Ganzzahligkeit 1 Ganzzahligkeit in LP-Modellen Problematik * Modellierung * Lösungswege.
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Ganzzahligkeit 1
Ganzzahligkeit in LP-Modellen
Problematik * Modellierung * Lösungswege
Ganzzahligkeit 2
Agenda
1. Problematik
2. Modelle mit Ganzzahligkeitsbedingung21. Direkte Modelle
22. Codierte Modelle
23. Transformierte Modelle
3. Lösungswege31. Schnittebenen
32. Branch and Bound
Ganzzahligkeit 3
1. Problematik der Ganzzahligkeit
Als Lösungen kommen nur die ganzzahligen Punkte in Betracht:
Ganzzahligkeit 4
Schwierigkeiten
Lösungsraum ist nicht konvex. Lösungen liegen i.d.R. nicht auf dem Rand. Gerundete Lösungen sind vom Optimum i.d.R. weit entfernt. Dieses gilt besonders für sog. 0-1-Probleme.
Ganzzahligkeit 5
Klassifizierung von IP-Problemen
Klassifizierung von Integer Problemen:
Wertebereich der ganzzahligen Variablen xj 0 ganzzahlig xj = 0 oder xj = 1
Ganz- zahligkeit für
alleVariablen xj jN
ganzzahliges Prog. IP 'all-integer'
bivalentes Prog. oder (0,1)-LP BIP 'zero/one-integer'
Ganz- zahligkeit für
einen Teil der Variablen xj jIN
gemischt-ganzz. Prog. MIP 'mixed integer'
gemischt bival. Prog. MBIP 'mixed-zero/one-integer'
Ganzzahligkeit 6
2.1 Direkte Modelle
1
1
Min
mit
u.d.N. für A,B,C,D
0
n
j jj
n
ij j ij
j
z
z r x
a x b i
x
ganzzahlig
Durch Hinzufügen der Anweisung "ganzzahlig" für einzelne oder alle Variablen (z.B. beim Verschnittproblem):
Man bezeichnet das entsprechende LP-Probleme ohne die Ganzzahlig-keitsbedingung als relaxiertes Problem.
Ganzzahligkeit 7
2.2 Codierte Modelle
Wenn die Entscheidungsvariablen einen qualitativen Aspekt repräsentieren, für den es genau definierte, endliche Zustände gibt, erhält man codierte Modelle.
Besonders häufig: Es gibt nur zwei definierte Zustände, die man durch sog. Binärvariablen abbilden kann.
Beispiele hierfür: Kapitalbudgetierung (Investition: ja / nein) Maschinenbelegung (Auftrag auf Anlage: ja/nein) Stundenplanerstellung (Zuordnung: ja/nein) Knapsackproblem (Gut: ja/nein) Travelling Salesman (Strecke: ja/nein) Lieferplan (Lieferung: ja/nein) Standort (Ort: ja/nein) Graphenprobleme (Covering, Matching, Colouring)
Ganzzahligkeit 8
2.3 Tranformierte Modelle
Eine Binärvariable wird als Indikator-variable benutzt, die einen bestimmten Zustand in Abhängigkeit des Wertes einer anderen Variable eine Beschränkung induziert.
Typisch sind dabei "Wenn … dann …"-Bedingungen, also logische Abhängigkeiten.
Ganzzahligkeit 9
2.3.1 Diskretwertmodelle
Eine Aktivität (Variable) soll nur einen von mehreren, vorher bestimmte Werte annehmen dürfen:
1 2W= , ,..., 2,5,7,9j nx w w w
1 1 2 2
1 2
...
... 1
0,1
j n n
n
j
x w y w y w y
y y y
y
Jedem Wert ordnet man eine Indikatorvaiable zu:
Ganzzahligkeit 10
2.3.2 Batch Size Probleme
Einfache Dichotomie
Eine Variable soll entweder Null sein oder eine bestimmte Untergrenze nicht unterschreiten: Ein Produkt j soll entweder nicht oder – wenn schon – dann mindestens in der Menge lj gefertigt werden.Es sei uj eine künstliche oder natürliche Obergrenze für die Variable xj:
0
0
0,1
0
j j j
j j j
j
j
x l y
x u y
y
x
Ganzzahligkeit 11
2.3.3 Disjunkte Variablen
Von n Variablen (die bestimmten Aktivitäten zugeordnet sind), soll entweder
(1) eine einen Wert größer Null haben oder
(2) mindestens p einen Wert größer Null haben oder
(3) höchstens q einen Wert größer Null haben.
Zu jeder Aktivitätsvariablen xj mit der Obergrenze uj wird ein Indikatorvariable yj gewählt:
0
1. 1
2.
3.
j j j
jj
jj
jj
x u y
y
y p
y q
für alle 1,2,...,j n
0,1 für alle 1,2,...,jy j n
Ganzzahligkeit 12
2.3.4 Disjunkte Nebenbedingungen
Aus einer Menge von Nebenbedingungen fi(x1,x2,…,xn) bi seien aktiv:
1. genau eine ( m-1 sind relaxiert)
2. mindestens p ( höchstens m-p sind relaxiert)
3. höchstens q ( mindestens m-q sind relaxiert).
Es sei M eine große Zahl (M>>bi):
1. 1
2.
3.
ii
ii
ii
y m
y m p
y m q
1 2
0,1
( , ,..., ) M für alle 1,2,...,i
i n i i
y
f x x x b y i m
Ganzzahligkeit 13
2.3.5 Nebenbedingung mit alternativen RS
Für eine Nebenbedingung f(x1,x2,…,xn)=b soll alternativ eine RS b{b1 oder b2 oder… } gelten:
0,1iy
1 2( , ...)
1
k kk
kk
f x x b y
y
j j k kj k
z c x d y
Falls mit einer schrittweisen Kapazitätserweiterung b1<b2<… Kosten d1<d2<… verbunden sind, berücksichtigt man ín der Zielfunktion:
Ganzzahligkeit 14
2.3.6 Fixed Charge Problem
Klassisches Fixkostenproblem:
0 für 0( )
für 0j
jj j j j
xk x
f c x x
Für jede Variable xj ist eine Indikatorvariable yj zu definieren:
Min
mit
M 0,1
j j j jj j
j j j
z
z c x f y
x y y
Ganzzahligkeit 15
2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (1)
Die Vereinigung konvexer Gebiete ist i.d.R. nicht konvex:
TG1 TG2
3
x2
1x
{or3ab304.pre}
1
2
1 2 3 4 5
TG3
Ganzzahligkeit 16
2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (2)
Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert:
2
1 2
1 2
TG1: 3 (1.1)
4 (1.2)
, 0 (1.3)
x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
TG2: 0 (2.1)
3 8 (2.2)
, 0 (2.3)
x x
x x
x x
1
2
1 2
TG3: 5 (3.1)
1 (3.2)
, 0 (3.3)
x
x
x x
Ganzzahligkeit 17
Formulierung logischer Verknüpfungen
Xi eine Aussage, z.B. Xi = wahr, wenn Produkt i hergestellt wird, d.h. xi > 0
yi = 1, wenn Xi = wahr; yi = 0, wenn Xi = falsch
Verknüpfung Bezeichnung Formulierung
Negation Xi yi = 0 (alternativ: 1 yi = 1)
Konjunktion Xi Xj yi = 1 UND yj = 1 yi + yj = 2
Disjunktion Xi Xj yi = 1 ODER yj = 1 yi + yj 1
Implikation Xi Xj yi yj 0
Äquivalenz Xi Xj yi yj = 0
Ganzzahligkeit 18
Logische Impliklationen (1)
Voraussetzung:
( 0 sei natürliche Untergrenze)
m x
m
Formulierung: 0x m y
Implikation: 1 0y x m
Ganzzahligkeit 19
Logische Impliklationen (2)
Implikation: 0 1x y
Voraussetzung: 0
( natürliche Obergrenze = große Zahl)
x M
M
Formulierung: 0x M y
Ganzzahligkeit 20
Logische Impliklationen (3)
Voraussetzung:
( sei Obergrenze des Funktionals)
j jj
a x b M
M
j
Formulierung: j ja x M y b M
Implikation: 1 j jj
y a x b
Ganzzahligkeit 21
Logische Impliklationen (4)
Voraussetzung:
( 0 sei Untergrenze des Funktionals)
j jj
m a x b
m
j
Formulierung: ( )j ja x m y b
Implikation: 1j jj
a x b y
Ganzzahligkeit 22
Logische Impliklationen (5)
Voraussetzung:
( sei Untergrenze des Funktionals)
j jj
m a x b
m
j
Formulierung: j ja x m y b m
Implikation: 1 j jj
y a x b
Ganzzahligkeit 23
Logische Impliklationen (6)
Voraussetzung:
( sei Obergrenze des Funktionals)
j jj
a x b M
M
j
Formulierung: ( )j ja x M y b
Implikation: 1j jj
a x b y
Ganzzahligkeit 24
2.3.7 Vereinigung konvexer Gebiete (2)
Jedes Gebiet ist für sich durch lineare Ungleichungen definiert:
1 2 1 2
2 1 2 1 2
3 1 2
TG1: y 1 ( 3) ( 4)
TG2: y 1 ( 0) (3 8)
TG3: y 1 ( 5) ( 1)
x x x
x x x x
x x
1 2Für alle Gebiete gilt gemeinsam: 5 und 4x x
Ganzzahligkeit 25
Anwendung der logischen Implikation Typ (3)
1 1 1
1 2 1 2
Durch Abschätzung erhält man Obergrenzen M
zu den Nebenbedingungen:
3 3 0 : 3 4 3 1 M 1
4 0 : 4 4 5 4 5 M 5
x x x
x x x x
1
2 1
1 2 1
Die Indikatorvariable 1 aktiviert damit
die obigen Nebenbedingungen genau dann, wenn:
1 3 1
5 4 5
y
x y
x x y
Ganzzahligkeit 26
Anwendung der logischen Implikation Typ (3)
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Analog erhält man Obergrenzen M zu den Neben-
bedingungen des TG2:
0 0; 4 : 4 M 4
3 8 5; 0 : 3 8 15 0 8 5 M 7
x x x x x x
x x x x x x
2
1 2 2
1 2 2
Die Indikatorvariable 1 aktiviert damit
die obigen Nebenbedingungen genau dann, wenn:
4 4
3 7 15
y
x x y
x x y
Ganzzahligkeit 27
Anwendung der logischen Implikation Typ (3)
2 1
1 2 1
1 2 2
1 2 2
2 3
1
Die äquivalente Formulierung erhält man für TG3.
Zusammen ergibt sich:
4 (TG1)
5 9
4 4 (TG2)
3 7 15
3 4 (TG3)
5
x y
x x y
x x y
x x y
x y
x
1, 2, 3 1 2 3
Da die Lösung in mindestens einem Teilgebiet
liegen muss, aber in allen liegen kann, gilt:
0,1 : 1y y y y y y