que empezar por lo propio: ¿cuánta basura separo y dispongo para reciclar? ¿Cuántas bolsas de basura trato de no usar para no causar mas daño con el plástico que demora 500 años en degradarse? ¿Cuánto dejo de subirme al auto para caminar un poco más? ¿Cuántas luces apago por conciencia de no gastar más energía de la que necesito? ¿Cuántas hojas de papel ocupo por ambos lados como borrador para disminuir el uso del papel? Reclamar y exigir a nuestras autoridades lo que necesitamos (aire limpio, agua limpia, energía limpia) es bueno, pero tanto más bueno es hacer algo propio...aunque sea pequeño...Un acto pequeño vale mucho mas que no hacer nada. Use su creatividad comprométase con algo! hágale un regalito a su planeta. http://www.earthcharterinaction.org/contenido/

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http://www.earthcharterinaction.org/contenido/

http://www.earthcharterinaction.org/contenido/

http://www.usembassy.cl/_temporal/6726/Documents%20and%20Settings/spolanco.ILAN/My%20Documents/ConcursoFotoDiaTierraBases.htm

http://www.cartadelatierra.org/files/charter/charter_es.pdf

http://bp0.blogger.com/_Y8PdYPmF7H0/SA323eF8-fI/AAAAAAAAASs/xCwU-aqS13Y/s1600-h/DIA+DE+LA+TIERRA.jpg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5



Actividad 1.- Cuestionario de reflexión de la nota periodística.

1. ¿Sabias que existe millones de personas en el mundo que buscan tener contacto con gente de otros países a través de redes sociales digitales? ¿Cuáles a tu juicio pueden ser aquellas redes sociales digitales mas visitadas y cuál es el promedio de visitas que una sola persona puede hacer en el mes?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles son las razones porque las personas buscan compañía?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Investiga que beneficio tiene el convivir con la familia y que otros lazos se pueden mejorar, cuáles son las características que deben cumplir una familia modelo y qué países se acercan a ello._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Comparte en clase tus respuestas, anota todo aquello que te resulte interesante y cómo puedes mejorar tus lazos familiares con toda esta información. Presenta a tu facilitador un escrito no mayor de dos cuartillas, escrito en computadora, con portada de identificación (puedes enviarlo a través de correo electrónico o impreso según se te indique).

A continuación se te presenta un problema interesante, en compañía de tus compañeros de equipo resuélvelo y preséntalo al resto del grupo, anota coincidencias y diferencias con las opiniones del grupo (el facilitador podrá retomar el problema al final de la secuencia apoyados en los conocimientos adquiridos del tema a abordar en la misma).

Fig. 1


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Un intrépido explorador fig.1. Decide medir la circunferencia de la tierra dando la vuelta al mundo cargado con una cuerda. Como prevé que por el camino se encontrara algunos obstáculos. No sabe pero al cabo de mucho tiempo consigue dar la vuelta al mundo con su cuerda. Pero justo 6m antes del final descubre que se ha terminado la cuerda, quizás porque la extendió a 1 m del suelo y decide colocarla al nivel del suelo, por lo que la incógnita será, si conseguirá finalmente su hazaña o existirán otros métodos para resolverlo ¿Qué

Es importante conocer la circunferencia y su relación con el mundo que nos rodea, así como sus graficas y sus ecuaciones. Que son datos importantes para las preguntas que se plantea. Para ello lee con detalle la siguiente información que se presenta a continuación:


1) ¿Cuál crees que sea la diferencia entre la circunferencia y la tierra?

__________________________________________________________________________

2) ¿Qué figuras geométricas se forman en nuestro universo?

__________________________________________________________________________

3) ¿Qué diferencias crees que haya entre el diámetro de una circunferencia de una pelota y de la tierra?

___________________________________________________________________________

4) Escribe 5 ejemplos donde crees que se encuentre la circunferencia en nuestro universo___________________________________________________________________________


Lee la siguiente información que tiene que ver con el tema de la circunferencia. Subraya o encierra en un óvalo aquello que consideres de relevancia.

Propiedades de la circunferencia

Definición de la circunferencia

Geométricamente, la circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de otro punto fijo interior llamado centro; se denomina radio a los segmentos que unen al centro con cualquier punto de la curva.

Analíticamente, se representa por una ecuación de segundo grado con dos variables; sin embargo, no toda ecuación de segundo grado da lugar a una circunferencia queda perfectamente determinada si se conoce su centro y la longitud de su radio

Determinación de la grafica:

Para determinar la grafica y la ecuación algebraicamente que representa a una circunferencia, es suficiente conocer su centro y su radio. Por ejemplo

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La representación geométrica y su definición, nos conducen a la expresión algebraica que le corresponde.

Así también al punto C se le llama centro y se le pueden asignar las coordenadas C) (h, k) que corresponden a la abscisa y ordenada.

El punto P (x, y) es un punto cualesquiera en la circunferencia.

El segmento que une al centro C (h, k) con el punto P (x, y) se le llama radio que es laq distancia que los separa.

Así mismo definidas las coordenadas del centro y del punto, se sustituyen en la formula de la distancia entre dos puntos.

P) (x, y); C) (h, k)

dPC =

r2 =

Donde:

(forma ordinaria circunferencia)

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Obteniendo una ecuación de segundo grado con dos variables, en la cual se requiere conocer su centro y su radio para determinar su ecuación conocida como:

Ecuaciones

Forma ordinaria de la circunferencia

Ejemplo 1: Determina la ecuación de la circunferencia con centro C) (1, 2) y radio R = 3

Solución: Se sustituyen los datos en la forma ordinaria y tenemos:

Se desarrollan los binomios y obtenemos:

9=

Al pasar todo a un solo lado y ordenarlo, nos queda:

Ejemplo 2: Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C) (5, 3) y radio

Solución: Al sustituir los datos en la forma ordinaria tenemos:

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Otra forma mas sencilla es cuando el centro de cualquier circunferencia es el origen, c) (h, k) son: C) ( 0, 0) se obtiene una forma mas sencilla:

(Forma canónica de la circunferencia)

Forma canónica de la circunferencia

Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro C) (0,0) y radio r = 2

Forma general de la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:

Al desarrollar los binomios cuadráticos a del primer miembro, obtenemos:

Al ordenar términos e igualar a cero la ecuación, tenemos:65



Si establecemos las siguientes igualdades: y

Tenemos:

La ecuación resultante se denomina forma general de la ecuación de la circunferencia.

Cualquier circunferencia puede ser expresada por medio de esta ecuación.

Para conocer los elementos de una circunferencia dada la ecuación general necesitamos pasar de la forma general a la forma ordinaria, desarrollando los siguientes pasos:

1) Ordenar los términos de la forma general, agrupando variables iguales

2) Completar trinomios cuadrados perfectos, agregando: a ambos lados de la igualdad.

3) Transformar los trinomios cuadrados perfectos en binomios al cuadrado:

Quedando expresada en forma ordinaria: Centro) Radio=

Todo número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero, por lo que la forma ordinaria expresada como: o bien como

Representa a la ecuación de una circunferencia solo si el miembro del lado derecho, que representa al radio, es mayor que cero. En caso que el radio sea igual a cero, la ecuación representa un punto de coordenada (h, k), cuando el radio es menor que cero no representa ningún punto real.

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Ejemplo 1: Transformación de la ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria a la forma general.

Una circunferencia tiene su centro en el punto C) (-2, 1) y es tangente a la recta Determinar su ecuación en las formas ordinarias y general.

Solución: Para que la circunferencia quede perfectamente determinada es necesario conocer su radio, el cual se calcula con la formula de la distancia de una recta a un punto y resulta:

=

Al sustituir los datos dados y los calculados en la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia, tenemos:

Al transformar la ecuación de la circunferencia de su forma ordinaria a la forma general resulta

(forma general de la ecuación de la circunferencia)

Ejemplo 2: Determina el centro y radio de la circunferencia que tiene por ecuación

Se aplica la formula del centro y del radio:

Centro) = C = C (-2, 3)

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Radio= = = = 4

Determinación de la ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones

Analizando la forma ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia notaras que hay tres valores independientes: h, k y r en la primera y D, E y F en la segunda ecuación. Esto significa que, toda circunferencia, puede plantearse analíticamente en cualquiera de las formas mencionadas, solo se requiere encontrar el valor de las tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes.

Geométricamente, el trazo de la circunferencia requiere también de tres condiciones independientemente para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser de tres punto, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un triángulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc. El objetivo será plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1: Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres punto A (-2, 2), B (4,1) y C (1, -6)

Solución:

Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la

ecuación general donde se deben las constantes D, E Y F.

Con base en lo anterior al sustituir los puntos siguientes en la ecuación anterior queda:

Para A(-2, 2) queda: -2D+2E+F =0 Ecuación 1

Para B (4, 1) queda: 4D+ E+ F = -17 Ecuación 2

Para C (1, -6) queda: D-6E+F = -37 Ecuación 3

Obteniendo tres ecuaciones simultaneas, que al resolver este sistema con uno de los métodos ya estudiados en curso de algebra, nos quedan los siguientes resultados:

E = 49/15 F = -148/9 D = -43/45

Al sustituir los valores de D, E y F en la ecuación general de la circunferencia, resulta:

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Al transformar la ecuación general de la circunferencia a su forma ordinaria tenemos:

Se divide toda la ecuación por 45, resulta:

Al ordenar los términos

Completamos los binomios, al sumar lo mismo en ambos miembros de la ecuación

Ecuación ordinaria de la circunferencia

Las coordenadas del centro de la circunferencia son C su r =

Condiciones geométricas y analíticas.

Relación entre la circunferencia y la recta

La geometría plana define la tangente a una circunferencia como la recta que tienen en un solo punto en común en dicha curva. En general, la definición no es aplicable para todas las curvas planas, ya que existen curvas en las cuales la recta tangente corta a la curva en uno o mas puntos distintos.

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera .Sean dos puntos distintos cualesquiera de la curva, de tal manera que el arco de la curva que los une sea continuo, es decir, el P2 se puede aproximar a P1 permaneciendo siempre sobre la curva.

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Sea una recta secante que pasa por P1 y P2 de la curva, en donde P1 es el punto fijo y P2 es el punto que se mueve sobre la curva hacia P1 y a medida que el punto móvil se acerca al punto fijo, la recta secante gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con respecto al punto fijo; en general, tiende a una posición límite representada por la recta P1 T que se define como la tangente a la curva en el punto P1 que particularmente se denomina punto de tangencial pendiente de la curva f(x, y)=0 en el punto P1 se define como la pendiente de la tangente a la curva en P1.

Tangente a una circunferencia

Esta queda perfectamente determinada si se conoce su pendiente y el punto de tangencia o algún otro de sus puntos.

Así mismo se consideran los siguientes casos:

a) Ecuación de la tangente a una circunferencia dada en un punto de tangencia.b) Ecuación de la tangente cuando tienen una pendiente dada.

c) Cuando pasas por un punto exterior dado.

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de la recta tangente trazada del punto A (11,4) a la circunferencia

Solución: Al aplicar la ecuación punto pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia que pasador el punto dado A (11, 4), es:

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En la ecuación m representa la pendiente de la recta, por determinar al despejar con respecto a y, tenemos:

Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:

Esta ultima ecuación esta escrita en la forma ; si se aplica la condición de tangencia, debemos comprobar que es decir:

Al simplificar tenemos y al multiplicar por (-1), tenemos:

Al factorizar:

Las ecuaciones de la tangente son:

Para para

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Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A (11,4) a la circunferencia son: y

Actividad 1.- En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes ejercicios que involucran introducción y las ecuaciones de la circunferencia.

Resuelve los siguientes ejercicios de la ecuación de la circunferencia

1. Reduce las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia; si la ecuación dada representa una circunferencia, hallar su centro y su radio; trazar grafica correspondiente

a)

b)

c)

2. Escribe la ecuación de la circunferencia:

a) Con centro C (6,-4) y radio 5 unidades

b) Con centro C (-1, -5) y radio - 2/3

3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4

b) (x + )2 + (y - )2 = 3

c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0

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d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.

e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625

4. Escribe en forma canónica la ecuación de la circunferencia

x2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0

5. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

a) (3,0); (-1,6); (-2,-4).

b) (1,-4); (4,5); (3,-2).

6. Determina las ecuaciones de la tangente y de la normal a la circunferencia en el punto indicado

a) en el punto A (4,1)

b) en el punto A (-1, 6)

c) en el punto A (6, 3)

Para darnos cuenta de nuestro avance actitudinal, te presentamos un instrumento en el que

podrás evaluar el comportamiento de tus compañeros en la actividad en grupo de esta

secuencia. Es muy importante ser muy objetivos, por lo que te pedimos ser veraz con lo que

indiques, ya que será de gran ayuda para tus compañeros. Al término de éste, entrégalo los

resultados a tu maestro-facilitador, el les indicará la manera de procesar esta información.

Instrucciones.- Los enunciados siguientes son descripciones de comportamientos que durante el

trabajo en equipo pudieron manifestar tus compañeros, en 6 habilidades actitudinales. Lee cada

descripción y escribe los nombres de los estudiantes de tu equipo que mejor la cumplan. Tus

elecciones serán confidenciales. Considera lo siguiente:

1. Anota el nombre completo de tus compañeros en la lista, asegúrate del número que le

corresponda a cada uno de ellos.

73



2. De cada pregunta, pon una “X” al número que corresponda el o los compañeros que

participaron contigo en las actividades en equipo de esta secuencia, que cumplan con la

condición de cada pregunta. Es importante que consideres solo aquel o aquellos compañero(s)

que cumplen con ese rasgo.

3. Un mismo compañero puede cumplir con más de una descripción, por lo que puedes repetir el

número en todas las preguntas (rasgos) que consideres.

4. Puedes anotar cualesquier observación o aclaración que tengas en cada pregunta.

Lista de compañeros:

No.Nombre compañero participante

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

1

2

3

4

5

Evaluación:

No. Preguntas

Evaluación

Integrantes Observaciones

1 2 3 4 5

Habilidad: Capacidad de aprender por cuenta propia

1¿Quién busca continuamente el conocimiento por sus propios medios en diversas fuentes de información?

2

¿Quién tiene hábitos de estudio que implican disciplina, concentración, responsabilidad, búsqueda de información y verdadero deseo de aprender?

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3

¿Quién reconoce que la responsabilidad de aprender es algo personal y no responsabiliza a nadie de no haber aprendido algo?

Habilidad: Capacidad de análisis, síntesis y evaluación

1

¿Quién continuamente estructura la información importante de un problema, de tal forma que facilite la comprensión de la situación problemática?

2

¿Quién frecuentemente detecta las ideas básicas de una situación problemática, genera soluciones correctas y elige las más convenientes?

3¿Quién frecuentemente formula juicios críticos sobre las soluciones que se proponen para determinado problema?

Habilidad: Pensamiento crítico

1¿Quién analiza con frecuencia la información desde diversos puntos de vista?

2¿Quién identifica continuamente las ventajas y las desventajas de una decisión?

3¿Quién detecta con frecuencia las áreas de mejora en un determinado procedimiento?

Habilidad: Creatividad

1¿Quién continuamente genera ideas originales o soluciones nuevas?

2 ¿Quién es original e imaginativo?

3¿Quién con frecuencia promueve un ambiente de innovación?

4¿Quién respeta las ideas creativas de otras personas?

Habilidad: Trabajo en equipo

75



1

¿Quién repetidamente muestra buenas habilidades de comunicación que le permitan saber hacer peticiones, ofrecimientos y reclamos, así como escuchar, negociar y responsabilizarse de sus promesas?

2¿Quién respeta las aportaciones de los demás miembros de su grupo, aun cuando vayan en contra de las aportaciones propias?

3¿Quién antepone los objetivos del grupo a los objetivos personales?

4

¿Quién con frecuencia reconoce las diferentes habilidades de cada uno de los miembros del grupo y las aprovecha para lograr el mejor resultado?

5¿Quién es responsable del producto final del trabajo del grupo?

Habilidad: Valores

1¿Quién acepta cuando se equivoca, reconoce y afronta sus errores, y se responsabiliza de las consecuencias?

2¿Quién reconoce los logros de sus compañeros?

3¿Quién es puntual en la entrega de las actividades?

4¿Quién cumple con las fechas límite para terminar las tareas que se comprometió a llevar a cabo?

76



Para que puedas evaluar lo aprendido, te recomendamos que realices las siguientes formas de evaluación; al término pide a tu facilitador y tus compañeros te ayuden a comparar tus resultados.

Autoevaluación

Contesta las preguntas después de leer lo siguiente:

Un intrépido explorador. Decide medir la circunferencia de la tierra dando la vuelta al mundo cargado con una cuerda. Como prevé que por el camino se encontrara algunos obstáculos. No sabe pero al cabo de mucho tiempo consigue dar la vuelta al mundo con su cuerda. Pero justo 6m antes del final descubre que se ha terminado la cuerda, quizás porque la extendió a 1 m del suelo y decide colocarla al nivel del suelo. Por lo que la incógnita será, si conseguirá finalmente su hazaña o existirán otros métodos para resolverlo.

1) ¿Cuál crees que sea la diferencia entre la circunferencia y la tierra?

__________________________________________________________________________

2) ¿Qué figuras geométricas se forman en nuestro universo?

__________________________________________________________________________

3) ¿Qué diferencias crees que haya entre el diámetro de una circunferencia de una pelota y de la tierra?

___________________________________________________________________________

4) Escribe 5 ejemplos donde crees que se encuentre la circunferencia en nuestro universo

_________________________________________________________________________

77



Coevaluación

Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes ejercicios-problemas y resuélvelos aplicando las ecuaciones de la circunferencia.

1.- En el siguiente sistema coordenado se muestra un impulsor de banda y polea. Si el radio de la polea menor es 2.1 pulgadas y el radio de la polea mayor es de 4.2 pulgadas; determina la ecuación de cada polea.

2.- Determina la longitud de la tangente trazada del punto A (6, 4) a la circunferencia:

Secuencia 6: La parábolaSecuencia 6: La parábola

78



En esta secuencia abordarás temas de interés para resolver problemas, empleando como herramienta las ecuaciones de la parábola; las cuales te permitirán contar con información relevante para la toma de decisiones en la solución del problema. Además podrás emplear graficas, mapas, diagramas o textos que te ayuden en la representación matemática.

Ten presente que el propósito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas de la parábola mediante el empleo de sus elementos, ecuaciones, condiciones geométricas y analíticas a través de aplicaciones reales de la vida real

A continuación se te presenta un texto informativos que tiene que ver con el mal uso de la tecnología Te invitamos a que la leas prestándole la atención debida y tomando nota de todo

79


“El uso de la tecnología es una forma práctica de aprender la Parábola en sus diferentes formas”

Los atributos a desarrollar son:

Cultiva relaciones interpersonales que contribuyen a su desarrollo humano y el de quienes lo rodean.

Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas”.

Al término de esta secuencia, podrás adquirir la competencia en:Conocimiento

- Identificar los ejes de coordenadas y comprender los métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.-Interpretar situaciones reales con ecuaciones cuadráticas incompletas y completas, partiendo del conocimiento de planteamiento de problemas a través de modelos matemáticos, así como el empleo de tablas, gráficas, diagramas y textos que apoyen la toma de decisiones.

-Identificar los tipos de solución que pueden presentarse al resolver una ecuación cuadrática aplicada a la parábola

Habilidades-Identificar elementos de la parábola ecuaciones a partir de éstas.- Desarrollar las distintas ecuaciones de la parábola.- Expresar los elementos en las ecuaciones algebraicas - Representar gráficamente estos elementos y viceversa.-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su validez.-plantear y resolver problemas de la vida utilizando las diversas ecuaciones de la parábola.

Actitudes

-Tomar decisiones como consecuencia de la valoración de los elementos que se presenten en el mal uso de las tecnologías. -Apreciar la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y patrones.


aquello que consideres importante o te sea interesante.

El Mal uso de las Nuevas Tecnologías Repercute en el Rendimiento Escolar.

María Jesús Hernández

El mal uso entre jóvenes y adolescentes de

Internet, los videojuegos o el móvil, está

incrementando los problemas en cuanto a

rendimiento escolar y agresividad, dando paso a

la aparición de lo que los expertos denominan

nuevas adicciones vinculadas a los avances

tecnológicos.

Elisardo Becoña Iglesias, profesor del

Departamento de Psicología Clínica y

Psicobiología de la Universidad de Santiago de

Compostela, expuso la pasada semana en el

XIII Congreso nacional de la Sociedad Española

de Toxicomanías, celebrado en la capital

grancanaria, un estudio sobre las nuevas

adicciones y las posibilidades de prevención,

donde se recoge que la detección de problemas

a nivel de manejo de niños y adolescentes en

casa cuando utilizan muchas horas en Internet o

con los videojuegos. "En los estudios que

hemos presentado hay una relación de los

factores del riesgo de las drogas legales e

ilegales con el tema de la adicción a las nuevas

tecnologías, es decir que el patrón de

comportamiento es muy semejante" y destacó

que "si una persona es impulsiva, hay mayor

riesgo de fumar, beber alcohol, consumir

cocaína y también estamos encontrando que

hay mayor riesgo de utilizar Internet más tiempo

o el móvil porque, al final, hablamos de

adicciones, un término que abarca a todas".

Según el especialista, se considera una adicción

cuando el individuo organiza su vida en función

de Internet y vive por y para ello. "Podemos

hablar de algunos criterios, que son cuando

utiliza Internet por lo menos cinco horas más

allá de lo que es necesario, cuando duerme

menos de cinco horas por culpa de Internet,

cuando no tiene que utilizarlo por cuestiones de

trabajo ni por ningún otro motivo. Ahí es donde

veríamos que hay un problema real".

Los primeros datos sobre estas adicciones que

comienzan a emerger hablan de una

prevalencia que oscila entre el 1 y el 10%. "No

obstante, una cosa es que hablemos de

porcentajes y proporciones y otra de la

demanda clínica.

http://www.laprovincia.es/sociedad-futuro/2009/10/12/mal-nuevas-tecnologias-repercute-rendimiento-escolar/262870.html

80







Actividad 1

Cuestionario de análisis sobre el texto informativo.

1-.¿Por qué crees que el mal uso de las nuevas tecnologías hacen que baje el rendimiento escolar?

¿Menciona mínimo tres tecnologías que hagan que los distraiga en clase?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2. ¿Consideras que las nuevas tecnologías (Internet, teléfonos, Wi-fi, cable, proyectores de cañón etc.) estén disponibles en las escuelas? ¿Que tipo de control recomiendas para tener derecho acceso a esa nueva tecnología?

____________________________________________________________________________

3-.¿Que factores de riesgo puede traer en la sociedad el mal uso de la nueva tecnología? Menciona mínimo dos.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

4.- Menciona tres factores positivos que, puede traer a la sociedad las nuevas tecnologías

_______________________________________________________________________

5¿Comenta con sus compañeros de equipo cuanto tiempo, dedicas al uso de las nuevas

Tecnologías y que tan productivo ha sido para tu vida como profesionista.

81


Al leer el anterior texto informativo nos damos cuenta, que el mal uso de las nuevas tecnologías esta repercutiendo en el rendimiento escolar esto debido al mayor números de horas dedicadas a estos medios dando paso a la aparición de lo que los expertos denominan nuevas adicciones vinculadas a estas tecnologías. ¿Qué tan grave es? ¿Qué es lo crees que esta causando esta adicción? Para contestar estas preguntas, te invitamos a ver los videos que se encuentran en youtube en las siguientes direcciones:

http://www.youtube.com/watch?v=79VLTpSKghw

http://www.youtube.com/watch?v=ODwU0F8MX1o

http://www.youtube.com/watch?v=ODwU0F8MX1o

http://www.youtube.com/watch?v=79VLTpSKghw


Actividad 2

Evaluación diagnóstica.

Para que puedas comprender los temas de este bloque es necesario que rescates las competencias (conocimientos, habilidades) que haz adquirido a lo largo de su vida. Haz tu mejor esfuerzo para responder y detectar aspectos que no conoce o dominas para enfocar tu estudio.

1.- Al observar la ecuación de una parábola con vértice en el origen ¿como determinas que es horizontal?

__________________________________________________________________

2. ¿Cuando es vertical?

__________________________________________________________________

82


En tu plantel la gran mayoría de tus compañeros cuentan con un celular, elige tres o cuatro de tus amigos al azar e investiga ¿Cuánto les costo el adquirir su celular? E investigar ¿Cuanto tiempo por día le dedican en recibir llamadas a su celular? Posteriormente durante una semana, toma nota de cuántos de esos tres o cuatro productos que elegiste, se vende por día en el centro de servicio al cliente de tu comunidad mas cercana, y elabora una tabla que contenga las cantidades del número de productos y el precio por producto (esta información te servirá para elaborar posteriormente una grafica de su comportamiento y determinar algunas alternativas para la práctica).


3.- Si P > 0 ¿La directriz es positiva o negativa?

__________________________________________________________________

4.-¿Qué significa el lado recto de la grafica de una parábola?

__________________________________________________________________

5.- Dada la ecuación de la parábola determina sus elementos

a) y2 = 16xb) x2 = 8y

6) Dado el foco de la parábola y sabiendo que el vértice es (0, 0) determina su ecuación.

a) F( 0, -4)b) F(- 6, 0)

7) Dada la directriz de la parábola, determina su ecuación.

a) Y = - 6

b) X = 12

8) ¿Cómo se llama la recta que pasa por el vértice y el foco de la parábola?

9) ¿Cuál es el punto medio, del segmento que une a la directriz con el foco de la parábola?

Lee la siguiente información que tiene que ver con el tema de ecuaciones de la parábola. Subraya o encierra en un óvalo aquello que consideres de relevancia.La parábola

La trayectoria de una pelota en una sucesión de parábolas. Esta aparece en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota. http://html.rincondelvago.com/parabola.html.

83


Matemáticamente la parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz

Resolver una ecuación de la parábola: Es encontrar sus elementos en el plano.

http://html.rincondelvago.com/parabola.html

• •F

•P

vd

LLR

M

R

R

a

MP = PF

MP

PF

Cuando la parábola abre sobre el eje “x” positivo la ecuación es: y2=4ax y cuando es negativa únicamente cambia el signo por estar en el lado contrario


Análisis de los elementos de la parábola

V → Vértice de la parábola

Punto medio entre el foco y la directriz

F → Foco de la parábola

d → Directriz

a → Parámetro (longitud) del vértice al foco

LLR → Longitud del lado recto

Recta que une dos puntos de la parábola y pasa por el foco en forma perpendicular

R → Ramas de la parábola

I. Ecuación de la parábola con vértice en el origen

A) Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “x” positivo.

Ecuación:

Vértice: V(0, 0)

Foco: F(a, 0)

Longitud del lado recto (LLR) = 4a

Ecuación de la directriz: x = - a

84



Ramas abren hacia la derecha

a = distancia del punto al vértice

Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la parábola con longitud del lado recto = 8, ramas abren hacia la derecha y vértice en el origen, determine su foco y la ecuación dela directriz. Realice su grafica.

Solución:

Según datos la ecuación es: , para calcular “a”

LLR = 8 Foco (a, 0)

LLR = 4a Foco (2, 0)

4a = 8

directriz es x = - a

a = 2 directriz es x = - 2

Ejemplo 2. La ecuación de una parábola es y2 = 12x, encuentre el vértice, el foco, la directriz y el valor de “a”. Haga la grafica.

Solución:

Según datos la ecuación es: , para calcular “a”

y2 = 4ax LLR = 4a

y2 = 12x LLR = 12

4a = 12 Vértice(0, 0)

directriz es x = - a

a = 3 directriz es x = - 3

Foco(a, 0)

Foco(3, 0)

85


Observa que para calcular el valor de “a” se despeja 4a del lado recto, que es la distancia que hay del foco al vértice y del vértice a la directriz


B) Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “x” negativo.Ecuación:

Vértice: V(0, 0)

Foco: F(- a, 0)


Ecuación de la directriz: x = a

Ramas abren hacia la izquierda


Ejemplo 1. Encuentre el foco, el vértice, la directriz de la parábola y2 = - 6x. Realice su grafica.

Solución: La ecuación tiene la forma y2 = - 4ax. Así el vértice está en el origen y sus ramas abren hacia la izquierda.

y2 = - 4ax Vértice (0, 0)

y2 = - 6x Foco (-a, 0)

- 4a = - 6

Directriz: x = a

Directriz: x =

C) Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “y” positivo.

Ecuación:

Vértice: V(0, 0)

Foco: F(0, a)

86


X

Para saber más…Analizamos la parábola con vértice en el eje focal (x)

negativo. Que viene siendo el mismo procedimiento que el anterior lo único que cambia es el signo por estar la parábola en ése lado



Ecuación de la directriz: y = - a

Ramas abren hacia arriba


Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la parábola con foco f (0, 3) y directriz y = - 3 Elabore su grafica.

Solución: Por los datos su eje está en el eje “y” positivo Su ecuación es x2 = 4ay

Foco (0, a) Ecuación Vértice

Foco (0, 3) x2 = 4ay v (0, 0)

Por lo tanto x2 = 4(3)y LLR = 4a

a = 3 x2 = 12y LLR = 12

D) Parábola con vértice en el origen, eje focal sobre el eje “y” negativo.

Ecuación:

Vértice: V (0, 0)

Foco: F (- a, 0)


Ecuación de la directriz: x = a

Ramas abren hacia abajo


Ejemplo 1. La longitud del lado recto de una parábola que abre hacia abajo es LLR = 8. Determinar su ecuación, vértice, foco y directriz. Haga su grafica.

87



Solución: Según datos su eje está en el eje “y” negativo

Su ecuación es: x2 = - 4ayLLR = 4a Ecuación VérticeLLR = 8 x2 = - 4ay V (0, 0) 4a = 8 x2 = - 4(2)y Foco

x2 = - 8y f (0, -a)

a = 2 f (0, -2)

Directriz: y = a; y = 2

Actividad 3 De manera individual, realiza los siguientes ejercicios de ecuaciones de la

parábola con vértice en el origen, empleando el método que se pide en cada situación:

1) Dadas las siguientes ecuaciones de la parábola calcular vértice, foco y ecuación de la directriz

a ) b )

c ) d )

e ) f )

g ) h )

2 ) Determina las ecuac iones de las parábo las dado lo s igu ien tes :

a ) Ec. D i rec t r i z , de vér t i ce (0 , 0 ) .

b ) Ec. d i rec t r i z , de foco (0 , 5 ) .

c ) Ec . D i rec t r i z , de foco ( -2 , 0 ) .

d ) Foco (2 , 0 ) , vér t i ce (0 , 0 ) .

e ) Foco (0 , -4 ) , de vér t i ce (0 , 0 ) .

f ) Foco ( -3 , 0 ) , de vér t i ce (0 , 0 ) .

88



Antes de entregar los resultados de tu actividad al maestro-facilitador, compara los resultados con los obtenidos en la aplicación de una herramienta digital en la URL: http://www.vitutor.com/geo/coni/i_e.html determina si existe la necesidad de cambiar el desarrollo y/o resultado de alguno de los ejercicios. Compara además con tus compañeros de clase y acude con tu maestro-facilitador para apoyar tus conclusiones.

II. Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen

A) Parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje “x” y ramas hacia la derecha.

Ecuación:

Vértice: V (h, k)

Foco: F (h + a, k)


Ecuación de la directriz: x = h – a

Ramas abren hacia la derecha


Ejemplo1. Encuentra el vértice, el foco, LLR y la ecuación de la directriz de la parábola . Haga la grafica de la parábola.

Solución: Empezamos escribiendo la ecuación a la que corresponde

Ecuación:

89



Determinar los elementos correspondientes

foco

Vértice

Directriz:

LLR = 4a

LLR = 8

B) Parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje “x” y ramas hacia la izquierda.

Ecuación:

Vértice: V (h, k)

Foco: F (h – a, k)


Ecuación de la directriz: x = h + a

Ramas abren hacia la izquierda


90



Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en (5, 0) y la LLR = 12 sus ramas abren hacia la izquierda.

Solución: Con los datos determinar a que ecuación pertenece

Vértice LLR = 4a Ecuación

v(h, k) LLR = 12 2

v(5, 0) 4a = 12

h = 5 a = 12 / 4

k = 0 a = 3

C) Parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje “y” y ramas hacia arriba. Ecuación: Vértice: V (h, k)

Foco: F (h, k + a)


Ecuación de la directriz: y = k – a



Ejemplo 1. Determina los elementos de la parábola

Solución: Como la variable al cuadrado es “x” y el segundo miembro es positivo, entonces abre hacia arriba y la ecuación a la que corresponde es:

Ecuación: , por lo que:

– h = 3 – k = 5 Vértice (h, k) foco (h, k + a)

91



h = – 3 k = – 5 v (– 3, – 5) f (– 3, – 5 + 6) f (– 3, 1)

LLR = 4a

LLL = 24 Directriz: y = k – a

4a = 24 y = – 5 – 6

a = 24 / 4 y = – 11

a = 6

D) Parábola con vértice fuera del origen, eje focal paralelo al eje “y” y ramas hacia abajo

Ecuación: Vértice: V (h, k)

Foco: F (h, k – a) Longitud del lado recto (LLR) = 4a

Ecuación de la directriz: y = k + a



Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3. 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Realiza su gráfica.

Solución: Como el vértice V y el foco F de la parábola están paralelos al eje “y” como es este caso el foco está debajo del vértice, entonces es una parábola con vértice fuera del origen y ramas hacia abajo.

Ecuación foco Vértice

f (h, k – a) v(h, k)

f (3, 2) v(3, 4)

k – a = 2 h = 3

4 – a = 2 k = 4

4a = 8 – a = 2 – 4

LLR = 4a – a = – 2

LLR = 8 a = 292


Pide a tu facilitador te ayude a entender mejor este tipo de parábolas fuera del origen donde se requiere de saber sustituir, despejar y desarrollar el binomio al cuadrado


Directriz: y = k + a

y = 4 + 2

y = 6

III. Ecuación general de la parábola

A) Eje focal paralelo al eje “x” y2 + Dy + Ex + F = 0

Ejemplo 1. La ecuación de una parábola es (y – 3)2 = 20(x – 1), transformarla a su forma general.

Solución:

(y – 3)2 = 20(x – 1)

Se eleva al cuadrado y se multiplica y2 – 6y + 9 = 20x – 20

Se igual a cero y2 – 6y + 9 – 20x + 20 = 0

Se reducen términos semejantes y2 – 6y – 20x + 29 = 0 Ecuación pedida

Ejemplo 2. La ecuación general de una parábola es y2 – 16y – 40x – 64 = 0, determina vértice, foco, ecuación de la directriz y longitud del lado recto.

Solución:

y2 – 16y – 40x – 64 = 0

Se manda al segundo miembro (– 40x – 64) y2 – 16y = 40x + 64

Se completa el trinomio cuadrado perfecto y2 – 16y + 64 = 40x + 64 – 64

Se factoriza y reducen términos semejantes

La ecuación resultante se refiere a una parábola con vértice fuera del origen, paralela al eje “x” y por

el signo del segundo término sus ramas abren hacia la derecha, por lo que sus elementos son:93



Ecuación: donde h = 0, k

Actividad 4.- De manera individual, realiza los siguientes ejercicios de las ecuaciones de la parábola empleando el procedimiento requerido para cada situación:

I) Encuentra la ecuación de la parábola que satisfaga las condiciones dadas.

1) Foco directriz x= 4

2) Foco (-2, 3) vértice

3)

4)

5)

6)

II) Analiza las características de las siguientes ecuaciones para obtener el valor de (a, h, k), además indica como es su eje, paralelo al eje de las abscisas o ordenadas. (elabora grafica).

1) 2= 12( )

2) (

3)

4)

5)

6)

94


Como te pide el punto de intersección quiere decir que en algún momento las 2 funciones adoptaran el mismo valor por lo tanto solo vasta = las 2 ecuaciones así8t=2t^2 + 18t -12 despejando queda 0=2t^2+10t -12 >>>>> factorizando queda 2(t+6)(t-1)=0por lo tanto t= -6 Ò t= 1 pero como te dice k x1 es la ordenada además es t> 0 ... t=1 lo que piden 8t.... pero t =1

respuesta 8 :D

Las parábolas indeterminadas son las

parábolas que te dicen pero que les falta uno o

varios coeficientes. por cada coeficiente que

falte, nos deberán dar una pista. si nos dan el

punto donde se encuentra el vértice, nos están

dando dos pistas.


III) Transformar la ecuación general a la forma ordinaria y viceversa.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Antes de entregar los resultados de tu actividad al maestro-facilitador, compara los resultados con los obtenidos en la aplicación de una herramienta digital en la URL: www.disfrutalasmatematicas.com/geometria-analitica-parabola-solucionador.html, determina si existe la necesidad de cambiar el desarrollo y/o resultado de alguno de los ejercicios. Compara además con tus compañeros de clase y acude con tu maestro-facilitador para apoyar tus conclusiones.

III. Condiciones Geométricas y Analíticas

Intersección de rectas con la parábola.

Para calcular los puntos en los que se cortan una parábola y una recta hay que hacer un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1:

Y=-2X +3 X= -2+- 22-4(-1)·3 = -2+- 16 =

Parábola:

recta:

95


http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria-analitica-parabola-solucionador.html


x= -2+- 22-4(-1)·3 = -2+- 16 =

2(-1) -2

x=-1 = -2+-(4) = -1

y=-2(-1)+3 = 5 (-1,5) -2 3

x=3

y=-2·3+3 = -3 (3,-3) puntos donde interseccionan.

Ejemplo 2. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto M(– 4, 2) a la parábola y2 – 4x – 6y + 17 = 0.

Solución:

La ecuación de las rectas que pasan por el punto M(– 4, 2) es:

y – y1 = m(x – x1)

y – 2 = m(x + 4)

En donde m es la pendiente de la tangente buscada; al despejar con respecto a “y”

y – 2 = mx + 4m

y = 2 + mx + 4m

Sustituir en la ecuación de la parábola dada

y2 – 4x – 6y + 17 = 0.

(2 + mx + 4m)2 – 4x – 6(2 + mx + 4m) + 17 = 0

4 + m2x2 + 16m2 + 4mx + 16m + 8m2x – 4x – 12 – 6mx – 24m + 17 = 0

m2x2 + 16m2 – 2mx – 8m + 8m2x – 4x + 9 = 0

m2x2 + (8m2 – 2m – 4)x + (16m2 – 8m + 9) = 0

96



Está ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c; y al aplicar la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0

ax2 + bx + c = 0

m2x2 + (8m2 – 2m – 4)x + (16m2 – 8m + 9) = 0

Donde: a = m2, b = 8m2 – 2m – 4, c = 16m2 – 8m + 9

Se sustituye y se realizan operaciones:

b2 – 4ac = 0

(8m2 – 2m – 4)2 – 4(m2)(16m2 – 8m + 9) = 0

64m4 + 4m2 + 16 – 32m3 – 64m2 + 16m – 64m4 + 32m3 – 36m2 = 0

– 96m2 + 16m + 16 = 0

Al simplificar y multiplicar por (–1) tenemos:

6m2 – m – 1 = 0

Al factorizar, resulta:

(3m + 1)(2m – 1) = 0

Resolver igualando a cero cada factor

3m + 1 = 0 2m – 1 = 0

3m = – 1 2m = 1

m1 = – 1/3 m2 = ½

Al sustituir los valores de las pendientes encontrados en la ecuación de las tangentes que pasan por el punto dado, resulta:

y – 2 = m(x + 4) y – 2 = m(x + 4)

97


●

(6, 8) 16 cm

6 cm

●


Para m1 = – 1/3 para m2 = ½

3y – 6 = – x – 4 2y – 4 = x + 4

x + 3y – 6 + 4 = 0 – x + 2y – 4 – 4 = 0

x + 3y – 2 = 0 x – 2y + 8 = 0

Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto M(– 4, 2) a la parábola y2 – 4x – 6y + 17 = 0 son: x + 3y – 2 = 0 y x – 2y + 8 = 0

Aplicación de la parábola

Ejemplo1. El faro delantero de un automóvil se diseña de manera que el corte transversal a través de su eje sea una parábola y la fuente de luz sea colocada en el foco. Si el faro delantero es de 16 cm. y 6 cm. de profundidad, encuentre la ubicación de la fuente de luz.

Solución:

Si superponemos un sistema de coordenadas sobre la parábola, su ecuación será y2 = 4ax y pasará a través del punto (6, 8)

Sustituyendo x = 6 y y = 8 en la ecuación, obtenemos:

y2 = 4ax

(8)2 = 4a(6)

64 = 24a

98



Así el foco está en (8/3, 0) y la fuente de luz está localizada en el eje de la parábola 8/3 cm. a la derecha del vértice.

En tus respuestas apóyate de lo aprendido en esta secuencia, citando que estas aplicando y porqué.

Actividad 5

De manera individual resuelve los siguientes problemas de aplicación de la parábola.

Un arco parabólico tiene una altura de 37.5 m y una luz de 70 m; determina la altura de los puntos del arco situado a 12 m a ambos lados de su centro.Determina la altura de un punto de un arco parabólico de 24 m de altura y 36 m de base, situado a una distancia de 12 m del centro del arco.

Antes de entregar los resultados de tu actividad al maestro-facilitador, compara los resultados con los obtenidos en la aplicación de una herramienta digital en la URL: www.disfrutalasmatematicas.com/geometria-analitica-parabola-solucionador.html, determina si existe la necesidad de cambiar el desarrollo y/o resultado de alguno de los ejercicios. Compara además con tus compañeros de clase y acude con tu maestro-facilitador para apoyar tus conclusiones.

Para que puedas evaluar lo aprendido, te recomendamos que realices las siguientes formas de evaluación; al término pide a tu facilitador y tus compañeros te ayuden a comparar tus resultados.

Autoevaluación

En tu cuaderno, contesta brevemente las siguientes preguntas:

1. ¿Como defines el concepto de parábola?

2. ¿Qué aplicaciones crees que tiene la parábola con los medios de comunicación?

3. Cuando resuelves la ecuación = 4x, ¿cómo expresas los resultados?99


http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria-analitica-parabola-solucionador.html


4. ¿En qué casos aplicas la ecuación de la parábola en la vida real?

5. ¿Cómo se llama el segmento que es perpendicular al eje de la parábola, pasa por el foco y une dos puntos de la cónica?

6. ¿Qué gráfica representan las parábolas?

7. ¿Si una parábola tiene su eje en posición vertical, obviamente su abertura

la tiene hacia _____________________ o hacia ________________

Coevaluación

Toma hojas blancas y resuelve lo siguiente:

I. Clasifica las parábolas con vértice en el origen y fuera de el

a) b)

c) d)

II) Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla

Ec.ordinaria Eje paralelo a: Valor de “a” Valor (h,K)

Eje de ordenadas 1 (-4, 5)

Eje de las abscisas 3 (2, -6)

100



III. Transforma las siguientes ecuaciones a su forma general

1)

2)

3)

IV. Transforma las siguientes ecuaciones a su forma ordinarias recomienda que los coeficientes A Y C sean reducidos a 1

a) b)

Realicemos un ejercicio para evaluar lo aprendido. A continuación se te presenta una actividad para realizarla en grupo.

Actividad 6

Formar grupos de tres integrantes. Para elaborar esta actividad necesitarán de cinco pliegos de hojas de papel bond tamaño rotafolio, regla, colores, lápiz.

A continuación, tiene tres funciones cuadráticas o de 2° grado (parábolas)

a) y = x2 + 4x – 12 b) y = x2 + 4x – 4 c) y = x2 + 9

Analicen el discriminante anotando sus operaciones en una hoja e indiquen que tipo de raíz tiene la función.

Después, tracen la gráfica de cada una y comprueben si ocurrió que lo que se predijo.

Para realizar la gráfica utilicen una tabla de valores.

Contesten las preguntas siguientes:

¿Qué método usaron para encontrar el valor de las raíces?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

¿Qué similitud existe entre lo que graficaron y los cálculos obtenidos?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

101



¿Qué sucede cuando el discriminante es menor que cero? ¿En dónde están las raíces?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Ahora, tracen una línea vertical encima del vértice de un color diferente al que trazaron la gráfica.

¿Qué característica le da a la parábola?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Es momento de revisar tus aprendizajes en esta secuencia, te pedimos resuelvas de nueva cuenta la evaluación diagnóstica que se te presento al principio. Claro que podrás verificar tus respuestas con el resto del grupo y con tu maestro-facilitador.

Resuelve los siguientes problemas, empleando ecuaciones de la parabola para resolverlo:a) Una pintura tiene un marco de 20 cm por 12 cm. Si están a la vista 84 cm2 de la pintura,

¿cuál es el ancho del marco?b) Un terreno triangular tiene un área de 200 m2. Si se sabe que la altura es 4 veces mayor que

la base, ¿Cuánto mide la base?

Identifica la gráfica que corresponda a cada una de las siguientes ecuaciones.

a) y = x2 + 1 b) y = - x2 – 1 c) y = x2

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6

Gráfica las funciones siguientes. (usa una hoja cuadriculada o bien milimétrica).

a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4 b)

102



A manera de cierre, veremos los resultados obtenidos de la actividad 2, descrita al principio de esta secuencia, es importante que para que expongan sus resultados tomen en cuenta todos los materiales (graficas, tablas, esquemas, figuras, etc.) y presentaciones que ustedes consideren pertinentes que le ayudarán en la exposición de los mismos. Posterior a sus presentaciones por equipo tomen nota de todo aquello que consideren importante rescatar para mejorar su trabajo. Finalmente, entreguen un reporte individual de sus resultados elaborado en presentación electrónica, donde incluya alguna alternativa (con los pasos a seguir) para disminuir el problema presentado, y envíenla al correo electrónico de su facilitador (el determinará cuál de ellas podrá ser exhibida a la comunidad estudiantil en el medio que considere pertinente).

Para darnos cuenta de nuestro avance actitudinal, te presentamos un instrumento en el que podrás evaluar el comportamiento de tus compañeros en la actividad en grupo de esta secuencia. Es muy importante ser muy objetivos, por lo que te pedimos ser veraz con lo que indiques, ya que será de gran ayuda para tus compañeros. Al término de éste, entrégalo los resultados a tu maestro-facilitador, el les indicará la manera de procesar esta información.

Instrucciones.- Los enunciados siguientes son descripciones de comportamientos que durante el trabajo en equipo pudieron manifestar tus compañeros, en 6 habilidades actitudinales. Lee cada descripción y escribe los nombres de los estudiantes de tu equipo que mejor la cumplan. Tus elecciones serán confidenciales. Considera lo siguiente:

1. Anota el nombre completo de tus compañeros en la lista, asegúrate del número que le corresponda a cada uno de ellos.

2. De cada pregunta, pon una “X” al número que corresponda el o los compañeros que participaron contigo en las actividades en equipo de esta secuencia, que cumplan con la condición de cada pregunta. Es importante que consideres solo aquel o aquellos compañero(s) que cumplen con ese rasgo.

3. Un mismo compañero puede cumplir con más de una descripción, por lo que puedes repetir el número en todas las preguntas (rasgos) que consideres.

4. Puedes anotar cualesquier observación o aclaración que tengas en cada pregunta.

Lista de compañeros:

No.Nombre compañero participante

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)

103



1

2

3

4

5

Evaluación:

No. Preguntas

Evaluación

Integrantes Observaciones

1 2 3 4 5

Habilidad: Capacidad de aprender por cuenta propia

1¿Quién busca continuamente el conocimiento por sus propios medios en diversas fuentes de información?

2

¿Quién tiene hábitos de estudio que implican disciplina, concentración, responsabilidad, búsqueda de información y verdadero deseo de aprender?

3

¿Quién reconoce que la responsabilidad de aprender es algo personal y no responsabiliza a nadie de no haber aprendido algo?

Habilidad: Capacidad de análisis, síntesis y evaluación

1

¿Quién continuamente estructura la información importante de un problema, de tal forma que facilite la comprensión de la situación problemática?

2¿Quién frecuentemente detecta las ideas básicas de una situación problemática, genera soluciones correctas y elige las más convenientes?

104



3¿Quién frecuentemente formula juicios críticos sobre las soluciones que se proponen para determinado problema?

Habilidad: Pensamiento crítico

1¿Quién analiza con frecuencia la información desde diversos puntos de vista?

2¿Quién identifica continuamente las ventajas y las desventajas de una decisión?

3¿Quién detecta con frecuencia las áreas de mejora en un determinado procedimiento?

Habilidad: Creatividad

1¿Quién continuamente genera ideas originales o soluciones nuevas?

2 ¿Quién es original e imaginativo?

3¿Quién con frecuencia promueve un ambiente de innovación?

4¿Quién respeta las ideas creativas de otras personas?

Habilidad: Trabajo en equipo

1

¿Quién repetidamente muestra buenas habilidades de comunicación que le permitan saber hacer peticiones, ofrecimientos y reclamos, así como escuchar, negociar y responsabilizarse de sus promesas?

2¿Quién respeta las aportaciones de los demás miembros de su grupo, aun cuando vayan en contra de las aportaciones propias?

3¿Quién antepone los objetivos del grupo a los objetivos personales?

4 ¿Quién con frecuencia reconoce las diferentes habilidades de cada uno de los miembros del grupo y las aprovecha para

105



lograr el mejor resultado?

5¿Quién es responsable del producto final del trabajo del grupo?

Habilidad: Valores

1¿Quién acepta cuando se equivoca, reconoce y afronta sus errores, y se responsabiliza de las consecuencias?

2¿Quién reconoce los logros de sus compañeros?

3¿Quién es puntual en la entrega de las actividades?

4¿Quién cumple con las fechas límite para terminar las tareas que se comprometió a llevar a cabo?

106



Secuencia 7: La elipseSecuencia 7: La elipse

En esta secuencia abordarás temas de interés para resolver problemas, empleando como herramienta matemática la ecuación de la elipse; que te permitirán contar con información relevante para la toma de decisiones en la solución del problema. Además podrás analizar su grafica a fin de explicar lo que está ocurriendo en dicha situación.

Ten presente que el propósito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas a través de su ecuación y gráfica mediante métodos de solución precisos.

¿Dónde se encuentra este edificio?

107


Al término de esta secuencia, podrás adquirir la competencia en:

Conocimiento- Hacer análisis de la elipse como lugar geométrico, ello te permitirá conocer sus formas y ecuaciones, necesarias para resolver problemas teóricos o prácticos relativos a ella.Habilidades-Resolver las transformaciones de la ecuación de la elipse aplicando diversas técnicas algebraicas y/o despejes.-Identificar los elementos que determinan la ecuación de la elipse dependiendo de la ubicación de las coordenadas de su centro.-Extraer información de registros algebraicos o gráficos.-Usar la calculadora como herramienta de exploración de los resultados.-Investigar y trabajar en equipo.-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos para probar su validez.-Plantear problemas a través de ecuaciones cuadráticas.-Construir hipótesis, diseñar y aplicar modelos algebraicos para probar su validez.Actitudes-comprende el estudio de las propiedades de la elipse, condiciones geométricas y analíticas, que favorezca el desarrollo de actitudes críticas y reflexivas ante una situación problemática del mundo real.

Competencia a construir:

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Atributos:

-Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

http://www.acr.es/construccion/obra-edificio-la-estrella.aspx


Actividad 1

Observa las siguientes ilustraciones

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A B

C D


¿Qué tienen en común?

________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Habrá alguna relación de la forma en el diseño de sus estructuras, con alguna particularidad de su funcionalidad en especial? Descríbelas.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En el caso de la ilustración C, ¿a qué atribuyes que la galaxia adopte esa forma?

________________________________________________________________________________________________________________________________

Reúnete en equipo y compara tus respuestas para analizar coincidencias y divergencias, socialízalas en el grupo.

Actividad 2

A continuación se te presenta un texto científico, relacionado con el mundo de la medicina para que lo analices y reflexiones.

¿Qué es la Litotricia?

Se trata de un método no invasivo, que parte los cálculos del riñón o de la vía urinaria, en fragmentos más pequeños, para que sean

eliminados por el propio organismo. Consiste en un método en el cual se generan unas ondas por fuera del cuerpo, posteriormente se dirigen al cálculo ubicado, ya sea por rayos X o por ultrasonido, las ondas de choque son generadas por una chispa, descargada bajo el agua, y un electrodo ( Bujía ) localizada dentro del reflector de una elipse(campana). Debido a esta forma de elipse o campana (fig. 1), al generar la chispa, todas las ondas se dirigen al cálculo, con una muy alta densidad, entonces el cálculo se fragmenta.

Como actúan las ondas de choque?

Las ondas de choque consisten en un frente de presión positiva de múltiples frecuencias con un pico inmediato y un descenso gradual. A este respecto, el uso de las ondas de choque para la destrucción de cálculos renales se basa, entre otras, en las siguientes propiedades:

Cuando golpean un material quebradizo, como un cálculo renal, las ondas de choque crean un elevado gradiente de presión que causa su destrucción.La intensidad necesaria para destruir cálculos debe ser inferior al nivel de tolerancia de los tejidos celulares, con el fin de que sólo afecte a los primeros.

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Las ondas de choque pueden ser transmitidas libremente y propagadas a través del cuerpo sin originar una importante pérdida de energía cuando se usa el agua como medio de transmisión.Además, pueden ser enfocadas con precisión si se integran en un sistema reflector apropiado (con forma de elipse).

Funcionamiento del Litotriptor:Los litotriptores son aparatos que cuentan con un generador electromagnético que produce una onda de choque de grandes amplitudes en un foco, localizado geométricamente con rayos x.La transmisión de las ondas de choque en medios de escasa reflexión (agua y tejidos corporales que la contienen en abundancia) no sufre casi pérdidas. Su velocidad de propagación se aproxima a la del sonido en el agua.

Al llegar la onda de choque focalizada, a zonas de densidad diferente a la del contorno (cálculos), libera en ellas energía mecánica. Éste es el fundamento de la destrucción de los cálculos mediante litotricia extracorpórea.

Descripción del procedimiento

1) El paciente es colocado en una superficie horizontal (mesa de emplazamiento).

2) Se monitorizan informáticamente los signos vitales del paciente a lo largo de todo el procedimiento: presión arterial, electrocardiograma, etc.

3) Localización del cálculo mediante un sistema radiológico de exploración. La imagen se visualiza con gran definición para lograr un

enfoque preciso y milimétrico.

4) Se acopla el aplicador de ondas de choque al cuerpo del paciente y se inicia la sesión. La intensidad y duración de las ondas se controlan informáticamente, según el tamaño de los cálculos.

5) En el punto focal, previamente localizado, se descarga la onda de choque.

6) Finalmente, se comprueba por medio de una placa radiológica que los cálculos hayan sido destruidos.

Reflexiona y contesta……

¿El contenido de la lectura anterior tiene alguna relación con las ilustraciones al inicio presentadas? ¿En que se parecen?

____________________________________________________________

De acuerdo a los temas de geometría analítica ya analizados anteriormente, cita las palabras contenidas en el texto que te resultan familiares:

________________________________________________________________________________________________________________________________

En función de la figura 1 de la lectura, Que procedimiento utilizarías para determinar la distancia entre F1 (punto de la descarga eléctrica) y F2 (zona de incidencia de la onda), considerando de antemano la forma elipsoidal del reflector utilizado.

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Reúnete en equipo y compara tus respuestas para analizar coincidencias y divergencias y su socialización al grupo.

Actividad 3

Auxiliándote de la información contenida en las páginas electrónicas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u6.pdf

Contesta y realiza las actividades siguientes:

Desde el punto de vista de la geometría analítica, ¿Qué es una elipse?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Puedes demostrarlo? ¡Claro que puedes¡ solo necesitas las herramientas siguientes: 3 trozos de varilla de 15 cm, un trozo de cuerda de 2 m, un martillo y una cinta métrica.

Procedimiento:

En equipos de 5 estudiantes, seleccionen un área de suelo lo mas plano posible. Fijen con la ayuda del martillo las dos varillas separadas unos 50 cm entre sí, haz unas lazadas en los extremos de la cuerda y colócalas en cada una de las varillas.

Finalmente tensa la cuerda con la varilla restante y hazla girar por el suelo, para formar la figura de la elipse.

Ahora, con la ayuda de la cinta métrica comprueba para cada punto de la elipse la definición que de ella se hace.

¿Es correcta? ________

En caso contrario verifica la causa del error, apóyate en otros equipos que hayan logrado la comprobación satisfactoria.

Actividad 4

Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas y sobre él una elipse, anota sus elementos característicos.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse


Que significa excentricidad y cuál es su rango de variación.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Se sabe, que las orbitas de los planetas son elípticas, sin embargo pareciera que son circulares. Entonces ¿Por qué es imposible diferenciarlas a simple vista? Tiene algo que ver la excentricidad. Argumenta tu respuesta.

_________________________________________________________________________________________________________

Escribe en tu cuaderno, las diferentes formas de ecuación de la elipse. Haz un eje de coordenadas para cada una de ellas y represéntalas. Especifica además los componentes de cada uno de sus elementos.

Reúnete en equipo y compara la actividad realizada. Anota las divergencias encontradas para su análisis.

Desarrolla un ejemplo problema, en donde se pida encontrar la ecuación de una elipse, cuando tiene su centro en el origen del eje de coordenadas.

Desarrolla un ejemplo problema en donde se pida encontrar la ecuación de una elipse cuando su centro no está en el origen del eje coordenado.

En equipo analiza las variantes en el desarrollo de ambos problemas, anota las dificultades encontradas durante el proceso y socialícenlas al grupo para su reflexión.

Describe el procedimiento para obtener la ecuación general de una elipse, a partir de su forma ordinaria.

Describe el procedimiento para determinar los elementos característicos de una elipse, a partir de su ecuación general.

Reúnete en equipo y compara la actividad realizada con tus compañeros. Anoten las situaciones procedimentales del problema en donde se tienen dificultad de entendimiento, socialícenlas al grupo para su discusión y reflexión.

Actividad 5

Con las herramientas matemáticas ya adquiridas, replantea la situación relacionada con el aparato utilizado para destrucción de cálculos renales y utiliza el procedimiento adecuado para determinar la distancia entre F1 (punto de la descarga eléctrica) y F2 (zona de incidencia de la onda), considerando de antemano la forma elipsoidal del reflector utilizado.

112



Actividad 6

Piensa crítica y reflexivamente………

Si fueras el responsable de construir un puente carretero, del tipo mostrado en la ilustracion siguiente:

Habría algún inconveniente, en que fuera de esta forma_________________________

Explica tus razones__________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________

Si el puente tiene 12 m de largo y 4 m en la parte más alta del arco. Selecciona un sistema de coordenadas rectangulares adecuado y encuentra la altura de un punto en el arco situado a una distancia de 4 m desde el centro hacia uno de los extremos del puente.

Investiga de manera individual y en diferentes medios de información, la aplicación práctica de la elipse en diversos campos de la ingeniería y la tecnología, analízalos, escríbelos y compártelos con el resto del grupo, retoma aquellos planteamientos diferentes a los tuyos para que finalmente realices un concentrado de problemas que consideres sean de mayor utilidad para resolver algún problema especifico de tu comunidad.

Actividad 7

En tu cuaderno, contesta lo siguiente:

1.- De que parámetro depende, el que los focos de una elipse estén más cerca o más retirado uno del otro.

2.- Cual sería el otro nombre para una elipse, si su excentricidad fuera, e = 0.

3.- En cuál de las dos ecuaciones de la elipse, su eje mayor se ubica sobre el eje “y”.

a) ⁺ =1

b) ⁺ =1

4.- En una elipse, por definición, la suma de la longitud QF1 y QF2 es una cantidad constante. En base a la figura de abajo, complementa la igualdad:

QF1 ⁺ QF2 = ꞊

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5.- Una elipse con centro en el origen del eje de coordenadas, y eje mayor sobre el eje de las abscisas, tiene una distancia entre los focos de 4 m. Si la longitud de su eje mayor es de 5 m, determina la ecuación de la elipse, la longitud de su lado recto y dibuja su gráfica.

6.- El centro de una elipse se encuentra en el punto de coordenadas (-1,2), uno de sus vértices en el punto (-1,-2) y la longitud de su lado recto es LR= 5. Determina sus elementos característicos, su ecuación y dibuja su gráfica.

7.- La ecuación general de una elipse es 4x 2+ y2 + 8x + 8y + 4 ꞊ 0. Encuentra sus elementos característicos y dibuja su gráfica.

8.- La luna gira alrededor de la tierra con una órbita elíptica, con la tierra en un foco. Los ejes mayor y menor de la órbita tienen longitudes de 768,800 km y 767,640 km, respectivamente. Encuentra las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo), desde el centro de la tierra hasta el centro de la luna.

9.- La bóveda de una iglesia es semielíptica, la base del arco (eje mayor horizontal) mide

10 m, y la parte más alta del arco mide 3 m. Encuentra la altura del arco a los 3 metros de

uno de los extremos.

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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/WIKI_elipse_TT.JPG


Guía de observación

Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo con los reactivos de caso práctico y deberá colocarse 1 en ejecución si el estudiante cumplió, o un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la respuesta sea que no cumplió, colocar en la columna de observaciones la justificación de ello. Para obtener la calificación final deberá multiplicar las columnas ejecución y ponderación y colocar el producto en la columna total, y por ultimo sumar esta columna total.

Indicador Ejecución Ponderación Total Observaciones

Coloca correctamente en un sistema de coordenadas los datos que se dan en el problema.

Identifica los tipos de elipses

Calcula todos los elementos necesarios para trazar la elipse correctamente.

Calcula correctamente la ecuación de la elipse.

Concluye correctamente con lo solicitado en el problema.

Identifica correctamente la forma de la ecuación que se presenta.

Transforma correctamente la forma general a la forma ordinaria.

Grafica correctamente los elementos de la elipse.

Calcula correctamente la altura solicitada en el puente.

Concluye correctamente con lo que se pide en el problema.

Lista de cotejo

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Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo con los reactivos de caso práctico y deberá colocarse 1 en ejecución si el estudiante cumplió, o un 0 si no cumplió con cada indicación, en caso de que la respuesta sea que no cumplió, colocar en la columna de observaciones la justificación de ello. Para obtener la calificación final deberá multiplicar las columnas ejecución y ponderación y colocar el producto en la columna total, y por ultimo sumar esta columna total.


Los datos son colocados correctamente en el sistema de referencia.

Los elementos de cada elipse son calculados correctamente

La forma de la ecuación ordinaria es establecida correctamente.

La forma general de la ecuación se establece correctamente.

La grafica de la elipse se traza correctamente.

Las conclusiones se establecen de acuerdo a lo solicitado en el problema.

Los elementos de la elipse con vértice en el origen se calculan correctamente. Los elementos de la elipse con vértice fuera del origen, se calculan correctamente.

La grafica cada elipse es trazada correctamente.


Evaluar actitudes

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Escala de actitud: P: Permanentemente F: Frecuentemente O: Ocasionalmente

Niveles P F O

1 Formula preguntas relacionadas con el tema escuchado

Realiza señalamientos con respecto a la información que le es proporcionada

Sigue instrucciones Participa permanentemente

Emplea vocabulario adecuado


2 Cumple con sus tareas

Investiga permanentemente

Comparte y manifiesta solidaridad ante los problemas de sus compañeros

Contesta empleando un vocabulario adecuado

Discute respetuosamente algún tema y escuchando con atención y respetando el turno para hablar

3 Explica y justifica lo escuchado visto o leído

Invita a sus compañeros a compartir información y ser solidarios ante los problemas de sus compañeros.

Muestra preocupación por un problema de su contexto.

Defiende sus puntos de vista basándose en la razón.

Inicia frecuentemente discusiones sobre el tema

Participa permanentemente

4 Ordena e integra la información recopilada

Defiende sus puntos de vista con respeto hacia los demás

Jerarquiza dentro del equipo las prioridades del trabajo.

5 Identifica y supera sus errores.

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Se compromete y hace más de lo que se le pide.

Organiza y lidera el equipo

Asume una actitud crítica basándose en lo aprendido.Propone soluciones a los problemas y respeta a sus compañeros Muestra actitud de colaboración para grupos

Muestra empeño al realizar sus tareas

PUNTAJE 3 2 1

Secuencia 8: La hipérbola

Torre cheongna, la representación volumétrica de la geometría hiperbólica.

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Con un diseño inspirado en las formas complejas y matemáticas de la geometría hiperbólica y el concepto espiritual del taegeuk, el estudio Various Architects de Noruega ha ganado con este proyecto el concurso para construir la torre

de observación del parque central de Cheongna en Corea del Sur. Se espera que este diseño se vuelva un símbolo del crecimiento económico de este país, una marca nacional, y un destino obligado del turismo internacional.

En esta secuencia analizaremos la curva cónica llamada Hipérbola, y aprenderás de ella:

Su definición Las gráficas típicas Sus elementos Sus ecuaciones características

Para ello, necesitaras al mismo tiempo desarrollar tus habilidades en:

La toma de decisiones a partir de la valoración de las consecuencias de distintos hábitos de consumo y conductas de riesgo.

7. Reconocer la actividad física como un medio para el desarrollo físico, mental y social.8. Manejar las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar

ideas.

En esta secuencia abordarás temas de interés sobre situaciones problemáticas de la vidareal, y utilizarás como herramienta los conocimientos y habilidades adquiridos sobre laHipérbola para identificar la información y desarrollar los modelos matemáticos que permitan

119



tomar las mejores decisiones. Además, podrás emplear gráficas, mapas, diagramas o textos para la representación matemática de las variables involucradas.

Recuerda durante tu estudio, que el propósito disciplinar de esta secuencia es que aprendas a resolver problemas de la hipérbola mediante la identificación de sus elementos, sus características y sus ecuaciones, a través de aplicaciones de la vida real.

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Al término de esta secuencia, las competencias que podrás adquirir son:En conocimientos:-Conocer las características de una hipérbola a partir de su definición y de las gráficas características.En Habilidades:-Identificar los elementos de la hipérbola a partir de su gráfica o su ecuación.-Deducir la ecuación de la hipérbola a partir de su gráfica o de la descripción de sus elementos.-Representar los elementos de la hipérbola a través de su gráfica.-Identificar en situaciones reales la posibilidad de plantear soluciones a través de los modelos matemáticos de la hipérbola, utilizando tablas, gráficas, diagramas y textos, que apoyen la toma de decisiones.En Actitudes:

-Ser capaz de aplicar los conocimientos adquiridos sobre la hipérbola en situaciones de la vida real.-Tener consciencia de las posibilidades que ofrecen las herramientas de las matemáticas y de las tecnologías de la información en la toma de decisiones y la solución de problemas de la vida real.


A continuación te presentamos el artículo “El consumo de tabaco y alcohol en jóvenes de zonas urbanas marginadas de México, un análisis de decisiones relacionadas”, que habla sobre dos de las adicciones más nocivas para el ser humano. Te recomendamos que pongas mucha atención, tomes nota y/o subrayes las partes que consideres más importantes, de manera que puedas contestar el cuestionario que se presenta posteriormente.

Los esfuerzos contra el consumo de sustancias adictivas que tienen probados efectos negativos en la salud, se convirtieron desde hace varios años, en parte importante de las políticas de salud en la mayoría de los gobiernos, entre ellos el de México. En el Programa Nacional de Salud 2001-2006, y en los programas de acción que de él se desprenden, se reconoce de manera explícita que las adicciones al tabaco y el alcohol son las principales causas de enfermedad y muerte que pueden prevenirse, y se apunta a la necesidad de la prevención y control de su consumo, en particular en los jóvenes. Las autoridades sanitarias los consideran como la población de más alto riesgo para el consumo de sustancias adictivas, pero también la población en la cual las políticas de prevención pueden ejercer un mayor efecto de control debido al poco tiempo transcurrido en el proceso de adicción. Cabe aclarar que a lo largo del texto el término consumo de tabaco se refiere al consumo de cigarrillos, que es la presentación más común del tabaco en el país.

Se estima que en México mueren 122 personas a diario por causas que se vinculan con el tabaquismo; éste es causa probable de más de

25 enfermedades y padecimientos, y se estima que los fumadores crónicos han de perder entre 20 y 25 años de vida, con la implícita carga económica a sus familias y al sector salud.1 La evidencia muestra que en México más de 60% de los fumadores inició su consumo antes de los 16 años de edad, y que más de 90% lo hizo antes de los 20 años, lo que lleva a suponer que la ventana preventiva más importante se ubica en edades tempranas, ya que rara vez se informa el inicio de esta adicción en edades adultas.

Con respecto al consumo de bebidas alcohólicas, se estima que su abuso representa 9% del costo total de la enfermedad en México, y se acompaña de padecimientos como cirrosis hepática, lesiones por accidentes de vehículos a motor, dependencia y homicidios. Además, se dispone de suficiente evidencia en cuanto a que los efectos del alcohol en jóvenes los hace más propensos que los adultos a observar comportamientos de alto riesgo, a la depresión e intento de suicidio, y a asumir conductas violentas.2 Aunado a estos efectos negativos en la salud, la información disponible comprueba de manera sobrada los enormes costos directos e indirectos por enfermedad o padecimientos relacionados con el hábito de fumar o consumir alcohol.3

Existe abundante información4-7 acerca de que la influencia de sus pares en los jóvenes ejerce un efecto mayor en el consumo de tabaco y alcohol que la interacción con adultos. Están presentes además otros aspectos de tipo psicosocial4,8 como cierto grado de desequilibro emocional, estrés, inteligencia emocional, etc.,

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que influyen en la decisión de los individuos de consumir estas sustancias.

Te invitamos ahora a responder el siguiente cuestionario. Comparte tus opiniones con tus compañeros de grupo y observa las coincidencias y diferencias. Anota todo lo que te resulte interesante.

1. ¿Consideras que el consumo de tabaco y de alcohol represente un problema de salud para los jóvenes en México? Explica por qué._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. ¿Conoces personas que tengan o hayan tenido problemas por este motivo? ¿Qué tipo

de problemas te ha tocado observar?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Crees que el consumo de tabaco y alcohol representa también un problema económico

para las familias? Explica por qué.

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

7. Investiga en internet estadísticas que proporcione el Sector Salud referentes a

número de enfermos, decesos, costos, etc., debidos al consumo de estos productos.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Comenta con tus compañeros las razones por las cuales se consumen estos productos entre los jóvenes y analicen juntos si existen alternativas para evitarlo.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

122


Como pudiste leer en el artículo, el consumo de tabaco y alcohol representa un problema de salud muy serio para las personas y en especial para los jóvenes. ¿Por qué es esto? ¿Qué motiva a las personas a realizar estos consumos? ¿Acaso no existen alternativas de entretenimiento, liberación de estrés, etc., que proporcionen las mismas o diferentes satisfacciones pero que no representen los problemas que se han mencionado y que has investigado por tu cuenta? Visita los siguientes sitios de Internet para que observes algunas de las consecuencias de consumir estos productos.

http://www.youtube.com/watch?v=s8asmxjzXx4 http://www.youtube.com/watch?v=4xzJuHO6zxY&feature=related


Para entrar al tema desde el punto de vista matemático y de la Geometría analítica, describimos la siguiente situación problemática, basada en una de las aplicaciones más importantes de la hipérbola:

Dos estaciones Loran (navegación de largo alcance) A y B están situadas sobre una línea recta este-oeste y A está a 80 millas al este de B. Un avión vuela hacia el Este en línea recta y se encuentra en un punto que se sitúa a 60 millas al norte de la recta que pasa por A y B. Se envían señales al mismo tiempo desde ambas estaciones y la señal de A llega al avión 350 microsegundos antes que la de B. Si las señales viajan a un velocidad de 0.2 millas por microsegundo, localice la posición del avión.a) Dibuja en un plano cartesiano como están ubicadas las estaciones Loran y el avión.

b) ¿Qué figura geométrica se forma entre el avión y las estaciones?c) ¿Cómo podrías determinar la distancia entre el avión y cada una de las estaciones Loran?

Enseguida se te da una breve reseña se sistema de navegación mencionado. Léelo de manera que entiendas en términos generales su funcionamiento, y posteriormente investígalo checando detalles que te permitan resolver el problema que se te presentó anteriormente. Pide ayuda al facilitador en todo el proceso de solución.

A continuación te daremos la información teórica que te ayudará a comprender qué es la hipérbola así como sus elementos principales, y a entender mejor el sistema de navegación LORAN, de manera que puedas resolver el problema que se te planteó anteriormente.

LA HIPERBOLA

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Sistema nar la a partir de la

diferencia del tiempo de recepción de dos

Antecedentes: El matemático (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió las curvas cónicas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) quien las definió.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dió el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Encontró que estas curvas tienen propiedades interesantes que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las más interesantes son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. , según la curva que gira.

Definición: La hipérbola es el lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve en el plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano que se denominan focos (F1 y F2), es constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.La definición anterior no es aplicable al caso en que el punto móvil se mueve sobre la recta que pasa por los focos, con excepción del segmento comprendido entre ellos, es decir, los focos y el punto medio de dicho segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.

PF1- hipérbola en dos puntos llamados vértices (V1 y V2). El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro C de la hipérbola.

Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.F1-PF2 = co =PF”


Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

Figura 1

PF1-PF2 = constante < F2-F1

Elementos de la Hipérbola (figs 2 y 3 )

Focos: se describen en la definición de la

hipérbola. La separación entre ambos es .

Vértices: Puntos en los que la línea recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola.

Eje transversal: Es el segmento recto que une

a los vértices. Su longitud es .

Centro: Punto medio entre los focos o entre los vértices.

Observe que la distancia entre el centro de la

hipérbola y los focos es , y entre el centro y

los vértices es .

Eje conjugado o normal: Segmento de recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje

transversal. Su longitud es , donde b se

evalúa de

Asíntotas: son dos líneas rectas que pasan por el centro de la hipérbola y que se acercan cada vez más a ésta (pero sin llegar a tocarla), conforme se alejan del centro. La pendiente de

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estas rectas tiene una magnitud de valor

cuando los focos están situados

horizontalmente, o cuando los focos

están situados verticalmente.

Observa de la definición que para cualquier punto de la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia de las distancias a los focos se puede calcular desde cualquier de los

vértices y su valor absoluto es .

F igura 2 F igura 3

Excentricidad de la hipérbola: Es la relación

entre la distancia del centro hacia uno de los

focos (c), dividida por la distancia del centro a

uno de los vértices (a). Matemáticamente

El lado recto de una hipérbola es el segmento de recta que pasa por cada uno de los focos y es perpendicular al eje transversal. Su longitud es

Para que comprendas mejor los conceptos que definimos anteriormente, visita la página http://tutormatematicas.com/ALG/Hiperbola_formulas_graficacion.html, Identifica cada uno de los conceptos en las secciones ”Definición de la Hipérbola” y “Partes de la Hipérbola. Observa que debes dar un “click” izquierdo con el ratón de tu computadora para el inicio y sobre la gráfica para que la demostración avance, dado que éste es un software interactivo. En cuanto te hayas aprendido los elementos de la hipérbola, resuelve el siguiente cuestionario:

1.- ¿Qué es la hipérbola? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.- ¿Cómo se representa por norma la distancia entre los focos y cómo debe ser la diferencia de distancias de cualquier punto de la hipérbola respecto de la distancia entre los focos? _______________________________________

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http://tutormatematicas.com/ALG/Hiperbola_formulas_graficacion.html


__________________________________________________________________________

3.- ¿Qué son los vértices de una hipérbola? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.- ¿Qué es el centro de una hipérbola? ______________________________________________________________________________

4.- ¿Qué es el eje transversal de una hipérbola y cuánto mide? ____________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________

5.- ¿Qué es el eje conjugado y cuánto mide?__________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.- ¿Qué son las asíntotas de una hipérbola? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6.- ¿Cuáles son los valores absolutos de las pendientes de las asíntotas de una hipérbola con eje transversal horizontal, y cuales los de una hipérbola con eje transversal vertical? _____________y ______________

7.- ¿Qué es la excentricidad de una hipérbola y cuál su valor?____________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8.- ¿Qué es el lado recto de una hipérbola y cuál su valor?________________________________ ______________________________________________________________________________

Ecuaciones de la hipérbola

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Observa que se te preguntan directamente todos los conceptos de la hipérbola, y eso significa que es importante que lo aprendas para que puedas comprender este tema.


Regresa a la página

http://tutormatematicas.com/ALG/Hiperbola_formulas_graficacion.html y revisa las secciones “Ecuación estándar de la hipérbola”, “Traslación de a hipérbola horizontal” y “Traslación de la hipérbola vertical”. Haz un resúmen de las fórmulas y apréndetelas.

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Las formas generales de la ecuación de una hipérbolacon centro en C(h,k) son:

cuando el eje transversal es horizontal

cuando el eje transversal es vertical

Las ecuaciones de las rectas asíntotas son:

y cuando el eje transversal es horizontal

y cuando el eje transversal el vertical

La ecuación de la hipérbola se puede también expresar de la

forma

donde A y C tienen siempre signos contrarios

http://tutormatematicas.com/ALG/Hiperbola_formulas_graficacion.html


Revisa ahora los ejercicios 1 a 5 de la página de Internet mencionada, y analiza posteriormente la solución de los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de la hipérbola con vértices en y y asíntotas y . Calcule además los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Solución

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son C .

La hipérbola tiene eje transversal vertical y como

los vértices se separan unidades,

entonces .

Considerando la pendiente de las asíntotas.

Por lo tanto

La ecuación general de la hipérbola es

El valor de está dado por

Los focos están en

y la excentricidad es

La gráfica se muestra en la figura 9.

Figura 4.Ejemplo 2

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Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal, y aplicando

el teorema de Pitágoras

Los vértices están en , los focos en y la excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura 8.

Figura 5.

Con lo que conoces ahora, tanto del sistema de comunicación LORAN como de la hipérbola, observa la solución a la situación problemática planteada al inicio. Para ello volvamos a leerla:

Dos estaciones Loran (navegación de largo alcance) A y B están situadas sobre una línea recta este-oeste y A está a 80 millas al este de B. Un avión vuela hacia el este en línea recta que se sitúa a 60 millas al norte de la recta que pasa por a y b. Se envían señales al mismo tiempo desde ambas estaciones y la señal de A llega al avión 350 microsegundos antes de la de B. Si las señales viajan a un velocidad de 0.2 millas por microsegundo, localice la posición del avión.

De la definición de la hipérbola se puede deducir que en cualquier tiempo t el avión se encuentra en un punto P(x, 60) sobre la hipérbola con centro en O(0,0) y focos en A(40,0) y B(-40,0,. como se muestra en la figura 6.

Figura 6

Para calcular la diferencia de distancias del avión a las estaciones utilizamos el hecho de que los dos haces de luz llegan al avión con una

diferencia de tiempo de 350 , y de que la

velocidad de la luz es de 0.2 millas/ .

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De la ecuación de velocidad

se despeja

Calculado la diferencia de distancias que recorren los haces de luz

Evaluando

Para encontrar la posición del avión se puede proceder de dos maneras, que son las siguientes:

a) Utilizando las fórmulas de distancia desde el avión hasta las estaciones:

=

Desarrollando

Resolviendo

b) Utilizando los conceptos ya conocidos de la hipérbola:

Como se sabe que la diferencia de distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos es 2a, que es la distancia entre los vértices, entonces

Como , que es la distancia del centro a

los focos, entonces

La ecuación de la hipérbola es

Como en la posición del avión ,

despejando

Como podrás verificar, la segunda opción requiere menos álgebra y por lo tanto menos trabajo.

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Para terminar, y de acuerdo con la gráfica del problema, como el avión recibe primero la señal de A, la posición de éste es

P (113.95,60)

Las distancias de las estaciones A (con coordenadas A(40,0)) y B (con coordenadas B(-40,0)) al avión son respectivamente:

Por lo tanto, la diferencia de distancia que recorren las señales desde cada estación al avión es de

Valor que se había calculado anteriormente

Para continuar, resuelve los siguientes ejercicios:

1) Considera una hipérbola cuyo centro es el punto C(3, -3) y uno de sus vértices es el punto V(0, -3); si la longitud de su lado recto es 9, determina la ecuación general, las longitudes del eje transversal y del eje conjugado y su excentricidad.

2) Dada la ecuación de la hipérbola

, determinar las

coordenadas de los vértices, focos y extremos del eje conjugado, la longitud de los ejes transversal y conjugado, la longitud del lado recto, las ecuaciones de las directrices y la excentricidad.

3) El físico Ernest Rutherford descubrió que cuando se disparan dos partícula alfa hacia el núcleo de un átomo, llega un momento en que son repelidas por el núcleo según trayectorias hiperbólicas. La figura 7 representa la trayectoria de una partícula que se dirige hacia el origen sobre la recta

y llega a 3 unidades de distancia

respecto al núcleo. Determina la ecuación de la trayectoria.

Figura 7

4) Dos micrófonos que se encuentran separados 1 kilómetro grabaron una explosión. El sonido llegó al micrófono A 2 segundos antes que al micrófono B. Si la velocidad del sonido es de 335 metros por segundo, define la ecuación general de la hipérbola que representa todos los puntos en donde pudo haber ocurrido la explosión.

5) Una torre de enfriamiento de una planta de energía nuclear, como la mostrada en la figura 8, tiene una base circular de 100 metros de diámetro. Su diámetro más pequeño es de 48 metros y se encuentra a 48 metros por encima de su base. Si la torre

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mide 120 metros de altura, calcule el diámetro de la parte más alta.

6) Un barco

está siguiendo un curso Este-Oeste que está a 100 millas de una costa recta y paralelo a ésta. El barco transmite una señal de auxilio que es recibida por dos estaciones de guardacostas A y B (A está al oeste de B) situadas a 200 millas una de la otra a lo largo de la costa. Al medir la diferencia de tiempos de recepción de las señales, se determina que el barco está 160 millas más cerca de la estación B que de la estación A. ¿Cuál es la posición del barco respecto de las estaciones?

Figura 8

Como comentario mencionamos que para graficar la ecuación de una hipérbola se necesita contar con algún programa especial de Matemáticas, como “Mathematica 4.0”, o puedes bajar alguno directamente de internet. También puedes utilizar el programa excell del paquete de computación office, solamente que en este caso necesitarás despejar de la fórmula general la variable “y”, generar una tabla de los valores de l función para valores de x que estén cerca de los focos, y posteriormente graficarla. Pregunta al facilitador sobre las opciones que te puede proporcionar.Puede ser interesante también obtener una gráfica sin utilizar directamente la computadora, para lo cual deberás realizar lo siguiente:a) Utilizando un compás, grafica un círculo de unos 4 centímetros de radio en el centro de una hoja

blanca en limpio tamaño carta. Utiliza como punta del compás un marcador de tinta negra y punta delgada, o bien resalta lo mejor que puedas el círculo con el marcador o con una pluma de tinta que resalte sobre el blanco de la hoja.

b) Traza una recta que pase por el centro del círculo a lo largo de la hoja, y marca un punto que esté al menos unos 2 centímetros fuera del círculo. El punto deberá ser lo más fino posible pero debe también resaltar sobre el blanco de la hoja.

c) Enseguida, haz coincidir el punto fuera del círculo con cualquier punto del éste y dobla la hoja de manera que se marque perfectamente el doblez a todo lo largo de la hoja. Repite este proceso las veces que consideres necesario, hasta que los dobleces marquen sobre la hoja una de las ramas de una hipérbola. Utiliza un lápiz y después el marcador o la pluma para resaltar la hipérbola obtenida.

d) Como podrás verificar, los focos de la hipérbola son el centro del círculo y el punto marcado fuera de éste. Mide la distancia entre los focos lo mejor que puedas, así como la distancia del centro al vértice,

y deduce los valores de . Calcula con éstos datos el valor del lado recto y verifica su valor

midiéndolo directamente sobre la figura de la hipérbola

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http://es.dreamstime.com/register?jump_to=http://es.dreamstime.com/imagenes-de-archivo-torre-de-enfriamiento-de-la-central-nuclear-image2452484%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


Guía de observación

Instrucciones:

La guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo con los reactivos de caso práctico y deberá colocarse 1 en ejecución si el estudiante cumplió, o un 0 si no cumplió con cada indicador, en caso de que la respuesta sea que no cumplió, colocar en la columna de observaciones la justificación de ello. Para obtener la calificación final deberá multiplicar las columnas ejecución y ponderación y colocar el producto en la columna total, y por ultimo sumar esta columna total.


Coloca correctamente en un sistema de coordenadas los datos que se dan en el problema.

Identifica los tipos de elipses

Calcula todos los elementos necesarios para trazar la elipse correctamente.

Calcula correctamente la ecuación de la elipse.

Concluye correctamente con lo solicitado en el problema.

Identifica correctamente la forma de la ecuación que se presenta.

Transforma correctamente la forma general a la forma ordinaria.

Grafica correctamente los elementos de la elipse.

Calcula correctamente la altura solicitada en el puente.

Concluye correctamente con lo que se pide en el problema.

Lista de cotejo133



Instrucciones: La guía de observación debe ser aplicada por el facilitador de acuerdo con los reactivos de caso práctico y deberá colocarse 1 en ejecución si el estudiante cumplió, o un 0 si no cumplió con cada indicación, en caso de que la respuesta sea que no cumplió, colocar en la columna de observaciones la justificación de ello. Para obtener la calificación final deberá multiplicar las columnas ejecución y ponderación y colocar el producto en la columna total, y por ultimo sumar esta columna total.


Los datos son colocados correctamente en el sistema de referencia.

Los elementos de cada hipérbola son calculados correctamente.

La forma de la ecuación ordinaria es establecida correctamente.

La forma general de la ecuación se establece correctamente.

La grafica de la hipérbola se traza correctamente.


Los elementos de la hipérbola con vértice en el origen se calculan correctamente. Los elementos de la hipérbola con vértice fuera del origen, se calculan correctamente.

La grafica cada hipérbola es trazada correctamente.


Evaluar actitudes

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Escala de actitud: P: Permanentemente F: Frecuentemente O: OcasionalmenteNiveles Aspectos P F O

1 Formula preguntas relacionadas con el tema escuchado.

Realiza señalamientos con respecto a la información que le es proporcionada


Emplea vocabulario adecuado


2 Cumple con sus tareas

Investiga permanentemente

Comparte y manifiesta solidaridad ante los problemas de sus compañeros

Contesta empleando un vocabulario adecuado

Discute respetuosamente algún tema y escuchando con atención y respetando el turno para hablar

3 Explica y justifica lo escuchado visto o leído

Invita a sus compañeros a compartir información y ser solidarios ante los problemas de sus compañeros.

Muestra preocupación por un problema de su contexto.

Defiende sus puntos de vista basándose en la razón.

Inicia frecuentemente discusiones sobre el tema

Participa permanentemente

4 Ordena e integra la información recopilada

Defiende sus puntos de vista con respeto hacia los demás

Jerarquiza dentro del equipo las prioridades del trabajo.

5 Identifica y supera sus errores.

135



Se compromete y hace más de lo que se le pide.

Organiza y lidera el equipo

Asume una actitud crítica basándose en lo aprendido.Propone soluciones a los problemas y respeta a sus compañeros Muestra actitud de colaboración para grupos

Muestra empeño al realizar sus tareas

PUNTAJE 3 2 1

Para saber más

136


Bibliografía:

COBACH Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora (Dirección Académica) 1994, Matemáticas 3

COLECCIÓN DGETI, Geometría Analítica, Fondo de Cultura Económica, 2da. Reimpresión 2005.

DE OTEYZA de Oteyza Elena 2001, Geometría Analítica y trigonometría, Ed. Pearson Educación, 1ra.

Edición, México.

EUGENIO Filloy Fernando Hitt 1997, Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, México.

FUENLABRADA Samuel, 2007, Geometría Analítica, Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición, México.

FULLER G. y D. Tarwater 1995. Geometría Analítica, Ed. Addison-Wesley iberoamericana, 7ma.

Edición, México.

GARZA Olvera Benjamín 1995, Geometría Analítica, D.G.E.T.I., México.

GARZA Olvera Benjamín; Matemáticas III; Primera edición (1997) colección DGETI

IBAÑEZ Carrasco y Gerardo García Torres 2010, Matemáticas III, Ed. Cengage, 1ra. Edición, México.

KINDLE Joseph 1996, Geometría Analítica, Ed. Mc Graw Hill, México.

LARSON/Hostetler, 1989, Cálculo con Geometría Analítica, Ed. Mc Graw-Hill,3ª edición, Edo. De

México, pp 672-681

LEHMANN Charles; 1980, Geometría analítica; Editorial Limusa, México pp. 67-79

LORA Mendieta Juan, Gilberto Orozco (2000); Aprendiendo y aplicando Geometría analítica primera

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MÉNDEZ Hinojosa Arturo, Matemáticas III, Ed. Santillana, 1ra. Edición, México, 2010.

SEP/SEMS, DGETA, Cuadernillo de secuencias de aprendizaje de Geometría Analítica

SWOKOWSKI/Cole, 2009, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Ed. CENGAGE Learnig,

12ª edición, México D. F., pp 840-852.


Además puedes visitar los siguientes sitios web:

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http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html

http://bitacoraed.wordpress.com/2007/05/03/ecuacion-de-la-recta-ejercicios-de-aplicacion-ii/

http://www.geoan.com/

http://www.youtube.com/watch?v=57Bv75puUWohttp://www.youtube.com/watch?v=57Bv75puUWo

http://www.tu.tv/videos/problema-de-geometria-analiticahttp://www.tu.tv/videos/problema-de-geometria-analitica

http://www.youtube.com/watch?v=7W2BlR2TqOk

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

http://132.248.87.5/areas/matematicas/mate3/MIII_U2.pdf

http://www.luiszegarra.cl/trigo/cap7.pdf

http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm

http://www.omerique.net/calcumat/analitica1.htm

http://docencia.izt.uam.mx/cbicc/presentaciones/lourdes%20y%20norma/Geometria%20analitica.ppt

http://www.julioleparc.org/es/text_detail.php?txt_cat_id=2&txt_id=41

http://www.vitutor.com/index.html

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/4b_eso/La_circunferencia/circunfe2.htm




















































138


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