GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

HARIS RABBANI

109094000028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARI HIDAYATULLAH

JAKARTA

2015 M/1436 H

GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

Oleh :

Haris Rabbani

109094000028

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Strata I

Program Studi Matematika

Fakultas Sains Dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah

Jakarta

2015 M/1436 H

iii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI

SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Januari 2015

Haris Rabbani

NIM. 109094000028

ABSTRACT

Let R a ring, a chain complex of modules and homomorphism over R is

� � �Cp+1@i+1! Cp

@i! Cp�1 ! � � � with @n@n+1 = 0: In this paper will discuss thechain U -complex, U -homology, Chain (U;U 0)-map, and chain (U;U 0)-homotopy,which are the generalization of chain complex, homology, chain complex map,and chain homotopy respectively, introduced by Davvaz and Shabani in [2].

A chain complexes (Cp; @p) is sequence � � � �! C3@3�! C2

@2�! C1@1�! C0 for

all 0 � p � n � 1; where Cp is a module and @p is module homomorphism thatmeet @p@p+1 = 0; the generalization of a chain complex called chain U -complex,where @p@p+1(Cp+1) � Up�1 and Im @p � Up�1. Chain map is a sequence f = ffngare linking between chain complexes, while the chain (U;U 0)-map is a sequencef = ffng are linking between chain (U;U 0)-complex. chain (U;U 0)-homotopy isgeneralization of the chain homotopi where @0p+1Dp + Dp�1@p = Fp � Gp withfDpg chain homotopy, is null homotopic. While @0p+1Dp+Dp�1@p = Fp�Gp withfDpg is chain (U;U 0)-homotopy with Dp(Up) � U 0p+1:

Key words: module, module homomorphism, chain map, chain complex, Chain(U ;U 0)-map, chain U -complex, chain (U ;U 0)-homotopy, and chain (U ;U 0)-equivalence.

i

ABSTRAK

Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-

�sma atas R adalah � � �Cp+1@i+1! Cp

@i! Cp�1 ! � � � dengan @n@n+1 = 0: Dalamskripsi ini akan dibahas mengenai rantai U -kompleks, rantai (U;U 0)-pemetaan,dan rantai (U;U 0)-homotopi. Dengan suatu penggeneralisasian dari rantai kom-pleks, rantai homologi, rantai pemetaan, dan rantai homotopi, berdasarkan hasilyang diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani di [2].

Sebuah rantai kompleks (Cp; @p) adalah barisan � � � �! C3@3�! C2

@2�!C1

@1�! C0 untuk semua 0 � p � n� 1; dimana Cp adalah modul dan @p adalahhomomor�sma modul yang memenuhi @p@p+1 = 0; generalisasi dari rantai kom-pleks disebut rantai U -kompleks, dimana @p@p+1(Cp+1) � Up�1 dan Im @p � Up�1.Rantai pemetaan adalah suatu barisan f = ffng yang mengaitkan antara rantaikompleks, sedangkan rantai (U;U 0)-pemetaan suatu barisan f = ffng yang men-gaitkan antara rantai (U;U 0)-kompleks. Rantai (U;U 0)-homotopi adalah gener-alisasi dari rantai homotopi dimana @0p+1Dp + Dp�1@p = Fp � Gp dengan fDpgrantai homotopi, adalah homotopik nol. Sedangkan @0p+1Dp +Dp�1@p = Fp �Gpdengan fDpg rantai (U;U 0)-homotopi dengan Dp(Up) � U 0p+1:

Kata kunci: modul, homomor�sma modul, rantai pemetaan, rantai kompleks,rantai homotopi, rantai (U ;U 0)-pemetaan, rantai U -kompleks, rantai (U;U 0)-homotopi, dan rantai (U,U�)-ekivalensi.

ii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk :Orang tua saya yang selalu memberikan motivasi

Teman-teman saya yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi iniBapak dan Ibu dosen matematika yang dengan sabar mengajar saya

"Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas dengan Surga Dari ALLAH SWT"

MOTTO"Progresif, produktif, dan jangan menunda-nunda"

iii

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya, yang telah memberikan kemudahan kepada penulis dalam menjalani perku-liahan dan penulisan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu disampaikankepada Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.

Skripsi dengan judul Genralisasi Rantai Kompleks dan Rantai homotopi inidisusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa untuk memper-oleh gelar sarjana strata satu. Penulis mendapat banyak pelajaran, pengala-man dan pengetahuan baru selama mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidakdidapatkan dalam bangku perkuliahan. Pelajaran yang paling penting adalahkesabaran dan semangat pantang menyerah sampai tujuan tercapai.

Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do�a dari berba-gai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karenaitu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Dr. Agus Salim sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN SyarifHidayatullah Jakarta.

2. Yanne Irene M.Si. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains danTeknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Suma�inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains danTeknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Gustina El�yanti M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sainsdan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing I.

5. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sainsdan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimb-ing II.

6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN SyarifHidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapitidak mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.

7. Orang tua yang selalu memberikan dorongan dan semangat bagi penulis.

8. Dinda dan Tyas yang banyak membantu penulis dalam memahami materiterkait skripsi ini.

iv

9. Seluruh anggota keluarga Mathousine yang senantiasa menyemangati.

10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telahmemberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.

Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan semogaskripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.

Jakarta, Januari 2015

Penulis

v

DAFTAR ISI

ABSTRACT i

ABSTRAK ii

PERSEMBAHAN iii

KATA PENGANTAR iv

DAFTAR ISI vi

1 PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 LANDASAN TEORI 62.1 Gelanggang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Submodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Homomor�sma Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Modul Kuosien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Rantai Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Relasi Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 METODOLOGI 203.1 Mempelajari Teori Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Mempelajari Artikel Terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Membuktikan Proposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 PEMBAHASAN 22

5 KESIMPULAN 365.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

vi

DAFTAR PUSTAKA 37

vii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun

alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala

isinya diciptakan Allah swt dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan

perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan

yang seimbang dan rapi [1].

Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitung-hitungannya, ada ru-

musnya, atau ada persamaannya. Rumus-rumus yang ada sekarang bukan dicip-

takaan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan

menyimbolkan dalam bahasa matematika [1].

Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan

cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar ab-

strak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan.

Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain

pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang

himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu iden-

tik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen

yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya,

dan juga oleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasan-

pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol

- simbol.

Dalam al-qur�an surat al-fatihah ayat 7 disebutkan:

Artinya: "(yaitu) jalan orang-orang yang telah Engkau bri nikmat kepada mereka;

1

bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat."

dari ayat diatas dapat disimpulkan bahwa kehidupan manusia terdiri dari berba-

gai macam himpunan, yaitu (1) himpunan yang mendapatkan nikmat dari Allah

SWT, (2) himpunan yang dimurkai, dan (3) himpunan yang sesat. Dimana him-

punan tersebut merupakan bagian dari himpunan manusia, karena himpunan

sendiri merupakan kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan jelas.

Al-qur�an surat al-faathir ayat 11:

Artinya: "Dan Allah menciptakan kamu dari tanah kemudian dari air mani, ke-

mudian Dia menjadikan kamu berpasangan (laki-laki dan perempuan). Dan tidak

ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan

dengan sepengetahuan-Nya. Dan sekali-kali tidak dipanjangkan umur seorang

yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah dite-

tapkan) dalam Kitab (Lohmahfuz). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah

adalah mudah".

ayat tersebut menjelaskan tentang struktur aljabar dengan satu operasi biner,

bahwa manusia adalah berpasang-pasangan yaitu laki-laki dengan perempuan

dengan cara menikah. Biasanya dalam matematika disimbolkan (G; �), dengan G

adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia flaki-laki, perempuang

dan � adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Struktur aljabar dengan satu

operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan grup.

Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat

tertentu disebut gelanggang. Telah dijelaskan dalam Al-qur�an surat an-nissa�

ayat 23:

2

Artinya: "Diharamkan kepada kamu berkahwin dengan (perempuan-perempuan

yang berikut): ibu-ibu kamu, dan anak-anak kamu, dan saudara-saudara kamu,

dan saudara-saudara bapa kamu, dan saudara-saudara ibu kamu, dan anak-anak

saudara kamu yang lelaki, dan anak-anak saudara kamu yang perempuan, dan

ibu-ibu kamu yang telah menyusukan kamu, dan saudara-saudara susuan kamu,

dan ibu-ibu isteri kamu, dan anak-anak tiri yang dalam pemeliharaan kamu dari

isteri-isteri yang kamu telah campuri tetapi kalau kamu belum campuri mereka

(isteri kamu) itu (dan kamu telahpun menceraikan mereka), maka tiadalah salah

kamu (berkahwin dengannya). Dan (haram juga kamu berkahwin dengan) bekas

isteri anak-anak kamu sendiri yang berasal dari benih kamu. Dan diharamkan

kamu menghimpunkan dua beradik sekali (untuk menjadi isteri-isteri kamu), ke-

cuali yang telah berlaku pada masa yang lalu. Sesungguhnya Allah adalah Maha

Pengampun, lagi Maha Mengasihani".

bahwa manusia adalah berpasang-pasangan antara laki-laki dan perempuan den-

gan menikah. Akan tetapi cara menikah dengan pasangannya harus secara hukum

agama. Dalam matematika biasanya disimbolkan (R; �; �) dengan R adalah him-

punan tak kosongnya yaitu himpunan manusia flaki - laki , perempuang, � adalah

operasi pertamanya yaitu pernikahan, dan � adalah operasi keduanya yaitu hukum

agamanya.

Sedangkan struktur aljabar yang dikembangkan dengan mempunyai dua him-

3

punan yang tidak kosong dengan dua operasi biner dan memenuhi syarat-syarat

tertentu disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat di kem-

bangkan menjadi beberapa sub pembahasan diantaranya submodul, homomor-

�sma modul , isomor�sme modul, dan lain-lain. Bahasan lebih lanjut dari modul

diantaranya yaitu rantai kompleks dan rantai homotopi.

Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor-

�sma atas R adalah

:::Cp+1@i+1! Cp

@i! Cp�1 ! :::

dengan @n@n+1 = 0: Hal ini menimbulkan pertanyaan apa yang terjadi bila

kita subtitusikan submodul Up�1 dari Cp�1 dari pada submodul trivial f0g

pada de�nisi di atas? Menurut [3], Davvaz dan Parnian mengenalkan konsep

rantai U -kompleks dan jawaban dari pertanyaan di atas. Menurut [2] Davvaz

dan Shobani-Solt mengenalkan generalisasi beberapa gagasan dari aljabar ho-

mologi. Mereka mende�nisikan konsep dari rantai U -kompleks, U -homologi,

rantai (U;U 0)-pemetaan, rantai (U;U 0)-homotopi, dan U -fungtor. Mereka mem-

berikan generalisasi dari lema lambek, lema ular, hubungan homomor�sma, tri-

angle eksak, dan menetapkan dasar baru dari U -homologi aljabar. Pada skripsi ini

akan dibahas mengenai rantai U -kompleks dan rantai (U;U 0)-homotopi berdasarkan

hasil yang didapat pada [2] dengan bahasan dan pembuktian yang lebi rinci.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

1. Bagaimanakah stuktur Rantai U -kompleks ?

2. Bagaimanakah struktur Rantai (U;U 0)-homotopi ?

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bukti proposisi dan kondisi mende-

tail mengenai Rantai U -kompleks dan Rantai (U;U 0)-homotopi.

4

1.4 Manfaat Penelitian

Dari penulisan skripsi ini, penulis berharap pembahasan skripsi ini bisa berman-

faat bagi berbagai kalangan, diantaranaya:

1. Bagi Penulis

Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengem-

bangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai Generalisasi Rantai

Kompleks dan Rantai Homotopi.

2. Bagi Pembaca

Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang Generalisasi Rantai

Kompleks dan Rantai Homotopi.

3. Bagi Instansi

(a) Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah Aljabar Ab-

strak.

(b) Sebagai tambahan bahan kepustakaan

5

BAB 2

LANDASAN TEORI

Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai penunjang

dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang gelang-

gang, modul, submodul, hommomor�sma modul, modul kuosien, rantai kom-

pleks, rantai pemetaan, rantai homotopi, dan relasi ekivalen.

2.1 Gelanggang

Suatu himpunan tak kosong R dikatakan gelanggang jika pada R dide�n-

isikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (�) ditulis (R;+; �) ; dan

memenuhi kondisi berikut:

1. (a+ b) + c = a+ (b+ c) untuk semua a; b; c 2 R.

2. Terdapat 0 2 R sedemikian sehingga a+0 = 0+a = a untuk semua a 2 R.

3. Untuk suatu a 2 R terdapat b 2 R sedemikian sehingga a+ b = b+ a = 0.

4. a+ b = b+ a untuk semua a; b 2 R.

5. (ab)c = a(bc) untuk semua a; b; c 2 R.

6. a(b+ c) = ab+ ac dan (a+ b)c = ac+ bc untuk semua a; b; c 2 R.[6]

Contoh 2.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan gelanggang, pehatikan :

karena sifat tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian maka berlaku

1. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a+ b) + c = d+ c = m = a+ n = a+ (b+ c)

2. 9 0 2 Z sehingga 0 + a = a+ 0 = a

3. 8 a 2 Z;9 a�1 dimana a�1 = �a sehingga a+ a�1 = a�1 + a = 0

4. 8 a; b 2 Z maka berlaku a+ b = b+ a

6

5. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (ab)c = dc = m = an = a(bc)

6. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku a(b+ c) = ab+ ac

7. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a+ b)c = ac+ bc

2.2 Modul

Suatu himpunan tak kosong M dikatakan modul kiri atas gelanggang R ,

ditulis RM , jika pada M dide�nisikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan

perkalian dengan skalar, sehingga memenuhi kondisi berikut:

1. (M;+) suatu grup komutatif.

2. Untuk setiap r; s 2 R dan v; w 2 M berlaku:

(a) r (v + w) = rv + rw

(b) (r + s) v = rv + sv:

(c) (rs) v = r (sv) :

(d) 1v = v:

Untuk modul kanan yang berbeda hanya perkalian dengan skalar dilakukan

dari kanan dan ditulis MR. Modul yang merupakan modul kiri dan modul kanan

cukup disebut dengan modul [8].

Contoh 2.2 Misalkan Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g adalah grup komutatif terhadap op-

erasi +. Maka Z6 adalah suatu modul atas himpunan semua bilangan Z:

Bukti.

1. Jelas (Z6;+) suatu grup komutatif.

2. Diberikan pemetaan R� Z6 �! Z6 yang dide�nisikan oleh

(n;m) 7�! nm = nmmod 6

untuk suatu Ambil sebarang r; s 2 Z dan v; w 2 Z6

7

(a) Akan dibuktikan rv 2 Z6;

Perhatikan

rv = a+ 6b = a; untuk suatu a 2 Z6, b 2 Z

maka terbukti rv 2 Z6:

(b) Akan dibuktikan r (v + w) = rv + rw

Perhatikan

r (v + w) = r(v + w)mod 6 = (rv + rw)mod 6 = rv + rw

Terbukti, r (v + w) = rv + rw

(c) (r + s) v = rv + sv:

Perhatikan

(r + s) v = ((r + s)v)mod 6 = (rv + sv)mod 6 = rv + sv

Terbukti, (r + s) v = rv + sv

(d) (rs) v = r (sv) :

Perhatikan

(rs)v = ((rs)v)mod 6 = (r(sv))mod 6 = r(sv)

Terbukti, (rs) v = r (sv)

(e) 1v = v:

Jelas, 1v = v berdasarkan sifat identitas perkalian di Z6:

Berdasarkan 1 dan 2, maka terbukti himpunan Z6 membentuk modul atas bilan-

gan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.

Teorema 2.3 Jika M modul atas R, maka M + a =M + b, a� b 2M . [7]

8

Bukti. Misalkan M modul atas R. Diketahui M + a = fm+ a : m 2Mg dan

M + b = fm+ b : m 2Mg.

1. )MisalkanM+a =M+b yaitu untuk sebarang x 2M+amaka x 2M+b;

akan dibuktikan a� b 2M

Perhatikan

Karena (M;+) grup maka terdapat 0 2M sehingga a = 0 + a 2M + a =

M + b.

Sehingga a 2 M + b; maka a = b + m untuk suatu m 2 M . Akibatnya

a� b = m 2M:

Jadi a� b 2M:

2. ( Misalkan a� b 2M akan dibuktikan M + a =M + b

a� b 2M maka a� b = m sehingga a = m+ b dan b = a�m untuk suatu

m 2M:

Perhatikan

(a) Akan dibuktikan M + a � M + b; yaitu untuk sebarang x 2 M + a

maka x 2M + b:

a � b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a � b,

maka a = m+ b sehingga a 2M + b: Ambil sebarang x 2M + a maka

x = m1 + a untuk suatu m1 2M

Perhatikan

x = m1+a = m1+(m+b) = (m1+m)+b = m2+b untuk suatu m2 2M:

Jadi x 2M + b; terbukti, M + a �M + b:

(b) Akan dibuktikan M + b � M + a; yaitu untuk sebarang x 2 M + b

maka x 2M + a:

9

a � b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a � b,

maka b = a�m: Ambil sebarang x 2 M + b maka x = m3 + b untuk

suatu m3 2M

Perhatikan

x = m3+b = m3+(a�m) = (m3�m)+a = m4+a untuk suatu m4 2M:

Jadi x 2M + a; terbukti M + b �M + a:

Jadi berdasarkan 2a dan 2b, M + a =M + b: Maka terbukti Jika M modul atas

R, maka M + a =M + b, a� b 2M .

2.2.1 Submodul

De�nisi 2.4 (Submodul) MisalkanM adalah R-modul, maka submodul N dari

M , dinotasikan dengan N �M , adalah subgrup N dariM yang tertutup terhadap

perkalian skalar : rn 2 N dimana n 2 N dan r 2 R [7].

Contoh 2.5 (Submodul) Misal M adalah modul dan r 2 R, dimana R adalah

gelanggang komutatif, maka

rM = frm : m 2Mg

adalah submodul dari M .

2.2.2 Homomor�sma Modul

De�nisi 2.6 (Homomor�sma Modul) MisalkanM dan N merupakan R-modul.

Suatu pemetaan f :M ! N dikatakan homomor�sma R-modul kanan jika

f (xr + ys) = f (x) r + f (y) s untuk setiap x; y 2M dan r; s 2 R

Dan f dikatakan homomor�sma R-modul kiri jika perkalian skalar dilakukan di

sebelah kiri. Jika f merupakan homomor�sma modul kanan sekaligus homomor-

10

�sma modul kiri maka f disebut homomor�sma R-modul: Pernyataan ini juga

berlaku :

1. Endomor�sma R-modul adalah homomor�sma R-modul dari M ke M:

2. Monomor�sma R-modul adalah homomor�sma R-modul yang injektif.

3. Epimor�sma R-modul adalah homomor�sma R-modul yang surjektif.

4. Isomor�sma R-modul adalah homomor�sma R-modul yang bijektif [8].

Teorema 2.7 Jika pemetaan f : M ! N adalah homomor�sma modul atas R,

maka

1. f(0M) = 0N :

2. f(�x) = �[f(x)] 8 x 2M:

3. ker(f) = fx 2M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:

4. Im(f) = ff(x) : x 2Mg merupakan submodul dari N:

5. f injektif jika dan hanya jika ker(f) = f0Mg.

Bukti. Misalkan M dan N adalah modul atas R dan pemetaan f : M ! N

adalah homomor�sma modul atas R:

1. Akan dibuktikan f(0M) = 0N :

Perhatikan

f(0M) = f(0M + 0M)

= f(0M) + f(0M) 2 N

Jadi f(0M) 2 N . Karena N modul, maka terdapat � [f(0M)] 2 N

sedemikian sehingga 0N = f(0M) + (� [f(0M)]) = � [f(0M)] + f(0M)

Sehingga,

11

f(0M) = f(0M) + f(0M)

� [f(0M)] + f(0M) = � [f(0M)] + f(0M) + f(0M))

0N = (� [f(0M)] + f(0M)) + f(0M)

0N = 0N + f(0M)

0N = f(0M)

Jadi f(0M) = 0N :

2. Ambil sebarang x 2M , akan dibuktikan f(�x) = �[f(x)].

Karena M modul maka �x 2M

Perhatikan

0N = f(0M)

= f(x� x)

= f(x)� f(x)

�[f(x)] + 0N = �[f(x)] + (f(x)� f(x))

�[f(x)] = (�[f(x)] + f(x))� f(x)

�[f(x)] = 0N � f(x)

�[f(x)] = �f(x)

Jadi f(�x) = �[f(x)] 8 x 2M:

3. Akan dibuktikan ker(f) = fx 2M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari

M:

(a) Berdasarkan 1 jelas ker(f) 6= ;

(b) Jelas ker(f) �M

(c) Ambil sebarang x; y 2 ker(f) dan r 2 R

x 2 ker(f) maka x 2 M dan f(x) = 0N ; y 2 ker(f) maka y 2 M dan

f(y) = 0N

i. Akan dibuktikan x+y 2 ker(f); yaitu x+y 2M dan f(x+y) = 0N

Karena x; y 2M dan M modul maka x+ y 2M , dan

f(x+ y) = f(x) + f(y) = 0N + 0N = 0N

12

Maka x+ y 2M dan f(x+ y) = 0N ; maka x+ y 2 ker(f):

ii. Akan dibuktikan xr 2 ker(f)

Perhatikan

f(rx) = rf(x) = r0N = 0N

Karena xr 2M , dan f(rx) = 0N maka xr 2 ker(f):

Jadi ker(f) = fx 2M : f(x) = 0Ng merupakan submodul dari M:

4. Akan dibuktikan Im(f) = ff(x) : x 2Mg merupakan submodul dari N:

(a) Berdasarkan 1 jelas Im(f) 6= ;:

(b) Jelas Im(f) � N

(c) Ambil sebarang r 2 R; dan x; y 2 Im(f); x 2 Im(f) maka x = f(a)

untuk suatu a 2M dan y 2 Im(f) maka y = f(b) untuk suatu b 2M:

i. Akan dibuktikan x + y 2 Im(f), yaitu x + y = f(c) untuk suatu

c 2M

Perhatikan

x+ y = f(a) + f(b) = f(a+ b) = f(c) untuk suatu c 2M

) x+ y = f(c) untuk suatu c 2MJadi x+ y 2 Im(f)

ii. Akan dibuktikan rx 2 Im(f)

Perhatikan

xr = rf(a) = f(ra) = f(b) untuk suatu b 2M

) xr = f(b) untuk suatu b 2MJadi xr 2 Im(f)

Jadi Im(f) = ff(x) : x 2Mg merupakan submodul dari N:

13

5. Akan dibuktikan f injektif jika dan hanya jika ker(f) = f0Mg.

(=))Misalkan f injektif, akan dibuktikan ker(f) = f0Mg, yaitu ker(f) �

f0Mg dan f0Mg � ker(f)

(a) i. Akan dibuktikan ker(f) � f0Mg

Ambil sebarang x 2 ker(f) akan dibuktikan x 2 f0Mg, yaitu

x = 0M

x 2 ker(f) maka x 2M dan f(x) = 0N

Karena f(x) = 0N dan f injektif, maka x = 0M .

Jadi terbukti ker(f) � f0Mg

ii. Akan dibuktikan f0Mg � ker(f), yaitu 0M 2 ker(f)

Berdasarkan (1); f(0M) = 0N , maka 0M 2 ker(f)

Jadi f0Mg � ker(f)

Maka terbukti ker(f) = f0Mg

((=)Misalkan ker(f) = f0Mg, akan dibuktikan f injektif

(a) Ambil sebarang x; y 2M dengan f(x) = f(y) akan dibuktikan x = y

Perhatikan

f(x) = f(y)

f(x)� [f(x)] = f(y)� [f(x)]

f(x) + f(�x) = f(y) + f(�x)

f(x� x) = f(y � x)

f(0M) = f(y � x)

0N = f(y � x)Jadi y � x 2 ker(f). Karena ker(f) = f0Mg, maka

y � x = 0M

(y � x) + x = 0M + x

y + (x�1 + x) = x

y + eM = x

y = x

) x = y

14

Maka terbukti f injektif

Jadi, terbukti f injektif jika dan hanya jika ker(f) = f0Mg.

2.2.3 Modul Kuosien

De�nisi 2.8 Misalkan S adalah submodul dari R-modul M . Modul kosien dari

M oleh S adalah M=S dimana

M=S = v + S = fv + s : s 2 Sg

yang memenuhi operasi

(u+ S) + (v + S) = (u+ v) + S dan r(u+ S) = ru+ S

untuk setiap u; v 2M dan r 2 R [8].

2.3 Rantai Kompleks

Rantai kompleks merupakan rangkaian modul dan homomor�sma modul,

dimana komposisi homomor�sma yang berdekatan adalah nol. Berikut adalah

de�nisi formalnya berdasarkan [4].

De�nisi 2.9 (Rantai Kompleks) Rantai kompleks (C; @) dari modul atas R

adalah barisanfCngn2Z dari modul atas R, dilengkapi dengan homomor�sma modul

atas R; @ = @n : Cn ! Cn�1

� � � ! Cn+1 �!@n+1

Cn �!@nCn�1 �!

@n�1Cn�2 �! � � �

sehingga setiap komposisi @n@n+1 : Cn+1 ! Cn�1 adalah nol. Pemetaan @n disebut

di¤erensial dari (C; @). ker(@n) adalah submodul dari n � cycles dari (C; @),

dinotasikan dengan Zn = Zn (C) : Pemetaan dari @n+1 : Cn+1 ! Cn adalah

15

submodul dari n � boundaries dari (C; @); dinotasikan dengan Bn = Bn (C�) :

Karena @n@n+1 = 0; maka

0 � Bn � Zn � Cn untuk semua n:

Homologi modul ke�n dari C adalah subkosien dari Cn; yaitu Hn (C) = Zn=Bn

[4].

Contoh 2.10 Himpunan Cn = Z8 untuk n � 0 dan Cn = 0 untuk n < 0; untuk

n > 0 misalkan @n memetakan x(mod8) ke 4x(mod8). C adalah rantai kompleks

dari Z8-modul [4].

Bukti.

� � � ! Z8 �!@n+1

Z8 �!@nZ8 �!

@n�1Z8 �! � � �

@p : Z8 �! Z8x 7�! 4x.

Akan dibuktikan @n : x(mod 8) �! 4x(mod 8) adalah homomor�sma modul.

1. Akan dibuktikan @n(a+ b) = @n(a) + @n(b)

Ambil sebarang a; b 2 x(mod 8); perhatikan

@n(a+ b) = 4(a+ b) = 4a+ 4b = @n(a) + @n(b)

Terbukti @n(a+ b) = @n(a) + @n(b):

2. Akan dibuktikan @n(ka) = k@n(a); untuk setiap k 2 Z

Ambil sebarang k 2 Z; perhatikan

@n(ka) = 4ka = k4a = k@n(a)

terbukti @n(ka) = k@n(a):

16

Maka terbukti @n homomor�sma modul.

Akan dibuktikan (Cn;Z8) adalah rantai kompleks yaitu @n@n+1(x) = 0, untuk

setiap x 2 Z8:

Ambil sebarang x 2 Z8, perhatikan

@n@n+1(x) = @n(4x) = 16x = 0 2 Z8

Jadi C merupakan rantai kompleks atas Z8-modul.

Suatu barisan fungsi yang mengaitkan antara rantai kompleks disebut rantai

pemetaan, de�nisi lengkapnya sebagai berikut.

De�nisi 2.11 (Rantai Pemetaan) Misalkan C = (Cp; @p) dan C 0 = (C 0p; @0p)

adalah rantai kompleks. Sebuah rantai pemetaan

f : C �! C0

adalah barisan f = (fp : C �! C0) dengan homomor�sma @0f = f@0[10].

Terdapat barisan D = fDpg dimana Dp : Cp �! C 0p adalah homomor�sma

modul atas R merupakan rantai homotopi, sebagaimana dijelaskan dalam de�nisi

berikut.

De�nisi 2.12 (Rantai Homotopi) Misalkan C = (Cp; @p) dan C 0 = (C 0p; @0p)

adalah rantai kompleks. Dua rantai pemetaan F;G : C �! C 0 adalah rantai

homotopik jika F �G adalah homotopic nol, yaitu,

@0p+1Dp +Dp�1@p = Fp �Gp

Pemetaan fDpg disebut rantai homotopi dari F ke G. Selanjutnya, dikatakan

bahwa F : C �! C0 adalah rantai homotopi ekivalensi jika terdapat pemetaan G :

C 0 �! C sehingga GF dan FG adalah rantai homotopic ke pemetaan identitas

masing-masing C dan C 0 [4].

17

2.4 Relasi Ekivalen

Teorema 2.13 (Relasi Ekivalen) Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi #

pada S dikatakan bersifat:

1. Re�eksif, apabila a#a untuk setiap a 2 S.

2. Simetris, apabila a#b mengakibatkan b#a untuk setiap a; b 2 S.

3. Transitif, apabila a#b dan b#c mengakibatkan a#c untuk setiap a; b; c 2 S.

Suatu relasi # pada S dikatakan relasi ekivalen apabila memenuhi sifat re�eksif,

simetris, dan transitif [5].

Contoh 2.14 Misalkan Q = fpq: p; q 2 Z; q 6= 0g. Dide�nisikan relasi # pada Q

dengan aturan mn# rsjika dan hanya jika ms = nr. Relasi # pada Q merupakan

relasi ekivalen.

Bukti.

1. Akan dibuktikan "#" re�ektif yaitu ambil sebarang mn2 Q akan dibuktikan

mn#m

n

Jelas bahwa mn = nm.

) mn#m

n, sehingga terbukti "#" bersifat re�eksif.

2. Akan dibuktikan "#" simetris yaitu ambil sebarang mn; rs2 Q dengan m

n# rs;

akan dibuktikan rs#m

n

Karena mn# rsmaka ms = nr.

Jelas bahwa ms = nr , rn = sm.

) rs#m

nsehingga terbukti "#" bersifat simetris.

3. Akan dibuktikan "#" transitif yaitu ambil sebarang mn; rs; tu2 Q dengan

mn# rsdan r

s# tu; akan dibuktikan m

n# tu

18

Karena mn# rsdan r

s# tumaka ms = nr dan ru = st sehingga,

ms = nr

(ms)(ru) = (nr)(st)

(mu)(sr) = (nt)(sr)

mu = nt

) mn# tusehingga terbukti "#" bersifat transitif.

Jadi, terbukti bahwa relasi # pada Q merupakan relasi ekivalen.

19

BAB 3

METODOLOGI

Secara umum metodologi penelitian yang akan digunakan adalah studi liter-

atur dengan membaca buku dan paper kemudian melakukan ekplorasi dan adap-

tasi dari hasil-hasil yang sudah. Dalam penelitian ini, hasil-hasil dan langkah-

langkah yang telah dilakukan untuk memperoleh hasil di [2] akan diteliti. Secara

detail berikut adalah metodologi yang dilakukan:

3.1 Mempelajari Teori Dasar

Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul

atas gelanggang, homomor�sma modul, rantai kompleks, rantai pemetaan rantai

homotopi, dan relasi ekivalen. Materi hingga gelanggang sudah dipelajari pada

kelas aljabar abstrak, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi

dengan dosen pembimbing.

Penulis mempelajari teori-teori tersebut dengan cara membaca, membuk-

tikan teorema, proposisi dan lemma serta mencari contoh yang sesuai dengan

de�nisi. Setelah memahami teori dasar, penulis akan mengkaji mengenai de�nisi

rantai U -kompleks dan rantai (U;U 0)-homotopi beserta membuktikan proposisi

yang terkait berdasarkan [2].

3.2 Mempelajari Artikel Terkait

Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait.

Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal Davvaz dan Shabani-Solt [2] kemu-

dian mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka un-

tuk meningkatkan pemahaman tentang rantai U -kompleks dan rantai (U;U 0)-

homotopi.

20

3.3 Membuktikan Proposisi

Setelah mempelajari teori dasar, artikel terkait, dan memahami bukti lemma

pada paper utama, penulis menganalisa bukti dengan lebih spesi�k.

21

BAB 4

PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai generalisasi rantai kompleks dan rantai

homotopi berdasarkan hasil di [2]. Menjelaskan setiap pernyataan dan memper-

inci pembuktian-pembuktiannya.

De�nisi 4.1 (Rantai U-kompleks, [2 De�nisi 2.1)]Diberikan dua barisan fCpg,

fUpg, dengan p 2 Z, modul atas R, dimana setiap Cp memuat Up, dan sebuah

koleksi modul homomor�sma R f@p : Cp �! Cp�1g. Rantai fCp; Up; @pg disebut

rantai U-kompleks jika memenuhi kondisi berikut:

1. @p@p+1(Cp+1) � Up�1,

2. Im @p � Up�1.

Misalkan C = fCpg, @ = f@pg, berikut adalah rantai U -kompleks :

(C;U; @) : � � � �! Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 �! � � � :

Akibat 4.2 Setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks. Dimana 0 adalah

barisan nol submodul.

Bukti. Misalkan

(C; @) : � � � �! Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 �! � � � :

rantai kompleks, maka @p@p+1 = 0

Akan dibuktikan (C; @) adalah 0-kompleks yaitu : @p@p+1(Cp+1) � 0p�1, dan

Im @p � 0p�1.

1. Akan dibuktikan @p@p+1(Cp+1) � 0p�1

22

Ambil sebarang x 2 Cp+1, karena (C; @) rantai kompleks maka

@p@p+1 (x) = 0Cp�1 2 0Cp�1

terbukti, @p@p+1(Cp+1) � 0p�1:

2. Akan dibuktikan Im @p � Up�1 yaitu 0Cp�1 2 Im @p:

Karena @p adalah homomor�sma modul maka berdasarkan Teorema 2.7

Im @p submodul dari Cp�1; maka 0Cp�1 2 Im @p: Terbukti 0Cp�1 2 Im @p:

Jadi terbukti setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks.

Akibat 4.3 Setiap rantai fCp; Up; @pg dengan @p@p+1(Cp+1) = Up�1 adalah rantai

U-kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) � Up�1, dan Im @p � Up�1

Bukti.

1. Akan dibuktikan @p@p+1(Cp+1) � Up�1

Karena @p@p+1(Cp+1) = Up�1, maka jelas @p@p+1(Cp+1) � Up�1

2. Akan dibuktikan Im @p � Up�1

Ambil sebarang x 2 Up�1 akan dibuktikan x 2 Im @p:Karena @p@p+1(Cp+1) =

Up�1 maka terdapat a 2 Cp+1 sehingga

@p@p+1(a) = x

@p(b) = x; untuk suatu b 2 Im @p+1 � Cp

maka x 2 Im @p; terbukti Im @p � Up�1:

Jadi terbukti setiap rantai fCp; Up; @pg dengan @p@p+1(Cp+1) = Up�1 adalah rantai

U -kompleks.

Akibat 4.4 Jika (C;U; @) adalah rantai U-kompleks, maka Im @p+1 � @�1p (Up�1).

Bukti. Misalkan (C;U; @) rantai U -kompleks, yaitu @p@p+1(Cp+1) � Up�1, dan

Im @p � Up�1:Akan dibuktikan Im @p+1 � @�1(Up�1):Ambil sebarang x 2 Im @p+1 =

23

@p+1(Cp+1) yaitu x = @p+1 (ap+1) untuk suatu ap+1 2 Cp+1: Akan dibuktikan

x 2 @�1p (Up�1): Karena @p@p+1(Cp+1) � Up�1 maka

@p@p+1(ap+1) 2 Up�1

@p(x) 2 Up�1

x 2 @�1p (Up�1)

Jadi terbukti Im @p+1 � @�1(Up�1):

De�nisi 4.5 Misalkan Zp(C;U; @) = @�1p (Up�1) dan Bp(C;U; @) = Im @p+1, modul

U-homologi ke-p dari C adalah Hp(C;U; @), dimana :

Hp(C;U; @) =Zp(C;U; @)

Bp(C;U; @), p 2 Z

De�nisi 4.6 (Rantai (U;U 0)-pemetaan, [2 De�nisi 2.2)]Misalkan (C;U; @) rantai

U-kompleks dan (C 0; U 0; @0) rantai U 0-kompleks. Barisan F = fFp : Cp �!

C 0pg disebut rantai (U;U 0)-pemetaan jika diagram berikut komutatif. Dengan

perkataan lain, Fp(Up) � U 0p dan Fp�1@p = @0pFp:

(C;U; @) � � � Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 �! � � �

#Fp+1 #Fp #Fp�1(C 0; U 0; @0) � � � C 0p+1

@0p+1�! C 0p@0p�! C 0p�1 �! � � �

Proposisi 4.7 ([2 , Proposisi 2.3)]Misalkan (C;U; @) rantai U-kompleks sedemikian

sehingga @p@p+1(Cp+1) = Up�1 dan (C 0; U 0; @0) rantai U 0-kompleks. Jika F = fFpg

adalah rantai pemetaan, maka F juga merupakan rantai (U;U 0)-pemetaan.

Bukti. Misalkan (C;U; @) dan (C 0; U 0; @0) rantai U -kompleks rantai U 0-kompleks,

misalkan pula @p@p+1(Cp+1) = Up�1, dan F = fFpg adalah rantai pemetaan.

Akan dibuktikan F juga merupakan rantai (U;U 0)-pemetaan yaitu Fp(Up) � U 0pdan Fp�1@p = @0pFp:

1. Akan dibuktikan Fp(Up) � U 0p

24

Ambil sebarang u 2 Up, maka x = Fp(u) 2 Fp(Up). Karena u 2 Up dan

@p+1@p+2(Cp+2) � Up maka terdapat c 2 Cp+2 sehingga u = @p+1@p+2(c).

Akan dibuktikan bahwa x 2 U 0p, yaitu x = @0p+1@0p+2(Fp+2(c)); perhatikan

x = Fp(u) = Fp(@p+1@p+2(c)) = (Fp@p+1)(@p+2(c)) = (@0p+1Fp+1)(@p+2(c))

= @0p+1(Fp+1@p+2(c)) = @0p+1(@

0p+2Fp+2(c)) = @

0p+1@

0p+2(Fp+2(c)):

Karena Fp+2(c) 2 C 0p+2 dan (C0; U 0; @0) adalah rantai U 0-kompleks maka

x 2 U 0p: Jadi terbukti Fp(Up) � U 0p:

2. Akan dibuktikan Fp�1@p = @0pFp:

Jelas Fp�1@p = @0pFp karena F = fFpg adalah rantai pemetaan.

Maka terbukti F merupakan rantai (U;U 0)-pemetaan.

Lema 4.8 ([2 , Lemma 2.4)]Misalkan fFpg rantai (U;U 0)-pemetaan, Zp dan Bpinvarian, yaitu:

1. Fp(Zp(C;U; @)) � Zp(C 0; U 0; @0),

2. Fp(Bp(C;U; @)) � Bp(C 0; U 0; @0).

Bukti. Misalkan fFpg rantai (U;U 0)-pemetaan yaitu Fp(Up) � U 0p dan Fp�1@p =

@0pFp:

1. Akan dibuktikan Fp(Zp(C;U; @)) � Zp(C 0; U 0; @0):

Ambil sebarang x 2 Zp(C;U; @) akan dibuktikan Fp(x) 2 Zp(C0; U 0; @0).

Perhatikan

x 2 Zp(C;U; @) = @�1p (Up�1)

@p(x) 2 Up�1

Fp�1(@p(x)) 2 U 0p�1

@0pFp(x) 2 U 0p�1

Fp(x) 2 @0p(U0�1p�1) = Zp(C

0; U 0; @0)

25

) Fp(x) 2 Zp(C 0; U 0; @0):

Maka terbukti Fp(Zp(C;U; @)) � Zp(C 0; U 0; @0):

2. Akan dibuktikan Fp(Bp(C;U; @)) � Bp(C 0; U 0; @0).

Ambil sebarang x 2 Bp(C;U; @) akan dibuktikan Fp(x) 2 Bp(C0; U 0; @0):

Karena x 2 Bp(C;U; @) = Im @p+1 maka terdapat y 2 Cp+1 sedemikian

sehingga x = @p+1(y). Perhatikan

Fp(x) = Fp(@p+1(y)) = (Fp@p+1)(y) = (@0p+1Fp+1)(y)

= @0p+1(Fp+1(y)) 2 Im @0p+1

) Fp(x) 2 Bp(C 0; U 0; @0):

Maka terbukti Fp(Bp(C;U; @)) � Bp(C 0; U 0; @0):

Teorema 4.9 ([2 , Teorema 2.5)]Misalkan (C;U; @) rantai U-kompleks dan (C 0; U 0; @0)

adalah rantai U 0-kompleks. Jika F = fFpg adalah rantai (U;U 0)-pemetaan maka

F menginduksi homomor�sma modul H(F ) = fHp(F )g = fF �p g sebagai berikut :

F �p : Hp(C;U; @) �! Hp(C0; U 0; @0)

x+Bp(C;U; @) �! Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0).

Bukti. Misalkan (C;U; @) rantai U -kompleks yaitu, @p@p+1(Cp+1) � Up�1,dan

Im @p � Up�1. Dan (C 0; U 0; @0) adalah rantai U 0-kompleks yaitu, @0p@0p+1(C 0p+1) �

U 0p�1,dan Im @0p � U 0p�1. Misalkan pula F = fFpg adalah rantai (U;U 0)-pemetaan

yaitu, Fp(Up) � U 0p dan Fp�1@p = @0pFp. Untuk membuktikan Teorema diatas

akan terlebih dahulu diperiksa apakan F �p merupakan suatu pemetaan, setelah

itu akan dibuktikan apakah F �p menginduksi homomor�sma modul.

1. Akan dibuktikan F �p pemetaan

(a) Akan dibuktikan untuk setiap a 2 Hp(C;U; @), F �p (a) 2 Hp(C 0; U 0; @0):

26

Ambil sebarang a 2 Hp(C;U; @) yaitu a = x + Bp(C;U; @) untuk

suatu x 2 Zp(C;U; @); maka untuk membuktikan F �p (a) = Fp(x) +

Bp(C0; U 0; @0) 2 Hp(C 0; U 0; @0) cukup dibuktikan bahwa Fp(x) 2 Zp(C 0; U 0; @0).

Karena x 2 Zp(C;U; @) dan Fp(Up) � U 0p maka jelas Fp(x) 2 Zp(C 0; U 0; @0)

sehingga terbukti F �p (a) = Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0) 2 Hp(C 0; U 0; @0):

(b) Akan dibuktikan untuk setiap a; b 2 Hp(C;U; @) dengan a = b, F �p (a) =

F �p (b):

Ambil sebarang a; b 2 Hp(C;U; @) yaitu a = x + Bp(C;U; @) dan b =

y +Bp(C;U; @) untuk suatu x; y 2 Zp(C;U; @). Perhatikan

a = b

x+Bp(C;U; @) = y +Bp(C;U; @)

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat x� y 2 Bp(C;U; @) = Im @p+1maka x� y = @p+1(c) untuk suatu c 2 Cp+1 sehingga

Fp(x� y) = Fp@p+1(c) = @0p+1Fp+1(c) 2 Bp(C 0; U 0; @0)

maka

Fp(x� y) = Fp(x)� Fp(y) 2 Bp(C 0; U 0; @0)

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat Fp(x)+Bp(C 0; U 0; @0) = Fp(y)+

Bp(C0; U 0; @0) sehingga F �p (b) = F

�p (b):

Berdasarkan 1a dan 1b maka terbukti F �p adalah pemetaan.

2. Akan dibuktikan F �p homomor�sma modul.

Ambil sebarang a; b 2 Hp(C;U; @), yaitu a = x + Bp(C;U; @) dan b =

y +Bp(C;U; @) untuk suatu x; y 2 Zp(C;U; @).

27

(a) Akan dibuktikan F �p (a+ b) = F�p (a) + F

�p (b). Perhatikan

F �p (a+ b) = F �p ((x+Bp(C;U; @)) + (y +Bp(C;U; @)))

= F �p ((x+ y) +Bp(C;U; @))

= Fp(x+ y) +Bp(C0; U 0; @0)

= (Fp(x) + Fp(y)) +Bp(C0; U 0; @0)

= (Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0)) + (Fp(y) +Bp(C

0; U 0; @0))

= F �p (x+Bp(C;U; @)) + F�p (y +Bp(C;U; @))

= F �p (a) + F�p (b)

(b) Ambil sebarang k 2 R akan dibuktikan F �p (ka) = kF �p (a). Perhatikan

F �p (ka) = F �p (k(x+Bp(C;U; @)))

= F �p ((kx+Bp(C;U; @))

= Fp(kx) +Bp(C0; U 0; @0)

= kFp(x) +Bp(C0; U 0; @0)

= k(Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0))

= kF �p (x+Bp(C;U; @))

= kF �p (a)

Maka berdasarkan 1a dan 1b, F �p adalah homomor�sma modul.

Jadi terbukti F menginduksi homomor�sma R-modul H(F ) = fHp(F )g = fF �p g

F �p : Hp(C;U; @) �! Hp(C0; U 0; @0)

x+Bp(C;U; @) 7�! Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0):

Lema 4.10 Misal G : (C 0; U 0; @0) �! (C 00; U 00; @00) sebuah rantai (U 0; U 00)-pemetaan,

maka diperoleh (GF )�p = G�pF

�p , dengan I

� = I, dimana I adalah pemetaan iden-

28

titas.� � � Cp+1

@p+1�! Cp@p�! Cp�1 � � �

Fp+1 # Fp # Fp�1 #

� � � C 0p+1@0p+1�! C 0p

@0p�! C 0p�1 � � �

Gp+1 # Gp # Gp�1 #

� � � C 00p+1@00p+1�! C 00p

@00p�! C 00p�1 � � �

Bukti. Misalkan

F �p : Hp(C;U; @) �! Hp(C0; U 0; @0)

x+Bp(C;U; @) 7�! Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0)

dan

G�p : Hp(C0; U 0; @0) �! Hp(C

00; U 00; @00)

y +Bp(C0; U 0; @0) 7�! Gp(y) +Bp(C

00; U 00; @00)

Akan dibuktikan (GF )�p = G�pF

�p . Ambil sebarang x + Bp(C;U; @) 2 Hp(C;U; @)

akan dibuktikan (GF )�p(x+Bp(C;U; @)) = G�pF

�p (x+Bp(C;U; @)), perhatikan

G�pF�p (x+Bp(C;U; @)) = G�p(Fp(x) +Bp(C

0; U 0; @0))

= GpFp(x) +Bp(C00; U 00; @00))

= (GF )�p(x+Bp(C;U; @))

Jadi terbukti (GF )�p = G�pF

�p :

De�nisi 4.11 Misal (C;U; @) rantai U-kompleks dan (C 0; U 0; @0) rantai U 0-kompleks.

Sebuah rantai (U;U 0)-pemetaan F = fFpg disebut isomor�sma jika Fp adalah

isomor�sma modul atas R dan F�1 = fF�1p g adalah rantai (U;U 0)-pemetaan.

Jika terdapat sebuah isomor�sma dari (C;U; @) atas (C 0; U 0; @0), maka (C;U; @)

dikatakan isomor�k ke (C 0; U 0; @0).

Proposisi 4.12 ([2 , Proposisi 2.6)]Jika dua rantai U-kompleks dan rantai U 0-

kompleks adalah isomor�k maka Up ' U 0p untuk semua p.

29

Bukti. Akan dibuktikan Up ' U 0p untuk semua p, untuk membuktikannya

akan dibuktikan bahwa terdapat pemetaan satu-satu dan pada, dari Up ke U 0p.

Karena rantai U -kompleks dan rantai U 0-kompleks adalah isomor�k yaitu ter-

dapat F = fFpg sehingga Fp : Cp �! C 0p merupakan isomor�sma, sehingga

diketahui Fp monomor�sma, F�1 = fF�1p g adalah rantai (U 0; U)-pemetaan maka

cukup dibuktikan Fp(Up) = U 0p: Karena F = fFpg rantai (U;U 0)-pemetaan maka

jelas Fp(Up) � U 0p dan karena F�1 = fF�1p g juga merupakan rantai (U;U 0)-

pemetaan maka F�1p (U 0p) � Up sehingga Fp(Up) � U 0p; maka Fp(Up) = U 0p: Jadi

terbukti jika dua rantai U -kompleks dan rantai U 0-kompleks adalah isomor�k

maka Up ' U 0p untuk semua p.

De�nisi 4.13 (Rantai (U;U 0)-homotopi, [2 De�nisi 2.7)]Misalkan (C;U; @) rantai

U-kompleks dan (C 0; U 0; @0) rantai U 0-kompleks F;G : C �! C 0 dua rantai

(U;U 0)-pemetaan. Maka F dan G adalah rantai (U;U 0)-homotopik, dinotasikan

dengan F ' G, jika terdapat barisan D = fDpg, dimana Dp : Cp �! C 0p+1 adalah

sebuah homomor�sma modul atas R, sedemikian sehingga untuk semua p 2 Z,

berlaku :

1. @0p+1Dp +Dp�1@p = Fp �Gp,

2. Dp(Up) � U 0p+1.

Barisan D = fDpg disebut rantai (U;U 0)-homotopi.

� � � Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 � � �

Fp+1 ##Gp+1 Dp . Fp ##Gp Dp . Fp�1 ##Gp�1

� � � C 0p+1@0p+1�! C 0p

@0p�! C 0p�1 � � �

Lema 4.14 ([2 , Lemma 2.8)]Relasi (U;U 0)-homotopi " ' " adalah relasi ekuiv-

alen.

Bukti. Akan dibuktikan " ' " merupakan relasi ekuivalen, yaitu bersifat re�ek-

tif, simetris, dan transitif.

30

1. Akan dibuktikan " ' " bersifat re�ektif, yaitu akan dibuktikan F ' F ,

yaitu @0p+1Dp + Dp�1@p = Fp � Fp dan Dp(Up) � U 0p+1. Misalkan Dp = 0

untuk setiap p maka @0p+1Dp + Dp�1@p = Fp � Fp = 0 dan jelas Dp(Up) =

0Cp�1 � U 0p+1 maka F ' F: Terbukti bahwa " ' " bersifat re�ektif.

2. Akan dibuktikan " ' " bersifat simetris, yaitu jika F ' G, maka G ' F:

Misalkan F ' G maka terdapat barisan D = fDp : Cp �! C 0p+1g sehingga

@0p+1Dp+Dp�1@p = Fp�Gp dan Dp(Up) � U 0p+1:Misalkan D0 = fD0pg rantai

(U;U 0)-homotopi dengan D0p = �Dp, sehingga

@0p+1Dp +Dp�1@p = Fp �Gp

�(@0p+1Dp +Dp�1@p) = �(Fp �Gp)

@0p+1(�Dp) + (�Dp�1)@p = Gp � Fp

@0p+1D0p +D

0p�1@p = Gp � Fp

Karena Dp(Up) � U 0p+1 dan U 0p+1 tertutup pada operasi penjumlahan maka

�Dp(Up) = D0p(Up) � U 0p+1: Jadi G ' F; maka terbukti " ' " bersifat

simetris.

3. Akan dibuktikan " ' " bersifat transitif, yaitu jika F ' G dan G ' H,

akan dibuktikan F ' H:

Misalkan F ' G dan G ' H, maka terdapat barisan D = fDp : Cp �!

C 0p+1g dan D0 = fD0p : Cp �! C 0p+1g

@0p+1Dp +Dp�1@p = Fp �Gp , @0p+1D0p +D

0p�1@p = Gp �Hp

dan Dp(Up) � U 0p+1, D0p(Up) � U 0p+1. Perhatikan

Fp �Gp +Gp �Hp = @0p+1Dp +Dp�1@p + @0p+1D

0p +D

0p�1@p

= @0p+1(Dp +D0p) + (Dp�1 +D

0p�1)@p

31

misalkan D00 = fD00pg rantai (U;U 0)-homotopi dengan D00

p = Dp +D0p, maka

Fp �Gp +Gp �Hp = @0p+1(Dp +D0p) + (Dp�1 +D

0p�1)@p

= @0p+1D00p +D

00p�1@p

= Fp �Hp

Karena Dp(Up) � U 0p+1; D0p(Up) � U 0p+1; D00

p = Dp +D0p; dan U

0p+1 tertutup

pada operasi penjumlahan maka D00p (Up) � U 0p+1. Maka F ' H; dan " ' "

bersifat transitif.

Jadi terbukti bahwa relasi (U;U 0)-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.

Lema 4.15 ([2 , Lemma 2.9)]Misal (C;U; @), (C 0; U 0; @0), dan (C 00; U 00; @00) masing-

masing merupakan rantai U-kompleks, rantai U 0-kompleks, dan rantai U 00-kompleks.

Jika F ' G : C �! C 0 dan F 0 ' G0 : C 0 �! C 00, maka

FF 0 ' G0G : C �! C 00

� � � Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 � � �

Fp+1 ##Gp+1 Fp ##Gp Fp�1 ##Gp�1

� � � C 0p+1@0p+1�! C 0p

@0p�! C 0p�1 � � �

F 0p+1 ##G0p+1 F 0p ##G0p F 0p�1 ##G0p�1� � � C 00p+1

@00p+1�! C 00p@00p�! C 00p�1 � � �

Bukti. Misalkan (C;U; @), (C 0; U 0; @0), dan (C 00; U 00; @00) masing-masing meru-

pakan rantai U -kompleks, rantai U 0-kompleks, dan rantai U 00-kompleks. Mis-

alkan F ' G : C �! C 0 dan F 0 ' G0 : C 0 �! C 00, maka terdapat barisan

D = fDp : Cp �! C 0p+1g dan D0 = fD0p : C

0p �! C 00p+1g sedemikian sehingga

Fp �Gp = @0p+1Dp +Dp�1@p; Dp(Up) � U 0p+1

F 0p �G0p = @00p+1D0p +D

0p�1@

0p; D

0p(U

0p) � U 00p+1:

Akan dibuktikan FF 0 ' G0G : C �! C 00:

32

1. Akan dibuktikan F 0pFp �G0pGp = @00p+1D00p +D

00p�1@p: Perhatikan

F 0pFp �G0pGp = F 0pFp � F 0pGp + F 0pGp �G0pGp

= F 0p(Fp �Gp) + (F 0p �G0p)Gp

= F 0p(@0p+1Dp +Dp�1@p) + (@

00p+1D

0p +D

0p�1@

0p)Gp

= F 0p@0p+1Dp + F

0pDp�1@p + @

00p+1D

0pGp +D

0p�1@

0pGp

= @00p+1F0p+1Dp + F

0pDp�1@p + @

00p+1D

0pGp +D

0p�1Gp�1@p

= @00p+1(F0p+1Dp +D

0pGp) + (F

0pDp�1 +D

0p�1Gp�1)@p

misalkan D00p = F

0p+1Dp +D

0pGp maka

F 0pFp �G0pGp = @00p+1(F0p+1Dp +D

0pGp) + (F

0pDp�1 +D

0p�1Gp�1)@p

= @00p+1D00p +D

00p�1@p

maka kondisi pertama pada De�nisi 4.13 terpenuhi.

2. Akan dibuktikan bahwa D00p(Up) � U 00p+1. Perhatikan

D00p = F 0p+1Dp +D

0pGp

D00p(Up) = F 0p+1Dp(Up) +D

0pGp(Up)

Karena G adalah rantai (U;U 0)-pemetaan, maka berdasarkan De�nisi 4.6

G(Up) � U 0p dan berdasarkan De�nisi 4.13 Dp(Up) � U 0p+1 sehingga

D0pGp(Up) � D0

p(U0p) � U 00p+1:

Karena F 0 juga adalah rantai (U;U 0)-pemetaan, maka berdasarkan De�nisi

4.6 dan De�nisi 4.13

F 0p+1Dp(Up) � F 0p+1(U 0p+1) � U 00p+1

sehingga karena C 00p+1 adalah modul sehingga U00p+1 submodul dari C

00p+1 ter-

33

tutup terhadap penjumlahan maka

D00p(Up) = F

0p+1Dp(Up) +D

0pGp(Up) � U 00p+1:

Jadi D00p(Up) � U 00p+1.

Lemma 4.15 terbukti.

B. Davvaz dan H. Shabani-Solt dalam [2] memaparkan fakta penting men-

genai rantai (U;U 0)-homotopi, sebagai berikut.

Teorema 4.16 ([2 , Teorema 2.10)]Jika dua rantai (U;U 0)-pemetaan F;G : C �!

C 0 adalah (U;U 0)-homotopi, maka F �p = G�p (Hp(F ) = Hp(G)).

Bukti. Misalkan rantai (U;U 0)-pemetaan F;G : C �! C 0 adalah (U;U 0)-

homotopi, akan dibuktikan F �p = G�p, yaitu Fp(x) + Bp(C0; U 0; @0) = Gp(x) +

Bp(C0; U 0; @0) untuk setiap x 2 Zp(C;U; @): Karena rantai (U;U 0)-pemetaan F;G :

C �! C 0 adalah (U;U 0)-homotopi maka terdapat barisan D = fDp : Cp �!

C 0p+1g sedemikian sehingga Fp �Gp = @0p+1Dp +Dp�1@p dan Dp(Up) � U 0p+1.

Ambil sebarang x 2 Zp(C;U; @) maka,

(Fp �Gp)(x) = (@0p+1Dp +Dp�1@p)(x)

Fp(x)�Gp(x) = @0p+1Dp(x) +Dp�1@p(x):

Karena @p(x) 2 Up�1, maka berdasarkan De�nisi 2.12

Dp�1(@p(x)) 2 U 0p � Im @0p+1 = Bp(C 0; U 0; @0)

dan @0p+1Dp(x) 2 U 0p � Im @0p+1 = Bp(C 0; U 0; @0)

sehingga karena Im @0p+1 = Bp(C0; U 0; @0) tertutup terhadap penjumlahan, maka

Fp(x)�Gp(x) = @0p+1Dp(x) +Dp�1@p(x) 2 Bp(C 0; U 0; @0)

34

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat

Fp(x) +Bp(C0; U 0; @0) = Gp(x) +Bp(C

0; U 0; @0)

Jadi terbukti F �p = G�p.

De�nisi 4.17 ([2 , De�nisi 2.11)]Rantai (U;U 0)-pemetaan F : (C;U; @) �!

(C 0; U 0; @0) disebut rantai (U;U 0)-ekivalensi jika terdapat rantai (U;U 0)-pemetaan

G : (C 0; U 0; @0) �! (C;U; @) sedemikian sehingga FG ' IC dan GF ' IC0. Dua

rantai U-Kompleks dan U 0-kompleks disebut rantai (U;U 0)-ekivalen jika terdapat

rantai (U;U 0)-ekivalensi di antara mereka.

� � � Cp+1@p+1�! Cp

@p�! Cp�1 � � �

Fp+1 #"Gp+1 Fp #"Gp Fp�1 #"Gp�1

� � � C 0p+1@0p+1�! C 0p

@0p�! C 0p�1 � � �

Akibat 4.18 ([2 , Akibat 2.12)]Jika rantai U-kompleks (C;U; @) dan rantai U 0-

kompleks (C 0; U 0; @0) adalah rantai (U;U 0)-ekivalen, maka untuk setiap p berlaku

Hp(C;U; @) = Hp(C0; U 0; @0).

Bukti. Misalkan F adalah rantai (U;U 0)-ekivalesi antara (C;U; @) dan (C 0; U 0; @0),

akan dibuktikan Hp(C;U; @) = Hp(C 0; U 0; @0) untuk setiap p

F adalah rantai (U;U 0)-ekivalesi antara (C;U; @) dan (C 0; U 0; @0) maka terdapat

rantai (U;U 0)-pemetaan G : (C 0; U 0; @0) �! (C;U; @) sedemikian sehingga

FG ' IC0 dan GF ' IC

Sehingga berdasarkan Teorema 4.16 (FG)�p = I�C0 dan (GF )

�p = I

�C lalu berdasarkan

Lemma 4.10 didapat (GF )�p = G�pF

�p dan (FG)

�p = F

�pG

�p maka

(FG)�p = F�pG

�p = I

�C0 dan (GF )

�p = G

�pF

�p = I

�C :

Dengan demikian F �p adalah isomor�sma, maka terbuktiHp(C;U; @) = Hp(C0; U 0; @0).

35

BAB 5

KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Rantai U -kompleks merupakan generalisasi dari rantai kompleks dengan

@n@n+1 = 0 dalam rantai kompleks, submodul trivial f0g diganti dengan

submodul Up�1 dari Cp�1 sehingga @p@p+1(Cp+1) � Up�1 dan Im @p � Up�1.

2. Rantai pemetaan yang mengaitkan antara rantai U -kompleks adalah rantai

(U;U 0)-kompleks dengan Fp(Up) � U 0p dan Fp�1@p = @0pFp:

3. Rantai (U;U 0)-homotopi adalah generalisasi dari rantai homotopi dengan

@0p+1Dp+Dp�1@p = Fp�Gp dimana fDpg rantai homotopi adalah homotopik

nol. Sedangkan @0p+1Dp + Dp�1@p = Fp � Gp dengan fDpg rantai (U;U 0)-

homotopi dengan Dp(Up) � U 0p+1:

4. Relasi (U;U 0)-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.

5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti mengenai generalisasi kategori

kompleks yaitu kategori dengan objeknya merupakan rantai U -kompleks.

36

DAFTAR PUSTAKA

[1] Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Press

[2] B.Davvaz and H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,

J.Korean Math. Soc, 39 (2002), 6, 881-898

[3] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull.

Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999) ; 53� 56

[4] Charles A. Weabel, An Introduction to Homological Algebra, Departement

of Mathematic, Rutger University, Cambridge University Press, 1997.

[5] Hall F. M., An Introduction to Abstract Algebra, Head of the Mathematics

Faculty Shrewsbury School, Cambridge University Press, 1969.

[6] Howlet, Robert, An undergraduate course in, Abstract Algebra, London:

Springer Verlag, 1974:

[7] J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press,

New York-London, 1979.

[8] Roman, Steven, Graduate Text in Mathemetics, Advance Linear Algebra,

London: Springer Verlag, 1992:

[9] Steven Roman, Advanced Linier Algebra, Third Edition, Prentice Hall, New

York-London, 2003.

[10] Tu, Loring W. (1982), Di¤erential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New

York: Springer-Verlag, ISBN 978� 0� 387� 90613� 3

37