Gaus - Krigerova i UTM Projekcija

Priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, vii asistent, Tuzla, februar, 2013. godine

1

GAUS-KRGEROVA PROJEKCIJA

1. Ope karakteristike Gaus-Krgerove projekcije

Njemaki naunik Gaus (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855), koji je dao optu teoriju konformnog projektovanja, predloio je konformnu poprenu cilindrinu projekciju. Izveo je jednaine za konformno projektovanje sa elipsoidne Zemljine povri (transformacijama geografskih koordinata i ) na sfernu povrinu lopte (tzv. Lambert-Gausova projekcija) i prelaz sa sferne na ravnu povr - kartu. U sutini Gausova projekcija je poprena Merkatorova projekcija, pa je neki (npr. Amerikanci) tako i nazivaju.

Profesor postdamskom geodetskog instituta Krger (Johannes Krger, 1857-1923), prouavajui radove Gausa (poslije njegove smrti), a polazei od Gausove opte teorije konformnog projektovanja, izveo je jednaine za neposredno projektovanje sa elipsoidne na ravnu povr (bez posredstva lopte) kao i direktno preraunavanje geografskih koordinata i u pravougle koordinate x i y. Od tada se ova projekcija naziva Gaus-Krgerova projekcija.

Sutina prenoenja taaka sa sferoidne povrine elipsoida na ravan u ovoj projekciji sastoji se u sraunavanju ravnih pravouglih koordinata (apscisa x i ordinata y) tih taaka na osnovu njihovih geografskih koordinata. Jednaine po kojima se ovo preraunava izvedene su pod sljedeim uslovima:

Na Zemljin elipsoid zamiljeno je navuen cilindar tako da osa tog cilindra lei u ravni ekvatora, a cilindar dodiruje elipsoid po jednom meridijanu;

Take sa povrine Zemljinog elipsoida treba da se preslikaju neposredno na povrinu cilindra tako da se, nakon razvijanja cilindra u ravan, dobije konformna projekcija preslikanih taaka, odnosno slinost figura na elipsoidu i ravni.

Mrea meridijana i paralela, sraunata po jednainama izvedenim pod navedenim uslovima i u odreenom razmjeru konstruisana na ravni, ima izgled kao na slici 1. Iz slike se vidi da se dodirni meridijan i ekvator preslikavaju kao prave meusobno upravne linije; ostali meridijani kao krive linije simetrine u odnosu na dodirni meridijan, dok se paralele preslikavaju kao krive linije simetrine u odnosu na projekciju ekvatora. Poto je projekcija konformna, projekcije svih meridijana sijeku projekcije svih paralela i ekvatora pod pravim uglom, kao to je to sluaj i na elipsoidu.


2

Slika 1.: Odnos geografske i pravougle koordinatne mree u Gaus-Krgerovoj projekciji (priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, vii asistent)

Deformacije duina u ovoj projekciji zavise od udaljenosti taaka koje se preslikavaju, od dodirnog meridijana, i rastu srazmjerno tom udaljenju. Zbog toga je, Gaus-Krgerova projekcija primjenjiva samo za relativno usku zonu du dodirnog meridijana. irina te zone zavisi od veliine deformacija koje se, s obzirom na traenu tanost, mogu dozvoliti.

U naem dravnom premjeru, Gaus-Krgerova projekcija primjenjuje se pod uslovom da deformacije (greke) duina ne budu vee od jednog desethiljaditog dijela odnosne duine, to iznosi 1 dm na 1 km. Da bi se postigla ova tanost, teritorija Jugoslavije projektuje se na tri cilindra koji zamiljeno dodiruju Zemljin elipsoid po meridijanima: 15, 18 i 21 istone geografske duine, raunajui od Grinikog meridijana kao poetnog. Na taj nain se formiraju 3 meridijanske zone u kojima se dodirni meridijani pojavljuju kao srednji meridijani zona. Granini meridijani ovih zona udaljeni su od srednjeg meridijana odgovarajue zone za po 1 i 30' istono i zapadno. Svakoj zoni je dat broj koji se dobija dijeljenjem geografske duine srednjeg meridijana zone sa tri; prema tome brojevi zona su 5, 6 i 7. (vidi sliku 1.)

Pravougle koordinate taaka sraunavaju se u svakoj meridijanskoj zoni u odnosu na pravougli koordinatni sistem zone. Pravougli koordinatni sistem zone obrazuju projekcija srednjeg meridijana zone kao apscisna osa (x) i projekcija ekvatora kao ordinatna osa (y). Prema tome, za svaku meridijansku zonu postoji poseban koordinatni sistem sa koordinatnim poetkom u presjenoj taki srednjeg meridijana zone i ekvatora. Uslovljeno je da apscisna osa x ima pozitivan smjer sjeverno od koordinatnog poetka, a juno negativan, a ordinatna osa y pozitivan smjer istono od koordinatnog poetka i zapadno negativan. Oigledno, u takvom koordinatnom sistemu, sve take sjeverno od ekvatora imaju pozitivne vrijednosti apscisa, a ordinate zavisno od toga gdje se taka nalazi; istono od srednjeg meridijana zone take, imaju pozitivne vrijednosti ordinata, a zapadno od srednjeg meridijana ordinate taaka su negativne. Pravougle koordinate neke take, sraunate u Gaus-Krgerovoj


3

projekciji, oznaavaju se: apscisa (x) udaljenje take od ekvatora, a ordinata (y) udaljenje take od srednjeg meridijana zone, izraene u metrima. (vidi sliku 2.)

Da bi se kod ordinata izbjegle njihove negativne vrijednosti, uslovljeno je da sve take apscisne ose pravouglog koordinatnog sistema zone imaju vrijednosti ordinata y = 500 000 m. Prema tome, sve take istono od srednjeg meridijana zone imaju ordinate vee od 500 000 m, a zapadno manje od 500 000 m. Poto pojedine take mogu imati potpuno iste vrijednosti koordinata, a nalaze se u razliitim zonama, da bi se znalo kojoj zoni taka pripada, ispred podatka o ordinati ispisuje se broj odgovarajue zone. Tako, na primjer, taka T1 koja ima koordinate:

Y = 6 572 348, 23 i

X = 5 196 544, 87,

nalazi se u 6. zoni istono od srednjeg (18) meridijana zone za 72 km 348 m i 23 cm i sjeverno od ekvatora za 5196 km 544 m 87 cm, dok se taka T2:

Y = 7 402 530, 36 i

X = 4 484 312, 48

nalazi u 7. zoni zapadno od srednjeg (21) meridijana za 97 km 469 m 64 cm (500 000 402 530, 36) i sjeverno od ekvatora za 4 484 km 312 m 48 cm.

Gaus-Krgerova projekcija usvojena je u naoj zemlji za odreivanje (sraunavanje) poloaja geodetskih taaka (take dravne trigonomstrijske mree i druge) i za izradu topografskih planova i karata zakljuno sa razmjerom 1:300 000.

Poto su kod Gaus-Krgerove projekcije uglovne deformacije iskljuene uslovom same projekcije, a linijske deformacije ograniene uslovljenom irinom (3) meridijanske zone, na topografskim kartama izraenim u ovoj projekciji, u okviru jednog lista karte, praktino ne dolaze do izraaja greke usljed deformacija projekcije. Deformacije dolaze do izraaja tek pri pokuaju da se vei broj listova karte sastavi u jednu cjelinu; tada nastaju zazori ili preklapanja du linija okvira listova po kojima se to spajanje vri.

(Prema: Gvozden R. olovi, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, 1969. godine)


4

Slika 2. Shematski prikaz Gaus-Krgerove projekcije (priredio: mr.sc. Edin Hadimustafi, vii asistent)

2. Uslovi projiciranja

Projekcija je prema karakteru deformacija konformna; Glavni (srednji) meridijan mora se preslikati kao prava i predstavljati x osu

pravouglog koordinatnog sistema u ravni, prema kojem je projekcija simetrina: Svaki dio x ose mora biti jednak odgovarajuem dijelu luka glavnog meridijana; Ekvator (ako se uzme u obzir preslikavanje meridijanske zone du cijelog Zemljinog

elipsoida) se preslikava kao prava linija i usvaja se za y osu pravouglog koordinatnog sistema u ravni karte;

Razmjer du srednjeg (dodirnog) meridijana jednak je 1 odnosno linearna deformacija je 0 i ne zavisi od geografske irine;

Na njoj se moe predstaviti itava zona irine 3 od pola do pola, sa neznatnim deformacijama;

Svaka zona projektuje se na zasebni dodirni cilindar koji dodiruje povrinu Zemljina elipsoida du srednjeg (glavnog meridijana zone);

U okviru svake zone formiraju se zasebni koordinatni sistemi koga obrazuju srednji meridijani kao x ose tj. koordinatni poetak se nalazi na ekvatoru u presjeku srednjeg meridijana zone sa ekvatorom. Vrijednosti koordinata po x osi (apscisi) se raunaju od ekvatora (koordinatni poetak) prema sjeveru sa pozitivnim i prema jugu sa negativnim predznakom. Da bi se izbjegao negativni predznak, ekvatoru se dodaje vrijednost od 10 000 km prilikom raunanja koordinata po apscisi juno od ekvatora.

Kartografska mrea je ortogonalna;


5

U pogledu deformacija duina i povrina sa udaljenjem od dodirnog meridijana (po kojem popreni cilindar dodiruje Zemljinu povrinu), Gaus-Krgerova projekcija se ponaa skoro isto kao i Merkatorova, udaljavanjem od ekvatora prema polovima. Poto su deformacije u blizini dodirnog meridijana nepoznate (kao i u Merkatorovoj, u blizini ekvatora) to se Gaus-Krgerova projekcija koristi za izradu krupnorazmjernih i nekih srednjerazmjernih karata, i to po meridijanskim zonama od po 3 ili 6 stepeni po geografskoj duini, s tim to se zamilja da je svaka takva zona projektovana na poseban cilindar koji dodiruje Zemljinu povrinu po srednjem meridijanu.

Radi lakeg i breg rjeavanja nekih praktinih zadataka, na naim topografskim kartama naknadno je nanesena pravougla (Gaus-Krgerova) koordinatna mrea i to: na kartama zakljuno sa razmjerom 1:100 000 mrea je nanesena po meridijanskim zonama od po 3, a na karti 1:200 000 od po 6 (srednji meridijani 6-stepenskih zona nae dravne teritorije su 15-ti i 21-vi meridijan). Gaus-Krgerovu koordinatnu mreu na ovim kartama obrazuju linije apcisa i ordinata koje imaju vrijednosti okruglih brojeva kilometara. Tako npr., na karti 1:200 000 linije mree su povuene na svakih 10 km; na karti 1:100 000 na 5 km; na karti 1:50 000 na svakih 2 km; a na karti 1:25 000 na svakih kilometar. Brojne oznake vrijednosti linija mree date su pored okvirnih linija karte.

Gaus-Krgerova koordinatna mea koja je ustvari mrea kvadrata, esto se naziva i kvadratnom ili kilometarskom mreom. Osim za vojne potrebe, ona moe posluiti za odreivanje povrina i rastojanja na karti, jer duina stranice kvadrata svake mree uvijek odgovara duini odreenog broja kilometara u prirodi. Gaus-Krgerovu projekciju, zbog konformnosti i praktinosti, danas koristi veina drava u svijetu za izradu topografskih karata.1

3. Pravougla koordinatna mrea

Rjeavanje praktinih zadataka na osnovu geografske koordinatne mree veoma je oteano na karti, jer istim stepenskim vrijednostima meridijana i paralela, promjenom poloaja radne take, odgovaraju razliite vrijednosti njihovih duina u linijskoj mjeri. Osim toga, projekcije meridijana i paralela se na kartama obino ne sjeku pod pravim uglovima, to jo vie komplikuje raunske operacije sa geografskim koordinatama. To su i razlozi zbog kojih se geografska mrea na topografskim kartama po pravilu ne nanosi unutar okvira lista, ve samo naznaava izmeu unutarnjeg i spoljnjeg okvira.

Da bi se uprostio rad sa kartom, na sve vojnotopografske karte se, pored osnovne kartografske mree, nanosi i pravougla mrea. Svi zadaci po toj mrei rjeavaju se sa lakoom koja je svojstvena pravouglom koordinatnom sistemu u ravni.

1 N.Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinej, 1976. godine, str. 54-57


6

Pravougla mrea na topografskim kartama omoguuje:

1. jednostavnost odreivanja pravouglih koordinata svake take na karti, u granicama grafike tanosti;

2. jednostavnost nanoenja na kartu svake take na osnovu datih pravouglih koordinata; 3. lahku i jednoznanu identifikaciju taaka i povrina, kao i uproeno raunanje

direkcionih uglova (pravouglih azimuta); 4. uproeno ocjenjivanje i mjerenje rastojanja na karti, jer pravougla mrea predstavlja

pogodan razmjerni oslonac unutar povrine lista karte.

Sistemi pravougle mree i projekcije mogu biti isti, to je najbolje rjeenje, ili mrea moe biti zasnovana na sistemu nevezanom sa projekcijom u kojoj je karta izraena. Kod nas se na karte izraene u Gaus-Krgerovoj projekciji nanosi pravougla mrea u Gaus-Krgerovom sistemu koordinata.

Mrea se po pravilu nanosi na karte zakljuno sa razmjerom 1:200 000 (1:250 000). Meusobna odstojanja apscisnih i ordinatnih linija mree obino iznose (vidjeti tabelu 1.)

Tabela 1.: Osnovni parametri pravougle koordinatne mree u Gaus-Krgerovoj projekciji

Razmjer TK Dimenzije polja pravougle mree u cm

Povrina 1 km2 1 list pokriva povrinu

1:25 000 4 cm 16 cm2 139 km2 1:50 000 2 ili 4 cm 4 ili 16 cm2 555 km2 1:100 000 2 cm 1 cm2 2220 km2 1:200 000 5 cm 0, 5 cm2 8880 km2

Izvor: N. Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine i R. Njei, Prirunik za topografiju, Sarajevo 1994. godine.

Pravougla mrea se po pravilu konstruie istovremeno sa osnovnom kartografskom mreom, na osnovu pravouglih koordinata tjemena okvira. Orjentacija pravougle u odnosu na kartografsku mreu, tj. u odnosu na okvir lista karte, zavisi od geografskog poloaja lista u okviru jedne Gaus-Krgerove zone. Ugao zakoenja tih dvaju mrea odgovara uglu zbliavanja meridijana. Pravac zakoenja zavisi od toga da li se list karte nalazi istono ili zapadno od srednjeg meridijana dotine zone.

Literatura:

1. Peterca Miroslav i ostali, Kartografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1974. godine;

2. N. Pavii, Osnovi kartografije, Obod Cetinje, 1976. godine; 3. G. olovi, Vojna topografija, Vojnogeografski institut, Beograd, 1969. godine. 4. R. Njei, Prirunik za topografiju, Sarajevo 1994. godine.


7

UTM koordinatna mrea (Sistem obiljeavanja povrina i taaka)

Cilj sistema obiljeavanja povrina i taaka je da omogui jednoznano obiljeavanje

ma koje povrine ili take na cijeloj Zemlji, iskljuujui svako opisno objanjavanje gdje se ta taka nalazi. Ovaj sistem identifikacije mree predstavlja standard koji se primjenjuje na svim vojnim kartama lanica NATO pakta.

Sistem sadri tri stepena obiljeavanja. Prvi i drugi stepen oznaavaju povrine, a trei poloaj taaka unutar tih povrina.

U prvom stepenu obiljeavanja, Zemljina povrina izmeu 80 N i 80 S je merdijanima i paralelama podjeljena na redove i kolone. Uzastopna rastojanja merdijana iznose 6, a uzastopna rastojanja paralela 8. Kolone se obiljeavaju arapskim brojevima od 1 do 60 , a redovi velikim slovima Abecede, poev od C do zakljuno X, pri emu su slova I i O isputena. Slova A, B, Y, Z su rezervisana za obiljeavanje sjevernog i junog polarnog prostora. Svaka tako ograniena povrina naziva se zonom (Grid Zone Designation). Svaka zona se obiljeava oznakom kolone i reda. Tako bi zona koja obuhvata dio nae teritorije nosila oznaku 33 T. Ovaj stepen obiljeavanja se koristi samo kad se eli definisati prostor u okviru svjetskih relacija; u lokalnom obiljeavanju, on se obino izostavlja. (vidjeti slike 3. i 4.)

U drugom stepenu obiljeavanja, svaka zona se dijeli na kvadratne povrine sa stranama od 100 km (100 000 meter square identification). (vidi sliku 5.) Kvadrati se baziraju na UTM - pravougloj mrei. Poetak kvadriranja poklapa se sa koordinatnim poetkom svake UTM-zone. Poev od 180 merdijana, idui istono du Ekvatora u intervalima od po 18, kolone kvadrata obiljeavaju se slovima od A do Z (slova I i O su izostavljena). Obiljeavanje redova u neparnim zonama poinje od juga prema sjeveru slovima A do V ( slova I i O su izostavljena ). Abeceda se ponavlja svakih 2 000 000 metara. U parno obiljeenim zonama, redovi se poinju obiljeavati abecednim redom poev od apscisne linije mree sa vrijednou 500 000 metara, i to isto tako od juga prema sjeveru. Broj kvadrata sa stranama od 100 km nije isti u svim zonama. Dok je broj redova isti na svim irinama, broj kolona se smanjuje poveavanjem geografske irine. Tako na 80 paraleli ostaju samo dvije kolone. S obzirom na to to UTM obuhvata cijelu Zemljinu povrinu, ovako obiljeavanje ne moe se smatrati savrenim. Dok je kod obiljeavanja zona identifikovanje jednostavno, to nije sluaj i sa obiljeavanjem kvadrata. Zato se izdaju posebni registri u vidu skica pojedinih geografskih regiona, u kojima je podjela na kvadrate sa stranama od 100 km sa svojim oznakama. Na preglednim skicama je dat i podatak na kom sferoidu je dotina teritorija izraunata.


8

Slika 3.: Prvi stepen UTM obiljeavanja, podjela na listove i njihova nomenklatura


9

Slika 4.: Prvi stepen UTM obiljeavanja za prostor Europe

Trei stepen obiljeavanja odreuje poloaj take pravouglim koordinatama sa eljenom tanou. Sistem se sastoji iz uzastopnog redanja slova i brojeva, bez taaka, zareza, crtica ili decimala.

Slika 5.: 100 000 m UTM/MGRS (Military grid reference system)


10

Odreivanje UTM koordinata

Stojimo na putu na mjestu oznaenom zvijezdom na topografskoj karti i na GPS ureaju oitavamo poloaj izraen u UTM koordinatama:

10 S 0559741 4282182

10 S predstavlja zonu u kojoj se nalazite. Zone su neophodne da bi koordinate bile jednoobrazne za cijeli svijet.

Brojevi 0559741 predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru istok zapad, unutar zone, u metrima. To se naziva easting (u pravcu istoka).

Brojevi 4282182, predstavljaju mjerenje pozicije u smjeru sjever jug, unutar zone, u metrima. To se naziva northing (u pravcu sjevera).

Na kartama koje imaju UTM (Universal Transverse Mercator) naneenu koordinatnu mreu, rastojanje izmeu linija koordinatne mree je na svkih 1000 m. vertikalna linija unutar


11

koordinatne mree odreuje poziciju u smjeru istok zapad dok horizontalna linija koordinatne mree odreuje poziciju u smjeru sjever jug.

Pogledajte du donje ivice karte na natpisima za vertiklane linije koordinatne mree.

559 and 560000 mE.

Natpis 560000 mE., se ita petsto ezdeset hiljada metara istono. Natpis 559, je skraenica za 559000 mE. Dvije susjedne linije koordinatne mree su udaljene 1000 m.

Horizontalna linija ja oznaena na slian nain. 4281000N se ita etri miliona dvjesto osamdeset jedna hiljada metara sjeverno, a odnosi se na udaljenost sjeverno od ekvatora.

Veina aktivnosti oko navigacije na kopnu fokusirana je na veoma male dijelove planete. Na GPS ureaju moemo oitati (isti poloaj kao u prethodnom primjeru):

10 S 0559741 4282182

Zona10 S 559741 mE. 4282182 mN.

Skraeni format za iste coordinate bi mogao izgledati ovako, gdje su pojedinano prikazana znaenja pojedinih brojeva koordinata.

59 82 Opisuje 1000 m x 1000 m kvadrat. 597 821 Opisuje 100 m x 100 m kvadrat. 5974 8218 Opisuje 10 m x 10 m kvadrat. 59741 82182 Opisuje 1 m x 1 m kvadrat.

Najee se u praksi koriste skraeni oblik za 100 m, 597 821, I skraeni oblik za 10 m, 5974 8218.

Primjeujete da se prvo pie koordinata easting (u pravcu istoka) a nakon nje northing (u pravcu sjevera). Zapamtite izraz itaj desno gore to pomae da zapamtite da itate easting sa desna na lijevo, a nakon toga northing odozdo prema gore.


12

Primjer prikazan na sljedeoj karti locira sa preciznou od 100 m. Vrijednosti 10,000 m i 1,000 m koordinata su oitane na karti. Prema tome koordinate 59 82 lociraju poloaj zvijezde unutar 1,000 metara kvadratnih. Pomou koordinatomjera je odreena preciznost odreivanja poloaja zvijezde do 100 m to se pie na sljedei nain 597 821.

Gaus - Krigerova i UTM Projekcija

Documents

Transcript of Gaus - Krigerova i UTM Projekcija