Gamow (1928), Condon & Gurney (1928, 1929) – постоји

коначна вероватноћа продора -честице кроз баријеру –

тунел ефекат

Детаљан (и апроксимативни) квантномеханички рачун

дају израз за фактор пролаза (пробоја)

- редукована маса система потомак – -

честица

Q - енергија -распада

𝜆 = 𝑓𝑝

По deBroglie релацији таласна дужина -честице јеℎ

𝑣𝑅

Ако се -честица креће напред-назад у језгру константном

брзином онда важи

𝑓 =𝑣

2𝑅=

2 𝑉0 + 𝑄𝜇

2𝑅=

ℎ

2𝑅2

Производ ове фреквенције и фактора пролаза даје

вероватноћу распада

Интеграцијом израза добијамо

𝑢 =𝐸𝐸𝑐𝑏

1/2𝐸𝑐𝑏 =

𝑍1𝑍𝑒2

40𝑅

𝑅 = 𝑅1 + 𝑟 = 𝑟0𝐴1/3 + 𝑟

Вредност је веома осетљива на промене у E -ако се

енергија алфа честице промени за 1 MeV, се мења за

105

Добијене вредноасти времена полураспда разликују се

од измерених и за четири реда величине

Уколико је Ecb >> E и ако се експоненцијални фактор

изрази као e-2G(E) добијамо

𝑙𝑜𝑔 = 𝐶 − 2𝐺(𝐸)

Овај приступ не узима у обзир неколико чињеница

- честица може да са собом “однесе” угаони момент l у ком

случају енергија потенцијалне баријере расте за допринос који

потиче од центрифугалне силе

Потенцијал у језгру није сферно симетричан (посебно изражено

код језгара са деформацијом)

Уколико се почетно стање језгра претка и крајње стање језгра

потомка много разликују модел не даје задовољавајуће

резултате

Претпоставке: 1. електрон, позитрон, неутрино и антинеутрино нису присутни

у језгру, већ само настају у процесу β распада

2. Поред јаке интеракције у језгру (јаке силе) постоји и слаба интеракција која представља веома слабу пертурбацију која је одговорна за бета распад

По временски зависној теорији слабих пертурбација вероватноћа прелаза у јединици времена Pfi између почетног и финалног стања је пропорционална финалној густини стања

(𝜌𝑓 = 𝑑𝑛/𝑑𝐸0) и 𝐻𝑓𝑖2

где је Hfi је матрични елемент Хамилтонијана H слабе интеракције

𝑃𝑓𝑖 =2𝜋

ℏ𝐻𝑓𝑖

2 𝑑𝑛

𝑑𝐸0E0 је енергија бета распада, док је Hfi

𝐻𝑓𝑖 = 𝑓∗𝐻𝑖𝑑

Исти приступ се примењује и за - и + распад – односно сматра се

да се они своде на трансформацију из једног нуклеона у други уз

емисију два лептона (лептони = лаке честице: електрони,

неутрини…)

Финална густина стања се може одредити помоћу Хајзенбергове

једначине

𝑥𝑦𝑧𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧ℎ3

Можемо писати да је 𝑉𝑥𝑦𝑧 па је број електронских стања у

интервалу импулса (p, p+dp)

𝑑𝑛𝑒 = 𝑉4𝑝2𝑑𝑝ℎ3

док је аналогно томе број стања неутрина

𝑑𝑛𝜈 = 𝑉4𝑝2𝑑𝑝

ℎ3

Укупна густина стања у околини енергије која одговара

укупној енергији електрона и неутрина Е0

𝑑𝑛

𝑑𝐸0= 𝑉2

162

𝑐3ℎ6𝑝2𝑝𝜈

2𝑑𝑝𝜈𝑑𝐸0

𝑑𝑝

Ако се занемари маса неутрина (која је веома блиска

нули) за његову енергију се може писати

𝑝𝜈𝑐 = 𝐸𝜈 = 𝐸0 − 𝐸

Стога је коначан израз за густину стања (алтернативни

назив статистички фактор)

𝑑𝑛

𝑑𝐸0= 𝑉2

162

𝑐3ℎ6𝑝2 𝐸0 − 𝐸

2𝑑𝑝

Елемент матрице интеракције Hfi

𝐻𝑓𝑖 = 𝑔 𝑓∗ 𝑒

∗(𝑟) 𝜈∗ 𝑟 𝑴𝑖𝑑

потпуни Хамилтонијан слабе интеракције је gM.

g је константа слабе интеракције (силе)

Будући да је интеракција неутрина са окружујућом материјомвеома слаба, његову таласну функцију можемоапроксимирати равним таласом

𝜈 𝑟 = 𝑉−1/2𝑒𝑖𝒌𝜈𝒓𝑉−1/2 1 + 𝑖 𝒌𝜈𝒓 −

𝒌𝜈𝒓2

2+⋯ 𝑉−1/2

𝑘𝜈 = 𝑝𝜈/ℏ је таласни вектор неутрина

𝑉−1/2 је нормализациони фактор

За електроне енергија >200 keV и лака језгра потомкаталасна функција електрона се може такође представитиравним таласом.

𝑒 𝑟 = 𝑉−1/2𝑒𝑖𝒌𝜈𝒓𝑉−1/2 1 + 𝑖 𝒌𝑒𝒓 −

𝒌𝑒𝒓2

2+⋯ 𝑉−1/2

Ово значи да су таласне функције електрона и неутрина

унутар језгра приближно константне.

Стога је

𝐻𝑓𝑖 =𝑔

𝑉 𝑓

∗ 𝑴𝑖𝑑 =𝑔

𝑉𝑴𝑓𝑖

Mfi је елемент матрице прелаза између почетног i и

крајњег fi (језгро потомка). Ако су стања међусобно

слична и Mfi је велики и обрнуто.

По увршћивању таланих функција електрона и неутрина,

те Hfi у једначини за вероватноћу прелаза

𝑃𝑓𝑖 𝑝 𝑑𝑝 = 𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 𝑀𝑓𝑖2𝑝2 𝐸0 − 𝐸

2𝑑𝑝

C је константа 𝐶 =𝑔2

23𝑐3ℏ7

Електростатичка интеракција између језгра потомкаи електрона модификује облик -спектра. То јепосебно изражено код тежих језгара и мањихенергија -честица

Да би се то кориговало уводи се корекциони факторF(Z,E) – Фермијева функција

𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 𝑀𝑓𝑖2𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸

2𝑑𝑝

Теоријски и експериментални резултати могу се лакопоредити помоћу Киријевог дијаграмa (Kurie 1938) којипредставља зависност 𝑁(𝑝)/𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 1/2 у функцији(E0 – E)

Киријев дијаграм за - распад 35S

• Линеаран карактер дијаграма указује да 𝑀𝑓𝑖2

не зависи од енергије

електрона

• 𝑀𝑓𝑖21 дозвољен прелаз

• 𝑀𝑓𝑖2<<1 забрањен прелаз

• Вероватноћа распада дата је изразом

=𝑙𝑛2

𝑡1/2= 𝑝=0

𝑝𝑚𝑎𝑥𝑁 𝑝 𝑑𝑝 = 𝐶 0𝑝𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑓𝑖

2𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸

2𝑑𝑝

0𝑝𝑚𝑎𝑥 𝐹(𝑍, 𝐸)𝑝2 𝐸0 − 𝐸

2𝑑𝑝 = f(Z, E0)

је израчунат за више комбинација (Z, E0). Овај

израз се назива и Фермијевом интегралном

функцијом.

јако зависи од енергије електрона и брзо

расте са њеним порастом

Величина f Z, E0 𝑡1/2 означава се са ft и

назива се компаративно време полуживота

𝐸𝛾 = ℎ𝜈 = 𝐸𝑓𝑖𝑛 − 𝐸𝑖𝑛

Због тога што фотони имају спин једнак 1 гама распади су увек

праћени укупном променом угаоног момента ≥1

Емисија фотона доводи до прерасподеле наелектрисања у језгру, а

самим тим и до промене у магнетним особинама

У зависности од врсте промене коју гама емисија изазива прелази

се деле на магнетне и електричне

Тип

зрачењаТип промене

Промена

спина

Промена

парности

E1 Електрични дипол 1 Да

M1 Магнетни дипол 1 Не

E2 Електрични квадрупол 2 Не

M2 Магнетни квадрупол 2 Да

E3 Електрични октапол 3 Да

M3 Магнетни октапол 3 Не

На основу модела љуске Blatt и Weisskopf су израчунали

времена живота побуђених стања (претпоставка: језгро

има дијаметар 6 fm

За 2L електрични мултипол

𝜆𝑒𝑙 = 4,4 ∙ 1021

𝐿 + 1

𝐿 2𝐿 + 1 ‼2

3

𝐿 + 3

2𝐸𝛾197

2𝐿+1

𝑟2𝐿

За 2L магнетни мултипол

𝜆𝑚𝑔 = 1,9 ∙ 1021

𝐿 + 1

𝐿 2𝐿 + 1 ‼2

3

𝐿 + 3

2𝐸𝛾

197

2𝐿+1

𝑟2𝐿−2

L је угаони момент који односи фотон

Eg је енергија фотона

R је радијус језгра у fm

Пример24𝑚𝑁𝑎 → 24𝑁𝑎 + 𝛾

∆𝐼 = 4 − 1 = 3

Eg = 0,473 MeV1

𝜆𝑚𝑔= Δ𝑡 ≈ 0,02 𝑠

Измерена вредност 0,035 s

Претпоставке:

Фисија се може представити као хемијска

реакција, при чему је вероватноћа њеног

одигравања одређена прелазним стањем.

Дистрибуција енергија и маса новонасталих

језгара је дефинисана у тачки одвајања или

њеној близини

Мале деформације површине језгра могу се

апроксимирати релацијом

𝑅 𝜗 = 𝑅0 1 + 𝛼2𝑃2𝑐𝑜𝑠𝜗 ,

Аналогно при малим деформацијама површине

за електростатичку и површинску енергију важи

𝐸𝑐 = 𝐸𝑐0 1 −

1

5𝛼22 𝐸𝑠= 𝐸𝑠

0 1 +3

5𝛼22

Када се промене ∆Ecи ∆Esизједначе језгро

постаје спонатано фисибилно. То се дешава

када је

𝐸𝐶0

2𝐸𝑆0 = 1овај однос је параметар фисибилности

и означава се са χ

Уколико се EC,0 и ES,0 замене са иразима већ

дефинисаним у Weizsäcker-овој једначини

𝐸𝐶0 =

3

5

𝑍2𝑒2

𝑅0𝐴1/3 = 𝑎𝐶

𝑍2

𝐴1/3и

𝐸𝑆0 = 4𝜋𝑅0

2𝑆𝐴2/3 = 𝑎𝑆𝐴2/3

добија се

𝜒 =𝑎𝐶

2𝑎𝑆

𝑍2

𝐴=

𝑍2

𝐴

𝑍2

𝐴 𝑐𝑟

Међутим𝑍2

𝐴 𝑐𝑟варира од језгра до језгра (због

изоспинске симетрије):

𝑍2

𝐴 𝑐𝑟= 50,883 1 − 1,7826

𝑁−𝑍

𝐴

2

χ представља релативну фисибилност језгара

За стабилна језгра χ<1

За изражено фисибилна χ високо (за 239Pu =37)

Ради поређења за мање фисибилан 209Bi је 33

На основу овог модела могуће је проценити

горњу границу периодног система

𝑍𝑘𝑟2 =

2𝑎𝑠𝑎𝑐𝐴𝑘𝑟

Енергетика нуклеарних реакција

Свака интеракција атомском језгра са другом

честицом назива се нуклеарном реакцијом

У основи постоје три типа

Реакције еластичног расејања (мења се само Ek)

Реакције ексцитације (језгро мете бива побуђено на

више енергетске нивое)

Реакције трансмутације (настаје нови нуклид/и)

пројектил мета Сложено

језгроПроизводи/ејектили

M1

v1

M2Mi

viM3

v3

M4

v4

𝑋1 + 𝑋2 → 𝑋3 + 𝑋4 +⋯

X1 пројектил

X2 језгро мета

X3 језгро производ

X4 ејектил

Bethe-ова нотација

X2(X1,X4)X3

Пример14𝑁(𝛼, 𝑝)17𝑂

Закони одржања су идентични као за радиоактивни распад, осим код реакција са честицама са енергијом већом од 100 MeV/нуклеону.

Рекапитулација закона одржања у нуклеарним процесима

∆E=0

∆p=0

∆Z=0

∆A=0

∆I=0

Закон одржања импулса

𝑝𝑝 + 0 → 𝑝3𝑐𝑜𝑠𝜃3 + 𝑝4𝑐𝑜𝑠𝜃4

Због (често) високих енергија честица пројектила у прорачунима везаним за нуклеарне реакције употребљавају се релативистичке масе/енергије

Енергија нуклеарне реакције Q је дата релацијом

𝑄 𝑀𝑒𝑉 = −931,5∆𝑀0

∆𝑀0 = 𝑀30 +𝑀4

0 −𝑀10 −𝑀2

0

∆M0<0, Q>0 егзоенергетска реакција

∆M0>0, Q<0 ендоенергетска реакција

𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚 −𝑚0 𝑐2

𝐸𝑚𝑎𝑠0 = 𝑚0𝑐2

𝐸𝑢𝑘 = 𝑚𝑐2 𝐸𝑢𝑘 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑚𝑎𝑠

0

Укупна енергија укључује Eнергију масе мировања 𝐸𝑚𝑎𝑠

0

Енергију ексцитације језгра 𝐸𝑒𝑘𝑠 Апсорпцију или емсију фотона у реакцији En

Електростатички потенцијал (у реакцијама са

наелектрисаним честицама) 𝐸𝐾𝑢𝑙

Кинетичку енергију 𝐸𝑘𝑖𝑛

У интеракцији позитивно нелектрисане честице –пројектила и језгра мете долази до међусобног одбијања

𝐹 =𝑘𝑒𝑍1𝑒𝑍2𝑥2

𝐸𝑘𝑖𝑛0 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑘𝑢𝑙

Да би позитивно наелектрисана честица изазвала нуклеарну реакцију

мора да има енергију већу од

𝐸𝐾𝑏 =𝑘𝑍1𝑍2𝑒

2

𝑟𝑐

Да би се израчунала Ecb за rc (у апроксимацији) можемо узети да је једнак збиру радијуса језгра мете и пројектила. Поред тога мора се узети у обзир да и центар масе таквог система има узмак, На основу тога и 𝑟 = 𝑟0𝐴

1/3 добија се

𝐸𝐾𝑏(𝑚𝑖𝑛) = 1,109 𝐴1 + 𝐴2𝑍1𝑍2

𝐴2 𝐴11/3+𝐴2

1/3 (MeV)

Пример нуклеарна реакција

714𝑁 + 2

4𝐻𝑒 → 817𝑂 + 1

1𝐻

𝐸𝛼(210𝑃𝑜) = 7,68 𝑀𝑒𝑉 𝐸𝐾𝑏 𝑚𝑖𝑛 = 4,99 𝑀𝑒𝑉

У већини случајева не ради се о чеоном судару пројектила

и мете. Минимално растојање између њих у одстуству

дејства сила x назива се параметар удара.

Ако на пројектил делује Ec минимално растојање је веће и

назива се растојање најближег приласка d

𝑑 = 𝑟 + 𝑟2 + 𝑥2

где је r радијус судара

𝑟 =𝑘𝑍1𝑍2𝑒

2

𝜇 𝑣10 2

𝑋1 𝑣1 + 𝑋2 𝑣2 → 𝑋1 𝑣1, + 𝑋2(𝑣2

, ) Q=0

Енергија пренесена у судару (под условом да мета мирује)

је

𝐸𝑠 = 𝐸𝑝𝑟4𝑀1𝑀2𝑀1 +𝑀2

2𝑠𝑖𝑛2

𝜃

2

док су брзине пројектила и мете после судара дате

изразима

𝑣1, =

𝑣1 𝑀1 −𝑀2𝑀1 +𝑀2

𝑣2, =

2𝑣1𝑀1𝑀1 +𝑀2

У случају чеоног судара неутрона са језгром мете предата енергија је

𝐸𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑛0

4𝑀21 +𝑀2

2

За опсег енерија 0-10 MeV сви судари су подједнако вероватни тако да је средња предата енергија

𝐸𝑠 = 𝐸𝑛0

2𝑀21 +𝑀2

2

Енергија коју неутрон задржи је

𝐸𝑛 = 𝐸𝑛0 − 𝐸𝑠 𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑛

0 1 −4𝑀2

1 + 𝑀22

Из овога следи да највећи губитак енергије неутрон остварује у судару са честицом сличне масе-протоном

За судар са протоном

𝐸𝑛

𝐸𝑛0 = 1 −

1

2=1

2

После n судара са протонима енергија неутрона ће бити

𝐸𝑛

𝐸𝑛0 = 1 −

1

2

𝑛

=1

2𝑛

Стога су супстанције које садрже водоник добри модератори неутрона

За тачкасти неутронски извор окружен модератором флукс термалних неутрона је функција растојања

Процес у којем долази до промене

потенцијалне енергије али не долази до

трансформације језгра мете у друго

𝑋1 + 𝑋2 + γ𝑋1 + 𝑋2

𝑋1 + 𝑋2∗

Пример 107𝐴𝑔 + 0

1𝑛 → 107m𝐴𝑔 → 107𝐴𝑔 + 𝛾

t1/2(107mAg) = 44 s

714𝑁 + 2

4𝐻𝑒 → 18𝐹∗→ 817𝑂 + 1

1𝐻

∆𝑀0 = 𝑀0(17𝑂) +𝑀0 1𝐻) −𝑀0(14𝑁 −𝑀0( 4𝐻𝑒) =

= 16,999131 + 1,007825 − 14,003174 − 4,002603 = 0,001279𝑢

𝑄 = −∆𝑀0𝑐2 = −1,19 𝑀𝑒𝑉

Енергија узмака комплексног језгра је

𝐸𝑢𝑧 = 𝐸𝑘(4𝐻𝑒)

𝑀1

𝑀1 +𝑀2

Да би дошло до реакције енергија честице мора имати

кинетичку енергију већу за Q од енергије узмака

комплексног језгра

Енергија коју пројектил мора да има да би изазвао нуклеарну реакцију назива се енергијом прага

𝐸𝑝𝑟 = −𝑄𝑀1+𝑀2

𝑀1≈ −𝑄

𝐴𝑐

𝐴2

За Ратерфордову реакцију ова енергија је 1,53 MeV

Енергија у реакцији по ступњевима

I Q= +4,40 MeV

II узмак 18𝐹 𝐸𝛼4

4+14= 1,71 𝑀𝑒𝑉

Укупна енергија ексцитације 18𝐹 је 4,40 + 7,68 – 1,71 MeV = 10,37 MeV

Енергија реакције 18𝐹 → 817𝑂 + 1

1𝐻 је Q= -5,59MeV

Стога је укупна кинетичка енергија продуката

Ек = 10,37+1,71-5,59 MeV

714𝑁 + 2

4𝐻𝑒 → 19𝐹