UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICASCÁTEDRA: CÁLCULO ll

Cálculo de volúmenes mediante el método de arandelas

Integrantes: Fuentes Tania Lema Jessica Rosero Melissa Urbano Dayana Vásquez Zulay

Cálculo del Volumen en sólidos en revolución : El Método de Arandelas

El método de las arandelas, es una variante del método de las secciones transversales y permite calcular el volumen de un solido de revolución entres dos funciones.

El método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela.

La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente:

𝜋R2h – r𝜋 2h (R2 – r2)

En donde:

Definición

Dadas las funciones , continuas en el intervalo y con , el volumen del sólido de revolución limitado por las curvas y las rectas y ,es:

1. La región acotada por la curva y= x2+1 y la recta y=-x+3 girada alrededor del eje x para generar el sólido. Encuentre el volumen del sólido:

Ejercicios de aplicación

Solución:

x2+1 = -x+3x2+x-2 = 0(x+2)(x-1) = 0X1= -2X2= 1 [-2 ; 1]

Ejercicio Nº2:

2. La región entre las curvas f(X)=x2 y g(X)=1 se gira alrededor del eje y=2 generan un solido. Hallar el volumen del solido en revolución.

Solución:

Ejercicio Nº3

3. Hallar el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje “y” la región limitada por las funciones y= 2x y y=x2

Solución:

2x = x2 r = y= 2xx2-2x = 0 x = x(x-2) = 0 R = y = x2x1 = 0 x = √yx2 = 2 [0;2]

𝜋R2h – r𝜋 2h𝜋(R2h – r2h)

u3

Ejercicio Nº4

4. Encontrar el volumen del solido de revolución generado al girar sobre el eje “y”, la región limitada por: , y = 0 y x = 4.

Solución:

Eje x : y = 0

Ejercicio Nº5

5. Determinar el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje x, la región acotada por la parábola y=x2+1 y la recta y=x+3

El eje de rotación es y=5

Solución:

Para los límites de Integración:

Para las funciones a integrar:

Ejercicio Propuesto

Calcular el volumen del solido de revolución que se obtiene al hacer girar sobre la recta x=-4, la región acotada por: x=y-y2 y x=y2-3.

Bibliografía y Net grafía:

http://ningunvago.blogspot.com/2011/04/calculo-de-volumen-el-metodo-de.html

http://www.youtube.com/watch?v=FppCPrdG8sw

William Anthony Granville, P. P. (1980). Calculo diferencial e integral . Editorial Limusa S.A. De C.V., 1980.