Galileu: Eppur si muove · 2012. 7. 23. · CAP´ITOL 2.1 2.1. Del llenguatge de la matematica en...

Galileu: Eppur si muoveL’epoca galileana versus la doctrina aristotelica

Josep Pla i Carrera

Facultat de MatematiquesUniversitat de Barcelona

Jornada GalileuSOCIETAT BALEAR DE MATEMATIQUES SBM-XIEX

Costitx (Mallorca), dissabte 10 d’abril de 2010

Observatori Astronomic de Mallorca

Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 1 / 76

Index

Galileu: Eppur si muoveL’epoca galileana versus la doctrina aristotelica

1 Els dos principals contendents: Aristotil i Galileu2 Del llenguatge de la matematica3 Del moviment i de la inercia a l’univers4 Del concepte de corba grec al de trajectoria5 De l’infinit en Aristotil i en Galileu6 De la naturalesa de les magnituds


Els dos principals contendents

CAPITOL 1

1. Els dos principals contendents:ARISTOTIL i GALILEU



ARISTOTIL

El retrat pertany a l’obra co-ral de RAFFAELLO DE SAN-ZIO, Escola d’Atenes (1509).

ARISTOTIL (‘Aριστoτ ελης)

Estagira (Grecia), 384 aCEubea (Grecia),

7 de marc del 322 aC

1Veieu [?, volum II, pagina 69].L’emfasi es meva.



GALILEU GALILEI

El retrat pertany a la col.lec-cio de 50 dibuixos de fısicsil.lustres de tots els temps,de DEMOCRIT [segle V aC]a ROBERT HOFSTADTER

[1915–1990], realitzats perIUTTA WALOSCHEK l’any1995.

GALILEU GALILEI

Pisa (Ducat de Florencia, Italia),15 de febrer de 1564

Arcetri (Gran Ducat de Toscana,Italia), 6 de gener de 1642


Del llenguatge de la matematica

CAPITOL 2

2. Del llenguatge de la matematica



CAPITOL 2.1

2.1. Del llenguatge de la matematica en Aristotil



DE LA Metafısica (IV AC) D’ARISTOTIL

Cal, doncs, que sapiguem abans que res quina mena de demostra-cio conve a cada objecte particular perque seria absurd confondre ibarrejar la recerca de la ciencia i la del metode: dues manifestaci-ons l’adquisio de les quals presenta grans dificultats.

No s’ha d’exigir rigor matematic a tot, sino unicamentquan es tracta d’objectes immaterials.

I aixı el metode matematic no es el dels fısics, perque pro-bablement la mateeria es el fons de tota la naturalesa. Aixı doncsabans que cap altra cosa els fısics han d’examinar tot allo que es lanaturalesa. D’aquesta manera veuran amb claredat quin es l’objec-te de la fısica, i si l’estudi de les causes i dels principis de la natura-lesa es patrimoni d’una ciencia unica o de moltes ciencies.



CAPITOL 2.2

2.2. Del llenguatge de la matematica en Galileu



DEL Saggiatore (1623) DE GALILEU

La filosofia esta escrita en aquest llibre tan gran que tenim obertdavant dels ulls, l’univers. No es possible d’entendre’l si abans nos’apren a entendre el llenguatge, a coneixer-ne els caracters ambque s’ha escrit. Esta escrit en llenguatge matematic i els seuscaracters son triangles, cercles i d’altres figures geometriques.

Sense ells es del tot impossible entendre’n una sola paraula.Sense ells ens trobarıem voltant vanament en un laberint fosc.


Del moviment i de la inercia a l’univers

CAPITOL 3

3. Del moviment i de la inerica en l’univers



CAPITOL 3.1

3.1. Del moviment i de la inerica en Aristotil



Del moviment i de la inercia en Aristotil

En el De Caelo, ARISTOTIL exposa la teoria del moviment dels cossos—infinitament divisibles— que es qualitativa i, en cap cas, quantitativa.

La cosmologia aristotelica diferencia dues regions del cosmos ounivers que no son reductibles l’una a l’altra: el mon sublunar i elmon supralunar.

L’eter era l’element material del que estava compost l’anomenatmon supralunar, mentre que el mon sublunar esta format pels famososquatre elements: foc [tetraedre], terra [cub], aire [octaedre] i aigua [ico-saedre]. De fet, amb la quinta essencia [dodecaedre], son els cincconstituents de la naturalesa que, segons PLATO, estan lligats als cincsolids platonics, que PLATO descriu al Timeu.

Per a ARISTOTIL, l’eter es element mes subtil i mes lleuger, i esmes perfecte que els altres quatre i, sobretot, el seu moviment naturales circular —i uniforme—, a diferencia del moviment natural dels al-tres quatre, que es rectilini —i tambe uniforme.




tetraedre octaedre icosaedre hexaedre dodecaedrefoc aire aigua terra quintaessencia

eter



PLATO

El retrat pertany a l’obra co-ral de RAFFAELLO DE SAN-ZIO, Escola d’Atenes (1509)

PLATO (Πλατων)

Atenes (Grecia), 427a CAtenes (Grecia), 347 aC




El moviment rectilini precisa d’una causa constant que el mantingui; elmoviment circular es, en canvi, immutable des de sempre.

Aixı doncs, en ARISTOTIL el moviment rectilini i uniforme i l’estatde repos son dos fets essencialment diferents:

Un cos en repos segueix en repos indefinidament si no hi ha capcausa que l’obligui a abandonar-lo.En canvi, un cos en moviment rectilini i uniforme, si no esta sot-mes a una causa que el mantingui, tard o d’hora caura en el re-pos.



De la Fısica (IV aC) d’Aristotil

ARISTOTIL reflexiona sobre la possibilitat del principi d’inercia:

A mes, ningu no pot dir per que un cos que es mou s’atu-rara en algun indret. Per que ha d’aturar-se aquı i no pasalla? Per tant, o be s’haura de mantenir en repos, o be esmoura forcosament fins a l’infinit, llevat que quelcom mespoderos li ho impedeixi. . .

Pero, per a ell, els moviments infinits son impossibles:

Per tant, si allo que es desplaca esta canviant cap a unabanda, aleshores tindra la possibilitat de completar elcanvi. D’on en resulta que el seu moviment no es il.limitat,ni pot desplacar-se una distancia il.limitada, perque esimpossible recorrer una distancia il.limitada. . .



De la Fısica (IV aC) d’Aristotil

Per tant, segons ARISTOTIL cal rebutjar el principi d’inercia:

Tot allo que es mou ha de ser mogut per quelcom. . .A mes allo que es mou per si mateix no pararia mai d’estaren moviment perque si assolıs l’estat de repos, tindria queser mogut per alguna altra cosa i aleshores ja no seria mo-gut per si mateix. Per tant, tot allo que es mou ha d’es-ser mogut per quelcom. . .



CAPITOL 3.2

3.2. Del moviment i de la inerica en Galileu



Del moviment i de la inercia en Galileu

D’entrada GALILEU dedica el primer llibre dels Dialegs sobre els dosmaxims sistemes del mon ptolemaic i copernica a establir que no hiha dues fısiques sino solament una que s’aplica alhora al cel i a laterra.

A mes, en una primera aproximacio al principi d’inercia, soste unamateixa naturalesa —pel que fa al moviment— entre l’estat derepos i l’estat de moviment rectilini i uniforme.

Aquest principi, ben enunciat, constituira el primer axioma delsPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687) d’ISAAC NEWTON:

AXIOMA 1 Tot cos es mante en l’estat de repos o en moviment rectiliniuniforme si no hi ha cap forca que l’obligui a canviar aquestasituacio.



ISAAC NEWTON

Sir ISAAC NEWTON (als 46anys), pintat per GODFREY

KNELLER el 1689.

ISAAC NEWTON

Woolsthorpe (Lincolnshire, An-glaterra), 4 de gener de 1643Londres (Anglaterra),

31 de marc de 1727



Del moviment i de la inercia en Galileu

Un text de GALILEU, entre d’altres, el trobem a la Segona Jornada delsDialegs.

SALVIATI Sembla ben correcte tot el que has dit fins ara pel que fa referenciaa plans diferents [inclinats cap avall i cap amunt]. Ara, pero, digue’m,¿que li succeira al mateix cos [una bola perfectament rodona en unasuperfıcie plana brunyida com un mirall] si la superfıcie no te inclinacioni cap amunt ni cap avall?

SIMPLICI [. . . ] Si no hi ha inclinacio cap avall, no hi haura tendencia natural almoviment; i si no n’hi ha cap amunt, no hi ha resitencia natural al movi-ment. S’en dedueix la seva indiferencia tant a accelerar-se com a fre-nar-se. Penso que es quedara on es [. . . ]

SALVIATI [. . . ] Pero, que succeira si l’impulsem cap a una banda?SIMPLICI [. . . ] Es moura cap aquesta banda.SALVIATI ¿Amb quina classe de moviment: contınuament accelerat o frenat,

com en els plans inclinats cap avall, o cap amunt?SALVIATI Si l’espai fos indefinit, el moviment no finiria; seria, perpetu.


Del concepte de corba grec al de trajectoria

CAPITOL 4

4. Del concepte de corba grec al de trajectoria



CAPITOL 4.1

4.1. Del concepte de corba grec



De les corbes gregues

De fet, a Grecia les corbes son el resultat d’intentar resoldre els tresproblemes classics que no sabien resoldre amb regle i compas:

1 Doblar el cub [algebric]Donat el costat d’un cub,

fer el costat del cub de volumdoble. [Es el problema delia.]

2 Trisecar l’angle [algebric]Donat un angle, dividir-lo

en tres parts iguals.3 Quadrar un cercle [transcen-

dent]Donat un cercle fer un

quadrat amb la mateixa su-perfıcie.




Hi ha un problema, pero, que no pensa ningu:

¿Quins son els polıgons regularsque podem fer amb regle i compas?

El resoldra, molts segles mes tard, un jove de divuit anys.



JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS

GAUSS, pintat el juliol 1840 aGottingen, per CHRISTIAN

ALBRECHT JENSEN.

JOHANN CARL FRIEDRICH

GAUSS

Braunschweig (ducat de Bruns-wick-Luneburg, ara part d’Ale-manya), 30 d’abril de 1777Gottingen (Hannover),

23 de febrer de 1855




I en trobaren unes quantes:1

(a) La quadratriu d’H IPIES D’ELIS (s. V aC, t).(b) Les tres coniques de MENECM (s. IV aC, a).(c) L’espiral d’ARQUIMEDES (s. III aC, t).(d) La concoide de NICOMEDES (s. III aC, a).(e) La cissoide de DIOCLES (s. III aC, a)

Ens fixarem nomes en la quadratriu2 que serveix, per exemple,per trisecar l’angle i tambe —com l’espiral d’Arquimedes— per quadratel cercle.

1Si disposes de connexio a internet clica els noms subratllats per veure les corbes.2El punt indeterminat G esta lligat amb el nombre π. D’aquı que la corba s’anome-

ni la quadratriu.Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 28 / 76

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Quadratrix_animation.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Conic_sections_2n.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c0/Archimedes_trisect_spiral.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Concoide.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Cissoide_de_Diocles_(histo).svg

http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/PlaneCurves/TranscendentalCurves/HTMLFiles/QuadratrixOfHippias_34.gif


CAPITOL 4.2

4.2. De les trajectories dels segles XVI i XVII



De les tajectories del segles XVI i XVII

Una de les corbes de nova creacio fou la cicloide [t] —conegudatambe com l’Helena de les corbes per les disputes que provoca entreels matematics del segle XVII.

La primera referencia la troben en una carta de GALILEU (1650-1651) a un arquitecte perque fes el pont sobre l’Arno —a Florencia—usant aquesta corba de la qual en calcula la superfıcie usant la tecnicade pesar-la.

Plantejada a la comunitat matematica pel pare mınim MARIN

MERSENNE.A partir de l’any 1634, la corba seria estudiada —i resolta— per

GILLES PERSONNE DE ROBERVAL que en determinaria la tangent, l’a-rea, el centre de gravetat, el volum dels solids de revolucio que gene-ra, etc.



MARIN MERSENNE

Pare de l’orde dels mınims,superior del monastir de laPlace Royale de Parıs.

S’hi reunien els eruditsque es trobaven a la capitalfrancesa —els que hi vivien iels que la vistaven.

MARIN MERSENNE

Oize in Maine (Franca),? de setembre de 1588

Parıs (Franca),1 de setembre de 1648



GILLES PERSONNE DE ROBERVAL

Detall d’una pintura d’HENRITESTELIN (1666), segonsCHARLES LE BRUN.

Hi veiem GILLES PERSON-NE DE ROBERVAL amb elsmembres de l’Academie desSciences de Parıs vers 1670.

GILLES PERSONNE DE

ROBERVAL

Noel-Saint-Martin (Villeneuve-sur-Verberie, Oise, Franca),

9 d’agost de 1602Parıs (Franca),

27 d’octubre de 1675




Aquestes conquestes serien objecte de repte i gairebe tots els mate-matics del primer terc del segle XVII hi dedicarien l’atencio i aixı s’ob-tingueren metodes alternatius per determinar-ne aquests elements,amb resultats brillants com ara la determinacio de la tangent dePIERRE DE FERMAT—on trobem ja intuıcions del calcul infinitesimal— iles determinacions, independents, de la longitud d’un arc de lord WI-LLIAM BROUNCKER, de BLAISE PASCAL i de CHRISTIAAN HUYGENS,totes ells d’una gran originalitat.

Aquest resultat posa de manifest que RENE DESCARTES s’equivo-ca quan, a la Geometrie, digue que �mai una corba es podria coordi-nar amb una lınia recta�.



PIERRE DE FERMAT

Detall d’una pintura realitzada—potser es la copia d’una altrapintura perduda— cent anysdespres de la seva mort.

PIERRE DE FERMAT

Beaumont-de-Lomagne (Franca),17 d’agost de 1601

Castres (Franca),12 de gener de 1665



RENE DESCARTES

Retrat de RENE DESCARTES

realitzat l’any 1649 per FRANS

HALS [∼1582–1666].

RENE DESCARTES

La Haye (ara Descartes, Touraine,Franca), 31 de marc de 1596

Estocolm (Suecia),11 de febrer de 1650



LORD WILLIAM BROUNCKER

Pintura de l’epoca, d’autordesconegut.

LORD WILLIAM BROUNCKER

Castlelyons (Cork, Irlanda), 1620.Westminster (Londres, Anglaterra),

5 d’abril de 1684



BLAISE PASCAL


BLAISE PASCAL

Clairmont (avui Clermont-Ferrand,Auvergne, Franca),

19 de juny de 1623Parıs (Franca),

19 d’agost de 1662



CHRISTIAAN HUYGENS


CHRISTIAAN HUYGENS

La Haia (Paısos Baixos),14 d’abril de 1629

La Haia (Paısos Baixos),8 de juliol de 1695




Pero el que importa es que ara la corba es la trajectoria d’un puntmo- bil quelcom que fins aleshores havia estat impensable.

En concret, la cicloide es genera aixı.3Aquest fet no es pas un fet

que no tingui importancia; ben alcontrari.

ROBERVAL i alhora EVANGE-LISTA TORRICELLI —deixeble deGALILEU— s’adonanaren que el fetque la corba fos una trajectoria elspermetia poder-ne determinar la tangent, usant la llei del paral.le-logram.

3Clica.Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 39 / 76

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/Cycloid_animated.gif


EVANGELISTA TORRICELLI

Estatua, en marbre, d’EVANGE-LISTA TORRICELLI, realitzadaper DADEROT.

Actualment es troba alMuseo di Storia Naturale deFlorencia.

EVANGELISTA TORRICELLI

Faenza (Emılia-Romanya, Italia),15 d’octubre de 1608

Florencia (Toscana, ara Italia),25 d’octubre de 1647



Capıtol 4.3

4.3. De les tajectories fısiques en Kepler i Galileu



Capıtol 4.3

4.3.1 De les tajectories fısiques en Kepler



De les tajectories fısiques del segles XVI i XVII

Ara cal remarcar que les trajectories intervenen en el mon fısic real.Dos son els autors que ho mostren: JOHANNES KEPLER i GALILEU.

Les lleis de Kepler per a descriure el moviment dels planetes enllurs orbites al voltant del Sol son:Llei primera [1609] Tot planeta es mou en una

orbita el ·lıptica amb el sol en undels focus.

Llei segona [1609] En temps iguals, el radi vec-tor escombra arees iguals.

Llei tercera [1619] Els quadrats dels perıodes de revolucio de dos planetesson proporcionals als cubs dels semieixos majors de llurs or-bites.

Les lleis primera i segona juntes trenquen, doncs, el principi delmoviment aristotelic de la fısica supralunar:

Hi ha orbites que no son circulars i,en elles, el moviment no es uniforme.



JOHANNES KEPLER

Retrat d’autor desconegut.

JOHANNES KEPLER

Weil der Stadt, BadenWurttem-berg (Sacre Imperi Roma Germa-nic, ara Alemanya),

27 de desembre de 1571Regensburg (ara Alemanya),

15 de novembre de 1630



De les tajectories fısiques del segles XVI i XVIIDe la segona llei de Kepler. Kepler s’a-dona per observacio directa que, en elsextrems P1 i P2 de l’eix major, les veloci-tats son inversament proporcionals alsradis vectors. Es a dir, v1 = κ

r1i v2 = κ

r2.

Aleshores KEPLER ho esten a qual-sevol punt P de la trajectoria, v = κ

r ,quelcom que es fals.

El temps t que el planeta dedica a recorre l’arc arc(PQ), supo-sant-lo dividit en arcs petits arc(PiPi+1), s’obte sumant els temps tidels recorreguts dels arcs petits . Es a dir,

t =∑n

i=1 ti '∑n

i=1∆svi

= 1κ

∑ni=1 ri ∆s = 1

κ

∑ni=1 ri ∆ s.

Ara suposa que la suma∑n

i=1 ri ∆ s es proporcional a l’area delsector circular arc(SPQ), quelcom cert a la circumferencia, pero er-roni a l’el·lipse.4

4Recordem que, en l’el.lipse, la determinacio de la longitud no te primitiva.Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 45 / 76


Capıtol 4.3

4.3.1 De les tajectories fısiques en Galileu




Galileu retroba la llei de Merton, establerta uns anys abans pels eru-dits del col·legi Merton d’Oxford.

L’espai recorregut per un mobil que es mou amb una velocitat uni-formement accelarada es el mateix que el que recorre, amb el ma-teix temps, un mobil que es mou amb una velocitat constant igual ala semisuma de les velocitats inicial i final.

La prova es una mostracio absolutament geometrica.




D’aquı en dedueix la llei dels senarsi, d’ella, seguint els nombresfigurats grecs, la llei dels quadrats:

1 + 3 + · · ·+ (2n − 3) + (2n − 1) = (2n)n2

o (2n)n − 1

2+ n = n2.

I, d’elles, la llei de la caigudade greus:

L’espai recorregut per unmobil que cau per l’acciode la gravetat en un tempst es es proporcinal al qua-drat t2 del temps.




La trajectoria de la bala de ca-no de GALILEU. L’any 1638, GA-LILEU publica Dialegs concer-nents a dues ciencies noves, onproporciona la trajectoria d’unabala de cano, sotmesa a un mo-viment d’impulsio horitzontal de-gut a la forca del cano i a l’acciode la gravetat que la fa caure:

El recorregut de la bala de cano es una parabola atesa la llei delsquadrats, suma dels senars.

Aixı GALILEU trenca el principi segons el qual, a la fısica sublunar,l’unic moviment accpetable es el moviment rectilini uniforme.


De l’infinit en Aristotil i en Galileu

CAPITOL 5

5. De l’infinit



CAPITOL 5.1

5.1. De l’infinit en Aristotil



De l’infinit en Aristotil

I, si l’infinit es accidental, no podra ser, en tant que infinit, ele-ment dels sers, aixı com l’invisible no es l’element del llenguat-ge, malgrat la invisibilitat del so. Finalment, l’infinit no pot exis-tir, evidentment, en acte, perque aleshores una part qualsevolpresa a l’infinit fora, al seu torn, infinita, donant-se una identitatentre l’essencia de l’infinit i l’infinit, si l’infinit te una existenciasusbtancial, i no es l’atribut d’un subjecte. L’infinit sera, pertant, o indivisible, o divisible, susceptible de ser dividit en infinits.Pero un gran nombre d’infinits no pot ser el propi infinit, perquealeshores l’infinit seria una part de l’infinit com l’aire es una partde l’aire, si l’infinit fos una essencia i un principi. . .

Aixo estava en clara contradiccio amb la nocio comuna 5 delsElements, que diu:

El tot es mes gran que cada una les seves parts.



De l’infinit en Aristotil

El meu argument no els pren res als matematics en el seuestudi, malgrat que negui l’existencia de l’infinit en el seusentit d’existencia actual, entes com quelcom que creix d’u-na manera que ja no sigui possible d’anar mes enlla; perque,de fet, no precisen d’anar a l’infinit ni usar-lo; nomes precisenque l’(in)finit —per exemple, la recta— pugui ser tan llargacom calgui. Pel que fa a les demostracions, entre una cosa il’altra, no hi cap mena de diferencia.

Tanmateix ARISTOTIL s’equivoca.Si llegim el llibre primer dels Elements d’EUCLIDES —un autor

molt respectuos amb els ensenyaments i limitacions imposades perl’estagirita—5 ens adonem que precisa de l’infinit en acte en

1 La definicio de rectes paral.leles [E I, definicio 23].2 Les demostracions de les proposicions 12 i 22 del llibre E I.5Recordem que, en els Elements d’EUCLIDES, les rectes son segments rectilinis.



CAPITOL 5.2

5.2. De l’infinit en Galileu



De l’infinit en Galileu

SIMPLICI Sorgeix un dubte que sembla totalment insoluble. Sabem que hi harectes que son mes grans que d’altres, pero ambdues tenen una infini-tat de punts [. . . ] Aixo m’obliga a creure que, en magnituds de la ma-teixa especie n’hi ha que son mes grans que l’infinit [. . . ] Pero em sem-bla totalment absurd que es doni un infinit mes gran que un infinit.

SALVIATI Aquesta mena de dificultats provenen dels raonaments que femamb el nostre enteniment finit quan tractem amb l’infinit [. . . ]

[· · · ]SALVIATI [. . . ]Els nombres, incloent’hi els quadrats i els no quadrats son mes

que el quadrats.SIMPLICI Ceratment.SALVIATI Pero si et pregunto quants son els quadrats em pots respondre amb

tota certesa que son tants com arrels perque a tota arrel li corresponun quadrat i a tot quadrat una arrel.



De l’infinit en Galileu

Graficament, la segona part del text anterior de GALILEU, diu:

1 22 32 42 52 62 72 82 92 102 · · ·l l l l l l l l l l l1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 · · ·‖ ‖ ‖12 22 32 · · ·



GEORG CANTOR

Les questions relatives —ila naturalesa— dels con-junts infinits comencara aaclarir-se al segle XIX ambl’obra genial i capdavanterade

GEORG FERDINAND LUD-WIG PHILIPP CANTOR

Sant Petersburg (ara Russia),3 de marc de 18451

Halle (Alemanya),6 de gener de 1918


De la naturalesa de les magnituds

CAPITOL 6

6. De la naturalesa de les magnituds



CAPITOL 6.1

6.1. Dels aporismes de Zeno




La questio que es van plantejar els filosofs grecs es la seguent:

¿Quina es la naturalesa de les magnituds —dels objectes geome-trics i potser dels fısics: son atomiques o infinitament divisibles?

Parla ZENO amb les quatre famoses apories. Analitzem-ne dues:1 La paradoxa de la fletxa [atomista]. Si tot allo que es troba sempre en un

mateix lloc esta quiet, i allo que es desplaca a l’espai es troba sempreen un mateix �ara�, aleshores la fletxa quan vola esta immobil[. . . ]. Esuna conclusio que s’obte si s’admet que el temps esta format d’�ares�.

2 La paradoxa d’Aquil.les i la tortuga [no atomista]. El corredor mes lentmai no podra ser atrapat pel mes rapid, perque el que persegueix had’arribar primer al punt de partida d’on ha sortit el perseguit, pero ales-hores el corredor mes lent s’haura desplacat una certa distancia i aniraper davant del mes lent indefinidament.



ZENO D’ELEA

Pero, realment, ¿com son lesmagnituds?

ZENO D’ELEA

Elea, (Lucania, ara Italia), ∼490 aCElea, (Lucania, ara Italia), ∼425 aC



CAPITOL 6.2

6.2. De la naturalesa de les magnituds en Aristotil



De la naturalesa de les magnituds en Aristotil

En el De Cælo, ARISTOTIL diu:

Be doncs, continu es allo que es divisible en parts que, al seu torn, sonsempre divisibles. I un cos es allo que es divisible per totes bandes.De les magnituds, la que s’esten en una dimensio es una lınea, la queho fa en dues, una superfıcie, i la que ho fa en tres, un cos. A ban- dad’aquestes, no n’hi ha mes, de magnituds, ja que tres son totes lesdimensions possibles i �tres vegades� equival a �arreu�. En efecte,como diuen els pitagorics, el tot i totes les coses queden definides peltres; doncs fi, mitja i principi conte el nombre de tot, i aquestes trescoses constitueixen el nombre de la trıada [. . . ]



CAPITOL 6.3

6.3. De la naturalesa de les magnituds en Galileu



De la naturalesa de les magnituds en Galileu

Si, en doblegar una recta en angles, per formar un polıgon de quatre,vuit, quaranta, cent, o mil angles, que abans eren, per dret, a la rectaesmentada, en potencia, quant formi un polıgon d’infinits costats, es adir, quan el cargoli en la circumferencia d’un cercle, ¿no podre dir, ambla mateixa llicencia, que he dut, en acte, totes les infinites parts, lesquals, mentre eren rectes, nomes eren en potencia? I tampoc no po-dem negar que aquesta resolucio de les infinites parts sigui tan realque la de les quatre parts quan fem el quadrat, o la de les mil quan femun milagon. En ella no hi falta cap de les condicions que hem trobat enel cas dels mil, o dels cent mil costats. Si el posem damunt d’unarecta, aquesta el tocara amb un dels seus costats, es a dir, amb unacent milesima part. El cercle, que es un polıgon d’infinits costats,tocara tambe la recta amb un dels seus costats, que es un unic punt,diferent dels adjacents, de la mateixa manera que un costat d’unpolıgon es diferent i separat dels contigus[...]




I ara, senyor Simplici, no se si els peripatetics —amb els que a-cordo, com a concepte veritable, que el continu es divisible enparts que, al seu torn, son sempre divisibles, de manera que, siprosseguim la divisio amb una subdivisio, mai no s’arriba a ladarrera— em concedirien que cap d’aquestes divisions es l’ulti-ma, com realment no ho es i sempre en podem fer una altra, dedivisio, ulterior. Sino que la darrera i suprema de totes es la quela resol en infinits indivisibles; i a aquesta divisio li concedeixoque mai no s’aconsegueix dividint cada cop mes i mes. Pero,emprant el metode —propugno distingir-lo de l’altre— de resol-dre tota la infinitud d’un cop —quelcom que mai no s’hauria denegar—, s’haurien de tranquilitzar i admetre aquesta composiciodel continu en atoms absolutament indivisibles. I molt mes enca-ra si tenim en compte que es el millor camı per treure’ns dels la-berints intrincats que hem trobat [. . . ]




De fet, el text anterior esta lligat amb el que hom coneix com laparadoxa d’Aristotil i que consisteix en el seguent [veieu la figura]:

La roda de centre O roda damunt la recta tangent al punt P fins adonar una volta completa.

Aleshores la trobem en el lloc de la roda de centre O′ i el punt Pen el lloc del punt P ′. Per tant, la longitud de la circumferencia de cen-tre O i radi OP es PP ′.

Pero, en una volta, el punt Q es col.loca al lloc del punt Q′.Per tant, la longitud de la circumferencia de centre O i radi OQ es

QQ′ = PP ′. Impossible!Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 67 / 76



Per explicar que es el que passa —una explicacio erronia, tanmateix—i explicar el perque GALILEU recorre als polıgons regulars i a l’atomis-me, i considera la circumferencia com un polıgon regular d’infinitscostats —atoms— que son punts.

Aleshores, es veu obligat a pensar en els forats —perque, quanho fa amb polıgons regulars, els costats es col.loquen damunt la rectadeixant forarts— i en la seva naturalesa atomica.

Realment, es tracta d’un text forca curios i val la pena llegir-loalguna vegada.

Tambe s’ha dit que fou quan considerava aquest problema queGALILEU considera la cicloide que, com hem vist, sorgeix quan femgirar la circumferencia.




L’escudella de LUCA VALERIO. Estracta de determinar el volum del solidque queda si d’un cilindre d’alcada i-gual al radi de la base li traiem la se-miesfera inscrita.

Resulta que es igual al volumdel con que te la mateixa base i al-cada que el cilindre.

De fet, l’area de la corona cir-cular es, pel teorema de Pitagores,

π(PG2 − PI2) = π

(CI2 − PI2) = πCP2 = π PH2

D’on les superfıcies, cercle a cercle, son iguals [veieu Luca Valerio ].D’aquı que els volums tambe ho siguin.

El metode, en aquest cas, es totalment atomista, quelcom que nos’imposara.




A l’alcada h tallem l’escudella i el con.S’obtenen les superfıcies S1

h i S2h

de la llesca respectiva: son superfıci-es sense volum. I, pel que hem vist[ escudella de Luca Valerio en Galileo ], resulta queS1

h = S2h .

Si ara acceptem, com fa GALI-LEU, que el solid es l’�agregatum� deles superfıcies —un raonament ato-mista— els volums son iguals, que esel que volıem provar.



BONAVENTURA CAVALIERI


—deixeble de GALILEU— fouel primer matematic que s’a-dona que, per poder determi-nar les arees i els volums decertes superfıcies i solids, ca-lia quadrar les funcions xn,n ≥ 1, en un interval [0,a]; esa dir, determinar

omnia lineaa0 xn(∫ a

0xndx =

an+1

n + 1

).


Mila (ducat de Mila, Imperi Habsbur,ara Italia), 1598

Bolonya (estats papals, ara Italia),30 de novembre de 1647

Ho feu per a n = 2, . . . ,9 usant el metode atomista de Galileu.Josep Pla i Carrera (UB) Galileu: Eppur si muove 71 / 76


CAPITOL 6.4

6.4. L’autoritat d’Arquimedes



ARQUIMEDES

Ho feu, doncs, en contra del’autoritat d’ARQUIMEDES, quehavia exclos l’atomisme de lageometriadelesmagnituds enestablir el postulat V de Del’esfera i el cilindre: l’arquime-dianitat de les magnituds:∃n,m ∈ N

(nA > B i mB > A

)que exclou els atoms.

ARQUIMEDES

Siracusa (Sicılia, Italia), ∼287 aCSiracusa (Sicılia, Italia), 212 aC

Quadre d’ARQUIMEDES realit-zat per DOMENICO FETTI,1620



Bibliografia succinta

ANSERSEN, KRISTY, “The Techniques of Calculus, 1630–1660”, a[Gra 1980, edicio castellana, pagines 22-68].

ARISTOTIL, Fısica (Φυσικης). Biblioteca Clasica Gredos. Madrid: LibrerıaBergua, 1934.

ARISTOTIL, Metaısica (Mηταϕυσικης). Biblioteca Clasica Gredos. Ma-drid: Editorial Gredos, 2000.

ARISTOTIL, De caelo . Barcelona: Cırculo de Lectores, cop. 1997, o behttp://www.scribd.com/doc/15901055/Aristoteles-Sobre-El-Cielo

GALILEI, GALILEU, Il Saggiatore (1623). Traduccio castellana de l’italia inotes de Jose Manuel Revuelta, El ensayador . Buenos Aires: Aguilar,1981.




GALILEI, GALILEU, Dialogo sopra i due maxime sistemi del mondo pto-lemaico e copernicano (1632). Traduccio castellana de l’italia i notesd’Antoni Beltran, Dialogo sobre los dos maximos sistemas del mundoptolemaico y copernicano. Madrid: Alianza Editorial, 1994.

GALILEI, GALILEU, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a duenuoue scienze attenenti alla mecanica i movimenti locali (1638). Ediciopreparada per C. Solis y J. Sadaba, Consideraciones y demostracionesmatematicas sobre dos nuevas ciencias (1638). Madrid: Editora Nacio-nal, 1978. Hi ha tambe el text anotat, amb introduccio i apendixos, deCarmen Azcarate, Manuel Garcıa Doncel, Jose Romo, La Nueva cienciadel movimiento. Seleccion de los �Discorsi e dimostrazioni matematicheintorno a due nuoue scienze attenenti alla mecanica i movimenti locali�.Barcelona: Servei de Publicacions de la Universitat Autonoma de Barce-lona: Edicions de la Universitat Politecnica de Catalunya, 1988.




GRATTAN-GUINNESS, SIR IVOR, From the Calculus to Set Theory, 1630–1910. An Introductory History. Princeton University Press: Princeton, No-va Jersey, 1980. Traduccio castellana de Mariano Martınez Perez, Delcalculo a la teorıa de conjuntos, 1630–1910. Una introduccion historica.Alianza Editorial. Madrid, 1984.


Galileu: Eppur si muove · 2012. 7. 23. · CAP´ITOL 2.1 2.1. Del llenguatge de la matematica en...

Documents

Transcript of Galileu: Eppur si muove · 2012. 7. 23. · CAP´ITOL 2.1 2.1. Del llenguatge de la matematica en...