Модели

нелинейного мира

Галина Юрьевна РизниченкоКаф. биофизики Биологического ф-та Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, к.119

тел: +7(495)9390289;

E-mail: riznich@biophys.msu.ru

www.biophys.msu.ru

http://mathbio.ru/mnw/

Лекция 1

The End

Предмет науки -

выраженная в совокупности

абстрактных понятий часть

реальности, которую ученый

делает объектом своего

исследования; выраженный

в теоретической

форме объект изучения;

модель изучаемого объекта,

созданная научным

мышлением.

• Человеческий мозг (как икомпьютер) работает с моделями

• Понять – значит построить «вголове» модель природногоявления,

• живой системы,

• человеческих отношений и проч.

• «Понять – значит, простить»

• модель – это «копия» объекта,

• в некотором смысле «болееудобная»

• Важно определить:

объект, цель и метод (средства)

моделирования

Компьютер

работает не

с реальной

системой, а

с моделью

Практический

смысл модели

Пример модели - портрет

• Портрет дамы

Как понять выражение

«Художник и его

модель?»

Манипуляции в

пространстве

и во времени

Самолет в аэродинамической трубе

изучение прочности конструкции, влияния внешних условий и др.

*Примеры моделей

Импеллер нагнетает воздух в трубу

Вертикальная аэродинамическая труба ЦАГИ. Постройка 1945

Гармонический осциллятор

.

Каждая наука

имеет свои модели

*

Популяция дрозофиллы

Грегор

Иоганн

МЕНДЕЛ

Ь

Gregor

Johann

Mendel, 1

822–84

Каждая наука имеет свои

модели Каждая наука имеет свои

модели

*Математические модели

описывают целый класс процессов

или явлений, которые обладают

сходными свойствами, или являются

изоморфными.

«Область знания становится наукой, когда

она выражает свои законы в виде

математических соотношений»

Галилей Пуанкаре Маркс

• Математика – этоискусство называтьразные вещи одним итем же именем

• Без языка математикибольшая часть глубокихвзаимосвязей междувещами навсегдаосталась бы неизвестной

• словарь и звуковые и графические способыкодирования слов - числа, векторы, матрицы, функции

• Грамматики – действия с ними: сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование

• Грамматики математического языка – не толькоправила сочетания элементов (слов), но и правилапреобразования одних слов в другие

• Аналог словесных описаний – математическиемодели

Д. У. Гиббс Josiah Willard Gibbs;

1839—1903) — американский физик,

физикохимик, математик и механик, один из

создателей векторного анализа,

статистической физики, математической

теории термодинамики,

«… Великая книга

природы написана

математическими

символами»

Галилео Галилей

(1564 - 1642)

Совокупность элементов (слов) и действий (грамматика) –операционная система

x y

g f

F

G

Две операционные системы изоморфны.

Если установлено взаимно однозначное

соответствие, между их элементами и

действиями

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή —

«форма»)

Пример: в арабской системе записи

числа перемножить легко, а в римской

– очень трудно

все действия выполняютсялегко и быстро

(правда, приближенно)

• Природа – тоже операционная система. Еёудается представить с той или иной полнотойв виде разнообразных элементов и связеймежду ними и текущим временем.

• Это представление и называется«законами природы».

• Когда удается построить изоморфнуюобъекту природы математическую модель, мы постигаем и природный объект

В.Эбелинг Р.Фейстель

Хаос и космос. Chaos and

Kosmos

Prinzipien der Evolution

Модели в науках • Физика – с Галилея и Ньютона • Язык законов физики – математика

• Химия – 20 век • химическая кинетика, • квантовая химия

• Конец 20 века - молекулярное

моделирование

Дифференциальные уравнения Переменные - концентрации

Агентное моделирование «Агентный» (объектный, атомистический, корпускулярный) метод моделирования предполагает выводить свойства сложных систем из свойств и способов взаимодействия составляющих эти системы «агентов» или «атомов» - простейших объектов,

составляющих эту систему.

Вычислительный эксперимент - simulation

*

«Большая часть

научной работы

заключается в поиске

математических

соотношений.

Найдя их, наш ум

успокаивается,

и нам кажется, что

вопрос, который нас

мучил, решен.»

В последней трети 20 века

развился комплекс наук - синергетика

• Теория динамических систем

• Нелинейная динамика • Теория

самоорганизации • Теория хаоса (Theory of

chaos) • Nonlinear science • Теория фракталов цель которых – понять суть

нелинейных процессов в сложных системах

Сходные нелинейные уравнения описывают процессы самоорганизации разной природы (изоморфизм)

Герман Хакен. 1971 «Синергетика — учение о взаимодействии. Что связывает физику, химию и биологию?»

Герман Хакен (справа) и Юрий Климонтович

Линейность и нелинейность

• Линейная зависимость

• Y=a x• СЛЕДСТВИЕ

пропорционально ПРИЧИНЕ

Линейность и нелинейность

• Линейное дифференциальное уравнение.

Скорость изменения величины пропорциональна

самой величине

.rxdt

dx

СВОЙСТВА СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

• Единственное стационарноесостояние

• Существуют методы исследованияустойчивости стационарныхсостояний

• и решений

• Идентифициеруемость параметровпо экспериментальным данным

ЛИНЕЙНАЯ НАУКА

ДЕТЕРМИНИЗМ• На основе линейной науки разработаны

основы областей

• МЕХАНИКА

• СТРОИТЕЛЬСТВО

• БАЛЛИСТИКА

• ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

• КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

Но не биология !!

ЛинейныйЛинейный мирмир

• Линейное

дифференциальное

уравнение.

Уравнение роста

популяции Мальтуса

(1798)

.rxdt

dx

Докомпьютерная эра – линейный мир.

НелинейныйНелинейный мирмир

Daphnia magna (Frall,

1943)

Киты,

(Gulland,

1971)

Рост человечества.

Капица. 2004

Heart

rythm

CHAOSCHAOSChemical

Kinetics

Weather

Э.Лоренц

BZ-reaction

Белоусов и

Жаботинский

Александр

Юрьевич

Лоскутов

1959-2011

А.Ю.Лоскутов, А.С. Михайлов. Основы теории сложных систем. РХД, 2007

Mikchailov, Loskutov. Foundations of Synergetics. V.1,2. Springer

Основные свойства нелинейных

систем• Мультистационарность

• Колебания

• Хаос

• Пространственно

• -временные структуры

• Однозначная зависимость причины и следствия.

• Единственное стационарное состояние

• Малая роль случайности

• Диффузия – выравнивает концентрации

• Гладкие границы. Целая пространственная размерность

• Неоднозначность • Мультистационарность • Колебания • Детерминированный

хаос • Пространственно-

временная самоорганизация: автоволны

• Диссипативные структуры • Фрактальность

*

*

Базовые модели биологических систем - нелинейные

Качественные модели

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ

САМООРГАНИЗАЦИЯ

В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

• В первоначально гомогенной системе врезультате малых флуктуаций могутвозникать регулярныепространственные структуры

• Морфогенез

• Раскраска шкур животных

• Пятна планктона в океане,

• Возникновение и рост городов

• Скопления галактик

Д.Мюррей, 1, 2 тома

Модели раскраски шкур

животных

Мюррей.

Математические

модели в

биологии.

2010

*

Диссипативные структуры

Автоволны

Разрыв фронта и возникновение спиральной волны

*

• Распространение нервного импульса

• Возбудимая ткань сердца

• Сокращение стенок сосудов (артерий)

• Сокращение стенок отделов желудочно-кишечного тракта

• Автоволны в мозгу

Heart rythm

*

Chemical Kinetics

Weather Э.Лорен

ц

BZ-reaction

Белоусов и Жаботинский

*

*Эволюция спиральной

волны

Владимир Кринский Штефан Мюллер, Владимир Зыков, Владимир Ванаг, Александр Лоскутов, А.Панфилов, И. Ефимов, Р.Алиев и др.

Модель фибрилляции в сердце

* Эксперимент: оптическое

картирование эпикарда

Mechanical + electrical

activity

Electri

cal

activity

Cold arrhythmia

*

• Исаак Ньютон, Чарльз Дарвин, Михаил Ломоносов, Альберт Эйнштейн, Грегор Мендель и другие великие считали, что строя модели мироздания они проясняют для себя (и человечества)

• Промысел Божий

Нелинейная архитектура

Музей Гугенхайма (Бильбао, Испания)

Архитектор Франк Гери

Воронеж. Алые паруса

Мэй Вэн Хо сотрудница лаборатории

биоэлектродинамики в Открытом университете города Милтон-Кейнс (Великобритания) микробиолог

«Гены функционируют в виде сложной нелинейной многомерной сети, действие каждого связано с действием всех; гены и геномы динамичны и неустойчивы, они могут изменяться по ходу своего развития или же в результате обратного метаболического регулирования; обмен генами может происходить горизонтально между представителями одного или разных видов». Новая теория организма раскрывает смысл новой, особой целостности. Именно эта сторона организмической теории столь притягательна для архитектурного сознания, страдающего от утраты всякой основы, позволяющей стремиться к целостности. Органическое пространство-время является фрактальным, поскольку берет начало из естественных процессов, фрактальных по своей сути. Каждая вещь делокализована, неопределенна, взаимообусловленна и развивается как организм

Peter Saunders Co-Director, Institute of Science in Society, London; Emeritus professor of Applied Mathematics, King’s College London.

Нелинейность Эпигенетические ландшафты

: «...наша интуиция основана на личном и чужом опыте понимания тех систем, которые наиболее интенсивно изучались, но дело в том, что все хорошо изученные системы линейны. По мере продвижения в понимании нелинейной динамики постепенно станет привычной идея о том, что столь необычные черты нелинейных систем вполне возможны и реальны. Со временем они станут частью нашей интуиции». Понимание, что, Земля круглая – достояние специфически нелинейного мышления

эпигенетика дает объяснение тому, как факторы окружающего мира могут повлиять на генотип, «активируя» или «дезактивируя» разные гены.

Конрад Хэл Уоддингтон (1905–1975)

В переводе с греческого «epi» означает «на, над, сверху», эпигенетика – это как будто что-то «над» генетикой.

Эпигенетический ландшафт

Один из эпигенетических сигналов в клетке – это метилирование ДНК, то есть добавление метильной группы (-CH3) к цитозиновому основанию в матрице ДНК. Такая модификация ДНК приводит к снижению активности генов, поскольку этот процесс способен влиять на уровень транскрипции.

Давайте представим гены в ДНК, как предложения, составленные из букв-нуклеотидов, полученных от родителей. Тогда метилирование – это как расстановка знаков препинания, которая может влиять на смысл фраз, акценты фраз, разбивку на параграфы. В итоге весь этот «текст» может по-разному читаться в разных органах –сердце, мозге и так далее. Расстановка таких «знаков препинания» зависит и от тех сигналов, которые мы получаем извне.

Бюст Вергилия у входа в

его склеп в Неаполе

Имя при рождении:

Публий Вергилий Марон

Дата рождения:

15 октября 70 до н. э.

Место рождения: Мантуи

Дата смерти:

21 сентября 19 до н.э.

Род деятельности:

древнеримский поэт