Gabarito Extensivo – MATEMÁTICA

volume 1 – Frente B

30° 45° 60°

sen 1

2

2

2

3

2

cos 3

2

2

2

1

2

tan 3

3 1 3

01) E 2 2 2

2

2

x 4 5

x 25 16

x 9

x 3

cateto opostosen30

hipotenusa

1 4

2 y

y 8

x+y=3+8=11

02) 2 3 2 m

Seja O a origem no solo alinhado verticalmente com o bastão. A medida OB será a altura x da colina.

Importante observar que o triângulo AOC é isósceles com as medidas AO OC 4 x .

cateto opostotg30

cateto adjacente

3 x

3 4 x

4 3 x 3 3x

x 3 3x 4 3

x 3 3 4 3

4 3 4 3x

3 3 3 3

3 34 3 12 3 12 12 3 12x .

9 3 9 33 3 3 3

12 3 12x 2 3 2 m

6

03) 22m

Seja x a medida entre o prédio maior e a base da escada que está apoiada. Também, seja y a medida da

entre a base do prédio menor e a base da escada nele apoiada.

xcos60

20

1 x

2 20

2x 20

x 10

ycos45

12 2

2 y

2 12 2

2y 12 4

12.2y 12

2

y 12

Distância entre os prédios = 10+12=22m

04) A

Seja QR x

a btg30

x 10

3 a b

3 x 10

x 3 10 3a b

3

a btg60

x

a b3

x

x 3 a b

x 3 10 3x 3

3

x 3 10 3 3x 3

3x 3 x 3 10 3

3x x 10

x 5

x 3 a b

a b x 3

a b 5 3

Mas o cateto a b multiplicado por 3 fica:

5 3. 3 5.3 15 unidades

05) B

Seja x a altura da parte do prédio (Cateto oposto ao ângulo α) em que se forma um triângulo retângulo.

Com o valor do seno de α podemos encontrar o cosseno e tangente de α utilizando a relação fundamental

2 2sen cos 1 e a fórmula da tangente em função de seno e cosseno. Para 4

sen 5

, inicialmente

calculamos o valor do cosseno e em seguida o valor da tangente desse ângulo.

2 2sen cos 1 2

2

2

4cos 1

5

16cos 1

25

2 9cos

25

3cos

5

sentg

cos

4

4 5 45tg .3 5 3 3

5

4tg

3

Tangente de α em função dos

catetos:

xtg

8,4

4 x

3 8,4

x 11,2

Logo, x + altura da casa = altura do prédio = 11,2+4,8 = 16

06) A

Seja x a altura da montanha.

cat.opostotg30

cat.adjacente

xtg30

600

3 x

3 600

3x 600 3

600 3x

3

x 200 3 m

07) A Altura da rampa = 15cm + 15cm = 30cm = 0,3m= cateto oposto ao ângulo de 30°. x = comprimento da rampa.

0,3sen3

x

0,30,05

x

0,3x

0,05

x 6m

08) E

x

tg3080 y

3 x

3 80 y

xtg60

y

x3

y

x y 3

3 x

3 80 y

3 y 3

3 80 y

3y 380 y

3

3y y 80

y 40

x y 3

x 40 3

x 69,2

Altura do prédio é igual a x mais a altura da pessoa que é 1,73m. Logo, x+1,73 = 69,2+1,73≈71m 09) C

1000cos45

x

2 1000

2 x

x 1000 2 1414m 10) A

2

2

2

10cos60

L

1 10

2 L

L 20

Htg60

10

H3

10

H 10 3

1

1

1

1

Hsen30

L

1 10 3

2 L

L 20 3

L 34,6

L1+L2=20+34,6

L1+L2≈54,6m

11) C

xtg60

1,8

x3

1,8

x 1,8 3

x 3,1

12) D Conforme os dados do exercício, podemos montar o esquema da figura abaixo. Para calcular a distância AC = x, basta aplicar o teorema de Pitágoras.

2 2 2

2 2

x 6 (8 x)

x 36 64 16x x

16x 100

25x

4

13) Observe que a h (altura) é a mesma medida do cateto adjacente no triângulo:

Logo, com relação:

cat.oposto

senhipotenusa

hsen30

200

1 h

2 200

h 100m

14)

Seja F o ponto de interceptação do segmento AC no segmento DE . Observe ainda que o ângulo DFA

mede 30° fazendo com que esse triângulo seja isósceles. Seja x = DF = AE :

xtg30

50

3 x

3 50

50 3x

3

50 3 50 3DF FA

3 3

xcos30

50 3

3

3 x

2 50 3

3

50 3. 32x

3

50.32x

3

2x 50

x 25

Portanto, AB 50 25 75 15) Seja x a distância entre o ponto B e o pinheiro.

htg( )

d x

hd x

tg( )

hx d

tg( )

htg( )

x

hx

tg( )

h hd

tg( ) tg( )

h hd

tg( ) tg( )

1 1h d

tg( ) tg( )

tg( ) tg( )h d

tg( ).tg( )

dh

tg( ) tg( )

tg( ).tg( )

d.tg( ).tg( )h

tg( ) tg( )

16) C

Observe que a hipotenusa do triângulo destacado é 2,5m

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo destacado para obter y. 2 2 22,5 1,5 y

2y 6,25 2,25 4,00

y 2m

Seja z = y+x 2 2 2

2

3,9 1,5 z

z 12,96

z 3,6

x+y=3,6 x+2=3,6 x=1,6

17) D

3tg 4tg

4tgtg

3

htg

PT

h 4tg

PT 3

3htg

4PT

h 10tg

PT

h 10 3h

PT 4PT

3hh 10

4

4h 40 3h

h 40m

18)

x

sen608

3 x

2 8

x 4 3

ycos60

8

1 y

2 8

y 4

Y+4=4+4=8

2 2 2

2

10 8 z

z 36

z 6

Altura do poste: x z 4 3 6 6 4 3 m

19) C Seja h a altura da torre e x a distância entre a torre e o ponto de observação em no qual formou-se um

ângulo β tal que tg 3 3 :

rad 603

htg60

4 x

h3

4 x

4 3 x 3 h

x 3 h 4 3

htg

x

hx 3

3

x 3 h 4 3h

h 4 3h3x 3

3

hh 4 3

3

2h4 3

3

h 6 3

20) a)

Seja x a distância entre P e Q:

2 2 2

2

2

x 1 7

x 49 1

x 48

x 4 3

PQ 4 3dm

Seno do ângulo BPQ (α):

No triângulo BPQ, a distância PB = hipotenusa = y 2 2 2

2

2

y 2 (4 3)

y 4 48

y 52

y 2 13dm

Cateto opostosen

hipotenusa

2 1 13 13sen .

132 13 13 13

13sen

13

b) O ângulo da roda maior descreve um ângulo de 60°. Dessa forma a distância percorrida pela bicicleta numa volta completa da roda maior (360°) é,

60 60D 2 r dm

360 360

Comprimento da circunferência menor C2=2πr C2=2π2 C2=4π dm Seja α o ângulo descrito pelos raios da roda menor, e observe a relação envolvendo o comprimento da circunferência menor e a distância percorrida pela bicicleta:

2

360

D C

360

4

90

Comprimento da circunferência maior C1=2πr= C1=6π, A relação entre os comprimentos C1 e C2 é

1

2

C 6 31,5

C 4 2

Isso significa que a quando a volta maior dá uma volta completa, a roda menor dá 1,5 volta. Nessas condições, para 80 voltas da roda maior, a roda menor dará 1,5x80=120 voltas 21) Sendo L1 = 30 cm e L2 = 20 cm:

10 1tg

30 3

h 1,5tg

x

1 h 1,5

3 x

x 3h 4,5 i

10 1tg

20 2

h 1,5tg

x 10

1 h 1,5

2 x 10

x 10 2h 3

x 2h 7 ii

Juntando i e ii, temos:

3h 4,5 2h 7

3h 2h 7 4,5

h 11,5m

22) D x = OA0

1sen30

x

1 1

2 x

x 2

Ângulo Â0=60° y=A0A2

ycos60

1

1y 0,5

2

OA2=2-0,5=1,5

z=A2A3

zsen30

1,5

1 z

2 1,5

31,5 32z2 2 4

23) C Seja x o comprimento de cada degrau, conforme mostra a figura abaixo.

20

tg30x

3 20

3 x

x 20 3cm

Cada degrau mede 20 3cm de comprimento. Como o comprimento horizontal da escada é de

280 3cm , então, para calcular a quantidade de degraus, basta dividir o comprimento da escada pelo

comprimento do degrau.

280 3cm14

20 3cmdegraus

24) D

Considere x BE :

3,84cos16

x

3,840,96

x

3,84x 4m

0,96

Como o comprimento do telhado é de 4m, e esse comprimento deve ser formado por duas ecotelhas com 2,20m cada uma, portanto 2,2+2,2=4,4m. Logo, o transpasse será de 40cm 25) D

Seja x AD e y DO :

xsen60

r

3 x

2 r

3rx

2

3rAD

2

2

2 2

2

2 2

3ry r

2

3ry r

4

ry

2

r rDB r

2 2

rBE DO

2

3rCE r

2

3r r r 3rAD DB BE CE r

2 2 2 2

2rAD DB BE CE r

2

AD DB BE CE 2r 26) B

B 180 75 45 60 x = Distância do pontos A ao ponto C

8 x

sen45 sen60

8 x

2 3

2 2

x 2 8 3

2 2

x 2 2.8 3 8 3

2 2 2 2

8 3 2x .

2 2

x 4 6

27)

2 2 24 2 3 2.2.3cosB

16 4 9 12cosB

12cosB 13 16

1cosB

4

01 correto

2 2 23 2 4 2.2.4cosA

9 4 16 16cosA

16cosA 20 9

11cosA

16

02 correto

2 2 22 3 4 2.3.4cosC

4 9 16 24cosC

24cosC 25 4

7cosC

8

2 2

2 2

2

2

2

sen C cos C 1

sen C 1 cos C

7sen C 1

8

15sen C

64

15senC

8 04 correto

2 2

2 2

2

2

2

sen B cos B 1

sen B 1 cos B

1sen B 1

4

15sen B

16

15senC

4 08 correto

O triângulo ABC é obtusângulo, pois 1

cosB 90 B 1804

. (16 – correto)

Logo, a resposta correta é 01+02+04+08+16=31 28) A Com os dados o triângulo fica. Observe ainda que o ângulo 75° = 45°+30°

Para calcular os lados a fim de obter o perímetro, necessitaremos calcular o valor do seno de 75°. Utilizaremos o seno de arco duplo: sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) sen75°=sen(45°+30°)

sen a b sen a cos b cos a sen b

sen 45 30 sen45 cos30 cos45 sen30

2 3 2 1sen 45 30 . .

2 2 2 2

6 2sen 45 30

4 4

6 2sen 45 30

4

6 2sen 75

4

2 a

sen45 sen60

2 a

2 3

2 2

3 a 22.

2 2

a 2 2 3

a 6

2 b

sen45 sen75

2 b

2 6 2

2 4

b 2 6 22

2 4

6 2b 2 4

4

b 2 6 2

6 2b

2

6 2b

2 2

b 3 1

Perímetro: P = a + b + c

P 2 3 1 6

P 3 3 6 cm

29) C

O maior ângulo do triângulo é o ângulo oposto ao maior lado. Com a Lei dos cossenos podemos calcular o cosseno de A:

2 2 28 4 6 2.4.6.cosA

48cosA 52 64

1cosA

4

2 2

2

2

sen A cos A 1

1sen A 1

4

2

2

1sen A 1

16

15sen A

16

15senA

4

30)

C 180 60 75 45

30 x

sen45 sen60

30 x

2 3

2 2

3 230. x

2 2

30 3 2x .

2 2

x 15 6

Seja y a altura do edifício CD .

ytg30

15 6

3 y

3 15 6

15 6 3y

3

y 5 18m

Agora, dividindo o resultado por 2 :

5 185 9 15m

2

31) B

6 8

sen30 senB

6 8

1 senB

2

86senB

2

6senB 4

2senB

3

32) C Esse triângulo é isósceles, pois possui dois lados iguais. Sem perda de generalidade considere o triângulo

2 2 21 2 2 2.2.2cos

8cos 8 1

7cos

8

2 2 22 2 1 2.2.1cos

4cos 5 4

1cos

4

Logo, os cossenos desses ângulos são: 1 1 7

, e 4 4 8

.

33) 12

3cosB

5

2 2

2

2

2

sen B cos B 1

3sen B 1

5

9sen B 1

25

2 16sen B

25

4senB

5

Pela lei dos cossenos:

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

x (x 1) (x 2) 2(x 1)(x 2)cosB

3x x 2x 1 x 4x 4 2(x 2x x 2)

5

30 x 6x 5 (2x 4x 2x 4)

5

5x 30x 25 6x 12x 6x 120

5

2x 12x 13 0 ou

12

2

x 13x 12x 13 0

x 1 Não serve

Logo, os lados do triângulo são 13, 14 e 15. Agora basta calcular a altura y

ysenB

13 2

4 y

5 15

15.4y

5

y 12

34) D

Errata: Considere CBD=90° .

Observe que ABD 60 90 150 . Com a lei dos cossenos para cos150 cos30 e x=AD:

2 2 2

2

x 3 4 2.3.4( cos30 )

3x 9 16 24.

2

2x 15 12 3

x 15 12 3

35) A

Com o ângulo ABC 150 , podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular a distância x=AC e cos150°=-cos30°

22 2x 300 3 200 2.300 3.200cosB

2

2

2

3x 90000.3 40000 120000 3.

2

x 270000 40000 60000.3

x 490000

x 700m

36) E

PSQ 60

PQS 30

Seja PQ=x:

xtg30

3

3 x

3 3

x 1

PQ 1

RS 12 x

RS 11

22 2

2

QS y

y 1 3

y 1 3

y 2

QS 2

22 2

2

QR z

z 12 3

z 144 3

z 147

QR 147

Aplicando a lei dos senos com sen(120°)=sen(60°) no triângulo QRS

11 147

sen sen60

11 147

sen 3

2

11 147 2.

sen 1 3

11 1472

sen 3

112 49

sen

112.7

sen

11sen

14

37)

OAP 120

BAP 60

APB 45

AP y

AB x

3 3 y

sen120 sen30

3 3 y

13

22

y 3 3 3

2 2

y 3 3 3

3 3 3 3 3 3y .

33 3

y 3 1

x 3 1

sen45 sen75

Pelo exercício 28, sen75°=6 2

sen754

x 3 1

2 6 2

2 4

2 3 1 4x . .

2 1 6 2

6 2 4x .

2 6 2

x 2

AB 2km

38)

1MB

2

1BN

2

No triângulo MBN dispomos da medida dos três lados. Dessa forma podemos utilizar a lei dos cossenos no

ângulo B : 2 2 2

14 1 1 1 12 cosB

4 2 2 2 2

7 1 1 2cos B

8 4 4 4

7 2 cos B

8 4 2

cos B 1 7

2 2 8

cos B 3

2 8

3cos B

2

A 180 B

3cos A cos(180º B)

2

Com a Lei dos cossenos em DAM :

Seja, x DM ¨

2

2 2

2

2

1 1x 1 2 .1cos A

2 2

1 3x 1

4 4

1 4 3x

4

2 2x

4

2x

2

39) B Errata, considere o ângulo 105° no lugar de 150°:

Considere primeiramente o triângulo ABC, com B 45 e x BC :

x 50

sen30 sen45º

x 50

1 2

2 2

2 50x

2 2

x 25 2

Agora, basta calcular a altura h do triângulo retângulo BDC.

hsen30

25 2

1 h

2 25 2

2h 25 2

h 12,5 2m

40) E O ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo do triângulo, nesse caso calculemos o cosseno relativo ao lado x+2:

2 22

2 2 2 2

2 2

x 2 x x 1 2x x 1 cos

(2x 2x)cos x x 2x 1 x 4x 4

(2x 2x)cos x 2x 3

2

2

x 2x 3cos

(2x 2x)

(x 1)(x 3)cos

2x(x 1)

(x 3)cos

2x

41) B É necessário calcular os lados x e y do triângulo:

Com perímetro medindo 20m,

22

x y 8 20

x y 12

y 12 x

y 12 x (1)

Lei dos cossenos com lado y:

2 2 2

2 2

y x 8 16x cos60

1y x 64 16x.

2

2 2y x 64 8x (2)

Utilizando a equação (1) em (2): 22

2 2

x 64 8x 12 x

x 64 8x 144 24x x

8x 24x 144 64

16x 80

x 5m

x y 12

5 y 12

y 7m

42) A

Seja x AB BC e pela lei dos cossenos em 30°, 2

2 2 2

22 2

3 1 x x 2x cos30

33 1 2x 2x .

2

22 2

2 2

33 1 2x 2x .

2

2x x 3 3 2 3 1

2

2

x 2 3 4 2 3

x 2 3 2 2 3

2

2

2 2 3x

2 3

x 2

x 2

Altura do triângulo ABC:

2

2 2

22

2

3 1x h

2

3 2 3 12 h

4

Para cálculo da área, vamos utilizar a fórmula:

AB.BC.sen30Área

2

12. 2.

2Área2

12.

2Área2

1Área

2

43) B O Triangulo AOC é retângulo com hipotenusa AC = 5. Nessas condições

2 2 2

2 2 2

OA OC AC

OC 5 3

OC 4

Seja α o ângulo OCD que é igual ao ângulo ODC . Então, o DOC 180 2

1sen

3

2 2

2

2

sen cos 1

1cos 1

3

2 1cos 1

9

2 2cos

3

Agora, para calcular a área do triângulo OCD, basta utilizar a mesma fórmula do exercício anterior, considerando que sen(180°-2α)= sen(2α). Devemos utilizar a fórmula: sen(2α)=2 sen(α).cos(α).

4.4.sen(2 )Área

2

4.4.2sen( ).cos( )Área

2

Área 16.sen( ).cos( )

1 2 2Área 16. .

3 3

32 2Área

9

44) B Utilizaremos uma fórmula da bissetriz (triângulo)

AC.AB ABISSETRIZ(A) .2Cos

2AC AB

Seja x=AB o

45

3x 902 .2Cos

3 x 2

2OBS: cos45

2

3x 22 .2

3 x 2

3x1 .1

3 x

3x 3 x

3x

2

Agora, basta utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa BC: 2 2 2

22

2

BC AC AB

3BC 3

2

2

2

9BC 9

4

45BC

4

45BC

4

3 5BC

2

45) C

2 2 2

(a b c)(a b c) 3ab

a ab ac ab b bc ac bc c 3ab

2 2 2a 2ab b c 3ab Isolando c:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a 2ab b c 3ab

c a 2ab b 3ab

c a b ab (A)

Mas pela lei dos cossenos em C :

2 2 2c a b 2abcos C (B)

Fazendo (A) = (B): 2 2 2 2a b 2abcosC a ab b

2 2 2 22abcosC a ab b a b

2abcosC ab

abcos C

2ab

1cos C

2

Logo, C 60 46) A Seja x=AB AC=3x

22 2

2 2

32 x (3x) 2.x.3x.cos

132 x 9x 6x .

3

2 2 2

2

32 x 9x 2x

32 8x

x 2

Então, AB é um inteiro par! Com a lei dos cossenos em β que é o ângulo oposto ao lado x:

22 22 6 32 2.6. 32.cos

4 36 32 12.4. 2.cos

48 2.cos 64

64cos

48 2

4 2cos .

3 2 2

4 2cos

3.2

2 2cos 0,942809

3

O Cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante, e como 1

0,942

, podemos concluir que o

ângulo 30 .

47) B

No triângulo BAD com a lei dos cossenos: 2 2 2

2

DB 13 46 2.13.46.cos120

DB 169 2116 1196cos120

2

2

1DB 2285 1196.

2

DB 2285 598

2DB 2883

DB 2883

DB 961.3

DB 31 3

BDAC

sen120

31 3AC

3

2

31 3 2AC .

1 3

AC 62 48) D

Pela lei dos senos, temos que a b c

sen sen sen, ou ainda escrevendo a mesma lei de forma

diferente,

sen a1 a c

sen c

sen a 3 5ab

sen b 5 3 ou

5cb

3

a b c 44

5cc c 44

3

5c2c 44

3

44c 3.

11

c 12

Como a=c, a 12

a b c 44

12 b 12 44

b 20

Maior lado, b=20. 49) D Seja b o lado oposto ao vértice B. Pela lei dos cossenos:

2 2 2

2

2

4 b 1 2.b.1cos x

16 b 1 2bcos x

b 2bcos x 15 0

Com a fórmula de Báscara: 2

2

( 2cos x) ( 2cos x) 4.1.( 15)b

2.1

2cos x 4cos x 60b

2

2

2

2cos x 4(cos x 15)b

2

2cos x 2 cos x 15b

2

2b cos x cos x 15

Interessante que até aqui já dispomos de um resultado válido, no entanto aplicando a igualdade fundamental da trigonometria:

2 2

2 2

cos x sen x 1

cos x 1 sen x

2

2

b cos x 1 sen x 15

b cos x 16 sen x

50) B

51) E

O é o centro da circunferência de raio AO=OB

Como o comprimento de arco menor AB é 1cm, o perímetro em cm é igual:

2 .1 1 1 1 2 1

52) C

2 2

2

2

2

12sen(x)

13

sen x cos x 1

12cos x 1

13

144cos x 1

169

2 25cos x

169

5cos x

13

Resposta: 5

3, pois está no segundo quadrante.

53) A

4 3sen(x) , x 2

5 2

tg x = ? 2 2

2

2

2

sen x cos x 1

4cos x 1

5

16cos x 1

25

3cos x

5

sen(x) 4 5 4tg(x) .

cos(x) 5 3 3

4tg(x)

3

54)

2 2

2

2

2

2

3cos

5

sen x cos x 1

3sen x 1

5

9sen x 1

25

16sen x

25

4senx

5

sen(x) 4 5 4tgx .

cos(x) 5 3 3

4tgx

3

55) E Dividimos 4555° por 360°, e analisamos o resto da divisão = 235°. Este é o ângulo equivalente e está no terceiro quadrante, e seu ângulo côngruo é 4555°-360° = 4195°. 56) A

sen(x) 2m 3

0 2m 3 1

3 2m 1 3

3 2m 4

3m 2

2

57) sen(x) 1

37 2sen(x) 37 2( 1) 37 2y 13

3 3 3

y 13

58) C

,2

3m 1cos

4

3m 11 0

4

4 3m 1 0

4 1 3m 1

3 3m 1

11 m

3

59) C

1 2k 1 0

1 1 2k 1

0 2k 1

10 k

2

60) A

sen 0 e cos 0 3 Q

cos 0 e tg 0 2 Q

sen 0 e cot g 0 1 Q

61) C

I. sen 1 < sen 3 (falso)

II. cos 1 < cos 3 (falso)

III. cós 1< sem 1 (verdadeiro)

62) 23

7

sen40 sen320 .log13

243 15

Temos que:

sen 320° = -sen 40°

Então, 23 23 23

23

7 7 7

sen40 sen40 .log13 0.log13 00 0

243 15 243 15 243 15

63)

(V) 2 2sen x cos x 1

Relação fundamental

(F) 2 2senx sen x

sen(x.x) ≠ senx.senx

(V) 2 2senx (senx)

(V) cos3 0

(V) sen17°=cos73°

sen(x)=cos(90°-x)

(V) sen220°+ sen

270°=1

sen70°=cos20°

Relação fundamental

(V)tg40°.tg50°=1

sen40 cos50Considere : ,

cos 40 sen50

sen40 sen50 cos50 sen50. = . 1

cos 40 cos50 sen50 cos50

64) Alternativa falsa.

cos x 0 e tgx 0 , então 3

x2 2

x2

65)

AB

AB

2 raC

360

2 .60.aC 124

360

a 120

1cos120 cos60º

2

66) D

Da letra A à R teremos 18 cadeiras

Move-se 5

6 de uma volta

518. 15 P

6

67)

I. cos(-x)=-cos(x) Falso

II. cos x sen(x)2

Verdadeiro

III. cos( x) cos(x) 0

cos(x) cos(x) 0 Verdadeiro

68) A

sen(a) cos , então a2

I. a 2k2

Verdadeiro

2k2 2

II. 2 2sen a sen 1 Verdadeiro

2 2

sen(a) sen cos2

cos sen 1

III. sen( a) cos( ) Falso

69) 12

01. Falso,

sen315 sen45

7sen sen

4 4

02. Falso

180

1 x

3,14x 180

x 57,32

04. Verdadeiro

1h20min

min = 4.30°=120°

horas = 30°+10° = 40°

120° - 40°=80°

08. Verdadeiro

2r = 28

L = 12cm

R=14cm

12 = 14.a

12 6a 1

14 7

16. Falso

5

p.d.p rad4

Soma: 04 + 08 = 12

70) C

Dados um triângulo de lados a, b e c; a relação entre a medida da mediana relativa à hipotenusa: 2 2 2

2 2(b c ) am

4, como o triângulo é retângulo, e ‘a’ for a hipotenusa, logo:

2 22 2a a

m4

22 a

m4 triângulo proposto

2m bc

2abc

4

a a 1 1(cos )(cos )

b a 4 4

Mas , são ângulos complementares, pois o triângulo é retângulo. sen cos .

1 1 1(cos )(cos ) 2(cos )(cos ) sen(2 )

4 2 2

2 2

2

sen (2 ) cos (2 ) 1

1 3cos (2 ) 1 cos(2 )

4 2

A resposta negativa não tem validade, pois o ângulo está no primeiro quadrante.

Usando a relação trigonométrica:2 1 cos(2 )

cos ( )2

:

2

2

31

2cos ( )

2

2 3

2cos ( )

2

2 2 3cos ( )

4

2 3cos( )

4

71) C

3,14

N 1 ?

2.3,14N 7,85

0,8

Logo, o maior valor de N é 7.

Com isso,

7.0,8 a 2

5,6 a 2.3,14

a 0,68

72) B

5.2 R 5 RRestaurante

12 6Maria

4.2 R 4 RLanchonete

12 6

Restaurante 2R

Carmem 2 R 12R R R(12 )Lanchonete 2R 1.

12 6 6

2 R 12R 2 R R(12 2 )Restaurante 2R 2.

12 6 6Sérgio

2 R 12R R R(12 )Lanchonete 2R 1.

12 6 6

I. Correta

II. Correta

III. Correta

73) A

AB 60°

2 R 2.3.6400.60L 6400km

360 360

BC 45°

2 R 2.3.6400.45L 4800km

360 360

ABC = 6400 + 4800

ABC = 11.200km

74)

2 R 2 R 90 2.3.6400 RL 9600

360 360 4

L 9600km