GAYA SENTRAL DAN MEKANIKA ASTRONOMI

6.1 Pendahuluan. Hukum Gravitasi Newton

Suatu gaya yang dipengaruhi oleh adanya pengaruh dari titik pusat disebut dengan gaya

sentral. Jika besar gaya tersebut hanya bergantung pada jarak dari pusat dan tidak

tergantung pada arahnya, disebut isotropic. Gaya sentral merupakan pengetahuan dasar

yang sangat penting dalam ilmu fisika, termasuk diantaranya antara lain gaya gravitasi,

gaya elektrostatik dan sebagainya. Gaya interaksi antara partikel-partikel dasar yang

terdapat di alam sangat besar pengaruhnya, untuk dua partikel, salah satu partikel akan

berfungsi sebagai pusat gaya dari partikel yang lain. Tujuan utama dari bab ini adalah untuk

mempelajari gerakan medan gaya sentral dari partikel isotropik dengan penekanan pada

medan gravitasi.

Gravitasi

            Newton mengumumkan hukum gravitasi universalnya pada tahun 1666. Hukum ini

bukanlah suatu pernyataan yang berlebih-lebihan yang mana menyangkut asal muasal ilmu

astronomi moderen, untuk perhitungan hukum gravitasi, untuk mengamati pergerakan

planet-planet dalam sistem matahari, pergerakan satelit-satelitnya, bintang kembar atau

ganda, bahkan sistem perbintangan. Hukum gravitasi ini berbunyi :

Setiap partikel yang ada di alam semesta berinteraksi langsung dengan partikel yang

lainnya  maka gaya yang ditimbulkan sebanding dengan massa kedua partikel tersebut dan

berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Gaya yang terjadi adalah

sepanjang garis lurus jarak antara kedua partikel tersebut.

Gambar 1. Aksi dan reaksi pada  hukum gravitasi Newton

            Kita dapat menuliskan secara vektorial persamaan hukum tersebut adalah :

                                                  (6.1)

            Dimana, Fij adalah gaya pada partikel i, dengan massa mi yang digunakan oleh

partikel j dengan massa mj. Vektor rij adalah garis lurus yang menunjukkan bagian arah dari

partik1 i menuju partikel j, sebagaimana ditunjukkan pada gambar 6.1. Hukum ini

menunjukkan aksi dan reaksi yang seharusnya bahwa Fij = -Fji. Konstanta G dikenal

sebagaiKonstanta Gravitasi Universal. Nilai konstanta ini telah ditentukan pada

laboratorium dengan pengukuran yang sangat teliti gaya antara dua benda yang diketahui

massanya. Dalam satuan internasional, nilai ini dinyatakan dalam satuan SI,

G = (6,672  0,004) x 10-11Nm2kg-2

            Semua pemahaman kita tentang massa benda-benda angkasa, termasuk di

antaranya bumi, didasari pada nilai konstanta ini.

6.2 Gaya Gravitasi di antara Lingkaran dan Partikel

            Pada bab 2, kita telah mendiskusikan tentang gerakan jatuh sebuah benda, hal ini

dipengaruhi oleh gaya gravitasi bumi pada partikel yang jatuh di permukaan bumi dimana

berbanding terbalik dengan jarak kuadrat partikel terhadap pusat bumi; yaitu daya tarik

bumi yang berpusat pada satu titik massa. Sekarang kita dapat membuktikan bahwa hal ini

dapat terjadi pada semua benda yang berbentuk bulat, atau benda-benda lain yang

memiliki bentuk bulat simetris.

            Sebagai pertimbangan awal, suatu penampang tipis yang beraturan dengan massa

M dan jarak R. Selanjutnya r adalah jarak dari pusat O ke partikel P dengan massa m

(gambar 6.2). Hal ini diasumsikan bahwa r > R. Kita dapat membagi luas permukaan

dengan keliling lingkaran dengan lebar R , dimana ditunjukkan pada gambar. Sudut POQ

dinyatakan dengan . Q merupakan titik pada lingkaran. Keliling lingkaran adalah  2R sin , dan massanya M diberikan oleh

M  p2R2 sin  Dimana p adalah massa setiap satuan luas permukaan.

            Saat ini gaya gravitasional digunakan pada P dengan bagian elemen kecil Q

lingkaran (yang mana kita dapat mengandaikan sebagai partikel) adalah yang dinyatakan

dengan PQ. Kemudian kita ubah gaya ini,FQ, ke dalam dua komponen, satu komponen

sepanjang PO, yang besarnya Fq cos . Garis yang tegak lurus dengan PO diberikan

olehFq sin . Disini,  adalah sudut OPQ sebagaimana ditunjukkan pada gambar.

Berdasarkan sumbu simetri, kita dapat dengan mudah melihat bahwa jumlah vektor seluruh

komponen yang tegak lurus terhadap P dengan garis singgung lingkaran. Gaya F

ditimbulkan dari semua lingkaran sebagaimana ditunjukkan oleh garis PO, dan besarnya F

berasal dari penjumlahan komponen-komponen Fq con . Hasil yang diperoleh :

Dimana, u adalah jarak PQ (jarak dari partikel P ke lingkaran) sebagaimana ditujukkan

pada gambar. Besarnya gaya yang ditimbulkan P terhadap keliling lingkaran berasal dari

limit  dan integral :

Persamaan integral ini sangat mudah didapat dengan mengintegralkan turunan u.

Berdasarkan segitiga OPQ kita peroleh, dari hukum cosinus,

r2  +  R2  -  2rR cos   =  u2

Dengan menurunkan persamaan ini, kita peroleh bahwa R dan r adalah konstan,

rR sin  d = u du

gambar 6.2  Perhitungan koordinat dari medan gravitasi pada permukaan lintasan

berbentuk lingkaran.

Selain itu, pada segitiga yang sama OPQ, kita dapat menuliskan,

Berdasarkan pembentukan dari substitusinya yang diperoleh dari kedua persamaan di atas,

kita peroleh :

                                    F  = 

                                         = 

                                         = 

Dimana M = 4R2 merupakan massa dari kulit. Kemudian kita dapat menuliskan

persamaan vektorialnya,

                                    F  =                                                                  (6.2)

Dimana, er adalah satuan dari vektor sudut dari pusat O. Persamaan di atas menjelaskan

tentang lintasan lingkaran beraturan dari interaksi ke dalam suatu benda terhadap partikel

luar dimana massa kulit lintasan berpusat di tengah-tengah lingkaran. Hal ini akan terjadi

untuk setiap bagian pusat lingkaran dari gerak melingkar beraturan. Suatu benda bulat

yang beraturan, dimana interaksi ke dalam suatu partikel luar merupakan keseluruhan

massa dari benda bulat dengan massa terpusat di tengahnya. Hal yang sama juga berlaku

pada benda bulat tidak beraturan berat jenisnya bergantung pada jarak jari-jari r.

            Hal ini dapat ditunjukkan pada gaya gravitasi sebuah partikel yang terdapat dalam

benda bulat beraturan adalah nol. Pembuktian dapat dilakukan pada latihan.

6.3  Energi Potensial pada Medan Gravitasi.

       Potensial Garvitasi

Pada bab 2 bagian 2.3, kita telah membahas bahwa hukum perbandingan terbalik kuadrat

jarak dari gaya menunjukkan hukum pertama untuk fungsi energi potensial. Pada bagian ini

kita akan menurunkan hubungan yang sama dengan berbagai macam cara secara fisika.

            Marilah kita perhatikan suatu kerja W diperlukan untuk menggerakkan partikel uji

dengan massa m sepanjang jarak yang terdapat dalam medan gravitasi terhadap partikel

lain dengan massa M.

            Kita harus menempatkan partikel dengan massa M pada sistem koordinat awal,

sebagaimana ditunjukkan pada gambar 6.3(a). Ketika gaya F pada partikel uji ini

memberikan gaya sebesar F = -(GMm/r2)er, kemudian untuk menyeimbangkan gaya ini,

sebuah gaya luar –F harus diberikan. dW  bekerja pada pergerakan partikel uji hingga

mencapai jarakdr hingga kemudian dinyatakan sebagai,

                                                                                 (6.3)

Sekarang kita dapat menetapkan dr kedalam dua komponen: er dr paralel

kepada er (Komponen sudut), dan selain itu pada sudut kanan dari er{Gambar 6.3 (b)}.

Dengan jelas.

                                    er . dr  = dr

dan juga W dapat diberikan dengan

                                                                   (6.4)

(a)

(b)

Gambar 6.3  Diagram untuk menentukan kerja yang disebabkan oleh gerak pada partikel uji

dalam medan gravitasi.

Dimana r1 dan r2 adalah sudut jarak dari masing-masing partikel pada awal dan akhir.

Kemudian kerja partikel sendiri pada lintasannya tergantung pada titik akhir. Hal ini

membuktikan fakta sebagaimana yang telah kita ketahui, pernyataan hukum perbandingan

terbalik kuadrat dari gaya sudah tidak berlaku.

            Kita dapat mendefenisikan energi potensial massa suatu partikel yang terdapat

pada medan gravitasi terhadap partikel yang lain dimana terjadi kerja pada pergerakan

partikel uji dari beberapa (berubah-ubah) posisi acuan ke suatu titik ke dalam suatu

persamaan. Hal ini sangat tepat untuk menentukan posisi acuan pada titik yang tak

terbatas. Anggap r1 = dan r2 = r, dalam persamaan 6.4, kita dapatkan

                                                                           (6.5)

            Persamaan ini sangat tepat didefenisikan secara kuantitas sebagai , yang disebut

sebagai potensial gravitasi, sebagaimana energi potensial gravitasi tiap satuan massa :

                                                  =  

Kemudian potensial gravitasi pada medan dari pertikel yang bermassa M diberikan :

                                                  =                                                     (6.6)

Jika kita memiliki partikel dengan nilai M1, M2, ... Mi, ...dengan posisi pada r1, r2, ... ri ...,

kemudian potensial gravitasi pada titik (x, y, z) merupakan jumlah dari potensial gravitasi

semua partikel, yaitu

                                                 (x, y, z)  =  i  =                       (6.7)

Dimana ui merupakan jarak dari partikel i, dengan massa Mi, ke titik medan r (x, y, z).

Selanjutnya

                                                Ui  =   r - ri            Perbandingan gaya gravitasi yang diberikan oleh partikel terhadap massanya

disebut dengan Intensitas medan gravitasi. Intensitas medan gravitasi ini disimbolkan

dengan G , selanjutnya

                                                G   =  

Hubungan antara intensitas medan dengan potensial adalah sama dimana antara gaya F

dan energi potensial V, dapat dinyatakan

                                                G  =  -                                                       (6.8)

                                                F  = -  VIntensitas medan gravitasi dapat dihitung dengan persamaan potensial gravitasi pertama

dari persamaan 6.7 dan kemudian menghitung tingginya. Metode ini merupakan metode

sederhana yang sering diterapkan pada metode perhitungan medan gravitasi dari hukum

perbandingan terbalik kuadrat. Hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa energi potensial

gravitasi merupakan penjumlahan secara berkala dimana medan gravitasi  berasal dari

penjumlahan vektor. Keadaan ini dianalogikan dalam teori medan elektrostatik. Faktanya,

hanya satu yang dapat diterapkan dari berbagai hasil pengamatan berdasarkan gaya

elektrostatik yang ditimbulkan oleh medan gravitasi dan potensial gravitasi dengan

syarat,  dimana massa bernilai negatif.

Contoh

6.1  Potensial pada kulit lingkaran beraturan

            Sebagai contoh, marilah kita cari fungsi potensial untuk kulit lingkaran beraturan.

Dengan menggunakan persamaan yang sama sebagaimana ditunjukkan pada gamabr 6.2,

kita dapatkan:

                                    

Berdasarkan hubungan yang sama antara u dan  maka  kita menemukan bahwa

persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

                                                                  (6.9)

Dimana M adalah massa kulit. Massa ini sama dengan fungsi potensial sebagaimana

halnya pada partikel tunggal dengan massa M pada posisi O. Oleh karena itu medan

gravitasi di luar kulit sama jika massanyaberpusat pada tengah lingkaran. Hal

ini  menimbulkan masalah yang menunjukkan bahwa dengan mengubah secara tepat

terhadap integral dan limitnya, potensial dalam kulit akan konstan dan oleh karena itu

medan yang ditimbulkan adalah nol.

6.2 Potensial dan medan pada cincin tipis

            Kita sekarang dapat menemukan fungsi potensial dan intensitas medan gravitasi

sebuah pesawat dengan peredaran yang membentuk lingkaran elips. Anggaplah lingkaran

tersebut memiliki jari-jari R dan massa M. Kemudian untuk titik singgung luarnya terletak di

lintasan pesawat, gambar 6.4, dapat kita peroleh,

                                      =  

Gambar 6.4  Coordinat untuk menghitung medan grafitasi pada lingkaran

            Yang mana  merupakan kepadatan linier dari lingkaran. Dalam aturan

pengevaluasian integral, kita harus menuangkan hasil integral ke dalam suatu sudut . Pada segitiga OPQ, kita peroleh

                                    R sin   =  r sin Turunannya

                        R cos  d = r cos  d  =  r cos  (-d - d)Tahap terakhir mengikuti dari kenyataan bahwa   +    +    =  . Apabila diubah urutan dan

menghubungkan dengan u = R cos   +  r cos , kita dapatkan,

                        U d  =  -r cos  d  =  -(r2 – R2 sin2 )1/2 dOleh karena itu, integral persamaan di atas menghasilkan

                                                  (6.10)

Dengan melanjutkan pengintegralan sebagai kesatuan dan mengintegrakan bagian- per

bagian , kita peroleh

                            =   

                               =   

                               =   

Intensitas medan pada suatu jarak r dari pusat lingkaran merupakan jari-jari lingkaran

(  bukan sebuah fungsi dari ), dan persamaan ini ditunjukkan

                        G  =  

Jadi, medan gravitasi tidak mengikuti hukum perbandingan terbalik kuadrat. Jika r

dibandingkan dengan R sedemikian rupa, maka bagian pertama lebih mempengaruhi, dan

medan merupakan golongan perbandingan terbalik kuadrat. Faktanya, ini juga berlaku

untuk benda-benda tertentu dengan berbagai bentuk, yaitu untuk jarak yang dibandingkan

dengan dimensi linier pada sebuah benda, medan cenderung menjadi pendominasi

perbandingan terbalik kuadrat.

Hukum Gerakan Planet KeplerDari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Belum Diperiksa

Figure 1: Illustration of Kepler's three laws with two planetary orbits. (1) The orbits are ellipses, with focal pointsƒ1 and ƒ2 for

the first planet and ƒ1 and &>. (2) The two shaded sectors A1 and A2 have the same surface area and the time for planet 1 to

cover segment A1 is equal to the time to cover segment A2. (3) The total orbit times for planet 1 and planet 2 have a

ratio a13/2 : a2

3/2.

Di dalam astronomi, tiga Hukum Gerakan Planet Kepler adalah:

Setiap planet bergerak dengan lintasan elips, Matahari berada di salah satu fokusnya.

Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama akan selalu sama.

Perioda kuadrat suatu planet berbanding dengan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari Matahari.

Ketiga hukum di atas ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Jerman: Johannes Kepler(1571–1630),

yang menjelaskan gerakan planet di dalam tata surya. Hukum di atas menjabarkan gerakan dua benda yang

saling mengorbit.

Karya Kepler didasari oleh data pengamatan Tycho Brahe, yang diterbitkannya sebagai 'Rudolphine tables'.

Sekitar tahun 1605, Kepler menyimpulkan bahwa data posisi planet hasil pengamatan Brahe mengikuti

rumusan matematika cukup sederhana yang tercantum di atas.

Hukum Kepler mempertanyakan kebenaran astronomi dan fisika warisan zaman Aristoteles danPtolemaeus.

Ungkapan Kepler bahwa Bumi beredar sekeliling, berbentuk elips dan bukannya epicycle, dan membuktikan

bahwa kecepatan gerak planet bervariasi, mengubah astronomi dan fisika. Hampir seabad kemudian, Isaac

Newton mendeduksi Hukum Kepler dari rumusan hukum karyanya, hukum gerak dan hukum gravitasi Newton,

dengan menggunakan Euclidean geometri klasik.

Pada era modern, hukum Kepler digunakan untuk aproksimasi orbit satelit dan benda-benda yang mengorbit

Matahari, yang semuanya belum ditemukan pada saat Kepler hidup (contoh: planet luar dan asteroid). Hukum

ini kemudian diaplikasikan untuk semua benda kecil yang mengorbit benda lain yang jauh lebih besar,

walaupun beberapa aspek seperti gesekan atmosfer (contoh: gerakan di orbit rendah), atau relativitas (contoh:

prosesi preihelion merkurius), dan keberadaan benda lainnya dapat membuat hasil hitungan tidak akurat dalam

berbagai keperluan.

Animasi dari gerak Kepler

Daftar isi

  [sembunyikan] 

1 Pengenalan Tiga Hukum Kepler

o 1.1 Secara Umum

o 1.2 Hukum Pertama

o 1.3 Hukum Kedua

o 1.4 Hukum Ketiga

2 Sejarah

3 Pustaka

4 Pranala luar

[sunting]Pengenalan Tiga Hukum Kepler

[sunting]Secara Umum

Hukum hukum ini menjabarkan gerakan dua badan yang mengorbit satu sama lainnya. Massa dari kedua

badan ini bisa hampir sama, sebagai contohCharon—Pluto (~1:10), proporsi yang kecil, sebagai contoh. Bulan

—Bumi(~1:100), atau perbandingan proporsi yang besar, sebagai contohMerkurius—

Matahari (~1:10,000,000).

Dalam semua contoh di atas, kedua badan mengorbit mengelilingi satu pusat massa, barycenter, tidak satu

pun berdiri secara sepenuhnya di atas fokus elips. Namun, kedua orbit itu adalah elips dengan satu titik fokus

di barycenter. Jika rasio massanya besar, sebagai contoh planet mengelilingi Matahari, barycenternya terletak

jauh di tengah obyek yang besar, dekat di titik massanya. Di dalam contoh ini, perlu digunakan instrumen

presisi canggih untuk mendeteksi pemisahan barycenter dari titik masa benda yang lebih besar. Jadi, hukum

Kepler pertama secara akurat menjabarkan orbit sebuah planet mengelilingi Matahari.

Karena Kepler menulis hukumnya untuk aplikasi orbit planet dan Matahari, dan tidak mengenal generalitas

hukumnya, artikel ini hanya akan mendiskusikan hukum di atas sehubungan dengan Matahari dan planet-

planetnya.

[sunting]Hukum Pertama

Figure 2: Hukum Kepler pertama menempatkan Matahari di satu titik fokus edaran elips.

"Setiap planet bergerak dengan lintasan elips, Matahari berada di salah satu fokusnya."

Pada zaman Kepler, klaim di atas adalah radikal. Kepercayaan yang berlaku (terutama yang berbasis teori

epicycle) adalah bahwa orbit harus didasari lingkaran sempurna. Pengamatan ini sangat penting pada

saat itu karena mendukung pandangan alam semesta menurut Kopernikus. Ini tidak berarti ia kehilangan

relevansi dalam konteks yang lebih modern.

Meski secara teknis elips yang tidak sama dengan lingkaran, tetapi sebagian besar planet planet

mengikuti orbit yang bereksentrisitas rendah, jadi secara kasar bisa dibilang mengaproksimasi lingkaran.

Jadi, kalau ditilik dari pengamatan jalan edaran planet, tidak jelas kalau orbit sebuah planet adalah elips.

Namun, dari bukti perhitungan Kepler, orbit-orbit itu adalah elips, yang juga memeperbolehkan benda-

benda angkasa yang jauh dari Matahari untuk memiliki orbit elips. Benda-benda angkasa ini tentunya

sudah banyak dicatat oleh ahli astronomi, seperti komet dan asteroid. Sebagai contoh, Pluto, yang diamati

pada akhir tahun 1930, terutama terlambat diketemukan karena bentuk orbitnya yang sangat elips dan

kecil ukurannya.

[sunting]Hukum Kedua

Figure 3: Illustrasi hukum Kepler kedua. Bahwa Planet bergerak lebih cepat di dekat Matahari dan lambat di jarak

yang jauh. Sehingga, jumlah area adalah sama pada jangka waktu tertentu.

"Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama akan selalu sama."

Secara matematis:

dimana   adalah "areal velocity".

[sunting]Hukum Ketiga

Planet yang terletak jauh dari Matahari memiliki perioda orbit yang lebih panjang dari planet yang

dekat letaknya. Hukum Kepler ketiga menjabarkan hal tersebut secara kuantitatif.

"Perioda kuadrat suatu planet berbanding dengan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari Matahari."

Secara matematis:

dengan   adalah perioda orbit planet dan   adalah sumbu semimajor orbitnya.

Konstant proporsionalitasnya adalah semua sama untuk planet yang mengedar

Matahari.