G.CROVATTO-Fascino Delle Forme

8/8/2019 G.CROVATTO-Fascino Delle Forme

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Gianni Crovatto

IL FASCINO DELLEFORME



1 - Introduzione

L’evoluzione umana è cadenzata da varie epoche che si susseguono a volte con una logica da noi

compresa e a volte incompresa. Le caratteristiche di queste epoche, come si legge nei libri esoterici,

dipendono molto da quali esseri spirituali si avvicendano alla guida dell’umanità. Anticamente il

popolo seguiva con fiducia i consigli dalle guide spirituali e l’esperienza di vita era quasi uguale per tutti perché non si era ancora sviluppata la personalità. Invece nella nostra epoca e in quelle più

recenti, nelle quali la personalità molto sviluppata ha differenziato le popolazioni, l’esperienza di

vita è diventata molto complessa. Infatti molti gruppi di persone percepiscono già i tempi nuovi

mentre gran parte dell’umanità vive ancora alla maniera voluta dall’epoca che sta per finire e vari

gruppi etnici sono ancora immersi in un lontano passato. In questa situazione, oltre che avere forti

tensioni fra i vari gruppi, è diventato anche difficile distinguere che caratteristica avrà la futura

epoca e di conseguenza intravedere quale direzione dovrà prendere una parte dell’umanità.

Ogni tipo di religione, di filosofia o di politica indica la propria direzione e a volte questa coincide o

assomiglia a quella di altre correnti. Una fra le direzioni più sintetiche e in sintonia con una forma

geometrica è la seguente:

Nel passato la maggior parte dell’umanità ha consolidato i suoi quattro corpi ovvero il cosiddetto

quaternario inferiore che comprende il corpo fisico, eterico, astrale e mentale. La prossima

esperienza sarà quella di acquisire e consolidare un quinto elemento superiore o spirituale. Gli

scritti esoterici descrivono quest’epoca in vari modi ma, visto che l’argomento è la geometria,

vediamo come è stata indicata dall’architettura.

Fig. 1a - Portale e timpano di Castel del Monte

Il portale di Castel del Monte (fig. 1a), fatto costruire da Federico II di Svevia nel 1240 in Puglia, ha

dei punti salienti che coincidono con i vertici di un pentagono. Per ottenere ciò è necessario che

concorrano più elementi con particolari dimensioni come:

- la distanza delle due colonne

- l’angolo del timpano (tetto sporgente sopra il portale)

- altezza del vertice del timpano



Solo con le condizioni suddette è possibile tracciare un pentagono perciò si può pensare che questo

sia stato voluto. A confermare questa ipotesi concorrono molte altre combinazioni geometriche e

planetarie che si trovano nel Castel del Monte. Per esempio i solstizi e gli equinozi sono segnalati

dall’ombra del tetto su punti salienti; nel perimetr o esterno si possono inscrivere rettangoli il cui

rapporto dei lati è "aureo"; i punti dove il sole sorge e tramonta ai solstizi formano un rettangolo col

rapporto aureo (questo avviene solo alla latitudine dove è posto il castello) e ancora tante altrecombinazioni. (1)

Anche il tempio di Salomone a Gerusalemme avrebbe avuto nel portale qualcosa in sintonia col

pentagono come fanno supporre queste parole di R. Steiner:

Entriamo nel tempio di Salomone. Il portale è già caratteristico. Il quadrato è un simbolo antico.

Oggi l’uomo è uscito dall’elemento del quattro ed è entrato in quello del cinque con le sue parti

costitutive e diventa consapevole del suo sé superiore. Il tempio interiore divino è formato in

modo da comprendere l’uomo con le sue cinque parti costitutive. Il quadrato è sacro. Il portale,

la parte superiore e i due stipiti formano un pentagono. (2)

Il fatto che in questi due esempi architettonici il pentagono sia intuibile e non visibile può far

pensare che a quei tempi non si doveva indicare "in chiaro" una nuova epoca, invece le parole di

R. Steiner, sopra riportate, sembrano invitarci a indagare apertamente sul concetto o meglio

sull’archetipo del pentagono. In queste brevi note prenderemo in considerazione solo ipotesi

sull’aspetto forma ed energia derivata dalla forma stessa, che trova un esempio classico nella

piramide di Cheope e relativi modellini. Queste piramidi, basandosi sul "quattro", sono tuttora di

attualità perché l’epoca del "cinque" è ai suoi albori, ma il nostro desiderio è que llo di tratteggiare il

nuovo passo con tutte le limitazioni e gli errori del caso. Nel passato in circoli ristretti si

conoscevano gli effetti derivati da particolari forme, pentagono compreso, ma non si divulgavano.

Il concetto "archetipo" è ormai di uso comune ma è opportuno fare qualche considerazione

elementare in merito. Esiste nella mente di molti esseri umani l’immagine di un grande disegno

cosmico dentro al quale si intravedono particolari nicchie contenenti l’essenza di una filosofia, di

una scienza, di un modo di vivere o di agire. Queste "essenze" si possono chiamare "archetipi".

Perciò si può parlare di un grande archetipo della fratellanza oppure dell’amore materno ma anche

di un piccolo archetipo come quello che guida un passero a costruire il suo nido in un modo diverso

rispetto ad altre specie di uccelli. Si può anche supporre che questi archetipi siano la sorgente di

forze cosmiche che agiscono sia sui minerali che sugli esseri viventi. Per restare nel campo della

geometria possiamo dire che l’archetipo del triangolo è affine al concetto di trinità e quindi inserire

un triangolo in un dipinto con rappresentazioni religiose si rinforza il concetto stesso. In ultima

analisi possiamo ipotizzare che disegnare una particolare forma oppure costruirla con materiali varisi stabilisce un ponte fra il nostro operato e il relativo archetipo incanalando così particolari forze

cosmiche. Inoltre quanto più il nostro operato è preciso rispetto al suo archetipo tanto più energia

viene attirata. Rammentiamo che questo ipotetico ponte si può formare anche con il colore, col

suono, col movimento e altro ancora ma soprattutto con il nostro modo di pensare, amare e agire

nell’ambito sociale.

1) - Astronomia e geometria nell’architettura di Castel del Monte di Aldo Tavolaro. Ed. Fratelli Laterza, Bari.

2) - La leggenda del Tempio e la Leggenda Aurea di Rudolf Steiner. Ed. Antroposofica, Milano.



2 - Sezione aurea

Quando disegniamo dei poligoni regolari (triangolo equilatero, quadrato, pentagono, decagono) non

vi sono ripensamenti perché i lati sono tutti uguali. Invece per un poligono non regolare (triangolo

isoscele, rettangolo, trapezio) bisogna stabilire un rapporto fra larghezza e altezza e qui

incominciano i dubbi o i ripensamenti per quanto riguarda l’estetica. E’ più estetico o armonico unrettangolo che si scosti poco dal quadrato oppure un rettangolo molto allungato? Ecco i due casi

estremi:

Gli antichi greci (filosofi, matematici e architetti) avevano già risolto questo dilemma: il rapportofra il lato lungo a e il lato corto b, per ottenere un’immagine estetica, deve essere uguale a 1,618:

Dopo 2000 anni da questa scelta si è voluto verificare se il senso estetico dell’uomo moderno

corrisponda ancora ai vecchi canoni. In un esperimento statistico è stato mostrato a più persone vari

rettangoli con diversi rapporti, poi è stato chiesto di indicare quale rettangolo avesse destato in lorouna maggior sensazione armonica. Ebbene, con questo esperimento, l’antico rapporto a : b = 1,618

è stato pienamente riconfermato.

Gli architetti dell'antica Grecia percepivano inconsciamente un’armonia in questo rapporto mentre i

matematici lo hanno scoperto non con un’indagine statistica ma tramite la matematica e la

geometria. Infatti una espressione algebrica che tiene conto contemporaneamente del concetto di

rapporto e di proporzione da come risultato 1,618. Riassumiamo brevemente questi due ultimi

concetti:

Rapporto: è il quoziente di due valori, esempio:

100 / 25 = 4 21 / 7 = 3 a / b = c

Proporzione: due insiemi di numeri si dicono proporzionali fra loro quando hanno lo stesso

rapporto e si scrivono così:

100 / 25 = 28 / 7 a / b = c / d a : b = c : d

L’espressione algebrica a:b = c:d contiene sia il concetto di rapporto che di proporzione ma non è

ridotta ai minimi termini perciò ha infinite soluzioni. Platone diceva che per esprimere una

proporzione bastano tre elementi, ma anche in questo modo otteniamo infinite soluzioni. Per avere

una sola soluzione è necessario ridurre gli elementi a 2 tramite un trucco. Infatti se noi poniamo c =

a + b mettiamo in gioco solo due valori. Ecco l’espressione algebrica ridotta ai minimi termini che

contiene contemporaneamente rapporto e proporzione e ha come unica soluzione 1,618:



a / b = b / a + b

Per queste sue caratteristiche (rapporto, proporzione e una sola soluzione) gli antichi greci la

chiamarono "proporzione aurea" o meglio "sezione aurea" e il risultato (1,618) nelle formule si

esprime con la lettera greca . Luca Pacioli, amico di Leonardo, la denominò "la divinaproporzione". Ma la magia della sezione aurea continua nella matematica con un gran numero di

combinazioni particolari. Per esempio 1,618 x 1,618 = 2,618 e 1:1,618 = 0,618 inoltre nella serie

dei numeri del Fibonacci la progressione è cadenzata da .

Per facilitare la soluzione delle espressioni algebriche a volte si usa dare il valore "1" a un termine.

Nel nostro caso a = 1. Ecco i vari passaggi per ottenere la soluzione:

Anche la geometria ha "voce in capitolo" infatti basta tracciare un triangolo rettangolo con un cateto

lungo il doppio dell’altro e un cerchio per ottenere un segmento in rapporto aureo col cateto

maggiore come mostra la fig. 4, invece la fig. 5 indica come ottenere la sezione aurea giocando

sull’area del rettangolo e del quadrato:

Senza entrare in dettagli elenchiamo altri campi dove si incontra la sezione aurea:- nelle proporzioni del corpo umano

- nei templi antichi, nelle chiese romaniche e nelle cattedrali gotiche

- nella piramide di Cheope

- in alcuni vasi antichi e in alcune opere architettoniche e artistiche

- nella dinamica di crescita di molti vegetali- nella spirale logaritmica formata da alcune conchiglie marine

- in alcune forme geometriche come il pentagono e il decagono

La sezione aurea, come abbiamo visto, si insinua in tutti i regni della natura, perciò questa sua

polivalenza la fa assurgere all’altezza di "archetipo". Il poeta Novalis non a caso si esprimeva così:

E' visibile l'invisibile elevato a mistero

In geometria il pentagono e il decagono sono i poligoni regolari che meglio esprimono la sezione

aurea , mentre la grande piramide di Cheope contiene sia che come mostrano queste

figure:



Nei regni dalla vita invece domina la spirale logaritmica che ha un ritmo di sviluppo legato a e un

altro tipo di spirale il cui sviluppo è legato a . Questi due tipi di spirali sono l’archetipo della

forma di molte conchiglie e anche del ritmo col quale spuntano i rami laterali di molti vegetali e la

disposizione dei loro semi nei fiori.

Il corpo umano, capolavoro del creato, non fa eccezione, ecco alcuni rapporti legati a :



- Cosa si intende per spirale

Il termine spirale è generalmente usato per indicare curve che ricordano forme naturali. Le più

comuni sono conchiglie, gusci di lumache e la disposizione spaziale dei semi di alcuni fiori:

sezione del Nautilus

Da una prima osservazione una spirale può avere le spire equidistanti oppure sempre più distanti ad

ogni giro. Nel primo caso viene chiamata "spirale evolvente" o di Archimede mentre nel secondo

viene detta "spirale logaritmica" quando nella relativa formula matematica (equazione) si trova un

termine con l'esponente. Inoltre una spirale logaritmica può avvicinarsi a una evolvente (distanza

fra le spire quasi costante) oppure essere molto aperta (espansa). Ecco l'equazione con l'esempio di

una spirale poco aperta e una molto:

Per tracciare una spirale con questa formula si deve seguire le regole delle coordinate "polari" e non quelle

"cartesiane".

La formula per tracciare la "spirale evolvente" non ha esponente ed è semplicissima come è

semplice il sistema per disegnarla tramite un sottile filo avvolto su un rocchetto; r corrisponde alla

lunghezza del filo srotolato dal rocchetto e la circonferenza di quest'ultimo corrisponde alla distanza

fra le spire:



altri tipi di spirali (a = costante, s = arco)

iperbolica

r = a /

parabolica

r 2 = a *

di Cornuo di Eulero

r * s = a 2 /

di Fermatr 2 = a 2 *

r = ± a *

Nota: la singola spirale di Fermat è equivalente alla spirale parabolica come forma ma non come grandezza

Bernoulli scoprì che il luogo dei centri di curvatura di una spirale riproduce ancora la stessa spirale

di partenza. In altre parole un piccolissimo tratto di una spirale si può ritenere un arco di cerchio

con un suo centro; perciò se tracciamo infiniti cerchi e uniamo con una linea tutti i loro centri

otteniamo una spirale uguale a quella di partenza.

La spirale ha un posto di primo piano sia in natura che in matematica e a questo fascino non poteva

sfuggire Bernoulli che volle far scolpire sulla sua lapide queste parole :

Eadem mutata resurgo (se trasformata risorgo uguale)



- Le proporzioni dell'uomo secondo Vitruvio

Marco Vitruvio Pollione, famoso architetto latino, scrisse il celebre trattato "De architectura" in 10

libri, l'unica opera che ci permette di conoscere i metodi di costruzione degli antichi romani; ad essa

si rifecero anche gli architetti del rinascimento. Visse nel 1° secolo a.C. Descrisse anche le

proporzioni del corpo umano e Leonardo da Vinci le immortalò col seguente disegno che è statoanche riprodotto sulla moneta italiana da 1 euro:

Nel 1882 Ferdinand von Lindeman dimostrò la trascendenza del numero e così si chiuse per

sempre la corsa alla risoluzione della quadratura del cerchio. Ora il cerchio e il quadrato possono

essere visti come archetipi ma con un piccolo sforzo immaginativo scopriamo che la "quadratura

del cerchio" è nascosta nella figura umana. Leonardo ha inscritto in un cerchio l'uomo con le

braccia alzate e gambe divaricate. Se invece si inscrive in un cerchio l'uomo ritto e a braccia aperte

scopriamo che l'area del cerchio e del quadrato sono uguali! Forse Leonardo non ha voluto rivelare

in tutta la sua magnificenza la figura umana.

Il cerchio o la sfera possono rappresentare lo spazio dove avviene la creazione ma anche l'inizio

della vita attraverso una cellula, un uovo. Il quadrato ovvero il "quattro" è un denominatore comunedella creazione come: Terra, Acqua, Aria e Fuoco - le quattro stagioni - i quattro punti cardinali -

l'ora divisa in quarti - le quattro membra - le quattro cavità del cuore.



Da un punto di vista più sottile l'uomo oggi possiede il cosiddetto "quaternario inferiore", ovvero

corpo fisico, corpo vitale, corpo emotivo e corpo mentale. Il compito dell'uomo d'oggi consiste

nell'acquisire un quinto elemento superiore o spirituale. Agrippa di Nettesheim, medico e astrologo

tedesco (1486-1535), rappresentò questa conquista nel terzo dei suoi disegni, dove si vede l'uomo

inscritto in una stella a cinque punte, invece nel suo primo e quinto disegno sono rappresentate le

stesse posizioni dell'uomo disegnato da Leonardo da Vinci.

Ecco i sei disegni tratti dal libro "De occulta Philosophia Libri Tres" di Agrippa di Nettesheim, in

seguito Rudolf Steiner ha dato parola a queste sei posizioni della figura umana:

Un uomo è del tutto incarnato nella propria corporeità solo quando può raggiungere la posizione

eretta e compenetrare volitivamente le muscolature del collo, del torace, del dorso e delle gambe.

l'animale per paura fugge o aggredisce

l'uomo per paura può anche pensaree può appellarsi a forze più profonde del coraggio:

forze spirituali



3 - I cinque solidi platonici

Il fascino dei simboli vive anche nell'uomo moderno e si dice che meno sappiamo di un simbolo e

più questo ci affascina. Può succedere anche il contrario, ovvero scoprire un aggancio scientifico

con un simbolo antico e notare che il fascino aumenta come è successo quando si è scoperto che

cristalli e molte molecole dei composti chimici si sviluppano o si aggregano solo secondo gli assi disimmetria dei cinque solidi platonici. Con questa scoperta la scienza ha confermato la sacralità di

queste cinque forme che sono diventate anche per il grande pubblico gli archetipi delle forme del

regno minerale. Per secoli questi cinque solidi sono stati accettati per la grandezza del filosofo

Platone ma incompresi per la mente del grande pubblico. Fanno eccezione gli artisti che subiscono

il fascino delle forme e ne percepiscono l’essenza come Pier Della Francesca che nel 1492 scrisse il

trattato "De Quinque Corporibus" e lo dedicò al Duca di Urbino. Anche il frate Luca Pacioli, amico

di Leonardo e discepolo di Pier della Francesca scrisse e pubblicò nel 1494 il libro "Divina

Proportione" (relativo alla geometria architettonica) nel quale esamina anche i cinque solidi

platonici e i solidi "semiregolari" di Archimede. Oggi è rinato un certo interesse verso queste forme,

infatti nel programma di alcune scuole è contemplata la loro costruzione in creta proprio perché in

esse si nascondono affascinanti leggi geometriche. Ecco i cinque solidi regolari:

La caratteristica più appariscente dei solidi platonici (solidi regolari) è quella di essere inscritti in

una sfera e di utilizzare solo una delle prime tre figure piane della geometria ovvero il triangolo

equilatero il quadrato e il pentagono . Se si vuol proseguire con successive forme si è costretti a

utilizzare contemporaneamente due figure geometriche e per questo vengono chiamati solidi semi

regolari. Archimede disegnò tredici tipi di solidi semi regolari. Ma la caratteristica più affascinante

è la com plementarietà del quadrato con l’ottagono e del dodecaedro con l’icosaedro, invece il

tetraedro è in un certo senso complementare con sé stesso. Infatti se congiungiamo con delle rette il

centro di ogni faccia di un quadrato tracciamo un ottaedro e viceversa se partiamo dall’ottaedro.

Questo vale anche col dodecaedro e icosaedro, invece il tetraedro riproduce sé stesso. Osservando la

fig. 10 si può immaginare che una forma abbia in grembo l’altra complementare mentre il tetraedro

può essere definito come un essere primordiale che si autogenera senza mutazioni.

Le caratteristiche di questi cinque solidi continuano a sorprenderci quando scopriamo che possonoessere inscritti uno nell’altro sfruttando parte dei vertici oppure il punto centrale dei lati (3); ecco gli

esempi più facili da disegnare:



Un’ultima curiosità: su un piano si possono tracciare infinite figure poliedriche regolari mentre

nello spazio solo cinque solidi regolari, ma nello spazio questi cinque solidi possono essere inscritti

uno nell’altro mentre su un piano il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono non sonoinscrivibili.

Questi solidi regolari e semiregolari hanno scomodato anche i matematici, infatti Eulero ha scoperto

la seguente relazione fra il numero di vertici, facce e lati:

V + F = L + 2

vertici lati facce

tetraedro 4 6 4 triangolari

cubo 8 12 6 quadrate

ottaedro 6 12 8 triangolari

dodecaedro 20 30 12 pentagonali

icosaedro 12 30 20 triangolari

3) "The geometry of art and life" di Matila Ghyka Ed.Dover publications, New York

Il disegno in copertina prende lo spunto da questo fascino nascosto ponendo in cerchio i solidi

platonici per rappresentare il regno minerale. Ma quest’ultimo trasmette, tramite le sue forme, anche

un senso di rigidità, di durezza e di spigolosità ma soprattutto dà la sensazione di un destino fatale

che tiene prigioniere le forme. Questa sensazione si può provare anche in chimica dove i legami

atomici e molecolari costituiscono una prigione invisibile della materia, per esempio la molecola di

carbonio riproduce un tetraedro. Ma quando la vita nobilita la materia ecco che appare il simbolo

della libertà ovvero la curva. Il cerchio è il primo passo verso una libertà geometrica, una curva

primordiale definita da un solo parametro ma la più bella immagine di libertà si ottiene con la

spirale logaritmica che, guarda caso, nasconde in sé la sezione aurea. Un caso particolare è l’ellisse

che nasconde una retta nella distanza dei suoi due fuochi. L’espressione di libero arbitrio e destino

si può ottenere anche in architettura con un armonico connubio fra curva e retta e in questo modo si

fa anche tesoro delle parole di Keplero che nel suo libro "Harmonices Mundi" si esprime così:

l’Onnisciente ha creato il mondo delle grandezze il cui essere unitario è racchiuso nella differenza

fra la linea retta e la linea curva.



4 - I tredici solidi di Archimede

Questi solidi sono detti "semiregolari" perché composti da due o tre tipi di facce. I più semplici si

ottengono troncando opportunamente i vertici dei cinque solidi platonici, altri invece si ottengono

partendo da uno già troncato e ripetendo nuovamente la troncatura dei vertici. Quelli più complessi

si ottengono ripetendo più volte la troncatura.

Il primo dei solidi di Archimede si ottiene asportando con un taglio netto i vertici del tetraedro, si

ottengono così quattro nuove facce triangolari e si trasformano le facce triangolari preesistenti in

quattro esagoni. Per ottenere questo effetto i tagli devono distare dai vertici di un terzo della

lunghezza dei lati, se invece la troncatura coincide con la metà dei lati si ottiene ancora un tetraedro.

Si incomincia col suddividere i lati in tre parti e poi si congiungono i punti relativi con delle rette

che saranno il riferimento per i tagli come mostra la seguente figura:

Il secondo solido di Archimede si ottiene troncando sia il cubo che l’ottaedro, in questo caso il

taglio deve coincidere con la metà dei lati come mostra la seguente figura:

Il terzo solido semiregolare è quello che, leggermente modificato, si presta meglio di ogni altro per

sperimentare energie legate alla forma come vedremo nel prossimo capitolo. Si ottiene troncando

sia il dodecaedro che l’icosaedro col taglio che coincide con la metà del lato:



Il quarto e il quinto solido semiregolare si ottengono rispettivamente dall’ottaedro e dal cubo col

taglio che dista dal vertice di un terzo della lunghezza del lato:

Per ottenere il sesto solido di questa serie bisogna riprendere il terzo (vedi fig. 14) modificarlo

ponendo dei raggi nelle facce pentagonali e poi troncare i vertici; il taglio deve coincidere con la

metà del lato come mostra la seguente figura:



Gli altri sette solidi della serie sono rappresentati nella seguente figura senza commenti:



5 - Forme e figure energetiche

In questo campo è il caso di dire "chi più ne ha più ne metta". La magia di una forma, di un simbolo

inciso su una pietra o su una foglia oppure di particolari disegni come i "mandala" incomincia a

contagiare anche i miscredenti. Proprio per questo motivo bisogna andare con i piedi di piombo per

non diventare fanatici ma nel contempo non dobbiamo escludere a priori tutto ciò che non èdimostrabile con strumenti scientifici.

Nell’introduzione si è accennato a un ipotetico ponte che si forma quando rappresentiamo con

figure o forme qualcosa che ha a che fare con un archetipo. Attualmente la forma più usata per

creare questo ponte è quella della piramide di Cheope descritta e commentata da un’abbondante

letteratura, ma vengono utilizzate anche figure geometriche come per esempio il decagono. Queste

scelte sono condizionate dal tipo di cultura più o meno religiosa, perciò per una parte degli

occidentali la piramide è al primo posto mentre in oriente sono i mandala che vanno per la

maggiore. A questo punto nasce la domanda: cosa ci può aiutare in questo tipo di scelta? Visto che

l’argomento verte sulle forme e sulle figure geometriche abbiamo due indicazioni, la prima

macroscopica come la "sezione aurea" e la seconda nascosta come il "pentagono", simbolodell’epoca appena iniziata.

Nel secondo capitolo si è visto l’universalità della sezione aurea e in particolare come si manifesta

nelle figure geometriche del pentagono e del decagono. Il pentagono (vedi fig. 6) riproduce

cinque volte, il decagono dieci volte e la stella a cinque punte ben quindici volte, inoltre il

pentagono è il simbolo del "tempio interiore divino" che ogni essere umano dovrà acquisire. Penso

che questo basti per far cadere la scelta su una forma geometrica che contenga sia il pentagono che

il decagono. I grandi, siano essi scienziati o filosofi, erano anche degli iniziati o per lo meno dei

sensitivi, perciò si può immaginare la sorpresa di Archimede quando disegnò per la prima volta il

terzo solido semiregolare composto da dodici pentagoni e da sei decagoni, questi ultimi

compenetrati fra loro. In questo solido la sezione aurea si manifesta 120 volte, quanto basta per

continuare in questa direzione. La seguente figura mostra due viste di questo terzo solido

semiregolare:

La forma sopra rappresentata ha i suoi vertici che si inscrivono in una sfera ma, a seconda del punto

di osservazione, il divario fra la piccola superficie dei triangoli e quella grande dei pentagoni da una

sensazione strana come se si osservassero due forme non uguali. Per togliere questa sensazione

basta tracciare cinque raggi all’interno di ogni pentagono come mostra la fig. 19. Questi nuovi

vertici creati dai raggi devono coincidere con la superficie della sfera. Come vedremo più avanti

questa modifica, che non altera i lati dei pentagoni e dei decagoni, concorre a creare ulterioriimmagini geometriche parzialmente sovrapposte ma soprattutto crea un flusso energetico più

regolare. Quest’ultima considerazione è scaturita da ripetuti esperimenti fatti da alcuni radiestesisti.



Ora il nostro particolare solido ha la superficie composta da 20 triangoli equilateri e da 60 triangoli

isosceli, inoltre si sono formate altre figure geometriche come l’esagono, il rombo e il trapezio

come mostra la seguente figura:

A questo punto è necessario introdurre un’altra ipotesi riguardante il flusso energetico attirato dalle

figure e dalle forme. E’ logico pensare che un flusso, sia esso materiale o energetico, per essere tale

deve entrare e uscire, ci potrà essere anche un accumulo come fosse un serbatoio che una volta

pieno trabocca. Per esempio il pentagono, per le sue caratteristiche già accennate, crea un flusso

energetico senza segnalare visivamente dove è l’entrata e l’uscita. Si può supporre che l’entrata sia

al cento e l’uscita ai vertici, ma se disegniamo un pentagono con i raggi abbiamo messo in risalto

l’entrata e l’uscita migliorando così l’efficienza della nostra figura. Quando si parla di rabdomanti o

radiestesisti che cercano l’acqua non si incontra molto scetticismo, ma quando si parla di energie

cosmiche rilevate con un pendolino "l’indice di gradimento" scende precipitosamente. Comunque

sia, i radiestesisti coinvolti concordano quanto segue:

- L’energia entra al centro di una figura pentagonale con i raggi.

- L’energia esce distribuita sui cinque ver tici di una figura pentagonale.

- Il flusso energetico è massimo quando uno dei raggi della figura è rivolto a Nord.

- Il flusso energetico è nullo quando uno dei raggi della figura è rivolto a Sud.

- Quando non si usa la figura tracciata su un piano ma il solido le regole cambiano un po’.

- Per praticità si usa solo una metà di questo solido (vedi secondo disegno alla fig. 19).

- Il pentagono usato per l’orientamento è quello centrale (vedi primo disegno alla fig. 19).

- L’energia entra al centro dei cinque pentagoni posti alla base del solido ed esce ai vertici.

- A questa regola fa eccezione il pentagono centrale nel quale l’energia esce dal centro.

- Il flusso energetico non cambia se la forma è capovolta (es. applicata al soffitto).- Non sono ancora disponibili descrizioni del flusso energetico all’interno di questo solido.

Questa particolare forma (fig. 19), che non ha ancora un nome, deriva dall’icosaedro che si vede

rappresentato da due angolazioni diverse nella seguente figura:



I 20 triangoli equilateri che costituiscono la superficie dell’icosaedro formano anche dei pentagoni

con i relativi raggi perciò viene da pensare che anche questo solido può essere utilizzato come

collettore di energie particolari. Senz’altro il quinto dei solidi platonici ha un ruolo di primaria

importanza nel campo energetico ma non è così comprensibile come quello del solido alla fig. 19.

Osservando la fig. 20 si scopre che ognuno dei 12 vertici dell’icosaedro è il centro di un pentagono

ma è anche il vertice di ben cinque pentagoni posti in cerchio e parzialmente sovrapposti fra loro.Ora se l’ipotesi del flusso energetico nel pentagono è valida, abbiamo per ognuno dei 12 vertici

energia che entra e altrettanta che esce, perciò dovremmo avere una situazione in equilibrio.

A questo punto, con un po’ di licenza poetica, possiamo immaginare di aver scoperto due solidi

polarmente opposti, l’icosaedro simbolo della compattezza e della staticità e il suo antagonista

simbolo dell'espansione e della dinamicità. Facciamo un altro sforzo immaginativo: allontaniamo

radialmente tutti i pentagoni con i loro raggi che si intravedono nell’icosaedro (seppur sovrapposti

parzialmente), a un certo punto apparirà il solido rappresentato alla fig. 19. Queste considerazioniimmaginative ci permettono finalmente di dare un nome a questo solido, simbolo del movimento e

contemporaneamente antagonista-figlio dell’icosaedro: ICOSDIN .

I termini energie cosmiche, vibrazioni o flusso energetico sono molto generici perché in merito si sa

poco o quasi nulla (salvo gli iniziati). Inoltre per quanto riguarda l’utilizzo terapeutico di queste

energie sono disponibili solo pochi risultati statistici. Mi spiego meglio: un flusso energetico

proveniente da una particolare forma ha curato una certa malattia, un altro tipo di flusso energetico

ha curato un’altra malattia, ma a mio avviso non è ancora comprensibile l’essenza o la diversità dei

due flussi energetici, perciò le indicazioni terapeutiche sono ricavate da un'indagine statistica. A

tutt’oggi esistono risultati pratici della cura di alcune malattie con un modello in scala ridotta della

piramide di Cheope. Il modello deve essere opportunamente orientato rispetto al Nord e il pazientesi deve mettere a fianco di un particolare lato perché sembra che ogni lato della piramide emetta

energie diverse o parzialmente diverse.

Il flusso energetico che attraversa il pentagono potrebbe uscire dai cinque vertici con differenti

caratteristiche, ma se un insieme di pentagoni formano il solido "icosdin" le cose si complicano

ulteriormente perché ogni uscita è formata da due vertici di due pentagoni; in merito non è

disponibile alcuna ipotesi. E’ invece abbastanza chiaro il modo di entrare e uscire del flusso

energetico che segue un percorso a spirale allargandosi o restringendosi con una direzione

perpendicolare al vertice come mostra la seguente figura:



Per motivi pratici siamo passati da un solido l’icosdin a un mezzo solido e a questo punto è più

consono denominarlo "struttura geodetica" come si usa architettura quando si rappresentano

intelaiature composte solo da triangoli.

Per chiudere questo capitolo riportiamo quanto concordano alcuni radiestesisti sulle dimensioni di

un modellino casalingo che può essere utilizzato per armonizzare l’ambiente. Per un locale di 5x4metri e alto 3 è più che sufficiente avere la base della struttura geodetica "icosdin" con un ingombro

massimo di 40 centimetri; la posizione migliore è quella capovolta, appesa al centro del soffitto e

orientata rispetto al Nord. Si può costruire con del compensato da 3 millimetri oppure con tondini

del diametro di 3 millimetri del tipo usato per gli aeromodelli. Nell’ultimo capitolo troverete la

descrizione e i disegni costruttivi.



6 - Movimenti energetici

Una immaginazione molto poetica vede le forme come un movimento cristallizzato, perciò è

doveroso fare un cenno al "padre" delle forme. Osservando il cielo stellato abbiamo come prima

immagine una certa staticità, non a caso gli antichi ritenevano che il numero 12 legato allo zodiaco

rappresentasse lo spazio, mentre il numero 7 legato ai pianeti rappresentasse il tempo (ritmo). Unavisione più dettagliata dei corpi celesti ci permette di scoprire le galassie la cui forma è veramente

un movimento apparentemente cristallizzato dove domina la spirale. Anche la dinamica del mondo

spirituale, come ci racconta l’esoterismo, è legata a movimenti spiraliformi oppure a movimenti che

si ricongiungono formando una lemniscata ( 8 ). L’ipotesi di un ponte fra archetipi e forme può

essere esteso anche al movimento, perciò le danze sacre, in particolare quelle antiche, meritano un

certo rispetto; ma non è questa la sede per approfondire l’argomento "danza". Possiamo però notare

una grande diversità fra movimenti antichi e quelli moderni senza colpevolizzare questi ultimi. Per

esempio una delle più recenti tecniche di rivitalizzazione del corpo umano consiste nell’impugnare

una verga di rame e farla ruotare opportunamente attorno al proprio corpo.

Da un punto di vista planetario abbiamo i movimenti a vortice dei venti, delle onde e, anche se

meno percepibili, i movimenti serpeggianti dei fiumi in particolare vicino alla foce dove si formanomeandri. Probabilmente l’acqua è quell’elemento che più si presta a canalizzare energie cosmiche e

non a caso è al primo posto nelle tradizioni popolari. La seguente figura è una fotografia dei gorghi

che avvengono quando si sposta un bastoncino parzialmente immerso nell’acqua (resa più vischiosa

con l'aggiunta di altri liquidi):

I gorghi si susseguono agganciati l'un l'altro con una simmetria impressionante e quello seguente

ruota in senso opposto al precedente. Questo fenomeno si può notare, con meno chiarezza, anche in

una bandiera mossa dal vento. Questi movimenti a spirale sembra siano dei veri e propri

canalizzatori di energie vitali a tal punto che si sono già costruiti dei depuratori composti da una

serie di vasche che costringono l’acqua a riprodurre questi movimenti. Chiudiamo questo brevecapitolo con la seguente figura dove più vasche canalizzano l’acqua in movimenti spiraliformi:



7 - Strutture geodetiche: teoria e utilizzo

La caratteristica di una struttura geodetica è quella di avere il singolo elemento formato da un

triangolo che conferisce al tutto una grande robustezza. Di solito si parte dall’icosaedro tracciando

sopra ogni faccia un certo numero di triangoli a seconda delle necessità. Non si può tracciare meno

di quattro triangoli in una faccia perciò la prima struttura geodetica ricavabile dall’icosaedro ha 20triangoli equilateri e 60 triangoli isosceli esattamente come l’icosdin. In gergo tecnico si dice che

questa prima struttura ha "frequenza 2" (sigla FQ 2) perché per disegnare 4 triangoli si è diviso in 2

i lati dell’icosaedro. Man mano che aumenta la dimensione della struttura deve aumentare anche la

"frequenza". I vertici dei triangoli tracciati devono coincidere con la superficie di una sfera. Ancora

un dettaglio: i triangoli possono essere tracciati con i lati paralleli ai lati dell’icosaedro (sigla Pa)

oppure perpendicolari (sigla Pe). In quest’ultimo caso non si utilizzano più i lati dell’icosaedro. La

seguente figura riporta alcuni esempi in merito:

Per caratterizzare una struttura geodetica occorrono ancora due parametri ovvero il raggio della

sfera che la contiene e quale porzione della sfera stessa si utilizza. Quelle piccole vengono utilizzate

per 3/4, 2/3 oppure 1/2, le più grandi 3/8 e anche 1/4 ma in casi particolari come ad Aurovil in Indiasi trova una grande struttura che è quasi una sfera completa. La seguente figura mostra una struttura

tipo FQ 4 Pa sempre con lo stesso raggio ma con tre riduzioni:

Disegnare con precisione le varie viste di una struttura geodetica non è semplice specialmente

quando la frequenza è alta. Nella fig. 26 si vedono i vari passaggi per ottenere il primo disegno della

fig. 19; il lato del pentagono e del decagono devono avere la stessa lunghezza. Nell'ultimo

passaggio (dal terzo solido di Archimede all’icosdin) si tracciano i raggi dei vari pentagoni, quelli

dei pentagoni laterali sono un po' difficoltosi da ricavare geometricamente perciò conviene usare un

coefficiente precalcolato. Anche ricavare la reale lunghezza dei raggi è difficoltoso ma basta

dividere il lato del pentagono per 1,130826.



Strutture geodetiche: utilizzo

Vi sono svariati tipi di strutture (fisse, semifisse e mobili) per sostenere una copertura di tela o di

plastica, la più comune è quella mobile che riguarda le tende militari e i tendoni dei circhi equestri.Per questi due usi è indispensabile la velocità di montaggio e, con l'esperienza di secoli, si è potuto

arrivare ad un "optimum" per quanto riguarda questa necessità. Invece una struttura semifissa per

sostenere una copertura di tela non trovava molte applicazioni nel passato, solo recentemente è

diventata di moda specialmente nelle manifestazioni fieristiche. Qui le attuali possibilità tecniche si

sono sbizzarrite creando una moltitudine di sistemi, ognuno dei quali ha una sua propria

caratteristica. Vi sono strutture che puntano su un effetto estetico, su un effetto "colossal" oppure

sulla convenienza economica.

La struttura geodetica, antica come concetto ma entrata in uso solo recentemente, ha sia l'estetica

che la convenienza economica, ovviamente non ha la velocità di montaggio della tenda da circo ma

in molti casi questo requisito non è richiesto. Dal punto di vista tecnico si ottiene il maggior volumecoperto con minor materiale. Un'altra caratteristica di questa struttura, non trascurabile nel campo

pedagogico, è la bellezza, l'armonia geometrica e anche l'attenzione richiesta all'occhio e alla mente

di un ragazzo per localizzare, all'interno della struttura stessa, triangoli, rombi, trapezi, pentagoni,

esagoni e decagoni. Queste sue ultime caratteristiche ne fanno un gioiello didattico sia come

disegno che come costruzione di modelli in scala ridotta.

L'applicazione più "mirata" di una struttura geodetica, alta due metri e con un diametro di quattro, si

ha nei campi estivi per ragazzi. Se il campo estivo prevede anche lavori in legno è possibile

costruire tutta la struttura, eccezion fatta per le piastre metalliche di collegamento; se invece le

attività manuali programmate sono ridotte è possibile solo il montaggio della struttura (tempo

richiesto circa un’ora) con pezzi già costruiti. In questo modo i ragazzi possono avere a disposizioneuno o più spazi coperti che possono essere facilmente dislocati in un prato o anche in un bosco.

Un'altra applicazione si ha in giardini o in orti. Infatti una struttura geodetica adibita a serra non

stona in un giardino, se invece la serra è piazzata in un orto di una scuola si ottiene oltre che

l'aspetto estetico anche quello didattico.

L’Islanda è il paese all’avanguardia nel progetto e nell’utilizzo di queste strutture. Sono state

costruite serre, case unifamiliari o bifamiliari e, dato il clima, ricoperte di terra ed erba, oppure

coperture di piccoli spazi comuni o saloni di esposizione e vendita. Forse nelle nostre zone

mediterranee non si inseriscono armonicamente ma questo dipende molto dall’architetto. Nelle

seguenti figure sono rappresentate alcune applicazioni fatte in Islanda:



Una struttura di 6 metri, nell’area mediterranea, può essere utilizzata come aula nei campi estivi

oppure come sala studio e incontri per il giorno mentre di notte si può dormire su materassini

srotolabili. La copertura può essere in tela o plastica. In questi casi è necessario anche un pavimento

in legno. Ecco i due esempi:

Sempre una struttura di 6 metri ma ricoperta con pannelli triangolari di compensato e isolata

termicamente può essere adibita a cottage anche nelle zone mediterranee. In questo caso è stato

necessario un rialzo di circa un metro per renderla più confortevole come mostra la seguente figura:



Per attenuare quella sensazione di igloo, che è poco mediterraneo, si può inserire una struttura un

po' più grande (7 metri) in un recinto verticale con finestre e porte, come mostra la seguente figura:



8- Strutture geodetiche: costruzione

La costruzione artigianale di una struttura geodetica, per motivi pratici, non dovrebbe superare un

diametro massimo alla base di sette metri e nemmeno superare la "frequenza 2" che corrisponde al

nostro ICOSDIN. Se si desidera fare una struttura piccola non conviene scendere al di sotto dei 4

metri alla base. I seguenti parametri sono quelli già sperimentati per due tipi di strutture:

piccola: riduzione 1/2 grande riduzione 1/2

frequenza FQ 2 frequenza FQ 2

triangoli Pa triangoli Pa

raggio sfera Rs 2 m raggio sfera Rs 3,5 mt

Riportiamo alla fig. 31 il disegno della struttura piccola e dei relativi travetti. Se si vuole cambiare

le dimensioni non serve un nuovo disegno in scala ma basta moltiplicare tutti i valori per un

coefficiente. Per esempio per ottenere le quote di una struttura di sei metri basta moltiplicare i valori

per 1,5. Da notare che la struttura geodetica, qui sotto rappresentata ha una diversa vista

(angolazione) rispetto a quella della fig. 19, questo per ricavare le due lunghezze dei travetti(109,307 e 123,607) che poi sono state arrotondate:

Una copertura che aderisca perfettamente a tutti i triangoli è piuttosto laboriosa e costosa perciò per

una struttura piccola è consigliabile una copertura spartana. Quando serve solo un po’ di ombra

basta un telo rettangolare 3x7 metri, teso con dei picchetti, invece per ripararsi dalla pioggia ne

occorrono due; è consigliabile anche un telo per il fondo. Lo scopo di una struttura del genere è

quello di avere uno spazio coperto durante i campi estivi per un gruppo di quattordici ragazzi e due

animatori. Invece una struttura di sei metri può essere utilizzata come aula estiva o come sala studio

(vedi fig. 29), in questo caso la copertura non può essere spartana e occorre anche un pavimento in

legno.

Un foro all’estremo di un travetto può dare il via a una spaccatura lungo la venatura del legno; ilrimedio più economico è quello di fare due giri di f il di ferro vicino al foro. L’ideale sarebbe

incollare un inserto di compensato marino alle estremità come mostra la seguente figura:



I travetti si collegano fra loro tramite 6 piastre pentagonali e 20 esagonali che devono essere in

lamiera inox dello spessore di 1,2 mm; si possono fare anche in ferro se poi trattate con antiruggine

e due mani di vernice; occorrono anche 130 viti inox da 5 mm con rondelle e dadi.

La piastra esagonale è asimmetrica, inoltre sulle due alette non smussate devono essere avvitati solo

i travetti più corti che formano i raggi del pentagono.

Se la struttura rimane montata per tutta la stagione è opportuno rialzarla di almeno 5 cm per evitare

che i listelli della base si rovinino. Allo scopo basta avvitare su ogni piastra di collegamento che sta

alla base (sulle due alette libere) un blocchetto di legno.

Per spostare questa struttura piccola bastano dieci ragazzi che alzino contemporaneamente i diecivertici di base, questa particolarità permette vari spostamenti durante la stessa giornata per avere

ombra o sole a seconda delle esigenze.

Come esempio sono riportati i seguenti disegni riferiti a una struttura del diametro di 7 metri:

vista struttura piastre pavimento

travetti dett. travetti sez. travetti

A scopo didattico si può anche costruire un modellino dell’ICOSDIN utilizzando degli

stuzzicadenti, basta mantenere le seguenti proporzioni fra i pezzi corti e quelli lunghi: 30 pezzilunghi 44 mm e 35 pezzi lunghi 52 mm. Se si uniscono due modellini in modo da formare un globo

si scoprono sei decagoni che si intersecano. Un altro esercizio è quello di unire due mezzi globi in

http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-vista.pdf


http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-piastr.pdf


http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-pavim.pdf


http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-travet.pdf


http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-d-trav.pdf


http://digilander.libero.it/giannicrovatto/g-s-trav.pdf










modo da compenetrarli parzialmente, in questo modo si ottengono due volumi comunicanti. Un

terzo esercizio consiste nell’asportare un parte della struttura per ottenere l’immagine di una

conchiglia; questa forma è tipica per formare uno "stand" in una esposizione. Ecco due esempi:

Chiudiamo con la seguente figura che, dal punto di vista didattico, mostra prima i pentagoni e poigli esagoni che formano la struttura geodetica:



Costruzione di un modello in cartoncino

A scopo decorativo e anche terapeutico è possibile costruire un modellino di struttura geodetica

fotocopiando su cartoncino colorato i seguenti disegni (usare il programma Acrobat Reader):

1 primo sviluppo (stampare questi disegni in scala 1:1 e poi fotocopiarli su cartoncino)

(è anche possibile incollare su cartoncino i disegni stampati)2 secondo sviluppo 3 base

Le tre parti che costituiranno il modellino devono essere ritagliate con una certa precisione, allo

scopo conviene usare righello e taglierino al posto della forbice.

Anche le pieghe richiedono una certa precisione, il metodo più adatto consiste nell'appoggiare unalama di coltello o di taglierino sulla riga da piegare, sollevare il lembo di cartone e poi premerlo con

l'unghia contro la lama. La foto precedente mostra una lama con una striscia di biadesivo affinchè

non scivoli fra le dita. Piegare al massimo a 90°:

Quando tutti i lati dei vari triangoli saranno piegati si dovrà unire con nastro adesivo i lati tagliati.

Avvicinare i due lembi da unire e fermarli solo per metà della lunghezza, poi fissare l'altra metà (è

difficoltoso usare un solo pezzo di nastro adesivo):

http://digilander.libero.it/giannicrovatto/s1.pdf











Ora bisogna unire la prima parte dello sviluppo con la seconda e poi avvicinare i vari lati e fissarli

in modo da ottenere una calotta o struttura geodetica come mostrano le seguenti foro:

Quando la calotta o struttura geodetica è formata è necessario consolidarla appoggiandola sopra la

base. Deve essere fissata sempre con nastro adesivo e le alette della base devono stare all'interno

perciò quest'ultime devono essere piegate a 150°.

Sempre a detta di alcuni radiestesisti un modello di queste dimensioni può diventare un ottimo

equilibratore della nostra psiche. Ci si sdraia con la testa possibilmente a Nord e il modello di

struttura geodetica (anch'esso orientato a nord e il più possibile orizzontale) posto sul plesso solare.

Il tempo del trattamento varia da 30 a 60 minuti. Questi modellini possono essere usati anche nella

cromoterapia. Si può iniziare con i tre colori base ovvero: rosso, verde e blu.

G.CROVATTO-Fascino Delle Forme

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