Génération de nombres aléatoires
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Génération de nombres aléatoiresGénération de nombres aléatoires
• La foncion rand()
elle génère un nombre aléatoire compris entre 0 et
RAND_MAX
Pour générer une suite de nombre suivant une loi uniforme
entre 0 et 1 nous allons donc diviser le nombre généré par
rand() par RAND_MAX
Problème : La fonction rand utilise un algorithme qui va donc
générer la même suite de nombre à chaque appel.
On va appeler la fonction srand() qui va modifier la racine de
la fonction rand() grâce à l’heure de lancement du
programme.
Simulation d’une loi normaleSimulation d’une loi normale
• Génération d’une loi normale par la méthode de Box Muller
Grâce à la fonction de génération d’une suite de nombres
suivant une loi uniforme nous allons pouvoir réaliser un
fonction de simulation d’une loi normale.
La méthode de Box-Muller.
Simulation d’une loi normaleSimulation d’une loi normale
• Génération d’une loi normale par la méthode de Box Muller
Grâce à la fonction de génération d’une suite de nombres
suivant une loi uniforme nous allons pouvoir réaliser un
fonction de simulation d’une loi normale.
La méthode de Box-Muller.
Frontière Efficiente – Approche de Black Frontière Efficiente – Approche de Black LittermanLitterman
• Objectif et motivations:
Approche traditionnelle d’optimisation a de nombreux
inconvénients.
Utilisation de rendements espérés difficiles à estimer.
Nous allons le monter l’optimisation naïve avec les rendements historiques donne des résultats extrêmes.
Les pondérations obtenues sont très sensibles aux
variations de rendements.
L’approche traditionnelle ne tient pas compte des
incertitudes.
Frontière Efficiente – Approche de Black Frontière Efficiente – Approche de Black LittermanLitterman
1. Présentation des limites de l ’approche traditionnelle.
a. Frontière efficiente et sensibilité aux rendements.
b. Utilisation des rendements historiques.
c. Optimisation avec contraintes.
d. Pondérations d’équilibre.
2. Approche de Black Litterman
a. L’approche.
b. Spécification des vues.
c. Calibrations.
1. Présentation des limites de l ’approche traditionnelle.
A. Frontière efficiente et sensibilité aux rendements.
• Première étape obtenir les pondérations de notre portefeuille optimale.
• On prend des rendements espérés tous égaux à 0,13.Pondérations du portefeuille optimal
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
secteurs
poid
s
• Dans un deuxième on augmente trois rendement espérés de +5%
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
secteurs
po
ids
avec augmentation de 5% ponderation avant augmentation
L'utilisation de rendements espérés arbitraire
conduit à un portefeuille peu réaliste
1. Présentation des limites de l ’approche traditionnelle.
B. Utilisation des rendements historiques.
• Impact sur les pondérations de l’utilisation des rendements historiques
Pondérations avec rendements historiques
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
avec rendements historiques
Pondérations du portefeuille optimal
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
secteurs
po
ids
L'utilisation des rendements historiques conduit
à des pondérations extrêmes
1. Présentation des limites de l ’approche traditionnelle.
C. Optimisation avec contraintes.
• Optimisation accentue les erreurs d’estimations.
Ajout de contraintes et nouveau problème.
• Résolution de ce problème avec le solver.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
1. Présentation des limites de l ’approche traditionnelle.
D. Pondérations d’équilibre.
• On part des capitalisations pour avoir les pondérations d’équilibre puis les rendements d’équilibre.
pondérations d'équilibre
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
rendements d'équilibre
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
rendement historique rendements d'équilibre
• A partir des pondérations issues de la capitalisation on calcul la prime de risque.
0,086131105
• On utilise le modèle du CAPM pour obtenir les pondérations à partir des bétas.
Pondérations à partir des betas
-6
-4
-2
0
2
4
6
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
A partir des betas
2. Approche de Black Litterman
A. L’Approche
• Dans cette section on cherche à savoir comment concilier « au mieux » ces anticipations avec celles du marché.
• Nos vues sont au nombre de deux:
• Il faut combiner ces vues avec l’équilibre ( rendements d’équilibre et wcap) de manière optimale.
2. Approche de Black Litterman
B. Spécification des vues.
• On a donc deux vues que l’on combine sous forme matricielle.
• On cherche un compromis optimal entre l’équilibre de marché et les vues. On calcul l’espérance des rendements.
rendements
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
Black Litterman
equilibre
2. Approche de Black Litterman
B. Spécification des vues.
• Des lors on se penche sur le calcul des nouvelles pondérations issues de ces rendements. On effectue une optimisation espérance/variance.
pondérations tô=0,3
-40,00%
-30,00%
-20,00%
-10,00%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Black Litterman Equilibre
Pondérations tô=0,0001
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
14,00%
16,00%
AUTO BANK BRES CHEM CONS CYCL CNYL ENGY FISV FBEV INDS INSU MEDA PHRM RETL TECH TELE UTLY
Black Litterman
Equilibre
2. Approche de Black Litterman
C. Calibrations.
• Notre calibration consiste à retrouver les valeurs de paramètre du modèle à partir des données du marché.• On calibre τ grâce au ratio d’information. Ce ratio ne doit pas dépasser 2.
Calcul de τ
0,002324016
Calcul de E(R)
Master formula
PondérationsPondérations relativesRendement en excès
0,94%
Erreur de tracking
0,901%
Ratio d’informatio
0,098817543
E( R )
AUTO 8,40%
BANK 8,70%
BRES 7,09%
CHEM 7,57%
CONS 6,70%
CYCL 6,97%
CNYL 6,46%
ENGY 7,13%
FISV 8,38%
FBEV 6,54%
INDS 6,32%
INSU 7,94%
MEDA 3,71%
PHRM 6,55%
RETL 5,24%
TECH 6,32%
TELE 5,35%
UTLY 5,79%
ponderations
AUTO 1,65%
BANK 15,04%
BRES 1,22%
CHEM 1,80%
CONS 1,26%
CYCL 2,85%
CNYL 12,65%
ENGY 10,30%
FISV 4,12%
FBEV 4,59%
INDS 22,02%
INSU 6,89%
MEDA 3,27%
PHRM 42,91%
RETL 2,27%
TECH -14,21%
TELE -13,69%
UTLY 4,82%
pondérations relatives
AUTO -2,63678E-16
BANK -1,97065E-15
BRES 2,13371E-15
CHEM -1,39125E-15
CONS 5,8651E-15
CYCL 9,29812E-16
CNYL 0,097542171
ENGY 4,996E-16
FISV -4,17028E-15
FBEV -4,46865E-15
INDS 0,168282227
INSU -2,63678E-16
MEDA 2,24126E-15
PHRM 0,326665499
RETL -4,16334E-17
TECH -0,25242334
TELE -0,242524385
UTLY 1,94289E-15