GA_CAP_02

CLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemtica Unesp/Bauru

CAPTULO 2

VETORES NO PLANO E NO ESPAO

1 Vetores no plano

O plano geomtrico, tambm chamado de 2, simbolicamente escrevemos:

}yex),y,x{(x2 == , o conjunto de todos os pares ordenados de

nmeros reais. Ele representado atravs do sistema de coordenadas cartesianas,

o qual constitudo por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseo o par

ordenado O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos so denotados por

Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos

coordenados, orientados como mostra a figura abaixo.

Todo ponto P do plano representado como na figura acima, onde x e y so

as suas coordenadas, respectivamente em relao aos eixos Ox e Oy. Na

representao de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x

sempre a primeira e y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos

coordenados dividem o plano em 4 regies iguais (I, II, III e IV), cada uma delas

chamadas de quadrante. O que distingue um quadrante do outro so os sinais das

coordenadas (x,y) de um ponto qualquer do 2 . Assim:

- Se (x,y) pertence ao I quadrante, ento x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);

- Se (x,y) pertence ao II quadrante, ento x0. Simbolicamente: (-,+);

- Se (x,y) pertence ao III quadrante, ento x


respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos

versores { }j,i rr ser chamado de uma base do 2.

Pela figura acima, podemos ver que jyixvrrr

+= , ou seja, o vetor vr

escrito

em funo da base { }j,i rr . A expresso jyixv rrr += chamada de expresso cartesiana de um vetor do 2 e seu mdulo determinado por 22 yx|v| +=

r.

Todo vetor do plano ser representado a partir da origem do sistema, ou seja,

a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide

com algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor

com um ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v =r

.

Por exemplo: Para o vetor ji3vrrr

= podemos escrever )1,3(v =r

e

represent-lo no 2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto origem do

sistema, sempre fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a

extremidade do vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:

1.1 Operaes com vetores do 2 na forma cartesiana

Sejam jyixvejyixv 222111rrrrrr

+=+= dois vetores quaisquer do 2 e um

escalar qualquer . Ento:

- Adio: j)yy(i)xx(vv 212121rrrr

+++=+

- Subtrao: j)yy(i)xx(vv 212121rrrr

+=

- Multiplicao por escalar: j)y(i)x(v 111rrr

+=

Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2urrrrrrr

=+=+= . Determine o mdulo do vetor

w2v3u21

Rrrr

+= .

vr

-1

3

P(3,-1)

y

x

O

jr

jyr

ir

ixr

vr

y

x

P(x,y)

Oy

Ox


Soluo: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notao

vem: )0,1(we)1,3(v,)4,2(u ===rrr

. Vamos primeiro determinar o vetor R .

)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(21

R =+++=+=+=

Logo, ji12Rrr

= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=+=

1.2 Cossenos diretores de um vetor

Seja jyixvrrr

+= um vetor qualquer do 2. Ento vr

forma um ngulo com

cada eixo coordenado. Sejam e os ngulos que o vetor vr

forma com os eixos

Ox e Oy, respectivamente. Pela figura abaixo temos: |v|

x)cos( r= e

|v|y

)cos( r= ,

chamados cossenos diretores do vetor .vr

Note que: 1)(cos)(cos 22 =+ , pois:

1|v|

y|v|

x22

=

+

rr e 222 yx|v| +=

r, ento 22 yx|v| +=

r.

Definio: Considere o vetor jyixvrrr

+= . Ento o versor do vetor vr

, denotado

por ovr

, um vetor paralelo, de mesmo sentido de vr

e unitrio, ou seja, 1vo =r

,

definido por |v|

vvo r

rr

= .

Como jyixvrrr

+= )y,x(v =r

==

|v|y

,|v|

x)y,x(

|v|1

vo rrrr

)cos,(cosvo =r

.

Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:

a) Os cossenos diretores do vetor AB .

b) Um vetor wr

de mdulo 40 e paralelo ao vetor AB .

Soluo: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB === , 10)1()3(|AB| 22 =+= . Ento:

10

1

|AB|

y)cos(e

10

3

|AB|

x)cos(

==

==

b) Seja )y,x(w =r

. Se wr

paralelo ao vetor AB , ento existe um escalar m tal

que: ABmw =r

. Ento:

=

===

mym3x

)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| =r

,

O

vr

y

x

P(x,y) Oy

Ox


ento: 40yx 22 =+ ( )22

22 40yx =

+ 40yx 22 =+

40)m()m3( 22 =+ 2m40m10 2 == . Assim, h duas solues: para m = 2

)2,6(w =r

ou para m = -2 )2,6(w =r

o seu oposto. Logo, )2,6(w =r

ou

)2,6(w =r

.

Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v =+=rr

. Determine os valores de m

para que o vetor wvrr

tenha mdulo igual a 6.

Soluo: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv ++=+=rr

626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+++=rr

05m4m626m8m2 222

2 =+=

++

=

=

5m1m

2

1

Logo para

===

===

)11,2(we)5,2(v5m)1,2(we)1,4(v1m

2

1rr

rr

Exemplo (4): Seja )4,3(v =r

. Ao projetarmos o vetor vr

sobre o eixo Ox, obtemos

um vetor ur. Determine o vetor w

r que a projeo do vetor u

r na direo do vetor

vr

.

Soluo: Temos que )0,3(u =r

e wr

paralelo ao vetor vr

. Ento vwrr

= . Seja

)y,x(w =r

. Ento:

=

===

4y3x

)4,3()y,x(wr

. Por construo temos:

53

|w||v||u|

|u||w|

cos ===r

r

r

r

r

. Mas +=+= 2222 )4()3(yx|w|r

259

59

2553

)4()3(|w| 222 ===+=r

Portanto:

===

2536

,2527

w)4,3(259

)y,x(wrr

y

x

4

3 ur

wr

vr


Exerccios Propostos:

1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v ==rr

, determine os vetores bearr sabendo que

bavrrr

+= e que br

o triplo do versor do vetor ur.

Resp:

=

=

511

,522

ae59

,512

brr

2) Determine t para que )t2,t(u =r

tenha mdulo igual a 53 . Resp: t = 3

3) O vetor )8,2(v =r

a soma de um vetor ar que est sobre o eixo Ox com um

vetor br

, cujo mdulo 73 . Determine as possibilidades para os vetores ar e b

r

.

Resp:

==

==

)8,3(be)0,5(aou)8,3(be)0,1(a

rr

rr

4) Trs pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um tringulo ABC.

a) Mostre que 0BACBAC =++ .

b) Determine o permetro do tringulo ABC. Resp: 5517p2 +=

5) Sejam A, B, C e D, vrtices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e

)4,3(BDe)4,7(AC == suas diagonais, determine os outros vrtices B, C e D.

Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)

2 Vetores no espao

O espao, tambm chamado de 3 , onde =3 , o conjunto de

todas as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }= z,y,x/)z,y,x(3 .

Logo, todo ponto P do 3 representado por uma terna de nmeros reais P(x,y,z).

O 3 representado atravs do sistema de coordenadas cartesianas, o qual

constitudo por trs eixos perpendiculares entre si, cuja interseo a terna

O(0,0,0), chamada de origem do sistema. Esses eixos so denotados por Ox (eixo

das abscissas), Oy (eixo das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de

eixos coordenados, orientados como mostra a figura abaixo.

()

()

()

(+)

(+)

(+)

Oy

Oz

Ox


Note que os eixos coordenados dividem o espao e 8 regies iguais, cada uma

delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro so os sinais das

coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3 . Assim:

- Se (x,y,z) pertence ao 1 octante, ento x>0, y>0 e z>0. Em smbolos: (+,+,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 2 octante, ento x0 e z>0. Em smbolos: (,+,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 3 octante, ento x0, y0. Em smbolos: (+,,+);

- Se (x,y,z) pertence ao 5 octante, ento x>0, y>0 e z


do desenho geomtrico como noo de profundidade e perspectiva e, nem sempre

a visualizao do que se pretende representar evidente aos nossos olhos.

Como estamos interessados em fazer as representaes no 3 atravs de um

esboo, ou seja, algo simples e no pretendemos realizar construes difceis e

nem representaes elaboras, o que se adota como conveno representar o

octante desejado como se fosse sempre o 1 octante. Por exemplo, poderamos

representar o ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma:

Qualquer vetor do 3 pode ser escrito em funo trs versores kej,irrr

, cada

um deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente.

Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i rrr ser chamado de uma base do 3.

Pela figura acima podemos ver que kzjyixvrrrr

++= , ou seja, o vetor vr

escrito em funo da base { }k,j,i rrr . A expresso kzjyixv rrrr ++= chamada de expresso cartesiana. Note tambm que, o mdulo de um vetor dado por

222 zyx|v| ++=r

, pois:

Do tringulo OQR vem: 222 yxw +=

Do tringulo POR vem: 222 zw|v| +=r

Ento: 2222 zyx|v| ++=r

Portanto: 222 zyx|v| ++=r

Oz

-3

Ox 6

5

Q(-3,5,6)

2 octante

Oy

Oy

x

kzr

kr

Ox

jr

jyr

ir

ixr

vr

z

y

P(x,y,z)

Oz

jyixrr

+

w

vr

R Q

P

O z

z

y

y

x


Todo vetor do espao ser representado a partir da origem do sistema, ou

seja, a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade

coincide com algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um

ponto do espao e simplesmente escrever que )z,y,x(v =r

.

Por exemplo: O vetor k6j5i3vrrrr

++= escrito como )6,5,3(v =r

e represent-

lo no 3, marcando o ponto P e unindo este ponto origem do sistema, sempre

fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do

vetor com o ponto P. Veja a figura abaixo:

2.1 Operaes com vetores do 3 na forma cartesiana

Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111rrrrrrrr

++=++= dois vetores quaisquer do 3 e

um escalar qualquer . Ento:

- Adio: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121rrrrr

+++++=+

- Subtrao: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121rrrrr

++=

- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111rrrr

++=

Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2urrrrrrrr

=++=+= , trs vetores do espao.

Determine o mdulo do vetor w2v3u21

Rrrr

+= .

Soluo: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notao,

escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u ===rrr

. Determinando o vetor R vem:

)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(21

R +=+=

)6,3,10()060,232,091(R =+++= . Logo, k6j3i10Rrrr

=

Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=++= .

Oz

3 Ox

vr

6

5

P(3,5,6)

Oy


2.2 Cossenos diretores de um vetor

Seja kzjyixvrrrr

++= um vetor qualquer do 3. Ento vr

forma um ngulo com

cada eixo coordenado. Sejam , e os ngulos que o vetor forma com os eixos

Ox, Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos:

|v|

x)cos( r= ,

|v|y

)cos( r= , |v|

z)cos( r=

chamados de co-senos diretores do vetor .vr

Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =++

Definio: Considere o vetor kzjyixvrrrr

++= . Ento o versor do vetor vr

,

denotado por ovr

, um vetor paralelo, de mesmo sentido de vr

e unitrio, ou seja,

1vo =r

, definido por |v|

vvo r

rr

= .

Como kzjyixvrrrr

++= )z,y,x(v =r

==

|v|z

,|v|

y,

|v|x

)z,y,x(|v|

1vo rrrrr

)cos,cos,(cosvo =r

.

2.3 Condio de paralelismo entre dois vetores.

Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 ==rr

dois vetores paralelos, ou seja, eles tm

a mesma direo, ento existe um escalar m tal que vmurr

= . Logo:

==

==

==

=

2

121

2

121

2

121

222111

zz

mmzz

yy

mmyy

xx

mmxx

)z,y,x(m)z,y,x( 2

1

2

1

2

1

zz

yy

xx

m === ,

0ze0y,0xcom 222 . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos

necessrio que haja uma proporo entre suas coordenadas, isto , eles so

mltiplos escalares.

y

Ox

x

|v|r

z

P(x,y,z) Oz

Oy


Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u =r

, )4,8,2(v =r

e )4,6,2(w =r

.

Temos que ur e v

rso paralelos, pois u2v

rr= e 2

24

48

12

=== . Note que ur e w

r

no so paralelos, pois 24

46

12

, ou seja, no existe nenhum escalar m tal

umwrr

= .

2.4 Condio de coplanaridade entre trs vetores

Sejam )z,y,x(u 111=r

, )z,y,x(v 222=r

e )z,y,x(w 333=r

vetores coplanares,

ou seja, vetores que esto no mesmo plano, ento existem escalares m, n tais

que wnvmurrr

+= .

Ento: += )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111

=+

=+

=+

132

132

132

znzmzynymyxnxmx

Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo

determinante igual a zero, pois existe uma combinao linear entre suas linhas,

ou seja, a primeira linha m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a

condio para que trs vetores sejam coplanares verificada quando

0zyxzyxzyx

333

222

111

= .

Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor wr

paralelo

ao vetor PQ e que tenha mdulo igual a 6.

Soluo: Sejam )z,y,x(w =r

. Como wr

paralelo a PQ , ento PQw =r

)2,2,1()z,y,x( = . Ento:

=

=

=

2z2y

x. O mdulo de )z,y,x(w =

r igual

6zyx 222 =++ 2696)2()2()( 2222 ===++ . Portanto,

)4,4,2(wou)4,4,2(w ==rr

.

vmr

vr

wr

wnr

ur


Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 ==rr

esto aplicados no mesmo

ponto A. Determine um vetor AB de mdulo 32 , cuja direo a direo da

bissetriz do ngulo formado pelos vetores 21 vevrr

.

Soluo: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ngulo entre 21 vevrr

,

necessrio que |v||v| 2211rr

= 22222

1 12)1(2 =++ 12 3= .

Pela figura podemos ver que 2211 vvABrr

+= . Para 12 3=

2111 v3vABrr

+= )v3v(AB 211rr

+= [ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +=

=

=

=

1

1

1

2z2y2x

. Como 32zyx32|AB| 222 =++=

32)2()2()2( 212

12

1 =++ 132323212 1121 === .

Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB == .

Para 12 3= 2111 v3vABrr

= )v3v(AB 211rr

=

[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 =

=

=

=

1

1

1

2z4y

2x.

Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 212

12

1222 =++=++=

22

12243224 121

21 === .

Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB +==

Exemplo (8): Dar as expresses das coordenadas do ponto mdio do segmento de

reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 .

Soluo: Seja M(x,y,z) o ponto mdio do segmento AB . O ponto M tal que

MBAM = ou M-A = B-M. Ento:

+=

+=

+=

=

=

=

=

21

21

21

21

21

21

222111

zzz2yyy2xxx2

zzzzyyyyxxxx

)zz,yy,xx()zz,yy,xx(

Portanto: Ponto mdio

+++

2zz

,2

yy,

2xx

M 212121

B

A

AB

1vr

2vr

11vr

22vr


Exerccios Propostos:

1) Encontrar os valores a e b tais que ubvawrrr

+= , sendo )14,4,4(w =r

,

)1,2,1(v =r

e )4,0,2(u =r

. Resp: a =2 e b = -3

2) Determine o simtrico do ponto P(3,1,-2) em relao ao ponto A(-1,0,-3).

Resp: Q(-5,-1,-4)

3) Um vetor wr

do 3 forma com os eixos Ox e Oy, ngulos de 60o e 1200,

respectivamente. Determine wr

para que ele tenha mdulo igual a 2.

Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w ==rr

4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a ==rr

. O ngulo entre eles 45o. Calcule o ngulo entre

os vetores baebarrrr

+ . Resp:

=

55

arccos

5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , at que ponto se deve prolongar o

segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de

valor? Resp:

(9,7,11)

COMENTRIOS IMPORTANTES

1) Como podemos identificar um vetor kzjyixvvrrr

++= com um ponto do 3 e, a

fim de simplificar a notao, escrevermos )z,y,x(v =r

, muito comum o aluno

confundir as notaes de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v =r

. s vezes at,

fazer operaes que so permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos

pontos. Portanto, cuidado com as notaes.

2) A linguagem matemtica uma linguagem como outra qualquer, com suas

regras e conectivos lgicos. As prprias lnguas (portugus, ingls, alemo,...)

possuem suas regras de construo (concordncias, ortografia, conjugao

verbal,...) as quais devem ser empregadas corretamente para que as frases e os

pargrafos tenham sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem

computacional voc esquecer-se de digitar um ponto ou uma vrgula, seu programa

no roda e enviar uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos

esquecemos de digitar um ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-

mail, no vamos conseguir navegar ou enviar uma mensagem. Assim tambm

linguagem matemtica. Se voc no escreve corretamente, seu desenvolvimento

matemtico ficar sem sentido e o professor, provavelmente, vai lhe enviar uma

mensagem de erro que a sua nota. Portanto, procure usar os smbolos de


maneira correta e ordenada, para aqueles que lerem seu desenvolvimento

matemtico possa entender o seu raciocnio.

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